EL EFECTO DE LA DISTRIBUCIÓN A PRIORI EN MODELOS CON
FRONTERA ESTOCÁSTICA. COMPARACIÓN CON MÁXIMA
VEROSIMILITUD.
FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO
Depa amen o de Economía Aplicada I. Uni e sidad de Se illa
A enida Ramón y Cajal, nº1. 41018 – SEVILLA (ESPAÑA)
JOSÉ MANUEL GAVILÁN RUIZ
Depa amen o de Economía Aplicada I. Uni e sidad de Se illa
A enida Ramón y Cajal, nº1. 41018 – SEVILLA (ESPAÑA)
JOSÉ ANTONIO CAMÚÑEZ RUIZ
Depa amen o de Economía Aplicada I. Uni e sidad de Se illa
A enida Ramón y Cajal, nº1. 41018 – SEVILLA (ESPAÑA)
e-mail: jo [email protected] – ga [email protected] – [email protected]
Telé ono: 954556970 – 954556970 - 954557541
Resumen
En es e abajo se analizan y compa an las p opiedades de los es imado es máximo e osímil y bayesiano en el modelo
de p oducción con on e a es ocás ica a a és de un es udio de ipo Mon e Ca lo. En el caso bayesiano, se p es a
especial a ención al e ec o que iene la elección del hipe pa áme o que de e mina la e iciencia mediana de la
dis ibución a p io i. Los esul ados mues an un mejo compo amien o de la es imación bayesiana, sal o en el caso
poco p obable de que se asigne un hipe pa áme o muy alejado del alo eal de la población.
Palab as cla e: F on e a Es ocás ica, Mon e Ca lo, Es imado Máximo Ve osímil, Es imado Bayes.
Á ea Temá ica: Mé odos Cuan i a i os pa a la Economía y la Emp esa.
Abs ac
In his pape , he maximum likelihood and he Bayesian me hodologies a e analysed and compa ed h ough a Mon e
Ca lo s udy in he se ing o hal –no mal s ochas ic on ie p oduc ion models. In he Bayesian case, special emphasis is
placed on he e ec ha he choice o he hype pa ame e ha de e mines he p io median e iciency has on he
es ima ions. The esul s show a be e beha iou o he Bayesian es ima ion, excep in he unlikely case in which
esea che s assign a alue o he a o emen ioned hype pa ame e which g ea ly di e s om i s ac ual alue.
Key Wo ds: S ochas ic F on ie , Mon e Ca lo, Maximum Likelihood, Bayesian Es ima o .
Thema ic A ea: Quan i a i e Me hods o Economics and Business Adminis a ion.
2
1. INTRODUCCIÓN
El modelo de p oducción con on e a es ocás ica (MPFE) iene sus o ígenes en los abajos de Aigne e al.
(1977), Ba ese y Co a (1977) y Meusen y an den B oeck (1977). El obje i o de es e ipo de modelos es
analiza la e iciencia de un p oceso p oduc i o en é minos de las des iaciones obse adas en e la
p oducción eal y una on e a ideal de ou pu máximo. En é minos economé icos, dichas des iaciones
pueden se iden i icadas con pe u baciones alea o ias en un modelo de eg esión.
Es os modelos han enido bas an e di usión en la li e a u a cien í ica desde su apa ición, aplicados a una
g an a iedad de sec o es p oduc i os. Po ejemplo, han sido muy u ilizados en ag icul u a y pesca (Ba ese
y B oca 1997, Ga cía e al. 2004), en el uncionamien o de pue os y ae opue os (Ba os 2005, 2008),
hospi ales (O’Donnell and Nguyen 2013), sec o banca io (B issimis e al. 2010) o aplicados al análisis de la
p oducción cien í ica (O ega y Ga ilán 2013).
La o mulación básica del MPFE es:
( , ) u , 1,...,
i i i i
y x i n   

,
donde
i
y
es la p oducción de la i ma i-ésima,
i
x
es el ec o de odos sus inpu s,

es un ec o de
pa áme os a es ima y
()
es la unción de p oducción.
La pe u bación alea o ia
i i i
u

se compone de dos pa es (de ahí que ambién hablemos de modelo de
e o compues o),
i

que ecoge las uen es de a iación alea o ias y
0
i
u
que ecoge la ine iciencia
en el p oceso p oduc i o. Comúnmen e se supone
2
(0, ).
i
N

Pa a
i
u
hemos de elegi una dis ibución
de p obabilidad posi i a. Vamos a conside a la hipó esis más habi ual, es deci , que
*
ii
uu
, donde
*2
(0, )
iu
uN

. Po de inición, se dice que las pe u baciones
i
u
siguen una dis ibución Hal -No mal, lo cual
ep esen amos po
2
(0, ).
iu
u HN

Adicionalmen e, se supone que odas las pe u baciones ( an o
i
como
i
u
) son independien es. Es p eciso señala que se ha conside ado con ecuencia o o ipo de densidad de
p obabilidad pa a las pe u baciones
i
u
, en e las que cabe des aca la dis ibución No mal uncada en un
pa áme o  no necesa iamen e nulo y las dis ibuciones Exponencial y Gamma, que han sido ampliamen e
u ilizadas sob e odo cuando se adop a el en oque bayesiano (Koop e al. 1995, Osiewalski and S eel 1998,
Koop and S ell 2003).
En un ecien e a ículo, O ega y Ga ilán (2014) es udian el compo amien o de las es imaciones máximo
e osímil (MV) y bayesiana en un MPFE a a és de un análisis de ipo Mon e Ca lo. Pa a ello, se ob ienen
mues as simuladas pa a di e en es alo es del espacio pa amé ico y se compa an ambos es imado es en
base al c i e io del e o cuad á ico medio. Pa a ob ene los es imado es bayesianos, los au o es u ilizan una
única dis ibución a p io i. La p incipal conclusión es que la me odología bayesiana, con la dis ibución a
p io i seleccionada, iene un compo amien o no ablemen e mejo que el es imado MV en la p ác ica
o alidad del espacio pa amé ico analizado.
En es e abajo se amplía el análisis de O ega y Ga ilán (2014) conside ando di e en es dis ibuciones a
p io i, con el doble obje i o de hace un análisis de sensibilidad de la me odología bayesiana a la elección
de la dis ibución a p io i y de comp oba si el compo amien o del es imado bayesiano sigue siendo mejo
que el MV independien emen e de la dis ibución a p io i elegida.
La unción de p oducción usada es lineal, es deci ,
'
( , )
ii
x x

, donde el ec o

con iene un é mino
cons an e. Obse emos que si
i
x
e
i
y
es án medidos en escala loga í mica, en onces es amos an e una
unción de p oducción de Cobb-Douglas. En es e caso, que es el más habi ual, en luga de in e esa nos
di ec amen e en
i
u
como medida de ine iciencia, se suele es ima
 
exp i
u
que es una medida de
e iciencia aco ada en e 0 y 1. Po simplicidad, ha emos las simulaciones en base a un modelo con
o denada en el o igen y una única a iable explica i a, pues se ha comp obado que el uso de un mayo
núme o de a iables no a ec a a los esul ados p incipales.
La es imación MV del MPFE es á implemen ada desde hace iempo en so wa e es adís ico di e so, po
ejemplo, en FRONTIER, LIMDEP o STATA. Asimismo, en el en o no R podemos encon a di e en es
paque es especí icos con es e p opósi o. La es imación bayesiana a a és del algo i mo de Gibbs (Gel and
and Smi h, 1990) es una he amien a muy adecuada en es e con ex o debido a la complejidad de los
modelos de on e a es ocás ica. Uno de los p oblemas p incipales del en oque bayesiano, sob e odo de
3
ca a a las aplicaciones, ha sido la al a de un so wa e ácil de u iliza y lo su icien emen e e sá il como pa a
adap a se a dis in as si uaciones y conjun os de da os. En G i in and S eell (2007), se u iliza el so wa e
lib e WinBUGS pa a es ima di e sas a ian es de MPFE, comp obándose que es e so wa e es una
he amien a po en e y lexible en es e con ex o, que puede se manejado con acilidad po pa e del
in es igado y que consigue es ima los modelos en un iempo azonable.
En es e a ículo u ilizamos el so wa e FRONTIER pa a ob ene los es imado es MV y el so wa e WinBUGS
pa a el caso bayesiano. Tan o uno como o o pueden in eg a se en el en o no del so wa e R, lo que acili a
la aplicación de ambas me odologías al mismo conjun o de mues as simuladas pa a que, de es a o ma, la
compa ación de esul ados sea más iable.
O os abajos en los que se hacen compa a i as a a és de mé odos de simulación en el MPFE son Coelli
(1995), donde se compa a el es imado MV con el de mínimos cuad ados co egidos y Zhang (1999) donde
se compa a la es imación bayesiana con la MV, aunque és a se hace pa a un único pun o del espacio
pa amé ico. En O ega e al. (2009) se lle a a cabo una compa ación en e ambas me odologías pe o
aplicadas sob e el modelo de p oducción con on e a de e minis a.
Como c i e io de compa ación usamos el e o cuad á ico medio (ECM), haciendo especial én asis en el
pa áme o que indica qué p opo ción de a ianza del e o compues o de debe a ine iciencia y en la
es imación de las e iciencias indi iduales.
A pa i de aquí, en la sección 2 explicamos cómo ob ene los es imado es MV y bayesianos usando
FRONTIER y WinBUGS, espec i amen e, odo ello en el en o no del so wa e R; en la sección 3
desc ibimos el diseño del expe imen o Mon e Ca lo; en la sección 4 o ecemos los esul ados ob enidos, así
como la in e p e ación de los aspec os más in e esan es. Po úl imo, en la sección 5 exponemos las
p incipales conclusiones de nues o abajo.
2. PROGRAMACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN UTILIZADOS
La es imación del MPFE la amos a hace usando la epa ame ización
2 2 2
u

  
y
22
u

  
que es
la que se conside a en el paque e FRONTIER. Obse emos que

es un pa áme o que oma alo es en e
0 y 1 y es un indicado de la p opo ción de a ianza debida a la ine iciencia. Resal emos que

no es
exac amen e la p opo ción de a ianzas, ya que
2
a [ ] u
up

, donde
 
2/p

. Conc e amen e, si
llamamos
*

a la p opo ción de la a ianza o al debida a ine iciencia (es deci ,
 
* a [ ] a [ ] a [ ]u u 

)
es ácil e que se e i ica
 
 
*1
1p
  
   
.
Como se ha indicado en la in oducción, la es imación MV la hemos lle ado a cabo usando el so wa e
FRONTIER y la es imación bayesiana a a és de WinBUGS, ambos in eg ados en el en o no del so wa e
R. Conc e ando más, pa a el es imado MV usamos el paque e on ie en su e sión 0.996-6 el cual u iliza
el código uen e Fo an del so wa e FRONTIER 4.1 (Coelli, 1996). Pa a la in e encia bayesiana se ha
usado el paque e R2WinBUGS, el cual enlaza y ab e el p og ama WinBUGS 1.4, le ans ie e los da os y
ecoge los esul ados hacia el en o no R. Una de allada exposición del uncionamien o del paque e
R2WinBUGS jun o con algunos ejemplos de aplicación puede encon a se en S u z e al. (2005).
Des aquemos ambién que pa a la implemen ación del modelo en WinBUGS, se han gene ado es cadenas
de Ma ko de 1500 i e aciones cada una, de las cuales se desechan las 500 p ime as, lo que conlle a un
o al de 3000 mues as simuladas. Como pun o de pa ida se oman los es imado es de Mínimos Cuad ados
Co egidos pa a los pa áme os
0

y
1

(G een, 1980), mien as que pa a el es o de pa áme os se
gene an alo es alea o ios.
Siguiendo a O ega y Ga ilán (2014), pa a los pa áme os
01
,

y
2


usamos las dis ibuciones no
in o ma i as
6
0(0,10 )N

,
6
1(0,10 )N

y
2 3 3
(10 ,10 )
Ga
  

, donde
2
( , )N

ep esen a una
dis ibución No mal de media

y a ianza
2

, mien as que
01
( , )Ga a a
ep esen a una dis ibución Gamma
con media
01
aa
y pa áme o de o ma
0
a
. Es as son las mismas dis ibuciones que conside an G i in y
S eel (2007).
La dis ibución a p io i pa a el pa áme o
2
u


se suele elegi den o de la amilia Gamma, ijando los
hipe pa áme os de o ma que la mediana a p io i ecoja las c eencias ace ca de la e iciencia mediana del
4
sec o p oduc i o en el que se es á lle ando a cabo el análisis (Van den B oeck e al. 1994, Zhang, X. 1999).
G i in and S eel (2007), en su ejemplo aplicado al me cado de la elec icidad en Es ados Unidos, usan la
dis ibución a p io i
2(1,0.0267)
uGa


, lo que supone asumi que la e iciencia mediana a p io i del sec o es
0.875. Como se expond á con mayo de alle en la siguien e sección, noso os amos a conside a
20
(1, )
uGa


, asignando al pa áme o
0

di e en es alo es pa a así pode analiza el e ec o de es a
elección sob e las es imaciones.
3. DISEÑO DEL EXPERIMENTO MONTE CARLO.
Como hemos indicado en la in oducción, las simulaciones se hacen sob e un modelo con una a iable
explica i a más un é mino cons an e. El espacio mues al del expe imen o iene dado inicialmen e po los
dis in os alo es de los pa áme os
0

,
1

,
2

y

, del amaño mues al
n
así como de los alo es del
ec o de obse aciones de la co a iable
x
. Cen amos el análisis en el compo amien o de las
es imaciones del pa áme o

, así como de las es imaciones de las e iciencias indi iduales.
Sin pé dida de gene alidad, podemos ija los alo es de
0

y
1

(Zhang 1999, Coelli, 1995). Se ha
conside ado
01
1.

Con espec o a los alo es de la co a iable
x
, se han gene ado de acue do a un
modelo uni o me en el in e alo
[0,10]
. P e endemos analiza el compo amien o de ambos mé odos an o
en mues as pequeñas como en mues as de g an amaño, po lo que hemos seleccionado
 
30,50,100,500n
. Con espec o al pa áme o

se conside an los alo es
 
0.1,0.3,0.5,0.7,0.9
.
Pa a es udia el e ec o de la elección de la dis ibución a p io i del pa áme o
2
u


, odas las mues as
simuladas p oceden de una población con un alo de e iciencia mediana
*0.5 
y en odos los casos,
además del EMV, se ob ienen los es imado es bayesianos con cinco dis ibuciones cuyas e iciencias
medianas a p io i son, espec i amen e,
 
0.1,0.3,0.5,0.7,0.9 
.
Dado que la e iciencia se ha de inido como
 
exp i
u
, la elación en e la mediana de la e iciencia
y el
pa áme o
2
U

iene dada po la ecuación (Zhang, 1999)
2
2
02
20.5
2
2
Ln
U
U
U
Exp dU









.
Resol iendo es a ecuación pa a
*0.5 
ob enemos que
*
21.056
U

. Pues o que
 
22
1
VU

   
,
deducimos que
 
29.504,2.464,1.056,0.453,0.117
V

. Obse emos que al ija
*0.5 
(y po an o conside a
un único alo
*
2
U

), pa a eco e el espacio pa áme ico de  es necesa io conside a mues as cuya
a iabilidad o al es muy di e en e, pues
2 2 2
UV

  
es igual a 10.56 pa a
0.1

mien as que oma el
alo 1.173 cuando
0.9

.
Po o a pa e, omando la dis ibución a p io i
20
(1, )
uGa


, la mediana a p io i de la e iciencia es
 
2;0.75 0
Exp 

, donde
2;0.75
es el cuan il de o den 0.75 de una dis ibución de S uden con 2 g ados
de libe ad (Van den B oeck e al. 1994). Despejando, ob enemos
2
02;0.75
.
Ln






La co espondencia en e
los alo es de e iciencia a p io i y los hipe pa áme os de la dis ibución de
2
u


se e leja en la siguien e
abla:
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0
7.962
2.177
0.722
0.191
0.017
Se simulan, pues, cinco alo es de

y cua o de
n
, lo que conlle a un o al de ein e combinaciones. En
cada una de ellas, se hacen
1000m
eplicaciones del modelo. Pa a ob ene los núme os
pseudoalea o ios, u ilizamos los gene ado es implemen ados po de ec o en el so wa e R. La es imación
5
MV y las cinco es imaciones bayesianas en cada caso, se e ec úa según el p ocedimien o desc i o en la
sección an e io .
Pa a cada pa áme o, se calcula el sesgo medio (SM) y el e o cuad á ico medio (ECM) obse ado en las
m
eplicaciones con cada uno de los dos mé odos. Pa a el análisis de las e iciencias, no nos limi a emos a
conside a la e iciencia media, sino que calcula emos an o el SM como el ECM pa a cada una de las
e iciencias indi idualmen e. Pos e io men e, como indicado conjun o o ecemos el p omedio de los SM y los
ECM de cada una de las i mas. Es deci , si llamamos
i
E
a la e iciencia de la i ma i-ésima y
ˆij
E
al
co espondien e alo es imado (po cualquie a de los dos mé odos) en la eplicación j-ésima, enemos que
 
1
1
ˆ
m
i ij i
j
SM m E E




y
 
2
1
1
ˆ
m
i ij i
j
ECM m E E




, pa a
1,...,in
. Pos e io men e, el SM y el ECM de las
e iciencias se ob ienen como
1
1
n
i
i
SM n SM



y
1
1
n
i
i
ECM n ECM



, espec i amen e.
An es de analiza los esul ados, señalemos que en O ega y Ga ilán (2014), se gene an mues as en las
que
21

y  a ía desde 0 has a 1, lo que conlle a que las e iciencias medianas de las mues as se
mue an desde
1 
(co espondien e a
0

) has a
0.509 
(co espondien e a
1

). Además, se
u iliza una única dis ibución
2(1,0.7216)
uGa


pa a asumi una e iciencia mediana a p io i igual a 0.5. En
ese a ículo se ap ecia que las es imaciones bayesianas ienen mejo compo amien o a medida que el
pa áme o  se ace ca a 1 (es deci , a medida que la e iciencia mediana a p io i es más ce cana a la
e iciencia mediana eal de la población).
4. RESULTADOS DEL EXPERIMENTO MONTE CARLO.
Los esul ados comple os del expe imen o Mon e Ca lo consis en en el sesgo y ECM de odos los
pa áme os y de las e iciencias indi iduales en las di e en es si uaciones conside adas. Aquí amos a
analiza en mayo p o undidad los esul ados más ele an es, cen ando nues a a ención en el c i e io del
ECM, que es al in y al cabo el que indica qué me odología consigue ep oduci mejo los e dade os
alo es del modelo conside ado. Nos cen a emos en el compo amien o de las es imaciones del pa áme o
 y de las e iciencias indi iduales. Como ya hemos indicado, el pa áme o  es el que ecoge la es uc u a
del e o compues o y, como es conocido, uno de los incon enien es de es e ipo de modelos es la di icul ad
pa a iden i ica qué p opo ción del e o o al se debe a ine iciencia y qué pa e se debe a los e ec os
alea o ios. Po o a pa e, la co ec a es imación de  es muy impo an e pa a es ablece las e iciencias
indi iduales de cada i ma, que es uno de los obje i os undamen ales al usa es e ipo de modelos.
En el Anexo o ecemos el ECM del pa áme o  y de las e iciencias indi iduales en odas las simulaciones
e ec uadas. Con ellenos de ondo hemos esal ado el meno ECM ob enido pa a cada alo del espacio
pa amé ico y amaño mues al. Hemos hecho ep esen aciones g á icas de los esul ados ob enidos pa a
acili a su in e p e ación.
Al igual que se ap ecia en O ega y Ga ilán (2014), no hay g andes di e encias en los esul ados gene ales
cuando analizamos el ECM del pa áme o  o el de las e iciencias.Obsé ese, en pa icula , que los alo es
mínimos de ECM co espondien es al pa áme o  y a la e iciencia se alcanzan casi siemp e en la misma ila
de la abla. Es e hecho pone de mani ies o la incidencia di ec a que iene una co ec a es imación del
pa áme o

sob e la de e minación de las e iciencias de las i mas. Tampoco se ap ecian di e encias
impo an es en unción del amaño de la mues a, sal o la lógica disminución del ECM a medida que
aumen amos el amaño mues al. Po ello y pa a simpli ica , se o ece en la igu a 1 el ECM co espondien e
a odos los alo es del pa áme o  pa a el amaño mues al
50n
. Hemos p e e ido man ene en los cinco
g á icos la misma escala en el eje de o denadas, aunque algunos alo es son mayo es que el máximo
seleccionado (es deci , 0.2).

6
Figu a 1. ECM ob enido pa a
 
0.1,0.3,0.5,0.7,0.9

en unción de la e iciencia mediana a p io i asumida y pa a
n=50
Podemos obse a en la abla del Anexo como el mínimo de ECM se alcanza en la mayo ía de los casos
con la es imación bayesiana cuando se asume una e iciencia mediana a p io i
0.5 
, que es la mediana
eal de la población, sob e odo en los alo es cen ales del pa áme o . En algunos casos dicho mínimo se
ob iene asumiendo a p io i
0.3 
o
0.7 
si bien debemos esal a que en odo el espacio pa amé ico y
pa a odos los amaños mues ales las di e encias de ECM en la me odología bayesiana pa a los alo es de
 
0.3,0.5,0.7 
no son, en gene al, impo an es.
O a conclusión in e esan e que podemos ex ae es que el uso de las dis ibuciones a p io i con
 
0.1,0.9 
(es deci , asumi a p io i un alo de e iciencia mediana muy alejado del alo eal de la
población que es
*0.5 
) empeo a sensiblemen e los esul ados, supe ando con c eces en muchos casos
al ECM ob enido con el es imado MV. Se obse a ambién que es e e ec o depende de la zona del espacio
pa áme ico de  en el que nos encon emos. En e ec o, una e iciencia mediana a p io i muy in e io a la eal
conlle a un aumen o impo an e del ECM pa a alo es bajos del pa áme o  mien as que si la mediana a
p io i es muy supe io a la eal el aumen o de ECM se p oduce en alo es al os de .
Según se desp ende del análisis de simulación e ec uado y a ando de da espues a al doble obje i o
plan eado en la in oducción de es e abajo, podemos deci que la me odología bayesiana es sensible a la
elección de la dis ibución a p io i sólo cuando se asigna una mediana a p io i muy alejada de la eal, en
cuyo caso el compo amien o en cuan o al ECM es peo que el ob enido con la EMV. No obs an e, y como
conclusión más impo an e, si usamos una dis ibución co espondien e a una mediana a p io i que es é en
7
un en o no ela i amen e amplio del alo eal, la es imación bayesiana no es muy sensible a al elección y
p esen a mejo compo amien o que el es imado MV.
En muchas si uaciones p ác icas, el in es igado iene in o mación p e ia pa a pode asigna
azonablemen e un alo de e iciencia mediana a p io i no muy alejado del alo eal. En odo caso, el uso
de una dis ibución a p io i “mode ada” pa ece ga an iza un mejo compo amien o del es imado bayesiano
en e al MV, po lo que ecomendamos el uso de la me odología bayesiana pa a es ima el MPFE.
5. CONCLUSIONES.
La p incipal conclusión es que la es imación bayesiana en gene al es p e e ible a la es imación MV en el
modelo de p oducción con on e a es ocás ica analizado. Es a conclusión se ha ob enido en base a que el
ECM del pa áme o

y de las e iciencias es imadas es in e io en la in e encia bayesiana sal o en el caso
poco p obable de que el in es igado asigne a p io i un alo de e iciencia mediana muy alejado del alo
eal de la población.
Podemos añadi que, excep uando el caso mencionado con an e io idad, la es imación bayesiana en el
MPFE no es excesi amen e sensible a la elección de la dis ibución a p io i pa a el pa áme o
2
u


.
Que emos des aca ambién que la es imación bayesiana se ha lle ado a cabo usando el so wa e
bayesiano de p opósi o gene al WinBUGS, usado desde el en o no R, lo que hace que su uso sea iable y
a ac i o pa a in es igado es aplicados con unos conocimien os básicos de es adís ica bayesiana.
Pa a inaliza , esal emos que nues o análisis se ha cen ado en un modelo con da os de sección c uzada y
en el que se ha supues o que las pe u baciones
i
u
siguen un modelo Hal -No mal. Ampliaciones na u ales
de es e abajo consis en en supone o o ipo de modelos pa a las pe u baciones
i
u
y en la conside ación
de da os de panel.
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9
ANEXO
En es e anexo se o ecen los alo es de ECM del pa áme o  y de las e iciencias indi iduales en odas las
simulaciones e ec uadas. Con ellenos de ondo se ha esal ado el meno ECM ob enido pa a cada alo del
espacio pa amé ico y amaño mues al.
n=30
=0.1
=0.3
=0.5
=0.7
=0.9
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
MV
0.2034
0.2266
0.1723
0.1948
0.1699
0.1591
0.1979
0.1334
0.1072
0.0577
BAYES
=0.1
0.2676
0.1436
0.2553
0.1171
0.1471
0.0929
0.0541
0.0654
0.0053
0.0307
=0.3
0.1080
0.0947
0.1170
0.0823
0.0681
0.0672
0.0251
0.0491
0.0033
0.0246
=0.5
0.0274
0.0664
0.0404
0.0645
0.0266
0.0559
0.0182
0.0448
0.0131
0.0248
=0.7
0.0053
0.0821
0.0237
0.0776
0.0547
0.0715
0.0875
0.0614
0.0841
0.0399
=0.9
0.0087
0.1841
0.0724
0.1800
0.1942
0.1750
0.3483
0.1632
0.4509
0.1321
n=50
=0.1
=0.3
=0.5
=0.7
=0.9
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
MV
0.1870
0.2090
0.1378
0.1821
0.1502
0.1544
0.1463
0.1043
0.0582
0.0406
BAYES
=0.1
0.2233
0.1336
0.1958
0.1022
0.1107
0.0787
0.0406
0.0555
0.0040
0.0261
=0.3
0.0747
0.0865
0.0731
0.0720
0.0422
0.0593
0.0152
0.0436
0.0034
0.0224
=0.5
0.0159
0.0645
0.0217
0.0605
0.0195
0.0536
0.0210
0.0440
0.0156
0.0248
=0.7
0.0037
0.0827
0.0235
0.0780
0.0608
0.0736
0.0967
0.0621
0.0722
0.0366
=0.9
0.0084
0.1836
0.0734
0.1806
0.1947
0.1736
0.3529
0.1639
0.3798
0.1140
n=100
=0.1
=0.3
=0.5
=0.7
=0.9
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
MV
0.1309
0.1992
0.0978
0.1705
0.1151
0.1311
0.0953
0.0780
0.0162
0.0247
BAYES
=0.1
0.1634
0.1214
0.1398
0.0884
0.0753
0.0671
0.0247
0.0465
0.0024
0.0220
=0.3
0.0469
0.0804
0.0511
0.0673
0.0233
0.0540
0.0096
0.0407
0.0033
0.0210
=0.5
0.0089
0.0635
0.0122
0.0595
0.0177
0.0536
0.0224
0.0429
0.0103
0.0225
=0.7
0.0030
0.0878
0.0261
0.0831
0.0680
0.0765
0.1006
0.0629
0.0430
0.0297
=0.9
0.0085
0.1887
0.0761
0.1870
0.2022
0.1806
0.3463
0.1618
0.2470
0.0814
n=500
=0.1
=0.3
=0.5
=0.7
=0.9
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
ECM()
ECM(E)
MV
0.0593
0.1744
0.0546
0.1344
0.0507
0.0808
0.0137
0.0411
0.0009
0.0190
BAYES
=0.1
0.1001
0.1083
0.0683
0.0725
0.0269
0.0542
0.0065
0.0391
0.0006
0.0190
=0.3
0.0302
0.0782
0.0226
0.0614
0.0089
0.0501
0.0050
0.0384
0.0009
0.0190
=0.5
0.0038
0.0634
0.0073
0.0588
0.0137
0.0520
0.0122
0.0398
0.0012
0.0191
=0.7
0.0030
0.0852
0.0247
0.0793
0.0559
0.0696
0.0382
0.0462
0.0016
0.0192
=0.9
0.0074
0.1568
0.0628
0.1500
0.1508
0.1350
0.1330
0.0794
0.0050
0.0201