Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
T abajo Fin de G ado
G ado de Ingenie ía Ae oespacial
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el
cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas
en égimen incomp esible
Au o : F ancisco Muñoz Sole
Tu o : Miguel Pé ez-Sabo id Sánchez Pas o
Dep. Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2016
iii
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía Ae oespacial
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el
cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas
en égimen incomp esible
Au o :
F ancisco Muñoz Sole
Tu o :
Miguel Pé ez-Sabo id Sánchez Pas o
P o eso i ula
Dep. de Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2016
T abajo Fin de G ado: Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no
Es aciona ia de alas en égimen incomp esible
Au o :
F ancisco Muñoz Sole
Tu o :
Miguel Pé ez-Sabo id Sánchez Pas o
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2016

El Sec e a io del T ibunal
ii
A mi amilia, po ese apoyo
incondicional que ep esen an.
A mis amigos, po hace el la go
camino mucho más ameno.
A mis maes os, en especial a mi
u o Miguel Pé ez-Sabo id po su
implicación y apoyo en es e
p oyec o.
A odos los que hicie on es o
posible, muchas g acias.
ix
Resumen
El obje i o de es e p oyec o es la implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el es udio de la
Ae odinámica no es aciona ia e incomp esible de alas. Las ecuaciones que igen el compo amien o de los
luidos no pe mi en la ob ención de una solución analí ica, po ello, deben se esuel as numé icamen e a pa i
de mé odos como el expues o en la p esen e memo ia.
La p incipal en aja que p esen a es e mé odo es que o ece la posibilidad de en ende la ísica del p oblema al
mismo iempo que se ob ienen esul ados pa a p oblemas eales, los cuales no se ían abo dables desde un
pun o de is a analí ico; po es a azón, esul a idóneo pa a su uso didác ico en las escuelas de ingenie ía. De
hecho, el mé odo Vo ex-La ice pa a el caso es aciona io es ampliamen e a ado en las clases de
Ae odinámica II de la Escuela Supe io de Ingenie ía de Se illa. En es e p oyec o, se p opone ex ende el
mé odo desde el caso es aciona io al no es aciona io.
Figu a 4-8. Compa ación geomé ica ala elíp ica y hexagonal 49
Figu a 4-9. Fo mas en plan a pa a dis in os es echamien os incluyendo ángulo de lecha 50
Figu a 4-10. Coe icien e de sus en ación incluyendo ángulo de lecha 50
Figu a 4-11. Coe icien e de sus en ación pa a di e en es ángulos de lecha 51
Figu a 4-12. Plano en el que es á con enida la componen e no mal de la elocidad que e cada pe il 51
Figu a 4-13. P oblema de Theodo sen 53
Figu a 4-14. Coe icien e de sus en ación pa a p oblema de Theodo sen con di e en es alo es de Λ 54
Figu a 5-1. Placa plana con dos g ados de libe ad ℎ,𝛼 56
Figu a 5-2. Placa ec angula lexible semiempo ada. Imagen adap ada de [5] 60
Figu a 5-3. Respues a pa a la elocidad de lameo 𝑈𝐹 del ala de ala gamien o Λ=100 67
Figu a 5-4. Respues a pa a una elocidad supe io a la de lameo 𝑈𝐹 del ala de ala gamien o Λ=100 67
Figu a 5-5. Respues a pa a una elocidad in e io a la de lameo 𝑈𝐹 del ala de ala gamien o Λ=100 68
Figu a 5-6. Respues a pa a 𝑈∞=0.55 pa a un ala de ala gamien o Λ=10 69
Figu a 5-7. E olución de 𝑈𝐹 en e al ala gamien o Λ 70
Figu a 5-8. E olución de 𝑈𝐹 en e al ala gamien o Λ según [5] 70
Figu a 5-9. Vis a de pe il de la ib ación de una placa lexible 71
Figu a 5-10. Vis a expe imen al de pe il de la ib ación de una placa lexible 72
Figu a 5-11. Resul ados del mé odo de in eg ación pa a ecuencias bajas 73
Figu a 5-12. Resul ados del mé odo de in eg ación pa a ecuencias al as 73
Figu a A-1. Segmen o 𝑃𝑄 78

1 INTRODUCCIÓN
a compleja maquina ia del mundo mode no no se ía posible sin el con enien e ap o echamien o que se
ha hecho his ó icamen e del lui del agua. No es casualidad que las p imi i as ci ilizaciones lo ecie an
a o illas de los g andes íos: el Nilo, el Tig is, el Éu a es… y es que ap ende a con ola y di igi el
cu so del agua ha sido un ing edien e c i ico en el desa ollo de las g andes ci ilizaciones. Pa a pode
p ospe a , cada sociedad u o que desa olla medios pa a manipula , con ola y dis ibui las co ien es de
agua.
Po an o, mucho an es de que New on es ablecie a sus p incipios pa a la Mecánica Clásica, la humanidad u o
que adqui i un conocimien o de las ca ac e ís icas undamen ales de algunos luidos y ap ende a
manipula los, es deci , u o la necesidad de comenza a es udia la ‘Mecánica de Fluidos’. Es o signi ica que
al p incipio, es a disciplina ue algo plenamen e expe imen al y ue conocida como ‘Hid áulica’ debido a su
p eocupación cen al: el agua.
El a ance en la comp ensión del compo amien o de los luidos ue muy len o y la ausencia de una e dade a
eo ía sob e el compo amien o de los luidos y, sob e odo, de las ma emá icas y ecuaciones que desc ibie an
ese compo amien o, hizo que nues o conocimien o ue a eminen emen e cuali a i o. La di icul ad en a anza
hacia conocimien os más p ecisos u ilizando es os p ocedimien os y sin un apa a o eó ico más a anzado
p o ocó inalmen e un es ancamien o en casi odo lo elacionado con el conocimien o de los luidos.
No ue has a Leona do da Vinci cuando se comenzó a a aca el p oblema desde un pun o de is a más
cien í ico. El i aliano lle ó a cabo nume osos expe imen os sob e el lujo de agua y ai e al ededo de obje os, y
documen ó sus descub imien os en de allados diag amas.
L
“Las ma emá icas son el lenguaje en el que Dios ha
esc i o el Uni e so”
- Galileo Galilei -
In oducción
2
Figu a 1-1. Diag ama de Tu bulencia ealizado po Leona do da Vinci.
En la época de Leona do da Vinci, la Física aún no eque ía de un ins umen o ma emá ico pa a su es udio, ue
con Galileo Galilei cuando dicha elación comenzó a lle a se a cabo. De es e modo, una nue a eo ía de
luidos su gió: ‘La Hid odinámica’. Fue on dos de los discípulos de Galileo, Benede o Cas elli y E angelis a
To icelli, los p ime os en es ablece las bases de es a nue a disciplina que esul aba la con apa ida eó ica de
la hid áulica.
El p oblema p incipal de es a nue a eo ía adicaba en la complejidad del compo amien o de los luidos, lo
cual supuso que la hid odinámica solo uese ú il en casos muy conc e os, ue a de ellos las p edicciones no
gua daban elación alguna con el compo amien o eal. La limi ación se encon aba en el ins umen o
ma emá ico del que se disponía, hizo al a el desa ollo del cálculo in ini esimal pa a pode lle a a cabo una
adecuada desc ipción del compo amien o de los luidos que se ía ideada pa alelamen e po Isaac New on y
Go ied Leibniz.
G acias a la pode osa he amien a del cálculo in ini esimal pudo p oduci se el mayo sal o en nues a
comp ensión de la Mecánica de Fluidos, lle ado a cabo po Leonha d Eule : el desa ollo de unas
ecuaciones en de i adas pa ciales que se c eía que pe mi i ían desc ibi y p edeci de o ma eó ica el
compo amien o gene al de cualquie luido. Sin emba go, es as ecuaciones sólo unciona on en algunos casos
lle ando en ocasiones a con adicciones an conocidas como la Pa adoja de D’Alembe . Po es a azón, la
hid odinámica quedó elegada al pues o de me a cu iosidad eó ica ya que los ingenie os seguían ob eniendo
esul ados mucho mejo es acudiendo a mé odos empí icos an es que a las ecuaciones de Eule .
Se había pe dido una ba alla, pe o la hid odinámica enía aún mucha gue a po da y es que en el siglo XIX,
acudie on al esca e el inglés Si Geo ge S okes y el ancés Claude-Louis Na ie , quienes es ablecie on en
1822 unas nue as ecuaciones que desc ibían adecuadamen e el compo amien o de los luidos. Desde
en onces, el es udio de la Mecánica de Fluidos no ol ió a se igual, el es udio eó ico p edecía co ec amen e
las obse aciones expe imen ales, pasando de se una me a cu iosidad a alcanza el pues o que ocupa
ac ualmen e: una pode osa he amien a sin la cual no se íamos capaces de maneja la compleja maquina ia de
la que se habló al p incipio.
La di e encia en e ‘hid áulica’ e ‘hid odinámica’ comenzó a desapa ece y se o mó lo que se conoce como
‘Mecánica de Fluidos’. Es deci , desde mediados del siglo XIX los ingenie os comienzan a u iliza más las
ecuaciones di e enciales y es en el siglo XX donde se encuen a un nue o obs áculo, las ma emá icas nos
daban una desc ipción muy buena de la ealidad, pe o en muchos de los casos es a desc ipción p esen aba un
compo amien o caó ico, es deci , p ác icamen e imposible de calcula con exac i ud pa a iempos
ela i amen e alejados del ac ual. Las ma emá icas nos o ecían el modo en que uncionaban los luidos, pe o
nues a capacidad de cálculo no alcanzaba a hace en e a la complejidad de es as ecuaciones di e enciales.
3
3
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
Si se ha comen ado que en el siglo XIX el esca e ue lle ado a cabo po Na ie y S okes, en nues o siglo el
esca e lo ha ealizado la in o má ica, y es que sin la po encia de cálculo que nos o ecen los p og amas
in o má icos, end íamos las ecuaciones que gobie nan a los luidos, pe o se íamos incapaces de esol e las
pa a da luga a p edicciones p ecisas del compo amien o eal.
Den o de la Mecánica de Fluidos se encuen a la ama de la ‘Ae odinámica’, que esul a de especial in e és
pa a los ingenie os ae oespaciales, ya que nos pe mi e comp ende las in e acciones que el lujo del ai e ealiza
sob e la geome ía de una ae ona e, pe mi iendo que el uelo con olado sea posible. Sin emba go, las
ecuaciones que desc iben co ec amen e el lujo del ai e son como ya se ha dicho an e io men e especialmen e
di íciles de esol e , es po ello, que es necesa ia la implemen ación de un mé odo numé ico pa a la ob ención
de p edicciones p ecisas de la ealidad.
La di icul ad en la esolución de dichas ecuaciones ep esen a un p oblema no sólo en el ámbi o ingenie il,
sino ambién en el didác ico, pues o que a la ho a de enseña es a disciplina los p oblemas abo dables en clase
suelen se demasiado a i iciales buscando el pode ob ene una solución analí ica. Es a a i icialidad da como
esul ado pocas aplicaciones p ác icas de las soluciones ob enidas, sin emba go, con el desa ollo in o má ico
expe imen ado en los úl imos años, es posible abo da si uaciones más eales median e el uso de mé odos
numé icos implemen ados en clase, lo cual o ece al alumno la posibilidad de en ende la ísica del p oblema y
al mismo iempo ob ene soluciones que concue dan con bas an e ap oximación con los hechos
expe imen ales, y odo es o sin necesidad de una excesi a manipulación analí ica de las exp esiones
algeb aicas que igen el compo amien o de los luidos.
Po an o, el obje i o de es e T abajo Fin de G ado es doble: po un lado demos a que la po encia de los
mé odos numé icos ienen hoy en día una impo ancia i al en el ámbi o de la ingenie ía y po o o lado, que
dicha po encia puede se ampliamen e ap o echada pa a enseña a los u u os ingenie os cual es la ealidad del
compo amien o de los luidos. Pa a ello, se a a ex apola el mé odo Vo ex-La ice desa ollado en las clases
de Ae odinámica II de la Escuela Supe io de Ingenie ía de Se illa desde el caso es aciona io al no
es aciona io e incomp esible.
1.1 Ae odinámica no es aciona ia
Den o de la disciplina de la Ae odinámica, hay que dis ingui una ama de g an in e és p ác ico: la
Ae odinámica Po encial. La Ae odinámica po encial es la pa e de la Ae odinámica que es udia el lujo de
gases al ededo de obje os uselados desp eciando los es ue zos de iscosidad, ya que en los casos pa a los que
se aplica, és os se encuen an con inados en egiones muy es echas del dominio luido.
En las escuelas de Ingenie ía se suele comenza es udiando la Ae odinámica po encial pa a el caso
es aciona io, es o es así po que se pueden elimina é minos de a iación con el iempo en las ecuaciones de
Na ie -S okes lo cual simpli ica eno memen e el es udio y comp esión de los enómenos ae odinámicos. Sin
emba go, el ene en cuen a los é minos de a iación con el iempo nos o ece la posibilidad de ob ene
esul ados de g an in e és pa a la ingenie ía.
G acias a un es udio de la Ae odinámica no es aciona ia, se puede da explicación a enómenos como el uelo
de insec os, el uncionamien o de las cue das ocales e incluso p e eni e ec os pe judiciales pa a las
es uc u as que se en some idas a ca gas ocasionadas po á agas de ien o, como puede ocu i le a puen es,
edi icios y po supues o, a ae ona es. Poniendo especial in e és en la aplicación al campo de la Ae onáu ica,
ci a que el es udio de la Ae odinámica no es aciona ia nos p opo ciona la posibilidad de comp ende y
ad e i los enómenos del lameo y la di e gencia a los que pueden e se some idos los elemen os
es uc u ales de un ae ona e.
El enómeno del lameo apa ece cuando un sis ema mecánico comienza a oscila sin p esen a
amo iguamien o en espues a a una co ien e luida. En gene al, a mayo elocidad de la co ien e inciden e,
más a da en amo igua se la espues a, has a que se alcanza un pun o al que és a no llega a amo igua se
nunca y se man iene en una oscilación a mónica. En es a si uación, el sis ema mecánico es á ex ayendo
ene gía del luido, la can idad de ene gía ex aída es igual a la que se disipa po el amo iguamien o del
sis ema. Es e enómeno se puede obse a en una bande a ondeando (po ello, un sinónimo de ondea es
lamea ), además, ambién puede apa ece en de e minados momen os pa a el ala de un ae ona e o incluso en
puen es en los que no se haya enido especial cuidado en e i a que puedan alcanza se las ecuencias de
In oducción
4
esonancia, como ocu ió en el puen e de Tacoma-Na ows en 1940.
Figu a 1-2. Puen e de Tacoma-Na ows lameando.
Una de las aplicaciones más impo an es que end á el mé odo Vo ex-La ice que se busca implemen a , se á
la p edicción de las elocidades de lameo con el obje i o de p e eni la apa ición de dichos enómenos an
des a o ables pa a la es uc u a.
1.2 Obje i os y es uc u a del abajo
Po odo lo explicado an e io men e, los obje i os p opues os pa a el p esen e TFG son los siguien es:
 Expone la base eó ica sob e la que se undamen a el mé odo Vo ex-La ice que se busca
implemen a pa a el caso pa icula de Ae odinámica no es aciona ia e incomp esible de un ala.
 Ex ende con la ayuda del mé odo Ka z-Plo kin explicado en la e e encia [9] y [3] el p og ama
implemen ado en las clases de Ae odinámica II desde el caso es aciona io al no es aciona io.
 Ob ene con la ayuda del p og ama esul ados pa a alas con di e en es geome ías ealizando
compa aciones en e ellas y el caso 2D ya es udiado en [3] incluyendo una in e p e ación ísica de los
esul ados.
 Expone una aplicación del mé odo Vo ex-La ice sob e alas en égimen no es aciona io, en es e
caso, se á el lameo de una placa an e una co ien e inciden e.
Con es os obje i os po cumpli , el abajo se es uc u a á en cinco capí ulos más además del p esen e y un
anexo.
En el siguien e capí ulo se an a expone los undamen os eó icos sob e los que se basa el mé odo Vo ex-
La ice a implemen a . Seguidamen e, se explica á en qué cons a dicho mé odo en el capí ulo 3, además, se
inclui á el código Ma Lab ealizado pa a la implemen ación. En el capí ulo 4, se analiza án los esul ados a los
que puede llega se median e la ejecución del p og ama Ma Lab desa ollado en el capí ulo 3 y as es o, se
es udia á el lameo de un ala ini a como aplicación di ec a del mé odo en el capí ulo 5. Finalmen e, se ce a á
la memo ia con un úl imo capí ulo que inclui á una se ie de conclusiones inales.
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
l obje i o del p esen e capí ulo es el de expone los undamen os eó icos necesa ios pa a el desa ollo
del mé odo Vo ex-La ice. Con el mé odo se busca ob ene las in e acciones que se p oducen en e un
ala y el luido en el que se halla inme sa cuando ambos se mue en a elocidades di e en es. Es o es, la
ue za 𝑭𝑓𝑠y el momen o 𝑴𝑓𝑠 que el luido eje ce sob e el ala.
La in eg ación sob e la supe icie del ala de los es ue zos gene ados po el luido nos da án las exp esiones
pa a dichas in e acciones, dichos es ue zos se pueden ob ene con g an p ecisión g acias a las ecuaciones de
Na ie -S okes, lo que hace posible exp esa en o ma de ecuaciones uno de los p incipales obje i os de
nues o mé odo: el cálculo ap oximado de las siguien es in eg ales de supe icie
𝑭𝑓𝑠=∫∫ (𝑝−𝑝∞)(−𝒏𝑠)𝑑𝜎
Σ𝑎𝑙𝑎 +∫∫ 𝒏𝑠⋅𝝉′𝑑𝜎
Σ𝑎𝑙𝑎
𝑴𝑓𝑠=∫∫ (𝒙−𝒙0)×(𝑝−𝑝∞)(−𝒏𝑠)𝑑𝜎
Σ𝑎𝑙𝑎 +∫∫ (𝒙−𝒙0)×(𝒏𝑠⋅𝝉′)𝑑𝜎
Σ𝑎𝑙𝑎
(2–1)
donde 𝑝 es la p esión, 𝑝∞ es la p esión de e e encia, 𝒏𝑠 es el ec o no mal ex e io al sólido,
𝝉′=2𝜇𝜸+𝑰(𝜇𝑣−2
3𝜇)∇⋅𝐯
(2–2)
es el enso de es ue zos que, pa a un luido New oniano es á dado po la ley de Na ie -S okes y 𝒙0 es el
ec o posición del pun o espec o al que omamos momen os. No en a emos en más de alle sob e el enso de
es ue zos pues o que se á desp eciado pa a nues as ap oximaciones y no se á obje o de es udio, pa a una
explicación de allada de és e, se puede acudi a la e e encia [2].
Una ez hayamos calculado la ue za que el luido eje ce sob e el sólido, podemos descompone dicha ue za
en dos componen es: sus en ación y esis encia ae odinámica.
Pa a ello, amos a hace p e iamen e la elección del sis ema de coo denadas. El sis ema de coo denadas que
omemos se á de coo denadas ca esianas y lo conside a emos ine cial, dado po las coo denadas (x, y, z). Su
o igen se encon a á en el bo de de a aque del pe il cen al, la di ección x es a á dada según la di ección de la
co ien e inciden e, la di ección y según la di ección de la en e gadu a y la di ección z comple a á el ied o a
de echas. Es e sis ema de e e encia iaja con el ala a elocidad cons an e 𝑈∞,pe o el ala no se encuen a
E
“La e dad es demasiado complicada como pa a
pe mi i nada más allá de me as ap oximaciones”
- John Von Neumann -

Fundamen os eó icos
6
ijada a él, pues o que el es udio de los enómenos no es aciona ios se ealiza á median e cambios en las
posiciones que ocupa la supe icie ala con espec o a es e sis ema de e e encia.
Figu a 2-1. Ejes ca esianos elegidos sob e la supe icie del ala.
Es os ejes ca esianos ienen de base o ono mal los ec o es (𝒙
,𝒚
,𝒛) en las di ecciones x, y, z
espec i amen e.
De es e modo, puede de ini se la sus en ación y la esis encia ae odinámica como:
𝐷=𝑭𝑓𝑠⋅𝒙
 ; 𝐿=𝑭𝑓𝑠⋅𝒛
(2–3)
Los alo es L y D suelen calcula se a a és de los coe icien es adimensionales de la esis encia y la
sus en ación ae odinámica que se de inen, espec i amen e, como
𝐶𝐷=𝐷
1
2𝜌∞𝑈∞
2𝐴 ; 𝐶𝐿=𝐿
1
2𝜌∞𝑈∞
2𝐴
(2–4)
donde 𝜌∞ es la densidad del ai e lejos del ala, 𝑈∞ es la elocidad ela i a de la ae ona e con espec o al medio
en el que se desplaza y 𝐴 ep esen a una de las á eas ca ac e ís icas, pa a nues o caso pa icula de un ala,
suele se el á ea o al de dicha ala.
Dicho es o, es amos en condiciones de abo da nues o p oblema:
 En p ime luga , p esen a emos las ecuaciones gene ales de Na ie -S okes en el apa ado 2.1.
 En el apa ado 2.2, simpli ica emos es as ecuaciones pa a hace posible la esolución del p oblema.
 Pos e io men e, in oduci emos algunas de iniciones que nos lle a án al Teo ema de Bje kness-
Kel in, lo cual implica necesa iamen e es conclusiones de i al impo ancia que se án analizadas
de alladamen e.
 En el apa ado 2.4, se in oduci á la hipó esis de pequeñas pe u baciones sob e el lujo de la co ien e
inciden e po pa e del ala y se saca án las conclusiones de oma es a suposición.
 En el apa ado 2.5, se simpli ica án las condiciones de con o no in oducidas en el apa ado 2.1 y se
impond án nue as que nos ayuden a ce a el sis ema de ecuaciones del p oblema simpli icado.
 Finalmen e, se ha á una descomposición del p oblema pa a des aca que el obje i o de es a memo ia
es cen a se p incipalmen e en los enómenos no es aciona ios.
x
y
z
𝑼∞
7
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
2.1 Ecuaciones de Na ie -S okes
Pa a pode ealiza las in eg ales 2-1 y calcula así los coe icien es 𝐶𝐿 y 𝐶𝐷 hay que conoce p e iamen e los
alo es de la p esión y del enso de es ue zos sob e la supe icie del ala. Pa a ello, enemos que esol e las
ecuaciones de Na ie -S okes demos adas en la e e encia [2] suje as a unas de e minadas condiciones de
con o no. El p oblema comple o a esol e podemos encon a lo enunciado en 2-5, 2-6 y 2-7 a pa i de [8]:
Las ecuaciones de con inuidad, can idad de mo imien o y de la ene gía que o man el sis ema no lineal de
ecuaciones en de i adas pa ciales de Na ie -S okes:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+∇⋅(𝜌𝒗)=0
𝜌𝜕𝒗
𝜕𝑡+𝜌𝒗⋅∇𝒗=−∇𝑝+∇⋅𝝉′+𝜌𝒇𝑚
𝜌𝑐𝑣𝜕𝑇
𝜕𝑡+𝜌𝑐𝑣𝒗⋅∇𝑇=−𝑝∇⋅𝒗+𝝉′:∇𝒗+𝑄𝑟+𝑄𝑞+∇⋅(𝑘∇𝑇)
(2–5)
donde 𝜌,𝑝,𝑇,𝒗 son los campos de densidad, p esión, empe a u a y elocidad espec i amen e y 𝑡 deno a el
iempo, 𝒇𝑚 es el ec o de ue zas másicas, 𝑐𝑣 es la capacidad calo í ica del gas a olumen cons an e, 𝑘 es su
conduc i idad é mica, 𝝉′:∇𝒗>0 es el é mino de disipación de ene gía ciné ica en ene gía in e na y 𝑄𝑟 y 𝑄𝑞
son las po encias calo í icas que, po unidad de olumen, ecibe el luido po adiación y po eacción química
espec i amen e.
S 𝒙∈Σ𝑎𝑙𝑎: 𝒗=0
𝑇=𝑇𝑎𝑙𝑎
𝑘𝜕𝑇
𝜕𝑛𝑎𝑙𝑎1=𝑘𝑎𝑙𝑎𝜕𝑇𝑎𝑙𝑎
𝜕𝑛𝑎𝑙𝑎
(2–6)
Si 𝒙→∞: 𝒗=𝑈∞𝒙

𝑝−𝑝∞=0
𝑇−𝑇∞=0
(2–7)
Es e sis ema de cinco ecuaciones y seis incógni as (𝒗,𝜌,𝑝,𝑇) ha de se complemen ado con la ecuación de
es ado de los gases pe ec os:
𝑝
𝜌=𝑅𝑔𝑇
(2–8)
Puede pa ece que necesi emos una ecuación adicional pa a calcula 𝑇𝑎𝑙𝑎, sin emba go, el cálculo ap oximado
de las in eg ales en 2-1 es independien e del lujo de calo a a és de las pa edes del sólido, al y como se
demues a en [8].
Nos queda aún po impone condiciones iniciales a nues o p oblema, és as las impond emos pa a cada
p oblema pa icula que esol e emos una ez hayamos implemen ado el mé odo numé ico pa a la esolución
del p oblema.
1
𝑛𝑎𝑙𝑎 es el ec o no mal ex e io a la supe icie del ala.
Fundamen os eó icos
8
2.2 Ecuaciones simpli icadas
Pa a comenza , con iene eco da que nues o p oblema obje o de es udio se iba a es ingi al caso
incomp esible, el cual impone que Δ𝜌/𝜌 ≪1.
Si pa imos de la ecuación de es ado 2-8, podemos lle a a cabo el siguien e desa ollo:
ln(𝑝
𝜌)=ln(𝑅𝑔𝑇)
ln𝑝−ln𝜌=ln𝑅𝑔+ln𝑇
𝑑(ln𝑝−ln𝜌)=𝑑(ln𝑅𝑔+ln𝑇)
𝑑𝑝
𝑝−𝑑𝜌
𝜌=𝑑𝑇
𝑇
Δ𝑝
𝑝−Δ𝜌
𝜌~Δ𝑇
𝑇
Si suponemos aho a lujo incomp esible Δ𝜌/𝜌 ≪1, pa a Δ𝑇/𝑇 ≪1:
Δ𝜌
𝜌~Δ𝑝
𝑝~𝜌𝑈∞
2
𝑝=𝛾𝜌𝑈∞
2
𝛾𝑝 =𝛾𝑈∞
2
𝑎∞
2=𝛾𝑀∞
2~𝑀∞
2
Po an o, la condición pa a que el lujo sea incomp esible puede impone se como 𝑀∞
2≪1.
Una ez hemos supues o que el lujo es incomp esible, la ecuación de con inuidad puede simpli ica se:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+∇⋅(𝜌𝒗)=0 → ∇⋅𝒗=0
Con es a nue a ecuación, el é mino de la iscosidad que apa ecía en la ecuación de can idad de mo imien o
del sis ema de Na ie -S okes ambién puede simpli ica se:
∇⋅𝝉′=∇⋅(2𝜇𝜸+𝑰(𝜇𝑣−2
3𝜇)∇⋅𝐯)=𝜇∇2𝒗
Dejando a un lado po aho a la ecuación de la ene gía, y suponiendo que an o 𝜇 como 𝜌 son cons an es, el
sis ema de ecuaciones que nos queda es el siguien e:
∇⋅𝒗=0
𝜌(𝜕𝒗
𝜕𝑡+𝒗⋅∇𝒗)=−∇𝑝+𝜇∇2𝒗+𝜌𝒇𝑚
(2–9)
El p ime paso pa a simpli ica es as ecuaciones es adimensiona las de iniendo p e iamen e algunas
magni udes ca ac e ís icas:
 𝑐𝑟: Longi ud ca ac e ís ica, cue da en el pe il cen al del ala.
 𝑈∞: Velocidad ca ac e ís ica.
 𝑇𝑐: Tiempo ca ac e ís ico.
 𝑝0: P esión ca ac e ís ica.
 𝑓0: Fue za másica ca ac e ís ica.
De es e modo, pueden de ini se las siguien es a iables adimensionales:
9
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
𝑥∗=𝑥
𝑐𝑟, 𝑦∗=𝑦
𝑐𝑟, 𝑧∗=𝑧
𝑐𝑟
𝒗∗=𝒗
𝑈∞
𝑡∗=𝑡
𝑇𝑐
𝑝∗=𝑝
𝑝0
𝒇∗=𝒇𝒎
𝑓0
(2–10)
In oduciendo (2-10) en (2-9), nos queda:
∇⋅𝒗∗=0
𝑐𝑟
𝑈∞𝑇𝑐𝜕𝒗∗
𝜕𝑡 +𝒗∗⋅∇𝒗∗=−(𝑝0
𝜌𝑈∞
2)∇𝑝∗+( 𝜇
𝜌𝑈∞𝑐𝑟)∇2𝒗∗+(𝑐𝑟𝑓0
𝑈∞
2)𝒇∗
(2–11)
De inimos los siguien es núme os adimensionales:
𝑆𝑡=𝑐𝑟
𝑈∞𝑇𝑐
𝐹𝑟=𝑈∞
√𝑐𝑟𝑓0
𝐸𝑢=𝑝0
𝜌𝑈∞
2
𝑅𝑒=𝜌𝑈∞
2𝑐𝑟
𝜇
(2–12)
donde:
 𝑆𝑡 es el núme o de S ouhal que ma ca cuando un p oceso es es aciona io o cuasi-es aciona io, pa a
ello se compa a la a iación empo al de la elocidad con el é mino con ec i o
2
,
𝑂(𝜌𝜕𝒗
𝜕𝑡)
𝑂(𝜌𝒗⋅∇𝒗)~𝜌𝑈∞
𝑇𝑐
𝜌𝑈∞𝑈∞
𝑐𝑟=𝑐𝑟
𝑈∞𝑇𝑐=𝑆𝑡
 𝐹𝑟 es el núme o de F oude que apa ece cuando se plan ea la impo ancia de las ue zas másicas en e
a las con ec i as,
𝑂(𝜌𝒗⋅∇𝒗)
𝑂(𝜌𝒇𝑚)~𝜌𝑈∞𝑈∞
𝑐𝑟
𝜌𝑓0=𝑈∞
2
𝑐𝑟𝑓0=𝐹𝑟2
 𝐸𝑢 es el núme o de Eule y ep esen a la elación en e las ue zas de p esión y el é mino con ec i o:
𝑂(∇𝑝)
𝑂(𝜌𝒗⋅∇𝒗)~𝑝0
𝑐𝑟
𝜌𝑈∞𝑈∞
𝑐𝑟=𝑝0
𝜌𝑈∞
2=𝐸𝑢
2
El é mino con ec i o de la ecuación de can idad de mo imien o es 𝜌𝒗⋅∇𝒗 y ep esen a la a iación de la elocidad debido al cambio en
la posición que ocupa una pa ícula luida.
Fundamen os eó icos
16
po encial de pe u bación:
𝜕𝜙
𝜕𝑡+((𝑈∞+𝑣𝑥′)2+𝑣𝑦′2+𝑣𝑧′2)
2+𝑝
𝜌∞=𝜕𝜙∞
𝜕𝑡 +𝑈∞2
2+𝑝∞
𝜌∞
eniendo en cuen a que (𝑈∞+𝑣𝑥′)2+𝑣𝑦′2+𝑣𝑧′2≅𝑈∞
2+2𝑈∞𝑣𝑥:
𝜕𝜙
𝜕𝑡+𝑈∞
2+2𝑈∞𝑣𝑥
2+𝑝
𝜌∞=𝜕𝜙∞
𝜕𝑡 +𝑈∞2
2+𝑝∞
𝜌∞
𝑝′=−𝜌∞(𝜕
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕
𝜕𝑥)𝜙′
(2–27)
2.5 Condiciones de Con o no
En el apa ado 2.1 se adelan a on las condiciones de con o no del p oblema gene al pa a esol e las
ecuaciones de Na ie -S okes, sin emba go, hemos ealizado di e en es simpli icaciones en es as ecuaciones
que equie en una e o mulación de las condiciones de con o no 2-6 y 2-7 ya o muladas.
Pa a nues o p oblema, supond emos un ala dada po las supe icies 𝑧=𝑧𝑒(𝑋,𝑌,𝑡) y 𝑧=𝑧𝑖(𝑋,𝑌,𝑡) pa a
ex adós e in adós espec i amen e, con (𝑋,𝑌) siendo las coo denadas de los ejes ine ciales.
Como se concluyó en el apa ado 2.3, en es e ala po se ini a, apa ece una es ela de o bellinos donde exis e
un g adien e de elocidades muy g ande causado po los e ec os iscosos, es a zona se á supues a como una
supe icie de discon inuidad de espeso nulo. Además, se ha á la hipó esis de que el ángulo en e la es ela y el
ala es muy pequeño.
A la ho a de impone las condiciones de con o no, amos a e i a las impues as en empe a u a, pues o que no
es necesa io esol e el p oblema é mico pa a calcula 2-15.
De es e modo, las condiciones de con o no impues as son:
1. In ini o no pe u bado:
Como se ha comen ado que las condiciones impues as en empe a u a no se án enidas en cuen a, la
condición de con o no 2-5, se educe a impone condiciones pa a p esiones y elocidades pa a 𝒙→∞, sin
emba go, la exp esión 2-27 nos o ece una elación en e la pe u bación en p esiones y la pe u bación en
elocidades, y de ella se ex ae que si no hay pe u bación en elocidad, ampoco exis i á pe u bación en
p esión, po lo que, la condición 2-5 puede educi a una condición de con o no en elocidades pa a
𝒙→∞:
𝒙→∞, 𝒗→𝑼∞, 𝒗′→0
(2–28)
2. Condición pa a elocidades e icales en el ala:
Al igual que ocu e con 2-5, la ecuación 2-6 se educe ambién a impone una condición en elocidades
pa a 𝒙∈Σ𝑎𝑙𝑎. Como hemos desp eciado los e ec os iscosos, no hab á nada que ene a la elocidad
has a hace la ce o en la pa ed, es o ocu i á den o de la capa lími e que no es obje o de es udio en nues o
p oblema. Po an o, lo que se impond á pa a 𝒙∈Σ𝑎𝑙𝑎 se á que ya que el luido se desplaza con la
supe icie del ala, imponemos que el ala sea una supe icie luida lo cual implica, como se e á a
con inuación, una condición pa a las elocidades e icales del luido en el ala.
Sea la unción 𝐹𝑒,𝑖, que igualada a 0 nos da una exp esión implíci a de la supe icie ala :
𝐹𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝑧−𝑧𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑡)=0
(2–29)
siendo 𝐹𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=0 una supe icie luida, se cumple que los pun os (𝑥+𝑑𝑥,𝑦+𝑑𝑦,𝑧+𝑑𝑧)

17
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
pe enecen a la mima supe icie en 𝑡+𝑑𝑡, es deci , 𝐹𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝐹𝑒,𝑖(𝑥+𝑑𝑥,𝑦+𝑑𝑦,𝑧+𝑑𝑧,𝑡). Po
lo que:
𝑑𝐹𝑒,𝑖=𝐹𝑒,𝑖(𝑥+𝑑𝑥,𝑦+𝑑𝑦,𝑧+𝑑𝑧,𝑡)−𝐹𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=0
(2–30)
Desa ollando 2-30
𝑑𝐹𝑒,𝑖=𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑑𝑥+𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑑𝑦+𝜕𝐹
𝜕𝑧 𝑑𝑧+𝜕𝐹
𝜕𝑡 𝑑𝑡=0
(2–31)
La exp esión 2-32 es análoga a 2-33:
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑡+𝜕𝐹
𝜕𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑡+𝜕𝐹
𝜕𝑧𝑑𝑧
𝑑𝑡+𝜕𝐹
𝜕𝑡 =0
(2–32)
Sabiendo que:
𝒗=𝑑𝑥
𝑑𝑡𝒙
+𝑑𝑦
𝑑𝑡𝒚
+𝑑𝑧
𝑑𝑡𝒛=𝑣𝑥𝒙
+𝑣𝑦𝒚
+𝑣𝑧𝒛
(2–33)
Llegamos a:
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑣𝑥+𝜕𝐹
𝜕𝑦𝑣𝑦+𝜕𝐹
𝜕𝑧𝑣𝑧+𝜕𝐹
𝜕𝑡 =0
(2–34)
Incluyendo el cálculo de las de i adas pa a la supe icie luida
−𝜕𝑧𝑒,𝑖
𝜕𝑥 𝑣𝑥−𝜕𝑧𝑒,𝑖
𝜕𝑦 𝑣𝑦+𝑣𝑧+𝜕𝑧𝑒,𝑖
𝜕𝑡 =0
(2–35)
Y desa ollando las componen es de la elocidad 𝒗=(𝑈∞+𝑣𝑥′)𝒙
+𝑣𝑦′𝒚
+𝑣𝑧′𝒛:
−𝜕𝑧𝑒,𝑖
𝜕𝑥 𝑈∞−𝜕𝑧𝑒,𝑖
𝜕𝑥 𝑣𝑥′−𝜕𝑧𝑒,𝑖
𝜕𝑦 𝑣𝑦′+𝑣𝑧′+𝜕𝑧𝑒,𝑖
𝜕𝑡 =0
(2–36)
Finalmen e, desp eciando los é minos de o den supe io :
𝑣𝑧′(𝑥,𝑦,𝑧=𝑧𝑒,𝑖)=𝜕𝑧𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑡 +𝑈∞𝜕𝑧𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑥
(2–37)
Como el g oso de los pe iles del ala es muy pequeño en elación a la longi ud de cue da que ienen, se
puede e alua la condición 2-38 en 𝑧=0± en ez de en la supe icie eal del ala, con lo que inalmen e, la
condición pa a las elocidades e icales nos queda:
𝑣𝑧′(𝑥,𝑦,𝑧=0±,𝑡)=𝜕𝑧𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑡 +𝑈∞𝜕𝑧𝑒,𝑖(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑥
(2–38)
Has a aho a, hemos simpli icado las condiciones que se habían impues o en el apa ado 2.1, sin emba go, dado
que se ha incluido una nue a egión de discon inuidades –la es ela–, aho a hay que impone condiciones de
con o no en es a nue a egión:
3. Con inuidad en la es ela:
La conse ación de la masa (ecuación de con inuidad) debe cumpli se a a és de la es ela, es a condición
Fundamen os eó icos
18
queda impues a omando un olumen de con ol en o no a la es ela e igualando el gas o que sale al que
en a. Reco demos que el gas o se de inía como 𝐺=𝜌𝑣𝐴, siendo 𝜌 la densidad del luido, 𝑣 la elocidad
y 𝐴 la supe icie a a és de la cual quie e calcula se dicho gas o.
La aplicación de es a condición lle a a:
𝜌∞𝑣𝑧′(𝑥,𝑦,0−)𝐴=𝜌∞𝑣𝑧′(𝑥,𝑦,0+)𝐴
𝑣𝑧′(𝑥,𝑦,𝑧=0−)=𝑣𝑧′(𝑥,𝑦,𝑧=0+)
(2–39)
Con iene no a que la condición 2-40 se impone en 𝑧=0 ya que hemos supues o que el ángulo en e el
ala y la es ela e a p ác icamen e desp eciable.
4. Igualdad de p esiones en la es ela:
Dado que la es ela es una supe icie de discon inuidad que ca ece de masa, hay que impone la igualdad de
p esiones en e ex adós e in adós de la es ela
3
.
𝑝𝑒(𝑥,𝑦,𝑧=0+)=𝑝𝑖(𝑥,𝑦,𝑧=0−)
A pa i de 2-27, se llega a:
𝜌∞(𝜕
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕
𝜕𝑥)(𝜙𝑒′−𝜙𝑖′)=0
(2–40)
Es a exp esión se conoce como la condición de Ku a gene alizada, pues o que pa a el caso es aciona io
(𝜕/𝜕𝑡=0) puede obse a se que queda su exp esión más conocida: 𝑣𝑥𝑒
′=𝑣𝑥𝑖′.
Pa a e las implicaciones que iene es a exp esión, con iene pone la en é minos de la densidad de
ci culación. Pa a ello amos a ealiza un pequeño desa ollo ma emá ico:
Sea la cu a R o mada po los pun os ABCD de la igu a 2-4 lo su icien emen e ce cana a uno de los
pe iles del ala, de o ma que 𝜙(𝐵)=𝜙𝑒 y 𝜙(𝐶)=𝜙𝑖. Se cumple que si calculamos la ci culación
Γ(𝑡,𝑥,𝑦=𝑦0) pa a 𝑦=𝑦0 𝑐𝑡𝑒 análogamen e a como se hizo en la exp esión 2-24:
Γ(𝑡,𝑥,𝑦=𝑦0)=∮𝒗⋅𝑑𝒍=∮∇𝜙⋅𝑑𝒍=∮𝑑𝜙
𝑅=
𝑅𝑅 𝜙(𝐵)−𝜙(𝐶)=𝜙𝑒−𝜙𝑖=𝜙𝑒′−𝜙𝑖′
(2–41)
3
P es a especial a ención a que es a condición se impone en la es ela, no en el ala. En el ala, es a di e encia de p esiones es dis in a de ce o y
es p ecisamen e la que gene a sus en ación.
19
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
Figu a 2-4. Cu a ABCD sob e la que calculamos ci culación Γ(𝑡,𝑥,𝑦)
Si in oducimos 2-42 en 2-41:
𝜌∞(𝜕
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕
𝜕𝑥)Γ(𝑡,𝑥,𝑦)=0
(2–42)
La exp esión 2-41 implica que si un obse ado iaja con la co ien e inciden e 𝑈∞, siemp e e la misma
ci culación Γ, es deci , el alo de la ci culación Γ en 𝑥 pa a un ins an e se aslada has a el pun o
𝑥+𝑈∞𝑑𝑡 en un iempo 𝑑𝑡. Lo cual puede comp oba se sin más que obse a que la a iación que se
expe imen a ía en la ci culación en ese inc emen o de iempo 𝑑𝑡 es ce o:
Γ(𝑡+𝑑𝑡,𝑥+𝑈∞𝑑𝑡,𝑦)−Γ(𝑡,𝑥,𝑦)
𝑑𝑡 =𝜕Γ
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕Γ
𝜕𝑥=0
(2–43)
Es e hecho se á de suma impo ancia a la ho a de implemen a en el mé odo Vo ex-La ice la e olución
de la ci culación en la es ela, pues o que hemos comp obado que la ci culación calculada en 𝑥 pa a un
ins an e se á la misma que end emos en 𝑥+𝑈∞𝑑𝑡 pa a el ins an e 𝑡+𝑑𝑡.
5. Teo ema de Bje kness-Kel in
Una ez hemos impues o odas las condiciones de con o no is as, sólo queda ga an iza el cumplimien o
del eo ema de Bje kness-Kel in po pa e de nues a solución.
2.6 Descomposición del p oblema
Si se obse an la ecuación del po encial 2-25 y las condiciones de con o no, puede comp oba se que son
lineales, po lo que es posible aplica el p incipio de supe posición y sepa a el p oblema en dos: uno
es aciona io y o o no es aciona io, en e los que la única di e encia es á en la o ma de impone la condición
de impene abilidad.
El hecho de que la única di e encia es é en la o ma de impone la condición de impene abilidad, se debe a
que las ecuaciones que desc iben la geome ía del ala pueden descompone se en dos componen es, una
es aciona ia (E) y o a no es aciona ia (N):
𝑧𝑒,𝑖(𝑡,𝑥,𝑦)=𝑧𝑒,𝑖
𝐸(𝑥,𝑦)+𝑧𝑒,𝑖
𝑁(𝑡,𝑥,𝑦)
Fundamen os eó icos
20
El p oblema es aciona io puede descompone se a su ez en p oblema de espeso y cu a u a:
𝑧𝑒𝐸(𝑥,𝑦)=𝑧𝑚
𝐸(𝑥,𝑦)+𝑧𝑠𝐸(𝑥,𝑦)
𝑧𝑖𝐸(𝑥,𝑦)=𝑧𝑚
𝐸(𝑥,𝑦)−𝑧𝑠𝐸(𝑥,𝑦)
donde el p oblema de espeso es á deno ado po 𝑧𝑠𝐸 y no con ibuye a la sus en ación del pe il, la cual es
apo ada en su o alidad po el p oblema de cu a u a, que es á deno ado po 𝑧𝑚
𝐸.
Una descomposición simila puede hace se pa a el p oblema no es aciona io. Sin emba go, se a a supone
que pa a nues o p oblema, el espeso de los pe iles del ala no a ía con el iempo, es deci , se man ienen
cons an es; es o implica que el p oblema de espeso no incluye é minos no es aciona ios. Po an o, pa a
nues o p oblema no es aciona io sólo queda el p oblema de cu a u a que sí puede p esen a a iaciones en el
iempo: 𝑧𝑒𝑁(𝑡,𝑥,𝑦)=𝑧𝑝𝑁(𝑡,𝑥,𝑦)=𝑧𝑖𝑁(𝑡,𝑥,𝑦)
donde 𝑧𝑝 deno a el p oblema de cu a u a pa a el caso no es aciona io
A pa i de las exp esiones pa a desc ibi la geome ía del ala, podemos o mula las siguien es condiciones de
impene abilidad según es emos en el p oblema es aciona io o en el no es aciona io:
Es aciona io:
𝑣𝑧′𝐸(𝑥,𝑦,𝑧=0+)=𝑈∞𝜕𝑧𝑒𝐸(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
𝑣𝑧′𝐸(𝑥,𝑦,𝑧=0−)=𝑈∞𝜕𝑧𝑖𝐸(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
No es aciona io:
𝑣𝑧′𝑁(𝑡,𝑥,𝑦,𝑧=0+)=𝑣𝑧′𝑁(𝑡,𝑥,𝑦,𝑧=0−)=𝜕𝑧𝑝𝑁(𝑡,𝑥,𝑦)
𝜕𝑡 +𝑈∞𝜕𝑧𝑝𝑁(𝑡,𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
El p oblema es aciona io es ampliamen e abo dado en las clases de Ae odinámica II de la Escuela Supe io de
Ingenie ía de Se illa, po lo que en es a memo ia no se a a á. El obje i o de es e abajo es cen a se en la
esolución del p oblema no es aciona io, pa a lo cual se ex apola á el mé odo Vo ex-La ice es udiado en el
en clase pa a el p oblema es aciona io al p oblema no es aciona io.
3 MÉTODO VORTEX-LATTICE
na ez que hemos enunciado el p oblema obje o de es udio de es a memo ia, se a a p ocede a
explica el mé odo numé ico que se a a implemen a pa a la esolución del mismo. El obje i o de es e
capí ulo es p ecisamen e desa olla y jus i ica el mé odo numé ico Vo ex-La ice.
Es e mé odo es, como ya se ha comen ado, una adap ación del mé odo u ilizado en las clases de Ae odinámica
II (p oblema 3D es aciona io), omando de las e e encias [3] y [9] los elemen os necesa ios pa a su desa ollo.
Pa a lle a a cabo la explicación del mé odo, el capí ulo se es uc u a en:
 Un p ime apa ado donde se enuncia el p oblema no es aciona io plan eando odas las ecuaciones y
condiciones de con o no a las que se llegó en el capí ulo 2.
 Un segundo apa ado en el que se explica la analogía de nues o p oblema con el elec omagne ismo,
de donde se oma án esul ados que se án de i al impo ancia pa a la implemen ación del mé odo
Vo ex-La ice.
 En el e ce apa ado, se desa olla á en is a de los esul ados alcanzados en el apa ado 3.2 que la
solución pasa po lle a a cabo una combinación de hilos de o bellinos. En es e apa ado se de alla á
ambién qué combinación es la más adecuada pa a esos hilos de o bellinos p esen ando un mallado
pa a el ala y la es ela.
 Pos e io men e, en el apa ado 3.4 se ilus a á el p ocedimien o de esolución a segui a pa i de los
esul ados alcanzados en el apa ado 3.3.
 Finalmen e, se inclui á el código implemen ado en Ma Lab pa a la ejecución del mé odo Vo ex-
La ice.
U
“No bas a ene buen ingenio, lo p incipal es aplica lo
bien”.
- René Desca es -

Mé odo Vo ex-La ice
22
3.1 Ecuaciones del p oblema incomp ensible no es aciona io
Tal y como se ha is o a lo la go de odo el capí ulo 2, el p oblema no es aciona io pa a el caso incomp esible
es á de inido po las siguien es ecuaciones y condiciones de con o no:
 Las ecuaciones del p oblema en é minos del campo de elocidades de pe u bación
4
se exp esan:
∇⋅𝒗
󰇍
󰇍
=0
∇×𝒗
󰇍
󰇍
=0
(3–1)
También puede exp esa se en é minos del po encial de pe u bación, donde es la ecuación de Laplace
la que ige nues o p oblema:
∇2𝜙=0
(3–2)
siendo 𝒗
󰇍
󰇍
=∇𝜙 pues o que el campo de elocidades es conse a i o.
 Condición de in ini o no pe u bado:
𝒙→∞, 𝒗→𝟎
(3–3)
 Condición pa a elocidades e icales:
𝑤(𝑡,𝑥,𝑦,𝑧=0±)=𝜕𝑧𝑝(𝑡,𝑥,𝑦)
𝜕𝑡 +𝑈∞𝜕𝑧𝑝(𝑡,𝑥,𝑦)
𝜕𝑥 ,∀(𝑥,𝑦)∈Σ𝑎𝑙𝑎
(3–4)
 Con inuidad en la es ela:
𝑤(𝑡,𝑥,𝑦,𝑧=0+)=𝑤(𝑡,𝑥,𝑦,𝑧=0−); ∀(𝑥,𝑦)∈Σ𝑒𝑠𝑡𝑒𝑙𝑎
(3–5)
 Condición de Ku a gene alizada:
(𝜕
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕
𝜕𝑥)Γ(𝑡,𝑥,𝑦)=0
(3–6)
 Teo ema Bje kness-Kel in: La ci culación al ededo de cualquie línea luida ce ada se man iene
cons an e en el cu so del mo imien o.
4
Con el obje i o de acili a la no ación, se deno a aho a la elocidad de pe u bación como 𝒗 en luga de como 𝒗′, así mismo, las
componen es (𝑣𝑥′,𝑣𝑦′,𝑣𝑧′) pasan a deno a se po (𝑢,𝑣,𝑤).
23
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
3.2 Analogía con Elec omagne ismo
Pa a halla la solución a las ecuaciones 3-1, podemos acudi a soluciones ya halladas en p oblemas gobe nados
po la misma ecuación di e encial, como po ejemplo el campo magné ico gene ado po un cable po el que
ci cula una co ien e de in ensidad 𝐼.
A pa i de las ecuaciones de Maxwell, en conc e o, de la ley de Gauss pa a el campo magné ico, sabemos que:
∇⋅𝑩
󰇍
󰇍
=0, siendo 𝑩 el campo magné ico.
Po o o lado, la ley de Ampè e es ablece, al y como se enuncia en [10], que la ci culación del campo
magné ico pa a una cu a al ededo de dicho cable cumple:
∮𝑩
󰇍
󰇍
⋅𝑑𝒍 =𝜇0𝐼
(3–7)
Figu a 3-1. Ley de Ampè e I. Imagen ob enida de [10]
Po o o lado, pa a una cu a que no encie e al cable po el que ci cula la in ensidad I, se cumple:
∮𝑩
󰇍
󰇍
⋅𝑑𝒍 =0
(3–8)
Mé odo Vo ex-La ice
24
Figu a 3-2. Ley de Ampè e II. Imagen ob enida de [10]
A pa i de es e esul ado, se puede deduci que el campo magné ico cumple ∇×𝑩
󰇍
󰇍
=0 pa a odo pun o
ex e io al cable po el que ci cula la co ien e de in ensidad I:
Pa imos de: ∮𝑩
󰇍
󰇍
⋅𝑑𝒍 =0
Po el Teo ema de S okes, se cumple que pa a la supe icie ence ada po la cu a ce ada an e io :
∬∇×𝑩
󰇍
󰇍
=0
Si ex endemos a un di e encial de supe icie es a in eg al, llegamos a:
∇×𝑩
󰇍
󰇍
=0
(3–9)
Po an o, ob enemos que el campo magné ico ex e io al cable cumple las siguien es condiciones, que pueden
se elacionadas con el campo de elocidades de pe u bación de nues o p oblema:
∇⋅𝑩
󰇍
󰇍
=0 → ∇⋅𝒗
󰇍
󰇍
=0
∇×𝑩
󰇍
󰇍
=0 → ∇×𝒗
󰇍
󰇍
=0
(3–10)
Po es a azón, se puede de ini análogamen e un hilo de o bellinos con in ensidad 𝛤 que sus i uya al hilo de
co ien e con in ensidad I, de o ma que puede es ablece se ambién la siguien e analogía:
∮𝑩
󰇍
󰇍
⋅𝑑𝒍 =𝜇0𝐼 → Γ=∮𝒗
󰇍
󰇍
⋅𝑑𝒍
(3–11)
A pa i de la ley de Bio y Sa a , conocemos el campo magné ico gene ado po un hilo de co ien e eléc ica
y u ilizando 3-12, podemos es ablece una analogía que nos pe mi a calcula el campo de elocidades que
gene a ía un hilo de o bellinos:
25
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
 Ley de Bio y Sa a ob enida de [10]:
𝑩
󰇍
󰇍
(𝒓
󰇍
)=∫𝜇0𝐼
4𝜋
𝐶𝑑𝒍𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
×𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|3,𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 {∇⋅𝑩
󰇍
󰇍
=0
∇×𝑩
󰇍
󰇍
=0
(3–12)
 Analogía pa a campo de elocidades de la ley de Bio y Sa a :
𝒗
󰇍
󰇍
(𝒓
󰇍
)=∫ Γ
4𝜋
𝐶𝑑𝒍𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
×𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|3,𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 {∇⋅𝒗
󰇍
󰇍
=0
∇×𝒗
󰇍
󰇍
=0
(3–13)
3.3 Solución po combinación de hilos de o bellinos
De es e modo, hemos llegado a una exp esión que cumple 3-1, solo nos queda cumpli con las condiciones de
con o no, lo cual pod á lle a se a cabo median e una combinación de di e en es hilos de o bellinos epa idos
po la supe icie del ala y de la es ela, po an o, el campo de elocidades solución de nues o p oblema
cumple:
𝒗
󰇍
󰇍
(𝒓
󰇍
)=∑𝒗
󰇍
󰇍
𝑖(𝒓
󰇍
)
𝑖=∑∮Γi
4𝜋𝑑𝒍𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
×𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|3
𝑖
(3–14)
Nó ese que la in eg al es sob e una línea ce ada, es o se debe a que pa a pode cumpli con la condición de
Bje kness-Kel in, los hilos de o bellinos no deben comenza ni e mina en el dominio luido. Tomando hilos
de o bellinos ce ados y de in ensidad Γi cons an e, la condición de Bje kness-Kel in queda au omá icamen e
sa is echa según [9].
La solución 3-15 sa is ace además la condición de con o no es ablecida en 3-3, al y como se puede
comp oba : 𝒗
󰇍
󰇍
→0,|𝒓
󰇍
|→∞.
Si los hilos de o bellinos se colocan en el plano 𝑧=0, la condición 3-5 queda sa is echa ambién.
Po o o lado, si de inimos 𝑤𝑝 como:
𝑤𝑝(𝑡,𝑥,𝑦)=(𝜕
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕
𝜕𝑥)𝑧𝑝(𝑡,𝑥,𝑦)
(3–15)
en onces la condición pa a las elocidades e icales queda:
∑∮Γi
4𝜋𝑑𝒍𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
×𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|3
𝑖⌋𝑧=𝑤𝑝(𝑡,𝑥,𝑦); ∀(𝑥,𝑦)∈Σ𝑎𝑙𝑎
(3–16)
donde ∑∮Γi
4𝜋𝑑𝒍𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
×𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|𝒓
󰇍
−𝒓𝟎
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
|3
𝑖⌋𝑧deno a la componen e ‘z’ del campo de elocidades gene ado po la dis ibución
de hilos de o bellinos.
Po an o, nues o obje i o aho a es halla una dis ibución de hilos de o bellinos al que e i ique la ecuación
3-17 y la condición de Ku a gene alizada 3-6.
3.3.1 Mallado del ala e in oducción de hilos de o bellinos
El p ime paso a la ho a de ob ene la dis ibución de hilos de o bellinos que cumpla 3-17 y 3-6, es di idi en
paneles el ala y la es ela de o ma adecuada pa a pos e io men e in oduci dichos hilos. Así mismo, el iempo
de simulación se á di idido ambién en 𝑇 ins an es de iempo sepa ados 𝛥 , de o ma que los ins an es de
iempo 𝑘=1,…,𝑇 suceden cuando 𝑡𝑘 = (𝑘−1)𝛥𝑡.
En un ins an e 𝑘, hay 𝑀×𝑁 paneles en el ala y 𝑇×𝑁 paneles en la es ela. Como e emos más adelan e, los
M
Mé odo Vo ex-La ice
32
𝑃=𝑀×𝑁
Π=𝑃+1
𝜏=(𝑀+𝑇)×𝑁
(3–28)
El sis ema queda in oduciendo 3-29:
[𝑤11 ⋯ 𝑤𝑃1
⋮ ⋱ ⋮
𝑤1𝑃 ⋯ 𝑤𝑃𝑃][Γ1
⋮
Γ𝑃]=[𝑤𝑝1
⋮
𝑤𝑝𝑃]−[𝑤Π1 ⋯ 𝑤𝜏1
⋮ ⋱ ⋮
𝑤Π𝑃 ⋯ 𝑤𝜏𝑃][ΓΠ
⋮
Γ𝜏]
(3–29)
De iniendo las siguien es ma ices:
𝑨=[𝑤11 ⋯ 𝑤𝑃1
⋮ ⋱ ⋮
𝑤1𝑃 ⋯ 𝑤𝑃𝑃]
𝒙=[Γ1
⋮
Γ𝑃]
𝑾𝒑=[𝑤𝑝1
⋮
𝑤𝑝𝑃]
𝑩=[𝑤Π1 ⋯ 𝑤𝜏1
⋮ ⋱ ⋮
𝑤Π𝑃 ⋯ 𝑤𝜏𝑃]
𝒛=[ΓΠ
⋮
Γ𝜏]
(3–30)
Finalmen e, pa a esol e el p oblema no es aciona io pa a el caso incomp esible no enemos más que despeja
la ma iz x pa a los di e en es ins an es de simulación que omemos:
𝑨𝒙=𝑾𝒑−𝑩𝒛
(3–31)
𝒙=𝑨−𝟏(𝑾𝒑−𝑩𝒛)
(3–32)
3.4.2 Cálculo de 𝑪𝑳
Una ez que se ha ob enido la solución al sis ema 3-32, se iene el alo de la ci culación en odo el ala, pa a el
cálculo de 𝐶𝐿 u ilizando 2-15 necesi amos el alo de la p esión en odo el ala.
𝐶𝐿≅1
1
2𝜌∞𝑈∞
2𝐴𝒛⋅∫∫ (𝑝−𝑝∞)(−𝒏𝑠)𝑑𝜎
Σ𝑎𝑙𝑎
(2-15)
La exp esión 2-15 puede simpli ica se algo más eniendo en cuen a las simpli icaciones que si hicie on en los
apa ados 2.4, 2.5 y 2.6, pues o que el ala ha dejado de ene g oso es una supe icie que se ex iende en el
plano 𝑧=0, de es a o ma, podemos supone que 𝒛≅𝒏𝒔, po lo que:

33
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
𝐶𝐿≅1
1
2𝜌∞𝑈∞
2𝐴∫∫ (𝑝−𝑝∞)𝑑𝜎
Σ𝑎𝑙𝑎
(3–33)
Si se in eg a po la supe icie de ex adós e in adós y además se incluye la disc e ización hecha en el apa ado
3.3.1, el cálculo del coe icien e de sus en ación se educe a 3-35:
𝐶𝐿≅1
1
2𝜌∞𝑈∞
2𝐴∑∑Δ𝑝𝑖𝑗Δ𝑆𝑖𝑗
𝑗𝑖
(3–34)
donde Δ𝑝𝑖𝑗 es el sal o de p esiones en e ex adós e in adós que hay en cada panel y Δ𝑆𝑖𝑗 es la supe icie de
cada panel.
Po an o, se equie e el cálculo del sal o de p esiones en e ex adós e in adós a pa i del alo ob enido de la
ci culación pa a cada panel del ala. Pa a ello, u ilizamos 2-27 y 2-42 pa a llega a la siguien e exp esión:
Δ𝑝𝑖𝑗=𝜌∞(𝜕
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕
𝜕𝑥)Γ𝑖𝑗
(3–35)
Pa a el cálculo numé ico de las de i adas, se u ilizan las siguien es ap oximaciones:
𝜕Γ𝑖𝑗
𝜕𝑡 =Γ𝑖𝑗
𝑘−Γ𝑖𝑗
𝑘−1
Δ𝑡
𝜕Γ𝑖𝑗
𝜕𝑥 =Γij−Γi−1,j
ℎ𝑖𝑗
(3–36)
donde:
 Γ𝑖𝑗
𝑘 es la ci culación en el panel (𝑖,𝑗) pa a el ins an e de iempo 𝑘.
 Γ𝑖𝑗
𝑘−1 es la ci culación en el panel (𝑖,𝑗) pa a el ins an e de iempo 𝑘−1.
 Γ𝑖−1,𝑗
𝑘 es la ci culación en el panel (𝑖−1,𝑗) pa a el ins an e de iempo 𝑘.
 ℎ𝑖𝑗 es la cue da media del panel (𝑖,𝑗).
De es a o ma se implemen a el cálculo del coe icien e de sus en ación a pa i de la ci culación ob enida pa a
cada panel del ala.
3.5 Implemen ación en Ma Lab
Pa a la implemen ación en Ma Lab c eamos dos módulos p incipales que se ejecu a án den o del p og ama
‘VLa ice.m’.
El p ime o de los módulos se enca ga á de gene a las ma ices del sis ema que se man ienen cons an es a lo
la go de odo el iempo de simulación, es e módulo denominado ‘gen_ma .m’ se ejecu a á una ez al p incipio
de ‘VLa ice.m’ pa a ob ene las ma ices que se u iliza án du an e oda la simulación.
El segundo módulo calcula á pa a cada ins an e de iempo 𝑘 los alo es de la ci culación, p esión, sus en ación
y coe icien e de sus en ación. Se denomina á ‘ci c.m’ y se á ejecu ado en cada ins an e de simulación.
El código de cada módulo así como el del p og ama ‘VLa ice’ se encuen a desa ollado y explicado en los
siguien es apa ados.
Mé odo Vo ex-La ice
34
3.5.1 ‘gen_ma .m’
unc ion
[A,B,S,b,xg,yg,xcma ,hma ,bma ,Sp,Mn,Tau,inc_ ]=gen_ma (M,N,T, _ inal,U_in ,A
R,c ,E,psi)
%==========================================================================
%Función que gene a pa áme os in a iables en el iempo eque idos po el
%mé odo Vo ex-La ice.
%==========================================================================
%Va iables de en ada:
%M: Núme o de paneles en x
%N: Núme o de paneles en y
%T: Núme o de paneles en es ela = Núme o de ins an es de iempo a simula
% _ inal: Ins an e de iempo inal de la simulación
%U_in : Velocidad de la co ien e inciden e
%AR: Ala gamien o del ala
%c : Cue da en la aíz del ala
%E: Es echamien o del ala
%psi: Ángulo de lecha
%==========================================================================
%Va iables de salida:
%A: Ma iz A del sis ema de ecuaciones 3-32
%B: Ma iz B del sis ema de ecuaciones 3-32
%S: Supe icie del ala
%b: En e gadu a del ala
%xg: Ma iz con coo denada x pun o cen ado de cada panel
%yg: Ma iz con coo denada y pun o cen ado de cada panel
%hma : Ma iz con cue da media de cada panel
%bma : Ma iz con en e gadu a de cada panel
%Sp: Ma iz con supe icie de cada panel
%P: Pa áme o P de inido en 3-29
%Tau: Pa áme o Tau de inido en 3-29
%inc_ : Inc emen o de iempo en cada ins an e de simulación
%==========================================================================
%INICIO:
%Geome ía del ala
b = AR*c ;
S = b*c ;
c = E*c ;
%Mallado en :
inc_ = _ inal/(T-1);
%Mallado en y
y(1:(N+1)) = -b/2+((1:(N+1))-1)*b/N;
%Mallado en x
xa(1:(N+1)) = an(psi)*abs(y);
xs(1:(N+1)) = c +((b/2* an(psi)+c -c )/(b/2))*abs(y);
%Mallado en x e y:
x = ze os(M+1,N+1);
y = ze os(M+1,N+1);
o j=1:(N+1)
x (1:(M+1),j) = xa(j)+((1:(M+1))-1)*(xs(j)-xa(j))/M;
x ((M+2):(M+T+1),j) = xs(j)+(1:T)*U_in *inc_ ;
y (1:(M+T+1),j) = y(j);
end
35
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
%Vé ices 1, 2, 3, 4:
x1 = ze os(1,(M+T)*N); y1 = ze os(1,(M+T)*N);
x2 = ze os(1,(M+T)*N); y2 = ze os(1,(M+T)*N);
x3 = ze os(1,(M+T)*N); y3 = ze os(1,(M+T)*N);
x4 = ze os(1,(M+T)*N); y4 = ze os(1,(M+T)*N);
o i = 1:M+T
o j = 1:N
I = (i-1)*N+j;
x1(I) = x (i,j); y1(I)=y (i,j);
x2(I) = x (i,j+1); y2(I)=y (i,j+1);
x3(I) = x (i+1,j+1); y3(I)=y (i+1,j+1);
x4(I) = x (i+1,j); y4(I)=y (i+1,j);
end
end
%Vé ices A, B, C, D:
xA(1:(M+T)*N) = x1+(x4-x1)/4; yA(1:(M+T)*N)=y1;
xB(1:(M+T)*N) = x2+(x3-x2)/4; yB(1:(M+T)*N)=y2;
xC(1:(M+T-1)*N) = xB((N+1):(M+T)*N); yC(1:(M+T-1)*N)=yB((N+1):(M+T)*N);
xD(1:(M+T-1)*N) = xA((N+1):(M+T)*N); yD(1:(M+T-1)*N)=yA((N+1):(M+T)*N);
%In oducimos pun os C y D de la úl ima hile a:
xC(((M+T-1)*N+1):(M+T)*N) = xB(((M+T-1)*N+1):(M+T)*N)+U_in *inc_ ; yC(((M+T-
1)*N+1):(M+T)*N) = yB(((M+T-1)*N+1):(M+T)*N);
xD(((M+T-1)*N+1):(M+T)*N) = xA(((M+T-1)*N+1):(M+T)*N)+U_in *inc_ ; yD(((M+T-
1)*N+1):(M+T)*N) = yA(((M+T-1)*N+1):(M+T)*N);
%Pun o de colocación:
%Cue da media de cada panel:
h(1:(M+T)*N)=(x4+x3-x2-x1)/2;
%Coo denadas del pun o de colocación:
xc(1:(M+T)*N)=(x1+x2)/2+3/4*h;
yc(1:(M+T)*N)=(y2+y1)/2;
%In oducimos pa áme os pa a no ación en ma ices:
P=M*N;
Pi=P+1;
Tau=(M+T)*N;
%MATRIZ A
%Calculamos ac o es de in luencia pa a ma iz A
wIC=ze os(P,P);
o c=1:P %Reco emos en I el wIk
x =xc(c); y =yc(c);
[wAB_I(1:P)]=Bio Sa a
5
(x ,y ,xA(1:P),yA(1:P),xB(1:P),yB(1:P));
%Reco emos en k el wIk
[wBC_I(1:P)]=Bio Sa a (x ,y ,xB(1:P),yB(1:P),xC(1:P),yC(1:P));
[wCD_I(1:P)]=Bio Sa a (x ,y ,xC(1:P),yC(1:P),xD(1:P),yD(1:P));
[wDA_I(1:P)]=Bio Sa a (x ,y ,xD(1:P),yD(1:P),xA(1:P),yA(1:P));
wIC(c,1:P)=wAB_I(1:P)+wBC_I(1:P)+wCD_I(1:P)+wDA_I(1:P);
end
A=wIC;
%Ma iz B
%Calculamos ac o es de in luencia pa a ma iz A
wIC=ze os(P,Tau-P);
o c=1:P %Reco emos en I el wIk
5
La unción ‘Bio Sa a .m’ se encuen a explicada en Anexo A.
Mé odo Vo ex-La ice
36
x =xc(c); y =yc(c);
[wAB_I(1:Tau-
P)]=Bio Sa a (x ,y ,xA(Pi:Tau),yA(Pi:Tau),xB(Pi:Tau),yB(Pi:Tau));
%Reco emos en k el wIk
[wBC_I(1:Tau-
P)]=Bio Sa a (x ,y ,xB(Pi:Tau),yB(Pi:Tau),xC(Pi:Tau),yC(Pi:Tau));
[wCD_I(1:Tau-
P)]=Bio Sa a (x ,y ,xC(Pi:Tau),yC(Pi:Tau),xD(Pi:Tau),yD(Pi:Tau));
[wDA_I(1:Tau-
P)]=Bio Sa a (x ,y ,xD(Pi:Tau),yD(Pi:Tau),xA(Pi:Tau),yA(Pi:Tau));
wIC(c,1:Tau-P)=wAB_I(1:Tau-P)+wBC_I(1:Tau-P)+wCD_I(1:Tau-P)+wDA_I(1:Tau-
P);
end
B=wIC;
%Pasamos de I a (i,j)
xg=ze os(M,N);
yg=ze os(M,N);
Sp=ze os(M,N);
hma =ze os(M,N);
bma =ze os(M,N);
o i=1:M
o j=1:N
I=(i-1)*N+j;
%Implemen amos coo denadas de los pun os de cen ado:
xg(i,j)=(x1(I)+x2(I))/2+h(I)/4;
yg(i,j)=(y1(I)+y2(I))/2;
%Calculamos á eas de los paneles:
Sp(i,j)=((x4(I)-x1(I))+(x3(I)-x2(I))).*(y2(I)-y1(I))/2;
%Ma iz de cue da media de cada panel:
hma (i,j)=h(I);
%Ma iz de en e gadu a de cada panel:
bma (i,j)=(y2(I)+y3(I)-y4(I)-y1(I))/2;
end
end
37
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
3.5.2 ‘ci c.m’
unc ion
[x,Gamma,p,Lnum,cLnum]=ci c(Gamma_0,A,Wp,B,z,M,N, ho,inc_ ,U_in ,hma ,Sp)
%==========================================================================
%Función que calcula p esiones y ue zas ae odinámicas sob e el pe il a
%pa i de pa áme os especí icos de cada ins an e de iempo.
%==========================================================================
%Va iables de en ada:
%Gamma_0: Ma iz de ci culaciones en ala en ins an e k-1
%A: Ma iz A del sis ema de ecuaciones 3-32
%Wp: Ma iz Wp del sis ema de ecuaciones 3-32
%B: Ma iz B del sis ema de ecuaciones 3-32
%z: Vec o de ci culaciones en es ela pa a ins an e k
%M: Paneles en di ección x
%N: Paneles en di ección y
% ho: Densidad del ai e
%inc_ : Inc emen o del iempo en cada ins an e de simulación
%U_in : Velocidad de la co ien e inciden e
%hma : Ma iz de cue da media po panel
%Sp: Ma iz de supe icie po panel
%==========================================================================
%Va iables de salida:
%x: Vec o de ci culaciones po panel
%Gamma: Ma iz de ci culaciones en cada panel del ala
%p: Ma iz de di e encias de p esión en e ex adós e in adós po panel
%Lnum: Sus en ación en ins an e de iempo k
%cLnum: Coe icien e de sus en ación en ins an e de iempo k
x=A (Wp-B*z);
%Pasamos de I a (i,j)
o i=1:M
o j=1:N
I=(i-1)*N+j;
Gamma(i,j)=x(I,1);
end
end
%====================================================================
%CÁLCULO DE DENSIDADES DE CIRCULACIÓN
%====================================================================
%Empezamos calculando la densidad en odos los paneles excep o en los del
%bo de de a aque:
o i=2:M
o j=1:N
gamma(i,j)=(Gamma(i,j)-Gamma(i-1,j));
end
end
%Pa a los paneles del bo de de a aque:
o j=1:N
gamma(1,j)=Gamma(1,j);
end
gamma=gamma./hma ;
%====================================================================
%CÁLCULO SALTO PRESIONES
%====================================================================
p= ho*(Gamma-Gamma_0)/inc_ + ho*U_in *gamma;
%====================================================================
%CÁLCULO DE SUSTENTACIÓN Y cL

Mé odo Vo ex-La ice
38
%====================================================================
Lnum=sum(sum(Sp.*p));
S=sum(sum(Sp)); %Supe icie del ala comple a
cLnum=Lnum/(1/2* ho*U_in ^2*S);
39
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
3.5.3 ‘VLa ice.m’
%PARÁMETROS MALLADO
M=50; N=50; Uin _inc _c=1/16;
%Pa áme os ex e nos
%Ca ac e is icas ai e
U_in =1; ho=1;
%Pa áme os ala
alpha=5*pi/180; AR=10;
E=1; psi=0; c =1;
%Pa ición en el iempo
_ inal=20*c /U_in ;
inc_ =Uin _inc _c*c /U_in ;
T= loo ( _ inal/inc_ +1);
_ inal=inc_ *(T-1);
[A,B,S,b,xg,yg,xcma ,hma ,bma ,Sp,Mn,Tau,inc_ ]=gen_ma (M,N,T, _ inal,U_in ,A
R,c ,E,psi);
%Ma iz Wp
Wp=[-U_in *alpha*ones(Mn,1);ze os(Mn-Mn,1)];
%Ma iz z y Gamma_0 iniciales
z=ze os(Tau-Mn,1);
Gamma_0=ze os(M,N);
o k=1:T
(k)=(k-1)*inc_ ;
%Cálculo de Sus en ación y cL pa a ins an e k
[x,Gamma,p,Lnum,cLnum]=ci c(Gamma_0,A,Wp,Wg,B,z,M,N, ho,inc_ ,U_in ,hma ,Sp);
L(k)=Lnum;
cL(k)=cLnum;
%Ac ualización de a iables pa a ins an e k+1
Gamma_0=Gamma;
z(((Tau-Mn+1-N):(Tau-Mn)))=[];
z=[x((Mn+1-N):Mn,1);z];
end
4 RESULTADOS
as el desa ollo e implemen ación del mé odo Vo ex-La ice, llegó el momen o de comp oba que los
esul ados que o ece son co ec os y pueden encon a una in e p e ación ísica. Ese es el obje i o del
p esen e capí ulo.
La es uc u a del capí ulo cons a de:
 Un p ime apa ado donde se exponen los pa áme os necesa ios pa a de ini la geome ía del ala.
 Un segundo apa ado enunciando y esol iendo el p oblema de Wagne . En es e apa ado se inclui án
además dos subapa ados donde se es udia án los e ec os del es echamien o y del ángulo de lecha en
el ala.
 Un e ce apa ado donde se a a á el p oblema de Theodo sen pa a 3D y se compa a án las
soluciones ob enidas con el caso 2D y la solución analí ica.
T
Resul ados
48
Figu a 4-7. Coe icien e de sus en ación pa a di e en es es echamien os
En la igu a 4-7, podemos obse a que exis e un alo óp imo del es echamien o pa a el cual se da un 𝑐𝐿
máximo cuando se ace ca al es aciona io. Si buscamos ese alo óp imo, encon amos que se encuen a en
o no a 𝐸=0.3. Con iene des aca además, que a la is a de los esul ados expues os en la Figu a 4-7, el peo
es echamien o posible es el del ala ec angula con 𝐸=1, siendo su coe icien e de sus en ación el más bajo,
es o se debe a que debido al in enso ebo deo que exis e de la co ien e en las pun as del ala, un ala ec angula
ap o echa de o ma poco e icien e el lujo inciden e.
Se puede demos a ( e e encia [8]) que es el ala elíp ica la que mejo ap o echa el lujo, debido a que
minimiza el ebo deo exis en e en las pun as del ala. Cuan o más pa ecida sea la geome ía de la o ma en
plan a del ala a una elipse, mejo ap o echamien o se ha á de la co ien e inciden e. E ec i amen e, si
compa amos la o ma en plan a del ala con 𝐸=0.34, podemos obse a en la igu a 4-8 que son
azonablemen e pa ecidas.

49
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
Figu a 4-8. Compa ación geomé ica ala elíp ica y hexagonal
Po an o, se puede conclui que el e ec o del es echamien o es bene icioso pa a el ap o echamien o del lujo
inciden e siemp e que se in en e asemeja la o ma en plan a del ala a la o ma elíp ica.
4.2.2 E ec o del ángulo de lecha
Una ez hemos discu ido el e ec o del es echamien o, le oca el u no al ángulo de lecha. Pa a ello,
ealiza emos nue amen e di e sos análisis sob e las o mas en plan a de la igu a 4-9. Los esul ados
ob enidos se exponen en la igu a 4-10
Resul ados
50
Figu a 4-9. Fo mas en plan a pa a dis in os es echamien os incluyendo ángulo de lecha
Figu a 4-10. Coe icien e de sus en ación incluyendo ángulo de lecha
En la igu a 4-10 se puede obse a como el coe icien e de sus en ación sigue eniendo una endencia simila a
la obse ada en la igu a 4-7 con la di e encia de que el es aciona io al que aspi an las cu as es
sus ancialmen e in e io . La causa de es e enómeno gua da una es echa elación con el hecho de que la
co ien e inciden e no mal que e cada pe il del ala aho a ha cambiado debido a la in oducción de un ángulo
de lecha.
Pa a analiza el e ec o que iene ese cambio en la co ien e inciden e no mal a los pe iles del ala, amos a
cen a nos en el caso bidimensional omando alo es del ala gamien o con enien emen e al os. Teniendo es o
en cuen a, se ealizan nue as simulaciones pa a di e en es alo es del ángulo de lecha en es as alas de g an
ala gamien o. Los esul ados ob enidos se e lejan en la igu a 4-11 y mues an una endencia dec ecien e
con o me aumen amos el ángulo de lecha.
51
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
Figu a 4-11. Coe icien e de sus en ación pa a di e en es ángulos de lecha
Cu iosamen e, en la igu a 4-11 se obse a que la dependencia de 𝐶𝐿 con 𝜓 puede ap oxima se como:
𝐶𝐿(𝜓)=𝐶𝐿(𝜓=0)cos(𝜓). Es a ap oximación puede jus i ica se po el hecho de que la co ien e inciden e
no mal que e cada pe il del ala aho a ha cambiado debido a la in oducción de un ángulo de lecha.
E ec i amen e, la componen e no mal de la elocidad que e cada pe il es á con enida en un plano que o ma
e ical que o ma un ángulo 𝜓 con la di ección del eje ‘x’ al y como podemos obse a en la igu a 2b.3:
Figu a 4-12. Plano en el que es á con enida la componen e no mal de la elocidad que e cada pe il
Po es a azón, el ángulo de a aque con la co ien e inciden e no mal es algo meno que 𝛼, si hallamos el alo
del ángulo de a aque que e, end emos que pa a el caso bidimensional, 𝑐𝑙=2𝜋𝛼𝑒𝑓𝑓.
𝑥
𝜓
𝜓
Plano de ecuación 𝑦=−𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜓
𝑦
Resul ados
52
Pa a encon a 𝛼𝑒𝑓𝑓 se puede hace un análisis geomé ico, del que se ex ae:
sen𝛼𝑒𝑓𝑓= an𝛼
√1+ an2𝜓+ an2𝛼
De la exp esión an e io , puede hace se la siguien e ap oximación:
sen𝛼𝑒𝑓𝑓≅𝛼𝑒𝑓𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼𝑒𝑓𝑓≪1
an𝛼≅𝛼 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼≪1
√1+ an2𝜓+ an2𝛼≅√1+ an2𝜓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼≪1
Po an o, la exp esión pa a 𝛼𝑒𝑓𝑓 nos queda:
𝛼𝑒𝑓𝑓=𝛼
√1+ an2𝜓=𝛼cos𝜓
Es deci , pa a el 𝑐𝑙 pa a el caso bidimensional que iene cada pe il pa a el ala en lecha es:
𝑐𝑙=2𝜋𝛼𝑒𝑓𝑓=2𝜋cos𝜓 𝛼
Po lo que, el 𝑐𝐿 al que iende el ala en lecha pa a ala gamien os muy al os es 𝐶𝐿(𝜓)=𝐶𝐿(𝜓=0)cos(𝜓),
lo cual e ec i amen e se comp ueba al obse a la igu a 4-11.
De es e modo, se concluye que la inclusión de un ángulo de lecha en el ala esul a en un dec emen o del
coe icien e de sus en ación al que se puede aspi a . Sin emba go, y pa a conclui , se sabe que el ángulo de
lecha iene o os e ec os bene iciosos como:
 Fa o ece la educción de e ec os ansónicos en el ala, ya que la componen e no mal de la elocidad
es la que más a ec a a los pe iles. Los e ec os ansónicos son muy pe judiciales pa a la sus en ación,
pues o que ienden a iguala p esiones en e ex adós e in adós del ala, lo cual nos educe la
sus en ación y además, ocasiona la apa ición de momen os de cabeceo. Po an o, es con enien e
e i a los.
 O ece una mayo es abilidad a balanceo. Al inclui dicho ángulo, apa ece una elocidad de
esbalamien o al aplica un momen o de balanceo que iende a aumen a la sus en ación de un ala y a
educi la de la o a de o ma que gene a un momen o ecupe ado oponiendose al momen o eje cido.
 Ga an iza una mejo es abilidad a cabeceo, ya que iende a e asa el cen o ae odinámico con
espec o al cen o de g a edad, lo cual nos in e esa pa a gene a un momen o ecupe ado g acias al
peso cuando aumen amos el ángulo de a aque.
Es as son las azones po las que se incluye un ángulo de lecha en alas, a pesa de la educción que puede
ocasiona en el coe icien e de sus en ación ae odinámica.
4.3 P oblema de Theodo sen
El p oblema de Theodo sen pa a la Ae odinámica no es aciona ia, es á ca ac e izado po el mo imien o
a mónico de una placa eniendo dos g ados de libe ad: ℎ, que es el desplazamien o e ical (posi i o hacia
abajo) del eje de gi o ( ambién denominado eje elás ico) y 𝛼, que es el gi o al ededo de dicho eje. La posición
del eje de gi o se deno a po 𝑥𝑒.
Como el mo imien o es a mónico, cualquie magni ud gené ica 𝜓 puede exp esa se median e un aso 𝜓 al
que: 𝜓=ℜ( 𝜓𝑒𝑗𝜔𝑡).
La sus en ación de un pe il bidimensional puede se de e minada g acias a la ó mula de Theodo sen,
desa ollada en [6], a a és de los aso es ℎ,𝛼 y las a iables 𝜔 y 𝑥𝑒.
Al igual que en el apa ado 4.2, aquí oma emos dis in os alo es del ala gamien o y comp oba emos que pa a
ala gamien os ela i amen e al os, los esul ados de la solución numé ica dada po el mé odo Vo ex-La ice se
53
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
ap oximan azonablemen e a la solución analí ica de Theodo sen.
Figu a 4-13. P oblema de Theodo sen
La solución analí ica puede ob ene se a pa i del aso de 𝑧𝑝:
𝑧𝑝
=−ℎ−𝛼(𝑥−𝑥𝑒)
U ilizando 3-16, nos queda:
𝑤𝑝
=−𝑗𝜔𝑧𝑝
+𝑈∞𝜕𝑧𝑝

𝜕𝑥=−𝑗𝜔ℎ−[𝑈∞+𝑗𝜔(𝑥−𝑥𝑒)]𝛼
In oduciendo en el p og ama, 𝑤𝑝=ℜ(𝑤𝑝
𝑒𝑗𝜔𝑡), ob enemos la solución ep esen ada en la igu a 4-14.
Además, con o me se aumen a el alo del ala gamien o, más se ap oxima la solución ob enida al caso 2D.
Pa a ob ene la solución 2D que apa ece, se ha omado un alo de es echamien o ele ado (Λ=100) y como
se puede comp oba p ác icamen e coincide con la solución analí ica p edicha po Theodo sen.
𝑦
𝑧𝑝
ℎ
𝑥𝑒
𝛼

Resul ados
54
Figu a 4-14. Coe icien e de sus en ación pa a p oblema de Theodo sen con di e en es alo es de Λ
5 FLAMEO AEROELÁSTICO
al y como se adelan aba en el capí ulo 1, el es udio de la Ae odinámica no es aciona ia puede ayuda a
p edeci la apa ición de enómenos pe judiciales pa a la es uc u a del ala. El p incipal e ec o pe judicial
es la apa ición del lameo, que como ya se comen ó, supone la apa ición de oscilaciones a mónicas que
no su en amo iguamien o alguno con el iempo. Es e enómeno se debe a que el ala comienza a ex ae
ene gía del luido, ex ae la misma can idad que pie de a causa de las ue zas de amo iguamien o.
Po an o, se a a modela el ala de o ma que se pueda p edeci la apa ición de es e enómeno, la p incipal
di e encia con los esul ados ob enidos has a aho a es que la posición de los pe iles del ala es desconocida en
es e caso. En los esul ados p esen ados en el capí ulo 4, la unción 𝑧=𝑧𝑝(𝑡,𝑥,𝑦) e a conocida, sin emba go,
pa a es a nue a aplicación, la unción 𝑧=𝑧𝑝(𝑡,𝑥,𝑦) desc ibi á un mo imien o oscila o io causado po el
acoplamien o de ue zas elás icas, de amo iguamien o y ae odinámicas.
Pa a lle a a cabo es e análisis, el capí ulo se es uc u a á en es apa ados:
 Un p ime apa ado donde se expond á un modelo de dos g ados de libe ad pa a un ala ígida simila
al p oblema de Theodo sen del apa ado 4.3.
 Un segundo apa ado donde se expond á la ecuación del mo imien o pa a una placa elás ica y la
me odología seguida pa a esol e la.
 Y inalmen e un e ce apa ado donde se discu i án los esul ados ob enidos po los dos modelos.
5.1 Placa plana ígida con dos g ados de libe ad
El p ime modelo que se a a desa olla pa a el lameo es a á o mado po una placa plana ígida que iene
dos g ados de libe ad: ℎ y 𝛼. La placa iene una masa 𝑚 con el cen o de g a edad en (𝑥=𝑥𝐺,𝑦=0) y con
momen o de ine cia 𝐼𝐺 espec o del cen o de g a edad. La placa es a á suje a con dos muelles de igideces 𝑘ℎ
y 𝑘𝛼 al y como se mues a en la igu a 5-1.
T
Flameo Ae oelás ico
56
Figu a 5-1. Placa plana con dos g ados de libe ad (ℎ,𝛼)
Las ecuaciones que igen el mo imien o de la placa se de i an de aplica las ecuaciones de Lag ange y son:
𝑚ℎ󰇘=−𝑘ℎℎ−𝐿−𝑚(𝑥𝐺−𝑥𝑒)𝛼󰇘
𝐼𝐺𝛼󰇘=𝑘ℎℎ(𝑥𝐺−𝑥𝑒)−𝑘𝛼𝛼+𝑀𝐿
(5–1)
donde 𝐿 y 𝑀𝐿 son ue za de sus en ación o al sob e la placa y el momen o que gene a esa ue za con espec o
al cen o de g a edad.
5.1.1 Cálculo de ue za y momen o
De las exp esiones 5-1, se busca despeja ℎ󰇘 y 𝛼󰇘 pa a lo cual es necesa io conoce p e iamen e los alo es de la
sus en ación y el momen o pa a un ins an e de iempo dado.
Pa a el cálculo de 𝐿 se u iliza á la exp esión 5-2 que es á basada en 3-34:
𝐿=1
2𝜌∞𝑈∞
2𝐴𝐶𝐿=∫∫ (𝑝−𝑝∞)𝑑𝑥𝑑𝑦
Σ𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(5–2)
Pa a calcula 𝑀𝐿, hacemos uso de la de inición de momen o eje cido po una ue za y ealizamos la
in eg ación en la supe icie de la placa:
𝑀𝐿=∫∫ |(𝒙
󰇍
󰇍
−𝒙
󰇍
󰇍
𝑮)×(−𝒏
󰇍
󰇍
𝒔)(𝑝−𝑝∞)|𝑑𝜎
Σ𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(5–3)
𝑘𝛼
𝑘ℎ
57
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
donde 𝒙
󰇍
󰇍
y 𝒙
󰇍
󰇍
𝑮, ep esen an los ec o es posición de un pun o gené ico del ala (la a iable de in eg ación) y la
del cen o de g a edad de la placa espec i amen e.
Teniendo en cuen a que la dis ibución de p esiones en la placa se á simé ica con espec o al eje 𝑥, la
exp esión 5-3 puede educi se a:
𝑀𝐿=∫∫ (𝑝−𝑝∞)(𝑥−𝑥𝐺)𝑑𝜎
Σ𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(5–4)
Pa a el cálculo numé ico de es as exp esiones, se a a u iliza la ma iz de p esiones Δ𝑝𝑖𝑗 ob enida de 3-36,
quedando inalmen e pa a un ins an e de iempo 𝑡𝑘 dado:
𝐿(𝑡𝑘)≅∑∑Δ𝑝𝑖𝑗(𝑡𝑘)Δ𝑆𝑖𝑗
𝑗𝑖
𝑀𝐿(𝑡𝑘)≅∑∑Δ𝑝𝑖𝑗(𝑡𝑘)Δ𝑆𝑖𝑗(𝑥𝑔𝑖𝑗+𝑥𝑐𝑖𝑗
2−𝑥𝐺)
𝑗𝑖
(5–5)
donde 𝑥𝑔𝑖𝑗 y 𝑥𝑐𝑖𝑗 ep esen an las posiciones de los pun os de cen ado y colocación de cada panel.
Pa a el cálculo de Δ𝑝𝑖𝑗, es necesa io impone 𝑤𝑝, sabiendo que 𝑧𝑝(𝑡,𝑥,𝑦)=ℎ(𝑡)+𝛼(𝑡)(𝑥𝑒−𝑥)
𝑤𝑝(𝑡,𝑥,𝑦)=𝜕𝑧𝑝
𝜕𝑡+𝑈∞𝜕𝑧𝑝
𝜕𝑥=ℎ󰇗(𝑡)+𝛼󰇗(𝑡)(𝑥𝑒−𝑥)−𝑈∞𝛼(𝑡)
5.1.2 In eg ación en el iempo
A pa i de las ecuaciones 5-1, se busca calcula ℎ(𝑡) y 𝛼(𝑡) a pa i de las siguien es in eg ales:
𝛼󰇗(𝑡)=∫𝛼󰇘(𝑡′)𝑑𝑡′
𝑡
0
𝛼(𝑡)=∫𝛼󰇗(𝑡′)𝑑𝑡′
𝑡
0
(5–6)
ℎ󰇗(𝑡)=∫ℎ󰇘(𝑡′)𝑑𝑡′
𝑡
0
ℎ(𝑡)=∫ℎ󰇗(𝑡′)𝑑𝑡′
𝑡
0
(5–7)
Pa a el cálculo numé ico de 5-6 y 5-7 u ilizando 5-1, se implemen a án las siguien es ope aciones pa a el
cálculo de ℎ(𝑡𝑘) y 𝛼(𝑡𝑘) en un ins an e de iempo 𝑡𝑘 dado y siendo las magni udes en 𝑡𝑘−1 conocidas:
𝛼󰇘(𝑡𝑘)=1
𝐼𝐺(𝑀𝐿(𝑡𝑘)+𝑘ℎℎ(𝑥𝐺−𝑥𝑒)−𝑘𝛼𝛼(𝑡𝑘−1))
𝛼󰇗(𝑡𝑘)=𝛼󰇗(𝑡𝑘−1)+𝛼󰇘(𝑡𝑘)Δ𝑡
𝛼(𝑡𝑘)=𝛼(𝑡𝑘−1)+𝛼󰇗(𝑡𝑘−1)Δ𝑡
(5–8)
Flameo Ae oelás ico
64
Sin emba go, pa a pode aplica 5-32, p ime o hay que calcula la media de p esiones 〈Δ𝑝𝑖〉 en la en e gadu a
pa a el pe il cen al, y ese es el obje i o del p esen e subapa ado.
Pa a halla 〈Δ𝑝〉, como se a a de una media, se ealiza á el siguien e cálculo:
〈Δ𝑝(𝑥,𝑡)〉=1
𝐻∫ 𝑝(𝑥,𝑦,𝑡)𝑑𝑦
𝐻/2
−𝐻/2
(5–33)
La exp esión 5-33 puede ap oxima se numé icamen e:
〈Δ𝑝𝑖𝑘〉=〈Δ𝑝(𝑥𝑖,𝑡𝑘)〉=1
𝐻∑𝑝(𝑥𝑖,𝑦𝑗,𝑡𝑘)𝑏𝑖𝑗
𝑁
𝑗=1 =1
𝑁∑𝑝(𝑥𝑖,𝑦𝑗,𝑡𝑘)
𝑁
𝑗=1 =1
𝑁∑Δ𝑝𝑖𝑗
𝑘
𝑁
𝑗=1
(5–34)
donde 𝑏𝑖𝑗 es la longi ud en di ección de la en e gadu a de cada panel.
Pa a halla Δ𝑝𝑖𝑗
𝑘, se u iliza como siemp e 3-36, que equie e el cálculo de Γ𝑖𝑗 en cada panel, esul ado que
ob enemos a pa i de impone 𝑤𝑝.
El cálculo de 𝑤𝑝 queda:
𝑤𝑝=𝜕𝑧𝑝∗
𝜕𝑡∗+𝑈∞𝜕𝑧𝑝∗
𝜕𝑥∗=∑𝑞𝑖󰇗(𝑡∗)𝜓𝑖(𝑥∗)
𝑛
𝑖=1 +𝑈∞∑𝑞𝑖(𝑡∗)𝜕𝜓𝑖(𝑥∗)
𝜕𝑥∗
𝑛
𝑖=1
(5–35)
Poniendo 5-35 en o ma ma icial se ob iene inalmen e:
𝑾𝒑
𝑘=𝑈∞
[
𝜕𝜓1(𝑥𝑐1
∗)
𝜕𝑥∗⋯𝜕𝜓𝑛(𝑥𝑐1
∗)
𝜕𝑥∗
⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝜓1(𝑥𝑐𝑀
∗)
𝜕𝑥∗⋯𝜕𝜓𝑛(𝑥𝑐𝑀
∗)
𝜕𝑥∗
]
𝒒𝒌+[𝜓1(𝑥𝑐1
∗)⋯ 𝜓𝑛(𝑥𝑐1
∗)
⋮ ⋱ ⋮
𝜓1(𝑥𝑐𝑀
∗)⋯ 𝜓𝑛(𝑥𝑐𝑀
∗)]𝒒󰇘𝒌
(5–36)
5.2.6 Implemen ación en Ma Lab
Al igual que se hizo pa a la implemen ación del mé odo Vo ex-La ice en el capí ulo 3, pa a la
implemen ación de es e mé odo se u iliza án di e sos módulos pa a hace más ácil an o la p og amación
como el en endimien o del código.
Los nue os módulos que se implemen an son:
 ‘ma _psi.m’ que calcula las ma ices que iene po elemen os los modos de ib ación e aluados en los
pun os de cen ado y colocación del pe il, pa a pode se u ilizadas en 5-32 y5-36.
 ‘wp.m’ que aplica 5-36 a a és del ec o 𝒙=[𝒒
𝒒󰇗].
 ‘media.m’ calcula la media de las p esiones en la en e gadu a a a és de 5-34.
 ‘pesos.m’ es una unción diseñada a pa i del apéndice B de [3] donde se expone un mé odo de
in eg ación ealizando una ap oximación a a és de un de e minado núme o de pasos de in eg ación.
El código inal pa a la esolución de es e p oblema queda:

65
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
%Pa áme os ex e nos:
Mas =0.74; U=5.09;
AR=10; E=1; psi=0; L=1; ho=1; Uin =1;
n=3; %Núme o de modos de ib ación
p=2; %Pasos de in eg ación
%Inicio:
qk=[0.04 0.04 0.04]';
qdo =ze os(n,1);
xdo =ze os(2*n,0);
x=[qk;qdo ];
N=40; M=50; %Paneles en ala
T=2000; %Paneles en es ela
_ inal=10;
%Cálculo ma ices
[A,B,S,b,xg,yg,hma ,bma ,Sp,Mn,Tau,inc_ ]=gen_ma (M,N,T, _ inal,Uin ,AR,L,E,p
si);
%Inicialización simulación
z=ze os(Tau-Mn,1);
Gamma_0=ze os(M,N);
%Ma ices psi
[Psic,Psicp ima,Psig,be a]=ma _psi(M,n,L);
%Vec o iempo
=linspace(0, _ inal,T);
%==========================================================================
%SIMULACIÓN
%==========================================================================
o k=1:T
%Ma iz Wp
Wp=wp(Uin ,Psicp ima,Psic,x,M,N);
%Cálculo de p esiones
[gamsol,Gamma,p esion,Lnum,cLnum]=ci c(Gamma_0,A,Wp,B,z,M,N, ho,inc_ ,Uin ,hm
a ,bma ,Sp);
%Cálculo de p esiones medias
pmed=media(M,N,p esion,bma ,b);
%Ac ualización de pa áme os pa a siguien e i e ación
Gamma_0=Gamma;
z(((Tau-Mn+1-N):(Tau-Mn)))=[];
z=[gamsol((Mn+1-N):Mn,1);z];
%Cálculo de acele aciones
Qae o=Psig*L/M*pmed;
q2do =Mas *Qae o-1/U^2*diag(be a)*qk;
xdo =[xdo ,[qdo ;q2do ]];
Flameo Ae oelás ico
66
%Cálculo pesos in eg ación
i k<=p
pesos_in eg acion=pesos( ,k);
else
xdo (:,1)=[];
end
%In eg ación en iempo
x=[qk;qdo ];
x=x+xdo *pesos_in eg acion;
qk=x(1:n);
qdo =x(n+1:2*n);
q(:,k)=qk;
end
5.3 Resul ados ob enidos
Una ez se han desa ollado e implemen ado los dos modelos ideados pa a la ca ac e ización del lameo en un
ala, llegó el momen o de analiza los esul ados que se ob ienen.
Los esul ados ob enidos pa a el p ime modelo, mues an que un ala ini a iende a ene su elocidad de
lameo más baja con o me aumen a la en e gadu a, es deci , las alas de meno en e gadu a son más es ables,
o dicho de o o modo, un ala ini a p esen a una mayo es abilidad que un ala in ini a. Es e esul ado es
mos ado po [5] y di e sos au o es ambién ci ados en dicha e e encia; en ese aspec o, el modelo del ala
ígida con dos g ados de libe ad nos da una idea cuali a i a bas an e buena del compo amien o ae oelás ico
de un ala. Además, si se ep esen a la e olución de la elocidad de lameo con espec o al es echamien o, se
obse an endencias muy pa ecidas a las que apa ecen en la bibliog a ía consul ada. Po o o lado, un ala
in ini amen e ígida como la expues a en es e modelo no se da en la ealidad, po lo que cab ía espe a que los
esul ados ob enidos po el segundo modelo sean cuan i a i amen e mejo es.
Sin emba go, la ines abilidad que p esen a el mé odo de in eg ación u ilizado cuando la ecuencia de la
espues a del sis ema es muy al a ha hecho imposible ob ene soluciones sa is ac o ias po pa e del segundo
modelo. Además, no sólo la ines abilidad del mé odo de in eg ación ha sido el p oblema, la pa ición que se
puede ealiza en el iempo con el mé odo Vo ex-La ice diseñado es á limi ada po la memo ia que puede
u iliza Ma Lab, pues o que la pa ición en el iempo es á ín imamen e elacionada con el mallado de la es ela,
a mayo pa ición en el iempo, más paneles se incluyen en la es ela y mayo es son las ma ices con las que
iene que abaja el p og ama. En de ini i a, la pa ición en el iempo máxima que se ha podido ealiza no ha
sido capaz de hace en e a la ines abilidad p esen e en el mé odo de in eg ación, dicha ines abilidad sólo
puede soluciona se u ilizando un mé odo más obus o o consiguiendo se capaces de inc emen a aún más la
pa ición en el iempo median e alguna modi icación en el p og ama Vo ex-La ice.
Todo es o ha p o ocado que en el segundo modelo sólo se puedan ob ene esul ados aislados pa a los
pa áme os 𝑀∗ y 𝑈∗, a pa i de los cuales no se pueden es ablece elaciones cla as. Lo que sí se puede
asegu a es que los modos de ib ación del ala en esos casos pa icula es en los que el mé odo o ece
esul ados concue dan con bas an e p ecisión con las obse aciones expe imen ales.
A con inuación, se desa ollan dos subapa ados donde se exponen los esul ados ob enidos.
5.3.1 Resul ados de placa plana ígida con dos g ados de libe ad
T as ejecu a el p og ama mos ado en 5.1.3, se ob ienen las siguien es g á icas:
67
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
Figu a 5-3. Respues a pa a la elocidad de lameo 𝑈𝐹 del ala de ala gamien o Λ=100
Figu a 5-4. Respues a pa a una elocidad supe io a la de lameo 𝑈𝐹 del ala de ala gamien o Λ=100
Flameo Ae oelás ico
68
Figu a 5-5. Respues a pa a una elocidad in e io a la de lameo 𝑈𝐹 del ala de ala gamien o Λ=100
A pa i de las igu as 5-3, 5-4 y 5-5 se puede obse a como exis e una de e minada elocidad 𝑈𝐹 pa a la que
el ala comienza a ene oscilaciones a mónicas que no se amo iguan con el iempo ( igu a 5-3). Po encima de
dicha elocidad, las oscilaciones di e gen hacia al sis ema ines able ( igu a 5-4), es o se debe a que la placa
es á ex ayendo del lujo inciden e más ene gía de la que pie de po amo iguamien o. Y inalmen e, po
debajo de la elocidad de lameo, las oscilaciones se amo iguan ( igu a 5-5) haciendo al sis ema es able, la
in e p e ación ísica de es e enómeno se basa en el hecho de que el pe il no ex ae la su icien e ene gía del
luido como pa a compensa las pé didas debidas al amo iguamien o.
Po o o lado, si man enemos la elocidad de 𝑈∞=0.55, que esul a se la de lameo pa a Λ=100, y
educimos el ala gamien o del ala, ob enemos los esul ados mos ados en la igu a 5-6.
69
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
Figu a 5-6. Respues a pa a 𝑈∞=0.55 pa a un ala de ala gamien o Λ=10
En la igu a 5-6, se puede obse a como la espues a del sis ema iende a se amo iguada pa a Λ=10, es
deci , se encuen a po debajo de su elocidad de lameo, a pesa de es a u ilizando la misma elocidad que
esul aba se de lameo pa a el ala de ala gamien o Λ=100. Es e esul ado e leja lo que ya se comen aba al
p incipio del apa ado, cuan o meno sea la en e gadu a, más es able se á el ala. Es o implica que un ala ini a
es más es able que un ala in ini a al y como se enuncia en [5].
Se puede ep esen a la e olución de 𝑈𝐹 en e al ala gamien o obse ando así la comen ada endencia. Es a
e olución ha sido ep esen ada en la igu a 5-7.

Flameo Ae oelás ico
70
Figu a 5-7. E olución de 𝑈𝐹 en e al ala gamien o Λ
Si se compa a la igu a 5-7 con la igu a 5-8 ex aída de [5], se puede comp oba que la endencia ob enida es
muy pa ecida a la que se obse a en dicha e e encia. Se puede e como pa a ala gamien os del o den de 0.1,
la elocidad de lameo se inc emen a conside ablemen e; mien as que pa a ala gamien os en o no a 10-100,
la a iación no es an signi ica i amen e no able, a pesa de que se sigue ob eniendo la endencia de que a
meno en e gadu a, más es abilidad hay.
Figu a 5-8. E olución de 𝑈𝐹 en e al ala gamien o Λ según [5]
71
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
5.3.2 Resul ados de placa lexible semiempo ada
La ejecución del p og ama implemen ado en 5.2.6 no ha enido esul ados sa is ac o ios a causa de la g an
ines abilidad numé ica que p esen a el mé odo explíci o de in eg ación po pesos u ilizado y desa ollado en
[3]. En la e e encia [3] ya se comen aba dicho p oblema, que podía se subsanado u ilizando un mé odo de
in eg ación implíci o o aumen ando la pa ición en el iempo. El mé odo Vo ex-La ice desa ollado pa a el
caso idimensional no pe mi e la implemen ación del mé odo de in eg ación implíci o y la pa ición en el
iempo se ha escogido lo más ina que pe mi e la po encia de Ma Lab.
A pesa de una u iliza una pa ición an ina pa a el iempo, los esul ados ob enidos son muy ines ables pa a
la g an mayo ía de combinaciones de los pa áme os 𝑀∗ y 𝑈∗. Sin emba go, hay cie as combinaciones de
es os pa áme os pa a los que la ecuencia de la solución no esul a excesi amen e al a y el mé odo consigue
ealiza la in eg ación en el iempo co ec amen e. Los esul ados que se pueden ob ene pa a los modos de
ib ación se pueden obse a en la igu a 5-9 y si se compa an con la igu a 5-10 se puede comp oba que
gua dan mucho pa ecido con los esul ados expe imen ales.
Figu a 5-9. Vis a de pe il de la ib ación de una placa lexible
Flameo Ae oelás ico
72
Figu a 5-10. Vis a expe imen al de pe il de la ib ación de una placa lexible
Es e g an pa ecido se debe a que los modos de ib ación es án con enien emen e bien elegidos, po lo que
pa a unas de e minadas oscilaciones de sus coo denadas gene alizadas, los esul ados ob enidos gua dan una
g an simili ud con las obse aciones expe imen ales. Sin emba go, el hecho de que es os esul ados se hayan
encon ado de o ma an pun ual no pe mi e es ablece analogía alguna con o as e e encias como [4] y [5]
donde se analiza la dependencia de 𝑈∗ con 𝐻∗ y 𝑀∗.
Pa a asegu a que el p oblema que apa ecía se debía a la ines abilidad del mé odo de in eg ación, se esol ió
con el mismo mé odo un p oblema del que se conocie a su solución analí ica, como po ejemplo, la ib ación
lib e en e a condiciones iniciales no nulas de un sis ema mecánico.
Los esul ados esul an bas an e ap oximados cuando la ecuencia de la espues a no es excesi amen e al a
como se mues a en la igu a 5-11, sin emba go, cuando se impone una ecuencia mayo y no se aumen a lo
su icien e la pa ición en el iempo, la solución numé ica di e ge conside ablemen e de la solución analí ica al
y como sucede pa a el caso del lameo, es e enómeno queda e lejado en la igu a 5-12. Se ema ca
nue amen e que dicha di e gencia de la solución numé ica se p oduce pa a nues o p oblema con una
pa ición en el iempo que no puede aumen a se más debido a la limi ación de memo ia impues a po Ma Lab
a la ho a de ealiza el mallado de la es ela.
73
Implemen ación del mé odo Vo ex-La ice pa a el cálculo de la Ae odinámica no Es aciona ia de alas en
égimen incomp esible
Figu a 5-11. Resul ados del mé odo de in eg ación pa a ecuencias bajas
Figu a 5-12. Resul ados del mé odo de in eg ación pa a ecuencias al as
Re e encias
80
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Educación.