FACULTAD DE MATEM´
ATICAS
DEPARTAMENTO DE AN´
ALISIS MATEM´
ATICO
EL TEOREMA DE MUESTREO Y SUS
APLICACIONES
Memo ia ealizada po Jos´e Ga c´ıa Fe n´andez
Di igido po :
D . D. Rena o ´
Al a ez Noda se
Resumen
En es e abajo nues o obje o de es udio se ´a la eo ´ıa de se˜nales, el
obje i o es llega al eo ema de mues eo de Shannon-Whi ake -Ko elniko ,
con su co espondien e demos aci´on, y aplica lo a dis in as si uaciones, en
pa icula al p oblema de ecupe aci´on de se˜nales.
Pa a ello necesi a emos abaja con he amien as de an´alisis Fou ie , as´ı
que ealiza emos un es udio p e io sob e la se ie de Fou ie , con una b e-
e in oducci´on his ´o ica, adem´as de ejemplos, p opiedades y con e gencia.
Segui emos el es udio con o a de las he amien as del an´alisis de Fou ie ,
la ans o mada de Fou ie , que se ´a un ins umen o undamen al en es e
abajo, y al que po supues o dedica emos un es udio p e io con ejemplos
y p opiedades undamen ales. Po ´ul imo ealiza emos una b e e desc ipci´on
de lo que conside a emos se˜nales, e emos algunos ejemplos y ipos de se˜nales
que nos podemos encon a .
Pa a inaliza , as ealiza el es udio e´o ico, e ec ua emos un es udio
num´e ico, con as ando nues o es udio e´o ico con ejemplos p ´ac icos. Pa-
a es o ´ul imo nos apoya emos en he amien as de so wa e lib e como son
Maxima u Oc a e.
Todos los p og amas que se han ealizado pa a es a labo es ´an a dispo-
sici´on de odos los lec o es en:
h p://eule .us.es/~ ena o/clases/ g/jg /.
4
Abs ac
The aim o his wo k is o p esen an in oduc ion o he Ma hema ical
Signal Theo y. We will p o e he Shannon-Whi ake -Ko elniko Sampling
Theo em and we will apply i o di e en si ua ions, in pa icula o he
p oblem o signal eco e ing.
In o de o do ha , we will use some ools om he Fou ie Analysis. So
we will ca y ou a p e ious s udy o he Fou ie Se ies, wi h a b ie his o ical
in oduc ion, examples, p ope ies and con e gence Theo ems. The s udy will
con inue wi h he Fou ie T ans o m, which will be a key ins umen along
his wo k, and, he e o e, we will include a p e ious s udy including some
examples and undamen al p ope ies. Finally, we will b ie ly desc ibe wha
we conside o be signals and we p esen some examples o hem.
To conclude ou analysis, we will a nume ical s udy, con as ing ou p o-
ide heo e ical esul s wi h examples. In o de o do his, we will use ee
so wa e ools such as Maxima and Oc a e.
All he p og ams used along his esea ch a e a ailable o all eade s and
can be ound on he web si e o he ad iso o his wo k:
h p://eule .us.es/~ ena o/clases/ g/jg /.

´
Indice gene al
1. La se ie igonom´e ica de Fou ie 9
1.1. In oducci´on ............................ 9
1.2. De iniciones p incipales y ejemplos ............... 11
1.3. Con e gencia pun ual de la se ie de Fou ie ........... 15
1.4. Con e gencia uni o me de la se ie de Fou ie .......... 16
1.5. La se ie exponencial de Fou ie ................. 17
1.6. La se ie de Fou ie en un in e alo a bi a io .......... 18
1.7. El ´enomeno de Gibbs ...................... 19
2. La ans o mada de Fou ie 23
2.1. De iniciones p incipales y ejemplos ............... 23
2.2. P opiedades undamen ales .................... 26
2.3. Iden idad de Planche el-Pa se al ................ 27
2.4. Una no malizaci´on di e en e ................... 28
3. Se˜nales 31
3.1. De iniciones p incipales ...................... 31
3.2. P ime os ejemplos ......................... 32
3.3. Tipos de se˜nales .......................... 33
3.4. Teo ema de mues eo ....................... 34
3.5. Con e gencia ........................... 36
3.6. Co a de e o come ido ...................... 37
3.7. El en´omeno del aliasing ..................... 39
3.8. Mues eo I egula ........................ 39
4. P og amas 41
4.1. Se ie de Fou ie , paque e ou ie ................ 41
4.2. Se ie de Fou ie , la unci´on ap ou ............... 43
7
8´
INDICE GENERAL
4.3. T ans o mada de Fou ie con Oc a e .............. 46
4.4. Espec o de una se˜nal con Oc a e ................ 48
4.5. Espec o de una se˜nal con uido ................. 49
4.6. Recons ucci´on de se˜nales con Maxima ............. 50
4.7. Recons ucci´on de se˜nales con Oc a e .............. 56
4.8. Aliasing .............................. 58
4.9. Lis a de p og amas ........................ 61
Bibliog a ´ıa 63
Cap´ı ulo 1
La se ie igonom´e ica de
Fou ie
En es e apa ado amos a es udia con alg´un de alle la se ie igonom´e i-
ca de Fou ie . En pa icula , e emos algunos eo emas de con e gencia pun-
ual y uni o me de las mismas. En adelan e, asumi emos que la unci´on es
de cuad ado in eg able en [−π, π], es deci , ∈L2[−π, π], aunque la mayo ´ıa
de los esul ados son cie os pa a absolu amen e in eg able.
N´o ese que el sis ema de unciones {1}∪{sin (nx),cos (nx)}∞
n=1 es un
sis ema o ogonal dos a dos espec o al p oduc o escala :
h , gi=Zπ
−π
(x)g(x)dx.
1.1. In oducci´on
El 21 de diciemb e de 1807, Joseph Fou ie , p esen ´o al Ins i u de F ance
una memo ia i ulada M´emoi e su la p opaga ion de la chaleu dans les
co ps solides. Cua o miemb os, uno m´as de lo que e a habi ual, Lag ange,
Laplace, Lac oix y Monge, ue on designados pa a emi i un in o me, que
nunca se lleg´o a esc ibi a pesa de las insis encias de Fou ie , que deseaba
un juicio sob e su abajo. A cambio, el Ins i u o lo p opuso como ema pa a
el p emio que se deb´ıa o o ga en 1812 (la eo ´ıa ma em´a ica de las leyes de
p opagaci´on del calo y compa a los esul ados de es a eo ´ıa con la de los
expe imen os). A inales de 1811 Fou ie en eg´o una nue a memo ia como
9
16 CAP´
ITULO 1. LA SERIE TRIGONOM ´
ETRICA DE FOURIER
1.4. Con e gencia uni o me de la se ie de Fou-
ie
Teo ema 1.4.1 Sea :R→Runa unci´on con inua y 2π-pe i´odica y
supongamos que es casi-con inuamen e de i able en [−π, π]. En onces:
1. La se ie de Fou ie 0se ob iene de i ando ´e mino a ´e mino S (x).
2. P∞
k=1 |ak|+|bk|<+∞.
3. S (x) con e ge uni o memen e a en [−π, π].
Demos aci´on: Calculemos los coe icien es an( 0) y bn( 0) de 0en unci´on
de los coe icien es an( ) y bn( ) de .
ak( ) = 1
πZπ
−π
(x) cos(kx)dx =−1
πk Zπ
−π
0(x) cos(kx)dx =−1
kbk( 0),
bk( ) = 1
πZπ
−π
(x) sin(kx)dx =1
πk Zπ
−π
0(x) sin(kx)dx =−1
kak( 0),
po an o la se ie de Fou ie de 0es:
S 0(x) =
∞
X
k=1 −kak( ) sin(kx) + kbk( ) cos(kx),
de donde se deduce 1.
Pa a p oba 2 usamos que:
|ak( )|=1
kbk( 0)≤1
21
k2+b2
k( 0),
|bk( )|=1
kak( 0)≤1
21
k2+a2
k( 0).
En la desigualdad an e io hemos usado que (|a|−|b|)2≥0.
Como 0es casi-de i able, enemos po la desigualdad de Bessel [3]:

1.5. LA SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER 17
∞
X
k=1 ak( 0)2+bk( 0)2≤1
πZπ
−π 0(x)2dx < +∞,luego
∞
X
k=1 |ak( )|+|bk( )| ≤
∞
X
k=1
1
k2+1
2ak( 0)2+bk( 0)2<+∞.
De la desigualdad an e io aplicando el C i e io de Weie s ass pa a se ies
de unciones emos la con e gencia uni o me de S (x). 
Co ola io 1.4.2 Sea :R→Runa unci´on con inua y 2π-pe i´odica y su-
pongamos que es casi-con inuamen e de i able en [−π, π]. En onces S (x)
con e ge absolu amen e e uni o memen e a en [−π, π].
1.5. La se ie exponencial de Fou ie
Sea :R→C, y sean las unciones:
en(x) = einx, n ∈Z.
N´o ese que:
Zπ
−π
einxe−imxdx =Zπ
−π
ei(n−m)xdx = (x) = 




2π, si n=m,
2 sin(n−m)π
n−m,si n6=m.
Es deci , el conjun o (en)nes un conjun o o ogonal espec o al p oduc o
escala :
h , gi=Zπ
−π
(x)g(x)dx.
De inici´on 1.5.1 Dada una unci´on :R→C, de cuad ado in eg able en
[-π,π] y 2π-pe i´odica de ini emos la se ie exponencial de Fou ie po :
S (x) =
∞
X
n=−∞
cneinx,(1.5.1)
donde los coe icien es ienen dados po la siguien e exp esi´on:
18 CAP´
ITULO 1. LA SERIE TRIGONOM ´
ETRICA DE FOURIER
cn=1
2πZπ
−π
(x)e−inxdx.
Ob iamen e es a se ie es equi alen e a la se ie de (1.2.1). Pa a ello bas a usa
la ´o mula de eule einx = cos(nx) + sin i(nx) lo que nos esul a:
a0= 2c0, an=cn+c−n, bn=i(cn+c−n).
cn=a0
2, cn=an−ibn
2, c−n=an+ibn
2.
Adem´as, de las elaciones an e io es podemos deduci que cn=c−n.
Ejemplo 1.5.2 Encon a la se ie exponencial de Fou ie de la unci´on:
(x) = 


Asi 0 ≤x≤π,
0 si −π≤x≤0.
Vemos cla amen e que c0es A/2. Pa a n6= 0 enemos:
cn=A
2πZπ
0
e−inxdx =A(1 −e−inπ)
2πin =




0 si npa ,
A
πni si nimpa .
1.6. La se ie de Fou ie en un in e alo a bi-
a io
Si en ez de abaja con unciones 2π-pe i´odicas, abajamos con pe io-
dos a bi a ios, po ejemplo 2l end emos que usa los siguien es sis emas,
que son o ogonales y comple os en [−l, l] :
1,sin kπx
l,cos kπx
ln∈N
,
O en la o ma exponencial:
nekπxi
lo.n∈N
1.7. EL F ´
ENOMENO DE GIBBS 19
As´ı, enemos las se ies equi alen es:
S (x) =
∞
X
n=−∞
cnenπix
l,donde cn=1
2πZπ
−π
(x)e−nπxi
ldx, n ∈Z.
S (x) = a0
2+
n
X
k=1
akcos nπx
l+bksin nπx
l,
an=1
πZπ
−π
(x) cos nπx
ldx, n = 0,1,2, ...,
bn=1
πZπ
−π
(x) sin nπx
ldx, n = 0,1,2, ....
1.7. El ´enomeno de Gibbs
Vamos a e un ejemplo in e esan e. Conside amos la unci´on signo(x) en
[−π, π] y ex endamos pe i´odicamen e la unci´on a odo R. Su se ie de Fou ie
es:
signo(x) = 4
π
∞
X
k=0
sin(2k+ 1)x
2k+ 1 .
Reco damos que:
signo(x) =











−1 si x < 0,
0 si x= 0,
1 si x > 1.
Vemos que adem´as con e ge pun ualmen e en (−1/2,1/2) y lo hace uni o -
memen e en cualquie compac o [δ, 1/2−δ]⊂(0,1/2). Ob iamen e la con-
e gencia no puede se uni o me en (−1/2,1/2) pues signo(x) no es con inua
en dicho in e alo. Si dibujamos las g ´a ica de signo de xy de algunas de
sus sumas pa ciales emos que ce ca del ce o apa ece un peque˜no pico que
no pa ece disminui incluso aumen ando el n´ume o de sumados en las sumas
pa ciales.
20 CAP´
ITULO 1. LA SERIE TRIGONOM ´
ETRICA DE FOURIER
Figu a 1.4: Se ie de Fou ie con 20 ´e minos de signo(x).
Figu a 1.5: Se ie de Fou ie con 200 ´e minos de signo(x).
De hecho, al aumen a n emos en un en o no de x= 0 que el pico no
disminuye, sino que man iene su al u a.
1.7. EL F ´
ENOMENO DE GIBBS 21
Pa a acla a lo que ocu e calculemos el m´aximo de la sumas S2n−1 :
S2n−1 (x) = 4
π
n−1
X
k=0
sin 2π(2k+ 1)x
2k+ 1 ,
que se ob ienen al oma la de i ada en x:
d
dxS2n−1 (x) = 8
n−1
X
k=0
cos 2π(2k+ 1)x=4 sin 4nπx
sin 2πx .(1.7.1)
La de i ada se anula en xk=k
4n, k = 1, ..., 2n−1,y podemos comp oba
que:
d
dxS2n−1 k
4n= 16πcsc k
2ncos(kπ),
Po an o, en k= 1 enemos un m´aximo mien as que en k= 2 un m´ınimo,
y as´ı, sucesi amen e. Adem´as de (1.7.1) enemos que, al se S2n−1 (0) = 0,
S2n−1 (x) = 4 Zx
0
sin 4nπz
sin 2πz dz.
A pa i de es a exp esi´on, podemos comp oba que p ecisamen e el p ime
m´aximo es el m´aximo global de la suma pa cial, es deci ,
m´ax
x∈[0,δ]S2n−1 (x) = S2n−1 k
4n.
Aho a bien,
S2n−1 k
4n=4
π
n−1
X
k=0
sin π(2k+ 1) k
2n
2k+ 1 =
n
X
k=0
2
π
sin πξk
ξk
1
n, ξk=2k+ 1
2n.
N´o ese que la ´ul ima suma, cons i uye una suma de Riemann de la in e-
g al Z1
0
2
π
sin πx
xdx, en la pa ici´on xk=k/n, k = 0,1, ..., n, al e alua la
unci´on in eg ando en ξk=xk+xk+1
2. Luego :

22 CAP´
ITULO 1. LA SERIE TRIGONOM ´
ETRICA DE FOURIER
l´ımn→∞S2n−1 k
4n= l´ımn→∞
n
X
k=0
2
π
sin πξk
ξk
1
n=Z1
0
2
π
sin πx
xdx = 1,17897...
As´ı, el m´aximo de las sumas pa ciales de la se ie signo(x) no iende a 1 sino
a 1,178979744..., es deci :
m´ax signo(x)−m´ax l´ım
n→∞Sn (x)= 1,17897...
Lo an e io es gene alizable a cualquie unci´on con una discon inuidad en
alg´un pun o. Supongamos que en cie o in e alo I= [α, β] la unci´on iene
un pun o de discon inuidad en x0y sea µ= (x+
0)− (x−
0)
2y supongamos que
es al que la se ie con e ge uni o memen e a ambos lados de x0. En onces
la unci´on g(x) = (x)−µsigno(x) es con inua en x0y su se ie con e ge
uni o memen e en un en o no de x0, po lo an o el compo amien o de en
un en o no de x0es el mismo que el de µsigno(x), es deci
m´ax (x)−m´ax l´ım
n→∞Sn (x)=µ1,17897...
El e ec o es ´alido pa a oda unci´on discon inua se conoce como e ec o de
Gibbs quien es udi´o el p oblema en 1899.
Cap´ı ulo 2
La ans o mada de Fou ie
En es e cap´ı ulo, in oduci emos la ans o mada de Fou ie , que a a
ene una g an impo ancia a la ho a de demos a el eo ema de mues eo
como ya e emos m´as adelan e. In ui i amen e y adelan ´andonos un poco,
la ans o mada de Fou ie ans o ma una se˜nal que depende del iempo en
una se˜nal que depende de la ecuencia.
2.1. De iniciones p incipales y ejemplos
En adelan e, asumi emos que ∈L1(R).
De inici´on 2.1.1 Dada una unci´on :R→C, de ini emos su ans o mada
de Fou ie que deno a emos po b
(λ) o F[ ] a la unci´on:
b
(λ) = F[ ](λ) := 1
2πZ∞
−∞
(x)e−iλxdx. (2.1.1)
Po comodidad de ini emos ambi´en la ans o maci´on:
F[ ](λ) := 1
2πZ∞
−∞
(x)eiλxdx. (2.1.2)
Bajo cie as condiciones sob e , 2πF[ ](λ) es la in e sa de F[ ](λ), y se
e i ica:
(x) = 2πF[b
](x), F−1[ ] = 2πF[b
].
23
24 CAP´
ITULO 2. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
De inici´on 2.1.2 A la unci´on F(λ)=b
(λ), se le denomina espec o de la
unci´on .
Ejemplos
Calcula las ans o madas de Fou ie de las siguien es unciones.
1. :R→R, (x) = 


1 si |x|<1,
0 si |x| ≥ 1.
F[ ](λ) = 1
2πZ∞
−∞
e−iλxdx =1
2πZ1
−1
(cos(λx)−isin(λx))dx =sin(λ)
πλ .
Figu a 2.1: Pulso ec angula (a iba) y su ans o mada (abajo).
2.1. DEFINICIONES PRINCIPALES Y EJEMPLOS 25
2.h:R→R,h(x) = e−x2/2.
b
h(λ) = F[h](λ) = 1
2πZ∞
−∞
e−x2/2e−iλxdx =Z∞
−∞
e−x2/2cos(λx)dx. (2.1.3)
En onces,
∂b
h(λ)
∂λ =1
2πZ∞
−∞
e−x2/2(−x) sin(λx)dx =−λ
2πZ∞
−∞
e−x2/2cos(λx)dx =−λb
h(λ).
En la segunda igualdad hemos in eg ado po pa es, luego:
b
h(λ) = Ce−λ2/2⇒C=b
h(0) = 1
2πZ∞
−∞
e−x2/2dx =1
√2π⇒F[h](λ) = 1
√2πe−λ2/2.
Figu a 2.2: Gaussiana (a iba) y su ans o mada (abajo).
32 CAP´
ITULO 3. SE ˜
NALES
3.2. P ime os ejemplos
Escal´on de Hea iside:
Hea iside ( ) = 


1 si ≥0,
0 si < 0.
Pulso ec angula :
Rec ( ) = 


1 si | | ≤ 1,
0 si | |>1.
Figu a 3.1: Escal´on de Hea iside (izquie da) y pulso Rec angula Rec ( )
(de echa).
Se˜nal sinusoidal:
( ) = Asin(w +ϕ), w > 0.
Se˜nal con uido:
( ) = Asin(w +ϕ) + a0 andom( ), w > 0.

3.3. TIPOS DE SE ˜
NALES 33
Figu a 3.2: Se˜nal sinusoidal ( ) = cos(20π ) + sin(40π ) (izquie da) y con
uido ( ) = cos(20π ) + sin(40π ) + 2 andom( ) (de echa).
3.3. Tipos de se˜nales
En adelan e, deno a emos po Xal espacio de las se˜nales.
Uno de los obje i os del an´alisis de se˜nales, es pode dis ingui las se˜nales,
asmi i las, codi ica las, e c.
Las unciones an e io es pueden ep esen a el ol aje o la in ensidad de
co ien e en un ci cui o, in ensidad de la m´usica en un ep oduc o de CD,
po encia de un al a oz, e c.
Una se˜nal que sea casi-con inua, se dice que es anal´ogica. Si la se˜nal es
un conjun o de alo es dados s1, s2, ..., sN, ... se dice que la se˜nal es digi al.
As´ı:
:R→R, ∈C(R) =⇒se˜nal anal´ogica.
Si en ez de enemos sus mues as omadas con una ecuencia 1/a,
di emos que la se˜nal es digi al:
( (xk))k:xk=ka, k ∈Z=⇒se˜nal digi al.
En la na u aleza las se˜nales suelen se en gene al, anal´ogicas. Uno de
los p incipales p oblemas consis e en con e i una se˜nal anal´ogica en digi al
(disc e a) pa a, po ejemplo, ansmi i la ( o os digi ales), g aba la (CD), y
luego pode ecupe a la sin pe de in o maci´on. El p oceso de con e si´on se
denomina “mues eo”de la se˜nal. Nos in e esa ´a el p oblema de la ecupe a-
ci´on de una se˜nal a pa i de sus mues as.
34 CAP´
ITULO 3. SE ˜
NALES
3.4. Teo ema de mues eo
Vamos a enuncia y pos e io men e p oba , el esul ado undamen al de
es e abajo: el eo ema de mues eo de Whi ake -Ko elniko -Shannon, que
como e emos pos e io men e iene una g an u ilidad en la eo ´ıa de se˜nales.
Teo ema 3.4.1 Sea una se˜nal x( ) de ene g´ıa ini a y de banda limi ada a
B, en onces:
x( ) = 1
π
∞
X
n=−∞
xn
2Bsin (π(2B −n))
2B −n.(3.4.1)
Es deci , pa a ecupe a una se˜nal banda limi ada a Bbas a conoce sus
mues as omadas con una ecuencia igual a 2B. Dicha ecuencia se deno-
mina ecuencia de Nyquis .
Demos aci´on P ime o amos a conside a la unci´on (u) = e2πiu en el
in e alo (−B, B). Vamos a ex ende la pe i´odicamen e y a calcula su se ie
exponencial de Fou ie en la base e2πi(n/2B)un≥0,que es una base o ogonal
de L2(−B, B).
Nues a unci´on es con inua y de i able luego su se ie de Fou ie se ´a
uni o memen e con e gen e como hemos is o en el apa ado de con e gencia.
(u) =
∞
X
n=−∞
cne2πi(n/2B)u,(3.4.2)
donde:
cn=1
2BZB
−B
e2πiu (e−2πi(n/2B)u)du =1
2BZB
−B
e2πi( −n/2B)udu =
1
2BZB
−B
cos 2π −n
2Budu +i1
2BZB
−B
sin 2π −n
2Budu =
=1
BZB
0
cos 2π −n
2Budu =1
B
sin (2π −n
BB
2π −n
B

B
0
=
3.4. TEOREMA DE MUESTREO 35
=sin (π(2 B −n)
π(2B −n).
Vemos que:
i1
2BZB
−B
sin (2π −n
2Bu)du = 0,
ya que es una in eg al en la cual el in eg ando es una unci´on impa en un
dominio de in eg aci´on sim´e ico.
En adelan e usa emos la no aci´on sinc(x) = sin (πx)
πx ,que deno a a la
unci´on seno ca dinal.
Reco damos que de inimos la as o mada de Fou ie y su in e sa como:
X(u) = Z∞
−∞
x( )e−2πiu d , x( ) = ZB
−B
X(u)e2πiu du.
Sus i uimos e2πiu po su se ie de Fou ie :
x( ) = ZB
−B
∞
X
n=−∞
X(u)eiπnu/B sinc(2B −n)du =
=
∞
X
n=−∞ ZB
−B
X(u)eiπnu/B sinc(2B −n)du =
=
∞
X
n=−∞
sinc(2B −n)ZB
−B
X(u)eiπnu/Bdu =
∞
X
n=−∞
sinc(2B −n)xn
2B=
=1
π
∞
X
−∞
xn
2Bsin (π(2B −n))
2B −n.

No a: La in eg aci´on ´e mino a ´e mino, la podemos ealiza debido a que
nues a se ie es uni o memen e con e gen e. La igualdad se en iende en el
sen ido de L2.
36 CAP´
ITULO 3. SE ˜
NALES
No a: En eo ´ıa de se˜nales se de ine la se ie ca dinal de la se˜nal xcomo:
1
π
∞
X
n=−∞
xn
2Bsin (π(2B −n))
2B −n= (3.4.3)
=1
π
∞
X
n=−∞
x(na)
sin π
a−n
a−n
=1
π
n=∞
X
n=−∞
x(na)
sin π
a( −na)
π
a( −na).
Pa a abaja con (3.4.3) de una mane a m´as c´omoda, hemos ealizado
un cambio de no aci´on llamando a=1
2B.
3.5. Con e gencia
La se ie ca dinal con e ge en L2. Vamos aho a a p oba que nues a con-
e gencia no solo es en L2, sino que enemos con e gencia uni o me. Pa a
ello, p oba emos un lema auxilia y pos e io men e que la se ie ca dinal con-
e ge uni o memen e.
Lema 3.5.1 

X
N≤|n|≤M

sin π
a( −na)
π
a( −a)
2

= 1.
Demos aci´on Conside emos la unci´on
k( ) = e2πiλ χ[−1
2a,1
2a], λ ∈R,
y ex end´amosla pe i´odicamen e a odo ∈R.Su se ie de Fou ie es:
k( ) = X
n∈R
cne2πina ,
cn=aZ1
2a
−1
2a
e2πiλ e−2πina d =
sin π
a(λ−na)
π
a(λ−na),
adem´as (cn)n∈L2.Si aho a usamos la iden idad de Pa se al ob enemos:
3.6. COTA DE ERROR COMETIDO 37
X
n∈R|cn|2=aZ1
2a
−1
2ae2πiλ 2d = 1.
Teo ema 3.5.2 La se ie ca dinal (3.4.1) con e ge uni o memen e.
Demos aci´on Sean M, N ∈N, N ≤M:
X
|n|≤M
x(na)
sin π
a( −na)
π
a( −na)−X
|n|≤N
x(na)
sin π
a( −na)
π
a( −na)≤
≤X
N≤|n|≤M|x(na)|
sin π
a( −na)
π
a( −na)≤
≤
X
N≤|n|≤M|x(na)|2

1/2

X
N≤|n|≤M

sin π
a( −na)
π
a( −a)
2


1/2
.
Po el lema an e io , la se ie 

X
N≤|n|≤M

sin π
a( −na)
π
a( −a)
2

es ´a aco ada, luego:
≤
X
N≤|n|≤M|x(na)|2

1/2

X
N≤|n|≤M

sin π
a( −na)
π
a( −a)
2


1/2
< ε,
ya que si MyNson su icien emen e g andes, la se ie Pn∈Z|x(na)|2<∞.
Po an o, po el c i e io de Cauchy pa a la con e gencia uni o me, la se ie
con e ge uni o memen e en R.
3.6. Co a de e o come ido
Es impo an e eco da que cuando hagamos los co espondien es p og a-
mas no pod emos oma la se ie in ini a, sino una se ie uncada, con lo cual
nos se ´a de in e ´es una co a del e o que come emos. Pa a ello, enunciamos
el siguien e eo ema.

38 CAP´
ITULO 3. SE ˜
NALES
Teo ema 3.6.1 Sea h( ) una se˜nal con ene g´ıa ini a y de banda limi ada a
B, se e i ica que:
|h( )| ≤ BE
π.(3.6.1)
Demos aci´on Sea H(w) la ans o mada de Fou ie de la unci´on h( ).
Aho a conside amos la in e sa de la ans o mada de Fou ie de h:
h( ) = 1
2πZB
−B
H(w)eiw dw , y aplicamos la desigualdad de Cauchy-
Schwa z:
|h( )|2≤1
4π2ZB
−B|H(w)|2dw ZB
−Beiw 2dw =
=B
2π2ZB
−B|H(w)|2dw =B
π1
2πZB
−B|H(w)|2dw=
=B
πZB
−B|h(w)|2dw =B
πE⇒ |h( )| ≤ BE
π.

No a En la ´ul ima igualdad, hemos usado la ´o mula de Pa se al.
Co ola io 3.6.2 Tomando h( ) = x( )−xN( ),es inmedia o de (3.6.1) que
ob enemos la siguien e co a del e o :
|x( )−xN( )| ≤ BE
π.
Vemos como se cumplen las condiciones del eo ema an e io , dado que hes
una unci´on de L2al se una es a de dos unciones de L2, y adem´as hes
una se˜nal de banda limi ada al se es a de unciones de banda limi ada (es a
p opiedad se ob iene g acias a la linealidad de la in eg al).
3.7. EL FEN ´
OMENO DEL ALIASING 39
3.7. El en´omeno del aliasing
El aliasing es el e ec o que causa que se˜nales con inuas dis in as no sean
dis inguibles cuando ealizamos un mues eo digi al. En es e caso, no pode-
mos ecupe a la se˜nal o iginal de o ma ´unica a pa i de la se˜nal digi al.
En o as palab as, enemos se˜nales dis in as, pe o que coinciden en las mues-
as omadas, po lo que la ecupe aci´on de nues a se˜nal no es posible.
Nos encon amos con es e p oblema cuando nues as mues as no son las
“indicadas”, es deci , cuando no e i ican que νs= 1/a ≥2B, donde νs
ep esen a nues a ecuencia de mues eo.
Veamos un ejemplo de aliasing. Conside emos x( ) = sin(2π ):
Mues as
Recons ucción
O iginal
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Mues as
Recons ucción
O iginal
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Figu a 3.3: Recupe aci´on de nues a se˜nal omando como ecuencia de mues-
eo 4 (izquie da) y 1 (de echa).
3.8. Mues eo I egula
Es in e esan e esal a que hemos es ado abajando en nues a eo ´ıa de
se˜nales con lo que se conoce como mues eo egula , es deci , que nues as
mues as se oman de o ma equidis an e. Hay di e en es ipos de mues eo,
en e los cuales uno de los m´as des acamos es el mues eo i egula .
¿Cu´ales son las en ajas y des en ajas con espec o al mues eo egula ?
40 CAP´
ITULO 3. SE ˜
NALES
Como des en aja, es muy impo an e el hecho de que el Teo ema de
Mues eo no es aplicable, y pa a la econs ucci´on enemos que usa m´e odos
que son compu acionalmen e in ensi os, como po ejemplo la ans o mada
´apida de Fou ie , que en el caso del mues eo i egula no es ni siquie a
in e ible.
Como en aja, en el mues eo i egula es menos p obable que se p oduzca
el en´omeno del aliasing, que es uno de los incon enien es m´as impo an es
del mues eo egula .
Pa a m´as in o maci´on ace ca del mues eo i egula , consul a [5] y [8] en
la bibliog a ´ıa.
Cap´ı ulo 4
P og amas
En es e cap´ı ulo mos a emos algunos de los p og amas que a lo la go del
abajo hemos usado y expond emos algunos ejemplos nue os de in e ´es.
Comenza emos mos ando a ias o mas de cons ui las se ies de Fou ie .
En p ime luga , mos a emos un ejemplo donde podemos ealiza los c´alculos
de mane a anal´ı ica, usando un p og ama simb´olico (en es e caso de Maxima),
ambi´en e emos alg´un p og ama que ealice los c´alculos num´e icamen e.
Adem´as de la ans o mada de Fou ie , e emos p og amas de ecupe aci´on
de se˜nales y el p oblema del aliasing.
Pa a consul a los comandos u ilizados an o en Maxima como en Oc a e,
e e e encias [1] y [10].
4.1. Se ie de Fou ie , paque e ou ie
Vamos a usa Maxima pa a el caso de (x) = xen [−π, π], ex endida
pe i´odicamen e a odo R.
An e odo debemos ca ga el paque e ou ie, que nos pe mi e abaja
simb´olicamen e con se ies de Fou ie .
(%i1) kill(all)$
(%i1) load( ou ie)$
De inimos la unci´on que amos a desa olla en se ie, en es e caso (x) = x.
(%i2) 1(x) := x;
(%o2) 1(x):= x
41
48 CAP´
ITULO 4. PROGRAMAS
4.4. Espec o de una se˜nal con Oc a e
Es e p og ama nos se ´a muy ´u il a la ho a de econs ui se˜nales, ya que
podemos e el espec o de una se˜nal median e su ans o mada. El p og ama
es el siguien e:
T=1; % pe iodo de mues eo
s=256; % ecuencia de mues eo
=(0:1/ s:T); % pun os de mues eo
N=leng h( );
=sin(5*2*pi* ); % se~nal o iginal
igu e, plo ( , ), ylim=[-1.5,1.5], xlabel(’Tiempo’),
i le(’Se~nal o iginal’)
F= ( )/sq (N); % as o mada de Fou ie de
% Pa a dibuja lo, desp eciamos la
% mi ad del dominio debido a la sime ´ıa
omega=0.5* s*linspace(0,1, loo (N/2)+1); % ec o de
% ecuencias disc e as
ange=(1: loo (N/2)+1); % ango del espec o de po encia
P=abs(F( ange)).^2; % espec o de po encia de la se~nal
igu e, plo (omega,P),xlim([0,10]), xlabel(’F ecuencia’),
i le(’Espec o de la se~nal ’)

4.5. ESPECTRO DE UNA SE ˜
NAL CON RUIDO 49
Figu a 4.5: Se˜nal o iginal ( ) = sin(10π ) (izquie da). Vemos que la ecuen-
cia de Nyquis se alcanza en 6 (de echa).
4.5. Espec o de una se˜nal con uido
Vamos a ealiza un p og ama simila al an e io , pe o con una unci´on
con uido:
T=1; % pe iodo de mues eo
s=2^9; % ecuencia de mues eo
=(0:1/ s:T); % pun os de mues eo
N=leng h( );
=cos(10*2*pi* )+cos(20*2*pi* )+4* and(size( )); % se~nal o iginal
igu e, plo ( , ), ylim([-4,8.5]), xlabel(’Tiempo’),
i le(’Se~nal o iginal’)
F= ( )/sq (N); % as o mada de Fou ie de
% Pa a dibuja lo, desp eciamos
% la mi ad del dominio debido
% a la sime ´ıa
omega=0.5* s*linspace(0,1, loo (N/2)+1);
% ec o de ecuencias disc e as
ange=(1: loo (N/2)+1); % ango del espec o de po encia
P=abs(F( ange)).^2; % espec o de po encia de la se~nal
50 CAP´
ITULO 4. PROGRAMAS
igu e, plo (omega,P), xlabel(’F ecuencia’),
i le(’Espec o de la se~nal ’)
Figu a 4.6: Se˜nal o iginal ( ) = 2 cos(20π ) + 3 sin(20π ) + 4 andom( )
(izquie da) y espec o de nues a se˜nal (de echa).
4.6. Recons ucci´on de se˜nales con Maxima
Una de las u ilidades m´as des acadas del eo ema de mues eo es la econs-
ucci´on de se˜nales. La idea es que una se˜nal anal´ogica puede se econs ui la
a a ´es de sus mues as.
Como consecuencia del eo ema de mues eo 3.4.1, pa a pode ecupe a
nues a se˜nal banda limi ada a Bse debe e i ica que nues a ecuencia de
mues eo νs,sea mayo o igual que el doble de la ecuencia de Nyquis , es
deci :
νs=1
a≥2B.
Veamos un ejemplo con la se˜nal x( ) = sin(2π ).
Si aplicamos el apa ado an e io a nues a se˜nal pa a e su ecuencia
ob enemos:
4.6. RECONSTRUCCI ´
ON DE SE ˜
NALES CON MAXIMA 51
T=1; % pe iodo de mues eo
s=256; % ecuencia de mues eo
=(0:1/ s:T); % pun os de mues eo
N=leng h( );
=sin(2*pi* ); % se~nal o iginal
igu e, plo ( , ), ylim([-1.5,1.5]), xlabel(’Tiempo’),
i le(’Se~nal o iginal’)
F= ( )/sq (N); % as o mada de Fou ie de
% Pa a dibuja lo, desp eciamos la
% mi ad del dominio debido a la sime ´ıa
omega=0.5* s*linspace(0,1, loo (N/2)+1);
% ec o de ecuencias disc e as
ange=(1: loo (N/2)+1); % ango del espec o de po encia
P=abs(F( ange)).^2; % espec o de po encia de la se~nal
igu e, plo (omega,P), xlim([-0.5 2.5]),
xlabel(’F ecuencia’), i le(’Espec o de la se~nal ’)
52 CAP´
ITULO 4. PROGRAMAS
Figu a 4.7: x( ) = sin(2π ) (izquie da). Espec o de x( ) = sin(2π ) (de e-
cha).
Vemos como la ecuencia de Nyquis es 2, as´ı que omamos como e-
cuencia de mues eo 4, es deci , a= 1/4. Vamos a ealiza un p og ama en
Maxima que ome unas mues as de nues a se˜nal y, u ilizando el eo ema
de mues eo, la econs uya. El p og ama es el siguien e:
de ine( ( ),sin(2*%pi* ));
NN:10$ a:1/4$
:makelis ( (k)*a , k,0,NN-1);
x:makelis ( ((k)*a),k,0,NN-1);
dis:makelis ( [ [k],x[k]], k,1,NN);
ll:leng h(x);
sum(x[n]*sin((%pi/a)*( -(n-1)*a))/((%pi/a)*( -(n-1)*a )),n,1,ll);
de ine( ( ),%);
plo 2d([[disc e e,dis], ( ), ( )],[ ,0,2], [s yle,poin s,lines,
lines],[y,-3,3],
[legend,"Mues as","Recons ucci´on","O iginal"],
[gnuplo _pd _ e m_command,
"se e m pd cai o colo solid lw 2 size 15 cm, 15 cm on ",24 ""],
[pd _ ile, "C:/Use s/PC/AppDa a/Local/Temp/ ecupe acion.pd "],
[s yle,poin s,[lines,3.5],[lines,3.5]]);
4.6. RECONSTRUCCI ´
ON DE SE ˜
NALES CON MAXIMA 53
Mues as
Recons ucción
O iginal
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Figu a 4.8: Recupe aci´on de nues a se˜nal a pa i de sus mues as.
Aho a ealizamos una econs ucci´on con dos a m´onicos.
Sea x( ) = sin(2π ) + cos(3π ).
Aplicando los p og amas an e io es ob enemos:
T=1; % pe iodo de mues eo
s=256; % ecuencia de mues eo
=(0:1/ s:T); % pun os de mues eo
N=leng h( );
=sin(2*pi* )+cos(3*pi* ); % se~nal o iginal
igu e, plo ( , ), ylim([-1.5,1.5]), xlabel(’Tiempo’),
i le(’Se~nal o iginal’)

54 CAP´
ITULO 4. PROGRAMAS
F= ( )/sq (N); % as o mada de Fou ie de
% Pa a dibuja lo, desp eciamos la
% mi ad del dominio debido a la sime ´ıa
omega=0.5* s*linspace(0,1, loo (N/2)+1);
% ec o de ecuencias disc e as
ange=(1: loo (N/2)+1); % ango del espec o de po encia
P=abs(F( ange)).^2; % espec o de po encia de la se~nal
igu e, plo (omega,P), xlim([-0.5 12.5]),,ylim([0,38]),
xlabel(’F ecuencia’), i le(’Espec o de la se~nal ’)
Figu a 4.9: x( ) = sin(2π )+cos(3π ) (izquie da). Espec o de x( ) (de echa).
La ecuencia de Nyquis es ´a en o no a 8, as´ı que podemos oma po
ejemplo, a= 1/16. Aplicando el p og ama an e io ob enemos:
de ine( ( ),sin(2*%pi* )+cos(3*%pi* ));
NN:30$ a:1/16$
4.6. RECONSTRUCCI ´
ON DE SE ˜
NALES CON MAXIMA 55
:makelis ( (k)*a , k,0,NN-1);
x:makelis ( ((k)*a),k,0,NN-1);
dis:makelis ( [ [k],x[k]], k,1,NN);
ll:leng h(x);
sum(x[n]*sin((%pi/a)*( -(n-1)*a))/((%pi/a)*( -(n-1)*a )),n,1,ll);
de ine( ( ),%);
plo 2d([[disc e e,dis], ( ), ( )],[ ,0,2], [s yle,poin s,lines,
lines],[y,-3,3],
[legend,"Mues as","Recons ucci´on","O iginal"],
[gnuplo _pd _ e m_command,
"se e m pd cai o colo solid lw 2 size 15 cm, 15 cm on ",24 ""],
[pd _ ile, "C:/Use s/PC/AppDa a/Local/Temp/ ecupe acion.pd "],
[s yle,poin s,[lines,3.5],[lines,3.5]]);
Mues as
Recons ucción
O iginal
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figu a 4.10: Recupe aci´on de nues a se˜nal a pa i de sus mues as.
56 CAP´
ITULO 4. PROGRAMAS
4.7. Recons ucci´on de se˜nales con Oc a e
Realizamos un p og ama simila al an e io , pe o es a ez usando Oc a e:
Vamos a econs ui x( ) = 2 cos(10π ) :
T=0.1;
=5;
no=0:0.0001:1;
xo=cos(2*pi* *no);
n=(0:T:1)’;
xs=cos(2*pi* *n);
=linspace(0,1,1/0.0001)’;
ya=sinc((1/T)* (:,ones(size(n)))-(1/T)*n(:,ones(size( )))’)*xs;
plo (n,xs,’o ’, ,ya,’ ’,no,xo,’b’);g id;
legend(’Mues as’,’Recons uida’,’O iginal’);
xlabel(’Tiempo’);
axis([0 1 -1.9 1.9]);
Figu a 4.11: Recupe aci´on de nues a se˜nal a pa i de sus mues as.
4.7. RECONSTRUCCI ´
ON DE SE ˜
NALES CON OCTAVE 57
Po ´ul imo, amos a ealiza un ejemplo m´as complejo con nues o p o-
g ama en Oc a e. Pa a ello, sea x( ) = cos(2π ) + sin(68π )−cos(5π ).
T=0.01;
=1;
no=0:0.0001:10;
xo=cos(2*pi* *no)+sin(34*pi*2* *no)-cos(5*pi* *no);
n=(0:T:1)’;
xs=cos(2*pi* *n) +sin(34*pi*2* *n)-cos(5*pi* *n);
=linspace(0,1,1/0.0001)’;
ya=sinc((1/T)* (:,ones(size(n)))-(1/T)*n(:,ones(size( )))’)*xs;
plo (n,xs,’o ’, ,ya,’ ’,no,xo,’b’);g id;
legend(’Mues as’,’Recons uida’,’O iginal’);
xlabel(’Tiempo’);
axis([0 1 -3.3 3.3]);
Figu a 4.12: Recupe aci´on de nues a se˜nal a pa i de sus mues as.
64 BIBLIOGRAF´
IA
[9] A hanasios Papoulis. Signal Analysis. McG aw-Hill Companies Ci y,
1977.
[10] Jos´e Ma ´ıa Valien e Ci uen es. Manual de iniciaci´on a GNU Oc a e.
E.U. Poli ´ecnica de Te uel, 2006.
h p://so lib e.uniza .es/manuales/aplicaciones/oc a e/
manual_oc a e.pd .