Estimación de la función de distribución sobre poblaciones finitas mediante diseños muestrales bietápicos apropiados

Q¨ UESTII´ O,vol. 26, 1-2, p. 87-108, 2002 ESTIMACI ´ ON DE LA FUNCI ´ ON DE DISTRIBUCI ´ ON SOBRE POBLACIONES FINITAS MEDIANTE DISE˜ NOS MUESTRALES BIET´ APICOS APROPIADOS J. A. MAYOR GALLEGO M. MART´ INEZ BLANES Universidad de Sevilla  Con el objeto de estimar la funci´ on de distribuci´ on de una variable de estudio sobre una poblaci´ on finita, se propone en este trabajo emplear el estimador de Horvitz-Thompson, lo que proporciona una estrategia muestral insesgada, siendo la varianza de dicho estimador una funci ´ on real de variable real cuya minimizaci´ on permite obtener dise˜ nos muestrales ´ optimos bajo diferentes criterios. En este trabajo empleamos la norma  1como criterio de optimizaci´ on, minimizando la norma de la varianza, como funci´ on de la matriz del dise˜ no muestral. De esta forma, suponiendomuestreo por conglomeradosen dos etapas y considerando como dominio de b ´ usqueda el conjunto de los dise˜ nos muestrales de tipo uniforme, en el sentido de ser iguales las probabilidades de inclusi´ on de primer orden, se estudia la obtenci´ on de dise˜ nos muestrales adecuados para dicha estimaci´ on. Estimating distributions functions using appropriate sampling designs in two stage cluster sampling Palabras clave: Muestreo, poblaciones finitas, dise˜no muestral, funci´on de distribuci´on, conglomerados Clasificaci´ on AMS (MSC 2000): 62D05 *Dpto. de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa. Universidad de Sevilla. Facultad de Matem´aticas. c/ Tarfia s/n, 41012 Sevilla, Espa˜na. E-mail:[email protected] –Recibido en marzo de 2001. –Aceptado en diciembre de 2001. 87 1. INTRODUCCI ´ ON Si bien la teor´ıa del muestreo en poblaciones finitas se ha centrado cl´asicamente en la estimaci´on de par´ametros poblacionales de tipo puntual como totales, medias, proporciones y varianzas, existen una serie de par´ametros de tipo funcional que pueden proporcionarnos informaci´on relevante acerca del comportamiento global de la poblaci´on. En este trabajo consideramosel problema de la estimaci´on de un par´ametrode este tipo, en concreto, la funci´on de distribuci´on poblacional asociada a una variable num´erica definida sobre la poblaci´on. Este problema es importante por el inter´es intr´ınseco del par´ametrofuncionalmencionadoy tambi´enpor su relaci´oncon otros par´ametrosde tipo no funcional como la mediana, los cuantiles o el ´ındice de Gini, habiendo sido tratado con diferentes enfoques por varios autores. As´ı, en relaci´on a la estimaci´on de la mediana y los cuantiles, es obligadocitar el trabajo inicial de Wooddruff (1952), en el que se construye un intervalo de confianza para la estimaci´on de la mediana poblacional y otras medidas de posici´on, empleando el muestreo aleatorio simple. Por otra parte, Sendransk y Meyer (1978)estudian este problema bajo un enfoquepuramente probabil´ıstico de distribuci´on de estad´ısticos ordenados, para muestreo aleatorio simple y estratificado. Hill (1968) emplea un enfoquebayesianoy Kuk y Mak (1989), t´ecnicas de informaci´on auxiliar proporcionadapor otras variables. Para el problema de la estimaci´on de la funci´on de distribuci´on poblacional propiamente dicha, tambi´en encontramos diferentes enfoques en la bibliograf´ıa. Por ejemplo Chambers y Dunstan (1986) emplean un modelo de superpoblaci´on para desarrollar un procedimiento de estimaci´on. Kuk (1988) estudia y compara varios estimadores de la funci´onde distribuci´onpoblacionalempleandomuestreo conprobabilidadesvariablesy Rao, Kovar y Mantel (1990)desarrollan estimadores queemplean informaci´on auxiliar. Citemos tambi´en los trabajos de Chambers et al. (1992) y Rao (1994). A continuaci´on vamos a considerar este problema con un enfoque distinto de los anteriores, y que se basa en el estudio de la funci´on varianza del estimador de HorvitzThompson con el fin de buscar dise˜nos muestrales ´optimos, en una clase especial de dise˜nos muestrales. Para ello, vamos a considerar una poblaci´on finita, U   1  2  N  , y sea Yuna variable de estudio num´erica, cuyos valores sobre U, son  Y1  Y2  YN  , que, sin p´erdida de generalidad, supondremos ordenados de menor a mayor, esto es, Y1  Y2    YN. Nuestro objetivo es la estimaci´on de la funci´on de distribuci´on de la variableY, F  t  1 NCARD   i  U  Yi  t   88 Si empleamos las funciones indicadoras de los intervalos de la forma  Yi   ∞  , denot´andolas I  Yi   ∞   t  , podemos expresar F  t  como, F  t  1 N∑ i  UI  Yi   ∞   t  es decir, una expresi´onlineal, que puedeser estimada medianteel estimadorde HorvitzThompson. Sea pues muna muestra obtenida de la poblaci´on Umediante un dise˜no muestral, d     P    , sin reemplazamiento y con matriz de dise˜no que denotaremos como Π   πij  1  i  j  N, con πii  πi. El mencionado estimador de F  t  resulta ser,  F  t  1 N∑ i  m I  Yi   ∞   t  πi Comosabemos, esteestimador es insesgadoy suvarianzapuedeser expresadamediante la cl´asica f´ormula, V   F  t   1 N2∑ i  j  U  πij  πiπj  I  Yi   ∞   t  πi I  Yj   ∞   t  πj yas´ı, para cada valor de t  Ê , podemos emplear dicha expresi´on como medida de la bondad de la estimaci´on. 2. MUESTREO POR CONGLOMERADOS EN DOS ETAPAS Al ser la varianza una funci´on, no tiene sentido hablar de varianza m´ınima en el sentido usual, por ello, vamos a definir un criterio apropiado que nos permita obtener propiedades de los dise˜nos muestrales m´as adecuados para la estimaci´on que estamos realizando. El criterio que definimos viene determinado por la siguiente distancia, basada en la norma funcional  1, d  V   F  t   0   V   F  t   1   YN Y1  V   F  t   dt   YN Y1 V   F  t  dt Notemos que V   F  t  cumple los requerimientos anal´ıticos para que esta distancia est´e bien definida. En particular, se verifica que  V   F  t   1  0 si y solamente si V   F  t   89 0   t   Y1  YN  . Notemos tambi´en que es posible emplear otro tipo de normas. La elecci´on de la norma  1en este trabajo viene justificada por razones de simplicidad en los desarrollos. Supondremos que se realiza un muestreo por conglomerados en una etapa, as´ılapoblaci´on sobre la que se realiza el muestreo es una poblaci´on de conglomerados, Uc   C1  Ci  CM  , cada uno con tama˜nos respectivos N1  Ni  NM. Sobre esta poblaci´on se emplea un dise˜no muestral dc   c  Pc  , con matriz de dise˜no  πc ij  , siendo mcla muestra de conglomerados obtenida. En una segunda etapa supondremos que en el conglomerado Ci  i  mcse emplea un dise˜no muestral di   i  Pi  , con matriz de dise˜no  πi kl  , para obtener una muestra micon niunidades finales. Las probabilidades de inclusi´on de dichas unidades finales, se construir´an pues a partir de las probabilidades de inclusi´on de los dise˜nos muestrales involucrados. Dichas probabilidades vienen dadas por, πk  πc iπi ksi k  Ci  k  U πkl  πc iπi kl si k  l  Ci  k   l  k  l  U πkl  πc ijπi kπj lsi k  Ci  l  Cj  i   j  k  l  U De esta forma, denotando por mla muestra de unidades finales provenientes de dichos conglomerado, el estimador de Horvitz-Thompson ser´a,  F  t   ∑ k  m 1 N I  Yk   ∞   t  πk  ∑ i  mc∑ k  mi 1 N I  Yk   ∞   t  πc iπi k  ∑ i  mc 1 πc i∑ k  mi 1 N I  Yk   ∞   t  πi k  ∑ i  mc  Fi  t  πc i donde Fi  t  denota el par´ametro funcional que se est´a estimando, valorado sobre el conglomeradoCi, es decir, Fi  t  ∑ k  Ci 1 NI  Yk   ∞   t  y  Fi  t  denota su estimaci´on de Horvitz-Thompson, esto es,  Fi  t  ∑ k  mi 1 N I  Yk   ∞   t  πi k 90 Observemos que las funciones Fi  t  aparecen como resultado de la descomposici´on usual del estimador  F  t  , y no representan las funciones de distribuci´on de los conglomerados. La varianza de dicho estimador vendr´a dada por la expresi´on usual para un muestreo biet´apico, v´ease Fern´andez y Mayor (1995), y que adaptada a la estructura poblacional considerada, resulta ser, V   F  t   ∑∑ i  j  Uc  πc ij  πc iπc j  Fi  t  πc i Fj  t  πc j  ∑ i  Uc 1 πc iV   Fi  t   ∑∑ i  j  Uc  πc ij  πc iπc j  Fi  t  πc i Fj  t  πc j  1 N2∑ i  Uc 1 πc i∑∑ k  l  Ci  πi kl  πi kπi l  I  Yk   ∞   t  πi k I  Yl   ∞   t  πi l  V1  t  V2  t  Observemos que la varianza se descompone en dos sumandos, V1  t  yV2  t  , cada uno de los cuales representa el error de muestreo inherente a ambas etapas. Para aplicar nuestra metodolog´ıa, vamos a estudiar la norma  1de esta varianza, bajo ciertas hip´otesis realizadas sobre los dise˜nos muestrales. En primer lugar, notemos que al ser V1  t   0yV2  t   0,  t  Ê , se verifica,  V   F  t   1   V1  t   1   V2  t   1  t  Ê y en particular  t   Y1  YN  . Seguidamente exponemos una serie de definiciones y resultados relacionados con el desarrollo de las cantidades anteriores. Definici´ on 1. Dado un dise˜ no muestral, d    P  , diremos que es uniforme si las probabilidades de inclusi´ on de primer orden son iguales, es decir, πi  α   i. Lema 1. Si un dise˜ no muestral, d    P  , definido sobre una poblaci ´ on U con N unidades, es uniforme y sus muestras son de tama˜ no fijo, n, entonces se verifica πi  n  N   i  U. Demostraci´ on Dado i  U, sea Hiuna variable aleatoria con distribuci´on de Bernoulli, definida sobre  como Hi  m  1sii  myHi  m  0sii   m,  m   . La esperanza matem´atica de Hies E  Hi  πi. Se tiene entonces, 91 ∑ i  UHi  n  ∑ i  U πi  ∑ i  UE  Hi  n de donde se deduce el resultado.  Observemos que el dise˜no muestral aleatorio simple, es decir, el formado por todas las posibles muestras de tama˜no fijo n, con probabilidades iguales, es decir, P  m  1   N n  , es un dise˜no uniforme de tama˜no fijo. Denotaremos este dise˜no muestral como MAS  N  n  . Lema 2. Si los dise˜ nos muestrales di  i  Ucson uniformes con tama˜ nos fijos respectivos ni, y si denotamos, V  i   t  ∑∑ k  l  Ci  πi kl  πi kπi l  I  Yk   ∞   t  πi k I  Yl   ∞   t  πi l i  Uc se verifica,  V  i   t   1  1 2∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  N2 i 2n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl  Si adem´ as, di  MAS  Ni  ni  ,  i  Uc, entonces,  V  i   t   1  Ni  ni 2  Ni  1  ni∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  Demostraci´ on Observemos que dados k  l  Ci, se tiene,  YN Y1 I  Yk   ∞   t  I  Yl   ∞   t  dt   YN Y1 I  max  Yk  Yl    ∞   t  dt  YN  max  Yk  Yl  por consiguiente,  V  i   t   1   YN Y1 V  i   t  dt  ∑∑ k  l  Ci πi kl  πi kπi l πi kπi l  YN Y1 I  Yk   ∞   t  I  Yl   ∞   t  dt 92  ∑∑ k  l  Ci πi kl  πi kπi l πi kπi l  YN  max  Yk  Yl    ∑∑ k  l  Ci πi kl πi kπi l  YN  max  Yk  Yl    ∑∑ k  l  Ci  YN  max  Yk  Yl   Por ser diuniforme de tama˜no fijo, tendremos por el Lema 1, que πc l  ni  Ni,  l  Ci, siendo pues, ∑∑ k  l  Ci πi kl πi kπi l  YN  max  Yk  Yl    N2 i n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  YN  1 2  Yk  Yl   Yk  Yl    N2 i n2 i  ∑∑ k  l  Ci πi klYN  1 2∑ k  Ci Yk∑ l  Ci πi kl  1 2∑ l  Ci Yl∑ k  Ci πi kl  1 2∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl    N2 i n2 i  n2 iYN  n2 i NiTi  Y   1 2∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl    N2 iYN  NiTi  Y   N2 i 2n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl  dondehemos denotado Ti  Y  ∑k  CiYk, y hemos tenido en cuenta quepor ser el dise˜no muestral uniforme y de tama˜no de muestra fijo, verifica, ∑ k  Ci πi kl  niπi l  n2 i Niy∑∑ k  l  Ci πi kl  n2 i Por otra parte, un c´alculo similar al anterior proporciona, ∑∑ k  l  Ci  YN  max  Yk  Yl   N2 iYN  NiTi  Y   1 2∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  Restando ambas se obtiene inmediatamente el primer resultado. En caso de ser di  MAS  Ni  ni   i  Uc, se tendr´a adem´as para las probabilidades de inclusi´on de segundo 93 orden πi kl  ni  ni  1   Ni  Ni  1   k   l, y basta sustituir para obtener, mediante un c´alculo directo, el segundo resultado.  Lema 3. Las funciones Fi  t  definidas anteriormente, verifican,  YN Y1 Fi  t  Fj  t  dt  1 N2∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    i  j  Uc Demostraci´ on En primer lugar, observemos que, Fi  t  Fj  t  1 N2∑∑ k  Ci  l  Cj I  Yk   ∞   t  I  Yl   ∞   t  luego,  YN Y1 Fi  t  Fj  t  dt  1 N2∑∑ k  Ci  l  Cj  YN Y1 I  Yk   ∞   t  I  Yl   ∞   t  dt y basta sustituir la expresi´on obtenida en la demostraci´on del Lema anterior para esta ´ultima integral.  Aplicando los resultados anteriores, obtenemos el siguiente resultado acerca de la varianza de la estimaci´on. Teorema 4. Si los dise˜ nos muestrales di  i  Uc, son uniformes con tama˜ nos fijos respectivos ni, se verifica,  V   F  t   1  1 N2∑∑ i  j  Uc πc ij πc iπc j∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑∑ i  j  Uc∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑ i  Uc 1 2πc i  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  N2 i n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl   94 Si adem´ as di  MAS  Ni  ni   i  Uc,el´ ultimo sumando se puede expresar como, 1 N2∑ i  Uc Ni πc i  Ni ni  1  1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl   3. REDUCCI ´ ON DE LA VARIANZA Aunque la expresi´on obtenida permite considerar la b´usqueda de dise˜nos uniformes en cada uno de los conglomerados, que reduzcan la varianza, aqu´ı restringiremos el planteamiento suponiendo di  MAS  Ni  ni   i  Uc, es decir, muestreo aleatorio en los conglomerados. Como puede verse en el Teorema 4, bajo esta hip´otesis,  V   F  t   1se descompone en tres t´erminos, de los cuales el primero y el tercero dependen del dise˜no muestral empleado para obtener la muestra de conglomerados. Por otra parte, la cantidad que aparece en dicha expresi´on, 1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  puede considerarse como una medida de la dispersi´on de la variable de estudio en el conglomerado i  ´esimo. De esta forma, si suponemos afijaci´on proporcional en los conglomerados, de manera que el tama˜no de muestra en cada uno de ellos se realiza de forma proporcional al tama˜no del mismo, y suponemos adem´as que los conglomeradopresentan una dispersi´on similar con respecto a la variable de estudio, las cantidades,  Ni ni  1  1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  son muy homog´eneas, luego una forma de disminuir la aportaci´on del ´ultimo t´ermino es tomar probabilidades de inclusi´on de primer orden proporcionales a los tama˜nos de los conglomerados,es decir, πc i  nNi  N. Se obtiene entonces el siguiente resultado. Teorema 5. Si el muestreo en los conglomerados se realiza mediante dise˜ nos muestrales aleatorios simples, y si las probabilidadesde inclusi´ on de primer orden asociadasal muestreo de conglomerados vienen dadas por πc i  nNi  N  i  Uc, el primer sumando de la expresi´ on de  V   F   1, obtenida en el Teorema 4. puede ser expresado como, 95 Para la poblaci´on U2, hemos empleado los valores Xi  i2  i  1  20, siendo los valores poblacionales generados seg´un el modelo, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc con εk  N  0  52  . Finalmente, para la poblaci´on U3, hemos tomado los valores Xi  i  1  20, dados por,  1  5  50  51  53  55  57  100  120  150  155  160  165  170  175  180  185  190  500  1000  con los valores poblacionales generados seg´un el modelo, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc siendo εk  N  0  102  . Como puede verse, la primera poblaci´on presenta valores de la variable de estudio con cierta homogeneidad. La segunda es menos homog´eneay la tercera tiene una estructura muy dispar, con ciertos valores extremos muy distantes de la masa principal. En todos los caso, se supone muestreo aleatorio simple, MAS  100  10  , para el muestreo dentro de los conglomerados, es decir, en cada uno de los conglomerados muestreados en la primera etapa se extraen muestras aleatorias simples de 10 unidades finales. Vamos a compararla metodolog´ıa considerada en este trabajo con el muestreo aleatorio simple de conglomerados, para lo cual utilizaremos como medida de eficiencia relativa la siguiente cantidad, expresada como porcentaje, C  100   V   F  t   MAS 1  V   F  t   MET 1  V   F  t   MAS 1 % siendo  V   F  t   MAS 1y  V   F  t   MET 1respectivamente las normas  1de la varianza expuestaen el Teorema 4, para el muestreo aleatorio simple y para el m´etodoestudiado. Observemos que en  V   F  t   MET 1aparecen las probabilidades de inclusi´on de segundo orden obtenidas por minimizaci´on, mientras que en  V   F  t   MAS 1aparecen las correspondientes al muestreo aleatorio simple de conglomerados, cuyos valores son πc ij  n  n  1   M  M  1  i   j. 102 Un coeficiente mayor que cero indicar´a un aumento de eficiencia con respecto al muestreo aleatorio simple, bajo el criterio considerado, y el correspondiente porcentaje indicar´a la cuant´ıa de dicho aumento. Los resultados comparativos obtenidos se exponen a continuaci´onparacadauna delas tres poblacionesy paratama˜nosmuestralesn  3  4  5, siendo nel n´umero de conglomerados muestreados en la primera etapa. Las cantidades reflejadas en esta tabla han sido obtenidas por computaci´on directa a partir de los valores ´optimos de las funciones objetivos proporcionados por la rutina AMPL expuesta anteriormente. Coeficiente Cpara U1,U2yU3y tama˜nos de muestra de conglomerados n  3  4  5. En todos los casos, en cada conglomerado se extraen 10 unidades finales. n U1U2U3 3 78.21 % 66.68 % 34.32 % 4 87.08 % 75.39 % 38.59 % 5 91.64 % 80.10 % 42.78 % Podemos observar como en todos los casos se ha obtenido una evidente reducci´on de la varianza lo que manifiesta que la metodolog´ıa estudiada en este trabajo se presenta como una alternativa prometedora. REFERENCIAS Chambers, R. L. y Dunstan, R. (1986). «Estimating distribution functions from survey data».Biometrika, 73, 597-604. Chambers, R. L., Dorfman, A. H. y Hall, P. (1992). «Properties ofstimators of the finite population distribution function».Biometrika, 79, 577-582. Fern´andez, F. R. y Mayor, J. A. (1995). Muestreo en poblaciones finitas: curso b ´ asico. Barcelona: E.U.B. Fourer, R., Gay, D. M. y Kernighan, B. W. (1993). AMPL. A Modeling Language for Mathematical Programming. Danvers, Massachusetts: Boyd & Fraser Publishing Company. 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(1978). «Confidenceintervalsforthe quantiles ofa finite population: simple randomand stratified simple randomsampling».Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 40, 239-252. Woodruff, R. S. (1952). «Confidence intervals for medians and other position measures».Journal of the American Statistical Association, 47, 635-646. 104 ENGLISH SUMMARY ESTIMATING DISTRIBUTIONS FUNCTIONS USING APPROPRIATE SAMPLING DESIGNS IN TWO STAGE CLUSTER SAMPLING J. A. MAYOR GALLEGO M. MART´ INEZ BLANES Universidad de Sevilla  In order to estimate the distribution function of a variable defined over a finite population, we can use a sampling strategy defined by the HorvitzThompson estimator and a sampling design. The variance of this estimation is a real function whose minimization in a suitable criterion let us find some desirable properties of the appropriate sampling designs. In this paper we use the  1norm of the variance function as a minimization criteria. This way, under the hypothesis of uniform sampling design, that is to say, with equal first order inclusion probabilities, we study a procedure to obtain appropriate designs under two stage cluster sampling. Keywords: Sample survey,sampling design, distribution function estimation, cluster sampling AMS Classification (MSC 2000): 62D05 *Dpto. de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa. Universidad de Sevilla. Facultad de Matem´aticas. c/ Tarfia s/n, 41012 Sevilla, Espa˜na. E-mail:[email protected] –Received March 2001. –Accepted December 2001. 105 Usually, the theory of sampling from finite populations is centered on the point estimation of some parameters as the finite population means, variances and ratios. In this paper, we consider the estimation of a functional parameter, the distribution function in relation to a numerical variable, defined over the population. In literature we can find different approachesto this estimation problem. Chambers and Dunstan (1986) assume a model-based approach to develop an estimating procedure. Kuk (1988) studies several estimators of the distribution function under sampling with unequal probabilities, proportional to an auxiliary variable and Rao, Kovar and Mantel (1990) by means of the auxiliary information. In the same lines, we also can cite the papers of Chambers et al. (1992) and Rao (1994). We propose an alternative approach based on the application of an average-type criterion to the mean square error of the distribution function estimation, in order to find the more appropriate selection probabilities of the clusters. Let us consider a finite population U   1  2  N  and let Ydenote the numerical survey variable of interest. Let Yibe the value of Yfor the ith population element, with ordered values 0  Y  1   Y  2     Y  N  . The aim is to estimate the distribution function of theYvariable, F  t  1 N∑ i  UI  Yi   ∞   t  where I  Yi   ∞   t   i  Uare the indicator functions of the  Yi   ∞  intervals. If we assume that sis a sample obtained from Uwhit a sampling design  S  p    , and  F  t  is an estimator of F  t  , the classical way to measure the precision of this estimator is to study of the variance, V   F  t   ∑ s  S   F  t   F  t  2p  s  Note that the variance is a real function with different values depending on t, therefore it is not possible to use this function for a direct comparison. An alternative way to evaluate the discrepancy between F  t  and  F  t  is to apply an average type criterion over the variance, considering the quantity,  V   F  t   1   Y  N  Y  1  V   F  t  dt as such, we can search the more appropriate sampling designs minimizing  V   F  t   1. 106 In section 2 of this paper we apply this approach for a sampling strategy under twostage cluster sampling, supposing uniform sub-sampling into the clusters. Thus, if we assume that sub-sampling is performed by means of sampling designs di  i  Uc,we obtain the following result in relation to the variance of the estimation. Theorem. If the sampling designs di  i  Ucare uniform, with respectively fixed sizes ni, we have,  V   F  t   1  1 N2∑∑ i  j  Uc πc ij πc iπc j∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑∑ i  j  Uc ∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑ i  Uc 1 2πc i  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  N2 i n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl   Furthermore, if di  SRS  Ni  ni   i  Uc, that is to say, simple random sampling without replacement, the last term becomes, 1 N2∑ i  Uc Ni πc i  Ni ni  1  1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl   In order to reduce the sampling error, we develop in sections 3 and 4 a practical procedure based on linear programming, to compute the second order inclusion probabilities of the more appropriate sampling designs over the cluster population, under the superpopulation model, Yk  α  βXi  εk  β  0  Es  εk  0  k  Ci   i  Uc where Xis an auxiliary variable, entirely controlled. Finally, we have applied this procedure to three artificial populations with different structures. These populationshave M  20 clusters, and everycluster contains Ni  100 elements. The sample sizes in the first stage are n  3  4  5 cluster. In the second stage, ni  10 elements are drawn by means of simple random sampling. For the populationU1, the auxiliary variable is Xi  20  i  i  1  20, and the superpopulation model is, 107 Yk  10  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc with εk  N  0  32  , that is to say, normal distribution with expectation µ  0 and variance σ2  32. For the populationU2, the auxiliary variable is Xi  i2  i  1  20, and the model, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc with εk  N  0  52  . For the populationU3, the auxiliary variable is Xi  i  1  20, with values,  1  5  50  51  53  55  57  100  120  150  155  160  165  170  175  180  185  190  500  1000  with the model, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc with εk  N  0  102  . We compare our methodology (MET) with the simple random sampling (SRS) of clusters, using the following relative efficiency measure, C  100   V   F  t   SRS 1  V   F  t   MET 1  V   F  t   SRS 1 % where  V   F  t   SRS 1and  V   F  t   MET 1are respectively the  1of the variance of the compared methods. This way, we have obtained the following values of C, n U1U2U3 3 78.21 % 66.68 % 34.32 % 4 87.08 % 75.39 % 38.59 % 5 91.64 % 80.10 % 42.78 % These results show that we can consider our approach as a promising alternative, in order to reduce the sampling error estimating the finite population distribution function. 108