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ESTUDIANDO FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS DE
FORMA POÉTICA
Juan Núñez Valdés1 y Concepción Pa ale a Mo ales2
1Dp o de Geome ía y Topología, Facul ad de Ma emá icas. Uni e sidad de Se illa.
2Dp o de Economía, Mé odos Cuan i a i os e His o ia Económica.
Uni e sidad Pablo de Ola ide.
jn [email protected], [email p o ec ed]
“La ma emá ica y la poesía son simplemen e isomo as,
el ma emá ico y el poe a son ambos c eado es”.
E ic Temple Bell
RESUMEN
En es e a ículo, los au o es mues an algunas poesías ma emá icas elacionadas con las igu as y
cue pos geomé icos. Su obje i o es, po una pa e, acili a al p o eso de Ma emá icas de los
ni eles de P ima ia, Secunda ia y Bachille a o un ela i amen e no edoso ecu so me odológico
que pueda u iliza en sus clases pa a consegui un mayo in e és, gus o y mo i ación de sus
alumnos po la asigna u a, y po o a, p omociona ambién la in e disciplina idad en e Lengua y
Ma emá icas, an deseable pa a la o mación global de los alumnos.
Palab as cla e: ecu sos; poesía; ma emá icas; geome ía
INTRODUCCIÓN
En es e a ículo se con inúa la línea ya seguida po los au o es en es a ículos an e io es
consis en e en elaciona las Ma emá icas con la Poesía. Po o den c onológico de elabo ación,
que no de publicación, en el p ime o de esos es a ículos (Núñez y Pa ale a, 2012b), los au o es,
ap o echando que la asunción de la in e disciplina idad a calando cada ez más en el
P o eso ado de Secunda ia y Bachille a o en los cen os españoles a la ho a de impa i su
docencia en las clases, in en an da cumplida espues a a p egun as del ipo ¿Puede encon a se
Poesía en las Ma emá icas?, ¿Exis e ma emá ica en la Poesía? u o as simila es.
En el segundo de esos a ículos (Núñez y Pa ale a, 2012a), los au o es mues an a ias poesías
que ienen a los núme os como p o agonis as, con el obje i o de acili a al p o eso de
Ma emá icas de los ni eles de P ima ia, Secunda ia y Bachille a o un nue o ecu so
me odológico no habi ual, que pueda u iliza en sus clases pa a inc emen a el in e és de sus
alumnos hacia la asigna u a. En ese a ículo apa ecen, jun o con un b e e a amien o pa a cada
una de ellas, que incluye e e encias del au o y algunas p opiedades no ables del núme o al que
se alude, una se ie de poesías dedicadas a los núme os na u ales, los p imos y ambién a núme os
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conc e os de especial impo ancia, como pueden se el ce o, el uno, el dos, el núme o Pi, el e, el i
o el núme o áu eo.
En el e ce o de esos a ículos (Núñez y Pa ale a, 2011), los au o es ap o echan pa a mezcla
ambién la poesía con la p osa, si bien conside ada es a úl ima ambién como poé ica, y mues an
una se ie de p oblemas de enunciado de plan eo de ecuaciones y sis emas de ecuaciones
algeb aicos esc i os en o ma de poesía, que pueden se u ilizados po el p o eso a la ho a de
abo da es os emas, an o en los úl imos cu sos de Secunda ia como en P ime o de Bachille a o.
Así, a lo la go de las páginas de ese a ículo an apa eciendo el epi a io esc i o en la umba de
Dio an o, la poesía en las ob as de algunos ma emá icos, como Bhaska a o Fon ana, po ejemplo,
y algunas o as poesías, unas anónimas y o as de di e en es au o es, ambién suscep ibles de se
u ilizadas po el p o eso de Ma emá icas en sus clases a la ho a de explica las ecuaciones y los
sis emas a sus alumnos
Pues bien, es e cua o a ículo que aho a se conside a es á dedicado a p esen a a los lec o es
poesías ma emá icas elacionadas con las igu as y cue pos geomé icos. Su obje i o, simila en
cie a o ma al de los abajos an e io es, es iple. Po una pa e, do a al p o eso de Ma emá icas
de los ni eles de P ima ia, Secunda ia y Bachille a o de un no edoso ecu so me odológico que
pueda u iliza en sus clases pa a despe a el in e és y mo i ación de sus alumnos po la
asigna u a. Po o a, acili a le ambién el a amien o de las compe encias socio-cul u ales,
lingüís icas e idiomá icas que debe desa olla en sus clases, y inalmen e, ayuda le a consegui la
in e disciplina idad en e los espacios cu icula es de Lengua y Ma emá icas, an necesa ia pa a la
o mación global de sus alumnos.
Pasamos en onces a con inuación a mos a una se ie de poesías, que ag upamos en dos secciones.
En dis in os apa ados de la p ime a de ellas se mues an poesías alusi as a igu as geomé icas
planas: ec as, ci cun e encias, cí culos, polígonos y cónicas. En la siguien e sección pasamos al
espacio idimensional, dando el p o agonismo a los cue pos geomé icos, undamen almen e los
polied os. En cualquie caso, y al como indica Danny J. Pe ich Campana1 en (Sec o ma emá ica),
de donde es án omadas algunas de las poesías de es e a ículo: “En ealidad no se a a ía de que
los alumnos se sepan “de memo ia” los di e en es poemas, sino que as lee los a ias eces y
analiza los con el maes o les sea mucho más ácil dis ingui los polígonos y sus ca ac e ís icas
más impo an es”. Se incluye inalmen e una úl ima sección en la que los au o es exponemos, en
o ma b e e y concisa, algunas de nues as conclusiones pe sonales al espec o. Iniciamos
en onces es a ecopilación sob e poesías que hacen e e encia a obje os geomé icos con los
cua o p ime os e sos de una de ellas sob e el pun o (puede consul a se la poesía comple a en
(Ciencia y Poesía). Como asun o escue o de la Nada
no iene anchu a, longi ud ni al u a
pe o es la Base de la a qui ec u a
del Espacio in ini o, e eb ada.
1Danny J. Pe ich Campana, p o eso chileno de Ma emá icas, c eado de la página web Sec o Ma emá ica y de la
compe encia in e nacional de p oblemas ma emá icos El G an Desa ío.
POESÍAS MATEMÁTICAS SOBRE FIGURAS GEOMÉTRICAS
En es a sección incluimos algunas poesías ya exis en es en la li e a u a elacionadas con las
igu as geomé icas planas, comenzando po aquéllas que ienen a la línea ec a como
p o agonis a, pa a segui a con inuación con las dedicadas a los polígonos, ci cun e encias y
demás igu as planas.
Poesías sob e la línea ec a
El siguien e sone o es á omado de (Ca icanos e . Paseo cósmico de e lexión):
Un iejo ma emá ico ins uido
usando la p ecisa geome ía
con luz se enidad y poesía
e eló sus sec e os escondidos.
Dos pun os soli a ios que habían sido
queda on siemp e unidos aquel día
con una línea ec a ¡ que aleg ía!
In inidad de pun os han nacido
en esa línea ec a an pe ec a
la is e soledad no nos a ec a
i imos en con inua ecindad.
No hay disc iminación. No exis en huecos
sub e ugios, ni eos eco ecos.
En la ec a se i e en igualdad.
Poesías sob e el cí culo y la ci cun e encia
El an e io men e ci ado Danny Pe ich indica que con la p ime a de las dos siguien es poesías, de
su au o ía, los alumnos ap ende án la di e encia en e el cí culo y la ci cun e encia, así como el
cálculo del á ea del cí culo y la longi ud de la ci cun e encia.
El cí culo
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el mis e ioso pi an conocido.
La ida es ayec o ia ci cula
pa imos desde un pun o en el camino
al que siemp e ol emos a llega .
Po eso se pasea muy o ondo
un cí culo en mis iejos pe gaminos
el mundo es ci cula . Todo es edondo.
Con un simple compás he cons uido
un cí culo de bellas a monías
es la cu a ideal, ya lo sabía
la más he mosa que en el mundo ha sido.
Longi ud en e adio he di idido
y es o me dio un alo de an asía,
núme o i acional de g an alía
Ci …. ¿Cuán o?
Algunos me llaman cí culo,
pe o soy una ci cun e encia,
pues solo engo con o no,
he ahí la di e encia.
Y sólo el que muy bien se ija
nunca se con undi á
en e el que posee á ea
y la que no la end á jamás.
Po se una ci cun e encia
sabe mi pe íme o es sencillo,
pe o si no quie es con undi e
compá ame con un anillo.
Cuando calculan mi á ea
es po que un cí culo soy
algo pa ecido a una moneda,
como ejemplo e doy.
Si desde el cen o azas
a mi con o no un segmen o,
conoce ás lo que llaman adio
y son in ini os, e cuen o.
Y si unes dos pun os de mí,
una cue da se dibuja á
que si pasa po el cen o
en diáme o de ans o ma á.
Es e diáme o mide,
como e hab ás dado cuen a,
el alo de dos adios
y mil eje cicios se in en an.
Pa a inaliza e comen o:
mi á ea es pi po al cuad ado
y si necesi as mi pe íme o
2 pi po es lo adecuado.
Poesías sob e los iángulos
A a és de es e poema los alumnos ap ende án los di e en es ipos de iángulos que hay, así
como sus p incipales ca ac e ís icas.
La Familia T iángulo
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De mis he manos soy el más deso denado,
como escaleno me han bau izado,
mis ángulos son odos desiguales
y lo mismo pasa con mis lados.
El que no se hace mayo p oblemas
es mi p imo acu ángulo pues menos de 90 g ados iene
la medida de sus ángulos.
Pe o el más chis oso de odos
es el ío ob usángulo
que en e 90 y 180 g ados
iene uno de sus ángulos.
Y si p egun an po el más amoso,
no hay duda: iángulo ec ángulo
con un ángulo de 90 g ados
a sus ca e os a i mando.
A su lado más la go
Todos los iángulos somos
polígonos muy amigables,
3 lados, 3 ángulos, 3 é ices,
nues os elemen os p incipales.
Yo soy el equilá e o
y mis lados iguales engo,
y po más que me es i en y es i en
mis ángulos inal e ables man engo.
Cada uno de ellos mide
exac amen e 60 g ados
y cuando me azan una al u a
quedo en dos pa es iguales, co ado.
Yo soy su he mano isósceles
engo an solo dos lados iguales
y opues os a ellos, modes amen e,
dos ángulos que lo mismo alen.
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´
El Teo ema de Pi ágo as en el T iángulo
esul a igual que el cuad ado de la hipo enusa.
Y es a his o ia amilia inaliza,
en o o momen o nos jun a emos
pa a habla de los cuad ilá e os
y de odo su pa en esco.
(Danny Pe ich Campana)
po hipo enusa han bau izado,
¿c ee ías que en an pequeño iángulo
el más g ande eo ema se ha c eado?
Pi ágo as ue el ma emá ico
que descub ió po sabio y sus musas
que al suma el cuad ado de los ca e os,
Un iángulo ec ángulo cualquie a
mos aba sus ín imos ca e os
la hipo enusa y ángulos comple os
y la gen e eía desde a ue a
No e a una clase se ia, an siquie a
un g upo de es udian es que en quin e o
demos aban un lema muy disc e o
en medio de una la ga pe ique a
La suma de los lados al cuad ado
p egun o un bachille algo delgado
¿Se á el cuad ado de la hipo enusa?
Pa ece una p egun a algo con usa
La geome ía plana es un mis e io
Respondió nues o iángulo muy se io.
Es a poesía es á omada de la página web: “Poesías”. Se puede encon a o a que hace e e encia
al Teo ema de Pi ágo as, de Jo ge Eliéce , en (Ma emá icas di e idas).
Poesías sob e cuad ilá e os
En es a subsección se pueden encon a a ias poesías que se i án pa a es udia los cuad ilá e os
en gene al: los di e en es ipos que hay y sus ca ac e ís icas gene ales.
Los cuad ilá e os
Figu as de cua o lados,
algunos co os, o os la gos,
ho izon ales, e icales, oblicuos,
po diagonales a a esados.
Si suman nues os ángulos
una so p esa se lle a án,
si enemos los lados pa alelos,
cuad ado, ec ángulo, ombo
y omboide, siemp e se emos.
pues in e io es o ex e io es
siemp e 360 g ados suma án.
Po nues as p opiedades
el mundo nos ha di idido;
en pa alelog amos, apecios y apezoides
nos hemos con e ido.
Y nos llaman pa alelog amos

si enemos los lados pa alelos,
cuad ado, ec ángulo, ombo
y omboide, siemp e se emos.
El apecio iene solamen e
un pa de lados pa alelos,
el des a alado apezoide,
no iene ninguno de ellos.
Si mis diagonales son iguales,
se demedian y son pe pendicula es,
es po que soy un cuad ado
aho a muy bien lo sabes.
La di e encia con ese pe sonaje
es que mis diagonales son dis in as
soy el amoso ombo,
no doy au óg a os, no insis an.
Hoy end emos una ies a
y a las ci cun e encias in i a emos
pa a que insc i as o ci cunsc i as
e e namen e bailemos.
(Danny Pe ich Campana)
Muchos alumnos ienden a conside a iguales el cuad ado y el ombo. En la siguien e poesía
pod án es udia las ca ac e ís icas especí icas del ombo.
El Rombo
Tengo mis lados iguales
y eso p esen a un p oblema,
pues algunos no se ijan
y cuad ado me conside an.
Y pa a que ú no e con undas
con i meza debo ecalca
que mis ángulos no son ec os
y los opues os miden igual.
Mis diagonales se co an
en o ma pe pendicula ,
una di ide a la o a
y al e és ocu e igual.
Si e in e esa mi á ea
mul iplica diagonal po diagonal,
luego di ide po la mi ad
y el esul ado ya es á.
(Danny Pe ich Campana)
Hemos ecopilado o as dos poesías sob e cuad ilá e os, que mos amos a con inuación. La
p ime a es á dedicada al ec ángulo y puede e se en la página web: “Poesía”. La segunda es un
sone o dedicado al cuad ado (Ciencia y Poesía).
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El Rec ángulo
Euclides pa ado en la piza a
enseñaba su a e, sus igu as
demos aba eo emas con b a u a
y nada se escapaba de sus ga as.
Un cuad ado su il, como se na a
mos ó sus cua o lados con inu a
sus ángulos pe ec os y su al u a
y Euclides lo expulsó con mucha saña.
Rec ángulo cu ioso es el cuad ado
pues conse a la igualdad en e sus lados
al igual que sus la gas diagonales.
Hoy me sien o eliz de habe no ado
la belleza sublime de un cuad ado
y la ciencia e oz de los mo ales.
El Cuad ado
Recin o egula de cua o lados,
dos a dos pa alelos y has a iguales,
que si con iguos son o ogonales,
ec os en sus encuen os esquinados.
En dos bandos epa es us cos ados
según los cua o pun os ca dinales:
No e y Su , aliados a e nales
al Es e y al Oes e con on ados
cuando de “b idge” o mus e uel es cancha,
de dominó las ichas má mol hie en,
o e es sesen a y cua o jed ezado.
Po seis los hexaed os e equie en
y, si la pe spec i a se e ensancha,
das a la G an Pi ámide el azado.
Poesías sob e o os polígonos en gene al
Se mues an a con inuación a ias poesías ela i as an o a los polígonos en gene al como al
pen ágono ( omada de Ca icanos e . Paseo cósmico de e lexión) y al hexágono, en pa icula .
Polígonos
Segmen os unidos enemos
Región ce ada nos iden i ica
Mínimo es é ices poseemos
La geome ía así lo explica
Si dos é ices de mí unes
Una diagonal end ás
Si odas nos eúnes
Un modelo ma emá ico ob end ás
Si seis lados me di e encian
Un hexágono iden i icas
Insc i o en la ci cun e encia
Radio de es a ipi icas
En un iángulo
Diagonal no se puede aza
Mide a es e sus ángulos
De 180 g ados no puede pasa
Si como egula me iden i icas
Mi apo ema es sencillo aza
Una pe pendicula ipi icas
Con ella mi á ea calcula .
(Adonay Ja amillo Ga ido)
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El Pen ágono
Nacido del azo limpio y p eciso se dibuja
una singula igu a conocida po pen ágono,
gua da en sus diagonales sec e os de amo
como el iángulo, el cuad ado, la es ella
y el esplando del ec ángulo áu eo
po condensa ma emá ica espí i u y amo .
Y en cada pun a exis e el co e diaman e
¡Qué belleza! Cuan a ella y oda jun a
son los dedos de u mano que yo pido en ma imonio.
Se pen ágono en igu a es geomé ica pe ec a
que p ecisa de limpieza po se eal su magni ud
insc ibe silue a es ela y omán ica lo de ce eza
elegido molde en compás y su il su línea ec a
iene po núme o el cinco que po g ado se le die a
una V de la ic o ia según la Roma Impe ial
y una V de la e dad esc i a en lengua cas iza.
Una pun a en ó en sus pies que andu ie on po el mundo.
O as dos en cada mano po sus ob as y su amo .
Una cua a ijo insul o señalando su des ino.
Y la quin a ab ió paso pa a el agua en su cos ado.
Al pen ágono y a su p opo ción do ada
me queda á siemp e un sen i de admi ación
sus segmen os de inen la escala de música en el pen ag ama.
(Ca los Ricaño)
El Hexágono
Los seis equidis an es en la ueda,
y del cen o ambién a igual dis ancia,
dan al hexágono clásica elegancia,
sob ia y exac a, sin que nada exceda.
El adio es canon, i ual moneda,
con que la geomé ica p es ancia
doce eces sin me ma de impo ancia
lados ubica o adios mien as pueda.
Si de uno en uno, egula con exo;
de dos en dos si also o es ellado,
emblema de Sión mal cons elado.
En odo caso, cual ubicuo nexo,
bajo el ec o aldón del hexalá e o
siemp e yace el iángulo equilá e o.
(F ancisco Redondo Beni o)
Poesías sob e cónicas en gene al
En el sis ema educa i o español, los alumnos se en en an po p ime a ez a las cónicas en
Secunda ia, a ándolas de una o ma pu amen e in ui i a como igu as geomé icas esul an es
del co e de un cono po un plano en di e en es posiciones de es e úl imo. En Bachille a o ya se
p o undiza en es e es udio y se las conside a como luga es geomé icos del plano, desc ibiéndolas
po sus ecuaciones implíci as. En las siguien es poesías, en las que se ado nan las ca ac e ís icas
de es as igu as, puede adi ina se ambién algo de odo es o. Ambas poesías han sido esc i as po
F ancisco Redondo Beni o en Ciencia y Poesía y Mundopoesía espec i amen e.
La Elipse
En e ocos, de un cono ebanada,
cuya suma en dis ancias se man iene.
Ó bi a secula en que en e iene
un sol su singladu a en e la nada.
Pis a pa a plane as, es elada,
ci culan e balle que a y que iene
en e los signos que el Zodiaco iene,
con sus u ús de lumb e e lejada.
Oblongo edondel cuyos dos ejes
pa en en cua o, en jus a sime ía,
ca abones de cu a hipo enusa.
Excén ico su adio des a ía
según a cual lo ace ques o lo alejes
de esos dos ejes de unción abs usa.
La Hipé bola
Del pu o cono de e olución,
pa alelo a su eje, plano alzado,
de in ini a segu , ajo a ilado
ob iene la hipe bólica sección.
Geomé ica y ne a condición:
que el pun o, en sus dis ancias, apa ado
de los ocos que i adian a su lado,
dé cons an e la nuda subs acción.
A ma ensada del asi io a que o
en un espejo e so e lejada,
cuya asín o a oza en lo in ini o.
Equis en cu a o a, desgajada,
que abo a un beso sin nace , ma chi o,
y amo igua su g i o pos ime o.
POESÍAS MATEMÁTICAS SOBRE CUERPOS GEOMÉTRICOS
En es a sección ampliamos una dimensión y se mues an algunas poesías elacionadas con
di e en es cue pos geomé icos espaciales, en pa icula con los polied os.
Como ya es sabido, el mundo de los polied os desbo da ampliamen e los lími es de la Geome ía
y ocupa un luga p e e en e en odos los ámbi os de nues a ida. Así, en palab as de Ped o
Miguel González U baneja2, e dade a p osa ma emá ico-poé ica po o a pa e, puede lee se:
La exube an e geome ía de los polied os egula es ha ascinado, cul u a as cul u a,
desde los pueblos neolí icos has a nues os días, con signi icados de o igen es é ico,
simbólico, mís ico y cósmico. Los polied os son el núcleo de la cosmogonía
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2 Ped o Miguel González U baneja, econocido ma emá ico y di ulgado español de es a disciplina. P o eso de la
Uni e sidad de Ba celona y de la Uni e sidad Poli écnica de Ca aluña, ha publicado nume osos lib os sob e la dimensión
cul u al e las Ma emá icas y su unción en la his o ia del pensamien o.