Modelo de Reg esión pa a azones y
p opo ciones:
Va ian es y aplicaciones
socio-económicas y biosani a ias
T abajo Fin de G ado
Dep . de Es adís ica e In es igación Ope a i a
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Cu so 2014-2015
Au o : Ana Ma ía Real Pé ez
Tu o : Juan Manuel Muñoz Picha do
.
Abs ac
Many esea che s use eg ession models o analyse da a and s udy he ela-
ionship be ween some a iables. The linea eg ession model, in pa icula ,
is commonly used in applica ions. This pape p oposes a model based on
he assump ion ha he esponse is be a dis ibu ed, which is e y lexible
o modelling p opo ions. Fo his eason, his model is app op ia e o si-
ua ions whe e he esponse is es ic ed o he in e al (0, 1). The goal is
o collec he modelling and in e en ial p ocedu es o be a eg ession, in-
cluding a desc ip ion o be a eg package which p o ides he class o be a
eg essions in he R sys em o s a is ical compu ing. Fu he mo e, some
p ac ical applica ions ha employ eal da a a e men ioned and desc ibed a
he end.
.
Índice gene al
1. Dis ibución be a 7
1.1. In oducción............................ 7
1.2. Ca ac e ización.......................... 10
1.3. P opiedades y elaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. In e p e ación de pa áme os. O as pa ame izaciones . . . . 13
1.5. Aplicaciones............................ 17
2. Reg esión be a 19
2.1. Elmodelo............................. 19
2.2. Es imación de pa áme os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Con as es de hipó esis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Medidasdeajus e ........................ 27
2.5. O as a ian es del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Aplicaciones con R 29
3.1. El paque e Be a eg ....................... 29
3.2. Aplicaciones p ác icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5

Capí ulo 1
Dis ibución be a
1.1. In oducción
La dis ibución be a es una amilia de dis ibuciones de p obabilidad
con inuas de inidas en el in e alo [0,1] pa ame izadas po dos pa áme os,
deno ados αyβ, que con olan la dis ibución de la a iable alea o ia.
La dis ibución be a es usada pa a modela el compo amien o de a ia-
bles alea o ias limi adas po in e alos de longi ud ini a. En pa icula , es
una dis ibución adecuada pa a po cen ajes y p opo ciones.
Un es udio ealizado po Robe Kieschnick, de la Uni e sidad de Texas,
y BD McCullough, de la Uni e sidad D exel [1], compa a sie e modelos de
eg esión básicos pa a p opo ciones obse adas en el in e alo abie o (0,1).
Es os modelos son:
1. Dis ibución no mal: unción espues a lineal
En es e modelo se asume que la dis ibución condicionada es una dis-
ibución no mal y además la espe anza condicionada es una unción
lineal de unas a iables p edic o as x, es deci ,
(y|x)∼N(k(x), σ2)con k(x) = x0β
2. Dis ibución no mal logís ica adi i a
Usando la ans o mación logi en la a iable dependien e, ln(y/(1 −
y)), enemos el modelo
ln y
1−y!=x0β+
7
donde se asume que se dis ibuye según una no mal es ánda . Si
la a iable ysigue una dis ibución no mal logís ica adi i a, se puede
demos a que la a iable z= ln(y/(1 −y)) sigue una dis ibución
no mal.
3. Dis ibución no mal censu ada
Modelo en el cual de inimos la a iable
yi=






0, y∗
i≤0
y∗
i,0< y∗
i<1
1, y∗
i≥1
asumiendo que y∗
ise dis ibuye según una no mal y que se puede es-
c ibi como
y∗
i=x0
iβ+ui, i = 1,2, . . . , n
donde uise conside an independien es e idén icamen e dis ibuidas
según una no mal es ánda .
4. Dis ibución no mal: unción espues a no lineal
Pa a el es udio de la unción espe anza condicionada muchos in es-
igado es ecomiendan usa la unción logís ica acumulada, que iene
dada po :
yi=1
1 + e−(α+βxi)+i
donde isigue una dis ibución no mal es ánda .
5. Dis ibución be a
Conside amos que la a iable yes á dis ibuida de la siguien e o ma:
(y) = 1
B(p, q)yp−1(1 −y)q−1
donde 0≤y≤1yB(p, q)es la unción be a.
Pa a el modelo de eg esión be a podemos segui el modelo de e-
g esión lineal y asumi que la media es una unción lineal de o as
a iables independien es x. Es deci , asumimos que la a iable ysigue
una dis ibución be a y que
E(y|x) = p
p+q=x0β
8
O o modelo se ía usa la unción ínculo logi , que consis e en consi-
de a
E(yi|xi) = 1
1 + exp(−x0
iβ)
6. Dis ibución simple
O o modelo de eg esión pa a p opo ciones se basa en la dis ibución
simple, que iene dada po
(y;µ, σ2) = h2πσ2{y(1 −y)}3i−1/2exp (−1
2d(y;µ))
pa a 0< y < 1, donde
d(y;µ) = (y−µ)2
y(1 −y)µ2(1 −µ)2
es la des iación, y 0<µ<1.
El modelo lineal gene alizado puede se aplicado a modelos basados en
la dis ibución simple, usando como unción ínculo la unción logi .
7. Modelo de eg esión quasi-pa amé ico
Todos los casos an e io es e an modelos de eg esión pa amé icos, po
lo que el úl imo modelo es el modelo de eg esión de quasi- e osimili ud
pa a p opo ciones del in e alo (0,1) usando un núme o ini o de ob-
se aciones lími e, es deci , 0s y 1s:
li(β) = yiln[G(xi)] + (1 −yi) ln[1 −G(xi)]
con G(·)una unción de las xique e i ique 0< G(·)<1. En el es udio
se u iliza la unción logís ica en los casos p ác icos.
Una ez p esen ados los modelos de eg esión más usados pa a el análisis
de p opo ciones, és os son aplicados a da os eales pa a pode compa a las
en ajas y des en ajas de cada modelo.
A pa i de es e análisis compa a i o, Kieschnick y McCullough con-
cluyen su es udio ecomendando a los in es igado es usa en el u u o un
modelo de eg esión pa amé ico basado en la dis ibución be a.
Es e capí ulo se es uc u a en 5 secciones. En la segunda sección se p e-
sen an dis in as ca ac e izaciones de la dis ibución be a , en la sección 1.3
se ecogen algunas p opiedades de in e és de la dis ibución, en la siguien e
9
α≥1,β < 1
•Fo ma de J con cola a la izquie da
•Coe icien e de asime ía nega i o
•Dis ibución es ic amen e c ecien e y con exa
•moda = 1
•1/2< mediana < 1
•0< a (X)<−11+5√5
2
α= 1,β > 1
•Coe icien e de asime ía posi i o
•Dis ibución es ic amen e dec ecien e
•Simé ica a la dis ibución unción po encia, (x) = xken el
in e alo [0,1]
•moda = 0
•Si α= 1 y1< β < 2la unción es cónca a con 1−1/√2<
mediana < 1/2y1/18 < a (X)<1/12
•Si α= 1 yβ= 2 es una ec a de pendien e -2 con mediana =
1−1/√2y a (X)=1/18
•Si α= 1 yβ > 2la dis ibución iene o ma de J con cola a la
de echa, es con exa con 0< mediana < 1−1/√2y0< a (X)<
1/18
α > 1,β= 1
•Coe icien e de asime ía nega i o
•Dis ibución es ic amen e c ecien e igual a la dis ibución un-
ción po encia en [0,1]
•moda = 1
•Si 1<< 2yβ= 1 la unción es cónca a con 1/2< mediana <
1/√2y1/18 < a (X)<1/12
•Si α= 2 yβ= 1 es una ec a de pendien e +2 con mediana =
1/√2y a (X)=1/18
•Si α > 2yβ= 1 ob iene una o ma de J con cola a la izquie da
y con exa con 1/√2< mediana < 1y0< a (X)<1/18
16

Figu a 1.2: Figu a supe io izquie da: dis ibución be a con β= 2,5yα
a iando de 0 a 9. Figu a supe io de echa: dis ibución be a con β= 5,5
yα a iando de 0 a 9. Figu a in e io : dis ibución be a con β= 8 yα
a iando de 0 a 10.
1.5. Aplicaciones
La dis ibución be a iene impo an es aplicaciones como en la eo ía de
los es adís icos o denados. El k-ésimo es adís ico o denado de una mues a
de amaño nde una dis ibución con inua uni o me sigue una dis ibución
be a, es deci , X(k)∼Be a(k, n + 1 −k).
Es a dis ibución ambién iene uso en la in e encia Bayesiana, ya que
p oduce una amilia de dis ibuciones de p obabilidad a p io i conjugadas,
como po ejemplo Be a(1,1) (dis ibución uni o me en el in e alo (0,1)),
Be a(0,0), (dis ibución Be noulli cuando α, β →0) y Be a(1/2,1/2).
Finalmen e, como se ecoge en la in oducción de es e capí ulo y se ilus a
en el capí ulo siguien e, la dis ibución be a juega un papel undamen al en
la modelización de azones y p opo ciones.
17
.
18
Capí ulo 2
Reg esión be a
2.1. El modelo
El modelo de eg esión comúnmen e iene po obje i o modela y ana-
liza la elación de una a iable obje i o con o as a iables explica i as
a a és de un conjun o de da os obse ados. En pa icula , el modelo de
eg esión lineal se usa con ecuencia, sin emba go no es ap opiado pa a si-
uaciones en la que la a iable espues a es á es ingida al in e alo (0,1).
Una posible solución es ans o ma la a iable dependien e pa a que ome
alo es en la ec a eal, y en onces modela la media de la a iable espues a
ans o mada. Es a ap oximación iene algunos incon enien es como el he-
cho de que los pa áme os del modelo no pueden se ácilmen e in e p e ados
en é minos de la a iable o iginal. El obje i o es p opone un modelo de
eg esión ap o pa a si uaciones donde la a iable dependien e yes con inua
en el in e alo unidad, es deci , 0< y < 1.
Es e capí ulo de es uc u a en 5 secciones. En la p ime a desc ibimos
la es uc u a del modelo, la in e encia co espondien e se desa olla en la
segunda sección, en la siguien e se p esen an los con as es de hipó esis y
las medidas de ajus e en la sección 1.4. Po úl imo, se p esen a una posible
ex ensión del modelo clásico.
La bibliog a ía u ilizada pa a el desa ollo de es e capí ulo es:
Fe a i yC iba i-Ne o (2004). “Be a Reg ession o Modelling
Ra es and P opo ions”[4]
C iba i-Ne o yQuei oz (2014). “On es ing in e ence in be a eg essions”[5]
Hipó esis dis ibucional
19
El modelo se basa en asumi que la a iable obje i o yse dis ibuye se-
gún la dis ibución be a, la cual es ap opiada pa a modela p opo ciones,
como se ha ecogido p e iamen e en el Capí ulo 1.
Tomamos una nue a pa ame ización. Sea µ=α
α+βyφ=α+βse iene
que α=µφ yβ= (1 −µ)φ. En consecuencia, la espe anza y la a ianza de
la a iable obje i o se pueden esc ibi en unción de es os nue os pa áme os
de la siguien e o ma:
E[y] = µ V a [y] = µ(1 −µ)
1 + φ
donde µes la media de la a iable espues a y φpuede se in e p e ado
como el pa áme o de p ecisión, en el sen ido de, ijado µ, a mayo alo
de φ, meno es la a ianza de la a iable. La unción de densidad puede se
esc i a con la nue a pa ame ización como:
(y, µ, φ) = Γ(φ)
Γ(µφ)Γ((1 −µ)φ)yµφ−1(1 −y)(1−µ)φ−1,0< y < 1
donde 0< µ < 1yφ > 0. El modelo p opues o es ambién ú il pa a
si uaciones donde la a iable espues a se es inge a in e alos gené icos
(a,b), donde aybson escala es a < b. En es e caso se modela con y−a
b−aen
ez de modela con ydi ec amen e.
Hipó esis es uc u al
Sean y1, . . . , yn a iables alea o ias independien es, donde pa a cada y ,
= 1, . . . , n, se asume la hipó esis dis ibucional an e io con media µ y
pa áme o de p ecisión φdesconocido. El modelo se ob iene asumiendo que
la media de cada y ,µ , es inculado al p edic o lineal, η , como sigue:
g(µ ) = Pk
i=1 x iβi=x>
β=η
donde β= (β1, . . . , βk)>es un ec o desconocido de pa áme os de e-
g esión (β∈R)y(x 1, . . . , x k)es un ec o de kcomponen es (k < n).
Finalmen e, g: (0,1) 7−→ Res una unción ínculo es ic amen e c ecien e
y dos eces di e enciable. La a ianza de y es una unción de µ y, en con-
secuencia, de los alo es co a ian es x . Po an o, la a ianza de la a iable
espues a puede se inco po ada al modelo.
Algunas posibles elecciones pa a la unción ínculo g(·)son:
20
Función logi :g(µ) = log (µ
1−µ)
Función p obi :g(µ)=Φ−1(µ), donde Φ(·)es la unción de dis i-
bución de una a iable alea o ia no mal es ánda .
Función log-log:g(µ) = −log {−log(1 −µ)}
Función log-log complemen a ia:g(µ) = log {−log(1 −µ)}
En pa icula , la unción ínculo logi se puede esc ibi :
x>
β= log (µ
1−µ)⇐⇒ µ =ex>
β
1 + ex>
β
donde x>
= (x 1, . . . , x k), = 1, . . . , n. Aquí, los pa áme os de eg e-
sión ienen una in e p e ación in e esan e. Supongamos que el alo de la
i-ésima a iable, x i, es inc emen ado en cunidades, man eniendo las demás
a iables con su alo o iginal, y sea µ∗la media de ybajo los nue os alo es
de las a iables explica i as y µla media de ycon los alo es o iginales.
En onces, es ácil comp oba que
ecβi=µ∗/(1 −µ∗)
µ/(1 −µ)
de mane a que ecβies igual a la odds a io. Pa a el desa ollo de la si-
guien e sección, co espondien e a la es imación de pa áme os, se ha elegido
la unción ínculo logi .
2.2. Es imación de pa áme os
La es imación de pa áme os suele esol e se po el mé odo de máxima
e osimili ud. La unción de log- e osimili ud basada en una mues a de n
a iables espues a independien es dis ibuidas según una be a es:
l(β, φ) = Pn
=1 l (µ , φ)
donde
l (µ , φ) = log Γ(φ)−log Γ(µ φ)−log Γ((1 −µ )φ)+(µ φ−1) log y + ((1 −
µ )φ−1) log(1 −y )
La unción sco e, U= (Uβ(β, φ), Uφ(β, φ))>, es ob enida de i ando la
unción de log- e simili ud con espec o a los pa áme os desconocidos del
modelo (β, φ).
21

∂l(β, φ)
∂βi
=
n
X
=1
∂l (µ , φ)
∂µ
dµ
dη
∂η
∂βi
No amos que dµ /dη = 1/g0(µ )y que
∂l (µ , φ)
∂µ
=φ"log y
1−y −{ψ(µ φ)−ψ((1 −µ )φ)}#
donde ψ(·)es la unción digamma, ecogida en el Capí ulo 1.
Si llamamos y∗
= log {y /(1 −y )}yµ∗
=ψ(µ φ)−ψ((1−µ )φ)se puede
esc ibi la de i ada de la unción de log- e osimili ud de la siguien e o ma:
∂l(β, φ)
∂βi
=φ
n
X
=1
(y∗
−µ∗
)1
g0(µ )x i
de la cual ob enemos la exp esión ma icial de la unción sco e pa a β:
Uβ(β, φ) = φX>T(y∗−µ∗)
donde Xes una ma iz n×kcuya -ésima componen e es x>
,y∗= (y∗
1, . . . , y∗
n)>,
µ∗= (µ∗
1, . . . , µ∗
n)>yTes una ma iz diagonal cuya exp esión es
T=diag 1/g0(µ1),...,1/g0(µn)
Se puede demos a de mane a simila que la unción sco e pa a φpuede
se esc i a de la siguien e o ma:
Uφ(β, φ) =
n
X
=1 {µ (y∗
−µ∗
) + log(1 −y )−ψ((1 −µ )φ) + ψ(φ)}
El siguien e paso es ob ene la ma iz de in o mación de Fishe . La se-
gunda de i ada de l(β, φ)con espec o a los pa áme os βs iene dada po
∂2l(β, φ)
∂βi∂βj
=Pn
=1
∂
∂µ ∂l (µ , φ)
∂µ
dµ
dη !dµ
dη
∂η
∂βj
x i
=Pn
=1 ∂2l (µ , φ)
∂µ2
dµ
dη
+∂l (µ , φ)
∂µ
∂
∂µ
dµ
dη !dµ
dη
x ix j
Como E(∂l (µ , φ)/∂µ )=0, se iene
E ∂2l(β, φ)
∂βi∂βj!=
n
X
=1
E ∂2l (µ , φ)
∂µ2
! dµ
dη !2
x ix j
Aho a, de i ando la exp esión an e io ∂l (µ , φ)/∂µ se ob iene
22
∂2l (µ , φ)
∂µ2
=−φ2ψ0(µ φ) + ψ0((1 −µ )φ)
y po an o, deno ando w =φ{ψ0(µ φ) + ψ0((1 −µ )φ)}1
(g0(µ ))2,
E ∂2l(β, φ)
∂βi∂βj!=−φ
n
X
=1
w x ix j
En o ma ma icial, se esc ibe
E ∂2l(β, φ)
∂β∂β>!=−φX>WX
siendo W=diag {w1, . . . , wn}.
La segunda de i ada de l(β, φ)con espec o a algún βiyφpuede se
esc i a como
∂2l(β, φ)
∂βi∂φ =
n
X
=1 "(y∗
−µ∗
)−φ∂µ∗
∂φ #1
g0(µ )x i
Si E(y∗
) = µ∗
y∂µ∗
/∂φ =ψ0(µ φ)µ −ψ0((1 −µ )φ)(1 −µ ), se llega a
E ∂2l(β, φ)
∂βi∂φ !=−
n
X
=1
c
1
g0(µ )x i
donde c =φ{ψ0(µ φ)µ −ψ0((1 −µ )φ)(1 −µ )}. Sea c= (c1, . . . , cn)>, en
no ación ma icial se esc ibe
E ∂2l(β, φ)
∂βi∂φ !=−X>T c
Po úl imo, se ob iene ∂2l(β, φ)/∂φ2de i ando la exp esión de Uφ(β, φ)
espec o de φ. Sea d =ψ0(µ φ)µ2
+ψ0((1−µ )φ)(1 −µ )2−ψ0(φ), se llega a
E ∂2l(β, φ)
∂φ2!=−
n
X
=1
d
que en o ma ma icial se puede esc ibi como
E ∂2l(β, φ)
∂φ2!=− (D)
siendo D=diag {d1, . . . , dn}.
En onces la ma iz de in o mación de Fishe iene dada po
23
K=K(β, φ) = Kββ Kβφ
Kφβ Kφφ!
donde
Kββ =φX>W X
Kβφ =K>
φβ =X>Tc
Kφφ = (D) = Pn
=1 ψ0(µ φ)µ2
+ψ0((1 −µ )φ)(1 −µ )2−ψ0(φ)
Se e i ica que bajo condiciones de egula idad, cuando el amaño de
mues a es su icien emen e g ande, se iene el siguien e compo amien o
asin ó ico de los es imado es de máxima e osimili ud ˆ
β, ˆ
φ:
ˆ
β
ˆ
φ!∼Nk+1 β
φ!, K−1!
siendo K−1la in e sa de la ma iz de in o mación de Fishe
K−1(β, φ) = Kββ Kβφ
Kφβ Kφφ!
donde
Kββ =1
φ(X>WX)−1(Ik+X>Tcc>T>X(X>wX)−1
γφ )
Kβφ = (Kφβ)>=−1
γφ(X>WX)−1X>T c
Kφφ =γ−1
donde Ikes la ma iz iden idad k×kyγ= (D)−φ−1c>T>X(X>WX)−1X>Tc.
Los es imado es de máxima e simili ud de βyφ, es deci ˆ
βyˆ
φ, son
solución del sis ema de ecuaciones
(Uβ(β, φ)=0
Uφ(β, φ)=0
Sin emba go, es as ecuaciones no son lineales, po lo que es necesa io
esol e las po maximización numé ica de la unción de log- e osimili ud
usando un algo i mo de op imización no lineal, como mé odos New on o
Quasi-New on; pa a más de alles, e Nocedal y W igh (1999)[6]. Pa a ello,
se equie e especi ica un alo inicial pa a las i e aciones, como el es imado
mínimo-cuad á ico pa a βob enido de una eg esión lineal de las a iables
espues a an o madas g(y1), . . . , g(yn)en X, es deci , (X>X)−1X>z, don-
de z= (g(y1), . . . , g(yn))>. También se necesi a un alo inicial pa a φ. A
pa i de la exp esión de la a ianza de las a iables espues a ans o madas
llegamos a la siguien e exp esión de φ:
24
a (g(y )) = µ (1 −µ )
1 + φ⇒φ=µ (1 −µ )
a (g(y )) −1
Obse amos que
a (g(y )) ≈ a {g(µ )+(y −µ )g0(µ )}= a (y ){g0(µ )}2
y de ahí se iene que a (y )≈ a (g(y )) {g0(µ )}−2. Po an o, un posible
alo inicial pa a φes
1
nPn
=1
ˇµ (1 −ˇµ )
ˇσ2
−1
donde
ˇµ =g−1(x>
(X>X)−1X>z)
ˇσ2
=ˇe>ˇe
(n−k){g0(ˇµ )}2
con ˇe=z−X(X>X)−1X>zel ec o de esiduos de minimos cuad ados.
2.3. Con as es de hipó esis
Conside emos el con as e de hipó esis pa a el ec o de pa áme os β=
(β1, . . . , βm)>, con m<k,
(H0:β=β(0)
H1:β6=β(0)
donde β(0) = (β(0)
1, . . . , β(0)
m)>es un ec o de dimensión mdado. El es a-
dís ico basado en la log- e osimili ud iene dado po :
w1=−2l(˜
β, ˜
φ)−l(ˆ
β, ˆ
φ)
donde l(β, φ)es la unción de log- e osimili uud y (˜
β>,˜
φ)>es el es imado
de máxima e osimili ud de (β>, φ)>bajo H0. Valo es g andes de es e es a-
dís ico signi ica ía una g an di e encia en e la máxima log- e simili ud con
el máximo ob enido asumiendo como cie a la hipí esis nula, con lo que i ía
a a o del echazo de H0.
Bajo condiciones de egula idad y bajo H0se e i ica que w1sigue asin-
ó icamen e una dis ibución chi-cuad ado con mg ados de libe ad.
O os es adís icos usados pa a el análisis de es e con as e son:
25
con e ged unción lógica que indica si op im con e ge.
call unción o iginal call.
o mula ó mula o iginal.
e ms lis a con los elemen os "mean",
"p ecision
2
" ull"que con ienen
las condiciones de los espec i os modelos.
le els lis a con los elemen os "mean", "p ecision"
y " ull"que con ienen los ni eles de las a ibles ca egó icas.
con as s lis a con los elemen os "mean", "p ecision"que
con ienen los con as es co espondien es a los ni eles de los
espec i os modelos.
model es uc u a del modelo en caso de model=TRUE.
y ec o de la a iable espues a en caso de y=TRUE
xlis a con los elemen os "mean", "p ecision"
que con ienen las ma ices de los espec i os modelos,
en caso de x=TRUE
Comando be a.con ol
Todos los pa áme os en be a eg son es imados po máxima e simili-
ud usando op im con opciones de con ol en be a eg.con ol. Los alo es
iniciales pueden se elegidos ia s a o es imados po lm.w i .
be a eg.con ol(phi = TRUE, me hod = "BFGS", maxi = 5000, hessian
= FALSE, ace = FALSE, s a = NULL, smaxi = 200, s ol = 1e-8,
...)
A gumen os:
phi indica si el pa áme o de p ecisión φdebe se a ado
como un pa áme o del modelo (TRUE po de ec o).
me hod lis a de ca ac e es que especi ica el a gumen o me hod
de op im
32

maxi núme o en e o que especi ica el a gumen o maxi
(máximo núme o de i e aciones) de op im.
ace a gumen o lógico o núme o en e o que con ola si la in o mación
du an e el p og eso de la op imización debe se mos ada.
hessian a gumen o lógico que con ola si la ma iz hessiana esul an e
de op im debe se usada pa a la es imaciónde la ma iz
de co a ianzas. Po de ec o, es empleada.
s a ec o opcional con alo es iniciales pa a odos los pa áme os,
incluido el pa áme o φ.
smaxi núme o máximo de i e aciones en el mé odo i e a i o ma cado de Fishe .
s ol ole ancia numé ica pa a la con e gencia del mé odo i e a i o de Fishe .
... a gumen os pa a op im.
Plo en be a eg
El comando plo pa a obje os be a eg p oduce a ios ipos de g á icos
de diagnós ico, incluyendo a ios ipos de esiduos, medidas de in luencia,
e c.
plo (x, which = 1:4, cap ion = c(“Residuals s indices o obs.",
“Cook’s dis ance plo ", "Gene alized le e age s p edic ed alues",
“Residuals s linea p edic o ", "Hal -no mal plo o esiduals",
"P edic ed s obse ed alues"), sub.cap ion = pas e(depa se(x$call),
collapse = " @"), main = @, ask = p od(pa ("m col")) <leng h(which)
&& de .in e ac i e(), ..., ype = "sweigh ed2", nsim = 100, le el
= 0.9)
A gumen os:
xmodelo obje o de clase "be a eg"
which a gumen o numé ico. Si sólo es necesa io un subconjun o de
g á icos, especi ica un subconjun o de los núme os 1:6.
cap ion ca ac e es. Comen a io al pie de la g á ica.
sub.cap ion ca ac e es. Tí ulo común bajo las igu as en caso de habe
múl iples.
main ca ac e es. Tí ulo de cada g á ica además del pie de imagen.
ask a gumen o lógico. Si TRUE, se p egun a al usua io an es
de cada g á ica.
... o os pa áme os pa a ep esen a unciones.
ype ca ác e que indica el ipo de esiduo que se usa, e
esiduals.be a eg.
nsim numé ico. Núme o de simulaciones en hal -no mal plo s.
le el numé ico. Ni el de con ianza en hal -no mal plo s.
33
P edicciones en be a eg
Las p edicciones en un modelo de eg esión be a pueden da se en alo-
es del in e alo (0,1) o en una escala del p edic o lineal. En R, usamos la
unción p edic .
p edic (objec , newda a = NULL, ype = c( esponse", "link", "p ecision",
" a iance", "quan ile"), na.ac ion = na.pass, a = 0.5, ...)
A gumen os:
objec modelo obje o de clase "be a eg"
newda a opcionalmen e, es una base de da os pa a busca a iables pa a
p edeci . Si se omi e, se usa las obse aciones o iginales.
ype ca ác e que indica el ipo de p edicciones: co espondien e a la
media de las a iables espues a (" esponse"), al p edic o
lineal ("link"), al pa áme o de p ecisión ("p ecision"),
a la a ianza de las a iables espues a (" a iance"),
o a los cuan iles de la dis ibición de las a iables espues a
("quan ile")
na.ac ion unción que de e mina lo que hace con los alo es pe didos en
newda a.
a ec o numé ico que indica los cuan iles pa a p edeci en caso de
ype = "quan ile". Po de ec o, a = 0.5.
Base de da os GasolineYield.
A con inuación, se usa el paque e be a eg pa a aplica el modelo de e-
g esión be a a una base de da os llamada GasolineYield, que con iene las
p opo ciones de pe óleo con e ido en gasolina as la des ilación acciona-
da. Es e conjun o de da os es a o mado po 32 obse aciones de 6 a iables:
yield p opo ción de pe óleo con e ido el gasolina
as la des ilación accionada.
g a i y g a edad del pe óleo (en g ados API).
p essu e p esión del pe óleo (lb /in2).
emp10 empe a u a (en g ados F) en la cual el 10 %
del pe óleo se ha apo izado.
emp empe a u a (en g ados F) en la cual odo el
pe óleo se ha apo izado.
ba ch ac o que indica el conjun o de condiciones
g a i y, p essu e y emp10.
34
La a iable dependien e es la p opo ción de pe óleo con e ido en gaso-
lina, siendo el es o las a iables explica i as del modelo. Diez subconjun os
de alo es de las es p ime as a iables explica i as co esponden a diez
ipos de pe óleo dis in os, los cuales ue on suje os en la des ilación a con-
diciones con oladas expe imen almen e. Es as condiciones se ecogen en la
a iable ba ch.
Código:
>da a("GasolineYield", package = "be a eg")
>gy <- be a eg(yield g a i y + p essu e + emp10 + emp, da a =
GasolineYield)
>summa y(gy)
Los esul ados del código an e io son los siguien es:
Call:
be a eg( o mula = yield ∼g a i y + p essu e + emp10 + emp, da a
= GasolineYield)
S anda dized weigh ed esiduals 2:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.1189 -0.6985 -0.0088 0.6306 2.1572
Coe icien s (mean model wi h logi link):
Es ima e S d. E o z alue P (>|z|)
(In e cep ) -2.6949422 0.7625693 -3.534 0.000409 ***
g a i y 0.0045412 0.0071419 0.636 0.524871
p essu e 0.0304135 0.0281007 1.082 0.279117
emp10 -0.0110449 0.0022640 -4.879 1.07e-06 ***
emp 0.0105650 0.0005154 20.499 <2e-16 ***
Phi coe icien s (p ecision model wi h iden i y link):
Es ima e S d. E o z alue P (>|z|)
(phi) 248.24 62.02 4.003 6.26e-05 ***
- - -
Signi . codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1
Type o es ima o : ML (maximum likelihood)
Log-likelihood: 75.68 on 6 D
Pseudo R-squa ed: 0.9398
Numbe o i e a ions: 144 (BFGS) + 5 (Fishe sco ing)
Po an o,los esul ados del modelo indica la signi icación de las a iables
35
emp10 y emp en la modelización de la a iable yield. Y sin emba go, la
no signi icación de las a iables g a i y yp essu e.
La ep esen ación g á ica de los esul ados se ob iene a a és de las
siguien es ó denes:
>pa (m ow = c(3, 2))
>plo (gy, which = 1:6)
>pa (m ow = c(1, 1))
36
Figu a 3.1: Conjun o de g á icas gene adas con el comando plo
37

3.2. Aplicaciones p ác icas
En es a sección se mencionan y desc iben algunos es udios eales ela-
cionados con el modelo de eg esión be a:
B e on y o os (2014). “P ena al Tobacco Smoke Exposu e Is As-
socia ed wi h Childhood DNA CpG Me hyla ion”[8]
Fuma du an e el emba azo puede p o oca múl iples consecuencias
nega i as en la salud del niño. El obje i o de es e a ículo es ela-
ciona modi icaciones epigené icas en niños asmá icos con exposición
p ena al al abaco. Pa a ello, usa el modelo de eg esión be a con a-
iable obje i o el po cen aje de me ilación del ADN en una mues a de
sang e y como a iables p edic o as medida de exposición al abaco en
el ú e o, edad, sexo, clínica de a ención p ena al y ipo de célula es i-
mada. Los au o es de es a in es igación concluyen que uma du an e
el emba azo es á elacionado con cambios epigené icos que pe sis en
du an e la in ancia.
Swea ingen y o os (2011). “Applica ion o Be a Reg ession o
Analyze Ischemic S oke Volume in NINDS -PA Clinical T ials”[9]
La can idad de lesión ic us isquémica es di ícil de analiza debido a la
o ma de su dis ibución subyacen e. El es udio consis e en e si la
eg esión be a es un buen modelo pa a es udia es a a iable. Pa a ello
compa an los esul ados ob enidos en es e modelo con un análisis pu-
blicado con an e io idad. Finalmen e, odas las a iables p e iamen e
iden i icadas de impo ancia ue on de ec adas en el modelo cons ui-
do concluyendo así que el modelo de eg esión be a es una al e na i a
legí ima pa a analiza la can idad de lesión p o ocada po un ic us
isquémico.
Hunge y o os (2011). “Analysis o SF-6D Index Da a: Is Be a
Reg ession App op ia e?”[10]
El pino de co eza blanca (Pinus albicaulis) depende del cascanueces
ame icano (Nuci aga columbiana) pa a la dispe sión de sus semillas.
Mien as el pino de co eza blanca sucumbe a una en e medad exó ica
y a los esca abajos del pino de mon aña (Dend oc onus ponde osae),
disminuye la p oducción de piña, po lo que los cascanueces ame i-
canos los isi an con menos ecuencia, disminuyendo la p obabilidad
de dispe sa sus semillas. Es e es udio de in es igación demues a que
38
el modelo de eg esión be a es el mé odo es adís ico más ap opiado
pa a modela la elación en e la densidad de piña y la p opo ción del
iempo de es udio en el que se obse an cascanueces ame icanos.
39
Bibliog a ía
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obse ed on (0, 1): pe cen ages, p opo ions and ac ions”, S a is ical
Modelling 3, 193–213.
[2] Johnson y o os (1995). “Chap e 21: Be a Dis ibu ions”, Con i-
nuous Uni a ia e Dis ibu ions Vol. 2 (2nd ed.). Wiley. ISBN 978-0-
471-58494-0.
[3] Wikipedia con ibu o s (2015). “Be a dis ibu ion”, Wikipedia,
The F ee Encyclopedia. Wikipedia, The F ee Encyclopedia, 28 Aug.
2015. Web. 5 Sep. 2015.
[4] Fe a i yC iba i-Ne o (2004). “Be a Reg ession o Modelling Ra-
es and P opo ions”, Jou nal o Applied S a is icsJou nal o Applied
S a is ics 31:7, 799-815, DOI: 10.1080/0266476042000214501.
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sions”, Jou nal o S a is ical Compu a ion and Simula ion 84:1, 186-203,
DOI: 10.1080/00949655.2012.700456.
[6] Nocedal yW igh (1999). “Nume ical Op imiza ion”, New Yo k:
Sp inge -Ve lag
[7] Zeileis y o os (2013). “Package ‘be a eg”’, Be a Reg ession, CRAN,
2013-09-16 18:59:12
[8] B e on y o os (2014). “P ena al Tobacco Smoke Exposu e Is As-
socia ed wi h Childhood DNA CpG Me hyla ion”, PLoS ONE 9(6):
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[9] Swea ingen y o os (2011). “Applica ion o Be a Reg ession o
Analyze Ischemic S oke Volume in NINDS -PA Clinical T ials”, Neu-
oepidemiology, 37:73–82.
[10] Hunge y o os (2011). “Analysis o SF-6D Index Da a: Is Be a
Reg ession App op ia e?”, Value in Heal h, 759–767
40