CALCULO DEL TÉRMINO NO SINGULAR DE TENSIONES EN UNA
GRIETA 3D MEDIANTE UNA INTEGRAL INDEPENDIENTE DEL DOMINIO
J. E. O iz, V. Man i y F. Pa ís
Escuela Supe io de Ingenie os, Uni e sidad de Se illa
Camino de los Descub imien os s/n, E-41092 Se illa, España.
E-mail: jo [email protected], man [email protected], pa [email protected]
T no: 954-487299. Fax: 954-461637
RESUMEN
El é mino no singula de ensiones, denominado ambién “T-s ess”, es el é mino asociado al au o alo =1 en la se ie
desa ollada po Williams (1957) pa a el campo de ensiones lineal elás ico ce cano al é ice de una g ie a. En las es
úl imas décadas se ha demos ado que es e é mino puede incidi en muchos de los p oblemas de la Mecánica de la
F ac u a Elás ica Lineal. Po ejemplo, puede cambia el amaño y la o ma de la zona plás ica en el en o no del é ice
de la g ie a o cambia la di ección de la p opagación, en e o os aspec os. Los mé odos de cálculo de es a ensión ini a
usualmen e se han desa ollado pa a p oblemas planos. En es e abajo se p esen a un mé odo pa a de e mina las
ensiones no singula es exis en es en el campo de ensiones en el en o no del é ice de una g ie a idimensional. El
mé odo es á basado en una in eg al independien e del dominio que u iliza con enien emen e campos auxilia es pa a
elimina los é minos singula es de la se ie. Se p esen a su implemen ación en la e apa de pos p ocesamien o del
mé odo de los elemen os de con o no. Se ha modelado el p oblema de una placa con g ie a la e al pa a la cual se ha
de e minado el é mino T-s ess en de o mación plana y su a iación a lo la go del en e de la g ie a pa a el p oblema
idimensional.
ABSTRACT
T-s ess is he no-singula s ess o he Williams (1957) se ies expansion o linea elas ic c ack ip ields. I is known
ha his e m has a signi ican in luence on c ack g ow h di ec ion and c ack pa h s abili y. Se e al nume ical o
analy ical me hods we e de eloped o calcula e he elas ic T-s ess in 2D in he pas . Many esea che s ha e p o ided
T-s ess solu ions o 2D c acked bodies unde uni o m ension, bending loading condi ions o unde non-linea s ess
dis ibu ions. Howe e , T-s ess solu ions o 3D c acked specimens a e e y limi ed. In he p esen pape a pa h
independen in eg al is p esen ed o e alua e he T-s ess along he c ack on o 3D bodies. The me hod used
adequa e auxilia y ields o elimina e he singula e ms o he se ies expansion. The domain-independen
ep esen a ion o his in eg al is p esen ed oge he wi h he de ails o i s BEM implemen a ion. The p esen p ocedu e
allows a di ec e alua ion o he T-s ess o be pe o med in a p ecise way. A benchma k p oblem is modelled by BEM
o e alua e T-s ess in he plane s ain and 3D solu ions.
ÁREAS TEMÁTICAS PROPUESTAS: Mé odos Analí icos y Numé icos.
PALABRAS CLAVE:
T-s ess, in eg al independien e del dominio, elemen os de con o no.
1. INTRODUCCIÓN
El denominado “T-s ess” es el é mino no singula en
la se ie desa ollada po Williams [1] pa a el campo de
ensiones elás ico lineal ce cano al é ice de una g ie a.
En 2D, es e é mino es una ensión pa alela a la g ie a y
es el segundo pa áme o después del conocido ac o de
in ensidad de ensiones asociado a los é minos
singula es. Depende ue emen e del ipo de ca ga así
como de la longi ud de g ie a y de la geome ía de la
p obe a.
En las dos décadas úl imas, se ha demos ado que es e
pa áme o puede llega a incidi en p oblemas de la
Mecánica de la F ac u a. Po ejemplo, en la p opagación
de g ie as, con olada po la Mecánica de la F ac u a
Elás ica Lineal, la es abilidad es á gobe nada po el
alo y el signo del “T-s ess”. Teó icamen e se sabe
que cuando es a ensión es posi i a, la g ie a es
di eccionalmen e ines able siguiendo una pequeña
des iación que hace que és a no e o ne a su línea
inicial de p opagación [2]. A su ez, en la Mecánica de
la F ac u a Elas o-Plás ica se ha demos ado que los
campos de ensiones y de o maciones en la zona
plás ica al ededo del é ice de la g ie a pueden se
ca ac e izados de una o ma más p ecisa cuando es án
de e minados los pa áme os J y T [3, 4]. En es e caso,
los alo es nega i os (comp esi os) de “T-s ess”
pueden causa una educción de la cons icción en el
é ice de la g ie a y po an o disminui el ni el de las
Anales de Mecánica de la F ac u a Vol. I (2006)
219
ensiones de abe u a en el ondo de és a pa a un mismo
alo de J aplicado. Consecuen emen e, es uc u as con
al os ni eles de T comp esi o, ales como una placa con
g ie a cen al suje a a acción, equie en mayo es
alo es de J pa a alcanza las condiciones necesa ias de
ac u a. Po ello, apa en emen e en es os casos el
ma e ial exhibe mayo es alo es de enacidad de
ac u a. Po o o lado, en es uc u as con T posi i o,
ales como ba as con g ie as p o undas suje as a
lexión, exhiben una apa en e disminución en la
enacidad espec o su alo cuando T es igual ce o.
En el con ex o de la ac u a bidimensional, “T-s ess”
es independien e de las p opiedades elás icas del
ma e ial. Los alo es de “T-s ess” coinciden en ensión
plana o de o mación plana. Po el con a io, en ac u a
idimensional el alo de T depende de las p opiedades
mecánicas del ma e ial así como del espeso de la
p obe a. En es os casos, T puede inc emen a se
conside ablemen e a lo la go del espeso de la p obe a
log ando cambia sus ancialmen e la o ma y el amaño
de la zona plás ica al ededo y a lo la go del en e de la
g ie a. Sin emba go, los es udios de la incidencia del
“T-s ess” en ac u a idimensional son limi ados [5,
6] y en la ac ualidad no se conoce el compo amien o de
es e pa áme o pa a dis in as geome ías de p obe as 3D.
En es e abajo se p esen a un mé odo pa a el cálculo de
los alo es del “T-s ess” en g ie as 3D en medios
homogéneos. El mé odo es á basado en una in eg al
independien e del dominio. Se p esen a su
implemen ación en la e apa de pos -p ocesamien o del
Mé odo de los Elemen os de Con o no. Se ha modelado
el p oblema de una placa con g ie a la e al pa a la cual
se ha de e minado el é mino T-s ess en de o mación
plana y su a iación a lo la go del en e de la g ie a
pa a el p oblema idimensional.
2. INTEGRAL INDEPENDIENTE DE DOMINIO
PARA EL CALCULO DE “T-STRES”
La dis ibución de ensiones y desplazamien os en la
ecindad del en e de una g ie a 3D puede exp esa se
en unción de los p ime os é minos de un desa ollo en
se ie [6, 7]:
)(
33
00
000
00)(
11
)(
33
00
0)(
22
)(
21
0)(
12
)(
11
2
333231
232221
131211
zT
zT
I
K
(1)
E
dz
TT
E
TT
E
TT
g
g
G
I
K
u
u
u
1133
sin
33
11
cos
3311
0
)(
2
)(
1
24
3
2
1
(2)
donde K
I
ep esen a el ac o de in ensidad de ensiones
y T
ij
el es ado de ensiones cons an es, de inidos ambos
a lo la go del en e de la g ie a. Usualmen e se
denomina T
11
=T.
Según Hube e al. [8], la in eg al J pa a g ie as 3D
puede esc ibi se como sigue:
dunWnJ
ijij lim 1,1
0
(3)
donde W es la densidad de ene gía de de o mación y n
j
es el ec o no mal a , e igu a 1.
Conside e dos es ados de equilib io con a iables de
campo deno adas con supe índices (A) y (B),
espec i amen e. El p incipio de supe posición de dos
es ados de equilib io da un e ce es ado ambién en
equilib io (A+B). Aplicando es e p incipio se es ablece
[5]:
dnununM j
A
i
B
ijj
B
i
A
ij
B
ij
A
ij
BA lim 1,1,1
0
),(
(4)
M
(A,B)
se denomina in eg al de in e acción y puede
exp esa se en é minos de la in eg al J. Usando (4)
pueden calcula se los é minos “T-s ess”; pa a ello en
es e abajo se asume como es ado (A) la solución
co espondien e a la ob enida po el Mé odo de los
Elemen os de Con o no (MEC) pa a el p oblema de la
g ie a 3D. Pa a el segundo es ado (B) se asume la
solución co espondien e al p oblema de la g ie a
semiin ini a ca gada po una ue za pun ual
pe pendicula al en e de la g ie a y con enida en el
plano de és a, bajo la condición de de o mación plana
[11], e Apéndice.
y
z
A
(
)
x
n
Figu a 1: Camino de in eg ación en una g ie a 3D.
Anales de Mecánica de la F ac u a Vol. I (2006)
220
Pa a un camino ci cula de adio que iende a ce o,
la in eg al (4) se esc ibe como sigue:
dnununM j
A
i
B
ijj
B
i
A
ij
B
ij
A
ij
BA lim 1,1,1
0
),(
(5)
Conside ando que n
3
=0,
3
=0 ( =1,2) y u
3,1
=0 en
ambos campos (A, B) en el lími e cuando 0 y que las
ensiones singula es en (1) y los g adien es de los
desplazamien os compa ibles con es as ensiones
con ibuyen solamen e a las componen es del plano, se
demues a que:
33
),( TT
E
MBA
(6)
Adicionalmen e una segunda elación puede
es ablece se pa a p oblemas 3D bajo la condición de
de o mación plana gene alizada [6]:
3333 E TT
(7)
Reemplazando en (6), se ob iene una exp esión pa a T:
)(
)1(
33
),(
2 M
E
TBA
(8)
y’
La exp esión (4) es álida únicamen e en el lími e
cuando 0 po lo que una exp esión más con enien e
en 3D puede ob ene se usando las es a egias
in oducidas en [12], así:
Vj
A
i
B
ijj
B
i
A
ij
B
ij
A
ij
BA
dVqnununM 1,1,1,1
),(
(9)
Donde V es un olumen con eniendo al pun o z
n
sob e
el en e de g ie a donde los é minos “T-s ess” se án
calculados.
La e aluación de la in eg al (9) se lle a a cabo en un
sis ema de coo denadas locales (x’, y’, z’) con o igen en
la posición global en un pun o ijo z
n
sob e el en e de
g ie a donde T(z
n
) es eque ido, e igu a 2 (a). En es e
abajo el olumen V es un dominio cilínd ico de
longi ud 2L al ededo del en e de la g ie a con eniendo
2L
zn
x’
q
(c)
y’
(d)
2L
q
z
x’
zn
Figu a 2: (a) De inición del sis ema de coo denadas
ca esianas locales en el pun o z
n
,(b) Dominio
cilínd ico V, (c) Función auxilia q
a lo la go del
segmen o 2L, (d) Función auxilia q
z
a lo la go del
segmen o 2L.
(a)
y’
x’
zn
z
(b)
z
n
2L
S
0
Anales de Mecánica de la F ac u a Vol. I (2006)
221
Figu a 3: (a) disc e ización del MEC, (b) celdas
de in eg ación.
g ie a
Celdas
(a)(b)
el pun o z
n
, e igu a 2 (b). La unción auxilia q es á
de inida en el dominio V como el p oduc o de dos
unciones q
( ) y q
z
(z). La p ime a de es as unciones
iene alo uni a io sob e el en e de la g ie a, ce o
sob e la supe icie cilínd ica del olumen V y es sua e
en el es o del olumen, mien as que la segunda es una
unción sua e en e -L y +L y ce o en es os pun os, e
igu a 2 (c) y (d).
3. DETALLES DE LA IMPLEMENTACIÓN
El p ocedimien o pa a ob ene T(z
n
) ía la exp esión (8)
ha sido implemen ado en la e apa de pos p ocesamien o
del código del MEC 3-D. El código MEC aplicado pa a
esol e el p oblema elás ico isó opo 3-D es a basado
en la solución de las ecuaciones in eg ales de con o no
usando la iden idad de desplazamien os de Somigliana.
Algunas ca ac e ís icas ele an es de es e código son:
elemen os cuad á icos isopa amé icos de nue e nodos,
in eg ación numé ica egula po cuad a u a Gausiana
con 16 pun os usando subdi isión de elemen os en el
caso de la in eg al cuasi-singula , ans o mación a
coo denadas pola es pa a la in eg al débilmen e singula
y la condición de mo imien o como sólido ígido pa a
la e aluación de la suma de los coe icien es de los
é minos lib es y el alo p incipal de Cauchy de la
in eg al ue emen e singula .
El cálculo de “T-s ess” en una posición z
n
sob e el
en e de g ie a median e la exp esión (8) equie e de la
e aluación de una in eg al de dominio p esen ada en
(9). Una selección na u al usando un código del MEC
es conside a los pun os z
n
coinciden es con los nodos
del modelo del MEC sob e el en e de la g ie a
mien as la longi ud de in eg ación L en la igu a 2(b) es
igual a la longi ud de los elemen os según co esponda
el caso, al como se explica á más adelan e. La po ción
de olumen V en la que la in eg al de dominio es
e aluada, se disc e iza usando celdas de 27-nodos. Las
ensiones y las de i adas de los desplazamien os den o
de las celdas son ap oximadas po p oduc os de las
unciones de in e polación de las celdas
i
y los alo es
nodales de
ij
y u
i,j
, espec i amen e. Los alo es
nodales de es as a iables se calculan siguiendo los
p ocedimien os pa a pun os in e nos [13]. La
in eg ación se lle a a cabo usando la cuad a u a de
Gauss con 8x8x8 pun os en el olumen de cada celda,
e igu a 3.
Como se desc ibe en la igu a 4, es casos di e en es
necesi an se conside ados, dependiendo si el nodo M
de in e és (co espondien e con la posición z
n
) es á
si uado en el cen o del lado del elemen o que coincide
con el en e de g ie a (nodo cen al), si es á en e dos
elemen os (nodo compa ido) o si se encuen a si uado
en la supe icie ex e na (nodo sob e la supe icie). Si M
es un nodo cen al o se encuen a sob e la supe icie, la
longi ud 2L (el segmen o sob e el en e de la g ie a en
el cual se calcula la in eg al) aba ca un elemen o,
conec ando los nodos M-1, M, y M+1 y los nodos M-2,
M-1 y M, espec i amen e.
Po o o lado, si M es un nodo compa ido, 2L aba ca
dos elemen os, conec ando los nodos desde M-2 a M+2,
e igu a 4. La e aluación de T(z
n
) ia (8) pa a un
pun o z
n
coinciden e con el nodo de la supe icie, e
igu a 4, no es admi ida en gene al.
En es e abajo ambas unciones q
z
(z) y q
( ) a ían
cuad á icamen e en la di ección angencial y no mal al
en e de la g ie a, espec i amen e. Es a de inición
bicuad á ica de q ha sido empleada con excelen es
esul ados en la e aluación de la in eg al de in e acción
pa a g ie as en abajos p e ios, e Cisilino y O iz [9].
La unción q=q
( )q
z
(z) es in e polada en odos los
pun os den o del olumen de in eg ación usando los
elemen os de olumen isopa amé icos es ánda :
27
1i
i
iQq
(10)
donde
i
son las unciones de o ma de inidas den o
del olumen de cada celda y Q
i
son los alo es nodales
de la unción q pa a cada nodo i. De acue do a la
de inición de q ( e Ec. (10)), Q
i
=0 si el nodo i es á
sob e S
o
, mien as que pa a el es o de los nodos, los Q
i
ienen dados po los alo es del p oduc o q
( )q
z
(z) en
esos nodos, en pa icula Q
i
=1 sob e el en e de la
g ie a, e igu a 2. Aplicando la egla de la cadena:
27
1
3
1
,
i k
i
j
k
k
i
jQ
x
q
(11)
donde k son las coo denadas in ínsecas en el espacio
de las celdas isopa amé icas.
Anales de Mecánica de la F ac u a Vol. I (2006)
222
4. EJEMPLO NUMÉRICO: PLACA
GRUESA CON GRIETA LATERAL
Considé ese una placa g uesa con g ie a la e al y suje a
a una ensión emo a uniaxial . De alles de la
geome ía y dimensiones se p esen an en la igu a 5. La
malla del modelo MEC consis e en 136 elemen os
cuad á icos y 565 nodos. Pa a el cálculo del “T-s ess”,
se ha dispues o de cua o anillos de celdas con adio /a
igual a 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 al ededo y a lo la go del
en e de la g ie a, esul ando así un o al de 140 celdas.
En la Tabla I se p esen an los alo es del “T-s ess” en
de o mación plana pa a celdas con adio /a igual a 0.2,
0.3 y 0.4. Es os alo es han sido no malizados espec o
a la solución numé ica ob enida po She y e al. [10].
Las di e encias en e ambas soluciones no supe an el
3% y pa a el p omedio en e los alo es de “T-s ess”
an es ob enido apenas llega a supe a el 1%.
Las soluciones pa a “T-s ess” en 3D se p esen an en la
igu a 6 pa a alo es del coe icien e de Poisson igual a
0.0, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.49. Los pa ones de
compo amien o de es os alo es a lo la go del en e de
g ie a concue dan con los p esen ados po Sládek y
Sládek [6].
/a
x
3
/ 0.2 0.3 0.4
p omedio
0.0000 0.987 1.030 1.018 1.012
0.1430 0.987 1.029 1.018 1.011
0.2860 0.987 1.029 1.018 1.011
0.4290 0.987 1.029 1.018 1.011
0.5710 0.987 1.029 1.018 1.011
0.6430 0.986 1.029 1.017 1.011
0.7140 0.986 1.028 1.016 1.010
0.7860 0.984 1.026 1.015 1.008
0.8570 0.980 1.023 1.011 1.005
0.9290 0.983 1.028 1.015 1.009
1.0000 0.986 1.031 1.017 1.011
Tabla I: alo es de T/T
e
a lo la go del en e de g ie a en
de o mación plana.
Nodo sob e la supe .
M
M-2
2
L
M+2
2L
M-1
M
M
M-2 M
2L
Nodo compa ido Nodo cen al
Figu a 4: Esquema de las celdas en la egión del
en e de la g ie a.
Función qz(z)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
z/
T/ =0.0
=0.2
=0.3
=0.4
=0.49
Figu a 5: Placa con g ie a la e al.
2h=8a
W=2a
a
Figu a 6: Valo es no malizados T/ a lo la go del en e d
la g ie a 3D.
e
=a
y
x
z
Anales de Mecánica de la F ac u a Vol. I (2006)
223

5. CONCLUSIONES
Se ha p esen ado una in eg al independien e del
dominio pa a el cálculo de los é minos no singula es de
ensiones en g ie as 3D. Asimismo, se ha p esen ado su
implemen ación usando la solución del Mé odo de los
Elemen os de Con o no. El mé odo desa ollado pe mi e
ob ene excelen es esul ados numé icos pa a el cálculo
del “T-s ess” en p oblemas de g ie as 3D.
6. AGRADECIMIENTOS
Se desea ag adece al P og ama Juan de la Cie a po
inanciamien o concedido al D . J. O iz. Po su pa e, el
D . V. Man i y el D . F. Pa ís ag adecen la
inanciación del p oyec o No. MAT2003-03315 del
Minis e io de Educación y Ciencia del gobie no de
España.
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s esses using he bounda y elemen me hod.
Applied Ma hema ic Modelling 10, 249-255,
(1986).
APENDICE
Componen es ca esianas de las de i adas de
desplazamien os y ensiones en una g ie a semiin ini a
ca gada po una ue za pun ual pe pendicula al en e
de la g ie a y con enida en el plano de és a, bajo
condición de de o mación plana [11].
E
u
E
u
G
k
u
G
k
u
cos
2
sincos
sin
2
cos
3
cos
cos)
2
cos'
2
sin(
'
sin]
2
cos)'1(1[
'
2
3sinsin
4
2
3coscos
4
33
22
12
11
2,2
1,2
2,1
1,1
(12)
Donde E es el módulo elás ico, G es el módulo de
cizalladu a y es el coe icien e de Poisson. En
de o mación plana k=(3-4 ), E’=E/(1-
2
) y ’= /(1- ).
Anales de Mecánica de la F ac u a Vol. I (2006)
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