ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 45, Núm. 152, 2003, págs. 5 a 22
Robus ez en Mul idimensional Scaling
po
PEDRO ANTONIO GARCÍA LÓPEZ
DIEGO TORRECILLA DE AMO
ANDRÉS GONZÁLEZ CARMONA
Depa amen o de Es adís ica e I.O. Uni e sidad de G anada
ANTONIO PASCUAL ACOSTA
Depa amen o de Es adís ica e I.O. Uni e sidad de Se illa
RESUMEN
En es e abajo se p esen a, median e un es udio de simulación,
una solución del p oblema de Mul idimensional Scaling (MDS), cuan-
do los da os apa ecen pe u bados po un e o alea o io. En el es u-
dio de simulación se plan ea un diseño cuyos ac o es son los dis in-
os es imado es obus os conside ados, el ipo de e o y la in ensidad
del mismo. Asimismo se es udia la adecuación de la solución p o-
pues a y su compa ación con algo i mos clásicos de esolución del
p oblema de MDS a ado.
Palab as Cla e: Mul idimensional Scaling (MDS), Es imado es obus-
os, Simulación, R, S-Plus.
Clasi icación AMS: 65U05.
6ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
INTRODUCCIÓN
Los juicios de p oximidad que p oducen los da os básicos (simila idades o disi-
mila idades) pa a la mayo pa e de las aplicaciones de los p ocedimien os MDS,
son sensibles a la exis encia de obse aciones anómalas, no sólo po la di icul ad
que p esen a el de ec a y elimina e o es de ansc ipción e in oducción de da os
sino po que, a menudo, el p oblema del cansancio del suje o que esponde cuando
ha de es ablece un g an núme o de juicios, le lle a a espues as e óneas en
muchos casos. Además, algunos juicios de p oximidad son in ínsecamen e más
di íciles de emi i que o os, con lo que es azonable supone que la dis ibución de
los e o es asociados a ellos enga mayo a ianza, lo cual in oduce un p oblema
añadido en el p oceso de econs ucción de la con igu ación.
El p ime mé odo de esolución pa a MDS es á basado en los abajos de Young
y Householde (1938) y To ge son (1958). Es p obablemen e el mé odo más am-
pliamen e usado po que, aunque los p ocedimien os no mé icos han sus i uido en
muchos casos a los mé odos mé icos, casi odos los p og amas usados en la
ac ualidad emplean alguna a ian e del p ocedimien o Young-Householde -
To ge son (Y-H-T) como con igu ación inicial. Ob iamen e si el en oque adicional
es sensible a los da os anómalos, los p og amas que lo usan pa a ob ene la
con igu ación inicial se en a ec ados ambién po ellos.
En es e sen ido, Spence y Lewandowsky (1989) demues an cómo un único
da o anómalo puede dis o siona d ás icamen e una solución MDS cuando se
emplea el mé odo mé ico adicional. Debido a es a “ agilidad” esul a necesa io, e
incluso di íamos imp escindible, encon a écnicas mucho más esis en es que
amo igüen es os p oblemas. Es as azones jus i ican sob adamen e la de inición de
p ocedimien os que p o ejan a es os mé odos de la p esencia de es as anomalías.
En los abajos de Spence (1982), Null y Sa le (1982), y Heise (1988) se a gu-
men a la necesidad, pa a MDS, de algo i mos que sean esis en es a los e ec os de
los da os anómalos.
Un p og ama obus o pa a MDS debe mos a se po an o, poco a ec ado po la
p esencia de da os anómalos, incluso cuando exis an en núme o ela i amen e
g ande y, además, debe á unciona de mane a adecuada cuando no haya ninguno
de ellos p esen e.
Con es a idea, Spence y Lewandowsky (1989) p oponen un p og ama, basado
en la mediana como medida obus a, pa a esol e la p esencia de obse aciones
anómalas. Es a es a egia supone, ob iamen e, una d ás ica eliminación de la
in o mación mé ica con enida en los da os.
ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 7
En es e abajo se abo da el p oblema desde un plan eamien o más gene al,
conside ando a ios es imado es obus os que gozan de unas p opiedades eó icas
idóneas, en el sen ido de in en a u iliza oda (o la mayo pa e de) la in o mación
mé ica posible con enida en los da os. Es os es imado es son las α- imedias y los
es imado es de Hube y de Tukey, es os úl imos basados en la de inición de una
unción de peso asociada al ec o de da os conside ado. Sob e las p opiedades
eó icas de los mismos nos emi imos a Hube (1981) y a Hampel e al. (1986).
OBJETIVOS
En es e abajo se han pe seguido es obje i os básicos:
1. Desa olla un mé odo de esolución del p oblema de MDS que sea e-
sis en e a la p esencia de da os anómalos
Pa a ello se ha elabo ado un diseño de simulación en el que se con aminan las
dis ancias o iginales de una con igu ación dada median e es p ocedimien os:
a. Una pequeña can idad de g andes e o es,
b. Una mode ada can idad de pequeños e o es (a los que llama emos e o es
de ondo)
c. Ambas con aminaciones simul áneamen e.
Se a a, po an o, de desa olla un p ocedimien o que se compo e bien en
condiciones no males, y p esen e esis encia en e a los e o es con enidos en los
da os has a, al menos, un po cen aje su icien emen e amplio de con aminación.
El mé odo se á algo í mico con es imado es obus os y an gene al como pa a
que pueda aplica se a un MDS de cualquie dimensión.
2. Con ola la adecuación de la me odología p opues a
Pa a ello hab á que medi , po una pa e, el g ado de econs ucción de las
con igu aciones inales conseguidas po medio de los p ocedimien os p opues os, y
po o a comp oba si es e g ado de econs ucción depende de la con igu ación
inicial elegida en el p oceso de simulación.
3. Con as a los esul ados ob enidos po los p ocedimien os que se p o-
ponen con los que se ob ienen, en iguales condiciones, po medio de los
p ocedimien os clásicos (mé icos y no mé icos) de MDS
Pa a ello se han u ilizado los p og amas PC-MDS, que inco po a el mé odo clá-
sico KYST, y SPSS (V. 10.0) que inco po a el muy di undido mé odo ALSCAL.
8ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
En MDS se p e ende ob ene una con igu ación geomé ica median e un con-
jun o de N pun os en un espacio euclídeo de dimensión p ede e minada, de al
o ma que cada uno de ellos ep esen e a un es ímulo y que la di e encia, eij , en e
la dis ancia de los pun os i y j, dij, y las dispa idades o disimila idades exis en es
en e los co espondien es es ímulos, δij, (i y j:1,...,N; i≠j), sea mínima.
Si designamos po k la dimensión del espacio euclídeo conside ado, es posible
encon a la solución del p oblema de MDS esol iendo el siguien e conjun o de
ecuaciones:
ji
con
N
,,
1:j
,
i
pa a
0de
ijijij
≠=−δ=K
cuyas incógni as son las coo denadas de los pun os que se p e enden encon-
a . U ilizando la mé ica euclídea pa a los alo es de dij y designando po x s a
la coo denada s-ésima (s:1,...,k) del pun o gené ico, P ( :1,...,N), de la con igu-
ación inal, X, se ob ienen del sis ema an e io N-1 ecuaciones en donde
apa ece án x s como incógni as. U ilizando el mé odo de New on en cada una
de es as ecuaciones, se ob iene la solución i e a i a:
(
)
js
s
j
j j
s
1
s xx dd
xx −
⋅−δ
+=
+
Pa a ob ene la coo denada x s en el paso +1, a pa i del co espondien e alo
en el paso , se ienen N-1 co ecciones, an as como alo es puede oma j. Si
esc ibimos las N-1 ecuaciones como:
j
,...,N,
1
j:
)
c
(
xx j
s
s
1
s
≠+=
+
podemos elegi una medida obus a, ob, y calcula su alo a pa i de las N-1
co ecciones
j
s
)
c
( pa a pasa de
s
x
a 1
s
x
+.
Po an o, si
j
s j
s
)
c
(
ob
)
c
(≠
= es una de e minación obus a(1) de la co ección,
ob enemos:
)
c
(
xx
s
s
1
s
+=
+
(1)En es e abajo hemos usado cinco medidas obus as di e en es: es L-es imado es
(Mediana, T imedia al 30% y T imedia al 40%) y dos M-es imado es (el es imado de Hube y
el es imado de Tukey)
ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 9
Pueden ealiza se modi icaciones del amaño del paso
(
)
s
c
en la di ección del
ec o de co ecciones pa a acele a la con e gencia del p ocedimien o i e a i o.
Siguiendo a D.G. Luenbe ge (1984), el amaño del paso puede se modi icado
mul iplicándolo po el ac o :
c
α
=γ
en donde c es la magni ud ela i a al ec o de co ecciones:
( )
( )
2/1
a,
i
2
ia
a,i
2
ia
x
c
c












=∑
∑
y α se ob iene del mé odo δ2 de Ai ken (Ramsay, 1977)
( )
( )
2/1
a,
i
2
2
ia
1
ia
ia
a,i
2
2
ia
1
ia
1
xx2x
xx












−−
−
α=α∑
∑
−−
−−
+
lo cual obliga a gene a dos soluciones p e ias, an es de abo da el p ocedi-
mien o que aquí se expone. El algo i mo inal, queda pues de la o ma siguien-
e:
(
)
s
s
1
s cxx
⋅γ+=
+
El algo i mo p opues o(2) ha sido p og amado en R y S-Plus.
ESTUDIO DE SIMULACIÓN
El es udio cons a de es ases:
•• P ime a ase: Se es udia el compo amien o de los algo i mos p esen ados
aplicándolos a una de e minada con igu ación o iginal en dimensión dos, pe u ba-
da con enien emen e, y se obse a el g ado de econs ucción ob enido.
(2)Puede solici a se en [email p o ec ed]

10 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
La con igu ación inicial seleccionada es á o mada po 21 pun os del plano, si-
uados 16 de ellos sob e los lados de un cuad ado de lado unidad y equidis an es
en e sí, o o en el o igen de coo denadas y los cua o es an es sob e los ejes de
coo denadas, a dis ancia 1/2 del o igen, según se mues a en la igu a 1.
Es os 21 pun os de e minan una ma iz iangula con 210 dis ancias y las disi-
mila idades son el esul ado de some e a dichas dis ancias a un e ec o dis o sio-
nado con un diseño expe imen al ac o ial de 5x4x2 con seis epe iciones po
celda, del siguien e modo:
•• Cinco ipos de medidas obus as: T imedia al 30%, T imedia al 40%, Mediana,
Hube y Tukey.
•• Cua o po cen ajes de dis ancias anómalas: 10%, 20%, 30% y 40%. El mé odo
consis e en selecciona alea o iamen e el po cen aje de dis ancias co espondien e
y con amina dichas dis ancias con e o es (Ramsay, 1977) logno males pseudoa-
lea o ios de des iación ípica igual a 2. La con aminación se p oduce mul iplicando
la dis ancia po la ans o mada exponencial del e o .
•• Dos escena ios: Con e o de ondo y sin él. El mé odo consis e en con amina ,
con el mismo c i e io del pun o an e io , dis ancias has a comple a el 50% del o al
de ellas, con e o es pseudoalea o ios p oceden es de una dis ibución logno mal
con des iación ípica igual a 0.1.
En esumen, se lle an a cabo un o al de 5x4x2x6=240 es udios sepa ados.
Pues o que la solución que en es e caso p opo ciona el mé odo Y-H-T es bas-
an e pob e, po cuan o se e ampliamen e a ec ada po la p esencia de alo es
anómalos, se es ablece como p ime a con igu ación de los p ocedimien os i e a i-
ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 11
os una de inida po los angos de las dis ancias pe u badas, es o es, los da os
iniciales (disimila idades) se eemplazan po sus angos, lo que a enúa la con ami-
nación anómala de los da os, y a con inuación se calcula sob e ellos una solución
MDS po el p ocedimien o Y-H-T.
El p oblema de la cons an e adi i a se esuel e u ilizando una e sión obus a
del mé odo de To ge son. En es e caso:
(
)
{
}
{
}
jh
ih
ijj,
ihi
j
i0 ob ob obcδ−δ−δ=≠≠
con lo que la escala o iginal de dis ancias se econs uye obligando a que las
medianas e i iquen la condición:
(
)
(
)
0
ijj
i0
ijj
id
medcmed
<< =+δ
Como medida del índice de econs ucción se ha u ilizado el coe icien e de co-
elación lineal medio (de las 6 éplicas) en e las dis ancias de la con igu ación
o iginal y las de la con igu ación econs uida po el p ocedimien o.
Con es e diseño se han ob enido los esul ados de las ablas 1 y 2, en donde el
alo supe io de cada ila es el índice medio de econs ucción ( -medio) y el alo
in e io co esponde a la des iación ípica pa a cada -medio.
12 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Tabla 1
Po cen aje de da os anómalos (sin e o de ondo)
Medida obus a 10% 20% 30% 40%
T im-30%
99,65
0,0023
95,06
0,0881
86,63
0,0863
78,23
0,1201
T im-40%
99,82
0,0030
99,89
0,0018
95,31
0,0391
77,49
0,1204
Mediana
99,94
0,0006
99,99
0,0002
96,59
0,0307
82,09
0,0805
Hube
99,69
0,0025
95,01
0,0636
93,11
0,0416
69,21
0,0820
Tukey
98,23
0,0174
99,09
0,0124
87,81
0,1008
78,57
0,1443
Tabla 2
Po cen aje de da os anómalos (con e o de ondo)
Medida obus a 10%-40% 20%-30% 30%-20% 40%-10%
T im-30%
92,50
0,0848
96,44
0,0417
89,36
0,0993
51,31
0,1472
T im-40%
94,86
0,0758
99,38
0,0058
90,06
0,0899
52,86
0,2111
Mediana
99,79
0,0018
97,74
0,0370
96,48
0,0502
57,55
0,02470
Hube
96,18
0,0691
93,71
0,0772
90,71
0,0562
57,43
0,0646
Tukey
99,69
0,012
92,94
0,1005
95,11
0,0591
66,43
0,2126
ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 13
Los g á icos 1 y 2 mues an los alo es co espondien es a las ablas 1 y 2
G á ico 1
65
70
75
80
85
90
95
100
10% 20% 30% 40%
Po cen aje de da os anómalos
(sin e o de ondo)
Índice medio de
econs ucción
( -medio)
T im-30%
T im-40%
Mediana
Hube
Tukey
G á ico 2
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
10% 20% 30% 40%
Po cen aje de da os anómalos
(con e o de ondo)
Índice medio de
econs ucción
( -medio)
T im-30%
T im-40%
Mediana
Hube
Tukey
A la is a de es os esul ados es con enien e hace no a que es di ícil calcula
un alo a pa i del cual pueda deci se que no se ob iene una econs ucción
idónea. No obs an e, podemos a i ma que odos los es imado es obus os ob ienen
la con igu ación o iginal de o ma muy buena cuando la p esencia de da os anó-
malos llega has a un 30% del o al (63 dis ancias pe u badas de 210). La pé dida
mayo se p oduce en la imedia al 30%, con un 13.37% cuando es án p esen es el
30% de anómalos.
Cuando los da os o iginales se con aminan además con un e o de ondo, los
esul ados empeo an lige amen e, pe o siguen siendo muy buenos, sob e odo
20 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
CONCLUSIONES
1. En el es udio ealizado, an o en la p ime a ase como en la segunda, los p o-
cedimien os obus os o ecen esul ados sa is ac o ios has a pa a un 30% de da os
anómalos, con y sin e o de ondo.
2. El es udio ealizado en la e ce a ase, deja cla o que cualquie a de los p o-
cedimien os expues os supe a, y a eces conside ablemen e, a los p ocedimien os
clásicos ALSCAL en su e sión no mé ica y a KYST en su e sión mé ica.
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22 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
ROBUSTNESS IN MULTIDIMENSIONAL SCALING
SUMMARY
In his pape we show, by means a simula ion s udy, a me hod o
sol e he pe u ba ional e o Mul idimensional Scaling (MDS) p ob-
lem. We wo k wi h a ac o ial design in which i has been conside ed
se e al obus es ima o s, and wo ypes o andom e o wi h se e al
in ensi ies. Fu he mo e we s udy he i o he ob ained con igu a ion
and i s compa ison wi h o he classical MDS me hods.
Key-wo ds: Mul idimensional Scaling (MDS), Robus es ima o s,
Simula ion, R, S-Plus 2000.
AMS Clasi ica ion: 65U05.