Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. no19 (2001), 13–44.
Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas
Manuel Gonz´
alez Bu gos
Dp o. de Ecuaciones Di e enciales y An´
alisis Num´
e ico
Uni e sidad de Se illa
e-mail: [email p o ec ed]
1 In oducci´on
En es e abajo p esen a emos algunos esul ados ecien es de con olabilidad
de p oblemas pa ab´olicos. En conc e o, p esen a emos esul ados de
con olabilidad ap oximada y exac a a ce o pa a e siones lineales y no lineales
de la ecuaci´on del calo , as´ı como pa a las ecuaciones de S okes y de Na ie -
S okes.
De mane a gene al, un p oblema de con olabilidad puede se o mulado de
la siguien e o ma: Supongamos ijado un in e alo empo al de obse aci´on
(0, T) y conside emos dado un sis ema e olu i o gobe nado po cie a ecuaci´on
o sis ema de ecuaciones (di e enciales o en de i adas pa ciales) jun o con
de e minadas condiciones iniciales y/o de con o no (sis ema o p oblema de
es ado). Supongamos que podemos ac ua sob e es e sis ema (a a ´es de
alguna condici´on de con o no, del segundo miemb o de la ecuaci´on, ...) median e
una unci´on (el con ol) que se oma en un cie o conjun o Uad (conjun o de
con oles admisibles). Fijado ∈ Uad, llama emos es ado asociado al con ol
a la co espondien e soluci´on y =y ( ) del sis ema de es ado. Dados dos
alo es y0eyden un de e minado espacio de Banach H(de no ma |·|H)
donde la ecuaci´on de es ado enga soluci´on, di emos que el sis ema de es ado es
exac amen e con olable en Hen el ins an e Tsi podemos encon a un con ol
∈ Uad de al o ma que la co espondien e soluci´on y con da o inicial y0
e i ique
y (T) = yd.
Es a condici´on puede se elajada de a ias o mas, ob eniendo o as nociones
de con olabilidad. En es e sen ido, di emos que el sis ema de es ado es
ap oximadamen e con olable en Hen el ins an e Tsi, en las condiciones
13
M. Gonz´
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an e io es, pa a cada ε > 0, exis e un con ol ∈ Uad al que el co espondien e
es ado y e i ica la condici´on
||y (T)−yd||H≤ε.
Especialmen e signi ica i o esul a ´a la con olabilidad exac a cuando yd≡0
(con olabilidad nula o exac a a ce o), pues o que, en gene al, el es ado 0 se ´a
un equilib io del sis ema y, desde el pun o de is a ´ısico, si somos capaces de
conduci el sis ema a ce o en =T, la soluci´on sigue siendo nula pa a ≥T
con al de que omemos como con ol ≡0 pa a ≥T.
Como pond emos de mani ies o m´as adelan e, la i e e sibilidad en iempo
de los p oblemas conside ados hace que no se e i ique la p opiedad de
con olabilidad exac a en ninguno de los casos. Ve emos ambi´en que, al menos
en las e siones lineales de es os p oblemas, s´ı se an a ene las p opiedades de
con olabilidad ap oximada y exac a a ce o (o nula) pa a cualquie ins an e de
iempo T > 0. Hay que des aca la g an di e encia que exis e en e es e ipo de
sis emas y sis emas e e sibles como la ecuaci´on de ondas (p o o ipo de sis ema
e e sible), ecuaci´on pa a la que se dan las es p opiedades de con olabilidad
mencionadas cuando el iempo Tes mayo que cie os iempos c ´ı icos que
dependen del abie o Ω donde se plan ea la ecuaci´on y de la zona donde se
eje ce el con ol (un subconjun o abie o de Ω o un ozo de la on e a de Ω)
(c . [18]).
En el abajo nos cen a emos b´asicamen e en la desc ipci´on de los esul ados
de con olabilidad nula en cada uno de los casos pues, como hemos mencionado,
no se a a e i ica la p opiedad de con olabilidad exac a y po o o lado,
los co espondien es esul ados de con olabilidad ap oximada, como e emos,
pueden se ob enidos como consecuencia de los de con olabilidad nula.
Es bien conocido que la con olabilidad exac a a ce o de un p oblema de
e oluci´on lineal equi ale a la llamada desigualdad de obse abilidad pa a el
p oblema adjun o. La ´ecnica que a a emos de desc ibi pasa po demos a
es a desigualdad de obse abilidad como consecuencia de una desigualdad global
de ipo Ca leman pa a el p oblema adjun o. Es e ipo de desigualdades ue on
p obadas y u ilizadas en [12] y [15] pa a ob ene la con olabilidad nula de
la ecuaci´on del calo , aunque en el an´alisis que lle a emos a cabo, es de i al
impo ancia la dependencia espec o de los da os de las cons an es que apa ecen
en la desigualdad global de Ca leman, dependencia que ue explici ada en [10].
Po comodidad y cla idad del abajo, es udia emos el p oblema de la
con olabilidad cuando el con ol se eje ce a a ´es del segundo miemb o de
la ecuaci´on conside ada: con ol dis ibuido. T´ecnicamen e, el es udio de la
con olabilidad cuando el con ol se eje ce a a ´es de la condici´on de Di ichle
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sob e una pa e de la on e a es algo m´as complejo y se ´a omi ido en es e
abajo.
O ganiza emos el es o del abajo del siguien e modo: dedicamos las
Secciones 2 y 3 al es udio de los esul ados de con olabilidad ela i os
a la ecuaci´on del calo lineal y, en especial, p oba emos la equi alencia
que exis e en e los concep os de con olabilidad y cie as p opiedades del
llamado sis ema adjun o. En la cua a Secci´on p oba emos la denominada
desigualdad de obse abilidad pa a el p oblema adjun o y, como consecuencia,
la con olabilidad nula de la ecuaci´on del calo . De los esul ados p eceden es,
en la Secci´on 5 ob end emos dos impo an es consecuencias: po un lado,
ob end emos de nue o la p opiedad de con olabilidad ap oximada de la
ecuaci´on del calo u ilizando un a gumen o cuan i a i o y, po o o, una
es imaci´on del cos e de la con olabilidad (nula y ap oximada) de dicha ecuaci´on.
Acaba emos es e abajo in oduc o io p esen ando de o ma some a algunos
esul ados de con olabilidad pa a e siones no lineales de la ecuaci´on del calo
y pa a el sis ema incomp esible de S okes y Na ie -S okes.
2 La ecuaci´on del calo . Con olabilidad
Ap oximada
En es a Secci´on y en lo que sigue, supond emos que Ω es un dominio aco ado
de IRN, con N≥1, de on e a Γ = ∂Ω su icien emen e egula . Sean Oun
subconjun o abie o no ac´ıo de Ω y T > 0; deno emos Q= Ω ×(0, T) y
Σ = ∂Ω×(0, T). En el cilind o Qconside amos el p oblema:



∂ y−∆y+B·∇y+ay = 1Oen Q,
y= 0 sob e Σ,
y(x, 0) = y0(x) en Ω,
(2.1)
donde 1Oes la unci´on ca ac e ´ıs ica del conjun o O, ∈L2(Q) es el con ol
(siguiendo la e minolog´ıa expues a en la Secci´on an e io , Uad =L2(Q) es el
conjun o de con oles admisibles) e y0,ayBes ´an dados
y0∈L2(Ω), a ∈L∞(Q) y B∈L∞(Q)N.
Hay que hace no a que, debido a la p esencia de la unci´on ca ac e ´ıs ica 1O,
la acci´on del con ol sob e el sis ema s´olo se eje ce en el “peque˜no” abie o Oa
a ´es del segundo miemb o de la EDP (con ol dis ibuido).
Es bien conocido que, bajo las condiciones an e io es, el p oblema (2.1)
admi e una ´unica soluci´on d´ebil
y ∈C([0, T]; L2(Ω)) ∩L2(0, T;H1
0(Ω)),
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soluci´on que depende de o ma con inua de ey0. De es a o ma podemos
deno a R(T;y0) al subconjun o de L2(Ω) dado po :
R(T;y0) = {y (T) : y soluci´on de (2.1) con ∈L2(Q)},
llamado conjun o de con oles inales o alcanzables. Con es a no aci´on podemos
de ini los dis in os concep os de con olabilidad:
De inici´on 1 1. Se dice que el sis ema (2.1) es exac amen e con olable en
L2(Ω) en el ins an e de iempo Tsi pa a cada y0∈L2(Ω)
R(T;y0)≡L2(Ω),
es deci , si pa a cada y0,yden L2(Ω), exis e un con ol ∈L2(Q) al que
la soluci´on de (2.1) e i ica y (T) = yd.
2. Se dice que el sis ema (2.1) es ap oximadamen e con olable en L2(Ω) en el
ins an e de iempo Tsi R(T;y0)es denso en L2(Ω) pa a cada y0∈L2(Ω).
Dicho de o o modo, si pa a cualesquie a y0,yd∈L2(Ω) y cada ε > 0,
exis e un con ol ∈L2(Q) al que la soluci´on de (2.1) e i ica
||y (T)−yd||L2(Ω) ≤ε . (2.2)
3. Po ´ul imo, se dice que (2.1) es con olable a ce o en el ins an e de iempo
Tsi pa a cualquie y0∈L2(Ω) se iene
0∈R(T;y0),
es deci , si pa a cada y0∈L2(Ω) exis e un con ol ∈L2(Q) al que la
soluci´on de (2.1) e i ica y (T) = 0.
Obse aci´on 2 1. Debido al e ec o egula izan e del ope ado del calo , no
es di ´ıcil conclui que la con olabilidad exac a en L2(Ω) de (2.1) no es
cie a, sal o posiblemen e en el caso O= Ω. En e ec o, es conocido
(c . [16]) que el ope ado del calo ∂ −∆ iene la siguien e p opiedad de
egula idad: Si y∈ D0(V ×(0, T)) (con V ⊂ IRNun abie o) e i ica
∂ y−∆y= 0 en V ×(0, T),
en onces, ijado ∈(0, T ], la aplicaci´on
y( ) : x∈ V 7→ y(x, )∈IR
es anal´ı ica en V. Sin m´as que aplica el esul ado al abie o V= Ω O
deducimos que sea cual sea la egula idad del da o inicial y0y pa a
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cualquie con ol ∈L2(Q), la soluci´on y de (2.1) (con ayBnulas)
e i ica y (T) es anal´ı ica en V= Ω O. Es a p opiedad, jun o con la
linealidad del sis ema (2.1), imposibili a la con olabilidad exac a de ´es e
en L2(Ω). ope ado del
2. La con olabilidad exac a a ce o de (2.1) implica la con olabilidad exac a
a ayec o ias de (2.1). De modo m´as p eciso, sea y?∈C([0, T]; L2(Ω))
soluci´on de 


∂ y?−∆y?+B·∇y?+ay?= 0 en Q,
y?= 0 sob e Σ,
y?(x, 0) = y?
0(x) en Ω,
con y?
0∈L2(Ω). En onces, exis e un con ol ∈L2(Q) al que la soluci´on
de (2.1) e i ica
y (x, T) = y?(x, T),∀x∈Ω.(2.3)
Pa a comp oba es e hecho, bas a elegi ∈L2(Q) al que la soluci´on Y
de (2.1) pa a los da os ey0−y?
0 e i ique Y(·, T) = 0 en Ω. Tomando
como con ol y u ilizando la linealidad del p oblema, es ´acil deduci que
la soluci´on y de (2.1) (co espondien e a ey0) e i ica y =y?+Y, de
donde ob enemos (2.3).
An es de cen a nos en el p oblema de la con olabilidad nula de (2.1),
eco demos algunos esul ados sob e la con olabilidad ap oximada de es e
sis ema. Como consecuencia del Teo ema de la P oyecci´on se iene que la
con olabilidad ap oximada de (2.1) en L2(Ω) en el ins an e Tequi ale a p oba
la p opiedad:
“Sea ϕ0∈L2(Ω) y sea ϕla soluci´on de (p oblema adjun o)



−∂ ϕ−∆ϕ−∇·(Bϕ) + aϕ = 0 en Q,
ϕ= 0 sob e Σ,
ϕ(x, T) = ϕ0(x)en Ω.
(2.4)
Si ϕ≡0en O×(0, T), en onces ϕ0≡0(y, as´ı, ϕ≡0en Q).”
Se a a, po an o, de p oba una p opiedad denominada de con inuaci´on
´unica pa a el p oblema adjun o (2.4). Pa a la ecuaci´on que nos ocupa, es a
p opiedad se deduce de esul ados de con inuaci´on ´unica pa a p oblemas de
quasi-S okes p obados en [6]. Es in e esan e hace no a que la p opiedad de
con inuaci´on ´unica pa a el sis ema (2.4) (y en consecuencia la con olabilidad
ap oximada de (2.1)) es ´alida pa a cualquie abie o Oy pa a cualquie ins an e
de iempo T.
Es posible da un p ocedimien o cons uc i o pa a calcula un con ol que
conduzca el sis ema (2.1) desde y0∈L2(Ω), en el ins an e inicial, has a un

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es ado deseado yd∈L2(Ω), en el ins an e inal T, con un e o meno que ε. Se
a a del m´e odo a iacional desa ollado en [19]: Conside amos el uncional Jε
de inido en L2(Ω) dado po
Jε(ϕ0) = 1
2ZZO×(0,T )|ϕ(x, )|2dx d +ε||ϕ0||L2(Ω) −(ϕ0, yd−ey(T))L2(Ω) (2.5)
donde ϕes la soluci´on de (2.4) asociada a ϕ0,eyes la soluci´on de (2.1) asociada
al con ol ≡0 y donde median e (·,·)L2(Ω) es amos deno ando el p oduc o en
L2(Ω). El uncional Jεes un uncional con exo, con inuo y, como consecuencia
de la p opiedad de con inuaci´on ´unica pa a (2.4), coe ci i o en L2(Ω). De hecho
e i ica (c . [8])
lim in
||ϕ0||L2(Ω)→∞
Jε(ϕ0)
||ϕ0||L2(Ω) ≥ε.
Es as p opiedades ga an izan que el uncional Jεalcance el m´ınimo en un ´unico
bϕε
0∈L2(Ω). Tomando en (2.1) el con ol ε=bϕε1O, con bϕεla soluci´on de (2.4)
asociada a bϕε
0, el es ado byε—soluci´on de (2.1) asociada a ε— e i ica ([19, 8])
||byε(T)−yd||L2(Ω) ≤ε.
Tenemos as´ı desc i o un p ocedimien o que cons uye, a pa i de los da os y0,
ydyε, un con ol que esuel e el p oblema de la con olabilidad ap oximada de
(2.1) en el ins an e T. De hecho, el con ol cons uido εes el de no ma L2(Ω)
m´ınima en e los con oles que e i ican (2.2) (c . [19]). Es e p ocedimien o,
combinado con un m´e odo de pun o ijo, p opo ciona la demos aci´on de la
con olabilidad ap oximada en L2(Ω) de e siones no lineales de la ecuaci´on del
calo bajo condiciones de c ecimien o sublineal de los ´e minos no lineales de la
ecuaci´on (c . [8, 22])
exac a
3 La ecuaci´on del calo . Con olabilidad Nula o
Exac a a ce o
Pasemos a con inuaci´on al es udio de la con olabilidad nula de la ecuaci´on (2.1)
y pa a ello, supongamos dado y0∈L2(Ω). Pa a llega a nues o
obje i o azona emos del siguien e modo: Siguiendo el p ocedimien o desc i o
an e io men e, pa a cada ε > 0, oma emos ε=ϕε1Ocon ϕεla soluci´on de
(2.4) asociada a ϕε
0∈L2(Ω) y ϕε
0el m´ınimo en L2(Ω) del uncional Jεdado po
(2.5) con yd≡0 (eyes la soluci´on de (2.1) asociada a y0y = 0). Sabemos que
la co espondien e soluci´on de (2.1) asociada al con ol ε—yε— e i ica
||yε(T)||L2(Ω) ≤ε. (3.6)
M. Gonz´
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De las ecuaciones e i icadas po eyyϕdeducimos
(ϕ0,ey(T))L2(Ω) = (ϕ(0), y0)L2(Ω)
y, as´ı, el uncional Jεes:
Jε(ϕ0) = 1
2ZZO×(0,T )|ϕ(x, )|2dx d +ε||ϕ0||L2(Ω) +ZΩ
ϕ(x, 0)y0(x)dx.
En el m´ınimo ϕε
0, se e i ica la igualdad
ZZO×(0,T )|ϕε(x, )|2dx d +ZΩ
ϕε(x, 0)y0(x)dx +ε||ϕε
0||L2(Ω) = 0.(3.7)
Supongamos que exis e una cons an e C > 0, independien e de ϕ0, al que
se enga
||ϕ(0)||2
L2(Ω) ≤CZZO×(0,T )|ϕ(x, )|2dx d , (3.8)
con ϕsoluci´on de (2.4) asociada a ϕ0. En onces, de (3.7) ob enemos (pa a cada
η > 0)
ZZO×(0,T )|ϕε(x, )|2dx d +ε||ϕε
0||L2(Ω) =−ZΩ
ϕε(x, 0)y0(x)dx ≤
1
2η2||ϕε(0)||2
L2(Ω) +1
2η2||y0||2
L2(Ω) ≤Cη2
2ZZO×(0,T )|ϕε(x, )|2dx d +1
2η2||y0||2
L2(Ω).
Elegimos η2= 1/C y, eniendo en cuen a que ε=ϕε1O, deducimos
1
2|| ε||2
L2(Q)+ε||ϕε
0||L2(Ω) ≤C
2||y0||2
L2(Ω),
y, de aqu´ı, una es imaci´on (independien e de ε) de la no ma en L2(Q) del con ol:
|| ε||2
L2(Q)≤C||y0||2
L2(Ω).
Es a aco aci´on uni o me espec o de εpe mi e ex ae una subsucesi´on { εn}
(con εn↓0) d´ebilmen e con e gen e hacia ˆ ∈L2(Q). Pa a es a subsucesi´on se
iene:
y εn→yˆ en L2(Q) e y εn(T)→yˆ (T) en L2(Ω),
con y εneyˆ las co espondien es soluciones de (2.1) asociadas a εny ˆ ,
espec i amen e. Sin m´as que eco da (3.6), al oma l´ımi es, ob enemos que
yˆ (T) = 0 en Ω. Tenemos as´ı:
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Teo ema 3 Sea y0∈L2(Ω). Supongamos que exis e C > 0(independien e de
ϕ0) al que se e i ica (3.8). En onces, exis e un con ol ˆ de L2(Q) al que
la co espondien e soluci´on de (2.1) e i ica yˆ (T)=0en L2(Ω). Adem´as, el
con ol ˆ puede se elegido al que
||ˆ ||2
L2(Q)≤C||y0||2
L2(Ω).(3.9)
Obse aci´on 4 Es in e esan e hace no a que el a gumen o u ilizado pa a
demos a la con olabilidad nula de (2.1) es un a gumen o cuan i a i o. En
pa icula , p opo ciona una es imaci´on de la no ma L2(Q) del con ol que da
la con olabilidad nula, espec o de la no ma L2(Ω) del da o inicial y0. Bas a,
po an o, con es ima la cons an e Cque apa ece en la desigualdad (3.8) pa a
es ima el cos e de la con olabilidad nula del sis ema (2.1).
La desigualdad (3.8) del sis ema adjun o (2.4) ecibe el nomb e de
desigualdad de obse abilidad. Adem´as de se una condici´on su icien e pa a
que se enga la con olabilidad nula del sis ema (2.1), ambi´en es una condici´on
necesa ia. De hecho, se iene:
Teo ema 5 Supongamos que pa a cada y0∈L2(Ω) exis e un con ol ˆ ∈L2(Q)
e i icando (3.9) (Cindependien e de y0) y al que la co espondien e soluci´on
yˆ de (2.1) sa is ace
yˆ (·, T) = 0 en Ω.
En onces, se iene la desigualdad de obse abilidad (3.8) pa a el p oblema
adjun o (2.4) con la misma cons an e C.
Demos aci´on: Sea y0∈L2(Ω) y conside emos un con ol ˆ ∈L2(Q) que
e i ique (3.9) y al que yˆ , la soluci´on de (2.1) asociada a ˆ ey0, cumpla
yˆ (T) = 0 en Ω. Sea ϕ0∈L2(Ω) y ϕla soluci´on de (2.4) asociada a ϕ0. Es ´acil
comp oba :
ZΩ
ϕ(x, 0)y0(x)dx =−ZZO×(0,T )
ˆ (x, )ϕ(x, )dx d ≤
||ϕ1O||L2(Q)||ˆ ||L2(Q)≤√C||ϕ1O||L2(Q)||y0||L2(Ω),∀y0∈L2(Ω).
As´ı,
||ϕ(0)||2
L2(Ω) ≤CZZO×(0,T )|ϕ(x, )|2dx d .
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Aunque la no ma que apa ece a la izquie da de la desigualdad de
obse abilidad (3.8) es muy d´ebil, a causa de la i e e sibilidad del sis ema (2.4),
es a desigualdad no es ´acil de p oba . Va ias han sido las ´ecnicas u ilizadas en
la demos aci´on de es a desigualdad, aunque la mayo ´ıa de las eces ´es a ha sido
demos ada como consecuencia del co espondien e esul ado de con olabilidad
nula. Mencionemos los abajos de [32] y [17], donde se es udia la con olabilidad
nula de la ecuaci´on del calo (a≡0, B≡0). En el p ime o de ellos
se p ueba que la con olabilidad exac a de la ecuaci´on de ondas implica la
con olabilidad nula de la ecuaci´on del calo . Median e es e azonamien o se
end ´a la desigualdad (3.8) si imponemos al abie o Oy al iempo Tcondiciones
geom´e icas an´alogas a las que se imponen pa a la con olabilidad exac a de la
ecuaci´on de ondas (c . [18, 2]). El segundo de los abajos u iliza desa ollos
en se ies de Fou ie de las soluciones de la ecuaci´on del calo y p opiedades
´op imas de las au o unciones del Laplaciano. El esul ado ob enido po es os
au o es p ueba la con olabilidad nula (y, en consecuencia, la desigualdad de
obse abilidad pa a la ecuaci´on del calo e ´og ada) pa a cualesquie a abie o
Oy iempo T. Sin emba go, es a ´ecnica no puede gene aliza se al caso
de ecuaciones donde apa ezcan coe icien es dependien es del iempo. En el
p esen e abajo a a emos de desc ibi una e ce a ´ecnica que demues a la
desigualdad de obse abilidad pa a cualesquie a OyTcuando en la ecuaci´on
del sis ema adjun o apa ecen coe icien es en L∞(Q) que dependen de la a iable
empo al. Demos a emos la desigualdad (3.8), e emos c´omo depende la
cons an e C espec o de los da os T,||a||∞y||B||∞y, en consecuencia, da emos
una es imaci´on de la no ma L2(Q) del con ol de no ma m´ınima que da la
con olabilidad nula. Vol e emos sob e es e pun o m´as adelan e.
Como se puso de mani ies o, demos a emos la desigualdad (3.8) combinando
desigualdades globales de ipo Ca leman y es imaciones de ene g´ıa pa a el
p oblema adjun o.
4 Desigualdad global de Ca leman. Desigual-
dad de Obse abilidad
Dedicamos es e apa ado a demos a la desigualdad de obse abilidad (3.8)
pa a el p oblema adjun o (2.4). Comenza emos p esen ando una desigualdad de
Ca leman global pa a las soluciones de la ecuaci´on del calo e ´og ada cuando
el segundo miemb o de la ecuaci´on es ´a en H−1(Ω).
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5.1 Con olabilidad Ap oximada
Supongamos dados y0, yd∈L2(Ω) y ε > 0. Nues o obje i o es cons ui un
con ol ∈L2(Q) al que la soluci´on de (2.1) asociada a ,y, e i ique (2.2).
Seg´un pusimos de mani ies o en la Obse aci´on 2, la con olabilidad exac a
a ce o de (2.1) implica la con olabilidad exac a a cualquie ayec o ia de es e
sis ema. Teniendo en cuen a es a idea, amos a da un p ocedimien o que
cons uye un con ol que da la con olabilidad ap oximada de nues o sis ema
a pa i de los da os y0,ydyε. Nues a a gumen aci´on es como sigue:
•Dado ε, exis e δ∈(0, T), que s´olo depende de Ω, yd,ε,ayB, al que la
soluci´on wde



∂ w−∆w+B·∇w+aw = 0 en Ω ×(T−δ, T),
w= 0 sob e ∂Ω×(T−δ, T),
w(x, T −δ) = yd(x) en Ω,
(5.22)
e i ica
||w(T)−yd||L2(Ω) ≤ε.
Fijamos de es e modo wyδ.
•En el in e alo [0, T −δ] dejamos que el sis ema (2.1) e olucione lib emen e
( ≡0). Sea y1∈C([0, T −δ]; L2(Ω)) la co espondien e soluci´on, es deci ,
la soluci´on de



∂ y1−∆y1+B·∇y1+ay1= 0 en Ω ×(0, T −δ),
y1= 0 sob e ∂Ω×(0, T −δ),
y1(x, 0) = y0(x) en Ω.
(En pa icula , y1(T−δ)∈L2(Ω)).
•Finalmen e, en el in e alo [T−δ, T], bas a conduci el sis ema de o ma
exac a desde y1(T−δ) has a la ayec o ia w(T). En e ec o, en is a de
la Obse aci´on 2, sabemos que exis e 2∈L2(Ω ×(T−δ, T)) al que el
sis ema



∂ y2−∆y2+B·∇y2+ay2= 21Oen Ω ×(T−δ, T),
y2= 0 sob e ∂Ω×(T−δ, T),
y2(x, T −δ) = y1(x, T −δ) en Ω,
(5.23)
posee una ´unica soluci´on y2∈C([T−δ, T]; L2(Ω)) que e i ica
y2(x, T) = w(x, T) p.c. . x∈Ω.

M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 29
Razonando as´ı y omando como con ol
=½0 en [0, T −δ],
2en [T−δ, T],
el co epondien e es ado asociado soluci´on de (2.1) es
y=½y1en [0, T −δ],
y2en [T−δ, T],
que, e iden emen e, e i ica (2.2). Ob enemos de es a o ma un nue o
p ocedimien o cons uc i o de demos aci´on de la con olabilidad ap oximada
de (2.1) en el ins an e T.
5.2 Cos e de la Con olabilidad
Expond emos b e emen e c´omo los p ocedimien os que p ueban la con olabil-
idad nula y ap oximada de (2.1) p opo cionan una aco aci´on supe io del cos e
de la con olabilidad. El caso en el que el coe icien e Bde la EDP de (2.1) es
id´en icamen e nulo es ´a es udiado en p o undidad en [10]. Veamos some amen e
qu´e ocu e en el caso en el que apa ecen ambos coe icien es ayB.
Dados y0, yd∈L2(Ω) y ε > 0, deno emos Uad(y0, yd;ε) al conjun o (no ac´ıo)
Uad(y0, yd;ε) = { ∈L2(Q) : y soluci´on de (2.1) sa is ace (2.2)}.
Siguiendo [10], la can idad
C(y0, yd;ε) = in
∈Uad(y0,yd;ε)|| ||L2(Q)
mide el cos e de la con olabilidad ap oximada de (2.1) en el ins an e T.
Aco a emos supe io men e es e cos e en el caso pa icula y0≡0. Es o no
supone ninguna es icci´on pues, de la linealidad de (2.1), se iene
C(y0, yd;ε)≡ C(0, zd;ε)
con zd=yd−y1(T) e y1soluci´on de (2.1) pa a = 0.
Po o o lado, sea
Uad(y0,0) = { ∈L2(Q) : y soluci´on de (2.1) sa is ace y (T) = 0}
que como sabemos, es un conjun o no ac´ıo. El cos e de la con olabilidad nula
de (2.1) iene dado median e la can idad
C(y0,0) = in
∈Uad(y0,0) || ||L2(Q).
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 30
Obse aci´on 14 Hay que esal a que la es imaci´on de C(0, yd;ε) s´olo es
in e esan e cuando ||yd||L2(Ω) > ε. En e ec o, si ||yd||L2(Ω) ≤ε, es ´acil
comp oba que ≡0 es ´a en Uad(0, yd;ε) y que, po an o,
C(0, yd;ε)≡0.
Con es a no aci´on, se iene:
Teo ema 15 Supongamos dados a∈L∞(Q),B∈L∞(Q)NyT > 0. En onces:
1. Dado y0∈L2(Ω), se iene:
C(y0,0) ≤exp [C M(T, ||a||∞,||B||∞)]||y0||L2(Ω)
donde M(T, ||a||∞,||B||∞) iene dada po (4.14).
2. Dado ε > 0, se iene:
C(0, yd;ε)≤exp [C(M(T, ||a||∞,||B||∞) + N(ε, ||a||∞,||B||∞, yd))]||yd||L2(Ω)
(5.24)
pa a cualquie yd∈H2(Ω) ∩H1
0(Ω), donde N(ε, ||a||∞,||B||∞, yd) iene dada
po :
N(ε, ||a||∞,||B||∞, yd) = ||∆yd||L2(Ω) +||B||∞(1 + ||B||∞)||∇yd||L2(Ω)
ε
+¡||a||∞+||B||2
∞¢||yd||L2(Ω)
ε.
Demos aci´on: Nos cen a emos en la segunda pa e del esul ado pues el p ime
apa ado ha sido demos ado an e io men e. Demos a emos es a segunda pa e
bajo la hip´o esis ||yd||L2(Ω) > ε.
Obse ando la Secci´on 5.1, es ´a cla o que, dados ydyε, podemos aco a el
cos e
C(0, yd;ε)≤ || 2||L2(Ω×(T−δ,T ))
donde 2es el con ol que conduce de o ma exac a el sis ema (2.1) desde 0
(y0≡0), en el ins an e T−δ, has a w(T) en el ins an e T. No hay que ol ida
que δ > 0 e a al que
||w(T)−yd||L2(Ω) ≤ε
siendo, a su ez, wla soluci´on de (5.22). U ilizamos de nue o la linealidad de los
sis emas conside ados pa a a i ma que el con ol 2es el con ol que conduce
de o ma exac a el sis ema desde −yd, en T−δ, has a 0 en T. As´ı,
|| 2||L2(Q)≤exp [C M(δ, ||a||∞,||B||∞)]||yd||L2(Ω) (5.25)
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 31
donde Mes ´a dada po (4.14) y Ces, como siemp e, una cons an e que s´olo
depende de Ω y O. Bas a, pa a inaliza , aco a δen unci´on de los da os a,
B,ydyε. La soluci´on w∈C([T−δ, T]; L2(Ω)) de (5.22) iene dada po la
igualdad:
w(T−δ+ ) = S( )yd−Z
0
S( −s)[a(T−δ+s)w(T−δ+s)+B(T−δ+s)·∇w(T−δ+s)] ds
(5.26)
donde S(·) es el semig upo gene ado po la ecuaci´on del calo en Ω con
condiciones de Di ichle sob e la on e a, es deci , si u( ) = S( )u0,ues la
soluci´on de 


∂ u−∆u= 0 en Ω ×(0,∞),
u= 0 sob e ∂Ω×(0,∞),
u(x, 0) = u0(x) en Ω.
Es ´acil comp oba que si u0∈H2(Ω) ∩H1
0(Ω), en onces
||∂ u( )||2
L2(Ω) =||∆u( )||2
L2(Ω) ≤ ||∆u0||2
L2(Ω),∀ ∈[0,∞)
y
||S( )u0−u0||L2(Ω) ≤ ||∆u0||L2(Ω),∀ ∈[0,∞).(5.27)
Vol iendo a (5.26),
w(T) = S(δ)yd−Zδ
0
S(δ−s)[a(T−δ+s)w(T−δ+s)+B(T−δ+s)·∇w(T−δ+s)] ds
y as´ı,
||w(T)−yd||L2(Ω) ≤ ||S(δ)yd−yd||L2(Ω)
+||Zδ
0
S(δ−s)[a(T−δ+s)w(T−δ+s) + B(T−δ+s)·∇w(T−δ+s)] ds||L2(Ω).
Si u ilizamos que S(·) es un semig upo de con acciones en L2(Ω), ob enemos
||w(T)−yd||L2(Ω)||L2(Ω) ≤ ||S(δ)yd−yd||L2(Ω) +||a||∞Zδ
0||w(T−δ+s)||L2(Ω) ds
+||B||∞Zδ
0||∇w(T−δ+s)||L2(Ω) ds.
(5.28)
Aco a emos las in eg ales que apa ecen en es a ´ul ima desigualdad u ilizando
p opiedades de w. De la desigualdad de la ene g´ıa e i icada po w
d
d ||w( )||2
L2(Ω) +||∇w( )||2
L2(Ω) ≤¡2||a||∞+||B||2
∞¢||w( )||2
L2(Ω)
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 32
deducimos
||w(T−δ+s)||2
L2(Ω) ≤ ||yd||2
L2(Ω)e(2||a||∞+||B||2
∞)s,∀s∈(0, δ).(5.29)
G acias a la egula idad del da o inicial (yd∈H1
0(Ω)), ambi´en podemos ob ene
d
d ||∇w( )||2
L2(Ω) ≤ ||B||2
∞||∇w( )||2
L2(Ω) +||a||2
∞||w( )||2
L2(Ω)
y de aqu´ı,
d
d n||∇w( )||2
L2(Ω)e||B||2
∞(T−δ− )o≤ ||a||2
∞||w( )||2
L2(Ω)e||B||2
∞(T−δ− ),
pa a ∈(T−δ, T). In eg ando espec o de en [T−δ, T −δ+s] y u ilizando
(5.29), llegamos a









||∇w(T−δ+s)||2
L2(Ω) ≤ ||∇yd||2
L2(Ω)e||B||2
∞s+1
2||a||∞||yd||2
L2(Ω)e(2||a||∞+||B||2
∞)s
≤·||∇yd||L2(Ω)e1
2||B||2
∞s+1
√2||a||1/2
∞||yd||L2(Ω)e(||a||∞+1
2||B||2
∞)s¸2
.
(5.30)
Lle ando (5.27), (5.29) y (5.30) a (5.28), ob enemos
||w(T)−yd||L2(Ω) ≤δ||∆yd||L2(Ω) +√2||yd||L2(Ω) he(||a||∞+1
2||B||2
∞)δ−1i
+2
||B||∞||∇yd||L2(Ω) he1
2||B||2
∞δ−1i.
Aco amos cada sumando po ε/3 y as´ı, elegimos δ
δ= min ÃT, ε
3||∆yd||L2(Ω)
,1
||a||∞+1
2||B||2
∞
log Ã1 + ε
3√2||yd||L2(Ω) !,
2
||B||2
∞
log µ1 + ||B||2
∞
6||∇yd||L2(Ω)嶶.
(5.31)
Bajo la hip´o esis ||yd||L2(Ω) > ε, ambi´en se e i ica
0<ε
||∆yd||L2(Ω) ≤1
λ1
ε
||yd||L2(Ω)
<1
λ1
y 0 <ε
||∇yd||L2(Ω) ≤1
λ1
ε
||yd||L2(Ω)
<1
λ1
siendo λ1el p ime alo p opio de −∆ en H1
0(Ω). As´ı, si δ iene dado po
(5.31), un simple c´alculo p opo ciona
1
δ≤CÃ1
T+||∆yd||L2(Ω) +¡||a||∞+||B||2
∞¢||yd||L2(Ω) +||B||∞(1 + ||B||2
∞)||∇yd||L2(Ω)
ε!
donde Ces una nue a cons an e posi i a que s´olo depende de Ω. Vol iendo a
(5.25), aho a es ´acil ob ene (5.24) y la p ueba del Teo ema.
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 33
Obse aci´on 16 1. En el caso del cos e de la con olabilidad ap oximada,
la hip´o esis yd∈H2(Ω) ∩H1
0(Ω) no supone ninguna es icci´on. Dado
yd∈L2(Ω) y ε > 0, podemos conside a yε
d∈H2(Ω) ∩H1
0(Ω) al que
||yε
d−yd||L2(Ω) ≤ε/2.
De es a mane a, el cos e se puede aco a po :
C(0, yd;ε)≤ C(0, yε
d;ε/2).
Bas a, po ´ul imo, es ima las no mas ||∆yε
d||L2(Ω) y||∇yε
d||L2(Ω) en
unci´on de εy||yd||L2(Ω).
2. Razonando de mane a lige amen e dis in a a como hemos hecho, es posible
supone que yd∈ D((−∆)α/2) con α∈[1,2] pa a ob ene una aco aci´on
dis in a a (5.24):
C(0, yd;ε)≤exp [C(M(T, ||a||∞,||B||∞) + Nα(ε, ||a||∞,||B||∞, yd))]||yd||L2(Ω)
(5.32)
con
Nα(ε, ||a||∞,||B||∞, yd) = Ã||(−∆)α/2yd||L2(Ω)
ε!2/α
+||B||∞(1 + ||B||∞)||∇yd||L2(Ω) +¡||a||∞+||B||2
∞¢||yd||L2(Ω)
ε.
Pa a la demos aci´on en el caso en que el coe icien e Bes nulo, ´ease [10].
3. Obse ando (5.32), es cla o que la mejo po encia, espec o de ε, se
ob iene cuando yd∈H2(Ω) ∩H1
0(Ω) y, as´ı, la es imaci´on del cos e de
la con olabilidad ap oximada es del o den de exp(K/ε), con Kuna
cons an e posi i a que depende de Ω, O,Teyd. En [10] se demues a que,
en el caso de la ecuaci´on del calo con coe icien es cons an es, la es imaci´on
del cos e de la con olabilidad ap oximada es del o den de exp(K/√ε). En
es e ´ul imo caso, adem´as se p ueba que, en alg´un sen ido, la es imaci´on
ob enida es ´op ima.
4. La co a supe io (5.24) dada pa a el cos e de la con olabilidad ap oximada
no puede se ´op ima espec o de yd. Sabemos que si ydes una ayec o ia
del sis ema (2.1), es deci , si yd=y?(T) siendo y?la soluci´on de



∂ y?−∆y?+B·∇y?+ay?= 0 en Q,
y?= 0 sob e Σ,
y?(x, 0) = y?
0(x) en Ω,

M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 34
con y?
0∈L2(Ω), el sis ema (2.1) es exac amen e con olable a yden el
ins an e T. En consecuencia, el cos e asociado C(0, yd;ε) debe pe manece
aco ado espec o de ε, cuando ε→0.
5. Cuando B≡0, en [10] se ob iene ambi´en una es imaci´on del cos e de
la con olabilidad ini o-ap oximada de (2.1). Dado un subespacio de
dimensi´on ini a Ede L2(Ω), se dice que (2.1) es ini o-ap oximadamen e
con olable en el ins an e Tsi, pa a cada y0, yd∈L2(Ω) y ε > 0, exis e
un con ol ∈L2(Q) al que la soluci´on y de (2.1) e i ica
||y (T)−yd||L2(Ω) ≤ε, ΠE(y (T)) = ΠE(yd),
siendo ΠEel ope ado de p oyecci´on o ogonal de L2(Ω) en E. Es e
esul ado de con olabilidad se demues a cambiando lige amen e el
uncional Jεdado po (2.5) (c . [21]). La es imaci´on del cos e de la
con olabilidad ini o-ap oximada dada en [10] se basa, de nue o, en la
desigualdad de obse abilidad pa a el p oblema adjun o (2.4) (B≡0).
6 Con olabilidad de o os p oblemas pa ab´olicos
Acaba emos el abajo p esen ado algunos esul ados ecien es de con olabil-
idad pa a o os p oblemas pa ab´olicos. En conc e o, nos cen a emos en e -
siones no lineales de la ecuaci´on del calo y en las ecuaciones de S okes y de
Na ie -S okes. En [4] (y en las e e encias que all´ı apa ecen) pueden encon a se
o os in e esan es esul ados de con olabilidad pa a o os p oblemas no lineales
(ecuaci´on del calo con ´e minos no lineales discon inuos, con condiciones de
con o no no lineales, ...).
6.1 Ecuaci´on del calo casilineal
Con la misma no aci´on de la Secci´on 2, conside amos el p oblema pa ab´olico no
lineal 


∂ y−∆y+ (y, ∇y) = 1Oin Q,
y= 0 on Σ,
y(x, 0) = y0(x) in Ω
(6.33)
donde y0y es ´an dados y : IR ×IRN→IR es una unci´on localmen e
lipschi ziana. Bajo es as hip´o esis, podemos esc ibi
(s, p) = (0,0) + g(s, p)s+G(s, p)·p∀(s, p)∈IR ×IRN,
pa a cie as unciones gyGde L∞
loc.
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 35
La con olabilidad de (6.33) ha sido analizada en a ios a ´ıculos ecien es.
Des acamos los abajos [12], [9], [15], [11], [1] y [5] en lo e e en e a la
con olabilidad nula y [8], [22], [11] y [5] en lo que se e ie e a la con olabilidad
ap oximada.
Pa a no ex ende nos excesi amen e, nos cen a emos en la desc ipci´on de los
esul ados de con olabilidad y no con olabilidad m´as gene ales demos ados.
´
Es os son los esul ados p obados en [11] y [5], donde se pe mi e que la no
linealidad enga un c ecimien o supe lineal en el in ini o y donde no se
imponen condiciones de buen signo a . En conc e o, en [11] se a a el caso de
la ecuaci´on del calo semilineal, es deci , el caso = (s), mien as que en [5]
se analiza el caso m´as gene al = (s, p).
En [5] se p ueba:
Teo ema 17 Supongamos que y0∈W1,∞(Ω) ∩H1
0(Ω) y que es una unci´on
localmen e lipschi ziana e i icando (0,0) = 0 y
lim
|(s,p)|→∞ |g(s, p)|
log3/2(1 + |s|+|p|)= 0,lim
|(s,p)|→∞ |G(s, p)|
log1/2(1 + |s|+|p|)= 0.(6.34)
En onces, exis e un con ol ∈L∞(Q) al que el p oblema (6.33) admi e una
soluci´on y∈C([0, T ]; L2(Ω)) que e i ica
y(x, T) = 0 ∀x∈Ω.
Obse aci´on 18 1. En pa icula , el Teo ema 17 a i ma que, bajo la
hip´o esis (6.34), pa a cada y0∈W1,∞(Ω) ∩H1
0(Ω) exis e un con ol al
que (6.33) admi e una soluci´on global de inida en [0, T]. Hay que des aca
que es o no es cie o pa a cualquie segundo miemb o y cualquie da o
inicial pues es amos en el ango de no linealidades pa a las que se dan
en´omenos de explosi´on en iempo ini o pa a (6.33).
2. En la p ueba del Teo ema 17 se cons uye un con ol egula que hace que
(6.33) admi a soluci´on en el espacio C([0, T]; W1,∞(Ω)), espacio donde se
puede asegu a la unicidad de soluci´on.
La e si´on mejo ada de la desigualdad de obse abilidad pa a (2.4), (4.20),
juega un papel c ucial en la demos aci´on del Teo ema 17. Usando (4.20) se
p ueba un esul ado de con olabilidad nula pa a una e si´on linealizada de
(6.33) con con oles en L∞y en un adecuado in e alo empo al (in e alo que
depende in e samen e del ama˜no de los po enciales gyGpues os en la unci´on
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 36
al ededo de la cual se linealiza). Aplicamos pos e io men e un a gumen o de
pun o ijo pa a ob ene el esul ado deseado.
El mismo m´e odo de demos aci´on del Teo ema 17 pe mi e p oba pa a
(6.33) un esul ado de con olabilidad nula local pa a cualquie no linealidad
conside ada:
Teo ema 19 Sea una unci´on localmen e lipschi ziana en IR×IRN. En onces,
exis e ε0>0(ε0=ε0(Ω,O, T, )) al que si y0∈W2,p(Ω) ∩H1
0(Ω), con p > N,
e i ica
||y0||W2,p(Ω) ≤ε0,
exis e un con ol ∈L∞(Q) al que el p oblema (6.33) admi e una soluci´on
global y∈C([0, T]; L2(Ω)) que e i ica
y(x, T) = 0 ∀x∈Ω.
Una consecuencia del Teo ema 17 es la con olabilidad ap oximada de (6.33).
Pa a ello supond emos una hip´o esis lige amen e dis in a a (6.34). Tambi´en
supond emos que, pa a cie os y?
0∈W1,∞(Ω)∩H1
0(Ω) y ?∈L∞(Q), el sis ema
(6.33) admi e una soluci´on global y?∈C([0, T]; W1,∞(Ω)). Se iene ([5]):
Teo ema 20 Supongamos que y0∈W1,∞(Ω) ∩H1
0(Ω) y que es una unci´on
localmen e lipschi ziana que e i ica
lim
|(s,p)|→∞
1
log3/2(1 + |s|+|p|)¯¯¯¯Z1
0
∂
∂s (s0+λs, p0+λp)dλ¯¯¯¯= 0,
lim
|(s,p)|→∞
1
log1/2(1 + |s|+|p|)¯¯¯¯Z1
0
∂
∂pi
(s0+λs, p0+λp)dλ¯¯¯¯= 0,
(6.35)
uni o memen e en (s0, p0)∈K, pa a cualquie compac o K⊂IR ×IRN(con
(0,0) no necesa iamen e nulo). Supongamos ambi´en que (6.33) admi e al
menos una souci´on global y∗∈C0([0, T]; W1,∞(Ω)), co espondien e a los da os
y∗
0∈W1,∞(Ω)∩H1
0(Ω) y ∗∈L∞(O×(0, T)). En onces, pa a cada yd∈L2(Ω)
yε > 0, exis e ∈L∞(Q) al que (6.33) admi e una soluci´on que e i ica (2.2).
Obse aci´on 21 1. La hip´o esis de exis encia de al menos una soluci´on
global impues a al sis ema (6.33) es, e iden emen e, una condici´on
necesa ia pa a que haya con olabilidad ap oximada. Es a condici´on se
iene inmedia amen e cuando (0,0) = 0, si omamos y?≡0, soluci´on de
(6.33) asociada a los da os y?
0= 0 y ?= 0.
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 37
2. La condici´on (6.35) se puede esc ibi de o ma m´as simple cuando s´olo
depende de s(caso semilineal). En es e caso, en la exp esi´on (6.35) no
apa ece la a iable py se puede demos a (c . [11]) que equi ale a
lim
|s|→∞
(s)
|s|log3/2(1 + |s|)= 0
y que ´es a, a su ez, equi ale a
lim
|s|→∞
g(s)
log3/2(1 + |s|)= 0.
En el caso m´as simple = (s) se pueden es ablece esul ados de no
con olabilidad de (6.33). En [11] se demues a:
Teo ema 22 Exis en unciones localmen e Lipschi z = (s) ales que (0) =
0, sa is aciendo
| (s)| ∼ |s|logp(1 + |s|)con |s| → ∞ (6.36)
con p > 2, pa a las cuales, pa a cualquie T, el sis ema (6.33) no es exac amen e
con olable a ce o en el ins an e T.
Se llega a un esul ado an´alogo pa a la con olabilidad ap oximada de (6.33):
Teo ema 23 Exis e una unci´on localmen e Lipschi z que e i ica (6.36), con
p > 2, pa a la que el sis ema (6.33) no es ap oximadamen e con olable en
ning´un iempo T > 0.
Obse aci´on 24 1. La demos aci´on de los Teo emas 22 y 23 es ´a basada en
la elecci´on de no linealidades pa a las que se dan, po un lado, en´omenos
de explosi´on en iempos a bi a iamen e peque˜nos (lo que impide la
con olabilidad nula de (6.33)) y, po o o, no linealidades pa a las que
se dan en´omenos de obs ucci´on (lo que imposibili a la con olabilidad
ap oximada). En conc e o, en el Teo ema 22 se u iliza la unci´on
(s) = Z|s|
0
logp(1 + |σ|)dσ ∀s∈IR,
(con p > 2) y se p ueba que el con ol no puede compensa el en´omeno
de explosi´on que se p oduce en Ω O. En el caso del Teo ema 23 se elige,
pa a p > 2,
(s) = Zs
0
logp(1 + |σ|)dσ ∀s∈IR,
M. Gonz´
alez Bu gos Con olabilidad de E.D.P. Pa ab´olicas 44
[18] J.L. Lions, Exac con ollabili y, s abilizabili y and pe u ba ions o
dis ibu ed sys ems, SIAM Re . 30, (1988), 1–68.
[19] J.L. Lions, Rema ks on app oxima e con ollabili y, J. Analyse Ma h. 59,
(1992), 103–116.
[20] D. L. Russel, A uni ied bounda y con ollabili y heo y o hype bolic and
pa abolic pa ial di e en ial equa ions, S udies in Appl. Ma h. 52, (1973),
no. 3, 189–211.
[21] E. Zuazua, Fini e dimensional null-con ollabili y o he semilinea hea
equa ion, J. Ma h. Pu es e Appl. 76, (1997), 237–264.
[22] E. Zuazua, App oxima e con ollabili y o semilinea hea equa ions
wi h globally Lipschi z nonlinea i ies. Recen ad ances in con ol o PDEs,
Con ol Cybe ne ., 28 no. 3, (1999), 665–683.