XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–9)
Con ol de EDPs o ien ado a la e apia de un umo
ce eb al
R. Eche a ´
ıa,1, A. Doubo a1, E. Fe n´
andez-Ca a1
I. Gay e-Delgado 1
1Dp o. E.D.A.N., Uni e sidad de Se illa, Ap do. 1160, E-41080 Se illa. E-mails: [email p o ec ed],
[email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed].
Palab as cla e: con ol, EDP, umo ce eb al, e apia de umo es ce eb ales
Resumen
Conside amos un sis ema de ecuaciones en de i adas pa ciales que modela los e ec-
os de una e apia sob e un umo ce eb al (glioblas oma). La densidad de c´elulas
umo ales e i ica una EDP pa ab´olica semilineal, que es ´a acoplada con o a EDP
simila pa a un agen e ci o ´oxico. El con ol es dis ibuido, su sopo e es un peque˜no
subdominio del abie o que ep esen a el ce eb o y ac ´ua a a ´es del segundo miemb-
o de la ecuaci´on pa a la densidad de an icue pos. P esen amos esul ados de con ol
pa a es e modelo, as´ı como algunas expe iencias num´e icas.
1. El modelo conside ado
Sea Ω ⊂RNun abie o conexo aco ado y sea T > 0. Deno amos Q= Ω ×(0, T)
y Σ = ∂Ω×(0, T). Conside amos el siguien e p oblema, que desc ibe la e oluci´on en
Ω×(0, T) de un umo ce eb al (glioblas oma):













c −∇·(D(x)∇c) = (c)−F(c, β) en Q,
β −µ∆β=h(β)−H(c, β) + 1ωen Q,
∂c
∂n = 0,∂β
∂n = 0 sob e Σ,
c(0) = c0, β(0) = β0en Ω.
(1)
Aqu´ı, se in e p e a que Ω es el ce eb o; c=c(x, ) y β=β(x, ) son espec i amen e las
concen aciones de c´elulas umo ales y de an icue pos (agen es ci o ´oxicos) gene ados po
el o ganismo; D=D(x) es el coe icien e de di usi´on de c´elulas umo ales, po simplicidad,
1
R. Eche a ´ıa, A. Doubo a, E. Fe n´andez-Ca a, I. Gay e-Delgado
se supone que el coe icien e de di usi´on de an icue pos es cons an e e igual a µ; yhson
unciones que de e minan espec i amen e los i mos de p oducci´on de cyβ; po o a
pa e, la mane a en que la in e acci´on de c´elulas y an icue pos a ec a a sus especi as
e oluciones iene dada po las unciones FyH.
De acue do con lo expues o en [1] y [2] (donde se conside a un modelo m´as simple de
c ecimien o del umo ce eb al y sin la acci´on de e apia), supond emos que
D(x) = ½Dwsi x∈Ωw,
Dgsi x∈Ωg,(2)
donde 0 < Dw< Dg(Ωwy Ωgson las zonas del ce eb o espec i amen e ocupadas po la
ma e ia blanca y la ma e ia g is). Denomina emos Λ : D(Λ) ⊂L2(Ω) 7→ L2(Ω) el ope ado
de di usi´on asociado, con
D(Λ) = {w∈H1(Ω) : ∇ · (D(x)∇w)∈L2(Ω) },Λw=∇ · (D(x)∇w)∀w∈D(Λ).
Supond emos ambi´en que las unciones ,h,FyHes ´an dadas po
(c) = a1c, h(β) = a2β, F(c, β) = b1cβ, H(c, β) = b2cβ, (3)
donde las cons an es a1,a2,b1yb2son posi i as (en pa icula , acep a emos que la in e ac-
ci´on de an icue pos y c´elulas umo ales es ins an ´anea y desp ecia emos e ec os de e a do;
ampoco end emos en cuen a e ec os de sa u aci´on).
En (1), los da os iniciales deben e i ica
c0, β0∈H1(Ω) ∩L∞(Ω), c0, β0≥0.(4)
Po o a pa e, = (x, ) es un con ol; en la p ´ac ica, supond emos que
∈L∞(ω×(0, T)).(5)
Cada unci´on desc ibe una e apia que es ´a siendo aplicada a lo la go del in e alo empo-
al (0, T)1. Ob iamen e, se espe a que de e mine un co ec o inc emen o de an icue pos
que, a su ez, haga dec ece los alo es de ca a ´es del ´e mino −F(c, β), en el segundo
miemb o de la p ime a ecuaci´on de (1).
Pa a el sis ema p eceden e enemos el esul ado que sigue, cuya demos aci´on usa
a gumen os bien conocidos:
Teo ema 1 Supongamos que se cumplen las condiciones (2)–(5). En onces (1) posee
exac amen e una soluci´on (c, β), con
½c∈L2(0, T;D(Λ)) ∩L∞(Ω ×(0, T)), c ∈L2(Ω ×(0, T)),
β∈L2(0, T;H2(Ω)) ∩L∞(Ω ×(0, T)), β ∈L2(Ω ×(0, T)).(6)
Adem´as, c≥0.
1En es e modelo, la e apia es aplicada exclusi amen e en los pun os de ω. De modo an´alogo, se pod ´ıa
o mula un p oblema en el que la e apia se aplica sob e pa e de la on e a.
2
Con ol de EDPs o ien ado a la e apia de un umo ce eb al
2. El p oblema de con ol ´op imo
Conside emos el uncional J:L∞(ω×(0, T)) 7→ Rde inido po
J( ) = a
2ZΩ
|c(T)|2dx +b
2ZZ ω×(0,T )
| |2dx d , (7)
donde ces, jun o con β, soluci´on del sis ema (1) y aybson dos pa ´ame os posi i os,
con a+b= 1. La unci´on Jpuede in e p e a se como un p omedio de la can idad de
c´elulas cance ´ıgenas que quedan al inal del a amien o y la in ensidad de la medicaci´on
empleada. Los pesos aybde e minan la impo ancia de cada ´e mino.
P e endemos halla el con ol que minimice es e p omedio. Pa a ello plan eamos el
siguien e p oblema de con ol ´op imo:
½Minimiza J( )
Suje o a ∈Uad,(8)
donde Uad ⊂L∞(ω×(0, T)) es un con exo no ac´ıo, ce ado pa a la no ma habi ual en
L2(ω×(0, T)). Desde el pun o de is a m´edico, es imp escindible es ingi la medicaci´on.
Po an o, en e o as elecciones, una limi aci´on na u al consis e en oma
Uad ={ ∈L∞(ω×(0, T)) : 0 ≤ ≤M}.(9)
Se iene el esul ado siguien e, cuya demos aci´on es es ´anda :
Teo ema 2 Exis e al menos una soluci´on del p oblema de con ol ´op imo (8).
3. El sis ema de op imalidad
Sea ˆ la soluci´on de (8) que p opo ciona el Teo ema 2, y sea (ˆc, ˆ
β) la soluci´on del
co espondien e sis ema (1), es deci , el es ado asociado2.
Aplicando un eo ema gene alizado de mul iplicado es de Lag ange3, ob enemos que
(ˆ , ˆc, ˆ
β), jun o con la soluci´on (d, η) del sis ema adjun o asociado



















−d −∇·(D(x)∇d) = 0(ˆc)d−∂F
∂c (ˆc, ˆ
β)d−∂H
∂c (ˆc, ˆ
β)ηen Q,
−η −µ∆η=h0(ˆ
β)η−∂H
∂β (ˆc, ˆ
β)η−∂F
∂β (ˆc, ˆ
β)den Q,
∂d
∂n = 0,∂η
∂n = 0 sob e Σ,
d(T) = ˆc(T), η(T) = 0 en Ω,
(10)
deben e i ica
ZZ ω×(0,T )
(aη +bˆ )( −ˆ )dx d ≥0∀ ∈Uad,ˆ ∈Uad.(11)
2Lo que sigue ambi´en se aplica ´ıa a cualquie soluci´on local de (8).
3Po ejemplo, un esul ado de es e ipo puede se deducido a a pa i del llamado o malismo de
Dubo i skii-Milyu in, ´ease [3].
3
R. Eche a ´ıa, A. Doubo a, E. Fe n´andez-Ca a, I. Gay e-Delgado
Es o ´ul imo equi ale a deci que
ˆ =P(−a
bη),(12)
donde P:L2(ω×(0, T))) 7→ Uad es la p oyecci´on o ogonal habi ual.
En esumen, se iene el esul ado siguien e:
Teo ema 3 Sea (ˆ , ˆc, ˆ
β)soluci´on del p oblema de con ol ´op imo (8). En onces, exis e
(d, η)que e i ica (10) y la elaci´on de op imalidad (12).
El sis ema de op imalidad (1), (10), (12) iene soluci´on ´unica pa a Tsu icien emen e
peque˜no. Po an o, pa a alo es peque˜nos de T, el p oblema de con ol ´op imo (8) ambi´en
iene soluci´on ´unica. Es o jus i ica y hace in e esan e un algo i mo num´e ico basado en la
esoluci´on de (1), (10), (12).
Noso os hemos u ilizado el siguien e algo i mo de ipo pun o ijo:
a) Elegi 0∈Uad.
b) Dados k≥0 y k∈Uad,
(b.1) Halla (ck, βk) soluci´on de (1) poniendo = k.
(b.2) Halla (dk, ηk) soluci´on de (10) poniendo en el segundo miemb o ˆc=cky
ˆ
β=βk.
(b.3) Calcula k+1 =P(−a
bηk).
4. Resul ados num´e icos
Wg
w
Ww
O
Figu a 1: Dominio Ω del p oblema jun o con
la dis ibuci´on de ma e ia blanca (Ωw) y ma-
e ia g is (Ωg). La zona donde comienza a
desa olla se el umo es O. La zona donde
ac ´ua el con ol es ω.
Figu a 2: La iangulaci´on u ilizada, con
3157 i´angulos y 1789 ´e ices.
P esen amos aqu´ı algunas expe iencias num´e icas, po el momen o bidimensionales.
M´as conc e amen e, conside amos un dominio Ω que ep esen a una secci´on co onal del
ce eb o. Las dis ibuciones de ma e ia g is y ma e ia blanca se mues an en la Figu a 1.
4
Con ol de EDPs o ien ado a la e apia de un umo ce eb al
Pa a la ap oximaci´on num´e ica se ha u ilizado un esquema de Eule semi-impl´ıci o
pa a la disc e izaci´on en iempo y un m´e odo es ´anda de elemen os ini os P1-Lag ange
pa a la disc e izaci´on espacial. La iangulaci´on u ilizada se p esen a en la Figu a 2.
0
12
25
37
50
Figu a 3: Iso alo es de la unci´on c0, condi-
ci´on inicial en el p oblema (1), que ep e-
sen a la concen aci´on de c´elulas umo ales
cuando se comienza a aplica la e apia.
0
10
20
30
40
Figu a 4: La zona odeada po las iso-l´ıneas
ep esen a la pa e del umo “ isible” po
las ´ecnicas de de ecci´on, al comienzo de la
e apia.
Es conocido, ´ease po ejemplo [1], que las ´ecnicas de de ecci´on de umo es ( omog a ´ıa
compu e izada y esonancia magn´e ica) p esen an un “umb al de de ecci´on”, es deci , s´olo
son capaces de de ec a un umo cuando la zona en que se supe a una cie a densidad de
c´elulas umo ales es su icien emen e g ande. Siguiendo ambi´en a [1], hemos supues o que
la pa e del umo “de ec able” es aqu´ella con densidad mayo que 40 mil c´elulas/cm2y
di´ame o supe io a 3 cm.
Hemos conside ado un umo i ual que inicialmen e comienza a desa olla se en una
peque˜na zona del dominio, se˜nalada en la Figu a 1 con la le a O, en el cen o de la cual
el alo inicial es de 16 mil c´elulas/cm2. Hemos calculado su e oluci´on, esol iendo la
ecuaci´on co espondien e a cen (1), jun o con sus condiciones de con o no e inicial, en el
in e alo de iempo de 0 a 740 d´ıas, que es cuando (seg´un lo dicho an es) empieza a se
de ec able. De acue do con ello, hemos omado como condici´on inicial c0=c(740) en el
p oblema de con ol.
En la Figu a 3 apa ecen los iso- alo es de la unci´on c0y en la Figu a 4 se puede
obse a la egi´on en donde c0supe a el umb al de de ecci´on ijado.
Con es a c0inicial esol emos el sis ema de op imalidad en el in e alo de iempo
[0,360]. La elecci´on de los pa ´ame os en (1) ha sido lle ada a cabo eniendo en cuen a
el an´alisis de los abajos [1] y [2] ( ´eanse ambi´en sus e e encias). Las simulaciones
num´e icas ealizadas co esponden a los alo es que apa ecen en la Tabla 1.
Con obje o de compa a los e ec os del con ol, hemos ep esen ado en las Figu as 5 y 6
la unci´on que se ob iene esol iendo (1) con ≡0. Es a unci´on nos dice c´omo se ´ıa la
e oluci´on del umo sin aplicaci´on de e apia alguna 360 d´ıas despu´es de la diagnosis.
En las Figu as 7 y 8, se p esen a la concen aci´on de c´elulas umo ales co espondien e
al con ol ´op imo calculado cuando el con exo Uad es ´a dado po (9) con M= 5 y, en (7),
se oma a=0.02 y b=0.98. En la Figu a 11 se ep esen a la e oluci´on en el iempo del
alo medio en ωdel con ol ´op imo.
5

R. Eche a ´ıa, A. Doubo a, E. Fe n´andez-Ca a, I. Gay e-Delgado
Pa ´ame o Valo Unidad Pa ´ame o Valo Unidad
Dg0.0002 cm2/d´ıa a10.0007 1/d´ıa
Dw0.001 cm2/d´ıa b10.004 1/d´ıa
µ0.5 cm2/d´ıa a20.0001 1/d´ıa
b20.0003 1/d´ıa
Tabla 1: Valo es de los pa ´ame os usados en las simulaciones.
0
110
210
320
420
Figu a 5: Iso alo es de la unci´on concen-
aci´on de c´elulas umo ales 360 d´ıas despu´es
de la diagnosis, sin aplicaci´on de e apia.
0
10
20
30
40
Figu a 6: Pa e “ isible” po las ´ecnicas de
de ecci´on de la misma unci´on.
0
30
59
89
120
Figu a 7: Concen aci´on de c´elulas umo ales
co espondien e a la aplicaci´on de la e apia
soluci´on del p oblema de con ol ´op imo.
0
10
20
30
40
Figu a 8: Pa e “ isible” po las ´ecnicas de
de ecci´on de la misma unci´on.
De o ma an´aloga, en las Figu as 7, 8 y 11 se mues an los esul ados ob enidos pa a
los alo es de los pa ´ame os a=0.08 y b=0.92 y pa a un con ol sopo ado po es
subdominios disjun os.
Po o o lado, desde el pun o de is a p ´ac ico pa ece m´as ealis a la aplicaci´on de
una e apia “in e mi en e”, es deci , con pe ´ıodos de medicaci´on al e nados con pe ´ıodos
de descanso. Es o co esponde, en nues o p oblema de con ol, a la siguien e elecci´on del
6
Con ol de EDPs o ien ado a la e apia de un umo ce eb al
0
14
27
41
54
Figu a 9: Concen aci´on de c´elulas umo ales
en el ins an e inal co espondien e a la apli-
caci´on de un con ol ´op imo sopo ado en
es zonas disjun as.
0
10
20
30
40
Figu a 10: Pa e “ isible” po las ´ecnicas de
de ecci´on de la misma unci´on.
con exo de con oles admisibles:
Uad ={ ∈L2(ω×(0, T)) : 0 ≤ ≤M, = 0 en [τk, τk+1], k = 1,3, . . . }(13)
pa a una de e minada pa ici´on {τi}del in e alo [0, T]. En las Figu as 13 y 14 se mues an
el con ol y la concen aci´on de c´elulas umo ales en el ins an e inal co espondien es a
una es icci´on del ipo an e io con M= 18. Obs´e ese que, aunque la can idad o al de
medicaci´on suminis ada es simila en ambas expe iencias, los alo es de cen es e caso
son m´as a o ables que los que se mues an en la Figu a 7, lo cual pa ece con i ma lo
obse ado en la p ´ac ica m´edica.
5. Comen a ios inales
La es a egia u ilizada pa a esol e (8) puede se dis in a. En e ec o, en ez de esol e
el sis ema de op imalidad (1), (10), (12), puede esul a m´as con enien e aplica un m´e odo
de ipo g adien e (con p oyecci´on) pa a la de e minaci´on del con ol ´op imo.
Po o a pa e, pueden se m´as ealis as o as elecciones de Uad donde in e engan
es icciones adicionales. Po ejemplo, pa ece azonable oma
Uad =U0
ad ∩ { ∈L∞(ω×(0, T)) : ZZ ω×(0,T )
dx d ≤K},(14)
donde U0
ad es ´a dado po (13) y K > 0.
Ob iamen e, ambi´en es m´as ealis a ealiza expe iencias num´e icas idimensionales
en espacio. La me odolog´ıa es muy pa ecida, aunque las ca ac e ´ıs icas geom´e icas del
p oblema son mucho m´as complicadas.
Finalmen e, indiquemos que se puede in en a i un poco m´as all´a en la aplicaci´on de
la eo ´ıa de con ol a la e apia de umo es. En e ec o, un p oblema m´as in e esan e (y
7
R. Eche a ´ıa, A. Doubo a, E. Fe n´andez-Ca a, I. Gay e-Delgado
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
DIAS
CONTROL
Figu a 11: Con ol ´op imo co espondien e a
las Figu as 7 y 8.
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
DIAS
CONTROL
Figu a 12: Con ol ´op imo co espondien e a
las Figu as 9 y 10, sopo ado po es zonas
disjun as. Cada cu a co esponde a una de
las zonas.
012 48 60 96 108 144 156 192 204 240 252 288 300 336 348 360
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
DÍAS
CONTROL
Figu a 13: Con ol in e mi en e.
0
21
43
64
85
Figu a 14: Iso- alo es de la unci´on c(T) aso-
ciada al con ol in e mi en e.
m´as di ´ıcil) apa ece cuando el obje i o es, en ez de minimiza Jen Uad, elegi en Uad
de mane a que la soluci´on de (1) e i ique
c(T)∈Bd(T),(15)
donde Bd(T) es un conjun o de es ados inales deseados ijado. Es o es un p oblema de
con olabilidad con es icciones.
Es as cues iones se ´an a adas en a ios abajos de u u a apa ici´on.
Ag adecimien os
El abajo de los au o es ha sido pa cialmen e inanciado po Minis e io de Educaci´on
y Ciencia, P oyec o MTM2006-07932 y po Jun a de Andaluc´ıa, P oyec o FQM 520.
Pa a la ealizaci´on de las g ´a icas de es e abajo se ha u ilizado el so wa e: Scilab
(Copy igh c
°1989-2005. INRIA ENPC) y Medi (Pascal F ey, Labo a oi e Jacques Louis
8
Con ol de EDPs o ien ado a la e apia de un umo ce eb al
Lions de l’Uni e si ´e Pie e e Ma ie CURIE).
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9