El papel del profesor en la enseñanza de la derivada. Análisis desde una perspectiva cognitiva

EL PAPEL DEL PROFESOR EN LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA. ANÁLISIS DESDE UNA PERSPECTIVA COGNITIVA José María Gavilán Izquierdo Este libro ha sido posible gracias a la ayuda concedida al Grupo de Investigación FQM-226 por la Consejería de Innovación, Ciencia y Empresa de la Junta de Andalucía EL PAPEL DEL PROFESOR EN LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA. ANÁLISIS DESDE UNA PERSPECTIVA COGNITIVA No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2010 Autor: José María Gavilán Izquierdo Imprime: Edición Digital @tres, S.L.L. C/ Doctor Escobar Delmas nº, 7 Bjo-B 41018-SEVILLA I.S.B.N.: 978-84-693-1354-1 Depósito Legal: SE-2237-2010 IMPRESO EN ESPAÑA – PRINTED IN SPAIN Son muchas los motivos por los que se llega a escribir un libro de las características del que aquí se presenta. En nuestro caso, lo que nos ha guiado es el deseo de hacer partícipes a los posibles lectores de todo lo que ha supuesto en nuestro caso el proceso del desarrollo de una investigación en el campo de la Educación Matemática. En este proceso, nunca nos hemos sentido solos. Hemos contado con personas que han sabido iniciarnos, orientarnos y guiarnos, en especial Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar. En el trabajo compartido, se ha identificado un problema de investigación relevante, se ha seleccionado un referente teórico pertinente para abordar dicha problemática, y se ha elaborado un diseño metodológico coherente con los planteamientos teóricos y adecuados para responder a las preguntas de investigación formuladas. Partiendo de una noción concreta como es la noción de derivada, y contando como punto de partida con indudables avances que otros investigadores en el campo han obtenido, en nuestro estudio se han obtenido unos resultados sobre la explicación de la práctica que van más allá de dicha noción, y que nos han permitido abordar la descripción y explicación de la práctica del Profesor de Matemáticas de Enseñanza Secundaria y Bachillerato. Junto a ello, hemos podido apreciar directamente la complejidad y esfuerzo que supone la práctica docente de los profesores que han participado en el estudio. Compartir con ellos los momentos de duda e incertidumbre que implica colaborar en un trabajo de estas características, y que ellos supieron superar mostrando en todo momento una gran disponibilidad, ha sido una parte importante de nuestro aprendizaje. Para ellos, nuestro agradecimiento, que hacemos extensivo a los organismos que, con su ayuda, han hecho posible la impresión de este libro. A mis “niñas” Mª Teresa, Ana, y Miriam Índice José María Gavilán Izquierdo i ÍNDICE ÍNDICE .................................................... i LISTA DE CUADROS .......................................vii CAPÍTULO I: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.- INTRODUCCIÓN ....................................... 1 2.- APROXIMACIÓN AL PROBLEMA. ANTECEDENTES . . . . . . . . . 3 3.- LA NOCIÓN DE DERIVADA.............................. 8 3.1.- La noción de derivada en el currículum de Bachillerato . . . . . 9 3.2.- La noción matemática de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3.- La derivada en las investigaciones en Educación Matemática 16 4.- EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CAPÍTULO II: MARCO CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.- INTRODUCCIÓN ...................................... 25 2.- LA PRÁCTICA DEL PROFESOR DESDE DISTINTAS PERSPECTIVAS TEÓRICAS ............................. 27 2.1.- Perspectiva antropológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Índice José María Gavilán Izquierdo ii 2.1.1.- La teoría antropológica de lo didáctico . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2.- Perspectiva sociocultural: noción de instrumento de la práctica..........................................34 2.1.3Teoría de funciones semióticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.- Perspectiva cognitiva ................................41 2.2.1.- Teoría de la enseñanza como estrategia cognitiva . . . . 41 2.2.2.- Teoría de Enseñanza-En-Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3.- Teoría cognitiva para la reflexión y desarrollo . . . . . . . 50 2.2.4.- Teoría sobre perspectivas y desarrollo profesional . . . . 54 3.- LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO DESDE DISTINTAS PERSPECTIVAS TEÓRICAS . . . . . . . . . . . . 59 3.1.- La Teoría de la Reificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.- Los proceptos y unidades cognitivas en la comprensión de conceptos matemáticos..............................66 3.3.- La Teoría de la abstracción reflexiva: APOS . . . . . . . . . . . . . . 71 4.- NUESTRA PROPUESTA PARA EL ANÁLISIS DE LA PRÁCTICA: LA MODELACIÓN DE LA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA DE UNA NOCIÓN MATEMÁTICA .........................77 4.1Introducción .......................................77 4.2Los instrumentos....................................83 4.2.1.- Los modos de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2.- Los elementos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.- El modelo de comprensión para la noción de derivada . . . . . . . 93 5.- PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 CAPÍTULO III: DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN . . . . . . . . . . . . . 107 1.- INTRODUCCIÓN .....................................107 2.- PARTICIPANTES Y CONTEXTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.- INSTRUMENTOS DE RECOGIDA DE LA INFORMACIÓN: LOS DATOS .............................................111 Índice José María Gavilán Izquierdo iii 3.1.- Planificación ..................................... 113 3.1.1La entrevista previa de planificación . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1.2.- La unidad didáctica y el libro de texto . . . . . . . . . . . . . 115 3.2.- Gestión ......................................... 116 3.2.1.- Las grabaciones de las clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.2.2.- Las entrevistas de desarrollo de la unidad didáctica . . . 117 3.2.3.- Los materiales utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.- REDUCCIÓN DE LOS DATOS Y ANÁLISIS . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.1.- Reducción de datos, análisis descriptivo. Primer nivel de análisis ................................................... 123 4.2Segundo nivel de análisis: inferencias. Modelación de la descomposición genética de la práctica del profesor . . . . . . . . 130 4.3 - Tercer nivel de análisis: perspectiva de la práctica del profesor ................................................... 141 CAPÍTULO IV: RESULTADOS .............................. 145 1.- INTRODUCCIÓN ..................................... 145 2.- EL CASO DE JUAN: LA MODELACIÓN DE LA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA DE LA NOCIÓN DE DERIVADA EN LA PRÁCTICA DE JUAN ........................... 145 2.1.-Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.1.1.- De la interiorización a la encapsulación: la integración de lo analítico y lo gráfico a través de la tecnología . . . . . . 154 V1: Modelación del paso al límite del cociente incremental en contexto gráfico (de secante a tangente) y analítico (tasa de variación) ...................... 154 V2: Modelación del paso al límite de la tasa de variación y de la recta secante ....................... 160 V3: Modelación del paso al límite de la tasa de variación en un contexto analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 1“On line” en el original. 1 CAPÍTULO I: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 1.- INTRODUCCIÓN Schoenfeld (1999) en “Mirando al siglo 21: desafíos de teoría y práctica educativa” caracteriza las áreas de investigación en las que se puedan efectuar progresos teóricos y prácticos en educación, considerando que desde el punto de vista educativo, es un reto para la investigación en Educación Matemática intentar responder a: ¿cómo gestionan los profesores lo que ellos hacen “en línea1” en la clase? (p. 7) Para Schoenfeld (1999) este tipo de trabajos proporciona herramientas para identificar prácticas y conocimientos que respaldan deseados tipos de enseñanza y para el análisis de formas de desarrollo profesional y su impacto. Nuestra investigación está enfocada en la línea propuesta por Schoenfeld relativa a investigar la práctica del profesor. 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 2 Para formular nuestro problema de investigación nos situamos en la perspectiva general planteada por Simon y Tzur (1999) respecto a las investigaciones sobre práctica de profesores: “Nuestra investigación sobre la práctica del profesor se centra alrededor de la pregunta: ¿Cómo intenta este profesor enseñar a sus estudiantes matemáticas que van más allá de lo que el estudiante ya conoce? Elegimos este foco porque es de gran alcance, razonablemente bien definido, y crítico para comprender el desarrollo de los profesores de matemáticas.” (p. 257) De acuerdo con estas dos propuestas, el problema de investigación que nos planteamos es el análisis de la práctica del profesor. Pretendemos analizar aspectos de la práctica del profesor de matemáticas que favorece la construcción de conocimiento en los estudiantes. Queremos describir la práctica del profesor desde la perspectiva de la construcción de conocimiento matemático que parece potenciar en sus estudiantes. Pensamos que la práctica del profesor de matemáticas está vinculada a la enseñanza y aprendizaje de temas matemáticos concretos. De ahí que concretemos el tema objeto de nuestra investigación en la noción de derivada. Para llegar a esta formulación del problema, las investigaciones en Educación Matemática relativas al profesor han recorrido un largo camino. En este capítulo daremos una visión esquemática del mismo, desde las primeras investigaciones sobre el profesor, hasta desembocar en las líneas actuales de investigación sobre el profesor y su práctica. A continuación contextualizaremos el contenido matemático de la derivada desde distintos puntos de vista que nos parecen relevantes para el análisis de la práctica del profesor. Terminaremos con la formulación del problema de investigación y cómo emprendemos el camino para abordarlo. 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 2 Resaltado en el original. 3 2.- APROXIMACIÓN AL PROBLEMA. ANTECEDENTES Desde hace años las investigaciones en las que el centro de interés es el profesor han ido recibiendo mayor atención. Se pretende de alguna forma obtener información sobre el aprendizaje del profesor y el conocimiento y su práctica con vistas a conceptualizar el desarrollo profesional. Las investigaciones sobre conocimiento y práctica del profesor también conforman una agenda de investigación en el ámbito de investigación español (Llinares, 1998). En el marco de esta agenda de investigación sobre conocimiento y práctica del profesor en García (1997) se organizan las distintas formas de aproximarse al problema del conocimiento del profesor y se indica en relación al desarrollo profesional que: “La consideración del trabajo del profesor como una profesión2, lo que lleva a una preocupación por el desarrollo profesional y todos los aspectos ligados a la profesionalidad. La relación conocimiento acción está en la base de esta perspectiva.” (p. 28) Un rasgo que se manifiesta en las investigaciones sobre el conocimiento y práctica del profesor es una clara preocupación por la mejora de los procesos de formación de profesores, una de las conclusiones de la revisión de las investigaciones llevada a cabo por García (1997) es que: “Una característica, casi general, de las investigaciones sobre el conocimiento del profesor de matemáticas... es la preocupación por la formación de profesores, aportando ideas o realizando preguntas que de alguna forma contribuyan a la clarificación del campo.” (p. 97) Respecto a la práctica del profesor, un aspecto de esta agenda es 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 4 proporcionar datos sobre el conocimiento profesional y sus procesos de cambio (componentes, estructura, uso, etc) (Llinares, 1998) y por tanto obtener mejoras en los procesos de formación. Como señalan Simon y Tzur (1999), para diseñar y llevar a cabo programas de formación de profesores acordes con la reforma escolar, los formadores necesitan investigaciones para comprender cómo se produce el desarrollo desde una posición tradicional hacia profesores que lleven a cabo la reforma. Para llegar a la situación actual ha sido necesario recorrer un camino en el que las investigaciones se dirigieron en un primer momento hacia la caracterización del término “conocimiento profesional del profesor”. Los trabajos de Shulman (1986) identificaron distintas componentes del conocimiento del profesor y dieron relevancia a la materia específica objeto de enseñanza. Diversos trabajos han recogido las ideas aportadas desde diferentes investigaciones. Fennema y Loef (1992) proponen un modelo del conocimiento del profesor que sobre los diferentes componentes funciona del siguiente modo: en un contexto concreto, el conocimiento del contenido interacciona con el conocimiento pedagógico y las cogniciones de los estudiantes y en combinación con las creencias crea una forma de actuación en clase. El conocimiento del profesor se desarrolla a través de la práctica de la enseñanza. La enseñanza es un proceso dentro del cual se crea conocimiento. Todo ello en un contexto, interactuando con las creencias del profesor y de este modo se crea un conocimiento que guía la conducta del profesor en clase, para estos autores al abordar el conocimiento de los profesores es imposible separar las creencias del conocimiento. La importancia de las creencias queda reflejada ya en el trabajo de Grossman et al. (1989) cuando incluyen entre las dimensiones del conocimiento de la materia, que son relevantes para la enseñanza, las creencias sobre la materia que tiene el profesor. Sobre la influencia del conocimiento y creencias en la práctica del profesor indica Thompson (1992): 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 5 “Gracias a los estudios sobre pensamientos de profesores y de toma de decisiones, los educadores reconocen ahora que cómo los profesores interpretan y aplican el currículum está significativamente influido por su conocimiento y creencias (Clark & Peterson, 1986; Romberg & Carpenter, 1986)” (p. 128) La naturaleza e integración de las distintas componentes del conocimiento profesional (García 1997) nos plantea retos en la investigación: “Para terminar recordaremos algunos rasgos del conocimiento profesional del profesor de matemáticas, entendiendo que se informa y se apoya en distintas y variadas áreas: conocimiento de matemáticas, de contenido pedagógico específico de las matemáticas, del currículum, etc, produciendose la integración de las informaciones procedentes de los mismos en las situaciones de enseñanza, en las que el profesor está obligado a adaptar su conocimiento general a la condiciones concretas de la práctica” (p. 50) Por tanto, es importante incluir análisis sobre la actividad que desarrollan los profesores en el aula. De esta forma se empieza a estudiar la práctica del profesor, llegando a conformar una subproblemática de investigación interesada en el problema de la gestión de la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas (Llinares, 1998). Desde otro punto de vista Schoenfeld (1999) indica que: “Hemos alcanzado ahora el punto donde nosotros podemos esperar comprenderla [la práctica], y construir detallados modelos de la misma.” (p. 19) En sus trabajos sobre la práctica se plantea como objetivo describir cómo 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 6 y por qué los profesores toman determinadas decisiones y realizan determinadas acciones cuando están en situaciones de clase. Es decir, comprender lo que los profesores hacen en clase permitirá delimitar una serie de componentes y un mecanismo de funcionamiento de la práctica (Schoenfeld, 1998 a, b). Este interés por la práctica de los profesores también queda claro en el enfoque antropológico, aportado por la teoría antropológica de lo didáctico (Chevallard, 1999) que coloca la actividad matemática y su estudio en el campo de las actividades humanas y de las instituciones sociales. Para este enfoque toda actividad humana puede describirse con un modelo único denominado praxeología. Para la teoría antropológica de lo didáctico hay una modelización del saber matemático a través de las praxeologías matemáticas y una modelización del proceso de estudio de una obra matemática a través de los momentos didácticos, el mismo modelo de praxeología puede ser aplicado a la actividad del profesor, en la que la actividad del profesor se puede describir como director del proceso de estudio (Espinoza y Azcárate, 2000). Para Simon y Tzur (1999), la práctica de profesores es entendida del siguiente modo: “práctica de profesores indica no sólo todas las cosas que los profesores hacen que contribuye a su enseñanza (planificar, evaluar, interactuar con los estudiantes) sino también todo lo que los profesores piensan, conocen y creen sobre lo que ellos hacen. Además las intuiciones, estrategias, valores y sentimientos de los profesores sobre lo que ellos hacen son parte de su práctica. De este modo, vemos la práctica del profesor como un conglomerado que no puede ser entendido mirando las partes separadas del todo (es decir, mirando solamente creencias o métodos de preguntar o conocimiento matemático).” (p. 253-254) 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 3“La arquitectura relacional del aula, entendida como acciones e interacciones que se dan entre profesor, alumnos y un contenido específico,” (Escudero, 2003, p. 31). 7 De esta forma la agenda de investigación, en relación a la práctica del profesor, tiene sus propios problemas de investigación vinculados. Como indica Llinares (1999), el foco de atención se traslada a la práctica en el aula y: “nos permita dar cuenta de: (i) las regularidades en las interacciones en el aula, (ii) del uso que el profesor hacía de los problemas matemáticos, modos de representación, etc, en la constitución de los procesos interactivos de generación de los significados, (iii) el papel del profesor en la definición de unas determinadas prácticas matemáticas en el aula, y (iv) los procesos reflexivos del profesor que ponían de manifiesto la compleja relación entre las creencias y la práctica.” (p. 10) De esta forma los trabajos de investigación comienzan a centrarse en la relación entre conocimiento profesional y práctica instruccional del profesor de matemáticas de Secundaria, poniendo el foco de interés en la organización de determinados tópicos como objeto de enseñanza aprendizaje y lo que justifica dicha organización (Escudero, 2003). Para esta autora el análisis integrado de la planificación del profesor y de la gestión que el profesor realiza del contenido matemático en el aula permite identificar claves para entender la relación entre conocimiento y la práctica. Los resultados de su investigación permiten entrever el doble sentido de las implicaciones entre el conocimiento del profesor y las características de la práctica desarrollada. Sin embargo, el papel relevante que parece desempeñar las concepciones del profesor y su forma de conocer los conceptos matemáticos en la caracterización de la práctica del profesor, visto a través de la arquitectura relacional3 establecida en el aula y de la gestión específica del contenido matemático, ponen de manifiesto su importancia en definir la práctica. En este sentido indica que las diferencias en la arquitectura relacional que puede ser identificada en la práctica del profesor pueden explicarse 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 8 por las concepciones sobre la enseñanza-aprendizaje mantenidas. En esta dirección Artzt (1999) y Artzt y Armour-Thomas (1999) indican que existe una clara relación entre las cogniciones de los profesores (conocimiento, creencias y fines) y su práctica instruccional (tareas, entorno de aprendizaje y discurso). Desde esta perspectiva proponen un modelo sobre cogniciones y práctica en la misma línea que el modelo de Schoenfeld y el grupo de Berkeley, “Theory of Teaching-in-Contex”. Por otra parte cada vez queda más claro el papel primordial que juegan en estas investigaciones los temas matemáticos objeto de estudio. Llinares (2000 b) indica que: “La investigación actual sobre las relaciones entre el conocimiento del profesor y la práctica de enseñanza ha puesto de relieve la necesidad de llevar a cabo estudios que impliquen temas específicos.” (p. 41) Así la agenda de investigación en la que situamos nuestro trabajo tiene como objetivo, entre otros, identificar elementos teóricos para modelar la práctica del profesor teniendo presente el papel primordial del contenido matemático (Llinares, 2000 a). 3.- LA NOCIÓN DE DERIVADA El tópico matemático involucrado en nuestra investigación es la noción de derivada. En este apartado vamos a contextualizar la noción de derivada desde tres puntos de vista: - curricular, nuestra investigación se desarrolla en Primer Curso de Bachillerato, - matemático, y - desde las investigaciones en Educación Matemática. 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 4La Dirección General de Evaluación Educativa y Formación del Profesorado (Consejería de Educación y Ciencia, Junta de Andalucía) estableció el encargo, condiciones y ámbito del trabajo. 9 3.1.- La noción de derivada en el currículum de Bachillerato La noción de derivada aparece en el currículum de Bachillerato entre los contenidos recogidos en el Decreto 126/94 de 7 de junio, en el que se establecen las enseñanzas de Bachillerato en nuestra comunidad autónoma. En dicho decreto, el contenido de Análisis incluye: “- Variación instantánea: concepto e interpretación geométrica y física de derivada de una función en un punto. Función derivada como expresión del cambio de la función inicial. Utilización de estos conceptos en la interpretación de fenómenos. - Concepto de diferencial como aproximación del incremento de una función. Interpretación de la derivada como cociente de diferenciales. - Iniciación al cálculo de primitivas como proceso inverso a la derivación.” (p.109) En la “Colección de Materiales Curriculares para el Bachillerato nº 22, Matemáticas4”, Coriat y Martínez (1998) señalan: “El acercamiento al concepto de derivada se hará a través de la “tasa de variación media en un intervalo”, con ayuda de fenómenos descritos por dependencias funcionales y su representación gráfica. Dicha noción es “insensible” al sentido en que se recorre el intervalo, por eso resulta de gran ayuda en la construcción intuitiva del concepto. Sucesivos “acortamientos” del intervalo (desde sus extremos) conducen a preguntarse si tendría sentido la tasa de variación media “en un punto”, considerar el límite de la expresión y nombrar “derivada” o “número derivada” de la función en el punto el nuevo objeto matemático (cuando existe). 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 6Para caracterizar el cálculo puede considerarse un listado de contenidos, pero podemos usar la caracterización dada por Kleiner (2001) respecto a que “incluye tres elementos principales: un conjunto de reglas y algoritmos (un “cálculo”), una teoría que explica porque las reglas funcionan, y aplicaciones (de la teoría y las reglas) a problemas fundamentales en ciencias” (p. 139). 16 da la primera definición general y prueba la existencia para una clase de funciones (Edwards, 1979). El primer contacto escolar con la integral se denomina “Integral de Cauchy”. 3.3.- La derivada en las investigaciones en Educación Matemática Las investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje del cálculo6 a partir de los movimientos de reforma son recientes, hay algunas investigaciones sobre logros de los estudiantes, sobre el estado de la instrucción del cálculo, o la influencia de experimentos no tradicionales de enseñanza del cálculo sobre el aprendizaje de los estudiantes (Ganter y Jiroutek, 2000). El mayor impulso a estas investigaciones sobre el cálculo en la enseñanza post-secundaria (a partir de los 16 años) se ha dado en la última década ya que se considera que es un componente fundamental del currículum en dicho período educativo (Berry y Nymanb, 2003). De manera más concreta, aunque existe un “corpus” relativamente amplio de investigaciones sobre aprendizaje y dificultades de los estudiantes respecto a la noción de derivada (Orton, 1983; Azcárate, 1990, Ferrini-Mundy y Graham, 1994; Tall, 1996; Cottrill, 1999; Font, 1999; Zandieh 2000; Baker et al., 2000; Contreras et al., 2000; Giraldo et al., 2003; SánchezMatamoros, 2004; Sánchez-Matamoros et al., prepublicación), existen pocas investigaciones centradas en los profesores en relación a la noción de derivada. Entre estas investigaciones podemos distinguir aquellas relativas al conocimiento del profesor sobre este concepto, y aquellas que investigan sobre la práctica del profesor. En relación al conocimiento de los profesores sobre la noción de derivada 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 7Los sujetos de la investigación son profesores de matemáticas de Colombia. 17 Stump (2001) se centra en el desarrollo en futuros profesores del conocimiento de contenido pedagógico de la noción de pendiente, a partir de la propuesta de Shulman (1986) sobre conocimiento del profesor. El progreso de los profesores se aborda en las dos componentes del conocimiento de contenido pedagógico sobre la pendiente: conocimiento de las dificultades de los estudiantes y conocimiento sobre las representaciones para la enseñanza. Esta investigación aporta como relevante la necesidad de los profesores de conocer diferentes representaciones y las conexiones entre las mismas, además de la necesidad de conocer y usar materiales curriculares no tradicionales para el desarrollo del conocimiento de contenido pedagógico. El estudio de Badillo (2003)7 describe la naturaleza y estructura de las formas de conocer el concepto derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje. Para Badillo (2003) el contenido matemático es una restricción institucional, observandose profesores en un nivel intra en el campo algebraico y gráfico, en relación al contenido matemático como objeto de enseñanza y aprendizaje y señala la presencia de confusión entre los objetos f´(a) (derivada de una función en un punto) y f´(x) (función derivada), incluso en el orden en el que se introducen en la enseñanza. Esta investigación pretende entender la práctica profesional del profesor, en este punto: “Las dificultades que tienen los profesores en la comprensión de los macro objetos f´(a) y f´(x) se convierten en un obstáculo para poder hacer una transposición de esos macro objetos y, posteriormente para la enseñanza de los mismos, y les lleva en muchos casos, a reproducir las confusiones y los errores de cara a sus alumnos.” (p. 437) En las investigaciones sobre la práctica del profesor abordando temas de 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 8En inglés Computer Algebra System (CAS). 9Para una descripción más detallada de tipos de prácticas puede consultarse Thompson (1992). 18 cálculo con la derivada como foco podemos identificar dos grupos de investigaciones. Un grupo de investigaciones son relativas al uso de las nuevas tecnologías que generalmente se refieren al uso de programas de cálculo simbólico8, bien en ordenador o bien con calculadoras gráficas; y otras investigaciones señalan el uso de problemas de aplicación a ciencias del cálculo, introduciendolo a través de problemas, por ejemplo, de física. Entre la investigaciones relativas a la práctica del profesor y nuevas tecnologías, Kendal y Stacey (2001 a, b) hacen un estudio sobre uso de software en la enseñanza del cálculo en relación al concepto de derivada basado en distintas representaciones (numéricas, gráfica y simbólicas) y en las diferentes “conexiones” entre ellas. Realizan un intento de clasificar las prácticas de enseñanza y relacionarla con el conocimiento y creencias de los profesores. Para estas autoras: “El conocimiento de los profesores del contenido tiene efectos sobre la enseñanza y a su vez afecta al aprendizaje del estudiante” (p. 360) En su investigación sobre la práctica en la enseñanza del cálculo se centran en las elecciones del profesor sobre, aproximación a la enseñanza, énfasis en las representaciones (simbólicas, gráficas y numéricas y sus conexiones), y el uso de nuevas tecnologías. Estas investigadoras clasifican distintas aproximaciones a la enseñanza (estilos de enseñanza). Los estilos de enseñanza se centran en los contenidos con énfasis en la realización de procedimientos o en la comprensión conceptual9. Para las autoras del estudio el uso de nuevas tecnologías (en este caso Programas de Cálculo Simbólico, utilizando la calculadora TI-92) ofrece más aproximaciones a la enseñanza y por 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 19 tanto mayores variaciones entre la enseñanza y los resultados de aprendizaje que pueden llegar a ser evidentes. Otras investigaciones sobre la enseñanza del cálculo y nuevas tecnologías se han centrado en el uso de calculadoras gráficas (Penglase y Arnold, 1996). Realizan un revisión de los aspectos pedagógicos y consideran que como cualquier herramienta debe tenerse en cuenta el uso que se hace de la misma. Identifican las diferentes prácticas de enseñanza que se presentan utilizando calculadoras. Estos autores citan el trabajo de Jost (1992) que examinó las prácticas de profesores en relación al uso de calculadoras gráficas en temas de cálculo identificandose una correlación entre cómo los profesores perciben el uso de las calculadoras y la aproximación a la enseñanza: “Los profesores que percibían las calculadoras gráficas como una herramienta computacional tendían a resaltar fines orientados al contenido y veían el aprendizaje como escuchar. Los profesores que las veían como una herramienta instruccional se centraban en fines de los estudiantes... , con estilos de enseñanza guiados por la indagación y con el foco del aprendizaje en los estudiantes.” (p. 80) Berry y Nymanb (2003) al revisar las investigaciones sobre la práctica y el uso de las tecnologías consideran las propuestas de Koirala (1997) de situar la enseñanza del cálculo para la comprensión conceptual en la línea teórica de Skemp (1976) relativa a la comprensión instrumental y relacional. Compara una enseñanza tradicional y sus resultados y limitaciones: “La manera tradicional de enseñanza conduce a un aprendizaje instrumental donde el profesor da reglas de derivación e integración.... Una forma instrumental de enseñanza no produce pensadores creativos con sólidos fundamentos sobre los que construir los conceptos... La enseñanza que desarrolla una 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 10Pendiente de las rectas tangentes a una función y área bajo la curva de una función. 11HughesHallets et al. (1994) denominan esta situación “regla de tres” , significa que siempre que sea posible los temas deberían ser enseñados gráficamente y numéricamente como algebraicamente (citado en Berry y Nyman, 2003). 20 comprensión relacional no sólo produce estudiantes con conocimiento sobre qué hacer y cómo hacerlo sino que pueden también explicar lo que están haciendo y por qué” (Berry y Nymanb, 2003, p. 484) De esta manera Koirala (1997) de alguna forma “etiqueta” dos tipos de enseñanza del cálculo en función de la comprensión que puede resultar en los estudiantes a partir de la forma de actuar el profesor. Aspinwall y Miller (2001) en una investigación sobre el cálculo10, en el que analizan un profesor de Cálculo I en la universidad y el uso de los escritos de los estudiantes, consideran que la enseñanza del profesor afecta a la formación de la imagen del concepto en el estudiante. Para ellos: “Si un profesor da la definición (es decir, el concepto) formal para una función y trabaja con ella durante un periodo de tiempo breve mientras a continuación pasa a dedicar largos periodos de tiempo con ejemplos dados por fórmulas, cada aprendiz puede desarrollar una imagen del concepto restringida para dicha noción, incluyendo solamente fórmulas y la definición del concepto llega a estar inactiva en la estructura cognitiva.” (p. 90) Según estos investigadores, un aspecto importante de la enseñanza del cálculo es el uso de distintas representaciones, simbólicas, numéricas y algebraicas11, e indican que los profesores experimentados señalan que a veces las tres representaciones son aprendidas de forma independiente entre sí. Con 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 12Bachillerato en el sistema educativo español. 21 respecto a esto Aspinwall et al. (1997) consideran que la comprensión matemática incluye aspectos visuales pero que la comprensión en los estudiantes es generalmente algebraica y no visual, ya que se mantiene la creencia, tanto en profesores como en estudiantes, de que hacer cálculo es manipular símbolos y números. Una de las conclusiones de su estudio (Aspinwall y Miller, 2001) es que el paradigma instruccional debería cambiar de profesor centrado en la instrucción a estudiante centrado en la construcción de conocimiento. Este grupo de investigaciones realizadas pone de manifiesto que un aspecto a considerar en el análisis de distintas formas de práctica del profesor puede venir dado por el uso de diferentes sistemas de representación y las posibles conexiones entre ellos. Los diferentes usos de los sistemas de representación, apoyados a veces en la tecnología, pueden ayudar a caracterizar diferentes prácticas del profesor y afectar a los resultados de aprendizaje de los estudiantes. Respecto al otro grupo de investigaciones sobre la práctica, aquellas que tienen en cuenta la relación entre el cálculo (relativos a la derivada) y sus aplicaciones en ciencias, Foster y Taylor (2003) hacen un análisis exploratorio sobre el papel de las habilidades de comunicación en el aula entre el profesor y los estudiantes (year 1212) y entre los propios estudiantes cuando se tratan temas de cálculo (en concreto relativos a la noción de derivada, el cálculo vectorial y las nociones físicas de velocidad y aceleración). En el aula se disponía de calculadoras gráficas con algunas capacidades simbólicas. Consideran que las acciones del profesor, sus preguntas, petición de argumentos y creación de oportunidades para intervenir son condiciones que permiten obtener resultados positivos, su papel es el de facilitador. Para estos investigadores: “El desafío en la enseñanza es gestionar las acciones de clase de 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 13En el original se denominan antiderivadas. 22 forma que la competencia [en habilidades comunicativas] puedan emerger en todos los estudiantes... El ritmo de “pregunta del profesor, replica de los estudiantes, respuesta del profesor” era conocido/entendido al principio y anunciaba la indagación compartida ” (p. 66 y 73) Estos autores indican que la naturaleza de la tarea, las preguntas del profesor y el uso de calculadoras gráficas son aspectos claves para que los estudiantes formulen y articulen sus propias ideas. Schwalbach y Dosemagen (2000) centran su investigación en la práctica de un profesor de Bachillerato que utilizaba ejemplos concretos de la clase de ciencias (física) para crear entornos que permitieran a los estudiantes abstraer nociones del cálculo; utilizaba ejemplos de mecánica clásica, posición, velocidad y aceleración para los conceptos de función, derivadas e integración indefinida13. Para estos investigadores, la realización de conexiones entre el cálculo y la física puede producir una profunda comprensión tanto del conocimiento semántico como del conocimiento procedimental. Este mismo argumento es apoyado por Azcárate (1990) que señala que el esquema conceptual de velocidad media puede dar lugar a un esquema conceptual de tasa de variación media y a partir de éste llegar al esquema de variación puntual de una función. Estas investigaciones relativas a la práctica del profesor cuando enseñan cálculo, ponen de manifiesto la búsqueda de formas de modelar o caracterizar dicha práctica, a través de caracterizaciones del uso herramientas tecnológicas (Kendal y Stacey, 2001 a, b; Penglase y Arnold, 1996), presencia de diferentes representaciones (Aspinwall et al, 1997; Kendal y Stacey, 2001 b), o uso de situaciones en las que se aplica el cálculo (Schwalbach y Dosemagen, 2000; 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 23 Foster y Taylor, 2003). Desde esta breve revisión podemos subrayar que la noción de derivada se conforma mediante tres conceptos: derivada de una función en un punto, función derivada y operador derivada. Un papel destacado en el aprendizaje y enseñanza de los conceptos que constituyen la noción es el jugado por los distintos modos de representación y las conexiones entre ellos. 4.- EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Como hemos señalado en la introducción, hay un desafío importante en Educación Matemática para intentar caracterizar la práctica del profesor. Esta caracterización puede venir enfocada desde distintos puntos de vista. Dörfler (2003) indica que la Educación Matemática como disciplina científica incluye: “el estudio de cómo la gente aprende y hace matemáticas de cualquier tipo y de cómo este aprendizaje y acción puede ser influenciado y fomentado entre otros por la enseñanza,...” (p. 147) En nuestro problema de investigación subyace la cuestión general de Simon y colaboradores (Simon, 1995; Simon y Tzur, 1999): “¿Cómo puede el profesor promover en los estudiantes la construcción de potentes ideas matemáticas que llevó a la comunidad matemáticas miles de años desarrollar?” (Simon, 1995, p. 118) Estos investigadores plantean la necesidad general de desarrollar nuevos marcos conceptuales que permitan investigar la práctica del profesor, guiados por la premisa de promover el aprendizaje de ideas matemáticas (Simon y Tzur, 1999) proponiendo además la necesidad de considerar en las investigaciones sobre la práctica del profesor el tema matemático concreto, y que se tenga en 1.- Problema de investigación José María Gavilán Izquierdo 24 cuenta en los análisis de los casos concretos. Nuestro problema de investigación aborda la indagación de la práctica del profesor a partir del supuesto de que pretende potenciar en los estudiantes la construcción de conocimiento matemático. Pretendemos describir y explicar la práctica del profesor desde la perspectiva de la construcción de conocimiento matemático que pretende potenciar en sus estudiantes. Utilizamos el término “potenciar” porque no indagamos en la construcción que de manera efectiva llegan a realizar los estudiantes. Esta problemática general la concretaremos en el caso de la enseñanza-aprendizaje de la noción de derivada en 1º de Bachillerato. Para intentar dar respuesta a nuestro problema de investigación, realizaremos una revisión de investigaciones sobre práctica del profesor. También revisaremos investigaciones sobre construcción de conocimiento matemático, teniendo presente que la construcción de conocimiento matemático es relativo a la noción de derivada. De esta forma, a partir de las revisiones iremos seleccionando las ideas teóricas que nos parecen que pueden ayudarnos a dar respuesta al problema. A partir de la selección y adaptación de las ideas teóricas, concretaremos nuestro problema de investigación en “preguntas de investigación” (Capítulo II). La búsqueda de respuestas a esas preguntas nos llevará al diseño metodológico (Capítulo III) que debe ser coherente con el marco en el que nos desenvolvemos para recoger e interpretar los datos. Los informes de los resultados a la luz del marco teórico pretenden dar una explicación teórica de los datos (Capítulo IV) informando de la práctica del profesor. Por último concluiremos con aportaciones sobre la práctica del profesor que nos ayuden a caracterizarla (Capítulo V). CAPÍTULO II 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 30 como didáctica, y por los momentos de estudio. En este enfoque “lo didáctico” se refiere a todo aquello relacionado con el estudio de las matemáticas. Para Bolea et al. (2001) esta teoría pretende una modelización de las actividades matemáticas institucionalizadas, para ello se introduce la noción de praxeología. Una praxeología (Chevallard,1999; Espinoza y Azcárate, 2000; Bolea et al., 2001) es un modelo para cualquier actividad humana realizada de forma regular. Se consideran dos praxeologías, por un lado está la praxeología matemática y por otro la praxeología didáctica; además se completa esta teoría con un modelo de la actividad didáctica, la teoría de los momentos didácticos. La praxeología matemática u organización matemática se refiere a la construcción o reconstrucción de un objeto matemático, que es objeto de estudio. La praxeología didáctica considera la manera de estudiar una praxeología matemática. Las praxeologías matemáticas pueden ser de diferente tipo en función del objeto matemático de estudio, por ejemplo pueden ser las que se organizan alrededor de un tipo de tareas que forman una praxeología puntual y a un nivel más general, agrupaciones de praxeologías locales y regionales. Para Artaud y Chevallard (2001) la “dinámica praxeológica” es el mecanismo por el que se constituye una praxeología didáctica y una primera forma esencial de dicha dinámica es la “rutinización” de las técnicas didácticas. Una praxeología está formada por cuatro elementos, representados de este modo [T/τ/θ/Θ], agrupados en dos bloques, el bloque práctico-técnico, formado por las tareas y las técnicas, [T/τ], y el bloque tecnológico-teórico, [θ/Θ], formado por la tecnología y la teoría (Chevallard, 1999). La tarea o tipo de tarea T, es el elemento generador de la praxeología. Una praxeología relativa a T requiere una manera de realizar las tareas t de T. Una determinada manera de hacer en relación a la tarea, τ, se le da el nombre de técnica. Una praxeología relativa al tipo de tareas T contiene, en principio, una técnica τ relativa a T. De esta forma se constituye el primer bloque, [T/τ], que se denomina bloque práctico-técnico y que 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 1Cuatro tareas desde un punto de vista general, pero que en casos concretos pueden considerarse que las lleva a cabo el profesor. Las praxeologías permiten describir y analizar la práctica del profesor y evaluar lo que se ha observado y analizado. El profesor puede evaluar una praxeología matemática y el investigador puede evaluar la praxeología matemática y la praxeología didáctica; y como última tarea puede desarrollar la propuesta propia con el objetivo de “mejorar” lo que se ha evaluado. 31 se identificará genéricamente con lo que comúnmente se denomina un saberhacer un determinado tipo de tareas, T y una determinada manera, τ, de realizar las tareas de este tipo. El tercer elemento de una praxeología, tecnología, que se indica por θ, se refiere a un discurso racional -el logossobre la técnica τ, discurso cuyo primer objetivo es justificar “racionalmente” la técnica, para asegurarse de que permite realizar las tareas del tipo T. La justificación dependerá del tipo de institución y de la naturaleza de la praxeología. Una segunda función de la tecnología es la de explicar, de hacer inteligible, de aclarar la técnica. Si la primera función -justificar la técnicaconsiste en asegurar que la técnica da lo pretendido, esta segunda función consiste en exponer por qué es correcta. La teoría tiene como función explicar-justificar el discurso tecnológico. Se pasa entonces a un nivel superior de justificación-explicación-producción, el de la teoría, Θ, que retoma, en relación a la tecnología, el papel que ésta última tiene respecto a la técnica. Se forma aquí un bloque tecnológico-teórico, [θ/Θ]. Chevallard (1999) se plantea como cuestión de investigación el análisis de las prácticas docentes, se plantea cuatro tipos de tareas1 relativas a un objeto O relativo a las practicas docentes: observar, describir y analizar, evaluar y desarrollar el objeto O. Los objetos (O) a considerar son de dos clases dado un tema matemático: i) la realidad matemática, una praxeología matemática (organización matemática), y ii) la manera en que puede ser construida dicha realidad matemática, una praxeología didáctica (organización didáctica). Las dos tareas fundamentales que se consideran son las de describir y analizar ambas praxeologías. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 32 Centrándonos en las praxeologías didácticas, queremos responder a la pregunta ¿como estudiar la obra matemática O?, Gascón (2003) considera que hay una fuerte dependencia de las organizaciones didácticas respecto de la organizaciones matemáticas a enseñar ya que la estructura de las obras matemáticas condiciona la organización de su estudio por el profesor. La teoría antropológica de lo didáctico (Chevallard, 1999; Bolea et al., 2001) propone un modelo de la dinámica del estudio de las organizaciones (praxeologías) matemáticas, a través de los momentos didácticos. Los momentos didácticos permiten describir la organización didáctica ya que se les puede identificar en cualquier proceso de estudio de una organización matemática, aunque no todos tienen que tener la misma presencia, algunos momentos pueden aparecer de manera meramente testimonial. A partir de Chevallard (1999) y Espinoza y Azcárate (2000) describiremos los distintos momentos. El primer momento del estudio es el del primer encuentro con la organización O (matemática) que se pretende estudiar, generalmente, consiste en encontrar O a través de al menos uno de los tipos de tareas Ti constitutivas de O. El segundo momento es el de la exploración del tipo de tareas Ti y de la elaboración de una técnica τi relativa a este tipo de tareas. El tercer momento del estudio es el de la constitución del entorno tecnológico-teórico [θ/Θ] relativo a τi. Este momento está en interrelación con cada uno de los otros momentos y en él se justifica la técnica y permite la emergencia de nuevas técnicas para la misma tarea. El cuarto momento es el del trabajo de la técnica, en el que se perfecciona la técnica que se vislumbra en el momento exploratorio, se mejora la técnica volviéndola más eficaz y más fiable, en este momento se acrecienta la maestría que se tiene de ella. En esta etapa se estudia el alcance que tiene la técnica. El quinto momento es el de la institucionalización, que tiene como 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 2La organización matemática de esta investigación es “límite de una función” en niveles de 1418 años (Educación Secundaria, estudiantes de 2º BUP). Para un análisis más detallado ver Espinoza (1998). 3El análisis de la praxeología matemática es previo a la descripción de la praxeología didáctica, estos autores terminan haciendo algunas notas sobre el proceso de estudio. Bolea et al. (2001) “Resulta, en definitiva, que para elaborar una praxeología matemática debemos utilizar una praxeología didáctica... parece razonable que el estudio de la actividad matemática empiece precisamente por el análisis de las organizaciones matemáticas que emergen de dicha actividad. Tendremos así un primer nivel de análisis que se centrará en las organizaciones matemáticas... Es preciso completar el análisis matemático con el análisis de las praxeologías didácticas relativas al estudio de las organizaciones matemáticas” (pp. 252253). 33 objetivo precisar lo que es “exactamente” la organización matemática elaborada. Se distingue, por una parte, los elementos que, habiendo concurrido a su construcción, no son integrados y, por otra parte, los elementos que configuran definitivamente la organización matemática considerada. El momento de la institucionalización en cierta forma precisa el alcance de la organización matemática y traza sus fronteras. El sexto momento es el de la evaluación, que se articula con el momento de la institucionalización, permite hacer un balance sobre la reconstrucción de la organización matemática realizada por el sujeto a lo largo del proceso de estudio. Respecto a estos últimos dos momentos, Espinoza y Azcárate (2000) consideran que tienen una relación dialéctica: se evalúa lo que se hace ostensible a través de la institucionalización y por otro se institucionaliza para evaluar. Del uso de este marco teórico en la investigación sobre la práctica del profesor se ha podido llegar a algunas conclusiones. En Espinoza y Azcárate2 (2000) se considera que el profesor asume el papel de director del estudio, y además que las praxeologías didácticas son “espontáneas”, en el sentido de que son praxeologías no reflexionadas ni elaboradas dentro de un ámbito específico, son praxeologías en acto, realizadas pero raramente explicitadas. Fonseca y Gascón (2000, 2002) respecto al tema de la derivación de funciones en Enseñanza Secundaria llegan a concluir, en relación a la praxeología matemática3, 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 34 que no es propiamente una praxeología matemática local, puede considerarse más bien una amalgama de praxeologías matemáticas puntuales no integradas y poco desarrolladas, respecto al proceso de estudio en las instituciones escolares (Bachillerato) proponen abordarlo desde el cuestionamiento tecnológico de las técnicas, alcance, coste y relaciones entre técnicas. 2.1.2.- Perspectiva sociocultural: noción de instrumento de la práctica El enfoque sociocultural (Llinares, 1999, 2000 a, 2002) considera necesario determinar qué se encierra bajo la frase “actividad del profesor”. “La actividad del profesor” es la de enseñar matemáticas, en esta revisión nos centraremos sólo en el contexto de aula. La clase de matemáticas es vista como una comunidad de práctica, grupo que comparte formas de hacer y comunicarse, que permite definir para los estudiantes oportunidades de aprendizaje de contenido matemático específico. En este mismo sentido se manifiesta Lerman (2001) cuando indica que el aprendizaje (incluyendo el de las matemáticas escolares) es una iniciación en una práctica social, donde el profesor juega el importante papel de iniciador y por lo tanto hay que tener en cuenta la forma en que la actividad matemática es formulada por el profesor. Esto no significa que no se sea consciente de otros papeles que juega el profesor de matemáticas, tales como el de agente socializador del estudiante, que pone en juego valores de la sociedad. Además se considera que es importante tener en cuenta el contenido matemático concreto a la hora de realizar investigaciones sobre práctica profesional del profesor (Llinares, 2000 b). Se identifican (Llinares,1999; Llinares, 2000 a) dos fases cuando se pretende describir la práctica del profesor en el aula: 1.- fase de planificación y organización de las matemáticas: el contenido de las tareas que propone el profesor caracterizan su “agenda de enseñanza” y están vinculadas a sus procesos interpretativos (García y Llinares, 1999) del contenido matemático como objeto de enseñanza y aprendizaje, 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 35 2.- fase de gestión del proceso de enseñanza/aprendizaje, en la que se realizan las interacciones entre profesor, estudiantes y el conocimiento matemático y se gestionan los distintos segmentos de enseñanza que forman la lección. Para Llinares (2000 a) la práctica del profesor puede ser descrita a través de la realización de unas tareas mediante el uso de unos instrumentos. La “práctica profesional del profesor” incluye no sólo lo que el profesor hace sino también su comprensión de los instrumentos y del propósito de su uso. Los instrumentos entendidos como los medios a través de los cuales obtener un fin. La noción de instrumento no se refiere sólo a materiales físicos, sino que engloba a todos los medios a disposición del profesor. Podemos considerar instrumentos técnicos (por ejemplo, los materiales didácticos, software, etc) e instrumentos conceptuales (conceptos y construcciones teóricas que se generan a partir de investigaciones en Didáctica de las Matemáticas y del conocimiento derivado desde la práctica). Lerman (2001) considera instrumentos materiales y conceptuales, y se refiere a ideas conceptuales tales como gráficos, diagramas. Hillel (1993) propone la existencia de tecnologías cognitivas (instrumentos conceptuales) tales como los sistemas notacionales (sistemas de representación). También podemos considerar entre los instrumentos, el lenguaje hablado (el discurso empleado), los modos de representación simbólica, las tareasproblemas instruccionales, y los materiales didácticos. El lenguaje y las tareas/problemas son los “medios” para el desarrollo de la actividad. Se asume que los instrumentos utilizados y la forma en que se utilizan influyen en el tipo de comprensión matemática y creencias de los estudiantes, esto conlleva que las investigaciones en este enfoque empiecen a identificar aspectos del uso por el profesor de los instrumentos como medio para caracterizar las prácticas matemáticas en el aula. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 36 Desde esta perspectiva podemos plantearnos cuestiones como ¿cómo usa el profesor el lenguaje, los problemas-tareas matemáticas, los diferentes modos de representación? (Llinares, 2000 a). Indicar por tanto la importancia que tiene no sólo fijarnos en los instrumentos que usa el profesor sino también en cómo los usa y el propósito de su uso. De aquí podemos comprender la práctica del profesor centrándonos en dos aspectos: - identificar los instrumentos que el profesor emplea en la realización de sus tareas; tanto en la fase de planificación, como en la fase de gestión, es decir, el tipo de problemas presentados a los estudiantes y cómo están organizados y los modos de representación (sistemas de símbolos) entendidos como instrumentos de la práctica, y - caracterizar cómo los usa el profesor, indicando cuál es el propósito y cómo usa los problemas y modos de representación, es decir su comprensión del significado de los instrumentos. Además de la noción de instrumento, hay otro elemento teórico importante “noción de transparencia” ligada a los instrumentos (Lave y Wenger, 1991). La transparencia de los instrumentos no es una cualidad objetiva, inherente a los mismos, sino que depende del uso que se les dé (Meira, 1998). Así se plantea el dilema de la transparencia que se resume en la dualidad visible-invisible, es decir, deben ser los instrumentos invisibles para que permitan ver los conceptos matemáticos pero a la vez deben ser considerados como el elemento a través del cual se están viendo (Adler, 1999, 2000; Llinares, 2000 a). Uno de los aspectos a mirar para describir la práctica profesional del profesor es la organización del contenido matemático que adopta el profesor y el conjunto de tareas que el profesor plantea a los estudiantes junto con las justificaciones que el profesor realiza. El profesor al organizar el contenido matemático y elegir los problemas que va a proponer realiza una reconstrucción 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 4Se entiende por objeto de enseñanza-aprendizaje la construcción personal realizada por el profesor del contenido matemático en el contexto de enseñanza (da cuenta de la reconstrucción de las nociones y procedimientos matemáticos desde la perspectiva de enseñanza que hace el profesor) (Llinares, 1999). 5La adopción de perspectivas socioculturales no significa abandonar el punto de vista cognitivo, “buscar una complementariedad entre puntos de vistas cognitivos sobre el conocimiento del profesor y puntos de vista socioculturales relativos a la práctica del profesor como una manera de dar cuenta de ciertos aspectos de lo que sucede en las aulas de matemáticas” (Llinares, 2000 a, p. 109). 37 de las nociones y procedimientos matemáticos consideradas como objeto de enseñanza-aprendizaje. Esta reconstrucción como objetos de enseñanzaaprendizaje4 y su organización para la enseñanza determinan el contenido de la “agenda de enseñanza”. De este modo la agenda de enseñanza da cuenta de la organización del contenido matemático. La agenda de enseñanza del profesor como conjunto de objetivos, tareas y decisiones de acción ligados a una noción matemática y las justificaciones de la misma dadas por el profesor son una primera referencia para caracterizar la práctica profesional en el contexto de aula (Leinhardt et al., 1991). Uno de los resultados obtenido en la investigación realizada desde esta perspectiva es que los profesores pueden enfatizar aspectos diferentes del contenido matemático (es decir tienen una reconstrucción distinta del objeto de enseñanza/aprendizaje para la misma noción) y esto puede llegar a caracterizar su práctica (García y Llinares, 1999). Para Llinares (2000 a) el intento de explicar lo que sucede en el aula conduce a adoptar perspectivas socioculturales5 para estudiar las regularidades y naturaleza de las interacciones que se producen en el proceso de enseñanza y aprendizaje y como las interacciones posibilitan la organización del contenido matemático como una forma de dar cuenta de la gestión del proceso de enseñanza-aprendizaje y el papel del profesor en la constitución de determinadas prácticas matemáticas en el aula. Para Llinares (2002) la noción de transparencia posibilita el análisis del uso de los instrumentos por el profesor en la construcción de conocimiento de los estudiantes y constitución de prácticas matemáticas. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 6En este trabajo se traza una reseña de la evolución de la Teoría de las Funciones Semióticas. 7Traducciones en Font (1999, 2000 a) y en Recio (2002). 38 2.1.3Teoría de funciones semióticas La teoría de las funciones semióticas desarrollada a partir de los trabajos de Godino y Batanero (1994) sobre el significado de los objetos matemáticos, en la que se considera que el enfoque antropológico de Chevallard (1999) se centra enfáticamente en lo público (institucional), y que un enfoque sistémico de la Didáctica no puede prescindir de la esfera de lo cognitivo (personal), proponen distinguir entre el objeto institucional y el objeto personal (Font, 1999). Para Godino (20046), la Teoría de las Funciones Semióticas pretende proporcionar un marco unificado para el estudio de las distintas formas de conocimiento matemático y sus correspondientes interacciones en los sistemas didácticos, es decir, considerar conjuntamente la cognición y la instrucción matemática, de alguna manera lo personal y lo público. Se parte de un presupuesto “prágmático” en el sentido de que los signos representan algo para alguien y por tanto en la comunicación no sólo se consideran los conceptos sino también las situaciones problemáticas y los medios expresivos (significante-expresión y significadocontenido) (Font, 1999; Godino, 2004). Para Godino y Recio (1998)7 cada objeto matemático es un conjunto de entidades de los siguientes tipos: notaciones, fenomenologías y generalizaciones. Estas entidades elementales o primarias se describen del siguiente modo: - Fenomenológicas, son las situaciones-problemas, aplicaciones, son las entidades extensionales que inducen actividades matemáticas. - Notacionales, representaciones materiales ostensivas usadas en la actividad matemática. - Generalizaciones, ideas matemáticas, abstracciones (conceptos, proposiciones, procedimientos, etc), son entidades intensionales. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 39 Una función semiótica está formada por dos argumentos, denominados expresión y contenido, en la que se establece una relación entre ambos. Las entidades básicas pueden desempeñar ambos papeles en un función semiótica, resultando 9 funciones (Font, 1999). Un ejemplo propuesto por Font (1999,2000 a) es el siguiente, consideremos la palabra triángulo y la relacionamos con el dibujo de un triángulo en el plano, estamos ante una función semiótica con una expresión notacional (la palabra triángulo) y un contenido extensional (el triángulo). Para Font (2000 a) un aspecto importante de la funciones semióticas es que se pueden aplicar tanto a las representaciones ostensivas (público) como a las mentales (privado), y que posibilitan el análisis conjunto de los usos de ostensivos en contexto social y del pensamiento que lo acompaña. Font (1999) hace una aplicación de la funciones semióticas para el análisis de las manipulaciones públicas de los ostensivos y el pensamiento que le acompaña, algunos ejemplos de funciones semióticas para la noción de derivada son las que siguen: - función semiótica que relaciona una entidad extensional con otra intensional, que por un lado permite relacionar un objeto con la clase a la que pertenece y por otro relacionar un objeto con una clase a la que no pertenece. En el segundo de los casos, si el objeto y lo interpretamos lim ()() ho fx h fx h → + − como el valor al que se aproximan las tasas de variación media cuando h tiende a 0, estamos asociando a la expresión del límite el lim ()() ho fx h fx h → + − contenido formado por la clase de las tasas de variación media cuando h tiende a 0. - función semiótica que relaciona una entidad intensional con un signo, 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 46 adelante) pretenden desarrollar una teoría de la enseñanza en contexto (Schoenfeld, 1998 a, b, 2002) en el sentido de intentar dar cuenta de cómo y por qué los profesores hacen lo que hacen cuando están en el aula con sus estudiantes (pretende explicar las elecciones que realizan los profesores). De acuerdo con esta propuesta, los fines creencias y conocimiento del profesor interactúan en su toma de decisiones en el aula con sus estudiantes al abordar un contenido concreto de matemáticas. Para el TMG la figura del profesor permite explicar bastante de lo que sucede en el aula y por tanto lo elige como figura sobre la que centrarse. La situación que se plantea desde esta perspectiva es la siguiente: el profesor está en el aula, puede que las situaciones sean acordes con su planificación, pero puede suceder algo no planificado, “Algo ocurre. ¿qué haría el profesor a continuación, y (más importante) por qué?” Este grupo, TMG propone modelar la práctica del profesor, es decir, explicar detalladamente lo que el profesor hace y por qué. Se propone un modelo que incluye descripciones de las creencias, conocimiento y metas del profesor, y de acuerdo con el modelo, las decisiones que toma el profesor en el aula son función de las creencias, metas y conocimiento (Schoenfeld, 1998 a, b, 2002). De acuerdo con Schoenfeld (1998 a) el modelo propuesto tiene dos partes: - las componentes principales del modelo: creencias, metas y conocimiento del profesor, y - el mecanismo de acople de los componentes. En un momento determinado, creencias, metas y conocimiento, cada una de estas componentes tiene un nivel particular de activación, una indicación de cuán importante es en ese momento. Hay dos presupuestos previos: (1) los niveles de activación de creencias, metas y conocimiento en un momento serán asignados, y (2) las acciones realizadas por el profesor serán seleccionadas de manera 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 14“Constelation” es la palabra utilizada por este grupo. 47 consistente con las creencias, metas y conocimientos del profesor activados en ese momento. La meta prioritaria del profesor será consistente con la creencia prioritaria activada; las acciones que el profesor emprende o decide emprender serán consistentes con esas metas y creencias y las acciones del profesor serán diseñadas sobre el conocimiento que tiene un mayor nivel de activación. En el cuadro 2.2 se representa el funcionamiento del modelo. Schoenfeld (1998 a) describe el funcionamiento del modelo de la siguiente manera: en un momento dado, hay un conjunto14 de creencias, metas y conocimiento altamente activadas, si las cosas van bien, están todas sincronizadas. Las creencias sirven como base para que lo que el profesor intenta lograr (metas). El profesor tiene acceso a varias clases de conocimientos al servicio de esas metas, y tiene un conjunto de expectativas (la imagen de la lección) acerca de las maneras en las que probablemente pueden ser llevadas a cabo. De acuerdo con estas expectativas, el profesor se implica en un conjunto de actividades con sus estudiantes (llevando un plan de acción consistente con sus metas y creencias). Si las cosas funcionan acordes con la planificación, la imagen de la lección y los planes de acción del profesor determinan lo que sucede. Lo interesante sucede cuando la situación no se desarrolla de acuerdo con el plan, dependiendo de su naturaleza, y del contexto, este suceso puede desencadenar la activación alta de algunas creencias que están en ese momento en baja activación. En el contexto de estas creencias, las restricciones y los recursos, pueden ser formuladas nuevas metas altamente prioritarias y un nuevo plan de acción consistente con una nueva constelación de creencias y metas puede ser colocado en su lugar. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 48 Creencias activadas en contexto actual Fines activados en contexto actual Conocimiento, planes de acción activados en contexto actual Toma de decisiones del profesor Contexto actual Creencias activadas en contexto actual Fines activados en contexto actual Conocimiento, planes de acción activados en contexto actual Toma de decisiones del profesor Contexto actual Historia… Cuadro 2.2 Funcionamiento del modelo (Schoenfeld, 1998 a, p. 14) Entre los elementos teóricos descritos por Schoenfeld (1998 a, b) que aparecen en el modelo “Teoría de la Enseñanza-en-Contexto” están las componentes: creencias, metas y conocimiento. Se distingue entre conocimiento y creencias; entre creencias profesadas y creencias atribuidas, y también se consideran las metas atribuidas y las profesadas. Respecto a las metas, no hay una correspondencia sencilla entre metas y acciones. Otros elementos son: la imagen de la lección y los planes de acción. La noción de “imagen de la lección”, es la visión del profesor de las posibilidades y contingencias relacionadas con una lección, incluye conocimiento de sus estudiantes, y cómo pueden reaccionar a las partes de la lección planificada. Los “planes de acción”, son medios para lograr determinadas metas. Un plan de acción es un conjunto de acciones que se pretende llevar a cabo para el logro de un conjunto de metas de alta prioridad, ocurren a distintos niveles y a veces están anidados (un plan contiene otros planes), a veces están “programados” dentro de la imagen de la lección o emerger “ad hoc” para 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 49 responder a una situación planteada. Hay diversos tipos de planes: rutinas, guiones, micro-lecturas/conferencias, charlas simples. Este marco teórico ha sido usado en diferentes investigaciones sobre la práctica del profesor. Schoenfeld (1998 a) modela la práctica a partir de este modelo. Se dan detalles precisos sobre la forma de identificar diferentes segmentos, que se denominan “secuencias de acción” y la asignación de niveles de activación a cada componente. En Schoenfeld (2002) se da un paso más en el desarrollo de este referente relativo a la modelación de la enseñanza de profesores en acción, en concreto, las rutinas de clase, utilizando diagramas de flujo (organigramas) para representar la toma de decisiones de los profesores. Esta representación les permite a los investigadores usar el “marco teórico” con profesores de distintos niveles y diferentes formas de considerar “la imagen de la lección”. Estos diagramas de flujo consideran dos posibilidades, una acción a realizar por el profesor y una toma de decisión, la primera representada por un rectángulo y la segunda por un rombo. En el cuadro 2.3 (a la izquierda) se recoge el esquema teórico para la rutina “IRE (interacción del profesor-respuestas de los estudiantes-evaluación de respuestas)”. Prefijado un modelo en un diagrama (en el cuadro 2.3 a la izquierda) pueden caracterizarse los segmentos de los distintos profesores sobre dicho modelo prefijado (superpuesto el particular al general), tal y como se muestra en el cuadro 2.3 a la derecha, en el que aparece un caso concreto. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 50 Does the response raise other issues? Provide contex and background about the topic, T. Ask class, “What (else) can you say about T? Call on a student Do circunstances warrant more discussion of T? Should these issues be pursued? Have the class work through the issues. Move to next item on agenda. Highlight particular aspects of discussion for class. Either provide or ask student for clarification/elaboration. Seek Closure. Would expansion or reframing be useful? Is clarification called for? no no yes no no no yes yes yes yes Action Decision Point Legend Does the response raise other issues? Provide contex and background about the topic, T. Ask class, “What (else) can you say about T? Call on a student Do circunstances warrant more discussion of T? Should these issues be pursued? Have the class work through the issues. Move to next item on agenda. Highlight particular aspects of discussion for class. Either provide or ask student for clarification/elaboration. Seek Closure. Would expansion or reframing be useful? Is clarification called for? no no yes no no no yes yes yes yes Action Decision Point Legend Action Decision Point Action Decision Point Legend [A1] [A2] [A4] [A5] [A6] [A3] [A7] [D1] [D2] [D3] [D4] [D5] Cuadro 2.3 Modelo teórico y caso concreto superpuesto (Schoenfeld, 2002, pp. 138 y 146) 2.2.3.- Teoría cognitiva para la reflexión y desarrollo Esta teoría cognitiva permite el análisis de la práctica del profesor de matemáticas en relación a sus cogniciones utilizando las dimensiones de la lección: tareas, entornos de aprendizaje y discurso. La enseñanza, en este marco teórico, se considera como un “todo integrado” en el que un papel fundamental es el jugado por las cogniciones. Estas dimensiones son estudiadas a través de tres fases de instrucción (iniciación, desarrollo y cierre). Se pretende dotar al profesor de herramientas que le permitan mejorar su propia práctica a través de 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 51 reflexión sobre la misma, y los resultados pueden ser también útiles en la formación de profesores (Artzt, 1999; Artzt y Armour-Thomas, 1999). Este marco teórico sigue la misma línea cognitiva de Schoenfeld y su grupo (Schoenfeld, 1998 a, b), en lo referente a “mirar” la práctica del profesor desde las cogniciones de los mismos, ambos referentes tienen en consideración similar contenido para lo que denominan cogniciones, conocimientos, creencias y metas. Para estas autoras sus investigaciones permiten el desarrollo del profesor a partir de la reflexión sobre su propia práctica. Para Artzt (1999) la reflexión sobre la propia práctica puede ser una herramienta que facilite su posterior desarrollo profesional. Diversos investigadores (Artzt y Armour-Thomas, 1999; Escudero, 2003) indican que se deben tener en cuenta las distintas fases de enseñanza. Artzt y Armour-Thomas (1999) consideran que hay que analizar las cogniciones de los profesores a lo largo de las tres fases de la enseñanza: pre-activo (planificación), interactivo (monotorización y regulación) y pos-activo (evaluación y revisión), las cogniciones constituyen una red que dirige y controla el comportamiento instruccional de los profesores en las distintas fases. Por otro lado, Escudero (2003) considera las fases de planificación y gestión para el análisis de la práctica. El siguiente cuadro (cuadro 2.4) recoge los elementos y funcionamiento del marco teórico. En este marco teórico, se asume que “la enseñanza para la comprensión” es la meta de la práctica del profesor, para ayudar a los estudiantes a aprender, estas autoras piensan que los profesores deben colocar a los estudiantes en el centro del proceso de enseñanza-aprendizaje, creando oportunidades que estimulen, guíen, y animen a los estudiantes a tomar responsabilidades en su propio aprendizaje (Artzt y Armour-Thomas, 1999). Los elementos teóricos de este modelo de análisis de la práctica del profesor aparecen descritos en Artzt y 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 15En cursiva en el original. 52 CONOCIMIENTO CREENCIAS METAS Planificación Evaluación Revisión Monitorización Regulación POSACTIVAPREACTIVA INTERACTIVA Planificación Evaluación Revisión Monitorización Regulación Planificación Evaluación Revisión Monitorización Regulación POSACTIVAPREACTIVA INTERACTIVA PRÁCTICA INSTRUCCIONAL (Tareas, entornos de aprendizaje, discurso) Organización del conocimiento Proceso cognitivo Cuadro 2.4 Funcionamiento del modelo (Artzt, 1999, p. 143) Armour-Thomas (1999), se distinguen las fases de la lección y las dimensiones de la lección. Las fases de la lección son tres, Iniciación, Desarrollo y Cierre15, ya que la práctica varía en los diferentes segmentos de la lección, y permite dividir las lecciones en fases temporales. Las dimensiones de la lección se refieren a aspectos de la práctica instruccional que definen áreas críticas del trabajo de los profesores durante el desarrollo de la lección. En este marco teórico se consideran tres: tareas, entornos de aprendizaje y discurso (Artzt y Armour-Thomas, 1999). A continuación describimos las tres dimensiones y se indican los atributos relevantes de cada una de ellas. 1) Las tareas permiten la construcción de conocimiento a los estudiantes, los atributos que se consideran más relevantes son estrategias motivacionales, secuenciación/nivel de dificultad, y modos de representación. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 53 2) Los entornos de aprendizaje crean el contexto en el que los estudiantes exploran e intercambian ideas, describe bajo qué condiciones se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje, determina las normas de establecimiento y desarrollo de relaciones interpersonales, incluye las circunstancias que afectan al desarrollo en la clase. Los atributos destacados son clima social/intelectual, modos de instrucción/desarrollo y rutinas. 3) El discurso hace referencia a las oportunidades de los estudiantes para compartir experiencias que les permitan señalar relaciones de interés, justificar las relaciones que observan y permitirles asumir responsabilidades para la resolución de problemas. El discurso abarca los intercambios verbales entre los miembros, profesores y estudiantes. Sus atributos son: interacción profesorestudiantes, interacción estudiante-estudiante, y planteamiento de cuestiones. Uno de los resultados que han obtenido estas investigadoras es la identificación de diferentes “estado de enseñanza”, y esta identificación y su caracterización pueden ser útiles en los programas de formación de profesores de matemáticas. Describiremos brevemente los distintos estados de desarrollo de la enseñanza (Atrzt,1999; Artzt y Armour-Thomas,1999): - “Estado inicial” de enseñar, se caracteriza por la instrucción tradicional, el profesor considera que los estudiantes aprenden mejor recibiendo una información clara, el profesor transmite el conocimiento, y hay pocas interacciones entre estudiantes y con el profesor. - Los siguientes “estados de enseñanza” se caracterizan por una instrucción que se centra más en ayudar a los estudiantes a construir la comprensión que en ayudarlos únicamente en la adquisición de hechos. La instrucción está basada en la creencia del profesor de que los estudiantes deben tomar más responsabilidad en su propio aprendizaje. Aparecen numerosos intercambios verbales entre los miembros de la clase. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 16Estos investigadores llevan a cabo un proyecto MTD (Mathematics Teacher Development) basado en la metodología TDE (teacher development experiment) para la formación inicial y permanente de profesores con el objetivo de mejorar la práctica del profesor en consonancia con la reforma educativa (Tzur et al., 2001; Simon, 2000) 54 - El “estado final” puede ser caracterizado por la instrucción en la que el profesor organiza actividades que implican tanto los cómos y los porqués de los conceptos y procesos matemáticos. El profesor tiene la creencia de que con situaciones apropiadas los estudiantes son capaces de construir una profunda y completa comprensión matemática. 2.2.4.- Teoría sobre perspectivas y desarrollo profesional Este enfoque, propuesto por Simon y colegas (Simon 1995; Simon y Tzur, 1999) propone un modelo de análisis de la práctica del profesor que permite, con posterioridad, incorporar los resultados a los programas de formación de profesores. Uno de los objetivos de estos investigadores es promover la transición de los profesores desde una práctica basada en una concepción tradicional (que abarca una concepción de las matemáticas, del aprendizaje y de la enseñanza) hacia una práctica basada en una concepción más coherente con los principios subyacentes en la actual reforma de las matemáticas. Para ello construyen un marco teórico que permite a los profesores desarrollarse profesionalmente a través de programas de formación de profesores, estos programas permiten poner en práctica oportunidades de aprendizaje para ellos16 (Simon y Tzur, 1999; Simon et al., 2000). Para Simon (1995) el constructivismo es una teoría que ocupa un lugar destacado en las investigaciones sobre el aprendizaje de las matemáticas, y puede ser la base de modelos de enseñanza. Para este investigador la tarea de reconstruir la pedagogía matemática sobre la base del constructivismo como visión del aprendizaje es un desafío importante. Entiende este autor por pedagogía lo necesario para que en una clase se comience el aprendizaje de las matemáticas. Este investigador partiendo de la premisa constructivista del aprendizaje, 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 55 considera que se tiene relativamente poca información sobre la conexión entre la investigación sobre aprendizaje (centrada en el constructivismo) y la investigación sobre la enseñanza (muchas veces en forma tradicional). Además, el constructivismo puede ser la base sobre la que se desarrollen modelos de enseñanza consistente con él. Aporta la idea novedosa en la elaboración de su propuesta de conjeturar un hipotético proceso de aprendizaje de los estudiantes. Simon et al. (2000) consideran importante tener en cuenta cómo se conceptualiza el conocimiento y cómo se llega a conocer como referentes para el desarrollo de una determinada práctica o para el análisis de dicha práctica. La práctica del profesor se refiere a lo que el profesor hace y la “perspectiva” que subyace a lo que hace. Hay que indicar que parte importante de la práctica del profesor es cómo fomenta el aprendizaje de los estudiantes de conceptos matemáticos particulares (Simon, 1995; Simon et al., 2000; Tzur et al., 2001). Los elementos teóricos en esta perspectiva son los siguientes: trayectorias hipotéticas de aprendizaje y ciclo de enseñanza. Los “informes de práctica” son un “artilugio” considerado por los investigadores para: obtener información, organizar una serie de datos, subrayar aspectos y comenzar una “construcción teórica” que permite elaborar conjeturas sobre lo que fundamenta la práctica del profesor (lo que se llama perspectiva: conjunto de ideas, “principios”, creencias, conocimientos, son cogniciones, es decir, “cosas” que están en la mente del profesor). Este grupo de investigadores utilizan como instrumento metodológico los informes de práctica (accounts of practice) que es una variante del estudio de casos. La información se recoge a través de entrevistas y observaciones de clase grabadas en video. Este instrumento permite recoger aspectos de la práctica para ser explicada desde la perspectiva de los investigadores. Los informes de práctica pretenden responder a la siguiente pregunta genérica de investigación ¿cómo intenta este profesor enseñar a sus estudiante matemáticas que están mas allá de 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 62 MARCOS TEÓRICOS: MODELOS DE CONSTRUCCIÓN DE CONOCIMIENTO Marco Teórico Elementos teóricos Tópicos investigados La teoría de la Reificación Concepción operacional y concepción estructural. Interiorización, condensación y reificación. - Función (Sfard, 1992). - Algebra (Sfard y Linchevski, 1994). - Derivada (Zandieh, 2000). Proceptos y unidades cognitivas. Procedimiento, procesos, conceptos, proceptos. Unidades cognitivas. Compresion. - Aritmética (Gray y Tall, 1994). - Demostración (Tall y Barnard, 2002) -Función (Sajka, 2003) Teoría de la abstracción reflexiva: APOS Acción, proceso, objeto esquema. Interiorización, encapsulación, desencapsulación, tematización. Niveles intra, inter, trans. -Inducción y Compacidad (Dubinky y Lewin, 1986) - Función ( Dubinsky y Harel, 1992; Breindebach et al., 1992) - Derivada (SánchezMatamoros, 2004). Cuadro 2.5 Modelos teóricos de construcción de conocimiento matemático 3.1.- La Teoría de la Reificación La Teoría de la Reificación ha sido desarrollada por Sfard (1991,1992) y en ella se consideran tanto las distintas formas de conocer los conceptos matemáticos, como las relaciones entre ellas dadas a través de mecanismos de construcción. En este marco teórico los conceptos matemáticos pueden ser conocidos de dos maneras que son secuenciales, como procesos y como objetos. En cuanto a las formas en que se construyen, señala tres mecanismos de construcción: interiorización, condensación y reificación. Sfard (1991, 1992) 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 21Interiorización está tomado de Piaget (Sfard, 1991). Dubinsky (1991) también toma el término de Piaget. 63 considera dos concepciones: - concepción operacional, en este caso una noción es concebida como un proceso computacional más que como una construcción teórica, y - concepción estructural, donde se tratan las nociones como objetos o entidades, Considera tres pasos-fases secuenciales en la transición desde la concepción operacional a la concepción estructural, éstos se denominan interiorización, condensación y reificación. Estas tres fases deben ser consideradas jerárquicamente, es decir un estado no puede alcanzarse hasta que todos los pasos del anterior estén dados (Sfard, 1991): Interiorización21, en esta fase el aprendiz se familiariza con los procesos que darán lugar al nuevo concepto, por ejemplo, contar que lleva al número natural, o bien, manipulaciones algebraicas que se convertirán en funciones. Estos procesos son operaciones realizadas sobre objetos. En el caso de las funciones en este nivel se tiene la idea de variable y la habilidad de usar una fórmula para encontrar valores de la variable dependiente. Condensación, es un período de “compactifición” de largas secuencias de operaciones en unidades más manejables. Se piensa en un proceso sin necesidad de detalles, el aprendiz se refiere a procesos en términos de relación entradasalida sin indicación de cualquier operación. Es en este punto cuando oficialmente el concepto nace. En este nivel es posible combinar procesos con otros, hacer comparaciones y generalizar. Se pueden alternar diferentes representaciones del concepto. En el caso de las funciones se llega a manejar la correspondencia como un todo sin mirar valores específicos, eventualmente se pueden investigar funciones, dibujar gráficas, combinar funciones (es decir, 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 64 OPERACIONAL ESTRUCTURAL Interiorización Condensación Reificación OPERACIONAL ESTRUCTURAL Interiorización Condensación Reificación Cuadro 2.6 Modelo de reificación: relaciones entre concepciones y fases componerlas) y encontrar la inversa de una función. La diferencia entre las dos fases anteriores es que en la segunda hay un cambio en el cual los procesos son vistos en término entrada/salida sin necesidad de considerar sus componentes detallados. El proceso puede ser evocado, manipulado y referido por su nombre (Sfard, 1992). Reificación (Sfard, 1991,1992; Sfard y Linchevski, 1994) es la fase en la que se produce un objeto matemático. El cambio que se produce en la reificación es cualitativo, mientras que en la condensación el cambio es cuantitativo. Sobre el objeto que se construye es posible aplicar procesos, y nuevos objetos pueden ser construidos y por tanto este estado de reificación es el punto donde la interiorización de conceptos de un nivel superior comienza. Sin reificación la aproximación que puede tener un aprendiz es sencillamente operacional. El siguiente cuadro esquematiza el funcionamiento del modelo con las distintas componentes, concepciones y fases, de la propuesta de Sfard. Sfard (1991, 1992) utiliza los términos procesos y objetos como formas de conocer un concepto, pero debe tenerse en cuenta que no son totalmente distintas, sino que son diferentes facetas de la misma cosa, es más, son aspectos complementarios; a veces el concepto es concebido tanto operacional como estructuralmente. Y además los objetos emergen a partir de ciertos procesos computacionales, en el camino de formación de un concepto la concepción 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 65 operacional debería preceder a la estructural. En relación a la cuestión de secuencialidad, se pueden encontrar dos ejemplos. Para el concepto de número racional, desde el punto de vista histórico primero fueron considerados en un contexto de medida y posteriormente fueron considerados objetos formados por pares de números. Para la noción de función, históricamente las funciones aparecen primero como formas de calcular, por ejemplo, para Galileo son formas de calcular velocidades en un movimiento de caída (enunciado verbalmente en forma de proporción), para Bernoulli las funciones son el resultado de calcular de cualquier manera con variables y constantes (Azcárate y Deulofeu, 1990). En ambos casos son visiones operacionales del concepto matemático considerado, es decir, procesos. Para Sfard (1991, 1992) los conceptos matemáticos desde la aproximación estructural son considerados como cosas reales que tienen existencia y pueden ser manipulados como un todo sin necesidad de detalles. Esta característica de la manipulación es clave ya que al manipular se está construyendo otro concepto de otro nivel, la manipulación se lleva a cabo mediante un nuevo concepto que se está formando a nivel de proceso (concepción operacional); además esa manipulación es una señal de reificación. Un problema importante con respecto a la reificación es el denominado por Sfard “problema del inherente círculo vicioso”, por un lado la reificación precede a la manipulación de más alto nivel (la manipulación se hace sobre el objeto), y por otro lado, el objeto se construye cuando se manipula, en otras palabras, la reificación de bajo nivel y la interiorización de alto nivel son prerrequisitos cada uno del otro. Sfard propone que podemos diferenciar ambas formas de considerar un concepto del siguiente modo, la concepción estructural es estática, instantánea e integrativa (combinar en un todo), mientras que la operacional es dinámica, secuencial y detallada. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 66 Considera Sfard (2000) que a veces la introducción de nuevos “nombres” o “símbolos matemáticos” puede ayudar a que se produzca la reificación, es decir, encaminarse hacia la aproximación estructural de un concepto. La distinción estructural/operacional en los símbolos es relativa al discurso o contexto en el que son empleados, el mismo símbolo puede a veces ser operacional y otras veces estructural, este aspecto es muy similar a lo que Gray y Tall (1994) señalan al indicar que con el mismo símbolo se evoca tanto el concepto como el proceso (lo que denominan procepto, procept) y esto permite una cierta ambigüedad y flexibilidad al manejar los símbolos lo que da lugar al éxito en el pensamiento matemático. Con respecto a los modos de representación, Sfard (1991, 1992) indica que aunque no de forma general, algunas representaciones parecen ser más susceptibles de la interpretación estructural que otras, valga como ejemplo para el caso de una función, el modo gráfico puede ser más estructural que cuando se usa un programa de ordenador para calcular valores (donde la función es un proceso de cálculo, no una entidad). Sin embargo, cuando se identifica sólo un modo de representación con el concepto, estamos ante una concepción pseudoestructural. Por ejemplo, en el caso del concepto de función, se tiende a identificar la función con su representación en forma de fórmula de cálculo. La concepción pseudoestructural se produce cuando se comete el error de tomar un significado por el significante. De hecho, el trabajar con los estudiantes varios tipos de representación, puede ayudar a desarraigar las concepciones pseudoestructurales. 3.2.- Los proceptos y unidades cognitivas en la comprensión de conceptos matemáticos Este marco teórico se inscribe dentro de las líneas que explican el desarrollo cognitivo de conceptos, en concreto, en las construcciones mentales 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 22En el original procept, process y concept, (Tall, 1996) 67 que se deben (o es conveniente) realizar para el aprendizaje de conceptos matemáticos. Para este enfoque hay dos concepciones de un concepto matemático, una primera concepción proceso y una concepción como objeto, dando lugar a un conglomerado de ambos denominada “procepto”, este enfoque da un lugar preferente a los símbolos utilizados para representarlos. El paso de proceso a procepto no tiene una denominación explícita en esta teoría y cuando se ha generalizado a unidades cognitivas ha recibido mayor atención el mecanismo de “compresión”. Para Tall y sus colegas (Gray y Tall, 1994; Tall, 1996; Gray et al., 1999) las nociones matemáticas tienen dos aspectos, aspecto “proceso” que llevado a cabo da lugar a un aspecto concepto [llamarlo objeto sería más correcto] representado por algún tipo de símbolo que hace referencia tanto al proceso como al concepto. Este doble aspecto les lleva a denominar “procepto”22 a los conceptos. La noción de procepto está ligada a la ambigüedad de los símbolos, un mismo símbolo puede evocar tanto al proceso como al concepto. Artigue (1998) señala que la noción de procepto sirve para marcar el papel principal jugado por el simbolismo en el mecanismo de encapsulación. Se utiliza el término procepto para referirse a una amalgama de concepto y proceso representados por el mismo símbolo. No se concede un lugar específico a la construcción de proceptos ya que esto no es lo único a tener en cuenta sino que también hay que considerar su uso. Gray y Tall (1994) de manera más detallada establecen que se puede considerar un procepto elemental como un concepto y proceso representados por el mismo símbolo, es decir, es una amalgama de tres componentes: proceso que produce un objeto matemático y un símbolo que representa tanto al proceso como al concepto. Una colección de proceptos elementales que tienen el mismo nombre 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 68 es un procepto. En este marco teórico se puede distinguir entre proceso y procedimiento, el término proceso se refiere a la representación cognitiva de una operación matemática, el término procedimiento se refiere al algoritmo específico que implementa un proceso. Un algoritmo que lleva a cabo un proceso es entendido como una sucesión de pasos, esta sucesión de pasos permite distinguir una sensación de movimiento, de ahí que este aspecto sea denominado “dinámico”, el resultado es el concepto (objeto) y éste es estático (Gray y Tall, 1994; Gray et al., 1999). De esta forma tenemos tres niveles de sofistificación en este marco: procedimientos, procesos y proceptos. Por ejemplo, consideramos el proceso de contar que llega a producir un concepto como es el de número, para realizar dicho proceso de contar pueden emplearse distintos procedimientos, cuando se utiliza un único procedimiento podemos decir que se está en el primer nivel de desarrollo, cuando el estudiante plantea diversos tipos de procedimientos para contar es cuando se alcanza el segundo nivel de desarrollo, el nivel proceso (Tall, 1996; Gray et al,1999). Tall et al. (2001) distinguen en las diferentes áreas de las matemáticas distintos tipos de proceptos diferenciados por la naturaleza del proceso del que provienen. En aritmética son proceptos computacionales (esencialmente son cálculos), en álgebra son procesos potenciales (en cuanto a que son expresiones que permiten evaluar distintos valores) con conceptos manipulables; para la noción dinámica de límite, los procesos son potencialmente infinitos con conceptos infinitesimales. Hay otros proceptos asociados a las definiciones formales y demostraciones características de lo que se conoce por pensamiento matemático avanzado en matemáticas (Tall, 1992). Este enfoque da relevancia a los símbolos y representaciones utilizados. Las representaciones pueden ser a través de materiales concretos, palabras 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 69 habladas, símbolos escritos. La importancia es debida a que los “símbolos” representan simultáneamente tanto el proceso como el producto de dicho proceso. Esta ambigüedad en la interpretación es la raíz para tener éxito en matemáticas (Gray y Tall, 1994). Entre las formas de representación disponibles están (Tall, 1996): - representación enactiva (podemos traducirla como manipulativa), - representaciones numéricas y simbólicas, manipuladas a mano o con el ordenador, - representaciones visuales (gráficas), producidas a mano y dinámicas sobre el ordenador, y -representaciones formales, que dependen de las definiciones formales y demostraciones; éstas son las representaciones propias del pensamiento matemático avanzado. Las primeras representaciones son las representaciones enactivas que son la base para el desarrollo de las matemáticas a niveles cada vez más sofisticados. Cada representación tiene sus propias características, ventajas y desventajas desde el punto de vista cognitivo (Tall, 1996). Para estos autores (Gray et al., 1999) hay diferencias en la formación de diferentes conceptos matemáticos. Así es diferente la construcción de conceptos geométricos y la construcción de conceptos aritméticos, como el número. Consideran que los conceptos aritméticos, algebraicos y del cálculo tienen un desarrollo similar a través de los símbolos. Este grupo de investigadores ha generalizado la noción de procepto, considerandolo como un tipo particular de “unidad cognitiva”. Una unidad cognitiva es una parte de la estructura cognitiva en la que se puede centrar la atención en un momento, es una unidad mental que se utiliza al pensar en una noción matemática y su estructura cognitiva relacionada (Barnard y Tall, 1997; Crowley y Tall, 1999; Tall, 2000). A partir de unidades cognitivas, podemos establecer conexiones entre ellas 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 23“Conceptual compression” en el original (Crowley y Tall, 1999, p. 2 de la versión electrónica). 70 y formar a su vez una nueva unidad cognitiva y en esta situación los “nombres” o “símbolos” vuelven a jugar un papel importante ya que dar un nombre puede ayudar en este mecanismo que forma unidades cognitivas a partir de las conexiones entre otras, el símbolo puede centrar la atención y ser manipulado. Este mecanismo se denomina “compresión conceptual23” y consiste en pasar de concebir ideas distintas a concebir una idea con diferentes aspectos (Crowley y Tall, 1999). Dörfler (2002) considera que su propuesta en relación a la decisión consciente y deliberada de construir objetos matemáticos se complementa con esta noción de compresión, ya que para él las partes deben ser previamente tratadas como entidades en sí, y posteriormente formar el todo, y esto es muy similar a las unidades que se agrupan para formar una nueva unidad con relaciones internas que previamente eran externas. Así un procepto es un caso particular de unidad cognitiva. Un “procepto” se desarrolla cada vez con mayor amplitud estableciendo conexiones entre diversos procedimientos que dan lugar a un mismo proceso (Tall y Barnard, 2002). Este establecimiento de conexiones es clave en el desarrollo de unidades cognitivas cada vez más sofisticadas, así podemos conectar diversas unidades cognitivas y construir una nueva unidad cognitiva más sofisticada a través del proceso de compresión. Por tanto, desde el punto de vista de esta teoría (Barnard y Tall, 1997; Tall y Barnard, 2002) una unidad cognitiva puede ser concebida y manipulada como una entidad y también ser “descomprimida” para revelar su propia estructura interna. Se sugiere que hay dos factores complementarios que son importantes en la construcción de estructuras de pensamiento: por un lado, la habilidad de “comprimir” información en unidades cognitivas; y por otro lado, la habilidad de hacer conexiones dentro y entre unidades cognitivas de modo que otra información relevante pueda ser traída o sacada del foco de atención a voluntad. Esta idea puede ser utilizada para realizar futuros análisis de conceptos. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 24 De los elementos teóricos del marco APOS, éste junto a encapsulación, son de los que están presentes desde los primeros trabajos publicados (Dubinsky y Lewin, 1986). 71 3.3.- La Teoría de la abstracción reflexiva: APOS Este modelo de comprensión tiene dos componentes: las formas de conocer un elemento matemático (acción, proceso, objeto y esquema) y los mecanismos de construcción de las mismas (interiorización, encapsulación, desencapsulación, entre otros). Estos mecanismos son distintas manifestaciones de lo que Piaget denominó “abstracción reflexiva”. También se contemplan los distintos estados de desarrollo de los esquemas identificados por Piaget y García (1983): intra-inter-trans. Esta teoría constructivista ha sido desarrollada por Dubinsky y colaboradores (Dubinsky, 1991; Asiala et al., 1996) y tiene como objetivo la investigación y desarrollo curricular. Pretende posibilitar el diseño de sesiones de instrucción con el objetivo de que los estudiantes adquieran una cierta comprensión de los conceptos matemáticos. Esta comprensión es interpretada en este marco en el sentido de que los estudiantes realicen ciertas construcciones (acción, proceso, objeto y esquema). Nosotros nos centraremos en su propuesta de modelo de comprensión que modela la epistemología del concepto en cuestión: qué significa comprender el concepto, y cómo esa comprensión puede ser construida por el aprendiz. Esto se recoge en la propuesta de una descomposición genética24 del concepto matemático. Hay que señalar que un concepto no tiene una única descomposición genética y que ésta representa una forma razonable que los estudiantes pueden usar para construir un concepto. La descomposición genética puede estar basada en revisiones de la literatura, investigaciones anteriores y el propio conocimiento matemático de los investigadores (Dubinsky, 1991, 1996; Asiala et al., 1997). La descomposición genética del concepto hace referencia a las dos componentes del modelo de comprensión: 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 78 idea de modelar la entendemos como una interpretación que hace el investigador de las acciones (y su justificación) del profesor mediante las cuales modela el mecanismo que internamente debe realizar el estudiante para llegar a conocer de una determinada manera. Esta interpretación del investigador se realiza apoyándonos en las acciones y discurso del profesor. Las “acciones” del profesor en esta investigación tienen un sentido amplio incluyendo las tareas, la secuencia de tareas y lo que “hace” el profesor. La caracterización de la práctica de un profesor usando la idea de la modelación que el profesor hace de los mecanismos de construcción del concepto en orden a conseguir desarrollar la comprensión de los alumnos nos permitirá inferir la perspectiva de la práctica de profesor. Miramos la práctica del profesor, no de manera arbitraria sino viendo como “modela” los mecanismos que se suponen permiten a los alumnos desarrollar la comprensión. Esto es así, como ya indicamos, porque asumimos como hipótesis de partida que existe cierto paralelismo entre lo que el profesor hace (modela) y el desarrollo de la comprensión del alumno. Desde un punto de vista piagetiano el “aprendizaje” es un proceso de adaptación al medio. En nuestro caso uno de los aspectos del medio es la manera en la que el profesor presenta el contenido (lo que hace y dice), por tanto la práctica del profesor determina las condiciones (por lo menos parte de ellas) del medio a través de las cuales el alumno tiene la oportunidad de aprender. De ahí que lo importante sea la “práctica” del profesor y en qué medida permite “constituir” el medio que favorezca las construcciones mentales del estudiante para el desarrollo de la comprensión. Consideramos “la perspectiva” de la práctica del profesor como lo que subyace a su práctica, hace referencia a los aspectos caracterizadores de dicha práctica desde la potenciación de la construcción de conceptos. En esta investigación vamos a caracterizar la perspectiva de la práctica del profesor a partir de la modelación de la descomposición genética de la noción de derivada. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 79 Para “mirar” lo que subyace en la práctica hemos utilizado el elemento teórico “modelación de la descomposición genética de la noción o concepto”. La definición del elemento teórico “modelación de descomposición genética del concepto” lleva implícita unos referentes teóricos de comprensión. Desde los distintos marcos teóricos que nos hablan de formas de conocer y mecanismos de construcción (Dubinsky, 1991; Sfard, 1991; Tall y Barnard, 2002) hemos tomado como referente el marco APOS. Adoptado el marco APOS y la modelación de la descomposición genética del concepto, la idea de modelación de mecanismos de construcción puede ser ampliada con la modelación que el profesor hace de la forma de conocer acción, ya que esta forma de conocer tiene por un lado la característica de ser externa al sujeto que comprende y venir dada, generalmente, por una regla (Dubinsky, 1996) y por tanto es “visible”e identificable en la práctica del profesor y por otro se da el hecho de que: “Las acciones marcan el principio crucial del entendimiento de un concepto.” (Dubinsky, 1996, p. 34) Desde este posicionamiento previo podemos dar sentido a “la enseñanza para la comprensión” a través de la “modelación de la descomposición genética del concepto” desde la modelación que el profesor hace de los mecanismos de construcción y de la forma de conocer acción. En la modelación por el profesor de un mecanismo de construcción y forma de conocer acción a través de las acciones y discurso lo que hace y dice es visible. Desde nuestra forma de entender qué es modelar un mecanismo, hay dos aspectos importantes, (i) la visibilidad de las manifestaciones del profesor (hace y dice), y (ii) el hecho de que la visibilidad viene dada por los instrumentos de la práctica que usa el profesor. Los “instrumentos de la práctica” son para nosotros los modos de representación y los elementos matemáticos del concepto. De esta manera hacemos visibles las modelaciones por el profesor de los mecanismos de 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 80 construcción y de la forma de conocer acción a través de un elemento teórico relacionado con la práctica del profesor como es “los instrumentos de la práctica”, tal y como se consideran en la perspectiva sociocultural (Llinares 1999, 2000 a, 2002): “Algunas investigaciones han empezado a identificar aspectos del uso del profesor de los instrumentos como un medio para caracterizar las prácticas matemáticas en el aula... también en cómo el profesor comprende el cómo usarlos y para qué propósito... Ver la práctica del profesor de matemáticas desde una perspectiva sociocultural implica dos cosas: (i) tener que identificar aquellos instrumentos que emplea el profesor... y (ii) caracterizar cómo el profesor los usa”(Llinares, 2000 a, p. 116). En definitiva, queremos describir la práctica del profesor de matemáticas dando cuenta de cómo usa y justifica los modos de representación y los elementos del concepto matemático cuando modeliza la descomposición genética. Esta descripción nos permitirá inferir la “perspectiva” que subyace a dicha práctica. Para inferir la perspectiva de la práctica del profesor, lo que subyace y justifica la práctica del profesor, nos apoyamos en dos ideas. La primera idea se plantea a partir de los resultados de Escudero (2003) en el sentido de que la organización y la gestión del contenido matemático realizada por el profesor en el aula está relacionada con sus concepciones sobre las matemáticas escolares y por la manera en la que los profesores conocían dichos contenidos. Además Escudero (2003) considera que es necesario apoyarse en los resultados de los análisis epistemológicos de los conceptos matemáticos que el profesor enseña para identificar las concepciones que sobre las matemáticas subyacen en su práctica. A partir de estos resultados nos apoyamos en los análisis epistemológicos sobre la noción de derivada realizada en otros estudios 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 81 (Azcárate, 1990; Azcárate y Deulofeu, 1990; Font, 1999; Badillo, 2003) en las que se subraya la importancia del papel que desempeñan los sistemas de símbolos en el proceso de construcción del significado de derivada a través de la historia. La segunda idea que consideramos en la caracterización de la perspectiva de la práctica es la que procede de la manera en que históricamente se han ido reificando los significados de la noción de derivada. Escudero (2003) afirma que las diferencias en la arquitectura relacional que pueden ser identificadas en la práctica del profesor pueden explicarse por las concepciones sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Estas dos ideas son las que nos permiten considerar la “perspectiva de la práctica” del profesor definida por un “conglomerado” de ideas agrupadas en dos dimensiones: - cómo concibe el desarrollo de la comprensión: concepción sobre el aprendizaje de los conceptos visto a través de los mecanismos de construcción del conocimiento que se potencia, secuencia-relaciones y su justificación, y - su visión de las matemáticas: concepción de las matemáticas como objeto de enseñanza y aprendizaje visto a través de cómo organiza el contenido matemático para enseñarlo. Los distintos valores que pueden tener las dimensiones descritas nos caracterizan la “perspectiva de la práctica” del profesor. Es lo que subyace en la práctica. Queremos indicar que la perspectiva identificada es una construcción teórica derivada del análisis de los datos empíricos obtenidos. Creemos que entre las posibles caracterizaciones de perspectivas podemos encontrar desde la 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 28De las revisiones aquí señaladas hemos obtenido que existen diversas perspectivas, pero que los casos “extremos” justifican, por un lado un estilo tradicional de enseñanza y un estilo de enseñanza que se acerca a las recomendaciones de la reforma de las matemáticas, aunque pueden tener diferentes etiquetas. 82 tradicional a la más ajustada a las reformas curriculares28. En cada caso concreto puede suceder que lleguemos a perspectivas de la práctica del profesor que se puedan ajustar en mayor o menor grado a las descritas. Como consecuencia consideramos la idea de “continuo” entre las distintas perspectivas de la práctica. Esta idea de continuo la abordaremos con más detenimiento en el capítulo final al abordar la discusión e implicaciones de nuestra investigación. Para obtener información sobre las ideas que se agrupan en las dos dimensiones anteriores utilizamos las variables siguientes: - La forma en que usa los sistemas de representación como instrumentos de la práctica. - Cómo el profesor organiza los distintos conceptos matemáticos y cómo establece relaciones entre ellos. - Formas de conocer que parece potenciar el profesor mediante las modelaciones de los mecanismos de construcción. El uso de los sistemas de representación hace referencia a la forma en la que son usados por el profesor los sistemas de representación analítico y gráfico. Podemos encontrar los dos sistemas de representación, o sólo uno de ellos. La organización de los conceptos matemáticos: hace referencia a los distintos conceptos y sus relaciones (derivada de una función en un punto, función derivada, operador derivada) que conforman la noción de derivada. Los distintos conceptos que se identifican en la práctica pueden estar o no relacionados. Las formas de conocer que se potencian (acción, proceso, objeto): hace referencia a las formas de conocer para cada concepto. Se pueden potenciar diferentes formas de conocer, y éstas pueden estar aisladas o relacionadas entre sí. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 29Meira (1998) y Llinares (2000 a, 2002) se refieren a los instrumentos, y al uso de los mismos. 83 Por lo tanto, la caracterización del uso de los modos de representación, la organización-relaciones de los conceptos que forman la noción y la manera en la que el profesor modela los diferentes mecanismos de construcción del concepto nos proporcionan los medios para inferir las diferentes perspectivas de la práctica. En los siguientes apartados vamos a comentar más ampliamente los distintos elementos que aparecen en nuestra propuesta. 4.2Los instrumentos Los instrumentos de la práctica y la forma en que son usados por el profesor son los que hacen visible a los investigadores las modelaciones de mecanismos de construcción realizadas por el profesor. Modelar un mecanismo de construcción es una interpretación del investigador de las acciones y su justificación del profesor, en el sentido del mecanismo que internamente debe realizar el estudiante para llegar a conocer un concepto matemático de una determinada manera. Esta modelación la realiza el profesor a través de las acciones y discurso. En las acciones y discurso del profesor se contempla la organización del contenido, los objetivos, las justificaciones, así como lo que “dice” y “hace” durante la gestión de la clase. En la literatura se han identificado diversos tipos de instrumentos, Adler (2000) considera los “recursos”, con un significado similar a lo que nosotros denominamos instrumentos e incluye entre ellos, los libros de texto y otros materiales de aprendizaje, y también considera recursos culturales como el lenguaje. Meira29 (1998) considera desde el punto de vista escolar, los diversos tipos de signos como representaciones en tablas de valores y gráficas de patrones numéricos. Desde una visión más general, Llinares (2000 a) identifica algunos 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 84 instrumentos de la práctica como los problemas propuestos a los estudiantes y los modos de representación. En nuestra investigación hemos considerado los elementos matemáticos de un concepto como un instrumento de la práctica del profesor. Hemos considerado en el análisis de la práctica del profesor dos instrumentos de la práctica, los modos de representación y los elementos matemáticos de la noción sobre la que el profesor centra su enseñanza. Pasaremos a caracterizarlos y a indicar cómo entendemos “su uso”. El uso de estos instrumentos lo entenderemos como las relaciones que el profesor establece entre ellos. 4.2.1.- Los modos de representación Las representaciones vienen definidas de la siguiente manera: “Son notaciones simbólicas o gráficas, específicas para cada noción, mediante las que se expresan los conceptos y procedimientos matemáticos así como sus características y propiedades más relevantes, ... cada uno de los modos distintos de representar un mismo concepto matemático proporciona una caracterización diferente de dicho concepto; no hay un único sistema capaz de agotar en su totalidad la complejidad de relaciones que cada concepto matemático encierra” (Castro y Castro,1997, pp. 96 y 103) Para Rico (2001) las representaciones son aquellas herramientas (signos o gráficos) que hacen presentes los conceptos y procedimientos matemáticos y con las cuales los sujetos abordan e interactúan con el conocimiento matemático. Distinguen Castro y Castro (1997) y Rico (2001) dos clases de representaciones, las representaciones internas, que son la imágenes mentales que se forman en la mente al evocar o pensar en un concepto matemático; y las representaciones 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 85 externas, aquellas que tienen soporte físico, y son a las que se hace referencia en la cita anterior de estos mismos autores. Rico (2001) al analizar las dos clases de representaciones, plantea la cuestión de qué relación mantienen ambas representaciones. García (1999) hace una aproximación a la comprensión de los conceptos a través de la noción de representación, tanto de las externas como internas: “Una manera de entender el conocimiento de conceptos es mediante la forma en que están estructuradas las representaciones internas de los mismos y que no pueden observarse directamente. Además, para poder comunicarse y usar ideas matemáticas en diferentes contextos es necesario utilizar y por lo tanto conocer representaciones externas de esos conceptos, ... las características de las representaciones externas de los conceptos vienen influenciadas por la representación interna y viceversa actuando como elemento fundamental el contexto social” (pp. 9 y ss.) Para García (1999) las interacciones y el uso que se hace de las representaciones externas de los conceptos permite inferir características de las representaciones internas y de sus relaciones, además la comprensión de los conceptos matemáticos está vinculada a establecer conexiones entre distintas representaciones externas para los mismos. Podemos señalar dos grandes familias de representaciones externas (Castro y Castro, 1997; Rico 2001): - representaciones simbólicas: digitales, discretas, se basan en signos alfanuméricos estructurados con sus propias reglas de sintaxis, y - representaciones gráficas: analógicas, continuas, de tipo gráfico o figurativo, cuya sintaxis viene dada por las reglas de composición y convenios de interpretación. 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 30El álgebra incluye en el currículum la noción de función. 31Excluye esta representación del Calculo Teórico y la considera la representación del Cálculo del mundo real (Tall, 1996). 86 Algunos investigadores (Duval, 1996; Rico, 2001) señalan que los conceptos y estructuras matemáticas tienen la característica de necesitar diversas representaciones para poder captarlos en toda su complejidad y por tanto hay que considerar las relaciones entre los distintos sistemas de representación para un mismo concepto, lo que se denomina traslaciones o conversiones. Desde el punto de vista de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, las representaciones (y sus traslaciones) juegan un papel fundamental para la comprensión de los conceptos. Por otro lado, los estudiantes tienen dificultades con los modos de presentación (bien porque no los interpretan correctamente, o bien porque no manejan varios modos para un mismo concepto) por ello es conveniente que los estudiantes sean instruidos y educados en el uso y comprensión de las representaciones (Castro y Castro, 1997). Para las nociones matemáticas escolares relacionadas con el Análisis Matemático podemos concretar distintos modos de representación, Janvier (1987) en su trabajo sobre representaciones de la noción de función indica los siguientes, descripción verbal, tablas de valores, gráficas y expresión algebraica. Las descripciones detalladas sobre dichas representaciones del concepto función podemos encontrarlas en Azcárate y Deulofeu (1990) y de forma más general en el campo del álgebra30 en Friedlander y Tabach (2001). Tall (1996) incluye un modo de representación más respecto a los anteriores, que denomina “representación enactiva”, que caracteriza como aquella representación de las acciones de las personas que dan significado al cambio, velocidad y aceleración, podemos considerar que es una representación de tipo “manipulativa”, por ejemplo, con simuladores de movimiento, esta representación es la básica, la base sobre la que apoyan las restantes31. Por último, para un nivel avanzado del 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 32Características del Pensamiento Matemático Avanzado (Tall, 1992). 87 análisis incluye las “representaciones formales”, aquellas que dependen de las definiciones formales y demostraciones32. En relación a la noción de derivada, Zandieh (2000) investiga la comprensión de los estudiantes del concepto derivada y construye su marco conceptual sobre varios componentes, uno de ellos las múltiples representaciones. “Para funciones éstas [representaciones] incluyen analíticos o simbólicos, gráficos, numéricos, verbales, y representaciones físicas. Numerosos textos de la reforma han enfatizado el uso de múltiples representaciones como manera de desarrollar la comprensión de los estudiantes. Los conceptos que implican funciones, tales como límite de una función o la derivada de una función, pueden ser descritos en términos de estas representaciones” (p. 105) En relación a la construcción de conceptos matemáticos SánchezMatamoros (2004) en su análisis del desarrollo del concepto derivada en estudiantes de distintos niveles (desde bachillerato a primer año de universidad) cuando habla del nivel trans dice: “En este nivel se produce la “síntesis” de los modos de representación. Todo ello lleva a la construcción de la estructura matemática. La “síntesis” se aplica a situaciones en las que hay que relacionar (relación lógica) información gráfica y analítica. Es decir, usar información procedente de los dos sistemas de representación para considerarla conjuntamente y obtener una “cosa” que no se conocía.” (p.74) Para Font (1999, 2000 a, b) en relación a las representaciones ostensivas 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 34En cursiva en el original. 94 oportunidades para que sus alumnos “construyan” la comprensión del concepto. “Construir” en el modelo APOS de comprensión significa querer que se desarrollen los mecanismos de interiorización, encapsulación, etc. Por este motivo vamos a centrarnos en los mecanismos de construcción de conocimientos que los profesores “modelan” con vistas a que los estudiantes lleguen a construir el concepto. Nos parece necesario señalar que la forma de conocer acción es también modelable por el profesor, ya que son el principio de la construcción de la comprensión de un concepto, (Dubinsky, 1996) dadas por una regla o receta y externas al sujeto y por lo tanto pensamos que es visible en la práctica del profesor, e identificable en nuestro análisis. El marco teórico APOS aborda el análisis de la comprensión de los estudiantes en una perspectiva de aprendizaje, nosotros utilizamos dicho marco para describir la práctica del profesor a través de los mecanismos de construcción y formas de conocer que “modela”, por este motivo alguno de los elementos teóricos se han de adaptar a una perspectiva de enseñanza. La noción de descomposición genética de un concepto desde la perspectiva de aprendizaje viene dada por (Asiala et al.,1997): “El propósito del análisis teórico es proponer una descomposición genética34 o modelo de cognición: esto es, una descripción de las construcciones mentales específicas que un aprendiz puede hacer en orden a desarrollar su comprensión del concepto. Estas construcciones mentales son llamadas acciones, procesos, objetos y esquemas.” (p. 400) En Asiala et al. (1997) se hace una propuesta de descomposición genética de la derivada de una función en un punto. Para estos autores hay dos caminos que se recorren en la construcción de este concepto: un camino gráfico y un 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 35El cociente diferencial en un punto a viene dado por la tasa de variación media en un intervalo del tipo [a, a+h], (f(a+h)-f(a))/h (p. 409 en la definición del procedimiento D). 95 camino analítico y es necesario vincular los dos caminos. Comienza la descomposición genética con la identificación de la forma de conocer acción: “1a. Gráfico: la acción de conectar dos puntos de una curva y formar la cuerda que es la parte de la recta secante a través de los dos puntos, junto con la acción de calcular la pendiente de la línea secante por los dos puntos. 1b. Analítico: la acción de calcular la media de la razón de cambio a través del cálculo del cociente incremental en un punto35.” (p. 407) Asiala et al. (1997) hacen referencia a una acción distinta a las anteriores, como es la posibilidad de recordar un hecho de la memoria (Cottrill et al. 1996) o de forma más precisa aplicar una fórmula, Dubinsky et al. (1994) “Un sencillo tipo de acción en matemáticas es calcular de acuerdo con una fórmula, frecuentemente, un estudiante puede tener éxito con cálculos antes de que el concepto esté totalmente comprendido.” (p. 286) En el caso de la derivada de una función en un punto es particularizada por Asiala et al. (1997) de la siguiente manera: “Como una acción, la línea tangente es identificada en el punto, y su pendiente es calculada. Hay (al menos) dos formas para que esta acción sea construida. El estudiante puede haber memorizado una regla: la derivada de una función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la gráfica en el punto.” (p. 425) De esta forma existen tres acciones diferentes a tener presente cuando abordemos el mecanismo de interiorización de acciones. El mecanismo de 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 36Entre comillas en el original. 96 interiorización de acciones está descrito en el mismo artículo, teniendo presente que cuando indican "cada vez más próximos" o de “la amplitud del tiempo se acerca cada vez más a cero” interpretamos que se refieren al paso al límite de las cuerdas/pendientes y del cociente incremental: “2a. Gráfico: Interiorización de las acciones del punto 1a a un proceso cuando los dos puntos de la gráfica de la función están “cada vez más próximos.” 36 2b. Analítico: Interiorización de las acciones del punto 1b cuando los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, es decir, la amplitud del intervalo tiempo se acerca cada vez más a cero... ” (p. 407) El siguiente mecanismo de construcción que podemos encontrarnos en la descomposición genética de la derivada de una función en un punto es el mecanismo de encapsulación de un proceso. En Asiala et al. (1997) se describe este mecanismo tanto para la forma analítica como gráfica del siguiente modo: “3a. Gráfico: Encapsulación del proceso del punto 2a para producir la línea tangente como la posición límite de líneas secantes y también producir la pendiente de la línea tangente en un punto del gráfico de una función. 3b. Analítico: Encapsulación del proceso del punto 2b para producir la razón de cambio instantánea de una variable respecto a otra.” (p.407) La síntesis de lo gráfico y analítico produce la definición de derivada de una función en un punto como: . lim () () xa fx fa x a → − − 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 97 El segundo concepto integrado en la noción de derivada al que se hace referencia como diferenciación de funciones, es un operador que a una función f --> f´, para este “operador derivada” podemos proponer una descomposición genética. En la literatura no aparece la descomposición genética del operador derivada de manera tan detallada como la que se tiene de la derivada de una función en un punto, si bien es posible encontrar algunas ideas en DeVries (2001). En el glosario DeVries (2001) se describen caracterizaciones de distintas formas de conocer la diferenciación de funciones: “1.- Dada la regla general para encontrar la derivada de una función polinómica, y dada una función polinómica concreta una acción podría ser encontrar la derivada por sustitución de los números en la formula general. Uno está a nivel de concepción acción para la diferenciación si sólo es capaz de encontrar la derivada de una función cuando cada paso es externamente proporcionado (por la memoria, por ejemplo, o mirando en una lista de reglas) por una regla que es aplicada y sólo se tiene que introducir los números concretos.” (On-line) Esta caracterización es una particularización de la forma más general antes citada de Dubinsky et al. (1994) respecto a aplicar una fórmula. Puede ser el punto de partida de la descomposición genética del operador derivada, ya que según este referente teórico, las acciones marcan el principio para la comprensión de un concepto matemático (Dubinsky, 1996; Asiala et al., 1996). Para el mecanismo de interiorización del operador derivada no se da una descripción, pero en general, para la interiorización de acciones Dubinsky (1996) dice: “Cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede interiorizarse en un proceso. Es decir, se realiza una construcción interna que ejecuta la misma acción, pero ahora no 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 98 necesariamente dirigida por un estimulo externo.” (p. 34) Este estímulo externo puede venir dado por una fórmula o algoritmo, por tanto para el mecanismo de construcción de interiorización del operador derivada, tenemos que “prescindir” de una fórmula. Además DeVries (2001) caracteriza la forma de conocer proceso para el operador derivada: “Uno realiza un proceso cuando encuentra la función derivada de una función dada usando las reglas estándares. Se tiene a lo sumo una concepción proceso de la diferenciación si puede encontrar la derivada de funciones estándares pero no puede utilizar la idea de la derivada segunda de una función a no ser que haya calculado la derivada primera para una función concreta.” (On-line) Con esta caracterización DeVries considera que un estudiante conoce la diferenciación como proceso cuando aplica las reglas estándares de derivación a cualquier función para obtener su función derivada. Pero también se indica que si el estudiante no es capaz de usar la idea de diferenciación aplicada a la derivada primera para obtener la derivada segunda no se ha llegado a construir la diferenciación como objeto. Una vez construido un proceso, en la descomposición genética podemos encontrarnos dos mecanismos de construcción distintos al mecanismo de encapsulación, los mecanismos de coordinación (de procesos) y de inversión (de un proceso). La composición o coordinación de dos o más procesos permite obtener un nuevo proceso a partir de dos ya conocidos, el ejemplo más representativo es el caso de la composición de dos funciones para obtener otra función (la función compuesta) (Ayers et al., 1988). La inversión de un proceso, construye a partir de un proceso otro proceso, el proceso inverso o recíproco. Dubinsky (1991) propone como ejemplo de reversibilidad de un proceso el operador derivada, para el proceso que es la interiorización de la acción calcular 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 37Lo indicado entre corchetes es una aclaración nuestra que no aparece en el original. El objeto al que hacen referencia es el objeto “función derivada”. De forma que aquí Asiala et al. (1997) parecen indicar que para la inversión del operador derivada puede ser necesaria la desencapsulación de la función derivada, es decir, se invierte el operador derivada a través de la desencapsulación de la función derivada. 99 la derivada de una función. Si hemos interiorizado esta acción, podemos invertir el mismo y resolver la pregunta de dada una función ¿de qué otra función es la derivada? En Asiala et al. (1997) se hace referencia al mecanismo de inversión del operador derivada como proceso cuando se refieren al “uso del concepto de derivada” (referido al operador derivada) e indican: “Sobre el resultado de usar (invirtiendo) la noción de derivada [operador derivada] para obtener el gráfico de la función original. Esta inversión indica una clara concepción proceso de la interpretación gráfica de la derivada que puede ser la desencapsulación de una concepción objeto [de la función derivada]37.” (p. 425) Con un proceso, mediante el mecanismo de encapsulación se construye el objeto, el mecanismo de desencapsulación permite volver al proceso desde el objeto encapsulado. Por ejemplo, en Sánchez-Matamoros (2004) cuando se le plantea a los estudiantes que dada la gráfica de f´, construyan la gráfica de f. Se enfrentan a una situación en la que deben invertir el operador derivada (proceso). Al ser dicho proceso una transformación, el objeto sobre el que actúa es la función derivada y por tanto es necesario desencapsular este objeto (función derivada) para volver al proceso y obtener la función original. Sobre la regla de la cadena Clark et al. (1997) y Cottrill (1999) han utilizado el marco APOS, pero no teniendo en cuenta la construcción de acciones-procesos-objetos, ya que para estos autores la teoría de construcciones 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 38Dada una función identificar las funciones que se componen para definirla. 100 (acción-proceso-objeto) no es suficiente para explicar cómo comprenden los estudiantes la regla de la cadena. Utilizan como elemento teórico la teoría sobre desarrollo de esquemas a partir de las ideas de Piaget y García (1983), en la que como hemos comentado hay tres estados o niveles de desarrollo del esquema: inter, intra y trans. Para Clark et al. (1997): “la comprensión de la regla de la cadena involucra la construcción de un esquema. El esquema debe contener un esquema para la función, que incluya al menos una concepción proceso de función, composición de funciones y descomposición38. El esquema de función está conectado con el esquema de diferenciación que incluye las reglas de diferenciación al menos a nivel proceso.” (p.359) Terminamos este apartado haciendo referencia al concepto de función, ya que la función derivada es un concepto que aparece en la noción de derivada y puede ser el nexo entre la derivada de una función en un punto y el operador derivada. La noción de función es de los conceptos matemáticos más estudiados en la investigaciones sobre el cálculo (Dubinsky y Harel, 1992). En Asiala et al. (1997) se hacen algunas referencias a la función derivada y a su forma de conocer como proceso, cuando indican que después de calcular la derivada de una función en un punto como pendiente de la recta tangente en el punto se puede construir a partir de este cálculo la función derivada como proceso: “A partir de esta acción [identificar la línea tangente a la curva en un punto y calcular su pendiente] el estudiante construirá la función derivada como proceso. Un estudiante muestra esto como una acción cuando se centra en un punto del dominio en cada momento” (p. 425) 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 39Se refiere a Breindebach et al. (1992). 101 En Zandieh (2000) se aborda la función derivada como proceso, éste se caracteriza por tomar (posiblemente) infinitos valores de entrada y para cada uno de ellos se determina un valor de salida dado por el límite de los cocientes incrementales en cada punto. Para esta autora, la característica de la forma de conocer proceso para la función derivada es la de dar infinitos valores de entrada (al menos potencialmente), a diferencia de la forma conocer acción que se centra en valores concretos cada vez. Respecto a la forma de conocer objeto de la función derivada: “La función derivada puede también ser vista como un objeto reificado, como cualquier otra función (la función derivada puede ser considerada como un objeto que es el resultado de otro proceso, el operador derivada).” (p. 107) Una observación a realizar es que Zandieh (2000) utiliza como marco teórico la teoría de la reificación de Sfard. Algunos autores han relacionado el marco APOS y la teoria de la Reificación, estableciendo algunas similitudes (Tall, 1996; Artigue 2001; Selden y Selden, 2001, Franzblau y Warner, 2001) de manera precisa Monk (1992) establece un claro paralelismo entre las ideas de Dubinsky y Sfard: “Sfard (1987) usa los términos concepción estructural y concepción operacional de una función, reflejando la distinción por los matemáticos (entre otros) entre entidades matemáticas como cosas, constructos u objetos, y como operaciones, actividades o procesos. ...Breidenbach y cols. (En prensa39) distinguen además dos niveles de la concepción operacional (en términos de Sfard) de funciones, una concepción acción y una concepción proceso de función.” (p. 178) 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 102 Sánchez-Matamoros (2004) y García et al. (prepublicación) señalan que la construcción del esquema derivada es progresiva y en dicha construcción la función derivada juega un papel fundamental: “Además hemos caracterizado la tematización del esquema a través de la consideración de f ´como función y de (f ´)´ como su derivada, una de las manifestaciones de este hecho es aplicar a f ´ y a su derivada (f ´´) las mismas relaciones e implicaciones que se aplican a f y a su derivada f ´.” (p. 246) En nuestra investigación, para la descripción de la práctica del profesor lo que hacemos es “chequear” las acciones, discurso y justificaciones que el profesor realiza con el modelo de comprensión de la derivada considerado en la descomposición genética descrita. De esta manera tenemos la modelación de la descomposición genética que realiza el profesor en su práctica cuando pretende que sus estudiantes lleguen a comprender un concepto, es decir, cuando hablamos del conocimiento que potencialmente pueden llegar a construir los estudiantes. La modelación de la descomposición genética de una noción parece una forma razonable que los investigadores utilizamos para describir la práctica e inferir la perspectiva de la práctica del profesor. La idea de modelación de la descomposición genética de una noción es similar a la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje de Simon (1995). Podemos considerar que las descomposiciones genéticas modeladas por el profesor son un tipo concreto de trayectorias cuando el constructivismo se entiende como lo describe APOS. Como señala Dubinsky (1991) un concepto no tiene una única descomposición genética y representa una forma razonable que los estudiantes pueden usar para construir un concepto. Nuestro objetivo es describir la práctica del profesor a través de los mecanismos de construcción que modela y esta modelación se caracteriza en 2.- Marco conceptual José María Gavilán Izquierdo 103 términos de los modos de representación y elementos matemáticos para la noción de derivada considerados como instrumentos de la práctica usados por el profesor. A partir de nuestro análisis de la modelación de la descomposición genética de la noción de derivada por el profesor caracterizaremos la perspectiva de la práctica del profesor. Consideramos la perspectiva de la práctica del profesor como lo que subyace a su práctica y hace referencia a los aspectos caracterizadores de dicha práctica. 5.- PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN Pretendemos en nuestra investigación analizar la práctica del profesor bajo el presupuesto de que la enseñanza de las matemáticas tiene como objetivo que los estudiantes comprendan las nociones matemáticas involucradas. Como señalan Hiebert y Carpenter (1992): “Una de las ideas aceptadas más ampliamente en la comunidad de educadores matemáticos es la idea de que los estudiantes deberían comprender las matemáticas.” (p. 65) Otros investigadores (Simon et al., 2000; Artzt y Armour -Thomas 1999) apoyan esta línea de investigación sobre “la enseñanza de las matemáticas para la comprensión”: “Primero, es una visión ampliamente mostrada entre investigadores y profesores que la meta de la instrucción es promover el aprendizaje con comprensión (Hiebert y Carpenter, 1992). Segundo, investigaciones teóricas y empíricas sobre aprendizaje desde la psicología, educación matemática, y ciencias cognitivas sugieren consecuencias positivas para los estudiantes que aprenden con comprensión.” (Artzt y Armour -Thomas 1999, p. 213) 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 108 En los capítulos anteriores hemos explicitado las referencias teóricas en las que nos situamos para realizar nuestra investigación. En este capítulo describiremos detalladamente a los participantes, los instrumentos para la recogida de la información, los datos obtenidos y el análisis de los datos realizado. Respecto a la triangulación, que es un aspecto básico a considerar en las investigaciones de naturaleza cualitativa (Schoenfeld, 2000; McKnight et al., 2000) consideraremos diversas fuentes de datos. En relación al análisis de datos, detallaremos los diferentes niveles de análisis que hemos realizado indicando el producto de los mismos. 2.- PARTICIPANTES Y CONTEXTOS Los participantes en la investigación han sido dos profesores de Enseñanza Secundaria con varios años de servicio en la Comunidad Autónoma de Andalucía. Los llamaremos con los seudónimos Juan y María. Ambos son profesores muy preocupados por su desarrollo profesional. La observación de las clases de Juan y María se centró en la enseñanza de la derivada en primer curso de Bachillerato LOGSE (los alumnos tenían una edad de16-17 años). En ningún caso, hemos pretendido que los profesores elegidos sean muestra de ningún tipo de población, han sido elegidos por las circunstancias de acceso a ellos, por su predisposición y colaboración hacia el grupo de investigadores y por las posibilidades de realización de un trabajo de esta naturaleza que requiere un seguimiento durante un periodo largo de tiempo. Juan desempeña su labor docente en un Instituto de Enseñanza Secundaria en una localidad rural cercana a la capital (Sevilla). El centro era anteriormente un centro de Bachillerato (se impartía el antiguo BUP) y en el momento de la investigación se impartía ESO y los dos cursos de Bachillerato. Tiene más de 20 años de experiencia docente con estudiantes de Enseñanza Secundaria y Bachillerato. Es Licenciado en Ciencias (especialidad matemáticas) y Catedrático de Enseñanza Media. Para este profesor es importante tener en cuenta las 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 109 dificultades que pueden tener los estudiantes respecto al contenido matemático que se aborda y hace especial referencia a los aspectos conceptuales sobre los aspectos procedimentales del tema. La clase estaba formada por un grupo de 25 estudiantes. Los estudiantes no tenían conocimientos previos del tema objeto de nuestra investigación, la noción de derivada. La unidad didáctica realizada por este profesor se grabó completa y abarcó 17 clases de una duración aproximada de 45 minutos cada una. Este profesor no disponía de libro de texto por lo que entregaba colecciones de problemas a los estudiantes. El centro disponía de un aula de informática con varios ordenadores. Algunas de las sesiones de clase fueron impartidas en dicha aula, las clases nº 3, nº 9 y nº 16. Se utilizó software de dos tipos, primero el programa de geometría dinámica Cabri-Géomètre II en la clase nº 3 y con dos archivos realizados por el profesor; y segundo se utilizó un programa, Funciones para Windows, en las clases nº 9 y nº 16. Cabri-Géomètre II es un programa de geometría dinámica, permite la construcción de figuras en la que pueden moverse algunos objetos de la misma, conservándose las propiedades geométricas utilizadas en la construcción de la figura (y aquellas propiedades que se deducen de ellas), tiene la posibilidad de representar funciones en ejes cartesianos. Funciones para Windows, es un programa que permite el estudio de funciones utilizando expresiones algebraicas, tablas de valores y representaciones gráficas, además entre las opciones disponibles calcula la función derivada, la derivada en un punto, etc. Los estudiantes estaban familiarizados con ambos programas en el momento en el que realizamos nuestra investigación. Las grabaciones se realizaron durante el tercer trimestre del curso, desde abril hasta junio. María también desempeña su labor docente en un Instituto de Enseñanza Secundaria, pero en este caso está situado en una zona céntrica de la ciudad 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 1Autores: José Colera, Mª José Oliveira, Rosario García y Santiago Fernández, año 2000. 110 (Sevilla), por lo que son estudiantes de clase media. Pertenece al cuerpo de Catedráticos de Enseñanza Secundaria y tiene más de 20 años de experiencia como profesora, siempre en centros de Bachillerato (BUP). También es licenciada en Ciencias (especialidad matemáticas). Considera que el tema de la noción de derivada es un tema importante del currículum y pone énfasis en los aspectos procedimentales y conceptuales. En este caso los estudiantes tampoco habían recibido ningún tipo de enseñanza relativa al tema de la derivada. El grupo estaba formado por 25 estudiantes. A María se le grabaron las 12 clases que comprendía la unidad didáctica, con una duración media de 50 minutos cada una. Los estudiantes disponían de libro de texto, “Bachillerato, Matemáticas I (Andalucía)1” Grupo Anaya, que era seguido por la profesora. Del libro de texto planteaba a los estudiantes la mayoría de las tareas. Todas las sesiones de la unidad didáctica de María se desarrollaron en el aula de clase. La profesora realizó la unidad didáctica en el segundo trimestre del curso, desde febrero hasta marzo. En ambos casos los investigadores comunicamos a los profesores en una entrevista informal los objetivos de nuestro trabajo y lo que pretendíamos de ellos. Les explicamos que sería necesario realizar varias entrevistas y que la primera de ellas sería antes de que comenzasen las clases de la unidad didáctica de la noción de derivada. Las siguientes entrevistas se realizarían a lo largo del desarrollo de las clases que componen la unidad didáctica. También se les explicó que grabaríamos todas las clases de la unidad didáctica y que llevarían un micrófono en todas las sesiones de clase. En algún caso, los mismos profesores gestionaron con la Dirección del Centro y los padres de los estudiantes la autorización para la grabación y uso de imágenes de menores. Ambos profesores manifestaron su interés por colaborar en una investigación de esta naturaleza. 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 111 3.- INSTRUMENTOS DE RECOGIDA DE LA INFORMACIÓN: LOS DATOS La noción de práctica del profesor engloba distintos escenarios, el trabajo en el aula, en el seminario de matemáticas, en cursos de formación. Llinares (2000 a) indica que hay dos fases o momentos claves para el análisis de la práctica, el momento de la planificación y organización de las matemáticas que tiene lugar previamente a su llegada al aula, y el momento de la gestión del proceso de enseñanza y aprendizaje. Para la investigación realizada nos centramos en estas dos fases, la fase de planificación y en el trabajo del profesor en el aula. Como indica Schoenfeld (1998 a) las entrevistas con los profesores, las previas y posteriores a la instrucción son fuentes de información; Simon (1995) también considera que la planificación puede ser una fuente de datos para la investigación de la práctica del profesor. Simon y Tzur (1999) de manera general indican: “Nuestra meta es producir un informe en el que describimos cómo el profesor se ocupa de fomentar el aprendizaje de los estudiantes de ideas matemáticas nuevas o modificadas. Así, intentaremos caracterizar la perspectiva fundamental que muestra la práctica del profesor y dar cuenta de los aspectos de la práctica que observamos... Recogemos datos para producir los informes de práctica a través de grabaciones en vídeo y de entrevistas grabadas en audio.” (p. 258) La primera fuente de datos proviene de la entrevista con el profesor sobre la planificación y organización de las matemáticas en la unidad didáctica sobre la noción de derivada, más los materiales que el profesor usaba. Esta entrevista de planificación se grabó en vídeo y audio y se realizó la transcripción de la misma. En esta fase previa al desarrollo de la unidad didáctica también recogimos como materiales, la unidad didáctica elaborada por el profesor (en nuestro caso ambos profesores tenían elaborado un documento escrito) y el capítulo del libro 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 112 ENTREVISTA PREVIA Contextualización Planificación de la unidad didáctica Aspectos específicos de comprensión Grabaciones en vídeo de las clases ENTREVISTAS DE DESARROLLO: Centradas en el desarrollo de la unidad didáctica Recogida de material instruccional Recogida de unidad didáctica, libro de texto y materiales para los alumnos PREVIO A LA INSTRUCCIÓN DURANTE LA INSTRUCCIÓN Cuadro 3.1 Esquema metodológico: fuentes de datos de texto relativo a la noción de derivada para el caso de María, ya que Juan no seguía libro de texto. Durante la fase de gestión del proceso de enseñanza y aprendizaje grabamos las sesiones de clase de toda la unidad didáctica de ambos profesores (17 y 12 clases respectivamente) y éstas fueron transcritas completamente. Durante el desarrollo de las clases realizamos tres entrevistas de desarrollo o progreso, estas entrevistas fueron transcritas en su totalidad. También se recogieron los materiales introducidos por los profesores en cada momento y los documentos escritos entregados por los profesores a los estudiantes. Para el caso de Juan, varias colecciones de problemas “hojas de problemas” y dos ficheros de ordenador, cada uno de ellos con una construcción de tipo figura, que se utilizaron con el programa Cabri Géométre II, para el otro programa de ordenador Funciones para Windows no se utilizaron ficheros. En el caso de María el material entregado a los estudiantes fue una “tabla resumen de las reglas de derivación”. De forma esquemática en el cuadro 3.1 se muestran las diferentes fuentes de datos o instrumentos de recogida de los mismos. 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 113 A continuación vamos a describir los diferentes instrumentos de recogida de la información en cada una de las dos fases de la práctica (planificación y gestión). 3.1.- Planificación En la fase de planificación las fuentes de datos utilizada fue la entrevista de planificación, los materiales previstos, la unidad didáctica y libro de texto. Las entrevistas fueron transcritas y se incorporaron las notas aclaratorias. 3.1.1La entrevista previa de planificación Antes de comenzar el desarrollo de la unidad didáctica realizamos a cada uno de los profesores una entrevista relativa a la planificación y organización del contenido de la unidad didáctica. Esta entrevista era semiestructurada en el sentido de que disponíamos de un guión previo para el desarrollo de la misma. Las cuestiones a abordar en la entrevista de planificación fueron de diferente naturaleza por lo cual distinguimos varios niveles de indagación, partiendo de aspectos más generales hasta llegar a los aspectos puntuales que más nos interesaban. Con objeto de hacer operativas las entrevistas a los profesores, éstas tenían prevista una duración aproximada de una hora. La entrevista de planificación tenía tres partes diferenciadas: La primera parte eran preguntas para contextualizar al profesor, grupo y tema concreto: información sobre la biografía profesional del profesor/a, tipo de estudiantes, lugar que ocupa el tema en el currículum y dificultades que puedan llegar a tener los estudiantes. Algunas preguntas de este bloque fueron: Me haces un breve resumen de tu trayectoria profesional. ¿Qué tipo de clase y de estudiantes vas a tener? ¿Qué conocen los estudiantes sobre el tema de la derivada de cursos anteriores? ¿Qué llegan a comprender tus alumnos sobre el concepto de 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 114 derivada? ¿Es un tema difícil para los estudiantes? ¿Qué dificultades crees que van a tener los estudiantes? ¿Cuál es el lugar que ocupa este tema en el currículum de bachillerato? ¿Qué materiales vas a utilizar? La segunda parte era relativa a la unidad didáctica, el profesor explicaba que planes que tenía respecto a la unidad didáctica y cómo pensaba realizarla, qué tipos de tareas pensaba proponer en la unidad didáctica y los objetivos. Vamos a analizar un poco algunas preguntas globales de la unidad didáctica y luego analizamos las tareas ¿Cómo organizas globalmente el contenido? Si tuvieras que describir la unidad didáctica de forma global ¿dónde empiezas? ¿Cuáles serían para ti los objetivos principales de la unidad didáctica? ¿Qué planes tienes para lograr estos objetivos de la comprensión del concepto? ¿Crees que entienden la diferencia de que por un lado estás haciendo derivadas en un punto y luego pasas a la función derivada? ¿Demuestras las reglas de derivación? ¿Cuándo das la regla de la cadena, identifican las funciones que se componen... cómo lo haces...? La tercera parte abordó cuestiones de detalle que inciden más en aspectos relativos a la “comprensión en términos del marco teórico APOS”. ¿Enuncias y haces utilizar a los alumnos la regla de los “cuatro pasos” para hacer derivadas? ¿Utilizas cálculo de cuerdas/secantes? ¿Cálculo de secantes, de pendientes de secantes para derivadas? [el objetivo era indagar sobre los significados gráficos y la presencia de 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 115 mecanismos de interiorización] ¿Qué estrategia utilizas para pasar de la derivada de una función en un punto a derivada de una función? ¿Vas a ver funciones a trozos o no vas a plantearles funciones a trozos? [el objetivo era indagar sobre el posible uso de significados y la presencia de mecanismos de desencapsulación] El Teorema Fundamental del Cálculo ¿lo llegas a ver? [el objetivo era la posibilidad de uso del operador derivada y la presencia de mecanismos de encapsulación o coordinación ] 3.1.2.- La unidad didáctica y el libro de texto Los dos profesores habían elaborado un documento escrito que pensaban utilizar para el desarrollo de la unidad didáctica, nos facilitaron copia de dicho documento en el momento de realizar la entrevista de planificación. Para el caso de Juan, la unidad didáctica estaba detallada con las tareas que pensaba plantear al comienzo y en él se distinguían claramente los conceptos de la noción de derivada que pensaba abordar: la derivada de una función en un punto, función derivada y el operador derivada. De acuerdo con este documento, tenía mucho más peso en la unidad didáctica el concepto de derivada de una función en un punto y la función derivada que el operador derivada. Este documento de Juan contenía comentarios sobre las tareas y los objetivos que tenía para el desarrollo del tema. El elemento básico de la planificación era la noción de derivada de una función en un punto, y a partir de él se llegaba a la función derivada y al cálculo de funciones derivadas. En este documento base para realizar la unidad didáctica, el profesor ya tenía presente el uso de programas de ordenador, en concreto, tenía planteado el uso de MAPLE, que luego no utilizará y sustituirá por Cabri-Géomètre II y Funciones para Windows, ya que los estudiantes estaban familiarizados con ellos. 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 116 María tenía preparado también un documento escrito sobre la unidad didáctica que pensada llevar a cabo. La unidad didáctica de María abordaba los conceptos de la noción de derivada: derivada de una función en un punto, función derivada, y operador derivada. A diferencia de Juan la parte más importante en la planificación de María era el operador derivada. En este caso el documento tenía como guía el contenido del libro de texto y venían indicadas las tareas del mismo que se irían realizando y en qué orden. En lo referente al material a utilizar además del libro de texto, María utilizaría una tabla con las reglas de derivación. A partir de la entrevista previa de planificación y de la unidad didáctica podíamos identificar los objetivos previstos por cada profesor y la organización del contenido previsto, de esta manera estos elementos de la planificación nos aportaron información. 3.2.- Gestión En la fase de gestión y desarrollo de la unidad didáctica, las fuentes de datos utilizadas fueron las grabaciones de las clases, las entrevistas de desarrollo (progreso) y los materiales del profesor. Los datos obtenidos fueron: transcripciones de las clases y de las entrevistas, y observaciones escritas realizadas por el investigador de las grabaciones y materiales recogidos. 3.2.1.- Las grabaciones de las clases Las clases de ambos profesores fueron grabadas en vídeo. Las grabaciones fueron realizadas con una cámara fija que seguía generalmente la actuación del profesor, ya que éste era nuestro sujeto de estudio. Los estudiantes sólo aparecían cuando el profesor interactúa con ellos o tenían el papel protagonista resolviendo tareas en la pizarra para todo el grupo. Las grabaciones fueron transcritas en su totalidad. Cuando realizamos las transcripciones incluimos notas escritas para facilitar el seguimiento del flujo de las clases. Con objeto de disponer de las 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 117 intervenciones del profesor de forma más “fidedigna”, le colocamos un micrófono inalámbrico que le permitía moverse con total libertad dentro del aula y podíamos recoger todas sus intervenciones. Este micrófono sólo recoge las intervenciones de los estudiantes cuando están en el campo de acción del profesor, generalmente interactuándo con él. La mayoría de las veces pudimos tener una segunda fuente de sonido, el micrófono que llevaba incorporado la cámara de vídeo, que nos permitía obtener información del ambiente general y de las intervenciones de algunos estudiantes. Para distinguir, en las transcripciones de las grabaciones de las clases, las intervenciones de los estudiantes, éstas se delimitaban entre corchetes [....]. En las transcripciones hacemos indicaciones/observaciones de lo que estaba ocurriendo y que aparecía implícito en las mismas, por ejemplo, si el profesor decía “cogemos esto” y estaba señalando una expresión en la pizarra, la expresión se pone entre los símbolos < >. En las transcripciones de las grabaciones numeramos las líneas para que las referencias a ellas sea más fácil. Se grabaron todas las clases de la unidad didáctica de Juan y María (17 y 12 sesiones de clase respectivamente). Como las grabaciones se llevaron a cabo en las sesiones ordinarias de clase, con objeto de familiarizar a los estudiantes con nuestra presencia, realizamos alguna grabación previa al comienzo de dicha unidad. Esta sesión previa nos permitió familiarizarnos con el lugar físico en el que realizaríamos las grabaciones y resolver algunos problemas de ubicación, como dónde colocar la cámara y el equipo de sonido para afectar lo mínimo el desarrollo de las clases. 3.2.2.- Las entrevistas de desarrollo de la unidad didáctica A lo largo del desarrollo de la unidad didáctica llevamos a cabo tres entrevistas con los dos profesores. En estas entrevistas indagábamos sobre cómo veían los profesores que iba desarrollándose la unidad didáctica planificada, 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 5De alguna forma el profesor “institucionaliza” sus objetivos, vistos desde nuestra perspectiva como investigadores éstos son potenciar determinada forma de conocer y modelar un mecanismo de construcción. 124 nos planteamos reducirlo bajo la perspectiva de identificar, objetivos del profesor, elementos matemáticos usados y modos de representación usados por el profesor. A continuación vamos a describir el primer nivel de análisis incluyendo algunos ejemplos de cómo lo realizamos. Los ejemplos los hemos tomado de la fase de gestión. Como unidad de análisis en este primer nivel utilizábamos segmentos. Los segmentos pueden ser de distinto tipo: - comentarios realizados por el profesor sobre la tarea prevista, - tiempo dedicado por el profesor a la realización para una tarea en la gestión, - segmentos de transición, segmentos de institucionalización. Como ejemplo de segmento de transición, consideramos el siguiente: el profesor después de resolver dos tareas (las tareas 1 y 2 de la unidad didáctica en las clases nº 1 y nº 2) comienza la clase nº 3 con un breve resumen de lo visto hasta ese momento, el profesor recuerda los contenidos más importantes y relevantes de lo sucedido hasta ese momento5: “Antes de que hagáis nada, por favor, os recuerdo lo que habíamos visto ya hasta ahora, ya para ir ordenando un poquito las ideas.” Identificados los segmentos en el primer análisis de tipo descriptivo, llegamos a reducir el volumen de datos disponibles. El análisis de cada segmento se estructuraba de la siguiente manera: - Identificación de los objetivos del profesor, siempre que era posible establecíamos el objetivo “declarado o profesado” por el profesor, en otros casos teníamos que considerar el objetivo “atribuible” entre los 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 6Schoenfeld (1998 a) distingue entre objetivos del profesor “profesados” refiriéndose a aquellos objetivos que son manifestados por el profesor, y objetivos “atribuidos” refiriéndose a objetivos que los investigadores atribuimos al profesor a partir de la conducta observada; la atribución debe se cuidadosa y la triangulación es importante en esa atribución. 125 considerados o emergentes (Schoenfeld, 1998 a6). - Análisis de las tareas teniendo en cuenta el lugar en la secuencia de planificación y la demanda al resolutor. - Identificación de los elementos matemáticos usados por el profesor y las relaciones que se establecen entre ellos, estas relaciones pueden ser unidireccionales o bidireccionales. - Identificación de los modos de representación usados por el profesor y las relaciones entre ellos. - Por último, se hacían inferencias de aquellos eventos que parecían ser representativos de la práctica del profesor. Por ejemplo, un aspecto que detectamos relacionado con los modos de representación era la tensión existente en el profesor respecto a los modos en cuanto a su “jerarquía” para la justificación/validación de resultados matemáticos. Este proceso de análisis nos permitía elaborar un informe dividido en dos partes, uno para la planificación y otro para la gestión en el aula, en el que indicábamos: - Contexto cronológico: en qué clase tenía lugar, y dentro de la clase en que momento de la misma. - Mediante los protocolos (generalmente intervenciones del profesor) las evidencias empíricas significativas de los aspectos anteriores (objetivo, modos de representación, elementos matemáticos y relaciones, observaciones). 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 7AP 1: La tasa de variación media de una función en un intervalo [a,b] es (f(b)-f(a))/(b-a). GP 2: trazar la recta secante a una curva en dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b) y su pendiente es (f(b)-f(a))/(b-a). 8A1: El significado de la derivada de una función en un punto ligado a dos aspectos: la tangente a una curva en un punto y la medida de la variación de una función en un punto. 126 Planificación: Entrevista Transcripciones de la entrevista Unidad didáctica Libro de texto Gestión Grabaciones de clases en vídeo, Entrevistas de desarrollo, materiales Transcripciones de los vídeos Transcripciones de las entrevistas Observaciones PRIMER NIVEL DE ANÁLISIS (DESCRIPTIVO) Unidad de análisis: segmento Fuente de datos Datos Gestión: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Planificación: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Gestión: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Planificación: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Gestión: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Planificación: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Identificación de Cuadro 3.4 Esquema metodológico: primer nivel de análisis, reducción de datos - Indicación de la numeración de las líneas de los protocolos anteriores en las transcripciones. En cuadro 3.4 se describe este primer análisis de los datos y el informe producido: En este informe, tanto en la planificación como en la gestión, indicábamos los elementos matemáticos, codificados para hacerlos más manejables, AP 17, GP 2, etc. y las relaciones se representan con flechas indicando el sentido de la relación que el profesor establece. Los objetivos del profesor aparecen también codificados, A18.... A continuación presentamos un ejemplo de un segmento de la gestión, el análisis realizado, y cómo se elaboraba el informe de dicho análisis: La tarea es la primera de la clase nº 1 (27 de abril de 2000). El enunciado de la tarea es: 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 127 “La siguiente gráfica representa un viaje, eje X: tiempo (minutos), eje Y: distancia (kilómetros) 1) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido a las 2 horas? 2) ¿Cuánto ha recorrido a las 2 horas y media? 3) ¿Qué velocidad ha llevado en el primer tramo? 4) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre las 2 horas y media y las 3? 5) ¿Qué velocidad ha llevado? 6) Y lo mismo para el último tramo ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la tercera hora y la quinta? ¿Qué velocidad ha llevado? A partir de la grabación de las clases y las transcripciones de la grabación (en la que numerábamos las líneas), se recogen en el informe los protocolos más significativos junto con observaciones nuestras. Usamos los protocolos para identificar: cómo usa el profesor los modos de representación y los elementos matemáticos y los objetivos del profesor. Powell et al. (2003) señalan respecto al análisis de grabaciones en vídeo que éstas pueden producir el fenómeno de “saturación” de datos, y por tanto es necesario reducir el volumen de información. Este es un objetivo de nuestro 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 128 primer nivel de análisis. En este primer análisis seleccionamos los datos más relevantes para nuestro interés (Clement, 2000 citado en Powell et al. 2003), teniendo presente como indican Powell et al. (2003) que cuando se usan vídeos existe la posibilidad de revisar las interpretaciones que se hacen por los investigadores de lo que ha sucedido. La información la organizamos en cuadros como se observa en la siguiente página. Este análisis permitió reducir el volumen de los datos disponibles y por tanto hacer más manejable la información a la hora de pasar al siguiente nivel de análisis. En este momento ya disponemos de los objetivos del profesor, elementos matemáticos, modos de representación y relaciones que se establecen entre ellos. 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 130 4.2Segundo nivel de análisis: inferencias. Modelación de la descomposición genética de la práctica del profesor A partir del informe producido en el primer nivel y junto con las grabaciones de las clases (con sus transcripciones), pasamos a un segundo nivel de análisis. Hay que destacar la distinción entre lo que se observa en las entrevistas y grabaciones y las inferencias que se extraen de las observaciones, dichas inferencias dependen de los modelos teóricos adoptados y es necesario dejar tan explícito como sea posible dichos modelos (Goldin, 1997). Como hemos señalado anteriormente hemos utilizado ideas del modelo de comprensión APOS (mecanismos de construcción de conocimiento, formas de conocer, descomposición genética). Nuestro objetivo del análisis era describir la modelación de la descomposición genética del concepto derivada (en términos de mecanismos de construcción de las formas de conocer y su secuenciarelaciones) realizada por el profesor. En este nivel de análisis mirábamos los intentos del profesor en el aula de modelar algún mecanismo de construcción de conocimiento (interiorización, encapsulación... ). Este análisis lo realizamos en dos fases que se recogen en el siguiente cuadro (cuadro 3.5): 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 131 Grabaciones de las clases Gestión: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Planificación: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS (INFERENCIAL) Fase 1: Unidad de análisis: segmento Segmento S i (modelación de mecanismo) i=1… SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS (INFERENCIAL) Fase 2: Unidad de análisis: conjunto de segmentos Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Modelación de la descomposición genética Grabaciones de las clases Gestión: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Planificación: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Grabaciones de las clases Gestión: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Gestión: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Planificación: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones Planificación: Para cada unidad de análisis: *Elementos matemáticos *Modos de representación *Objetivos del profesor *Observaciones SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS (INFERENCIAL) Fase 1: Unidad de análisis: segmento Segmento S i (modelación de mecanismo) i=1… SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS (INFERENCIAL) Fase 2: Unidad de análisis: conjunto de segmentos Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS (INFERENCIAL) Fase 1: Unidad de análisis: segmento Segmento S i (modelación de mecanismo) i=1… SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS (INFERENCIAL) Fase 2: Unidad de análisis: conjunto de segmentos Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS (INFERENCIAL) Fase 2: Unidad de análisis: conjunto de segmentos Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Segmento (modelación de mecanismo) Modelación de la descomposición genética Cuadro 3.5 Esquema metodológico: análisis inferencial, fases 1 y 2 FASE 1: en esta fase identificábamos los segmentos de las grabaciones caracterizados por la modelación de un mecanismo de construcción por el profesor. El análisis lo realizamos de la siguiente manera. A través de los vídeos identificabamos “segmentos” (segmentos de enseñanza), es decir, partes de la lección que se caracterizan en base a los objetivos de aprendizaje pretendidos por el profesor. Nosotros consideramos, siguiendo a Escudero (2003), que el objetivo de aprendizaje del profesor caracteriza el segmento, y ese objetivo de aprendizaje para nosotros es potenciar una determinada forma de conocer un concepto, modelando un mecanismo de construcción. Por tanto, desde nuestro punto de vista lo que caracteriza un segmento es la modelación por el profesor de un mecanismo de construcción. Esta identificación-inferencia del mecanismo de construcción de conocimiento modelado por el profesor es realizada por nosotros ya que pretendemos caracterizar la práctica del profesor, pero desde nuestra perspectiva 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 9La idea es similar a “videoportfolio” de Maher y Martino (1996, citado en Powell et al., (2003)) “una colección de diferentes tipos de datos centrados en un episodio o una serie de episodios de interés” (p. 410). Un episodio para estos investigadores es un periodo de tiempo con un suceso que debe explicarse desde el enfoque de las preguntas de investigación planteadas. 10Cumpliendo el requisito de “triangulación” en el sentido dado por Schoenfeld (2000), para el que hay que disponer de datos de diferentes fuentes, entre ellas, vídeos de clase, entrevistas con el profesor, planes para la lección, notas de clase... . 132 como investigadores y no desde la perspectiva del profesor (Tzur et al., 2001). Los profesores en ningún momento hacían referencia alguna a esta modelación. El proceso de inferencia, como hemos señalado en la introducción, se apoya en el modelo teórico APOS, tanto en las descripciones generales de sus componentes como en las concretas para el tema de la derivada que aparecen en diversas publicaciones y que hemos reunido en la caracterización de la “modelación de la descomposición genética de la noción de derivada” realizada en el Capítulo II. Cada segmento de enseñanza identificado fue consensuado por al menos dos investigadores. De esta forma se realiza una “triangulación” en el sentido del grupo RUMEC (Asiala et al., 1996). Hay que señalar que a veces es necesario considerar juntos varias tareas o modelaciones. Por ejemplo, en alguna situación de los segmentos se identifican dos mecanismos de construcción como cuando el profesor modelaba la interiorización de la función derivada y la desencapsulación de la derivada de una función en un punto. Una vez identificados los segmentos confeccionamos una lista cronológica de segmentos. Para analizar los segmentos utilizabamos las transcripciones de las clases, los informes elaborados en el análisis descriptivo (primer nivel) teniendo como apoyo las transcripciones de las entrevistas y la unidad didáctica. Con todos estos datos formabamos lo que denominamos una “viñeta9” que está elaborada con la información reunida desde las distintas fuentes10. Para cada viñeta indicamos el contexto en el que sucede, qué tarea/tareas 3.- Diseño de la investigación José María Gavilán Izquierdo 11En Cabri II, un objeto (punto, recta, etc) de una figura puede ser desplazado con el ratón conservándose las relaciones geométricas utilizadas en la construcción de la figura, ese desplazamiento se conoce como “arrastre”. 133 se resuelven en el mismo, la organización del contenido (entrevista de planificación, unidad didáctica), lo que el profesor hace y dice durante la gestión y la justificación de la gestión realizada. Además en cada viñeta indicamos la inferencia realizada sobre la modelación del mecanismo de construcción que realiza el profesor mediante los elementos matemáticos y sistemas de representación (instrumentos de la práctica). Un ejemplo de viñeta es el siguiente: VIÑETA: La situación descrita en esta viñeta tiene lugar en la tercera clase de la unidad didáctica realizada por Juan. La tarea planteada por Juan es “calcular la derivada de la función en un punto, x=1 para f(x)=x2”. En la entrevista de planificación en relación a este tipo de tareas y al cálculo de rectas secantes, Juan indicaba: “Con aproximaciones, cogemos la secante y ahora vamos obteniendo un poquito más, vamos obteniendo cada vez más ... una cosa así, queremos calcular la derivada en el punto, pendiente, pendiente hasta que nos vaya saliendo la tangente. Una cosa así, queremos calcular la derivada en el punto, pendiente, pendiente hasta que nos vaya saliendo la tangente. Sí, también algunas veces lo hacemos, vamos, esto es lo que te digo que le hago en el programita. Claro van así, vamos tendiendo hacia el punto y lo que vamos cogiendo realmente una secante, cogiéndola, echándola para acá, hasta..., y van calculando las pendientes en cada momento, entonces ahora tenemos la tangente.” Juan confecciona una tabla de valores de las pendientes de las rectas secantes que se calculan en la figura de forma automática. Juan para calcular la derivada de la función f(x)=x2 en el punto x=1 hace lo siguiente: pone a disposición de los estudiantes una figura de Cabri II (realizada por él) para que puedan manipularla (usando el “arrastre11” de puntos). La figura es: 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 234 Ia, Ig Interiorización Derivada de una función en un punto Operador derivada IR Interiorización Invag Inversión Operador derivada IR Interiorización Invag Inversión IR Interiorización Invag Inversión Acciones AgR AaL Aag AaR Acciones AgR AaL Aag AaR Interiorización Función derivada AgR=Acción gráfica regla AaL=Acción analitica límite AaR=Acción analítica regla Aag=Acción analítico-grafico Ia=Interiorización analítica Ig=Interiorización gráfica IR=Interiorización regla Invag=Inversión analítico-gráfico AgR=Acción gráfica regla AaL=Acción analitica límite AaR=Acción analítica regla Aag=Acción analítico-grafico Ia=Interiorización analítica Ig=Interiorización gráfica IR=Interiorización regla Invag=Inversión analítico-gráfico Relación entre Mecanismos de construcción de conceptos diferentes Relación entre Mecanismos de construcción Cuadro 4.6 Modelación de mecanismos de construcción en la práctica de María 4.- EL CASO DE MARÍA: LA MODELACIÓN DE LA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA DE LA NOCIÓN DE DERIVADA EN LA PRÁCTICA DE MARÍA En este apartado vamos a describir los resultados del análisis de la práctica de María. La modelación realizada por María de la descomposición genética de la noción derivada viene dada en términos de mecanismos de construcción y su secuencia-relaciones. María modela mecanismos de construcción para la derivada de una función en un punto, la función derivada y el operador derivada. Algunos de estos conceptos aparecen relacionados, al menos una parte de ellos. Las relaciones se establecen entre la derivada de una función en un punto y función derivada (mediante reglas), mientras que el operador derivada no se relaciona con los otros dos conceptos. En el cuadro siguiente se indican los mecanismos modelados por María para los diferentes conceptos de la noción de derivada y sus relaciones. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 235 En el cuadro anterior de la modelación de la descomposición genética de la noción de derivada, además de los mecanismos de construcción hemos incluido las modelaciones que hace María de la derivada de una función en un punto como acciones (señaladas con una elipse). Lo hemos hecho así porque en el caso de María hemos identificado algunas modelaciones de acciones que no se interiorizan. Las modelaciones de acciones se identifican al principio de la unidad didáctica, lo que es acorde con el marco APOS, en el que las acciones marcan el principio para la construcción de un concepto (Dubinsky, 1996; Asiala et al., 1996). Esta modelación de acciones desvinculadas del mecanismo de interiorización pone de manifiesto el interés de María en la formulación de “reglas” vinculadas a los conceptos. María modela la interiorización y algunas acciones (no interiorizadas) para la derivada de una función en un punto. Los significados interiorizados y las aciones no interiorizadas no guardan relación alguna, hay una separación entre ambas, en este sentido entendemos que no hay progresión en las formas de conocer potenciadas para el concepto. Los significados se interiorizan mediante el paso al límite. Lo esencial en la práctica de María es el disponer de un procedimiento de cálculo siempre que sea posible, y si es necesario “pegar” un significado de naturaleza geométrica. No se hace uso de los significados de la derivada de una función en un punto. María no modela otros mecanismos para la derivada de una función en un punto. María modela para la función derivada el mecanismo de interiorización a partir de las acciones de la derivada de una función en un punto dadas por una regla (regla de los cuatro pasos). La función derivada se potencia mediante la generalización a una variable x de la regla dada para un punto. De esta forma se pone de manifiesto el interés de María en vincular “reglas” a los diferentes conceptos. Para el operador derivada María modela los mecanismos de interiorización e inversión. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 1Los cuatro pasos para calcular f ´(a) son: 1) calcular f(a+h) y f(a), 2) calcular f(a+h)-f(a), 3) calcular (f(a+h)-f(a))/h, y 4) calcular lim(h tiende a 0)(f(a+h)-f(a))/h. 236 De esta manera la construcción de la derivada de una función en un punto que potencia la práctica de María es como proceso y como acción, para la función derivada y para el operador derivada potencia la construcción como proceso. Una característica de la práctica de María es la no integración entre lo analítico y lo gráfico en las modelaciones de mecanismos y acciones, si aparecen ambas representaciones predomina la analítica y el significado geométrico es meramente “testimonial”. Como hemos indicado, María modela diferentes acciones para la derivada de una función en un punto. María modela el mecanismo de interiorización gráfica (Ig: la recta tangente a la curva en un punto como límite de rectas secantes) a partir de las acciones analíticas-gráficas y el mecanismo de interiorización analítica (Ia: la tasa de variación instantánea en un punto como límite de las tasas de variación media) a partir de las acciones analíticas. Las acciones modeladas y no interiorizadas vienen dadas por reglas para obtener el número f ´(a), AaL (regla de los cuatro pasos) y AgR (la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente). La relación entre ambas desempeña un papel mínimo en la práctica de María. Para la función derivada María generaliza la derivada de una función en un punto dada por un límite como regla . Ésta fa fa h fa h h ′= + − → () lim ()() 0 es la conexión entre la derivada de una función en un punto y la función derivada. De esta forma la modelación del mecanismo de interiorización permite a María introducir la función derivada como generalización de una regla. La regla introducida calcula la derivada de una función en un punto como límite en 4 pasos1. La generalización para cualquier x permite obtener una regla general. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 237 Dicha regla para un x genérico potencia la función derivada como proceso. Por tanto, María utiliza la regla de la derivada de una función en un punto para producir valores concretos de la función derivada (generalización). Esta construcción potenciada por la práctica de María no se relaciona con el operador derivada. Esta forma de proceder enfatizando la regla de los cuatro pasos hace que los significados geométricos que se pueden vincular no pasen de “testimoniales”. Para el operador derivada, María modela el mecanismo de interiorización a partir de reglas de derivación. María proporciona las reglas de derivación de las funciones elementales y de las operaciones entre funciones (suma, resta, producto, cociente, composición y recíproca de una función). El sistema de representación usado es analítico. Una vez modelado el mecanismo de interiorización, María modela el mecanismo de inversión del operador derivada. El mecanismo de construcción de inversión de un proceso construye un nuevo proceso, en este caso se modela la inversión del operador derivada, lo que permite la consideración de la integración indefinida (anti-diferenciación) como un proceso sin necesidad de modelar las acciones y su mecanismo de interiorización. María modela este mecanismo de inversión del operador derivada colocando el énfasis en la “regla” de “reducir un grado el exponente”. Aparecen varios aspectos de la práctica de María que aportan información sobre la perspectiva de la práctica de María: i) María modela mecanismos que no se relacionan con otros mecanismos, ii) María modela acciones que no se interiorizan y no relacionadas con las acciones interiorizadas (procesos), y iii) papel poco relevante de los significados geométricos. En el siguiente cuadro (cuadro 4.7) se esquematiza para cada concepto las relaciones entre las formas de conocer potenciadas y las relaciones entre los distintos conceptos que conforman la noción de derivada. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 238 La derivada de una función en un punto Acción Proceso Acción (AaL) La anti-diferenciación Proceso La función derivada Proceso El operador derivada Acción Proceso El operador derivada Acción Proceso Cuadro 4.7 Relaciones entre conceptos y formas de conocerlos Consideramos que la práctica de María se caracteriza por el énfasis dado a las reglas y procedimientos para calcular, y la poca presencia de relaciones significativas (entre representaciones, formas de conocer y distintos conceptos). La falta de relaciones se observa, por ejemplo, en la construcción “separada”de f ´(a), f ´(x) y del operador derivada y en que la relación entre f ´(a) y f ´(x) es por generalización de una regla. Los significados interiorizados de f ´(a) no aparecen para apoyar la construcción de f ´(x). Esta manera de actuar parece apoyarse en las concepciones que mantiene María respecto a las matemáticas escolares y sobre el aprendizaje de nociones matemáticas. En el cuadro siguiente (cuadro 4.8) se esquematizan las formas de conocer potenciadas para cada concepto y las relaciones, junto con el uso de los sistemas de representación e ideas “visibles” en las que se apoya. Indicamos las viñetas que nos proporcionan las evidencias empíricas para nuestra inferencia. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 239 Lo analítico y lo gráfico por separado El proceso f ´(a) V1 V2 V3 V4 Lo analítico y lo gráfico por separado El proceso f ´(a) V1 V2 V3 V4 V7 V8 V9 El proceso “Operador derivada” Lo analítico a través de reglas “La integración” como proceso Lo analítico Generalización de una regla El proceso f ´(x) Lo analítico Lo analítico y lo gráfico por separado La acción f ´(a) V5 V6 El paso al límite El límite como regla Noción de derivada Cuadro 4.8 Organización de las viñetas: formas de conocer, modos de representación e ideas En el siguiente punto detallamos las evidencias empíricas que permiten caracterizar la práctica de María. Estas evidencias empíricas tendrán la forma de viñetas que nos permitirán ejemplificar aspectos de la práctica de María desde los que inferir lo que fundamenta su práctica. El hecho de mirar la práctica de María a través de la “modelación que realiza de la descomposición genética de la noción” permite ordenar las viñetas siguiendo el orden de los mecanismos que modela. María no sigue estrictamente el orden de modelación que se prescribe en la caracterización de la idea de comprensión en el marco APOS, ya que modela acciones no interiorizadas, y salvo el mecanismo de inversión sólo modela interiorizaciones. Indicamos a continuación los días y las viñetas de la gestión de María. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 240 Días 123456789101112 Viñetas V1 V2 V4 V8... ... ...... V9 V3 V6 V5 V7... ... En cada viñeta se indican: - la tarea y/o el grupo de tareas con las que se desarrolla el segmento de enseñanza presentado, - organización del contenido (desde la entrevista de planificación y de la unidad didáctica), - discurso en el aula (lo que el profesor dice y hace en el aula), y - cómo justifica la gestión realizada. En cada viñeta indicaremos la inferencia realizada sobre la modelación del mecanismo de construcción que realiza el profesor mediante los elementos matemáticos y sistemas de representación (instrumentos de la práctica). Esta sección la hemos organizado en tres apartados, i) derivada de una función en un punto, ii) La función derivada como proceso, y iii) del operador derivada a la integración. 4.1.-Derivada de una función en un punto En este primer apartado describimos como María modela la descomposición genética relativa a la derivada de una función en un punto. Se organiza en dos partes. La primera parte se centra en las modelaciones que potencian la derivada de una función en un punto como proceso a través del paso al límite de las secantes y de las tasas de variación, pero por separado. La segunda parte trata de las modelaciones de acciones de la derivada de una función en un punto y que no llevan a otra forma de conocer. María modela por separado el mecanismo de interiorización de una función en un punto y la 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 241 derivada de una función en un punto como acción. Por tanto la construcción de la derivada de una función en un punto no es progresiva, sino que hay una ruptura entre las dos formas de conocer potenciadas (acción y proceso). María parte de modelar la derivada de una función en un punto mediante una regla dada por un límite (regla de los cuatro pasos) para llegar a modelar el mecanismo de interiorización para la función derivada mediante una regla. 4.1.1.- La derivada de una función en un punto como proceso En este apartado incluimos las modelaciones que realiza María de los mecanismos de interiorización de la derivada de una función en un punto. En la práctica María modela diferentes acciones, de algunas acciones modela su interiorización y de otras acciones no. La modelación de las acciones las incluimos separadas de la modelación del mecanismo de interiorización de las mismas por la importancia dada por María a esta forma de conocer. María modela la interiorización de las acciones a través del paso al límite. Los significados gráficos y analíticos aparecen separados en las modelaciones de la interiorización. Únicamente se integran lo gráfico y lo analítico en la modelación de acciones. Estas modelaciones se identifican en la primera parte del desarrollo de la unidad didáctica. V1: La introducción de la tasa de variación media como proceso en un contexto analítico La situación descrita en esta viñeta tiene lugar en la primera clase de la unidad didáctica. En esta viñeta María pretende introducir la derivada de una función en un punto usando un contexto de velocidad. Las funciones vienen dadas por su expresión algebraica. María representa las funciones y pide que se calculen velocidades medias en determinados trayectos y generaliza a la noción 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 242 de tasa de variación media en un intervalo. En la entrevista de planificación María indica sobre esta tarea: “La tasa de variación media, se la pretendo introducir pues a través de darle dos funciones con sus gráficas que ellos además las dibujan, es decir, yo les doy las funciones y ellos las dibujan y les planteo el problema sobre que si fuesen por ejemplo la trayectoria de 2 móviles... les planteo que calculen la velocidad media en un intervalo tanto para un caso como para otro, no? y una vez que me hayan calculado las velocidades medias en los distintos intervalos, no? bueno pues les hago ver que como uno lleva una velocidad media, es decir, cómo se calculan las velocidades medias”. Enunciado de la tarea: Consideremos móviles cuyos movimientos siguen las ecuaciones y=x2 y=raíz(x), tenéis que dibujar sus “trayectorias” [se refiere a la relación tiempo-espacio], y calcular sus velocidades medias en las cuatro primeras horas. María representa gráficamente las funciones y realiza los cálculos que se piden en la tarea. El diálogo se centra inicialmente en el intento de María de que los alumnos calculen la velocidad media para la función f(x)=x2. P: La velocidad media, es decir, tendrás que calcular el espacio que recorre, éste es el espacio y éste es1 el tiempo <Eje x: tiempo, Eje y: espacio>, tendrás que ver el espacio que ha recorrido en las cuatro2 primeras horas partido por el tiempo que ha tardado. Venga las velocidades medias.3 E: Pero ¿cómo lo calculas? ¿cómo se calcula?4 P: ¿tú cómo calculas la velocidad media? El espacio que ha recorrido partido por el tiempo que has5 tardado.6 A lo mejor no está claro que en este ejercicio la x corresponde al tiempo ¿eh? hay quien no lo tiene claro7 ¿no? pues venga la x corresponde al tiempo y la y ¿corresponde? Al espacio que recorre, entonces cómo8 se calcula una velocidad. O dicho de otra manera el espacio que recorre en esas cuatro horas partido9 ¿por?10 E: Por el tiempo. 11 P: El tiempo que tarda en recorrer ese espacio. Pues venga, qué espacio va a recorrer en esas cuatro horas,12 venga hacerlo para cada una de las ecuaciones de los movimientos.Podemos medirlo en kilómetros por13 hora ¿no? 14 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 243 E: ¿El espacio?15 P: El espacio en kilómetros y el tiempo en horas porque como te lo he dicho ya en horas el tiempo. 16 Luego a las cuatro horas ha recorrido 16 kilómetros, por tanto la velocidad media entre 0 y 4 ¿no? en el17 intervalo [0, 4] ha sido, pues a 16 que es lo que ha recorrido .18 E: 419 P: ¿cómo? 20 E: menos 4.21 P: Le quitamos 0 que ha recorrido en el minuto 0, 4 menos 0, como tú decías muy bien, a ver, espacio22 final menos espacio inicial ¿no era eso? Partido por tiempo final menos tiempo inicial. En definitiva ¿qué23 os ha dado?24 E: 4.25 P: 4 ¿qué? 26 E: kilómetros por hora.27 Posteriormente María centra la atención de sus alumnos en el cálculo de la velocidad media en el intervalo [0, 4] en el caso del segundo móvil. P: En la otra, cuando la x vale 4 la y vale 2 ¿no? entonces la velocidad aquí entre 0 y 4 ha sido ha sido28 E: 2 partido de 4.29 P: 0.5 ¿no? kilómetros-hora. Bien, hacerlo ahora entre, entre la cuarta y la novena hora. <Deja un30 tiempo para hacerlo>.31 El foco sigue siendo el cálculo de la velocidad media en otro intervalo. El espacio final menos el espacio inicial partido del tiempo final menos el tiempo inicial ¿no? ¿no hemos32 hecho eso? Y aquí igual ¿no? (2-0)/(4-0) ¿vale? Y quiero que hagáis lo mismo, que ya lo habréis33 hecho, ¿no? entre la cuarta y la novena.34 Nosotros vamos a hablar solamente de intervalos y cómo varía la función, en vez de llamarle velocidad35 media le vamos a poner ahora la tasa de variación media. <Calculan la tasa de variación media36 en el intervalo [0,4]]>.37 Bien, en general, en general la tasa de variación media en un intervalo [a, b] ¿quién sería?38 E: f(b)-f(a). 39 P: Pues copiarlo eso, (f(b)-f(a))/(b-a).40 María con esta última intervención pretende generalizar los cálculos realizados en el caso del intervalo [a, b] y por tanto simbolizar la idea de tasa de variación media 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 250 Dijimos, hallar la velocidad media entre los puntos a y b, en un intervalo. Hallar la velocidad media. La3 velocidad media entre a y b es igual, pues a f(b) - f(a)/ b - a . Que salían tantos kilómetros. ¿Eso qué4 significaba? Pues que el móvil al hacer esta trayectoria ha llevado de velocidad media, pues, en el primer5 problema nos salían 13 kilómetros ¿no? 13 kilómetros por hora vamos a suponer. ¿Eso qué significa?6 Que cada hora recorre 13 kilómetros.7 Pero eso, no quiere decir, a lo mejor, que la primera hora haya tenido que recorrer 13km, la segunda otros8 13, la tercera otros13 y la cuarta otros 13 ¿no? A lo mejor, ha recorrido en una hora, ha recorrido 26 km9 y la 2ª hora ha recorrido ninguno, y no quiere decir que todas las horas ha estado recorriendo 13 km.10 El móvil al ir desde el punto a hasta el punto b, de velocidad media, la velocidad media ha sido ésta. El11 problema que se plantea ahora es ¿qué velocidad es la que llevaba el móvil en un instante concreto? en12 el punto a, concretamente. Lo que interesa ahora, el estudio que interesa ahora es ¿qué velocidad lleva13 un móvil en un instante, no en un intervalo, sino en un momento concreto. ¿vale? Bien ¿cómo se hace14 eso? 15 María utiliza una gráfica genérica para modelizar el paso al límite haciendo aproximarse un extremo del intervalo al otro. María usa el discurso hablado con el apoyo de la gráfica genérica para “mostrar” cómo el paso al límite de la expresión (f(b)-f(a))/(b-a) cuando b se aproxima a a se llama “velocidad instantánea”. Este punto b lo hago tender, lo hago acercarse al punto a, es decir, el intervalo cada vez lo hago más16 chico, en vez de cogerlo aquí, lo cojo aquí y ahora tengo este intervalo, ¡eh! esta recta secante ¿qué17 ocurre? Cuando en punto, en el límite, acordaros lo que era el concepto de límite, me aproximo tanto18 como yo quiera. El límite ¡eh! Cuando este intervalo se haga 0, cuando esto sea 0, ¿qué ocurre? Que el19 punto b estará sobre el punto a, luego si yo hago el límite de esta expresión, la velocidad media entre a20 y b se me convertirá en la velocidad instantánea en el punto a. ¿sí o no? Es decir, si yo hallo el límite21 cuando "b" tiende a "a", cuando la "b" tiende a "a", si yo hallo el límite de f(b) - f(a)/b -a ¿qué ocurrirá?22 Que será la velocidad que lleva en el punto a, será la velocidad instantánea, vamos a ponerle una i, en23 el punto a.24 Luego vamos a estudiar las velocidades ahora, instantáneas, mediante un límite.25 Entonces, vamos a estudiar este límite, este límite lo vamos a estudiar pero, no ya teniendo en cuenta que26 estamos viendo velocidades, sino en general. Este límite es el límite de la tasa de variación media. ¿sí o27 no? Límite de la tasa de variación media.28 El límite de la tasa de variación media entre a y b cuando la "b" tiende a "a", o lo que es lo mismo, el29 límite cuando la "b" tiende a "a" de f(b) - f(a)/ b - a ¿eh? le vamos a llamar derivada, derivada de la30 función f en el punto a.31 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 3Cálculo de la tasa de variación media. 251 Aunque hay una gráfica genérica sobre la que María apoya su discurso, los significados que usa son siempre analíticos (el cociente incremental). En ningún momento usa la idea de recta secante que tiende a la recta tangente para apoyar su discurso. Debido a esta característica del discurso de María decimos que María intenta que sus alumnos construyan el significado de la tasa de variación instantánea como paso al límite de la tasa de variación media sólo en su significado analítico. Por tanto queda implícito el significado geométrico introducido con anterioridad. En la entrevista de desarrollo María dice: “Esto es novedoso, la aproximación, ya que la tasa de variación media es un cálculo” La modelación por parte de María del mecanismo de interiorización se lleva a cabo cuando considera los intervalos que aparecen cada vez “más pequeños”, modelando el paso al límite. Este paso al límite no se realiza de ninguna forma explícita numérica (no se llevan a cabo cálculos de ningún tipo). En concreto, en las líneas 3-5 María explicita el significado de la tasa de variación media a partir del cual organizará su discurso para modelar el paso al límite. En la línea 17, menciona la recta secante, pero abandona el intento de seguir por esa línea. De las líneas 17-25, inferimos que María modela el paso al límite de acuerdo con la descripción dada por Asiala et al. (1997): 2b. Analítico: Interiorización de las acciones del punto 1b3 cuando los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, es decir, la amplitud del intervalo tiempo se acerca cada vez más a cero. ” (p. 407) 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 252 Tasa de variación media en un intervalo [a, b] viene dada por el cociente (f(b)- f(a))/(b-a) La derivada de una función f en el punto x=a viene dada por el límite de las tasas de variación media en los intervalos [a, a+h] cuando h tiende a 0. Tasa de variación media en un intervalo [a, b] viene dada por el cociente (f(b)- f(a))/(b-a) La derivada de una función f en el punto x=a viene dada por el límite de las tasas de variación media en los intervalos [a, a+h] cuando h tiende a 0. Lin. 17-25 Analítico Analítico En las entrevistas, María plantea utilizar la idea de límite mediante la idea de acercar los puntos entre los que se calcula la velocidad (“acercarse sucesivamente”), creemos que se refiere a la idea de límite con infinitos cálculos (pero que no se realizan) y según Cottrill et al. (1996) al tratar el tema del límite, cuando es necesario realizar infinitos cálculos para obtenerlo, sólo puede ser comprendido a través de una forma de conocer proceso. Por tanto es posible pensar que María está intentando hacer explícito ese paso al límite, haciendolo “visible” en su discurso y con el apoyo de la gráfica genérica para facilitar el que sus alumnos construyan los significados de la tasa de variación instantánea como proceso (f ´ (a)). La descripción de esta viñeta mediante los instrumentos de la práctica es la siguiente: V4: Modelación del paso al límite del cociente incremental en contexto gráfico (de la secante a la tangente) La situación descrita en esta viñeta ocurre en la tercera clase. En esta viñeta María va a obtener la recta tangente a una curva en un punto como límite de rectas secantes a través del paso al límite. Enunciado de la tarea. Una vez que se ha introducido la tasa de variación media, su interpretación geométrica y la tasa de variación instantánea, María pretende introducir la interpretación geométrica de ésta última. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Para resolver la tarea María se apoya inicialmente en la relación entre la 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 253 tasa de variación media y la pendiente de la recta secante. El dialogo en el aula: P: La interpretación geométrica de la tasa de variación media, ¿no?1 E:Cuando b tiende a a (b -->a).2 P: Cuando b -->a (b tiende a a). Entonces cuando b-->a , ¿qué le pasa a la recta, a la secante?3 E: Que es la tangente a la curva en el punto.4 P: A ver, dílo fuerte ,hijo.5 E: La tangente a la curva en el punto a. 6 P: ¿Y por qué has llegado tú a esa conclusión?7 E: Como es el límite, entonces, los puntos es como si estuvieran en uno; entonces la recta que pasa por8 la, por la curva nos da únicamente ese punto. <Los estudiantes no entienden la explicación y9 pasa a explicarlo Maria>10 P:A ver, ¿qué era, qué era la tasa de variación media, la interpretación geométrica? La recta que unía los11 puntos a y b; la pendiente de esa recta ¿no? ¿os acordáis de aquello de ayer? Si el punto b tiende a12 acercarse a a, esa recta, ¿qué terminará siendo?. La recta que pasa por quién, por el punto a, porque13 tiende a confundirse con el a; el b y el a, tienden a ser el mismo punto, ¿no?; luego, será la recta que pasa14 por el punto a; y entonces, la derivada, que es el límite se, ese cuando el límite, cuando la b-->a; la15 derivada, ¿qué será?, la pendiente de esa recta, ¿de qué recta? de la tangente a la curva en ese punto. 16 Vamos a ver si haciendo el dibujo.17 Si, si yo tengo el punto a y el punto b, la pendiente de esa recta era18 E: La tasa de variación media.19 P: La tasa de variación media. Vamos a ver, si yo, si este punto va corriéndose para aquí hasta que llega20 aquí; esa recta, vamos a ir dibujándola, ¿cómo va a ir siendo?. Esa recta será, ésta, ésta, ¿qué , qué recta21 será cuándo este punto b coincida con el a?, ¿quién será, qué será, qué recta será esa? 22 E: La tangente.23 P: La tangente. Cuando este punto coincide con éste <los puntos a y b>, la recta ésta <una secante>24 que estamos dibujando será esta recta <la tangente>, la que pasa por este punto y, además, tangente25 a la curva en ese punto, esa será la recta. Entonces, y cuando la b coincide con la a, estamos en el límite,26 ¿no?, que es la derivada.27 En el límite, es la derivada, si esta era recta, la pendiente de la recta tangente, la recta secante que pasa28 por estos dos puntos, ¿quién será entonces el límite?, la pendiente de esta recta, de la recta tangente a la29 curva en este punto.30 En la entrevista de desarrollo, María indica la importancia de la interpretación geométrica: 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 254 “La interpretación geométrica de la derivada siempre tiene que ser nuestro punto de referencia, siempre, siempre, cuando hablemos de derivada que sea algo tangible, no sea algo que se pierda, que no sea un límite o una regla, tiene que ser algo que nos representa lo que estamos haciendo” María modela en su discurso, y apoyada en la representación gráfica, el paso al límite de las rectas secantes. Por lo que María dice en las líneas 12-17 y 20-30 y de acuerdo con las descripciones de Asiala et al. (1997), sobre las acciones y el mecanismo de interiorización de la derivada de una función en un punto: “1a. Gráfico: la acción de conectar dos puntos de una curva y formar la cuerda que es la parte de la recta secante a través de los dos puntos, junto con la acción de calcular la pendiente de la línea secante por los dos puntos. 1b. Analítico: la acción de calcular la media de la razón de cambio a través del cálculo del cociente incremental en el punto. 2a. Gráfico: Interiorización de las acciones del punto 1a a un proceso cuando los dos puntos de la gráfica de la función están “cada vez más próximos”.” (p. 407) Señalar que en las líneas 11-12 se consideran las dos acciones modeladas que aparecen descritas por Asiala et al. (1997), la tasa de variación media y la pendiente de la recta secante. Para la modelación del mecanismo de interiorización gráfica de la derivada de una función en un punto (la recta tangente a la curva en un punto como límite de rectas secantes) María usa los elementos matemáticos y modos de representación siguientes: 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 255 Secante a una curva por dos puntos (a, f(a))(b, f(b)) tiene de pendiente (f(b)-f(a))/(b-a) Tasa de variación media en un intervalo [a, b] viene dada por el cociente (f(b)- f(a))/(b-a) La recta tangente a una curva en el punto (a, f(a) es el límite de las rectas secantes a la curva en los puntos (a, f(a)), (a+h, f(a+h)) cuando h tiende a 0 (con el límite de las pendientes). La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto a Lin. 15-22 Lin. 11-12 Analítico Gráfico Gráfico Podemos hacer algunas reflexiones a partir de la consideración conjunta de las cuatro viñetas. Las dos viñetas primeras presentan las modelaciones del cálculo de la tasa de variación media en un intervalo y recta secante a la curva y cálculo de su pendiente. En la segunda viñeta en relación al uso de los sistemas de representación integra lo gráfico y lo analítico para la tasa de variación media como proceso. En las viñetas 3 y 4 María hace visible en su discurso el paso al límite (que no se aborda en forma numérica en ningún caso), de esta forma se modelan los mecanismos de interiorización de la derivada de una función en un punto (la tasa de variación instantánea en un punto como límite de las tasas de variación media y la recta tangente a la curva en un punto como límite de rectas secantes). Pero hay una separación entre lo gráfico y lo analítico. Respecto a las formas de conocer potenciadas un aspecto característico de la práctica de María es que modela la derivada de una función en un punto para potenciar su comprensión como proceso con dos significados separados: la variación instantánea en un punto y la recta tangente a la curva en un punto. No hay modelación de otros mecanismos de construcción, como encapsulación y desencapsulación, para la derivada de una función en un punto. Y la forma de conocer que se ha potenciado, derivada de una función en un punto f´(a) como proceso, no vuelve a aparecer en ningún momento del desarrollo de la unidad 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 256 Integrando lo geométrico y lo analítico Secante Tasa de variación media Significado Analítico de f´(a) Significado Analítico de f´(a) Integrar la idea de lo geométrico en lo analítico didáctica. De esta manera María apoya expresamente en su discurso todos sus intentos de que los alumnos logren llegar a conocer como proceso la noción f´(a) (derivada de una función en un punto). La secuencia en la que modela los diferentes “paso al límite” muestran que en primer lugar intenta que sus alumnos construyan el significado de f´(a) en un contexto analítico para con posterioridad comprobar el significado geométrico de la noción ya presentada. Gráficamente se describe del siguiente modo: Lo característico de la práctica de María es que aunque aparecen los significados analíticos y geométrico para f´(a), estos significados no son usados de la misma manera en el “proceso de construcción”. En este sentido aunque hay una declaración explícita de la importancia de los significados, la práctica desarrollada y la forma en que se ha organizado el contenido matemático para presentarlo a los estudiantes parece indicar que para María en el proceso de construcción del significado de f ´(a) prioriza lo analítico. 4.1.2.- La derivada de una función en un punto como acción: las reglas En este apartado se detallan las viñetas en las que se calcula tanto en contexto analítico o gráfico la derivada de una función en un punto aplicando un algoritmo. En este sentido el énfasis de María está en que los alumnos asocien el significado de f´(a) a una serie de cálculos y a producir un número como 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 257 respuesta. V5: Modelación de acciones, contexto analítico El segmento recogido en esta viñeta sucede en la segunda clase. María proporciona a los estudiantes una receta para calcular la derivada de una función en un punto, “la regla de los cuatro pasos”. Las dos tareas se resuelven aplicando la regla de los 4 pasos. En relación a esta viñeta, María indica en la entrevista de planificación: “Además yo voy a insistir mucho en este curso por ser la primera vez en que los niños ven las derivadas, la derivada no de funciones...la función derivada, sino en la derivada en un punto, en un punto. Ahí es donde quiero que apliquen la definición eh? a través de la regla de los 4 pasos, es decir, que f(x+h), f(x+h)-f(x) etc, entonces pero en un punto concreto.” Enunciado de la tarea: Hallar la derivada de y=x2 en el punto x=2. Halla la derivada de las siguientes funciones en x=1, utilizando la definición de derivada (tarea del libro de texto, página 282, tarea 7): a) f(x)=3x2-1 b) f(x)=(2x+1)2 c) f(x)=3/x d) f(x)=1/(x+2) La profesora hace lo siguiente: para resolver la tarea da un algoritmo que permite obtener la derivada de una función en un punto utilizando la definición de límite. Primero da el algoritmo y luego lo aplica a la tarea propuesta. El diálogo en el aula P: Tenemos que hallar esto, este límite <límite de cocientes incrementales>. 1 Bien, yo, para que no os perdáis os voy a dar 4 pasos a seguir, ¡eh! Para que en el cálculo no os perdáis.2 Como tengo que calcular este límite, y antes de este límite, tengo que calcular este fracción y antes de esta3 fracción tengo que calcular f(a + h) y f(a) ¿no? Vamos a hacerlo paso a paso ¿vale? 1ºvamos a calcular4 f( a + h), en este caso f( 2 + h ), 2ºvamos a calcular f ( 2 + h ) - f( 2 ) ¿no? 1º calculamos esto, después5 calculamos la resta, ¿después qué tenemos que calcular?6 E: la h.7 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 258 P: ¡ah! no, porque la h es un número que tiende a cero. Antes de calcular el límite, ¿qué tendremos que8 calcular? Todo esto, hacer el cociente este, ¿no? 3ºf (a + h ) - f ( 2 )/ h, en último lugar9 E: El límite.10 P: El límite, el límite cuando la h tiende a cero de f ( a + h )… 11 E: ¿La a no sería 2?12 P:Partido por h, que esto ya es la derivada. El límite, venga, paso a paso, ¿cuánto es? Siguiendo los 413 pasos, llegamos en el último a lo que es la derivada. ¿Cuánto es f(2 + h)?14 E: ( 2 + h )2.15 P: y=f(x) es x2, sí f(x) es x2, ahora en vez de tener x ¿qué tengo? 2+h, donde tengo que poner la x, pongo16 2+h. Luego sería (2+h)2.17 Ahora, a esto hay que restarle f(2), ¿de acuerdo?. Vamos a restárselo. A esto le tenemos que restar f(2),18 ¿qué quedaría? 19 E: h2.20 P:bueno, vamos a ponerlo todo, 4+h2+4h le restamos f(2), f(2) ¿cuánto es?, ¿qué me quedaría entonces?21 h2+4h.22 ¿el siguiente paso en qué consiste?. Esto, ¿qué hay que hacerle?23 E: Dividirlo entre h.24 P: Dividirlo entre h, pues venga. h2+4h se divide entre h, y ahí ¿ qué se puede hacer?25 E: Sacar factor común.26 P: Sacar factor común arriba y abajo y simplificar, h factor común de h+4/h, ¿qué quedaría? E: h+427 h+4. ¿Este límite cuánto da?28 E: 4.29 P: ¿Cuánto es la derivada en el punto 2? 4.30 <Se resuelve el apartado a> Cuando la "x" vale 1, lo primero es f(x+h), f(1+h) 31 E: hay que calcular primero f(-1), ¿no?32 P: cuando la x vale 1, entonces la primero es f (x+h), f (1+h),33 Eso es, sería 3 (1+h)2 Esto está mal, cuando tú sustituyes la x por (1+h), si lo sustituyes por h te queda34 esto, pero por (1+h).35 P: Tienes que poner cuánto es f(1+h). Entonces da 3(1+h)2-1, ¿no?36 E: ¿qué se puede simplificar?37 P:¿que si se puede simplificar?, claro.38 E: 3h2+6h, ¿lo puedo simplificar?39 P:claro, tienes que sacar factor común 3h.40 En las líneas 2-11 hay una modelación de la regla para calcular f´(a). Esta regla termina con el cálculo de un límite algebraico formalizado por María, se ajusta a la modelización de la forma de conocer acción. Dubinsky (1996) indica 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 259 Tasa de variación media en un intervalo [a, b] viene dada por el cociente (f(b)- f(a))/(b-a) La derivada de una función f en el punto x=a viene dada por el límite de las tasas de variación media en los intervalos [a, a+h] cuando h tiende a 0. Lin. 2-11 Analítico Analítico Regla que en una acción sólo se puede realizar la transformación cuando hay detalles precisos sobre qué pasos dar (los pasos precisos vienen dados por los 4 pasos que se detallan); en segundo lugar Breidenbach et al.(1992) señalan las diferencias existentes entre las dos formas de conocer, como acciones y como procesos, que podemos utilizar en esta viñeta para realizar la inferencia: “Tanto acciones como procesos transforman objetos. La principal diferencia (que nosotros vimos bastante explícitamente en las entrevistas) entre una acción y un proceso es la necesidad en la primera de una receta o fórmula explícita que describa la transformación. Es más, en una acción se tiende a pensar sobre la transformación en forma paso-a-paso con los pasos relacionados solamente por la receta.” (p. 278) Aquí la caracterización de Breidenbach et al. (1992) de disponer de la transformación paso-a-paso, está en los cuatro pasos de la regla para calcular la derivada de una función en un punto. De ahí que la práctica de María al proporcionar una “transformación” en forma paso-a-paso permite suponer que está modelando “acciones”. Para la modelación de la forma de conocer acción analítica a través de un límite de la derivada de una función en un punto (regla de los cuatro pasos) que hace María usa los elementos matemáticos y modos de representación siguientes: 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 266 el aula como ideas que pueden tener alguna relación implícita pero dicha relación no se explicita. Además desde el punto de vista de los “procesos de construcción de la comprensión” que pueden estar potenciandose en los estudiantes se dificulta que los estudiantes puedan ir más allá del establecimiento de reglas y algoritmos. De esta manera en María la organización de las matemáticas escolares que desarrolla puede ser coherente con una concepción del aprendizaje que enfatiza el aprendizaje de reglas y la realización de cálculos. Es sobre estos dos pilares sobre los que se organiza la práctica de María. 4.2.1.- La interiorización de la función derivada: generalización de una regla La función derivada es una función que a cada “x” le asigna el límite del cociente incremental o el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. Para María esta forma de asignar valores son “reglas” que ya ha introducido. La función derivada se construye a partir de la generalización a todos los puntos de la regla analítica dada por los cuatro pasos, primero construyendo la función derivada como una tabla de valores (cada vez fijándose en un punto concreto) y posteriormente pasando a considerar un valor genérico x (un punto arbitrario). V7: De la derivada de una función en un punto como acción a la función derivada como proceso en contexto analítico La situación descrita en esta viñeta sucede en las clases tercera y cuarta de la unidad didáctica. María modela la función derivada como acción construyendo una tabla de valores y centrandose en cada momento en un sólo punto. Los valores se obtienen en cada punto por medio de la regla de los cuatro pasos. Después María generaliza a todos los puntos la forma de obtener los valores. En la viñeta hace referencia al cálculo de la derivada en x=2 realizada en la viñeta 5. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 267 En la entrevista de planificación, María indica: “A través de la regla de los 4 pasos, es decir, que f(x+h), f(x+h)-f(x) etc... entonces...pero en un punto concreto, que lo haga muchas veces, que se habitúen a ese cálculo, y después haremos, no ya demasiadas veces, haremos para una función ya concreta, por ejemplo: dando un punto y la función x2 ¿Cual sería su derivada? aplicando la propia definición eh? y a lo mejor hacemos algún ejemplo más pero no me quiero entretener ahí mucho. Lo que es la función derivada, es decir, ya no vamos a determinar en un punto, sino vamos a hacerlo para cualquier valor de x, entonces le podemos hacer un ejemplo, Fíjate incluso cómo se la quiero decir. Le quiero decir por ejemplo, la derivada de x2 ya la hemos hallado. Esta función la hemos hallado en el punto 2, en el punto 3, en varios puntos, no? incluso si quiero: venga! Vamos a hacer una lista, vamos a hacer una tabla de valores, no? cuando la x vale 2, ¿Cuánto vale la f ´(x)? Cuando la x vale 3, ¿Cuánto vale? Cuando la x vale... Es una función, entonces si es una función incluso la podemos representar. Pues entonces, a eso le podríamos llamar una función y además la función derivada, derivada, sale. ¿De dónde sale? De hecho la misma palabra “derivada” sale de ahí, que deriva de la función, entonces a esa función le vamos a llamar función derivada. Bueno, en vez de hacer punto a punto… y ahora ¿Cuál va a ser su fórmula? A todo esto ¿Cuál va a ser la expresión algebráica de esa función? Incluso podrían sacar la derivada a través del doble y una vez que ellos sepan esto, pues mira, esto se puede hacer en vez de una de límites en un punto, lo vamos a hacer dándole cualquier valor a x. Pero no me quiero insistir mucho ahí.” En esta declaración de los objetivos pretendidos, María modela en su discurso la construcción de f´(x) como proceso al generar dicha función desde la “generalización” de un conjunto de casos particulares. En este momento María parece asumir que f´(a) es una regla que debe aplicarse en varios puntos y luego usando la tabla y “viendo” la sucesión de valores obtenidos intentar establecer la expresión de f ´(x). Para que el “paso a lo general” sea “visible” a los alumnos exige que el ejemplo sobre el que se construye la situación sea conocido. De ahí que use f(x)=x2 y espere que la sucesión de valores que se obtiene con la aplicación de la regla a distintos valores de x le permita “mostrar” que corresponden a valores de la función f(x)=2x. Enunciado de la tarea. Obtener la función derivada de f(x)=x2 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 268 Así María para obtener f ´(x) parte de la modelación de una acción para la derivada de una función en un punto. La acción viene dada por la “regla de los cuatro pasos” que obtiene la derivada de una función en un punto y construye una tabla de valores. X 0 1 -1 2 f ´(x) Posteriormente construye la función derivada a partir de la regla de los cuatro pasos pero utilizando una variable x en lugar de un punto concreto. Esta forma de proceder le permite “mostrar” que lo que valía para cada x=a específico también sirve para x cualquiera. El diálogo en el aula es el siguiente: P: El otro día estuvimos viendo f ' (2), la calculábamos utilizando la regla de los cuatro pasos esos ¿cuánto1 salió f ' (2)?2 E: 4.3 P: Igual lo podríamos haber hecho f '(0), en vez de haberlo hecho con f ' (2), lo podríamos haber hecho4 con el 0, ¿verdad?, de la mima manera, ¿y qué pensáis que hubiera salido? 5 E: 0.6 P: 0, lo sabéis porque va, sabéis ya. Si hubiéramos hecho en el 1, ¿qué hubiera salido? 7 E: 1.8 P: No, si lo hubiéramos hecho en el 1.9 E: 2.10 P: Hubiera salido 2; y si lo hubiéramos hecho en el -1; quién no sepa el porqué, bueno, no importa, es11 si lo hubiésemos hecho de la misma manera .12 E: -2.13 P: Hubiese salido -2, etcétera. Es decir <completa la tabla de valores x/f´(x)>, en el punto 3 me14 hubiera salido 6; en el...6, hubiese salido 12, etcétera, ¿eh?15 Si yo hubiese hecho en cada uno de esos puntos, me hubiese ido saliendo eso <se refiere a esos16 valores>. Resulta que la, la derivada, la derivada, la derivada, se puede considerar como una función,17 la que a cada valor, a cada número les va a tomar un valor. La derivada, se puede considerar como una18 función que a cada punto de la curva, le asigna el valor de la pendiente.19 E: Tangente.20 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 269 P: De la tangente en ese punto.21 Esa función ¿qué es una función?, la que a cada x le asigna una y, ¿no?, bueno, pues, repito otra vez, la22 pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, bien, pues esa función, esa función, es la función23 derivada, esa es una función, eh, que se llama función derivada. 24 Entonces, ¿cómo se obtiene? es decir, cómo se me dan a mí la función y cómo paso a lo que se llama su25 función derivada.26 Le asigna su pendiente, su pendiente, es 2x, esta sería la función derivada de esta <la función27 f(x)=x2>¿de dónde sale eso, de que estas 2x es la función derivada de esta x2? pues sale de aplicarle la28 regla de los cuatro pasos que vimos ayer, pero en vez de a un punto, a la función; es decir, acordaros de29 la regla de los cuatro pasos.30 María introduce en su discurso el significado de f ´(a) como pendiente de la recta tangente pero sólo en sentido nominal ya que sobre lo que se apoya en la construcción de f ´(x) es en suponer que lo mismo que se hace para valores concretos se puede hacer con un x genérico y la expresión que le sale se asume que es f ´(x). Pues esto es una muletilla, que os he puesto para que os ayude un poco a calcular la derivada por la31 definición, espero que algún día no la tengáis que necesitar, sino que halléis la derivada poniendo un32 límite y la tasa de variación media y todo a continuación <se refiere a la regla de los cuatro33 pasos>. 34 Pero en vez de poner a que es un punto concreto, eh; que nosotros poníamos 1 + h, los problemas que35 hicisteis que no hemos terminado tampoco de corregir, pusisteis el 1, ponéis la x, en general, cualquier36 valor.37 Este límite <se refiere al cociente incremental, > os va a dar en38 lim ()() ho fx h fx h → + − función de x, no como un número concreto, sino que os va a dar con x, y entonces lo que os va a salir ese39 límite es la función derivada. <Los estudiantes hacen la derivada en un punto x=-2>.40 Hallar la función derivada y=x2 , ¿tú qué tienes hecho? 41 E: Ahora que yo he puesto (2+ x)2 .42 P: Pero por qué si no era eso, no era en ningún punto, era en general.43 Decía hallar la derivada en un punto, lo que estábamos haciendo hallar la función derivada, en cualquier44 punto luego en lugar de darle a la x un punto concreto le dábamos a la x cualquier valor, f(x+h) ¿pues45 quién sería? (x+h)2 , f(x+h)-f(x), ¿quién va a ser? Pues el cuadrado de esto <de x+h> menos x2, lo46 divido por h, divido esto por h. y aquí ya en esta expresión saco factor común la h, se van hallo el límite,47 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 270 lo que pasa es que ella no ha puesto los pasos, ¿no? bueno los tiene puestos más o menos, primero, el48 segundo, el tercero y éste sería f ´(x) ¿vale? venga, gracias.49 En la entrevista de desarrollo: “Pasar de la función a la función derivada lo hice con una tabla de valores, me refiero que a cada punto de la curva se le asigna su pendiente. Una función, una regla mediante la cual asignas valores, la función derivada que no le veo dificultad, es una regla más que tú haces.” Aunque María sigue mencionando el significado de f ´(a) como pendiente de la recta tangente a f(x) en x=a. Esto parece que lo hace asumiendo que los alumnos asocian a f ´(a) los dos significados que ella ha introducido: - el límite del cociente incremental, y - el límite de las secantes parece que como el límite de las secantes tiene un “nombre” que es “tangente de f(x) en x=a” mientras que el límite de la tasa de variación media no tiene ningún nombre específico (tasa de variación instantánea), María aunque calcula los cocientes incrementales, estos los ve en su paso al límite como tangente. Sin embargo, el énfasis en la regla de los cuatro pasos hace que esta mención al significado geométrico siga siendo “testimonial”. Una manifestación de este hecho es que María no modela mecanismos de desencapsulación durante su enseñanza. María construye la función derivada del siguiente modo, para cada valor x asocia la regla de los cuatro pasos o la pendiente de la recta tangente a la curva, aunque a esta última pendiente no se hace más referencia. La construcción de la función derivada se realiza en las líneas 14 y siguientes en las que relaciona las modelaciones de la derivada de una función en un punto con la regla de los cuatro pasos para obtener f ´(a) (líneas 17-40) y después f ´(x). Al usar la tabla de valores construida aplicando una regla potencia la construcción de la función derivada como acción al tomar puntos concretos 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 271 Regla de los cuatro pasos, se “menciona” como tangente en x=a Tasa de variación media en un intervalo [a, b] viene dada por el cociente (f(b)- f(a))/(b-a) La derivada de una función f en el punto x=a viene dada por el límite de las tasas de variación media en los intervalos [a, a+h] cuando h tiende a 0. La derivada de una función f es una función que viene dada por los pares de puntos (X, ) lim ()() h fx h fx h → +− 0 La derivada de una función f es una función que viene dada por los pares de puntos (X, ) lim ()() h fx h fx h → +− 0 Lin. 32-48 Lin. 26-31 Analítico Analítico Analítico Se aplica la regla de los cuatro pasos a un x cualquiera (Dubinsky, 1996), Asiala et al. (1997) señalan que para la función derivada: “Un estudiante muestra esto [la función derivada] como una acción cuando se centra en un punto del dominio en cada momento.” (p. 425) En este sentido la modelación del mecanismo de interiorización de la función derivada que hace María potencia en los estudiantes la función derivada como proceso en un contexto analítico. Zandieh (2000) caracteriza la función derivada como proceso al considerar el paso por infinitos valores de entrada (lo que denominamos “generalización a todos los puntos”), determinando para cada valor de entrada un valor de salida dado por el límite de los cocientes incrementales en cada punto. La generalización a todos los puntos en los que calcula el límite al tomar una variable genérica x (líneas 28 y siguientes) es un indicio de la modelación del mecanismo de interiorización de la función derivada. Los elementos matemáticos y modos de representación usados por María en la modelación de la interiorización de la función derivada se pueden representar de la siguiente manera: El siguiente cuadro describe la situación que hemos comentado: 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 272 Regla de los 4 pasos en un punto a Generalización a todos los puntos Derivada de una función en un punto Regla de los 4 pasos en x Función derivada Modelación de interiorización de la función derivada Cuadro 4.9 Relación entre derivada de una función en un punto y función derivada En las entrevista de desarrollo María pretende dar un procedimiento para obtener funciones derivadas dadas por una regla, la regla de los cuatro pasos utilizando un punto arbitrario x, a partir de la regla de los cuatro pasos en puntos concretos. La modelación del mecanismo de interiorización realizada por María produce la función derivada como generalización de una regla, la regla que calcula la derivada de una función en un punto en 4 pasos, obteniéndose la regla para x general. La interiorización de la acción dada por la regla para la derivada de una función en un punto, generalizar dicha regla para x genérica potencia la función derivada como proceso. En definitiva la función derivada como proceso viene de alguna forma dada “como una regla”. 4.3.- Del operador derivada a la integración En este apartado abordamos las modelaciones realizadas por María en relación al operador derivada (a cada función f se le asigna como imagen f ´). Se organiza en dos partes, en la primera parte describimos la modelación del mecanismo de interiorización del operador derivada a partir de las reglas de derivación y en la segunda parte describimos la modelación del mecanismo de inversión del operador derivada. Un aspecto característico es que en las modelaciones realizadas por María para el operador derivada no establece relaciones ni con la derivada de una función en un punto ni con la función 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 273 derivada. 4.3.1.- El operador derivada como proceso María presenta a sus alumnos algunas reglas de derivación de funciones típicas mediante una tabla. Luego se apoya en la combinación de dichas fórmulas (operaciones entre funciones o regla de la cadena) para calcular derivadas. Esta manera de actuar se apoya en la importancia dada por María al uso de reglas por parte de los alumnos. Desde la perspectiva de la modelación de la descomposición genética esta forma de proceder sólo permite construir la forma de conocer como acción. Solo una mención explícita sobre lo que se hace durante una serie de ejercicios en los que se aplican las reglas podría llevar a que los estudiantes construyeran un significado como proceso del operador derivada. V8: El operador derivada como proceso a partir de reglas de derivación En esta viñeta se recoge un conjunto de segmentos sucedidos en distintas clases, cronológicamente los distintos segmentos que se consideran en los enunciados son aquellos en los que dada una función, María obtiene la función derivada a partir de las reglas de derivación. Los segmentos suceden a partir de la quinta clase. María entrega una tabla de reglas de derivación (aparece en el cuadro siguiente) y explica los significados de las “letras” de cada regla y hace un ejemplo aplicando la regla. La columna de la derecha (regla de la cadena) permite obtener funciones derivadas de la composición de dos funciones. En un principio María pretende usar dichas reglas, pero la dinámica de aula hace que no se utilicen. Esta forma de proceder es un indicador que nos permiten hablar de que los alumnos lleguen a construir un significado como proceso del operador derivada. 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 274 En la entrevista de planificación María indica respecto a estas tareas: “Las reglas de derivación las voy a utilizar para cualquiera de las funciones elementales que hemos estado viendo en otros temas, que los alumnos ya conocen la exponencial, la logarítmica y la trigonométrica,... la función arco y la función arcoseno, arcocoseno y arcotangente y vamos a ver las reglas, las reglas de derivación. En la composición de funciones, tanto componer funciones como dadas funciones decir de cuales están compuestas, que es el paso que a mí me interesa, que dada una función, vean de que funciones tengo que componer para obtener esa función porque es la manera que después a la hora de explicar la regla de la cadena ellos vean de qué funciones... les doy la regla de la cadena no se las demostramos, las reglas yo no se las demuestro, entonces, una vez que le doy la regla de la cadena, les hago ver primero la composición, ¿esta función de quién está compuesta? y además ¿quién es la primera? ¿en qué orden? y después para que sea un poquito más mecánico les digo siempre: la primera que se deriva es la última que se hace... funciones compuestas y cuáles son y en qué orden están hechas; sino saben eso es imposible entrar en la regla de la cadena.” El énfasis está colocado en la aplicación de reglas conocidos los pasos. Así en la regla de la cadena se apoya en el conocimiento de los pasos intermedios. Sigue en la entrevista de planificación sobre estas tareas: “Y lo que quiero es que sepan derivar para que el año que viene cuando los alumnos salgan de este curso, ellos sepan derivar... Quiero rápidamente meterme en el cuadro de derivadas. Me limito a leer el cuadro y manejar el cuadro, ya les tengo un cuadro seleccionado, viene muy bien, muy grandota, muy claritas y entonces: venga! Por supuesto les doy una serie de ejercicios que vienen aquí a final de capítulo y en cada uno de ellos me tienen que decir qué tipo de función es y que propiedades es la que utiliza, si es una suma, si es un producto, si es la función logarítmica, si es la exponencial, si es la potencial, etc. Que ellos me digan en cada caso, que me lo escriban explícitamente: sí...cuando el alumno te explica es cuando realmente sabe sus conceptos y lo que piensa y muchas veces a lo mejor tiene un error de cálculo pero no de concepto.” El uso de una tabla con las cabeceras de las columnas como f(x) y f ´(x) establece los elementos necesarios para poder hablar del operador derivada e intentar generar las condiciones para que los alumnos construyan su significado como proceso. Sin embargo para darse este paso es necesario según señala Dubinsky (1996) que haya una “reflexión” explícita sobre lo realizado que permita “concebir” el operador derivada como proceso. Esta reflexión explícita 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 5Bachillerato Matemáticas I, Andalucía, 275 sobre la vinculación entre f(x) y f´(x) aparece en el discurso y la práctica de María cuando se considera que es posible combinar reglas para obtener la f´(x) de cualquier f(x). Se resuelven diversas tareas, la primera tarea (libro de texto5, página 271, tarea 1): Calcula la función derivada de la siguiente función: f(x)=3x2-6x+5. Se calculan las siguientes funciones derivadas, , fx x x ()= + 3 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 282 f ´ g ´ j ´ h ´ f ´ g ´ j ´ h ´ En la entrevista de planificación, María dice: “Pero si no me queda tiempo aquí para hacer este tipo de problemas, ves, dadas las gráficas de las derivadas ¿cuál de estas funciones tiene un punto de tangente horizontal? ¿cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica?¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado? Si no entrase en la evaluación, pero es que quiero que lo vean, porque quiero que lo adelanten, ten en cuenta que yo la semana siguiente les voy a empezar a hablar, o bien se las doy en la semana de después con las integrales, les doy ese tipo de problemas se lo meto un día con las integrales.” La necesidad de gestionar el tiempo hace que María condicione su práctica. En este momento María explicita como objetivo desarrollar los significados de la inversión del operador derivada en contexto gráfico, aunque los significados gráficos no aparecen. Enuciado de la tarea. Estas gráficas representan las funciones derivadas. a) ¿Cuáles de estas funciones, de las f, g, h, j, tienen puntos de tangente horizontal? b)¿Cuál de estas gráficas es la derivada de una función polinómica de primer grado? c) ¿Cuál de ellas corresponde a la derivada de una función polinómica de segundo grado? María hace lo siguiente: discute la relación entre los grados de una función y su función derivada cuando se trata de funciones polinómicas, clasifica las gráficas según correspondan o no a polinomios, y a las que corresponden a polinomios les asigna el grado del mismo. El diálogo en el aula: P: Primero tenéis que pensar qué son puntos de tangente horizontal 1 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 283 E: Es cero, ¿no?2 P: Es cero, entonces, ¿cómo afecta la tangente horizontal a la derivada? <María abandona esta3 cuestión>.4 El trabajar con significados resulta complicado cuando el énfasis ha sido colocado en las reglas. Las dificultades identificadas por María en usar los significados geométricos hace que se centre en fijar la regla de la relación entre los grados de los polinomios. E: La derivada de una recta es igual a una recta.5 P: ¡Ah! no sé, tú a ver la derivada de una recta, ¿es otra recta? a ver, la derivada de una recta, ¿qué6 sería ? otra recta. Pero una recta particular o cualquier7 E: Horizontal.8 P: ¿Por qué?9 E: Porque cuando deriva una de primer grado, sale una constante.10 P: Venga! pues a ver si los demás habéis visto ya una lucecita encenderse o no. ¡Venga! ya estoy, hay11 dos o tres ideas que hay que enlazarlas.12 E: j es de tercer grado.13 P: Pero él dice que la j tiene que ser una función de tercer grado ¿Estáis de acuerdo?14 E: Si.15 P: Si su derivada es una parábola, es una función de segundo grado por tanto la j tiene que ser una16 función de tercer grado porque la derivada es un grado menos. Bien, ésta < se refiere a la gráfica17 de g ´> por ejemplo según decía Rocío, tendría que ser la derivada de ¿quién? ¿quién sería la g?18 E: Una recta.19 P: Una recta, ¿no? ¿por qué? porque la derivada de una recta es un número, ¿no? Por ejemplo si la g,20 fuese, la g (x) fuese -2 x+1, ¿cómo derivo esto? ¿quién sería g’(x)? -2, por tanto sería ésta <se refiere21 a g ´>, que es una recta.22 Y ésta <se refiere a f ´> dice Ana que sería, ésta sería de segundo grado <se refiere a la función23 f>, ¿por qué? porque la gráfica de la derivada sería una función de primer grado ¿no? ¡Vale! 24 Otro de este tipo, a ver, bueno la otra pregunta era sobre si hay alguna de la de la derivada de alguna25 ¿cómo era? De una función de primer grado.26 E: Y de segundo.27 P: Ésa si la habíamos ¿no? ésta sería la de segundo grado <se refiere a f, usando la gráfica de28 f ´>, ésta <se refiere a g, usando la gráfica de g ´> sería la de primer grado, incluso ésta <se29 refiere a j, usando la gráfica de j ´> ¿de quién sería? 30 E: De tercer.31 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 284 P: De tercer grado.32 Sin embargo este discurso no resulta coherente con el énfasis en la regla y la “relación entre los grados de los polinomios”. En cierto sentido la tarea implica la posibilidad de realizar un cierto trabajo con los alumnos pero la forma en que están redactadas las cuestiones y la idea de María de fijar reglas hace que el discurso generado en el aula se centre en la potenciación de reglas y no de significados. En la entrevista de desarrollo María sigue insistiendo en la riqueza de los significados geométricos para hablar de la inversión de la derivada en contexto gráfico: “Esto es la culminación, es el proceso inverso. Volver a insistir, sólo que la derivada es la pendiente de la recta tangente pero desde otro punto de vista, para volver a insistir sobre el mismo concepto, pero con otro tipo de preguntas, para que un concepto quede fijado tú tienes que preguntar desde muchos puntos, ángulos. Además estos problemas te dan la derivada como una función, es decir, que tiene su gráfica, a la vez es mucho más rico, estás utilizando la función derivada como una función, que tiene su gráfica igual que cualquier función. La recta es tal, de f ´, y dar f, para ellos es más fácil volver a la ecuación pero no lo pretendo.” De la línea 18-21 identificamos la modelación del mecanismo de construcción de la inversión o reversibilidad de un proceso. Para esta inferencia tenemos en consideración que cuando una acción ha sido interiorizada a un proceso es posible invertir los pasos del mismo, por ejemplo la “regla” de derivación de funciones polinómicas usada: si f(x) es de grado n, su derivada es de grado n-1, de la siguiente forma: “f(x)=anxn+an-1xn-1+...a1x+a, f ´(x)=nanxn-1+.. a1”. En esta viñeta en las líneas 5-8, 13-17 y 17-21 se observa que se están invirtiendo los pasos de la regla dados para obtener funciones derivadas, que es una característica del mecanismo de inversión. Además en la entrevista de 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 285 planificación María señala que estas tareas están ya relacionadas con la integración de funciones. En la entrevista de desarrollo María indica que estamos ante el “proceso inverso” (ella no piensa en la terminología APOS) sino que pone de manifiesto la relación entre las tareas anteriores de calcular funciones derivadas y la que ahora les plantea. El énfasis de María en las reglas limita las posibilidades de modelar la inversión del operador derivada. Serían necesarias más tareas para poder afirmar de manera categórica la inversión como mecanismo modelado. El hecho de invertir pasos (invertir pasos del operador derivada como regla) con la regla de los polinomios pone la base para la modelación del mecanismo de inversión del operador derivada. De acuerdo con la teoría APOS, la inversión de un proceso permite obtener un nuevo proceso, por tanto, en la viñeta María modela el proceso inverso del operador derivada que es la integración indefinida o antidiferenciación. De este modo se introduce la integral indefinida como proceso, sin necesidad de modelar la interiorización de acciones para la misma. Considerando de manera global las viñetas 8 y 9 debemos resaltar el predominio de lo procedimental al tratar las funciones tanto cuando actúa el operador derivada como cuando lo hace el operador integral (anti-diferenciación). Esta es una manifestación de la concepción de las matemáticas que caracteriza la práctica de María. Al considerar todas las viñetas en su conjunto, podemos señalar que hay predominio de lo analítico y que generalmente si aparecen los dos sistemas de representación, analítico y gráfico no hay integración entre ellos, sino que aparecen separados. Esta forma de proceder de María condiciona la organización del contenido matemático, ya que se pueden desarrollar los significados (gráfico 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 286 y analítico) de forma autónoma. María no considera necesario establecer explícitamente relaciones entre los significados, y cuando lo hace tiende a “pegar” los significados geométricos a los analíticos, que son los prioritarios. María tiene una visión de las matemáticas escolares como “algorítmicas”, los conceptos matemáticos se caracterizan por reglas que aplicadas dan un resultado, lo mismo para f´(a), que para f´(x). Esta visión se caracteriza en la práctica por la potenciación de reglas y procedimientos de cálculo, María pone el énfasis en calcular siguiendo recetas paso-a-paso. La manera de actuar de María se caracteriza por la ausencia de relaciones entre determinados conceptos. María gestiona el contenido matemático en el aula de forma que las relaciones entre los conceptos no aparecen ni se consideran necesarias. Esto manifiesta que María concibe el aprendizaje de los conceptos de forma autónoma sin relaciones, decimos que es una construcción no progresiva vertical. En cuanto al desarrollo de cada concepto, la práctica de María se caracteriza por desarrollar las distintas formas de conocer sin relaciones entre sí. María potencia la derivada de una función en un punto como proceso y como acción sin vinculaciones entre ellas de ningún tipo. La práctica de María al apoyarse en reglas le permite no vincular las formas de conocer. Esta manera de proceder de María está indicando una concepción sobre el aprendizaje de las matemáticas en el que no hay un desarrollo progresivo (horizontal). De ninguno de los conceptos que conforman la noción de derivada se potencia su construcción como objeto. En la práctica de María no aparece de forma explícita la descomposición genética de un concepto. De forma genérica las relaciones no parecen ser un objetivo en la práctica de María: 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 287 - la derivada de una función en un punto como acción (mediante una regla) y como proceso aparecen sin vinculación, - la derivada de una función en un punto como proceso no se vincula a ningún concepto, - la función derivada se apoya en la “regla” de la derivada de una función en un punto y no en los significados interiorizados, - el operador derivada no se apoya en el significado de la función derivada, la relación es “nominal”, y - la función derivada construida mediante una regla y la derivada de una función en un punto no guardan relación con el operador derivada. 5.- LA PERSPECTIVA DE LA PRÁCTICA DE MARÍA: PERSPECTIVA TRADICIONAL Como hemos señalado la perspectiva de la práctica del profesor hace referencia a “lo que subyace” en dicha práctica, a los aspectos caracterizadores de la misma desde la consideración de la potenciación de la construcción de conceptos en los estudiantes. Caracterizamos la perspectiva de la práctica del profesor a partir de la modelación de la descomposición genética de la noción de derivada que pone de manifiesto dos dimensiones: - cómo concibe el desarrollo de la comprensión: concepción sobre el aprendizaje de los conceptos visto a través de los mecanismos de construcción del conocimiento que se potencia, secuencia y relaciones y su justificación. - su visión de las matemáticas: concepción de las matemáticas como objeto de enseñanza y aprendizaje. Para obtener las inferencias sobre las dos dimensiones anteriores hemos utilizado las variables siguientes: - La forma en que usa los sistemas de representación como instrumentos 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 288 de la práctica. - Cómo organiza los distintos conceptos matemáticos y cómo establece relaciones entre ellos. - Formas de conocer que parece potenciar mediante las modelaciones de los mecanismos de construcción. El análisis de la práctica de María realizado nos permite identificar “las ideas” que definen las dos dimensiones que delimitan la perspectiva de la práctica. Con este objetivo describimos los valores de estas variables. Respecto al uso de los sistemas de representación en algunas situaciones el uso de los sistemas de representación se reduce al uso de significados analíticos, estando ausentes los significados del modo gráfico. En otras ocasiones para María los significados vinculados a algunos conceptos pueden venir dados en contexto gráfico y contexto analítico y puede ocurrir: - que no haya integración de lo gráfico y lo analítico, - que pueda parecer que haya integración de los significados gráficos y analíticos, pero lo que sucede es que no los usa de la misma manera: i) en la construcción prioriza el significado analítico y “pega” a él el significado geométrico, y ii) aunque “aparentemente” se usa y apoya en significados geométricos, éste uso es testimonial, pues lo importante son los significados analíticos. Esta manera de actuar de María es coherente con una concepción de las matemáticas en la que los significados de los conceptos son esencialmente analíticos, y cuando se asocian significados en varias representaciones no son importantes las relaciones entre los significados. La ausencia de relaciones significativas explícitas entre los significados de los conceptos en distintas representaciones es una manifestación de que María 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 289 concibe la construcción de los conceptos en itinerarios separados sin relaciones entre ambos. Los “procesos” de construcción gráfica y los “procesos” de construcción analítica del mismo concepto no es necesario que guarden relaciones. Respecto a los distintos conceptos que conforman la noción de derivada (derivada de una función en un punto, función derivada y operador derivada) en la práctica de María, estos conceptos no necesitan estar relacionados entre sí. María considera que pueden construirse conceptos sin que guarden relación. Un aspecto característico de la práctica de María es que en las modelaciones realizadas para el operador derivada no establecen relaciones con los significados de la derivada de una función en un punto ni de la función derivada. Esta desvinculación de significados entre distintos conceptos en la práctica de María puede ser una manifestación de la importancia dada por María al uso de “reglas” o procedimientos de cálculo. La forma de actuar de María pone de manifiesto su interés en que los estudiantes asocien el uso de reglas a los conceptos. La importancia de las reglas en la práctica de María se manifiesta en que en los casos en que se establece relación entre dos conceptos, derivada de una función en un punto y función derivada, la relación viene dada mediante la “generalización de una regla”. La manera de proceder de María pone de manifiesto una concepción de las matemáticas escolares en la que no es necesario establecer relaciones entre los distintos conceptos ya que lo esencial es que los estudiantes utilicen “reglas” o procedimientos del tipo paso-a-paso para calcular los números o expresiones que representan a los conceptos. María organiza el contenido matemático apoyándose en dos bloques temáticos sin establecer relaciones explícitas: f´(a), f´(x) por un lado y el operador derivada por otro. Por tanto, de la práctica de María se infiere que las matemáticas escolares se organizan mediante “métodos de cálculo” 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 290 alrededor de los conceptos independientes entre sí, y están caracterizadas por el carácter “algorítmico” del contenido. Estas características de la práctica de María pueden relacionarse con una caracterización de una filosofía de las matemáticas, que Ernest (1996) denomina “absolutista”, en la que se priorizan las reglas y que tiende a ser atomista. Esta visión se puede transmitir en las escuelas dando a los estudiantes “rutinas” sin relaciones y tareas matemáticas que implican aplicar los procedimientos aprendidos con una única respuesta. Ernest (1989 a) considera que existe una visión instrumentalista en la que las matemáticas son una acumulación de hechos, reglas y estrategias para ser usadas, es decir, un conjunto de reglas útiles y hechos. Lerman (2002) identifica un profesor tradicional que se caracteriza a través del modelo de “perfomance” tradicional, apoyado en una psicología conductista. Por otra parte, la manera de actuar de María refleja una concepción del aprendizaje en la que no se consideran relevantes las relaciones entre conceptos, ya que los distintos conceptos pueden relacionarse o no. Por tanto, en la práctica de María aparece una concepción del aprendizaje en el que el desarrollo de la comprensión no es progresiva en sentido vertical (relaciones entre conceptos). En el cuadro 4.7 las flechas en sentido vertical nos muestran las relaciones que se establecen entre los distintos conceptos. Cuando aparece una relación, ésta viene dada por una “regla”. Cómo se observa además hay conceptos aislados de otros. Este cuadro señala que de la práctica de María se infiere unas características del aprendizaje como poco progresivo entre los conceptos que conforman la noción de derivada. Respecto a las formas de conocer que la práctica de María potencia para cada concepto podemos indicar que en ningún caso se construyen objetos, 4.- Resultados José María Gavilán Izquierdo 291 La derivada de una función en un punto Acción Proceso Acción (AaL) La anti-diferenciación Proceso La función derivada Proceso El operador derivada Acción Proceso El operador derivada Acción Proceso Cuadro 4.7 Relaciones entre conceptos y formas de conocerlos potenciándose a los sumo la concepción proceso. En estos casos los significados geométricos y analíticos interiorizados lo son de forma independiente. María en la construcción de la derivada modela por separado el mecanismo de interiorización de la derivada de una función en un punto y la derivada de una función en un punto como acción Y de los dos, los significados interiorizados no son usados en la unidad didáctica. Las acciones modeladas permiten a María dar a los alumnos procedimientos algorítmicos para obtener el número f´(a), aspecto sobre el que se apoya para construir la función derivada mediante generalizando de la regla de los cuatro pasos. En este caso, los significados geométricos no juegan un papel relevante. La construcción del operador derivada hecha por María gira alrededor de las “reglas de derivación” de naturaleza analítica, con ausencia de aspectos geométricos en su construcción. En el cuadro 4.7 las flechas en sentido horizontal indican las relaciones que se establecen entre las distintas formas de conocer para cada concepto. CAPÍTULO V 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 299 CAPÍTULO V: DISCUSIÓN E IMPLICACIONES 1.- INTRODUCCIÓN En este capítulo vamos a realizar una discusión de los resultados y obtener algunas implicaciones. La discusión e implicaciones que vamos a realizar se centran en distintos aspectos que aparecen en nuestro trabajo. En primer lugar vamos a centrarnos en aspectos teóricos que permiten relacionar y situar nuestros resultados en las líneas en desarrollo en Educación Matemática. Los resultados obtenidos han permitido caracterizar las perspectivas de la práctica del profesor desde la modelación de los mecanismos de construcción de conocimiento conjeturados en una descomposición genética de la noción de derivada generada desde la perspectiva APOS. La caracterización de distintas perspectivas de la práctica la llevamos a cabo desde un punto de vista teórico. En segundo lugar analizamos la adecuación de nuestra investigación a criterios que deben cumplir las investigaciones en el campo de la Educación Matemática, basados principalmente en los trabajos de Schoenfeld (2000). Finalizaremos con indicaciones sobre el desarrollo de futuros trabajos en esta línea de investigación. 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 300 2.- ANÁLISIS DE LA PRÁCTICA DEL PROFESOR Nuestra propuesta para el análisis de la práctica tiene en cuenta que la enseñanza de las matemáticas pretende que los estudiantes comprendan las nociones matemáticas involucradas (Hiebert y Carpenter,1992). Hiebert y Carpenter (1992) relacionan el aprendizaje con la enseñanza para la comprensión. Otros autores (Artzt y Armour -Thomas, 1999) consideran “la enseñanza para la comprensión” base para el análisis de la práctica. En el mismo sentido se dirige el grupo de investigadores Simon, Tzur y colegas: “Centramos nuestros informes de la práctica... en cómo el profesor se conduce para promover cambios en el conocimiento matemático de los estudiantes.” (Simon et al., 2000, p. 583) Nuestra investigación aporta nueva información a esta línea de trabajo centrada en el análisis de la práctica del profesor que tiene como referente la enseñanza para la comprensión. Nosotros hacemos un análisis de la práctica del profesor relacionada con el aprendizaje que potencialmente pueden llegar a conseguir los estudiantes. Por ello realizamos un análisis de la práctica adaptando elementos de un marco teórico de comprensión. Para dar sentido a estas declaraciones tenemos que precisar qué entendemos por comprensión de las matemáticas. En nuestra investigación hemos considerado la comprensión de las matemáticas en términos del marco teórico APOS. Pensamos que el profesor a través de su práctica potencia una determinada forma de conocer los conceptos matemáticos en sus estudiantes. Esta idea la concretamos en que el profesor en su práctica modela una serie de mecanismos de construcción que ayudan a sus estudiantes a construir unas determinadas formas de conocer del concepto (acción, proceso, objeto). A partir de la idea de descomposición genética de un concepto como “el camino para construir conocimiento que deben realizar los estudiantes”, consideramos modelación de la descomposición genética de la noción, “modelaciones realizadas por el profesor de los mecanismos de construcción”. Para nosotros la modelación de un mecanismo de construcción es 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 301 visible mediante los instrumentos de la práctica que usa el profesor. Nuestros datos confirman que es posible hacer un análisis de la práctica del profesor que enseña matemáticas para que sus estudiantes lleguen a la comprensión de los conceptos. Por este motivo hablamos de aprendizaje potencial que pueden llegar a construir los estudiantes, pero no decimos que éste sea el aprendizaje que efectivamente realicen los estudiantes. La hipótesis de trabajo es que de alguna forma lo que el profesor modela en su práctica, tiene reflejo en el aprendizaje que alcanzarán los estudiantes. Algunas de las investigaciones en Educación Matemática (Koirala, 1997; Artzt y Armour-Thomas, 1999; Tzur et al., 2001) incluyen entre sus resultados la caracterización de diferentes “perspectivas” de práctica del profesor. Consideran estos investigadores que es posible identificar y caracterizar distintos tipos de práctica. Koirala (1997) plantea la enseñanza del cálculo para la comprensión conceptual por los estudiantes, se apoya en las ideas de comprensión de Skemp (1976) que distingue entre comprensión instrumental y comprensión relacional: “En sentido amplio, hay dos maneras de enseñar el cálculo. Primero, hay una manera tradicional, con profesores que dan reglas y estudiantes que las aplican, ... sin llegar a comprender lo que hacen... La segunda manera se basa en aproximaciones exploratorias e intuitivas al desarrollo de los significados de los diferentes conceptos del cálculo” (Koirala, 1997, comunicación personal) La primera de las formas de enseñanza del cálculo es instrumental o tradicional, y una diferencia entre ambas maneras de enseñar el cálculo es el papel del profesor. En la enseñanza tradicional su papel es el de “decir” las reglas 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 1En un primer momento identifican dos aproximaciones a la enseñanza, tradicional y de reforma, y que los profesores que buscan nuevas formas de enseñar presentan en su práctica aspectos de las dos aproximaciones (Simon y Tzur, 1999). 2Aproximación tradicional, perspectiva basadas en la percepción y perspectiva basada en la concepción. En Heinz et al. (2000) se denomina “perspectiva tradicional” a la aproximación tradicional. 3Resaltadas en el original. 302 mientras que en la otra forma de enseñanza más informal el papel del profesor es el de facilitar el aprendizaje. Para Simon (1995) son necesarios modelos de enseñanza de las matemáticas basados en el constructivismo como teoría de aprendizaje. Este investigador considera que el papel del profesor es promover el aprendizaje de los estudiantes y el análisis de la práctica le lleva a identificar la perspectiva que subyace en la práctica de los mismos1 desde el punto de vista de los investigadores (Simon et al., 2000). Para Tzur et al. (2001): “Resaltamos que tradicional2, basada en la percepción y basada en la concepción3 son nuestras caracterizaciones de las prácticas de los profesores, y no cómo los profesores podrían describir sus prácticas.” (p. 246). Estos investigadores (Simon y colegas) describen tres perspectivas que han sido caracterizadas más detalladamente en el Capítulo II. La perspectiva tradicional se caracteriza por una enseñanza en la que el profesor transmite las ideas a los estudiantes (Simon et al., 2000). Una diferencia entre la perspectiva tradicional y la basada en la percepción viene dada por la idea de que en la tradicional el estudiante recibe el conocimiento, mientras que en la perspectiva basada en la percepción el estudiante debe “percibir” el conocimiento personalmente, ambas perspectivas asumen que las matemáticas existen independientes de la experiencia (lo que es una visión platónica de las matemáticas) (Simon et al., 2000). La “perspectiva basada en la concepción” se 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 303 basa en la idea de que sólo se puede llegar a conocer algo a partir del conocimiento previo, las matemáticas son una red de concepciones que se abstraen a través de la reflexión, y el aprendizaje en esta perspectiva es la construcción y transformación de las concepciones (Tzur et al., 2001). Las tres perspectivas pueden dibujar un “continuo” para el desarrollo del profesor, en un extremo (izquierda) tendríamos la perspectiva tradicional, y en el otro extremo (derecha) la perspectiva basada en la concepción, como punto intermedio se situaría la perspectiva basada en la percepción. Desde el punto de vista del desarrollo del profesor, éste podría comenzar en la izquierda y se “movería” hacia la derecha, hasta alcanzar la perspectiva basada en la concepción. La idea de continuo subyace en que las perspectivas no aparecen en “estado puro”. Los profesores en “transición” serían los que desarrollan prácticas que están cambiando como resultado de participar en las reformas de educación matemática. Tzur et al. (2001) señala: “una perspectiva basada en la percepción puede ser un paso hacia la basada en la concepción,... El cambio de una perspectiva tradicional a una basada en la percepción no requiere un gran cambio de paradigma... las perspectivas tradicionales pueden evolucionar hacia las basadas en la percepción.” (p. 248) Otro grupo de investigadores que también plantean una situación similar a la descrita por Simon y sus colegas, en lo referente a distintos estilos que pueden llegar a formar un continuo en el desarrollo del profesor son Artzt y Armour-Thomas (Artzt 1999; Artzt y Armour-Thomas, 1999). Artzt (1999) indica que: “Investigadores que han descritos cambios en las creencias y prácticas de profesores, están de acuerdo en que puede haber varios estados de desarrollo de la enseñanza.” (p. 143) 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 304 Tanto las nociones y resultados del grupo de Simon y colegas como el de estas dos investigadoras tienen posibles repercusiones en la formación y desarrollo del profesor, según aseguran los distintos investigadores. Simon et al. (2000) señalan que los profesores pueden ser considerados en evolución desde perspectivas basadas en la percepción a perspectivas basadas en la concepción y que ello permite ayudar a los formadores de profesores en el diseño de programas. Los resultados de nuestra investigación aportan información sobre estas perspectivas de la práctica del profesor al identificar dos perspectivas: holística y tradicional (“basada en reglas”). Estas perspectivas han sido caracterizadas considerando las siguientes variables: - La forma en que usa los sistemas de representación como instrumentos de la práctica. - Cómo el profesor organiza los distintos conceptos matemáticas y cómo establece relaciones entre ellos. - Formas de conocer que parece potenciar mediante las modelaciones de los mecanismos de construcción. A través de estas variables en la práctica del profesor, inferimos lo que fundamenta su práctica en relación a las dos dimensiones: - cómo concibe el desarrollo de la comprensión (la concepción sobre el aprendizaje de los conceptos), y - su visión de las matemáticas como objeto de enseñanza-aprendizaje. Esta manera de explicar lo que subyace en y justifica la práctica del profesor viene justificada por los resultados de Escudero (2003) que apunta a que la forma en que los profesores organizan y gestionan el contenido matemático en el aula se relaciona con sus concepciones sobre las matemáticas escolares y por la manera en la que los profesores conocían dichos contenidos. Afirmando que 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 305 es necesario apoyarse en los resultados de los análisis epistemológicos de los conceptos matemáticos que el profesor enseña para identificar las concepciones que sobre las matemáticas subyacen en su práctica. En esta misma línea nosotros nos apoyamos en los análisis epistemológicos sobre la noción de derivada realizada en otros estudios (Azcárate, 1990; Azcárate y Deulofeu, 1990; Font, 1999; Badillo, 2003) en las que se señala la relevancia del papel que desempeñan los sistemas de símbolos en el proceso de construcción del significado de derivada a través de la historia. La segunda idea usada en la caracterización de la perspectiva de la práctica ha sido la que procede de la manera en que históricamente se ha ido reificando los significados de la noción de derivada desde la idea del paso al infinito de las aproximaciones sucesivas como una manera de medir la velocidad de cambio. Estas dos ideas han sido usadas para intentar identificar las concepciones sobre el aprendizaje y las matemáticas y sus relaciones que subyacen a la práctica del profesor. De esta manera, la caracterización del uso de los modos de representación y la manera en la que el profesor modelaba los diferentes mecanismos de desarrollo del concepto nos han proporcionado los medios para identificar las diferentes perspectivas de la práctica. Desde nuestro punto de vista y de acuerdo con Simon et al. (2000), las perspectivas de la práctica son construcciones teóricas derivadas de los datos empíricos, pero no son monolíticas. La “Perspectiva tradicional” que hemos identificado en nuestra investigación podemos caracterizarla de la siguiente forma: - La visión que el profesor tiene del desarrollo-construcción de los conceptos es que no hay relaciones entre las distintas formas de conocer un concepto. Se considera la forma de conocer acción y alguna forma de conocer proceso. Los sistemas de representación son usados sin relaciones entre ellos y 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 4En el original “trustworthiness”. 312 En cuanto a la validez de la investigación (adecuación a los criterios de calidad de una investigación), Cobb (2000) plantea que se están produciendo cambios en la forma de enfocar los problemas y resultados en Educación Matemática, la teoría ha pasado a considerarse emergiendo a partir de la práctica y guiándola. Considera que se pueden considerar dos “características” en las metodologías de investigación, generabilidad, ajustabilidad4 (carácter fidedigno) refiriéndose a los análisis teóricos en los experimentos de enseñanza. Creemos que son criterios válidos de manera general. La característica de generabilidad para Coob (2000): “no es generalización en sentido tradicional de que las características de casos particulares son o ignoradas o tratadas como elementos intercambiables de un conjunto a los que se pretenden aplicar afirmaciones... lo que es generalizable es la forma de interpretar y actuar que preserva las características específicas de los casos individuales” (p. 327) En relación a la otra característica, Coob (2000) señala que: “La ajustabilidad se refiere a lo razonable y justificado de las inferencias y afirmaciones. La noción de ajustabilidad reconoce que un rango de análisis plausibles pueden hacerse a un conjunto de datos con una variedad de propósitos distintos” (p. 328) Nuestra investigación pensamos que se puede considerar acorde con ambas características. Respecto a la generalidad, los dos casos analizados dan lugar a dos caracterizaciones de la práctica a través de la modelación que hace el profesor de la descomposición genética bastante distintas y ambas nos permiten pensar que la forma de interpretar que hemos utilizado es suficientemente general 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 313 al poderse relacionar con los resultados de otros estudios. Respecto a la ajustabilidad, hemos tenido en consideración la propuesta metodológica para el análisis de Coob y Whitenack (1996). Además en los diferentes análisis hemos hecho indicación expresa de la inferencia realizada, y hemos tenido en consideración que las explicaciones que hemos dado formaran un todo coherente para la descripción de la modelación de la descomposición genética realizada por el profesor y de la perspectiva de la práctica. Por otro lado, Schoenfeld (2000) indica algunos criterios para evaluar las teorías, modelos e investigaciones en Educación Matemática, nuestro trabajo se ajusta a dichos criterios de la siguiente manera. Poder descriptivo, creemos que nuestra propuesta de uso de la modelación de la descomposición genética realizada por el profesor a través de los instrumentos de la práctica nos permiten describir la práctica del profesor. Esta aproximación no necesita dar cuenta de todo, pero si de aquellos aspectos que queremos destacar, como el propio Schoenfeld (2000) señala “los modelos son aproximaciones”. Poder explicativo, en el sentido de que puede explicar en términos de “comprensión potencial” lo que los profesores “hacen” en su práctica, es lo que hemos señalado anteriormente sobre los propósitos del profesor con los instrumentos y su uso, enseñanza para la comprensión. Alcance, en el sentido de que es aplicable a diferentes perspectivas de la práctica del profesor. Creemos que tiene un potencial amplio, como queda de manifiesto con los dos casos empíricos recogidos en la memoria. Ambos casos dan como resultado perspectivas bastante diferentes, y la caracterizaciones teóricas nos permiten concluir que el rango de casos a los que cabe aplicar nuestro análisis es amplio. La generabilidad descrita por Coob (2000) como 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 314 característica de las interpretaciones permite concluir el alcance amplio de la teoría. Schoenfeld (2002), considera el examen de diferentes casos es una buena forma de “evaluar” el alcance de una teoría que está emergiendo. Poder predictivo, nuestro trabajo permite hacer predicciones, en dos sentidos, por un lado nos permite hablar del aprendizaje potencial que pueden llegar a realizar los estudiantes, y por otro lado puede permitir hacer predicciones de la evolución o desarrollo del profesor. Respecto al desarrollo del profesor de forma hipotética podemos admitir que su práctica puede variar respecto a la analizada en un momento dado, pero el desarrollo del profesor será hacia modelación de la descomposición genética (y por tanto de la perspectiva inferida) que no será “muy diferente” de la identificada, es decir, a “cambios pequeños”del profesor le siguen pequeñas perturbaciones en la modelación de la descomposición genética, y es posible que descomposiciones genéticas de diferentes conceptos tengan rasgos y aspectos comunes, que dan lugar a una perspectiva de la práctica “global” independiente del concepto matemático concreto. Rigor y especificidad, nosotros hemos indicado expresamente las elecciones realizadas desde el punto de vista teórico, desde la práctica del profesor (los instrumentos de la práctica), desde la construcción de conocimiento (modelo de comprensión APOS), cómo conjugamos ambos “chequeando” las acciones del profesor. Hemos definido los términos que usamos, por ejemplo, cómo entendemos la modelación de la descomposición genética de la noción, realizada por el profesor, y los instrumentos de la práctica junto con su uso que hacen visible dicha modelación. En cuanto al rigor, es similar a lo que Coob (2000) plantea como ajustabilidad, que ya hemos comentado anteriormente. 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 5En el original falsifiability. 6En el borrador disponible en internet Schoenfeld (1998 a) sobre la enseñanza en contexto únicamente hace referencia a estos tres criterios. 7Feasibility en el original. 315 Falsabilidad5, relativo a no hacer afirmaciones tautológicas y predicciones no verificables, este criterio está ligado a los dos criterios anteriores. Replicabilidad, pensamos que con la forma de realizar las inferencias, justificadas en todos los casos y la explicitación de los elementos teóricos, nuestra investigación es replicable, este criterio está conectado con el criterio de rigor y especificidad. Múltiple fuentes de evidencia (triangulación) hemos utilizado distintas fuentes de datos, entrevista previa, entrevistas de desarrollo, grabaciones de las clases, unidades didácticas, que nos han permitido elaborar viñetas detalladas, la fase de planificación que se puede considerar una fase de la práctica, la hemos considerado como fuente de datos. Además hemos utilizado como triángulación, una idea procedente de la triangulación que utilizan los investigadores del marco APOS, y es el consenso de los investigadores para realizar las inferencias. Autores como Borko y Peressini (1998) consideran algunos de estos criterios6, poder explicativo, poder predictivo y alcance, apropiados para juzgar la calidad de teorías en Educación Matemática. Borko y Peressini (1998) incluyen un nuevo criterio sobre la viabilidad de realizar estas investigaciones, pero este criterio ya no se refiere a la calidad propiamente de la investigación sino a la posibilidades reales de llevar a cabo estos análisis en el marco de programas de formación del profesorado, referido a la propuesta de Schoenfeld y colegas (“Enseñanza-en-Contexto”). Coob (2000) considera que el criterio de replicabilidad7 es un criterio que carece de sentido cuando se están haciendo tentativas de construir teoría a partir de un conjunto de datos, situación esta 5.- Discusión e implicaciones José María Gavilán Izquierdo 316 última en la que nos encontramos. 4.- PERSPECTIVAS DE FUTURO Nuestra investigación nos deja una serie de cuestiones que pensamos pueden ser motivo de estudio en futuras investigaciones: -- ¿Cómo evoluciona la modelación de la descomposición genética realizada por el profesor cuando se analizan dos periodos cercanos del mismo profesor y del mismo concepto? Centrarnos en el desarrollo de la perspectiva de la práctica. -- ¿Podríamos aislar las características de la práctica que están más allá del concepto matemático concreto? -- ¿Qué papel desempeña el software como instrumento de la práctica? -- En un futuro podemos ir ampliando este tipo de trabajos con un análisis de la comprensión que llegan a obtener los estudiantes, incluyendo investigaciones con datos que nos hablen de su comprensión de los estudiantes. Algunas investigaciones en relación a ¿cómo se refleja la práctica de lo profesores en los que los estudiantes comprenden? ya se están realizando tal y como las hemos comentado anteriormente (Kendal y Stacey, 2001a, b; Weber, 2004). Por otro lado creemos que nuestra investigación de la práctica del profesor puede aportar información para los formadores de profesores de matemáticas. Así en el diseño de programas de formación de profesores de matemáticas existe la posibilidad de utilizar las caracterizaciones de las diferentes perspectivas de la práctica. REFERENCIAS Referencias José María Gavilán Izquierdo 317 REFERENCIAS Adler, J. (1999). The Dilemma of Transparency: Seeing and Seeing Through Talk in the Mathematics Classroom. Journal for Research in Mathematics Education, 30 (1), pp. 47-64. Adler, J. (2000). Conceptualising Resources as a Theme for Teacher Education. Journal of Mathematics Teacher Education, 3, pp. 205-224. Alesandrov, A. D., Kolmogorov, A. N. y Laurentiev, M. A. (1988). La matemática: su contenido, métodos y significado. Alianza Universidad, Madrid. Apostol, T. M. (1979). Análisis Matemático (segunda edición). Reverté S.A., Barcelona. Artaud, M. y Chevallard, Y. (2001). Le processus de regulation dans la constitution de routines professorales. En Dorier, J. L., Artaud, M., Artigue, M., Berthelot, R. y Floris, R. (Eds.) 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