Ondas gravitacionales

Uni e sidad de Se illa
DOBLE GRADO EN F´
ISICA Y MATEM ´
ATICAS
ONDAS GRAVITACIONALES
Au o :
Alejand o Rosendo Pa o
Tu o :
´
Al a o Dom´
ınguez ´
Al a ez
9 de julio de 2025
I
Resumen
En el p esen e abajo es udia emos una b e e in oducci
´
on a la eo
´
ıa gene al de la ela i idad, o mulada
o iginalmen e po Albe Eins ein en la segunda d
´
ecada del siglo XX. Pa a ello, p ecisa emos de concep os
de espacios cu os sob e a iedades iemannianas e in oduci emos el e ec o g a i a o io que se p oduce
sob e el espacio- iempo a a
´
es de las ecuaciones de campo de Eins ein. Una ez es ablecido el ma co
de abajo, pa icula iza emos la eo
´
ıa pa a desc ibi las ondas g a i acionales, pe u baciones en el
espacio- iempo de ecien e de ecci´
on en cen os como LIGO o Vi go.
II
Abs ac
In he p esen a icle we shall s udy a b ie in oduc ion o he gene al heo y o ela i i y, o iginally
o mula ed by Albe Eins ein du ing he ea ly yea s o he XX cen u y. To do so, we will equi e
some knowledge abou iemannian mani olds. We will hen make he connec ion be ween g a i y and
he concep o cu a u e o he mani old, h ough he Eins ein ield equa ions. Once we s ablish ou
amewo k, we will s udy he pa icula case o g a i a ional wa es, pe u ba ions in space- ime, ha ha e
been ecen ly measu ed in acili ies such as LIGO and VIRGO.
´
Indice gene al
1. In oducci´
on 1
2. Teo ´
ıa especial de la ela i idad 3
2.1. E ec os b´
asicos de la ela i idad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. Coo denadas espaciales pe pendicula es al mo imien o . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2. Dila aci´
on empo al................................. 4
2.1.3. Con acci´
on de longi ud pa alela al mo imien o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4. P´
e didadesimul aneidad.............................. 6
2.2. T ans o maciones de Lo en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Sis emana u aldeunidades................................. 9
2.4. EspaciodeMinkowski ................................... 10
2.4.1. In a iancia del in e alo ∆s2............................ 10
2.4.2. Vec o es....................................... 11
2.4.3. T ans o maci´
onin e sa............................... 12
2.4.4. P oduc o escala y no ma en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Cuad i elocidad y cuad imomen o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6. In uici´
on sob e la ela i idad gene al. P incipio de equi alencia . . . . . . . . . . . . . . 15
3. ´
Algeb a enso ial en espacios cu os 19
3.1. Tenso es........................................... 19
3.1.1. Co ec o es ..................................... 19
3.1.2. Tenso es M
N.................................... 21
3.1.3. G adien e como co ec o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Va iedades iemannianas .................................. 23
3.2.1. S´
ımbolos de Ch is o el y de i ada co a ian e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2. T anspo e pa alelo y geod´
esicas.......................... 28
3.2.3. Tenso de cu a u a. Des iaci´
on geod´
esica .................... 29
3.2.4. Iden idades de Bianchi, enso de Ricci y enso de Eins ein . . . . . . . . . . . 34
4. Ecuaciones de Eins ein. Ondas g a i acionales 36
4.1. Ecuaciones de campo de Eins ein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III
´
INDICE GENERAL IV
4.2. Ecuaciones de Eins ein pa a campo d´
ebil.......................... 38
4.2.1. T ans o maciones de Lo en z de ondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2. T ans o maciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3. Ecuaciones de campo d´
ebil............................. 40
4.2.4. L´
ımi enew oniano ................................. 41
4.3. Ondasg a i acionales.................................... 42
4.3.1. E ec o de las ondas g a i acionales sob e pa ´
ıculas lib es . . . . . . . . . . . . 44
4.3.2. Pola izaci´
on de ondas g a i acionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.3. De ecci´
on de ondas g a i acionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Conclusi´
on 49
Bibliog a ´
ıa 50
Ap´
endices 51
A.1. Demos aci´
on de la in a ianza del in e alo espacio- empo al . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.2. Demos aci´
on del eo ema de plani ud local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.3. Demos aci´
on de la elaci´
on en e los s´
ımbolos de Ch is o el y el enso m´
e ico . . . . 52
A.4. Pa ´
ame os independien es del enso cu a u a de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.5.Modelodepol o ...................................... 55

Cap´
ı ulo 1
In oducci´
on
En mec
´
anica cl
´
asica, las ecuaciones de mo imien o y de g a i aci
´
on desa olladas po Isaac New on
son consis en es con unas ans o maciones desc i as po Galileo en 1638, dando esul ado al p incipio de
ela i idad de Galileo. Es as ans o maciones desc iben el cambio de coo denadas de un suceso
´
ısico
obse ado desde dos sis emas ine ciales, siendo una de las suposiciones de Galileo asumi que in e alos de
iempo en e dos sucesos medidos po dis in os obse ado es ine ciales deben se iguales en conco dancia
con la expe iencia co idiana. No obs an e, as el descub imien o de la eo
´
ıa del elec omagne ismo,
esumido en las ecuaciones desa olladas po James Cle k Maxwell en 1864, su ge una disco dancia con
es e p incipio: las ecuaciones de Maxwell no son in a ian es bajo ans o maciones de Galileo.
En consecuencia, a p incipios del siglo XX, se busca una soluci
´
on pa a casa el elec omagne ismo
con las eo
´
ıas cl
´
asicas. T as el echazo a la eo
´
ıa del
´
e e como medio de p opagaci
´
on de ondas elec o-
magn
´
e icas y di e sos expe imen os (como el de Miche son-Mo ley), se llega a unas ans o maciones
que man en
´
ıan in a ian e la es uc u a de las ecuaciones de Maxwell, pe o que sugie en un cambio en las
ideas de la mec´
anica cl´
asica. Es as son las ans o maciones de Lo en z.
En pa alelo, Eins ein desa olla una eo ´
ıa bas´
andose en dos simples pos ulados:
1. Todos los sis emas de e e encia ine ciales son equi alen es.
2. La elocidad de la luz en ac´
ıo, c, es cons an e en odo sis ema de e e encia ine cial.
Pa iendo de es as dos ideas b
´
asicas, podemos llega a las ans o maciones de Lo en z, do
´
andolas de un
signi icado
´
ısico, su giendo as
´
ı la idea de un espacio cuad idimensional (las es coo denadas espaciales
y la coo denada empo al) ca ac e izado po dichas ans o maciones: el espacio de Minkowski.
Pos e io men e, Eins ein expande su eo
´
ıa consiguiendo aba ca la desc ipci
´
on de la g a edad median-
e una idea simple: el p incipio de equi alencia. De acue do con es e p incipio, es imposible dis ingui
localmen e la g a edad y la acele aci
´
on median e expe imen os
´
ısicos. Una consecuencia del p incipio es
el e ec o g a i a o io sob e la luz, p e iamen e desconocido al conside a que la luz es una onda elec o-
magn
´
e ica que no posee masa. Es e e ec o ha sido comp obado, po ejemplo, median e los expe imen os
de Rebka y Pound al medi el co imien o al ojo su ido po o ones al ascende una o e, o midiendo la
cu a u a de un ayo de luz al pasa ce ca del Sol.
1
CAP´
ITULO 1. INTRODUCCI ´
ON 2
El obje i o de es e abajo se
´
a o mula las ecuaciones de Eins ein que ca ac e izan la eo
´
ıa gene al
de la ela i idad. Es a eo
´
ıa, a pesa de educi se al caso new oniano en los l
´
ımi es adecuados, ab e una
se ie de nue os campos de es udio como el de las ondas g a i acionales. Ob end emos dichas ondas como
soluciones de las ecuaciones de Eins ein y deduci emos sus p opiedades.
Las uen es empleadas en el abajo ienen ecogidas en el co espondien e apa ado de bibliog a
´
ıa:
[
1
], [
2
] y [
3
]. Pa a e i a la epe ici
´
on de es as a lo la go del ex o, no ha emos menci
´
on en cada ocasi
´
on a
odas ellas.
Cap´
ı ulo 2
Teo ´
ıa especial de la ela i idad
Vamos a ealiza una b e e desc ipci
´
on de la eo
´
ıa especial de la ela i idad bas
´
andonos en los
dos p incipios de Eins ein. Es a eo
´
ıa, sin emba go, no es capaz de explica las din
´
amicas de cue pos
some idos a la in e acci
´
on g a i a o ia pe o los esul ados que ob end emos se i
´
an de base pa a pode
in oduci nos en la eo ´
ıa gene al, que goza de un mayo alcance p edic i o.
2.1. E ec os b´
asicos de la ela i idad especial
Pa a nues o p op
´
osi o, un sis ema de e e encia ine cial se
´
a un sis ema de cua o coo denadas
( , x, y, z)
pa a el cual la dis ancia en e pun os es independien e del iempo y el i mo de paso del iempo
es independien e del pun o. En es e sen ido, podemos en ende un sis ema ine cial como un obse ado
do ado de egla y eloj, capaz de asigna unas coo denadas espacio- empo ales a cada suceso. La di e encia
en e la ela i idad de Galileo y la de Eins ein adica en las ans o maciones en e coo denadas de sucesos
pa a dis in os sis emas, es o es, aunque cada obse ado po e el mismo ipo de eglas y elojes, desde el
pun o de is a de o os obse ado es es as pueden apa ece al e adas. O a di e encia cla e es la sepa aci
´
on
galileana de los concep os de iempo y espacio, a di e encia de la ela i idad de Eins ein en el que ambos
se a ec an mu uamen e de o ma na u al a pa i de sus pos ulados.
Conside a emos aho a dos sis emas de e e encia ine ciales,
S
y
¯
S
, que se mue en con elocidad
ela i a
y omamos, sin p
´
e dida de gene alidad, al eje espacial
x
apun ando en di ecci
´
on de dicha
elocidad. Vamos a e c
´
omo se elacionan las coo denadas
(¯
, ¯x, ¯y, ¯z)
medidas po
¯
S
con espec o a las
coo denadas ( , x, y, z)medidas po Sa a ´
es de cua o e ec os b´
asicos.
2.1.1. Coo denadas espaciales pe pendicula es al mo imien o
De ini emos p ime o la
longi ud p opia
de un cue po como aquella medida po el sis ema de e e encia
que e dicho cue po en eposo. Conside emos dos ba as de igual longi ud p opia y pe pendicula es a la
di ecci´
on xy en cuyos ex emos hemos colocado unos o ulado es. Las ba as se mue en con elocidad
ela i a
, y sean
S
y
¯
S
los sis emas de e e encia que en cada ba a en eposo (
´
ease ig. 2.1). Pongamos
el caso en que ambas ba as se ap oximan mu uamen e. Fij
´
andonos en el sis ema
S
, obse a
´
ıamos la
3
CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 4
Figu a 2.1: Izquie da: el sis ema
S
obse a a la ba a del sis ema
¯
S
ace ca se con elocidad
con su
longi ud disminuida. De echa: igual pa a
¯
S
al obse a a la ba a del sis ema
S
. De o ma an
´
aloga pod
´
ıa
e se si las longi udes se iesen aumen adas.
ba a del sis ema
¯
S
ap oxima se con elocidad
−
en di ecci
´
on
x
. Si desde el sis ema
S
las dis ancias
en e pun os pe pendicula es a la di ecci
´
on del mo imien o se iesen al e adas, una de las ba as deja
´
ıa
una ma ca en la o a a una al u a dependien e de si las dis ancias se iesen aumen adas o disminuidas.
Aplicando el p ime pos ulado, la si uaci
´
on es equi alen e a
¯
S
es ando en eposo y
S
mo i
´
endose en
sen ido posi i o del eje
x
, po lo que el e ec o se
´
ıa el mismo que an es. Al inaliza el expe imen o, ambos
obse ado es deben pode pone se de acue do sob e c
´
ual de las ba as ha sido ma cada po la o a, po
an o, las ma cas dejadas po las ba as s
´
olo pueden se explicadas si es as longi udes no se en al e adas
pa a ambos obse ado es.
2.1.2. Dila aci´
on empo al
El segundo pos ulado pe mi e emplea la elocidad de la luz
c
como un in a ian e en odos los sis emas,
jus i icando as
´
ı el uso de ayos de luz pa a ob ene las elaciones en e coo denadas en
S
y
¯
S
que es amos
buscando.
Sea
S
el sis ema de e e encia en eposo de un en, que iene sob e
´
el un espejo a al u a
h
y un emiso
de luz en el suelo (
´
ease ig. 2.2). El ayo de luz sald
´
a del emiso , se e leja
´
a y ol e
´
a al suelo lle
´
andole
un iempo
= 2h/c
. Podemos de ini , de o ma an
´
aloga a la longi ud p opia, el concep o de
iempo
p opio
como el iempo medido po el sis ema de e e encia que obse a un eloj en eposo. Si aho a
conside amos el sis ema
¯
S
de una pe sona ue a del en, el emiso y el eloj se mue en espec o a
´
el
con elocidad
hacia la de echa. Po el apa ado an e io ya podemos deci que la al u a del espejo se
´
a
la misma pa a ambos sis emas al a a se de una longi ud pe pendicula al mo imien o del en. La luz
segui ´
a aho a una ayec o ia en la que eco e ´
a una dis ancia mayo que podemos ob ene aplicando el
CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 11
2.4.2. Vec o es
De inimos un ec o del espacio de Minkowski ( ambi
´
en llamado e a ec o o cuad i ec o ) como
una colecci
´
on de cua o componen es que se ans o man de acue do a las ans o maciones de Lo en z
al ealiza un cambio de sis ema de e e encia ine cial. Tenemos as
´
ı el ec o desplazamien o
∆x =
(∆ , ∆x, ∆y, ∆z)
; en no aci
´
on de
´
ındices ponemos
∆x := {∆xα}
, donde
α= 0,1,2,3
. En la si uaci
´
on
es ´
anda en e dos sis emas de e e encia Sy¯
Sse cumple















∆x¯
0=γ( ∆x1+ ∆x0),
∆x¯
1=γ(∆x1+ ∆x0),
∆x¯
2= ∆x2,
∆x¯
3= ∆x3,
(2.24)
donde hemos usado la no aci
´
on
∆x¯α
pa a e e i nos a las coo denadas espec o a
¯
S
. En e dos sis emas
de e e encia mo i
´
endose ela i amen e en e s
´
ı de o ma m
´
as gene al, end emos que la ans o maci
´
on
de Lo en z en e ambos se
´
a una cie a combinaci
´
on lineal de sus componen es de o ma que siemp e se
deba cumpli (2.23). Podemos exp esa la ans o maci´
on de ec o es como
∆x¯α=
3
X
β=0
Λ¯αβ∆xβ:= Λ¯αβ∆xβ,(2.25)
donde
{Λ¯αβ}
es la ma iz
4×4
ep esen an e de la ans o maci
´
on, y hemos hecho uso ambi
´
en de la
no aci
´
on de suma de Eins ein (
´
ındices epe idos se con aen median e suma), que usa emos en el es o del
abajo.
Recalcamos aqu
´
ı que la no aci
´
on
¯α
no quie e deci que el alo del
´
ındice haya cambiado, es o es,
sigue omando los alo es
¯α= 0,1,2,3
, la ba a po an o solo hace e e encia a que es amos aho a en
el sis ema
¯
S
. O as no aciones aplican la dis inci
´
on al p opio ec o
∆¯xα
, no obs an e, en es e ex o nos
hemos decan ado po la p ime a pa a pode exp esa de o ma in ui i a la ans o maci´
on en e sis emas
Λ¯αβ, ecalcando que se es ´
a ans o mando del sis ema S(βsin ba a) al sis ema ¯
S(¯αcon ba a).
En i ud de la linealidad de las ans o maciones de Lo en z, el conjun o de ec o es as
´
ı de inidos
posee, e ec i amen e, es uc u a de espacio ec o ial. Podemos en onces de ini una base de ec o es en el
sis ema S,
e0= (1,0,0,0), e1= (0,1,0,0), e2= (0,0,1,0), e3= (0,0,0,1),(2.26)
de o ma que, pa a odo ec o 
A, enemos

A=A0e0+A1e1+A2e2+A3e3=Aαeα.(2.27)
Los coe icien es
Aα
se llaman componen es del ec o espec o de la base
{eα}
. De la misma o ma

CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 12
debemos ene , espec o al sis ema ¯
S,

A=A¯
0e¯
0+A¯
1e¯
1+A¯
2e¯
2+A¯
3e¯
3=A¯αe¯α.(2.28)
Cabe aho a ecalca que el ec o

A
no depende del sis ema de e e encia conside ado, mien as que sus
componen es y la base conside ada s
´
ı a ia
´
a en e sis emas. Es o es, ambas exp esiones deben se iguales:
A¯αe¯α=Aαeα.(2.29)
Sabiendo que las componen es de
S
se ans o man como las coo denadas espacio- empo ales (2.25), se
iene
A¯α= Λ¯αβAβ.(2.30)
Aplicamos es a ans o maci´
on a (2.29) pa a ob ene
A¯αe¯α= Λ¯αβAβe¯α=Aαeα.(2.31)
Podemos emplea aho a que el o den de las sumas de la exp esi
´
on izquie da es i ele an e pa a conmu a
los n
´
ume os
Λ¯αβ
y
Aβ
. Tambi
´
en podemos no a que los
´
ındices con a
´
ıdos median e suma son mudos, es
deci , podemos cambia la le a de los
´
ındices mien as que man engamos las sumas implicadas, lo que
nos pe mi e deduci
AαΛ¯
βαe¯
β=Aαeα=⇒AαΛ¯
βαe¯
β−eα= 0.(2.32)
Concluimos en onces con la ans o maci´
on en e ec o es base de dos sis emas de e e encia,
eα= Λ¯
βαe¯
β.(2.33)
No emos que la exp esi´
on di ie e de la ob enida pa a componen es, ec. (2.30).
Debido a la o ma de las ans o maciones de Lo en z, las bases de ec o es pa a dis in os sis emas
ine ciales no son necesa iamen e o ogonales ( ´
ease la igu a 2.5).
2.4.3. T ans o maci´
on in e sa
Como dedujimos en el apa ado (2.1), la ans o maci
´
on de Lo en z en e dos sis emas ine ciales s
´
olo
depende de la elocidad ela i a en e ellos. Sea
Λ¯
βα(− )
la ma iz que ep esen a la ans o maci
´
on de
Lo en z del sis ema
S
al sis ema
¯
S
que se mue e con elocidad
−
espec o a
S
. Po el p ime p incipio
odos los sis emas son equi alen es, po lo que es
´
alido conside a al sis ema
¯
S
en eposo mien as
que
S
se mue e con espec o a
´
el con elocidad
+
. La ans o maci
´
on de Lo en z del sis ema
¯
S
al
sis ema
S
se
´
a en onces
Λν¯
β( )
. Se iene que cumpli i ialmen e que, al aplica las dos ans o maciones
consecu i amen e, hayamos uel o al sis ema de pa ida, es deci , i de las coo denadas de
S
a las de
¯
S
y
CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 13
Figu a 2.5: T ans o maci
´
on de Lo en z como cambio de ejes de coo denadas en un ejemplo en dos
dimensiones y ep esen aci´
on de un ec o a bi a io en ambas bases.
despu´
es de las de ¯
Sa las de S. De o ma ma em´
a ica es o es
Λν¯
β(− )Λ¯
βα( ) = δνα=


0,si α=ν,
1,si α=ν,
(2.34)
donde
δνα
es la del a de K onecke , es deci , la ma iz in e sa de
Λ¯
βα( )
se ob iene cambiando
po
−
,
y en lo sucesi o omi i emos la dependencia expl´
ıci a con .
2.4.4. P oduc o escala y no ma en el espacio de Minkowski
La o ma del in e alo ∆s2sugie e de ini la no ma de cualquie ec o 
Acomo
|
A|2:= −(A0)2+ (A1)2+ (A2)2+ (A3)2.(2.35)
A di e encia de un espacio eucl
´
ıdeo, es a no ma no es de inida posi i a, es o es, hay ec o es pa a los
cuales
|
A|2<0
, llamados ec o es empo ales (po ejemplo, el in e alo en e dos sucesos que ocu en
en el mismo pun o espacial pa a un sis ema de e e encia); po lo an o se a a en ealidad de una
pseudo-no ma. Como las componen es
Aα
se ans o man igual que las coo denadas
∆xα
, el esul ado
(2.23) ob enido pa a la in a iancia del in e alo
∆s2
ambi
´
en aplica en es e caso a la no ma de los ec o es,
dando como esul ado que
|
A|2
es in a ian e Lo en z. Podemos de ini el p oduc o escala asociado a la
no ma de la siguien e o ma:

A·
B:= −A0B0+A1B1+A2B2+A3B3.(2.36)
La in a iancia de es e p oduc o escala se sigue i ialmen e a pa i de la in a iancia de la no ma, pues
2
A·
B=|
A+
B|2−|
A|2−|
B|2.(2.37)
CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 14
Es e p oduc o escala es sim´
e ico po de inici´
on.
Si aplicamos es as de iniciones a los ec o es de la base in oducida en (2.26), se encuen a









e0·e0=−1,
ei·ei= 1, i = 1,2,3,
eα·eβ= 0,si α=β.
(2.38)
Podemos de ini una ma iz que esuma es as elaciones:
ηαβ := eα·eβ=






−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1






.(2.39)
Se a a del enso m
´
e ico en el espacio de Minkowski, pues pe mi e exp esa el p oduc o escala de dos
ec o es de la siguien e o ma:

A·
B=AαBβηαβ.(2.40)
La in a iancia del p oduc o escala bajo ans o maciones de Lo en z, combinado con la ec. (2.30) de
ans o maciones de las componen es de ec o es, pe mi e conclui
η¯α¯
β= Λµ¯αΛν¯
βηαβ,(2.41)
es deci , el enso m´
e ico de Minkowski es in a ian e bajo ans o maciones de Lo en z.
2.5. Cuad i elocidad y cuad imomen o
Conside emos una pa
´
ıcula de masa en eposo
m
, es deci , la masa medida po un obse ado que e
a la pa
´
ıcula en eposo. En cada ins an e de iempo podemos de ini un sis ema de e e encia ine cial
que se mue e con la elocidad ins an
´
anea de la pa
´
ıcula en ese ins an e, llamado sis ema de e e encia
p opio. Si pa ame izamos la ayec o ia unidimensional
x(τ)
de la pa
´
ıcula con el iempo p opio
τ
, se
de ine la cuad i elocidad 
Ucomo

U:= dx
dτ ,(2.42)
que po cons ucci
´
on es un ec o angen e a la ayec o ia. De aqu
´
ı podemos de ini ambi
´
en el cuad imo-
men o po su an´
alogo cl´
asico,
p := m
U. (2.43)
N
´
o ese que en el sis ema de e e encia p opio la pa
´
ıcula es
´
a en eposo ins an
´
aneamen e,
x = (τ, 0,0,0)
,
de o ma que la cuad i elocidad es

U= (1,0,0,0) = e0
en ese sis ema. En un sis ema a bi a io
CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 15
end emos en onces, aplicando una ans o maci´
on de Lo en z,
Uα= Λα¯
β(e¯
0)¯
β= Λα¯
0.(2.44)
Y como la no ma es in a ian e Lo en z, se concluye
|
U|=−1
( ij
´
emonos en ec. (2.35)) en cualquie
sis ema de e e encia. En la con igu aci´
on es ´
anda nos queda pues
U0=γ= (1 − 2)−1/2, U1= γ = (1 − 2)−1/2, U2= 0, U3= 0.(2.45)
En el l
´
ımi e no ela i is a
( ≪1)
, las componen es espaciales de

U
se ap oximan a
( , 0,0)
, jus i icando
que la llamemos elocidad. En cuan o a la componen e empo al, su sen ido
´
ısico es
´
a elacionado con la
ene g´
ıa de la pa ´
ıcula pues, en el l´
ımi e no ela i is a de nue o,
p0=mU0=γm ≈m+1
2m 2,(2.46)
es deci , la ene g´
ıa cin´
e ica m´
as un ´
e mino cons an e, llamado ene g´
ıa de masa en eposo.
2.6.
In uici
´
on sob e la ela i idad gene al. P incipio de equi alencia
Has a aqu
´
ı enemos los concep os gene ales de la especial eo
´
ıa de la ela i idad. Vamos a e aho a
los equisi os de los que p ecisamos pa a pode inco po a la g a i aci´
on a es a eo ´
ıa.
Al es udia la g a i aci
´
on cl
´
asica de New on, su gen dos concep os a p ime a is a independien es: la
masa ine cial y la masa g a i a o ia. La p ime a hace e e encia a la esis encia impues a po un obje o al
cambio en su elocidad, y iene dada po la segunda ley de New on,

F=mine ciala, (2.47)
donde

F
es la ue za eje cida sob e el cue po y
a
la acele aci
´
on que expe imen a el mismo. La segunda
hace e e encia a la can idad de ma e ia del obje o en s
´
ı y que cuan i ica c
´
omo la ue za de la g a edad
ac ´
ua sob e ´
el,

Fg=mg a i a o ia−→
g , (2.48)
donde

Fg
es la ue za g a i a o ia y
g
es la acele aci
´
on g a i a o ia, que s
´
olo depende de la uen e de
g a edad conside ada.
Expe imen almen e, odo obje o some ido
´
unicamen e a ue zas g a i a o ias expe imen a el mismo
alo de acele aci
´
on
g
. Se cons a a que es o puede explica se si, igualando ambas exp esiones an e io es,
conside amos que la masa ine cial y g a i a o ia son p opo cionales y, con la elecci
´
on ap opiada de
unidades, iguales:
a =mine cial
mg a i a o ia
g. (2.49)
Es e hecho ha sido p o ado con g an p ecisi
´
on y se puede comp oba , po ejemplo, en c
´
ama as de ac
´
ıo
CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 16
Figu a 2.6: Fo mulaciones equi alen es del p incipio de equi alencia. Izquie da: equi alencia en e ca
´
ıda
lib e y eposo ine cial. De echa: equi alencia en e campo g a i a o io y acele aci´
on uni o me.
es udiando el iempo que a dan obje os de dis in a masa en cae una cie a al u a. Es a p opiedad es
exclusi a de la g a edad, po ejemplo, el elec omagne ismo a ec a de o ma di e en e a ca gas posi i as
o nega i as y la acele aci
´
on que esul a s
´
ı depende de la ca ga de la pa
´
ıcula en cues i
´
on. Es e hecho
lle
´
o a Eins ein a o mula el p incipio de equi alencia, seg
´
un el cual un sis ema de e e encia en
ca
´
ıda lib e bajo un campo g a i a o io es localmen e ine cial (
´
ease la igu a 2.6). Pa a en ende es o,
conside emos un obse ado y un obje o en es e sis ema de e e encia. Al es a some ido al mismo campo
g a i a o io, acele a
´
an con la misma magni ud y, po an o, el obse ado e
´
a al obje o en eposo.
Es e p incipio p opo ciona en onces una equi alencia en e obse ado es en eposo en espacio lib e de
g a edad y obse ado es en ca
´
ıda lib e den o de un campo g a i a o io. Una o mulaci
´
on equi alen e del
p incipio es ablece que son indis inguibles un sis ema en eposo en un campo g a i a o io y o o acele ado
uni o memen e, si uaci
´
on in e sa a la an e io . Conside emos una pe sona ence ada en una caja ce ada
acele ada uni o memen e en una di ecci
´
on. Inicialmen e, la pe sona lo a
´
a den o de la caja has a que es a
oque a la pe sona, eje ciendo sob
´
e
´
el una ue za. La pe sona pasa
´
a a es a de pie eniendo que eje ce
una ue za pa a man ene se en equilib io de la misma o ma a como se iene que eje ce una ue za pa a
es a de pie en p esencia de la g a edad de la Tie a. A su ez, odo obje o que es a pe sona lance den o
de la caja cae
´
a de mane a simila a c
´
omo lo ha
´
ıa en la Tie a, aunque desde ue a es ealmen e la caja
la que es
´
a acele ando y inalmen e consigue oca a los obje os pa a a as a los en la di ecci
´
on de su
acele aci´
on, sin emba go, desde den o, no pod ´
ıamos sabe en cu´
al de las si uaciones nos encon amos.

CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 17
Figu a 2.7: T ayec o ia de un ayo de luz seg
´
un un obse ado acele ado espec o a un obse ado ine cial
en eposo.
Una de las consecuencias m
´
as no ables de es e p incipio es el e ec o g a i a o io sob e la luz. Consi-
de emos de nue o la caja acele ada uni o memen e en la que hemos colocado en un lado de la misma
un o i icio po el que en a luz (
´
ease la igu a 2.7). Es a llega
´
a al o o lado de la caja dec ibiendo una
ayec o ia cu a pa a el obse ado den o de la caja aunque segui
´
a una l
´
ınea ec a pa a un obse ado
ine cial ue a. Seg
´
un el p incipio de equi alencia, es a si uaci
´
on es indis inguible de un obse ado en
eposo en un campo g a i a o io: po an o, la luz debe
´
a cu a se en p esencia de g a edad. Es o ue
comp obado expe imen almen e en 1919 al medi la des iaci
´
on de la luz p o enien e de una es ella al
pasa ce ca del Sol du an e un eclipse sola .
Figu a 2.8: En ojo las ue zas de ma ea causadas po la di e encia de g a edad en e dos cue pos ce canos
some idos al mismo campo g a i a o io.
El p oblema que su ge aho a es que, den o de un campo g a i a o io, el sis ema de e e encia en
ca
´
ıda lib e no es el mismo en odos los pun os del espacio debido a la al a de uni o midad del campo:
cue pos en ca
´
ıda lib e en di e en es pun os del campo lo hacen con dis in as acele aciones. Adem
´
as, a
medida que caen, expe imen an una acele aci
´
on g a i a o ia a iable en el iempo, en con a de nues a
suposici
´
on inicial de un campo cons an e en el iempo. Es a al a de uni o midad en el campo conduce
a las llamadas ue zas de ma ea (causan es de las ma eas debido a la di e encia de g a edad eje cida
po la Luna y el Sol a lo la go del di
´
ame o e es e,
´
ease igu a 2.8). Es o lle a a la conclusi
´
on que
CAP´
ITULO 2. TEOR´
IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 18
Figu a 2.9: Rep esen aci
´
on simpli icada en dos dimensiones de las no uni o midades del campo g a i a o-
io: en un en o no peque˜
no de un pun o el espacio es ap oximadamen e plano.
dichos sis emas s
´
olo pueden se ine ciales de o ma local en el espacio- iempo. En es e con ex o cob a
impo ancia el concep o de cu a u a ( e
´
ase igu a 2.9). El espacio de Minkowski es plano en el sen ido
eucl
´
ıdeo de pa alelismo: ayec o ias inicialmen e pa alelas pe manece
´
an as
´
ı si ninguna ue za ac
´
ua
sob e los cue pos. Sin emba go, el espacio que que emos desc ibi con la eo
´
ıa gene al de la ela i idad es
in
´
ınsecamen e cu o: las ayec o ias de obje os bajo un campo g a i a o io no p ese an el pa alelismo
debido a es as ue zas de ma ea. En conclusi
´
on, pa a comp ende la desc ipci
´
on ela i is a de la g a edad
p ecisamos es udia las bases ma em´
a icas de las a iedades de Riemann.
Cap´
ı ulo 3
´
Algeb a enso ial en espacios cu os
Pa a desa olla la eo
´
ıa gene al de la ela i idad, eque imos de he amien as ma em
´
a icas capaces de
desc ibi la in uici
´
on de Eins ein sob e la g a edad y c
´
omo es a a ec a al espacio- iempo. Es udia emos
la de inici
´
on ma em
´
a ica de enso y llega emos a la exp esi
´
on del enso de Riemann que desc ibe la
cu a u a del espacio- iempo.
3.1. Tenso es
G acias a la simplicidad del espacio de Minkowski, amos po el momen o a ealiza las de iniciones y
cons ucciones del
´
algeb a enso ial pa a es e caso conc e o, y en ende emos pos e io men e los an
´
alogos
co espondien es a la a iedad cu a que nos desc ibi
´
a el espacio- iempo. Es o se
´
a posible g acias a las
hip´
o esis de egula idad impues as a dicha a iedad.
3.1.1. Co ec o es
Ma em
´
a icamen e, un co ec o (1- o ma o ec o co a ian e)
ep
es una unci
´
on lineal que asocia a cada
ec o (o ec o es con a a ian es)

V
un n
´
ume o eal
ep
V
. As
´
ı de inidos, los co ec o es cumplen con
los axiomas de espacio ec o ial po la linealidad impues a: si
ep
,
eq
son co ec o es y
α
es un n
´
ume o eal,
en onces 

ep
V+eq
V= (ep+eq)
V,
eqα
V= (αeq)
V.
(3.1)
El espacio ec o ial compues o po los co ec o es se llama espacio dual.
Conside emos una base de ec o es
{eα}α=0,1,2,3
. Llamamos componen es del co ec o
ep
al alo que
oma aplic´
andolo a los ec o es de la base:
pα:= ep(eα).(3.2)
N
´
o ese que hemos usado sub
´
ındices pa a las componen es del co ec o , po oposici
´
on al supe
´
ındice pa a
las componen es de ec o es. Es o es as
´
ı pa a se consis en es con la no aci
´
on de suma, pues enemos que
19
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 20
pa a cualquie ec o 
Aes
ep(
A) = ep(Aαeα) = Aαep(eα) = Aαpα=pαAα.(3.3)
Veamos c
´
omo se compo an las componen es de un co ec o an e una ans o maci
´
on de Lo en z. Si
{e¯
β}
es la base de ec o es medida desde el sis ema
¯
S
sabemos c
´
omo se ans o man g acias a la ecuaci
´
on
(2.33). As´
ı,
p¯
β=ep(e¯
β) = ep(Λα¯
βeα) = Λα¯
βep(eα) = Λα¯
βpα.(3.4)
Compa ando el esul ado con la ecuaci
´
on (2.33), emos que las componen es de un co ec o se ans o man
de la misma o ma que los ec o es de una base, lo cual implica que el n
´
ume o eal
ep(
A) = pαAα
es
in a ian e Lo en z:
pαAα= Λ¯
βαp¯
βΛα¯νA¯ν= Λ¯
βαΛα¯νp¯
βA¯ν=δ¯
β¯νp¯
βA¯ν=p¯
βA¯
β,(3.5)
donde hemos enido en cuen a las ans o maciones (2.30), (3.4) y la iden idad (2.34).
Como el espacio dual ambi
´
en es un espacio ec o ial, podemos conside a una base conc e a
{ewα}
del mismo , de o ma que
ep=pαewα.(3.6)
Tenemos as´
ı, pa a odo ec o 
A,
ep(
A) = pαewα(
A) = pαewα(Aβeβ) = pαAβewα(eβ).(3.7)
Compa ando es a exp esi´
on con (3.3), llegamos a
ewα(eβ) = δαβ.(3.8)
De o ma an
´
aloga a la deducci
´
on de la ecuaci
´
on (2.33) pa a una base de ec o es, podemos ob ene que
los elemen os de la base de co ec o es se ans o man igual que los componen es de ec o es, es deci ,
ew¯α= Λ¯αβewβ.(3.9)
Dado el p oduc o escala (2.40) en el espacio de Minkowski, de inimos la aplicaci´
on
g(
A, 
B) := 
A·
B=AαBβηαβ,(3.10)
que asocia dos ec o es con su p oduc o escala . Es a aplicaci
´
on nos pe mi e cons ui , pa a odo ec o

V, un co ec o asociado al mismo de la o ma
e
V(·) := g(
V , ·),(3.11)
es o es, la aplicaci
´
on que oma cualquie ec o y lo en
´
ıa a su p oduc o escala po

V
. Po la linealidad del
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 27
Po ejemplo, pa a el enso (3.24) se ob iene la de i ada co a ian e
Rαβ;γ=Rαβ,γ +RµαΓαµγ −RαµΓµβγ.(3.46)
Es as de iniciones son
´
alidas en un sis ema de coo denadas a bi a io. Sin emba go el eo ema de plani ud
local, que nos asegu a que la a iedad iene localmen e la geome
´
ıa de Minkowski has a segundo o den,
implica que en un sis ema de Lo en z local del pun o
P
, los s
´
ımbolos de Ch is o el se anulan. Es deci ,
los elemen os de la base no a ´
ıan a p ime o den y se e i ica
Vα;β=Vα,β en P, (3.47)
pa a ec o es, pe o ambi
´
en pa a enso es de ango a bi a io. En pa icula , pa a el enso m
´
e ico se iene
gαβ;γ=gαβ,γ = 0 en P, (3.48)
donde la
´
ul ima igualdad p o iene del eo ema de plani ud local, ec. (3.35). Como se a a de una igualdad
enso ial ´
alida en un sis ema de coo denadas, debe se lo ambi´
en en cualquie o o y se concluye
gαβ;γ= 0,(3.49)
es el enso nulo en la a iedad.
Es os esul ados nos pe mi en exp esa los s
´
ımbolos de Ch is o el en unci
´
on de las componen es
del enso m
´
e ico. P ime o necesi amos comp oba que los s
´
ımbolos de Ch is o el son sim
´
e icos en
sus dos
´
ul imas componen es. Conside emos un campo escala
ϕ
. Ya sabemos que su p ime a de i ada
co a ian e es el co ec o
∇ϕ
de componen es
ϕ;α=ϕ,α
. Su de i ada segunda es un enso de ango
0
2
de componen es ϕ,α;β. Po la plani ud local,
ϕ,α;β=ϕ,α,β =ϕ,β,α =ϕ,β;α,(3.50)
g acias a que las de i adas c uzadas conmu an (asegu ado po la di e enciabilidad del espacio). Es e
esul ado es una igualdad enso ial, debe da se po an o en odo sis ema de coo denadas. Empleando la
de inici´
on (3.44) de de i ada co a ian e pa a co ec o es, enemos
ϕ,β,α −ϕ,µΓµβα =ϕ,α,β −ϕ,µΓµαβ,(3.51)
y deducimos que
Γµβα = Γµαβ.(3.52)
Po o a pa e, la de i ada co a ian e del enso m
´
e ico se esc ibe como en la ec. (3.46). Aplicando
la iden idad (3.49), la sime
´
ıa de los s
´
ımbolos de Ch is o el y enomb ando
´
ıncides mudos cuando sea

CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 28
con enien e, podemos llega a la exp esi´
on
gαβ,µ +gαµ,β −gβµ,α = 2gανΓνβµ.(3.53)
Pa a una demos aci
´
on m
´
as de allada e
´
ase el ap
´
endice A.3. Aplicando (3.32) a (3.53), llegamos inalmen e
a la exp esi´
on que busc´
abamos:
Γγβµ =1
2gαγ(gαβ,µ +gαµ,β −gβµ,α).(3.54)
3.2.2. T anspo e pa alelo y geod´
esicas
Has a aho a hemos a ado de ex ende esul ados ob enidos pa a espacios planos. Vamos en onces a
es udia un p oceso cuyo esul ado di ie e seg
´
un la geome
´
ıa
´
ın inseca del espacio que es emos a ando:
el anspo e pa alelo. Imaginemos una pe sona caminando po la supe icie es
´
e ica de la Tie a. Realiza
una ayec o ia ce ada caminando desde el ecuado a uno de los polos, gi ando has a ol e al ecuado en
o o pun o, y inalmen e e o nando al pun o de pa ida ( e
´
ase la igu a (3.2)). Si dicha pe sona in en a
man ene un ec o pa alelo en e pun os consecu i os de su ayec o ia, el ec o al comple a el eco ido
no se ´
a pa alelo al ec o o iginal de pa ida.
Figu a 3.2: T anspo e pa alelo a lo la go de una es e a: el ec o que se anspo a acaba con una
o ien aci´
on di e en e a la de pa ida.
Es e en
´
omeno no sucede pa a supe icies planas y es una ca ac e
´
ıs ica de la p opia cu a u a de la
es e a. El p oceso eci
´
en desc i o se conoce como anspo e pa alelo. Ma em
´
a icamen e, si enemos una
cu a con ec o angen e

U
y que emos ealiza el anspo e pa alelo del campo ec o ial

V
, debemos
man ene es e ec o cons an e al desplaza nos a lo la go de la cu a, es deci , el g adien e co a ian e de

Va lo la go de 
Udebe anula se,
0 = Uβ∇β
V=UβVα;βeα.(3.55)
Es a es una igualdad enso ial que debe da se en cualquie sis ema coo denadas.
En un espacio plano, las l
´
ıneas ec as se pueden de ini como aquellas que anspo an pa alelamen e
su p opio ec o angen e. En nues o caso podemos de ini las geod
´
esicas como aquellas cu as que
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 29
ealizan anspo e pa alelo de su p opio ec o angen e. Es deci ,
∇
U
U= 0 =⇒UβUα,β + ΓαµβUµUβ= 0 =⇒d
dλ dxα
dλ + Γαµβ
dxµ
dλ
dxβ
dλ = 0,(3.56)
donde
λ
es el pa
´
ame o de la cu a geod
´
esica
x(λ)
y

U:= dx/dλ
. Se a a de una ecuaci
´
on di e encial
de segundo o den, que iene soluci
´
on
´
unica pa a unas condiciones iniciales de
xα
y
Uα
. Es e ipo de
cu as son de g an impo ancia po que la ayec o ia de un cue po en ca
´
ıda lib e es, como e emos en el
p ´
oximo cap´
ı ulo, una geod´
esica del espacio- iempo.
3.2.3. Tenso de cu a u a. Des iaci´
on geod´
esica
Vamos a ob ene la exp esi
´
on pa a el enso de cu a u a de Riemann que ca ac e iza el anspo e
pa alelo de un ec o a lo la go de ayec o ias in ini esimales. P ime o e emos po sencillez un caso
muy conc e o que gene aliza emos pos e io men e.
Sea la cu a ce ada compues a po cua o ayec o ias de coo denadas cons an es:
x2=b
,
x1=a+δa
,
x2=b+δb
y, inalmen e,
x1=a
(
´
ease la igu a 3.3). Sean los pun os de in e secci
´
on en e dichas
ayec o ias
P= (a, b)
,
Q= (a+δa, b)
,
S= (a+δa, b+δb)
y
T= (a, b+δb)
. Es udiemos el anspo e
pa alelo de un ec o cualquie a

V
, empezando en el pun o
P
. La ley (3.55) de anspo e pa alelo implica
∇e1
V= 0 =⇒∂V α
∂x1=−Γαµ1Vµ,(3.57)
a lo la go del camino de PaQ. Po an o,
Vα(Q)−Vα(Pinicial) = ZQ
P
∂V α
∂x1dx1=−ZQ
P
Γαµ1Vµdx1,(3.58)
donde
Vα(Pinicial)
se e ie e al ec o inicial en el pun o
P
(es a dis inci
´
on es ele an e pues, al eg esa
de nue o al pun o
P
, el ec o se
´
a di e en e). Tenemos esul ados similia es pa a el anspo e en e
Q
y
S
,
S
y
T
y, po
´
ul imo, en e
T
y
P
de eg eso. Pa a los anspo es en e
S
y
T
y en e
T
y
P
debemos
ene en cuen a que se ealizan en di ecci
´
on nega i a de sus espec i as coo denadas, implicando un
cambio de signo. As´
ı, 


























Vα(S)−Vα(Q) = −ZS
Q
Γαµ2Vµdx2,
Vα(T)−Vα(S) = ZT
S
Γαµ1Vµdx1,
Vα(P inal)−Vα(T) = ZP
T
Γαµ2Vµdx2,
(3.59)
donde aho a
Vα(P inal)
se e ie e al ec o inal en el pun o
P
. Sumando odas las ecuaciones ob enemos
el cambio p oducido en el ec o

V
al anspo a lo pa alelamen e a lo la go del ci cui o ce ado
PQSTP
:
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 30
Figu a 3.3: Ejemplo de camino ce ado in ini esimal de l
´
ıneas coo denadas in oluc ando las coo denadas
x1yx2.
δV α:= Vα(P inal)−Vα(Pinicial)
=−Zx2=b
Γαµ1Vµdx1−Zx1=a+δa
Γαµ2Vµdx2+Zx2=b+δb
Γαµ1Vµdx1+Zx1=a
Γαµ2Vµdx2
=Za+δa
a
(Γαµ1Vµ|x2=b+δb −Γαµ1Vµ|x2=b)dx1−Zb+δb
b
(Γαµ2Vµ|x1=a+δa −Γαµ2Vµ|x1=a)dx2.
(3.60)
Realizando aho a una ap oximaci´
on de p ime o den en los in eg andos,
Γαµ2Vµ|x1=a+δa ≈Γαµ2Vµ|x1=a+δa ·∂
∂x1(Γαµ2Vµ)|x1=a,(3.61)
se encuen a
δV α≈δb Za+δa
a
∂
∂x2(Γαµ1Vµ)|x2=bdx1−δa Zb+δb
b
∂
∂x1(Γαµ2Vµ)|x1=adx2.(3.62)
Realizamos o a ap oximaci
´
on de p ime o den conside ando los in eg andos ap oximadamen e cons an es
en los cambios in ini esimales δa yδb:
δV α≈δaδb ∂
∂x2(Γαµ1Vµ)−∂
∂x1(Γαµ2Vµ).(3.63)
Empleamos aho a la egla de la cadena y la ecuaci
´
on (3.57) pa a elimina las de i adas del ec o . As
´
ı
enemos inalmen e
δV α=δaδb(Γαµ1,2−Γαµ1,2+ Γαν2Γνµ1−Γαν1Γνµ2)Vµ.(3.64)
No emos que el hecho de in e cambia los
´
ındices
1
y
2
lle a a un cambio de signo, es deci , el e ec o
se ´
ıa in e so al eco e la ayec o ia ce ada en sen ido in e so, como cab ´
ıa espe a .
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 31
Es e esul ado sugie e de ini el enso
R
que, al hace lo ac ua sob e los a gumen os
ewα
,

V
,
eµδa
y
eνδb
, p opo ciona la componen e
δV α
asociada al cambio en el ec o

V
as el anspo e pa alelo
al ededo de un camino ce ado in ini esimal dado po
eµδa
y
eνδb
. A la is a de la ecuaci
´
on (3.64), las
componen es de dicho enso son
Rαβµν = Γαβν,µ −Γαβµ,ν + ΓασµΓσβν −ΓασνΓσβν,(3.65)
que se denomina enso cu a u a de Riemann, y es de ango 1
3.
Vamos aho a a ob ene una exp esi
´
on del enso de cu a u a en el sis ema de e e encia de Lo en z
local en unci
´
on del enso m
´
e ico. Pa a ello, se de i a la ecuaci
´
on (3.54) y se emplea ec. (3.35) pa a
ob ene la ecuaci´
on
Γαµν,σ =1
2gαβ(gβµ,ν,σ +gβν,µ,σ −gµν,β,σ).(3.66)
Usando ambi
´
en que, localmen e,
Γαµν = 0
, y que las de i adas c uzadas conmu an,
gβµ,ν,σ =gβµ,σ,ν
,
llegamos a la exp esi´
on buscada en el sis ema de Lo en z local de un pun o:
Rαβµν =1
2gασ(gσν,β,µ −gσµ,β,ν +gβµ,σ,ν −gβν,σ,µ).(3.67)
Bajando aho a el p ime ´
ındice usando la iden idad (3.32) enemos
Rαβµν =gαλRλβµν =1
2(gαν,β,µ −gαµ,β,ν +gβµ,α,ν −gβν,α,µ),(3.68)
´
alida en el sis ema de e e encia local de Lo en z. Una exp esi
´
on m
´
as compleja se puede ob ene pa a
el enso de cu a u a en unci
´
on del enso m
´
e ico y sus de i adas de p ime y segundo o den pa a
un sis ema de e e encia a bi a io; no obs an e, a la ho a de emplea la exp esi
´
on di ec a del enso de
Riemann, nos bas a ´
a con la ecuaci´
on (3.68).
De la sime
´
ıa del enso m
´
e ico se deducen las siguien es sime
´
ıas del enso de Riemann en el
sis ema de e e encia local:
Rαβµν =−Rβαµν =−Rαβνµ =Rµνβα,(3.69)
Rαβµν +Rανβµ +Rαµνβ = 0.(3.70)
A di e encia de (3.68), que incluye de i adas o dina ias, es as elaciones s
´
ı son iden idades enso iales,
po lo que deben se
´
alidas en odo sis ema de e e encia. Se puede p oba (
´
ease el ap
´
endice A.4 pa a
mayo de alle) que odas es as es icciones educen el n
´
ume o de pa
´
ame os independien es en
Rαβµν
desde las
4×4×4×4 = 256
componen es, a solo 20, el mismo n
´
ume o de pa
´
ame os que no podemos
anula en
gαβ,µ,ν
( e ap
´
endice A.2), indicando que el enso de Riemann ca ac e iza la cu a u a de o ma
enso ial. En el caso conc e o de un espacio plano, el anspo e pa alelo de cualquie ec o en una cu a
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 32
Figu a 3.4: Ejemplo de la des iaci
´
on de geod
´
esicas en la supe icie de una es e a: dos ec o es pa alelos
en el ecuado de inen dos geod´
esicas p ´
oximas que acaban co ´
andose en los polos.
a bi a ia lo man iene in a ian e. Po an o
Rαβµν = 0 si y s´
olo si el espacio es plano.(3.71)
El enso de Riemann ambi
´
en p opo ciona una o ma de ob ene la des iaci
´
on en e geod
´
esicas, es o
es, ya sabemos que en el espacio plano las l
´
ıneas pa alelas man ienen su sepa aci
´
on si se ex ienden a odo
el espacio, pe o en uno cu o es e no es el caso: po ejemplo las geod
´
esicas de una supe icie es
´
e ica (las
ci cun e encias maximales) se co an en dos pun os aun siendo pa alelas en el ecuado (
´
ease la igu a
(3.4)).
Conside emos dos geod
´
esicas de un espacio gen
´
e ico con ec o es angen es

V
y

V′
, espec i amen e,
que empiezan pa alelas y p
´
oximas en e s
´
ı en los pun os
A
y
A′
. Podemos emplea el mismo pa
´
ame o
λ
pa a pa ame iza ambas cu as y deno a las geod
´
esicas
xα(λ)
y
xα′(λ)
, espec i amen e. De inimos
pa a cada alo del pa
´
ame o el ec o

ξ(λ)
que conec a los pun os co espondien es en ambas cu as en
el sen ido de Ahacia A′, es deci
ξα(λ) = xα′(λ)−xα(λ),(3.72)
e
´
ase la igu a 3.5. Fijemos unas coo denadas locales de Lo en z en el pun o inicial
A
omando la
coo denada
x0
en di ecci
´
on de la geod
´
esica, es deci ,
Vα=δα0
y
V′α=δα0
, po se pa alelas
inicialmen e. La ecuaci´
on geod´
esica (3.56) pa icula izada pa a es os dos casos conduce a:
d2xα
dλ2A
= 0,d2xα′
dλ2A′
+ Γα00(A′) = 0,(3.73)
pues o que los s
´
ımbolos de Ch is o el se anulan en
A
(o igen del sis ema de coo denadas de Lo en z
local), pe o no necesa iamen e en
A′
. Realizando aho a un desa ollo en se ie de
Γα00(A′)
en o no al
pun o A, enemos
Γα00(A′)=Γα00(A)+Γα00,β(A)ξβ+O(ξ)2= Γα00,β(A)ξβ+O(ξ)2.(3.74)

CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 33
Figu a 3.5: Rep esen aci
´
on g
´
a ica de la des iaci
´
on de geod
´
esicas: dos de ellas que comienzan pa alelas
en e s´
ı acaban des i´
andose, lo que iene cuan i icado en el ec o 
ξ.
Usando en onces las ecuaciones (3.72) y (3.73), esul a
d2ξα
dλ2A
=d2xα′
dλ2A′−d2xα
dλ2A≈ −Γα00,β(A)ξβ(A).(3.75)
Pa a ans o ma es a ecuaci
´
on en una exp esi
´
on enso ial
´
alida en cualquie sis ema coo denado,
calculamos el g adien e co a ian e de 
ξa lo la go de 
V:
∇
Vξα=Vβξα;β=Vβ(ξα,β +ξµΓαµβ) = d
dλξα+VβξµΓαµβ.(3.76)
En el pun o inicial, Vµ=δµ0, po lo que nos queda
∇
Vξα=d
dλξα+ξµΓαµ0.(3.77)
Ya que ∇
Vξαes a su ez un ec o , podemos ambi´
en aplica le (3.77),
∇
V∇
Vξα=∇
V(∇
Vξα) = d
dλ(∇
Vξα)+(∇
Vξµ)Γαµ0.(3.78)
Aunque podemos a i ma que los s
´
ımbolos de Ch is o el se anulan en el pun o
A
, al se el o igen del
sis ema de Lo en z local, no podemos deci lo mismo de sus de i adas, po lo que nos queda, al sus i ui
la ec. (3.77) en (3.78),
∇
V∇
Vξα=d
dλ d
dλξα+ Γαµ0ξµ=d2
dλ2ξα+ Γαµ0,0ξµ,(3.79)
donde hemos usado la condici
´
on inicial de pa alelismo de las geod
´
esicas
ξα,0(A) = 0
. Aplicando el
esul ado (3.75) a (3.79), llegamos inalmen e a la exp esi´
on
∇
V∇
Vξα= (Γαβ0,0−Γα00,β)ξβ=Rα00βξβ,(3.80)
donde hemos empleado (3.67). El esul ado an
´
alogo se iene en gene al pa a un ec o

V
cualquie a
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 34
esp esen ando a dos geod´
esicas a bi a ias, es deci ,
∇
V∇
Vξα=RαµνβVµVνξβ.(3.81)
Es a exp esi
´
on se conoce como la ecuaci
´
on de des iaci
´
on geod
´
esica. Mues a c
´
omo, en un espacio plano
con
Rαµνβ = 0
, las geod
´
esicas man ienen su sepa aci
´
on. En un espacio cu o gen
´
e ico, es a exp esi
´
on
ma em
´
a ica mues a que, si asumimos que las pa
´
ıculas iajan siguiendo ayec o ias geod
´
esicas en el
espacio- iempo, la cu a u a del mismo hace que pa
´
ıculas p
´
oximas puedan di e gi . Se a a de las
llamadas ue zas de ma ea del campo g a i a o io, causadas po la des iaci
´
on de la m
´
e ica del espacio
iempo espec o a aquella de uno plano.
3.2.4. Iden idades de Bianchi, enso de Ricci y enso de Eins ein
Vamos, a pa i del enso de cu a u a, a de ini una se ie de enso es que se
´
an de g an impo ancia
en el p ´
oximo cap´
ı ulo. De i amos p ime o la ecuaci´
on (3.68) pa a llega a la exp esi´
on,
Rαβµν,λ =1
2(gαν,β,µ,λ −gαµ,β,ν,λ +gβµ,α,ν,λ −gβν,α,µ,λ).(3.82)
G acias a la p opiedad conmu a i a de las de i adas c uzadas, enomb ando
´
ındices, llegamos a las
iden idades de Bianchi en el sis ema local Lo en z,
Rαβµν,λ +Rαβλµ,ν +Rαβνλ,µ = 0.(3.83)
Como los s
´
ımbolos de Ch is o el se anulan en el sis ema de e e encia de Lo en z, enemos las iden idades
de Bianchi como igualdades enso iales al eemplaza la de i ada o dina ia po la co a ian e,
Rαβµν;λ+Rαβλµ;ν+Rαβνλ;µ= 0.(3.84)
De inimos aho a el enso de Ricci como la con acci
´
on del enso de Riemann en e su p ime y e ce
´
ındice:
Rαβ := Rµαµβ =Rβα.(3.85)
Se a a de un enso de ango
2
0
sim
´
e ico debido a las sime
´
ıas deducidas del enso de Riemann (3.69)
y (3.70). De inimos ambi
´
en el escala de Ricci como la con acci
´
on del enso de Ricci con el enso
m´
e ico
R:= gµνRµν =gµνgαβRαµβν.(3.86)
Como la de i ada co a ian e del enso m
´
e ico es nula (ec. (3.49)), la acci
´
on de subi y baja
´
ındices
conmu a con la de i ada co a ian e, lo que nos pe mi e esc ibi a pa i de la ecuaci´
on (3.84) la elaci´
on
gαν(Rαβµν;λ+Rαβλµ;ν+Rαβνλ;µ) = Rβν;λ−Rβλ;ν+Rµβνλ;µ= 0,(3.87)
CAP´
ITULO 3. ´
ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 35
en
´
e minos del enso de Ricci y empleando las elaciones de sime
´
ıa con enien es. Podemos con ae
es a exp esi´
on nue amen e con el enso m´
e ico:
gβν(Rβν;λ−Rβλ;ν+Rµβνλ;µ) = 0 =⇒R;λ−Rµλ;µ+(Rµλ;µ) = 0 =⇒(2Rµλ−δµ
λR);µ= 0.(3.88)
Es as ecuaciones se conocen como iden idades de Bianchi. Si de inimos aho a el enso sim
´
e ico de
Eins ein
Gαβ := Rαβ −1
2gαβR=Gβα,(3.89)
en onces bajando uno de los ´
ındices, las ecuaciones de Bianchi (3.88) lle an a la iden idad
Gαβ ;β= 0.(3.90)
En las ecuaciones que ca ac e izan a la eo
´
ıa gene al de la ela i idad que e emos en el siguien e
cap
´
ı ulo, la in luencia de la m
´
e ica y la cu a u a en la
´
ısica ienen ep esen ados po el enso de
Eins ein. Ve emos as
´
ı c
´
omo las iden idades de Bianchi lle an a la conse aci
´
on de la ene g
´
ıa y momen o.
Cap´
ı ulo 4
Ecuaciones de Eins ein. Ondas g a i acionales
Con la nue a desc ipci
´
on del espacio- iempo como una a iedad (pseudo-) iemanniana, es amos ya en
disposici
´
on de o mula las ecuaciones que desc iben el mo imien o de los cue pos en el mismo. Pa a
ello p ime o hay que elaciona la idea
´
ısica del p incipio de equi alencia is o en la secci
´
on 2.6 con
una in e p e aci
´
on ma em
´
a ica en nues o pa adigma: seg
´
un dicho p incipio, odo cue po sien e la misma
acele aci
´
on en p esencia de un campo g a i a o io, es deci , en el sis ema de e e encia de Lo en z local
ning
´
un cue po end
´
a acele aci
´
on si no se e a ec ado po o as ue zas. Con es o podemos en ende
en onces que las ayec o ias de los cue pos en ca
´
ıda lib e son localmen e ec as, idea equi alen e al
concep o de geod
´
esica is o en el apa ado an e io . Po an o el pos ulado de Eins ein consis e en supone
que los cue pos en ca
´
ıda lib e siguen ayec o ias que son geod
´
esicas den o de la a iedad que ep esen a
al espacio- iempo.
Una consecuencia de es as ideas, explo ada en epe idas ocasiones en el cap
´
ı ulo an e io , consis e en
que, g acias a que la a iedad sea localmen e plana, podemos eemplaza localmen e las de i adas o dina-
ias con la de i ada co a ien e co espondien e, con i iendo as
´
ı una exp esi
´
on enso ial minkowskiana en
una
´
alida sob e oda la a iedad (pseudo-) iemanniana. Es a idea se
´
a cla e pos e io men e pa a ob ene
las ecuaciones de campo de Eins ein.
4.1. Ecuaciones de campo de Eins ein
Eins ein elabo
´
o sus ecuaciones de la eo
´
ıa gene al de la ela i idad imponiendo que es as se eduje an
a las de New on en los l
´
ımi es co espondien es. La ecuaci
´
on de New on pa a un po encial g a i a o io
ϕ
es
∇2ϕ= 4πρ, (4.1)
donde
ρ
es la densidad de masa y hemos empleado las unidades na u ales (
G= 1
). Un p oblema que
su ge en onces es que, dada la equi alencia en e masa y ene g
´
ıa, las nue as ecuaciones deben inco po a
a cualquie ipo de apo e ene g
´
e ico, no solo aquel de la masa en eposo. Adem
´
as debe se una ecuaci
´
on
enso ial que no dependa de un sis ema de coo denadas espec
´
ı ico. Pues la ene g
´
ıa po s
´
ı sola es un escala
que a
´
ıa espec o al sis ema conside ado. Po ello, Eins ein emple
´
o el enso de ene g
´
ıa-es ue zo (o
36
CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 43
que su icien emen e lejos se pueden desc ibi en la ap oximaci´
on de campo d´
ebil, ec. (4.31),
□¯
hαβ =¯
hαβ,µ ,µ =−∂2
∂ 2+∇2¯
hαβ = 0,(4.39)
donde
Tµν = 0
en el ac
´
ıo lejos de la uen e. Es a es la ecuaci
´
on de onda idimensional, que posee
soluciones de onda plana
¯
hαβ =Aαβeikµxµ=Aαβeikµxµ,(4.40)
donde
{kα}
son las componen es de un co ec o y la ampli ud
{Aαβ}
las de un enso sim
´
e ico de
ango
2
0
. La soluci
´
on gene al se pod
´
a exp esa como supe posici
´
on de es as ondas planas. Exis en, sin
emab go, es icciones adicionales sob e los pa
´
ame os
kµ
y
Aαβ
. Sus i uyendo la soluci
´
on (4.40) en la
ecuaci´
on (4.39), se encuen a
ikµ¯
hαβ,µ =−kµkµ¯
hαβ = 0.(4.41)
Como ¯
hαβ no es la soluci´
on i ial, es o implica la es icci´
on
kµkµ= 0.(4.42)
Esc ibiendo
k0:= ω
, la ecuencia de la onda, queda

k= (ω, k)
y la ecuaci
´
on (4.42) conduce a la elaci
´
on
de dispe si´
on
ω2=|k|2,(4.43)
es deci , la onda plana (4.40) se p opaga a la elocidad de la luz. El gauge de Lo en z a
˜
nade las cua o
es icciones adicionales (4.25), po lo que nues a soluci´
on gene al debe cumpli
Aαβkβ= 0,(4.44)
es deci , Aαβ es o ogonal a kβ.
Reco demos que el gauge de Lo en z es
´
a de inido excep o po un ec o a bi a io
ψα
que e i ica
(4.29), y que omamos como
ψα=Bαeikµxµ,(4.45)
donde
kµ
es el mismo co ec o elegido an e io men e. En onces, la ans o maci
´
on (4.26) de la pe u ba-
ci´
on ¯
hαβ conduce a una ampli ud ans o mada
Aαβ =AO
αβ −iBαkβ−iBβkα+iηαβBµkµ,(4.46)
donde
AO
αβ
deno a la ampli ud p e ia a la ans o maci
´
on (es o es,
ψα= 0
). La libe ad en la elecci
´
on de
Bα
pe mi e impone dos ipos de es icciones que con o man el conocido como gauge ans e sal y sin
aza:
Aαα= 0,(4.47)
AαβUβ= 0,(4.48)

CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 44
donde
Uβ
es un ec o cons an e que elegimos a bi a iamen e. Es e conjun o de ecuaciones de e mina de
o ma ´
unica el ec o Bαy, po ende ψα. La es icci´
on sob e la aza del enso implica la igualdad
hTT
αβ =¯
hTT
αβ ,(4.49)
donde el supe
´
ındice
TT
hace e e encia al gauge en que nos encon amos (sin aza y ans e sal). Po la
condici´
on (4.48) elijamos
Uβ=δβ0,(4.50)
que implica
Aα0= 0
pa a odo
α
. O ien emos aho a nues o sis ema de coo denadas de o ma que la
di ecci
´
on de p opagaci
´
on sea el sen ido posi i o del eje
z
, es deci ,

k= (ω, 0,0, ω)
de acue do con la
elaci
´
on de dispe si
´
on (4.43). As
´
ı, ambas es icciones (4.47) y (4.44) implican que
Aαz = 0
, es deci ,
el enso
Aαβ
es ans e sal a la di ecci
´
on de p opagaci
´
on y de ah
´
ı la denominaci
´
on “ ans e sal”del
gauge. Con es as dos condiciones, s
´
olo
Axx
,
Ayy
y
Axy =Ayx
(po la sime
´
ıa de
¯
hαβ
) son no nulos.
La es icci
´
on (4.47) sob e la aza implica
Axx =−Ayy
. En de ini i a, hemos deducido que exis en
ealmen e solo dos componen es independien es del enso ,
ATT
xx
y
ATT
xy
. Habiendo ago ado la libe ad del
gauge, es as componen es deben posee alg
´
un signi icado
´
ısico. Es ilus a i o esc ibi la m
´
e ica (o el
in e alo) en es e gauge:
ds2=−d 2+dz2+ (1 + hxx)dx2+ (1 −hxx)dy2+ 2hxydxdy. (4.51)
4.3.1. E ec o de las ondas g a i acionales sob e pa ´
ıculas lib es
Conside emos aho a una pa
´
ıcula en el campo de una onda g a i acional. La pa
´
ıcula lib e desc ibi
´
a
una ayec o ia geod´
esica y su cuad i elocidad Uα end ´
a dada po la ec. (3.56):
d
dτ Uα+ ΓαµνUµUν= 0,(4.52)
donde
τ
es el iempo p opio de la pa
´
ıcula. Pa a esol e es a ecuaci
´
on omamos como condici
´
on inicial
la ec. (4.50) que ya se emple
´
o pa a ija el gauge, es deci , la pa
´
ıcula es
´
a inicialmen e en eposo en
el sis ema de e e encia del obse ado . Pe o en onces se puede comp oba que es a cuad i elocidad es
soluci´
on de la ecuaci´
on (4.52) po que se educe a
d
dτ Uα=−Γα00 =−1
2ηβα(hT T
β0,0+hTT
0β,0−hTT
00,β) = 0.(4.53)
La
´
ul ima iden idad se sigue de que
hTT
β0= 0
, pues en es e gauge las
´
unicas componen es no nulas del
enso
hαβ
co esponden a
hTT
xx
y
hTT
xy
. En conclusi
´
on, es posible encon a un sis ema coo denado en el
que la pa
´
ıcula apa ece en eposo siemp e a pesa de la dis o si
´
on espacio- empo al debida a la onda
g a i acional.
Pa a pode obse a el e ec o de la onda, omamos dos pa
´
ıculas cuya coo denada
x
inicial di ie e
en una can idad
ϵ
in ini esimal,
´
ease igu a 4.1. La dis ancia
´
ısica
ℓ( )
en e las pa
´
ıculas se ob iene a
CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 45
Figu a 4.1: Rep esen aci´
on de la sepa aci´
on a iable en el iempo en e pa ´
ıculas a lo la go del eje x.
pa i del in e alo dado po la ec. (4.51):
ℓ( ) = Z|ds2|1/2=Z|gαβdxαdxβ|1/2=Zϵ
0|gxx|1/2dx
≈ |gxx(x= 0, )|1/2ϵ≈1 + 1
2hTT
xx (x= 0, )ϵ. (4.54)
Po an o, el signi icado
´
ısico de
hTT
xx
es que p opo ciona la dis ancia en e pa
´
ıculas, la cual cambia con
el iempo seg
´
un la ecuaci
´
on de la onda g a i acional. No emos que es a dis ancia p opia in oluc a dos
can idades peque˜
nas, ϵyhTT
xx , po lo que el e ec o es peque˜
no y di ´
ıcil de medi .
O a o ma de medi es a sepa aci
´
on es median e el p opio an
´
alisis de des iaci
´
on geod
´
esica que
ealizamos en la secci
´
on 3.2.3. Vamos a abandona momen
´
aneamen e el sis ema de coo denadas
TT
pa a abaja en el sis ema p opio de la p ime a pa
´
ıcula. Aqu
´
ı el ec o
ξα
s
´
ı con iene in o maci
´
on de
la dis ancia p opia en e las pa
´
ıculas y pe mi e emplea en onces la ecuaci
´
on (3.81) de la des iaci
´
on
geod
´
esica de o ma simpli icada. Es o es as
´
ı pues la segunda de i ada co a ian e pasa a se una segunda
de i ada espec o al iempo p opio
τ
al anula se los s
´
ımbolos de Ch is o el localmen e en el pun o. En
conclusi´
on: d2
dτ2ξα=RαµνβUµUνξβ,(4.55)
donde hemos usado como ec o es angen es las cuad i elocidades de las pa
´
ıculas. En es e sis ema la
p ime a pa
´
ıcula es
´
a en eposo, po an o

U= (1,0,0,0)
e inicialmen e

ξ= (0, ϵ, 0,0)
es la sepa aci
´
on
espacial de ambas pa
´
ıculas en nues o ejemplo. En el sis ema p opio el iempo p opio es di ec amen e la
coo denada empo al, lle ando la ec. (4.55) a
∂2
∂ 2ξα=ϵRα00x=−ϵRα0x0,(4.56)
donde hemos empleado las sime
´
ıas del enso de Riemann (3.69). Con es o emos que podemos ob ene
de o ma indi ec a las componen es del enso de Riemann simplemen e obse ando la a iaci
´
on en
la dis ancia p opia en e pa
´
ıculas ce canas. Como el enso de Riemann es in a ian e gauge, la pa e
izquie da de la ecuaci
´
on an e io debe se lo ambi
´
en, pe mi i
´
endonos deci que la in e p e aci
´
on
´
ısica
de ξαcomo dis ancias p opias en e las pa ´
ıculas es, po an o, independien e del gauge. Usando (4.20),
enemos, ya en el Gauge
TT
, la exp esi
´
on ob enida en
´
e minos de las componen es independien es del
enso hαβ de la siguien e o ma:
Rx0x0=−1
2hTT
xx,0,0, Ry0x0=−1
2hTT
xy,0,0, Ry0y0=−1
2hTT
yy,0,0=1
2hTT
xx,0,0=−Rx0x0.(4.57)
CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 46
Po an o, pa a nues o caso de dos pa
´
ıculas sepa adas o iginalmen e en la di ecci
´
on
x
, las longi udes
p opias del ec o de sepa aci´
on 
ξsa is acen las ecuaciones di e enciales
∂2
∂ 2ξx=1
2ϵ∂2
∂ 2hT T
xx ,∂2
∂ 2ξy=1
2ϵ∂2
∂ 2hT T
xy .(4.58)
Es o es consis en e con lo ob enido en (4.54), sin emba go aho a hemos ob enido una ecuaci
´
on di e encial
que podemos emplea en di e sas si uaciones m
´
as gene ales. Es a ecuaci
´
on di e encial implica que la
acele aci
´
on p oducida sob e la segunda pa
´
ıcula desde el pun o de is a de la p ime a es semejan e a la
p oducida po una ue za cl
´
asica ac uando sob e dicha pa
´
ıcula. Es a es, inalmen e, la ue za de ma ea
que hab
´
ıamos desc i o en la secci
´
on 2.6. Es a desc ipci
´
on como ue za pe mi e desc ibi un p oblema con
ue zas adicionales, esol iendo simplemen e la segunda ley de New on con es a ue za de ma ea a
˜
nadida.
Po ejemplo es
´
u il p egun a nos c
´
omo se e a ec ado un obje o s
´
olido, some ido a ue zas de ligadu a
in e nas, al paso de una onda g a i a o ia. Es o es, hab
´
ıa que esol e la ecuaci
´
on pa a la acele aci
´
on
espacial de la sepa aci´
on 
ξen e pun os del s´
olido,
∂2
∂ 2ξi=−Ri0j0ξj+ai
B,(4.59)
donde
ai
B
es la acele aci
´
on debida a las ue zas el
´
as icas en el s
´
olido. De mane a usual, las ue zas de
ma ea son desp eciables compa adas con o as apo aciones, po lo que un obje o s
´
olido (como una egla)
se man end
´
a as
´
ı an e el paso de una onda g a i a o ia pe mi i
´
endonos, en eo
´
ıa, medi con una egla
s
´
olida el desplazamien o p o ocado po una de dichas ondas en e dos pa
´
ıculas sin que la p opia egla se
iese a ec ada po la misma. Es e e ec o de desplazamien o en e pa
´
ıculas ecinas se asocia con la idea
de que las ondas g a i acionales p oducen una dila aci´
on del espacio.
Vamos b e emen e a comen a lo que cabe espe a del es udio de la p opagaci
´
on de ondas g a i aciona-
les dejando de lado el caso de espacio ac
´
ıo. Si conside amos unas cie as uen es de g a edad a bi a ias,
es as gene a
´
an un enso m
´
e ico del espacio que, en gene al, no se
´
a plano,
gαβ =ηαβ
. Podemos segui
es udiando las ondas g a i acionales como pe u baciones del enso m
´
e ico co espondien e de la o ma
gαβ +hαβ
. El esul ado es, po an o, simila a una onda iajando a a
´
es de medios. De es a o ma
o ones y ondas g a i acionales de baja longi ud de onda que pa en de pun os ce canos segui
´
an iajando
p
´
oximas siemp e que lo hagan en ac
´
ıo. Si las geod
´
esicas po las que iajan con e gen, se p oduce un
e ec o de en oque conocido como len es g a i acionales. La di e encia aqu
´
ı con el elec omagne ismo
adica en que las ondas g a i acionales in e ac
´
uan d
´
ebilmen e con la ma e ia, como ilus a la ecuaci
´
on
(4.54). Po an o, segui
´
an geod
´
esicas co espondien es a las de la luz en ac
´
ıo, incluso en p esencia
de ma e ia (a di e encia de los o ones que se dispe san o abso ben al paso po la ma e ia). Las ondas
g a i acionales, po an o, lle an in o maci
´
on de las zonas m
´
as alejadas del uni e so, siendo muy
´
u iles
pa a es udia p ocesos en los que nues a he amien a usual, la luz, pie de mucha in o maci
´
on po el
camino. En e es os p ocesos de in e
´
es se encuen an la posibilidad de obse a en el cen o de una
supe no a o el es udio del Big Bang.
CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 47
4.3.2. Pola izaci´
on de ondas g a i acionales
De o ma an
´
aloga a lo ealizado en (4.58), podemos hace lo pa a dos pa
´
ıculas inicialmen e sepa adas
en di ecci´
on y. Tenemos as´
ı las ecuaciones
∂2
∂ 2ξy=−1
2ϵ∂2
∂ 2hT T
xx ,∂2
∂ 2ξx=1
2ϵ∂2
∂ 2hT T
xy .(4.60)
Las ecuaciones (4.58) y (4.60) con o man los undamen os de la pola izaci
´
on de ondas g a i acionales.
Una de es as onda iajando en la di ecci
´
on
z
dis o siona
´
a de o ma pe i
´
odica las dis ancias p opias en e
pa
´
ıculas en un mismo plano pe pendicula a es a di ecci
´
on (plano
XY
). Tenemos as
´
ı dos modos de
pola izaci
´
on dados po las dos componen es independien es
hTT
xx
y
hTT
xy
, las cuales esp esen an, po an o,
dos es ados de pola izaci
´
on lineal dis in os. En la igu a 4.2 se ep esen a c
´
omo e olucionan las dis ancias
en un plano pe pendicula a la di ecci
´
on de p opagaci
´
on de la onda pa a los casos en los que
hTT
xx = 0
,
hTT
xy = 0
y pa a
hTT
xx = 0
,
hTT
xy = 0
, espec i amen e. No emos que ambos si uaciones di ie en en una
simple o aci
´
on de
45
g ados a di e encia de las ondas elec omagn
´
e icas, cuyas pola izaciones di ie en
en 90 g ados. Es o se debe a que la na u aleza de la onda g a i acional iene desc i a po un enso de
segundo ango, mien as que la onda elec omagn´
e ica es ´
a desc i a po ec o es.
Figu a 4.2: Izquie da: si uaci
´
on inicial de pa
´
ıculas en eposo con dis ancias p opias con o mando una
ci cun e encia. Cen o: paso de una onda g a i acional con s
´
olo componen e en
hTT
xx
, que p o oca una
a iaci
´
on en el iempo de las dis ancias en las di ecciones
x
e
y
pa a dos ins an es de iempo
1
(a iba)
y
2
(abajo) cuyas ases ela i as es
´
an a 180 g ados. De echa: de la misma o ma pa a una onda con
pola izaci´
on en hTT
xy .
4.3.3. De ecci´
on de ondas g a i acionales
Una ez conocido el undamen o y el in e
´
es que p esen an las ondas g a i acionales, amos a comen a
de o ma b e e los m
´
e odos de de ecci
´
on de las mismas. La di icul ad de la de eccion de es as ondas
CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 48
adica en, como se comen
´
o con an e io idad en es e cap
´
ı ulo, el min
´
usculo o den de magni ud que
p esen an las ampli udes de la pe u baci
´
on
hµν
, haciendo que sean necesa ios m
´
e odos muy p ecisos
pa a pode medi las. De o ma adicional, al igual que las ondas elec omagn
´
e icas, las ondas g a i a o ias
ambi
´
en p esen an un espec o de longi udes de onda, cada una lle ando un ipo de in o maci
´
on di e en e
y p ecisando de m
´
e odos de de ecci
´
on di e sos. Algunos ipos de de ec o es empleados son los siguien es:
De ec o es de masa esonan e. Basan su p incipio de acci
´
on en la ib aci
´
on p oducida en una ba a
s
´
olida an e el paso de una onda g a i acional (como es udiamos en la secci
´
on 4.3.1). De o ma
in ui i a en nues o an
´
alisis an e io , imos que el e ec o de las ondas en masas s
´
olidas suje as a
ue zas in e nas es de un o den de magni ud muy bajo.
De ec o es con p
´
ulsa es. Un p
´
ulsa es una es ella de neu ones que o a elozmen e expulsando
haces di igidos de ondas de adio. La de ecci
´
on de los pulsos, suje a a la o aci
´
on de la es ella,
con o ma un eloj muy p eciso. Es udiando des iaciones en el pe
´
ıodo de de ecci
´
on de los pulsos
se puede in e i el paso de una onda g a i acional in e i iendo en la se˜
nal de adio.
In e e
´
ome os l
´
ase . Se basan en el uso de ayos de luz pa a la medici
´
on de peque
˜
nas pe u baciones
en las dis ancias p opias en e masas. Se a a de los de ec o es m
´
as sensibles en la ac ualidad,
con ando con cen os como LIGO en Es ados Unidos o VIRGO en I alia. En el a
˜
no 2015 los dos
de ec o es del LIGO de ec a on el paso de la p ime a onda g a i acional medida en la his o ia,
co espondien e a la usi
´
on de un sis ema bina io de aguje os neg os que dio luga a o o de meno
masa. La di e encia en ene g
´
ıas ue adiada en o ma de ondas g a i acionales. Es a de ecci
´
on p ueba
la e icacia p edic i a de la eo
´
ıa gene al de la ela i idad de Eins ein y da pie a la jus i icaci
´
on de
su es udio [4].

Cap´
ı ulo 5
Conclusi´
on
Hemos conseguido, de o ma sa is ac o ia, ealiza una desc ipci
´
on sob e el espacio- iempo que se
ajus a de o ma m
´
as p ecisa a las ideas de la
´
ısica ac ual. Con es a nue a eo
´
ıa, hemos en ado en un
pa adigma que p edice nue os en
´
omenos inimaginables en los a
˜
nos de la
´
ısica cl
´
asica de New on. De
es a o ma hemos podido analiza los undamen os de las ondas g a i acionales y jus i ica la elabo aci
´
on
de ins alaciones con ecnolog
´
ıa pun e a pa a ealiza medidas de las mismas. Un mayo abajo se
´
a
necesa io en el u u o pa a impulsa m
´
as los l
´
ımi es de las eo
´
ıas de Eins ein y, en nues o caso, pa a
ob ene mayo p ecisi
´
on a la ho a de de ec a ondas g a i acionales que apo en da os de in e
´
es sob e
nues o en endimien o del uni e so.
49
Bibliog a ´
ıa
[1] Ge ald Hol on. In oducci´
on a los concep os y eo ´
ıas de las ciencias ´
ısicas. 2.ª ed. Re e ´
e, 2009.
[2] Da id Mo in. Special Rela i i y Fo he En husias ic Beginne . Sel -published, 2017.
[3] Be na d Schu z. A Fi s Cou se in Gene al Rela i i y. 2.ª ed. Camb idge Uni e si y P ess, 2009.
[4]
B. P. Abbo e al., “Obse a ion o G a i a ional Wa es om a Bina y Black Hole Me ge ”, Phys.
Re . Le . 116, 061102.
50
Ap´
endices
A.1.
Demos aci
´
on de la in a ianza del in e alo espacio- empo al
Sin p
´
e dida de gene alidad, amos a ealiza la demos aci
´
on pa a la consigu aci
´
on es
´
anda de dos
sis emas mo i
´
endose ela i amen e en e s
´
ı con elocidad en el eje
x
. Es o es as
´
ı pues median e una
o aci
´
on de ejes podemos ans o ma cualquie sis ema en es e o o. Pa a es a con igu aci
´
on ya conocemos
la ans o maci
´
on de Lo en z co espondien e dada po (2.19). Po an o la ans o maci
´
on del in e alo
(2.22) es
∆¯s2=−(∆¯
)2+ (∆¯x)2+ (∆¯y)2+ (∆¯z)2
=−γ2( ∆x+ ∆ )2+γ2(∆x+ ∆ )2+ (∆y)2+ (∆z)2
=−γ2 2(∆x)2−γ2(∆ )2+ 2γ2 ∆x∆ +γ2(∆x)2+γ2 2(∆ )2+ 2γ2 ∆x∆ + (∆y)2+ (∆z)2
=−γ2(1 − 2)(∆ )2+γ2(1 − 2)(∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2.(A.1)
De la de inici´
on de γ(2.3) se sigue el esul ado que buscamos,
∆¯s2=−(∆ )2+ (∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2= ∆s2.(A.2)
A.2. Demos aci´
on del eo ema de plani ud local
Sea
{xα}
un sis ema de coo denadas y
{x¯α}
el sis ema ine cial local de Lo en z del pun o
P
. Debemos
ene una elaci
´
on en e ambos sis emas dadas po la ma iz de ans o maci
´
on (3.37). Sin p
´
e dida de
gene alidad, podemos oma
x¯α= 0
pa a las coo denadas del pun o
P
en el sis ema ine cial local.
En onces al expandi en se ie de Taylo los coe icien es de la ans o maci
´
on en un en o no de dicho
pun o:
Λα¯µ(x) = Λα¯µ(P) + x¯γ∂Λα¯µ
∂x¯γ(P) + 1
2x¯γx¯
λ∂2Λα¯µ
∂x¯
λ∂x¯γ(P) + O(x)3
= Λα¯µ(P) + x¯γ∂2xα
∂x¯µ∂x¯γ(P) + 1
2x¯γx¯
λ∂3xα
∂x¯
λ∂x¯γ∂x¯µ(P) + O(x)3,(A.3)
51
AP ´
ENDICES 52
al emplea la de inici
´
on (3.37) de la ma iz de ans o maci
´
on. Realizando un a amien o simila pa a
gαβ
enemos
gαβ(x) = gαβ(P) + x¯γ∂gαβ
∂x¯γ(P) + 1
2x¯γx¯
λ∂2gαβ
∂x¯
λ∂x¯γ(P) + O(x)3.(A.4)
La ans o maci
´
on del enso m
´
e ico debe cumpli la elaci
´
on de ans o maci
´
on (3.38), en la que podemos
sus i ui las ap oximaciones de Taylo , con lo que deducimos inalmen e
g¯µ¯ν(x) = Λα¯µ(P)Λβ¯ν(P)gαβ(P) + x¯γΛα¯µ(P)Λβ¯ν(P)gαβ,¯γ(P)
(A.5)
+Λα¯µ(P)gαβ(P)∂2xβ
∂x¯γ∂x¯ν(P)+Λβ¯ν(P)gαβ(P)∂2xα
∂x¯γ∂x¯µ(P)+O(x)2.(A.6)
Vamos a ealiza aho a un ecuen o de g ados de libe ad en es as ecuaciones pa a e si podemos
escoge la ans o maci´
on de o ma que cumpla los equisi os del eo ema:
Λα¯µ(P) iene 16 componen es independien es.
Po sime
´
ıa en el o den de las de i adas pa ciales,
∂2xα/∂x¯µ∂x¯γ(P)
iene
4×10 = 40
compo-
nen es independien es.
De mane a simila , ∂3xα/∂x¯
λ∂x¯γ∂x¯µ(P) iene 4×20 = 80 componen es independien es.
P ime o, ¿ enemos libe ad pa a supone
g¯µ¯ν(P) = η¯µ¯ν= Λα¯µ(P)Λβ¯ν(P)gαβ(P)
? Po sime
´
ıa
enemos
10
ecuaciones que podemos sa is ace con los
16
g ados de libe ad de
Λα¯µ(P)
y, adem
´
as, deja
6
g ados de libe ad pa a especi ica el ipo de ans o maci
´
on. Es e es el caso del espacio de Minkowski
con
3
g ados de libe ad pa a especi ica la elocidad en e sis emas y o os
3
pa a especi ica la posici
´
on
angula ela i a en e ambos.
¿Podemos supone ambi
´
en que
g¯α¯
β,¯µ(P) = 0
? El n
´
ume o de ecuaciones, po sime
´
ıa, es de
10 ×4 =
40
. Tenemos exac amen e
40
g ados de libe ad en la elecci
´
on de
∂2xα/∂x¯µ∂x¯γ(P) = ∂Λα¯µ/∂x¯γ(P)
.
Po an o, podemos encon a una ´
unica ans o maci´
on que cumpla con nues os equisi os.
Es a idea nos pe mi e ambi
´
en e po qu
´
e, en gene al, no podemos supone que
g¯α¯
β,¯µ,¯
λ(P) = 0
. Es as
son
10 ×10 = 100
es icciones y s
´
olo disponemos de
80
g ados de libe ad en
∂3xα/∂x¯
λ∂x¯γ∂x¯µ(P) =
∂2Λα¯µ/∂x¯
λ∂x¯γ(P). Tenemos as´
ı20 componen es en las segundas de i adas que no podemos anula .
A.3.
Demos aci
´
on de la elaci
´
on en e los s
´
ımbolos de Ch is o el y
el enso m´
e ico
De o ma simila a la ecuaci
´
on (3.46), podemos llega a la siguien e exp esi
´
on pa a la de i ada
co a ian e del enso m´
e ico:
gµν;β=gµν,β −gανΓαµβ −gµαΓανβ.(A.7)