Análisis dinámico de estructuras tether giroestabilizadas

Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:https://www.researchgate.net/publication/256094624 AnálisisDinámicodeEstructurasTether Giroestabilizadas(Dynamicanalysisofspinstabilizedtetherstructures) Thesis·February2006 DOI:10.13140/RG.2.1.1425.0401 CITATIONS 0 READS 54 1author: JuanValverde Virtualmech 25PUBLICATIONS141CITATIONS SEEPROFILE AllcontentfollowingthispagewasuploadedbyJuanValverdeon16January2017. Theuserhasrequestedenhancementofthedownloadedfile. TESIS An´alisis Din´amico de Estructuras Tether Giroestabilizadas por JUAN S. VALVERDE GARC´ IA Ingeniero Industrial presentada en la ESCUELA T´ ECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS de la UNIVERSIDAD DE SEVILLA para la obtenci´on del Grado de Doctor Ingeniero Industrial Sevilla, diciembre de 2005 An´alisis Din´amico de Estructuras Tether Giroestabilizadas Sevilla, diciembre de 2005 Fdo.- Jos´e L. Escalona Franco Fdo.- Jaime Dom´ınguez Abascal Director de Tesis Director de Tesis Fdo.- Juan S. Valverde Garc´ıa Doctorando a juan antonio, ana, las dos tanas, isabel e isa Agradecimientos Deseo expresar mi agradecimiento a los profesores Jos´e L. Escalona y Jaime Dom´ınguez por su ayuda durante la realizaci´on de esta tesis, as´ı como a los dem´as compa˜neros del Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica y de los Materiales, en especial, Daniel Garc´ıa, Mercedes Garc´ıa, Sergio Mu˜noz, Carlos Navarro y Javier Mart´ınez. No puedo olvidarme de dar las gracias a los profesores Emilio Freire y Jorge Gal´an del Departamento de Matem´atica Aplicada II, por sus valiosos consejos y por las ense˜nanzas que me han transmitido en el campo de los sistemas din´amicos. Adem´as he tenido el privilegio de trabajar con los profesores Alan Champneys de la Universidad de Bristol y Gert van der Heijden del University College of London, a los que tambi´en debo agradecer su atenci´on e inestimable ayuda. A Jesus Mora, Gonzalo Fern´andez-Prada, Paco Valero, Curro Caparr´os, Juanjo Medina, Pepe P´erez, Emilio Serrano, Jos´e y Juan Gonz´alez, Pascual Rocher, In´es Mart´ın, Maite Tirado, Charo Mota, Paula, Ale, Samu... Gracias. La banda sonora la pusieron: los Clash, los Smiths, la Velvet, Pixies, Sonic Youth, Can, Eno, P.I.L., Ramones, Lee Perry, Dr. Alimantado, H¨usker D¨u, Joy Division, New Order, Talking Heads, Television Personalities, Pata Negra y Veneno (cuanto gustan en el exilio), Kraftwerk, Plastikman, Maurizio, Stewart Walker, Monolake, Mouse on Mars, Matthew Dear, Jay Haze, Tresor, Aphex Twin, Thomas Brinkmann... Sevilla, diciembre de 2005 Cap´ıtulo 1 Introducci´on 1.1. Tethers en el espacio. Antecedentes hist´oricos Como en casi cualquier gran invento de nuestra era, la historia de los tether espaciales comienza m´as cerca de la ciencia ficci´on que de la realidad. En este caso, quiz´as, la carga de ciencia ficci´on que se encuentra detr´as de la primera idea de tether sea incluso superior a la de otros inventos relevantes de los ´ultimos siglos. Esto es as´ı, probablemente, porque Konstantin Tsiolkovskii (1857-1935), reconocido inventor del concepto de tether espacial, era un amante de las novelas de Julio Verne. Durante gran parte de su vida Tsiolkovskii fue ignorado, y sus ideas fueron tratadas como “simple ciencia ficci´on”, hasta que la publicaci´on, y posterior difusi´on,deunart´ıculo en el que explicaba sus ideas, lo encumbr´o al Olimpo de la ciencia rusa, la Academia de las Ciencias. En cualquier caso, no parece que Tsiolkovskii separara ciencia ficci´on y ciencia, ya que public´o numerosas novelas de ficci´on, a la vez que trabajaba en sus ideas sobre el transporte espacial; hecho que probablemente le ayudara a lanzar pretenciosas hip´otesis sobre la conquista del espacio, que pasaron de ser “simple ciencia ficci´on” a impulsos determinantes 1 2Introducci´on en la carrera espacial. En su obra de 1895 titulada “Un camino hacia las estrellas”, Tsiolkovskii describe el primer tether espacial a la vez que lanza algunas ideas m´as sobre otros posibles usos de este concepto [1, 2]. El m´as llamativo y conocido es el de la “Torre Espacial”, desarrollado por el autor tras quedarse impresionado con la visi´on de una reci´en construida Torre Eiffel, en un viaje a Par´ıs. Con esta torre espacial especula sobre la idea de unir una masa orbital, que gira alrededor de la Tierra a la misma velocidad de rotaci´on que ´esta (´orbita geoestacionaria), con un punto fijo, de forma que el conjunto de los dos s´olidos, unidos por el tether, se moviera como un s´olido r´ıgido. Las fuerzas centr´ıfugas que act´uan sobre la masa orbital se encargar´ıan de mantener el tether tenso. A la postre, esta tensi´on es la que imped´ıa la construcci´on de dicha torre, ya que los materiales de aquella ´epoca, e incluso los actuales, no soportar´ıan semejantes esfuerzos. Menos espectacular, pero quiz´as m´as ´util en lo que a la astron´autica se refiere, es la idea de Tsiolkovskii de crear gravedad artificial en ´orbita por el giro alrededor de su centro de gravedad de dos sat´elites unidos por una gran cadena, por el efecto centr´ıfugo de la rotaci´on. Esta idea fue realizada y probada en ´orbita durante la uni´on del m´odulo Gemini-11 al cohete Agena en 1966 [3]. A lo largo de los a˜nos, se han desarrollado numerosas ideas basadas fundamentalmente en los escritos de Tsiolkovskii y otros pioneros en el uso de tethers. Para una completa descripci´on, en el libro de Beltsky y Levin [1] se desarrollan, por orden m´as o menos cronol´ogico, dichas ideas con sus autores correspondientes. Durante los p´arrafos anteriores se ha usado la palabra inglesa tether, cuya traducci´on al espa˜nol, seg´un el diccionario Merrian-Webster, podr´ıa ser: “objeto, como una cuerda o cadena, por el cual un animal se encuentra atado, de forma que su espacio se limita al c´ırculo de radio la longitud de la cuerda”. En Espa˜na, se han realizado varios estudios sobre este tipo de sistemas [4, 5, 6, 7, 8], de forma que se ha usado la definici´on amarra espacial para denominar a estos artilugios. Tambi´en es com´un referirse a ellos como cables espaciales. Todas estas definiciones dan la 1.1 Tethers en el espacio. Antecedentes hist´oricos 3 sensaci´on de referirse a un objeto similar a una cuerda, lo que implica, en mec´anica de los medios continuos e ingenier´ıa mec´anica, que dicho objeto tiene resistencia a tracci´on y no a flexi´on, compresi´on o torsi´on. Esta definici´on es correcta para la mayor´ıa de los sistemas tether, en los que la resistencia a flexi´on y torsi´on es despreciable a efectos de c´alculo. En el caso de esta tesis, como se ver´am´as adelante, las resistencias a flexi´on y torsi´on son fundamentales en la din´amica del sistema bajo estudio, por lo que se decidi´o no usar ninguna definici´on que sugiriera un comportamiento mec´anico tipo cuerda o cable. De esta forma, se opt´oporel uso de la palabra inglesa tether, que pas´o de ser desconocida a bastante com´un en la jerga del grupo que trabaj´o en dicho sistema [9]. Dicho esto, la palabra tether se usar´a en adelante para referirse a este tipo de sistemas, de forma que no se hace ninguna suposici´on sobre la naturaleza del s´olido, o por lo menos, no en nuestra lengua. Desde el punto de vista f´ısico, un tether se puede definir como una uni´on muy esbelta (cable, cuerda, barra); que puede ser modelada de forma unidimensional y que se utiliza en el espacio para unir diferentes m´odulos en ´orbita, ya sean sat´elites, naves u objetos de mayor envergadura, como estaciones espaciales. Incluso se han planteado sistemas tether en los que se une un m´odulo o sat´elite con un planeta [10]. Por extensi´on, se va a usar la palabra tether indistintamente, tanto para referirse tanto al elemento de uni´on f´ısica, como al conjunto resultante de dicha uni´on. Numerosos estudios [1, 2] se han llevado a cabo en los ´ultimos 40 a˜nos sobre posibles configuraciones tether, con diferentes aplicaciones (transporte espacial, producci´on de energ´ıa el´ectrica en ´orbita, etc.) y por tanto, caracter´ısticas muy dispares. La longitud y secci´on del tether depender´a de su uso, secciones menores en el caso exclusivamente mec´anico, y m´as gruesas y complejas, en el caso de conducci´on de corriente el´ectrica. Se han considerado, de forma te´orica, tethers de gran longitud, alrededor de los 200 Km, pero solo han llegado a volar tethers de hasta20Km. 4Introducci´on 1.2. Perspectiva de los sistemas tether en el espacio Como se ha apuntado en la introducci´on, un tether no es m´as que una uni´on f´ısica entre dos cuerpos. Esta idea de uni´on es tan com´unmente usada por el hombre y le ha sido tan ´util a lo largo de su historia, que dif´ıcilmente podemos ser conscientes de su valor, ya que se ha convertido en una obviedad. Considerando que la aeron´autica y la carrera espacial tienen ya m´as de 100 a˜nos de edad, es sorprendente que este concepto tan sencillo, y a la vez pr´actico, no se haya empezado a explotar hasta mediados de los a˜nos 60. Sin embargo, desde entonces parece que este tipo de sistemas tether ha cobrado gran importancia en la carrera espacial siendo, a d´ıa de hoy, bastante importante la cantidad de ´estos que orbita o ha orbitado en el espacio. Por lo tanto, se puede afirmar que este tipo de sistemas est´a cobrando la misma trascendencia y productividad en el espacio, que el ser humano le ha dado, durante la historia, en su vida cotidiana. A continuaci´on, se van a recapitular una serie de conceptos b´asicos y aplicaciones de los sistemas tether. Como se podr´a observar, el medio en el que se va a trabajar: el espacio, condiciona bastante la direcci´on que se ha seguido a lo largo de los a˜nos, dentro, claro est´a, de las posibilidades f´ısicas que confiere el concepto de tether. Sin embargo, tambi´en se podr´a comprobar como la imaginaci´on y la creatividad del ser humano son capaces de romper cualquier barrera, siendo la idea b´asica o concepto fundamental, que se esconde detr´as de algunos de estos sistemas, poco m´as que brillante. En estas condiciones, la ciencia ficci´on y la realidad llegan a confundirse a veces, pero es entonces cuando el ser humano da un nuevo paso adelante en su interminable avance hacia el progreso. El concepto de gravedad artificial es, hist´oricamente, uno de los m´as interesantes y recurrentes de la carrera espacial. Por ejemplo, la falta de gravedad en largas misiones tripuladas puede ser una de las barreras m´as importantes a las que se enfrenta la astron´autica, de forma que este problema puede llegar a ser 1.2 Perspectiva sistemas tether 5 el m´as dif´ıcil de solventar, de las complicaciones tecnol´ogicas que puedan aparecer. Tsiolkovskii en 1895 [1] se atrevi´o a dise˜nar una estaci´on espacial capaz de crear pseudo-gravedad por rotaci´on. Efectivamente, si la estaci´on se divide en dos secciones unidas por un largo tether, y el conjunto se hace rotar alrededor de su centro de gravedad, que estar´a en alg´un punto entre los dos m´odulos principales, la fuerza centr´ıfuga fcen cada una de las secciones de la estaci´on, que depender´a de la velocidad de giro, hace las veces de gravedad. La figura 1.1 ilustra esta idea. La gravedad artificial creada por fuerzas centr´ıfugas aparece tambi´en en la famosa pel´ıcula de ciencia ficci´on dirigida por Stanley Kubrick “2001: Una Odisea en el Espacio”. La nave con forma de doble rueda, que gira alrededor de su centro de gravedad, permite a los personajes caminar a lo largo de la circunferencia que define la rueda por la acci´on de la pseudo-gravedad inducida por la rotaci´on. El gui´on de dicha pel´ıcula fue co-escrito por Arthur C. Clarke, uno de los escritores de ciencia ficci´on m´as famosos de la historia. Su formaci´on acad´emica en f´ısica y matem´aticas debi´o influir decisivamente en su literatura. Figura 1.1: Gravedad artificial creada por rotaci´on. 6Introducci´on Chobotov present´o en 1963 [11] un an´alisis detallado del comportamiento en ´orbita del sistema tether mostrado el la figura 1.1. M´as tarde, en 1966, se demostr´o el correcto funcionamiento de dicho sistema en ´orbita mediante la uni´on del m´odulo Gemini-11 al cohete Agena. La velocidad angular del par Gemini-Agena alcanz´oω=13.5Ω [3], donde Ω es la velocidad angular de giro del sat´elite alrededor de la Tierra. Configuraciones m´as complejas, formadas por varios m´odulos, han sido tambi´en propuestas con posterioridad [12]. Figura 1.2: Sistema tether orientado radialmente por rotaci´on s´ıncrona. La capacidad de crear microgravedad variable es otro de los efectos m´as buscados en el espacio. Para ello es importante que el sistema tether rote alrededor de su centro de gravedad de forma s´ıncrona, es decir, a la misma frecuencia con la que da vueltas alrededor de la Tierra. De esta forma, el sistema tether estar´a orientado radialmente con respecto a la Tierra [1] (figura 1.2). Este efecto es com´unmente conocido como estabilizaci´on gravitacional. En estas condiciones, estando el sistema en ´orbita, las fuerzas centr´ıfugas, debidas a la rotaci´on alrededor de la Tierra, 1.2 Perspectiva sistemas tether 7 se compensan con la fuerza de atracci´on gravitacional en el centro de masas G. Sin embargo, fuera del centro de masas, estas fuerzas no est´an compensadas, de modo que esta diferencia crea una gravedad aparente en el sistema. Este modo de operaci´on fue demostrado con ´exito en 1966 durante el vuelo Gemini-12, en el que esta astronave se conectaba mediante un tether al cohete Agena, tal y como hiciera el Gemini-11 [1]. Siendo rel radio geoc´entrico del centro de masas Gdel sistema, y gla gravedad artificial que existe en este punto, es f´acil demostrar que el incremento de gravedad que sufre un cuerpo al desplazarse Δr, a lo largo del tether, viene dado aproximadamente por [2] Δg=3Δr rg. (1.1) La importancia de esta microgravedad en ´orbita es grande, mejorando las condiciones de vida a bordo (objetos flotantes, uso natural del agua, etc.) y siendo determinante en algunos procesos biol´ogicos y tecnol´ogicos de ´ultima generaci´on [1, 2]. Adem´as, la microgravedad facilita la transferencia de l´ıquidos en ´orbita, de forma que puede ser utilizada para conducir combustible desde un recipiente externo hasta la nave en cuesti´on, para que el combustible se mantenga lejos del m´odulo principal del sistema tether. En el caso de la figura 1.2, el m´odulo intermedio con microgravedad Δgcontendr´ıa el combustible, de forma que la apertura de una simple v´alvula permitir´ıa el flujo en la direcci´on correcta. Los sistemas tether estabilizados gravitacionalmente han sido objeto de multitud de posibles aplicaciones, adem´as de las anteriormente descritas: muelles de descarga separados de la nave principal por un tether, para disminuir el peligro de colisi´on; interfer´ometros para observar el Sol y los planetas; colectores solares regularmente dispuestos a lo largo de un tether; etc. Puede encontrarse m´as informaci´on acerca de estos y otros sistemas tether en el trabajo de Cosmo et al. [2] y en el de Beletsky et al. [1]. La exploraci´on de las capas m´as altas de la atm´osfera es una de las cuentas pendientes de la ciencia. Alrededor de los 100 km de altitud, la atm´osfera est´a demasiado enrarecida para ser transitada con una aeronave com´un, pero al mismo tiempo, es demasiado densa para sistemas que normalmente operan en el espa- 8Introducci´on cio exterior. Nuevamente, un sistema tether puede ser la soluci´on. La figura 1.3 muestra un esquema de como un objeto de medida y adquisici´on de datos puede ser suspendido mediante un tether desde una astronave que orbita en el espacio. Adem´as de la funci´on de medici´on, el objeto suspendido puede hacer las veces de prototipo para estudiar la aerodin´amica a estas alturas de la atm´osfera, convirtiendo el vuelo en una prueba equivalente a un t´unel de viento [1, 2]. Otra de las aplicaciones m´as ambiciosa y a la vez m´as lejana en cuanto a su ejecuci´on tecnol´ogica, es el transporte espacial mediante sistemas tether. Aludiendo a la transferencia de energ´ıa y cantidad de movimiento que es posible establecer entre dos sat´elites unidos por un tether, se han lanzado ideas m´as o menos abordables desde el punto de vista tecnol´ogico, y de lo m´as imaginativas. La clave de estos sistemas es el ahorro energ´etico que conlleva el uso de tether en lugar de los comunes propulsores alimentados por combustible [13]. El esquema de la figura 1.4 muestra las distintas fases del lanzamiento de un m´odulo desde una nave en ´orbita. En el momento en que el tether deja de actuar (se corta), el m´odulo lanzado est´aen el apogeo de su ´orbita, mientras que la lanzadera queda en el perigeo de la suya. Figura 1.3: C´apsula experimental en capas altas de la atm´osfera. 1.2 Perspectiva sistemas tether 9 Este hecho puede ser aprovechado para posicionar la lanzadera en condiciones de reentrada en la atm´osfera (pierde cantidad de movimiento). Como se observa en la figura, el tether se despliega y el conjunto entra en un movimiento de libraci´on (vibraci´on pendular en el plano que contiene el sistema), de forma que el m´odulo es lanzado cuando adquiere la mayor de cantidad de movimiento a lo largo de la libraci´on. Figura 1.4: Lanzamiento en ´orbita de un sat´elite. La misma idea puede ser aplicada para relanzar y aumentar el radio ´orbital de una lanzadera, cuando ´esta se desprende del tanque de combustible vac´ıo que ha alimentado su despegue. En este caso, usando la figura 1.4, el objeto que pierde ´orbita ser´ıa el tanque de combustible y el que la gana, la propia lanzadera. Normalmente, el tanque vac´ıo es eliminado en ´orbita, de manera que su cantidad de movimiento es desaprovechada. Otra posible aplicaci´on de la misma idea es la captura de astronaves en ´orbita, mediante un tether, desde un puerto o estaci´on espacial. Como se ve en la figura 1.5, la estaci´on despliega el tether que toma contacto con la astronave en el apogeo de su ´orbita. A partir de este momento, el tether es replegado, atrayendo a la nave recibida hacia el puerto. En esta maniobra la estaci´on, o puerto, pierde cantidad 10 Introducci´on de movimiento y por lo tanto ´orbita, que ser´a recuperada cuando la nave visitante sea lanzada del modo representado en la figura 1.4. Algunas de las ideas propuestas dentro del campo del transporte rozan la cienFigura 1.5: Estaci´on-puerto, recepci´on mediante tether. Figura 1.6: Transporte de carga mediante el “escalador espacial”. 1.3 Conceptos previos 17 describan sus respectivas ´orbitas con la misma frecuencia orbital [8]. Se consideran dos cuerpos de masa m1ym2que orbitan en el mismo plano con ´orbitas r1yr2(r1≤r2), respectivamente (figura 1.9). Dichos cuerpos se unen mediante un tether de longitud l=r2−r1, de forma que quedan alineados seg´un el radio vector que los une con el centro de la Tierra. En esta posici´on se dice que el sistema masa-tether-masa (MTM) est´a estabilizado gravitacionalmente. La acci´on del tether sobre las masas hace que ambas orbiten con la misma frecuencia orbital, y distinta velocidad orbital. Para demostrar lo anterior, sup´ongase que el cuerpo m1est´a libre sin la acci´on del tether. En este caso, su frecuencia orbital ser´ıa Ω1=μ r3 1 . Si el tether entra en acci´on, el equilibrio de fuerzas (figura 1.9) se modifica de la siguiente forma μm1 r2 1−T=m1Ω2 0r1,(1.8) donde Tes la tensi´on en el tether y Ω0es la frecuencia orbital del sistema MTM completo. De la misma forma, se tiene que el cuerpo m2orbitar´ıa con frecuencia Ω2=μ r3 2 ,siestuvieralibre.Bajolaacci´on del tether la frecuencia orbital es Ω0, de forma que el equilibrio de fuerzas en este segundo caso ser´ıa μm2 r2 2 +T=m2Ω2 0r2.(1.9) Resolviendo las ecuaciones (1.8) y (1.9), se obtienen las dos inc´ognitas, TyΩ 0. Por ejemplo, eliminando la tensi´on Tde ambas ecuaciones se tiene Ω2 0=μ r2 1r2 2·m1r2 2+m2r2 1 m1r1+m2r2 ,(1.10) estando esta frecuencia comprendida entre las de los cuerpos aislados (Ω2≤Ω0≤ Ω1). De esta forma, s´olo un punto del sistema MTM, el que se encuentre a la altura r3 0=μ Ω2 0 , orbita a la velocidad orbital correspondiente a la frecuencia orbital del conjunto Ω0. Sustituyendo la ecuaci´on (1.10) en la expresi´on anterior es f´acil obtener el valor de r0: r3 0=r2 1r2 2·m1r1+m2r2 m1r2 2+m2r2 1 .(1.11) 18 Introducci´on El punto r0no coincide con el centro de masas del sistema MTM, que viene dado, considerando la masa del tether despreciable, por rG=¯m1r1+¯m2r2,¯mi=mi m1+m2 i=1,2.(1.12) Para obtener la relaci´on entre r0yrG, se introduce el siguiente par´ametro adimensional, ν=l rG, que relaciona la longitud del tether y la posici´on del centro de gravedad del sistema MTM. De esta forma, teniendo en cuenta que l=r2−r1, de la ecuaci´on (1.12) pueden obtenerse las expresiones de r1yr2: r1=rG(1 −¯m2ν),r 2=rG(1 + ¯m1ν).(1.13) La expresi´on de la frecuencia orbital (1.10) se transforma en Ω2 0=μ r3 g (1 + 3 ¯m1¯m2ν2(1 + 4 3(¯m2−¯m1)ν)+O(ν3)),(1.14) donde O(ν3) representa t´erminos del orden de ν3. De igual forma, la expresi´on de la altura dada por (1.11) se transforma en r3 0=rG(1 −¯m1¯m2ν2+4 3¯m1¯m2(¯m1−¯m2)ν3+O(ν3)).(1.15) En el desarrollo anterior, se ha supuesto que el par´ametro ν1. Para un tether de 10 Km en una ´orbita LEO, ν∼0.01. El t´ermino entre par´entesis de la expresi´on (1.15) es claramente menor que la unidad, lo que permite comprobar que rG>r 0. La desviaci´on de r0con respecto a rGse puede escribir a partir de (1.15) como Δ l=rG−r0 l=m1m2 (m1+m2)2·l rG +O(ν),(1.16) donde tambi´en se muestra que el centro de masas se sit´ua por encima de r0. Adem´as, de la expresi´on (1.16) se deduce que la diferencia entre r0yrGes menor cuanto menor es el cociente l rG. La expresi´on de la tensi´on en el tether, T, se obtiene sin m´as que sustituir la expresi´on de Ω0, dada en (1.10), en cualquiera de las ecuaciones (1.8)-(1.9). De esta forma se tiene T=μm1m2 r2 1r2 2·r3 2−r3 1 m1r1+m2r2 ,(1.17) 1.3 Conceptos previos 19 queent´erminos de ν, se puede escribir como T=μm ¯m1¯m2 r2 G (3ν+3(¯m2−¯m1)ν2+O(ν3)),(1.18) donde m=m1+m2. Resulta interesante comparar la tensi´on, T, en el cable con el peso total de los dos cuerpos. De la expresi´on (1.18), reteniendo ´unicamente el t´ermino dominante, se tiene que T=mgκν, κ =3¯m1¯m2(RT rG )2.(1.19) El factor κes siempre menor que la unidad, lo que unido al hecho de que ν1, implica que la tensi´on en el tether es reducida con respecto al peso total del sistema MTM. Esto explica que la secci´on transversal de los tether m´as comunes sea muy peque˜na, lo que a su vez implica que la masa del tether es peque˜na en comparaci´on con el resto del sistema, como se supuso al inicio de los c´alculos de esta secci´on. Como se ha visto, la introducci´on de tethers uniendo diferentes masas permite manipular la velocidad de los cuerpos orbitales con cierta facilidad. Un ejemplo de posible utilizaci´on de este fen´omeno ser´ıa la variaci´on de la velocidad de un cuerpo que orbita por debajo de GSO, para que alcance la velocidad propia de un cuerpo que orbita en GSO. Para ello, se lanzar´ıa una masa unida mediante un tether al cuerpo principal, de forma que la velocidad de ´este fuera la correspondiente a GSO, a´un orbitando a menor altura [1]. 1.3.3. Estabilizaci´on gravitacional, el gradiente de gravedad Se llama gradiente gravitacional a la diferencia entre las fuerzas centrifugas y gravitatorias que se produce a lo largo del tether, y en los cuerpos que ´este une, Fgg =Fc−Fg. En los cuerpos finales del sistema MTM el gradiente gravitacional es m´aximo, y alcanza el valor nulo justo en r0, donde las fuerzas gravitatorias y centr´ıfugas se cancelan. Principalmente, la estabilizaci´on gravitacional es una consecuencia directa de este gradiente que se produce a lo largo del sistema MTM. 20 Introducci´on Efectivamente, como se puede observar en la figura 1.10, para un sistema MTM en movimiento de libraci´on ligeramente desviado de la direcci´on radial local (direcci´on que une el centro de masas del objeto que orbita con el centro de la Tierra), la componente seg´un la direcci´on del tether del gradiente gravitacional, Fgg,se cancela con la tensi´on del tether. Por su lado, la componente perpendicular al tether da lugar a un par que lo impulsa de nuevo hacia la direcci´on radial local, que ser´a la direcci´on estable para todo el recorrido del sistema. m2 m1R T T R Fgg2 Fgg1 dirección radial local r0 Figura 1.10: Estabilizaci´on gravitacional de un sistema tether en la posici´on radial. 1.3.4. Tethers electrodin´amicos En cualquier misi´on espacial, la energ´ıa requerida para que ´esta pueda ser llevada a cabo ha de ser suministrada en forma de combustibles qu´ımicos, reactores nucleares o incluso paneles solares. Por ejemplo, para la Estaci´on Espacial Internacional (EEI), se ha estimado que el coste de mantenerla en su ´orbita, y que no caiga por efecto de acciones como pueden ser las fuerzas aerodin´amicas, puede alcanzar 1.3 Conceptos previos 21 los 1.2 billones de d´olares en aproximadamente 10 a˜nos [2]. Adem´as, la operaci´on de suministrar combustible desde la Tierra hacia la susodicha estaci´on, a 300 km de altitud, tiene un coste adicional de transporte muy elevado [17]. Los tethers electrodin´amicos se presentan como una posible alternativa ante estos problemas tecnol´ogicos y econ´omicos. Figura 1.11: Interacci´on de un TE con el campo geomagn´etico. Un tether electrodin´amico (TE) no es m´as que un sistema MTM en el que el tether es adem´as, conductor el´ectrico. Por la acci´on del campo geomagn´etico, existe una transferencia de energ´ıa orbital a energ´ıa el´ectrica o viceversa, de forma que ´esta puede ser aprovechada para relanzar o frenar sat´elites, etc. Sup´ongase un sistema MTM estabilizado gravitacionalmente como el de la figura 1.8. En estas condiciones se tiene, pr´acticamente, un elemento unidimensional con una velocidad vc, perpendicular a ´el, en el seno de un campo magn´etico. Como es bien conocido por la ley de Faraday, en estas condiciones el elemento unidimensional se carga el´ectricamente y aparece una diferencia de potencial entre 22 Introducci´on sus extremos, que obedece a la siguiente ley: E=l vc×Bdl, (1.20) donde Bes el campo geomagn´etico y, dles un diferencial de longitud a lo largo del tether. Sup´ongase, por facilitar los c´alculos, que el sistema de referencia orbital {i,j,k}, que se mueve solidario con el TE, es inercial. De esta forma, se suprime la influencia del movimiento del TE como s´olido r´ıgido alrededor de la Tierra y se centra el estudio en el efecto electrodin´amico que se produce entre el sistema MTM y el campo geomagn´etico (figura 1.11). Suponiendo que el TE se mueve con velocidad vc, dirigida seg´un el eje i, la fuerza electromotriz Eser´ıa m´axima cuando la direcci´on del campo geomagn´etico, B, estuviera contenida en el plano perpendicular a i,{j,k}. Mediante la acci´on de los contactores [2], que emiten o absorben electrones del plasma espacial, es posible cerrar el circuito el´ectrico, de forma que una corriente Ifluya a lo largo del tether. Esta corriente puede ser inducida en la misma direcci´on que la fuerza electromotriz, generaci´on de energ´ıa el´ectrica (figura 1.8-izquierda); o en direcci´on contraria venciendo la oposici´on de la fuerza electromotriz, consumo de energ´ıa el´ectrica (figura 1.8-derecha). Adem´as esta corriente da lugar a una fuerza de Lorentz seg´un la siguiente ley: dF=dI×B.(1.21) La fuerza generada sobre el tether puede ser usada para frenar el sistema sin gasto de combustible, como se ve en la figura 1.8-izquierda; o alternativamente, si la corriente se induce en contra de la fuerza electromotriz, para impulsar el sistema hacia ´orbitas m´as altas (figura 1.8-derecha). De esta forma, se puede tener alternativamente un generador de potencia el´ectrica o un propulsor. Por ejemplo, cuando el sistema en cuesti´on est´e en la mitad de su ´orbita en la que no se encuentra expuesto al Sol, se puede generar energ´ıa para consumo en el interior de la nave transformando energ´ıa orbital en el´ectrica. En la otra mitad de su ´orbita, mediante paneles solares, se puede obtener energ´ıa que se transformar´adeel´ectrica en orbital con el TE funcionando como propulsor. 1.3 Conceptos previos 23 A continuaci´on, se va a analizar con mayor detalle la fuerza de Lorentz F.Para ello, se denotan como (X,Y, Z) las coordenadas de la l´ınea media del tether en los ejes {i,j,k}.As´ı, el vector corriente I, que tiene direcci´on tangente al tether, se puede expresar como dI=Idl=I∂X ∂s ,∂Y ∂s ,∂Z ∂s T ds. (1.22) La m´axima fuerza se produce cuando IyBson perpendiculares. En las condiciones reales de operaci´on del TE ambos vectores no son perpendiculares, en general, debido a que el tether no es perfectamente recto, y adem´as las l´ıneas de campo geomagn´etico no ser´an perpendiculares al tether en toda su longitud. As´ısevaa representar el vector geomagn´etico de la siguiente forma B=[0,B 1,B 2]T.(1.23) donde B1B2, representando la componente B2esta imperfecci´on. Introduciendo (1.22) y (1.23) en (1.21), el diferencial de fuerza de Lorentz resulta dF=I∂Y ∂s B2−∂Z ∂s B1,−∂X ∂s B2,∂X ∂s B1T ds. (1.24) Si el tether fuera perfectamente recto, se tendr´ıa que ∂X ∂s ,∂Y ∂s ,∂Z ∂s T =[0,0,1]T,(1.25) y por tanto el vector de fuerzas se reducir´ıa a dF=I[−B1,0,0]Tds. (1.26) La componente negativa seg´un ifrena el sistema como se pretend´ıa. En el caso en el que la corriente se indujera en contra de la fuerza electromotriz E, esta componente ser´ıa positiva, comport´andose el tether como un propulsor, a favor de la velocidad vc. En la realidad el tether no est´a perfectamente recto, por lo que act´ua adem´as la imperfecci´on B2. En este caso, los t´erminos cruzados en las direcciones iyj,(I∂Y ∂s B2ds,−I∂X ∂s B2ds), tienden a enrollar el tether en una configuraci´on 24 Introducci´on helicoidal, que ha sido observada en vuelo para varias configuraciones TE [1, 2]. Este efecto es no deseado, ya que aumenta la superficie de fricci´on aerodin´amica del tether y adem´as, perjudica la interacci´on del tether con el campo geomagn´etico. En cualquier caso, si las condiciones son propicias, el efecto de propulsi´on o frenado mediante el tether electrodin´amico es posible, como se demostr´o en las misiones TSS-1, PMG y otras [2]. 1.4. Short Electrodynamic Tether (SET) Es bien conocido que la Tierra tiene dos polos magn´eticos, uno positivo y otro negativo, de forma que, grosso modo, act´ua como un im´an creando un campo magn´etico a su alrededor. Las l´ıneas de campo nacen en el Polo Sur y mueren en el Polo Norte, como se ve en la figura 1.12. B B N S vc vc F F I I propulsión frenado Figura 1.12: Campo geomagn´etico. Esquema de frenado y propulsi´on en tether radial. 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 25 Un TE gravitacionalmente estabilizado, como el que se muestra en la figura 1.12, corta de forma ´optima las l´ıneas de campo magn´etico, es decir, formando un ´angulo recto cuando orbita en el plano ecuatorial, con 0◦de inclinaci´on. La mayor´ıa de los TE que han orbitado hasta la fecha: Gemini 11, Charge-1, OEDIPUSA, TSS-1, PMG, OEDIPUS-C y TiPS, lo han hecho de forma an´aloga a como se muestra en la figura. En el caso de que se busque frenar el sat´elite, figura 1.12izquierda, la corriente fluye en la direcci´on natural, es decir, a favor de la diferencia de potencial creada en el tether. De esta manera, se convierte energ´ıa orbital en energ´ıa el´ectrica de consumo a bordo. Por otro lado, invirtiendo el sentido de la corriente, como se muestra en la figura 1.12-derecha, se crea una fuerza de propulsi´on (energ´ıa orbital) mientras se consume energ´ıa el´ectrica. La longitud de los tethers, en estos casos, puede alcanzar el orden de kil´ometros, ya que la tensi´on creada por el gradiente gravitacional mantiene el tether tenso y estable desde un punto de vista estructural. Induciendo corrientes de varios amperios se pueden lograr potencias del orden de decenas de kilovatios [2]. Cuando el ´angulo de inclinaci´on de la ´orbita va aumentando (0◦⇒plano ecuatorial, 90◦⇒plano que contiene a los polos), el ´angulo formado por el tether y las l´ıneas de campo, pasa de su ´optimo 90◦,a0 ◦, donde el tether no interacciona con el campo geomagn´etico. En un rango de ´orbitas cercanas al plano polar, ser´ıa necesario orientar el tether de forma que volviera a formar el ´angulo recto ´optimo de interacci´on con las l´ıneas de campo. Para ello es necesario orientar el tether de manera un tanto especial, esto es con su eje longitudinal (eje de menor momento de inercia) perpendicular al plano de ´orbita. En esta posici´on, el tether corta, formando un ´angulo recto, las l´ıneas de campo en las proximidades de los polos. Adem´as, como la Tierra no es un dipolo perfecto, las l´ıneas de campo nacen en un entorno m´as o menos circular del polo, de forma que la interacci´on ´optima se da durante una buena parte de la ´orbita del tether (figura 1.13). Tambi´en es necesario tener en cuenta que la densidad de l´ıneas de campo en los polos es mucho mayor que en el ecuador. As´ı, aunque en los tether radiales la interacci´on se 26 Introducci´on produce durante toda la ´orbita, en los que orbitan en el plano polar se produce con, aproximadamente, el doble de intensidad tanto en el Polo Sur, como en el Norte [17]; siendo la interacci´on neta en ambos casos equivalente (figura 1.13). Estos ´ultimos son los llamados tethers electrodin´amicos horizontales, siendo el Short Electrodynamic Tether (SET) uno de ellos. vc S N B vc Figura 1.13: Campo geomagn´etico en los polos. Posici´on de un TE horizontal. Frente a los tether radiales gravitacionalmente estabilizados, los tether horizontales presentan una serie de desventajas importantes. En primer lugar, la posici´on perpendicular al plano de ´orbita es inestable. Esto significa que considerando el sistema MTM como un s´olido r´ıgido, ´este tender´ıa a alejarse de la posici´on horizontal perpendicular al plano de ´orbita para trasladarse, por efecto del gradiente gravitacional, hacia la posici´on radial estable. Por lo tanto, para mantener al sistema en la posici´on horizontal inestable es necesaria una modificaci´on de la din´amica del sistema, de forma que esta posici´on se volviera estable bajo ciertas circunstan- 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 33 Figura 1.17: Esquema del SET en la posici´on estable por spin y sistemas coordenados usados. 34 Introducci´on spin. Se va a suponer que los ejes {s1,s2,s3}son principales de inercia del s´olido, que se considera indeformable, siendo I1=I3=Itla inercia transversal e I2=Ia la inercia en la direcci´on axial, por lo que el sistema es axisim´etrico con respecto as2. En primer lugar, se van a definir los distintos sistemas de referencia que se van a usar y que se muestran en la figura 1.17. Se har´a referencia a cada uno de ellos mediante el s´ımbolo Fy un sub´ındice. De esta forma, se tiene el sistema de referencia inercial fijo en la Tierra Fi={l,m,n}, el sistema orbital Fo={i,j,k}, siendo el eje itangente a la trayectoria del sat´elite y kdirigido seg´un la vertical local, y el sistema de referencia ligado al s´olido Fs={s1,s2,s3}. Usando la notaci´on m´as com´un en aeron´autica [20, 21], la orientaci´on de Fscon respecto a Fose define en t´erminos de los ´angulos de “roll”, “pitch” y “yaw”, β=(β1,β 2,β 3) en la figura. De esta forma, la matriz de rotaci´on que relaciona ambos sistemas, renombrando si= sen(βi)yci=cos(βi), ser´a Aso =⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ c2c3c2s3−s2 s1s2c3−c1s3s1s2s3+c1c3s1c2 c1s2c3+s1s3c1s2s3−s1c3c1c2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ A11 so A12 so A13 so A21 so A22 so A23 so A31 so A32 so A33 so ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠. (1.27) Las ecuaciones de movimiento del sistema se plantean en la referencia Fs. Estando el sistema sujeto a rotaci´on pura, la ecuaci´on de conservaci´on del momento cin´etico, siendo las gravitatorias las ´unicas fuerzas consideradas, es dHG dt=Mg,(1.28) donde HG=IGωSes el momento cin´etico del sistema en su centro de gravedad G,yMges el momento que introducen las fuerzas gravitatorias. En este caso, IGrepresenta el tensor de inercia del SET r´ıgido en su centro de gravedad, y ωS es la velocidad angular total del sistema. Estando el equilibrio planteado en los 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 35 ejes del s´olido Fs, las componentes de todos los vectores y tensores est´an tambi´en referidas a dichos ejes. De esta forma, el tensor de inercia viene dado por IG=⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ It00 0Ia0 00It ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠.(1.29) Por otro lado, la velocidad angular del sistema en la referencia Fsse puede descomponer en ωS=ωso +ωoi,(1.30) donde ωso es la velocidad angular del s´olido con respecto al sistema de referencia orbital Fo,yωoi es la velocidad angular del sistema de referencia orbital con respecto al sistema inercial, que no es m´as que la velocidad orbital del SET, por tanto, ωoi =(0,−Ω,0)T,(1.31) donde Ω = μ/r3, ver expresi´on (1.5). Introduciendo (1.29) y (1.30) en la ecuaci´on de balance (1.28) se tiene IG˙ ωS+ωS×IGωS=Mg,(1.32) donde el equilibrio de momentos est´a expresado en la referencia Fs. El momento introducido por las fuerzas gravitatorias expresado en dicha referencia tiene la siguiente expresi´on [20] Mg=3Ω 2⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (I3−I2)A23 soA33 so (I1−I3)A33 soA13 so (I2−I1)A13 soA23 so ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,(1.33) de forma que las ecuaciones de movimiento del sistema en t´erminos de los ´angulos β(roll,pitch y yaw) est´an determinadas. En la posici´on de equilibrio representada en la parte superior de la figura 1.17, en la que el eje s2es perpendicular al plano de ´orbita, los ´angulos de roll, β1,y yaw, β3, son cero; mientras que el ´angulo de pitch tendr´a un valor β2=ωspint, 36 Introducci´on donde ωspin es la velocidad angular de spin constante que se aplica al sistema alrededor del eje s2. Siendo (β1,β 3)T=(0,0)T, la componente de la matriz de transformaci´on A23 so = 0, por lo que las componentes de roll y yaw del momento de las fuerzas gravitatorias son tambi´en cero, ver (1.33). Adem´as,els´olido bajo estudio es axisim´etrico, por lo que I1=I3=Ity la componente de pitch de Mg es tambi´en cero. La ausencia total de momentos externos sobre el sistema en la “posici´on de referencia”, β∗=(0,ω spint, 0), demuestra que dicha posici´on es de equilibrio, quedando pendiente su estabilidad, que se estudia a continuaci´on. Antes de comenzar, se va a definir un nuevo sistema de coordenadas, que no es m´as que el representado por la posici´on de referencia de rotaci´on de spin uniforme β∗yqueser´a referido como Fr={ir,jr,kr}(ver figura 1.17). De esta forma, la evoluci´on del sistema de referencia Fscon respecto al Frdeterminar´ala estabilidad de la posici´on de referencia β∗. Para ello, se define una peque˜na perturbaci´on de los ejes Fscon respecto al estado de rotaci´on de spin uniforme Fr, α=(α1,α 2,α 3)T(roll,pitch,yaw). El sistema intermedio Fr, por tanto, contiene la rotaci´on de spin que ser´a generalmente grande, de forma que el ´angulo α2representa una peque˜na perturbaci´on sobre dicha rotaci´on de spin. De esta forma, los ´angulos αson peque˜nos, lo que proporciona ciertas ventajas. En primer lugar, planteando las ecuaciones (1.32) en t´erminos de α,sepodr´an despreciar las multiplicaciones entre ellos, por lo que se tendr´a un sistema de ecuaciones resultante lineal en α. Por otro lado, la velocidad angular total del SET se puede expresar como ωS=ωsr +ωro +ωoi,(1.34) de forma que ωoi viene dado por (1.31), ωsr =(˙α1,˙α2,˙α3)T,(1.35) ωro =(0,ω spin,0)T.(1.36) Finalmente, la matriz de transformaci´on entre FsyFose puede descomponer 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 37 como Aso =AsrAriAio =AsrAriAT oi.(1.37) Siendo αpeque˜no, se tiene que Asr =I−˜ α,(1.38) donde Ies la matriz 3 ×3 identidad y ˜ α=⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0−α3α2 α30−α1 −α2α10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠.(1.39) Por otro lado, definiendo la matriz de transformaci´on para un ´angulo gen´erico φ alrededor del eje inercial mcomo A2[φ]=⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ cosφ0−senφ 01 0 senφ0cosφ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,(1.40) se tiene que Ari =A2[ωspint]yAoi =A2[−Ωt], quedando definida Aso como Aso =(I−˜ α)A2[(ωspin +Ω)t].(1.41) La ecuaci´on de movimiento del SET linealizada en t´erminos de los ´angulos α de perturbaci´on, sobre la posici´on de referencia de rotaci´on uniforme a velocidad de spin es [20] Ia¨α2=0,(1.42) It¨α1+(2It−Ia)ωspin ˙α3+(Ia−It)ω2 spinα1=3Ω 2(It−Ia)A23 soA33 so,(1.43) It¨α3−(2It−Ia)ωspin ˙α1+(Ia−It)ω2 spinα3=3Ω 2(Ia−It)A13 soA33 so,(1.44) donde (A13 so,A 23 so,A 33 so)Tson los cosenos directores entre Fsy la vertical local k que se obtienen de (1.41). Definiendo el par´ametro de inercias kt=(Ia−It)/Ity 38 Introducci´on nombrando s= sen((ωspin +Ω)t)yc= cos((ωspin +Ω)t), las ecuaciones (1.42)- (1.44) se transforman en ¨α2=0,(1.45) ¨α1+(1−kt)ωspin ˙α3+ktω2 spinα1+3Ω 2kt(cα1+sα3)=0,(1.46) ¨α3−(1 −kt)ωspin ˙α1+ktω2 spinα3+3Ω 2kt(cα1+sα3)=0.(1.47) A primera vista, parece que se tendr´a que usar la “teor´ıa de Floquet” [22] ya que el sistema (1.45)-(1.47) es lineal de coeficientes peri´odicos. Esta dependencia proviene de la dependencia peri´odica que tienen las componentes del momento de las fuerzas gravitatorias en Fs. Sin embargo, observando la expresi´on (1.41) y usando una transformaci´on de Floquet-Lyapunov, se pueden construir unas nuevas variables γ1(t)=α1(t)cos(ωspin +Ω)t+α3(t)sen(ωspin +Ω)t, (1.48) γ2(t)=α2(t),(1.49) γ3(t)=−α1(t)sen(ωspin +Ω)t+α3(t)cos(ωspin +Ω)t, (1.50) en funci´on de las cuales las ecuaciones (1.45)-(1.47) se transforman en el siguiente sistema de coeficientes constantes ¨γ2=0,(1.51) ¨γ1−(ωspin +2Ω+ktωspin)˙γ3 +[kt(3Ω2−ωspinΩ) −Ω(ωspin + Ω)]γ1=0,(1.52) ¨γ3+(ωspin +2Ω+ktωspin)˙γ1−[ktΩωspin +Ω(ωspin + Ω)]γ3=0.(1.53) Claramente, γ2es inestable con respecto a perturbaciones en ˙γ2.Estoescom´un en sat´elites estabilizados mediante spin [20, 21]. A efectos pr´acticos, esto no tiene importancia ya que la rotaci´on de pitch est´a controlada de forma externa, por ejemplo, mediante propulsores, por el sat´elite que imprime la velocidad constante ωspin alrededor de s2. Se busca por tanto la estabilidad de roll y yaw. Las ecuaciones (1.52) y (1.53) en las variables {γ1,γ 3}se pueden escribir en forma can´onica 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 39 como M¨ q+G˙ q+Kq =0,(1.54) donde MT=M>0, GT=−GyKT=K.´ Este es un sistema lineal girosc´opico sin amortiguamiento, de forma que la estabilidad asint´otica no es posible [22, 23]. Sin embargo, para una combinaci´on correcta de los par´ametros kty¯ω=ωspin/Ω, la estabilidad (no asint´otica) puede ser alcanzada. La ecuaci´on caracter´ıstica correspondiente a (1.52) y (1.53) es [20, 22] s Ω4+b1s Ω2+b2=0,(1.55) donde b1=(2+3kt) + 2(1 + kt)¯ω+(1+kt)2¯ω2,(1.56) b2=k1k3,(1.57) siendo k1yk3los elementos de la diagonal de Kdivididos por Ω2 k1=kt(3 −ωspin)−1−ωspin,(1.58) k3=−ktωspin −1−ωspin.(1.59) Las condiciones que se deben cumplir para que la posici´on de referencia Frsea estable son b1>0,(1.60) b2>0.(1.61) Δ=b2 1−4b2>0.(1.62) A efectos pr´acticos, seg´un el texto de la propuesta de la ESA [18] para el dise˜no del SET, la inercia axial del sistema ser´at´ıpicamente: Ip a= 500 Kg m2< Ia<1000 Kg m2=Ig l. Por su parte, la inercia transversal, It, se puede calcular aproximadamente a partir de la axial de la siguiente forma It=Ia+2Mdl2+2Id,(1.63) 40 Introducci´on donde Md= 3 Kg es la masa del contactor, l= 100 m la longitud del tether e Id= 0.12Kgm2, la inercia alrededor de su eje del contactor. De esta forma, el par´ametro ktest´a comprendido en el siguiente rango de valores: kt(Ip a)=−0.992 <k t< kt(Ig a)=−0.984. Para valores de kt∼−1 la estabilidad del sistema est´a regida por la condici´on (1.60), siendo las dos condiciones restantes menos restrictivas [20, 24]. Resolviendo la ecuaci´on de segundo orden b1= 0 se obtienen los l´ımites frontera del par´ametro ¯ωen la siguiente forma ¯ω=−1±√−1−3kt 1+kt ,(1.64) de donde se obtendr´an dos ra´ıces, una positiva, ¯ω+, que representa una velocidad de spin en el sentido positivo de s2, y una negativa, ¯ω−, que representa una velocidad de spin en el sentido negativo de s2.Para¯ω>¯ω+o¯ω<¯ω−,elSETes estable en la posici´on de referencia perpendicular al plano de ´orbita. N´otese que con valores k1<0yk3<0 (sistema “potencial completamente inestable” [23]) la condici´on (1.61) se cumple directamente, de forma que para valores apropiados de los par´ametros se obtendr´ıa estabilidad girosc´opica si se cumplen (1.60) y (1.62). En estas condiciones es interesante apuntar que una fuente de amortiguamiento, por peque˜na que fuera, desestabilizar´ıa el sistema (“inestabilidad inducida por disipaci´on” [23]). ωspin(rad/s) ωspin ωn Ip a-0.156 0.045 -28.52 8.22 Ig a-0.151 0.022 -27.73 6.02 Tabla 1.2: Velocidades de spin para estabilidad del SET en la posici´on horizontal. La velocidad real de spin se calcula como ωspin =¯ωΩ. Teniendo en cuenta que la altura caracter´ıstica de los sat´elites susceptibles de usar el sistema SET es de aproximadamente h= 1600 km [18], se tendr´a que el radio de la ´orbita circular es r=h+RT(6378km) = 7978 ×103m. De esta forma, seg´un (1.5), la frecuencia orbital caracter´ıstica ser´a del orden de Ω = 8.86×10−4rad s. La tabla 1.2 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 41 muestra los valores de la velocidad m´ınima de spin de estabilidad para las dos inercias axiales caracter´ısticas del sistema, Ip ayIg a. Los valores se comparan, por conveniencia, con la primera frecuencia natural a flexi´on de uno de los sistemas tether-contactor, cuya expresi´on aproximada viene dada por [25] ωn=3EI1 l3(Md+ (33/140)ρAsl)=5.47 ×10−3rad s.(1.65) Para cada una de las inercias existen dos velocidades de spin m´ınimas, una positiva y otra negativa, seg´un el sentido de la rotaci´on sea el definido cuando se construyeron los distintos sistemas de referencia o el contrario. 1.4.3. Acciones externas sobre el SET, estudios previos Cualquier sistema tether que se encuentre orbitando alrededor de la Tierra, est´asometido a una serie de acciones externas, adem´as del gradiente gravitatorio, que generalmente constituye la acci´on externa fundamental que aparece sobre los sistemas tether [8]. Su influencia sobre el caso espec´ıfico del SET se mostr´oenla figura 1.10. En el SET, las acciones principales a tener en cuenta ser´an pues: fuerzas gravitatorias, fuerzas electrodin´amicas, y fuerzas de inercia debidas a la vibraci´on de la estructura por acci´on de la velocidad de spin como un rotor desequilibrado. La influencia de otros factores, que se van a enumerar a continuaci´on, ha sido despreciada a efectos de c´alculo en las diferentes fases de dise˜no y simulaci´on llevadas a cabo. Estas acciones, han sido igualmente ignoradas en el dise˜no de la mayor´ıa de los TE radiales, que tienen una longitud caracter´ıstica del orden de 5 veces la del SET. Las acciones externas que se van a describir dependen de forma directa de la longitud del tether, de forma que si fueron despreciadas en el caso radial, se podr´an ignorar tambi´en en el caso del SET. Las acciones externas, por su magnitud peque˜na (exceptuando el gradiente gravitacional), se consideran como perturbaciones sobre las fuerzas principales que act´uan en el sistema, siendo com´unmente comparadas con la tensi´on del tether (debida al gradiente gravitacional) cuando se analiza su importancia [1, 2, 8]. 42 Introducci´on Se dividen principalmente en cuatro grupos, dependiendo de su origen: fuerzas gravitatorias, fuerzas internas en el tether, fuerzas electrodin´amicas y fuerzas aerodin´amicas o similares. Dentro de cada grupo se tienen: Perturbaciones relacionadas con las fuerzas gravitatorias: Arm´onicos del potencial gravitatorio. Aunque el potencial gravitatorio se suele considerar homog´eneo alrededor de la Tierra, ´esto es cierto s´olo en primera aproximaci´on, ya que, existe una perturbaci´on llamada arm´onico J2 que provoca una variaci´on del potencial de punto a punto del campo. Atracci´on lunar. Debida a la acci´on del campo gravitatorio de la Luna. Atracci´on solar. Debida, esta vez, a la acci´on del campo gravitatorio del Sol. Efectos relativistas. Perturbaciones en el campo gravitatorio gobernadas por la Teor´ıa de la Relatividad General de Einstein. Atracci´on entre las m´odulos masivos que forma el sistema tether. Perturbaciones relacionadas con las fuerzas internas: Esfuerzos por vibraci´on del tether como s´olido deformable. Los esfuerzos internos debidos tanto a vibraciones longitudinales, como de flexi´on y torsi´on del tether se desprecian en los tether radiales. En el caso del SET, las deformaciones provocadas por estos esfuerzos son de vital importancia en lo que respecta a la integridad de la estructura. Deformaciones permanentes por tensiones residuales. Debidas al almacenamiento de los tether, que durante mucho tiempo se encuentran enrollados en un tambor. Fuerzas debidas a fricci´on interna en el tether. Provocan p´erdidas de energ´ıa, principalmente, debidas a la hist´eresis del material. En el caso del SET, por ser ´este un sistema rotatorio, la importancia de estas fuerzas es m´axima. 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 49 materializado en la presente tesis en la que adem´as, se ha tratado de realizar un estudio param´etrico del spinning tether (SET), estudio que no fue realizado para OEDIPUS. En los trabajos presentados por Genin y Maybee [36, 37, 38] a principios de los a˜nos 70, se estudi´o el problema de un rotor de secci´on circular y equilibrado con amortiguamiento interno. Se us´o el modelo de Jeffcott de rotor, que es el m´as sencillo y a la vez m´as usado en din´amica de rotores, y adem´as se model´oel eje del rotor de forma que se ten´ıan en cuenta t´erminos de rigidez y amortiguamiento procedentes de las no-linealidades geom´etricas de forma muy simplificada. Como resultado, los autores demostraron que, en contra de lo que se afirma en la literatura para sistemas lineales [27, 26], este rotor en r´egimen supercr´ıtico puede ser estable. El modelo usado por Genin y Maybee fue formulado por primera vez por Bolotin [39]. M´as tarde, Shaw et al. [40] y Chang et al [41] estudiaron el comportamiento post-cr´ıtico del modelo de Jeffcott geom´etricamente no-lineal de secci´on circular, modelando el amortiguamiento como un amortiguamiento viscoso equivalente y adem´as incluyendo amortiguamiento externo, que tiene un efecto estabilizador [27, 26]. En el caso del SET, el sistema bajo estudio es mucho m´as complejo que el modelo de Jeffcott. Sin embargo, la acci´on que las no-linealidades geom´etricas tienen sobre el modelo de Jeffcott podr´ıan aparecer tambi´en en el SET, de forma que ser´ıa posible obtener soluciones estables del sistema para velocidades comunes de operaci´on que, como se sabe, est´an por encima de su velocidad cr´ıtica. Adem´as de su inter´es en lo que respecta al sistema bajo estudio, el SET, el estudio sobre la estabilidad del modelo de Jeffcott que se ha llevado a cabo en esta tesis puede ser extrapolable a otros sistema rotatorios (maquinaria rotativa, rotores, etc). Como se ver´a en el siguiente cap´ıtulo, se ha realizado un modelo de Jeffcott que presenta ciertas diferencias con respecto a los presentados previamente [36, 37, 38, 40, 41], para que se ajuste al m´aximo a las condiciones del sistema original, el SET. Estas diferencias son principalmente las siguientes: 50 Introducci´on Ortotrop´ıa en la secci´on del eje, rompi´endose la simetr´ıa del modelo de Jeffcott alrededor de su eje longitudinal. Disco-rotor equilibrado. El desequilibrio est´a originado por cierto grado de deformaci´on inicial que sufre el eje. Ausencia de otras fuentes de amortiguamiento, como puede ser el externo que tiene un efecto estabilizador. Se han caracterizado de forma expl´ıcita las no-linealidades geom´etricas, de forma que vienen dadas por la geometr´ıa del problema. En los estudios anteriores [36, 37, 38, 40, 41] sobre el modelo de Jeffcott no-lineal se hab´ıan tratado como par´ametros. El principal atractivo del modelo de Jeffcott reside en su sencillez (dos grados de libertad) y en la capacidad que tiene de simular un sistema rotativo aun siendo tan sencillo. Esta capacidad ha sido demostrada a lo largo de los a˜nos en el campo del la din´amica de rotores [27, 26], donde se ha usado el modelo de Jeffcott como primera aproximaci´on en el estudio de la influencia de diferentes acciones (ortotrop´ıa del eje por aparici´on de grietas [42], defectos en los rodamientos [43], etc.) sobre un sistema rotor. Sin embargo, es necesario modelar el tether de una forma m´as exacta, ya que los resultados extra´ıdos del modelo de Jeffcott no pueden ser determinantes a la hora de formular predicciones sobre el comportamiento din´amico del sistema. Por ello, se han incluido en esta tesis dos modelos m´as detallados del SET, una barra basada en la din´amica de sistemas multicuerpo (DSM) [44] para simulaci´on en el tiempo, y el modelo de Cosserat [45, 46, 47, 48, 49], basado en las ecuaciones de Kirchhoff-Love, de una barra 3D cuya l´ınea media se describe mediante el modelo de Cosserat de una curva en el espacio [50], para el estudio de bifurcaciones y estabilidad. En ambos modelos, como se mostrar´a en posteriores cap´ıtulos de esta tesis, la descripci´on de fuerzas el´asticas y de amortiguamiento interno es geom´etricamente no-lineal. De esta forma, se mejoran los modelos tipo barra usados en OEDIPUS [28, 29, 31, 32] para la descripci´on de sistemas tether. 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 51 En cuanto al modelo DSM, exist´ıan varias posibilidades, dependiendo de las distintas formulaciones existentes. Estas formulaciones son descritas en la introducci´on del cap´ıtulo que se dedica a la simulaci´on DSM, eligi´endose una de ellas seg´un criterios de sencillez, robustez y velocidad de integraci´on de las ecuaciones de movimiento. De esta forma, no se realiza ninguna aportaci´on relevante en este campo, aunque el problema requiere el uso de t´ecnicas de modelizaci´on e integraci´on num´erica de ´ultima generaci´on. Para el estudio de bifurcaciones y estabilidad, se ha formulado el tether mediante el modelo de Kirchhoff-Love de una barra 3D, que da lugar a un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Dicho modelo ha sido usado con anterioridad para resolver gran cantidad de problemas tecnol´ogicos como por ejemplo el comportamiento post-cr´ıtico de barras en condiciones de pandeo [50], la inestabilidad y transici´on 2D-3D por pliegue de barras sometidas a torsi´on pura (barras rectas [51], anillos [52], etc.), din´amica en la producci´on de madejas en la industria textil [53], din´amica y comportamiento mec´anico de perforadoras, usadas com´unmente en la industria petrol´ıfera [54], estructuras biol´ogicas formadas por filamentos como ADN o fibras bacterianas [52], comportamiento y perversiones de forma (efecto que se produce en el cable helicoidal de un tel´efono) de plantas trepadoras como la enredadera [55], etc. Todos los problemas anteriormente citados son est´aticos, de forma que se resuelve la versi´on est´atica de las mencionadas ecuaciones, es decir, el sistema EDP se convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). El problema resultante, por tanto, es un problema de contorno en la variable espacial de la barra (longitud de arco). En los contornos, se imponen condiciones sobre la barra que pueden ser geom´etricas (a nivel de posiciones y orientaciones de la secci´on) o naturales ( en fuerzas y momentos), pero siempre independientes del tiempo. De esta forma, cuando se habla de estabilidad en estos an´alisis, se restringe a estabilidad est´atica [22]. En esta tesis, se ha resuelto por primera vez el sistema EDP completo, ya que el problema que aqu´ı se trata es totalmente din´amico (rotaci´on de spin del tether-contactor). De esta forma, se 52 Introducci´on obtienen las soluciones del problema y su estabilidad temporal, no est´atica, siendo ´esta una de las aportaciones originales del presente trabajo. Finalmente, habi´endose formulado el sistema tether mediante diferentes procedimientos, la comparaci´on entre ellos es de gran inter´es. Por un lado, se han comparado mediante simulaciones din´amicas los modelos DSM y de Jeffcott. As´ı, es posible testar la validez del sencillo modelo de Jeffcott y ver sus limitaciones. Este tipo de comparaciones no se ha encontrado en la literatura sobre din´amica de rotores [27, 26]. Por otro lado, se han comparado los modelos DSM y de Cosserat (barra de Kirchhoff-Love). Estos dos modelos, en principio, ofrecen una descripci´on bastante exacta de la geometr´ıa del problema y del modelo el´astico y de amortiguamiento interno geom´etricamente no-lineal requerido. Siendo as´ı, su comparaci´on ofrece la posibilidad de validar ambos modelos que, generalmente al ser usados en problemas de grandes deformaciones no es posible demostrar al no existir soluciones anal´ıticas o estandarizadas de dichos problemas complejos. Adem´as, la contrastaci´on de los resultados din´amicos de las ecuaciones de Kirchhoff-Love con otros modelos de grandes deformaciones no aparece en la literatura, siendo otra de las aportaciones de esta tesis. 1.4.7. El SET, un sistema din´amico completo El modelo del SET que se va a estudiar en esta tesis tiene bastante inter´es desde el punto de vista de la din´amica, ya sea simulaci´on o estudio de estabilidad. En primer lugar, siendo el tether una barra muy esbelta y distorsionada, ser´a necesario recurrir a t´ecnicas de simulaci´on din´amica, como DSM (Din´amica de Sistemas Multicuerpo) que permitan describir un sistema tan complejo. La especial complejidad radica en que las no-linealidades geom´etricas juegan un papel importante, adem´as de que el s´olido bajo estudio puede sufrir grandes desplazamientos y rotaciones por la deformaci´on. Adem´as, la gran esbeltez de la barra da lugar a frecuencias de vibraci´on muy dispares por ejemplo entre flexi´on y tracci´on-compresi´on, siendo las ecuaciones diferenciales a resolver altamente “r´ıgidas” con los problemas de 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 53 integraci´on que ello conlleva. Por otro lado, el estudio param´etrico de la estabilidad del SET ha dado lugar a modelos cada vez m´as complejos; pasando de los modelos m´as sencillos, basados en la din´amica de rotores, a modelos llamados geom´etricamente exactos, en los que se describe la posici´on de la l´ınea media de la barra como una curva en el espacio. Por lo tanto, como sistema din´amico, el SET tiene un gran valor acad´emico ya que requiere la utilizaci´on de herramientas matem´aticas de ´ultima generaci´on para su estudio. Finalmente, hay que decir que siempre es interesante estudiar un problema real. Por un lado, las exigencias son altas, ya que la geometr´ıa, cargas, etc. vienen dadas de forma que no se pueden modificar los par´ametros del sistema para facilitar su an´alisis (por ejemplo, la esbeltez del tether). Por otro lado, permite una interpretaci´on de los resultados m´as real, de forma que ´estos pueden ser analizados con mayor profundidad y se enunciar´an conclusiones m´as interesantes. En esencia, esta tesis analiza el comportamiento din´amico del SET, aunque, como se ha intentado resaltar a lo largo de esta introducci´on, las t´ecnicas y procedimientos aqu´ı usados se pueden extrapolar al estudio de sistemas similares, como puedan ser rotores, maquinaria rotativa en general, y por supuesto, otros sistemas tether. Los cap´ıtulos 2, 3 y 4 est´an dedicados, principalmente, al estudio param´etrico de bifurcaciones y estabilidad del SET. En el cap´ıtulo 2, se ha realizado una breve introducci´on sobre la filosof´ıa que se encuentra tras el estudio param´etrico as´ı como de las t´ecnicas que en ´el se usan. Dicho cap´ıtulo contin´ua presentando el modelo de Jeffcott modificado que se ha usado para realizar el estudio de estabilidad. El modelo de Jeffcott representa un rotor desequilibrado en la forma m´as simple posible, por lo que este estudio podr´ıa considerarse como preliminar ante los modelos m´as complejos que se han usado posteriormente. En el cap´ıtulo 3, se introduce el modelo geom´etricamente exacto basado en la ecuaciones de Kirchhoff-Love de una barra 3D [50] (que ser´a referido en adelante como modelo de Cosserat), y se lleva a cabo un estudio param´etrico completo sobre dicho 54 Introducci´on modelo. Tanto en ´este como en el cap´ıtulo anterior, se analiza principalmente la evoluci´on del SET ante la solicitaci´on m´as importante a la que est´a sometido, el movimiento de rotaci´on de la base a la velocidad de spin ωspin.Elefectodela fuerza de Lorentz no se ha incluido en ambos modelos ya que la interpretaci´on de los diagramas de bifurcaci´on generados en caso de incluir las dos acciones (ωspin y fuerza de Lorentz) ser´ıa complejo. El efecto combinado de ambas acciones no permite analizar con claridad la influencia de cada una de ellas. Adem´as, la magnitud de la fuerza de Lorentz es muy peque˜na, de forma que su influencia, como se ver´aenelcap´ıtulo 5, es pr´acticamente despreciable. Por lo tanto, se ha considerado prioritario el estudio param´etrico del SET bajo la acci´on de la velocidad de spin. El an´alisis de la din´amica del sistema bajo la influencia de las componentes no deseadas de las fuerzas de Lorentz se ha realizado de forma separada, en el cap´ıtulo 4 de esta tesis. En dicho cap´ıtulo, adem´as de analizar la influencia de las fuerzas de Lorentz sobre el sistema, se intenta justificar el hecho de haber separado el estudio din´amico en dos partes: una dedicada a la din´amica resultante del movimiento de spin de la base, y otra, dedicada al efecto de la fuerza externa de Lorentz. Este ´ultimo se lleva a cabo mediante un modelo bastante similar al usado en el cap´ıtulo 3. Siendo el sistema bajo estudio no-lineal, el teorema de superposici´on no es v´alido en este entorno, sin embargo, debido a la peque˜na magnitud de las fuerza de Lorentz frente a las fuerzas que aparecen en el sistema por la rotaci´on de spin, la separaci´on del an´alisis en dos partes es razonable. Efectivamente, la fuerza distribuida m´axima debida al campo geomagn´etico ser´a del orden de IBg= 1×10−5N m. Por su parte, una estimaci´on de las fuerzas centr´ıfugas sobre una secci´on del tether, que se encuentra sujeta a la rotaci´on ωspin ∼0.156rad sy a una distancia r∼7 m (distancia media por deformaci´on inicial del tether) de la horizontal local, vendr´ıa dada por Fc=ρAsω2 spinr=1.2×10−2N m,(1.67) es decir, mil veces mayor que la fuerza magn´etica distribuida. Una vez finalizado el estudio param´etrico del SET, el cap´ıtulo 5 propone un 1.4 Short Electrodynamic Tether (SET) 55 modelo basado en las t´ecnicas DSM [56], destinado a estudiar la evoluci´on din´amica en el tiempo del sistema bajo estudio. Se propone un modelado del sistema basado en la subestructuraci´on [57] para captar la nolinealidad del tether y el uso de las coordenadas naturales [58], en el marco de las formulaciones basadas en la descripci´on de las s´olidos mediante referencias flotantes. Este modelo contiene todas las solicitaciones a las que est´a sometido el SET, rotaci´on de la base y fuerza de Lorentz (componente de frenado), de forma que el conjunto de ecuaciones diferenciales resultante se integra num´ericamente, a lo largo del tiempo. En dicho cap´ıtulo se demuestra que la influencia de la componente de frenado deseada de la fuerza de Lorentz, por su peque˜na magnitud, es despreciable frente a la influencia de la rotaci´on de spin, lo que justifica su no inclusi´on en los modelos param´etricos de los cap´ıtulos 2, 3 y 4. El cap´ıtulo 6 muestra la comparaci´on entre los resultados obtenidos con los diferentes modelos y t´ecnicas usados a lo largo de esta tesis. Primero, se muestran comparaciones en t´erminos de diagramas de bifurcaci´on y estabilidad entre los modelos de Jeffcott y Cosserat. En segundo lugar, se comparan las simulaciones din´amicas obtenidas con el modelo DSM y el modelo de Jeffcott. Para terminar, se comparan los dos modelos m´as completos de esta tesis, DSM y Cosserat, cuyas formulaciones son totalmente diferentes desde el punto de vista de modelado y obtenci´on de las ecuaciones de movimiento. De esta forma, el acuerdo entre los resultados de los modelos dar´ıa validez a ambos, ya que se estar´ıa prediciendo el mismo comportamiento din´amico por dos caminos o formulaciones diferentes. Finalmente, el cap´ıtulo 7 presenta un resumen de este trabajo, esbozando una serie de conclusiones y proponiendo futuras l´ıneas de investigaci´on que completen los estudios aqu´ı realizados. Cap´ıtulo 2 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott 2.1. An´alisis de estabilidad y continuaci´on num´erica El estudio de estabilidad y bifurcaciones en sistemas din´amicos (SD) ha sido un campodelaF´ısica-Matem´atica que ha crecido y tomado gran importancia en el pasado siglo. Una definici´on de SD podr´ıa ser la siguiente: “ proceso determinista, en el cual la variable de estado cambia de acuerdo a una regla, definida en t´erminos de su valor actual”. La definici´on puede ser m´as o menos rigurosa y por supuesto se podr´an encontrar diferentes definiciones, dependiendo generalmente del campo de la f´ısica o de las matem´aticas en el que haya surgido uno de estos sistemas. En cualquier caso, existe una idea clara que subyace detr´as de cualquier definici´on y es que la din´amica estudia c´omo cambian los sistemas que evolucionan con el tiempo. Por ejemplo, la din´amica se pregunta si el sistema evoluciona hacia un punto en el que permanecer´a para siempre, independientemente del tiempo (equilibrio), o 57 58 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott bien si dicho sistema evoluciona de forma c´ıclica repitiendo un comportamiento o, simplemente, si su evoluci´on es tan compleja que en principio, no obedece a ning´un patr´on. De partida, es interesante clasificar los SD seg´un dos criterios. En primer lugar, el SD puede ser discreto o continuo, dependiendo de si el tiempo se mide de forma discreta, dando lugar a relaciones recursivas, o de forma continua, dando lugar a ecuaciones diferenciales. En mec´anica, se estudia el movimiento de los cuerpos y la evoluci´on de esos movimientos con el tiempo. Las leyes de la mec´anica, como las ecuaciones de Newton-Euler, dan lugar a ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de los cuerpos. Por lo tanto, en mec´anica en general, y en esta tesis en particular, se trabajar´a con SD continuos. El segundo criterio, y no por ello menos importante, divide a los SD en lineales y no-lineales. La gran diferencia entre ambos es que en sistemas lineales se puede usar el principio de superposici´on, mientras que en los sistemas no-lineales este principio no es v´alido [22, 59]. El principio de superposici´on permite dividir los problemas en partes m´as sencillas, de forma que una vez resueltas ´estas, el resultado final es la suma de los efectos de todas las partes. Sin embargo, en sistemas no-lineales esto no es cierto en general ya que la suma de las partes no da el mismo resultado que el sistema completo. Esto implica que los SD no-lineales son mucho m´as dif´ıciles de resolver, pero tambi´en son mucho m´as interesantes y reales que los lineales. La naturaleza, en general, est´a regida por leyes no-lineales, de forma que, en cualquier entorno es f´acil encontrar muestras de ello. Por ejemplo, es evidente que el volumen de un coro de 100 personas no es 100 veces el volumen de una sola persona cantando. Esto se conoce como Sinergia, y se podr´ıa decir que es un concepto reciente y que ha aparecido a ra´ız de la creciente importancia que los procesos no-lineales han tomado en la descripci´on de la naturaleza. Como ´este, existen multitud de ejemplos (“o´ır mis dos canciones favoritas a la vez no proporciona el doble de placer” [22]) que justifican el car´acter no-lineal de la naturaleza. En este cap´ıtulo se ver´a, por ejemplo, c´omo las soluciones de un sistema mec´anico 2.1 An´alisis de estabilidad y continuaci´on num´erica 65 Computando esa curva de equilibrios se obtiene la dependencia de los equilibrios de (2.7) con respecto al par´ametro p(ver figura 2.5). El problema de computar la curva Mes un problema de continuaci´on finitodimensional, lo cual significa encontrar una curva en Rn+1 definida por necuaciones del tipo F(y)=0,F:Rn+1 ⇒Rn,(2.9) donde y=[x1,x 2,···,x i,···,x n,p]T. Supongamos que se tiene un punto y(j)∈ Rn+1, para un cierto jentero no negativo, que verifica las siguientes condiciones: C.1 Pertenencia a la curva, esto es, satisface F(y(j))=0, C.2 No degeneraci´on ⇒rango(Fy(y(j)))=n. El s´ımbolo Fyusado en C.2 denota el jacobiano, n×(n+ 1), de F. En estas condiciones, el Teorema de la Funci´on Impl´ıcita garantiza la existencia, en un entorno del punto y(j), de una ´unica curva soluci´on del sistema (2.9), que pasa por dicho punto. La continuaci´on num´erica no es m´as que la obtenci´on del siguiente punto sobre la curva y(j+1), partiendo de los datos conocidos en y(j).Deesta forma, se genera la curva Mcon la exactitud deseada. El m´etodo de continuaci´on se puede dividir en tres pasos principalmente: (1) elecci´on del paso de continuaci´on, h(j), (2) predicci´on del nuevo punto, ˜ y(j+1), tomando un vector tangente a la curva, y (3) correcci´on mediante el m´etodo de Newton-Raphson. Como se puede observar, este m´etodo tiene la t´ıpica estructura predictor-corrector. El primer punto y(0) debe ser conocido y normalmente se corresponde con un equilibrio x(0) ypar´ametro p(0) f´aciles de obtener, por ejemplo, la soluci´on trivial del sistema. A continuaci´on se van a estudiar cada una de las tres etapas descritas anteriormente con m´as detalle. Elecci´on del paso de continuaci´on Existen varias posibilidades en cuanto a la elecci´on del paso de continuaci´on en cada iteraci´on del algoritmo. Lo m´as f´acil ser´ıa fijar a priori un paso h(0) y mante- 66 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott nerlo constante a lo largo de todo el proceso, es decir, h(j)=h(0),j=1,2,3,···. Sin embargo, es m´as acertado permitir que el paso sea variable, determin´andose su magnitud en funci´on de la velocidad de convergencia del m´etodo de Newton que se usa en el corrector. De esta forma, una convergencia lenta anima a reducir el paso, mientras que si ´esta es buena se aumentar´ıa. Predictor En esta fase del algoritmo se calcula el punto ˜ y(j+1) a partir del punto conocido y(j)y del vector v(j), que debe ser tangente a la curva en dicho punto y cumplir v(j)= 1. De esta forma se tiene ˜ y(j+1) =y(j)+h(j)v(j),(2.10) com´unmente llamada predicci´on de tangente. Para calcular el vector tangente v(j), se va a suponer que la curva est´a parametrizada en la forma y(s), donde ses el par´ametro. Adem´as, se sabe que la funci´on F(y) definida en (2.9) se anula sobre la curva, F(y(s)) = 0. Derivando esta ´ultima expresi´on con respecto al par´ametro, que se denota por ˙ (), se tiene que Fy(y(s)) ˙ y(s)=0, donde ˙ y(s)eselvector tangente a la curva en y(s). Si se elige s(j)tal que y(s(j))=y(j), se puede escribir Fy(y(j))v(j)=0,(2.11) que es equivalente a un sistema de necuaciones con (n+ 1) inc´ognitas. De alguna forma, es necesario imponer el sentido en el que se est´a realizando la continuaci´on, ya que de otra forma, el proceso podr´ıa avanzar y retroceder indistintamente por la curva. Para ello, y conociendo el vector tangente en el paso anterior, se impone la siguiente condici´on (v(j−1))T·v(j)=C<1,(2.12) que garantiza que las dos tangentes apuntan en el mismo sentido de la curva. A˜nadiendo esta condici´on al sistema de necuaciones, definido por (2.11), se tiene un sistema cerrado que proporciona el vector tangente v(j). Este sistema tiene 2.1 An´alisis de estabilidad y continuaci´on num´erica 67 soluci´on siempre que se cumpla la condici´on C.2 y el paso de continuaci´on no sea demasiado grande, provocando la no convergencia del m´etodo. Para finalizar es conveniente normalizar el vector v(j). Corrector Una vez obtenida la predicci´on, ˜ y(j+1), se corrige mediante el m´etodo de NewtonRaphson, obteni´endose y(j+1). El m´etodo de Newton-Raphson para la resoluci´on de sistemas algebraicos nolineales del tipo G(z)=0, consiste en, a partir de una primera aproximaci´on z(0), obtener la sucesi´on z(0),z(1),z(2),···, tal que el t´ermino (k+ 1) se obtiene del (k)-´esimo resolviendo el sistema linelizado alrededor de z(k), G(z(k))+Gz(z(k))(z(k+1) −z(k))=0,(2.13) donde Gzdenota el jacobiano del vector. En nuestro caso, el problema a resolver viene dado por (2.9) con la aproximaci´on, ˜ y(j+1), calculada mediante el predictor. El problema es que este sistema tiene m´as inc´ognitas que ecuaciones. Por lo tanto, es necesario a˜nadir una ecuaci´on al sistema (2.9). La condici´on de pseudo longitud de arco es la elecci´on m´as com´un, siendo utilizada por ejemplo, tanto en AUTO2000 [63], como en MATCONT [64]. Esta condici´on se expresa matem´aticamente como g(j)(y)=(y−y(j))T·v(j)−h(j)=0.(2.14) La figura 2.6 muestra la interpretaci´on geom´etrica de esta regla, que consiste en que la longitud del paso de continuaci´on, h(j), se toma igual a la proyecci´on ortogonal del vector (y−y(j))sobrev(j). Dicho esto, el sistema de ecuaciones a resolver mediante el m´etodo de Newton-Raphson, anteriormente descrito, es ⎡ ⎣F(y) g(j)(y)⎤ ⎦=⎡ ⎣0 0⎤ ⎦,(2.15) a partir de la semilla ˜ y(j+1). 68 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott Por otro lado, en las bifurcaciones de las ramas (varias soluciones sobre el mismo punto, y puntos donde en general falla el teorema de la funci´on impl´ıcita) la continuaci´on puede hacerse en varias direcciones. Es necesario por tanto, a˜nadir algunas condiciones adicionales para realizar la continuaci´on [62]. Grosso modo, estos ser´an los m´etodos que se van a utilizar en el estudio de estabilidad del SET. Primero se aplicar´an al estudio de un modelo simplificado de rotor desequilibrado, el modelo de Jeffcott. Despu´es de esto, se estudiar´a un modelo del SET geom´etricamente exacto basado en las ecuaciones de Kirchhoff-Love de una barra 3D. Figura 2.6: Pseudo longitud de arco. Figura 2.7: Modelo de Jeffcott original. 2.2 Modelo de Jeffcott de un rotor desequilibrado 69 2.2. Modelo de Jeffcott de un rotor desequilibrado El modelo de Jeffcott (1919) [26, 27] de un rotor desequilibrado, es la descripci´on m´as sencilla para representar la din´amica de rotores. Adem´as, ha sido usado en la literatura sobre din´amica de rotores para estudiar la influencia de distintos fen´omenos, tales como el amortiguamiento introducido en el sistema por la fricci´on en los ajustes de los apoyos, o la resistencia de un fluido (com´unmente designados como amortiguamiento externo), ortotrop´ıa de los apoyos, e incluso, del propio eje del rotor, amortiguamiento interno que proviene de la hist´eresis del material al estar sometido a tensiones alternativas, cargas constantes sobre el sistema rotor como pueden ser la acci´on del peso, eje del rotor inicialmente desalineado de la horizontal, etc. El modelo de Jeffcott (ver figura 2.7), est´a formado por un disco delgado r´ıgidamente unido a un eje flexible, el cual reposa sobre apoyos sin rozamiento. El disco est´a unido al eje en su centro geom´etrico C, que como se puede ver en la figura 2.7, no coincide con su centro de masa G. El eje, que se considera r´ıgido a torsi´on, est´a sujeto a una rotaci´on de velocidad angular constante ω,por lo que el disco gira igualmente a esta velocidad, como se indica en la figura. El sistema coordenado {i,j,k}es inercial. Este modelo tiene ´unicamente tres grados de libertad, los desplazamientos del centro del disco, rC, y el ´angulo girado por ´este, que en el caso de velocidad angular constante viene dado por ωt. Con objeto de poder comparar los resultados del modelo de Jeffcott con otros resultados obtenidos para modelados m´as elaborados del SET, se ha adoptado una configuraci´on en la que las condiciones de contorno sean iguales a las del problema real del SET. Por lo tanto, se va a sustituir el modelo de la figura 2.7 con condiciones de contorno para el eje de barra biapoyada, por el modelo de la figura 2.8, en el que el disco est´ar´ıgidamente unido a un extremo del eje mientras que, el otro extremo est´a empotrado a una base que rota alrededor del eje inercial ka una velocidad ω. Este sistema ser´a denominado, a partir de este momento, 70 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott modelo de Jeffcott modificado. Para el an´alisis que se va a llevar a cabo, se han definido dos sistemas coordenados auxiliares. El sistema coordenado {e1,e2,e3}, que gira solidario con el eje alrededor de k, ser´a denominado sistema coordenado m´ovil. Es conveniente introducir este sistema de ejes intermedios, para el an´alisis de la deformaci´on y cualquier par´ametro asociado a ella [26]. Adem´as, las soluciones esperadas ser´an como m´ınimo peri´odicas de frecuencia ωen ejes inerciales. Ahora bien, si las ecuaciones din´amicas del sistema son proyectadas en ejes m´oviles, estas soluciones peri´odicas ser´an puntos fijos o de equilibrio, cuya estabilidad es m´as sencilla de analizar. Finalmente, se ha introducido el sistema coordenado {ia,ib,ic}asociado a cada secci´on, con icdirigido seg´un la tangente al eje e {ia,ib}contenidos en dicha secci´on (ver figura 2.9, donde el sistema coordenado se ha representado en la ´ultima secci´on del eje, coincidente con el disco). Adem´as, se ha supuesto que el centro de masa del disco Gcoincide con el punto de uni´on con el eje C, de forma que el sistema estar´ıa equilibrado. Pero, como se dijo en la introducci´on de esta tesis, el sistema SET est´a desequilibrado inicialmente debido a que los tether, una vez desplegados, no son perfectamente rectos. Por lo tanto, para que el modelo de Jeffcott modificado sea lo m´as parecido posible al SET, se va a suponer que el eje est´a inicialmente deformado. De esta forma, se Figura 2.8: Modelo de Jeffcott modificado. 2.2 Modelo de Jeffcott de un rotor desequilibrado 71 Figura 2.9: Modelo de Jeffcott modificado, proyecci´on {i,j}. introduce un desequilibrio en el sistema, equivalente al del disco desequilibrado a efectos din´amicos [26], y que se ajusta m´as al problema real que se est´a estudiando. Esta deformaci´on inicial se expresa introduciendo un desplazamiento inicial del punto C,r0 C(ver figura 2.9). El modelo de la figura 2.8 ha perdido la simetr´ıa con respecto al plano del disco que ten´ıa el modelo de la figura 2.7, por lo que se pueden esperar desplazamientos longitudinales seg´un k, del disco. Adem´as, el extremo de la barra unido al disco puede girar por deformaci´on, haciendo que el disco tenga dos grados de libertad de giro, adem´as del mencionado anteriormente asociado a su eje perpendicular. Por lo tanto, el modelo de Jeffcott modificado tendr´ıa 6 grados de libertad, los tres desplazamientos de su centro de masa G, m´as los tres ´angulos de giro. En primer lugar, se va a suponer que las fuerzas de inercia asociadas a los giros por deformaci´on de la barra son despreciables, frente a la inercia del disco alrededor de su eje perpendicular. En segundo lugar, se asume que la inercia asociada al desplazamiento longitudinal del disco ser´a mucho menor que aquella asociada a los desplazamientos transversales, seg´un iyj.Deesta forma, el sistema se reduce a 3 grados de libertad como en el modelo de Jeffcott original. El modelo de Jeffcott tambi´en se ha usado para estudiar la influencia del amortiguamiento hister´etico en primera aproximaci´on [26, 27] y tambi´en en el 72 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott caso en el que las no linealidades geom´etricas pueden jugar un papel importante [36, 37, 38, 39, 40, 41]. ´ Este es el caso del SET, como se ver´a a continuaci´on. 2.3. Influencia del amortiguamiento interno en un rotor desequilibrado Figura 2.10: Rotaci´on s´ıncrona del sistema Es bien conocido que ciertos materiales sometidos a tensiones o cargas alternativas desarrollan ciclos de hist´eresis. En el caso del modelo de la figura 2.9, las tensiones alternativas aparecer´an cuando el movimiento de giro del eje alrededor de su l´ınea media, que viene dado por el ´angulo ωt, no coincida con el giro φalrededor de k(precesi´on) del eje en el punto C,rC. En este caso, se dice que el movimiento de giro del sistema es as´ıncrono. La flecha del punto Cpuede expresarse en ejes inerciales y m´oviles seg´un sus componentes respectivas como rC=rxi+ryj=r1e1+r2e2,(2.16) En el caso s´ıncrono, φ=ωt en todo instante, por lo que cualquier fibra del eje estar´ıa sometida a la misma tensi´on, independientemente del instante de tiempo considerado (ver figura 2.10). Esto significa que el eje se mantiene con deformaci´on 2.3 Influencia del amortiguamiento interno en un rotor desequilibrado 73 constante movi´endose como un s´olido r´ıgido. Por otro lado, en el caso as´ıncrono, φ=ωt, por lo que la misma fibra estar´ıa sometida a distintas tensiones seg´un el instante de tiempo (ver figura 2.11), apareciendo en este caso amortiguamiento hister´etico en el material. Figura 2.11: Rotaci´on as´ıncrona del sistema. Aun cuando el amortiguamiento hister´etico aparece en la mayor´ıa de los s´olidos sujetos a tensiones alternativas (piezas de maquinaria rotativa, motores, mecanismos en general, etc.), no se suele tener en cuenta a la hora de la simulaci´on din´amica. Esto es debido a que su efecto, comparado con el que introducen en el sistema otros tipos de amortiguamiento, es despreciable. Por ejemplo, el amortiguamiento introducido en un mecanismo por la lubricaci´on de los pares, el generado al operar en el seno de un fluido (gas, l´ıquido), u otras fuentes de amortiguamiento bien conocidas [65], son mucho mayores en magnitud e influencia que el amortiguamiento hister´etico. Sin embargo, en el problema que se est´a estudiando, la ´unica fuente de amortiguamiento presente es el hister´etico, ya que el SET orbita en el espacio (vac´ıo) y est´a formado por un medio continuo (tether), r´ıgidamente unido a una base rotativa (sin amortiguamiento en el par cinem´atico). En este caso, la hist´eresis tiene que ser tenida en cuenta y, como se ver´a a continuaci´on, juega un papel determinante en la estabilidad del SET. 74 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott Por otro lado, es l´ogico suponer que las fibras del tether estar´an sometidas a tensiones alternativas. Efectivamente, teniendo en cuenta que el tether se deforma por torsi´on y que es altamente flexible, se espera que evolucione con una rotaci´on as´ıncrona. Por lo tanto, y salvando las diferencias que puedan existir entre un modelo tan sencillo como el de Jeffcott y el SET, se puede afirmar que el amortiguamiento hister´etico en el seno del tether ser´a una fuente de inestabilidad [27, 26], que habr´a que tener en cuenta en el problema bajo estudio. A continuaci´on se van a derivar las ecuaciones de movimiento del modelo de Jeffcott, para ver la influencia del amortiguamiento hister´etico sobre el sistema rotor. En r´egimen permanente (ω=constante) y para el sistema inicialmente recto y equilibrado, las ecuaciones de movimiento vienen dadas por [26] m⎡ ⎣¨rx ¨ry⎤ ⎦+ci⎡ ⎣˙rx ˙ry⎤ ⎦+⎡ ⎣k−ωci −ωcik⎤ ⎦⎡ ⎣rx ry⎤ ⎦=⎡ ⎣0 0⎤ ⎦,(2.17) donde mes la masa del disco, kes la rigidez a flexi´on del eje y ci,eslaconstante de amortiguamiento interno del material del eje. La fuerza generalizada de amortiguamiento se puede expresar en ejes m´oviles {e1,e2,e3}como Fa=−ci(˙r1e1+˙r2e2),(2.18) donde puede observarse que esta fuerza es nula cuando el movimiento del sistema es s´ıncrono. Los elementos cruzados de signo contrario en el t´ermino potencial de rigidez son indicativos de inestabilidad [26]. De hecho, un sencillo an´alisis indica que el sistema se vuelve inestable para velocidades de giro superiores a la frecuencia natural de flexi´on. Esta velocidad l´ımite de estabilidad se denomina com´unmente “velocidad cr´ıtica”. Por lo tanto el sistema es inestable para ω>ω crit =ωn=k m.(2.19) Normalmente, este resultado, que fue desarrollado por Ziegler en los a˜nos cincuenta [66], es aceptado desde el punto de vista del dise˜no de rotores [67, 68], es decir, la velocidad de operaci´on del sistema rotor debe estar por debajo de esta 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 81 sistema. Por lo tanto, el eje del rotor vibrar´a seg´un su primer modo de vibraci´on en cada plano, que es precisamente el que se ha usado para discretizar el campo de desplazamientos. De esta forma, para el r´egimen de velocidades que se va a considerar, la discretizaci´on de los desplazamientos mediante una sola funci´on de forma puede considerarse suficiente. Teniendo en cuenta que las ecuaciones (2.32) relacionan los desplazamientos con las coordenadas generalizadas mediante una combinaci´on lineal de funciones de forma, la deformaci´on inicial del eje se puede introducir sin m´as que a˜nadir la constante r0 1de la siguiente forma u(x3,t)=φ(x3)(r1(t)−r0 1),(2.34) v(x3,t)=φ(x3)r2(t).(2.35) El amortiguamiento interno del eje del rotor juega un papel esencial en la estabilidad del sistema, como se mostr´o en la secci´on anterior. En lo que sigue, se va a derivar una relaci´on tensi´on, deformaci´on y velocidad de deformaci´on que tenga en cuenta el amortiguamiento interno. Modelado del amortiguamiento interno Figura 2.13: Modelado del amortiguamiento interno. (a) Ciclo de hist´eresis. (b) Problema unidimensional. (c) Modelo de amortiguamiento viscoso equivalente. Sup´ongase un problema unidimensional como el de la barra sometida a tracci´on 82 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott pura de la figura 2.13-(b). Las ´unicas tensiones que aparecer´an en este problema son normales a la secci´on, como se representa en dicha figura. El fen´omeno de la hist´eresis se modela en ingenier´ıa mediante los llamados “ciclos de hist´eresis” (ver figura 2.13-(a)). De esta forma se intenta modelar de un modo aproximado el desfase que provoca la hist´eresis en la relaci´on tensi´on-deformaci´on del material. En primera aproximaci´on, y para el problema unidimensional que se est´a tratando, este desfase se modela a˜nadiendo una parte imaginaria a la constante que relaciona tensiones y deformaciones, en este caso el m´odulo de Young. De esta forma, dicha relaci´on viene dada por σ=(E+iδ)ε, (2.36) donde i=√−1yδes la constante de amortiguamiento hister´etico del material en cuesti´on. Sin embargo, este tipo de modelizaci´on no es conveniente si se quiere hacer un an´alisis en el dominio del tiempo y no, en el de la frecuencia del problema. As´ı, en ingenier´ıa mec´anica se suele usar una aproximaci´on adicional, que consiste en suponer un amortiguamiento viscoso equivalente (Ley de Kelvin-Voigt [65]) en lugar de hister´etico (ver figura 2.13-(c)). As´ı, la ley tensi´on-deformaci´on se transformar´ıa en σ=E(ε+γ˙ε),(2.37) donde γes la constante de amortiguamiento viscoso, que viene representada por el amortiguador equivalente de la figura 2.13-(c), y ˙ ( ) representa derivada con respecto al tiempo. Llegados a este punto, es necesario hacer una serie de consideraciones sobre el rango de validez de esta ´ultima aproximaci´on. En primer lugar, hay que tener en cuenta que la constante de amortiguamiento hister´etico, δ,seconsidera una propiedad del material. Sin embargo, la constante de amortiguamiento viscoso depende de la frecuencia de aplicaci´on de las cargas sobre el sistema de una forma aproximadamente lineal, por lo tanto no se puede considerar una propiedad intr´ınseca del material [65]. De esta forma, si dichas constantes se obtienen mediante experimentaci´on para el material en cuesti´on, el valor de δno depender´ade la frecuencia de aplicaci´on de las cargas en el experimento, pero, el valor de γ 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 83 s´ı tendr´a una dependencia aproximadamente lineal, en el entorno de la frecuencia del experimento. Por lo tanto, la constante de amortiguamiento viscoso s´olo es v´alida en un entorno de la frecuencia a la que se ha calculado, ya sea mediante experimentaci´on o anal´ıticamente, como se va a ver en la siguiente secci´on [70]. En cualquier caso, y teniendo en cuenta lo anterior, la ley tensi´on-deformaci´on en el eje del rotor (normales a la secci´on) se puede expresar como σ33 =E(ε33 +γ˙ε33),(2.38) donde σ33 es la tensi´on normal a la secci´on del eje del rotor. Para obtener la ley de tensi´on-deformaci´on viscoel´astica de la expresi´on (2.38), se ha supuesto que la barra bajo estudio es una viga de Euler, por lo que tensiones octa´edricas y desviadoras est´an desacopladas, y las deformaciones por flexi´on/tracci´on y torsi´on pueden estudiarse separadamente [70]. En caso contrario, se tendr´ıa una ley tensi´on-deformaci´on tridimensional totalmente acoplada que incluye dos constantes de amortiguamiento viscoso asociadas a deformaciones octa´edricas y desviadoras, respectivamente. C´alculo de la constante de amortiguamiento viscoso equivalente Es posible encontrar valores tabulados, o expresiones emp´ıricas, para la constante de amortiguamiento viscoso equivalente de materiales com´unmente utilizados en ingenier´ıa [65, 71]. Estos valores o expresiones depender´an generalmente de las condiciones experimentales en que se calcularon, especialmente de la frecuencia de aplicaci´on de las cargas. Tambi´en existen procedimientos experimentales que permiten el c´alculo sistem´atico de dicho coeficientes. En el caso del SET, el tether est´a fabricado de una aleaci´on cobre-berilio poco com´un, por lo tanto, los valores de las constantes de amortiguamiento no se encuentran en la literatura. Para esta tesis, se ha optado por un c´alculo aproximado anal´ıtico de estas constantes de amortiguamiento, ya que no se dispon´ıa de los medios necesarios para su c´alculo experimental. 84 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott Es bien sabido [25] que el amortiguamiento cr´ıtico de un sistema masa-muelle, como el que se muestra en el modelo equivalente de la figura 2.13-(c), es igual a dos veces la inversa de la frecuencia natural de dicho sistema, γcrit =2 ωn .(2.39) En ingenier´ıa mec´anica, se suele usar un valor porcentual, ξ, del amortiguamiento cr´ıtico para caracterizar la constante de amortiguamiento viscoso. De esta forma, la constante de amortiguamiento del modelo masa-muelle equivalente ser´ıa γ=2ξ ωn .(2.40) Teniendo en cuenta que para el eje del rotor s´olo se han considerado deformaciones normales, en este caso debidas a la flexi´on en lugar de a tracci´on pura, como en el ejemplo de la figura 2.13-(b), la constante de amortiguamiento equivalente para el modelo de Jeffcott se puede calcular de forma an´aloga a la descrita anteriormente. De esta forma, y considerando la ortotrop´ıa de la secci´on del eje, cabe elegir entre dos opciones, seg´un la constante se calcule con uno, u otro de los momentos de inercia de la secci´on del rotor. Finalmente, se ha optado por usar el mayor de ellos, por lo que el eje disipar´a energ´ıa por deformaci´on en la cantidad establecida, seg´un la direcci´on de mayor momento de inercia de la secci´on, y en una cantidad superior a la que le corresponder´ıa, en cierto sentido del lado de la seguridad, en la otra direcci´on. Evidentemente, la frecuencia natural se calcular´a teniendo en cuenta las condiciones de contorno del problema original, por lo que se usar´a la frecuencia natural de una barra empotrada en un extremo y con una masa puntual, suficientemente grande como para despreciar la masa de la barra, en el otro extremo. Esta frecuencia natural tiene la siguiente expresi´on ωa n=3EIa ml3,(2.41) donde Ia>I bson los momentos de inercia de la secci´on del eje alrededor de iaeib, respectivamente (ver figura 2.9). De esta forma, y asumiendo un valor apropiado de ξ[65], la constante γqueda definida. 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 85 Llegando a este punto, es importante tener en cuenta que el modelo que se est´a describiendo va a ser usado para realizar un estudio param´etrico de estabilidad. Esto quiere decir que se van a generar diagramas de bifurcaci´on y estabilidad en funci´on de ciertos par´ametros o n´umeros adimensionales, entre los cuales estar´a el amortiguamiento adimensional. Por lo tanto, aunque el c´alculo del amortiguamiento propuesto es aproximado, ´este se podr´a variar libremente para observar qu´e influencia tiene sobre la din´amica del sistema. Finalmente, es necesario apuntar que bajo el rango de validez del modelo que se est´a formulando (frecuencias de giro ligeramente superiores a la segunda frecuencia natural del sistema), la constante de amortiguamiento viscoso, calculada usando la segunda frecuencia natural del sistema (con la mayor de las inercias de la secci´on, Ia), se puede considerar pr´acticamente independiente de la frecuencia de giro. A partir de este momento, por tanto, se asume que la constante γ, calculada anteriormente, es v´alida en todo el rango de velocidades que se va a estudiar. Expresi´on final de Fe Una vez definida la relaci´on tensi´on-deformaci´on, ecuaciones (2.31), (2.38), (2.40) y (2.41), la energ´ıa de deformaci´on asociada al sistema es U=1 2V (σ33ε33)dV=1 2V (Eε2 33)dV, (2.42) donde V=Aslrepresenta el volumen total del eje, siendo Asel ´area de la secci´on transversal. Introduciendo las expresiones (2.33), (2.34) y (2.35) en (2.31), sustituyendo el resultado en (2.42) y teniendo en cuenta que la secci´on es sim´etrica con respecto a los ejes iaeib,laexpresi´on final de la energ´ıa de deformaci´on es U=EAsP1 8((r1(t)−r0 1)4+r4 2(t)) + EAsP1 4(r1(t)−r0 1)2r2 2(t) +EIbP2 2(r1(t)−r0 1)2+EIaP2 2r2 2(t), (2.43) 86 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott donde P1=l φ4(x3)dx3=72 35l3,P 2=l φ2(x3)dx3=3 l3, Ia=As x2 bdAs,I b=As x2 adAs, (2.44) y() denota derivada con respecto a x3. Las fuerzas el´asticas se obtienen derivando la energ´ıa potencial con respecto a las coordenadas generalizadas, como sigue F1 e=−∂U ∂r1 =−EIbP2(r1−r0 1)−EAsP1 2(r1−r0 1)((r1−r0 1)2+r2 2), F2 e=−∂U ∂r2 =−EIaP2r2−EAsP1 2r2((r1−r0 1)2+r2 2), (2.45) donde el segundo t´ermino de la parte derecha de las dos igualdades representa la nolinealidad geom´etrica introducida en el modelo, siendo ´esta de orden c´ubico en los desplazamientos generalizados de la barra. Usando la notaci´on de Bolotin [39] para agrupar y nombrar los t´erminos de la ecuaci´on, se tienen los siguientes coeficientes el´asticos k1=EIbP2,k 2=EIaP2, α1=AsP1 2IbP2 ,α 2=AsP1 2IaP2 , (2.46) de forma que la expresi´on final de las fuerzas el´asticas es F1 e=−k1(r1−r0 1)−k1α1(r1−r0 1)((r1−r0 1)2+r2 2) F2 e=−k2r2−k2α2r2((r1−r0 1)2+r2 2). (2.47) Expresi´on final de Fa. Funci´on de disipaci´on de Rayleigh y potencia disipada La potencia disipada en el eje debida a la acci´on del amortiguamiento interno es [72] Pdis =V (Eγ ˙ε2 33)dV. (2.48) 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 87 Teniendo en cuenta de nuevo las ecuaciones (2.33)-(2.35) y (2.31), la potencia disipada resulta Pdis =γEAsP1((r1−r0 1)2˙r2 1+2(r1−r0 1)r2˙r1˙r2+r2 2˙r2 2) +γEIbP2˙r2 1+γEIaP2˙r2 2, (2.49) donde se ha suprimido la dependencia de las variables por simplicidad. Considerando la potencia disipada como una funci´on de disipaci´on de Rayleigh [70, 72], Fd=0.5Pdis, las fuerzas de amortiguamiento se obtienen de la siguiente forma F1 a=−∂Fd ∂˙r1 =−2γEIbP2˙r1−2γEAsP1(r1−r0 1)((r1−r0 1)˙r1+r2˙r2) F2 a=−∂Fd ∂˙r2 =−2γEIaP2˙r2−2γEAsP1r2((r1−r0 1)˙r1+r2˙r2). (2.50) Usando de nuevo la notaci´on de Bolotin [39], las fuerzas de amortiguamiento se escriben de la siguiente manera F1 a=−ci1˙r1−ci1α1(r1−r0 1)((r1−r0 1)˙r1+r2˙r2) F2 a=−ci2˙r2−ci2α2r2((r1−r0 1)˙r1+r2˙r2), (2.51) donde ci1=2γEIbP2,c i2=2γEIaP2.(2.52) 2.4.2. Forma final de las ecuaciones de movimiento Una vez definidas las fuerzas el´asticas y de amortiguamiento no-lineales, las ecuaciones de movimiento del modelo de Jeffcott modificado (2.21) se pueden escribir de la siguiente manera M¨ r+(Q1+Cl+Cnl)˙ r+Q2r+(Kl+Knl)(r−[r0 10]T)=0,(2.53) donde M,Q1yQ2est´an definidas en (2.22) y Kl=⎡ ⎣k10 0k2⎤ ⎦,Knl =((r1−r0 1)2+r2 2)⎡ ⎣α1k10 0α2k2⎤ ⎦, Cl=⎡ ⎣ci10 0ci2⎤ ⎦,Cnl =2⎡ ⎣α1ci1(r1−r0 1)2α1ci1(r1−r0 1)r2 α2ci2(r1−r0 1)r2α2ci2r2 2⎤ ⎦. (2.54) 88 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott Adimensionalizaci´on de las ecuaciones de movimiento Cuando se lleva a cabo el an´alisis de estabilidad de un sistema din´amico, es importante adimensionalizar sus ecuaciones ya que as´ı, el n´umero de constantes que define el sistema se reduce a un n´umero m´ınimo de par´ametros adimensionales. Una vez seleccionados, los par´ametros adimensionales caracterizan por completo la geometr´ıa, caracter´ısticas del material, etc. del sistema bajo estudio. Adem´as, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de segundo orden (2.53) se va a transformar en un sistema de primer orden de dimensi´on doble usando las siguientes variables adimensionales q1=˙r1√α2 ωn2 ,q 2=˙r2√α2 ωn2 ,q 3=r1√α2,q 4=r2√α2,τ=tωn2,(2.55) donde ωn1=k1 m,(2.56) ωn2=k2 m,(2.57) son la primera y segunda frecuencia natural del sistema barra-disco, respectivamente. A partir de ellas, se va a definir el par´ametro de ortotrop´ıa del eje, que medir´a cuanto se separa la secci´on del car´acter circular is´otropo, de la siguiente forma R=ωn1 ωn2 =Ib Ia∈(0,1],I b<I a.(2.58) Cuando R= 1, el eje es is´otropo. De esta forma, variando el par´ametro R, se puede estudiar este caso con inter´es pr´actico en el campo de la din´amica de rotores. Teniendo en cuenta las expresiones (2.55), las ecuaciones (2.53) se transforman 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 89 en ˙q1=2¯ωq2+ω2q3−(q3−q30)(R2+(q3−q30)2+q2 4+4¯γ((q3−q30)q1+q2q4) −2¯γR2q1 ˙q2=−2¯ωq1+(ω2−1)q4−q4((q3−q30)2+q2 4+4¯γ((q3−q30)q1+q2q4) −2¯γq2 ˙q3=q1 ˙q4=q2 (2.59) donde ˙ ( ) representa, en lo que sigue, derivada con respecto al tiempo adimensional τ,¯γ=γωn2es la constante de amortiguamiento adimensional, q30 =r0 1√α2es la desviaci´on inicial adimensional y, ¯ωes la velocidad angular de giro adimensional. Por tanto, es necesario proporcionar cuatro par´ametros adimensionales para definir el sistema representado por las ecuaciones (2.59): ¯ω,¯γ,Ryq30. Algunas consideraciones previas sobre el an´alisis de estabilidad Para obtener los equilibrios o puntos fijos del sistema, representados a partir de este momento por el vector ¯ q=[¯q1,¯q2,¯q3,¯q4]T, el vector velocidad ˙ q=[˙q1,˙q2,˙q3,˙q4]T debe anularse [22], en cuyo caso, las velocidades del problema original de segundo orden, ˙r1y˙r2, son l´ogicamente nulas en los equilibrios. A la hora de determinar la estabilidad de los diferentes equilibrios, es necesario tener informaci´on sobre el sistema linealizado alrededor del equilibrio en cuesti´on. Dicha linealizaci´on viene dada por (versi´on de la ecuaci´on (2.59) como EDO de segundo orden) ⎡ ⎣10 01 ⎤ ⎦¨ p+(¯ω⎡ ⎣0−2 20 ⎤ ⎦+⎡ ⎣2¯γR2+4¯γ(q3−q30)24¯γ(q3−q30)q4 4¯γ(q3−q30)q42¯γ+4¯γq2 4⎤ ⎦)˙ p +⎡ ⎣3(q3−q30)2+q2 4+(R2−¯ω2)2(q3−q30)q4 2(q3−q30)q4(q3−q30)2+3q2 4+(1−¯ω2)⎤ ⎦p=0, (2.60) 90 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott donde p=[q3,q 4]T−[¯q3,¯q4]T,(2.61) siendo ¯q3y¯q4los valores de las variables en el equilibrio que est´e siendo analizado. Siguiendo la notaci´on usada por Roseau [73], el sistema (2.60) tiene la siguiente estructura A¨p+(ζΓ+D)˙p+(K+E)p=0,(2.62) donde Arepresenta la matriz de inercia, Γes la matriz de los pares girosc´opicos, ζes la velocidad de rotaci´on, Des la matriz de disipaci´on o amortiguamiento yKyErepresentan la matriz de rigidez del sistema. En este caso, Kes una matriz sim´etrica que reproduce las fuerzas el´asticas y la matriz Ees antisim´etrica. Identificando (2.60) con (2.62) se obtienen expresiones para las matrices en la siguiente forma A=⎡ ⎣10 01 ⎤ ⎦,ζΓ=¯ω⎡ ⎣0−2 20 ⎤ ⎦,E=0, D=⎡ ⎣2¯γR2+4¯γ(q3−q30)24¯γ(q3−q30)q4 4¯γ(q3−q30)q42¯γ+4¯γq2 4⎤ ⎦, K=⎡ ⎣3(q3−q30)2+q2 4+(R2−¯ω2)2(q3−q30)q4 2(q3−q30)q4(q3−q30)2+3q2 4+(1−¯ω2)⎤ ⎦. (2.63) El an´alisis de estabilidad del sistema (2.62) se puede realizar de forma sencilla analizando el car´acter de las formas cuadr´aticas asociadas a las matrices definidas en (2.63). En el caso bajo estudio, E=0,seusar´an los siguientes teoremas enunciados por Roseau [73]: Teorema 1. Sea Duna matriz definida positiva; si uno de los autovalores de Kes negativo y su determinante es distinto de cero, entonces el equilibrio p=0es inestable para todo ζ. Teorema 2. Sea Duna matriz definida positiva; si Kes definida positiva el equilibrio p=0es asint´oticamente estable. Si Kes definida negativa, el equilibrio es inestable para todo ζ. 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 97 Este equilibrio es estable por la misma raz´on que el caso anterior. En este punto, donde el sistema geom´etricamente lineal presenta un equilibrio inestable, el modelo no-lineal muestra un resultado totalmente distinto, un equilibrio asint´oticamente estable. Caso C. Velocidad supercr´ıtica, 1>¯ω>R. Figura 2.17: Equilibrios para 1 >¯ω>R. En este caso, se va a usar la figura 2.17 que muestra la funci´on c´ubica f(¯ω,R,y) frente a la coordenada y(n´otese que la funci´on f(¯ω,R,y)essim´etrica con respecto ay= 0). Cortando dicha c´ubica con distintos valores de la funci´on λ(¯ω,q30)se obtienen los equilibrios del sistema. Los valores de los siguientes puntos yjser´an ´utiles en el desarrollo que se muestra a continuaci´on, y1=±¯ω2−R2,y 2=±¯ω2−R2 3,y 3=±2¯ω2−R2 3.(2.78) Observando la figura 2.17, es l´ogico dividir el estudio en dos casos distintos, 98 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott dependiendo del valor relativo entre λyλe, que viene dado por λe=2¯ω2−R2 33 2 .(2.79) Caso C.1. Una ra´ız real, 1 >¯ω>R,λ>λ e. Como se muestra en la figura 2.17, s´olo existe un equilibrio en esta regi´on, ¯y2>y 3. El autovalor γ2, dado por (2.76), es siempre positivo dentro de este rango de velocidad angular. La siguiente desigualdad demuestra que el autovalor γ1es tambi´en positivo: ¯y2>y 3=2 ¯ω2−R2 3>¯ω2−R2 3⇒γ1>0.(2.80) As´ı, ¯y2es asint´oticamente estable en el rango de velocidad supercr´ıtica bajo estudio, en contra de lo que predice la teor´ıa lineal de rotores [26]. Caso C.2. Tres ra´ıces reales, 1 >¯ω>R,λ<λ e. Como se ve en la figura 2.17, tres soluciones reales coexisten al mismo tiempo. Se van a estudiar separadamente: Equilibrio ¯y3. Este equilibrio cumple la siguiente desigualdad y1<¯y3<y 3(ver figura 2.17). Al igual que el caso anterior, γ2>0. La siguiente desigualdad ¯y3>¯ω2−R2>¯ω2−R2 3⇒γ1>0,(2.81) demuestra que el equilibrio ¯y3es asint´oticamente estable. Equilibrio ¯y4. Este equilibrio cumple la siguiente desigualdad y2<|¯y4|<y 1(n´otese que la funci´on f(¯ω,R,y)essim´etrica con respecto al origen y= 0, figura 2.17). Como en los casos anteriores γ2>0, y adem´as se cumple la desigualdad siguiente ¯y4>y 2=¯ω2−R2 3⇒γ1>0,(2.82) 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 99 por lo que ¯y4es asint´oticamente estable. Equilibrio ¯y5. La figura 2.17 muestra como ¯y5<y 2. Usando de nuevo la ecuaci´on (2.82), se puede ver f´acilmente como γ1<0 en este caso, siendo γ2>0 como en los dem´as equilibrios de esta regi´on. De esta forma, seg´un el teorema 1, el equilibrio ¯y5es inestable. En el caso en que λ=λe, los equilibrios ¯y4y¯y5colisionan y desaparecen, bifurcaci´on de silla-nodo (SN). Igualando las expresiones de λyλe, se obtiene una relaci´on entre los par´ametros del sistema para la que la bifurcaci´on SN aparece, ¯ω2−3q30 22 3¯ω4 3−R2=0.(2.83) Fijando, por ejemplo, los par´ametros q30 yR, la ecuaci´on (2.83) proporciona, si para esos valores existe soluci´on, el valor exacto de la velocidad donde aparece la bifurcaci´on SN, ¯ωSN. Observando la figura 2.14, se puede interpretar que la bifurcaci´on SN es la extensi´on de la bifurcaci´on de tridente BP1 cuando se rompe la simetr´ıa del problema en el plano {e1,e3},q30 =0. Caso D. Velocidad supercr´ıtica, ¯ω>1. En este caso, se vuelve a usar la figura 2.17, ya que los equilibrios siguen respondiendo a la misma expresi´on c´ubica que en el caso anterior (2.74). Se usa la misma nomenclatura para nombrar los equilibrios y puntos importantes del diagrama ya que en realidad, aunque se est´en estudiando por separado, se corresponden con equilibrios de la misma rama, aunque en condiciones diferentes, ya que los valores de los par´ametros son otros. Los autovalores a analizar son de nuevo (2.75) y (2.76), que deben cumplir las siguientes desigualdades para ser positivos, γ1>0⇒y>¯ω2−R2 3,(2.84) γ2>0⇒y>¯ω2−1.(2.85) 100 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott Caso D.1. Una ra´ız real, ¯ω>1, λ>λ e. Como muestra la figura 2.17, ¯y2>y 3, por lo que se cumple la siguiente secuencia de desigualdades, ¯y2>y 3=2 ¯ω2−R2 3>¯ω2−R2 3.(2.86) As´ı, la condici´on (2.84) es satisfecha y γ1>0. Por otro lado, usando de nuevo la misma propiedad, ¯y2>y 3, se puede escribir ¯y2>y 3=2 ¯ω2−R2 3>2¯ω2−1 3>¯ω2−1,(2.87) por lo que la condici´on (2.85) es satisfecha, siendo el equilibrio asint´oticamente estable. Caso D.2. Tres ra´ıces reales, ¯ω>1, λ<λ e. Al igual que en C.2, se van a estudiar los tres equilibrios por separado. Equilibrio ¯y3. De la figura 2.17 se tiene que y1<¯y3<y 3. La siguiente desigualdad, ¯y3>¯ω2−R2>¯ω2−1 3⇒γ1>0,(2.88) muestra como se cumple la condici´on (2.84). Adem´as, ¯y3>¯ω2−R2>¯ω2−1⇒γ2>0,(2.89) por lo que (2.85) es satisfecha y el equilibrio ¯y3es asint´oticamente estable. Con este resultado se ha comprobado que la rama de soluciones formada por ¯y1−¯y2−¯y3 es estable en todo el rango de ¯ω, independientemente de los valores de Ryq30. Equilibrios ¯y4e¯y5. Observando la figura 2.17, se tiene que ¯y5<y 2, por lo que se cumple que ¯y5<y 2=¯ω2−R2 3.(2.90) 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 101 En tal caso, y teniendo en cuenta la condici´on (2.84), se tiene que ¯y5es inestable, ya que al menos uno de los autovalores de Kes negativo, γ1<0 (teorema 1). Por otro lado, siendo ¯y4>y 2,γ1>0 en este caso. De esta forma, el cambio de signo en γ1se corresponde con el cambio de estabilidad que se espera en la bifurcaci´on de silla-nodo SN [22]. Por lo tanto, se sabe que en este regimen de velocidades, ¯ω>1, el equilibrio que queda a la derecha de SN, ¯y5, es siempre inestable sea cual sea el signo de γ2, como en el Caso C.2. Sin embargo, la estabilidad de ¯y4 depender´a del signo de γ2. El c´alculo anal´ıtico de la estabilidad que se ha llevado a cabo hasta el momento se vuelve m´as complejo en este caso, y deja de ser eficiente en el an´alisis de los equilibrios ¯y4e¯y5. Por ello, se van a realizar algunas consideraciones adicionales que se exponen a continuaci´on. En principio, se va a determinar la condici´on de cambio de signo en γ2,dela siguiente forma γ2=0⇒y=yN=¯ω2−1.(2.91) Este valor de yNexplica la raz´on por la cual el autovalor γ2es siempre positivo en el Caso C, donde 1 >¯ω>R. Por otro lado, usando la expresi´on de los equilibrios espaciales dada por (2.73), y haciendo q4= 0 para particularizar en el punto de bifurcaci´on BP2 se obtiene y=¯ω2−1.(2.92) Considerando las ecuaciones (2.91) y (2.92), es claro que el cambio de signo en γ2 se corresponde con la bifurcaci´on que da lugar a las soluciones espaciales (q4= 0) desde la rama plana, BP2. Este fen´omeno se comprende con mayor claridad observando la figura 2.14 y rompiendo mentalmente la estructura de las ramas por la introducci´on de q30 = 0. De esta forma, por continuidad, se tiene que las ramas de soluciones siguen siendo sim´etricas con respecto al plano {e1,e3},BP1 se convierte en SN y BP2 se convierte en el punto donde aparecen las soluciones espaciales. Por lo tanto, una vez localizada la rama de soluciones espaciales, se conoce el punto exacto de cambio de signo de γ2. 102 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott Teniendo en cuenta lo anterior, se va a estudiar la estabilidad de las ramas de equilibrios usando un procedimiento m´as intuitivo en lugar del procedimiento anal´ıtico; que en este caso resulta ser bastante complejo, ya que la estabilidad depende de los tres par´ametros (¯ω,q30 yR) simult´aneamente. El nuevo procedimiento est´a basado en la observaci´on de las formas de las ramas de soluciones y de las bifurcaciones que aparecen (tridente supercr´ıtica, tridente subcr´ıtica, sillanodo, etc.). Como se ha dicho anteriormente, es importante localizar la rama de soluciones espaciales. Para ello, se resuelve la ecuaci´on (2.72) con q4= 0, obteni´endose y=−¯ω2q30 1−R2,(2.93) q4=((¯ω2−1)(1 −R2)−(¯ω2q30)2)1 2 1−R2.(2.94) Esta soluci´on espacial ´unicamente existe en el caso en el que la expresi´on dentro de la ra´ız cuadrada sea positiva. Haciendo nulo el radicando se obtiene la relaci´on que se da entre los distintos par´ametros en el punto BP2: (¯ω2−1)(1 −R2)=(¯ω2q30)2.(2.95) En la figura 2.18 se representan de forma simult´anea la posici´on de la bifurcaci´on de silla-nodo SN, dada por (2.83), y la bifurcaci´on de tridente BP2, dada por (2.95), para un Rfijo en el espacio de los par´ametros ¯ω−q30. De esta forma, dado el valor de los par´ametros, es posible conocer la posici´on relativa entre estos puntos tan determinantes para la din´amica del sistema. Como se puede apreciar en la figura 2.18, las soluciones espaciales s´olo aparecen para valores ¯ω>1. Esto explica la causa por la cual en el Caso C (1 >¯ω>R), el equilibrio ¯y4es siempre estable. El punto de tangencia entre ambas curvas, designado en la figura 2.18 como q∗ 30, marca el momento exacto en el que SN y BP2 coinciden. Este valor puede ser calculado usando las ecuaciones (2.83) y (2.95). Para un valor de ¯ωdado, se pueden identificar dos situaciones bien diferenciadas, dependiendo de si el valor de q30 est´a por encima, o por debajo de q∗ 30. 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 103 Caso D.2.1. q30 <q ∗ 30. La figura 2.19 muestra las ramas de soluciones para el caso bajo estudio. Las ramas han sido generadas usando las expresiones de los equilibrios que proporcionan las ecuaciones (2.71), (2.72) y (2.73). La soluci´on plana que se encuentra en el semiespacio de q3>0 ser´a referida a partir de ahora como rama 1, la que se encuentra en el semiespacio q3<0 ser´a la rama 2, y la de soluciones espaciales rama 3 (con q3yq4distintos de cero). Para q30 <q ∗ 30,BP2est´a situado por encima de SN, en la parte superior de la rama 2, rama 2b (por encima de SN). Como se demostr´oenelCaso C.2 (1 >¯ω>R), la parte inferior de la rama 2, rama 2a (por debajo de SN), que se encuentra en este rango es estable si ¯ω>R( ver ¯y4en ecuaci´on (2.82)). Estando BP2 en la rama 2b, no se esperan cambios en el signo de γ2para ¯ω>1 ya que no existen bifurcaciones en esta rama. De esta forma, por continuidad del caso C.2, se puede afirmar que la rama 2a completa es asint´oticamente estable (¯y4), como se indica en la figura 2.19. Por otro lado, como se demostr´oenelcasoC.2,larama 2b es inestable (γ1se hace negativo justo en SN) para ¯ω<1, segmento de rama Figura 2.18: Lugar geom´etrico de los puntos SN y BP2 en el espacio de par´ametros ¯ω−q30 para R=0.875. 104 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 2a 3 2b 1 SN BP2 estable inestable q4 q3 w0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 -2 -1 0 1 2 BP2 SN 3 2a 2b 1 q3 w Figura 2.19: Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, q30 <q ∗ 30. entre SN y BP2. Como se ve en la figura 2.19 y se demostr´o en la figura 2.18, BP2 aparece para ¯ω>1. En este punto, donde surge la bifurcaci´on de tridente supercr´ıtica, el autovalor γ2de Kcambia de positivo a negativo. Por lo tanto, ambos autovalores son negativos a partir de ese punto. En cualquier caso, la rama 2b (¯y5) completa es inestable. Caso D.2.2. q30 >q ∗ 30. En esta situaci´on, y tomando como referencia el caso anterior, el punto BP2 viaja desde la rama 2b hasta la 2a pasando por SN en el punto exacto de tangencia q∗ 30 de la figura 2.18. Esta situaci´on es descrita por la figura 2.20 para un valor qa 30 >q ∗ 30. La rama 2b es, en este caso, inestable en todo su recorrido (hasta SN), ya que como se demostr´o al comienzo de esta secci´on para ¯y5, se tiene que γ1<0, independientemente de la posici´on de BP2, que influye en el signo de γ2. Por lo tanto, en la rama 2b, γ1no cambia de signo hasta SN, donde pasa de negativo a positivo. En el tramo de rama 2a comprendido entre SN y BP2, γ1>0por tanto la estabilidad depender´a del signo de γ2. En este caso, (ver figura 2.20) BP2 es una bifurcaci´on de tridente subcr´ıtica en la que el autovalor pasa de negativo a positivo. Por lo tanto, la rama 2a es estable a partir de BP2 y la rama 3 es 2.4 El modelo de Jeffcott modificado geom´etricamente no-lineal 105 inestable ya que el autovalor γ2es negativo en ella. Figura 2.20: Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, qa 30 >q ∗ 30. Si se incrementa el valor de q30, BP2 desciende a lo largo de la rama 2a en el rango de velocidades que se est´a estudiando ¯ω∈[0,2]. A partir de cierto valor qb 30 (ver figura 2.18), existen dos bifurcaciones en la rama 2a (BP2 y BP3), ya que para dicho valor el lugar geom´etrico de los BP’s es cortado dos veces. A partir de cierto valor qc 30, no existen BP’s en la rama 2a (ning´un corte con BP), y la rama 3 desaparece. Las bifurcaciones BP2 y BP3 colisionan y desaparecen, llev´andose con ellas la rama de soluciones espaciales. Estos dos ´ultimos casos est´an representados en las figuras 2.21 y 2.22. La forma de la rama 3 de soluciones espaciales puede ser estudiada usando las ecuaciones (2.71) y (2.72) para eliminar ¯ω, de forma que se tiene una expresi´on de la curva en el plano y−q4para valores de Ryq30 dada por q30(y2+q2 4)+y(1 −R2)+q30 =0,(2.96) que para q30 = 0 se corresponde con la expresi´on de una elipse. Las figuras 2.20 y 2.21 muestran la forma el´ıptica en 3D. La tabla 2.1 resume todos los equilibrios y su estabilidad para el rango completo 106 Estudio de estabilidad del SET, el modelo de Jeffcott Figura 2.21: Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, qb 30 > qa 30 >q ∗ 30. Figura 2.22: Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, qc 30 > qb 30 >q ∗ 30. 113 n(s, t)= x(s, t) |x(s, t)|,(3.2) b(s, t)=x(s, t)×x(s, t) |x(s, t)|,(3.3) donde ()representa derivada parcial con respecto a la longitud de arco s;t(s, t) es el vector tangente a la curva, n(s, t) es la normal a la curva y b(s, t)esla binormal. En la formulas (3.1)-(3.3), se ha supuesto que la curva es inextensible para simplificar la expresiones. De esta forma, conocida la posici´on de la curva, x(s, t), el triedro viene dado, sin m´as que realizar las operaciones (3.1)-(3.3). As´ı, como se puede ver en la figura 3.1, la secci´on asociada a cada punto de la curva tiene una orientaci´on arbitraria con respecto al triedro de Frenet. Por otro lado, en la teor´ıa de Cosserat, el llamado triedro director {d1,d2,d3}, siendo d3≡t, deja libre la orientaci´on de los vectores {d1,d2}en el plano de la secci´on (figura 3.1). De esta forma, dicha orientaci´on se elige haciendo coincidir los vectores {d1,d2}con los ejes principales de inercia de la secci´on. En ´este y otros estudios del autor [49, 45, 81], se ha optado por la descripci´on de Cosserat al ser m´as apropiada para el estudio en cuesti´on. Efectivamente, teniendo en cuenta que la secci´on del SET es ort´otropa, la orientaci´on de la secci´on cambia con respecto al triedro flotante de Frenet en el tiempo y el espacio [82], lo cual complica la descripci´on de la geometr´ıa de dicha Figura 3.1: Triedros de Frenet y Cosserat asociados al elemento unidimensional. 114 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto secci´on. Generalmente, el triedro de Frenet se usa en filamentos de secci´on circular, ya que no es necesario conocer su orientaci´on con respecto al triedro, para que ´esta sea definida en cada punto de la curva e instante de tiempo. Por otro lado, el triedro de Cosserat se asocia a la secci´on de la barra, haciendo coincidir sus ejes con los ejes principales de inercia de la secci´on, como se muestra en la figura 3.1. Adem´as, la descripci´on de Frenet presenta una discontinuidad para la barra recta en ausencia de fuerzas externas, debido a que x=[0,0,1] y por tanto x =[0,0,0], estando por tanto la normal y binormal indeterminadas en esta situaci´on, ver expresiones (3.1)-(3.3). La soluci´on recta suele ser el estado de la barra que se usa como punto de partida para la continuaci´on num´erica [60, 61, 63] (ya que es la soluci´on mas sencilla, y en ocasiones la ´unica que se conoce de forma expl´ıcita), m´etodo que se usar´a para generar las ramas de soluciones param´etricas del sistema bajo estudio. 3.1. Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET En esta secci´on se van a formular y adaptar la ecuaciones de Kirchhoff-Love [50] de una barra al problema bajo estudio. El SET se puede considerar una barra de longitud finita sujeta a un movimiento de rotaci´on alrededor de un eje inicialmente longitudinal, y con unas condiciones de contorno en los extremos un tanto especiales, ya que est´a empotrada al m´odulo central en un extremo y en el extremo libre est´ar´ıgidamente conectada a un disco (ver figura 3.2). En la literatura se puede encontrar gran cantidad de informaci´on sobre la derivaci´on de estas ecuaciones y dem´as detalles; se recomiendan las siguientes referencias: [50, 74, 52]. Antes de abordar la derivaci´on de las ecuaciones, se van a hacer una serie de consideraciones previas. De esta forma, se podr´a elegir, de entre las distintas opciones que presentan las ecuaciones de Kirchhoff-Love, el modelo m´as sencillo yquem´as se ajuste al problema bajo estudio. En este sentido, es importante tener en cuenta que aunque el tether debe ser dise˜nado para soportar fuerzas 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 115 i j k ejes inerciales contactor flecha del tether d1 3 2 d d e1 tether w spin e2 e3 Tierra k W wspin i j vc ejes moviles plano de orbita campo magnetico de la Tierra Figura 3.2: ´ Orbita y orientaci´on del SET. Sistemas de referencia y secci´on del tether. 116 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto de torsi´on y flexi´on, es m´as parecido a un cable, que no soporta este tipo de esfuerzos, que a una barra. Adem´as, al ser la secci´on del tether extremadamente peque˜na, (la relaci´on de aspecto entre una longitud caracter´ıstica de la secci´on y su longitud total ser´ıa 0.025 100 ) las deformaciones por cortante pueden despreciarse. Se va a considerar que el tether es inextensible, lo cual no est´a muy lejos de la realidad, como se comprobar´aenelcap´ıtulo de simulaciones din´amicas, y que las secciones transversales permanecen planas, y perpendiculares a la l´ınea media tras la deformaci´on, como corresponde al modelo de viga de Euler-Bernoulli [82, 69, 25]. En lo que sigue, se van a derivar las ecuaciones de Kirchhoff-Love bajo las suposiciones anteriores. Existen formulaciones [50] m´as generales en las que, por ejemplo, se incluye la deformaci´on por cortante de la barra. 3.1.1. Teor´ıa de Cosserat de una curva 3D, el triedro director La forma en que se parametriza la curva 3D es esencial en la derivaci´on de las ecuaciones de Kirchhoff-Love. A continuaci´on se va a describir brevemente la parametrizaci´on que se adapta mejor a las caracter´ısticas de la barra bajo estudio. Dada una curva regular (sin puntos singulares [50]) en el espacio R3, una curva parametrizada es una aplicaci´on o mapeo xsobre un intervalo I=[p0,p 1]∈Ren R3. Sea x:I→R3:p→x(p)=(x1(p),x 2(p),x 3(p)); el vector tangente a dicha curva, T, se define como la derivada de xcon respecto a p. Como se ha supuesto que la curva es regular, el vector tangente nunca se anula, ya que la condici´on de punto singular, p∗, viene dada por T(p∗) = 0. De esta forma, se puede definir la longitud de arco de la curva regular como s(p)=p p0|T(p)|dp, (3.4) donde |T(p)|representa el m´odulo del vector T. De forma alternativa, tambi´en se puede escribir ds dp=|T(p)|.(3.5) 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 117 Cuando la longitud de arco s se usa para parametrizar la curva, lo que se denomina parametrizaci´on natural, el vector tangente resulta ser unitario y la curvatura se puede definir como β(s)=|T(s)|,(3.6) donde ()representa derivada con respecto a s. Adem´as se define el plano normal, como el plano que es perpendicular a la tangente. Usando esta parametrizaci´on para describir la l´ınea media de la barra, se puede optar por utilizar la teor´ıa de Frenet o de Cosserat para caracterizar el volumen asociado a dicha curva. Como se apunt´o en la introducci´on de este cap´ıtulo, se usar´alateor´ıa de Cosserat. Para ello es necesario definir el triedro director asociado a la secci´on transversal de la barra. El triedro director asociado a las secciones transversales de la barra, {d1,d2,d3}, se define como sigue: sea x:I→R3una curva regular, donde I=[0,l], siendo lla longitud total de la barra en reposo. El vector d3(s) es tangente a la l´ınea media, por tanto viene dado por d3(s)=x(s)=T(s).(3.7) El par de vectores {d1,d2}son funciones diferenciables y est´an contenidos en el plano normal. Este conjunto de vectores se elige de forma que compongan una triada ortonormal en sentido horario: d1(s)×d2(s)=d3(s),d2(s)×d3(s)=d1(s).(3.8) Una caracter´ıstica importante de este triedro es que la direcci´on de d1od2,en el plano normal, con respecto a d3no est´a fijada, lo que permite elegir esta direcci´on seg´un convenga. Una vez hecha esta elecci´on, adem´as de fijar las condiciones (3.7) y (3.8), el triedro est´a totalmente definido. Se aprovechar´a esta caracter´ıstica del triedro de Cosserat para hacer coincidir los ejes d1yd2con los ejes principales de inercia de la secci´on para cada s(figura 3.2). De esta forma, se define la secci´on de la barra con mayor sencillez, ya que no existe movimiento relativo secci´on-triedro director. 118 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto Para conocer la variaci´on del triedro director con respecto a la longitud de arco, s,sevaausarlacondici´on de ortonormalidad. Consid´erese la condici´on de ortonormalidad di·dj=δij,(3.9) donde δij es la delta de Kroenecker, y t´omese su derivada con respecto a s, d i(s)·dj(s)+di(s)·d j(s)=0.(3.10) Escribiendo d i(s)=3 k=1 Kikdk,n´otese que ´estas son las componentes del vector d i(s) en el triedro director, e introduci´endolo en la relaci´on (3.10), se obtiene  k (Kikdk·dj+Kjkdi·dk)=0⇒Kij +Kji =0,(3.11) lo que implica que la matriz Kes antisim´etrica de la forma K=⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0−κ3κ2 κ30−κ1 −κ2κ10 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦,(3.12) donde κ1,κ2,κ3, son las componentes del vector curvatura en el triedro director, de forma que ´este viene dado por κ= 3  k=1 κidi.(3.13) La dependencia con respecto a sde las variables ha sido eliminada para simplificar las expresiones. Teniendo en cuenta la matriz (3.12) y el vector curvatura (3.13), la derivada d ise puede escribir como d i=κ×di,i=1,2,3.(3.14) La expresi´on (3.14), referida desde este momento como ecuaci´on de curvatura,es una generalizaci´on de las ecuaciones de Frenet-Serret [50]. Nota: Hasta el momento, las variables en negrita representan vectores, no representan por tanto la matriz columna formada por las componentes de dicho 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 119 vector con respecto a cierto sistema de referencia, por ejemplo [κ1,κ 2,κ 3]Tdefinidos con respecto a {d1,d2,d3}. Las componentes necesitan estar definidas con respecto a un sistema de coordenadas; los vectores son independientes o invariantes al cambio de sistema. Por esta raz´on, no se ha especificado a lo largo del texto en qu´e sistema se estaban dando las componentes de los vectores. S´olo cuando se ha necesitado usar las componentes de un vector, ´estas han sido definidas directamente en el sistema correspondiente, como en la expresi´on (3.13). Usando la ecuaci´on de curvatura (3.14) en un sistema de ecuaciones diferenciales, no es necesario adem´as imponer las 6 restricciones de ortonormalidad del triedro director, ya que est´an impl´ıcitas en las 9 igualdades escalares de dicha expresi´on. Esto es as´ı debido a que la ecuaci´on de curvatura se ha derivado directamente de las condiciones de ortonormalidad del triedro (3.9). De esta forma, no es necesario a˜nadir restricciones adicionales al sistema diferencial. En realidad, la condici´on (3.14) est´a definida sobre la derivada de la condici´on de ortonormalidad, por lo que se podr´ıa pensar que esto no garantiza el cumplimiento de dicha condici´on a nivel de los directores, y no de sus derivadas. Sin embargo, cuando se definan las condiciones de contorno sobre el problema, se impondr´an las seis relaciones (3.9) en el punto de partida de la integraci´on, s= 0, lo cual unido a (3.14) garantiza la ortonormalidad a lo largo de toda la barra [50, 51]. Las componentes del vector curvatura en el triedro director son las curvaturas intr´ınsecas de la curva, siendo κ1yκ2de flexi´on (alrededor de d1yd2, respectivamente, contenidos en la secci´on transversal), y κ3de torsi´on (alrededor de d3, perpendicular a la secci´on transversal). 3.1.2. Cinem´atica de una barra 3D descrita por su l´ınea media En el modelo m´as general de una barra se describe ´esta como un s´olido 3D con dos de sus dimensiones muy peque˜nas en comparaci´on con la tercera. En este apartado 120 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto se va a considerar una barra cuya l´ınea media es una curva 3D de longitud l como la definida en el apartado anterior. Teniendo en cuenta que el tether se va a considerar inextensible, como se supuso al principio de esta secci´on, la curva que representa su l´ınea media es inextensible. De esta forma, la longitud de arco, s, es invariante frente al tiempo y puede ser usada como una coordenada material. Adem´as, teniendo en cuenta que la deformaci´on por cortante es despreciable, como se apunt´o anteriormente, la secci´on transversal de la barra en cualquier punto a lo largo de la l´ınea media, S(s), sigue contenida en el plano normal a ´esta despu´es de la deformaci´on (figura 3.3) r f s x X d S(s) k j i d1 3 d2 linea media Figura 3.3: Barra 3D descrita por su l´ınea media. Secci´on asociada y triedro director. La posici´on de un punto arbitrario de la barra se puede expresar como X(s, ξ1,ξ 2,t)=x(s, t)+ξ1d1(s, t)+ξ2d2(s, t) =x(s, t)+r(s, ξ1,ξ 2,t), (3.15) donde {ξ1,ξ 2}son las componentes del vector r(s, ξ1,ξ 2,t) en los ejes de la secci´on {d1,d2}. Una vez la barra est´a cinem´aticamente descrita, se pueden derivar las ecuaciones din´amicas o de movimiento de la misma. En este proceso, se va a usar el modelo de Kirchhoff-Love [83] de una barra, por lo que las ecuaciones resultantes son referidas como “Ecuaciones de Kirchhoff-Love”. Existe cierta controversia [75, 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 121 82] sobre el nombre del modelo de barra y ecuaciones resultantes que se est´a usando en este apartado. Algunos autores han usado otros nombres para referirse al mismo modelo. Es posible encontrar una discusi´on hist´orica sobre este tema en [83]. En el modelo de Kirchhoff-Love, adem´as de la suposiciones de l´ınea media inextensible y deformaciones por cortante despreciables, es necesario asumir dos suposiciones adicionales. Primero, se supone que el radio caracter´ıstico de la secci´on de la barra, h=max{ξ1}2+ max{ξ2}2, es peque˜no comparado con la longitud de la barra (h l1, suposici´on de barra delgada). Para realizar la segunda hip´otesis, es necesario definir [75] el siguiente par´ametro, que depende del cociente h/l,yde la norma del vector curvatura τ= maxt∈T s∈[0,l]{| κ(s, t)|·h, h l},(3.16) donde Tes el intervalo de tiempo donde se va a considerar la evoluci´on de la barra. El par´ametro τcaracteriza la deformaci´on de la barra. En el modelo de KirchhoffLove,sesuponequeτes peque˜no y de esta forma se pueden despreciar t´erminos del orden O(τ2). En general, esto significa que la curvatura relativa o gradiente de curvatura a lo largo de la barra es peque˜no (localmente), lo cual no quiere decir que los desplazamientos globales por deformaci´on de la barra sean peque˜nos. De hecho, el modelo de Kirchhoff-Love es v´alido para describir grandes desplazamientos y giros por deformaci´on de la secci´on de la barra, lo que proporciona un modelo de barra geom´etricamente exacta y no-lineal. Teniendo en cuenta estas dos ´ultimas suposiciones, se puede hacer una descripci´on de la barra 1D, en la que cada punto de la l´ınea media, s, lleva asociado una rebanada de barra que adem´as no es deformable, es decir, se puede considerar un s´olido r´ıgido. De esta forma, en el equilibrio de fuerzas y momentos sobre la rebanada que se va a llevar a cabo a continuaci´on para obtener las ecuaciones de movimiento de la barra, se pueden despreciar t´erminos de orden alto, lo que facilita bastante la derivaci´on y el uso de estas ecuaciones. 122 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto 3.1.3. Ecuaciones de Kirchhoff-Love de equilibrio de fuerzas y momentos sobre la barra Teniendo en cuenta todas las suposiciones del apartado anterior, que son apropiadas para el problema que se est´a estudiando, se asume que la barra est´a formada por un conjunto de rebanadas de espesor infinitesimal centradas en cada s.As´ıse tiene una descripci´on 1D de la barra. Como se muestra en la figura 3.3, existe un esfuerzo interno f=f(s, ξ1,ξ 2,t) en cada punto, que es la proyecci´on del tensor de tensiones en el plano de la secci´on de normal d3, debido a la interacci´on de una rebanada infinitesimal de barra con la siguiente, o viceversa. El esfuerzo interno total en la secci´on S(s) viene dado por F(s, t)=S(s) f(s, ξ1,ξ 2,t)dS, (3.17) donde dSes un elemento diferencial de ´area de la secci´on. El esfuerzo interno sobre la secci´on puede expresarse seg´un sus componentes sobre el triedro director como F(s, t)= 3  i=1 Fi(s, t)di(s, t),(3.18) donde F3(s, t) es el esfuerzo de tracci´on-compresi´on y F1(s, t)-F2(s, t) son los esfuerzos cortantes. Por otro lado, el momento que introduce el esfuerzo interno f(s, ξ1,ξ 2,t)conrespectoalal´ınea media en cada secci´on de la barra, puede ser calculado de la siguiente forma M(s, t)=S(s) r(s, ξ1,ξ 2,t)×f(s, ξ1,ξ 2,t)dS. (3.19) El momento interno se expresa de la misma forma que el esfuerzo interno en el triedro director como M(s, t)= 3  i=1 Mi(s, t)di(s, t),(3.20) donde M3(s, t) es el momento torsor y M1(s, t)-M2(s, t) son los momentos flectores sobre la barra. 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 129 tensiones de dicha secci´on [9]. Por consiguiente, para el an´alisis de la din´amica macrosc´opica es apropiado asemejar el perfil real a una secci´on llena de forma el´ıptica. As´ı, s´olo se necesita definir la forma de la secci´on para calcular su funci´on de torsi´on, φ(ξ1,ξ 2). De esta forma, asumiendo que la secci´on es una elipse de semiejes aen la direcci´on de d1yben la direcci´on de d2,sepodr´an ajustar estos par´ametros aybde forma que las inercias de la secci´on el´ıptica sean las mismas que la de la secci´on real, dadas en la introducci´on, en la tabla 1.1. Para ello es necesario resolver el siguiente sistema I1=38 E=πb3a 4,I 2=21 E=πa3b 4,(3.41) del que se obtiene que a=3.5030 ·10−3myb=4.7122 ·10−3m, ver tabla 1.1. Por otro lado, la funci´on de torsi´on para una secci´on el´ıptica como la mencionada anteriormente es [82] φ(ξ1,ξ 2)=−a2−b2 a2+b2ξ1ξ2=CTξ1ξ2,(3.42) donde el coeficiente CT= 0.2881, para los valores de las constantes obtenidos en (3.41). Teniendo esto en cuenta, la expresi´on final para el momento torsor M3se obtendr´a como sigue M3=S(s) E 1+ν(ξ1ε32 −ξ2ε31)dS =E 2(1 + ν)S(s) (ξ1κ3(( ∂φ ∂ξ2 +ξ1)−ξ2κ3(∂φ ∂ξ1−ξ2))dS =Gκ3{(1 + CT)S(s) ξ2 1dS+(1−CT)S(s) ξ2 2dS} =G(J+CT(I2−I1))κ3. (3.43) A˜nadiendo las curvaturas intr´ınsecas iniciales [82], κi 1,κi 2,κi 3, a las ecuaciones (3.39), (3.40) y (3.43), se tiene la ley de comportamiento (3.25), en la que la constante de resistencia a torsi´on resulta ser K=J+CT(I2−I1). En las integrales evaluadas en este proceso, se ha tenido en cuenta que la secci´on del tether tiene dos ejes de simetr´ıa que coinciden con d1yd2, por lo que S(s)ξ1ξ2dS=0. 130 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto Si se comparan los dos t´erminos de la constante K,CT(I2−I1)=−4.8977 Ey J=59/E. La inercia Jes del orden de 12 veces mayor que el t´ermino corrector. Cuanto m´as se acerca la secci´on el´ıptica a la forma circular mayor es esta diferencia, hasta que en el l´ımite para secci´on circular, K=J. Una vez obtenidas las expresiones (3.25) a partir de la ley de tensi´on-deformaci´on el´astico-lineal (3.29), se van a derivar sus equivalentes para el material visco-el´astico lineal representado por la ley (3.26). De nuevo, se supone la soluci´on de SaintVenant de la barra libre de fuerzas de volumen y superficie, por lo que se tiene σ11 =0=λ(εkk +γd˙εkk)+2G(ε11 +γv˙ε11), σ22 =0=λ(εkk +γd˙εkk)+2G(ε22 +γv˙ε22), σ12 =0=2G(ε12 +γv˙ε12). (3.44) En lo que sigue, se va a suponer que γv=γd=γpara simplificar las expresi´on final de la ley de comportamiento, de forma que sea similar a la ley el´astica (3.25) [45]. En cualquier caso, para el modelo de barra que se ha desarrollado, la diferencia entre disipaci´on por deformaci´on volum´etrica y desviadora no tendr´ıa gran influencia en el resultado final. Procediendo de forma an´aloga a como se hizo en (3.31), las expresiones de las tensiones no-nulas se pueden escribir como σ33 =E(ε33 +γ˙ε33),(3.45) σ31 =2G(ε31 +γ˙ε31),(3.46) σ32 =2G(ε32 +γ˙ε32).(3.47) Usando de nuevo las expresiones (3.28) y (3.36)-(3.38), y haciendo las mismas consideraciones sobre la funci´on de torsi´on de la barra y la simetr´ıa de la secci´on en las integrales, se obtiene la ecuaci´on final que relaciona las curvaturas y sus derivadas temporales con los momentos internos M1=EI1(κ1+γ˙κ1−κi 1), M2=EI2(κ2+γ˙κ2−κi 2), M3=GJ(κ3+γ˙κ3), (3.48) 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 131 donde la torsi´on intr´ınseca κi 3se ha eliminado, ya que se supone que el tether no estar´a inicialmente torsionado. Recu´erdese que los tether est´an almacenados en unos tambores antes del despliegue. Este almacenamiento introducir´a tensiones residuales en el tether que tender´an a curvarlo en la direcci´on de menor segundo momento de ´area de la secci´on (que adem´as es el eje alrededor del cual se enrolla el tether), pero no a torsionarlo. Sustituyendo las expresiones (3.25) por (3.48), se llega al sistema definitivo de ecuaciones de movimiento del SET, que ser´a de segundo orden en ty primero en s. Para resolver este sistema de EDPs es necesario formular un conjunto apropiado de condiciones iniciales y de contorno. Antes de abordar esta tarea, se va a mostrar como se han transformado las ecuaciones de movimiento al pasar del sistema inercial {i,j,k}a un sistema m´ovil {e1,e2,e3}(figura 3.2) que gira con velocidad constante ωspin alrededor de k≡e3. 3.1.5. Ecuaciones del SET en los ejes m´oviles El movimiento del SET tendr´a una componente peri´odica debida a la excitaci´on principal a la que est´a sometido: la rotaci´on a velocidad constante, ωspin, del m´odulo central. Esto ya se demostr´o cuando se plante´o el modelo de Jeffcott [81, 86, 87] del cap´ıtulo 2. Adem´as, esta componente peri´odica tambi´en se encontr´o en las simulaciones din´amicas del modelo multicuerpo [44] que se mostrar´an en el cap´ıtulo 5. Como demostraron Fraser et al. [53], para un problema similar sujeto al mismo tipo de rotaci´on, si las ecuaciones de movimiento se expresan en el sistema m´ovil es de esperar que aparezcan soluciones cuasi-estacionarias (equilibrios relativos), es decir, soluciones que no dependan del tiempo en los ejes m´oviles. A la hora de analizar las ecuaciones de movimiento del SET, se va a tener muy en cuenta esta propiedad de las soluciones. Efectivamente, si se esperan soluciones estacionarias en los ejes m´oviles, se podr´an encontrar soluciones de las ecuaciones de movimiento en su versi´on estacionaria, lo que convertir´a el sistema en EDO en la variable s. Usando t´ecnicas de perturbaci´on [52, 77] sobre las soluciones cuasi-estacionarias 132 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto se analizar´a su estabilidad. Para hacer esto, es necesario ver como afecta el cambio de ejes, desde inerciales a m´oviles, al conjunto de ecuaciones de movimiento del SET. La transformaci´on que relaciona los ejes m´oviles {e1,e2,e3}con los inerciales {i,j,k}para un vector gen´erico V(s, t) con componentes en los ejes inerciales ¯ V=[Vi,V j,V k]Ty componentes en los ejes m´oviles ˆ V=[V1,V 2,V 3]T,es ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Vi Vj Vk ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦=⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ cos(ωspint)−sin(ωspint)0 sin(ωspint)cos(ωspint)0 001 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ V1 V2 V3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦=¯ V=Aˆ V.(3.49) La derivada con respecto al tiempo en los ejes inerciales del vector gen´erico V(s, t) se puede escribir como ∂¯ V(s, t) ∂t =∂ˆ V(s, t) ∂t +ω׈ V(s, t).(3.50) donde el vector ωes la velocidad angular de spin del tether y viene dada por ω=(0,0,ω spin)T=ωspink=ωspine3.(3.51) La parte derecha de la igualdad (3.21), que representa el equilibrio de fuerzas en la rebanada diferencial de barra, debe ser reescrita teniendo en cuenta la relaci´on (3.50). Finalmente, esta ecuaci´on se usar´a en su versi´on proyectada en los ejes m´oviles {e1,e2,e3}.As´ı, el equilibrio de fuerzas queda en la siguiente forma F=ρAs(¨ x+2ω×˙ x+ω×ω×x).(3.52) Usando el mismo razonamiento, la ecuaci´on de equilibrio de momentos se transforma en M+d3×F=ρI2(d1ר d1+2d1×ω×˙ d1+(ω·d1)(d1×ω)) +ρI1(d2ר d2+2d2×ω×˙ d2+(ω·d2)(d2×ω)), (3.53) donde el observador estar´ıa situado en los ejes m´oviles. Junto a las ecuaciones de equilibrio anteriores, el sistema final se completa con la ecuaci´on de la tangente, la 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 133 ecuaci´on de curvatura y las relaciones constitutivas dadas, respectivamente, por x=d3,(3.54) d i=κ×di,i=1,2,3,(3.55) M1=EI1(κ1+γ˙κ1−κi 1), M2=EI2(κ2+γ˙κ2−κi 2), M3=GJ(κ3+γ˙κ3). (3.56) 3.1.6. Condiciones de contorno Para resolver el sistema de EDPs (3.52)-(3.56), es necesario imponer un conjunto de condiciones de contorno bien definido (condiciones no redundantes), as´ı como condiciones iniciales. En este apartado, se van a formular las condiciones de contorno espec´ıficas del SET sobre la barra que se ha venido definiendo en los apartados anteriores. En s= 0, se ha asumido a lo largo de esta tesis que el tether est´aempotrado al m´odulo central, el cual gira a la velocidad de spin alrededor de k.As´ı, en los ejes m´oviles, el tether est´a empotrado en s= 0. Las expresiones que definen esta condici´on son las siguientes (condiciones de contorno geom´etricas) d1(0,t)=[100] T,(3.57) d2(0,t)=[010] T,(3.58) d3(0,t)=[001] T,(3.59) x(0,t)=[000] T.(3.60) Estas relaciones garantizan que el tether estar´ar´ıgidamente unido al m´odulo central para todo t. Las cantidades que aparecen entre corchetes en las expresiones anteriores son las componentes de los correspondientes vectores en los ejes m´oviles {e1,e2,e3}. En el otro extremo del tether s=l, el contactor, que se ha modelado como un disco, est´a tambi´en r´ıgidamente unido, de forma que no son posibles ni desplaza- 134 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto mientos ni giros relativos. En este caso, en el que el movimiento del extremo del tether es, a priori, desconocido se impondr´an condiciones de contorno en fuerzas y momentos que se obtienen haciendo equilibrio entre la ´ultima secci´on del tether, los esfuerzos internos a ella asociados y las fuerzas de inercia del disco (condiciones de contorno naturales). Observando la figura 3.5, el equilibrio de fuerzas en s=l, incluyendo las fuerzas de inercia del disco en virtud del Teorema de D’Alembert, resulta −F(l,t)=md{¨ x(l,t)+2ω×˙ x(l,t)+ω×ω×x(l, t)},(3.61) donde mdes la masa del contactor. Aplicando el equilibrio de momentos en la secci´on de conexi´on entre tether y contactor se obtienen tres condiciones de contorno adicionales. La condici´on de contorno tether-contactor, se impone haciendo coincidir el triedro director evaluado en s=lcon los ejes principales del disco {xa,xb,xc} (figura 3.5). Teniendo lo anterior en cuenta y llevando a cabo el equilibrio de momentos, las tres condiciones adicionales vendr´an dadas por las tres componentes Figura 3.5: Equilibrio de fuerzas y momentos en el contactor. 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 135 de la siguiente ecuaci´on vectorial −M=md e 2(d3ר x+2d3×ω×˙ x+d3×ω×ω×x) +md R2 4(d1ר d1+d2ר d2+2d1×ω×˙ d1+2d2×ω×˙ d2 +d1×ω×ω×d1+d2×ω×ω×d2) +md e2 3(d3ר d3+2d3×ω×˙ d3+d3×ω×ω×d3). (3.62) La dependencia de las variables con (l,t) ha sido suprimida para simplificar las expresiones. Se ha considerado que el contactor es un disco de radio R,espesore y densidad uniforme. El conjunto de ecuaciones (3.61) y (3.62) junto con (3.57)-(3.60), forman 18 condiciones de contorno. El sistema de EDPs que describe el movimiento del SET tiene dimensi´on 18 si se eliminan las componentes del vector curvatura κi,expres´andolas en funci´on de los momentos Miatrav´es de la ley de comportamiento. De esta forma, el sistema de ecuaciones diferenciales est´a cerrado al tener el mismo n´umero de ecuaciones, inc´ognitas y condiciones de contorno. 3.1.7. Adimensionalizaci´on de las ecuaciones El sistema de ecuaciones que gobierna la din´amica del SET, (3.52), (3.53), (3.55), (3.54) y (3.56), se va a adimensionalizar escalando las variables de la siguiente forma ¯ t=tEI1 l3md =tωc,¯s=s l∈[0,1],¯ x=x l,¯ F=Flmd ρAsEI1 , ¯ω=ωspin ωc ,¯ M=Ml2md ρEI2 1 ,¯ κ=κl, ¯γ=γωc, (3.63) donde ω2 c=EI1 mdl3. El factor √3ωcrepresenta aproximadamente la segunda frecuencia natural de flexi´on, asociada a la direcci´on de mayor inercia de la secci´on, de una barra empotrada-libre con una masa puntual mdr´ıgidamente unida al extremo libre, si la masa mdes mayor que la masa de la barra. La constante ωc 136 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto ha sido elegida para adimensionalizar las ecuaciones porque, como se vio en el cap´ıtulo 2, el modelo de Jeffcott de rotor lineal con amortiguamiento interno se inestabiliza a una frecuencia de giro igual a su primera frecuencia natural de flexi´on. En el presente modelo, aun siendo mucho m´as complejo y exacto que el de Jefccott, se espera que, en un entorno de esa frecuencia, la din´amica del SET tenga cambios importantes (cambios de estabilidad, transici´on de una a varias soluciones posibles, etc.). No teniendo la seguridad a priori (ya que el presente modelo es altamente no lineal y detallado) de que esos cambios aparecer´an exactamente a la primera frecuencia natural, se ha preferido no introducir el factor √3enla adimensionalizaci´on. Eliminando la barra de las variables por simplicidad (todas las variables a partir de este momento son adimensionales) y por lo tanto entendiendo ()por ∂ ∂¯s y˙ () por ∂ ∂¯ t, las ecuaciones en su versi´on adimensional resultan F=¨ x+2ω×˙ x+ω×ω×x,(3.64) M+Qd3×F=R(d1ר d1+2d1×ω×˙ d1+(ω·d1)(d1×ω)) +(d2ר d2+2d2×ω×˙ d2+(ω·d2)(d2×ω)), (3.65) x=d3,(3.66) d i=κ×di,(3.67) y la ley de comportamiento en su versi´on vectorial M=P[(κ1+γ˙κ1−κi 1)d1+R(κ2+γ˙κ2−κi 2)d2+Γ(1 + R) 2(κ3+γ˙κ3)d3],(3.68) donde los par´ametros adimensionales son Q=Asl2 I1 ,R=I2 I1 ,P=lmd ρI1 ,Γ=2G E.(3.69) El sistema de EDPs (3.64) a (3.68) es el conjunto definitivo de ecuaciones que se va a resolver. Las condiciones de contorno adimensionales en s= 0 vienen dadas 3.1 Ecuaciones de Kirchhoff-Love para el SET 137 por d1(0,t)=[100] T,(3.70) d2(0,t)=[010] T,(3.71) d3(0,t)=[001] T,(3.72) x(0,t)=[000] T,(3.73) yens= 1 (la dependencia funcional de las variables (s=1,t) se ha eliminado por simplicidad) −rmF=¨ x+2ω×˙ x+ω×ω×x,(3.74) −M=r2(d3ר x+2d3×ω×˙ x+d3×ω×ω×x) +r1(d1ר d1+d2ר d2+2d1×ω×˙ d1+2d2×ω×˙ d2 +d1×ω×ω×d1+d2×ω×ω×d2) +r3(d3ר d3+2d3×ω×˙ d3+d3×ω×ω×d3), (3.75) donde rm=ρAsl md ,(3.76) relaciona la masa del tether con la masa del contactor y r1=mdR2 4ρI1l,(3.77) r2=mde 2ρI1 ,(3.78) r3=de2 3ρI1l,(3.79) relacionan las inercias del contactor con la inercia mayor de la secci´on del tether. 138 An´alisis de bifurcaciones y estabilidad, modelo geom´etricamente exacto 3.2. Resoluci´on de las ecuaciones de movimiento del SET En general, las soluciones del sistema de EDPs (3.64)-(3.68) ser´an dependientes del espacio y del tiempo. La soluci´on anal´ıtica de dichas ecuaciones es imposible de obtener y la resoluci´on num´erica se antoja cuando menos complicada. En cualquier caso, este modelo se ha planteado para trazar diagramas de bifurcaciones con las posibles soluciones del sistema en funci´on de sus par´ametros, no para simular en el tiempo. La simulaci´on tan solo proporciona informaci´on para un s´olo valor de los par´ametros del sistema. Como se apunt´o al principio del presente cap´ıtulo, se esperan soluciones peri´odicas [53] relacionadas con la frecuencia de giro que se le transmite al sistema, ωspin. En este caso, y habiendo trasladado el sistema de ecuaciones a los ejes m´oviles {e1,e2,e3}, dichas soluciones peri´odicas aparecer´ıan en esta referencia como independientes del tiempo, soluciones cuasi-estacionarias tambi´en llamadas equilibrios relativos. La t´ecnica de resoluci´on de las ecuaciones est´a basada en estas ideas, de forma que mediante un esquema de perturbaci´on, elaborado por Goriely y Tabor [52] para el caso espec´ıfico de las ecuaciones de Kirchhoff-Love de una barra 3D, se asume que la soluci´on se divide en una parte estacionaria y una perturbaci´on sobre ella, que depende en general de syt. Aplicando dicho esquema de soluciones, el O(1) de las ecuaciones proporciona las soluciones cuasi-estacionarias y el O(δ)(δes el par´ametro peque˜no de la perturbaci´on) proporciona la estabilidad de dichas soluciones. El desarrollo se supone limitado al O(δ), por tanto, las ecuaciones resultan lineales en las variables perturbadas a diferencia del O(1) que conserva la no-linealidad del problema original en las variables cuasi-estacionarias. De una forma m´as intuitiva, el m´etodo propuesto consiste en hallar las soluciones cuasi-estacionarias y una vez ´estas sean conocidas, perturbar el sistema fuera del equilibrio correspondiente y determinar como responde. Si la perturbaci´on aumenta con el tiempo la soluci´on ser´a inestable mientras, que el caso contrario 6.2 Comparaci´on de las diferentes simulaciones din´amicas 241 6.2.1. Caso A. Velocidad subcr´ıtica, ¯ω=0.8 Figura 6.5: Simulaci´on del modelo de Jeffcott, ¯ω=0.8. En este caso, la velocidad real de giro es ωspin =0.42192 rad/s, siendo la velocidad cr´ıtica en este caso ωcrit =0.4614 = Rωn2. Tanto el modelo de Jeffcott como el de Cosserat, predicen una sola soluci´on.Estasoluci´on, que es estable, es bien conocida en la din´amica de rotores lineal [26, 27]. Dicha soluci´on del modelo de Jeffcott, seg´un el an´alisis llevado a cabo en el cap´ıtulo 2, tiene los 4 autovalores con parte real negativa. Como se puede ver en la figura 6.5, donde se representa la trayectoria del disco en los ejes m´oviles {e1,e2}para el modelo de Jeffcott, la trayectoria parte de la condici´on inicial, r0 1, y viaja hacia el equilibrio estable siguiendo una espiral. Esto indica, que la din´amica est´a dominada por un par de autovalores conjugados, cuya parte imaginaria indica aproximadamente la frecuencia con la que la trayectoria describe los giros de la espiral. La figura 6.6 muestra la trayectoria del contactor, de nuevo en los ejes m´oviles, para el modelo DSM. Como en el modelo de Jeffcott, la trayectoria tiende en forma de espiral hacia el ´unico equilibrio estable de esta zona. Esto indica que aun siendo el modelo DSM mucho m´as detallado que el de Jeffcott, la din´amica que prevalece 242 Comparaci´on de resultados (par de autovalores conjugados) es captada por ambos. Adem´as, para este valor de la velocidad la flecha final alcanzada por el sistema en ambos modelos difiere en menos de un 4 %. Observando de nuevo ambas figuras, se puede apreciar que sobre la espiral dominante se superpone una vibraci´on. En el modelo de Jeffcott dicha vibraci´on desaparece, sin embargo, en el modelo DSM la vibraci´on permanece hasta que se alcanza el equilibrio final. Esto se puede atribuir a la influencia de los grados de libertad de rotaci´on del disco en el modelo DSM y a la vibraci´on longitudinal del tether, efectos que no est´an caracterizados en el modelo de Jeffcott. La figura 6.7 muestra la evoluci´on de las dos componentes de las fuerza el´astica en el modelo de Jeffcott frente al desplazamiento relativo del disco seg´un el eje m´ovil e1. Como se puede observar, la componente lineal de la fuerza domina sobre la componente no-lineal, lo que explica el buen comportamiento del modelo de Jeffcott en este rango de velocidades de giro. Como se dijo en el cap´ıtulo 2, el modelo el´astico que describe la flexibilidad del eje en el modelo de Jeffcott es v´alido cuando las fuerzas lineales predominan sobre la no-lineales, ya que la descripci´on de la parte no-lineal es aproximada [69]. El l´ımite de validez cuantitativa del modelo el´astico, por tanto, ser´a el punto en el que la fuerzas el´asticas no-lineales sean Figura 6.6: Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=0.8. 6.2 Comparaci´on de las diferentes simulaciones din´amicas 243 dominantes. En cualquier caso, y como se ver´a a continuaci´on, el modelo el´astico proporciona soluciones v´alidas desde el punto de vista cualitativo, a pesar de fallar a la hora de dar valores admisibles de la fuerza (en comparaci´on con los modelos m´as detallados, DSM y Cosserat). 6.2.2. Caso B. Velocidad supercr´ıtica, ¯ω=0.95 En este caso, la velocidad real de giro es ωspin =0.501rad/s >ω crit. Observando la figura 6.4, el modelo de Jeffcott predice tres equilibrios, de los cuales s´olo uno de ellos es inestable. Este equilibrio tiene un autovalor con parte real positiva, el cual, determina el car´acter de la inestabilidad de dicho equilibrio. Efectivamente, la condici´on inicial se encuentra pr´oxima al equilibrio inestable, de forma que la trayectoria (ver figura 6.8), se escapa de esta condici´on inicial siguiendo la variedad inestable fijada por el autovalor de parte real positiva. En el caso de la figura 6.8, la din´amica est´a gobernada por el equilibrio (autovalor) estable del semiplano x1-positivo, marcado con (b) en la figura 6.4. En Figura 6.7: Fuerza el´astica lineal y no-lineal seg´un e1en el modelo de Jeffcott, ¯ω=0.8. 244 Comparaci´on de resultados Figura 6.8: Simulaci´on modelo de Jeffcott, ¯ω=0.95. Figura 6.9: Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=0.95. 6.2 Comparaci´on de las diferentes simulaciones din´amicas 245 algunos casos, dependiendo de como se aplique la rampa de velocidad angular, el sistema tender´a hacia el equilibrio estable de la rama que se encuentra en el semiplano x1-negativo. En el ´ultimo de los casos que se va a analizar, el sistema se va a comportar de esta manera. La figura 6.9 muestra la trayectoria del contactor para la simulaci´on del modelo DSM. De nuevo, la similitud desde un punto de vista cualitativo de ambos modelos es notable, aunque el valor final de la flecha difiere en un 90 %. En este caso, y en adelante, para todas las simulaciones en la regi´on supercr´ıtica, la parte no-lineal de las fuerzas el´asticas predomina sobre la lineal, de ah´ı que la predicci´on obtenida con el modelo de Jeffcott sea bastante imprecisa. De esta forma, se puede afirmar que cuando el sistema presenta desplazamientos y rotaciones, por deformaci´on, altas la relaci´on desplazamientos-deformaciones usada en el modelo de Jeffcott es incorrecta aunque su estructura sea similar a la real, proporcionando un comportamiento din´amico parecido al que se obtiene con modelos m´as detallados. 6.2.3. Caso C. Velocidad supercr´ıtica, ¯ω=1.1 Figura 6.10: Simulaci´on modelo de Jeffcott, ¯ω=1.1. 246 Comparaci´on de resultados Las figuras 6.10 y 6.11 muestran las simulaciones mediante los dos modelos para el caso marcado como (c) en la figura 6.4. La condici´on inicial se encuentra cerca del ´unico equilibrio inestable, que en este caso tiene dos autovalores conjugados con parte real positiva. El car´acter de estos autovalores determina la din´amica en las inmediaciones del equilibrio, siendo repelida la trayectoria en forma de espiral. La soluci´on tiende finalmente al equilibrio estable del semiplano x1-positivo. De nuevo, ambos modelos presentan un comportamiento din´amico equivalente, aunque el valor final de la flecha es totalmente distinto. En este caso, la din´amica es m´as compleja que en los casos anteriores. Sin embargo, el modelo de Jeffcott responde de forma correcta en cuanto a descripci´on cualitativa de la evoluci´on del sistema. Figura 6.11: Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=1.1. La espiral de entrada al equilibrio estable en la simulaci´on DSM presenta un aspecto diferente a la mostrada en la figura 6.10, correspondiente al modelo de Jeffcott. De nuevo existe una vibraci´on superpuesta sobre la espiral que se atribuye a efectos como la vibraci´on longitudinal de la barra, o los grados de libertad de giro del contactor, no representados en el modelo de Jeffcott. 6.2 Comparaci´on de las diferentes simulaciones din´amicas 247 6.2.4. Caso D. Velocidad supercr´ıtica, ¯ω=1.5 Figura 6.12: Simulaci´on modelo de Jeffcott, ¯ω=1.5. En este caso, la topolog´ıa del sistema es equivalente a la del ejemplo anterior, aunque para una velocidad m´as alta, ωspin =0.7911 rad/s. Las figuras 6.12 y 6.13 muestran la evoluci´on del contactor para ambos modelos. Se han variado los tiempos de aplicaci´on de la rampa de velocidad angular, tr= 100, de forma que el sistema tiende hacia el equilibrio estable que se encuentra en el semiplano x1negativo. La similitud en el comportamiento transitorio de ambos modelos es de nuevo buena, aunque el modelo de Jeffcott vuelve a proporcionar un valor muy inferior de la flecha final. A modo de recapitulaci´on, se puede afirmar que el modelo de Jeffcott proporciona gran cantidad de informaci´on en su rango de validez, aun cuando la descripci´on del sistema rotativo se lleva a cabo s´olo mediante dos grados de libertad. De ah´ı que en din´amica de rotores, se haya usado para estudiar gran cantidad de problemas tecnol´ogicos [26, 27]. Por lo tanto, el modelo de Jeffcott geom´etricamente no-lineal con amortiguamiento interno, propuesto en esta tesis, podr´ıa ser usado para el estudio de sistemas rotativos similares al SET, ya sean rotores o estructuras espaciales sometidas a rotaci´on, como tethers o antenas estabilizadas 248 Comparaci´on de resultados por spin [1]. 6.3. Comparaci´on entre el modelo geom´etricamente exacto de Cosserat y el modelo DSM El modelo geom´etricamente exacto de Cosserat y el modelo DSM son las descripciones m´as detalladas que se han realizado del SET en esta tesis. En estos modelos, las simplificaciones sobre las relaciones deformaci´on-desplazamientos el´asticos del tether han sido m´ınimas o, cuanto menos, han respetado su car´acter no-lineal. En el modelo de Cosserat, la l´ınea media del tether est´a descrita como una curva tridimensional, de forma que no se realiza ninguna simplificaci´on sobre los desplazamientos el´asticos asociados a ella. Por lo tanto, las relaciones entre el campo de desplazamientos y las deformaciones de la barra son no-lineales. Por otro lado, en el modelo DSM se ha usado la t´ecnica de subestructuraci´on, lo que implica que se modela un cierto acoplamiento entre las deformaciones longitudinales y transversales del tether, y por tanto, una relaci´on no-lineal entre los desplazamientos Figura 6.13: Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=1.5. 6.3 Comparaci´on modelo geom´etricamente exacto de Cosserat y modelo DSM 249 y deformaciones de la estructura completa. En este apartado, se van a comparar ambos modelos. Se busca un acuerdo entre la flecha final que predice el modelo de Cosserat, seg´un los diagramas de bifurcaci´on mostrados en el cap´ıtulo 3, y la flecha hacia la que tienden las simulaciones DSM tras superar el periodo transitorio. Si se confirma este acuerdo, se validar´ıan ambos modelos ya que se habr´ıa llegado a la misma soluci´on por dos m´etodos, en principio, bastante diferentes. Figura 6.14: Simulaci´on DSM y rama correspondiente del modelo de Cosserat, ω=1.31ωc. La figura 6.14 muestra la evoluci´on de la posici´on del contactor, seg´un los ejes m´oviles {e1,e2}, para la simulaci´on DSM frente a la correspondiente rama de equilibrios del diagrama de bifurcaci´on, generado mediante el modelo de Cosserat para una velocidad supercr´ıtica ¯ω=1.31. La velocidad de giro dimensional viene dada por ω=¯ωωc, siendo ωc=EI1 mdl3la frecuencia que se us´o para adimensionalizar las ecuaciones de Kirchhoff-Love del cap´ıtulo 3. La velocidad cr´ıtica adimensional es en este caso ¯ωcrit =1.14. La trayectoria parte de la condici´on inicial, justo antes del punto lp1 (¯ω=1.32), donde comienza la rama del plano x1-negativo (ver figura 3.9). Para esta velocidad s´olo existe una soluci´on que, adem´as, el modelo 250 Comparaci´on de resultados de Cosserat predice como estable, rama B1.Ladin´amica en las proximidades de la rama B1 est´a gobernada por un par de autovalores conjugados con parte real negativa (ver figura 3.20). De esta forma, el sistema evoluciona describiendo una espiral hacia el equilibrio estable. La acci´on del segundo autovalor representado en la figura introduce parte de la vibraci´on superpuesta sobre la espiral que se observa en la simulaci´on (ver figura 6.14). Como se apunt´o en la secci´on anterior, sobre las simulaciones del modelo de Jeffcott, estas vibraciones est´an asociadas a los grados de libertad de giro del disco alrededor de sus ejes diametrales y a la vibraci´on longitudinal del tether. El valor final de la flecha para el modelo DSM es de 57 m, aproximadamente. Por su parte, el valor que se obtiene de la rama B1 es de 56 m, por lo que se tiene un error relativo del 1.75 %. Figura 6.15: Simulaci´on DSM para ¯ω=1.42ωc. La figura 6.15 muestra las coordenadas del contactor {x1,x 2}frente al tiempo para la simulaci´on DSM correspondiente a ¯ω=1.42. Para esta velocidad de giro, que se encuentra situada entre los puntos lp1 (1.32) y BP2 (1.55), existen tres posibles soluciones, dos estables y una inestable (ver figura 3.9). La condici´on inicial est´a cerca de la soluci´on inestable, de forma que la trayectoria es repelida por Cap´ıtulo 7 Conclusiones finales y futuras l´ıneas de investigaci´on En esta tesis se han utilizado diferentes procedimientos para estudiar la din´amica del Short Electrodynamic Tether. Cada uno de estos procedimientos ha permitido conocer nuevos aspectos sobre el movimiento y la estabilidad del SET. Por lo tanto, se pueden extraer conclusiones interesantes de cada uno de ellos. Adem´as, el uso de diferentes m´etodos permite comparar resultados, lo que da pie a extraer tambi´en conclusiones en cuanto a la idoneidad de dichos m´etodos y sus rangos de validez. A continuaci´on se enumeran las conclusiones m´as interesantes que se extraen de este trabajo, desde el punto de vista de su autor: A la hora de simular el movimiento del sistema se ha usado un procedimiento cl´asico basado en el m´etodo de las referencias flotantes. En este entorno, la subestructuraci´on permite describir s´olidos con leyes deformacionesdesplazamientos geom´etricamente no-lineales. Este procedimiento es concep257 258 Conclusiones finales y futuras l´ıneas de investigaci´on tualmente muy sencillo y ha resultado ser m´as robusto y r´apido que otros m´etodos espec´ıficamente dise˜nados para este tipo de problemas, como puede ser la formulaci´on en coordenadas nodales absolutas (ANCF) [102]. Esta ´ultima fue testada durante la realizaci´on de esta tesis, resultando imposible realizar la integraci´on num´erica completa del sistema. Se podr´ıa decir, en consecuencia, que los m´etodos enfocados a la resoluci´on de problemas din´amicos con grandes deformaciones [102, 110] no est´an lo suficientemente desarrollados, si se comparan, por ejemplo, con aquellos dise˜nados para problemas est´aticos con grandes deformaciones, como el m´etodo de los elementos finitos [111]. Es importante resaltar que la formulaci´on ANCF, por su reciente aparici´on, se encontraba en fase de desarrollo cuando fue utilizada en esta tesis. En los ´ultimos tiempos, los elementos ANCF 3D han sido mejorados, de forma que los tiempos de integraci´on y preproceso se han disminuido considerablemente [113, 114, 115]. Abordar el problema de la estabilidad y obtener las soluciones del problema, como funci´on de los par´ametros de ´este en forma de diagramas de bifurcaci´on no es factible en la actualidad si se usan formulaciones basadas en DSM. En esta tesis se ha usado una formulaci´on diferente de la DSM basada en las ecuaciones de Kirchhoff-Love de una viga 3D, para realizar el estudio param´etrico. Esta formulaci´on se adapta m´as f´acilmente a los programas de continuaci´on num´erica, como AUTO2000, que permite trazar ramas de soluciones en funci´on de los par´ametros del sistema. Principalmente, la presencia de restricciones en las formulaciones DSM hace dif´ıcil su uso en el software de continuaci´on num´erica. El estudio del modelo de Jeffcott modificado de rotor desequilibrado propuesto en esta tesis ha resultado de gran utilidad a la hora de comprender la din´amica de un sistema tan complejo como el SET. Siendo el de Jeffcott un modelo muy simplificado de rotor, s´olo dos grados de libertad, su comportamiento din´amico es, dentro de su rango de validez, cualitativamente 259 correcto (ver secciones 6.1 y 6.2). Con este modelo se demostr´o la presencia de soluciones estables en la regi´on de velocidades supercr´ıticas para rotores en los que el amortiguamiento interno del material es dominante, como es el caso del SET. Esto incentiv´o un estudio m´as detallado de dicho fen´omeno, formul´andose los modelos de Cosserat y DSM. Adem´as, en el campo de la din´amica de rotores, el estudio aqu´ı realizado puede ser ´util para otros investigadores que trabajen con maquinaria rotativa en la que el amortiguamiento interno sea la principal fuente de disipaci´on de energ´ıa en el sistema. El modelo de Cosserat de una barra 3D sujeta a rotaci´on de spin que se ha desarrollado en esta tesis ha permitido conocer de forma detallada el comportamiento postcr´ıtico del sistema tether-contactor, que no es m´as que un rotor desequilibrado con ciertas caracter´ısticas que lo hacen especial. Adem´as de las soluciones de equilibrio y formas que adopta el tether en dichas configuraciones, se ha estudiado su estabilidad. ´ Esta es la primera vez que se usan las ecuaciones de Kirchhoff-Love en un problema din´amico, al mejor conocimiento del autor. Usando el modelo de Cosserat se ha estudiado la interacci´on del spinning tether con ciertas componentes perjudiciales del campo geomagn´etico. Se ha demostrado que el tether electrodin´amico, por encima de cierto valor cr´ıtico de la corriente o la intensidad del campo magn´etico, adopta una forma cuasi-helicoidal, como se observ´o en varias misiones reales con tethers electrodin´amicos como PGM y TSS-1R [2, 1]. Adem´as, este estudio resulta ´util para el an´alisis de las mol´eculas helicoidales de ADN, considerando ´estas como conductores el´ectricos org´anicos, y el estudio de su formaci´on. De la misma forma, el estudio aqu´ı realizado puede ayudar a comprender el comportamiento de nanocables de silicio y nanotubos de carbono en la fabricaci´on de futuros componentes electr´onicos de ´ultima generaci´on [96, 97]. En esta tesis se han usado diferentes m´etodos para el an´alisis din´amico del 260 Conclusiones finales y futuras l´ıneas de investigaci´on SET. En el cap´ıtulo 6 se han comparado todos ellos, obteni´endose un buen acuerdo incluso en los casos en los que se comparaba modelos muy detallados, como DSM y Cosserat, con el modelo simplificado de Jeffcott. Estas comparaciones dan validez a los distintos modelos, ya que de otra forma y por la singularidad del problema (grandes deformaciones, etc.), ser´ıa dif´ıcil testarlos con resultados existentes en la bibliograf´ıa. Finalmente de los resultados obtenidos en esta tesis se puede concluir que el SET, con el dise˜no inicial (geometr´ıa y materiales) que se esboz´o en los informes WP-200 [18, 9], no opera de forma correcta. Las flechas producidas en el sistema tether-contactor por la acci´on de la rotaci´on de spin son demasiado grandes, de forma que el sistema no interacciona correctamente con el campo geomagn´etico. Al final del cap´ıtulo 3 se realiz´o un estudio param´etrico del SET de forma que, variando la geometr´ıa y materiales del tether, fuera posible reducir las grandes deformaciones del sistema y de esta forma hacerlo operativo. Quedando esta tesis concluida, existen todav´ıa bastantes frentes abiertos en los que se podr´ıa continuar el estudio que comenz´o con el informe WP-200 [9] y que se continu´o con el trabajo aqu´ı expuesto. A continuaci´on se enumeran posibles l´ıneas de investigaci´on con punto de partida en la presente tesis: Adaptaci´on de los modelos DSM para el estudio param´etrico de sistemas din´amicos (continuaci´on num´erica y teor´ıa de estabilidad y bifurcaciones). Mejora del esquema de perturbaciones usado en el an´alisis din´amico del modelo de Cosserat. Aumentando el grado de precisi´on de las perturbaciones hasta un grado superior, perturbaci´on no-lineal, se podr´ıan estudiar efectos din´amicos m´as complejos, como las soluciones doblemente peri´odicas que partir´ıan de las bifurcaciones de Hopf de nuestro modelo. Resoluci´on del sistema de EDP que se deriva del modelo de Cosserat mediante integraci´on espacio-temporal. De esta forma, se tendr´ıan simulaciones 261 din´amicas de estos modelos que se podr´ıan comparar con las simulaciones din´amicas derivadas de los modelos DSM. Mejora del modelo de dos grados de libertad del rotor desequilibrado de Jeffcott, incluyendo nuevos grados de libertad de giro del disco y de deformaci´on axial del eje, como se hace en el modelo de Stodola-Green [26]. 262 Conclusiones finales y futuras l´ıneas de investigaci´on Cap´ıtulo 8 Contribuciones originales y publicaciones derivadas de esta tesis Las contribuciones originales de esta tesis, en opini´on de su autor, son las siguientes: El modelo de Jeffcott geom´etricamente no-lineal, de secci´on ort´otropa e inicialmente desviado se ha estudiado por primera vez. Adem´as de la determinaci´on de las velocidades cr´ıticas, se ha caracterizado el comportamiento postcr´ıtico del sistema, velocidad y radio de la precesi´on del eje. En este tema, se han publicado los siguientes trabajos: •J. Valverde, J.L. Escalona, J. Dom´ınguez y E. Freire. “Stability and bifurcation analysis of a modified geometrically nonlinear orthotropic Jeffcott model with internal damping”. Nonlinear Dynamics,42, 137– 163, 2005. •J. Valverde, J.L. Escalona, J. Dom´ınguez y E. Freire, “Stability and 263 264 Contribuciones originales de esta tesis dynamic analysis of the SET (Short Electrodynamic Tether)”, Proceedings of the ASME DETC & CIE Conference (ISBN:0-7918-3698-3) 2-6 Septiembre, Chicago USA, 2003. •M.A. Lago Hidalgo. “Estudio de estabilidad de un modelo geom´etricamente no-lineal de un rotor desequilibrado. Aplicaci´on al problema del Short Electrodynamic Tether (Proyecto fin de carrera. Director: J. Valverde)”. Universidad de Sevilla, P.3304, 2004. El modelo de Cosserat de la barra 3D sujeta a velocidad de spin y con las condiciones de contorno din´amicas derivadas de la uni´on tether-contactor se ha formulado por primera vez en esta tesis. Adem´as, la resoluci´on (estudio param´etrico mediante continuaci´on num´erica y posterior an´alisis de estabilidad mediante perturbaci´on de la soluci´on) de la ecuaci´on din´amica de Kirchhoff-Love es otra aportaci´on original de esta tesis. De estas ideas se han extra´ıdo las siguientes publicaciones: •J. Valverde, J.L. Escalona, J. Dom´ınguez y A.R. Champneys. “Stability and bifurcation analysis of a spinning space tether”. Journal of Nonlinear Science, En imprenta. •J. Valverde, J.L. Escalona, J. Dom´ınguez y A.R. Champneys. “Bifurcation analysis of a non-radial tethered system”. Proceedings of the ASME DETC & CIE Conference (ISBN:0-7918-3766-1) 24-28 Septiembre, Long Beach USA, 2005. •J. Valverde, J.L. Escalona y J. Dom´ınguez. “Stability analysis of a tethered system”. Proceedings of the 21st ICTAM Conference, 15-21 Agosto, Varsovia Polonia, 2004. En el cap´ıtulo 4 de esta tesis, se estudi´o la influencia del campo geomagn´etico sobre el spinning tether. Este problema es similar a un problema cl´asico de electrodin´amica propuesto por Woodson y Melcher [91]. Estos autores 265 mostraron de forma experimental como un filamento conductor de electricidad en el seno de un campo magn´etico paralelo al filamento indeformado pandea desde la posici´on recta hacia una configuraci´on helicoidal. Varios modelos se han llevado a cabo a lo largo de los a˜nos para estudiar dicho efecto [92, 94, 95, 93]. Adem´as, dicha configuraci´on helicoidal se ha observado en misiones reales con tethers electrodin´amicos. En esta tesis, se ha encontrado el valor cr´ıtico por encima del cual el filamento, o tether en este caso, pandea desde la configuraci´on recta hasta la helicoidal, estando el filamento modelado como una barra. En esta direcci´on, se han realizado los siguientes trabajos: •J. Valverde y G. van der Heijden. “Stability of a whirling conducting rod in the presence of a magnetic field. Application to the problem of space tethers”. Proceedings of the ASME DETC & CIE Conference (ISBN:0-7918-3766-1) 24-28 Septiembre, Long Beach USA, 2005. •G. van der Heijden y J. Valverde. “Instability of a whirling conducting rod in the presence of a magnetic field”. Proceedings of the Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (ENOC 2005), Editores: D.H. van Campen and M.D. Lazurko and W.P.J.M. van den Oever, Eindhoven, Holanda, 2005. •J. Valverde y G. van der Heijden. “Stability and bifurcation analysis of a whirling conducting rod in the presence of a magnetic field. Application to space tethers”. En preparaci´on. Para realizar las simulaciones din´amicas del SET se han usado t´ecnicas de modelado de DSM y m´etodos de integraci´on de las ecuaciones de movimiento de ´ultima generaci´on. De esta forma, se cre´o una herramienta de simulaci´on muy potente capaz de resolver un problema tan complejo como el del SET. En este problema, la geometr´ıa distorsionada de la barra y otras caracter´ısticas propias del sistema introducen frecuencias muy dispares en la soluci´on, 266 Contribuciones originales de esta tesis que dificultan en gran medida la integraci´on num´erica. El modelo, presentado en el cap´ıtulo 5 de esta tesis, es capaz de solventar estos problemas y presentar resultados de la simulaci´on. Otra modelizaci´on, que no se ha presentado en este texto, basada en el m´etodo de las coordenadas nodales absolutas [102] no dio respuesta a los problemas num´ericos aqu´ı planteados. Ambas modelizaciones y la posterior obtenci´on de resultados en un problema tan singular como el del SET dio lugar a las siguientes publicaciones: •J. Valverde, J.L. Escalona, J. Mayo y J. Dom´ınguez. “Dynamic analysis of a light structure in outer space: Short Electrodynamic Tether”. Multibody System Dynamics,10(1), 125–146, 2003. •D. Garc´ıa-Vallejo, J. Valverde y J. Dom´ınguez. “An internal damping model in the absolute nodal coordinate formulation”. Nonlinear Dynamics, En imprenta. •J. Valverde, D. Garc´ıa-Vallejo y J. Dom´ınguez. “Application of an internal damping model for multibody systems”. Proceedings of the ECCOMAS 2005 on Multibody Dynamics, 21-24 Junio, Madrid Espa˜na, 2005. •J. Valverde, J.L. Escalona, J. Mayo y J. Dom´ınguez. “An´alisis del movimiento y estabilidad de una estructura ligera en el espacio: Short Electrodynamic Tether”. V Congreso de M´etodos Num´ericos en Ingenier´ıa, 3-6 Junio, Madrid Espa˜na, 2002. •J. Valverde. “An´alisis din´amico de la rotaci´on de una estructura desplegable en el espacio (Proyecto fin de carrera)”. Universidad de Sevilla, P.2503, 2001. Bibliograf´ıa [1] V.V. Beletsky y E.M. Levin. Dynamics of space tether systems. tomo 83 de “Advances in the Astronautical Sciences”. American Astronautical Society, San Diego, USA (1993). [2] M.L. Cosmo y E.C. Lorenzini. Tethers in space handbook, third edition. 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Transporte de carga mediante el “escalador espacial”. ....... 10 1.7. “Escalador espacial lunar”. ...................... 11 1.8. Tether electrodin´amico. ........................ 12 1.9. Modificaci´on del periodo orbital. ................... 16 1.10. Estabilizaci´on gravitacional de un sistema tether en la posici´on radial. 20 1.11. Interacci´on de un TE con el campo geomagn´etico. ......... 21 1.12. Campo geomagn´etico. Esquema de frenado y propulsi´on en tether radial. .................................. 24 1.13. Campo geomagn´etico en los polos. Posici´on de un TE horizontal. . 26 1.14. Fuerzas resultantes sobre el tether en un TE horizontal. ...... 27 1.15. Secci´on del tether de la familia CTM de SENER S.A., almacenado ydesplegado. .............................. 29 1.16. Esquema de operaci´ondelSET..................... 31 1.17. Esquema del SET en la posici´on estable por spin y sistemas coordenados usados. ............................. 33 289 290 ´ INDICE DE FIGURAS 2.1. Plano de fases y trayectoria. ...................... 60 2.2. Pandeo en la viga de Euler. ...................... 61 2.3. Esquema bifurcaciones, (a) pliegue, (b) transcr´ıtica. ........ 62 2.4. Esquema bifurcaci´on de tridente, (a) supercr´ıtica, (b) subcr´ıtica. . 63 2.5. Curva de equilibrios, M......................... 64 2.6. Pseudo longitud de arco. ........................ 68 2.7. Modelo de Jeffcott original. ...................... 68 2.8. Modelo de Jeffcott modificado. .................... 70 2.9. Modelo de Jeffcott modificado, proyecci´on {i,j}. .......... 71 2.10. Rotaci´on s´ıncronadelsistema..................... 72 2.11. Rotaci´on as´ıncronadelsistema..................... 73 2.12. Desplazamientos del eje en {e1,e2,e3}. ............... 78 2.13. Modelado del amortiguamiento interno. (a) Ciclo de hist´eresis. (b) Problema unidimensional. (c) Modelo de amortiguamiento viscoso equivalente. ............................... 81 2.14. Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente recto. ...... 93 2.15. Ramas de equilibrios, rotor no-lineal recto is´otropo.......... 94 2.16. Equilibrios para ¯ω<R. ........................ 96 2.17. Equilibrios para 1 >¯ω>R....................... 97 2.18. Lugar geom´etrico de los puntos SN y BP2 en el espacio de par´ametros ¯ω−q30 para R=0.875. ...................... 103 2.19. Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, q30 <q ∗ 30.104 2.20. Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, qa 30 >q ∗ 30.105 2.21. Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, qb 30 > qa 30 >q ∗ 30. ................................ 106 2.22. Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado, qc 30 > qb 30 >q ∗ 30. ................................ 106 2.23. Ramas de equilibrios, rotor no-lineal inicialmente desviado e is´otropo.107 2.24. Simulaci´on del modelo de Jeffcott, ¯ω=0.8. ............. 110 ´ INDICE DE FIGURAS 291 2.25. Simulaci´on modelo de Jeffcott, ¯ω=1.1. ............... 110 3.1. Triedros de Frenet y Cosserat asociados al elemento unidimensional. 113 3.2. ´ Orbita y orientaci´on del SET. Sistemas de referencia y secci´on del tether................................... 115 3.3. Barra 3D descrita por su l´ınea media. Secci´on asociada y triedro director.................................. 120 3.4. Tensiones y esfuerzos en la secci´ondelabarra. ........... 126 3.5. Equilibrio de fuerzas y momentos en el contactor. .......... 134 3.6. Diagrama de bifurcaci´on 3D para el SET sim´etrico con κi 2=0. Rango de velocidades de operaci´on 0 <ω<50. Por claridad se han omitido las ramas que nacen de bifurcaciones para ω>15, que se representanenlafigura3.7 ...................... 156 3.7. Zoom de la figura 3.6 mostrando las ramas que bifurcan de la soluci´on trivial para 15 <ω<50...................... 156 3.8. Proyecci´on del diagrama de bifurcaci´on de las figuras 3.6 y 3.7 sobre los planos: (a) {e1,e3}y(b){e2,e3}. ................ 157 3.9. Continuaci´on en ωpara κi 2= 0 de las ramas B1 yB2. Proyecci´on en el plano {e1,e3}. .......................... 160 3.10. (a) Proyecci´on sobre {e2,e3}de la rama 2-κi 2. (b) ramas B3 y4-κi 2. (c) ramas 4-κi 2, 4a-κi 2y4b-κi 2sobre {e2,e3}. (d) ramas 4-κi 2, 4a-κi 2 y4b-κi 2sobre {e2,e3}.......................... 161 3.11. Formas del tether para diferentes valores de ωa lo largo de la rama B1..................................... 162 3.12. Formas del tether para diferentes valores de ωa lo largo de la rama B2..................................... 163 3.13. Formas del tether para diferentes valores de ωa lo largo de la rama B2..................................... 164 3.14. Formas del tether para diferentes valores de ωa lo largo de la rama B3..................................... 164 292 ´ INDICE DE FIGURAS 3.15. Formas tridimensionales del tether para diferentes valores de ωalo largo de la rama 2-κi 2. ......................... 165 3.16. Formas tridimensionales del tether para diferentes valores de ωalo largo de la rama 4-κi 2. ......................... 166 3.17. Formas tridimensionales del tether para diferentes valores de ωalo largo de la rama 4a-κi 2.......................... 166 3.18. Evoluci´on de los autovalores con mayor parte real a lo largo de la soluci´on trivial para κi 2= 0 desde ω=0aBP3............ 167 3.19. Evoluci´on de los autovalores con mayor parte real a lo largo de la soluci´on trivial para κi 2=0desdeBP4aBP6............. 170 3.20. Evoluci´on de los cuatro autovalores con mayor parte real a lo largo de la rama 1. La linea de puntos, que representa la evoluci´on de los autovalores al variar ω,esficticia.................... 171 3.21. Formas de las autofunciones para tres bifurcaciones de tridente consecutivas (BP1, BP3 y BP5) en el plano {e1,e3}........... 173 3.22. Modo de desestabilizaci´on de la soluci´on trivial en BP1, desplazamientos en el plano {e1,e3}. ..................... 173 3.23. Evoluci´on con ωde los autovalores con parte real mayor a lo largo de la rama B1. ............................. 175 3.24. Evoluci´on con ωde los autovalores con parte real mayor a lo largo de la rama B2,bajolp1......................... 176 3.25. Evoluci´on con ωde los autovalores con parte real mayor a lo largo de la rama B2,sobrelp1. ....................... 177 3.26. Evoluci´on de la flecha del contactor frente a Py formas del tether para ω=43. .............................. 179 3.27. Evoluci´on de la flecha del contactor frente a Qy formas del tether para ω=43. .............................. 180 3.28. Evoluci´on de la flecha del contactor frente a Py formas del tether para ω=2. ............................... 181 ´ INDICE DE FIGURAS 293 3.29. Evoluci´on de la flecha del contactor frente a Qy formas del tether para ω=2. ............................... 181 4.1. Montaje experimental del hilo conductor, Woodson y Melcher [91]. 184 4.2. Interacci´on de un TE con el campo geomagn´etico. ......... 187 4.3. Diagrama de bifurcaci´on para ω=2ωc................. 194 4.4. Zoom diagrama de bifurcaci´on para ω=2ωc. ............ 195 4.5. Projecci´on de los tres primeros modos del tether en el plano {e1,e3} para una valor de z(0) = 0.4. Valores de B: 4.448 (b1), 16.49 (b3) y 38.74 (b5). .............................. 196 4.6. Projecci´on de los tres primeros modos del tether en el plano {e2,e3} para una valor de z(0) = 0.4. Valores de B: 4.448 (b1), 16.49 (b3) y 38.74 (b5). .............................. 197 4.7. Vista 3D de la soluci´on z(0) = 0.4yB=17.15 de la rama b4. . . . 197 5.1. Subestructuraci´on del tether y coordenadas naturales usadas en la modelizaci´on............................... 204 5.2. Modos est´aticos de una subestructura. . . . ............. 208 5.3. Modos din´amicos de una subestructura. . . ............. 210 5.4. M´etodo Co-rotacional. Discretizaci´on campo desplazamientos locales y velocidades globales. ....................... 214 5.5. Evoluci´on con el tiempo de la posici´on del contactor y trayectoria para ωspin =1.31ωc. .......................... 229 5.6. Evoluci´on con el tiempo de la posici´on del contactor y trayectoria para ωspin =2.6ωc............................ 230 5.7. Evoluci´on con el tiempo de la posici´on xdel contactor para ωspin = 1.31ωcconysinfuerzadefrenadodeLorentz............. 231 5.8. Evoluci´on con el tiempo de la posici´on xdel contactor para ωspin = 1.31ωcconysinfuerzadefrenadodeLorentz............. 231 6.1. Ramas de equilibrios, modelo de Cosserat. . ............. 237 294 ´ INDICE DE FIGURAS 6.2. Ramas de equilibrios, modelo de Jeffcott. .............. 238 6.3. Comparaci´on de los modelos de Jeffcott y Cosserat en t´erminos de desplazamiento dimensional frente a la velocidad de giro. ...... 239 6.4. Velocidades de simulaci´on para la comparaci´on de los modelos de JeffcottyDSM.............................. 240 6.5. Simulaci´on del modelo de Jeffcott, ¯ω=0.8. ............. 241 6.6. Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=0.8. .................. 242 6.7. Fuerza el´astica lineal y no-lineal seg´un e1en el modelo de Jeffcott, ¯ω=0.8. ................................. 243 6.8. Simulaci´on modelo de Jeffcott, ¯ω=0.95................ 244 6.9. Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=0.95................... 244 6.10. Simulaci´on modelo de Jeffcott, ¯ω=1.1. ............... 245 6.11. Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=1.1. .................. 246 6.12. Simulaci´on modelo de Jeffcott, ¯ω=1.5. ............... 247 6.13. Simulaci´on modelo DSM, ¯ω=1.5. .................. 248 6.14. Simulaci´on DSM y rama correspondiente del modelo de Cosserat, ω=1.31ωc. ............................... 249 6.15. Simulaci´on DSM para ¯ω=1.42ωc. .................. 250 6.16. Trayectoria simulaci´on DSM del contactor, plano m´ovil {e1,e2}, ¯ω=1.42ωc. ............................... 251 6.17. Trayectoria simulaci´on DSM del contactor, plano m´ovil {e1,e2}, ¯ω=2.25ωc. ............................... 252 6.18. Trayectoria simulaci´on DSM del contactor, plano m´ovil {e1,e2}, ¯ω=2.6ωc................................. 253 6.19. Evoluci´on de la coordenada x1del contactor frente al tiempo, ¯ω= 2.6ωc. .................................. 253 6.20. Trayectoria simulaci´on DSM del contactor, plano m´ovil {e1,e2}, ¯ω=1.68ωc. ............................... 254 ´ INDICE DE FIGURAS 295 6.21. Evoluci´on de las coordenadas x1yx2del contactor frente al tiempo, ¯ω=1.68ωc. ............................... 254 View publication statsView publication stats