Q¨
UESTII´
O, ol. 25, 2, p. 263-284, 2001
EL SESGO CONDICIONADO
EN EL AN ´
ALISIS DE INFLUENCIA:
UNA REVISI ´
ON
J. M. MU ˜
NOZ-PICHARDO
J. L. MORENO-REBOLLO
T. G ´
OMEZ-G ´
OMEZ
A. ENGUIX-GONZ´
ALEZ
Uni e sidad de Se illa
El sesgo condicionado se ha p opues o como diagn ´
os ico de in luencia en
dis in os modelos y ´
ecnicas es ad´
ıs icas. T a ando de ecoge una isi´
on
global de la u ilidad del concep o, en es e abajo se hace una e isi ´
on
gene al del mismo elacion´
andolo con la cu a de sensibilidad y la cu a
de in luencia mues al. Adem´
as, se se˜
nalan posibles l´
ıneas de abajo que
pe mi i ´
an abo da el an´
alisis de la in luencia a a ´
es de es e en oque en
una g an a iedad de ´
ecnicas es ad´
ıs icas.
Condi ional bias in in luence analysis: a e iew
Palab as cla e: An´alisis de in luencia, modelos lineales, componen es
p incipales, mues eo en poblaciones ini as, sesgo con-
dicionado
Clasi icaci´
on AMS (MSC 2000): 62J20, 62H25, 62D05
*Uni e sidad de Se illa. Facul ad de Ma em´a icas. Depa amen o de Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a.
A da. Reina Me cedes s/n. 41012 Se illa.
–Recibido en oc ub e de 2000.
–Acep ado en ab il de 2001.
263
1. INTRODUCCI ´
ON
El obje i o de odo an´alisis es ad´ıs ico es ob ene conclusiones iables a pa i de los
da os esul an es de una expe imen aci´on. Po an o, la iabilidad de las obse aciones
del p oceso es de especial in e ´es, ya que el an´alisis se ealiza sob e codi icaciones del
en´omeno na u al en es udio y las ´ecnicas es ad´ıs icas que se apliquen pueden e se
ue emen e a ec adas po algunas de las obse aciones ealizadas. Es e p oblema ha
o iginado un g an n´ume o de m´e odos en ocados, bien al desa ollo de nue as ´ecnicas
que no se ean in luenciadas excesi amen e po la modelizaci´on del en´omeno na u al,
bien al an´alisis de la calidad de los da os, o bien al es udio de aquellas obse aciones
que a ec an conside ablemen e a los esul ados del an´alisis. En es e e ce en oque se
han p opues o un conjun o de m´e odos englobados en lo que gen´e icamen e se conoce
como el An´
alisis de In luencia.
La g an mayo ´ıa de las ´ecnicas p opues as pa a el an´alisis de in luencia es ´an basadas
enla ap oximaci´ongen´e ica ealizadapo CookyWeisbe g(1982): pa a medi ele ec o
que sob e un aspec o de in e ´es del an´alisis (es ad´ıs ico, es imaci´on,...) iene una obse -
aci´on o un conjun o de ellas, se in oducen peque˜nas pe u baciones, que las a ec an
de alguna mane a, y se cuan i ica el cambio p oducido. Es deci , las ´ecnicas su gen de
conjuga adecuadamen e pe u baci´
on del modelo y compa aci´
on de esul ados. Cook
(1987) a a de uni ica el p oblema bajo la siguien e o mulaci´on gene al:
Sea un conjun o de da os D, un modelo Mpos ulado a p io i, un esul-
ado R
D
M
seleccionado de una s´ın esis de los da os y el modelo, y sea
wun ec o de pe u baciones, pe enecien e a un conjun o Ωde pe u ba-
ciones ele an es, siendo M
w
el modelo pe u bado, de o ma que
w0
Ω
Æ
M
M
w0
.
As´ı, el An´alisis deIn luenciaconsis eencompa a los esul ados R
D
M
w
yR
D
M
.
En consecuencia, son cues iones cla es la elecci´on del esquema de pe u baci´on y el
m´e odo de compa aci´on. De cada o ma dis in a de conjuga el binomio pe u baci ´
on-
compa aci´
on esul a ´a una ´ecnica pa a el an´alisis de in luencia.
En cuan o al p ime elemen o del binomio, el m´as u ilizado es el esquema de pe u -
baci´on de la omisi´on de las obse aciones a las que se le p e ende e alua su impac-
o. No obs an e, la an e io o mulaci´on gene al del p oblema pe mi e o os en oques.
Di e sos au o es, como Law ance (1991) y Escoba y Meeke (1992), han p opues o
clasi icaciones de los dis in os ipos de pe u baciones: pe u baciones en los da os,
pe u baciones en las hip´
o esis del modelo, pe u baciones en ponde acionesde casos.
264
Es e ´ul imo esquema es u ilizado en el denominado An´alisis de In luencia Local (Cook
(1986)).
Una ez seleccionado el esquema de pe u baci´on, es necesa io elegi el es ad´ıs ico o
esul ado R
D
M
del an´alisis y el m´e odo de compa aci´on de esul ados. La p ime a
cues i´on queda a c i e io del in es igado ,en unci´on del obje i o p incipal del an´alisis.
Como ilus aci´on de la g an a iedad de m´e odos de compa aci´on p opues os, pueden
ci a se los siguien es: Cu a de in luencia mues al (Cook y Weisbe g (1982), Bels-
ley y o os (1980)); Raz´
on de ol´
umenes de egiones de con ianza, cuando el esul ado
R
D
M
seleccionado es una egi´on de con ianza (And ews y P egibon (1978)); Raz ´
on
en e de e minan es,pa a la es imaci´on de ma ices de a ianzas y co a ianzas (Ba ne
y Lewis (1994), Belsley y o os (1980)); Dis ancias en e las dis ibuciones mues a-
les de los es imado es, como la dis ancia de Rao (Mu˜noz-Picha do y Fe n´andez-Ponce
(1997)); Desplazamien o de e osimili ud, como m´e odo de compa aci´on espec o a los
con o nosde la log- e osimili uddel modelopos ulado (Cooky Weisbe g (1982),Cook
y o os (1988)), o bien del modelo pe u bado (Billo y Loynes (1993)). B own y Law-
ance (2000), a a ´es de la e osimili ud, es udian es e ´opico en eg esi´on m´ul iple
sob e una amplia gama de esquemas de pe u baci´on, ex endiendo el es udio de la in-
luencia a di e en es es s de hip´o esis de in e ´es en es e modelo.
Mu˜noz-Picha do y o os (1995) p oponen el concep o de sesgo condicionado como
en oquegen´e ico, ´alidoen ung ann´ume o delas ´ecnicas y modeloses ad´ıs icos. T as
la in oducci´on an e io sob e el p oblema de la in luencia, en es e abajo se p e ende
ealiza una e isi´ondelasdis in asaplicacionesdel sesgocondicionado(s.c.), as´ı como
su elaci´on con o os concep os es ad´ıs icos.
En la Secci´on 2, se ecoge la elaci´on con la cu a de in luencia mues al y la cu a de
sensibilidad. En la Secci´on 3, se ecoge la aplicaci´on del mismo a los modelos linea-
les, apo ´andose una es imaci´on de la a ianza del es imado del sesgo condicionado.
A con inuaci´on, se aplica al an´alisis de componen es p incipales (Secci´on4)yenel
mues eo en poblaciones ini as (Secci´on 5). Finalmen e, se concluye se˜nalando o os
campos en los que se puede abo da el an´alisis de in luencia bajo la pe spec i a del
concep o de s.c..
2. EL CONCEPTO DE SESGO CONDICIONADO Y EL AN ´
ALISIS DE
INFLUENCIA
Pa iendo del Lema de Descomposici´on de E on y S ein (1984), que exp esa un es-
ad´ıs ico Tsob e una mues a alea o ia simple como una suma ini a, cuyos ´e minos
son uncionesdelas espe anzascondicionadasde Tdadaslas obse acionesmues ales,
Mu˜noz-Picha do y o os (1995) de inen el concep o de sesgo condicionado y p oponen
su aplicaci´on en el An´alisis de In luencia. A con inuaci´on, se ecoge el lema ci ado,
265
la de inici´on del concep o de sesgo condicionado y la jus i icaci´on de su aplicaci´on al
p oblema de la in luencia.
Lema 1. (E on y S ein).Toda a iable alea o ia S
X1
X2
Xn
unci´
on de n a-
iables alea o ias independien es X1
X2
Xnpuede exp esa se como
S
X1
Xn
E
S
n
∑
i
1Ai
Xi;S
∑∑
1
i
j
nBij
Xi
Xj;S
∑∑∑
1
i
j
k
n
Cijk
Xi
Xj
Xk;S
H
X1
Xn;S
donde las 2n
1 a iables alea o ias del miemb o de echo de la exp esi´
on ienen es-
pe anza nula y es ´
an mu uamen e inco eladas, siendo:
Ai
xi;S
E
S
Xi
xi
E
S
«i-´esimo e ec o medio»,
Bij
xi
xj;S
E
S
Xi
xi
Xj
xj
E
S
Xi
xi
E
S
Xj
xj
E
S
«
i
j
-in e acci´on de 2oo den»,
yas
´
ı sucesi amen e.
Dadounes ad´ıs ico Tn
Tn
Y1
Yn
de inidosob eunamues aalea o ia,Y1
Yn,ysu
descomposici´on en ´e minos del esul ado an e io , se obse a que Ai
yi;Tn
cuan i ica
la des iaci´on que la ealizaci´on mues al Yi
yip o oca en el alo espe ado de Tn.
Po an o, puede conside a se como una medida de la in luencia que dicha ealizaci´on
mues al eje ce sob e Tn.As´ı, Mu˜noz-Picha do y o os (1995) p oponen la siguien e
de inici´on:
De inici´
on 1. Sea Y1
Ynuna m.a. de una .a. Y, sea Tn
Tn
Y1
Yn
un es ad´
ıs ico
y sea y1
ynuna ealizaci´
on de la mues a. El sesgo condicionado (s.c.) de Tndada
la i-´
esima obse aci´
on se de ine como
yi;Tn
E
Tn
Yi
yi
E
Tn
.
Sob e es a de inici´on se pueden ealiza di e sas conside aciones. En p ime luga , el
s.c. depende de la dis ibuci´on del es ad´ıs ico Tny del alo obse ado yi. Po an o, al
con a io de la cu a de in luencia mues al, que se de ine a pa i de una ealizaci´on de
oda la mues a, el s.c. mide la in luencia del alo obse ado sob e el es ad´ıs ico, en
´e minos de la espe anza de su dis ibuci´on mues al, y po an o, es independien e de
cualquie ealizaci´on mues al conc e a de los es an es elemen os de la mues a. Po
o a pa e, no p esupone ning´un esquema de pe u baci´on, sal o el condicionamien o
266
p e io impues o po el conocimien o de la obse aci´on bajo es udio. Adem´as, es un
pa ´ame ocuyadimensi´on coincideconla dimensi´on deles ad´ıs ico, al igual que ocu e
con la cu a de in luencia mues al, po an o, pa a cuan i ica lo se ha de p ocede a
u iliza no mas semejan es a las aplicadas sob e ´es a. Finalmen e, su dependencia de la
dis ibuci´on de Tn, puede p o oca que el desconocimien o de algunos pa ´ame os de la
misma implique la necesidad de su es imaci´on.
La de inici´on 1 puede gene aliza se como sigue:
De inici´
on 2. En las condiciones de la de inici´
on 1, el s.c. de Tndado el conjun o de
obse aciones
yi1
yim
se de ine como
(1)
yi1
yim;Tn
E
Tn
Yi1
yi1
Yim
yim
E
Tn
.
En consecuencia,
1
puede conside a se como una medida de la in luencia conjun a de
las obse aciones
yi1
yim
sob e Tn.
De las dos de iniciones an e io es se ob ienen las siguien es exp esiones:
Bij
yi
yj;Tn
yi
yj;Tn
yi;Tn
yj;Tn
(2)
Cijk
yi
yj
yk;Tn
yi
yj
yk;Tn
yi
yj;Tn
yi
yk;Tn
yj
yk;Tn
yi;Tn
yj;Tn
yk;Tn
(3)
Po an o, el e ec o in e acci´on de segundo o den debido a las obse aciones
yi
yj
,
seg´un (2),es la in luenciaconjun adeambasobse acionessob e Tnmenosla in luencia
indi idual de cada una de ellas. An´alogo comen a io se puede ealiza obse ando la
exp esi´on (3).
O as p opiedades del s.c. son las elaciones con los concep os de cu a de sensibilidad
y cu a de in luencia mues al. Hampel (1974), con el obje i o de es udia la conduc-
a in ini esimal de uncionales es ad´ıs icos, p opone el concep o de unci´on in luencia
sob e un uncional de inido sob e el espacio de las dis ibuciones de p obabilidad. A
pa i de dicha de inici´on se han p opues o di e sas e siones mues ales. Una de las de
mayo in e ´es es la cu a de sensibilidad, p opues a po Tukey (1970): dada Y1
Yn
1
una mues a alea o ia de una .a.Y, la cu a de sensibilidad (CS)deTnasociada a una
ealizaci´on mues al y1
yn
1se de ine como:
CSn
1
y;Tn
n
Tn
y1
yn
1
y
Tn
1
y1
yn
1
Cuando el obje i o es el es udio de la in luencia de obse aciones indi iduales sob e
alg´un es ad´ıs ico, se p opone o a e si´on mues al, la cu a de in luencia mues al
267
(CIM): dada Y1
Ynuna mues a alea o ia de una .a.Y,yTnun es ad´ıs ico de inido
sob e la mues a, la cu a de in luencia mues al de un es ad´ıs ico Tnasociada a la
i-´esima obse aci´on de una ealizaci´on mues al y1
yn
iene dada po
CIMi
Tn
n
1
T
i
Tn
y1
yn
siendo T
i
Tn
1
y1
yi
1
yi
1
yn
el es ad´ıs ico ob enido bajo la omisi´on de
la i-´esima obse aci´on.
Gene alizando la de inici´on an e io , se de ine la cu a de in luencia mues al de Tn
asociada a un conjun o de mobse aciones Bcomo sigue:
CIMB
Tn
n
m
T
B
Tn
y1
yn
siendo T
B
el es ad´ıs ico ob enido bajo la omisi´on de las obse aciones con enidas en
B.
Lacu ade sensibilidadpuedeconside a secomo unci´onalea o ia,asociadaalamues-
aY1
Yi
1Yi
1
Yn:
CSn
1
y;Tn
n
Tn
Y1
Yi
1
y
Yi
1
Yn
Tn
1
Y1
Yi
1Yi
1
Yn
Asimismo, la cu a de in luencia mues al puede conside a se como unci´on alea o ia,
asociada a la mues a Y1
Yn:
CIMi
Tn
n
1
Tn
1
Y1
Yi
1Yi
1
Yn
Tn
Y1
Yn
Bajo es as conside aciones, se pueden enuncia los siguien es esul ados:
Teo ema 1. Sea Y1
Ynuna mues a alea o ia, sea Tn
Tn
Y1
Yn
un es ad´
ıs ico y
T
i
Tn
1
Y1
Yi
1Yi
1
Yn
, y sup´
ongase que E
Tn
E
T
i
.
1. La cu a de sensibilidad, asociada a la mues a Y1
Yi
1Yi
1
Yn
e i ica
(4) 1
nE
CSn
1
yi;Tn
yi;Tn
2. La cu a de in luencia mues al, asociada a la mues a Y1
Yn, e i ica
(5) 1
n
1E
CIMi
Tn
Yi
yi
yi;Tn
La igualdad (4), adem´as de la elaci´on en e los dos concep os, iene a p o undiza en
el in e ´es del s.c. como he amien a ´u il pa a el an´alisis de in luencia, y la igualdad (5)
268
puede pa a undamen a e´o icamen e el concep ode cu ade in luencia mues al como
esquema de compa aci´on ´alido pa a el an´alisis de in luencia.
Po ello, Mu˜noz-Picha do y o os (1995) p oponenel siguien e es imado insesgado del
s.c.
yi;T
Tn
Y1
Yi
1
yi
Yi
1
Yn
Tn
1
Y1
Yi
1Yi
1
Yn
Tn
T
i
y en gene al,
yi1
yim;Tn
Tn
T
i1
im
que puede denomina se sesgo condicionado es imado (s.c.e.). Con iene hace no a
que en muchas ocasiones pa a el c´alculo del s.c. y su es imado no es necesa io conoce
la dis ibuci´on subyacen e al modelo, algo que le ocu e a o as ´ecnicas de diagn´os ico
de in luencia como el desplazamien o de e osimili ud o la dis ancia de Rao.
Mu˜noz-Picha doy o os (1998)aplican es econcep oal An´alisis de In luenciaLocal, en
pa icula enel ModeloLineal Gene al. Un plan eamien ogen´e icodedichaaplicaci´on,
siguiendolas pau as ma cadaspo Cook ensudesc ipci´on delp oblema dela in luencia,
puede se el siguien e:
Sea un modelo Mpos ulado a p io i, sea Y1
Ynuna mues a alea-
o ia de la(s) a iable(s) que in e ienen en el mismo, sea un es ad´ıs ico
Tn
Y1
Yn;M
,wun ec o pe enecien e a un conjun o Ωde pe u bacio-
nes ele an es, siendo M
w
el modelo pe u bado, de o ma que
w0
Ω
Æ
M
M
w0
yTn
Y1
Yn;M
Tn
Y1
Yn;M
w0
y sea yiuna ealizaci´on mues al de la i-´esima componen e de la mues a
alea o ia. El es udio de la unci´on de w
Ω:
w
yi;Tn
EM
w
Tn
Yi
yi
EM
w
Tn
en un en o no de w0pe mi i ´a ealiza el an´alisis de in luencia local que la
ealizaci´on mues al Yi
yieje ce sob e Tn, siendo EM
w
la espe anza
en el modelo pe u bado M
w
.
Pa a es e plan eamien o gene al, son ´alidas las conside aciones ealizadas an e io -
men e sob e el concep o de s.c.. En pa icula , en ocasiones se end ´a que busca un
es imado , pudi´endose conside a el es imado insesgado:
w
yi;Tn
Tn
Y1
Yi
1
yi
Yi
1
Yn;M
w
Tn
1
Y1
Yi
1Yi
1
Yn;M
w
Pa a ilus a la u ilidad de lo exp esado has a aho a, a con inuaci´on, se ecoge una apli-
caci´on simple: el s.c. y diagn´os icos de in luencia sob e el es ad´ıs ico media mues al.
269
2.1. Una aplicaci´
on ilus a i a: es ad´ıs ico media mues al
Sea Y1
Ynuna mues a alea o ia de una .a. Y, con E
Y
µyVa
Y
σ2,y
conside emos el es imado BLUE de µ
el es ad´ıs ico media mues al Tn
Y. Puede
ob ene se ´acilmen e el s.c. de dicho es ad´ıs ico dada la i-´esima ealizaci´on mues al yi:
yi;Y
1
n
yi
µ
Po an o,comol´ogicamen ese pod´ıain ui ,la in luenciade unaobse aci´onse ´a mayo
cuan o m´as dis e de la media poblacional. An´alogamen e,
yi1
yim;Y
1
n
m
∑
j
1
yij
µ
En ambas exp esiones se obse a su dependencia del pa ´ame o µ, po lo que es nece-
sa io ob ene las co espondien es es imaciones:
(6)
yi;Y
1
n
1
yi
Y
y
(7)
yi1
yim;Y
1
n
m
m
∑
j
1
yij
Y
espec i amen e. Pa a e i a el p oblema del signo, a e ec os p ´ac icos, como medidas
de in luencia pueden conside a se los cuad ados de las exp esiones (6) y (7):
S2
i
yi
Y
n
1
2
S2
i1
im
1
n
m
m
∑
j
1
yij
Y
2
Con el obje i o de es udia la in luencia local sob e el BLUE de µ
se puede conside a
el modelo pe u bado de e minado po :
E
Yk
µ
k
Va
Yk
σ2
k
i;Va
Yi
σ2
w
w
0
(8)
El BLUE de µen el modelo especi icado en (8) iene dado po :
Yw
1
n
1
w∑
k
i
Yk
w
n
1
wYi
y po an o,
i
w
yi;Yw
w
n
1
w
yi
µ
nw
n
1
w
yi;Y
270
(El supe ´ındice
i
se u iliza pa a indica que s´olo la i-´esima obse aci´on es pe u -
bada).
Se puede obse a que el s.c. en el modelo pe u bado es p opo cional al s.c. en el
modelo pos ulado, siendo la az´on de p opo cionalidad:
α
w
nw
n
1
w
En cuan o al es imado del s.c., se ob iene:
(9)
i
w
yi;Yw
1
n
1
nw
n
1
w
yi
Y
nw
n
1
w
yi;Y
Conside ando nue amen e su cuad ado pa a e i a el signo, se puede u iliza con medi-
da de in luencia local la unci´on de w:
S2
i
w
S2
i
α
w
2
La siguien e igualdad edunda en la ele ancia de la az´on de p opo cionalidad α
w
:
(10)
i
w
yj;Yw
α
w
yj;Y
1
α
w
yj;Y
i
j
1
n
Pa a w
0
1
, dicha az´on e i ica 0
α
w
1, y en consecuencia,
i
w
yj;Yw
es combinaci´on lineal con exa en e
yj;Y
y
yj;Y
i
, donde los coe icien es no
dependen de las obse aciones i-´esima ni j-´esima, an s´olo del ama˜no mues al y del
ac o de pe u baci´on conside ado.
Dado el papel ele an e que juega es a az´on de p opo cionalidad, Mu˜noz-Picha do y
o os (1998) la denominan po encial de in luencia local de la i-obse aci ´
on, in e -
p e ´andola como la p opo ci´on de in luencia de cualquie obse aci´on sob e el BLUE
de µen el modelo pe u bado (8), explicada po la in luencia que eje ce dicha obse a-
ci´on sob e el BLUE de µen el modelo pos ulado.
3. SESGO CONDICIONADO EN EL MODELO LINEAL GENERAL
MULTIVARIANTE
En es a secci´on es udiamos el s.c. sob e el Modelo Lineal Gene al Mul i a ian e
(MLGM), con obje o de a a de o ma uni icada el an´alisis de in luencia en los di-
e sos modelos que se ob ienen como casos pa icula es de ´el: Modelos de Reg esi´on
(m´ul iple y mul i a ian e), Modelos de An´alisis de la Va ianza (uni a ian e y mul i a-
ian e), Modelos de An´alisis de la Co a ianza (uni a ian ey mul i a ian e), An´alisis de
Pe iles, An´alisis de Medidas Repe idas, e c.
271
En pa icula ,si se conside a el es imado de Ho i z-Thompson,
THT
∑sYi
πi
del o al
poblacional de la ca ac e ´ıs ica Y,T
Y
∑N
i
1Yi
se ob iene que
S
Ii
1;
THT
Yi1
πi
πi
∑
j
i
Yj∆ij
πiπj
donde πj
P
Ij
1
,j
1
N
ep esen an las p obabilidades de inclusi´on de
p ime o den asociadas al dise˜no mues al
p
y∆ij
Co
Ii
Ij
,i
j
1
N
Dado que el s.c. es un pa ´ame o poblacional desconocido, se p opone como es ima-
do del mismo el es imado de Ho i z-Thompson sob e el dise˜no mues al es ingido
sob e las mues as que con ienen a ui:
SHT
Ii
1;
THT
Yi1
πi
πi
∑
j
i
Yj∆ij
πijπjIi
donde πij
P
Ii
1
Ij
1
, son las p obabilidades de inclusi´on de segundo o den en
el dise˜no mues al.
Un es imado insesgado de la a ianza de
SHT
Ii
1;
THT
en el dise˜no es ingido
iene dado po :
Va
SHT
Ii
1;
THT
∑
j
i∑
h
i
YjYh∆ij ∆ih
πiπjπh
πi
πij πih
1
πijh
IjIh
dondeπijh
P
Ii
1
Ij
1
Ih
1
, son lasp obabilidadesde inclusi´on de e ce o den
en
p
.
Es e iden e que an o el s.c., como el s.c.e. y el es imado de su a ianza dependen del
dise˜no mues al
p
, po lo que la in luencia de cada unidad mues al seleccio-
nada es unci´on del compo amien o de dicha unidad espec o a la ca ac e ´ıs ica bajo
es udio y del dise˜no mues al elegido po el in es igado . La aplicaci´on a cada ipo de
dise˜no es di ec a, sin m´as que de e mina los pa ´ame os dependien es del mismo (p o-
babilidades y co a ianzas de las a iables alea o ias indicado es), aunque en ocasiones
pueda esul a compleja. No obs an e, en e a la posible complejidad, el concep o de
s.c. posee la ca ac e ´ıs ica de su gene alidad. El plan eamien o a iba ecogido puede
u iliza se en un amplio espec o del mues eo en poblaciones ini as, quedando abie as
un n´ume o conside able de l´ıneas de in es igaci´on y desa ollo.
6. CONCLUSI ´
ON
Es e abajo ecoge una e isi´on del concep o de s.c. y su aplicaci´on al an´alisis de
in luencia en di e sas ´ecnicas es ad´ıs icas. Su de inici´on gen´e ica, su ´acil in e p e-
aci´onysuc´alculo no excesi amen e complejo le pe mi e ene un ex enso campo de
278
aplicaci´on y un amplio abanico de posibilidades en el an´alisis de in luencia y an´alisis
de in luencia local de cualquie es ad´ıs ico en cualquie modelo. Mues a de ales a i -
maciones son los esul ados an e io men e ecogidos y los abajos de Jim´enez (1994)
y Jim´enez y o os (1995) en el ´a ea de las ´ecnicas de emues eo, en pa icula en el
boo s ap, pa a de ec a mues as boo s ap con un e ec o conside able sob e los esul-
ados de las es imaciones.
Las medidas de diagn´os ico de in luencia p opues as pueden gene aliza se ´acilmen e
al an´alisis de in luencia conjun o de dos o m´as obse aciones. Algunos esul ados sob e
al aspec o es ´an ecogidos en los abajos ci ados an e io men e.
P o undizando po la l´ınea de los modelos lineales se puede abo da la in luencia en
los modelos lineales gene alizados (uni a ian es y mul i a ian es), an´alisis de supe i-
encia, e c. En la l´ınea del ACP, pueden ob ene se esul ados de in e ´es en An´alisis
Disc iminan e, An´alisis Fac o ial, An´alisis Can´onico, e c. Finalmen e, en el ´a ea del
mues eo en poblaciones ini as, como se ecoge en el apa ado an e io , queda un am-
plio campo abie o pa a segui desa ollando ´ecnicas de diagn´os ico de in luencia, m´as
a´un cuando en es e ´a ea la p oblem´a ica de la in luencia no ha sido, has a aho a, a ada
en p o undidad.
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ding Mass. Addison-Wesley.
280
ENGLISH SUMMARY
CONDITIONAL BIAS IN INFLUENCE ANALYSIS:
A REVIEW
J. M. MU ˜
NOZ-PICHARDO
J. L. MORENO-REBOLLO
T. G ´
OMEZ-G ´
OMEZ
A. ENGUIX-GONZ´
ALEZ
Uni e sidad de Se illa
Condi ional bias has been p oposed as an in luence diagnos ic on di e en
models and s a is ical echniques. In his pape , we sum up hese appli-
ca ions and we ela e i o he sensi i i y cu e and he sample in luen ial
cu e. Mo eo e , we poin ou some a eas in which he In luence Analysis
could be s udied h ough his app oach.
Keywo ds: In luence analysis, linea models, p incipal componen s, su -
ey sampling, condi ional bias
AMS Classi ica ion (MSC 2000): 62J20, 62H25, 62D05
*Uni e sidad de Se illa. Facul ad de Ma em´a icas. Depa amen o de Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a.
A da. Reina Me cedes s/n. 41012 Se illa.
–Recei ed Oc obe 2000.
–Accep ed Ap il 2001.
281
F om he Decomposi ion Lemma o E on and S ein (1984), Mu˜noz - Picha do e al.
(1995) p oposed he condi ional bias (c.b.) as a gene al app oach in In luence Analysis.
In his pape , we ga he oge he some applica ions o his concep in se e al models
and s a is ical echniques.
De ini ion1. Le Y1
Ynbe a andom sampleo a andom a iableY, le Tn
Tn
Y1
Yn
be a s a is ic and le y1
ynbe a sample ealiza ion. The c.b. o Tngi en yiis
de ined as
yi;Tn
E
Tn
Yi
yi
E
Tn
.
F om De ini ion 1, we no e ha he c.b. depends on he dis ibu ion o Tnand on he
obse ed alue yi, and i assesses he in luence o yion Tnin e ms o i s expec ed
alue. The e o e, i no depends on y2
yn
The pe u ba ion conside ed i is due
o he knowledge o he obse a ion unde s udy, yi
Mo eo e , i Tnis q-dimensional
(q
1), hen a no m mus be used in o de o de ine an in luence measu e om
yi;Tn
.
Finally, we no e ha , in gene al,
yi;Tn
depends on unknown pa ame e s, so i mus
be es ima ed.
In Sec ion 2 we ela e he c.b. o he expec ed alue o he sensi i i y cu e (Tukey,
1970), and he sample in luence cu e. F om hese ela ions, Mu˜noz-Picha do e al.
(1995) p oposed
yi;T
Tn
Y1
Yi
1
yi
Yi
1
Yn
Tn
1
Y1
Yi
1Yi
1
Yn
Tn
T
i
as es ima o o
yi;T
Following he guidelines laid down by Cook (1987), Mu˜noz-Picha do e al. (1998)
apply he c.b. in Local In luence Analysis h ough he s udy o he unc ion
w
yi;Tn
EM
w
Tn
Yi
yi
EM
w
Tn
being M
w
a pe u ba ion o he pos ula ed model M.
As an illus a ion, in sec ion 2.1 we ob ain he c.b. and some in luence measu es on
he sample mean. Also, we s udy he local in luence on he sample mean o a andom
sample.
In sec ion 3, we s udy he c.b. in he Mul i a ia e Gene al Linea Model (MGLM), in
o de o handle in an uni ied way he in luence analysis on he models ha a e ob ained
as pa icula cases o i .
Gi en he MGLM, ha is de ined by he ma ix iden i y Y
XB
, wi h he usual hy-
po heses, and a linea es imable unc ion (l.e.) Λ
Λ
ΛB, i is ob ained ha (Mu˜noz-Picha do
e al., 2000)
282
yi;Λ
Λ
Λ
B
Λ
Λ
ΛS
xi
y
i
x
iB
yi;Λ
Λ
Λ
B
1
1
iiΛ
Λ
ΛS
xie
i
being
Ba leas squa es es ima o o B,x
iand y
i he i- h ows o Xand Y, espec i ely,
S
X
X,S
an in e se gene alized o S,e
i he i- h ow o he ma ix o o dina y
esiduals, and ii he i-diagonal elemen o he ha ma ix V
X
S
X.
In o de o assess he in luence o yion he BLUE, Λ
Λ
Λ
B
we apply ma ix no ms, ob ai-
ning a ious in luence diagnos ics. The applica ion o hese diagnos ics in he Mul iple
Reg ession Model, make possible o ob ain, as pa icula cases, some o he in luence
measu es de ined in he li e a u e. Mo eo e , we s udy he Local In luence Analysis in
his model.
In sec ion 4, we s udy he in luence analysis in P incipal Componen s, unde hypo hesis
o no mali y. The c.b. o
λk,
αk
k
1
p, he eigen alues and eigen ec o s o he
sample co a iance ma ix a e gi en by (Enguix-Gonz´alez e al., 2000) ,
S
xi
λk
1
n
1I
xi
λk
O
n
2
and S
xi
αk
1
n
1I
xi
αk
O
n
2
being x1
xn he sample ealiza ion and I
x
λk
,I
x
αk
he in luence unc ions o λk
and αk
he popula ion eigen alues and eigen ec o s,
I
x
λk
α
k
x
µ
2
λkand I
x
αk
α
k
x
µ
∑
j
k
α
j
x
µ
λj
λkαj
F om
S
xi
λk
and
S
xi
αk
se e al in luence measu e on
λkand
αka e p oposed.
Finally, in sec ion 5, we show ha he c.b. can be applied in sampling om a ini e
popula ion, when he in e ence is design-based. Mo eno-Rebollo e al. (1999) adjus
he de ini ion o c.b. in o de o ob ain an in luence measu e in su ey sampling. Le
U
u1
uN
be a ini e popula ionand
p
a samplingdesign de ined onU,
le πi
i
1
N
be he i s o de inclusion p obabili ies. Le Ybe a cha ac e is ic
o he popula ion,Y
Y1
YN
,θ
θ
Y
he pa ame e o in e es and
θ
θ
s
an
es ima o o θ, o s
.
De ini ion 3. The condi ional bias o
θ
caused by he p esence o uiin he sample s
is
de inedby S
Ii
1;
θ
E
θ
Ii
1
E
θ
being Ii
s
1i ui
s
Ii
s
0o he wise.
Pa icula ly, i he Ho i z-Thompson (HT) es ima o ,
THT
∑sYi
πi
is conside ed, i is
ob ained ha
S
Ii
1;
THT
Yi1
πi
πi
∑
j
i
Yj∆ij
πiπj
283
being ∆ij
Co
Ii
Ij
,i
j
1
N
on
p
Mo eno-Rebollo e al. (1999) p oposed o es ima e S
Ii
1;
THT
by he HT-es ima o
based on he es ic ed sampling design, on he samples con aining ui,
SHT
Ii
1;
THT
Yi1
πi
πi
∑
j
i
Yj∆ij
πijπjIj
We no e ha bo h he c.b. and i s es ima ion depend on he sampling design, ha is a
dis inc i e ea u e o he in luence measu es in sample su ey.
284
