Conjuntos de explosión de dimensión menor en el semiespacio

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Conjuntos de explosi´on de dimensi´on menor en el semiespacio Mayte P´ erez-Llanos 1, Julio D. Rossi2, 1Dpto. de Matem´aticas, Universidad Carlos III de Madrid, 28911, Legan´es, Madrid. E-mail: [email protected]. 2Dpto. de Matematica, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, 1428 Buenos Aires, Argentina. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Blow-up, p−laplaciano, condiciones de contorno no lineales, Resumen Nuestro principal objetivo en este trabajo es encontrar algunos ejemplos de soluciones de problemas parab´olicos en el semiespacio, RN +×RM={xN>0} × RMque explotan, cuyos conjuntos de explosi´on son no triviales y de dimensi´on estrictamente menor que la dimensi´on del espacio ambiente. Con este fin probamos la existencia de soluciones no triviales de soporte compacto de ∇(|∇ϕ|p−2∇ϕ) = ϕmen el semiespacio RN +con la condici´on de borde no lineal −|∇ϕ|p−2∂ϕ ∂xN=ϕp−1sobre ∂RN +={xN= 0}. 1. Introducci´on Un aspecto importante del estudio de la explosi´on en problemas parab´olicos es la estructura espacial del conjunto de puntos donde la soluci´on se hace infinita en tiempo T, esto es, el conjunto de explosi´on, definido como B(u) = {x; existen xn→x, tn%T, con u(xn, tn)→ ∞}. Un problema que ha sido centro de inter´es en la literatura es la identificaci´on de los posibles conjuntos de explosi´on. En ocasiones el conjunto de explosi´on consta de un ´unico punto o un conjunto discreto de puntos (explosi´on puntual), por ejemplo para ut= ∆u+up con p > 1, [CM]. En otras situaciones ´este se trata de un subconjunto propio del dominio espacial de la misma dimensi´on (explosi´on regional), por ejemplo para ut= ∆um+um, con m > 1, se sabe que existen soluciones explotando en una bola, [CPE1], o del espacio entero (explosi´on global), como sucede para ut= ∆(um) + upcon (1 < p < m), ver [SGKM]. M´as a´un, si consideramos soluciones radiales a ut= ∆u+up, es f´acil construir un ejemplo con 1 Mayte P´erez-Llanos, Julio D. Rossi conjunto de explosi´on que sea una esfera, B(u) = {|x|=r}. As´ı pues, hasta el momento tenemos como posibles conjuntos de explosi´on: puntos aislados, el espacio entero, bolas y esferas. Como demostraremos existen otros muchos conjuntos de explosi´on diferentes. Por ejemplo, podemos encontrar soluciones cuyo conjunto de explosi´on es un segmento, B(u) = [0, c]× {0}, en R+×R={x1>0} × R(v´ease Figura 1). En general, dados NyM, dos dimensiones cualesquiera, podemos construir un subconjunto compacto, K⊂RN +, de dimensi´on Ny una soluci´on de un problema parab´olico en RN +×RMcuyo conjunto de explosi´on sea B(u) = K× {0}, o, de forma m´as general, B(u) = K× {y1, ..., yk}para cualquier conjunto de puntos dado {y1, ..., yk} ∈ RM. Para construir dichos ejemplos proponemos estudiar soluciones autosimilares del siguiente problema parab´olico, combinando el operador doblemente no lineal en RN +={xN>0}(con p > 2 y m > 0 como par´ametros) y el operador p-laplaciano en RM, en el espacio producto RN +×RM, con una reacci´on no lineal en la frontera que produce la explosi´on, es decir,      (um)t=∇x(|∇xu|p−2∇xu)+∆yum,en RN +×RM×(0, T), −|∇xu|p−2∂u ∂xN =up−1,sobre ∂RN +×RM×(0, T),(1) donde x∈RN +,y∈RM,∇x(|∇xu|p−2∇xu) denota el operador p−laplaciano en la variable xy ∆yues el laplaciano usual en la variable y. Como casos particulares de (1) tenemos que si m= 1 la ecuaci´on se transforma en ut=∇x(|∇xu|p−2∇xu) + 4yu, esto es, una combinaci´on de los operadores p-laplaciano y laplaciano. Si no consideramos la variable yen (1), nos enfrentamos a la descripci´on del comportamiento asint´otico de las soluciones que explotan del problema parab´olico      (um)t=∇(|∇u|p−2∇u),en RN +×(0, T), −|∇u|p−2∂u ∂xN =up−1,sobre ∂RN +×(0, T).(2) En el an´alisis de los problemas de explosi´on los perfiles autosimilares se utilizan para estudiar el comportamiento asint´otico de una soluci´on a una ecuaci´on parab´olica cerca del tiempo de explosi´on, ver, por ejemplo [GK1, GK2]. Es frecuente que la forma de la soluci´on en la variable espacial cerca de la explosi´on se asemeje a un perfil autosimilar, [CPE1, GV2, GK2]. Si consideramos una soluci´on de (2) de la forma u(x, t) = (T−t)−1/(p−2)v(x, t), es de esperar que la soluci´on rescalada v(x, t) converja a medida que t%Ta un perfil estacionario. Para el caso N= 1 (esto es, (2) en un intervalo) citamos a [FPL], donde los autores demuestran que el fen´omeno de explosi´on regional aparece debido a la existencia de perfiles autosimilares de soporte compacto. N´otese que el rescale previo preserva la variable espacial original. Este hecho significa que el conjunto de explosi´on de la soluci´on est´a directamente relacionado con el soporte del perfil. Cuando tratamos el problema (1) consideraremos soluciones autosimilares de la forma u(x, y, t) = ϕ(x)ψ(y, t).(3) 2 Conjuntos de explosi´on de dimensi´on menor en el semiespacio 0 0.5 1 1.5 −10 −5 0 5 10 0 10 20 30 40 50 60 x u(x,y,0) y 0 0.5 1 1.5 −10 −5 0 5 10 0 2 4 6 8 10 x 1011 x u (x,y,t), t~T y Figura 1: Evoluci´on en el tiempo de una soluci´on del problema (1) en R+ 2, de la forma u(x, y, t) = ϕ(x)ψ(y, t). Si ues una soluci´on de (1) de la forma (3) obtenemos que ϕyψdeben resolver los siguientes problemas el´ıptico y parab´olico, respectivamente,      ϕm=∇(|∇ϕ|p−2∇ϕ),en RN +, −|∇ϕ|p−2∂ϕ ∂xN =ϕp−1,sobre ∂RN +,(4) y (ψm)t= ∆ψm+ψp−1,en RM×(0, T).(5) Obs´ervese que la ecuaci´on anterior escrita para e ψ=ψmno es sino la ecuaci´on del calor con una fuente dada por el t´ermino e ψ(p−1)/m, cuyas soluciones son globales si p−1≤m. Dado que nuestro inter´es reside en identificar el conjunto de explosi´on de u, consideraremos p−1> m en lo que sigue. El conjunto de explosi´on de una soluci´on u(x, y, t) de la forma (3) est´a dado por B(u) = supp(ϕ)×B(ψ), donde B(ψ) es el conjunto de explosi´on de ψ. Se sabe que B(ψ) se trata de un conjunto finito de puntos, gen´ericamente un ´unico punto. As´ı pues, para encontrar el conjunto de explosi´on que queremos, B(u), tenemos que determinar el soporte de ϕ. En una dimensi´on espacial ´este es expl´ıcito, ya que (1) se reduce a un problema de E.D.O., v´ease [FPL]. Para extender el resultado de existencia de un perfil de soporte compacto ϕ, a varias dimensiones espaciales, surgen nuevas dificultades. Si N≥2 la condici´on de borde impide elegir ϕcomo una funci´on radial, no siendo posible reducir (4) a una E.D.O. No obstante, podemos buscar soluciones que sean radiales en las variables tangenciales, esto es, denotando x∈RN +por x= (x0, xN), x0∈RN−1,entonces ϕverifica ϕ(x0, xN) = ϕ(|x0|, xN).(6) 3 Mayte P´erez-Llanos, Julio D. Rossi Llegados a este punto, recordemos que por resultados bien conocidos, la existencia de tales soluciones de soporte compacto de ∇(|∇ϕ|p−2∇ϕ) = ϕαen todo RN, es posible si y solamente si α+ 1 < p, ve´ase [PS]. Lo que indica que nuestra hip´otesis m+ 1 < p tambi´en resulta natural en este sentido. Resultados principales. Establezcamos a continuaci´on el principal resultado de este trabajo. Teorema 1 Existe una soluci´on de (4) no negativa y no trivial de soporte compacto, cumpliendo (6). M´as a´un, toda soluci´on ϕ∈W1,p(RN +)de (4) no negativa y no trivial, es de soporte compacto y radial en las variables tangenciales en el sentido (6). Observamos que el problema de unicidad excepto traslaciones en las variables tangenciales (x1, ..., xN−1) de soluciones de soporte compacto de (4) continua abierto. Una vez realizado este an´alisis, se deducen de forma sencilla algunos corolarios concernientes al problema (1). Corolario 1.1 Toda soluci´on de (1) no negativa y no trivial, explota en tiempo finito si 1<(p−1)/m < 1 + 2/M. As´umase que ves una soluci´on global no negativa. Como ves una soluci´on a (1) su soporte en xse expande (siendo la totalidad del espacio en y) y finalmente cubre el soporte de cualquier soluci´on autosimilar u(x, y, t) = ϕ(x)ψ(y, t). La prueba concluye utilizando argumentos de comparaci´on, usando que toda soluci´on de explota si 1 <(p−1)/m < ps, siendo ps= 1 + 2/M el exponente de Fujita. Corolario 1.2 Existe una soluci´on de (1) cuyo conjunto de explosion est´a compuesto por una cantidad arbitraria de componentes conexas de dimensi´on N. De hecho, consideraremos una soluci´on de la forma (3) con un perfil cuyo conjunto de explosi´on B(ψ) est´e compuesto por kpuntos, {y1, ..., yk}. El conjunto de explosion de u, consistir´a en kcopias disjuntas del soporte de ϕ, esto es, B(u) = ∪k i=1K× {yi}. M´as a´un, conjeturamos que tales soluciones autosimilares introducidas anteriormente, muestran el comportamiento asint´otico de cualquier soluci´on de (1) cerca de su tiempo de explosi´on. Subrayemos que nuestro estudio puede ser asimismo aplicado a situaciones m´as generales, tales como, imponer condiciones de borde tambi´en en la variable yo tratar ecuaciones de tipo medio poroso. 2. Un problema auxiliar. Comenzamos nuestro an´alisis planteando para R > 0 suficientemente grande el siguiente problema          ∇(|∇uR|p−2∇uR) = (uR)m,en B+ R, −|∇uR|p−2∂uR ∂xN = (uR)p−1,sobre Γ1, uR= 0,sobre Γ2, (7) 4 Conjuntos de explosi´on de dimensi´on menor en el semiespacio donde B+ Rdenota B(0, R)+={x, ||x|| < R, xN>0}y Γi,i= 1,2 las fronteras ∂B+ R∪ {xN= 0}y∂B+ R∪ {xN>0}respectivamente. Trataremos de encontrar soluciones no triviales de (7) en un marco variacional natural. Consideremos el espacio W={u∈W1,p(B+ R) verificando u|Γ2= 0}con la norma ||u||W=ZB+ R |∇u|p. Obs´ervese que la desigualdad de Poincar´e’s se aplica tambi´en a funciones que se anulan en una parte no trivial de la frontera del dominio. Entonces, k kWes equivalente a la norma usual de W1,p en W. Minimizando el funcional JR(u) = m+ 1 pÃZB+ R |∇u|p−ZΓ1 up! ÃZB+ R um+1!p/(m+1) sobre W, probamos el siguiente resultado. Ve´anse en [FBR] argumentos similares. Proposici´on 1 Para todo Rsuficientemente grande JRalcanza un m´ınimo en W. M´as a´un, existe un minimizante no trivial que es soluci´on d´ebil de (7). Comenzamos demostrando que, para Rgrande, existe una constante K(R) tal que ´ınf u∈W, u6=0 JR(u)≥ −K > −∞, con lo que dicho m´ınimo existe. Adem´as, aplicando JRaθ1,R, la autofunci´on asociada al primer autovalor λ1(R) (con Rsuficientemente grande, tal que λ1(R)<1) del siguiente problema        ∇(|∇θ|p−2∇θ) = 0,en B+ R, −|∇θ|p−2∂θ ∂xN =λθp−1,sobre Γ1, θ= 0,sobre Γ2, vemos que ´ınf u∈W, u6=0 JR(u)≤JR(θ1,R)<0,(8) lo cual descarta que el minimizante sea trivial. Finalmente, por homogeneidad, multiplicando el minimizante por una constante adecuada, obtenemos una soluci´on no trivial de (7). Las siguientes estimaciones nos ser´an de gran utilidad a lo largo de todo el trabajo. Como veremos m´as tarde, ser´an asimismo aplicables a las soluciones del problema (1). Lema 1 Sea Rsuficientemente grande. Entonces, si uRes un minimizante no negativo de JR, existe una constante Cindependiente de Rtal que kuRkLm+1(B+ R)≤C, kuRkL∞(B+ R)≤Cyk∇uRkL∞(B+ R/2)≤C. 5 Mayte P´erez-Llanos, Julio D. Rossi La primera estimaci´on es consecuencia de (8) y de la equaci´on (7)1, mientras que las restantes estimaciones se infieren de la teor´ıa general de regularidad, v´ease [T]. Demostramos que es posible comparar dos soluciones de (7) a pesar de la condici´on de contorno tipo Neumann, siempre que la medida de la region de dicho borde sea suficientemente peque˜na. Es decir, establecemos un principio de comparaci´on para el problema        ∇(|∇ω|p−2∇ω)−ωm= 0,en Ω ⊂RN +, ω= 0,sobre ∂Ω∩ {xN>0}, −|∇ω|p−2∂ω ∂xN =ωp−1,sobre ∂Ω∩ {xN= 0}, (9) que constituye una pieza clave en varias partes del presente estudio. Lema 2 Sea Ω⊂RN +un dominio abierto y acotado, con frontera Lipschitz. Supongamos que ωi∈W1,p(Ω), i = 1,2son sub y super soluciones acotadas del problema (9), respectivamente. Si la medida N−1dimensional del conjunto ∂Ω∩ {xN= 0}verifica µ(∂Ω∩ {xN= 0})< δ para δ0> δ > 0peque˜no, entonces (ω2−ω1)≥0en Ω. Multiplicamos las desigualdades que cumplen ωi, i = 1,2 por h(ω2−ω1), siendo h(x) = −m´ın{0, x}. Tras integrar por partes utilizando la condici´on de borde y las desigualdades del Lema anterior obtenemos C1(p)ZΩ |∇h(ω2−ω1)|p−ZΩ (ωm 2−ωm 1)h(ω2−ω1) ≤C2ÃZ∂Ω∩{xN=0} h(ω2−ω1)p∗!2/p∗³µ(∂Ω∩ {xN= 0})´1−2/p∗ , donde p∗≡p(N−1) N−pdenota el exponente cr´ıtico para la inmersi´on de la traza de Sobolev. Es f´acil ver que, si µ(∂Ω∩ {xN= 0}) es suficientemente peque˜no, la ´ultima integral puede absorberse en la primera. Este hecho implica que h(ω2−ω1)≡0 en Ω y el principio de comparaci´on queda probado. Es en esta prueba donde interviene el hecho de que el exponente psea mayor que 2. Aplicando el m´etodo de los planos m´oviles, (v´ease [GNN]) demostramos: Teorema 2 Sea uRuna soluci´on de (4). Entonces uRsatisface (6). Es m´as, uR(|x0|, xN) es decreciente en |x0|yxN. Este resultado lo probamos aplicando repetidamente el principio de comparaci´on del Lema 2 a uRyuλ R(x) = uR(xλ), donde por xλdenotamos la reflexi´on del punto xcon respecto a cierto plano apropiado. 3. Existencia de una soluci´on de soporte compacto Las propiedades de simetr´ıa y crecimiento junto con el principio de comparaci´on probados en la secci´on anterior, nos permitir´an probar la primera afirmaci´on del Teorema 1. Proposici´on 2 Sea uRuna soluci´on de (7) cumpliendo (6). Para Rsuficientemente grande m´ax x∈supp(uR)|x|< R. 6 Conjuntos de explosi´on de dimensi´on menor en el semiespacio Comenzamos probando que uRest´a compactamente soportada en la variable xN. Utilizando las estimaciones del Lema 1 deducimos que, para cierto R1≤R, uR(x0, R1)≤1,∀x0.(10) Podemos pues comparar con ω=β³(R2−xN)+´p p−(m+1) ,(11) una supersoluci´on de soporte compacto en xNdel problema      ∇(|∇ω|p−2∇ω) = ωm,en {xN> R1} ∩ B+ R, ω(R1) = 1,en {xN=R1} ∩ B+ R, ω= 0,en {xN≥R2} ∩ B+ R, para cierto R2< R. A continuaci´on vemos que el soporte de uRest´a acotado en la direcci´on de x0. Procediendo como en (10) se sigue que uR(x0, xN)≤ε, ∀x0tal que |x0|=R3,∀xN>0. Tomemos x0∈ {xN= 0}. Probamos que para |x0|yRsuficientemente grande, uR≤φ, siendo φuna funci´on que se anula en un peque˜no entorno de x0, verificando adem´as lo siguiente: ∇(|∇φ|p−2∇φ)≤φm,en Ω ∩ {xN>0}, −|∇φ|p−2∂φ ∂xN ≥φp−1,sobre ∂Ω∩ {xN= 0}, ε:= ´ınf ∂Ω∩{xN>0}φ > 0, donde Ω = B(x0, r0), con 0 < r0¿1. N´otese que x0puede ser cualquiera de los puntos en ∂BR3+r0∩ {xN= 0}, y en consecuencia uRse anula en un entorno de este conjunto. La monoton´ıa de uRen |x0|y en xNfinaliza la demostraci´on. Este resultado nos provee de una soluci´on de soporte compacto de (4). Es m´as, de hecho, toda soluci´on ϕ∈W1,p(RN +) no negativa y no trivial de (4), es de soporte compacto y radial en las variables tangenciales. Utilizando que ϕ∈W1,p(RN +) y la continuidad H¨older del gradiente de ϕ, v´ease [T], demostramos Lema 3 Si ϕ∈W1,p(RN +)satisface (4) entonces kϕkLm+1(RN +)≤C, kϕkL∞(RN +)≤Cyk∇ϕkL∞(RN +)≤C. Las estimaciones anteriores nos permiten deducir que l´ımR→∞ supRN +\B+ Rϕ= 0.De este hecho se sigue que ϕ≤ωen {xN> R1}, con ωde la forma (11). Con t´ecnicas similares a las ya descritas vemos que ϕest´a acotada en x0. Una vez probada la compacidad del soporte de ϕ, argumentando como en el Lema 2 se obtiene f´acilmente la propiedad de simetr´ıa (6). 7 Mayte P´erez-Llanos, Julio D. Rossi Agradecimientos Financiado por MTM2005-08760-C02-02 (Espa˜na), ANPCyT PICT 5009, UBA X066 and CONICET (Argentina). Referencias [BB] C. Bandle and H. Brunner. Blow-up in diffusion equations: a survey. J. 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