La modelación de la descomposición genética de una noción matemática. Explicando la práctica del profesor desde el punto de vista del aprendizaje potencial en los estudiantes

E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007, pp. 5-39 5 Fecha de recepción: 1 de julio de 2007. La modelación de la descomposición genética de una noción matemática. Explicando la práctica del profesor desde el punto de vista del aprendizaje potencial en los estudiantes José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar Resumen: En este trabajo introducimos la idea “modelación de la descomposición genética de una noción” para explicar la práctica del profesor de matemáticas desde el punto de vista de la construcción del conocimiento matemático (aprendizaje) que parece potenciar en los estudiantes. Esta idea se usa para analizar la práctica de dos profesores de matemáticas de bachillerato (16-18 años) cuando introducen el concepto de derivada. El análisis permite identificar los principios que fundamentan la práctica del profesor. Finalmente se reflexiona sobre la complementariedad de la idea de “modelación de la descomposición genética de una noción” en relación con las diferentes aproximaciones generadas en educación matemática dirigidas a explicar la práctica del profesor. Palabras clave: Práctica del profesor, mecanismo de construcción, aprendizaje, modelación de la descomposición genética, derivada. Abstract: In this paper we introduce the construct “modelling of the genetic decomposition of a notion” to explain mathematic teacher’s practice from the point of view of construction of mathematical knowledge (learning) that seems to develop in the students. This construct is used to analyse two teachers’ teaching when introducing the notion of derivative to high school students (16-18 years). The results of the analysis allowed characterizing the principles on which teacher draw on his/her practice. Finally it is meditated about the complementarity of the idea of “modelling of the genetic decomposition of a notion” in relation to the different approaches generated in mathematical education directed to explain the teacher’s practice. Keywords: Teacher’s practice, mechanism of construction, learning, modelling genetic decomposition, derivative. 6 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática DIfEREntES MAnERAS DE ApRoxIMARnoS AL AnáLISIS DE LA pRáCtICA DEL pRofESoR La importancia de las investigaciones sobre práctica del profesor ha sido señalada y abordada por numerosos investigadores desde distintos enfoques teóricos, con el objeto de describir y proponer modelos que permitan explicarla (Llinares, 2000; Escudero y Sánchez, 1999a, 1999b, 2002; Franke et al., 2007; Laborde y PerrinGlorian, 2005; Ponte y Chapman, 2006; Schoenfeld, 1998; Simon et al., 2000). Desde la teoría antropológica de lo didáctico Barbé et al. (2005) señalan que las maneras de enseñar (las praxeologías didácticas) son de naturaleza espontánea y que es posible describir lo “práctico”, pero que hay dificultad para abordar lo que justifica la componente teórica, ya que no hay modelos didácticos teóricos suficientemente desarrollados. La generación de un modelo didáctico teórico que justifique una determinada práctica del profesor de matemáticas es, desde este punto de vista, uno de los objetivos de la investigación centrada en la práctica del profesor. Por otra parte, desde un enfoque sociocultural de la práctica, la actividad del profesor viene dada por la manera en la que éste crea las condiciones para que los estudiantes se introduzcan en una comunidad de práctica matemática. Desde este punto de vista, resulta de interés identificar la manera en la que los profesores usan y justifican los instrumentos de la práctica para conseguir su objetivo, ya que permite determinar la manera en la que usa y emplea el discurso para conseguir ese objetivo (Llinares, 2000; Meira, 1998). Desde planteamientos cognitivos, la práctica del profesor “incluye no sólo lo que los profesores hacen, sino también lo que piensan sobre lo que hacen y sus motivaciones para actuar de esa manera” (Simon et al., 2000, p. 581) englobando sus ideas sobre las matemáticas, el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas (Simon et al., 2000; Tzur et al., 2001). Desde este punto de vista, se resalta el hecho de que es posible relacionar los objetivos de aprendizaje y las actividades del profesor a través de la caracterización de “trayectorias hipotéticas de aprendizaje”. Estas trayectorias hipotéticas de aprendizaje permiten al profesor realizar predicciones sobre la manera en que los estudiantes pueden aprender al realizar las tareas (Simon, 1995). Por otra parte, Schoenfeld y sus colaboradores (Schoenfeld, 1999; Schoenfeld et al., 1999) proporcionan modelos de las acciones y decisiones de los profesores en el aula para poder describir y explicar la enseñanza en contexto. El modelo cognitivo propuesto considera el conocimiento, las creencias y los fines del profesor como aspectos relevantes. El modelo presupone que durante la práctica se activan determinadas metas, cono- E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 7 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar cimientos y creencias que guían la toma de decisiones del profesor en el aula. Desde esta perspectiva, se considera relevante caracterizar los planes de acción del profesor, lo que acontece en el aula y la manera en la que el profesor espera que se desarrolle la lección (“imagen de la lección”) (Schoenfeld et al., 1999). La relación entre la práctica del profesor y la manera de entender el aprendizaje de los alumnos ha sido subrayada de diferentes maneras en las distintas aproximaciones y con diversos grados de explicitación. Desde este punto de vista, esta línea de investigación puede avanzar en la medida en la que el análisis de la práctica del profesor se vincule en cierta medida a una determinada manera de entender el aprendizaje de los estudiantes. Así, por ejemplo, se pretende a través de la idea de “trayectoria hipotética de aprendizaje” (Simon et al., 2000) o la idea de “rutas cognitivas” (Robert y Rogalsky, 2005). Sin embargo, en este momento es necesario seguir avanzando en la articulación de aproximaciones a la interpretación de la práctica del profesor de matemáticas que expliciten claramente cómo se entiende la manera en la que los estudiantes construyen el conocimiento matemático. Es decir, la manera de interpretar la práctica del profesor desde el aprendizaje potencial que puede generar en sus estudiantes. En este ámbito es en el que proponemos, en este trabajo, el instrumento teórico “modelación de la descomposición genética”, en el sentido de que explicita más claramente el modelo usado para explicar el aprendizaje de los alumnos cuando se modela la práctica del profesor. En este sentido, la investigación realizada (Gavilán, 2005) tiene como foco de atención la práctica del profesor y se subraya la necesidad de generar modelos teóricos que ayuden a entenderla. Esta línea de investigación intenta complementar otras iniciativas que se centran en describir la eficacia de determinadas aproximaciones a la instrucción considerando el nivel de logros de los estudiantes, así como aquellas investigaciones que tienen como foco el desarrollo de materiales curriculares considerando un determinado modelo de aprendizaje de los estudiantes. La importancia de esta línea de investigación radica precisamente en asumir que la práctica del profesor no es una “variable transparente” en el desarrollo de los procesos de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas. LA noCIón DE pRáCtICA DEL pRofESoR y EL ApREnDIzAJE MAtEMátICo La práctica del profesor la vemos “como el conjunto de actividades que genera cuando realiza las tareas que definen la enseñanza de las matemáticas y la 8 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática justificación dada” (Llinares, 2000, p. 110). Para la realización de las tareas, el profesor recurre a un conjunto de instrumentos, como son los problemas que propone, el discurso que potencia en el aula, los materiales didácticos que puede usar, los medios tecnológicos, etc… Por otra parte, cuando un profesor realiza su labor en el aula, tiene un objetivo: “que sus estudiantes construyan conocimiento matemático”. Por tanto, el análisis de la práctica del profesor debe considerar la manera en la que parece potenciar la construcción de conocimiento matemático en sus estudiantes. Este significado de la idea de práctica hace hincapié en la relación entre la enseñanza y el aprendizaje. Sin embargo, esta línea de investigación no asume que, una vez descrita una determinada práctica del profesor, ésta pueda garantizar un nivel determinado de eficacia en los estudiantes. Precisamente el hecho de que las interacciones en el aula impliquen autores (profesores y estudiantes) con unos determinados instrumentos (los problemas) en un contexto fijado (el aula) subraya el aspecto social del fenómeno que se quiere estudiar. Es decir, el objetivo no es identificar unas determinadas prácticas que aseguren que los alumnos aprenderán de una determinada manera, sino comprender por qué un profesor se comporta de la manera en que lo hace y qué influye en las decisiones que toma. Lo que esta investigación asume es que es el conocimiento y las concepciones del profesor, tanto de las matemáticas como del proceso de aprendizaje, lo que determina sus acciones. Incluso cuando debe manejar determinados dilemas en la enseñanza que lo llevan a tomar decisiones que conllevan realizar acciones con las que puede no estar completamente identificado. Con estas referencias previas, es necesario explicitar, como investigadores, qué estamos entendiendo cuando hablamos de “comprensión de los conceptos matemáticos” o “aprendizaje matemático”. Necesitamos describir qué se va a entender por estos términos en el análisis realizado. Una manera de entender la construcción del conocimiento matemático en el aula es a través del modelo apos (Asiala et al., 1996) que considera distintas maneras de conocer los conceptos matemáticos (acción-proceso-objeto-esquema) y diferentes mecanismos de construcción de éstos (interiorización, encapsulación, coordinación…). Las distintas relaciones entre los dos componentes del modelo (concepciones-formas de conocer y mecanismos de construcción) se organizan en la descomposición genética del concepto. Para Dubinsky y colaboradores (Asiala et al., 1996, p. 7) la descomposición genética de un concepto es “un conjunto estructurado de construcciones mentales que pueden describir cómo puede desarrollarse el concepto en la mente de un individuo”. Estos autores subrayan la idea de mecanismos constructivos para describir la manera en la que se desa- E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 9 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar rrolla el concepto. En Dubinsky (1996) podemos encontrar una amplia caracterización de los elementos teóricos del modelo apos. LA MoDELACIón DE LA DESCoMpoSICIón GEnétICA DE unA noCIón MAtEMátICA Entendemos la práctica del profesor desde lo que permite al profesor ayudar a que los estudiantes construyan conocimiento matemático. La perspectiva sociocultural de la práctica y el modelo de desarrollo de la comprensión (apos) serán nuestros referentes teóricos para articular la aproximación adoptada. Desde el enfoque sociocultural, utilizamos la noción de “instrumentos de la práctica” usados por el profesor para constituir una comunidad de práctica matemática en el aula. Por otra parte, desde el modelo apos, utilizamos la noción “mecanismo de construcción de conocimiento” y la idea de descomposición genética de un concepto. A partir de la consideración conjunta de la idea de instrumento de la práctica y de la descomposición genética, caracterizamos la “modelación de la descomposición genética de una noción/concepto” como una idea que nos permite explicar la práctica del profesor, pero no necesariamente la relación entre la práctica y un determinado nivel de éxito en los estudiantes. Consideramos en este trabajo que una noción matemática se puede componer de distintos conceptos. Por ejemplo, la noción de derivada se puede considerar conformada a través de tres conceptos, derivada de una función en un punto (f ´(a)), función derivada (f ´(x)) y operador derivada (D(f)). En esta situación, “la modelación de la descomposición genética de una noción matemática (o concepto)”, realizada por el profesor, es una descripción de los mecanismos de construcción que el profesor modela, de la secuencia de estas modelaciones y de la organización de las relaciones que establece entre dichos mecanismos a través del uso de diferentes instrumentos de la práctica. Una modelación de un mecanismo de construcción “es una forma de dar significado, desde la perspectiva de los investigadores, a las acciones del profesor, a sus decisiones sobre qué problemas utilizar, a cómo gestiona el contenido matemático en el aula y a las justificaciones que proporciona” (Gavilán et al., 2007, p. 160). La “modelación de la descomposición genética de un concepto o noción matemática” nos permite hablar de las características de la práctica del profesor que favorecen los procesos de construcción potencial del conocimiento en los estudiantes y de lo que puede estar justificando dichas características. 10 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática Los instrumentos de la práctica del profesor (modos de representación y los elementos matemáticos del concepto), así como la manera en la que el profesor los usa, nos permiten como investigadores identificar la modelación de algún mecanismo de construcción. Las características del “uso que hace el profesor de los instrumentos de la práctica” viene dado por las relaciones que establece más o menos explícitamente entre las ideas matemáticas cuando las presenta a sus estudiantes, y por las conversiones entre los modos de representación que utiliza con el objetivo de que los estudiantes lleguen a construir los significados pretendidos, independientemente del modo de representación utilizado (Duval, 1996). En este sentido, cuando un profesor “hace y dice cosas” en el aula, crea las condiciones para que sus estudiantes puedan construir los significados del concepto. Así, el profesor no “construye las formas de conocer de los conceptos”, sino que pone los medios —crea el contexto— para que sus estudiantes construyan los significados y desarrollen los mecanismos de construcción pretendidos. Éste es el motivo por el que intentamos describir la manera en la que el profesor “modela mecanismos de construcción de conocimiento”. A partir de esta caracterización de la idea “modelación (del profesor) de la descomposición genética” planteamos las siguientes cuestiones: • ¿Podemos identificar distintas “modelaciones de la descomposición genética de un concepto/noción” realizadas en la práctica? • ¿Es posible identificar a través de la modelación que hace el profesor de la descomposición genética características de su práctica con poder explicativo (principios que fundamentan la práctica)? MEtoDoLoGíA ParticiPantes y contexto En esta investigación participaron dos profesores de enseñanza secundaria (Juan y María) con varios años de experiencia. Estos profesores mostraron su conformidad a utilizar su imagen y gestionaron las autorizaciones para disponer de las imágenes de sus estudiantes, con la finalidad de realizar esta investigación. Todos los nombres que aparecen son seudónimos con el objeto de garantizar la confidencialidad y anonimato de los participantes (compromiso ético de los investigadores). La investigación se centró en el análisis de la práctica del pro- E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 11 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar fesor durante la introducción de la noción de derivada a estudiantes de bachillerato (16-18 años). Los estudiantes sólo habían abordado con anterioridad las ideas relativas a límite y continuidad. La práctica del profesor engloba distintos escenarios, pero aquí consideramos la práctica que se desarrolla ligada al aula. Hay dos fases o momentos clave para el desarrollo de la práctica: momento de la planificación y momento de la gestión del proceso de enseñanza y aprendizaje (Llinares 2000; Schoenfeld, 1998; Simon y Tzur, 1999). La unidad didáctica realizada por Juan abarcó 17 clases de 45 minutos cada una. Este profesor organizó su enseñanza a través de la resolución de problemas y no usaba libro de texto. Algunas de las clases fueron impartidas en el aula de informática (las clases núm. 3, núm. 9 y núm. 16). Se utilizó software de dos tipos, primero el programa de geometría dinámica Cabri-Géomètre II en la clase núm. 3 con dos archivos realizados por el profesor y puestos a disposición de los estudiantes; y después se utilizó el programa, Funciones para Windows, en las clases núm. 9 y núm. 16. A María se le grabaron las 12 clases que comprendía la unidad didáctica, con una duración media de 50 minutos cada una. María seguía un libro de texto Bachillerato, Matemáticas I del que planteaba la mayoría de las tareas para sus alumnos. Todas las sesiones de la unidad didáctica de María se desarrollaron en el aula ordinaria de clase. Ambos grupos eran de primer curso de bachillerato (16-17 años). recogida de datos Se han recogido datos tanto de la fase de planificación como de la fase de gestión de la enseñanza. Realizamos una entrevista sobre la planificación de la unidad didáctica antes del comienzo de la unidad didáctica que tenía como objetivo obtener información sobre la planificación realizada. Esta entrevista era semiestructurada con un guión previo. En la primera parte indagamos sobre el grupo de estudiantes y sus conocimientos previos. La segunda parte de la entrevista trató sobre la unidad didáctica: contenidos, tipo y secuencias de tareas y objetivos; recogimos también la planificación que había realizado el profesor. En la tercera parte se plantearon cuestiones que incidían sobre cómo el profesor entendía que los alumnos llegaban a dotar de significado a los conceptos matemáticos. Por ejemplo, para indagar sobre los significados gráficos de la derivada de la función en un punto, f ´(a), preguntábamos, ¿utilizas el cálculo de secantes, de pendientes de secantes para las derivadas? 12 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática En la fase de gestión, grabamos en video todas las sesiones de clase, y realizamos varias entrevistas con el profesor a lo largo del desarrollo de la unidad didáctica, a fin de obtener información sobre cómo estaba viendo el profesor el desarrollo de las lecciones. En las grabaciones disponíamos de una cámara con micrófono de ambiente y un micrófono inalámbrico que llevaba el profesor, quien grababa su discurso y las interacciones con los estudiantes cuando estaban en el radio de acción del micrófono. A fin de “familiarizar” a los estudiantes con la presencia de la cámara y un observador, antes de comenzar la unidad didáctica realizamos una grabación de prueba. En ambos casos las sesiones de clase grabadas en video fueron transcritas en su totalidad. Se recogieron los materiales utilizados por los profesores, tales como colecciones de problemas y ficheros de ordenador para Cabri-Géométre II. El uso de diferentes fuentes de datos permitió que nuestra investigación se ajustara al criterio de “triangulación” de las fuentes tal y como es planteado por Schoenfeld (2001). análisis de los datos El análisis tenía como objetivo identificar la modelación de la descomposición genética de la noción de derivada realizada por el profesor, a fin de describir y caracterizar su práctica e inferir los principios que fundamentan dicha práctica. El análisis se realizó en tres niveles: un primer nivel de naturaleza descriptiva y dos niveles de naturaleza inferencial (inferir la modelación de la descomposición genética y, a partir de ella, inferir las características de la práctica que la fundamentan). El primer nivel de análisis tenía como objetivo hacer una “inmersión” en los datos y “reducir” el volumen de datos (Powell et al., 2003). Esta primera aproximación a los datos nos permitió tener una visión global de la práctica del profesor y relacionar lo que el profesor había dicho en la entrevista de planificación y en las entrevistas durante el desarrollo de las lecciones con lo que sucedía en el aula. El segundo nivel de análisis tenía como objetivo inferir la modelación de la descomposición genética de la noción de derivada realizada por el profesor. Para ello se identificaron las modelaciones de los diferentes mecanismos constructivos, su secuencia, y las relaciones entre ellos. Este segundo nivel de análisis se llevó a cabo en dos fases. En un primer momento (fase 1), se identificaban “segmentos de enseñanza” en el sentido de Leinhardt (1989), entendidos como partes de la lección reconocibles por el profesor y los estudiantes. Escudero E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 13 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar (2003) señala que los segmentos se pueden caracterizar con base en los objetivos de aprendizaje pretendidos por el profesor. En un segundo momento (fase 2), considerábamos agrupaciones de segmentos (identificados en la fase 1) en los que era posible identificar aspectos de la práctica del profesor que nos permitieran inferir la modelación de otro mecanismo de construcción. Fue necesario realizar estas agrupaciones de segmentos para dar cuenta del carácter sistémico de la enseñanza de las matemáticas que se puso de manifiesto en uno de los profesores. La identificación y caracterización de cada segmento de enseñanza fue consensuado por al menos dos investigadores, cumpliendo de esta manera un criterio de “triangulación” propuesto por el grupo rumec (Asiala et al., 1996) referido a la convergencia en las interpretaciones de los investigadores sobre un hecho. El resultado de este análisis es un informe que caracteriza la práctica del profesor desde la perspectiva del investigador y da cuenta de la modelación de la descomposición genética de la noción de derivada realizada por el profesor. Los datos reunidos en este segundo nivel de análisis se usan para construir “viñetas” (Gavilán, García y Llinares, 2007). Una viñeta es un informe de la práctica del profesor que señala el momento cronológico en el que sucede la acción del profesor y se compone, esencialmente, de los datos utilizados (generalmente de diferentes fuentes) y de la inferencia realizada por los investigadores sobre la modelación del mecanismo de construcción identificado en la práctica y apoyado en la revisión de la literatura sobre investigaciones que utilizan apos. En definitiva, una viñeta da cuenta en la investigación de los datos y de su análisis de manera conjunta, es una “manera” de contar el análisis de los datos a partir de los datos empíricos. Desde las viñetas, el tercer nivel de análisis pretende inferir los principios que fundamentan la práctica del profesor y, por tanto, pueden ayudar a explicarla. Esta manera de proceder permite identificar características de la práctica del profesor que trascienden lo específico del caso concreto, e intenta producir conocimiento relevante para comprender la idea de “práctica del profesor”. Este tercer nivel de análisis es el que justifica por qué no se utilizan los niveles de desempeño de los alumnos para relacionarlos con la caracterización de la práctica realizada y sí se intenta inferir a partir de esta caracterización cómo las creencias y las concepciones del profesor (maneras de entender el contenido matemático como objeto de enseñanza-aprendizaje) parecen justificar las decisiones tomadas. Posiblemente podría desarrollarse en este punto otra línea de investigación, optando en este momento metodológico por la comparación de la caracterización de la práctica con los logros de los estudiantes. 20 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática La descripción de este segmento de la enseñanza de Juan permite entender su actuación cuando intenta hacer visible a sus estudiantes el paso a una x general. Es el intento de hacer concebir a los estudiantes las acciones anteriores como proceso. Para ello, la introducción de f ´(x) para f(x) =x2 se hace usando el lenguaje. J: ¿Seremos nosotros capaces de encontrar la forma algebraica de esto? <Refiriéndose a la tabla de valores de f ´(x)>. Si yo pongo aquí x <sustituyendo el 2 por x> ¿qué tengo que poner aquí? o dicho de otra manera ¿a quien será igual f ´(x)? O lo que es lo mismo, la función derivada de x2. Sería esto mismo, pero en vez de poner 1 y 2, aquí en vez de poner 4 y en estas cosas, pues poner x, y ahora a se tiene que ir acercando a x, o sea, va a ser esto mismo que estamos haciendo aquí, […] […] ¿Cuánto valdrá (x2–a)/(x–a) cuando a se está acercando a x? Estamos en un punto cualquiera x, calculamos la ordenada y ahora cogemos un punto próximo a él, a, calculamos la ordenada, calculamos la tasa de variación media. O lo que es lo mismo la expresión algebraica de una función nueva que se va a llamar función derivada.... esto va a ser x+x, que vamos a tener 2 veces x, luego esto va a ser, esto cuando yo ponga aquí x, que voy a poner aquí 2 veces x, esta va a ser la función derivada ¿eh? En el discurso generado, Juan intenta colocar en el mismo momento lo particular y lo general. Es la estrategia que usa para poder crear el contexto en el cual sus estudiantes pueden estar en condiciones de generar un mecanismo de interiorización. En estos momentos podemos interpretar que, al colocar lo general y lo particular juntos, Juan modela el mecanismo de interiorización de f ´(x). Nosotros utilizamos la caracterización de dicho mecanismo recogida en la literatura, Dubinsky (1996, p. 35), para apoyar esta interpretación: Una concepción proceso permite al sujeto pensar en una función como algo que recibe una o más entradas, o valores de las variables independientes, que realiza una o más operaciones sobre las entradas y que regresa las salidas, o los valores de las variables dependientes, como resultado. El gráfico siguiente (gráfico 3) describe la gestión del contenido matemático, E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 21 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar reseñado en este apartado, realizada por Juan mediante el uso de los instrumentos de la práctica (modos de representación y elementos matemáticos). Gráfico 3 Mecanismos de encapsulación de f ´(a) e interiorización de f ´(x) los PrinciPios que fundamentan la Práctica de Juan La descripción de la práctica de Juan, realizada a través de la modelación de los mecanismos de construcción del conocimiento que parece potenciar en sus estudiantes, permite identificar dos “principios” que fundamentan su práctica: el uso integrado de los modos de representación analítico y gráfico como instrumentos que favorecen el proceso de construcción de los significados, y la relación explícita entre los diferentes conceptos matemáticos de la noción de derivada establecida a través de los mecanismos de construcción del conocimiento. 1. Uso integrado de los modos de representación analítico y gráfico como instrumentos para modelar los mecanismos de construcción del conocimiento sobre la derivada. Juan pretende que los estudiantes construyan el significado de f ´(a) como un objeto, integrando los significados gráficos y analíticos (interiorización analítico-gráfico y encapsulación analítico-gráfico de f ´(a)). Para ello, realiza la modelación del mecanismo de interiorización de la función derivada a través de la generalización a todos los puntos del paso al límite de la derivada de una función en un punto integrando lo gráfico y lo analítico (interiorización de f ´(x)). Tasa de variación media en un intervalo [a, b] viene dada por el cociente (f(b) -f(a))/(b -a) La derivada de una función f en el punto x = a viene dada por el límite de las tasas de variación media en los intervalos [a, x] cuando a tiende a x. Secante a una curva por dos puntos (a, f(a))(b, f(b)) tiene de pendiente (f(b) - f(a))/ (b -a) La recta tangente a un curva en el punto (a, f(a)) es el límite de las rectas secantes a la curva en los puntos (a, f(a)), (x, f(x) cuando a tiende a x (con el límite de las pendientes). La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a)) La derivada de una función f es una funxión que viene por los pares de puntos f (x)-f (a) x - a (x, lim ) a Æ x Analítico Analítico Analítico Gráfico Gráfico 22 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática El operador derivada se construye a partir de la función derivada, mediante el cálculo de funciones derivadas como límite, que es una generalización a todas las funciones (encapsulación de f ´(x)) y su generalización para obtener las reglas de derivación (interiorización límite-regla). La inversión de un proceso es otro proceso, Juan modela la inversión de D(f) apoyándose en los significados analíticos y gráficos (inversión analítico-gráfico). Las modelaciones de desencapsulaciones de f ´(a) y f ´(x) aparecen para vincularle los significados analíticos y gráficos (interiorización analítica e interiorización gráfica de f ´(a)…). 2. Organización y relación de los distintos conceptos. Juan establece relaciones explícitas entre los conceptos que conforman la noción de derivada, f ´(a), f ´(x) y D(f). Para ello, Juan construye de manera explícita la idea de función derivada a partir de la idea de derivada de una función en un punto. Establece la relación entre f ´(a) y f ´(x) a través de las modelaciones de los mecanismos de encapsulación y desencapsulación de f ´(a) con la modelación de la interiorización de f ´(x). Establece la relación entre f ´(x) y D(f) con las modelaciones de los mecanismos de encapsulación de f ´(x) e interiorización de D(f). A partir de la función derivada, Juan intenta que los estudiantes den significado al operador derivada. La inversión del operador derivada, le permite considerar la integración indefinida (antidiferenciación) como un proceso. Juan organiza los distintos conceptos que conforman la derivada de manera que, para construir una idea, se apoya en las construidas previamente haciendo “visibles” las relaciones que se establecen como un objetivo explícito. Juan subraya explícitamente las relaciones entre ideas matemáticas como una manera de dotar de significado a los conceptos. En resumen, podemos caracterizar la práctica de Juan por el énfasis dado a la idea de relación y a la necesidad de visualizar los procesos de aproximación sucesiva que constituyen los pasos al límite. Las diferentes maneras de visualizar la idea de relación en la práctica de Juan vienen dadas por: relaciones entre significados en distintos modos de representación y relaciones entre los diferentes conceptos que conforman la noción de derivada. las características de la Práctica de maría vista desde la modelación de la descomPosición genética de la noción de derivada La enseñanza de la noción de derivada desarrollada por María se apoya en la consideración aislada de tres conceptos matemáticos: E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 23 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar • la derivada de una función en un punto, f ´(a) • la función derivada f ´(x), y • la idea del operador derivada, D(f). Para mostrar las características de la práctica de María usaremos dos viñetas. En la primera se identifica la presentación de acciones para f ´(a) sin la modelación del mecanismo de interiorización. La segunda viñeta muestra cómo modela María el mecanismo de interiorización de f ´(x) a partir de una regla de f ´(a) pero sin referencia explícita a su significado. Énfasis sobre las reglas: modelación de acciones para el cálculo de la derivada de una función en un punto en contexto analítico y gráfico sin relaciones explícitas El segmento recogido en esta viñeta sucede en la segunda clase de la unidad didáctica. María proporciona a los estudiantes una receta para calcular la derivada de una función en un punto que ella denomina “la regla de los cuatro pasos”. Operador derivada ILR Interiorización Inv ag, Inv g Inversión Función derivada Interiorización Encapsulación De-encapsulación Relación entre Mecanismos de construcción Relación entre Mecanismos de construcción de conceptos diferentes IRL = Interiorización límite-regla Invag = Interiorización gráfica Invag = Interiorización analítico-gráfico Eg = Encapsulación gráfica Eag = Encapsulación analítico-gráfico Dg = Desencapsulación gráfica Dag = Desencapsulación analítico-gráfico Ia = Interiorización analítica Ig = Interiorización gráfica Iag = Interiorización analítico-gráfico Derivada de una función en un punto Dg, Dag De-encapsulación Eg, Eag Encapsulación Ig, Ia, Iag Interiorización Gráfico 4 Modelación de la descomposición genética de la derivada realizada por Juan 24 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática Para María esta manera de obtener el valor numérico de f ´(a) es un aspecto relevante de la noción de derivada. Esta manera de actuar potencia la forma de conocer la acción que se caracteriza por la existencia de detalles precisos de los pasos de la transformación que se concretan como pasos dados por una receta (Asiala et al., 1996; Breidenbach et al., 1992). Las tareas planteadas son las siguientes: 1. Hallar la derivada de y =x2 en el punto x =2. 2. Halla la derivada de las siguientes funciones en x =1, utilizando la definición de derivada: a) f(x) =3x2 - 1 b) f(x) =(2x +1)2 c) f(x) =3/x d) f(x) =1/(x +2) Para resolver la primera tarea, cálculo de f ´(2), María proporciona un procedimiento-receta que permite obtener la derivada de una función en un punto utilizando la definición de límite. Primero da el algoritmo y luego lo aplica a la tarea propuesta. El diálogo en el aula es el siguiente: M (María): Tenemos que hallar esto, este límite <límite de cocientes incrementales>. Bien, yo, para que no os perdáis os voy a dar cuatro pasos a seguir, ¡eh! Para que en el cálculo no os perdáis. Como tengo que calcular este límite, y antes de este límite, tengo que calcular esta fracción y antes de esta fracción tengo que calcular f(a + h) y f(a) ¿no? Vamos a hacerlo paso a paso ¿vale? 1º vamos a calcular f(a + h), en este caso f(2 + h), 2º vamos a calcular f(2 + h) - f(2) ¿no? Primero calculamos esto, después calculamos la resta, ¿después qué tenemos que calcular? E: la h. M: ¡Ah! no, porque la h es un número que tiende a cero. Antes de calcular el límite, ¿qué tendremos que calcular? Todo esto, hacer el cociente éste, ¿no? Tercero (f(a + h) - f(2))/h, ¿en último lugar? E: El límite. M: El límite, el límite cuando la h tiende a cero de f(a + h)… E: ¿La a no sería 2? E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 25 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar La manera de proceder de María pretende hacer visible a los estudiantes que el cálculo del valor numérico f ´(a) se lleva a cabo mediante la aplicación de un procedimiento dado en cuatro pasos y que para los estudiantes es suficiente seguirlo paso-a-paso. Dicho procedimiento viene expresado en el modo analítico. María desarrolla parte de este segmento de enseñanza, centrado en proporcionar de manera clara el procedimiento-receta que sus estudiantes deben seguir, pidiendo a sus estudiantes que repitan la regla de los cuatro pasos. María considera que, de esta manera, los estudiantes llegan a saber lo que es el valor de la derivada de una función en un punto determinado x =a [f ´(a)]. El planteamiento realizado por María no apoya la reflexión del estudiante sobre estas acciones repetidas, por lo que no constituye el contexto para modelar el mecanismo de interiorización de f ´(a), quedándose en el nivel de una acción para los significados de f ´(a). La importancia dada por María a esta manera de obtener f ´(a) a través de la receta “regla de los cuatro pasos”, diferenciándolo de la función derivada, es señalada por ella en la entrevista de planificación. Además yo voy a insistir mucho en este curso, por ser la primera vez en que los niños ven las derivadas, la derivada no de funciones... la función derivada, sino en la derivada en un punto, en un punto. Ahí es donde quiero que apliquen la definición ¿eh? a través de la regla de los cuatro pasos, es decir, que f(x +h), f(x +h) - f(x) etc., entonces pero en un punto concreto. Con posterioridad, en la tercera clase de la unidad didáctica, María presenta una tarea en un contexto gráfico subrayando el papel de una regla para obtener el valor de la derivada de una función en un punto (véase gráfico). La regla, que María proporciona a los estudiantes, viene dada por la memorización de la frase “El valor de la derivada de una función en un punto a es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en (a, f(a))”. 6 4 2 -2 2 4 f Halla f ìen los puntos de abscisas -3, 0 y 4. Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en esos puntos. 26 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática Para resolver esta tarea se utiliza una regla que da la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. En esta tarea María pide a los estudiantes que repitan varias veces la frase. La interacción característica viene reflejada en el siguiente extracto: M: Lo tenéis hasta que memorizar, lo tenéis que saber, ¿qué es la derivada en un punto? E: La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto que es igual a “a” […] M: Vale. Jorge, ¿qué es la derivada? E: La pendiente de la curva a la recta, recta tangente igual. M: A la curva. Venga, Noelia. E: La pendiente a la recta tangente a la curva en el punto x igual a “a”. M: Muy bien. Miriam. E: La pendiente de la recta tangente a la curva en x igual a a. M: ¿Qué es, Eduardo, la derivada en el punto -3? E: Pues la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto a = -3. M: Luego, fíjate en el dibujo, vamos a ver; vamos hallar la recta, la tangente en el punto -3. Nos viene incluso dibujada la recta pendiente, la roja, nos viene en rojo; ¿Cuál es la pendiente de esta recta?, ¿cómo hallábamos la pendiente de esa recta? Sería -3, sería 3/1. María y los estudiantes aplican la regla que calcula el valor numérico de f ´(a) y calculan la pendiente de la recta tangente formando un triángulo rectángulo y usando la definición de tangente de un ángulo. M: ¿Cuál sería la derivada en el punto 0? La roja, en el punto 0, ¿estás viendo la recta que tiene dibujada, la tangente que tiene dibujada la curva? <en la gráfica de la tarea>. ¿Qué inclinación tiene? es decir, tengo que fijarme en otro punto para ver la inclinación, para saber la pendiente, porque la pendiente, tiene que formar el triángulo; ese rectángulo que veíamos para hallar el cateto opuesto partido por el cateto contiguo que era la pendiente, ¿no? Por el punto que pasa por el punto. E: (2, 7). E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 27 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar M: ¿Qué pendiente tiene, Ana? ¿Qué pendiente tiene esa recta? ¿Todavía no la has visto? ¿Cuánto? Es cateto opuesto. Vamos a ver el triángulo, es éste, ¿ves? 1, 2 y 3 ¿no? y 1 y 2; 3/2, tres medios, es la derivada a la curva. María y los estudiantes van repitiendo la regla para obtener el valor numérico f ´(a) en los siguientes puntos. María repite las acciones dadas por la regla, sin construir los contextos que favorezcan la reflexión, que es una característica del mecanismo de interiorización (Dubinsky, 1996). Esta manera de actuar subraya la ausencia de intentos de modelar mecanismos de construcción de los significados vinculados a estos conceptos matemáticos, centrándose únicamente sobre las acciones (recetas). María no establece explícitamente ninguna relación con las acciones modeladas en las sesiones anteriores centradas en determinar el valor del cociente incremental en contexto analítico. Modelación del mecanismo de interiorización de f ´(x) La situación descrita a continuación sucede en las clases tercera y cuarta de la unidad didáctica. María modela la función derivada como acción, construyendo una tabla de valores y centrándose en cada momento en un solo punto. Los valores se obtienen en cada punto por medio de la regla de los cuatro pasos. A continuación María generaliza a todos los puntos la manera de obtener los valores. En la literatura, considerando el concepto de función (para referirnos a la función derivada), Dubinsky (1996) considera que, cuando se conoce la función como acción, poco puede hacerse además de evaluarla en puntos concretos, la función como proceso se caracteriza de la siguiente manera: Una concepción proceso permite al sujeto pensar en una función como algo que recibe una o más entradas, o valores de las variables independientes, que realiza una o más operaciones sobre las entradas y que regresa las salidas, o los valores de las variables dependientes, como resultado (Dubinsky, 1996, p. 35). Por tanto, el hecho de usar la tabla de valores, construida aplicando una regla, potencia la construcción de la función derivada como acción al tomar puntos concretos. En este sentido la modelación del mecanismo de interiorización de la 28 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática función derivada que hace María potencia en los estudiantes la función derivada como proceso en un contexto analítico. La generalización a todos los puntos en los que calcula el límite al tomar una variable genérica x es un indicio de una manera de modelar el mecanismo de interiorización de la función derivada. En la entrevista de planificación María indicaba: A través de la regla de los cuatro pasos, es decir, que f(x +h), f(x +h) -f(x) etc... Entonces... pero en un punto concreto, que lo haga muchas veces, que se habitúen a ese cálculo, y después haremos, no ya demasiadas veces, haremos para una función ya concreta… Lo que es la función derivada, es decir, ya no vamos a determinar en un punto, sino vamos a hacerlo para cualquier valor de x, entonces le podemos hacer un ejemplo. Fíjate incluso como se la quiero decir. Les quiero decir por ejemplo, la derivada de x2 ya la hemos hallado. Esta función la hemos hallado en el punto 2, en el punto 3, en varios puntos ¿no? incluso si quiero: ¡venga! Vamos a hacer una lista, vamos a hacer una tabla de valores ¿no? cuando la x vale 2, ¿Cuánto vale la f ´(x)? Cuando la x vale 3, ¿Cuánto vale? Cuando la x vale... Es una función, entonces si es una función incluso la podemos representar. Pues entonces, a eso le podríamos llamar una función y además la función derivada… Bueno, en vez de hacer punto a punto… y ahora ¿Cuál va a ser su fórmula? A todo esto ¿Cuál va a ser la expresión algebraica de esa función? En esta declaración de los objetivos pretendidos, María modela en su discurso la construcción de f ´(x) como proceso al generar dicha función desde la “generalización” de un conjunto de casos particulares. En este momento María parece asumir que f ´(a) es una regla que debe aplicarse en varios puntos y luego, usando la tabla y “viendo” la sucesión de valores obtenidos, intentar establecer la expresión de f ´(x). Para que el “paso a lo general” sea “visible” a los alumnos, exige que el ejemplo sobre el que se construye la situación sea conocido. De ahí que use f(x) =x2 y espere que la sucesión de valores que se obtiene con la aplicación de la regla a distintos valores de x le permita “mostrar” que corresponden a valores de la función f(x) =2x. El discurso del aula establece de manera oral la relación entre el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto, el valor del cociente incremental y el valor de la derivada de la función en un punto. E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 29 José María Gavilán Izquierdo, María Mercedes García Blanco y Salvador Llinares Ciscar M: El otro día estuvimos viendo f ’(2), la calculábamos utilizando la regla de los cuatro pasos ¿cuánto salió f ’(2)? E: 4. M: Igual lo podríamos haber hecho f ’(0), en vez de haberlo hecho con f ’(2), lo podríamos haber hecho con el 0 ¿verdad? de la misma manera ¿y qué pensáis que hubiera salido? E: 0. M: 0, lo sabéis porque va, sabéis ya. Si hubiéramos hecho en el 1, ¿qué hubiera salido? E: 1. M: No, si lo hubiéramos hecho en el 1. E: 2. M: Hubiera salido 2; y si lo hubiéramos hecho en el 1; quién no sepa el porqué, bueno, no importa, es si lo hubiésemos hecho de la misma manera. E: 2. M: Hubiese salido 2, etcétera. Es decir <completa la tabla de valores x|f ´(x) >, en el punto 3 me hubiera salido 6; en el... 6, hubiese salido 12, etcétera ¿eh? Si yo hubiese hecho en cada uno de esos puntos, me hubiese ido saliendo eso <se refiere a esos valores>. Resulta que la derivada, la derivada, la derivada, se puede considerar como una función, la que a cada valor, a cada número les va a asignar un valor. […] La derivada, se puede considerar como una función que a cada punto de la curva, le asigna el valor de la pendiente. E: Tangente. M: De la tangente en ese punto. Esa función ¿qué es una función? la que a cada x le asigna una y ¿no? bueno, pues, repito otra vez, la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, bien, pues esa función, esa función, es la función derivada, ésa es una función que se llama función derivada. Entonces, ¿cómo se obtiene? es decir, cómo se me da a mí la función y cómo paso a lo que se llama su función derivada. Le asigna su pendiente, su pendiente es 2x, esta sería la función derivada de ésta <la función f(x) =x2> ¿de dónde sale eso, de que esta 2x es la función derivada de esta x2? pues sale de aplicarle la regla de los cuatro pasos que vimos ayer, pero en vez de a un punto, a la función; es decir, acordaros de la regla de los cuatro pasos. 36 E ducación M atEMática , vol. 19, núm. 2, agosto de 2007 La modelación de la descomposición genética de una noción matemática intervenciones de formación que ayuden a modificar la modelación de la descomposición genética, “completándola” en el sentido que vayan desarrollando las investigaciones en educación matemática. REfEREnCIAS BIBLIoGRáfICAS Asiala, M., A. Brown, D.J. Devries, E. Dubinsky, D. Mathews y K. Thomas (1996), “A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics Education”, en J. Kaput, A. Schoenfeld y E. 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