Introducción al análisis del comportamiento de grietas a fatiga bajo cargas de amplitud variable

49 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE GRIETAS A FATIGA BAJO CARGAS DE AMPLITUD VARIABLE J. Domínguez * y J. Zapatero** *universidad de Sevilla Departamento de Ingeniería Mecánica y de los Materiales E.T.S.I.I., Camino de los Descubrimientos, s/n, 41092 Sevilla **universidad de Málaga Departamento de Ingeniería Mecánica E.T.S.I.I., PI. El Ejido, s/n, 29013 Málaga Resumen. Este trabajo presenta una introducción al comportamiento de grietas a fatiga ante cargas de amplitud variable, y muestra algunos métodos para la predicción de la velocidad de crecimiento de grietas por fatiga ante cargas de amplitud variable. Se analiza brevemente un aspecto importante, característico del compm1amiento de los metales ante cargas de este tipo, como es el efecto de secuencia. Se dedica especial atención al cien-e de grieta y su efecto sobre el crecimiento. Así mismo, se presentan algunos modelos numéricos empleados en la simulación del efecto de secuencia y se muestran algunos métodos de análisis del crecimiento de grietas ante cargas de amplitud variable. Entre los métodos presentados se incluyen, tanto procedimientos ciclo a ciclo, como otros con tratamiento global de la vida a fatiga, empleando técnicas estadísticas. Abstract. This paper shows an introduction to fatigue crack growth under variable amplitude loading. Sorne methods to predict the fatigue crack growth under variable amplitude loading in metals are brietly described. First of all it is analysed a very important aspect that makes different the fatigue crack growth in metals under variable amplitude Joading. It is the sequence effect. attention is paid to crack closure and its effect fatigue crack growth. Sorne numerical models to simulale the sequence effect are also considered. Finally, some methods to analyse the fatigue crack growth under irregular and random loading, either cycle or global statistical methods, are described. l. INTRODUCCIÓN Los datos de crecimiento de por de que se dispone normalmente para la de los materiales se han obtenido en ensayos con carga de amplitud constante. Sin embargo, las condiciones a que está sometida una estructura real son distintas a las de los ensayos. Las cargas aplicadas sobre las estructuras son normalmente de amplitud variable y la de las veces aleatorias. Para el análisis de la integridad estructural de estos sistemas es por tanto, realizar predicciones de crecimiento de grietas ante este de cargas. Para entre otras cosas, será necesario los datos obtenidos con cargas de constante al caso de las cargas reales de normalmente variable. del reales de carga a obtenidos con carga de amplitud constante no es un problema sencillo. Por un si las cargas son aleatorias o éstas deberán definirse estadísticamente. durante el crecimiento de una el incremento de de carga no es al que se para las mismas cargas con constante. Dicho incremento depende, no sólo de los valores max¡¡no mínimo del ciclo y de la de sino también de las valores medios de Jos ciclos previos de carga: se produce lo que se denomina efecto de secuencia o de interacción. Para predecir el comportamiento de una estructura, el primer paso será, por tanto, solicitaciones a que va a estar sometida y de cargas de las mismas características que durante la vida del sistema de análisis. debe incluir ciclos de distintos niveles en la misma proporción en que se espera van a en la realidad. Además, si los efectos de secuencia son estos ciclos deben ordenarse en secuencias que los mismos efectos que la En muchos casos, para reducir la duración del proceso de cálculo o ensayo, es imp011ante que la historia representativa produzca los mismos pero con número de ciclos muy inferior al real. Para determinados estructuras, como es el caso de 50 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) existen registros estandarizados representativos de las cargas producidas [l-4]. Éstos se emplean, unas veces de forma restringida, para determinados tipos de comparaciones de materiales o diseños posibles, y otras, de forma más general, para el análisis previo del comportamiento de los sistemas. Sin embargo, durante el proyecto y desan·ollo de un nuevo prototipo, siempre será necesario el empleo de registros específicos del sistema de que se trate. Su obtención requiere un proceso complejo, que incluye simulación y medida experimental de las cargas, así como el análisis estadístico y la manipulación de las mismas. Una descripción de las técnicas empleadas para la obtención de registros representativos de distintos tipos de procesos de carga, así como el análisis de algunos aspectos importantes a considerar durante la generación de éstos puede encontrarse en la bibliografía [5-9]. Definido el registro representativo del proceso de cargas a que estará sometido el sistema, el paso siguiente es la definición de un modelo que represente el comportamiento de una grieta ante este tipo de carga. Para un gran número de tipos de procesos de cargas con amplitud irregular, esto requiere la inclusión del efecto de secuencia en los modelos. Por ello, esta introducción al análisis del comportamiento de grietas ante cargas de amplitud variable comienza tratando diversos aspectos del efecto de secuencia. Seguidamente se describirán brevemente algunos modelos de simulación ciclo a ciclo del compmtamiento de las grietas a fatiga con cargas irregulares. Finalmente, se describirán también algunas aproximaciones al análisis del comportamiento ante cargas aleatorias mediante aproximaciones estadísticas. 2. EFECTO DE SECUENCIA En crecimiento de grietas ante cargas de amplitud constante, el efecto de secuencia se manifiesta cuando durante el proceso de carga se produce un ciclo de amplitud muy superior al resto, una sobrecarga, o un pico negativo muy inferior a los mínimos del resto de los ciclos. En esos casos se produce un transitorio en el crecimiento. A partir del ciclo diferente, la velocidad de crecimiento ante ciclos iguales a los previos será distinta. Este transitorio en el comportamiento de la grieta se mantiene durante cierto intervalo del crecimiento hasta que, de forma progresiva, la grieta vuelve comportarse como en los ciclos previos a la sobrecarga o ciclo diferente. El efecto de la secuencia de aplicación de las cargas sobre la velocidad de crecimiento de las grietas fue puesto de manifiesto a principios de los años sesenta [1 0). Diversos trabajos experimentales [11] demostraron que la aplicación de una sobrecarga origina una velocidad de crecimiento en los ciclos posteriores a ella mucho menor que la que se produce si no existe la sobrecarga. En determinadas condiciones, la sobrecarga puede llegar a detener completamente el crecimiento de la grieta [12]. Igualmente, se comprobaron transitmios en el compmtamiento cuando se aplican bloques de carga de amplitud constante, en los ciclos siguientes a los cambios de amplitud. La figura muestra esquemáticamente el comportamiento de una grieta sometida a ciclos de carga de amplitud constante cuando se aplica una sobrecarga durante el proceso. Antes de la sobrecarga, la velocidad de crecimiento es constante (da!dN)1 como corresponde a un incremento del factor de intensidad de tensiones (ó.K) constante. Al producirse la sobrecarga (ó.KoL), se produce una modificación progresiva de la velocidad de crecimiento de la g1ieta. Durante la sobrecarga e inmediatamente después de ella, con ciclos de amplitud constante iguales a los iniciales, se produce un incremento de la velocidad de crecimiento. La extensión de la grieta sobre la que se produce el aumento de velocidad y el valor de dicho incremento depende de diversos factores, entre los que sobresale el nivel de tensiones, la relación de sobrecarga roL y si las condiciones de propagación son de tensión plana o de deformación plana [13,14]. En casos de deformación plana no suele detectarse este incremento en la velocidad, o es muy reducido. Seguidamente, comienza a producirse una reducción progresiva de la velocidad de crecimiento hasta llegar a un mínimo. Dicha reducción de velocidad continúa hasta que la grieta ha crecido cierta distanciad a través de la zona plástica producida por la sobrecarga, denominada "delay distance". Este fenómeno de disminución progresiva de la velocidad durante el crecimiento posterior a la sobrecarga se denomina "delayed retardation". a Longitud de grieta Ciclos de carga Sobrecarga Figura l. Evolución de la velocidad de crecimiento por fatiga ante una sobrecarga. 51 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) Una vez alcanzado el mínimo, la velocidad de crecimiento comienza a aumentar hasta llegar de nuevo al valor previo a la sobrecarga (daldN)1, estabilizándose en dicho valor. La distancia sobre la que se producen los efectos transitorios de la sobrecarga /:,.a*, hasta estabilizarse la velocidad de crecimiento, depende de diversos factores, entre los que se incluyen: estado de tensiones, !:,.K, R, r0¿, microestructura del material y condiciones ambientes [15]. Incluso, en una probeta de determinado espesor, la extensión de crecimiento sobre la que afecta la grieta puede ser distinta en el centro, donde predominan condiciones de deformación plana y en la superficie, donde el estado es de tensión plana [13]. Otros aspectos destacables del efecto de secuencia producido por sobrecargas son: a. Valores de roL suficientemente altos, normalmente entre 2 y 3, pueden llegar a producir la detención de la grieta. b. Varias sobrecargas consecutivas aumentan el efecto de retardo. En estas circunstancias se reduce también el "delayed retardation", pudiendo llegar a desaparecer [ 16]. c. El aumento del valor de R produce generalmente una reducción del efecto de retardo. Valores negativos de R reducen también el efecto de secuencia, siendo menor la influencia de la sobrecarga a medida que disminuye R [ 17]. d. El incremento de longitud producido por la sobrecarga es superior al generado por el mismo !:,.K con carga de amplitud constante. e. En el caso de grietas pequeñas, el efecto de secuencia indicado es menos acusado. Incluso, dependiendo de la longitud de la grieta y condiciones de carga, puede desaparecer por completo. Cuando durante un proceso de carga de amplitud constante se aplica una descarga con el mínimo inferior a los mínimos de amplitud constante, se produce el efecto contrario: la velocidad de crecimiento de la grieta aumenta [18]. Este efecto de aceleración es menor que el de retardo producido por una sobrecarga. Su importancia dependerá del valor de la tensión en el valle de carga aplicado. Igualmente, se ha comprobado que un valle inferior a los del resto de los ciclos aplicado inmediatamente después de una sobrecarga, reduce el efecto de ésta, en mayor o menor medida, dependiendo de los valores de ellas [19]. Si este valle está inmediatamente antes de la sobrecarga, puede no tener influencia o puede reducir el efecto que produce la sobrecarga, dependiendo de las condiciones de carga. Estos efectos se representan en la figura 2. Si, después de un bloque de ciclos de carga de amplitud constante se aplica otro de menor amplitud, se produce un efecto de retardo muy similar al generado por varias sobrecargas consecutivas (Figura 3a) [20]. Cuando los bloques de carga tienen igual valor máximo pero distinto valor mínimo, el efecto de secuencia es menor que el producido cuando lo que varía es el máximo. Dependerá de los valores de !:,.K y de los mínimos de ambos bloques. 2 G.l ·¡:: O> G.l -o -o ::J O> e o .....J Número de ciclos N Figura 2. Esquema del comportamiento de una grieta ante diversos tipos de carga. Cuando las cargas del primer bloque son menores que las del segundo, el efecto es el contrario, produciéndose durante los primeros ciclos del segundo bloque una velocidad de crecimiento mayor de la que ocurre con las mismas cargas y amplitud constante. La aceleración del crecimiento de la grieta se estabiliza en un menor número de ciclos que en los casos de efecto de retardo, volviendo la velocidad de crecimiento a los valores CO!Tespondientes a cargas de amplitud constante (Figura 3b) [21]. Sin embargo, considerando el incremento de longitud de grieta necesario para producir la estabilización, este es similar al requerido en casos de sobrecargas o bloques con amplitud decreciente. (~~)2 (~~)1 a a L'lK¡ t:,.K2 a b Figura 3. Crecimiento de la grieta ante bloques de carga. 52 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) 3. MECANISMOS ASOCIADOS CON EL COMPORTAMIENTO TRANSITORIO. Desde que se observó la existencia del efecto de secuencia, se han propuesto diversos mecanismos como responsables del mismo. En 1967, Rice [22] propuso el redondeado del fondo de la grieta ("crack tip blunting") como responsable del retardo. Posteriormente, Elber [23] introdujo el término cierre de grieta, denominando así al cierre de grieta producido por deformación plástica, al que consideró responsable del efecto de secuencia. Posteriormente se han propuesto otros mecanismos que participan también en la generación del efecto de secuencia, como son la det1exión o la bifurcación de la grieta, producida por una sobrecarga, la rugosidad superficial debida a la irregularidad en el crecimiento, el cierre de grieta inducido por el <;)xido formado en la superficie, el endurecimiento por deformación, etc. Una descripción de estos mecanismos y discusión sobre la importancia de cada uno de ellos en la producción del efecto de secuencia puede verse en la bibliografía [21]. A continuación se describen brevemente los que más afectan en el caso de materiales metálicos. 3.1. Cierre de grieta inducido por plasticidad. Como se ha indicado anteriormente, el concepto de cieiTe de grieta fue introducido por Elber [23] para explicar ciertas anomalías en el comportamiento de una grieta sin carga. Mientras una grieta ideal sometida a carga positiva cierra cuando se descarga totalmente, las grietas producidas por fatiga cierran durante la descarga antes de llegar a ser nula la tensión. Igualmente, durante la carga posterior, la grieta no se abre hasta que el valor de la misma alcanza determinado valor. Esta diferencia de comportamiento puede explicarse considerando la plasticidad que se forma en el frente de la grieta durante el proceso de crecimiento por fatiga (Figura Cuando la grieta crece, el frente va dejando detrás de sí una zona de material deformado (estela plástica), con deformación residual de tracción. La deformación residual acumulada en dicha zona actúa como una cuña, generando sobre la grieta unas tensiones residuales de ró\1TlnrPc1rm Elber, midiendo la evolución del desplazamiento entre dos puntos P-P' durante un ciclo de carga, en una con una grieta de fatiga (Figura determinó las tensiones a las que se producía la ape11ura completa de la durante la carga y aquella a la que se producía el cierre durante la La Sb muestra esquemáticamente la relación carga aplicadadurante una descarga. Pueden básicamente tres zonas. Entre A y la está abierta y el comportamiento es lineal. Entre B y el cierre de la con variación de la debido al cambio de Entre C y la totalmente es lineal rigidez es igual a la de una probeta sin grieta. La tensión correspondiente al punto B, en el que comienza el contacto entre las supe1ficies se denomina tensión de cierre Con carga nula, 80 es el desplazamiento residual producido por la estela plástica. G riela de fatiga ~....v-Zona plástica Material formado plástica m ente (estela plástica) Zona plástica Envolvente de zonas plásticas previas Figura 4. Estela plástica creada al crecer grieta. Grieta P' (a) S A 8 5. Gráfico tensión-desplazamiento en una Durante la deformaciones carga, es la muy curva tensión aplicadasimilar. Debido las cada ciclo y al durante el 53 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) cierre, las curvas de carga y descarga no coinciden exactamente, produciéndose un ciclo de histéresis. El valor de la tensión a la que la grieta se abre completamente durante la carga se denomina tensión de apertura de grieta Sop· Debido al aplastamiento plástico que se produce entre las superficies de la grieta en la zona próxima al borde de la misma durante el cierre, Sop y Sc1 no coinciden exactamente. No obstante, a efectos prácticos suele considerarse que son idénticas. Elber, considerando que sólo puede producirse propagación de la grieta durante la parte del ciclo de carga en que la grieta está totalmente abierta, propuso el empleo de la Sop como tensión de referencia para definir un rango efectivo de tensiones I'!.S~ 1 r y un rango efectivo del factor de intensidad de tensiones Me 11 : (1) (2) Midiendo las Sop en ensayos de amplitud constante y empleando t-.Ke 1 r en la ecuación de crecimiento: (3) obtuvo un buen ajuste de los resultados experimentales generados con carga de amplitud constante y diferentes valores de R=(K 111 ¡,/K 111 ,u), en probetas de aleación de aluminio 2024-T3. Mientras que la representación de da/dN-I'!.K produce diferentes curvas en el rango de aplicación de la ecuación de Paris, los mismos datos de crecimiento representados en función de t-.K 4r producen una sola curva. En casos de aplicación de una sobrecarga o bloques de cargas con dos amplitudes distintas, Elber comprobó que Sop variaba de forma que permitía considerar el cierre de grieta como uno de los principales causantes del efecto de secuencia. Al producirse una sobrecarga durante un proceso de carga con amplitud constante, justo delante del borde de la grieta se genera una zona plástica mayor con deformaciones plásticas residuales de tracción mayores (figura 6). Al volver a aplicarse los ciclos de menor amplitud, inicialmente, el redondeado del borde producido por la sobrecarga hace que Sop disminuya inicialmente, aumentando la velocidad de crecimiento de la grieta respecto a los valores producidos antes de la sobrecarga. Cuando la grieta crece a través de esta zona plástica con mayores deformaciones acumuladas, se generan mayores presiones entre las superficies de la grieta, aumentando Sop con la consiguiente disminución de la velocidad de crecimiento [13]. Igualmente, entre dos bloques de carga, al producirse un cambio de amplitud de los ciclos se produce un cambio no instantáneo de las tensiones de cierre que permite explicar, al menos en parte, los efectos de secuencia producidos. Sobrecarga Zona plástica creada por la sobrecarga Crecimiento posterior Figura 6. Esquema de la zona plástica creada por la sobrecarga Un modelo analítico del cierre de grieta producido por plasticidad durante el crecimiento estacionario por fatiga ha sido propuesto por Budiansky y Hutchinson [24]. Este modelo, que supone comportamiento elasto-plástico, en condiciones de tensión plana, permite entender la formación de las zonas plásticas monótona y cíclica, permite comprender también el efecto de R y del endurecimiento por deformación en las tensiones de cierre. Su uso para determinar las tensiones de cierre en casos reales, presenta el inconveniente de que se limita al caso de tensión plana y que no es aplicable a condiciones carga de amplitud variable. Se han propuesto otros modelos para simular el comportamiento de una grieta creciendo en distintas condiciones y determinar así las tensiones de cierre [25-29]. En general, puede decirse que el cierre de grieta producido por plasticidad es el principal causante de los efectos de secuencia [13,21]. Sin embargo, no permite explicar toda la variedad de comportamiento producido con distintos materiales, condiciones ambientes, niveles y tipos de carga y longitudes de grieta. Otros aspectos relativos al cierre de grieta pueden encontrarse en la bibliografía [30]. 3.2. Bifurcación y deflexión de la grieta. En algunas aleaciones metálicas con tendencia a deformación por acumulación de dislocaciones en planos de deslizamiento, durante una sobrecarga e inmediatamente después de ella puede producirse una bifurcación o una deflexión de la grieta [ 15,31 ,32], volviendo posteriormente, después de cierto avance, a la dirección de propagación previa a la sobrecarga. La variación de orientación de la grieta y el avance a lo largo 54 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) de una trayectoria inclinada hace que el crecimiento se produzca en modo mixto, con combinación de los modos I y II, produciéndose una reducción del factor de intensidad de tensiones. Diversos análisis permiten decir que la reducción puede ser del orden del25% [15]. Algunos autores, a la vista de la reducción del factor de intensidad de tensiones y de los resultados de los ensayos de crecimiento después de sobrecargas, consideran que la deflexión de la grieta es uno de los causantes del efecto de secuencia. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que, mientras unas veces se detecta retardo durante el avance de la grieta con trayectoria inclinada [31], otras la grieta crece a mayor velocidad durante el avance con esta trayectoria, comenzando el retardo una vez que vuelve a la trayectoria original, perpendicular al eje de carga [33]. En este último caso, no está clara la razón por la que, habiéndose producido una reducción del factor de intensidad de tensiones factor se produce una aceleración en el crecimiento de la grieta. Fleck [13], a partir del análisis de diversos resultados experimentales obtenidos por él mismo y otros autores, llega a la conclusión que este fenómeno no es una causa dominante de retardo cuando los valores de !'!.K son altos. Con niveles bajos de M, si se produce deflexión de la grieta, ésta puede ser una de las causas de retardo, conjuntamente con otros mecanismos como el cierre producido por plasticidad u otras formas de cierre que se describen posteriormente. En cualquier caso, la aparición o no de deflexión o bifurcación de una grieta con una sobrecarga depende de diversos factores, entre los que se incluye el nivel de la sobrecarga, el de las tensiones previas a ésta, la microestructura y el estado de tensiones. 3.3. Cierre de grieta inducido por óxido. La observación de ciertas anomalías en el crecimiento de las grietas en determinados ambientes con valores de !'!.K próximos al umbral de crecimiento por fatiga, llevó a diversos investigadores [34,35] a plantear la posibilidad de que se produjera un efecto de cien·e de grieta debido a la oxidación de las superficies de la misma. En efecto, la presencia de una atmósfera corrosiva produce la oxidación de las nuevas superficies generadas durante el crecimiento de la grieta (figura 7a). Con valores de !'!.K próximos al umbral de crecimiento por fatiga, la apertura de la grieta en modo mixto, la rugosidad de las superficies y el cierre de grieta inducido por plasticidad producen una continua rotura y nueva formación de la capa de óxido mediante un mecanismo de fretting. Las partículas de óxido desprendidas producen un efecto de cuña, aumentando el factor de intensidad de tensiones a que se produce el ciene Kc~, reduciendo el valor de I'!.Kcn' La consecuencia, de acuerdo con la ecuación (3), es una reducción de la velocidad de crecimiento. El cierre de grieta inducido por óxido se ve potenciado en determinadas condiciones, como son: ambientes corrosivos, pequeños valores de R y !'!.K, superficies de grieta rugosas, bajo límite elástico del material y cualquier otra que potencie la oxidación, contacto y deslizamiento entre las superficies [36]. Su efecto sobre la tensión de ciene y la velocidad de crecimiento de la grieta es importante para valores de !'!.K próximos al umbral y pequeños valores de R, donde es mayor el cierre producido y menor la parte de éste debida a la plasticidad; además, cualquier variación de Kop tiene mayor influencia sobre da!dN. Por ello, su efecto sobre la vida a fatiga, normalmente sólo es significativo con estas condiciones de carga. Película de óxido (a) (b) Figura 7. Cierre de grieta por óxido (a), y cierre de grieta por rugosidad. En cuanto al efecto de secuencia producido por este mecanismo, sólo se presenta adicionalmente a otros que hagan descender la velocidad de crecimiento a valores próximos al umbral después de una sobrecarga. En estos casos, al producirse la sobrecarga, la disminución de I'!.Keff a valores próximos al umbral I'!.K 111 , activa los mecanismos de crecimiento que incrementan el valor del ciene de grieta inducido por óxido [ 15]. 3.4. Cierre de grieta inducido por rugosidad. Con niveles bajos de tensión, como ocurre con niveles próximos al umbral, la zona plástica tiene dimensiones menores que una dimensión microestructural característica, por ejemplo, el tamaño de grano. En estas condiciones, el crecimiento de grieta se suele producir a lo largo de un solo sistema de deslizamiento: mecanismo típico del crecimiento de grietas pequeñas (estado I de crecimiento de grieta por fatiga). Esta forma de crecimiento da origen a una morfología altamente inegular en la superficie que, conjuntamente con el desplazamiento de las superficies de la grieta en modo II y el desajuste entre las inegularidades de las supeificies (figura 7b), da origen a un aumento del valor de Kc1 [37,38]. Entre los factores que potencian el ciene inducido por rugosidad pueden citarse: zona plástica menor que el 55 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) tamaño de grano, que induce mecanismos de crecimiento por deslizamiento en un solo sistema; tamaño grande de grano y microestructura con tendencia a producir deslizamiento en un solo plano, lo que generará mayores asperezas, y deflexiones frecuentes, provocadas por bordes de grano, partículas de segunda fase o cambios bruscos de carga [36]. Este tipo de cierre de grieta, como en el caso del inducido por óxido, puede influir apreciablemente en el efecto de secuencia cuando una sobrecarga haga descender la velocidad de crecimiento a valores próximos al umbral. Entonces, se activan los mecanismos de crecimiento que incrementan el valor del cierre inducido por rugosidad de la superficie de la grieta, además de hacer mayor su valor en relación al total de las tensiones de cierre [15]. 3.5. Otras consideraciones. Los mecanismos descritos previamente son generalmente los más influyentes en metales dúctiles. Hay otros mecanismos que, en ciertos materiales, pueden también afectar al comportamiento producido después de a una variación de la amplitud de la carga. Entre ellos puede mencionarse el endurecimiento por deformación, o a veces, en determinados ambientes COITosivos, la corrosión-fatiga. En materiales no metálicos hay otros mecanismos, como es el microagrietado, la transformación de fase, etc. Respecto a los descritos en los apartados anteriores, como conclusión, pueden hacerse los siguientes comentarios: a. El cierre de grieta inducido por plasticidad es el principal responsable del efecto de secuencia producido en metales. Con niveles de carga suficientemente por encima del umbral, en materiales dúctiles, la influencia del resto de los mecanismos es normalmente despreciable. b. Si se produce deflexión o bifurcación de la grieta, su efecto sólo será apreciable con valores de !'!.K bajos. Incluso en estos casos, unas veces se produce el efecto de retardo y otras no se ha podido apreciar experimentalmente. En cualquier caso, su efecto es muy difícilmente cuantificable. c. El cierre de grieta inducido por óxido o rugosidad de la superficie solo tiene una influencia destacable cuando I'!.Keff alcanza valores próximos a I'!.Kt/,. En estos casos, una vez que el cierre producido por plasticidad ha producido la reducción de I'!.Kefi a valores próximos a I'!.K, 1 , los mecanismos citados aumentan el cierre de grieta, superponiendo su efecto al cierre plástico. Por ello, estos mecanismos pueden considerarse más una consecuencia que una causa del retardo producido por una sobrecarga. d. La cuantificación del incremento de la tensión de cierre provocada por estos dos mecanismos es difícil, aunque existen algunos modelos que intentan aproximar el incremento de tensión de cieiTe producida por estos mecanismos [38,39] e. El desfase en el retardo de crecimiento ("delay effect") observado después de una sobrecarga puede atribuirse, al menos en parte, al redondeado del frente de la grieta producido por la sobrecarga, que hace disminuir el Kop inmediatamente después de ella. Este es fácilmente observado en estados de tensión plana, pero disminuye su importancia al cambiar al estado de tensiones a situaciones próximas a deformación plana. f. En grietas pequeñas, emanando de una superficie o de un concentrador de tensiones, el cieiTe de grieta es menor que en grietas largas. A medida que crece la grieta va aumentando el cierre, hasta que, a partir de determinada longitud, se estabiliza el valor de K"P' y normalmente deja de depender de la longitud de la grieta. g. Se han propuesto muchos métodos de medida de la tensión de cierre, unos globales, basados en medidas de la flexibilidad o las deformaciones en algún punto alejado del borde de la grieta, y otros locales, que la determinan en la superficie del elemento objeto de ensayo [ 40]. 4. MODELOS DE CRECIMIENTO DE GRIETA QUE INCLUYEN EL EFECTO DE SECUENCIA. Se han propuesto numerosos modelos de crecimiento de grieta que consideran el efecto de secuencia producido en el crecimiento de una grieta cuando se aplican cargas de amplitud variable. Hay modelos tanto numéricos como analíticos o semianalíticos, basados en medidas experimentales del compmtamiento de un material específico ante diversos tipos de cargas variables. Entre ellos destacan, sobre todo por ser los más utilizados y haber servido de base para otros muchos, los propuestos por Wheeler [41] y por Willemborg [42] y los basados en el concepto de cierre de grieta, ya sean determinando la tensión de cierre mediante análisis del comportamiento del material ante la secuencia de cargas [25-28]o proponiendo una expresión aproximada de la evolución de la tensión de cierre, determinada a partir de ensayos y/o análisis numéricos [29,30]. A partir de ellos se han desarrollado otros más sofisticados. Unos permiten incluir otros efectos, como la aceleración y los efectos de cargas de compresión; otros se ajustan mejor a determinados materiales y tipos de carga; otros permiten disminuir el número de parámetros del modelo a determinar experimentalmente; o incluyen la posibilidad de tratamiento de grietas cortas; etc. [26, 43-48]. El modelo de Wheeler [ 41], parte de la ecuación de crecimiento de París o alguna de sus modificaciones. En un ciclo cualquiera, considera el efecto de retardo producido por una sobrecarga previa mediante la multiplicación por un parámetro 1/J: da = 1/J f(11K) dN (4) 56 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) Donde j{I'!.K) es la ley de crecimiento con carga amplitud constante y <jl es función de la sobrecarga, el incremento de longitud producido a partir de la misma, la tensión aplicada en el ciclo en cuestión y las características del material. En un ciclo cualquiera de carga, se define mediante la expresión: (5) Donde r; es el tamaño de la zona plástica asociada a dicho ciclo (figura 8), roL es el tamaño de la zona plástica producida por la sobrecarga, a0 es la longitud de grieta en el instante en que se produjo la sobrecarga, a; es la longitud en el instante de aplicación del ciclo en cuestión y m es un exponente obtenido experimentalmente en función del material, geometría y tipo de carga. Cuando r; + a; > a0 + roL, el valor de c/J se considera igual a la unidad. La falta de sentido físico, la dificultad para determinar experimentalmente el parámetro c/J y la existencia de otros modelos más fáciles de aplicar que producen iguales o mejores resultados, han hecho caer en desuso el modelo de Wheeler. Zona plástica de la sobrecarga Zona plástica del ciclo i Figura 8. Definición de parámetros para los modelos de retardo. El modelo de Willemborg [42] emplea un enfoque distinto. Establece la magnitud del retardo en un ciclo cualquiera i como una función del factor de intensidad de tensiones, Knm,., necesario para obtener una zona plástica de tamaño rp tal que aP =a;+ 1¡, = a0 + roL· (Figura 8). A partir de este valor, define un factor de intensidad de tensiones residual de compresión, K,., como la diferencia entre ese valor y el máximo del factor de intensidad de tensiones producido en el citado ciclo, KmiLr ;: (6) Utilizando K, define unos factores de intensidad de tensiones efectivos Ketf máximo y mínimo de cada ciclo, Knuu eJT y Kmin eff' se obtienen restando K,. de los valores Km,u;YKmini: (7) (8) Valores que serán positivos o nulos. Es decir, Knu« ~u y K 111 ; 11 eff se harán iguales a cero si se obtienen valores negativos. De acuerdo con esto, teniendo en cuenta que se resta el mismo valor a ambos factores de intensidad de tensiones, el incremento efectivo del factor de intensidad de tensiones del ciclo i a aplicar en la ecuación de crecimiento no variará: (9) haciéndolo, sin embargo, el coeficiente efectivo de asimetría del ciclo: Kmindf KmaxeJT (lO) Por tanto, el efecto de la tensión residual y del factor de intensidad de tensiones residual del modelo sobre la velocidad de crecimiento se produce a través de R~ri al aplicar una ecuación de crecimiento de la grieta que incluya el efecto del coeficiente de asimetría de los ciclos. Willemborg propuso el empleo de la ecuación de Forman: (11) Nótese que en este modelo, si a; + r; 2 aP se anula y el efecto del retardo desaparece. El modelo de Willemborg tiene la ventaja respecto al de Wheeler de no necesitar el ajuste experimental de ningún parámetro. Sólo es necesario conocer el límite de Ouencia del material,o:"'' para determinar el tamaño de zona plástica. Posteriormente al modelo original de Willemborg se han propuesto otros muchos, basados en la idea de las tensiones residuales [ 49] en los que se plantean diferentes formas de definirlas y de determinar su evolución al ir creciendo la grieta. Entre las variantes más interesantes que incluyen la posibilidad de considerar aceleración y/o efectos de sobrecargas de compresión posteriores a las de tracción, están los modelos propuestos por Johnson [45] y Chang et al. [50]. Estos, sin embargo, exigen la determinación experimental de algunos parámetros no necesarios en el modelo de Willemborg y otros derivados. Aunque estos modelos son fáciles de aplicar, la falta de sentido físico de los mismos y los errores que producen, que en muchas ocasiones son bastante mayores que los que se obtienen con modelos basados en el ciene de grieta, han hecho que su uso aplicación sea cada vez menos frecuente. 57 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) Los modelos basados en la consideración del cierre de grieta como factor fundamental para determinar los transitorios de los ciclos de carga son actualmente los más empleados en la simulación del crecimiento ante cargas de variación irregular. La ecuación de crecimiento de grieta por fatiga la expresan en función del factor efectivo de intensidad de tensiones, definido mediante la ecuación: (12) La ley de crecimiento es, por tanto: (13) donde la función f (L1K~¡¡) puede ser la ley de París, la ecuación de Forman u otra cualquiera de las generalmente aceptadas. Los primeros modelos propuestos se basan en la determinación experimental del factor de intensidad de tensiones, Kop• asociado a la tensión de apertura, sliP> con ensayos de amplitud constante y otros ensayos con una sobrecarga y con bloques de ellas, realizados para cada material. A pmtir de esos ensayos, determinan expresiones aproximadas de Kop después de una sobrecarga y su evolución después de una sobrecarga. Un ejemplo de aproximación al valor de Sop producido por cargas de amplitud constante es la propuesta por Elber [23] para el aluminio 2024-T3 con el coeficiente de asimetría de los ciclos, R, entre -0.1 y O. 7: sop ::: (o.5 +O. IR+ 0.4R2 )s/111/X (14) Otras muchas aproximaciones se han propuesto para distintos materiales [49], en unos casos distinguiendo entre las tensiones de cieiTe producidas por cargas de amplitud constante y por sobrecargas simples [51]. En cuanto a evolución de la tensión de cierre con posterioridad a la sobrecarga, de los primeros modelos fue el de Bell y Wolfman [52]. Para el transitorio entre dos bloque de ciclos de carga con valores máximos S1 y S2, proponen la siguiente expresión de variación de Sop (Figura 8): s,, "s,,,, - {s,, -s,,J[ ~: J (15) para O :s; /',a :s; rw. Donde b es un coeficiente a ajustar experimentalmente, que depende del tipo de material. Posteriormente, se han desarrollado otros modelos que incluyen procedimientos numéricos más complicados para determinación de la tensión de cierre de grieta ciclo a ciclo, con cargas de amplitud variable [26,29] Estos emplean diversas ecuaciones de crecimiento en función de /',Keff; definiendo las tensiones de cien·e y su evolución a partir de modelos simplificados del compmtamiento de la grieta. Quizás uno de Jos métodos más prometedores para la determinación de las tensiones de cierre ante cargas de amplitud variable es el denominado en inglés "strip yield model" [26,47,48], desarrollado inicialmente por Newman [26], basado en el modelo de Dugdale. Este modelo permite buenas aproximaciones incluso para el caso de grietas pequeñas [46]. Dicho método, discretizando la zona plástica del borde de grieta con elementos monodimensionales rígidoplásticos, permite obtener una aproximación de las deformaciones residuales de tracción producidas en dicha zona y en la estela plástica, y a partir de ellas, las tensiones de cierre. Una descripción más detallada de alguna de sus variantes puede verse en la bibliografía mencionada [26,46-48]. 5. MÉTODOS DE PREDICCIÓN DEL CRECIMIENTO BAJO CARGAS DE AMPLITUD VARIABLE. En la metodología para el cálculo de la evolución de una grieta ante cargas de amplitud variable deben incluirse una serie de datos básicos, tales como condiciones de carga, material, geometría de la grieta, etc. Conocidos estos datos habrá que definir una ley de crecimiento, que en general puede escribirse: da = J(L1K,R, ... ) dN (16) A partir de ella, se hará el cálculo del número de ciclos necesarios para extender la grieta desde una longitud inicial ao hasta una longitud ar, que vendrá dado por: (Jf N= J .. da - f(L1K,R, ... ) a o (17) El problema será calcular la integral anterior. Este cálculo depende del tipo de carga. Así, para el caso de carga de amplitud constante, la integración resulta directa y sólo será más o menos complicada dependiendo de la expresión del factor de intensidad de tensiones en función de la longitud de grieta. En muchos casos esta información sólo está disponible mediante tablas o gráficos, por lo que la integración habrá que realizarla de forma numérica. Con carga de amplitud variable, el proceso de integración se hace más complejo, ya que habrá que considerar la variabilidad de los ciclos de carga, la existencia de ciclos superpuestos que puede hacer necesario el uso de un método de contar ciclos y la consideración del efecto de secuencia. De forma general, los procedimientos se pueden clasificar en dos grupos: aquellos que emplean aproximaciones basadas en determinación ciclo a ciclo del crecimiento, y los que a partir de una definición estadística de las cargas, determinan el valor esperado de la vida a fatiga. 64 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL. 16 (1999) [61] Wang, G.S. y Blom, A.F., "A Strip Model for Fatigue Crack Growth Predictions under General Load Conditions", Engng Fracture Mech, Vol. 40, pp. 507-533, 1991. [62] Aliaga, D., Davy, A., y Schaff, H., "A Simple Crack Closure Model for Predicting Fatigue Crack Growth Under Flight Simulation Loading", Mechanics of Fatigue Crack Closure, ASTM STP 982, J.C. Newman, Jr. y W. Elber, Eds., pp. 491-504, 1987. [63] Nakamura, H. y Kobayashi, H., "Analysis of Fatigue Crack Closure Caused by Asperities Using the Modified Dugdale Model", Mechanics ofFatigue Crack Closure, ASTM STP 982, J.C. Newman Jr., y W. Elber, Eds., pp. 459-474, 1988. [64] Dougherty, D.J., de Koning, A.U., y Hillbwy, B.M., "Modeling High Crack Growth Rates under Variable Amplitude Loading", Advances in Fatigue Lifetime Predictive Techniques, ASTM STP 1122, pp. 214-233, 1992. [65] Barsom, J.M.,"Fatigue Crack Growth Under Variable-Amplitude Loading in Various Bridge Steels", Fatigue Crack Growth Under Spectrum Loads, ASTM STP 595, pp.217-235, 1976. [66] Sobczyk, K y Spencer, B.F., Jr., Random Fatigue: From Data to Theory, Academic Press, 1992. [67] Hudson, C.M.,"A Root-Mean_square Approach for Predicting Fatigue Crack Growth under Random Loading", Methods and Models for Predicting Fatigue Crack Growth under Random Loading, ASTM STP 748, J.B. Chang y C.M. Hudson, Eds., pp. 3-40, 1981. [68] "Round-Robin Crack Growth Predictions on Center- Cracked Tension Specimens under Random Spectrum Loading", Methods and Models for Predicting Fatigue Crack Growth under Random Loading, ASTM STP 748, J.B. Chang y C.M. Hudson, Eds., pp. 3-40, 1981. [69] Bignonnet, A., Sixou, Y. y Verstavel, J.C.,"Equivalent Loading Approach to Predict Fatigue Crack Growth under Random Loading", Fatigue Crack Growth under Variable Amplitude Loading, J. Petit, D.L. Davidson, S. Suresh y P. Rabbe, Eds., Elsevier Sci. Pub!., 1988, pp. 372-383. [70] Kam, J y Dover, W.,"Fatigue Crack Growth in Offshore Welded Tubular Joints under Real Life Variable Amplitude Loading", Fatigue Crack Growth under Variable Amplitude Loading, J. Petit, D.L. Davidson, S. Suresh y P. Rabbe, Eds., Elsevier Sci. Pub!., 1988, pp. 384-397. [71] Zapatero, J. y Domínguez, J.,"A Statistical Approach to Fatigue Crack Growth under Random Loading", Fracture Control of Engineering Structures, H.C. van Elst y A. Bakker, Eds., EMAS, 1986, pp. 889-902. [72] Zapatero, J. y Domínguez, J.,"A Statistical Approach to Fatigue Life Predictions under Random Loading", Int. J. Fatigue, Vol. 12, 1990, pp. 107- 114. [73] Veers P. S., Winterstein, R., Nelson, D.V. y Comell, C.A., "Variable- Amplitude Load Models for fatigue Damage Crack Growth", Development of Fatigue Loading Spectra, J.M. Potter y R.T. Watanabe, Eds., ASTM STP 1006, 1989, pp 172• 197. [74] Rice, J.R. y Beer, F.P.,"On the Distribution of Rises and Falls in a Continuous Random Process", J. Basic Engng, Vol. 87, 1965, pp. 398-404. [75] Lindgren, G. y Rychlik, I.,"Rain Flow Cycle Distributions for Fatigue Life Prediction under Gaussian Load Process, Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., Vol. 10, 1987, pp. 251-260. (76] Bishop, N.W.M. y Sherratt, F.,"A Theoretical Solution for the Estimation of "Rainflow" Ranges from Power Spectral Density Data", Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., Vol. 13, 1990, pp. 311-326. [77] Domínguez, J., Zapatero, J. y Moreno, B., "A Statistical Model for Fatigue Crack Growth under Random Loads Including Retardation Effects," Engineering Fracture Mechanisms, 1999 (en imprenta).