Análisis de errores en la conceptualización y simbolización de ecuaciones diferenciales en alumnos de química

ARTiCULOS Ana!Isis de errores en la conceptualizacion y simbolizacion de ecuaciones diferenciales en alumnos de quimica esumen Este articulo recoge un analisis de los errores mas frecuentes cometidos por estudiantes de Matematicas de 2° curso de la Licenciatura de Quimica (Universidad de Sevilla, Espana) en el trabajo con Ecuaciones Diferenciales (ED). Los errores se han tornado de las respuestas que los alumnos dieron a tres cuestiones relativas a ED (disefladas expresamente para este trabajo) y que recogen diferentes aspectos puramente matematicos: definir, ejemplificar y modelizar. Las respuestas Sc clasificaron atendiendo a dos criterios: segan las nociones reflejadas en la definician de ED y se& las caracteristicas de los ejemplos dados. Ademas analizamos relaciones entre ambas categorias. ldentificar y analizar errores puede ayudamos a localizar obstaculos en la formac ion de conceptos y a detectar dificultades que nuestros alumnos encuentran al realizar tareas propuestas. Abstract: In this paper, we analize the most frecuent mistakes made by Chemistry students in their second year at the University of Seville (Spain) while they are working on Differential Ecuations (DF). These mistakes were collected from the answers the students gave to a test that was prepared specifically for this purpose. The test had three questions focused on three purely mathematical aspects: defining, exemplifying and modelizing. The answers were classified according to the notions reflected in the definitions and the examples caracteristics our students gave. We analyze relations between both classifications too. ldentifing and analyzing these mistakes can help us to locate obstacles in concept constructing and to detect individual difficulties in proposed tasks. 1 IntroducciOn Los estudios sobre Enserianza y Aprendizaje del Analisis Matematico en el nivel Univer sitario son relativamente recientes. El tema concreto de las Ecuaciones Diferenciales (ED) apenas empieza a ser considerado en los illtimos anos por investigadores en Diclactica del Maria Trinidad Villar Lilian Departamento de Algebra, ComputaciOn, Geometria y Topologia Salvador Llinares Ciscar Departamento de Diclactica de las Matematicas Universidad de Sevilla, Espafia • 90 • EDUCACION MATE MATI6A  Vol. 8 - No. 2 • Agosto 1996 I © GEL • Pag. 91 N Calculo. Artigue, M. (1987, 1988, 1991) dedica parte de su estudio a estas en sus investigaciones en ingenieria diclactica teniendo en cuenta la importancia que las ED adquieren en los contenidos de los primeros cursos de estudios universitarios europeos en carreras cientifico tecnicas y su relacion con las nuevas tecnologias. Al analizar las concepciones que los estudiantes de primeros niveles de enseflanza superior tienen sobre la diferenciacion y la integraciOn, no podemos eludir las implicaciones correspondientes con los procesos de resoluciOn de ED. Reciprocamente, si queremos analizar las concepciones sobre ED no podemos dejar al margen sus relaciones con los procesos de integracion y diferenciacion (Artigue, 1991). Dentro del Marco de la Teoria de Errores (Radatz, 1980), consideramos importante un analisis de los mismos que nos permita diagnosticar dificultades individuales como punto de partida y como herramienta pan la investigacien de procesos de Enseflanza- Aprendizaje del Analisis. Para Radatz, teniendo en cuenta la teoria del procesamiento de informaciOn, los errores se producen como resultado de experiencias previas a la clase de Matematicas estan determinados causalmente, suelen derivarse de dificultades en los procesos de aprendizaje matematico o por interaccion de Variables de la educacion matematica y pueden Ilegar a ser persistentes en el tiempo. Identificar errores puede conducirnos a localizar obstkulos en la formacion de Los conceptos. En este sentido, segian Vinner, al poner de manifiesto la relacion entre la definiciOn de un concepto y la imagen que se tiene del mismo, indica que "Adquirir un concepto significa formarse una idea de el. Conocer por intuicion la definicion del concepto no garantiza la comprensi6n del mismo. Comprender significa tener una imagen del concepto. [..] Algunos conceptos, incluso conceptos de la vida diaria deberian ser introducidos mediante definiciones. [..] Las definiciones ayudan a formar la imagen del concept°. Pero en el momento en que la imagen se ha formado la definicien no es indispensable,... podrci incluso olvidarse ..." (Vinner, S. 1991). En este sentido, Comu (1991), Norman y Prichard (1992) detectan "situaciones" en las que aparecen obstaculos en la formaci6n de los conceptos. Se refieren principalmente a las imagenes previas del concepto existentes en la mente del alumno cuando se enfrenta a la presentaciOn formal del mismo. Considerando que tales imagenes existen de manera natural, intuitiva e incluso social, en la mayoria de los casos, la ensefianza de un nuevo concepto en , matematicas (como en cualquier otra disciplina) "no empieza sobre un territorio virgen". Estas concepciones, Ilamadas "espontaneas" (Comu, 1991), interfieren inevitablemente en la aparicion de obstaculos al mezclarse con las nuevas imagenes adquiridas, tendiendo a impedir el desarrollo de la comprensi6n completa del nuevo concepto. Estos autores setialan que los modelos mentales antiguos no desaparecen inmediatamente sino que persisten largo tiempo junto con los recien incorporados en la mente del alumno. Este proceso hace que surjan factores de conflictos potenciales en la formacion y adquisicion del concepto, ya sea este introducido mediante definiciOn formal o ejemplos. De una manera general, los obstaculos cognitivos son construcciones o interpretaciones idiosincraticas de conceptos y procesos que, generados de forma natural en el proceso de desarrollo cognitivo, tienden a impedir el desarrollo de una comprensiOn completa del concepto o del proceso (Norman y Prichard, 1992). • Pag. 92 • EDUCACION • MATEMATICA IS Vol. 8 - No. 2 • A gosto 1996 a © GEL • Aunque es una constante tanto en Matematicas elementales como en Pensamiento Matematieo Avanzado, el proceso de "desequilibrio", en la construed& del conocimiento descrito por Corm, hay caracteristicas en el segundo que inciden de forma clara al favorecer la aparicion de obstaculos (Robert y Schwarzemberger, 1991), como por ejemplo el cambio inmediato en la naturaleza de las Matematicas reflejado en: • la aparicien de mayor cantidad de conceptos que deben ser asimilados en menos tiempo, • la apariciOn de muchos problemas que no pueden ser resueltos con todo detalle, • la necesidad de adquirir rapidamente conceptos que histOricamente fueron formados lentamente, incluso por toda una comunidad de matematicos, etc. Es importante el papel que juega la accion individual en la construed& del conocimiento en el proceso de "re-equilibrar lo desequilibrado" en niveles superiores, asi como hacer at estudiante consciente de su propio proceso de aprendizaje. (Robert y Schwarzemberger, 1991). Es en el marco de estas investigaciones donde situamos nuestro trabajo con unos objetivos algo mas especiticos. El objetivo de nuestro estudio fue realizar una clasificacion empirica de los errores producidos por los estudiantes ante tres cuestiones relativas a Ecuaciones Diferenciales, disetladas expresamente para este estudio. Este trabajo es la continuacion de otro estudio realizado que se centraba en un anal isis descriptivo de las respuestas producidas a un examen tradicional del contenido de ED (V illar, 1993). 2 Meto do logia El presente trabajo recoge un analisis de errores cometidos pot alumnos de la licenciatura de Quimica (de la Universidad de Sevilla, Espatia), en el desarrollo de tareas con Ecuaciones Diferenc tales. Las ED constituyen un contenido al que se dedica un trimestre en la asignatura Matematicas II, impartida actualmente en Segundo curso de esta licenciatura. Un grupo de 100 alumnos, escogidos entre los matriculados asistentes a clase y entre los tres grupos de la asignatura Matematicas II, despues de finalizar la materia correspondiente a ED, respondieron al cuestionario propuesto. Los datos analizados proceden de las respuestas escritas a dicho cuestionario. Cuestionario sobre ecuaciones diferenciales 1. Definir EcuaciOn Diferencial 2. Dar 5 ejemplos distintos de Ecuaciones Diferenciales. 3. Se ha descubierto que una bola de nafialina que tenia originariamente un radio de 1/4 de pulgada, tiene un radio de 1/8 de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a tin indice proporcional a su superficie, se quiere saber cuantos meses mcis tardarci en desaparecer por completo. Podria resolverse este problema mediante una ED? Razonar la respuesta. El objetivo era conocer el modo en que los estudiantes son capaces de definir ED y la proximidad entre su definicion y la definicion formal, incluso despues de trabajar con dicho concepto. EDUCACION MATENIA fICA I Vol. 8 - No. 2 • Agosto 1996 I  GEI I Pag. 93 m Esta tarea se disetio siguiendo la metodologia utilizada pot Dreyfus y Vinner (1989) en su estudio de la imagen del concepto de la nociOn de funcion. Se eligio este tipo de cuestiones, en este e studio, al observar las limitaciones de los items de los examenes tradicionales centrados en un mayor uso de algoritmos algebraicos. (Villar, 1993). El formato utilizado en Las cuestiones planteadas (siguiendo el trabajo de Dreyfus y Vinner), puede permitimos identificar las concepciones de los estudiantes sobre los objetos matematicos que manejan, en nuestro caso las Ecuaciones Diferenciales. Las tres cuestiones planteadas intentan recoger diferentes aspectos de naturaleza puramente matematica: deftnir (Cuestion 1), ejemplificar (CuestiOn 2) y modelizar (CuestiOn 3). Los alumnos contestaron a este cuestionario una vez finalizada la materia relativa a Ecuaciones Diferenciales. A partir de estos datos realizamos un analisis empirico de las respuestas a las cuestiones planteadas siguiendo un procedimiento inductivo de generadon de categorias. En el proceso de analisis empirico se iban agrupando respuestas segim algunos aspectos comunes de interes. Se creaban nuevas categorias cuando en algunas respuestas aparecian datos no contemplados en ninguna de las categorias ya formadas. Este proceso permitiO it creando y refinando paulatinamente las categorias que se iban considerando. Realizamos un analisis detallado de las definiciones dadas pot los alumnos y dimos una clasificaciOn de estas basandOnos en - las nociones contempladas dentro del concepto de ED. Las nociones que intervienen en la definicion y que hemos considerado mas significativas son: • NociOn de funciOn desde la perspectiva de objeto, ya sea de una O mas variables reales, dependientes o independientes. • NociOn de ecuaciOn funcional, asociada a ella estarian la idea de soluciOn y la de resolucion de dicha ecuaciOn. • Noci6n de derivaciOn o diferenciacion (de las funciones incOgnitas). • Proceso de matematizacion de un fenomeno fisico. Asi se clasificaron las respuestas en grupos atendiendo a dos criterios: 1. Segtin las nociones reflejadas en la definiciOn de ED de la cuestiOn 1 (ver Cuadro 1). 2. Caracteristicas de los ejemplos proporcionados como respuesta a la cuestiOn 2 (vet Cuadro 2). Ademas analizamos las relaciones existentes entre la definicion de ED y los ejemplos dados en la segunda cuestiOn (ver Cuadro 3). Luego examinamos brevemente las razones dadas en Las respuestas a la cuestion 3, intentando poner de manifiesto las posibles relaciones entre estas y la informacion obtenida a partir de las dos primeras cuestiones. 3 Resultados 3.1 Resultados relativos a las cuestiones 1 y 2 Teniendo en cuenta la forma en que los alumnos definen ED y si en sus definiciones aparecen o no las nociones relacionadas con dicho concepto expuestas anterior- Ii  • Pag. 94 • EDUCACION MATEMATICA , II Vol. 8 No. 2 • Agosto 1996 U @ GE! B mente, la categorizacion de las respuestas dadas a la cuestiOn 1 ha quedado como sigue (Cuadro 1): A. Sc recogen las respuestas que dan una definiciOn precisa de ED, bastante fiel a la definicion expuesta en clase: "Ecuacion en que aparecen relacionadas una funcion f.. R"- > R m y sits derivadas, de cualquier orden". B. Respuestas que, siendo poco precisas formalmente, contemplan al menos dos de las nociones fundamentales que intervienen en la definicion de ED antes especificadas. C. Respuestas en que aparecen identificados los terminos "funcion" y "ecuacion" aunque no necesariamente reflejando identicas nociones. D. Respuestas en Las que no aparecen contempladas ninguna de las nociones fundamentales de la definici6n de ED o bien las palabras utilizadas no parecen dotadas de significado coherente con el concepto de ED. E. Forman este grupo las respuestas no contestadas aunque si hayan sido respondidas Las cuestiones 2 y 3. CATEGORIA CARACTERISTICA N° EJEMPLOS A Definici6n precisa de ED, bastante fiel a la expuesta en dase. 11 "Una ED es una retool& funcional entre una funciOn incognita (f(x), sus derivadas y la variable independiente, x. Es decir, una °cunt& donde la inc6gnita es una fund& quo aparece en forma de derivadas y cuya soluciOn sera la fund& que al derivarla tantas veces como sea necesario y al sustituirla en la ecuaciOn de lugar a una identidad". B Definickm formalmente poco predsa pero que contempla al menos dos de las nociones fundamentales del concepto de ED. 46 "EcuaciOn en la que aparecen relacionadas la fund& a determiner, por ejemplo y, con sus derivadas y, ry", etc." C Aparecen identificados los te' rrninos "funci6n" y "ecuaciOn" aunque no reflejen necesariamente igual nociOn. 12 "Es una funci6n del tipo F(x, y, y'  1) = 0" "Dada una fancier?, definimos ED a una wile de derivadas naimas (n = 0, 1, 2, ... n) pare dar una soluciOn general o particular de la funciOn." D No aparecen contempladas ninguna de las nociones fundamentales de la definicidn de ED, o utilizan palabras no dotadas de significado coherente con el concepto de ED. 12 "EcuaciOn que nos define los componentes de un grupo en tOrminos de sus derivadas perorates." "Una ED es aquella quo tiene unas variables dependientes y alms independientes."  . E No responden a esta cuestiOn pero si a las denies. 16 Cuadro 1 Resultados relativos a la Cuestion 1. EDUCACION MATEMATICA U Vol. 8 - No. 2 • Agosto 1996 U ©  Pag. 95 II CATEGOR1A C ARACTER1STICAS N° EJEMPLOS Y OBSERVACIONES I Todos los ejemplos son EDO 15 (C.N. 1 ) 26 (S.N. 2 ) Aparecen ejemplos genericos comb "y a(x)y = r (x)." Algunos dan todos los ejemplos de EDL. II Incluyen EDDP y/o SEDL 3 (C.N.) 3 (S.19.) „ • az  , a1 2 Ty , + 1 &z,, –7 3,2 1 SEDL completo, x e y son funciones de r &ay.= ` = 7x –y+ y = –3y III Muestran dificultad con la notacion 15 No todos los ejemplos son incorrectos. Aparecen con frecuencia expresiones del a Y  ex tipo: "xDx + yDy = cte."  "+ — = 0• xy  y IV Dan nombre incorrecto en relacion al ejemplo proporcionado 10 "EDDP xzy' + 2xzy + ay = 0" "yv – 3)" + y' – 2y = 0 ED de primer orden de quint° grado." VDan nombre sin aportar ejemplo concreto 16 (Solo EDO) 5 (EDDP ylo SEDL) Predominan los ejemplos de EDH, EDL y EDVS. Algunos incorrectos son: "ED Continua", "ED dependientes de parametros". VI Aportan, entre otros, ejemplos de aplicaciones de las ED 3 dx = v= — dy ' , (11 = velocidad). "EcuaciOn de Cada". • VII No dan ejemplos 1 Identificados Con su Nombre. 2  ' Sin nombre que los identifique. Cuadro 2 Resultados relativos a la cuesti6n 2. Un aspecto que nos pareci6 de interds, considerando el marco conceptual proporcionado por Vinner, fue analizar las relaciones entre las respuestas dadas a la cuesti6n I (definicion) con las respuestas dadas a la cuesti6n 2 (ejemplos). El Cuadro 3 recoge la distribucien de las respuestas en las categorizaciones anteriores. No obstante, hemos considerado oportuno destacar algunas observaciones dentro de cada clase para reflejar mejor la gran variedad y disparidad de resultados. Categoria A B C D E Total I 8 22 A 1 6 41 II 1 3 2 6 III 7.1 4 3 15 IV 3 3 410 V 2 8 1 3 7 21 VI 2 1 3 VII 11 Total 11 46 12 12 16 97 Cuadro 3 Distribucion de resultados en las dos categorizaciones. • Pag. 96 • DiucAcioN MATENAAMcA • Vol. 8 -. No. 2 • Agosto 1996 •  GE! • Describimos a continuacion algunos casos que nos ayudan a caracterizar la posible relacion entre las respuestas dadas a la cuestiOn 1 y los ejemplos aportados en la cuestiOn 2. Grupo A: Los ejemplos que estos alumnos consideran contemplan todos los casos de la definiciOn aunque hay que hacer notar que predominan los de ED Lineales (EDL) (todos incluyen al menos una EDL). Destacan tambien los de ED de Variables Separables (EDVS). Solo un alumno recoge en su definicien la idea de ED en Derivadas Parciales (EDDP), incluyendo una de este tipo entre sus ejemplos junto con varios de EDO. Grupo B: Hay alumnos que incluyen la nocion de EDDP con expresiones como: * "Una ED es una ecuacion en la que aparecen derivadas (tatnbidn pueden aparecer derivadas parciales) de la variable dependiente respecto de la independiente'l * "Una ED es aquella donde junto con las variables (x,y,...) aparecen sus derivadas (Dx, Dy,..) parciales. Ejs: xDx + yDy = 3; Dx/y + Dy/x cte." Observemos que estos ejemplos podrian representar EDDP en caso de notar correctamente Dx ala x y aplicarlo a una fund& de dos o was variables, y andlogamente para Dy. En caso de que por Dx se quiera representar la diferencial de x, estas expresiones son formalmente incorrectas. Otro dato a tener en cuenta es que de los 7 alumnos cuya definicion contempla el termini:, de EDDP, sOlo 2 clan un ejemplo correcto de esta. Siete alumnos dan ejemplos que no muestran coherencia con la definiciOn de ED, algunos de estos son: "... expresion gue nos permite relacionar una funcion con Sit derivada Ej. y" + 2xy' + y' = 2. 0 bien definir EDL y poner como ejemplo: "(x 2 + y 2 )dx-(x/y)dy = 0." En todas Las respuestas anteriores se puede considerar que los alumnos ponen ejemplos que guardan bastante relaci6n con las definiciones que han considerado en la cuestiOn primera. La mayoria de los ejemplos que dan los alumnos (66,7%) que conforman este grupo estan contemplados en la definici6n de ED, aunque, al igual que en el grupo A, son muy frecuentes Los ejemplos de EDL. Grupo C: Las respuestas transcritas a continuacien muestran cam° la confusi6n entre "funcion" y "ecuaciOn" es was terminolegica que conceptual. En la mayoria se observa un "cambio de nombres" simplemente: fa EDUCACION MATEMATICA II Vol. 8 - No. 2 • Agosto 1996 • .  GE.I • Ng. 97 El * "Es una funcion R" - > R que contiene una variable independiente x, y una variable dependiente y = y(x) y sus derivadas, F(x,y,y',  y n. ) = ED." * - Una ED es una funcion de al menos dos variables (x,y) y donde pueden aparecer las n primeras derivadas de una de ellas con respecto a la otra." En otros casos se atribuyen al concepto de funciOn caracteristicas propias del concepto de ecuaci6n o viceversa, por ejemplo "soluciOn y resolucion" para el concepto de funciOn en: * "Dada una funcion, definimos ED a una serie de derivadas n-aimas (n = 0,1, 2,..., n) para dar una solucion general o particular de la funcion." En cuanto a los ejemplos de la cuestion 2, tenemos que decir que es dificil ver la coherencia con las defmiciones, pues dan ED correctas que no se corresponderian con aquellas. La mayoria son EDO, con especial predominio de las EDL y alguna EDDP pero no correcta formalmente. Grupo D: Atendiendo a los resultados de la segunda cuestion, .podemos decir que, aparezcan identificados correctamente o no, todos son ejemplos de ED, por lo tanto no pueden ser coherentes con la definiciOn de la cuestiOn 1. Ademas, hay que resaltar una vez mas la apariciOn repetida de determinados tipos de ED: EDO con predominio de EDL. Grupo E: Ninguno de los 16 alumnos incluidos en este grupo define ED pero todos dan ejemplos, especialmente de EDL, EDH, EDVS, y EDO de primer orden en general. Cabe destacar algunos eaores en la term inologia y notacion como los que presentamos a continuaci6n: * "ED dependientes de parametros. " (encontrado en 2 pruebas) *"ED de variables integrables M(x)cit + N(y)dy = 0" * " x' y = x" y" + x"y" Es generalizado, a la Liz de los resultados recogidos tanto en el grupo C como en el D, el hecho de que los alumnos no hayan definido correctamente ED pero si han sido capaces de identificar algunos casos concretos mediante ejemplos. (La mayoria presentan al menos 3 ejemplos). 3.2 Resultados relativos a la cuestiOn 3 Las distintas razones que han argumentado para responder a la tercera cuestion han sido muy variadas y, por tanto, dificiles de categorizar. No obstante, hemos distinguido varios tipos de respuestas dentro de las afirmativas (67) y de las negativas (7). • pag, 98 • EDUCACION MATE?vIATICA E Vol. 8 - No. 2 • Agosto 1996 • © GE II ori n • n •••°°°. nn • De los alumnos que han respondido a alguna de las cuestiones, 10 han dejado en blanco la tercera. Resumimos a continuacian esta agrupacien ilustrandola con algunos ejemplos literales: SI, PORQUE 1. "...ocurre como en los problemas de desintegracion.,." 'es un problema fisico." Trece alumnos han dado argumentos de este tipo, comparando el problema con uno de Los modelos trabajados en el aula, el de la desintegraci6n de la materia radiactiva. 2. "...con los datos del ejercicio podeinos construir una ED donde la derivada de r con respecto al tiempo es la incognita..." Trece alumnos dan como razon principal el hecho de contar con datos suficientes para dar una ED, tal como muestra el ejemplo anterior. 3. "...La ED podria ser... S' (t) = cteS(t). (S(t) es la superficie de la bola de nafiglina)." Dar la ED que resolveria el problema, aunque no se Les pedia, ha sido el argumento principal de 13 alumnos, 3 de ellos incluso laresueLven con todo detalle. "...podemos saber la relacion existente entre evaporacion  superficie 1..], radio y tiempo." Doce alumnos han razonado su respuesta mediante la existencia de relaciones entre las distintas variables que aparecen en el fenomeno, aunque no en todos los casos las establecen especificamente mediante derivaciOn. 5. "Si originahnente es r = 1/4 y pasa en un mes a r = 1/8, r disminuye a la mitady asi disminuye proporcional a este, vemos que a los dos meses r = 1/16 habria disminuido a este valor.., a los 3, a 1/32 y a los 4, 1/64, ya de por si seria un valor muy pequeho." Tres alumnos han razonado de este modo, entendiendo de manera errronea la proporcionalidad de la disminuci6n del radio. 6. Pot Ultimo, hay que considerar a los 15 alumnos que, o bien responden afirmativamente sin razonar su "Si", o bien su respuesta es una soluciOn breve del ejercicio, aunque no se les preguntaba. NO, PORQUE 1. " si lo hacemos por ED nunca se terminaria la bola."