Convergencia de las ecuaciones de Navier-Stokes Globalmente Modificadas con retardo a las ecuaciones de Navier-Stokes

Convergencia de las ecuaciones de Navier-Stokes Globalmente Modificadas con retardo a las ecuaciones de Navier-Stokes Antonio Miguel M´ arquez-Dur´ an Dpto. de Econom´ıa, M´etodos Cuantitativos e Historia Econ´omica, Universidad Pablo de Olavide [email protected] Pedro Mar´ ın-Rubio & Jos´ e Real Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico, Universidad de Sevilla [email protected], [email protected] Resumen En esta comunicaci´on demostramos que, bajo ciertas hi´otesis, de una sucesi´on de soluciones del modelo Navier-Stokes Globalmente Modificado con retardo podemos extraer una subsucesi´on que converge en un sentido adecuado a una soluci´on d´ebil del correspondiente modelo de Navier-Stokes en dimensi´on tres. Tambi´en se analiza el caso en el que aparecen retardos distintos en los problemas aproximantes. 1. Introducci´on Sea Ω ⊂R3un conjunto abierto y acotado con frontera regular Γ. Para cada N∈(0,+∞) definimos FN: [0,+∞)→(0,1] por FN(r) := m´ın ½1,N r¾, r ∈[0,+∞), y consideramos el siguiente sistema de ecuaciones globalmente modificadas de Navier-Stokes en Ω, con retardo y condici´on de forntera de tipo Dirichlet homog´enea:                    ∂u ∂t −ν∆u+FN(kuk) [(u· ∇)u]+∇p=G(t, u(t−ρ(t))),en (0, T)×Ω, ∇ · u= 0,en (0, T)×Ω, u= 0,en (0, T)×Γ, u(0, x) = u0(x), x en Ω, u(t, x) = φ(t, x),en (−h, 0) ×Ω, (1) donde uypson las inc´ognitas del problema y representan el campo de velocidades del fluido y la presi´on, respectivamente, y como datos tenemos ν > 0, la viscosidad cinem´atica, T > 0 un tiempo final, el t´ermino G(t, u(t−ρ(t))), que representa una fuerza externa dependiente del valor u(t−ρ(t)), donde 0≤ρ(t)≤h, con h > 0,es una funci´on retardo, u0un valor inicial del campo de velocidades y φun campo de velocidades definido en (−h, 0). Las ecuaciones de Navier-Stokes Globalmente Modificadas, en el caso sin retardo, fueron introducidas y estudiadas en [1] (v´ease tambi´en [2, 3, 7, 8, 9, 12] y [6]). Sin embargo, existen situaciones en las cuales el modelo est´a mejor descrito si aparecen en las ecuaciones algunos t´erminos conteniendo retardos. El sistema (1) ha sido estudiado en [4], donde la existencia, unicidad y comportamiento asint´otico de la soluci´on u(N)=u(N)(·;u0, φ) fue analizado (ver tambi´en [10] para el caso de retardo infinito). Este sistema es una modificaci´on del siguiente sistema de ecuaciones de Navier-Stokes, con retardo y condici´on de frontera de tipo Dirichlet homog´enea:                    ∂u ∂t −ν∆u+ (u· ∇)u+∇p=G(t, u(t−ρ(t))),en (0, T )×Ω, ∇ · u= 0,en (0, T)×Ω, u= 0,en (0, T)×Γ, u(0, x) = u0(x), x en Ω, u(t, x) = φ(t, x),en (−h, 0) ×Ω, (2) que ha sido estudiado en [5], entre otros trabajos. En esta comunicaci´on demostramos, en particular, que bajo determinadas hip´otesis, de la familia de soluciones {u(N)(·;u0, φ) : N > 0}, podemos extraer una sucesi´on {u(Nj)(·;u0, φ) : j= 1,2, ...},con Nj→+∞, que converge en un sentido adecuado a una soluci´on d´ebil de (2). De esta forma extendemos el resultado obtenido en [1] para el caso sin retardo. La estructura del trabajo es la siguiente. En la secci´on 2 introducimos algunos preliminares en el marco abstracto para tratar el problema y las hip´otesis b´asicas bajo las cuales se tiene bien planteado el problema aproximante, de modo que estimaciones adicionales pueden ser obtenidas. En la secci´on 3 establecemos nuestro resultado principal de convergencia de una sucesi´on de soluciones del problema aproximante a una soluci´on d´ebil del problema sin modificaci´on (2). Finalmente, se analiza el caso en el que aparecen retardos diferentes en los problemas aproximantes. 2. Preliminares Para formular nuestro problema en un marco abstracto, consideramos los siguientes espacios funcionales (ver, por ejemplo, [13]): V=nu∈(C∞ 0(Ω))3: div u= 0o, H= la clausura de Ven (L2(Ω))3con el producto (·,·) y norma asociada |·| , donde para u, v ∈(L2(Ω))3, (u, v) = 3 X j=1 ZΩ uj(x)vj(x)dx, V= la clausura de Ven (H1 0(Ω))3con el producto escalar ((·,·)) y norma asociada k·k ,donde para u, v ∈(H1 0(Ω))3, ((u, v)) = 3 X i,j=1 ZΩ ∂uj ∂xi ∂vj ∂xi dx. Usaremos k·k∗para la norma en V0yh·,·i para la dualidad entre VyV0. Finalmente, identificaremos cada u∈Hcon el elemento fu∈V0dado por hfu, vi= (u, v) for all v∈V. Se tiene que V⊂H⊂V0,donde las inyecciones son densas y compactas. Ahora definimos b(u, v, w) = 3 X i,j=1 ZΩ ui ∂vj ∂xi wjdx, para cualesquiera funciones medibles u, v, w definidas en Ω con valores en R3 y cumpliendo que las integrales en el segundo miembro de la igualdad anterior son finitas. En particular, bes una forma trilineal continua en V×V×V. Denotamos bN(u, v, w) = FN(kvk)b(u, v, w),∀u, v, w ∈V. La forma bNes lineal en uyw, pero no lo es v. Evidentemente, tenemos bN(u, v, v)=0,para cualesquiera u, v ∈V. Adem´as, de las propiedades de b (v´ease [13]), y la definici´on de FN,se obtiene f´acilmente la existencia de una constante C1>0, s´olo dependiente de Ω, tal que |bN(u, v, w)| ≤ NC1kukkwk,∀u, v, w ∈V. As´ı, si denotamos hBN(u, v), wi=bN(u, v, w),∀u, v, w ∈V, tenemos kBN(u, v)k∗≤NC1kuk,∀u, v ∈V. (3) Tambi´en consideramos A:V→V0definido por hAu, vi= ((u, v)).Denotando D(A) = (H2(Ω))3∩V, entonces Au =−P∆u, ∀u∈D(A),es el operador de Stokes (Pes el operador de proyecci´on de (L2(Ω))3en H). Adem´as, suponemos dada una aplicaci´on G: (0, T)×H→Htal que c1) G(·, u) : (0, T)→Hes medible, ∀u∈H, c2) existe una funci´on no negativa g∈Lp(0, T) para alg´un 1 ≤p≤+∞, y una funci´on no decreciente L: (0,+∞)→(0,+∞), tal que para todo R > 0, si |u|,|v| ≤ R, entonces |G(t, u)−G(t, v)| ≤ L(R)g1/2(t)|u−v|, p.c.t. t∈(0, T), y c3) existe una funci´on no negativa f∈L1(0, T), tal que para cualquier u∈H, |G(t, u)|2≤g(t)|u|2+f(t),p.c.t. t∈(0, T). Finalmente, suponemos φ∈L2p0(−h, 0; H) y u0∈H, donde 1/p + 1/p0= 1. En esta situaci´on, consideramos una funci´on retardo ρ∈C1([0, T]) tal que 0≤ρ(t)≤hpara todo t∈[0, T],y existe una constante ρ∗verificando ρ0(t)≤ρ∗<1,∀t∈[0, T]. Definici´on 2.1. Sean u0∈Hyφ∈L2p0(−h, 0; H)dados. Una solucio´n d´ebil de ( 1) es una funci´on u∈L2p0(−h, T;H)∩L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H)tal que (u(t), w) + νZt 0 ((u(s), w)) ds +Zt 0 bN(u(s), u(s), w)ds = (u0, w) + Zt 0 (G(s, u(s−ρ(s))), w)ds, para todo t∈[0, T ]y todo w∈V, y coincide con φ(t)c.p.d. en (−h, 0). Observaci´on 2.1. La definici´on de soluci´on d´ebil de (2) es an´aloga a la Definici´on 2.1, pero con ben lugar de bN. Observaci´on 2.2. Si ues una soluci´on d´ebil de (1) y definimos ˜g(t) = g(θ−1(t)), donde θ: [0, T]→[−ρ(0), T −ρ(T)] es funci´on derivable y estrictamente creciente dada por θ(s) = s−ρ(s), entonces, por c3), obtenemos ZT 0 |G(t, u(t−ρ(t)))|2dt ≤1 1−ρ∗ZT−ρ(T) −ρ(0) ˜g(t)|u(t)| y por tanto, teniendo en cuenta el hecho de que ˜g∈Lp(−ρ(0), T −ρ(T)) y u∈L2p0(−h, T;H)∩L∞(0, T;H), tenemos que G(·, u(· − ρ(·))) pertenece a L2(0, T;H). Entonces, como u∈L2(0, T;V)y satisface la ecuaci´on u0(t) + νAu(t) + BN(u(t), u(t)) = G(t, u(t−ρ(t))), en D0(0, T;V0), como una consecuencia de (3), u0∈L2(0, T;V0),y por tanto (ver [13]) u∈C([0, T]; H)y satisface la igualdad de la energ´ıa |u(t)|2+ 2νZt s ku(r)k2dr =|u(s)|2+ 2 Zt s (G(r, u(r−ρ(r))), u(r)) dr, para cualesquiera 0≤s, t ≤T. En [4] se demuestra el siguiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de (1). Teorema 2.1. Supongamos que se verifican las hip´otesis c1)-c3), y que u0∈H yφ∈L2p0(−h, 0; H)est´an dados. Entonces, existe una ´unica soluci´on d´ebil u=u(·;u0, φ)de (1) que es, de hecho, una soluci´on fuerte, en el sentido de que u∈C([ε, T]; V)∩L2(ε, T;D(A)), para todo 0< ε < T. Adem´as, si u0∈V, entonces u∈C([0, T]; V)∩L2(0, T;D(A)). 3. Convergencia hacia las soluciones d´ebiles de las ecuaciones de Navier-Stokes El principal resultado de esta comunicaci´on es el siguiente. Para la prueba cons´ultese [11]. Teorema 3.1. Supongamos que se verifican las hip´otesis c1)-c3), y consideramos la sucesi´on {u(Nk)=u(Nk)(·;u(Nk) 0, φ(Nk)) : k= 1,2, ...}, donde Nk→ +∞cuando k→+∞, sucesi´on de soluciones d´ebiles de (1) con N=Nk,y con dato inicial verificando u(Nk) 0* u0d´ebilmente en H,φ(Nk)→φfuerte en L 2p 2p−1(−h, 0; H)cuando k→+∞, y la sucesi´on {φ(Nk):k= 1,2, ...}acotada en L2p0(−h, 0; H). Entonces, existe una subsucesi´on {u(Nj):j= 1,2, ...}⊂{u(Nk):k= 1,2, ...},con Nj→+∞, que converge d´ebil-estrella en L∞(0, T;H), d´ebilmente en L2(0, T;V),d´ebil-estrella en L2p0 (−h, T;H), fuerte en L 2p 2p−1(−h, T;H),y fuerte en L2(0, T;H), a una soluci´on d´ebil de (2). Con una adecuada modificaci´on de la demostraci´on del Teorema 3.1, es posible probar el siguiente resultado. Teorema 3.2. Supongamos que G(·,·):(−h, T +h)×H→Hes continua, y se tienen las condiciones c2) y c3) con p= 1. Sea {ρ(Nk):k= 1,2, ...} ⊂ C1([−h, T +h]),donde Nk→+∞cuando k→+∞, una sucesi´on de funciones tales que 0≤ρ(Nk)(t)≤hpara todo t∈[−h, T +h]y para cualquier k≥1, existen constantes ρ∗<1yρ∗≥0verific´andose −ρ∗≤(ρ(Nk))0(t)≤ρ∗para todo t∈[−h, T +h]y cualquier k≥1, y ρ(Nk)→¯ρ(t)uniformemente en C1([−h, T +h]) cuando k→+∞. Para cada k≥1,denotamos por u(Nk), la correspondiente soluci´on d´ebil de (1) con N=Nk, ρ =ρ(Nk), y con dato inicial (u(Nk) 0, φ(Nk))tal que u(Nk) 0* u0 d´ebilmente en H,φ(Nk)→φfuerte en L2(−h, 0; H)as k→+∞, y la sucesi´on {φ(Nk):k= 1,2, ...}es acotada en L∞(−h, 0; H). Entonces, existe una subsucesi´on {u(Nj):j= 1,2, ...}⊂{u(Nk):k= 1,2, ...},con Nj→+∞, que converge d´ebil-estrella en L∞(−h, T ;H), d´ebilmente en L2(0, T;V),y fuerte en L2(−h, T;H), a una soluci´on d´ebil de (2) con ρ= ¯ρ. Secci´on en el CEDYA 2011: EDP Bibliograf´ıa [1] T. Caraballo, P. E. Kloeden, and J. Real, Unique strong solutions and V-attractors of a three dimensional system of Globally Modified Navier-Stokes equations, Adv. Nonlinear Stud. 6(2006), 411–436. [2] T. Caraballo, P. E. Kloeden, and J. Real, Addendum to the paper “Unique strong solutions and V-attractors of a three dimensional system of Globally Modified Navier-Stokes equations”, Advanced Nonlinear Studies 6 (2006), 411–436, Adv. Nonlinear Stud. 10 (2010), 245–247. [3] T. Caraballo, P. E. Kloeden, and J. Real, Invariant measures and statistical solutions of the globally modified Navier-Stokes equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 10 (2008), 761–781. [4] T. Caraballo, A. M. M´arquez-Dur´an, and J. Real, Three dimensional system of globally modified Navier-Stokes equations with delay, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 20 (2010), 2869–2883. [5] T. Caraballo and J. Real, Navier-Stokes equations with delays, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 457 (2001), 2441–2453. [6] P. E. Kloeden, T. Caraballo, J. A. Langa, J. Real, and J. Valero, The three dimensional globally modified Navier-Stokes equations, in Mathematical Problems in Engineering Aerospace and Sciences, Vol. 3, Chapter 2, Eds.: S. Sivasundaram, J. Vasundhara Devi, Zahia Drici and Farzana Mcrae, Cambridge Scientific Publishers, 2009. [7] P. E. Kloeden, J. A. Langa, and J. Real, Pullback V-attractors of a three dimensional system of nonautonomous globally modified Navier-Stokes equations: Existence and finite fractal dimension, Commun. Pure Appl. Anal. 6(2007), 937–955. [8] P. E. Kloeden, P. Mar´ın-Rubio, and J. Real, Equivalence of Invariant measures and Stationary Statistical solutions for the autonomous globally modified Navier-Stokes equations, Commun. Pure Appl. Anal. 8(2009), 785–802. [9] P. E. Kloeden and J. Valero, The weak connectedness of the attainability set of weak solutions of the 3DNavier-Stokes equations, Proc. Roy. Soc. London A 463 (2007), 1491–1508. [10] P. Mar´ın-Rubio, A. M. M´arquez, and J. Real, Three dimensional system of globally modified Navier-Stokes equations with infinite delays, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B14 (2010), 655–673. [11] P. Mar´ın-Rubio, A. M. M´arquez-Dur´an, and J. Real, On the convergence of solutions of Globally Modified Navier-Stokes equations with delays to solutions of Navier-Stokes equations with delays, Adv. Nonlinear Stud. Por aparecer. [12] M. Romito, The uniqueness of weak solutions of the globally modified Navier-Stokes equations, Adv. Nonlinear Stud. 9(2009), 425–427. [13] R. Temam, Navier-Stokes equations, Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 2001.