Aplicación del Razonamiento Semicualitativo al modelado y análisis de sistemas económicos

Inteligencia Artificial. Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial ISSN: 1137-3601 [email protected] Asociación Española para la Inteligencia Artificial España Gasca, Rafael M.; Ortega, J. A.; Toro, M. Aplicacion del Razonamiento Semicualitativo al Modelado y Analisis de Sistemas Económicos Inteligencia Artificial. Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial, vol. 4, núm. 9, invierno, 2000, pp. 85 - 97 Asociación Española para la Inteligencia Artificial Valencia, España Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=92540911 Cómo citar el artículo Número completo Más información del artículo Página de la revista en redalyc.org Sistema de Información Científica Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto Aplicacion del Razonamiento Semicualitativo al mo delado y analisis de sistemas economicos Rafael M. Gasca, J. A. Ortega y M. Toro Dpto. Lengua jes y Sistemas Informaticos Facultad de Informatica y Estadstica Universidad de Sevilla Avda. Reina Mercedes s/n 41012 SEVILLA gasca,jaortega,mto[email protected] Resumen Generalmente, el uso de mo delos para el estudio y analisis de sistemas economicos y de otras disciplinas, tienen en cuenta solamente el conocimiento cuantitativo, ignorandonse el cono cimiento cualitativo, que sin embargo parece conveniente considerarlo, con el ob jetivo de obtener mejores conclusiones. Este cono cimiento cualitativo comprende conceptos como "alto", "muy negativo", "poco valioso", "monotono creciente", etc.. ysmbolos como  y  . Estos elementos ya se usan implcitamente en diferentes tareas de dise ~no o diagnostico, pues en la parte del analisis de una tarea de dise ~no, se deducen muchas relaciones entre los parametros de un pro ceso. En este traba jo se presenta una nueva meto dologa para integrar el cono cimiento cualitativo y cuantitativo que se tiene de los sistemas, y en particular en los sistemas economicos, con el ob jeto de resp onder a determinadas preguntas. Se adopta una aproximacion, muy usada en la practica, para la representacion de los conceptos cualitativos, que es mediante intervalos cerrados reales, que ha sido ampliamente aceptada en el area de la Inteligencia Articial. Un lengua je de mo delado permite esp ecicar los conceptos tanto cualitativo como cuantitativo del mo delo y mediante las correspondientes reglas de transformacion de la semantica del lengua je se obtiene un problema de satisfaccion de restricciones numerico. Para obtener las conclusiones, hemos desarrollado algoritmos que tratan el problema primeramente de forma simbolica y despues en forma numerica. Los resultados obtenidos que son intervalos reales cerrados pueden convertirse en respuestas cualitativas atraves de la interpretacion ling ustica corresp ondiente. Finalmente, las capacidades de estas tecnicas se ilustran en diferentes modelos economicos mostrando resultados muy satisfactorios. 1 Intro duccion Los mo delos son representaciones de los asp ectos relevantes de un sistema con el proposito de resp onder a cuestiones particulares. Es frecuente en muchos sistemas, tener una carencia de informacion cuantitativayaveces tambien de un "exceso" de informacion cuantitativa, que en ciertas situaciones p ermite obtener conclusiones signicativas y que forman un cono cimiento completamente cualitativo. Es por ello que se presentan en los  ultimos a~nos un conjunto de monografas sobre meto dos y tecnicas que son p osibles aplicar para razonar cualitativamente Weld90], Faltings92], Kuip ers94], Piera95], Dague95], Trave97]. Este cono cimiento cualitativo es util para entender de una manera simple algunas de las propiedades de los mo delos, p or consiguiente su simplicidad es su propiedad principal. La representacion cualitativa del mundoyelintento de 1 razonar cualitativamente sobre la realidad fsica no es nuevo y ha sido usado con nes diferentes, como la sup ervision y diagnosis de procesos qumicos industriales Penalva91], Bousson93], de motores marinos Moreno93], el control de pro cesosLep etit87], Foulloy93], el analisis de sistemas dinamicos Aracil93], Gasca98] y el analisis de software Xanthak94]. Para mo delos complejos donde no se tiene un cono cimiento cuantitativo completo del mismo o es imp osible disp oner de el, los economistas usan para el analisis de sus sistemas las tecnicas de orden causal Simon77] yla estatica comparativa Ritschard83]. En la mayora de las aproximaciones para realizar el razonamiento cualitativo ( RC ) en el camp o de la Inteligencia Articial, se sup one explcitamente o implcitamente que los mo delos cualitativos se obtienen directamente de mo delos cuantitativos, o en otro caso los mo delos cualitativos pueden renarse para obtener una descrip cion cuantitativa del sistema. Debido a esto, puede parecer que el RC comp etira con otras areas y meto dos cientcos, de manera que los resultados puedan compararse con los obtenidos p or m etodos cuantitativos, sin embargo las tecnicas cualitativas son consideradas en la bibliografa como complementarias a aquellas. En la formalizacion de RC , las decisiones que se toman acerca de las formas de describir las cantidades cualitativas y para manipularlas con ob jeto de obtener resultados son las siguientes:  Un conjunto nito de valores.  El conjunto de valores deb e cubrir el rango total del conductas de interes.  Una interpretacion de los resultados obtenidos en el analisis cualitativo.  Un orden natural de los valores cualitativos  Un formalismo que expresa la descrip cion del sistema en terminos de relaciones cualitativas de las variables y las operaciones para obtener las soluciones. La primera aproximacion que se uso para razonar cualitativamente fueel algebra de signos, pero tena un problema importante y es que los resultados suelen ser p o co signicativos, llevando a lo que es cono cido como el fenomeno sobre-abstraccion Kuip ers86]. Por ello se han formalizado nuevas aproximaciones que establecen un nivel medio de abstracion entre lo puramente cuantitativo y cualitativo. Estas aproximaciones aprovechan las relaciones en orden de magnitud absoluto Trave89], Missier89], Piera91], Agell98] y relativoRaiman88]. Uno de los problemas mas imp ortantes en ellos eran la escasa exibilidad a la hora de introducir el conocimiento cuantitativo es por ello que se empezaron a mejorar con el formalismo O ( M )Mavrovo90]. Otro problema importante fue la imp osibilidad desde un nivel formal para expresar un cambio gradual de un orden de magnitud a otro, debido a que no hay solapamiento de los ordenes de magnitud entonces se prop one un nuevo sistema formal ROM ( K )Dague93a], introduciendo una relacion nueva "distante de" . Previamente, se propuso tambien un sistema basado en conjuntos Raiman91], que usa los conjuntos Peque ~no y Mediano , que coinciden con determinadas etiquetas cualitativas de ROM ( K ), y para inferir usa un balance aproximado de cantidades con un nivel variable de precision. Otro problema imp ortante que presentan estas tecnicas es la dicultad para controlar el proceso de inferencia, con ob jeto de obtener resultados validos en el mundo real. Las mejoras para controlar el proceso de inferencia se han resuelto extendiendo estos mo delos mediante el calculo de tolerancia que mantiene una medida de exactitud de los resultados inferidos. Tales extensiones se realizaron primeramente con relaciones b orrosas Dubois89], p osteriormente con relaciones representadas por intervalos en ROM ( IR ) Dague93b] y ultimamente traves de la denicion de nuevas relaciones entre las cantidades y usando mas sosticados calculos de tolerancia Dollinger98]. Tambien la posibilidad de describir de una manera cualitativa la graduacion de la "despreciabilidad" p ermite obtener una precision mayor en ciertos problemas de razonamiento cualitativo Sanchez96a]. Los primeros traba jos de integracion del cono cimiento cualitativo y cuantitativo se llevaron a cab o en O ( M )ydespues en ROM ( IR ) p ero los resultados que obtuvieron aunque validos no son en general optimos. Tambien en otra lnea de integracion se han tratado los diferentes tip os de orden de magnitud en los mo delos cualitativos Sanchez96b]conelob jeto de mejorar los resultados. Por ultimo cab e citar los traba jos desarrollados con la idea de resolver la situacion usual en la cual se disp one de algunos datos realmente cuantitativos, y de otros solamente se disp one de las descrip ciones cualitativas Gasca96]Gasca98]Sanchez98]. Tambien el razonamiento en orden de magnitud se usa en la simplicacion de mo delos y la b usqueda de un mo delo aproximado que es, en general, mas facil de tratar y que captura mejor la esencia del problema. Se realiza identicando y eliminando los terminos insigni- cantes, despues se determina la importancia de un termino por medio de la denicion del orden de magnitud de una cantidad en un escala logartmica y por ultimo se usa un conjunto de reglas para propagar los ordenes de magnitud a traves de las ecuaciones Nayak92]. Otras ideas de simplicacion del mo delo se basan en una teora de funciones en orden de magnitud asintotico Yip93]. El Razonamiento con los rangos de los valores de variables son a menudo otro tipo de razonamiento usado en sistemas cualitativos, donde hay datos que pueden tomar un conjunto de valores o parametros parcialmente denidos. Los primeros traba jos sobre ello Simmon86], Sacks87] usaron la aritmetica de intervalos junto con otras tecnicas esp eccas. En general, un problema de razonamiento puede convertirse en un Problema de Satisfaccion de Restricciones Numerico ( CSP N ). Esto es una tupla ( X D C ) donde X denota un conjunto de variables, D denota un conjunto de dominios continuos, tal que D x i es el intervalo conteniendo to do los valores aceptables para la variable x i y C es el conjunto de restricciones que tienen que satisfacerse. Una manera natural de razonamiento en los rangos de valores es propagar los dominios de las variables a traves de las restricciones. La aplicacion de diferentes tecnicas de consistencia en la resolucion de los CSPN p ermite descubrir valores incoherentes y anularlos. En la bibliografa se han desarrollado diferentes tecnicas para resolucion de estos problemas Davis87] Hyonen92], Lhomme93], Lhomme94], VanHent95b], SamHar95], Benham96], VanHent97], Marti97]. Muchas de estas tecnicas tienen un inconvenien te imp ortante pues intro ducen puntos de eleccion que las hace de complejidad exp onencial y en general las soluciones que obtienen no son las optimas. El ob jetivo de este traba jo es la construccion de un sistema para razonar, mediante una determinada meto dologa, en mo delos donde se cono cen algunos datos cuantitativos y las descrip ciones cualitativas de otros. Estos mo delos se les ha denominado modelos semicualitativos . La meto dologa desarrollada p ermite facilmente expresar de manera declarativa el cono cimiento cualitativo en estos mo delos mediante un lengua je de mo delado, bastante rico en conceptos de tip o cualitativo. Las estrategias de inferencia del sistema de razonamiento se han separado en dos etapas una simb olica y otra numerica que ecazmente restringe las inferencias de tal forma que los resultados obtenidos sean de utilidad para las actividades de analisis de los mo delos. 2 Razonamiento Semicualitativo Para representar los conceptos cualitativos pueden elegirse diferentes opciones, no obstante una representacion ampliamente aceptada para estos conceptos pueden ser intervalos cerrados reales. Pero esta representacion tiene dicultades tales como no po der expresar los cambios graduales de un valor hacia otro y obtener resultados no signicativos para problemas reales. No obstante dicha aproximacion, de interpretar los predicados cualitativos como un intervalo, en general, puede resultar practica y util con un pro cesado adecuado. En la bibliografa se han detallado extensamente los problemas para razonar mediante dicho tip o de representaci on Struss90]. Tambien, es importante establecer la manera de determinar como se corresp onden las etiquetas cualitativas a los intervalos numericos. Generalmente este tema se ha tratado p o co en la bibliografa, en este traba jo se sup one que la asignacion de intervalos se hace teniendo en cuenta la exp eriencia de los exp ertos. Si los sistemas son complejos estos intervalos deb en ser compatible con otros y con el resto del sistema que se esta mo delando. Muchas veces este proceso es difcil, puesto que participan diferentes exp ertos en el mo delado, esto causa que se requiera un pro ceso iterativo hasta que los intervalos se asignan satisfactoriamente para to das las etiquetas y relaciones cualitativas del modelo. Una vez escogidas estas, las ecuaciones del mo delo se pueden reducir a un conjunto de Escenario Físico Modelo Semicualitativo Problema de Satisfacción de Restricciones Numérico Respuestas Semicualitativas Selección del modelo Construcción del modelo metodología simbólica-numérica Figura 1: Esquema del mo delado y razonamiento semicualitativo restricciones entre las variables y parametros cualitativos y cuantitativos. Mediante una interfaz adecuada se permite a los usuarios intro ducir toda esta informacion y las diferentes heursticas en los algoritmos corresp ondientes para su tratamiento. Esto p ermitira obtener las soluciones a las preguntas que se prop ongan y con ello inferir nuevo cono cimiento a partir de lo previamente expresado. El esquema de modelado y razonamiento, que se sigue para obtener las respuestas semicualitativas, se presenta en la gura 1. A partir de un escenario fsico, en nuestro caso un escenario economico se escoge la representacion del mo delo, que en este traba jo se realiza mediante un lengua je de mo delado. Las reglas de transformacion de la semantica de dicho lenguaje convierten el modelo en un CSP N . Mediante un tratamiento computacional de dicho CSP N p or medio de metodos algebraicos y numericos desarrollados ad hoc , se obtienen las respuestas semicualitativas. Para jar ideas, se puede considerar como ejemplo a tratar el mo delo input-output desarrollado p or Leontief, que se estudia en diferentes disciplinas. Este mo delo usa una tabla de doble entrada input-output que representa a n sectores productivos en el que se divide el sistema economico de un determinado territorio. El problema de mayor aplicabilidad en economa es el mo delo abierto de Leontief, que se puede expresar teniendo en cuenta las siguiente matrices: A = 0 B B @ a 11 a 12 ::: a 1 n a 21 a 22 ::: a 2 n ::: ::: ::: :::: a n 1 a n 2 ::: a nn 1 C C A X = 0 B B @ X 1 X 2 : X n 1 C C A D = 0 B B @ D 1 D 2 : D n 1 C C A Cada a ij representa los co ecientes tecnicos que es el co ciente entre la cantidad de producto que el sector i emplea en el sector j dividido p or el output total del sector j . Se deb e satisfacer en A que los co ecientes tecnicos a ij  0yquela suma P i a ij  1. Ademas resulta que A  X ; D = X o ( I ; A )  X = D donde X es el vector pro duccion total y D es el vector demanda nal, la ecuacion anterior expresa que la pro duccion total X se transforma, mediante la matriz I ; A en D .Entonces dicha matriz I ; A representa las condiciones tecnicas de pro duccion. En ciertos sistemas pueden existir determinados elementos de sus mo delos en los se disp one de cono cimiento solamente cualitativo de ellos, entonces el razonamiento semicualitativo de este mo delo se considera como la aplicacion de un conjunto de tecnicas para resolver las preguntas que se prop ongan, estudiando los valores cualitativo y/o cuantitativo que satisfacen to das las restricciones esp ecicadas. Las preguntas que se pueden prop oner son:  Preguntas Logicas: La respuesta es VERDADERO/FALSO. El resultado es verdadero si para ciertos dominios de las variables se satisface la red de restricciones. Para el ejemplo anterior la pregunta p o dra ser si la cantidad producida por el sector 1 es similar a la pro ducida por el sector 3. En dichas preguntas pueden usarse los op eradores logicos and y or .  Preguntas Globales: El sistema debe obtener los rangos de valores de todos el variables del mo delo.  Pregunta Parciales: El sistema obtiene valores cualitativos o cuantitativos en un sub conjunto de variables p ertenecientes al conjunto de variables del mo delo. x variables e expresiones v valores f funciones reales g funciones I valores de de bandas intervalos p predicados ba op eradores c restricciones aritmeticos q preguntas u b op eradores cq preguntas cualitativos compuestas Tabla 1: Tabla de la notacionusadaenel lengua je e : v le : e q : e ? j I j le e j e 1 ? e 2 j x  j ? j ua (e) p : u ( e )  j ba (e  e) j b ( e e ) cq : q j f ( le )  j q q j g ( e ) c : p j q  q  j c c  j c  c  Tabla 2: Gramatica del lengua je de mo delado La meto dologa desarrollada p ermite obtener respuestas en forma de intervalos reales precisos. Una interpretacion ling ustica de dichos intervalos p ermite la obtencion de las respuestas semicualitativas. 3 El Lengua je de Mo delado El lengua je de mo delado deb e describir en forma declarativa el cono cimiento cualitativo y cuantitativo en los modelos semicualitativos y expresar las cuestiones a resolver en el mo delo. 3.1 Sintaxis La notacion usada en este lengua je de mo delado es la presentada en la tabla 1. Los elementos que la forman, representados con subndices osup erndices simb olizan instancias o comp onentes de ellos. La sintaxis del lengua je se de- ne p or medio de la gramatica representada en la tabla 2. En esta gramatica el operador and se representa como "  " y el op erador or como "", en lo que sigue se representa indistintamente en ambas maneras. Deniciones  Op eradores Basicos, representa el conjunto de op eradores aritmeticos y funcionales basicos, ejemplo de estos operadores puede ser: Ba = f +  ;   =ln::: g  Op eradores Cualitativos, U y B , representa el conjunto de operadores unarios y binarios para cada magnitud cualitativadel problema, resp ectivamente. Por ejemplo U = f grande, peque ~no, medio, caro, corto, bajo, alto,... g y B = f mucho mas peque ~no que, ligeramente mas peque ~no que, ligeramente mas peque ~no que, exactamente igual a, mucho mas grande que, despreciable, distante de... g .  Funciones y funciones de bandas, F representa un conjunto de funciones f : IR ! IR , que se denen p or f ( x )  <e ( x ) I 1 I 2 > , donde I 1 e I 2 son el dominio y rango de f resp ectivamente. Las funciones de bandas g representan a una familia de funciones entre dos funciones f 1 y f 2 , g ( x )  <f 1 ( x ) f 2 ( x ) I 1 I 2 > tal que 8 x 2 I 1 : f 1 ( x ) <f 2 ( x ) donde I 1 y I 2 representan el dominio y rango de g resp ectivamente. Tambien el lengua je permite las funciones a trozos y aquellas que no son continuas en ciertos puntos.  Estas son denidas mediante f ( x )  <e 1 ( x ) I 1 1 I 1 2 > ::: < e n I n 1 I n 2 > tal que \ i I i 1 =  De la misma forma puede usarse esta denicion para funciones de bandas .  Predicados, P donde cada p i es un predicado unario u i ( e )del conjunto de op eradores U que se usa para simbolizar el cono cimiento cualitativo de la expresion e , o un predicado binario b i ( e 1 e 2 ), donde b i 2 B . Esto representa una relacion cualitativa en orden de magnitud entre los valores de e 1 y e 2 .  Restricciones, C donde cada c i es un predicado sobre las variables del mo delo que deb e satisfacer para to dos valores del sistema, y representa el cono cimiento del sistema.  Preguntas Simples, Q donde cada q i es una pregunta. Puede ser una pregunta unaria, como e ? que pregunta sobre el valor cualitativo del expresion e . La pregunta binaria e 1 ? e 2 pregunta cual es el orden relativode magnitud entre e 1 y e 2 .  Preguntas Compuestas, son expresiones logicas de preguntas simples. 3.2 Semantica La semantica del lengua je se dene p or medio de un conjunto de reglas de transformacion que convierte el modelo inicial en uno nuevo normalizado. Si r siempre denota una nueva variable, las transformaciones que se aplican al mo delo inicial son las siguientes:  Renombrado de constantes que son intervalos: Cada intervalo constante del mo delo se sustituye por una variable y una restriccion C ( ::: I  :: )  C ( ::: r ::: )  r 2 I  Semantica de predicados unarios: Se lleva a cab o la transformacion siguiente u ( e )  e ; r =0  r 2 I u donde I u es el intervalo aso ciado al op erador unario u . En la bibliografa se han denido diferentes espacios de descrip cion cualitativo absoluto, unos basados en dos parametros  y  Trave89] y otros en mas parametros Agell98 ]. La eleccion de dichos espacios de descrip cion dep ende de cada una de las magnitudes del mo delo y el nivel de precision deseado para denotar los valores cualitativos de las magnitudes. Esta aso ciacion entre op eradores y los intervalos se lleva a cab o de acuerdo con el cono cimiento del exp erto. La eleccion de este orden de magnitud absoluto de una variable deb e ser coherente con orden de magnitud relativo para dicha variable.  Semantica de predicados binarios: Los predicados binarios se relacionan con el cociente y tienen la semantica siguiente b ( e 1 e 2 )  e 1 ; e 2  r =0  r 2 I b donde I b es el intervalo que corresponde al smb olo b . Diferentes semanticas se han considerado en la bibliografa para estos predicados, unas basados en un parametro Mavrovo90] y otras en dos parametros Dague93a].  Semantica de funciones y funciones de bandas: De acuerdo con la denicion de las funciones, la transformacion que se aplica es la siguiente: r = f ( x )   f ( x ) ; r =0 x 2 I 1 r 2 I 2 y para las funciones de bandas, las transformaciones son las siguientes: r = g ( x )  8 < : g ( x ) ; r =0 g ( x )= g ( x )+(1 ; r 1 )  g ( x ) r 1 2 0  1] x 2 I 1 r 2 I 2 Las funciones de banda se expresan por una funcion sup erior g : IR ! IR yotra inferior g : IR ! IR . La familia de funciones es denida p or la expresion: g ( x )= g ( x )+(1 ;  ) g ( x )   2 0  1]  x 2 I 1 tal que si  = 0 ) g ( x ) = g ( x ), y si  = 1 ) g ( x ) = g ( x ), y para cualquier otro valor de  p erteneciente al intervalo 0,1] representa alg un valor entre g ( x ) and g ( x ). Para las funciones a trozos las transformaciones que se llevan a cab o son: r = f ( x )  8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : e 1 ( x ) ; r 1 =0 x 2 I 1 1 r 1 2 I 1 2  :::  e n ( x ) ; r n =0 x 2 I n 1  r n 2 I n 2  Semantica de preguntas simples: Seg un el tip o de pregunta, se llevan a cab o las siguientes transformaciones: e 1 ?   e 1 ; r =0 r ? e 1 ? e 2   e 1 ; e 2  r =0 r ?  Semantica de cuestiones compuestas: Para cada cuestion simple se lleva a cab o las transformaciones anteriores y los op eradores logicos que las ligan se conservan. 3.3 Esp ecicacion de un mo delo semicualitativo El lengua je denido permite la esp ecicacion del conocimiento cualitativo y cuantitativo de un mo delo semicualitativo por medio del diagrama siguiente: M 0  8 < : C = f c 1 :::c t g V = f x 1 :::x n g Q = f q 1  ::: q m cq 1  ::: cq p g donde C es el conjunto de restricciones del modelo, V es el conjunto de variables del mo delo, y Q es el conjunto de preguntas, representado seg un la sintaxis del lengua je. Entonces el razonamiento semicualitativo consiste en el meto do para obtener los valores de Q tal que to das las restricciones C se satisfacen. En nuestra meto dologa, el mo delo inicial semicualitativo se transforma en un nuevo modelo M 1 , en donde se ha dividido el conjunto de variables del problema V en tres conjuntos:  Y formado por las variables de dominio cono cido, donde cada y i 2 I i .  Z formado p or las variables que deseamos sabersuvalor cualitativo o cuantitativo.  W formado p or el resto de las variables del mo delo tal que no se saben sus valores, ni estamos interesado en cono cerlos. De acuerdo con ello, veamos como se representara un mo delo input-output para tres sectores pro ductivos, donde suponemos que se tiene cono cimiento cuantitativo y cualitativoysedesea realizar varias preguntas. Si denotamos mediante Var ( M )las variables de una determinada matriz de variables M entonces un modelo M 0 que representa dicho modelo input-output puede ser descrito p or el diagrama siguiente: M 0  8 > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > : C  8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : AX + D = X  a 11 + a 12 + a 13  1 : 0  a 21 + a 22 + a 23  1 : 0  a 31 + a 32 + a 33  1 : 0  8 a ij  0  a 13 >  a 11 a 12 =0 : 4 PM ( a 21 )  a 31  a 32  d 2 >  d 3  a 33  0 : 4  d 1 =35  PG 2 ( d 3 ) V  f Var ( X ) V ar ( D ) V ar ( A ) g Q  f x 1 ? x 2  a 32 g En este mo delo se ha expresado mediante el lengua je de modelado que los co ecientes tecnicos son to dos mayores o iguales a cero, el co eciente tecnico a 13 es ligeramente mayor que el co eciente tecnico a 11 , el co eciente tecnico a 21 es Positivo Mediano , la demanda d 2 es ligeramente mayor que la demanda d 3 , el co eciente tecnico a 31 es mucho menor que el co eciente tecnico a 32 y la demanda d 3 es Positiva Grande de subndice2 que de acuerdo con los exp ertos es un rango de valores comprendidos entre 34 y40. Segun las reglas de transformacion de la semantica del lengua je, el modelo M 0 se convierteenunnuevo mo delo: M 1  8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : C  8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : A 0 X + D 0 = X  a 11 + a 12 + a 13  1 : 0  a 21 + a 22 + a 23  1 : 0  a 31 + a 32 + a 33  1 : 0  8 a ij  0  a 13 ; r 1 a 11 =0  d 2 ; r 1 d 3 =0  x 1 ; rx 2 =0  a 33 2 0 : 4  1] a 31 ; a 32 r 2 =0  a 21 2 I PM  d 3 2 I PG 2  r 2 2 I  V  8 > > < > > : W = f x 1 x 2 x 3 d 2 a 11  a 12 a 13 a 31 a 23 a 32 g Y = f a 33 a 22 a 21 r 1 r 2 d 3 g Z = f ra 32 g Q f ra 32 g donde A 0 y D 0 son los resultados de hab er sustituido resp ectivamente en A y D los datos cuantitativos conocidos en este mo delo particular. Este mo delo puede considerarse como un problema de satisfaccion de restricciones que integra cono cimiento cualitativo y cuantitativo y que deb e resolverse mediante alguna meto dologa. Pero en general en estos problemas los resultados no son optimos si se aplica inmediatamente las tecnicas de satisfaccion de restricciones. Por ello se aplican en este traba jo tecnicas simbolicas que mejoren dichos resultados. 4 Meto dologa del Razonamiento Semicualitativo En este traba jo usaremos para razonar una red de restricciones, este tip o de razonamiento puede enmarcarse dentro de lo que se ha denominado en la bibliografa como razonamiento basado en restriccionesFreuder94]. El lengua je de esp ecicacion que hemos denido Normalización M1 M2 Soluciones Resolución Numérica del modelo Figura 2: Esquema de las fases del razonamiento semicualitativo p ermite, p or medio de las corresp ondientes reglas de transformacion, la formacion de la red de restricciones, y el resultado es un problema de satisfaccion de restricciones con variables cuyos dominios son intervalos. Las respuestas que queremos obtener al resolver dichos problemas seran cualitativasocuantitativas, dependiendo del interes del usuario. La meto dologa desarrollada, nos prop orciona el valor del intervalo o conjunto de valores que corresponden a las preguntas propuestas. Esta meto dologa se divide en dos fases bien diferenciadas que se representan en el gura 2. En la primera fase de Normalizacion se usan tecnicas simbolicas para transformar la red de restricciones, denotada como M 1 , en una nueva red de restricciones, denotada como M 2 . Esta nuevared es sometida a un tratamiento numerico que usa tecnicas de razonamiento con variables cuyos dominios son intervalos y que obtiene las p osibles respuestas a las preguntas planteadas, que se ha denotado p or S ol uciones . En la fase de normalizacion se usan algoritmos de reduccion simbolica. En la resolucion numerica se usan algoritmos del tip o branch and prune , donde deb e tenerse presente que la velo cidad de la convergencia dep ende de forma imp ortante de las expresiones algebraicas de las restricciones Ratschek84]. El interes principal de este tratamiento consiste en aplicar los algoritmos apropiados para aumentar el ecacia del mismo dado que estos problemas tienen complejidad exp onencial. Al nal se obtiene el rango de valores de las preguntas y dependiendo si la pregunta es cuantitativa o cualitativa, el resultado ser a resp ectivamente un intervalo real cerrado o una etiqueta cualitativa. 4.1 Normalizacion El mo delo M 1 anterior podra tratarse numericamente como un problema de satisfaccion de restricciones con variables cuyos dominios son intervalos, p ero en muchos modelos los resultados obtenidos no son optimos Dague93b]. En este traba jo, por ello se ha propuesto un tratamiento simbolico previo con la idea de transformar la red de restricciones en una nueva red.  Esta tendra las mismas soluciones que la anterior, pero p ermite mejorar los resultados que se obtengan en los algoritmos numericos. En esta fase se lleva a cab o la eliminacion de determinadas restricciones donde existen variables no signicativas. Las variables no signicativas son aquellas que no sab emos sus valores, ni estamos interesados en conocerlos. Este procedimiento por consiguiente puede reducir las variables que se tienen en el modelo. Dado el conjunto de restricciones de igualdad del modelo, el pro ceso de eliminacion de las variables no signicativas requiere la denicion de los siguientes conceptos:  Variables Sustituibles: Son aquellas variables w 2 W que aparecen en una restriccion de la manera siguiente kw + e ( x )=0 donde k es una constante real. En tal caso la sustitucion simbolica s es s  w = ; e ( x ) =k  Restricciones candidatas a eliminar: Son restricciones con variables sustituibles.  Interferencia de una restriccion resp ecto a una variable sustituible: Es el numero de restricciones donde dicha variable esta presente, excepto la restriccion considerada. I nter f er encia ( c i v i )= N j : j 2f 1 :::n g ( v i 2 Var ( c j ) ^ j 6 = i ) donde N representa el operador de conteo y Var representa el conjunto de variables de la restriccion .