MEMORIA
SOBRE LAS EQUACIONES
SUPERIORES
O
MÉTODO GENERAL DE RESOLVERLAS.
POR D. MIGUEL DE ALFEAR
Co onel db Inean e ia.
CIUDAD DE S. FERNANDO:
En la Imp en a del Real Cue po de A ille ía
de Ma ina. Año de 1814.
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b
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:yú 3.a ¿ic^a:.LoJ
INTRODUCCION
T
JLiA esolución de las equaciones supe io es ha
exci ado en odos iempos la a ención de los mas
céleb es Analis as, sin que ála ho a es a nin-
guno haya podido halla un mé odo gene al de
esol e las :el que p oponemos en es a pequeña
memo ia dis a mucho de llena es a idea; pe-
o nos lisongeamos me esca la acep ación de los
in eligen es ,así po su sencillez como po su
gene alidad ;yios Maes os ,que pa a ins uc-
ción de sus Alumnos en es a pa e del análisis,
p e ie an es e mé odo aqualquie a o o, aho a-
an iempo y abajo. Así lo ac edi ó la expe-
iencia en el cu so de Ma emá icas ,que enseña-
mos en la Academia de Gua dias Ma inas de
Cádiz, en el año de 1^92; pues habiéndolo p e-
e ido al que ae Bezou en su cu so pa a el
uso de la Ma ina, elizmen e co espondió el éxi-
o ánues as espe anzas.
Los conocimien os p elimina es ynecesa ios
pa a es e mé odo son ;sabe pasa áun solo
miemb o odos los é minos de la equacion iha-
ce desapa ece los denominado es, ans o man-
do la equacion en o a que no los enga ,sin
que po ello se le dé coe icien e al p ime é -
mino: hace homogénea la equacion :es o es ,que
el núme o de dimensiones sea el mismo en cada
e mino :y inalmen e sabe esol e las equa-
cíones de los g ados in e io es.
5
MEMORIA
SOBRE LAS EQUACIONES
SUPERIORES
O
MÉTODO GEXERAL DE RESOLVERIAS
1. J LL mé odo de esol e las equacíones
po qualesquie a ac o eS es gene al, yab aza
los di iso es acionales ylos que no lo son jy
aunque se p ac ica ambien| an eando como lo
hace Bezou en su cu so de ma emá icas pa a
la Ma ina ,es sinemba go p e e ible nues o mé-
odo an o po su gene alidad ,como po que
no conduce áuna equacion de un g ado mas
ele ado que el de la p imi i a. Hagamos la apli-
cación álos g ados 4.° 5^y6.° yse e á quan-
o es gene al.
QUARTO GRADO.
Sea la equacion canonica..x*-4-px®-í-qx®-í- x- -s= o.
pídese educi la ádos ac o es acionales del
a.“ g ado.

6
Sean es os dos F ac o es ..x*-4-mx-4-n :o ..p.
y.x^-4-Mx-í-N=o ..Q.
en quienes in, Nson can idades que se han de
de e mina en el p og eso dei caiccuío. Mul ipli-
qúense es os dos ac o es en i sí ,y esul a á
la equacion
-4- nx.*-4-Maix-+-Nnn=o ..R.
—+-Mx®-+-mMx'“-i-mNx
-4-Nx*
que debe se la misma que la p opues a. Iguá-
lense, pues, los coe icien es de cada e mino, y
esul a án an as equaciones como inde e minadas,
yde consiguien e pod an de e mina se.
Se án pues .... m- -Mmp ...i.* i
'n—Hm^ —•—
q
... 2. ^
Mi»^mN= ... 3.^ j
*
Nn=s ... 4-* 1
Aho a no hai sino hace lo que p e iene el ci-
ado Bezou omo III. nu a. 223. que se educe
áhalla los alo es de m, yn, (coe icien es del
ac o P) omándolos de dos de las qua o equa-
ciones en E, ysubs i ui los en las o as dos: e-,
sul a án dos equaciones que no con end án o as
inde e minadas que MyN. Eliminese una de
ellas (po exemplo M)po el mé odo del mis-
mo Au o omo III. num. i6y. úo o equi alen-
e ,yqueda á una equacion en N. Busquense los
di iso es comensu ables de es a equacion, yse
end á el alo de N, el que subs i uido en una
'
de las equaciones en MyN, se end á el a-
lo de M, yde consiguien e el ac o del 2.“
7
do x*-í'Mx-i-N=o. Ycomo con es os alo es de
M, yN, poniéndolos en las equaciones en E,
se hallan los de m, yn, se end á el o o ac-
o x’H-nix- -n=o ,que es lo que se pide. Pe o
es e mé odo es siemp e p olixo yse ab e ia
del modo siguien e.
3. A endiendo álas mismas equaciones en E,
espec o áque Nn:=s, se á n, un ac o de s. Su-
póngase conocido ,yp opongámonos de e mina
el ac o P, pues que eniendo es e ,si se di ide
po él la equacion p opues a ha de esul a el
o o Q. Pa a es o solo al a de e mina m. To-
mo ,pues ,dos qualesquie a de las equaciones en
E, las mas cómodas, (dexando la ul ima ), po
exemplo i.* y3,* Elimino en ellas M, yN5 que-
da á una equacion en m, yn, que, supues o n
conocido, da á el alo de m. Como Nse eli-
mina ácilmen e poniendo en su luga ,pa a
n.
elimina M, con las dichas equaciones yg.*
hago en la i.*. ..M~p—m, yen la 3.* M
—
n—sm j
j—Igualando es os dos alo es se iene
n
que dá inalmen e m—
°s—n*
equacion, que se i á de o mula pa a halla en
las equaciones del 4.“ g ado el coe icien e mdel
ac o P, omando po nuno de los ac o es a-
cionales de s,úl imo e mino de la equacion, y
subs i uyéndolo en dicha o mula.
8
Hallada de es e moda la equaclo i subsidia,
ia P, di ido po ella la p opues a. Si la di.
isión sale, he hallado loque busco ,yel qmj.
cien e se á el o o ac o Q. Si la di isión no
puede hace se, p uebo o o di iso de s, ponién.
dolo en luga de nen la o mula pa a ene m,
p obando es os di iso es con .4- ycon —has a
que, si ninguno sa is ace, se concluya que la
equacion no es educ ible ,álo menos po es e
mé odo. Exemplo.
"Sea_^ la equacion ix^- -iox- -5=o
se á pz^5q=ii5 =J055=5. Eos di iso-
es de 5son = ::i ,=^5/ P uebo el w-i ,y
pongo n= i en la o mula^ y end é m=i ,'y
la subsidia ia íe á P^x^'^X’4- lí=o. Pa o po
es a la equacion dada ,y esul a á Q.,.x®- -5x-4-5.
Es os dos ac o es mul iplicados uno po o o
es i uyen la equacion ,y esuel os dán las qua-
os alees de la equacion, dos imagina ias
x=: ylas o as dos eales éínco-
.8 •
mensu ables x -H? -
2
2." Exemplo ;Sea dada ía equacion
7
^—8z®-i-92’‘- -3 8z—4®—®
Compa ada ála canónica se á
p=—85q=9 5 =:38 ,s=:-4o.
Di iso es de 40, con
9
3*4*
I.” 2.OS OS
3
2* 0 »^
2, .10. .8
••••20* »* 4^0*
P uebo los posi i os yempiezo po - -2. Pongo,
pues, en la o mula n=2 ,yse á .Pe-
o como es e es un alo acciona io ,pues o
en la equacion Ren la qual debe se i á
es i ui la equacion dada , esul a ían los coe-
icien es en que se halla m, acciona ios , o que
es con a la hipó esis: luego no si e :p uebo,
pues, el di iso -4-4, ypongo en lá o mula
n—4 ,yse á m=—5:luego el ac o Pse á
z’—5z- -4 =o 5ypa iendo la equacion po es e
ac o , iene al quocien e z*-4-3z—io=:o :lue-
go es os dos ac o es sa is acen ,desue e que
mul iplicados en e sí dán la p opues a ,y esuel-
os se ienen las qua o aides de la equacion
—2, - -1,-4-4, - -s odos eales, y acionales;
no ándose de paso que es e mé odo pod á se -
i muchas eces pa a esol e la equacion del
4*g ado ,yhalla sus aíces sin necesidad de
qui a le el 2° é mino.
3. Yno solo pod á se i quando iene la
equacion el 2.’ é mino ,sino quando iene
sin él ,poniendo en la o mula p~o ,ydexán-
dola educida ám=: .. Demos él mismo
s—
n
exemplo que pone Bezou núm. 210,
2*
APLICACION ÁLAS EguACIONES DEL
5.^ g ado.
i . Pídese un ac o comensu able del 2“
g ado x*-+-mx-4-n=:o, que mul iplicado po uno
del 3.* x®-4-Mx*-hNx-+-R—o, p oduzcan la equa*
cion x*-4-px'^- -qx®-i- x''-+-sx-4- z=o, canónica del
5.“ g ado. Nó ese que di idimos la equacion en
dos ac o es uno del 2.® g ado, yo o del 3.®
que sabemos esol e , po que suponemos que la
equacion no se ha hallado di isible po un ac-
o del i.“ g ado 5pues si lo ue a, queda ía e-
ducida al 4.° yse p ocede ía como se ha dicho.
Hecha jpues, la mul iplicación, ycompa-
ados los coe icien es é mino á é mino , esul an;
pzi m-H-M. ..
q=zN-i-mM-í-n. 2,*
:=^R-4-mN- -Mn. 3.^
s—mR-i-nN. .4.*
ninR. ... 5.^
Po se nun ac o de , que se supone cono-
cido ,pa a halla él de m, oma é él de Rde
la equacion 5.* R=:-^5 él de Mde la ha-
ciendo M p
—
jTVT s—mR
doN=
m5yel de Nde la 4.^ hacien-
^óbien ,poniendo po Rsu a-
n
lo , N=——Aho a
,
subs i uyendo los de
nn
M, yNen la 2.^ end é una equacion en m, y%

qae da á el alo de m,pues o en ella po n
el di iso con quien he de an ea : se á ,pues, la
equacion _L—(p—m)- -n—
q
5la qual
nn’
o denada, y esuel a da á dos ale es de m,á
sabe :
^ue se i án de o mula.
Pa a halla ,pues ,en el caso pa icula el ac o
auxilia del 2.* g ado, omo po nun di iso de
de dos dimensiones, ysubs i uido en la o -
niila con los alo es de p, q, s, , end é dos
Valo es de m. Con cada uno de ellos o mo la
equacion x'-*-mx- -n=o, ypa o po ella la p o-
pues a. Si ninguno de los dos sa is ace, en á e
o o di iso ó alo de n,has a halla el ac-
o que busco. Exemplo i.°
Equacion. x‘—4cx*-^óc’x*—8c*x*- -5c*x—c*:=io.
Se á pz z —4c; q=6c^ 5 ~—Sc*^ s::i 5C*; i=—c*
Los di iso es de de dos dimensiones son
==±=0 .P uebo — —c*. Subs i uidos es os alo es
en la o mula 5se á m=
—
ic=i=V(|c)*: luego los
dos alo es de mson m~o 5m=—3c. Fo mo
con el p ime o el ac o del 2.“ g ado x*- -c’~o;
ypo que la di isión no iene luga lo exclu-
yo, ycon el 2.* alo m~—3c i mo la equa-
cion X*—3CXH-c*;=o ,po quien pa iendo la p o-
3*
i8
pues a hallo el quoclen e ó ac o del 3.® pa ado
X®—cx*-4-2c’x—c® =o, que és el que se pide, y
que mul iplicados en e sí es i uyen la equacion,
y esuel os dán sus aices.
Exemplo 2.'’. Equacion
x®-4-3x'^-i-2x®-í-8x*—36X-+-2 1=0.'
Como es a equacion no se halla educ ible po un
ac o del p ime g ado ,se pide educi la si es
posible po dos, uno del 2°g ado, yo o del 3."
Se á p—35 q=2 js——3<>5 =2 .
Los di iso es de 21 son =^35 =±=7, supues-
os de dos dimensiones. P uebo -1-3, yhallo
m—
"
y—11que e iden emen e no si e. P ue-
bo —3.yencuen o m=:|2=i:=|- Con es e 2.° a-
lo de n= —3, ym—3, o mo la auxilia x*-4-
3x—3—0, po quien pa iendo la del 5.® g a-
do, esul a x^-i-^x—?—o, que mul iplicados en-
e sí la es i uyen ,y esuel os dán sus alees.
12. Pa a asegu a se que el di iso que se ha
omado es el con enien e pa a halla el alo de
m,se puede oma o o camino que el de la di-
isión ,que hemos seguido has a aqui. Con el a-
lo hallado de m,yel que se le ha supues o a
n,hállense nue os alo es de M, yN5ycon
el de R=_L sus i uyanse en la equacion 3.“ de
n
que no se ha hecho uso :si la e i ican, yla ha-
cen idén ica, los alo es de m,y nson los con-
enien es. Vease en el exemplo J.’ dendo
3C5 n=c''^ R=:—c*, se á M=—N=2C :
luego la equacion e ce a =R-í-niN-+-Mn se
ig
con ie e en —gc®=-—c*—6c®—c*, que es idén-
ica. Fundándose es o, en que si los alo es de
m,yn e i ican la equacion de que no se ha-
bía hecho uso ,sa is acen álas condiciones del
p oblema :luego son los con enien es.
13. También puede po es e mé odo halla se
el o o ac o óequacion subsidia ia bien sea del
2.® g ado, óbien del 3.° Po que hallado el a-
lo de m,con es e yél del di iso pues o po
n, se hallan los de M, yNen las equaciones
1.* y2.* (po exemplo), ycon él de Rque se
iene en la 5.* se log an los es coe icien es que
son menes e . Vease en el exemplo numé ico an-
eceden e, siendo m=3 5n=:—35R =: ^,se-
á M =p_m=o5 yN=35yel ac o del e -
ce g ado x®- -5x—7~o, como an es.
APLICACION AHALLAR LOS FACTORES
qua/esquie a sean comensu ables óincomemu-
abies.
14. Has a aquí hemos usado de los di iso es
acionales pa a halla las dos equaciones auxi-
lia es, ó ac o es, que esuel os dán las aíces de
la equacion que se p opone 5ydichos ac o es
han sido ambién acionales. Pe o ex endamos el
mé odo has a donde alcanza.
Sea la equacion x^- -abx’-i-b’x’ 3®b=o. Bus-
quemos un ac o del 2.° g ado, ybusquémolo
siD depende de la o mula. Compa ándola ála.
20
canónica del 4.* g ado, halla emos las misma
equaciones E(núm j.’’). Subs i uyo en ellas les
alo es de p, q, &c. sacados de la p opues a
y en¿o las Cu o siguien es,
m- -M —2b,
n-^mM-4-N=b*.
Mn- ^mN= o.
nNz=—a*b.
Saco dé la !.* M: 2b—m.
Yde la 4.*. .
n
Es os alo es pues os en la 3.*dán m= K
ab-4—
n
Pa a da alo án, exámino los di iso es
acionales del úl imo é mino a*b que sean de
dos dimensiones ,ylos p uebo con Si nin-
guno de ellos sa is ace, exámino los di iso es
i acionales, omándolos ambién de dos dimen-
siones, ylos p uebo con son, pues, o-
dos ios di iso es de dos dimensiones, aciona-
les, éi acionales del úl imo é mino a*b ,los
siguien es, =±=3^5 z abj z= =a ^ab.
P uebo -4-a% ypongo n=:a“ en la equacion
K, end é —.Debe á, pues, se la equa-
a-i-b
cion ó ac o auxilia x*- - aab xx-4-a*=o. Pa *
halla el
,.M=3b—
o o
aab
a-+-b
a-i-b
ac o ,la eqüacíon ime da *
.La 4í* me da á N—-ab,
a-^b
qae son los dos coe icien es, yel a.® acio
2Í^*X
se á x*-+- L—ab=o. Pe o es os dos mu' i-
a— —
b
pilcados uno po o o deben es i ui la p opues-
a Ñola dan: luego son inú iles. Ylo mismo se
é ,(como hemos dicho núm. 12.) poni n.lo en
la equacion 2.* de que no hemos hecho uso ,ios
alo es hallados de m, M, n, N, pues como no
la hacen idén ica .no sa is acen.
Del mismo modo se halla án inú iles odos lo
demas di iso es comensu ables. P uebo, pues, el
di iso i acional - -aVab, haciendo n—aVab. Es-
e alo pues o en Kdá m z=b. Yes e subs i-
uido en la i.* esul a M=:b: y inalmen e en
I- a'TVT a*b a’b ,
la 4. se a N——==—aVab,
naVab
Es os qua o alo es pues os en la 2.* equacion
de que no se ha usado, la hacen idén ica: lue-
go dan la solución^ ylos ac o es del 2.° g a-
do en que se esuel e la p opues a son x*-i-
bx- -aVab=:o^ x’- -bx —aVab=o ,que mul ipli-
cados en e sí la es i uyen.
El mismo esu. adose halla haciendo n=—aVab.
Sea o o exemplo la equacion li e al del 5.*
g ado.
*-^b)x*-i-(2ab-í-i Vab) x*-4-abV—a*b=o.
Compa ada ála canónica del «;.* g ado, halla-
emos las mismas equaciones (núm. 1j)ysubs-
i uyendo en ellas los alo es de p, q, , &c. sa-
cados de la p opues a , end mos las cinco si-
guien es.

93
m- -Mzza- -b
n-+-mM-+-N=33 b—4—ai/ab
R—+~mN-+-A1n-=:-ab*
iiR-^nN=o
nR——a'^b.
Saco de la M=aH-b—m.
yde la 5.* R=::iñ!^
n
Pongo en es a po n, aVab.. que es uo di iso
i acional de dos dimensiones del úl imo é mino
a^b.
Yse end á R=—aVab.
Subs i uyanse en la 4.“ po R, yn, sus alo es.
Yse end á Nii;ma.
Finalmen e ,pongase en la 3.* po R, N, My
sus alo es.
yse end á n*— aVab ib’ bVab
TVab ^,Vab
LíUego m=: —
22
De consiguien e m b.
Y, ,m=:—b-i-Vab.
Luego el ac o dei 2.“ g ado en que se esuel-'
e la p opues a es x^- -bx-HaVabzno.
ypa iendo la p opues a po es e ac o , se ie-
ne al quocien e el o o ac o del e ce g ado
x®- -3x*- -abx —a^Vab zo ,que es el que se
pide, yque mul iplicados en e sí es i uyen la
equacion ,y esuel os dán sus aíces.
Obsé ese ambién, que si los alo es de n,
m, M, yNse subs i uyen en la 2.^ equacion
23
de que no se ha hecho uso la hacen idén ica, y
de consiguien e deben da Ja solución.
6.® GRADO.
15. La equacion del 6.® g ado se educe po
es del 2.' ópo dos una del 2.' yo a del
4ópo dos del 3.® Pe o si se puede esol e
en^ es del 2.® se pod á ambién en dos una del
2. yo a del 4.®. Ten a emos, pues, la educ-
ción po dos del 2,® y4.® ydespués po dos del 3’
1/ Reducción po dos ac o es del 2.® y4.®
Sea x"— 13ax*-^-45a"x^—yja^x^-i-sya^x"— 16a‘x
-^-2a~o.
Las auxilia es son x*- -Mx®-4-Nx’H-Px-i-Q=o.
x“-+-mx-4-n=:o.
Mul iplicados ycompa ados los coe icien e*
con los de la p opues a esul an las equaciones
M- -m z J3a ..i.*
JVH-mM-Hni: 45a“ ..2.
P-4-mN- -nM =—yia* 3.
Qn-mP-í-Nn^ sya'^ .4.
nQ- -nP=—i6a* ..c.
Qn=2a® •.... 6.
De la 1.* saco M =—13a—m. E.
yde la 6.* ...F.
el alo de Mpues o
a la 2.*dá N=45;i’_j_,3am- -m*-n...G.
lómese aho a Ja 5/
yponiendo en eíla
24
i alo de Q, esul a á P=—
^
nn*
Subs i uyendo aho a en la 4/ los alo es de
ISi, P, yQ, end é la equacion en m,ynj es-
aa* /-16a* 2a®m» ,s
— i^——
o es n
—{—m*—n) =5j a*, que educida yo denada ea
la o ma mas cómoda es
-1
6
a® Tia-4- <3an*m- -2a^n-57a'^n^- -4ga*n^-n*
n
'n*- -2a
zo.
Pe o la equacion 6.* nos dice que nes un
di iso de 2a", ydebiendo se de dos dimensio-
nes ,busco p ime o odos los di iso es simples,
que' son 2a, a, a, a, a, a, yde ellos o mo los
bina ios =-=2a% =±=aV2. Pongo en Ja
equacion n= =a El i.’ la con ie e en m^-a-
gam- - ia*=:o, yel nega i o la muda en m
—
am^35a"=o: una yo a equacion dán po m
alo es imagina ios, como es mani ies o, luego
es os di iso es no si en. ,
Pon^o n=2a% yla equacion se hace m-+-
22am—1—20a*—o. Resuel a, dá dos alo es eui,
es o es ,m : ^—10a ^m=—2a. Si omamos ei.
halla emos N=i3a*iPp—S •
i uidos es os alo es en la equacion^ 3- *
no se ha usado, el esul ado es 139^ •
es absu do ;luego el di iso es inú il
mando el alo 2.“ m^--2a. se halla
xiaj P=- a^ ,y inalmen e se ha
lia C=a% yes os son los coe cien cs del ac o
del 4.* g ado que se buscan ^pues si ponemos en
la equacion 3/ los alo es hallados de M, N,
yP, el esul ado es una equacion idén ica: que-
da, pues, la p opues a esuel a en dos ac o es
uno del 4.* g ado x'^ —1iax*- -2ia*x*—ya*x-i-a*
o, yo o del 2.* x*—2ax- ;-2a*=io, que es lo
que se pide.
16. Nó ese de paso ,que si después de halla-
dos los alo es de M, N, P, Q, como se en en
E, G, H, F, en luga de subs i ui los en la equa-
cion 4* como hicimos ,se hubie an subs i uido en
la 3/ ,hubie a enido una equacion en mdel 3.*
g adoj á sabe ,
3am’-4-45a*m-iJL-í-y la*- 1
3
an= o.
-nm
2a*m
Que poniendo n 2a* como an es, se con ie e en
es a 2m -4-26am -H-85a*mH-y4a*:zio, que es de
mas di ícil solución que la del 2." g ado que an-
es hallamos. Sin emba go ,po es a encon a ía-
mos lo mismo. Po que es a equacion iene una aíz
comensu able —2a ,la qual da á como an es los
alo es de M, N, P, Q, ysubs i uidos los con e-
nien es en Ja equacion 4.* de que en es a hipó-
esis no se hubie a hecho u^o ,la hacen idén ica
Como es ácil de e . In ié ese, pues, que la elec-
ción de las equaciones da á mas ómenos acili-
dad en el calculo.
4*