Variación y posición de variables: estrategias para su estudio exploratorio

Metodología de Encuestas ISSN: 1575-7803 Vol 4, Núm 1, 2002, 45-61 RESUMEN En la medición de preferencias y en la comparación de ítems entre sí, surge la necesidad de interpretar las variables resultantes con respecto a diversos criterios. Los dos más habituales son una medida de variación o dispersión y una medida de posición o tendencia central. En este trabajo se proponen algunos modelos de representación gráfica, bajo la denomiación común de “diagrama de posiciones y variaciones” donde el conjunto de variables se dispone en un espacio bidimensional. Una de las dimensiones está representada por una medida transformada de tendencia central. La otra dimensión representa una medida transformada de dispersión. Como estrategias de transformación se recurre a la estandarización y a la acotación en el intervalo (0,1). Esta representación gráfica permite comparar las variables en cada dimensión por separado y extraer conclusiones exploratorias en cuanto a la relación entre ambas dimensiones, a la vez que establecer impresiones sobre el conjunto de variables, objetos o ítems. Palabras clave: representación gráfica, diagrama de posiciones y variaciones transformadas, acotación de varianzas, análisis exploratorio. VARIACIÓN Y POSICIÓN DE VARIABLES: ESTRATEGIAS PARA SU ESTUDIO EXPLORATORIO . Vicente Manzano Arrondo 46 V. Manzano Análisis previos Es generalizado el consejo de realizar determinados análisis con los datos recogidos de un estudio antes de proceder a los procesos estadísticos que se derivan de sus objetivos (por ejemplo, Freixa y otros, 1992; Rojas, 2000). Esta etapa previa ha recibido nombres muy diversos, como análisis exploratorio de datos (Tuckey, 1977) o análisis previo de los datos (Chatfield, 1985). Pero las características que la definen son las mismas. Consiste en una fase del proceso de análisis donde se procede a revisar la información, habitualmente con el objetivo de encontrar errores o incoherencias y depurarlas, señalar valores ausentes e imputarlos, identificar casos peculiares o raros y tomar decisiones sobre las condiciones de su inclusión, comprobar supuestos y, tal vez, realizar transformaciones de variables implicadas, etc. Pero también es la situación ideal para comenzar a familiarizarse con los datos, con su comportamiento univariable, con sus posibles relaciones, etc. La riqueza de esta fase de análisis es impresionante y puede consistir en la aportación más relevante del estudio. Rao (1994) muestra, por ejemplo, situaciones donde estos procesos pueden demostrar la manipulación intencionada de los datos. Y Chatfield (1985), incluso, expone algún ejemplo donde el análisis descriptivo previo a los estudios de inferencia puede desaconsejar éstos. Lamentablemente, es una costumbre muy extendida realizar los análisis de inferencia con prontitud, sin llevar a cabo las operaciones previas que se acaban de mencionar. Utilizando una analogía fácil, realizar análisis para tomas de decisión sin considerar la fase de exploración previa, es como ir de vacaciones a una isla desierta, acompañado por un grupo de desconocidos. Esta circunstancia tal vez sea debida a una mezcla entre la formación o preparación insuficiente y la facilidad para la realización de los análisis, aún complejos, gracias a las herramientas informáticas (Solanas y otros, 2001). ¿Qué se llevaría usted a un día de campo? Para plantear el recurso que se presenta en este trabajo, asentado sobre necesidades previas, vamos a utilizar un ejemplo concreto, real, pero arbitrario para el objetivo de mostrar el diagrama de posiciones y variaciones transformadas: 20 profesores universitarios fueron entrevistados. La tarea que debían realizar consistía en la ordenación de un conjunto de 8 tarjetas. Las instrucciones fueron las siguientes: “Vas a pasar el día en el campo, en soledad. Alguien te llevará por la mañana y te recogerá por la noche. Te permiten llevar de 1 a 8 cosas, además de tu vestimenta. Ordena los siguientes elementos (del más preferido al menos preferido) según tu interés por llevártelos contigo.” Los elementos fueron: 1. Un botiquín 5. Un perro. 2. Un reloj. 6. Un libro. 3. Papel y lápiz. 7. Unos prismáticos. 4. Una hamaca. 8. Un almuerzo. Variación y posición de variables: estrategias para su estudio exploratorio 47 Cada elemento ocupaba una tarjeta independiente. El conjunto de tarjetas era barajado de una entrevista a otra. Cuadro 1: respuestas de preferencia. Los resultados numéricos obtenidos, una vez reorganizada la información, se muestran en el cuadro 1. Cada columna representa a cada uno de los ocho objetos, en el orden en que han sido expuestos. Cada fila constituye el vector de respuestas por persona entrevistada. Las cantidades numéricas se refieren al orden de preferencia. Así, por ejemplo, la primera columna, que se refiere al objeto “Un botiquín”, ha sido preferido en séptimo lugar por el profesor 1, en tercer lugar por el profesor 2, etc. Posiciones y variaciones No es nuestra intención aquí reproducir un proceso completo de estudio exploratorio. Incluso, algunos de los tópicos carecen de sentido aquí, como la ausencia de respuesta parcial (harto difícil en tareas de preferencia) o problemas diversos de depuración. En lo que se refiere al tanteo de interpretaciones univariables, un interrogante básico es obtener alguna medida que represente el grado de preferencia de cada objeto. Dado que contamos con las respuestas de varios entrevistados, una estrategia esperable es acudir a una medida promedio, como puede ser, por ejemplo, la media aritmética. En nuestro ejemplo, los valores de la media aritmética para cada objeto se encuentran en el cuadro 2. Se puede observar, al respecto, que el objeto preferido, por término medio, es el 8 (Un almuerzo, μ=1.85), mientras que el objeto menos preferido es el 2 (Un reloj, μ=5,95) seguido, muy de cerca, por el 5 (Un perro, μ=5,85). El cuadro 2 contiene también otra medida obligada: un índice de variación. Sabemos que el grado en el que un promedio representa al conjunto del que proviene es una propiedad relativa al grado de variación. Es fácil aceptar que conforme es mayor la dis7 6 5 8 4 3 2 1 3 8 7 6 4 5 2 1 7 8 4 5 2 3 6 1 6 7 3 5 8 2 4 1 6 4 3 7 8 2 5 1 7 8 4 5 6 3 2 1 5 7 2 4 8 1 6 3 5 7 4 2 8 3 6 1 7 3 5 4 8 2 6 1 8 6 5 1 7 2 4 3 6 8 3 7 2 1 4 5 6 4 2 7 8 1 5 3 7 8 1 6 5 3 2 4 6 8 5 7 1 3 4 2 7 4 2 6 5 1 8 3 6 5 7 3 8 2 4 1 4 3 5 6 8 2 7 1 2 3 6 7 8 5 4 1 1 8 5 7 3 4 6 2 2 4 7 8 6 3 5 1 48 V. Manzano persión de los datos, es menor el poder de representación de cualquier valor único. Así, se puede observar que el objeto 5 (Un perro) muestra una elevada desviación (σ=2,372), al menos en comparación con el conjunto de los valores de variación. Esta circunstancia indica que se trata de un objeto más y menos preferido (según los profesores entrevistados) que el objeto 2 (σ=1,936), a pesar de constar ambos con un promedio similar. Cuadro 2: medias y desviaciones tipo para las variables del estudio. Medidas estandarizadas La comparación entre variables es un caso habitual de estudio exploratorio donde las características de un elemento se interpretan en función del grado en que el resto de los elementos participan de la misma característica. En nuestro estudio, la variable “preferencia por llevar un almuerzo” es peculiar, puesto que acapara el extremo inferior de la escala (es el objeto más preferido, por término medio). Pero también resulta peculiar la variable “preferencia por llevar un perro”, debido, esta vez, a su marcada dispersión: señala la existencia de importantes desacuerdos entre entrevistados. La caracterización de las variables por varias propiedades estadísticas abre el camino para interpretar éstas considerando varias dimensiones. De hecho, algo se ha hecho ya en ese sentido cuando se ha interpretado el valor promedio de la preferencia por “Un perro” en función de la dispersión o grado de desacuerdo entre los entrevistados. No obstante, se puede ir más allá, considerando los valores tipificados para las dimensiones “posición de la distribución” o “tendencia central” (en este caso, media aritmética) y “variación” o “dispersión” (en este caso, desviación tipo). La estandarización o tipificación permite expresar las mediciones en términos relativos, de tal forma que resulten independientes a las características de variación y tendencia de la escala. Este efecto se consigue gracias a expresar el valor original como número de desviaciones tipo que lo alejan del promedio de su distribución. El cuadro 3 muestra los resultados de la tipificación para el ejemplo. La observación de estas dos columnas de puntuaciones estandarizadas nos muestra que lo más sobresaliente es el alto grado medio de preferencia por el objeto “Un almuerzo”, seguido por el elevado desacuerdo (relativo, puesto que es un valor elevado en comparación con el resto de las dispersiones) con respecto a la preferencia por el objeto “Un perro” y por el elevado acuerdo o coincidencia en la preferencia por el objeto 6 (Un libro). V ariable Media Desviación Tipo 1 5.400 1.934 2 5.950 1.936 3 4.250 1.728 4 5.550 1.883 5 5.850 2.372 6 2.550 1.161 7 4.600 1.685 8 1.850 1.195 Variación y posición de variables: estrategias para su estudio exploratorio 49 Cuadro 3: medidas estandarizadas para la media y la desviación tipo. Un análisis algo más pormenorizado de la tabla nos puede mostrar la circunstancia de que los valores positivos de variación van acompañados de valores también positivos de promedio. Otro tanto puede decirse de los valores negativos. Esta circunstancia sólo posee la excepción de la preferencia por el objeto 7, “Unos prismáticos”; sin embargo, sus valores de tendencia y dispersión se encuentran tan cercanos a cero que el cambio de signo no parece ser relevante. Esta relación es fácilmente identificable si la comparación se realiza entre ambas dimensiones estandarizadas, y permite establecer una regla de relación entre ambas: conforme aumenta la preferencia por un objeto, lo hace también el grado de acuerdo o coincidencia entre entrevistados. Recordemos que nos encontramos en una fase de tanteo, de conocimiento previo sobre los datos y sus posibles relaciones. La afirmación de tendencia entre desviaciones tipo y medias aritméticas, se establece únicamente ante el espacio de competencia de la muestra. Extensión e información gráfica Las reflexiones realizadas hasta el momento cuentan con la ventaja de realizarse sobre un conjunto simple de datos que comparten la misma escala. Existe una gran diversidad de situaciones donde la comparación entre medidas estandarizadas de promedios y desviaciones es muy fructífera, pero muestra ciertas limitaciones. Algunos de los puntos que justifican esta afirmación son: • El contexto de respuestas de preferencias sirve de excusa para mostrar beneficios asociados a la comparación de las dimensiones estandarizadas posición del conjunto de respuestas y dispersión del conjunto de respuestas. El abanico es mucho más amplio. En general, cualquier contexto donde medie un cuestionario, en sentido amplio, es susceptible de ser abordado con estas estrategias exploratorias. • En situaciones que se alejan de los datos de preferencia, como las respuestas a ítems independientes, las escalas de medida de éstos pueden variar sensiblemente. Así, por ejemplo, es frecuente que un mismo cuestionario, V ariable Media Desviación Tipo 1 .622 .524 2 1.003 .529 3 -.173 -.022 4 .726 .390 5 .933 1.689 6 -1.348 -1.531 7 .069 -.137 8 -1.832 -1.441 Mínimo: -1.832 -1.531 Máximo: 1.003 1.689 50 V. Manzano utilizado en una encuesta, contenga bloques de ítems con formatos diferentes. En tales casos, las comparaciones entre variables pueden generar sesgos en la interpretación. Un ítem con formato Likert de 5 puntos, por ejemplo, mostrará unos valores esperados para el promedio y la dispersión menores que un formato Likert de 7 puntos. Tal circunstancia obliga a equiparar la escala de todos los ítems considerados en este procedimiento descriptivo. En términos generales, una variable v ∈ (a,b) puede ser recodificada en otra, v’ ∈ (a’,b’) siguiendo la transformación: () ' '' 'a ab ab avv + − − −= La media aritmética queda transformada del mismo modo, mientras que la desviación tipo resultante se ve afectada de forma: ab ab SS vv − − ='' ' Estas operaciones deberían realizarse con antelación a la estandarización de las medidas. • En la mayoría de las situaciones reales, el número de variables generadas a partir de los ítems de los cuestionarios es muy superior a las 8 que hemos utilizado en el ejemplo. En tal caso, la utilización de tablas numéricas no es recomendable, puesto que la abundancia de información es inversamente proporcional a la capacidad para obtener conclusiones por parte de quien las realiza. Para establecer conclusiones sobre la posible relación entre las medidas de posición y de variación, así como para obtener una impresión de conjunto, es necesario algo más que un número manejable de variables. Así, por ejemplo, el cuadro 3 ha permitido la posibilidad de mostrar una relación más o menos lineal positiva, pero esta conclusión no es inmediata, ni salta a la vista. Resultaría mucho más fructífero ordenar las medidas estandarizadas en función de alguna de ambas dimensiones, puesto que no es posible establecer una ordenación bidimensional al mismo tiempo. Sin embargo, sí existe un recurso para organizar la información de tal forma que: se permita un criterio de dos ordenaciones simultáneas, sea compatible con un número más extenso de variables y facilite las conclusiones no sólo por cada dimensión por separado, sino también con respecto a la relación entre dimensiones y a la impresión global: la representación gráfica en un espacio, en este caso, bidimensional. La figura 1 muestra un diagrama de posiciones y variaciones estandarizadas que aún debe ser matizada. El diagrama muestra con claridad cuatro grupos de variables y una tendencia aproximadamente lineal positiva. El eje de abcisas representa la medida de posición del conjunto de datos en cada variable (en este caso, media aritmética). El eje de ordenadas se refiere a la medida de dispersión de los datos suministrados por cada variable (en este caso, desviación tipo). La tendencia lineal positiva se refiere aquí a la circunstancia de que un aumento en el valor del promedio de la variable va acompañado de un aumento en el valor de la dispersión. En términos más ajustados al ejemplo: conforme existe un objeto más preferido por término medio, también lo es por término general, es decir, existe mayor acuerdo en escogerlo como objeto preferido. Variación y posición de variables: estrategias para su estudio exploratorio 51 Figura 1: diagrama de posiciones y variaciones estandarizadas. Figura 2: diagrama cuadriculado de cotas constantes. Los cuatro grupos de variables quedan definidos como: (1) alta preferencia y acuerdo para los objetos 6 y 8 (un libro y un almuerzo, respectivamente), (2) niveles medios de preferencia y acuerdo para los objetos 3 y 7 (papel y lápiz, y unos prismáticos, respectivamente), (3) nivel ligeramente bajo de preferencia y de acuerdo para los objetos 1, 2 y a 52 V. Manzano 4 (un botiquín, un reloj y una hamaca, respectivamente) y una preferencia ligeramente baja, con un marcado desacuerdo, para el objeto 5 (un perro). Las conclusiones podrían matizarse o, incluso, extraer aún más información de estas dimensiones, si se operara con una representación gráfica de características algo diferentes. Dos cambios sencillos permitirían estas posibilidades: • Cuadricular el diagrama siguiendo las unidades estandarizadas como sistema de medida. • Mantener constantes las cotas de los ejes. Ambos recursos facilitan la obtención de nuevas conclusiones. Así, por ejemplo, se observa que el objeto más extremo lo representa el 8 en la dimensión “posición”. Lo más sobresaliente es, pues, el alto nivel de preferencia (puntuación más baja) por este objeto. Su puntuación tipificada en la dimensión promedio (-1,832) es la que define la cota en los cuatro extremos. Gracias a esta estrategia, resulta evidente que el grado en que este objeto es preferido es mucho más relevante que el grado en que no lo son los objetos 2 y 5, por ejemplo (obsérvese, al respecto, la distancia a que separa el objeto menos preferido, el 2, del extremo derecho de este espacio bidimensional). Por otro lado, el cuadriculado (establecido, en este caso, para ½ desviación tipo) permite observar, entre otros aspectos, que el valor de la distancia a se acerca a 1 desviación tipo. Valores acotados El recurso de comparar las medidas según sus versiones estandarizadas, tiene la ventaja y el inconveniente de resultar dependiente de las medidas del resto de variables. No obstante, ésta como cualquier otra transformación lineal no modificará las relaciones entre pares comparados, sino más bien las conclusiones generales con respecto a las distancias absolutas. Así, en la figura 2 se observa que el extremo se encuentra tocado por el objeto 8 en la dimensión horizontal. Ello no significa que sea imposible un promedio inferior, implica únicamente que no hay valor presente que sea más extremo. Es, pues, una cota empírica, no teórica. Una estrategia alternativa implicaría re-expresar las medidas utilizadas acotándolas en un intervalo constante, como (0,1), de tal forma que ambos extremos señalen las cotas máximas absolutas o teóricas, en el sentido de que pueden no ser alcanzadas en la práctica. Si la expresión implica una transformación lineal, la configuración de relaciones no sufrirá ningún cambio, pero sí la interpretación con respecto a las cotas. Puede llegar a observarse, por ejemplo, que las distancias entre promedios y variaciones son poco importantes a la luz de lo lejos que se sitúan de los márgenes teóricos. Una función ϕ puede ser acotada en (0,1) si se opera con su valor máximo, max(ϕ), y su valor mínimo, min(ϕ), de tal forma que partiendo de: φ)max(φφ)min( ≤≤ restando el valor mínimo: φ)min(φ)max(φ)min(-φ0−≤≤ y dividiendo entre la distancia de cotas: Variación y posición de variables: estrategias para su estudio exploratorio 53 φ)min(φ)max(1 φ)min(φ)max( φ)min(-φ 0>≤ − ≤para (1) Si el ítem o la variable permiten respuestas en el intervalo (a,b), cualquier valor promedio, μ, puede ser acotado, siguiendo (1), mediante la estrategia: abpara ab a> − =-μ μa En el caso de la desviación tipo, pueden seguirse dos criterios: la especificación de un máximo absoluto (qué valor máximo es posible obtener para la variación, considerando los extremos a y b) o éste en consonancia con el valor promedio obtenido (qué valor máximo es posible obtener para la variación, considerando los extremos a y b y un promedio de valor M). Dado que el valor de la varianza es tanto mayor cuanto mayores son también las distancias a la media, su máximo se encontrará cuando todos los datos muestren únicamente como valores a o b. Si se cuenta con n datos para la variable X (de media M y varianza D12), de los que k datos muestran el valor a, entonces: b n ba k n bknka ni x M+ − = −+ =  =)( (2) y, por tanto: =      + − − −+ =−= 2 22 2 2 2 1)( b n ba k n bknka M n x Di      −−= n k ba n k1)( 2 (3) El valor mínimo para D12 ocurrirá cuando las distancias sean nulas, es decir, cuando no exista variación y, por tanto, D12 = 0. El valor máximo tendrá lugar cuando su derivada parcial con respecto a k se anule, es decir: 2 1 22 1 )( 22 1n k n k n k n ba k D==      − − = ∂ ∂ (4) Así, sustituyendo (4) en (3): 24 )( 1 2 1ab D ba D− = − = (5) No obstante, para n impar, las soluciones más cercanas son k = (n+1)/2 y k = (n-1)/2 60 V. Manzano Pero la figura 8, que recurre a la recodificación en el intervalo (0,1) muestra cómo los ítems se encuentran aglutinados en la zona de baja dispersión (no son elementos muy discriminativos entre sujetos) y con un nivel de acuerdo más bien alto que podría hacer sospechar de un control insuficiente de la aquiescencia. Conclusiones Los diagramas de posiciones y variaciones transformadas, especialmente si se mantiene una cota constante para los extremos de ambas dimensiones, permiten obtener impresiones sobre las variables del estudio que son más difíciles de concretar mediante otros recursos. Por un lado, se establecen conclusiones que se refieren a cada dimensión por separado, contemplando la interpretación de las variables más extremas. Por otro lado, se posibilita el establecimiento de conclusiones en términos de la relación que puede llegar a ocurrir entre la medida de tendencia o posición de la distribución y la medida de dispersión que se hayan considerado. Y, por último, facilita el establecimiento de impresiones asentadas sobre la configuración del conjunto de las variables, observando, como ha ocurrido en el primer ejemplo expuesto, agrupaciones entre variables similares en sus medidas de variación y posición. Sabemos que las conclusiones generales sobre el comportamiento promedio de una variable sólo son aceptables si se cuenta con una dispersión moderada o reducida, lo que, en términos gráficos se corresponde con los cuadrantes inferiores. Pero la cuantía de la dispersión es en sí también una característica de gran interés. La existencia de una amplia variación (cuadrantes superiores) muestra la posibilidad de agrupar los casos o individuos, de identificar ítems discriminativos. Así, en los resultados mostrados con motivo de las preferencias por los ocho objetos, el diagrama aconseja realizar un estudio específico para explicar las variaciones observadas con respecto al objeto 5. En estudios de mercado, por ejemplo, tales resultados abren la puerta para el establecimiento de segmentaciones. En definitiva, pues, los diagramas que se han presentado en este trabajo, a la vez que las medidas acotadas en las que se asientan, constituyen una herramienta muy sencilla y simple con amplias posibilidades para la interpretación de las variables o ítems de un estudio, localizada en esa importante e imprescindible etapa inicial de los análisis donde se pretende conocer los datos, familiarizarse con ellos y comenzar a ensayar conclusiones. Variación y posición de variables: estrategias para su estudio exploratorio 61 Referencias Chatfield (1985) The initial examination of data. Journal of the Royal Statistical Society, 148, 214-253. Freixa, M.; Salafranca, L.; Guàrdia, J.; Ferrer, R. y Turbany, J. (1992) Análisis exploratorio de datos: nuevas técnicas estadísticas. Barcelona: PPU. Rao, C.R. (1994) Estadística y verdad. Barcelona: PPU. Rial, A.; Varela, J. y Rojas, A. 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