Un modelo probabilístico para el cálculo estructural de sistemas mecánicos y la aplicación a la optimización de sistemas

P oyec o Fin de Ca e a
Ingenie ía de Telecomunicación
Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica
Supe io de Ingenie ía
Au o : F. Ja ie Payán Some
Tu o : Juan José Mu illo Fuen es
Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2013
P oyec o Fin de Más e
Más e en Diseño A anzado en Ingenie ía Mecánica
Un modelo p obabilís ico pa a el cálculo es-
uc u al de sis emas mecánicos y la aplica-
ción a la op imización de sis emas
Au o : Jacobo Ayensa Jiménez
Tu o : José An onio Sanz He e a
Dep. Ingenie ía Mecánica y de Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2016
P oyec o Fin de Más e
Más e en Diseño A anzado en Ingenie ía Mecánica
Un modelo p obabilís ico pa a el cálculo
es uc u al de sis emas mecánicos y la
aplicación a la op imización de sis emas
Au o :
Jacobo Ayensa Jiménez
Tu o :
José An onio Sanz He e a
Doc o en Ingenie ía indus ial, Abengoa Resea ch
Dep. Ingenie ía Mecánica y de Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2016
P oyec o Fin de Más e :
Un modelo p obabilís ico pa a el cálculo es uc u al de sis emas mecáni-
cos y la aplicación a la op imización de sis emas
Au o : Jacobo Ayensa Jiménez
Tu o : José An onio Sanz He e a
El ibunal nomb ado pa a juzga el abajo a iba indicado, compues o po los siguien es p o eso es:
P esiden e:
Vocal/es:
Sec e a io:
acue dan o o ga le la cali icación de:
El Sec e a io del T ibunal
Fecha:

Dedicado a Ma ía
I
Ag adecimien os
Es
e abajo es el u o de un año de abajo, a caballo en e el ma co indus ial y el ma co académico.
Se a a de la pun a del icebe g de una me odología que se p e ende implan a en la emp esa Abengoa
de ca a a es ablece un ma co nue o, más e icaz, pa a el diseño de sis emas es uc u ales en ocados a la
p oducción.
Po ello, es e abajo iene mul i ud de ideas, mé odos, di ec ices... pe enecien es a odo el g upo que codo
con codo hemos abajado en el p oyec o Reliable. En pa icula , me gus a ía ag adece a José An onio Sanz
He e a, p incipal o ien ado pa a es e abajo, po su iempo (que sé que le es escaso), ánimo y consejos; po
su men alidad indus ial, que a pesa de complica a menudo los asgos académicos, pe mi e que el ingenie o
nunca deje de se p ecisamen e eso, un ingenie o. Me gus a ía ag adece ambién a Alejand o Tapia Có doba,
po su ingenio y su alen o, po que abaja con él en el p oyec o ha sido un p i ilegio. Ag adece le ambién
po la in inidad de eces que me ha echado una mano con el o ma o y algunas igu as de la memo ia.
La p ime a pa e del abajo es el esul ado de una es echa colabo ación con el g upo de Dinámica
Ambien al de la Uni e sidad de G anada, a ca go del ca ed á ico Miguel A. Losada Rod íguez. Fue du an e
un co o pe iodo de ap endizaje en su g upo donde descub í la eo ía del égimen ex emal, en ocasiones
ausen e en los cu sos básicos de es adís ica, aunque enga un pa alelismo di ec o con la eo ía del égimen
cen al, habi ual en es os cu sos in oduc o ios y donde comp endí la lexibilidad de los modelos es adís icos
mix os, especialmen e pa a cap u a la a iabilidad de a iables ambien ales. Tan o el ma co eó ico de los
modelos mix os como la implemen ación numé ica básica, es esencialmen e suya. Ag adece , en pa icula , a
los doc o andos Ped o R. Folgue as, Lou des Jalón y F ancisco Bello po su acogida, social e in elec ual, en
el g upo.
La segunda pa e del abajo es pe sonal, an o en ideas como en el desa ollo de la implemen ación de
las mismas. No obs an e, el sol e del mé odo de la igidez es á basado, en ipo y es uc u a de da os, en
el suminis ado a los alumnos po los p o eso es Jose Ángel Pé ez y Luís Rod íguez de Tembleque, siendo
algunas unciones, en pa icula , idén icas. Es po ello que no cabe o a cosa que ci a a los au o es en
ag adecimien o.
La e ce a pa e es ambién muy pe sonal, pe o es opo uno nomb a a Agus ín Sánchez de la Nie a po
sus consejos y e e encias a p opósi o de la eo ía del iesgo y es udio de me cados.
Finalmen e, me gus a ía ag adece a odos los que han compa ido conmigo es e úl imo año en Abengoa.
P incipalmen e, a mis compañe os doc o andos del á ea de simulación, En ique J. Sánchez Quin e o y Emilio
F anco González, a Elena Gómez O iz, que me echó una mano con las simulaciones de XFlow y al es o de
doc o andos po esol e me, en momen os pun uales, las dudas in e disciplina es que podían su gi me sob e
la ecnología PV, el me cado eléc ico o el cálculo de ca gas de ien o.
Jacobo Ayensa Jiménez
Abengoa Resea ch
Se illa, 2016
III
XÍndice Ab e iado
6. Fallo es uc u al: ecuaciones de e i icación 119
6.1. Fo ma gene al de las ecuaciones de e i icación 119
6.2. Modos de allo es uc u ales de una es uc u a de ba as a iculadas 124
III. Aplicación al análisis de iabilidad 127
7. Diseño y análisis económico 129
7.1. Plan eamien o gene al del p oblema 130
7.2. Resolución del p oblema 136
7.3. Algunos comen a ios sob e es a egias de diseño, ges ión y inanciación 139
8. Mé odos ma emá icos pa a p oblemas p obabilís icos 145
8.1. Mé odos p obabilís icos pa a el análisis de iabilidad 146
8.2. P og amación es ocás ica 150
8.3. El mé odo de Mon eca lo aplicado al cálculo de p obabilidades 153
9. Op imización de una es uc u a sopo e de paneles o o ol aicos 161
9.1. Desc ipción del caso de análisis 161
9.2. P oblema de op imización 163
9.3. P oblema de análisis 167
9.4. Valo es de los pa áme os adop ados 171
9.5. Resul ados 172
9.6. P incipales conclusiones 186
Conclusiones 189
Apéndice A.Algunos modelos y esul ados es adís icos 193
A.1. Espacios de p obabilidad y a iables alea o ias 193
A.2. Nociones básicas sob e p ocesos es ocás icos 204
Índice de Figu as 207
Índice de Tablas 209
Bibliog a ía 211

Índice
Resumen V
Abs ac VII
Índice Ab e iado IX
No ación XIII
In oducción 1
I. Ca ac e ización es adís ica de agen es ex e nos 7
1. Ma co gene al del p oblema 9
1.1. El p oblema ingenie il desde el pun o de is a global 9
1.1.1. Va iables de en ada 10
1.1.2. Va iables de salida 11
1.1.3. P oblemas clásicos en ingenie ía 13
1.2. La alea o iedad en la ingenie ía 15
1.2.1. La alea o iedad en los modelos ísicos 16
La alea o iedad como modelo es adís ico basado en aspec os ísicos 16
La alea o iedad como modelo es adís ico de ince idumb e 17
Combinación de ambos mé odos 18
1.2.2. Diseño y op imización de sis emas en condiciones de ince idumb e 19
1.2.3. Análisis de sis emas en condiciones de ince idumb e 20
1.3. Modelo de cálculo pa a los agen es o zado es 20
1.3.1. P esen ación del sis ema 21
Pa áme os 21
Va iables ambien ales 21
1.3.2. Hipó esis de pa ida pa a el análisis 24
1.3.3. Modelo p obabilís ico 27
2. Ca ac e ización de la elocidad del ien o 29
2.1. Dis ibuciones mix as 29
2.2. Modelos pa a el égimen cen al 30
2.2.1. Fundamen o eó ico 30
Conside aciones ísicas 31
Conside aciones geomé icas 31
Dis ibución de la elocidad del ien o 31
2.2.2. Reseña bibliog á ica 32
2.3. Modelos pa a el égimen ex emal 33
2.3.1. Fundamen o eó ico 33
2.3.2. Aplicación: el mé odo de los picos sob e umb al 34
2.3.3. Reseña bibliog á ica 35
2.4. Un modelo mix o pa a la ca ac e ización de la elocidad del ien o 35
XI
XII Índice
2.4.1. Modelo 35
2.4.2. Mé odo de ajus e 38
2.4.3. Aplicación a una se ie de da os me eo ológicos 38
Régimen medio 38
Régimen ex emal 42
Conclusiones 45
3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas 47
3.1. Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas 47
3.1.1. Análisis explo a o io 48
Da os u ilizados 48
Ca ác e del p oceso 48
Análisis es adís ico uni a iado 49
Análisis mul i a iado 49
Análisis espec al 51
3.1.2. Modelo 59
3.1.3. Mé odo de ajus e 59
Ajus e es adís ico 59
Ajus e de la dependencia empo al 60
3.1.4. Comp obación del ajus e 60
3.2. Simulación y alidación median e boo s apping pa amé ico 70
3.2.1. Es udio es adís ico 70
Análisis uni a iado 71
Análisis bi a iado 71
3.2.2. Es udio espec al 71
3.3. Aplicación a la educción de cos e compu acional en cálculos de ca gas de ien o 79
3.3.1. Plan eamien o del p oblema 79
3.3.2. Resul ados 80
3.3.3. In e p e ación 82
3.4. Conclusiones 83
4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C 85
4.1. In oducción 85
4.2. Cálculos eó icos 86
4.2.1. Exp esión lineal 86
4.2.2. Exp esión exac a pa a a iables independien es 87
Exp esión de la espe anza 87
Exp esión de la a ianza 87
Exp esión de la co elación lineal 87
Ca ac e ización de los p ocesos Fi88
4.3. Es udio eó ico de la a iabilidad del modelo 88
4.3.1. Va iable Vde e minis a 88
4.3.2. Va iable Cide e minis a 89
4.3.3. Caso gene al 89
4.4. Simulaciones con el modelo p opues o 89
4.4.1. Escena ios plan eados 90
4.4.2. Análisis es adís ico uni a iado 92
Es adís icos básicos 92
Compa a i a de las dis ibuciones 94
4.4.3. Análisis mul i a iado 97
4.4.4. Análisis espec al 101
4.4.5. Valo aciones 104
Es adís icos básicos 104
4.4.6. Análisis mul i a iado 106
4.5. Conclusión 107
Índice XIII
II. Análisis es uc u al 109
5. Cálculo es uc u al y de e minación de solici aciones 111
5.1. Cálculo es uc u al 111
5.1.1. Hipó esis básicas 113
5.1.2. Modi icaciones de la ma iz de igidez 114
5.2. Cálculo de solici aciones 116
6. Fallo es uc u al: ecuaciones de e i icación 119
6.1. Fo ma gene al de las ecuaciones de e i icación 119
6.1.1. Concep o de ecuación de e i icación 119
6.1.2. Alcance y p oblemá ica 121
6.1.3. Ejemplos de ecuaciones de e i icación en ingenie ía mecánica 122
6.2. Modos de allo es uc u ales de una es uc u a de ba as a iculadas 124
6.2.1. Fallo po ago amien o elás ico 125
6.2.2. Fallo po pandeo de ba as 125
III. Aplicación al análisis de iabilidad 127
7. Diseño y análisis económico 129
7.1. Plan eamien o gene al del p oblema 130
7.1.1. Fo mulación gene al del p oblema de op imización 130
Va iables de diseño 131
Función obje i o 132
Res icciones 133
7.1.2. Del p oblema de e minis a al p oblema p obabilis a 134
El p oblema de op imización es ocás ica con es icciones 134
El espí i u del p oblema 135
7.2. Resolución del p oblema 136
7.2.1. Fase de diseño 137
7.2.2. Fase de análisis 137
Análisis del bene icio 137
Análisis del endimien o 138
Análisis económicos, cobe u as y inanciación 139
7.3. Algunos comen a ios sob e es a egias de diseño, ges ión y inanciación 139
7.3.1. Es a egias de diseño 140
Cos es iniciales y de man enimien o 140
Es uc u as hipe es á icas 140
7.3.2. Es a egias de ges ión y ope ación 141
Ta eas de man enimien o 141
Ope ación y pa ada 141
Realimen ación 142
7.3.3. Es a egias de inanciación y o os aspec os económicos 142
Re o no de la in e sión 142
Segu os 143
Ca e a de p oduc os y diseño de cobe u as in e nas 143
8. Mé odos ma emá icos pa a p oblemas p obabilís icos 145
8.1. Mé odos p obabilís icos pa a el análisis de iabilidad 146
8.1.1. Mé odos de ni el I 146
Mé odo de coe icien es de segu idad global 146
Mé odo de los coe icien es pa ciales 147
8.1.2. Mé odos de ni el II 148
8.1.3. Mé odos de ni el III 149
8.2. P og amación es ocás ica 150
8.2.1. P oblema equi alen e ce e o 150
XIV Índice
8.2.2. Análisis de escena ios 152
8.3. El mé odo de Mon eca lo aplicado al cálculo de p obabilidades 153
8.3.1. E o en el Mé odo de Mon eca lo. Tamaño de la mues a 153
Cálculo de p obabilidades 154
Cálculo de pa áme os 155
Jackkni e. 156
Boo s ap. 157
8.3.2. Algo i mo de esolución del mé odo de op imización 158
9. Op imización de una es uc u a sopo e de paneles o o ol aicos 161
9.1. Desc ipción del caso de análisis 161
9.1.1. Desc ipción del sis ema y pa áme os 161
9.1.2. Va iables ambien ales 163
9.2. P oblema de op imización 163
9.2.1. Obje i os y mo i ación 163
9.2.2. Ca álogo de a iables de diseño 164
9.2.3. Función obje i o y es icciones 164
Función obje i o 164
Res icciones 165
9.2.4. P oblema de op imización es ocás ica 165
Va iables alea o ias del p oblema 165
El espí i u del p oblema y los ni eles de endimien o 166
El p oblema de op imización 166
Simpli icaciones compu acionales 166
9.3. P oblema de análisis 167
9.3.1. Obje i os y mo i ación 167
9.3.2. Elemen os de análisis 168
Análisis del bene icio 168
Análisis del endimien o 168
9.3.3. Análisis de en abilidad y inanciación 169
9.4. Valo es de los pa áme os adop ados 171
9.5. Resul ados 172
9.5.1. Diseño del colec o 172
9.5.2. Análisis del sis ema 175
P ime ace camien o 175
Bene icio 177
Rendimien o 179
Ren abilidad y inanciación 183
9.6. P incipales conclusiones 186
Conclusiones 189
Apéndice A.Algunos modelos y esul ados es adís icos 193
A.1. Espacios de p obabilidad y a iables alea o ias 193
A.1.1. Espacios de p obabilidad 193
Nociones p elimina es 193
P obabilidad sob e (R,B(R)) 194
P obabilidad condicionada 195
A.1.2. Va iables y ec o es alea o ios 196
Va iables alea o ias 196
Independencia 197
Cuan iles 198
A.1.3. Espe anza ma emá ica 198
Nociones p elimina es 198
El ope ado espe anza 199
Desigualdades y espacios Lp200
Índice XV
Momen os 201
Co a ianza y co elación 202
A.1.4. Función ca ac e ís ica y unciones gene a ices 203
Función ca ac e ís ica 203
Función gene a iz de momen os 204
A.2. Nociones básicas sob e p ocesos es ocás icos 204
A.2.1. De iniciones básicas 204
Gene alidades 204
P ocesos es ocás icos es aciona ios 205
P ocesos es ocás icos es aciona ios y e gódicos 206
Índice de Figu as 207
Índice de Tablas 209
Bibliog a ía 211

No ación
RCue po de los núme os eales
CCue po de los núme os complejos
k kNo ma del ec o
h ,wiP oduc o escala de los ec o es yw
de (A)De e minan e de la ma iz (cuad ada) A
A>T anspues o de A
A−1In e sa de la ma iz A
A†Ma iz pseudoin e sa de la ma iz A
AHT anspues o y conjugado de A
A∗Conjugado
x◦No ación de g ado, xg ados.
P (A)P obabilidad del suceso A
σ2
XVa ianza de la a iable alea o ia X
∼ X(x)
Dis ibuido siguiendo la unción densidad de p obabilidad
X(x)
NmX,σ2
X
Dis ibución gaussiana pa a la a iable alea o ia X, de media
mXy a ianza σ2
X
InMa iz iden idad de dimensión n
MSE Minimum squa e e o
:Tal que
de
=Igual po de inición
⩽Meno o igual
⩾Mayo o igual
⇔Si y sólo si
∆Inc emen o
TM T ade Ma k
E[X]Espe anza ma emá ica de X
CxMa iz de co a ianza de x
RxMa iz de co elación de x
σ2
xVa ianza de x
XVII
In oducción
Je sais en in ce qui dis ingue l’homme de la bê e : ce son les
ennuis d á gen .
Jules Rena d, 1864 - 1910
In oducción al p oblema en cues ión
La ingenie ía ha sido un aspec o de la ida desde el inicio de la exis encia humana. Las p ác icas más
emp anas de la ingenie ía ci il pod ían habe comenzado en e el 4000 y el 2000 a. C. en el An iguo Egip o
y Mesopo amia cuando los humanos comenza on a abandona la exis encia nómada, c eando la necesidad
de un cobijo. Du an e es e iempo el anspo e empezó a inc emen a su impo ancia, lo que lle ó al desa-
ollo de la ueda y de la na egación. Son las p ime as mues as de lo que hoy conocemos como ingenie ía
ci il. A mediados del siglo XIX, con el ad enimien o de la e olución indus ial, la ingenie ía adop a un
ca iz mayo , inco po ando nue as á eas del conocimien o, la ciencia y la écnica en ocadas al diseño de
o o ipo de sis emas p oduc i os. Ya en el siglo XX, con la p oli e ación de las elecomunicaciones, la
elec ónica y las compu ado as, se comple a odo el espec o de lo que hoy en día conocemos como ingenie ía.
A la necesidad impe iosa que posee el géne o humano de p oduc os de ingenie ía (in aes uc u as, edi i-
caciones, plan as de ene gía, elecomunicaciones y sa éli es, edes in o má icas) esponde la exigencia de
mé odos acionales y igu osos pa a su cálculo y diseño. Con el paso de los años, los modelos, esencialmen e
ma emá icos, u ilizados pa a es as a eas han aumen ado en complejidad y de alle de o ma exponencial. En
espues a a es e enómeno, con una olun ad écnica uni icado a y de sín esis, o ganismos gube namen ales y
no gube namen ales, del ámbi o cien í ico y écnico, académico e indus ial, han ido p oponiendo y publican-
do pau as, di ec ices u o ien aciones pa a la p ác ica ingenie il. Algunas de ellas, son adop adas con ca ác e
no ma i o po la ley igen e de algunos es ados.
Sucede no obs an e, en algunos sec o es de la indus ia, po ejemplo especialmen e en el ámbi o de las
ene gías eno ables, que la ingenie ía, se quie a o no, es á muy inculada al me cado, eniendo po an o una
ma cada ace a económica que nada iene que e con aspec os cien í icos o écnicos. En palab as de Lionel
Robbins, economis a b i ánico, la economía es la o ma o medios de sa is ace las necesidades humanas
median e los ecu sos disponibles, que siemp e son limi ados. La ingenie ía clásica es á basada en modelos
ma emá icos ( eó icos o enomenológicos) que p o ienen de una abs acción que no con empla en ningún
caso una escasez de ecu sos.
Conside a la escasez como un condicionan e undamen al en los p oblemas de ingenie ía iene conse-
cuencias d amá icas, pues o que, la mayo ía de las eces, exige que se aplique un modelo abs ac o en unas
condiciones lími e, on e a, que es donde, p ecisamen e, el modelo iene más ince idumb e, an o en su
undamen o eó ica como en la aplicación del mismo.
El ingenie o mode no, en un con ex o de escasez,
es á obligado, po lo an o, a adop a una pos u a ac i a en e a la ince idumb e y el iesgo
. Una
misma exp esión ma emá ica,
x≥C
iene una lec u a comple amen e di e en e en un ma co de escasez. No
1

1 Ma co gene al del p oblema
Se mide la in eligencia del indi iduo po la can idad de ince i-
dumb es que es capaz de sopo a .
Immanuel Kan , 1724 - 1804
En es e capí ulo se p esen a el p oblema ingenie il a ado en es e documen o desde un pun o de is a
global, en é minos de a iables de en ada y salida. Pos e io men e, se si úa el p oblema den o del ma co
p obabilís ico pa a de ini los obje i os que se p e enden alcanza . Finalmen e, se p esen a el caso de es udio
y el modelo conside ado pa a los cálculos de solici aciones.
1.1 El p oblema ingenie il desde el pun o de is a global
El ingenie o es el indi iduo que usando conocimien o y écnicas cien í icas aplicadas, soluciona p oblemas u
op imiza soluciones que a ec an di ec amen e a las pe sonas. De o ma coloquial, es la pe sona que usa el
ingenio pa a esol e p oblemas co idianos.
Desde un pun o de is a abs ac o y buscando la mayo gene alidad posible, se puede deci que el ingenie o
abaja con sis emas que, en unción de una en ada, gene a una espues a. El obje i o del ingenie o es
ca ac e iza el sis ema (p incipalmen e median e modelos ma emá icos de di e en e índole) de o ma que
pueda p edeci , calcula o es ima , cómo la en ada al sis ema in luye en la salida.
Es o se hace gene almen e, de iniendo una se ie de a iables, que ep esen an odos los agen es, da os,
pa áme os y condicionan es del modelo, llamadas
a iables de en ada
y una se ie de a iables, que son las
que se p e enden analiza , op imiza o u iliza pa a el bien público, llamadas
a iables de salida
. La o ma
en que las segundas es án elacionadas con las p ime as es el núcleo del p oblema, es el e dade o desa ío al
que se en en a el ingenie o. Dicha elación, suele se o mulada median e un modelo ma emá ico, más o
menos complejo, que es de espe a que enga la alidez su icien e como pa a ep esen a la adecuadamen e.
Es os modelos incluyen:
•
Ecuaciones algeb aicas que elacionan las a iables de salida con las a iables de en ada. De en e
ellas, las ecuaciones lineales son las más sencillas y p ác icas1.
•
Ecuaciones di e enciales que elacionan las a iables de salida con las a iables de en ada. De nue o
las ecuaciones di e enciales lineales son las más manejables.
•
Modelos más opacos ipo caja neg a, donde la única in o mación disponible es la espues a conc e a a
una se ie de alo es de la en ada.
En el ámbi o de la ingenie ía mecánica, es habi ual que el sis ema conside ado se modelice median e
una ecuación di e encial, en de i adas pa ciales si es p eciso, o, median e la disc e ización co espondien e
u ilizando écnicas numé icas (El Mé odo de los Elemen os Fini os suele se el más u ilizado, aunque ambién
1Siendo pu is as, son las únicas con las que se puede abaja con o al gene alidad
9
10 Capí ulo 1. Ma co gene al del p oblema
se u iliza el Mé odo de los Elemen os de Con o no, el Mé odo de las Di e encias Fini as o el Mé odo de
Volúmenes Fini os, según la idoneidad del caso).
En la Figu a 1.1 se mues a un esquema de la ep esen ación de un sis ema en é minos de a iables de
en ada y de salida con algunos ejemplos de las mismas.
SISTEMA
En adas Salidas
•Ma e iales
•Ca gas
•Geome ía
•Pa áme os del modelo
•…
•Tensiones / De o maciones
•Vida ú il
•Indicado es de endimien o
•Bene icio
•…
Figu a 1.1 Rep esen ación abs ac a de un sis ema ísico pa a un ingenie o.
Llegados a es e pun o es impo an e hace una acla ación, que en ocasiones esul a undamen al: el inge-
nie o no puede ac ua necesa iamen e sob e odas las a iables del p oblema, algunas, en e ec o, escapan
a su con ol. Dicho de o o modo, aunque desde una pe spec i a del modelo, se denomine en ocasiones a
las a iables de en ada a iables independien es y a las a iables de salida, a iables dependien es, muchas
de las p ime as no pueden se modi icadas al gus o del ingenie o, sino que son ajenas a su con ol, y es án
elacionadas con ac o es del ambien e sob e el que no se puede ac ua di ec amen e (al ma gen de cambiando
el sis ema).
Es po es o p ecisamen e que es impo an e ealiza una clasi icación de las a iables de en ada y de
salida, en unción, no de su papel uncional en el sis ema, sino del alo que ienen pa a el ingenie o y has a
qué pun o és e puede ac ua sob e las mismas.
1.1.1 Va iables de en ada
Las a iables de en ada, o a iables independien es, son las a iables que ienen in luencia
2
sob e la salida
o el es ado del sis ema. El sis ema oma es as a iables como da os. No obs an e, es impo an e hace una
impo an e dis inción sob e las a iables de en ada que se u iliza á en lo que sigue. Las a iables de en ada
pueden clasi ica se en dos ca ego ías:
•Va iable in ínsecas o pa áme os
: Son odas aquellas a iables que son conocidas a p io i o al
menos son conside adas como ijas en un es udio pa amé ico. Es as incluyen a iables como la
geome ía del sis ema, las p opiedades de los ma e iales, los pa áme os del modelo p opiamen e dicho
(algeb aico, uncional...) e c.
•Va iables ex ínsecas o ambien ales
: Son odos los agen es que ac úan de mane a ex e na sob e el
sis ema, llamados ambién agen es o zado es o solici aciones. Es as incluyen las ca gas ex e nas,
los agen es me eo ológicos ( ien o, humedad, adiación...) los é minos uen e en las ecuaciones de
gobie no (gene ación o des ucción de can idades conse adas), las in e acciones con o os sis emas
e c.
A p opósi o de es a clasi icación, es impo an e señala la di e encia exis en e en e es as a iables desde
el pun o de is a p ác ico del ingenie o.
Las a iables in ínsecas (de aquí en adelan e pa áme os) son las a iables sob e las que el ingenie o
gene almen e puede ac ua (aunque no siemp e es el caso debido a di icul ades écnicas, en seguida se
pond án ejemplos). Son las a iables undamen ales sob e las que se diseña, con un p opósi o de e minado,
una ez es ablecido el modelo. Así, po ejemplo, el ingenie o debe á escoge un de e minado ma e ial pa a
2
Con pleno igo , debe ía deci se po encial in luencia pues o que el modelo puede oma a iables supé luas que, en ealidad, no
engan in luencia sob e el es ado del mismo
1.1 El p oblema ingenie il desde el pun o de is a global 11
que el sis ema se compo e de una o ma conc e a: un ace o su icien emen e esis en e, un ma e ial cuya
de o mabilidad sea pequeña, una longi ud de ano que no p o oque lechas excesi as, un amo iguado con
una ley iscoelás ica adecuada...
Las a iables ex ínsecas (de aquí en adelan e a iables ambien ales), suelen es a ue a del alcance o del
con ol del ingenie o, en é minos de diseño, aunque siemp e se pueden adop a es a egias de mi igación
( igu osamen e, las es a egias de mi igación no modi ican las a iables ambien ales, sino que cambian el
p opio sis ema). El ingenie o debe, siemp e que se en en a a la esolución de un sis ema, con i i con dichas
a iables, engan el alo que engan. Además de que las a iables ambien ales son ex ínsecas y po lo an o
no en an en juego en el momen o del diseño, es as suelen p esen a una di icul ad añadida: a menudo, es as
a iables sólo pueden en ende se en un con ex o de ince idumb e, es deci , de iniendo una p obabilidad de
ocu encia.
Una o ma de en ende es e es udio es como una me odología pa a enca a de una o ma ac i a y desde un
pun o de is a cien í ico las a iables ambien ales en un con ex o de ince idumb e. Dicho de o o modo, es e
es udio es ablece unas pau as pa a que el ingenie o ome una pos u a ac i a y e icaz en e al iesgo inhe en e
a las a iables ambien ales.
Exis e un caso conc e o en el que el ingenie o no puede ac ua sob e los pa áme os del sis ema y es
cuando no se puede diseña a medida un sis ema, debido a limi aciones p esen es en el mundo eal, po
oposición al mundo ideal. Es as limi aciones suelen se de ca ác e écnico (imposibilidad ísica) o econó-
mico ( al a de p esupues o): en el diseño de unas cimen aciones de un edi icio, no se puede selecciona las
p opiedades geomecánicas del es a o de a cillas o del sus a o ocoso subyacen e, po ejemplo, ya que es o
o es imposible o end ía un cos e eno me
3
. Más aún, en ocasiones, los pa áme os del modelo se desco-
nocen. Vol iendo al ejemplo an e io , es posible que no se conozcan las p opiedades del sus a o ocoso
o incluso si exis en discon inuidades en el mismo (po ejemplo una gale ía sub e ánea), es deci , su geome ía.
Aunque no se ha á en es e es udio, és as y o as p oblemá icas e e en es a los pa áme os del modelo
ambién pueden a a se en un ma co de ince idumb e, como se explica á en apa ados pos e io es.
1.1.2 Va iables de salida
Has a aho a se han a ado las a iables que cons i uyen la en ada del sis ema ísico en cues ión. A con inua-
ción se ha án algunos comen a ios espec o a las a iables de salida. Desde el pun o de is a ísico, el núcleo
del p oblema es como el modelo (gene almen e ma emá ico) elaciona las a iables de en ada con las de
salida, los mecanismos ísicos que igen o gobie nan el enómeno.
No obs an e, lo que dis ingue a la ciencia de la ingenie ía es el posicionamien o del cien í ico en e al sis e-
ma: mien as el abajo del cien í ico acaba en una adecuada modelización del sis ema en é minos de a iables
de en ada y salida, el abajo del ingenie o consis e en modi ica lo posible el sis ema pa a que las a ia-
bles de salida omen unos alo es de e minados, es deci , pa a que el sis ema uncione de una o ma adecuada.
Las a iables de salida pueden clasi ica se en dos ca ego ías según la impo ancia que engan pa a el
ingenie o:
•Indicado es de endimien o
: Iden i icados gene almen e po sus siglas en inglés, KPI (Key Pe o -
mance Indica o s), son las a iables de salida que desc iben el endimien o del sis ema en elación
con las unciones que debe desempeña . Dependen po lo an o, no sólo de la ísica del p oblema
sino de la inalidad del mismo. Po da algún ejemplo, la ecuencia de oscilación de un disposi i o
puede se en algunos casos un indicado del endimien o de un sis ema (po ejemplo en el caso del
diseño de e oca iles, las ib aciones del mo imien o de lazo pueden esul a moles as y es necesa io
con ola las).
•Va iables in ascenden es
: Son odas las a iables de salida que no se u ilizan como palancas de
endimien o, es deci , que no pueden se conside adas KPIs. Dichas a iables no ienen impo ancia
desde el pun o de is a ingenie il (aunque ienen la misma impo ancia que los indicado es de endi-
mien o desde el pun o de is a ísico) pe o po supues o apo an in o mación sob e el sis ema y su
3En ocasiones se usan algunas écnicas como la inyección de cemen o en masa o el d enaje del ni el eá ico
12 Capí ulo 1. Ma co gene al del p oblema
uncionamien o. Un ejemplo de es e ipo pod ía se la lecha de una iga en oladizo en su ex emo,
cuando se desee cumpli un equisi o especí ico de uncionalidad.
Los indicado es de endimien o son las a iables undamen ales que in e esan al ingenie o en la oma
de decisiones. És as pueden se con inuas (la po encia p oducida po una plan a eléc ica en un ins an e),
disc e as (el núme o de pa adas ope a i as que debe hace un muelle) e incluso lógicas (si en una sección de
una iga se llega a ago amien o elás ico o no).
Desde el pun o de is a clásico del diseño es uc u al, se abaja con el alo de es as a iables, combinán-
dolas y compa ándolas con un umb al de supe ación, lo que lle a a los concep os habi uales de las no ma i as
de ecuación de e i icación, coe icien e de segu idad y ma gen de segu idad. La ins ucción de ho migón
es uc u al [
38
] y la ins ucción de ace o es uc u al [
40
] usan habi ualmen e la noción de coe icien e de
segu idad (la in e p e ación p obabilís ica del mismo se ha á más adelan e, cuando se hable de los Mé odos
de Ni el I), mien as que la Recomendación pa a Ob as Ma í imas [
30
], de ca ác e consul i o, es algo más
ina en ese sen ido e in oduce ambién los concep os de ma gen de segu idad y o os mé odos pa a abo da
las ecuaciones de e i icación (de nue o, la in e p e ación p obabilís ica se ha á más adelan e, donde se
in oduci án los Mé odos de Ni el II y III). El en oque clásico no es más que el que se ha p esen ado desde
cie a pe spec i a:
1.
Las
ecuaciones de e i icación
no son más que exp esiones uncionales que elacionan los KPIs con
un cie o umb al de supe ación: Si se ijan
n
a iables signi ica i as (que no son más que indicado es de
endimien o) y
m
condiciones que deben sa is ace se, la imposición
gj(x1,···,xn)≤0,j=1,···,m
no es más que, desde el pun o de is a gene al que aquí se ha p esen ado, e alua el KPI lógico que
iene dado po si dicha elación se sa is ace o no.
2.
El
ma gen de segu idad
es un caso pa icula del pun o an e io . En e ec o, si dicho ma gen iene
de inido po una a iable
yj= (x1,···,xn)
, unción de o as a iables de salida, que no debe excede
un umb al
λj
median e
∆j=yj−λj≤0
en onces bas a oma en el caso an e io
gj(x1,···,xn) =
j(x1,···,xn)−λj.
3.
El
coe icien e de segu idad
es de nue o un caso pa icula de ecuación de e i icación. Si dicho
coe icien e iene po el cocien e en e una a iable
yj= (x1,···,xn)
, unción de o as a iables de
salida, y un alo de e e encia
Vj
median e
Cj=yj
Vj≤1
en onces bas a oma en el caso an e io
gj(x1,···,xn) = j(x1,···,xn)
Vj−1.
Del mismo modo, es habi ual en las no ma i as de ini es ni eles en cuan o al endimien o del sis ema:
Es ado Lími e Úl imo, Es ado Lími e de Se icio y Es ado lími e de Ope a i idad, e e en es espec i amen e
a la iabilidad (segu idad), la uncionalidad (se icio) y la ope a i idad ( uncionamien o) del sis ema, que
ienen asociados unos de e minados modos de allo o de pa ada (de inidos po los alo es de las a iables de
salida que hacen que no se e i iquen las ecuaciones de e i icación). De nue o, es e en oque es compa ible
con el ma co gene al p esen ado ya que:
1.
El
Es ado Lími e Úl imo (ELU)
, e e en e a la segu idad del sis ema, se p oduce cuando el alo
adop ado po las a iables del sis ema ponen en pelig o la in eg idad del mismo o suponen un iesgo
pa a las idas humanas
4
, el medio ambien e o el pa imonio cul u al. El modo de allo suele es a
asociado con el colapso de la es uc u a, pa cial o o almen e. Desde el en oque adop ado, la e i icación
de los ELU no debe iola se
bajo ningún concep o
. Una o ma de a a es e p oblema es de iniendo
una se ie de KPIs asociados a los ELUs, de ipo lógico, que siemp e engan el mismo alo ( e dade o,
en el caso de que se plan een con la ecuación de e i icación).
2.
El
Es ado Lími e de Se icio (ELS)
, e e en e al se icio del sis ema, es deci , al desempeño del
sis ema de las unciones pa a las que ha sido diseñado, se p oduce cuando el alo adop ado po las
a iables del sis ema comp ome en dicho desempeño o el endimien o del sis ema es meno al pa a
el cual ha sido concebido. El modo de allo suele es a asociado con las de o maciones o ib aciones
excesi as, la o mación de asien os, el desgas e o la deg adación de los ma e iales. En el en oque
adop ado, una ez sa is echos los ELUs, és a es la p incipal palanca de acción del ingenie o, ya que si
los KPIs asociados a los ELS es án bien de inidos, no necesa iamen e ienen que ene una medición
4O animales, cada ez exis e más egulación pa a p o ege a las especies del eino animal o ege al más allá de la especie humana
1.1 El p oblema ingenie il desde el pun o de is a global 13
cuali a i a, sino que el se icio de un sis ema puede medi se
de o ma cuan i a i a
. El hecho de que
es a a iable sea cuan i a i a, y no lógica, es la que le pe mi e al ingenie o cie a lexibilidad y diseña
en base a c i e ios de op imización.
3.
El
Es ado Lími e de Ope a i idad (ELO)
, e e en e a la ope a i idad del sis ema, es deci , a la
capacidad del sis ema pa a desempeña su unción, se p oduce cuando el alo adop ado po las
a iables del sis ema no pe mi en el uncionamien o del mismo, pe o es as no suponen un pelig o
pa a su in eg idad. En es e caso no se habla de modos de allo, como en el caso del ELU o ELS, sino
de modos de pa ada. Los p incipales condicionan es de los modos de pa ada es án asociados con
agen es climá icos y son p opios de plan as de p oducción o de in aes uc u as de se icios más que de
elemen os es uc u ales pasi os ( empo ales que p o oquen que no se use un muelle, o men as que
p o oquen el aba imien o de un colec o cilind opa abólico, bo ascas que impliquen el cie e de un
campo de u binas eólicas...). De nue o, en el en oque adop ado, dichos KPIs epe cu en di ec amen e
en el endimien o del sis ema y po lo an o pueden en a como a iables en la op imización del sis ema.
Es os indicado es, no obs an e, a di e encia de los e e en es a ELS, ienen una impo ancia capi al en
la ges ión.
Se obse a po lo an o que los mé odos habi uales usados en ingenie ía en elación con las no ma i as
ci iles pueden inclui se en el ma co gene al p esen ado en es e documen o. Más aún, es e en oque es uni i-
cado y gene alizado en el sen ido que pe mi e una lexibilidad mayo en la de inición del endimien o de
un sis ema (más allá de su segu idad, uncionalidad y ope a i idad), sin plan ea un con lic o con ningún
ma co no ma i o. El plan eamien o que se segui á en es e es udio en cuan o a las a iables de salida es po
lo an o un plan eamien o in eg al en el que es an impo an e la ca ac e ización ísica del sis ema como
la ca ac e ización uncional. En es e ma co gene al, que in eg a an o el sis ema como las unciones del
mismo (Figu a 1.2), es donde se si úa el ingenie o, gene almen e con la ayuda de modelos ma emá icos que
ca ac e izan la ísica y ayudan en la oma de decisiones.
SISTEMA
En adas
Salidas
Ciencia
Ma emá icas
REQUISITOS
INGENIERÍA
Figu a 1.2 Esquema concep ual del p oblema al que debe en en a se el ingenie o.
A lo la go de es e documen o, se e á cómo se pone en p ác ica el en oque adop ado pa a el análisis de las
a iables de salida.
1.1.3 P oblemas clásicos en ingenie ía
Has a aho a se ha hecho especial hincapié en el p oblema del dimensionamien o y el diseño, ya que en el
ámbi o ci il es el más undamen al y po lo an o exis e el condicionan e de las no ma i as igen es.
No obs an e, an es de inaliza es a sección, p ocede ealiza un b e e epaso de los p oblemas clásicos a
los que se en en a el ingenie o, pa a si ua los en el ma co de es udio. Dichos p oblemas se di e encian po
donde se pone el acen o en las a iables de en ada y salida y en la elación en e las mismas. A con inuación

14 Capí ulo 1. Ma co gene al del p oblema
se p esen an algunos, en o den de complejidad, ap oximadamen e. Debe des aca se que ninguno de es os
p oblemas se p esen a de o ma aislada, sino que suelen apa ece conjun amen e, en es a egias i e a i as de
ingenie ía a ias.
•
La
comp obación
consis e en, dado un sis ema ya de inido e inmu able, analiza si cumple unas
especi icaciones de endimien o dadas. En el ma co plan eado, consis e en,
conocidos
los alo es
de odos los
pa áme os
del sis ema, comp oba si los
indicado es de endimien o
adop an unos
alo es admisibles
pa a odo el
ango posible
de alo es de las
a iables ambien ales
. La solución
del p oblema puede condensa se en el alo que adop a una sola a iable lógica que de ine si el sis ema
se compo a según las necesidades o no. Ejemplos de comp obaciones son e si un depósi o cilínd ico
de ace o puede almacena un de e minado olumen de líquido sin que se p oduzca colapso plás ico, si
las especi icaciones écnicas de una bomba hid áulica la hacen adecuada pa a una de e minada a ea
o si la señal emi ida po una an ena de e minada puede se cap ada po un disposi i o ecep o . En
gene al se a a de un p oblema sencillo cuya p incipal di icul ad adica en la complejidad del p opio
modelo ísico.
•
El
dimensionamien o
o
diseño
, que ya se ha a ado, consis e en la selección de las componen es del
sis ema adecuadas pa a que és e enga un endimien o de acue do con unas especi icaciones dadas. En
é minos del ma co plan eado, consis e en el
cálculo o selección
de unos alo es de los
pa áme os
,
de o ma que los indicado es de endimien o se encuen en en un espacio pa amé ico de inido a
p io i
den o del
ango posible
que puedan adop a las
a iables ambien ales
. Algunos ejemplos
son la selección de una sección (pa áme o geomé ico) de un pe il me álico pa a una iga en una
componen e es uc u al o de un ipo de ho migón (pa áme o del ma e ial) pa a unas condiciones
a mos é icas dadas o el cálculo de la masa necesa ia pa a equilib a una g úa o e (pa áme o del
modelo). La p incipal di icul ad en es a amilia de p oblemas es que se ija el alo de las a iables de
salida y se busca el alo que debe ene un subconjun o de las a iables de en ada (los pa áme os). La
esolución del p oblema equie e la in e sión, en un sen ido abs ac o, del modelo que ige el sis ema
ísico o un p ocedimien o ipo p ueba y e o . En gene al, la p ime a al e na i a es una a dua a ea
que en el mejo de los casos sólo puede esol e se median e mé odos numé icos (in oluc a en gene al
sis emas no lineales de ecuaciones algeb aicas o di e enciales) y la segunda es un p ocedimien o edioso
o muy cos oso compu acionalmen e.
•
La
op imización de sis emas
consis e en i un paso más allá. La idea es no sólo de e mina el alo
de algunos pa áme os de o ma que cumplan cie as condiciones sino busca además una op imalidad
en algún sen ido u o o. En es e caso, uno de los
indicado es de endimien o
(o una combinación de
a ios) se de ine como
unción obje i o
, es deci , como unción que se desea maximiza (o minimiza ).
Como ya se ha dicho, pueden especi ica se o os condicionan es en el endimien o pa a o os KPIs,
lo que in oduce
es icciones
en el p oblema. En es e caso, algunos ejemplos son la selección de
un pe il ala pa a una ae ona e (minimización de la esis encia ae odinámica pa a una sus en ación
dada, además de o os condicionan es), el con ol de una plan a de gene ación eléc ica (minimización
del sob epico o el iempo de es abilización), o la op imización de los e apo ado es en una plan a
de desalinización (cos e de la ins alación). Pa a es e p oblema, además de las écnicas mencionadas
an e io men e, se equie e de mé odos de op imización, en e los que se encuen an los mé odos clásicos
del cálculo y el análisis ma emá ico y los mé odos en auge ac ualmen e como las edes neu onales y
los algo i mos gené icos.
•
El
p oblema in e so
es simila al p oblema de dimensionamien o pe o con un cla o ma iz: en es e caso
se p e enden de e mina las ca ac e ís icas del sis ema conocido exac amen e el compo amien o del
mismo, median e mediciones o conocimien o explíci o. Consis e po lo an o en,
ijado un subconjun o
de las a iables de salida
, de e mina , con la mayo
e osimili ud, exac i ud o p ecisión
posible
5
el alo de los
pa áme os
o de las
a iables ambien ales
del sis ema. El ejemplo más undamen al
y co idiano en el que el ingenie o esuel e p oblemas in e sos, a eces inconscien emen e es median e
la u ilización de apa a os de medida e ins umen ación. O os ejemplos son la p ospección geosísmica,
la ingenie ía o ense o la c ip og a ía y la eo ía de la in o mación. Son p oblemas muy complejos
desde el pun o de is a eó ico y p ác ico ya que la in e sión del p oblema en ocasiones puede esul a
inabo dable desde el pun o de is a compu acional y po lo an o en la p ác ica imposible de esol e
5
Recué dese que en é minos es adís icos la e osimili ud es la p obabilidad de que el alo es imado se ap oxime al eal, la exac i ud
se e ie e al sesgo y la p ecisión a la des iación ípica de una es imación
1.2 La alea o iedad en la ingenie ía 15
(sis emas de ci ado y descodi icación) y en o as ocasiones ni siquie a es posible hace lo desde el
pun o de is a eó ico ya que el modelo no es biuní oco (o es á muy mal condicionado) o no se dispone
de in o mación su icien e en la a iables de salida. En es os úl imos casos las écnicas más comunes
consis en en a a de minimiza cie o e o , en el espacio pa amé ico de salida. De nue o es amos
an e un p oblema de op imización, pe o con una unción obje i o de inida en el espacio de a iables
de salida, lo que complica el p oblema eno memen e.
En es e es udio se es udia á un p oblema de
op imización
de un sis ema p oduc i o, donde las unciones
obje i o se plan ea án en un con ex o económico, y las es icciones se o mula án en é minos de dos ipos
de condiciones:
1.
Especi icaciones écnicas de endimien o es ablecidas po el p opio p oyec o, es deci comp omisos
adqui idos con la pa e con a an e en cuan o a las p es aciones del sis ema.
2.
Decisiones es a égicas y inancie as, ales como limi aciones de p esupues o, necesidades de amo iza-
ción, imagen co po a i a...
1.2 La alea o iedad en la ingenie ía
Has a aho a no se ha en ado en el ca ác e de las a iables del sis ema, an o de en ada como de salida,
únicamen e en su ol uncional con espec o al sis ema y su elación con los di e en es p oblemas de la
ingenie ía. Llegados a es e pun o, es ineludible en a en ma e ia de un aspec o undamen al: el ca ác e
de e minis a o alea o io de las a iables, que has a aho a ha apa ecido como concep o angencial.
Una a iable es de e minis a cuando no es á suje a a iesgo, es deci , cuando se iene una ce eza absolu a
sob e su alo (sea un da o conocido o una incógni a). Po el con a io, una a iable alea o ia es una a iable
suje a a iesgo: no se conoce el alo de la a iable sino la p obabilidad de que és a ome un conjun o de
alo es, lo que se denomina
suceso alea o io
o simplemen e
suceso
. A los di e en es alo es que puede
oma la a iable alea o ia se les denomina
ealizaciones
. El o igen de es a alea o iedad puede se pu amen e
ísico o una cues ión de con eniencia, como se p ecisa á en lo sucesi o.
El hecho de in oduci los concep os de alea o iedad e ince idumb e complica el a amien o de las
a iables, ya que se necesi an concep os como los de
a iables alea o ias
,
es imación
,
iesgo
... p oceden es
del ámbi o de la eo ía de la p obabilidad, la es adís ica y el Análisis de iesgos. Excelen es ex os es ánda
de eo ía de la p obabilidad son [
36
] y ambién [
69
], aunque sin duda [
59
] es uno de los más e e enciados
en el ámbi o de la ingenie ía ci il. En es adís ica, [
76
] es una muy buena in oducción y [
50
] p esen a una
ansición na u al en e la eo ía de la p obabilidad y la es adís ica, aunque los ex os ya ci ados ambién
cons i uyen un buen pun o de pa ida. Finalmen e, [
63
]y[
92
] cons i uyen dos ex os cla amen e o ien ados
al análisis de iesgos y la oma de decisiones.
La ex ensión de odo lo expues o has a aho a del ma co de e minis a al ma co p obabilis a, no in oduce
ninguna di icul ad en los mecanismos ísicos del sis ema (de hecho el sis ema, es deci , la elación en e las
a iables de en ada y de salida, no cambia). Se dice que el modelo ac úa de o ma de e minis a sob e a iables,
o di ec amen e que el modelo es p obabilis a ya que aunque el p opio modelo es de e minis a, las a iables
se conside an en un ma co de p obabilidad. Pueden busca se modelos más complejos, llamados modelos
es ocás icos, como las ecuaciones en de i adas pa ciales es ocás icas po ejemplo, en los que el p opio sis ema
in e ac úa con la alea o iedad, no solo la ans o ma de o ma de e minis a. Un lib o exhaus i o que p esen a
una impo an e base eó ica de dichos modelos es [
56
] mien as que en [
44
] se p esen an aplicaciones en
inanzas y biología. La e minología usual suele se la siguien e:
•Modelo de e minis a
: Las a iables son de e minis as y el sis ema las ans o ma de o ma de e mi-
nis a.
•Modelo p obabilis a
: Las a iables son alea o ias y el sis ema no in e ac úa con la alea o iedad de
las mismas. La ans o mación es de e minis a: a dos ealizaciones idén icas del conjun o de a iables
de en ada se les asigna dos ealizaciones idén icas de las a iables de salida.
16 Capí ulo 1. Ma co gene al del p oblema
•Modelo es ocás ico
: Las a iables son alea o ias y el sis ema in e ac úa con la alea o iedad de las
mismas. La ans o mación no es de e minis a: a dos ealizaciones idén icas del conjun o de a iables
de en ada no se les asigna necesa iamen e dos ealizaciones idén icas de las a iables de salida.
En es e es udio, se conside a án siemp e modelos de ipo p obabilis a, aunque la conside ación de modelos
más complejos no suponen en la p ác ica una di icul ad añadida eno me cuando se poseen écnicas numé icas
adecuadas. Lo que sí se complica eno memen e es el desa ollo ma emá ico subyacen e que las undamen a.
En el Apéndice A se hace un b e e epaso de los concep os de la eo ía de p obabilidad y es adís ica usados
en es e documen o.
1.2.1 La alea o iedad en los modelos ísicos
Conside a la alea o iedad en los enómenos ísicos puede debe se a mul i ud de azones.
En p ime luga , en ocasiones, el p opio ma co axiomá ico de la ísica subyacen e es á undamen ado en
concep os de a eo ía de la p obabilidad, como puede se la ísica cuán ica.
En segundo luga , que co esponde con la mayo ía de los casos, es la p opia ca ac e ización es adís ica
de los sis emas la que de ine el ma co p obabilís ico de abajo, den o de una ísica conc e a. Es o sucede,
po ejemplo, en la mayo ía de modelos asociados con la me eo ología [
94
] o el es udio de lujos u bulen os
[
4
], [
41
]: aunque en un con ex o ideal la mecánica de luidos es de e minis a, la al a de in o mación (po
ejemplo, la al a de conocimien o de las condiciones iniciales, la geome ía global...) pe o sob e odo, el
ca ác e caó ico de la disciplina, e lejado en el enómeno ísico de la u bulencia, imposibili a en la p ác ica
el uso de mé odos analí icos o numé icos pa a su a amien o de e minis a
6
. O o ejemplo en el que se usa
la eo ía de p obabilidad pa a abaja con una ealidad ca ac e izada es adís icamen e es en la ciencia de
ma e iales, an o pa a c is alog a ía [
79
], como pa a ma e iales he e ogéneos [
68
] y mecánica de la ac u a y
la a iga [
21
], [
95
]. Pa a la ingenie ía ci il y ambien al, ambién son ecuen es los modelos de p obabilidad
basados en la es adís ica [59], [63].
Po úl imo, en o os casos, los modelos es adís icos se usan simplemen e po una cues ión de con enien-
cia, sin que haya modelos subyacen es que los jus i iquen. Es o es ecuen e cuando se desconoce cie a
p opiedad de un ma e ial, pe o se iene cie a in o mación sob e su ango de alo es (se suele u iliza una
dis ibución uni o me en dicho in e alo), su posición y su dispe sión (se suele u iliza una dis ibución
no mal)... En es e caso, se suelen u iliza dis ibuciones que no esponden a una ealidad ísica, sino que
modelizan con enien emen e la ince idumb e, la mayo ía de eces según un c i e io de máxima en opía de
in o mación (la dis ibución uni o me maximiza la en opía en un in e alo aco ado, la dis ibución no mal
en la ec a eal, conocida la dispe sión median e la a ianza, la dis ibución exponencial en la semi ec-
a eal, dada su media...), lo que signi ica que se es á qui ando la mínima ince idumb e posible al modelo [
45
].
La alea o iedad como modelo es adís ico basado en aspec os ísicos
En el caso de que la alea o iedad esponda a una imposibilidad de desc ibi un enómeno ísico en su o alidad
de o ma de e minis a, es necesa io es ablece unos modelos p obabilís icos adecuados pa a las a iables que
se p e enden ca ac e iza . La a iedad de modelos es amplísima, aunque pueden dis ingui se dos amilias
de modelos es e es udio se cen a á en los
modelos pa amé icos
. Las dis ibuciones de p obabilidad con-
side adas pa a las a iables alea o ias se de inen en un espacio pa amé ico de un de e minado núme o de
g ados de libe ad. Pa a la selección de las amilias pa amé icas es necesa io un conocimien o p o undo
de la ísica del sis ema, po ejemplo conociendo el sopo e de la a iable alea o ia y los enómenos que
explican su a iabilidad. Pos e io men e, se ajus an los pa áme os de la amilia a pa i de un núme o ini o
de obse aciones del enómeno.
Los modelos alea o ios basados en enómenos ísicos, son, po sus ca ac e ís icas, ideales pa a a a las
a iables ambien ales
en un con ex o de ince idumb e, que es p ecisamen e lo que p e ende es e es udio.
Desde es e en oque, los pa áme os del sis ema se conside an de e minis as (aunque no necesa iamen e
conocidos) a di e encia de las a iables ambien ales, pe o debido al ca ác e alea o io de es as úl imas, la
6
Un a amien o median e simulación eque i ía no sólo de unas capacidades compu acionales ex ao dina ias, sino de un conocimien o
a ni el de con inuo de la geome ía espacio empo al, algo que no puede con empla se con máquinas de compu ación
1.2 La alea o iedad en la ingenie ía 17
espues a del sis ema ambién se á alea o ia.
Así, es os modelos, suelen u iliza se pa a el
diseño de sis emas en condiciones de ince idumb e
, que
son inhe en es a la na u aleza, o mejo dicho, a la al a de in o mación que posee el ingenie o sob e la
misma (el mecanismo que desencadena un e emo o es pe ec amen e de e minis a y con la su icien e
in o mación el se humano pod ía adelan a se a los acon ecimien os, pe o es a in o mación no es disponible
y como mucho pueden hace se p edicciones). La Figu a 1.3 ilus a es e p oceso. Laa a iables esc i as en i-
pog a ía mayúscula se conside an alea o ias, de acue do con la cos umb e u ilizada en el lenguaje ma emá ico.
CARGAS
Ma e iales
RESPUESTA
Diseño
Figu a 1.3 Diseño de es uc u as an e ince idumb e de enómenos ísicos.
En los mé odos clásicos, especialmen e en la ingenie ía ci il, el p oblema de las a iables ambien ales
se soluciona, de o ma sencilla, median e un mé odo semi-p obabilís ico, el
mé odo de los coe icien es de
mayo ación/mino ación
o
coe icien es de segu idad
que se supone que cap u an las luc uaciones de las
ca gas y po lo an o ecogen la ince idumb e de las mismas [
40
], [
38
]. Así, se de ine un alo ca ac e ís ico
de una a iable ambien al, po ejemplo una ca ga a la que se e some ida una es uc u a,
Fk
, asociado
a una p obabilidad de no excedencia de 95% (que ca ac e iza la a iable alea o ia) y pos e io men e se
de ine un alo de cálculo
Fd=γGFk
donde
γG
es un coe icien e de mayo ación (que depende del ni el de
segu idad deseado y del e ec o de las ca gas) que hace que el diseño se haga de acue do con unos equisi os de
segu idad. El g an incon enien e de es os mé odos es que, po su ca ác e gene al y no ma i o, no pe mi en
una ca ac e ización en de alle del enómeno pa a el caso pa icula es udiado y po lo an o, aunque es án del
lado de la segu idad gene almen e, gene an en muchas ocasiones sob ecos es.
La alea o iedad como modelo es adís ico de ince idumb e
En el caso de que la alea o iedad esponda a una con eniencia ma emá ica po desconocimien o o al del
enómeno ísico subyacen e, los modelos p obabilís icos esponden a una necesidad ope acional. La a iedad
de modelos no es an amplia pues o que lo que se busca es una ep esen ación con enien e de los enómenos,
aunque no es én an undamen ados en leyes de la na u aleza, sino en aspec os o males o ma emá icos.
De nue o lo más usual es abaja con
modelos pa amé icos
, en es e caso po simplicidad. Las amilias
pa amé icas se escogen no sólo en unción de las limi aciones ísicas (en es e caso, en la mayo ía de los
casos, basadas en el sen ido común) sino ambién en base a la comodidad ma emá ica pe seguida pa a su
ca ac e ización, de su obus ez o su ca ác e gene al. El ajus e de los pa áme os de las amilias se ealiza
median e écnicas de in e encia es adís ica habi uales, como en el caso an e io .
Los modelos alea o ios débilmen e basados en enómenos ísicos, son, po sus ca ac e ís icas, ideales
pa a a a los
pa áme os
en un con ex o de ince idumb e, aunque es e es udio no p o undiza á en es e
aspec o. Desde es e en oque, los pa áme os del sis ema se conside an alea o ios a di e encia de las a iables
ambien ales, que se suponen de e minis as, pe o debido al ca ác e alea o io de pa e de las a iables de
24 Capí ulo 1. Ma co gene al del p oblema
Figu a 1.9 Con igu ación de placas ensayadas en XFlow®.
1.3.2 Hipó esis de pa ida pa a el análisis
Has a lo que aquí se ha desc i o, odas las ca gas se han calculado en un con ex o de e minis a. Dicho de
o o modo, se ha conside ado
una ealización
, den o del ma co de ince idumb e en el que se abo da el
p oblema. El ma co p obabilis a en el que ealmen e se encuen a el p oblema se ha e lejado en dos aspec os
undamen ales a la ho a del cálculo de las ca gas, di ec amen e elacionados con las condiciones de con o no
de la simulación de CFD:
•Se ha ijado una elocidad de en ada Vm=25m/s.
•Se ha seleccionado un cie o espec o de u bulencia (en es e caso el de Von Ká mán).
En ealidad, la elocidad media del ien o no es conocida, sino que es una a iable alea o ia que depende
del luga , ya que su alo depende de modelos de me eo ología de mesoescala en los que la ísica no es
pe ec amen e conocida. Es e caso co esponde cla amen e con uno de los casos conside ados en los que la
ince idumb e hace ac o de p esencia de mane a decisi a.
Po o o lado, además, el enómeno de modelización de la u bulencia se hace median e un espec o. Una
o ma de in e p e a dicho espec o es conside a la u bulencia como un enómeno alea o io, es aciona io y
e gódico, y ep esen a la median e su espec o de ene gía [
80
], que es de hecho lo que hace el espec o de
Von Ká mán.
En de ini i a, desde un pun o de is a global p obabilís ico, las ca gas sob e la es uc u a p esen an una
ince idumb e in ínseca que además se e leja en una a iabilidad empo al (és o es de hecho lo que p o ocan
los enómenos u bulen os).
En mecánica de luidos, especialmen e en ae odinámica, la ecuación undamen al pa a el cálculo de ue zas
sob e cue pos uselados o omos [72] es
F=1
2CFAρV2(1.3)
Donde
V
es la elocidad ca ac e ís ica del lujo,
ρ
es la densidad,
A
el á ea de exposición del cue po y
CF=CF(Re)
es un coe icien e adimensional que depende del núme o de Reynolds,
Re
, de inido median e
Re =VL
ν
, donde
L
es la dimensión ca ac e ís ica del obje o, y
ν=µ
ρ
es la iscosidad cinemá ica del luido,
de iscosidad dinámica µ.

1.3 Modelo de cálculo pa a los agen es o zado es 25
(a) Campo de elocidades ins an áneas (módulo). (b) Campo de elocidades ins an áneas ( ec o es).
(c) Campo de p esiones ins an áneas. (d) Campo de in ensidades u bulen as ins an áneas.
(e) Pé didas de p esión ins an áneas.
( ) Campo de elocidades p omediadas (módulo). (g) Campo de elocidades p omediadas ( ec o es).
Figu a 1.10 Co es del campo solución en el plano de la es uc u a.
26 Capí ulo 1. Ma co gene al del p oblema
(a) Campo de elocidades ins an áneas (módulo). (b) Campo de o icidades ins an áneas (módulo.
(c) Campo de elocidades p omediadas (módulo).
Figu a 1.11 Campos solución en el plano ho izon al medio de la es uc u a.
En es a ó mula, odos los é minos son conside ados de e minis as sal o, a lo sumo
V
y
CF
. La a iable
V
, que puede se asignada a la elocidad media del lujo
Vm
. Así, en gene al, se puede esc ibi , pa a la ue za
i-ésima conside ada (cada nodo posee dos ue zas, una de sus en ación y o a de a as e).
Fi( ) = 1
2CFi(V, )AρV2(1.4)
Donde
CFi(V, )
es una a iable alea o ia. Al es a indexada en el iempo
, se dice que es un
p oceso
es ocás ico. Algunos concep os sob e p ocesos es ocás icos ienen e lejados en el Apéndice A.
A con inuación se ealizan las dos hipó esis undamen ales del análisis:
1.
El núme o de Reynolds,
Re
del lujo,
es muy al o
. Dicha hipó esis es azonable po a a se de ca gas
ae odinámicas ambien ales, en las que el luido conside ado es el ai e, cuya iscosidad cinemá ica
a empe a u a ambien e es del o den de
ν=1.5·10−5m/s2
. Pa a condiciones de ien o es ánda
V=25m/s
y es uc u as de dimensiones del o den las de un panel o o ol aico, es deci
L=1m
, se
ob iene
Re =1.7·106
. Bajo dichas condiciones, se obse a que
CF
es independien e de
Re
( e po
ejemplo [
72
] o [
80
]), y po lo an o independien e de
V=Vm
. Obsé ese que es o no es o a cosa que
deci que, pa a cualquie alo de , las a iables alea o ias CFiyVmson independien es.
2.
El p oceso es ocás ico
CFi(V, ) =CFi( )
es
es aciona io
y
e gódico
. La de inición p ecisa de lo que ello
signi ica puede e se en el Apéndice A, pe o es o signi ica que los es adís icos mues ales coinciden con
1.3 Modelo de cálculo pa a los agen es o zado es 27
(a) Velocidades p omediadas (módulo). (b) Vo icidades p omediadas (módulo).
Figu a 1.12 Campos solución sob e las placas o o ol aicas.
Figu a 1.13
T ans o mación de la dis ibución de p esiones ( esul an e de in adós y ex adós) a la dis ibución
de ue zas en los nodos.
los es adís icos en un ho izon e empo al. Dicho de o o modo, que una sola mues a es ep esen a i a
de oda la es adís ica del enómeno. Es o es undamen al ya que pe mi e in e i la es adís ica de
CF
a
pa i de una sola ealización.
1.3.3 Modelo p obabilís ico
Una ez es ablecidas las hipó esis de pa ida, la Ecuación (1.4) queda
Fi( ) = 1
2CFi( )AρV2(1.5)
El p oblema se educe po lo an o a conside a los p ocesos es ocás icos
CFi( ),i=1,···,m
. Una posible
al e na i a se ía ca ac e iza conjun amen e la amilia de p ocesos es ocás icos
{Fi( )}i=1,···,m
. No obs an e, la
28 Capí ulo 1. Ma co gene al del p oblema
Ecuación (1.5) es no lineal y es o segu amen e sea complicado. Además, en la li e a u a la a iable alea o ia
V
ha sido a ada innume ables eces ya que en mul i ud de si uaciones es necesa io ca ac e iza la elocidad
del ien o. Los modelos p obabilís icos que ca ac e izan la elocidad del ien o son muy p ecisos y de un
alcance imp esionan e. Las a iables
CFi( )
son mucho más complicadas de ca ac e iza , ya que su o igen
ísico es la u bulencia, aunque se ealiza á un es ue zo po hace lo.
En de ini i a, la me odología de ca ac e ización de a iables ambien ales es
1. Ca ac e ización de la a iable alea o ia V. Es o se ha á en el capí ulo 2.
2. Ca ac e ización de las a iables alea o ias CFi( ). Es o se ha á en el capí ulo 3.
Al modelo plan eado, se le denomina á
Modelo V-C
. Los capí ulos siguien es abo dan cada una de las
dos a iables que in e ienen en él de o ma exhaus i a.
2 Ca ac e ización de la elocidad del ien o
The pessimis complains abou he wind; he op imis expec s i
o change; he ealis adjus s he sails
William A hu Wa d, 1921 - 1994
En
el Capí ulo 1 se p esen ó el
modelo p obabilís ico C-V
que se usa á pa a a a las a iables ambien-
ales que in e ienen en el p oblema de ca ac e ización de las ca gas alea o ias que ac úan sob e una
es uc u a que sopo a paneles o o ol aicos. La ecuación undamen al es ablecida e a
Fi( ) = 1
2CFi( )ρAV2(2.1)
Donde
Fi
es la a iable alea o ia que ep esen a la ue za de solici ación es uc u al en el g ado de libe ad
i-ésimo,
CFi( )
es el p oceso es ocás ico que ep esen a la his o ia del coe icien e de p esiones asociado al
g ado de libe ad
i
,
ρ
y
A
son el á ea del obje o expues o y la densidad del ai e y
V
es la a iable alea o ia
que ep esen a la elocidad del ien o.
Es e capí ulo e sa sob e el modelo u ilizado pa a la a iable alea o ia V.
2.1 Dis ibuciones mix as
Una dis ibución de p obabilidad mix a es una dis ibución de p obabilidad que ca ac e iza, simul áneamen-
e el égimen cen al y el égimen ex emal de una a iable alea o ia. Inco po an en una misma a iable
alea o ia la población de alo es ex emos y la población de alo es cen ales. Las dis ibuciones mix as
pa amé icas poseen unos umb ales de inidos (uno pa a la cola in e io y o o pa a la cola supe io ) que
ma can el pun o a pa i del cual se conside a que el égimen de la a iable no es cen al, sino ex emal. Po
supues o, es os alo es del modelo son pa áme os que pueden ajus a se median e écnicas es adís icas, como
son los pa áme os de posición, de escala y de o ma, pa a modelos pa amé icos más sencillos.
Di e en es e siones de es os modelos han sido u ilizados en á eas an a iadas como el análisis de índices
económicos y ambien ales ([
10
], [
27
]), hid ología (es imación de caudales dia ios, [
85
], [
17
], [
82
], cálculo
de p ecipi aciones dia ias [
93
], [
57
], [
43
], [
53
], [
82
]) e hid odinámica (al u a de ola signi ican e, [
18
], [
83
]).
Todos los modelos usan dis ibuciones mix as pe o se di e encian en las amilias pa amé icas u ilizadas pa a
ajus a los cue pos cen ales y las colas de la dis ibución. Dichas amilias, po supues o, gua dan elación con
el enómeno ísico subyacen e y po lo an o, un paso undamen al en la elección del modelo es la selección
de las amilias pa amé icas adecuadas del égimen cen al y ex emal. Po ejemplo:
•
En economía y inanzas, es habi ual que las en abilidades de in e siones p esen en unas colas más
pesadas que las de la dis ibución no mal (debido a las c isis económicas), de ahí que, además de
écnicas como el uso de la amilia de dis ibuciones -S uden , los modelos mix os que combinan un
cue po cen al que sigue una dis ibución no mal y colas pe enecien es a la amilia de dis ibuciones
29

30 Capí ulo 2. Ca ac e ización de la elocidad del ien o
Gene alizada de Pa e o (GDP), cuyo pa áme o de cola es ajus able sean un en oque muy opo uno
[27]. O as a ian es incluyen el uso de una dis ibución Gamma pa a el égimen cen al [10].
•
En hid ología y en hid odinámica, es bas an e ex endido el uso de dis ibuciones de ipo log-no mal
pa a ep esen a el cue po cen al de las p ecipi aciones, los caudales o las al u as signi ican es de
ola. Aunque la azón ísica es más opaca en es os casos, es o puede debe se a que en las a iables
conside adas ac úan muchas a iables de o ma mul iplica i a, lo que jus i ica que el loga i mo de las
mismas, en base al eo ema cen al del lími e, siga una dis ibución no mal [
82
] [
83
]. O os modelos con
más g ados de libe ad (más pa áme os) incluyen dis ibuciones Weibull [
18
] o Gamma [
43
] e incluso
algunos más complejos se ies de dis ibuciones uni o mes [
85
]. Todos los modelos, en cualquie caso,
es án basados en a iables alea o ias cuyo sopo e es
R+
( oman alo es posi i os), lo que mues a que
odas ienen, en mayo o meno medida, un undamen o ísico subyacen e. Pa a la cola supe io uel en
a usa se gene almen e dis ibuciones Gene alizadas de Pa e o, mien as que pa a la cola in e io , ini a,
se usan o os modelos pa amé icos como la dis ibución Weibull.
El ajus e de los pa áme os del modelo puede ealiza se de muchas mane as, siendo el mé odo de los mo-
men os o los L-momen os y el mé odo de máxima e osimili ud los más céleb es, aunque écnicas Bayesianas
que in oluc an cadenas de Ma ko empiezan a gana adep os en los úl imos años.
En es e es udio, el agen e p incipal se á el ien o.
2.2 Modelos pa a el égimen cen al
La p ime a decisión undamen al, de ca a a abaja en un espacio pa amé ico y pode u iliza las écnicas
habi uales de in e encia es adís ica pa a la es imación, es selecciona una amilia de dis ibuciones que
ep esen e de mane a adecuada el égimen cen al de la dis ibución de elocidades de ien o.
Como dis ibución que ajus e el cue po cen al, se ha seleccionado una dis ibución Weibull bipa amé ica
de pa áme o de o ma
k
y pa áme o de escala
λ
. A con inuación se p ocede á a jus i ica desde el pun o de
is a eó ico - ísico dicha elección y a ilus a la elección con algunas e e encias bibliog á icas.
2.2.1 Fundamen o eó ico
Considé ese el campo ec o ial de elocidades del ien o, en un pun o especí ico, que de ine el emplazamien o
de la plan a 1.
V(x1,x2) = U1(x1,x2)e1+U2(x1,x2)e2(2.2)
Se puede de ini un enso mé ico (es o es, un enso dos eces co a ian e simé ico y de inido posi i o)
g
sob e la supe icie conside ada
S
, de ca a a pode de ini dis ancias, ángulos e c. Sin en a en el o malismo
subyacen e de la geome ía di e encial, es ap opiado e e i se al módulo de la elocidad del ien o, o de
o ma escue a, simplemen e a la elocidad del ien o de inido median e
V(x1,x2) = g(V(x1,x2),V(x1,x2)) (2.3)
Es o es una o ma de de ini un p oduc o escala sob e la supe icie conside ada, po ello una mé ica, y a
pa i de ella una no ma, que es una unción que adop a
alo es eales
y po lo an o, pueden se medidos
median e ins umen ación.
Más allá del igo écnico, se es á de iniendo una o ma de a a la elocidad del ien o, como alo escala
necesa io pa a el cálculo de las ue zas median e la Ecuación 2.1). Es e o malismo es necesa io en cuan o
que el hecho de que la supe icie de la ie a no es isomé ica al plano, in oduce cie o e o en los desa ollos
pos e io es, como se e á a con inuación.
1
A e ec os de es e es udio, se puede conside a dicho campo ec o ial de inido sob e una supe icie
S
( a iedad de dimensión 2) de
acue do con las he amien as de geome ía di e encial en a iedades, desp eciando los e ec os del lujo ascenden e/descenden e, que
co esponden a g adien es de densidad o empe a u a
2.2 Modelos pa a el égimen cen al 31
Vis a como unción
V:S7→R+
, la elocidad del ien o puede exp esa se en un pun o
(x1;x2)
median-
e
V(x1,x2)
, pe o es más ú il elaciona conside a la elocidad del ien o median e su exp esión en las
coo denadas locales dadas po la Ecuación (2.2) V:R27→R+
V= (U1,U2)(2.4)
Si se conside an aho a
U1
y
U2
a iables alea o ias con sopo e en
R
,
V
se á una a iable alea o ia con
sopo e en
R+
ob enida a pa i de
U1
y
U2
median e la unción
. Ca ac e iza la a iable alea o ia
V
po lo
an o consis e en
1. Ca ac e iza la a iable alea o ia Ui,i=1,2.
2. Ca ac e iza la unción .
La p ime a cues ión es de índole ísica (me eo ología), mien as que la segunda es una cues ión pu amen e
geomé ica ( opog a ía).
Conside aciones ísicas
Pa a ca ac e iza la ísica del p oblema, es necesa io es ablece una se ie de hipó esis de índole ísico. Dichas
hipó esis son:
•Iso opía me eo ológica pa a un es ado de luc uación
: Las a iables alea o ias
Ui
,
i=1,2
, pa a
cie o es ado de du ación
T
en el que se conside an las luc uaciones de dichas a iables, ienen la
misma a ianza. Dicha hipó esis iene sen ido ísico y ha demos ado se álida pa a es ados de inidos
en pe iodos de T=10min. En é minos es adís icos, es o se conoce como homocedas icidad.
•Desacoplamien o di eccional
: La elocidad del ien o en una di ección (dada po ejemplo po
e1
) no
depende de la elocidad del ien o en la o a di ección (dada en es e caso po
e2
y ecíp ocamen e. Las
a iables alea o ias U1yU2, en é minos es adís icos son independien es.
•Sime ía en la di eccionalidad
: La a iabilidad
U1
y
U2
debe p oduci se de o ma simé ica ( espec o
al ce o). Es o iene sen ido desde el pun o de is a ísico y complemen a el p incipio de iso opía
enunciado an e io men e. Es adís icamen e, es o signi ica que las a iables
Ui
,
i=1,2
son
simé i-
cas
, en el sen ido que
P [Ui>x] = P [Ui<−x]∀x∈R,i=1,2
. Obsé ese que es o implica que
E[U1] = E[U2] = 0
. En e ec o,
P [X>x] = P [X<−x]⇒1−F(x) = F(−x)
donde
F
es la un-
ción de dis ibución. De i ando ambas exp esiones y u ilizando la egla de la cadena se deduce que
(x) = (−x)y la unción de inida median e g(x) = x (x)es impa , luego E[X] = RRg(x)dx =0.
•No malidad
:
U1
y
U2
son a iables alea o ias cuyo alo esponde al e ec o ag egado adi i o de
muchas a iables secunda ias independien es, po lo an o, g acias al eo ema cen al del lími e, ambas
pueden supone se no malmen e dis ibuidas.
Todas es as hipó esis, pueden combina se enunciando que
Ui∼N(0,σ)
y son a iables independien es.
Conside aciones geomé icas
Ca ac e iza la geome ía de la supe icie del e eno, que es la que in ínsecamen e p opo ciona la mé ica
y a e ec os de es e abajo la exp esión local de
es una a ea colosal, que además es á inculada al caso
conside ado, po lo que en gene al se es ablece la hipó esis siguien e
•Geome ía localmen e isomé ica al plano euclídeo
: La escala de abajo es an pequeña y la o og a ía
an sua e y llana que puede supone se que en un en o no del pun o conside ado, la geome ía y la
mé ica son las de un plano euclídeo. En es e caso, se puede supone que, pa a cie o sis ema de
coo denadas o ogonales (que exis e), en la Ecuación (2.4), (u1,u2) = qu2
1+u2
2.
Dis ibución de la elocidad del ien o
Se ha is o que
V= (U1,U2)
, po lo an o, conside ando que
U1
y
U2
son independien es y su dis ibución
es conocida, se puede calcula la unción de dis ibución de la a iable
V
. En e ec o, dado que
U1
y
U2
son
independien es,
(U1,U2)(u1,u2) = U1(u1) U2(u2)
con
Ui
unción de densidad de una ley no mal
N(0,σ)
,
luego, si se de ine V=qU2
1+U2
2
32 Capí ulo 2. Ca ac e ización de la elocidad del ien o
V( ) = Z+∞
−∞Z+∞
−∞
1
√2πσ2e−u2
1
2σ21
√2πσ2e−u2
2
2σ2δ( −qu2
1+u2
2)du1du2
V( ) = 1
2πσ2Z+∞
−∞Z+∞
−∞
e−u2
1+ 2
1
2σ2δ( −qu2
1+u2
2)du1du2
Realizando el cambio a coo denadas pola es, u1= cosθ,u2= sinθse ob iene
V( ) = 1
2πσ2Z2π
0Z+∞
0
e− 2
2σ2δ( − )d dθ
V( ) = 1
2πσ2Z2π
0
dθ e− 2
2σ2
V( ) =
σ2e− 2
2σ2
La dis ibución cuya unción de dis ibución es
(x) =
σ2e− 2
2σ2
se denomina habi ualmen e como dis i-
bución Rayleigh2y se deno a po R(σ).
No obs an e, se ha is o que pa a llega a es e pun o, se han es ablecido una se ie de hipó esis an o del
enómeno ísico como de ca ác e opog á ico. Dichas hipó esis pueden no se siemp e es ic amen e cie as,
en especial la del segundo g upo. La unción de ans o mación puede se algo más complicada. Pa a lidia
con es e p oblema, es ú il u iliza una amilia de dis ibuciones de un espacio pa amé ico mayo . Obsé ese
que la amilia de dis ibuciones Rayleigh es unipa amé ica y el único desc ip o es adís ico que la ca ac-
e iza es la luc uación de las a iables di eccionales en e es ados, iden i icada median e la des iación ípica
σ
.
La dis ibución Weibull
3
esponde a las necesidades plan eadas. Su unción de densidad puede pa ame i-
za se median e la exp esión
(x) = k
λx
λk−1e−(x
λ)k
.
λ
es el llamado
pa áme o de escala
y
k
es el llamado
pa áme o de o ma
, que in oduce un nue o g ado de libe ad al modelo. En e ec o, obsé ese que pa a
k=2
, se ob iene la dis ibución Rayleigh con
λ=√2σ
. Así, la amilia Weibull cons i uye una gene alización
de la amilia Rayleigh, que incluye la an e io , y pe mi e mayo lexibilidad pa a conside a casos donde
las hipó esis conside adas no sean o almen e cie as. A la dis ibución Weibull de pa áme o de o ma
k
y
pa áme o de escala λse la deno a á W(k,λ).
2.2.2 Reseña bibliog á ica
An es de pasa a la desc ipción del égimen ex emal, se ha á una b e e ecopilación bibliog á ica que secunda
los azonamien os p esen ados an e io men e y mues a como la amilia Weibull se an oja como adecuada
pa a la modelización de la elocidad del ien o.
En p ime luga , en [
89
] se p esen an unos a gumen os simila es a los aquí expues os pa a jus i ica el uso
de la amilia Weibull, p esen ando ambién las limi aciones del modelo, en cuan o a las hipó esis empleadas,
en especial lo que en el a ículo se de ine como ci cula idad, que es la conjunción de lo que aquí se ha
denominado como iso opía y sime ía.
O os a ículos como [
49
], p esen an las amilias Rayleigh yWeibull como adecuadas pa a la ca ac e iza-
ción de la elocidad del ien o, al y como se hace en es e es udio, en a izando cuándo puede abaja se con
la amilia unipa amé ica en luga de con la bipa amé ica.
En [
77
], los au o es se basan en la conside ación de la elocidad del ien o dis ibuida según una Weibull y
se de alla el p oceso de ajus e de los pa áme os. Más allá de los mé odos de ajus e empleados, lo in e esan e
es que se pos ula el modelo subyacen e p esen ado en es e documen o y que además se p esen an a ios
casos donde se obse a la calidad de los ajus es a los da os medidos expe imen almen e. En la misma línea,
2En hono a John William S u , 3e Ba on Rayleigh,(12 de no iemb e 1842 – 30 de junio de 1919), ísico inglés
3E ns Hjalma Waloddi Weibull (18 de junio de 1887 – 12 de oc ub e de 1979 ue un ingenie o, cien í ico y ma emá ico sueco
2.3 Modelos pa a el égimen ex emal 33
en [
15
], elaciona los pa áme os de la dis ibución Weibull con los momen os de la misma, que ienen una
cla a in e p e ación ísica ( elocidad media, po encia media...) y se uel en a p esen a di e en es écnicas
de ajus e de los pa áme os, alidadas pa a a ias se ies empo ales medidas en campo. Más a ículos que
se basan en el uso de la dis ibución Weibull pa a ca ac e iza la elocidad del ien o son [
25
], [
47
], [
55
] y [
70
].
Po úl imo, en [
31
] se p esen an algunas al e na i as ecien es al uso de la dis ibución Weibull, que
echazan la hipó esis de la iso opía y/o la no malidad, así como el e ec o de la opog a ía. En e ellas cabe
ci a la amilia Rayleigh-Rice, que es una gene alización de la amilia Rayleigh que no p esupone las no males
cen adas en ce o.
2.3 Modelos pa a el égimen ex emal
An es de p egun a se cuál es el modelo necesa io pa a ca ac e iza el égimen ex emal cab ía p egun a se
po qué es necesa io hace lo. La espues a es á en que, a pesa de que se ha ca ac e izado la elocidad
del ien o media y sus luc uaciones, en algunas ocasiones se egis an enómenos ex ao dina ios que no
co esponden con la misma población es udiada. Es el caso de mac o enómenos me eo ológicos como pueden
se las o men as o los hu acanes. Las elocidades que se p oducen en esos momen os y que po lo an o son
egis adas po los apa a os de medida co esponden a enómenos ísicos cuya escala es muy di e en e, y
que po lo an o no pueden ca ac e iza se de la misma mane a con la que se ca ac e iza la luc uación de la
elocidad media del ien o pa a un es ado de e minado, cuyo pe iodo es
T=10min
. Es adís icamen e, se
dice que es os egis os pe enecen a o a población.
La mane a más sencilla de abo da el p oblema es usando el iejo lema di ide y ence ás: en luga de
conside a un p oblema, se conside an dos, el co espondien e al égimen medio y el co espondien e al
égimen ex emal. Pa a el ajus e del égimen medio se usan cie os modelos, di e en es a los usados pa a el
ajus e del égimen ex emal. Es adís icamen e, se conside an di e en e las poblaciones asociadas a cada uno
de es os egímenes, y pa a cada uno de ellos se u ilizan los modelos y écnicas pe inen es.
Aho a sí, es necesa io de e mina qué unción de dis ibución se a a escoge pa a ajus a la cola de la
dis ibución.
Se ha seleccionado una dis ibución Gene alizada de Pa e o ipa amé ica de pa áme o de o ma
ξ
,
pa áme o de escala
σ
y pa áme o de localización
u
. A con inuación se p ocede á a jus i ica desde el pun o
de is a eó ico dicha elección y a ilus a la con algunas e e encias bibliog á icas.
2.3.1 Fundamen o eó ico
El ing edien e p incipal que jus i ica el modelo u ilizado pa a el análisis ex emal, es el
segundo eo e-
ma undamen al de la eo ía de alo es ex emos
o
eo ema de Pickands–Balkema–De Haan
. Dicho
eo ema, consecuencia del
p ime eo ema undamen al de la eo ía de alo es ex emos
o
eo ema de
Fishe –Tippe –Gnedenko
es un eo ema que e sa sob e el compo amien o de la a iable alea o ia que se
ob iene condicionando la a iable alea o ia o iginal a la supe ación de un umb al, su icien emen e al o. Es
po lo an o un eo ema de compo amien o asin ó ico, muy simila al eo ema cen al del lími e, pe o pa a
a iables que ca ac e izan el égimen ex emal en luga del égimen medio.
Más especí icamen e.
Teo ema 2.3.1
Sea
X1,X2,···,Xn
un conjun o de a iables independien es e idén icamen e dis ibuidas, cuya
unción de dis ibución es
F
(es deci ,
P [Xi≤x] = F(x)∀i=1,···,n
). De ínase la a iable alea o ia
Eu
de excedencias de un cie o umb al
u
(su unción de dis ibución se á po an o, si
y=x−u
,
Gu(y) =
P [X≤u+y|X≥u] = F(u+y)−F(u)
1−F(u))
. En onces, si
u
es su icien emen e g ande,
F
pe enece al algún dominio
de a acción4yn→∞
4
Es a condición écnica sob e
F
es un poco engo osa y se especi ica con exac i ud en la bibliog a ía que se in oduce jus o después de
es e eo ema
40 Capí ulo 2. Ca ac e ización de la elocidad del ien o
012345678910
PDF
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
CDF
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
CDF empí ica
CDF WBLGPD
CDF WBL
PDF empí ica
PDF WBLGPD
PDF WBL
Figu a 2.2 Compa ación de los modelos WB y WBGDP pa a el ajus e de los da os egis ados.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
WBGPD
WB
Re . Line
(a) P-P plo .
0 2 4 6 8 10 12 14
0
2
4
6
8
10
12
14 Q-Q plo
WBGPD
WB
Re . Line
(b) Q-Q plo .
Figu a 2.3
Compa ación de los modelos WB y WBGDP pa a el ajus e de los da os egis ados median e
g á icas de p obabilidad P-P plo y Q-Q plo .
u10 (m/s)
100101
CDF
0.01
0.1
0.25
0.5
0.75
0.9
0.99
0.999
Da os
WBGPD
WB
Figu a 2.4 Da os egis ados y modelo WBGDP en un papel p obabilís ico de ipo Weibull.

2.4 Un modelo mix o pa a la ca ac e ización de la elocidad del ien o 41
es uc u as, me ece la pena es ablece es e modelo o si po el con a io se es án gas ando inú ilmen e ecu sos
compu acionales.
La espues a es que sí, que me ece la pena. Pos ulando que el modelo pa amé ico es el modelo WB
pa a oda la población, se es á imponiendo el alo del pa áme o de o ma de la cola supe io . En e ec o,
conside ando la a iable alea o ia
Eu
de excedencias de un cie o umb al
u
, cuya unción de dis ibución es
Gu(y) = F(u+y)−F(u)
1−F(u)). Se ob iene:
Gu(y) = F(u+y)−F(u)
1−F(u)
Gu(y) = 1−e−(u+y
λ)k−1−e−(u
λ)k
1−1−e−(u
λ)k
Gu(y) = 1−e−h(u+y
λ)k−(u
λ)ki
Gu(y) = 1−e−h(u
λ)k(1+y
u)k−1i
Aho a, en el lími e, en el que podemos supone yu, se e i ica 1+y
uk≃1+ky
u, de donde
Gu(y)≃1−e−k(u
λ)ky
u(2.20)
La Ecuación (2.20) indica que
Eu
sigue, en el lími e una ley dada po la amilia Exponencial de pa áme o de
escala
κ=u
kλ
uk
(
E(1/κ) = E(Λ)
, si se pa ame iza en unción del a io
Λ=1/κ
). Es a ecuación no sólo
especi ica el pa áme o de o ma
σ2=κ
(algo que po o a pa e ya se io en la Ecuación (2.15)) en unción
del umb al escogido, sino que co esponde con una dis ibución Gene alizada de Pa e o en la que
ξ2=0
y
σ2=κ
.
G P(0,κ)
. El pa áme o de o ma
ξ=ξ2=0
de e mina comple amen e la cola de la dis ibución (se
dice que la dis ibución pad e, la amilia Weibull pe enece a la amilia de colas exponenciales), po lo an o
con el modelo WB no se pod ían cap u a enómenos alea o ios que u ie an una cola supe io di e en e.
Po ejemplo, pa a los da os del Saha a, el ajus e de máxima e osimili ud a oja
u1=5.0676m/s
u2=10.4725m/s
λ=6.6312m/s
k=3.6731
ξ=−0.0625
Y además, de las Ecuaciones (2.16), (2.17) y (2.18)
ξ1=−0.3299
σ1=1.6716m/s
σ2=0.5322m/s
Puede e se que aunque
ξ
es pequeño,
ξ6=0
. Es más,
ξ<0
, de donde la a iable alea o ia de excedencias
iene una cola ini a (
x≤u2−σ2/ξ2⇒x≤15.5395m/s
) , es deci , la cola de la a iable o iginal es menos
pesada que la de una dis ibución Weibull. Es o queda oda ía más de mani ies o si se analiza el égimen
ex emal.
42 Capí ulo 2. Ca ac e ización de la elocidad del ien o
Régimen ex emal
A con inuación se p ocede á al análisis de los mismos da os pe o u ilizando el mé odo P.O.T. pa a analiza el
égimen ex emal, es deci , los e en os que co esponden a pe iodos de e o no muy g andes.
Obsé ese que, de acue do con el análisis an e io , el umb al
u
no debe escoge se de acue do con mé odos
más o menos subje i os, como se comen ó en la eseña bibliog á ica sob e mé odos de ajus e pa a el clima
ex emal, Sección 2.3.3, sino que se co esponde con el pa áme o del modelo, ob enido po máxima e osi-
mili ud, u=u2.
En p ime luga , en la Figu a 2.5 se mues a la se ie empo al de da os egis ados, iden i icando los da os
de la población que supe an el umb al u.
Fecha
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
u10 (m/s)
0
2
4
6
8
10
12
14
Figu a 2.5 Da os egis ados que supe an el umb al u.
De acue do con el mé odo desc i o en la Sección 2.3.2, se ajus a una dis ibución condicionada a la
supe ación del umb al de ipo Gene alizada de Pa e o. Los pa áme os de ajus e ob enidos son
ξ=−0.0536
σ=0.5281m/s
θ=0.0048
Como puede obse a se,
ξ
y
σ
se ace can a los ob enidos median e el modelo pen apa amé ico mix o
WBGPD y además
ξ6=0
. En la Figu a (2.6) se mues a la unción de dis ibución empí ica de las excedencias
y la unción de dis ibución eó ica co espondien e a la
G P(ξ,σ)
ajus ada según el mé odo P.O.T. y la
ob enida pa a el modelo mix o WBGDP. En la Figu a (2.7) se ep esen an ambos modelos u ilizando las
g á icas de p obabilidad P-P y Q-Q.
Se obse a que el modelo WBGPD ajus a con enien emen e las excedencias del umb al, aunque, e iden e-
men e, el ajus e exclusi o de las excedencias median e el mé odo P.O.T. ajus a mejo las excedencias: es o es
na u al, ya que el modelo mix o WBGPD u iliza in o mación de oda la mues a pa a ajus a la dis ibución,
mien as que el modelo ajus ado median e P.O.T. sólo usa la in o mación de las excedencias y el esul ado es
más sa is ac o io. No ol idemos, sin emba go, que el mé odo P.O.T. no pe mi e hace hipó esis alguna sob e
el égimen medio de la dis ibución, cosa que sí hace el modelo WBGPD.
2.4 Un modelo mix o pa a la ca ac e ización de la elocidad del ien o 43
u10,max (m/s)
10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14
cd
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Da os
Es imado P.O.T.
Es imado WBGPD
Figu a 2.6
Función de dis ibución empí ica de las excedencias del umb al
u
compa adas con el modelo
Gene alizado de Pa e o ajus ado median e P.O.T. y el modelo WBGPD.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
Es imado P.O.T.
Es imado WBGPD
10 11 12 13 14
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14 Q-Q plo
Figu a 2.7
Diag amas P-P plo y Q-Q plo pa a las excedencias del umb al
u
compa adas con el modelo
Gene alizado de Pa e o ob enido median e P.O.T. y el modelo WBGPD.
Pa a es ima los pe iodos de e o no al os, se debe in oduci ambién la es imación de la p obabilidad
de supe ación del umb al
θ=n/N=0.0048
median e el mé odo P.O.T. y calcula la dis ibución no
condicionada. Pa a ep esen a la dis ibución no condicionada, suele se muy ilus a i o el
Diag ama de
Gumbel
o
Diag ama de Pe iodos de Re o no
, que en a iza el ajus e pa a p obabilidades de supe ación muy
pequeñas, es deci , pa a pe iodos de e o no muy al os [
74
], [
24
]. En dicho diag ama, se dibuja el cuan il
VT
asociado a un de e minado pe iodo de e o no
T
, elacionado con la p obabilidad de no supe ación median e
p=1−1/T
, con el eje de abcisas g aduado loga í micamen e. Así, se ob iene, de la de inición del pe iodo
de e o no y u ilizando la exp esión condicionada de las excedencias
P [X≤x|X≥u]
y la p obabilidad de
44 Capí ulo 2. Ca ac e ización de la elocidad del ien o
supe ación θ=P [X≥u]
1
T=θ1+ξVT−u
σ−1/ξ
(2.21)
Despejando el alo de VTse ob iene
VT=u+σ
ξh(θT)ξ−1i(2.22)
La Ecuación (2.22) apa ece ep esen ada pa a el ajus e de los da os del Saha a en la Figu a 2.8, jun o con
los da os egis ados que supe an el umb al
u
. En dicha igu a, apa ece ambién ep esen ada la es imación
usando el modelo mix o WBGDP. Se han ep esen ado además de las es imaciones, los in e alos de con ianza
al
95%
pa a ambos modelos, calculados median e el
mé odo del a
, conside ando la ince idumb e de los
pa áme os del modelo
ξ
,
θ
y
σ8
, al y como se desc ibe en [
24
]. Obsé ese que en el caso lími e en que
ξ=0
(que no ol idemos co esponde ía con el caso en el que la amilia ue a exac amen e una dis ibución
de ipo Weibull, omando lími es en la Ecuación (2.22) se ob iene
VT=u+σln(θT) = u+σln(θ)+σln(T)(2.23)
La Ecuación (2.23) en el plano
(ln(T);VT)
co esponde con la de una ec a de pendien e
σ
y o denada en
el o igen
u+σln(θ)
, po lo an o, en el caso en el que
ξ=0
, el el diag ama de pe iodos de e o no debe ía
mos a una línea ec a.
Pe iodo de e o no (T)
10-2 10-1 100101102103
u10(m/s)
9
10
11
12
13
14
15
16
Es imado P.O.T.
Es imado WBGPD
Da os
Figu a 2.8 Diag ama de Pe iodos de Re o no pa a el modelo ob enido y los da os egis ados.
Vemos que los da os se ajus an bas an e bien a la cu a eó ica y que únicamen e es elocidades del
ien o, ex emadamen e al as, escapan del in e alo de con ianza al
95%
pa a ambos modelos. Se a a de
e en os a ípicos ex ao dina ios muy di íciles de cap u a incluso con el mé odo ajus ado median e P.O.T. El
modelo mix o WBGPD, po lo an o, se an oja p ác icamen e igual de álido que los mé odos clásicos pa a el
ajus e de las colas.
8
Pod ía habe se incluido ambién la ince idumb e del pa áme o
u
, pues o que median e el mé odo de máxima e osimili ud dicha
ince idumb e puede es ima se, pe o es a ince idumb e es casi desp eciable en e a los o os pa áme os del modelo, como puede
e se en [82] y [83]
2.4 Un modelo mix o pa a la ca ac e ización de la elocidad del ien o 45
Conclusiones
Se ha obse ado que el modelo mix o WBGPD mejo a el modelo WB pa a la ca ac e ización del égimen
medio y posee una po encia compa able al mé odo P.O.T. pa a el ajus e del égimen ex emal de la elocidad
del ien o.
El ajus e del cue po cen al de la dis ibución median e una amilia Weibull se ha demos ado álido, pe o
conside a el égimen ex emal de la misma población supond ía asumi que la cola de la dis ibución es
de ipo exponencial, con pa áme o de o ma conocido. Po o o lado, el ajus e de las colas median e la
écnica clásica de P.O.T. es mucho más sa is ac o ia pa a lidia con e en os ex emos, pe o no apo a nada de
in o mación sob e el égimen cen al.
El mé odo p opues o, basado en una dis ibución mix a Weibull - Pa e o, WBGPD es no edoso en cuan o
pe mi e, como se iene buscando, un
en oque in eg al
del p oblema, ca ac e izando la a iable alea o ia en
su conjun o, de ca a a, como se e á más adelan e, ealiza e en uales simulaciones.

3 Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
A good scien is is a pe son wi h o iginal ideas. A good enginee
is a pe son who makes a design ha wo ks wi h as ew o iginal
ideas as possible. The e a e no p ima donnas in enginee ing.
F eeman Dyson, 1923
En
el Capí ulo 1 se p esen ó el
modelo p obabilís ico C-V
que se usa á pa a a a las a iables ambien-
ales que in e ienen en el p oblema de ca ac e ización de las ca gas alea o ias que ac úan sob e una
es uc u a que sopo a paneles o o ol aicos. La ecuación undamen al es ablecida e a
Fi( ) = 1
2CFi( )ρAV2(3.1)
Donde
Fi
es la a iable alea o ia que ep esen a la ue za de solici ación es uc u al en el g ado de libe ad
i-ésimo,
CFi( )
es el p oceso es ocás ico que ep esen a la his o ia del coe icien e de p esiones asociado al
g ado de libe ad i,
ρ
y
A
son el á ea del obje o expues o y la densidad del ai e y
V
es la a iable alea o ia
que ep esen a la elocidad del ien o.
Es e capí ulo e sa sob e el modelo u ilizado pa a el p oceso es ocás ico
CFi( )
. Po simpli ica la no ación,
de aho a en adelan e se p escindi á del subíndice
Fi
, de o ma que se esc ibi á únicamen e
Ci( )
,
i=1,···,n
,
donde
n
es el núme o de g ados de libe ad exci ados de la es uc u a, que co esponden a
K
nodos del
plano,
n=2K
. Al inal del mismo, se p opone un ejemplo de aplicación muy ú il desde el pun o de is a
compu acional: la educción del iempo de simulación en el cálculo de ca gas de ien o.
3.1 Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas
En es e capí ulo se p opond á un modelo ajus ado pa a el p oceso
Ci( )
ad-hoc. Es o signi ica que no se
p e ende que el modelo sea uni e sal y álido pa a unas condiciones gene ales, sino que es p ác icamen e
ins umen al. Además, como se e á en el Capí ulo 4, la in luencia de la ince idumb e en la a iable alea o ia
Ci( )
es ma ginal si se compa a con la de la a iable alea o ia
V
, po lo an o el mé odo p opues o, aunque no
exen o de algunas hipó esis algo discu ibles, se an oja su icien e pa a el obje i o del es udio.
Po un lado, el in e és de conside a el é mino
Ci( )
como ec o alea o io (es deci , pa a cada
i
se
dispone de una a iable alea o ia) pe mi e a a desde el pun o de is a p obabilís ico concep os como la
simul aneidad de acciones, an con lic i as y subje i as en el ámbi o de la ingenie ía ci il. Usualmen e, en las
no ma i as clásicas [
38
], [
40
], [
30
] conside an coe icien es de simul aneidad
Ψi
que ponde an el alo de las
a iables alea o ias pa a lidia con es e p oblema, pe o el alo de dichos coe icien es no deja de se opaco e
incluso oscu o en muchos de los casos y desde luego, no uni e sal como en ocasiones se p e ende dado el
ca ác e no ma i o, ni es á adap ado pa a los casos especí icos de un es udio en conc e o. La única o ma
e dade amen e igu osa de lidia con la simul aneidad es desde el pun o de is a p obabilís ico, a ando
con ec o es alea o ios y el concep o de dependencia en e a iables. Tendencias ecien es mues an nue os
47
48 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
en oques pa a abo da la dependencia de a iables usando
Cópulas
[
59
], [
74
]. En es e es udio, no obs an e, no
se p e ende se an ambicioso y el ma co de es udio no sob epasa á la eo ía lineal de los
Modelos Vec o iales
Au o eg esi os, basados en un indicado lineal de la dependencia: la co a ianza.
Además, el in e és de conside a el é mino
Ci( )
no sólo como ec o alea o io, sino como p oceso
es ocás ico en el iempo a más allá de la ambición de ene un modelo más ico es uc u almen e. Se
p e ende, cap u a las luc uaciones empo ales de las ue zas sob e la es uc u a, po dos mo i os:
1.
Aunque más adelan e, en el Capí ulo 5 se e á que el modelo es uc u al empleado se calcula en égimen
cuasi - es á ico, es deseable que el ma co de abajo sea lo más gene al posible (de ca a, po ejemplo,
a u u as conside aciones, en égimen dinámico), po lo an o es imp escindible cap u a los e ec os
dinámicos.
2.
Debido al eno me cos e compu acional de una simulación CFD median e cualquie so wa e especí ico,
en es e caso XFlow
®
, en la p ác ica es muy di ícil dispone de más de un cálculo de coe icien es
de p esiones, po lo que la a iabilidad in ínseca a la u bulencia no puede calcula se ealizando un
es udio es adís ico en las mues as de ealizaciones. La es adís ica debe pode cap u a se a pa i de una
sola ealización. Aquí, las hipó esis del modelo (es aciona idad y e godicidad) esul a án cla es pa a el
ajus e y necesi a án de un p oceso mues eado en el iempo [67].
Pa a el es udio de p ocesos es ocás icos ec o iales en el que la dependencia se modela linealmen e, la ama
de la es adís ica ma emá ica que casa pe ec amen e es la
Teo ía de Se ies Tempo ales
. Tex os de e e encia
sob e se ies empo ales ( undamen os eó icos, mé odos de ajus e y aplicaciones) son [
48
], donde puede
encon a se una ap oximación eó ica que cub e odos los concep os, y [
62
], muy o ien ado a la esolución
de p oblemas, especialmen e en el ámbi o económico. Po úl imo en [
42
] puede encon a se un en oque más
basado en écnicas espec ales.
En la p ime a sección de es e capí ulo se ealiza á un análisis explo a o io de los da os, de ca a a o ien a
el desa ollo hacia la concepción de un modelo obus o. Pos e io men e se sen a án las bases igu osas del
modelo, de acue do con las conclusiones ob enidas. En e ce luga se p ecisa án los mé odos numé icos
u ilizados pa a el ajus e de los pa áme os del modelo p obabilís ico (p opiedades es adís icas) y de la
dependencia empo al (p opiedades espec ales). Finalmen e, se p esen a án algunas g á icas y esul ados
que demues en que el modelo u ilizado es adecuado pa a ca ac e iza los da os disponibles.
3.1.1 Análisis explo a o io
Da os u ilizados
Se u ilizan como da os de pa ida los esul ados de la simulación de XFlow a los que se hizo e e encia en el
Capí ulo 1. Se a a de
n=14
se ies empo ales, mues eadas a una ecuencia de
=270.27Hz
, es deci ,
cada
∆ =0.0037s
. La du ación de la simulación debe ía se el in e alo ca ac e ís ico en el que se supone
que la elocidad del ien o es es aciona ia, es deci T=10min.
Sin emba go, la simulación, al hace se en égimen ansi o io, p esen a en los p ime os ins an es un
compo amien o di e en e, debido a que inicialmen e, el ien o en a en ca ga con el obs áculo, p esen ándose
ca gas mayo es y a iaciones más ab up as de las mismas. Es e enómeno, no obs an e, no exis e en la ida
eal, pues o que la es uc u a ya es á ins alada en un ambien e de ca gas de ien o. Dicho de o o modo, es
necesa io que la simulación numé ica llegue a un égimen pe manen e. Se ha comp obado que a pa i de
=5min
(incluso mucho an es), el égimen puede conside a se pe manen e. Así, pa a los ajus es únicamen e
se han u ilizado los da os co espondien es a los úl imos cinco minu os de la simulación, es deci ,
T0=300s
.
Como se e en los análisis pos e io es, es un in e alo su icien emen e g ande pa a cap u a la es adís ica del
enómeno. En o al son N=41003 mues as pa a cada se ie.
Ca ác e del p oceso
En p ime luga se de inen los es adís icos mues ales empo ales, pa a las se ies empo ales de Ci
3.1 Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas 49
µi(m) = 1
m
m
∑
j=1
Ci( j)m≤N
σi(m) = 1
m−1
m
∑
j=1
(Ci( i)−µi(m))2m≤N
En las Figu a 3.1 pueden obse a se la e olución de los es adís icos
µi
(Media) y
σi
(Des iación ípica)
mues ales pa a las p ime as mues as, omadas de 100 en 100, es deci , pa a
m=100,200,···
has a que los
alo es se es abilizan. Se obse a que en odos los casos, pa a
m
su icien emen e g ande, los alo es de
µi(m)
yσi(m)si m→Nes abilizan cualquie a que sea el alo de i=1,···,n.
La Figu a 3.2, mues a pa a las 14 se ies, las medias mó iles sua izadas cada
L=500
y
L=5000
mues as.
Se obse a que, en consonancia con la Figu a 3.1 que con o me aumen amos la mues a, el alo de los
es adís icos con e ge. Pa ece que se ía azonable supone el p oceso
es aciona io en el sen ido débil
( e
Apéndice A) y e gódico.
Análisis es adís ico uni a iado
Se analiza aho a la dis ibución de las mues as co espondien es a cada una de las se ies empo ales, es
deci , pa a cada una de las a iables Ci( )se conside a la mues a {Ci( j)}j=1,···,N.
En la Figu a 3.3 se mues a, pa a cada se ie:
•Un his og ama de los da os.
•El diag ama en caja de los da os.
•La unción de densidad sua izada, usando un núcleo sua izado no mal cada L=100 pun os.
•El Q-Q plo espec o a la dis ibución no mal.
A la is a de los esul ados, se puede obse a que el p oceso no es Gaussiano. En e ec o, las dis ibuciones,
aunque unimodales, pa ecen asimé icas y poseen una cola más g uesa que la cola no mal y la o a más ina.
O a o ma de comp oba la no Gaussianidad es obse ando la Figu a 3.4, donde se compa an el
coe icien e
de asime ía
y el
coe icien e de cu osis
( e Apéncide A) mues ales de las 14 se ies con los alo es que
co esponden con una dis ibución no mal.
Pa ece po lo an o adecuado emplea una dis ibución que, con espec o a la dis ibución no mal, posea:
•Una cola más g uesa y la o a más ina.
•Asime ía.
Análisis mul i a iado
En cuan o al análisis mul i a iado, se puede ilus a la elación en e a iables analizando las dis ibuciones
empí icas bi a iadas de las a iables omadas de dos en dos. En la Figu a 3.5 se mues an
3
de las
14
2=182
unciones de densidad empí ica conjun as.
Como se ha comen ado, el análisis del ca ác e mul i a iado se ha á median e el es udio de las co a ianzas
en e a iables. En la Figu a 3.6 se mues a un diag ama ep esen a i o de la
ma iz de co elaciones
en e
a iables.
Como puede obse a se, la ma iz de co elaciones mues a que en muchos casos las a iables alea o ias
dis an mucho de se independien es. Dicho de o o modo, cuan o más al a sea la co elación, más se p oduce
el enómeno de la simul aneidad. La co elación en e dos a iables no es más que el g ado de
dependencia
lineal
. Como desde es e en oque es a se á el único ipo de dependencia que se conside a á, esul a po lo
an o el pa áme o (o mejo dicho, los
n2
pa áme os) más impo an e del ec o alea o io
(C1,···,Cn)
is o
conjun amen e.
56 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
Densidad espec al
p = 1.9 [ ad/s]
95% CI
(a) C1.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Densidad espec al
p = 12 [ ad/s]
95% CI
(b) C2.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Au oco elaciones
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Densidad espec al
p = 1.9 [ ad/s]
95% CI
(c) C3.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Densidad espec al
p = 1.7 [ ad/s]
95% CI
(d) C4.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Densidad espec al
p = 0 [ ad/s]
95% CI
(e) C5.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 50 100 150 200 250 300 350 400
S(!)
#10-3
0
1
2
3
4
Densidad espec al
p = 0 [ ad/s]
95% CI
( ) C6.
Figu a 3.7 Funciones de au oco elación y densidad espec al de los p ocesos Ci,i=1,···14.

3.1 Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas 57
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
1
2
3
4
5
6
Densidad espec al
p = 0.41 [ ad/s]
95% CI
(g) C7.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-4
0
2
4
6
8
Densidad espec al
p = 1 [ ad/s]
95% CI
(h) C8.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Densidad espec al
p = 0.62 [ ad/s]
95% CI
(i) C9.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
Densidad espec al
p = 1.9 [ ad/s]
95% CI
(j) C10.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
Densidad espec al
p = 1.9 [ ad/s]
95% CI
(k) C11.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
Densidad espec al
p = 0 [ ad/s]
95% CI
(l) C12.
Figu a 3.7 Funciones de au oco elación y densidad espec al de los p ocesos Ci,i=1,···14.
58 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
2
Densidad espec al
p = 0 [ ad/s]
95% CI
(m) C13.
Lag
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
S(!)
#10-3
0
1
2
3
4
Densidad espec al
p = 0 [ ad/s]
95% CI
(n) C14.
Figu a 3.7 Funciones de au oco elación y densidad espec al de los p ocesos Ci,i=1,···14.
3.1 Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas 59
3.1.2 Modelo
A la is a de odos los análisis el modelo que se ha u ilizado pa a cap u a el p oceso es ocás ico dado po
Ci( ),i=1,···,14 debe e i ica :
•
Es un p oceso es aciona io y e gódico. Las unciones de au oco elación o equi alen emen e las de
densidad espec al deben pa ece se a las dadas po la Figu a 3.7
•
Las a iables alea o ias
Ci
sigue una dis ibución asimé ica, que se ajus a án median e amilias
ipa amé ica.
•La ma iz de co elaciones debe asemeja se a la ilus ada en la Figu a 3.6.
Así, se ha es ablecido pa a modeliza el p oceso, o mejo dicho, la se ie empo al del p oceso disc e izado,
un
Modelo Vec o ial Au o eg esi o
de o den
p
(VAR(p)) es aciona io [
62
]. La dis ibución de la a iable
alea o ia
Ci
se supone pe enecien e a la amilia pa amé ica de Weibull desplazada, de es pa áme os
θ
(pa áme o de localización),
k
(pa áme o de o ma) y
λ
(pa áme o de escala), cuya unción de densidad de
p obabilidad es
(x) = k
λx−θ
λk−1
e−(x−θ
λ)k(3.2)
La unción de dis ibución de p obabilidad es
F(x) = 1−e−(x−θ
λ)k(3.3)
La a iable
X
sigue la dis ibución Weibull desplazada si y sólo si
Y=X−θ
sigue la dis ibución
Weibull. Se deno a á median e
L W (θ,λ,k)
a es a amilia de dis ibuciones. Al modelo es adís ico se le
denomina á
modelo LWB
mien as que al modelo es adís ico-espec al se le denomina á
modelo VAR-LWB
.
Se insis e en que es e modelo es ad-hoc y no es á undamen ado en una ealidad ísica subyacen e, sino
que esponde a una con eniencia, de acue do con el análisis explo a o io ealizado. Así, po ejemplo, con
el modelo
VAR-LWB
se es á pos ulando que exis e siemp e un lími e, bien in e io o supe io , pa a los
coe icien es
Ci
(la dis ibución Weibull iene una cola ini a). Es o, a p io i, no iene ninguna azón de se
ísica, pe o en secciones pos e io es se e á que el ajus e es más que co ec o.
3.1.3 Mé odo de ajus e
Pa a el ajus e de los pa áme os del modelo, hay que ene p esen e que po un lado hay que ajus a los
pa áme os es adís icos del modelo, a sabe , pa a cada
i=1,···,n
,
θi
,
ki
y
λi
y inalmen e los pa áme os que
modelizan la dependencia empo al, que son
p×n×n+×n
pa áme os, de acue do con el modelo VAR(p).
En el caso de la es uc u a u ilizada, n=14, po o o lado, pdebe á escoge se de alguna o ma.
Ajus e es adís ico
Pa a el ajus e de los pa áme os es adís icos, se segui á el mé odo de máxima e osimili ud, del mismo modo
que se hizo en el Capí ulo 2 pa a la dis ibución mix a de elocidades del ien o, pe o con alguna a ian e.
La unción de e osimili ud asociada al modelo LWB pa a una mues a de amaño Nes, pa a cada se ie
L(θ,λ,k|x1,···,xN) =
N
∏
i=1
(xi)(3.4)
En es e caso, la unción de log- e osimili ud,
l(θ,λ,k|x1,···,xN)ln(L(θ,λ,k|x1,···,xN))
iene exp esión
analí ica sencilla
l(θ,λ,k|x1,···,xN) = Nln(k)−kN ln(λ)+(k−1)
N
∑
i=1
ln(xi−θ)−1
λ
kN
∑
i=1
(xi−θ)(3.5)
Si se de ine
x(1)
como el alo mínimo de la mues a
{xi}i=1,···,N
, se obse a que si
θ→x(1)
,
ln(x(1)−θ)→
−∞
. Así si
k<1
, en onces
(k−1)ln(x(1)−θ)→+∞
y si
k>1
, en onces
(k−1)ln(x(1)−θ)→+∞
. La
unción
l
no es á aco ada y no puede halla se una solución de máxima e osimili ud pa a los es pa áme os
60 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
del modelo. Así, se es ima á
ˆ
θ=m´
ıni=1,···,N{xi}=x(1)
y se ha á
Y=X−ˆ
θ
. La a iable
Y
se ajus a me-
dian e écnicas clásicas de máxima e osimili ud pa a los pa áme os
λ
y
k
u ilizando la unción
wbl i
de
Ma lab®.
Los es imado es ob enidos, po lo an o, no gozan de an buenas p opiedades como si el ajus e ue a
pu amen e de máxima e osimili ud. Po ejemplo, es ácil e que
ˆ
θ
es un es imado sesgado ya que
x>θ
, y
ˆ
θ=x(1)
luego
E[X(1)]>θ
y el sesgo es
B(ˆ
θ) = E[ˆ
θ]−θ>0
. El análisis de las p opiedades es adís icas de
es os es imado es, sin emba go, queda ue a del alcance de es e abajo.
Ajus e de la dependencia empo al
La dependencia empo al se modeliza median e un modelo VAR(p). Fijado
p
, de acue do con [
62
], el modelo
ec o ial puede exp esa se median e la ecuación
y =c+
p
∑
j=1
Ajy −j+ep(3.6)
Los pa áme os de las
p
ma ices
Aj
y el é mino independien e
c
se ajus an median e mínimos cuad ados,
al y como se desc ibe en [62].
Pa a la selección del pa áme o
p
, se p ueba con modelos VAR(m) con
m≤10
y se escoge el alo de
p
según el c i e io de In o mación Bayesiana (BIC, Bayesian In o ma ion C i e ion), de nue o siguiendo las
di ec ices de [62].
Como el p oceso es no Gaussiano, an es del ajus e ec o ial au o eg esi o, se han ans o mado las
a iables
Ci( )
en a iables que Gaussianas
Yi∼N(0,1)
median e la ans o mación
Yi=Φ−1(Fi(Xi)
donde
Φ
es la unción de dis ibución co espondien e a la no mal es ánda y
Fi
es la unción de dis ibución
co espondien e a la se ie i. En e ec o
P [Yi≤y] = P [Φ−1(Fi(Ci)) ≤y]
=P [Fi(Ci)≤Φ(y)]
=P [Ci≤F−1
i(Φ(y))]
=Fi(F−1
i(Φ(y))
=Φ(y)
3.1.4 Comp obación del ajus e
La Figu a 3.8 mues a los ajus es median e el modelo LWB pa a cada una de las se ies conside adas en
é minos de la unción de densidad y la unción de dis ibución. En la Figu e 3.9 se mues an los diag amas
de p obabilidad co espondien es (P-P plo yQ-Q plo y en la Figu a 3.10 se mues a una compa a i a en e
el diag ama de caja de los da os y uno ob enido median e simulación a pa i del modelo LWB. Como puede
e se, el modelo esul a bas an e adecuado, aunque, como ya se comen ó, p esen a un lige o sesgo, debido a
la es imación del pa áme o de localización θ.
3.1 Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas 61
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(a) C1.
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(b) C2.
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(c) C3.
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(d) C4.
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(e) C5.
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
( ) C6.
Figu a 3.8
Comp obaciones del ajus e en é minos de las unciones de densidad y dis ibución del modelo
LWB.

62 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
pd
0
0.5
1
1.5
2
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(g) C7.
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
pd
0
1
2
3
4
5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(h) C8.
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
pd
0
1
2
3
4
5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(i) C9.
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
pd
0
1
2
3
4
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(j) C10.
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(k) C11.
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(l) C12.
Figu a 3.8
Comp obaciones del ajus e en é minos de las unciones de densidad y dis ibución del modelo
LWB.
3.1 Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas 63
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(m) C13.
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Da os
Modelo LWB
Va iable
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Modelo LWB
(n) C14.
Figu a 3.8
Comp obaciones del ajus e en é minos de las unciones de densidad y dis ibución del modelo
LWB.
64 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Q-Q plo
(a) C1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2 Q-Q plo
(b) C2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2 Q-Q plo
(c) C3.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.5 1 1.5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 Q-Q plo
(d) C4.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.5 1 1.5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 Q-Q plo
(e) C5.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.5 1 1.5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 Q-Q plo
( ) C6.
Figu a 3.9
Comp obaciones del ajus e en é minos de los diag amas de p obabilidad espec o al modelo
LWB.
3.1 Un modelo pa a la ca ac e ización del coe icien e de ue zas 65
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 Q-Q plo
(g) C7.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 Q-Q plo
(h) C8.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 Q-Q plo
(i) C9.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9 Q-Q plo
(j) C10.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Q-Q plo
(k) C11.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P-P plo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Q-Q plo
(l) C12.
Figu a 3.9
Comp obaciones del ajus e en é minos de los diag amas de p obabilidad espec o al modelo
LWB.
72 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Min
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Simulaciones
Da os
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Max
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Simulaciones
Da os
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
E o s d.
#10-3
0
2
4
6
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sesgo
0
0.1
0.2
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
E o s d.
0
0.005
0.01
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sesgo
-0.2
-0.1
0
0.1
(a) Máximos y mínimos.
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Q1
-2
-1
0
1
2
Simulaciones
Da os
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Mediana
-1
0
1
2
Simulaciones
Da os
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Q3
-1
0
1
2
Simulaciones
Da os
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
E o s d.
#10-3
0
1
2
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sesgo
-0.02
0
0.02
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
E o s d.
#10-3
0
1
2
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sesgo
-0.02
0
0.02
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
E o s d.
#10-3
0
1
2
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sesgo
-0.02
0
0.02
(b) Cua iles.
Figu a 3.11 Es udio median e boo s apping de algunos es adís icos ecuenciales.

3.2 Simulación y alidación median e boo s apping pa amé ico 73
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Media
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Des iación s d.
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
Simulaciones
Da os
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
E o s d.
#10-3
0
1
2
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sesgo
#10-3
-2
0
2
4
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
E o s d.
#10-3
0
0.5
1
Se ies
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sesgo
#10-3
-1
0
1
Figu a 3.12 Es udio median e boo s apping de algunos es adís icos basados en los momen os.
74 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000 His og ama
Da os
Simulaciones
0.4 0.6 0.8 1 1.2
Da os Simulaciones
Diag ama en caja
Va iable
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5 Densidad sua izada
Da os
Simulaciones
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 Q - Q plo s LWB
(a) Explo ación básica.
Va iable
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Da os
Simulaciones
Va iable
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Simulaciones
(b) Funciones de densidad y de dis ibución.
Figu a 3.13 Compa a i a de da os o iginales y simulados pa a la se ie C1.
3.2 Simulación y alidación median e boo s apping pa amé ico 75
-2 -1.5 -1 -0.5 0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000 His og ama
Da os
Simulaciones
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4
Da os Simulaciones
Diag ama en caja
Va iable
-2 -1.5 -1 -0.5 0
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Densidad sua izada
Da os
Simulaciones
-2 -1.5 -1 -0.5 0
-2
-1.5
-1
-0.5
0Q - Q plo s LWB
(a) Explo ación básica.
Va iable
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
pd
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Da os
Simulaciones
Va iable
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
cd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Da os
Simulaciones
(b) Funciones de densidad y de dis ibución.
Figu a 3.14 Compa a i a de da os o iginales y simulados pa a la se ie C14.
76 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14 Da os o iginales
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14 Media simulaciones
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14 E o s d. simulaciones #10-3
0
1
2
3
4
5
6
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14 Sesgo simulaciones
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Figu a 3.15 Es udio median e boo s apping de los coe icien es de co elación en e las a iables.
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
10
10
12
12
Densidad empí ica conjun a (Da os)
C1
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
C2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
2
4
6
8
10
12
14
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
10
10
12
Densidad empí ica conjun a (Simulaciones)
C1
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
C2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
2
4
6
8
10
12
(a) C1 s C2.
5
5
5
5
5
5
10
10
10
10
10
15
15
15
15
20
20
20
25
25
30
30
30
35
Densidad empí ica conjun a (Da os)
C1
-0.6 -0.55 -0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25
C8
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
5
5
5
5
5
5
10
10
10
10
10
15
15
15
15
20
20
20
25
25
25
30
30
30
35
Densidad empí ica conjun a (Simulaciones)
C1
-0.6 -0.55 -0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25
C8
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
5
10
15
20
25
30
35
(b) C1 s C8.
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
8
Densidad empí ica conjun a (Da os)
C1
-1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6
C14
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
6
Densidad empí ica conjun a (Simulaciones)
C1
-1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6
C14
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
2
3
4
5
6
(c) C1 s C14.
Figu a 3.16 Compa a i a de da os o iginales y simulados pa a la se ie C14.
3.2 Simulación y alidación median e boo s apping pa amé ico 77
Lag
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación (Da os)
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
Densidad espec al (Da os)
p = 1.9 [ ad/s]
95% CI
Lag
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación (Simulaciones)
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50
S(!)
#10-3
0
0.5
1
1.5
2
Densidad espec al (Simulaciones)
p = 0 [ ad/s]
95% CI
(a) Au oco elación y espec o.
#104
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
C1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 Da os
Da os b u os
Media mó il
#104
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
C1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 Simulaciones
Da os b u os
Media mó il
(b) Se ie empo al.
Figu a 3.17 Compa a i a de da os o iginales y simulados pa a la se ie C1.

78 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
Lag
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación (Da os)
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50
S(!)
#10-3
0
1
2
3
4
Densidad espec al (Da os)
p = 0 [ ad/s]
95% CI
Lag
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Au oco elación (Simulaciones)
! [ ad/s]
0 10 20 30 40 50
S(!)
#10-3
0
1
2
3
4
5
6
7
Densidad espec al (Simulaciones)
p = 0 [ ad/s]
95% CI
(a) Au oco elación y espec o.
#104
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
C14
-2
-1.5
-1
-0.5
0Da os
Da os b u os
Media mó il
#104
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
C14
-2
-1.5
-1
-0.5
0Simulaciones
Da os b u os
Media mó il
(b) Se ie empo al.
Figu a 3.18 Compa a i a de da os o iginales y simulados pa a la se ie C14.
3.3 Aplicación a la educción de cos e compu acional en cálculos de ca gas de ien o 79
3.3 Aplicación a la educción de cos e compu acional en cálculos de ca gas de ien-
o
El modelo VAR-LWB p esen ado es un modelo pa amé ico que, como se ha comp obado, cap u a muy
bien la es adís ica de los coe icien es de ue zas sob e los elemen os omos que su en las ca gas de ien o.
Se ía una buena idea, po lo an o, u iliza el modelo pa a iden i ica , median e expe imen ación numé ica,
cuán o iempo hace al a simula de ca a a cap u a oda la es adís ica de unas ca gas de ien o. Como el
núme o de pa áme os del modelo au o eg esi o no es ijo y dichos pa áme os se calculan a pos e io i,
en unción del núme o de da os, u ilizando un c i e io BIC, los únicos pa áme os que deben cap u a se
son los que hacen e e encia al modelo dis ibucional (es adís ico), es o es, los es pa áme os de la amilia
Weibull desplazada, a sabe : el pa áme o de localización
θ
, el pa áme o de escala
λ
y el pa áme o de o ma
k
.
3.3.1 Plan eamien o del p oblema
La idea que se plan ea pa a de ec a el iempo mínimo necesa io de simulación pa a cap u a el enómeno es
muy sencilla. Se a a de con ola cie os es adís icos mues ales empo ales, pa a las se ies empo ales de
Ci
.
Has a la echa, e a habi ual en el ma co del cálculo de ca gas de ien o, con ola dos es adís icos mues ales
has a que se es abiliza an, el alo medio de las ca gas
µ
y la aíz de la media cuad á ica RMS(Roo Mean
Squa e) o la des iación ípica σ3, pa a el g ado de libe ad i:
µi(m) = 1
m
m
∑
j=1
Ci( j)m≤N
RMSi(m) = s1
m
m
∑
j=1
C2
i( j)m≤N
El modelo p esen ado en las secciones an e io es es un modelo ipa amé ico, po lo an o, se ía necesa io
es udia un e ce pa áme o, de ca a a cap u a mejo el enómeno; es a es la no edad undamen al que se
p esen a. Si se u iliza un modelo de es pa áme os, la in o mación su icien e pa a ajus a median e máxima
e osimili ud el modelo LWB es a á con enida en una mues a en la que es es adís icos mues ales hayan
con e gido numé icamen e. A pa i de ese ins an e de simulación, odos los nue os da os ob enidos no
apo a án in o mación signi ica i a al modelo, ya que és e no dispone de más g ados de libe ad que cap u en
la es adís ica del enómeno que no haya sido cap u ada has a el momen o.
Como e ce es adís ico mues al empo al, se puede oma po ejemplo el coe icien e de asime ía o el
coe icien e de cu osis, aunque cualquie o o es adís ico esul a ía ap opiado. Dichos es adís icos ienen
como exp esión (aunque exis en algunas a iaciones en unción del con enio u ilizado) pa a el g ado de
libe ad i-ésimo:
ski(m) =
1
m∑m
j=1Ci( j)−µi(m)3
σi(m)3m≤N
ki(m) =
1
m∑m
j=1Ci( j)−µi(m)4
σi(m)4m≤N
En lo que sigue, los es es adís icos mues ales que se u iliza án pa a ealiza el análisis se án la media
µ
,
la cuasi-des iación es ánda sy el coe icien e de cu osis k:
3Recué dese que pa a una a iable X,σ2
X=E[X2]−E[X]2=RMS2
X−µ2
X
80 Capí ulo 3. Ca ac e ización del coe icien e de ue zas
µi(m) = 1
m
m
∑
j=1
Ci( j)m≤N
si(m) = s1
m−1
m
∑
j=1Ci( j)−µi(m)2m≤N
ki(m) =
1
m∑m
j=1Ci( j)−µi(m)4
σi(m)4m≤N
Pa a ene en cuen a la es abilización de los
n
g ados de libe ad conside ados, se de inen los ec o es
µ
µ
µ(m)=(µ1(m),···,µn(m))
,
s(m)=(s1(m),···,sn(m))
y
k(m)=(k1(m),···,kn(m))
y se conside an
µ(m) =
||µ
µ
µ(m)||
,
s(m) = ||s(m)||
y
k=||k(m)||
. Es os se án los es adís icos que se analiza án en cuan o a con e gencia
pa a de e mina si el iempo de simulación. El p oblema es escoge el alo de
m
mínimo que haga que los
es adís icos
µ
,
s
y
k
es én es abilizados. En pa icula , se puede analiza
T=pµ2+σ2+k2
y ealiza un
es udio del es adís ico
T
. Obsé ese que al ealiza se el es udio sob e el coe icien e de ue zas, adimensional,
odos los es adís icos son compa ables y po lo an o el es adís ico T iene sen ido.
3.3.2 Resul ados
Pa a ilus a la me odología, se suponen las se ies empo ales de
Ci
que se han conside ado en los apa ados
an e io es. La Figu a 3.19 mues a la e olución de los es adís icos mues ales conside ados pa a los p ime os
ins an es de iempo de simulación. La Figu a 3.20 mues a la no ma ec o ial de cada uno de los es adís icos.
Se ha de enido el análisis cuando el e o en el paso
j
, de inido median e
εj=|Tj−Tj−1|
sea meno que
TOL =0.01
. Dicho e o se mues a en la Figu a 3.21. Se obse a que aunque la con e gencia no es monó ona,
el e o sí que iene una endencia dec ecien e
Tiempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
7
-2
-1
0
1
2
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
Tiempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
<
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Tiempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
k
0
2
4
6
Figu a 3.19 Valo de los es adís icos pa a los p ime os ins an es de iempo.
3.3 Aplicación a la educción de cos e compu acional en cálculos de ca gas de ien o 81
Tiempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
7
2
2.5
3
Tiempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
<
0
0.5
Tiempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
k
0
10
20
Figu a 3.20 Valo de la no ma de los es adís icos pa a los p ime os ins an es de iempo.
Po supues o, se ha de ene en cuen a que aquí sólo se p es a a ención al ajus e dis ibucional, es deci , a
las p opiedades es adís icas de las se ies empo ales, no a las p opiedades espec ales. Es e es udio es muy
ú il, po ejemplo, cuando se an a ealiza cálculos pa a es uc u as ealizando simulaciones cuasi-es á icas,
como es el caso del p esen e documen o.
Obsé ese, po ejemplo, que a e ec os de es e análisis, bas a con ealiza
=4,64s
, eniendo en cuen a que
el iempo simulado o iginal e a de
T=300,00s
, es o cons i uye un cos e compu acional del
1.53%
espec o
al o iginal, lo que esul a ex ao dina io. A pa i de los da os ob enidos y con los ajus es pa amé icos
ealizados, se pueden ealiza simulaciones an la gas como se desee con el mismo con enido es adís ico
(pa a que engan el mismo con enido espec al, hay que ealiza ambién un análisis de los pa áme os del
modelo VAR, pe o a menudo, pa a ó denes bajos, el modelo unciona muy bien).
Obse ando de enidamen e la Figu a 3.20, puede e se que el coe icien e de cu osis a oja más in o mación
sob e el con enido es adís ico de las señales. Aunque cuali a i amen e es a in o mación no es sus ancialmen e
di e en e a la a ojada, po ejemplo po la cuasi-des iación ípica (se obse a que a pa i de
1.5s
, donde
exis e cie a deses abilización, la endencia es es able), sí que mues a que cada se ie de da os iene una
es adís ica p opia, que no puede se cap u ada median e un modelo bipa amé ico (en pa icula el modelo
no mal esul a insu icien e). Más en de alle, se obse a que la cuasi-des iación ípica es es able pa a odas
las se ies (sal o quizás la 14) a pa i de
1=2s
, mien as que el coe icien e de cu osis sigue c eciendo has a
es abiliza se a los
2=3.5s
. Cuali a i amen e, es o signi ica que aunque cie a a iabilidad ha sido cap u ada
en
1
, no es has a
2
cuando se cap u a a iabilidad de un o den supe io . E iden emen e, pa a cap u a la o al
88 Capí ulo 4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C
Es a exp esión, jun o con la Ecuación (4.14) conduce a
ρFiFj=COV(Ci,Cj)E[V4]+ µCiµCjE[V4]−(µ2
V+σ2
V)2
qE[Y4]σ2
Ci+µ2
Ci(E[Y4]−(µ2
V+σ2
V)2)qE[Y4]σ2
Cj+µ2
Cj(E[Y4]−(µ2
V+σ2
V)2)
(4.15)
Dicha exp esión esul a más escla ecedo a si se di ide nume ado y denominado po
σCiσCjE[V4]−(µ2
V+σ2
V)2
,
ob eniendo
ρFiFj=
ρCiCjκ−1
V+µCiµCj
σCiσCj
sκ−1
V+µ2
Ci
σ2
Cisκ−1
V+µ2
Cj
σ2
Cj
=ρCiCjCViCVj+κV
qCV2
i+κVqCV 2
j+κV
(4.16)
Donde
κV=E[V4]−(µ2
V+σ2
V)2
E[V4]
es un indicado de la a iabilidad de
V
ya que si
V
es de e minis a,
κV→0
y
ρFiFj→ρCiCj
y
CVi
y
CVj
son espec i amen e los coe icien es de a iación de las a iables
Ci
y
Cj
. Queda
cla o po lo an o que la a iabilidad de
V
iene un impac o decisi o sob e la co elación en e ue zas: a
mayo a iabilidad, mayo a enuación del coe icien e de co elación, siemp e po encima del coe icien e de
co elación
ρCiCj
. Po o o lado, la a iabilidad de
Ci
y
Cj
epe cu e ambién en el coe icien e de co elación
de la misma o ma, sólo que es a ez no exis e un lími e in e io pa a el mismo.
Ca ac e ización de los p ocesos Fi
En esumen los p ocesos Fi( )son es aciona ios en el sen ido débil y
µFi=1
2kµCi(µ2
V+σ2
V)(4.17)
σFi=1
2kqσ2
Ci
E[V4]+ µ2
Ci(E[V4]−(µ2
V+σ2
V)2)(4.18)
ρFiFj=ρCiCjCViCVj+κV
qCV2
i+κVqCV 2
j+κV
(4.19)
(4.20)
Obsé ese que si se supone que el p oceso
Fi
es gaussiano, las exp esiones an e io es
ca ac e izan
comple amen e
las a iables de en ada. No obs an e, en gene al es o no iene po qué se cie o, aunque
puede u iliza se como p ime a ap oximación. Las exp esiones an e io es cons i uyen una adiog a ía del
ec o de ca gas en é minos cuad á icos, lo que pe mi i ía, como se e á en capí ulos pos e io es, esol e
p oblemas de p og amación es ocás ica median e écnicas de op imización cuad á ica..
4.3 Es udio eó ico de la a iabilidad del modelo
An es de p ocede a un análisis basado en los esul ados de las simulaciones, se e á en qué quedan las
Ecuaciones (4.17) cuando se supone que alguna de las a iables implicadas es de e minis a.
4.3.1 Va iable Vde e minis a
En es e caso se impone
V=
, con lo que
µV=
,
σV=0
,
E[V4] = 4
y
κV=0
. Así, las Ecuaciones (4.17)
quedan

4.4 Simulaciones con el modelo p opues o 89
µFi=1
2kµCi 2(4.21)
σFi=1
2kσCi 2(4.22)
ρFiFj=ρCiCj(4.23)
(4.24)
En de ini i a, lo que sucede es que se ampli ica en
2
an o el alo de la media como de la a ianza del
p oceso, quedando las co elaciones idén icas. El p oceso simplemen e su e una ampli icación lineal.
4.3.2 Va iable Cide e minis a
En es e caso se impone
Ci=ci
, con lo que
µCi=ci
,
σCi=0
y
CVi=CVj=0
. Así, las Ecuaciones (4.17)
quedan
µFi=1
2kci(µ2
V+σ2
V)(4.25)
σFi=1
2kciqE[V4]−(µ2
V+σ2
V)2(4.26)
ρFiFj=1(4.27)
(4.28)
En es e caso, el alo de las ue zas medias se inc emen a no sólo debido al e ec o de la ele ación al
cuad ado, sino al con agio de ince idumb e po apa ece
σ2
V
en la exp esión. La a ianza de las ue zas,
po o a pa e, dependen de es adís icos de o den supe io , no únicamen e de la a ianza, de ahí que esul e
undamen al
un análisis de la dis ibución de
V
basado en es adís icos de o den supe io . En es e documen o
dicho análisis es á implíci o en la u ilización de dis ibuciones mix as de es o más pa áme os. Las a iables
que se ob ienen, no obs an e, es án pe ec amen e co elacionadas, como cab ía se espe a . El ec o de
ca gas, aunque posee o malmen e a ios g ados de libe ad, es esencialmen e uni a iado.
4.3.3 Caso gene al
El caso gene al no co esponde a ninguno de los dos casos an e io es, sino que p esen a la complejidad de
ambos a la ez además de o os e ec os siné gicos. En cualquie caso, se obse a que así como el conocimien o
de la es adís ica de o den dos del p oceso
Ci
es su icien e pa a conoce la es adís ica de o den dos del p oceso
Fi
, no sucede lo mismo con la es adís ica de o den dos de
V
. De aquí se desp ende una conclusión undamen al:
cualquie a que sea el modelo es adís ico que se quie a u iliza pa a ca ac e iza el p oceso Fi, debe á
se especialmen e cuidadoso con el a amien o de la dis ibución de V.
En es e documen o, es o se ha lle ado a cabo median e un ajus e muy ino, basado en écnicas p esen es en
el es ado del a e ac ual, de la dis ibución de elocidades del ien o.
4.4 Simulaciones con el modelo p opues o
En es a úl ima sección se a a ealiza un análisis más en de alle de la ince idumb e del modelo C - V u ili-
zando los modelos u ilizados en es e documen o. Has a aho a se ha ealizado un análisis de la ince idumb e
cuad á ica, que no depende de las dis ibuciones ni modelos u ilizados pa a los ajus es, se dice que dichos
esul ados son lib es de dis ibución (dis ibu ion ee). Es os esul ados no pe mi en ca ac e iza los p ocesos
en é minos dis ibucionales, pe o sí que dan in o mación sob e es adís icos básicos (en es e caso la media, la
des iación ípica y los coe icien es de co elación lineales).
En lo que sigue se a a á de i un paso más allá y ealiza un análisis dis ibucional, pa a ello, es necesa io
es ablece unas hipó esis de pa ida sob e las a iables
V
y
Ci
en é minos de las dis ibuciones. Dichas
hipó esis no son o as que las plan eadas en el Capí ulo 2 y 3, con algunas a ian es.
90 Capí ulo 4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C
Pa a la gene ación de las se ies median e simulación, en ambos casos se ha u ilizado un modelo ec o ial
au o eg esi o. Dicho modelo ue ampliamen e explicado pa a el caso de las a iables
Ci
en el Capí ulo 3.
El p ocedimien o pa a la gene ación de la se ie empo al de
V
es análogo, pe o menos complejo, ya que es
uni a iado. Los da os u ilizados pa a el ajus e de la elocidad del ien o son los egis ados en el pue o de
Cádiz en el año 2014, elocidad media diezminu al, medida a
10m
de al u a. Los ajus es lle ados a cabo
pa a es a se ie hace que los pa áme os del modelo adop en los alo es siguien es:
u1=1.7401m/s
u2=12.4712m/s
λ=7.1530m/s
k=2.0236
ξ=−0.0385
Es os da os son los mismos que se á usados en el ejemplo demos a i o que se ealiza á a cabo en la Pa e
III de es e documen o.
4.4.1 Escena ios plan eados
Con el in de lle a a cabo un análisis de la ince idumb e del modelo, se an a compa a cua o modelos
p obabilís icos di e en es que pod ían u iliza se pa a eplica las ca gas nodales (es deci , las
N=14
se ies
empo ales):
1.
El
Modelo C - V
desc i o en los dos capí ulos an e io es. Dicho modelo es el más comple o a p io i,
ya que conside a la ince idumb e de la elocidad del ien o y la del coe icien e de p esiones. Dicho
modelo se denomina á Modelo 1.
2.
Un modelo en el que se conside a únicamen e la
ince idumb e en la elocidad del ien o
, conside án-
dose el
coe icien e de ue zas cons an e
a lo la go del mismo. Es a conside ación suele se habi ual en
diseño es uc u al cuando se es á del lado de la segu idad, donde a cada cue po omo se le suele asocia
un coe icien e de ue za (
CD
pa a el a as e, d ag, en la di ección del lujo y
CL
pa a la sus en ación,
li , pe pendicula al lujo) que se conside a cons an e a e ec os de solici aciones. A es e modelo se le
denomina á Modelo 2.
3.
Un modelo en el que se conside a la
ince idumb e en el coe icien e de ue zas
, conside ándose la
elocidad del ien o cons an e
, igual a la elocidad media del mismo
¯
V
. Es e ipo de modelos no se
usa, ya que habi ualmen e (y como se e á a con inuación), es á cla amen e del lado de la insegu idad.
Suele se habi ual, no obs an e, sus i ui el alo de la elocidad media po un alo ca ac e ís ico
V∗=k¯
V
,
k>1
, que co esponda a un de e minado pe iodo de e o no. En el ma co p esen ado en es e
documen o, el alo de
k
pod ía calib a se c uzando es e modelo con el Modelo 1. A es e modelo (con
la elocidad media) se le denomina á Modelo 3.
4.
Un modelo en el que se supone la
ince idumb e en ambas a iables alea o ias
,
V
y
Ci
,
i=1···,N
.
La di e encia espec o al p ime modelo es que en es e caso se oma siemp e la misma ealización
pa a
Ci
, no di e en es ealizaciones ob enidas median e cálculo CFD o median e simulación es adís ica
(como se io en capí ulos an e io es es o es in ini amen e menos cos oso compu acionalmen e). Es de
espe a , dada las hipó esis del modelo (es aciona iedad y e godicidad pa a las a iables
Ci
), que es e
modelo a oje esul ados muy simila es al modelo C - V, ya que en una sola ealización es á con enida
oda la es adís ica del p oceso. No obs an e, a e ec os de compa ación, se incluye aquí pa a que pueda
analiza se la ince idumb e suplemen a ia que se gene a con el modelo es adís ico. Es e modelo se
denomina á Modelo 4.
Pa a compa a los cua o modelos, se han gene ado se ies de du ación un día en el que la ecuencia de
mues eo es de
=13.5Hz
de mues eo u ilizando cada uno de ellos. En la Figu a 4.1 se mues an dichas
se ies pa a dos de las
N=14
ue zas nodales (se ha escogido una ue za ho izon al, co espondien e al g ado
de libe ad 1 y una e ical, co espondien e al g ado de libe ad 14, que además son se ies cuyos nodos de
acción es án alejados), con el in de ilus a la di e encia en e los modelos.
4.4 Simulaciones con el modelo p opues o 91
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
0
5000
10000 Modelo 1
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
0
5000 Modelo 2
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
0
500
1000 Modelo 3
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
0
5000
10000 Modelo 4
(a) Se ie 1.
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
-10000
-5000
0Modelo 1
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
-10000
-5000
0Modelo 2
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
-2000
-1000
0Modelo 3
ime
00:00:00 02:24:00 04:48:00 07:12:00 09:36:00 12:00:00 14:24:00 16:48:00 19:12:00 21:36:00 00:00:00
Fue za [N]
-10000
-5000
0Modelo 4
(b) Se ie 14.
Figu a 4.1
Se ies empo ales de las ue zas nodales pa a el g ado de libe ad 1 y 14 u ilizando los 4 modelos.
92 Capí ulo 4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C
4.4.2 Análisis es adís ico uni a iado
Es adís icos básicos
En p ime luga , en la Figu a 4.2 se mues a pa a los cua o modelos el alo de algunos es adís icos mues-
ales: la media
µ
indicado a de la endencia cen al, la des iación ípica
σ
y el in e alo in e cua il
IQR
,
indicado as de la dispe sión, el coe icien e de asime ía
sk
, que ca ac e iza la asime ía, el coe icien e de
cu osis
k
que ca ac e iza el apun amien o de la dis ibución y el máximo de los alo es absolu os (no ma
in ini a) que ilus a el in e és del modelo a e ec os de diseño.
A la is a de los esul ados, pueden ex ae se las siguien es conclusiones:
•
En cuan o a la endencia cen al (Figu a 4.2a) de las se ies, cualquie a de los modelos cap u a el
enómeno a g andes asgos, aunque el Modelo 3, que sólo inco po a la a iabilidad del coe icien e
de ue zas cla amen e es á del lado de la insegu idad. Es o es ácilmen e en endible, ya que al ene
la elocidad del ien o un impac o cuad á ico, el e ec o de la misma es magni icado , po pequeña
que sea su a iación. Es o se obse a cla amen e en la p ime a línea de la Ecuación (4.17), ya que
en el momen o de segundo o den de la a iable
V
es á la con ibución de la media de la a iable
V
y la con ibución de su a ianza:
µ2
Y+σ2
Y
. Es e es el e ec o
di ec o
de no conside a la a iabilidad
de los agen es me eo ológicos, en es e caso el ien o, en el cálculo es uc u al. El Modelo 2, que no
conside a la a iabilidad del coe icien e de ue zas, cap u a igual de bien la endencia cen al de la
se ie, de acue do de nue o con la Ecuación (4.17), donde se e que la ince idumb e de la a iable
Ci
no iene e ec o alguno sob e el égimen cen al.
•
Considé ese aho a la a iabilidad en é minos del e o cuad á ico, es deci , la des iación ípica (Figu a
4.2b). En es e caso el Modelo 3 a oja unos esul ados comple amen e di e en es a los o os es
modelos: aunque la a iabilidad de la elocidad del ien o no a ec a en g an medida a la endencia
cen al,
a ec a eno memen e a la a iabilidad de las ue zas nodales
. De nue o es o se obse a en
la Ecuación (4.17), en es e caso en la segunda línea, en la que puede e se que apa ecen momen os
de has a cua o o den de la dis ibución de
Y=V
. Aunque el segundo é mino del adicando es an o
meno cuando se conside e la elocidad poco a iable (has a anula se pa a el caso de e minis a), la
p ime a es siemp e no nula y en ella hay una ue e con ibución de la a iabilidad. El p ime é mino
del adicando, no obs an e, cap u a la ince idumb e (cuad á ica) de la a iable
Ci
, de ahí que el Modelo
2, que supone
Ci
de e minis a, mues e unos esul ados en lige a disco dancia con los del Modelo 1 o
el Modelo 4. La Figu a 4.2c, que ilus a (aunque de o a o ma) la a iabilidad de los coe icien es de
ue zas, no disc imina an o en e los Modelos 1 y 4 y el Modelo 2, ya que es menos sensible a los
ex emos.
•
Las di e encias en la p opagación de la ince idumb e pa a los di e en es modelos es decisi a en el
momen o en que se analiza la sime ía de las se ies (Figu a 4.2d). En e ec o, aunque cuan i a i amen e el
signo del coe icien e de asime ía se conse e, conside a la ince idumb e del coe icien e de p esiones,
pe o sob e odo de la elocidad del ien o, la ampli ica eno memen e. Es o es
de e minan e
a e ec os
de diseño, ya que la asime ía de las ue zas puede esul a cla e en sis emas en los que los elemen os
o los ma e iales u ilizados no esis an igual los es ue zos de acción o de comp esión, como puede se
el caso de ma e iales pé eos, o de análisis que in oluc en modelos de a iga mecánica o ac u a.
•
La Figu a 4.2e y la Figu a 4.2 e lejan lo que sucede con los modelos pa a momen os de o den
supe io
1
. La conclusión gene al es que cuan o menos ince idumb e se conside e en el modelo,
más se en a ec adas las colas de la dis ibución, es o es, el égimen ex emal. E iden emen e, es o
iene una
consecuencia di ec a sob e el diseño de sis emas
, en especial si es as se dimensionan a
o u a o ago amien o de la esis encia. Es impo an e señala que aunque no conside a la a iabilidad
del coe icien e de ue zas iene poco e ec o sob e los momen os de o den bajo, es deci , sob e el
égimen medio, puede ene un e ec o no able en el análisis del égimen ex emal y po lo an o en el
allo es uc u al. Únicamen e el Modelo 1 y el Modelo 4 cap u an su icien emen e bien la es adís ica
ex emal.
1
Aunque el coe icien e de cu osis y el máximo no son mé icas compa ables, el p ime o es á elacionado con el momen o de o den 4,
la po encia cua a de la no ma L4, que se adimensionaliza con la des iación ípica
4.4 Simulaciones con el modelo p opues o 93
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7 [N]
-1000
-500
0
500
1000
1500
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(a) Media.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
< [N]
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(b) Des iación ípica.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
IQR [N]
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(c) In e alo in e cua il.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
sk
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(d) Coe . asime ía.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
k
2
3
4
5
6
7
8
9
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(e) Coe . cu osis.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Máx [N]
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
( ) Máximo.
Figu a 4.2 Compa ación de algunos es adís icos pa a los 4 modelos.

94 Capí ulo 4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C
Compa a i a de las dis ibuciones
Pa a comple a el análisis, se mues an como casos ep esen a i os algunos g á icos que ponen de mani ies o
las di e encias en e las dis ibuciones pa a los cua o modelos. De nue o, como ejemplo ilus a i o, se
conside a án las se ies co espondien es a los g ados de libe ad 1 y 14. La Figu a 4.3 mues a un his og ama
de dichas se ies pa a los cua o modelos mien as que la Figu a 4.4 mues a los diag amas en caja.
De acue do con ambas igu as, queda pa en e que
•
El Modelo 3 es una p opagación de e minis a pu a de la a iabilidad del coe icien e de ue zas, que no
es la dominan e en el sis ema conside ado. Aunque cap u a azonablemen e bien el égimen cen al
de la dis ibución, acasa comple amen e al ep esen a la dispe sión, la sime ía o la ecuencia de
apa ición de alo es ex emos.
•
In oduci la a iabilidad del coe icien e de p esiones iene un pequeño e ec o egula izado sob e la
cola de la dis ibución, que es algo i egula debido al ca ác e mix o del modelo p obabilís ico de la
elocidad del ien o. Aun así es e e ec o es casi impe cep ible.
•
El Modelo 1 y el Modelo 4 mues an casi el mismo aspec o dis ibucional y ecuencial. Sólo se ap ecia
alguna di e encia en e ambos si se analizan las colas de las dis ibuciones, lige amen e más g uesas en
el Modelo 4, y los alo es a ípicos en el diag ama en caja, más ex emos en el Modelo 4 ambién. En
cualquie caso, la ecuencia de alo es a ípicos es mucho mayo en ambos modelos que en el Modelo
2.
4.4 Simulaciones con el modelo p opues o 95
Fue za [N]
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
#105
0
1
2
3
4
5
6Modelo 1
Fue za [N]
0 1000 2000 3000 4000 5000
#105
0
1
2
3
4
5Modelo 2
Fue za [N]
200 300 400 500 600 700 800 900
#105
0
0.5
1
1.5
2Modelo 3
Fue za [N]
0 2000 4000 6000 8000
#105
0
1
2
3
4
5
6Modelo 4
(a) Se ie 1.
Fue za [N]
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0
#105
0
1
2
3
4
5
6Modelo 1
Fue za [N]
-6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0
#105
0
1
2
3
4
5Modelo 2
Fue za [N]
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200
#105
0
0.5
1
1.5
2Modelo 3
Fue za [N]
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0
#105
0
1
2
3
4
5
6Modelo 4
(b) Se ie 14.
Figu a 4.3 His og ama de las ue zas nodales pa a el g ado de libe ad 1 y 14 u ilizando los 4 modelos.
96 Capí ulo 4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C
Fue za [N]
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(a) Se ie 1.
Fue za [N]
-9000 -8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(b) Se ie 14.
Figu a 4.4
Diag ama en caja de las ue zas nodales pa a el g ado de libe ad 1 y 14 u ilizando los 4 modelos.
4.4 Simulaciones con el modelo p opues o 97
4.4.3 Análisis mul i a iado
Pa a analiza el ca ác e mul i a iado de cada uno de los modelos p esen ados se ol e á a u iliza de nue o
el coe icien e de co elación lineal, ya que es con el que se ha abajado en es e documen o p incipalmen e.
En la Figu a 4.5, la Figu a 4.6 y la Figu a 4.7 se mues a la ma iz colo eada de co elaciones de las se ies. Se
ha di idido el análisis en es pa a que las di e encias en e los modelos sean más ap eciables, mos ando de
o ma sepa ada la ma iz de co elaciones mu uas de las p ime as 7 se ies (g ados de libe ad ho izon ales),
pos e io men e las de las siguien es 7 se ies (g ados de libe ad e icales) y inalmen e las co elaciones
c uzadas en e ambas amilias de se ies.
Del esul ado se desp enden las conclusiones (espe ables po o a pa e) siguien es:
•
El Modelo 2 ep oduce se ies empo ales
pe ec amen e co elacionadas
. Na u almen e, al no inco -
po a la a iabilidad del coe icien e de p esiones, la na u aleza mul i a iable del enómeno se pie de
comple amen e. Ma emá icamen e es o es consecuencia di ec a de la e ce a línea de la Ecuación
(4.17). Pe de el ca ác e mul i a iable del p oceso es inadmisible, ya que el endimien o del sis ema
no sólo depende de las dis ibuciones ma ginales, sino ambién de la simul aneidad, compa ibilidad
y combinación de las ca gas. El endimien o del sis ema puede e se comp ome ido debido a es os
e ec os de ca ác e mul i a iado, ya que los es ue zos in e nos de un elemen o es uc u al, po ejemplo,
dependen del es ado de ca gas nodales y su a iabilidad de la a iabilidad de dichas ca gas nodales.
•
El Modelo 3, aunque p esen a un ca ác e mul i a iado, p esen a una gama mucho más al a de alo es
en los coe icien es de co elación lineal. En es e caso, la co elación no se ampli ica po el e ec o de
la ince idumb e de
V
, como se explicó en apa ados an e io es y se ilus a ma emá icamen e en la
e ce a línea de la Ecuación (4.17), median e el e ec o del pa áme o κV.
•El Modelo 1 y el Modelo 4 uel en a se p ác icamen e idén icos.
Se ecue da que, como se io en el Capí ulo 3, la ma iz de co a ianzas se p opaga según una ans o mación
lineal median e la ecuación de cambio de base de una o ma cuad á ica. Así, si la ans o mación de las
ue zas en a iables de in e és pa a el diseño (es ue zos, eacciones, ensiones...) es lineal, el conocimien o
de la ma iz de co a ianzas (o equi alen emen e los coe icien es de co elación y las a ianzas) esul a
undamen al es ima co ec amen e es os alo es, po la p opagación del e o es adís ico en la ó mula de
ans o mación (aquí ambién iene una impo ancia undamen al el núme o de condicionamien o de la ma iz
de ans o mación, pe o no se en a á en es a discusión). De ahí que pa a ca ac e iza la simul aneidad y
compa ibilidad de las a iables de espues a que in e esan pa a el diseño, el Modelo 2 es o almen e e óneo
y el Modelo 3 insa is ac o io.
104 Capí ulo 4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C
4.4.5 Valo aciones
Pa a acaba es e capí ulo, se p esen a una compa a i a de los modelos p esen ados. Has a aho a se han discu-
ido las di e encias, poniendo el acen o sob e la jus i icación de las mismas. Aho a se p e ende, siguiendo
un espí i u más p ác ico, alo a la u ilidad exac i ud de los mismos. Pa a ello se oma como e e encia el
Modelo 1, que se conside a el más adecuado, aunque es el más cos oso compu acionalmen e y el más di ícil
de implemen a : lo ideal se ía posee a ias ealizaciones ob enidas median e CFD o unel de ien o pa a las
se ies
Ci
, pe o en caso de que es o no uese posible, la hipó esis de la es aciona iedad y la e godicidad, al y
como se ha usado, pe mi e de ini un modelo p obabilís ico y pode hace en un iempo azonable an as
simulaciones como sean p ecisas. El Modelo 2 no u iliza un modelo p obabilís ico pa a los coe icien es de
ue zas, po lo que pod ían de e mina se de o ma sencilla ealizando cálculos CFD mucho menos cos osos
( égimen es aciona io) o haciendo expe imen os mucho más ba a os. El Modelo 3 debe ía usa se cuando se
dispone de los coe icien es de ue zas que dependen únicamen e de la geome ía del sis ema u ilizado, pe o
no de una se ie de da os de elocidades de ien o que ajus a . Como se ha is o que la a iabilidad de
V
es
undamen al, es e modelo no iene mucho sen ido, a no se que se u ilice un alo ca ac e ís ico de la elocidad
del ien o
∗
que haya sido calib ado an e io men e. Finalmen e, el Modelo 4 es una simpli icación del
Modelo 1 que sólo equie e de una simulación median e CFD, aunque no supone ningún modelo pa amé ico
pa a la dis ibución de p obabilidad. Es e modelo pod ía u iliza se en el caso de que no se encuen e un
modelo p obabilís ico que ajus e co ec amen e las se ies empo ales ob enidas, cosa que no es el caso del
p esen e documen o.
Se ealiza á el análisis en base a los momen os es adís icos básicos y los coe icien es de co elación lineal.
Es adís icos básicos
La Figu a 4.10 es análoga a la Figu a 4.2, con la di e encia que pa a es a úl ima se ha adimensionalizado
u ilizando los alo es ob enidos en los es adís icos pa a el Modelo 1.
Como puede obse a se, pa a la endencia cen al, los e o es del Modelo 2 y el Modelo 4 son desp eciables
y son únicamen e debidos al mues eo es adís ico. Sin emba go, el Modelo 3 subes ima la media en o no a un
30%
al no ene en cuen a la a iabilidad de
V
. La a iabilidad de
V
explica po lo an o algo más de un
30%
de la media de
Fi
. La subes imación de la a iabilidad de
Fi
es mucho más d amá ica: la a iabilidad es imada
po dicho modelo es en o no al
10%
de la a iabilidad eal (en é minos cuad á icos). El Modelo 2 ambién
la subes ima, pe o en mucha meno medida, ya que el e o no conside a la a iabilidad de
Ci
es meno al
5%
(e incluso mucho meno si se conside a el in e alo in e cua il). El Modelo 3 acasa absolu amen e
al subes ima el coe icien e de asime ía en menos de un
0%
de su alo eal, mien as que el Modelo 2 la
subes ima en un
90%
ap oximadamen e. Aunque el Modelo 3 mejo a en el cálculo del coe icien e de cu osis,
es una mejo a esidual, ya que sigue es imando su alo en o no al
35%
de su alo eal, pe o aquí es donde
el Modelo 2 comienza a e leja sus ca encias, al subes ima el coe icien e de cu osis en o no a un
80%
de su alo eal. Es e enómeno se acen úa en la es imación de los máximos, donde el alo es imado es á
un
40%
po debajo de su alo eal. Elimina la a iabilidad del coe icien e de ue zas de un pe iodo de 10
minu os al siguien e in oduce cie as luc uaciones al ededo del alo eal en la es imación del máximo, que
no supe an el 10% an o po encima como po debajo del alo eal.
En de ini i a, el Modelo 4, a pesa de se compu acionalmen e menos cos oso o más ácil de implemen a ,
iene unas p es aciones excelen es y puede, pa a el los modelos p obabilís icos p esen ados en es e documen-
o, sus i ui al Modelo 1 si la ocasión lo equie e. En el o o ex emo es á el Modelo 3 que no es capaz de
ca ac e iza co ec amen e ni siquie a el égimen cen al.

4.4 Simulaciones con el modelo p opues o 105
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7/71
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(a) Media.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
</<1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(b) Des iación ípica.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
IQR/IQR1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(c) In e alo in e cua il.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
sk/sk1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(d) Coe . asime ía.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
k/k1
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
(e) Coe . cu osis.
Se ies
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Max/Max1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
( ) Máximo.
Figu a 4.10 Compa ación del alo ela i o de algunos es adís icos pa a los 4 modelos p opues os.
106 Capí ulo 4. Análisis de la ince idumb e en el modelo V-C
4.4.6 Análisis mul i a iado
La Figu a 4.11 mues a el cocien e en e los coe icien es de co elación ob enidos en los di e en es Modelos
y los ob enidos en el Modelo 1. En ese es complemen a ia a la Figu a 4.5, la Figu a 4.6 y la Figu a 4.7 pe o
en alo es ela i os.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 Modelo 1
0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 Modelo 2
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 Modelo 3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 Modelo 4
0.9995
1
1.0005
1.001
1.0015
1.002
Figu a 4.11 Coe icien es de co elación de las se ies ela i os a los ob enidos en el Modelo 1.
En es e caso, se obse a que el Modelo 2, a pesa de se esencialmen e uni a iable, no subes ima las
co elaciones más de un
7%
, po lo que, pa a el caso del p esen e es udio, supone el modelo de se ies
o almen e co elacionadas no es d amá ico. Es o no obs an e pod ía cambia pa a o as geome ías. En
cualquie caso, se ha de ene siemp e p esen e que es as co elaciones su i án una ul e io p opagación,
pa a llega a las a iables de in e és ingenie il. El Modelo 3, aunque espe a el ca ác e mul i a iado del
p oceso, a oja e o es que pueden llega al
100%
. El Modelo 4 esul a especialmen e p eciso, pues o que no
se ob ienen e o es mayo es al 0.2%.
4.5 Conclusión 107
4.5 Conclusión
Se ha is o en es e capí ulo como in luye la ince idumb e de las a iables
V
y
Ci
en el es udio del p oceso
alea o io mul i a iado
Fi
,
i=1,···,N
. En p ime luga se ha is o que median e cálculos sencillos puede
elaciona se comple amen e la es adís ica de segundo o den de los p ocesos
Fi
con la es adís ica de segundo
o den de los p ocesos
Ci
y la de cua o o den de la a iable
V
. Es o se ía su icien e pa a es udios que supusie-
an, po ejemplo, la no malidad de las a iables Fi.
Además, se han pues o de mani ies o las consecuencias que end ía no conside a la ince idumb e de
una de las a iables que in e ienen en el cálculo. Es o, lejos de se una me a en elequia, es
la ealidad del
dimensionamien o de sis emas mecánicos
: desp ecia la ince idumb e de algunas a iables no sólo educe
la a ianza de las a iables de in e és eal, sino que iene e ec os impo an es sob e su media, su sime ía, la
ecuencia de alo es ex emos...
El análisis de un sis ema mecánico suje o a ince idumb e equie e po lo an o que el ingenie o es é ale a
pa a con empla es os enómenos. Es o es lo que se ha hecho en es e documen o, en el que se han u ilizado
po en es he amien as pa a ca ac e iza adecuadamen e la a iable a la que el sis ema es más sensible, es o
es, la elocidad del ien o. Es o ha sido, en esencia, lo que se ha buscado en es a Pa e I.
Con una buena ca ac e ización de las a iables ambien ales, el ingenie o es á en disposición de analiza el
sis ema como un odo desde un ma co p obabilís ico. Pa a ello, no obs an e, es necesa io de ini el compo a-
mien o del sis ema sob e odo con espec o a dos aspec os undamen ales: cómo eacciona el sis ema a las
a iables ambien ales y como e oluciona a lo la go del iempo en unción de ellas y qué sucesos o e en os
condicionan su endimien o o p o ocan el allo mecánico. A es o se dedica á la Pa e II de es e documen o.
En la Pa e III de es e documen o, ya que se dispone de las he amien as y los ajus es necesa ios, se usa á
el Modelo 4, es o es, el Modelo C - V p esen ado en los capí ulos an e io es.
Pa e II.
Análisis es uc u al
109

5 Cálculo es uc u al y de e minación de
solici aciones
Enginee s should p ess o wa d wi h de elopmen o mee he
di e si ied needs o people.
Ha old Ches nu , 1917 - 2001
En
es e capí ulo se p esen a án odos los aspec os que a añen di ec amen e a la es uc u a en cues ión
que se es á analizando. Aquí, no se ha á hincapié en las acciones, las a iables ambien ales, sino que
és as se conside a án como un da o del p oblema. Po el con a io, lo que se ha á en los siguien es apa ados
es de ini y ca ac e iza la espues a es uc u al an e las mencionadas acciones, y p opone un mé odo de
cálculo de la espues a que se adap e al ma co de abajo, y que además si a pa a e alua lo que ealmen e
in e esa desde el pun o de is a ingenie il: el endimien o del sis ema.
En p ime luga se es ablece á una me odología pa a el análisis de la espues a es uc u al que es á basada
en los mé odos clásicos de cálculo es uc u al: el
Mé odo de la Rigidez
[
19
], que no es o a cosa que la
o mulación pa a piezas p ismá icas del
Mé odo de los Elemen os Fini os
[
96
]. La no edad en el análisis
adica en que se abo da á la espues a es uc u al desde una pe spec i a e olu i a, de ca a a pode e alua el
endimien o del sis ema en un ma co empo al. Pa a ello se es ablece án las hipó esis opo unas de ca a a un
análisis de ipo cuasi-es á ico en el que además, la ma iz de igidez del sis ema se conside a á dependien e
del ins an e de iempo conside ado.
Pos e io men e, una ez de inido el ma co y el esquema de cálculo, se de ini án las solici aciones es uc-
u ales que ma can de o ma decisi a el endimien o del sis ema y que po lo an o es a án elacionadas
di ec amen e con los KPIs que se de ini án en capí ulos pos e io es que pe mi an cuan i ica explíci amen e
el desempeño de la es uc u a.
Es e análisis en dos e apas es c ucial en el es udio, pues o que es el que pe mi e pasa de las a iables
ambien ales, pe ec amen e ca ac e izadas en la Pa e I de es e documen o, a los indicado es de endimien o,
que se es udia án en la Pa e III, median e p ocesos de cálculo habi uales en la Ingenie ía Mecánica.
5.1 Cálculo es uc u al
En g an pa e de los p oblemas de Ingenie ía Mecánica o Cálculo Es uc u al, el ingenie o iene que lidia
con sis emas de ecuaciones di e enciales que, luego de una disc e ización, en su o ma más gene al, ienen el
aspec o siguien e
M( )¨
u+C(u, )˙
u+K(u, )u=F(u, )(5.1)
Es a ecuación, de capi al impo ancia en la mecánica es uc u al y la ingenie ía mecánica, me ece que se
haga un pequeño inciso pa a acla a cada uno de sus é minos:
111
112 Capí ulo 5. Cálculo es uc u al y de e minación de solici aciones
•u=u( )
: Es el ec o de incógni as del p oblema, usualmen e iene una in e p e ación di ec a en
é minos de los
desplazamien os
de la es uc u a. No obs an e, en unción del modelo u ilizado y el
ma co de es udio, las componen es de es e ec o no son necesa iamen e los desplazamien os lineales
de algunos nodos, sino que pueden es a asociados a o os g ados de libe ad conside ados, en el caso
de la Teo ía de Es uc u as o la Resis encia de Ma e iales
1
, como es el caso po ejemplo de los gi os
en la eo ía de igas de Eule - Be nouilli oTimoshenko [
3
] o la eo ía de láminas de Ki chho -
Lo e,Mindlin oReissne - S ein [
71
]. Pa a cálculos dinámicos, el ec o de desplazamien os depende
explíci amen e del iempo y median e
¨
u
y
˙
u
se deno a espec i amen e a su de i ada segunda y p ime a,
espec i amen e2.
•M( )
: Se conoce como
Ma iz de Masa
del sis ema y ísicamen e iene un signi icado ine cial. Depende
de las ca ac e ís icas ísicas, geomé icas y opológicas del sis ema, así como, pa a sis emas e olu i os,
del ins an e conside ado.
•C(u, )
: Se conoce como
Ma iz de Amo iguamien o
del sis ema y ísicamen e iene un signi icado
de icción in e na. En algunas ocasiones, es a ma iz ca ac e iza un enómeno ísico de o ma p ecisa
que se conoce y se puede modeliza ma emá icamen e, mien as que en o os casos su undamen o
es esencialmen e empí ico. Depende en gene al, además de las ca ac e ís icas ísicas, geomé icas y
opológicas del sis ema y del ins an e conside ado, del es ado de o macional, es deci , del ec o de
desplazamien os.
•K(u, )
: Se conoce como
Ma iz de Rigidez
del sis ema y ísicamen e ep esen a la espues a es á ica
del sis ema a las ca gas, ya que elaciona el ec o de ue zas con el ec o de desplazamien os. Ca ac-
e iza an o el modelo ísico subyacen e (Relación ensión - de o mación, ecuaciones cons i u i as...)
como la geome ía global del sis ema y po lo an o iene el mismo ipo de dependencias que la ma iz
de amo iguamien o.
•F(u, )
: Es el
Vec o de solici aciones
, que pa a el modelo conside ado, ep esen a los agen es ex e nos
que ac úan sob e el sis ema. En el con ex o de es e documen o en a den o del g upo de a iables
ambien ales. En ocasiones es as solici aciones ep esen an di ec amen e ue zas sob e el sis ema, pe o
al igual que en el caso de los desplazamien os, su in e p e ación puede se más compleja (momen os...).
En algunos casos ( ue zas seguido as), no sólo dependen del ins an e conside ado, sino del es ado
de o macional del sis ema.
Pod ía hace se a con inuación un análisis del ca ác e gene al de la Ecuación (5.1), pe o ello ala ga ía
conside ablemen e es a p esen ación y no es uno de los obje i os del p esen e documen o. Se p ecisa no
obs an e que es a ecuación puede se la ep esen ación di ec a de un sis ema mecánico ini o (es deci , un
sis ema dinámico con
n
g ados de libe ad) o el esul ado de la disc e ización de un sis ema de ecuaciones
di e enciales en de i adas pa ciales que ca ac e iza un sis ema mecánico con inuo, del ámbi o de la mecánica
de medios con inuos (es deci , un sis ema dinámico con in ini os g ados de libe ad, que se ha disc e izado
median e alguna de las écnicas usuales, como puede se el Mé odo de Di e encias Fini as [
66
], el Mé odo de
los Elemen os Fini os [
96
], el Mé odo de los Elemen os de Con o no [
16
] o el Mé odo de Volúmenes Fini os
[91], po ci a las más habi uales). En cualquie a de los casos, la Ecuación (5.1) iene siemp e como o igen
úl imo la Segunda Ley de New on, o la Ley de conse ación de la Can idad de Mo imien o, a la que se han
podido añadi o as hipó esis de índole ísico o geomé ico.
An es de pasa a a a las hipó esis que se u iliza án pa a el modelo que se p esen a en es e es udio, es
impo an e señala algunos aspec os undamen ales sob e la Ecuación (5.1).
•
Se a a de un sis ema de
ecuaciones di e enciales o dina ias
. Su esolución puede hace se en el
dominio de la ecuencia o del iempo. En el segundo caso, se equie e de condiciones iniciales.
•
En gene al, se a a de un sis ema
no lineal
. Sólo en algunos casos muy especí icos el sis ema es lineal
y puede esol e se median e mé odos no i e a i os.
1
Siguiendo la línea ma cada en [
20
], aunque clásicamen e se ha denominado siemp e Resis encia de Ma e iales a es a disciplina, una
apelación más adecuada se ía la de Teo ía de Tipologías Es uc u ales
2
Es impo an e señala que es as de i adas sólo pueden in e p e a se como acele aciones y elocidades nodales en casos muy conc e os,
en los que se es é usando un sis ema de coo denadas ca esianas y el ec o de desplazamien os ep esen e e dade amen e los
desplazamien os lineales de dichos nodos
5.1 Cálculo es uc u al 113
En el caso del p esen e documen o, el sis ema es udiado es una es uc u a de ba as a iculadas bidimen-
sional, en conc e o, la que se ilus a en la Figu a 5.1. A con inuación se p esen a án las hipó esis del modelo
mecánico empleado y se llega á a una exp esión más cómoda y sencilla de la Ecuación (5.1), en la que se
desc ibi án explíci amen e cada uno de los é minos.
Figu a 5.1 Modelo de es uc u a de ba as a iculadas pa a el sis ema mecánico conside ado.
5.1.1 Hipó esis básicas
Las hipó esis undamen ales que se hacen pa a abo da el p oblema conside ado son las siguien es.
1. Se desp ecian e ec os ine ciales
: Se conside a que los e ec os ine ciales y de icción son desp eciables,
a e ec os del compo amien o es uc u al. Ma emá icamen e es o signi ica conside a
M( ) = C(u, ) = 0
.
Se dice que el sis ema es cuasi-es á ico
2. El sis ema mecánico es una es uc u a de ba as a iculadas bidimensional
: Es a hipó esis desc ibe
la es uc u a del ec o solución
u
, de la Ma iz de Rigidez
K(u, )
y del ec o de solici aciones
F(u, )
.
Pa a la es uc u a conside ada, se end á, en un sis ema de coo denadas ca esianas globales ijado,
u,F∈R2N
y
K∈M2N×2N(R)
, las ma ices de
2N×2N
con coe icien es en
R
. Pa a cada uno de los
N
nodos de la es uc u a a iculada, hab á un g ado de libe ad co espondien e al desplazamien o lineal
ho izon al y uno co espondien e al desplazamien o lineal e ical.
3. Pequeños desplazamien os
: Las ecuaciones de equilib io pueden plan ea se di ec amen e en la con i-
gu ación inde o mada o lo que es lo mismo
K(u, ) = K( )
y
F(u, ) = F( )
, es deci , el compo amien o
del sis ema no depende del ec o de desplazamien os.
4. Pequeñas de o maciones
: La desc ipción de las de o maciones de los ma e iales puede ealiza se
median e el enso de de o maciones de Cauchy [
20
]. Pa a el caso de ba as a iculadas, bas a usa la
de o mación ε=∆L
L.
5. Elemen os es uc u ales elás icos lineales
: Cada uno de los elemen os es uc u ales iene un compo -
amien o elás ico lineal. La ecuación cons i u i a del mismo es lineal desde el pun o de is a ma emá ico,
es deci , exis e p opo cionalidad en e ensiones y de o maciones. Es a hipó esis, unida a las dos an e io-
es, explici a odos y cada uno de los é minos de la ma iz
K
, que son los co espondien es a la eo ía
clásica de es uc u as a iculadas y pueden consul a se en cualquie lib o de Cálculo de Es uc u as
[
19
]. Cada una de las ba as queda ca ac e izada po exclusi amen e dos pa áme os, el á ea
A
y el
módulo de elas icidad longi udinal
E
, que elacionan las ue zas y desplazamien os nodales. La ma iz
de igidez inal se ob iene acoplando las ma ices elemen ales de cada ba a en los nodos de o ma
ap opiada, con eniendo po lo an o es a ma iz global la in o mación opológica de la es uc u a.
120 Capí ulo 6. Fallo es uc u al: ecuaciones de e i icación
una p o eína o ca alizado po desna u alización al a ia el pH del medio ...
•
O os indicado es de endimien o, comúnmen e llamados
indicado es de iesgo
, se es ablecen po
consenso cul u al, social o ambien al
. Se a a de c i e ios más o menos subje i os, pe o admi idos
en la ealidad social. Pueden conside a se umb ales que supongan un iesgo de algún ipo pa a las
idas humanas o animales (como po ejemplo las caídas o p oyecciones de elemen os o las ayec o ias
pelig osas), p o oca daños al pa imonio cul u al (asen amien os en un e eno que gene en el hun-
dimien o de un edi icio his ó ico o emblemá ico) o a en en con a el medio ambien e (emisiones de
CO2
, p oducción de deshechos...). En es e caso ya no se habla de la capacidad del sis ema, sino de los
equisi os del mismo.
•
Finalmen e, muchos indicado es de endimien o es án basados en una simple con eniencia. Es a
con eniencia puede es a basada en c i e ios es é icos ( lecha de una iga, esbel eces, limi aciones en
la geome ía...) o de comodidad ( ib aciones mecánicas o ni eles acús icos moles os, lujos de calo ,
iluminación...).
Desde un pun o de is a clásico, se suele dis ingui en e di e en es es ados lími es, en unción de si los
indicado es de endimien o comp ome en la segu idad (Es ado Lími e Úl imo), el se icio (Es ado Lími e
de Se icio) o la ope a i idad (Es ado Lími e de Ope a i idad) ( e po ejemplo [
38
], [
40
]y[
30
]). Es a
clasi icación es inclusi a y exclusi a pa a odos los
Modos de Fallo
(ELU y ELS) o
Modos de Pa ada
(ELO). Pa a odos los posibles modos de allo o de pa ada se de ine el umb al co espondien e. Aquí se
p opone un en oque más in eg ado , en el que, en base a los c i e ios p esen ados, se de inen un suceso, de
o ma cuali a i a, cuando los indicado es conside ados supe an el umb al asociado a ellos.
Es impo an e señala que
no necesa iamen e
los indicado es ienen que es a po debajo de los umb ales
especi icados (aunque así se hace en el en oque clásico de las no ma i as), aunque es o suele impone se a
menudo. En el caso de que se imponga es a condición, se habla de
especi icaciones del sis ema
y el ingenie o
se en en a a un p oblema de dimensionamien o o de op imización con es icciones, al y como se de inió en
el Capí ulo 1. Aquí, lo que es impo an e esal a es que la supe ación de un de e minado umb al de e mina
un
suceso
o
allo
, pudiendo (o no) se es e acep ado po el ingenie o en unción del ma co del p oblema. Así,
impedi el colapso de un elemen o es uc u al puede se una es icción en el diseño de un puen e, pe o no en
el diseño del elemen o usible de un cuad o de mandos. Es más, en ocasiones la supe ación del umb al puede
se un desencadenan e pa a o os p ocesos, como en los sis emas ai bag de los au omó iles.
En de ini i a, se es ablecen una se ie de indicado es
yj
,
j=1,···,n
, unos umb ales co espondien es
cj
y
se de inen las elaciones
yj≤cj,j=1,···,n(6.1)
A las ecuaciones como las de la Ecuación (6.1) se les denomina
ecuaciones de e i icación
y a la egión
del espacio
U={(y1,···,yn)|yj≤cj,∀j=1,···,n} egión de segu idad
. Obsé ese que se a a de una
egión del espacio n-dimensional aco ada po hipe planos.
Pa a ija ideas, en lo que sigue, se es inge el ámbi o de es udio a la ama de la ingenie ía mecánica y en
pa icula a los sis emas es uc u ales. Así, a pa i de aho a
S
se á una es uc u a. En es e con ex o, los
indicado es de endimien o suelen se odos indicado es de in eg idad y ienen de inidos en unción de las
a iables que de inen el es ado de solici ación del sis ema ( e Capí ulo 5). Po ello, es habi ual que puedan
encon a se
n
unciones
gj
de o ma que, dados
m
a iables
xi
,
i=1,···,m
que de inan las solici aciones de
la es uc u a o el sis ema mecánico, pueda de ini se, den o de un ma co enomenológico,
yj=gj(x1,···,xm)
.
Así, las ecuaciones de e i icación dadas po la Ecuación 6.1) quedan:
gj(x1,···,xm)≤cj,j=1,···,n(6.2)
Es a nue a exp esión de las ecuaciones de e i icación, iene la en aja de que pe mi en exp esa las
ecuaciones de e i icación en é minos de las a iables de solici ación es uc u al, de e minadas a pa i del
es ado de o macional
u
y si además se cumple que
m<n
se educe el espacio pa amé ico. Sin emba go, el
incon enien e es á en que en é minos de las a iables
xi
, la egión de segu idad queda de inida median e
U={(x1,···,xm)|gj(x1,···,xm)≤cj,∀j=1,···,n}
y es e conjun o puede se muy i egula , y iene

6.1 Fo ma gene al de las ecuaciones de e i icación 121
de e minado po las ca ac e ís icas de las unciones
gj
. Rede iniendo si hicie a al a la unción
gj
median e
˜gj(x1,···,xm) = gj(x1,···,xm)−cjla Ecuación 6.2 queda:
˜gj(x1,···,xm)≤0j=1,···,n(6.3)
6.1.2 Alcance y p oblemá ica
Es impo an e de ene se aquí pa a esal a algo undamen al:
las ecuaciones de e i icación nada ienen
que e con el modelo de cálculo de las solici aciones del sis ema
. Es o signi ica (como suele se habi ual)
que el mé odo de cálculo puede se lineal (como es el caso del p esen e documen o, pa a un ins an e
ijado)
y sin emba go no se lo las unciones
gi
. Como consecuencia, a pesa de que los indicado es
xi
dependen
linealmen e de las a iables ambien ales (en es e caso ue zas), y po ello son aplicables las po en ísimas
he amien as del álgeb a lineal (p incipio de supe posición, homogeneidad, eo emas de exis encia y unicidad,
in e sión de sis emas lineales...), las ecuaciones de e i icación no lo son, po lo an o el p oblema global deja
de se lineal. Dicho de o o modo: habi ualmen e, las ecuaciones de e i icación se acaban con la linealidad
del p oblema, haciendo que un p oblema emendamen e sencillo se con ie a en inabo dable. Es o se ilus a á
más adelan e con algunos ejemplos conc e os.
Aunque concep ualmen e las ecuaciones de e i icación no p esen an di icul ad alguna, cons i uyen en
la mayo ía de los casos el cuello de bo ella del p oblema en cues ión: el ca ác e no lineal de las mismas
la mayo ía de las eces hace imposible un a amien o analí ico del p oblema y di icul a eno memen e el
a amien o numé ico. La mayo ía de las ocasiones, en los p oblemas de dimensionamien o o diseño es
necesa io ecu i al mé odo de p ueba y e o pa a odas las ecuaciones de e i icación conside adas (pueden
se cien os de miles). El cos e compu acional, además, escala con cada ciclo de ins ucciones. Po ejemplo,
en una simulación es uc u al cuasi-es á ica como la del p esen e documen o, en la que se usan
N
ins an es de
iempo, si cada uno de los
B
elemen os es uc u ales equie e de la e aluación de
n
ecuaciones de e i icación,
el núme o de e aluaciones necesa ias es
NT=N×B×n
. Aunque los pasos que in oluc an a
N
y
B
son
lineales, el hecho de que el úl imo paso no lo sea, hace necesa ia la e aluación exhaus i a de las
N
ecuaciones
esul an es.
La e aluación de las ecuaciones de e i icación puede hace se bien conside ando
S
en é minos de las
a iables
xi
como subconjun o de
Rm
, bien conside ando
S
en é minos de las a iables
yj
como subconjun o
de
Rn
. Suele se habi ual conside a el espacio de inido po las a iables
xi
, ya que ienen un signi icado
ísico más cla o y la dimensión del espacio o al es meno . En la Figu a 6.1 se mues a un ejemplo de
una egión de segu idad en un espacio bidimensional
(x1,x2)
. Se han gene ado (alea o iamen e) pun os
(xk
1,xk
2)
,
k=1,···,N1
que co esponde ían con e en uales ealizaciones ísicas, bien po que se a a de una
se ie empo al donde
xk
i=xi( k),i=1,2,k=1,···,N
, bien po que son ealizaciones del ec o alea o-
io
(X1,X2)
(incluso las dos cosas, o lo mismo is o desde dos p ismas di e en es como es el caso en los
p ocesos es aciona ios y e gódicos). En la p ime a sub igu a se ha simulado el ec o alea o io
(X1,X2)
conside ando las dos a iables uni o mes e independien es, mien as que en la segunda sub igu a se ha
conside ado que
ρ(X1,X2) = 0.61
. Los pun os azules co esponden a pun os en los que
y=g(x1,x2)≤0
donde
g(x1,x2) = 7x2
1+x2
2+2x1x2−4x1+3x2+1
(pun os segu os) y los ojos pun os en los que
y>0
. En
es e caso se e i ica m=2yn=1.
Obsé ese que si
(xk
1,xk
2)
son ealizaciones de un ec o alea o io y
s
es el núme o de pun os segu os y
N
el núme o de ealizaciones, p=s
Nes una ap oximación de la p obabilidad P [g(X1,X2)≤0]2ya que
1
En gene al, es as a iables pueden ene una dependencia no lineal, en cuyo caso hab ía que conoce , explíci amen e o median e
mues eo, la unción de densidad conjun a de las a iables
2Es o es ni más ni menos que el p incipio de la amilia de Mé odos de Mon eca lo, que se discu i án en capí ulos pos e io es
122 Capí ulo 6. Fallo es uc u al: ecuaciones de e i icación
x1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x2
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
(a) X1,X2independien es.
x1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x2
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
(b) ρ(X1,X2) = 0.6.
Figu a 6.1 Ilus ación del concep o de ecuación de e i icación. X1∼U(−0.2,1.4),X2∼U(−4.5,0).
P [Y≤0] = P [g(X1,X2)≤0]
=Z Zg(X1,X2)≤0
X1,X2(x1,x2)dx1dx2
=Z ZR2
I{g(X1,X2)≤0} X1,X2(x1,x2)dx1dx2
=s
Nsi N→∞
6.1.3 Ejemplos de ecuaciones de e i icación en ingenie ía mecánica
Den o del ámbi o de la ingenie ía mecánica (mecánica de medios con inuos, la elas icidad y la eo ía de
ipologías es uc u ales ( esis encia de ma e iales), mecánica de la ac u a y la a iga...) es muy habi ual el
uso de ecuaciones de e i icación pa a el con ol de la in eg idad es uc u al. Ejemplos de de ecuaciones de
e i icación, en di e en es ma cos cien i ico- écnicos, son:
•C i e ios de plas i icación
: En gene al, en un modelo de medios con inuos, se a a de una ecuación
del ipo
g(σ
σ
σ(X)) ≤0
pa a cada pun o
X∈Ω
del medio conside ado, donde
σ
σ
σ(X)
es el enso de
ensiones de Cauchy en el pun o
X
. La unción
g
se denomina
unción de plas i icación
y a la supe icie
g(σ
σ
σ) = 0supe icie de plas i icación
. La zona de segu idad es po lo an o el olumen ence ado
po la supe icie. En e las unciones de plas i icación más habi uales pa a ma e iales isó opos se
encuen an:
– C i e io de Von Mises
: El más u ilizado pa a me ales. Supone en e o as cosas que a la plas icidad
sólo con ibuyen las componen es des iado as del enso . Aquí:
g(σ
σ
σ) = 1
2h(σI−σII )2+(σII −σIII)2+(σIII −σI)2i−σc
donde
σI
,
σII
y
σIII
son las ensiones p incipales (au o alo es del enso
σ
σ
σ
) y
σc
es el lími e
elás ico del ma e ial, un pa áme o del modelo que depende del ma e ial u ilizado y se ob iene
expe imen almen e.
– C i e io de T esca
: Menos ecuen emen e usado pa a me ales, ambién basado en que la p esión
hid os á ica no iene e ec o sob e la plas i icación. La unción de plas i icación en es e caso es
g(σ
σ
σ) = σI−σIII
2−σc
– C i e io de D ucke –P age
: U ilizado en mecánica de suelos, mecánica de ocas y en ocasiones
pa a ho migón y políme os. Inlcuye el e ec o de la p esión hid os á ica, a ando de gene aliza el
6.1 Fo ma gene al de las ecuaciones de e i icación 123
c i e io de Von Mises. La unción de plas i icación es
g(σ
σ
σ) = 1
6h(σI−σII )2+(σII −σIII)2+(σIII −σI)2i−B(σI+σII +σIII)−A
En es e caso
A
y
B
son pa áme os del modelo elacionados con los lími es elás icos a ensión y
comp esión uniaxial σcyσ median e A=2
√3σcσ
σc+σ yB=1
√3σ −σc
σc+σ .
– C i e io de Moh -Coulomb
: Como en el caso an e io , incluye el e ec o de la p esión hid os á ica
(puede conside a se una gene alización del C i e io de T esca que enga en cuen a la componen e
hid os á ica de la ensión). U ilizado gene almen e pa a ma e iales ágiles, suelos cohesi os y
aglome ados. La unción de plas i icación en es e caso es, conside ando un plano pa alelo a la
di ección de la ensión p incipal
σII
(es o hab ía que epe i lo pa a cada di ección p incipal, de
donde se ob end ían es ecuaciones de e i icación),
g(σ
σ
σ) = σI−σIII
2−σI+σIII
2sinφ+ccosφ
Los pa áme os cyφse conocen como cohesión y ángulo de ozamien o in e no del ma e ial y
es án elacionados con los lími es elás icos a ensión y comp esión uniaxial
σc
y
σ
median e
sinφ=K−1
K+1yc=√K
2σ con K=σc
σ .
– C i e io de Cam-Clay
: Es un c i e io de plas i icación muy u ilizado en mecánica de suelos,
especialmen e en el es udio de a cillas sa u adas. La unción de plas i icación es
g(σ
σ
σ) = q2−M2p0(p0
0−p0)
Las "’" en las a iables indican que hay que ene en cuen a la p esión in e s icial del agua.
p0=1
3(σI+σII +σIII)
,
q=σIII −σI
y
p0
es la p esión de consolidación del suelo (máxima
p esión a la que ha sido some ido en su his o ia). El alo del pa áme o
M
puede elaciona se
con el pa áme o
φ
del modelo de Moh -Coulomb median e la exp esión
M=6sinφ
3±sinφ
(posi i o
pa a ex ensión y nega i o pa a comp esión).
•Mecánica de la ac u a
: En el á ea de la mecánica de la ac u a, ambién se plan ean ecuaciones del
ipo
S≤C
donde
S
es una solici ación y
C
la capacidad del sis ema. Exis en a ios ma cos de abajo,
a sabe :
– Mecánica de la F ac u a Elás ica Lineal
: Se u iliza cuando se es á an e pequeños desplaza-
mien os y de o maciones y se supone ma e ial elás ico lineal. En es e con ex o la ecuación de
e i icación suele esc ibi se, si
A=I,II,III
ep esen a el modo de la g ie a
KA≤KAC
[
5
], donde
KA=σY√πa
, con
σ
ensión emo a,
Y
coe icien e de o ma, que depende de la geome ía del
p oblema,
a
longi ud de la g ie a y el pa áme o
KAC
es la
enacidad a ac u a
, una p opiedad
del ma e ial.
– Mecánica de la ac u a no lineal
: De ámbi o más gene al (aunque incluye el caso in e io ), en
es e caso se u ilizan a iables ene gé icas ( a io de ene gía libe ada) y las exp esiones son del
ipo
GA≤GAC
donde de nue o
GAC
es un pa áme o del p oblema y depende del ma e ial y
GA
se calcula, la mayo ía de eces numé icamen e, calculando la in eg al J [5].
•Mecánica de la a iga
: En es e á ea de la ingenie ía mecánica ambién se u ilizan ecuaciones de e i i-
cación del ipo
S≤C
, pe o en es e caso la solici ación
S
suele es a elacionada con las ca ac e ís icas
espec ales de la señal (núme o de ciclos y ampli ud de los ciclos). Algunos ejemplos (se p esen a á
sólo el caso uniaxial pa a me ales pa a no en a mucho en el de alle) son
– Fo mación de g ie as basada en la cu a S−N
: Se es ablece una elación en e ensiones y
ciclos has a o u a del ipo
S= (N)
gene almen e de ipo po encial (
S=a·10−bN
has a un
núme o
N
su icien emen e g ande, del o den de
N =106
, pa a el que el alo de
S
se denomina
el
lími e de a iga a ida in ini a
y se ep esen a median e
σ
) donde
S
es á elacionado con las
a iaciones de ensión y gene almen e se oma
S=σa
, la ampli ud del ciclo de ensiones en el
caso de que la ensión media sea ce o
σm=0
. Si es o no ue a así, es habi ual y sencillo usa el
124 Capí ulo 6. Fallo es uc u al: ecuaciones de e i icación
c i e io de Goodman
3
que co ige el alo de
S
haciendo
S=σ 1−σm
σu
donde
σu
es el lími e
de o u a (lími e úl imo). Es a exp esión debe modi ica se pa a conside a los e ec os de amaño,
empe a u a, acabado supe icial... Puede consul a se oda la eo ía en de alle en [8].
– Fo mación de g ie as basada en la cu a ε−N
: Se es ablece una elación en e de o maciones y
ciclos has a la o u a que enga en cuen a el compo amien o elás ico y plás ico del ma e ial del ipo
∆ε
2=σ0
E(2N )b+ε0 (2N )c
.
∆ε/2
es la ampli ud de las de o maciones,
N
es el núme o de ciclos
has a el allo y los pa áme os
σ0
,
b
,
ε0
y
c
son p opiedades del ma e ial, llamadas
coe icien e
de esis encia a a iga
,
exponen e de esis encia a a iga
,
coe icien e de duc ilidad a a iga
y
exponen e de duc ilidad a a iga
, espec i amen e. De nue o es a elación no conside a el
e ec o de la ensión media en cada ciclo,
σm=0
. Si és a no uese nula, es habi ual usa el c i e io
de Mo ow
4
sus i uyendo en la exp esión an e io
σ0
po
σ0
−σm
. De nue o en [
8
] pueden
consul a se odos los de alles.
– P opagación de g ie as po a iga
: La exp esión más conocida es la que se ob iene combinando
la mecánica de la ac u a elás ica lineal con la Ley de Pa is pa a el c ecimien o de g ie as [
5
]
da
dN =A(∆K)m
donde
A
y
m
son pa áme os, dependien es del ma e ial y
∆K
son las a iaciones
del ac o de in ensidad de ensiones
K=σY√πa
. La exp esión inal es
N≤N
siendo
N
el
núme o de ciclos de ca ga y
N =1
Aπm/2(∆σ)mRac
a0
da
Ymam/2
, donde odos los pa áme os han sido ya
desc i os sal o ac=KC
σY√π2que es la longi ud de g ie a c í ica.
•C i e ios de ines abilidad
: Son odos los c i e ios que hacen in e eni el e ec o de g andes desplaza-
mien os, lo que in oduce las no linealidades geomé icas. Sin p e ende en a en el de alle ya que la
conside ación de las no linealidades geomé icas p esen a una casuís ica eno me, se enume an algunos
modos de allo po ines abilidad:
– Pandeo de ba as
: Incluye el pandeo po es ue zo axil, pe o ambién el pandeo po lexión, po
o sión o el pandeo la e al.
– Pandeo o abolladu a en láminas
: Las láminas pueden pe de (o gana ) igidez en unción del
es ado de de o mación, si se conside a la posibilidad de g andes desplazamien os. Es o iene
una impo ancia undamen al en el dimensionamien o de es uc u as median e el uso de pe iles
me álicos, donde pa e de la sección puede pe de capacidad esis en e debido a e ec os de
abolladu a locales (es o es lo que se u iliza en la no ma i a de ace o es uc u al [
40
] pa a la
Clasi icación de las secciones en Clase I, Clase II, Clase III y Clase IV).
6.2 Modos de allo es uc u ales de una es uc u a de ba as a iculadas
En la sección an e io se ha p esen ado el ma co gene al pa a el es udio del allo es uc u al median e las
ecuaciones de e i icación y se ha comp obado que el alcance de es e en oque es eno me. De hecho, g an
pa e de la ingenie ía mecánica puede ca aloga se como la ciencia del es udio del allo mecánico y pa a ello
odas las he amien as de cálculo es án basadas, en mayo o meno medida, en ecuaciones de e i icación.
Así, el alcance es eno me. En un sis ema es uc u al some ido a ca gas ambien ales, pueden de e mina se
las solici aciones es uc u ales in e nas y a pa i de ahí comp oba cualquie a de los posibles modos de allo.
A pa i de ahí, es posible e alua las consecuencias de cada uno de los allos posibles, aunque es o equie e
de un conocimien o p o undo del sis ema.
En la es uc u a que a a se i de ilus ación pa a es e es udio comple o, se han es ablecido unas ecuaciones
de e i icación sencillas y di ec as. Es o no iene que se necesa iamen e así: se pod ían plan ea an as
ecuaciones de e i icación como se desea a, in oluc ando plas icidad, mecánica de la a iga y ac u a, no
linealidades.... Ya se ha comen ado que la implemen ación es sencilla, que el p oblema suele es a asociado
al cos e compu acional o a la au oma ización del p oceso den o de un esquema i e a i o gene al.
3Hay o os como el c i e io de Sode be g,Ge be oMo ow
4Una ez más, exis en o os modelos como el de Manson-Hal o d oSmi h-Wa son-Toppe
6.2 Modos de allo es uc u ales de una es uc u a de ba as a iculadas 125
Pa a el caso de la es uc u a modelo, se an a es ablece las ecuaciones de e i icación más habi uales en
es uc u as de ba as.
6.2.1 Fallo po ago amien o elás ico
Se conside a que se p oduce el allo es uc u al en uno de los elemen os es uc u ales (ba as a iculadas)
cuando las solici aciones in e nas ago an su capacidad elás ica. Es o implica conside a que el compo a-
mien o de la ba a es pe ec amen e elás ico (es o ya se había asumido) y que el lími e úl imo ( ensión de
o u a) del ma e ial coincide con el lími e elás ico ( ensión de luencia)
σu=σy
. Dicho de o o modo, en
el momen o en que la ba a ago a su capacidad elás ica, ago a su capacidad esis en e y se p oduce el allo
es uc u al. Es a hipó esis es azonable pa a muchos ipos de ba as, en los que el amo plás ico ae consigo
no linealidades que p o ocan el enómeno de abolladu a o pandeo local y po lo an o el colapso de la sección
(secciones de Clase III) [
40
]. Es impo an e señala que es a condición no sólo depende del ma e ial (es deci ,
de su lími e elás ico
σy
) sino ambién de la geome ía de la sección (esbel ez de los elemen os) y del ipo de
dis ibución de ensiones que puede da se en la sección. En de ini i a, el allo se p oduce cuando la ensión
no mal in e na sob epasa el lími e elás ico.
Es e modo de allo, co esponde a la clase de allos dados po los
c i e ios de plas i icación
. Al se el
modelo basado en la eo ía de elemen os ba a a iculada lineales ( e Capí ulo 5) el c i e io de plas i icación
iene una exp esión di ec a y sencilla:
|σ|≤σy(6.4)
Recué dese que el cálculo de la solici ación in e na, en es e caso la ensión no mal
σ
, se de alló en el
Capí ulo 5, Ecuación (5.6).
6.2.2 Fallo po pandeo de ba as
Se conside a que se p oduce el allo es uc u al en uno de los elemen os es uc u ales cuando se p oduce el
pandeo local de la ba a. Es o es, cuando el es ue zo axil en la misma sob epasa la
ca ga c í ica de Eule
(que co esponde con el pun o de bi u cación de equilib io, u ilizando eo ía no lineal). La ca ga c í ica de
Eule se ob iene median e la exp esión
Nc =π2EI
Lc
donde
E
es el módulo de elas icidad longi udinal de la
ba a,
I
es el momen o de ine cia mínimo de la sección ans e sal de la ba a y
Lc =
es la longi ud de
pandeo, que depende de la es á ica de los apoyos. Se suele exp esa Lc =αL, con Lla longi ud de la ba a.
En el caso de ba as bia iculadas, se iene
α=1
. Pa a una desc ipción más de allada y ma emá ica sob e el
enómeno de pandeo pueden consul a se los esc i os de Timoshenko [
88
]o[
86
] que a a sob e la eo ía de la
ines abilidad es uc u al en gene al.
Es e modo de allo, co esponde a la clase de allos dados po los
c i e ios de ines abilidad
. Conocido
el alo de
Nc
, que sólo depende de las p opiedades del ma e ial y la geome ía de la ba a conside ada, la
e i icación del modo de allo po pandeo se exp esa de o ma simple:
N≤Nc (6.5)
De nue o se ecue da que el cálculo de la solici ación in e na
N=Aσ
se de alló en el Capí ulo 5, Ecuación
(5.6).

Pa e III.
Aplicación al análisis de iabilidad
127
7 Diseño y análisis económico
Pu no you us in money, bu pu you money in us .
Oli e Wendell Holmes, 1809-1894)
En
es e capí ulo se dejan de lado los aspec os pu amen e mecánicos de la es uc u a pa a en a en aspec os
económicos. Como ya se ha comen ado, siemp e que se diseña un sis ema, és e se diseña pa a que
desempeñe una unción. En muchos casos, los sis emas mecánicos ienen una unción es uc u al o de sopo e.
En o as ocasiones, poseen una unción mo o a.
Sin emba go, ocu e en ocasiones que es más ú il incula el endimien o de un sis ema a su p oducción, su
p oduc i idad o su e icacia. Es e ma co engloba los dos an e io es, pues o que el endimien o puede e e i se
a la capacidad (medida en iempo, po ejemplo) de un sis ema pa a man ene su in eg idad es uc u al y no
de umba se, a su capacidad pa a lle a a cabo las a eas mo o as pa a las que ha sido diseñado de o ma
adecuada, pe o ambién a o as muchas di e sas y lexibles o mas de e alua su uncionamien o.
La palab a
endimien o
es aquí cla e, y puede es a asociada a una in inidad de concep os. En el caso de
sis emas p oduc i os inculados a p ocesos de con a os de explo ación (plan as de ene gía, po ejemplo) es
ú il incula la al bene icio de explo ación.
En el ma co que se p esen ó en el Capí ulo 1, el bene icio de explo ación es el indicado de endimien o
que se desea maximiza . No obs an e, en la mayo ía de las ocasiones, el sis ema es á suje o a unas espe-
ci icaciones, que pueden se el p oduc o de cláusulas del con a o o no, pe o que
no ienen po qué, en
gene al
coincidi con las ecuaciones de e i icación asociadas a allos es uc u ales de inidas en el Capí ulo 6.
En p ime luga , se en a á en los de alles del
p oblema in eg al de op imización
, de iniendo el ipo de
a iables de op imización o diseño, la unción obje i o y las es icciones. Se indica á además cómo se puede
abo da el p oblema desde el pun o de is a p obabilís ico, cuando algunas de las a iables de op imización
puedan es a de inidas en un con ex o que in oluc e ince idumb e.
Una ez plan eado el p oblema, se dis ingui án dos ases en el p oceso: la ase de diseño, en la que se
esuel e el p oblema de op imización, y la ase de análisis, en la que se es udia la solución del p oblema de
ca a a la oma de decisiones.
Pos e io men e, se ecalca á la ampli ud y la po encia de es e en oque in eg al, p oponiendo a ias es a e-
gias que pe mi en abo da , desde un pun o de is a cuan i a i o, a ias si uaciones de con lic o en las que el
ingenie o debe decidi . Con es a me odología, se plan ea po lo an o un nue o pa adigma pa a la oma de
decisiones.
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