Sistemas de cálculo como formas de Logicismo

CRíTICA, ReviJla Hispanoamericana de Filo.ofia Vol. XXV. No. 73 (abril 1993): 15-35 SISTEMAS DE CÁLCULO COMO FORMAS DE LOGICISMO ÁNGEL NEPOMUCENO FERNÁNDEZ Departamento de Filosofía yLógica yFilosofía de la Ciencia Universidad de Sevilla 1. Introducción En la última década del siglo XX no parece tener vigencia alguna la filosofía de la lógica y la matemática conocida como logicismo, surgida a partir del pensamiento de Frege y alimentada por concepciones debidas a Russell, Wittgenstein, etc. Cabe pensar que la época de la preocupación por los fundamentos concluyó hace bastantes años; que hoy sólo se puede investigar en este campo desde la perspectiva del logicismo y éste, como se constata históricamente, no ha resistido el paso del tiempo, habiendo sucumbido ante una serie de resultados incontestablemente establecidos. Sin embargo, esto no es del todo exacto. El logicismo puede ser considerado como un programa metafísico de investigación, según el cual, puesto que se concibe la matemática como derivable de la lógica, la matemática clásica sería reducida a lógica, en el sentido de que: a) "las nociones matemáticas sean definidas en términos de las nociones lógicas" y b) "los teoremas de la matemática sean demostrados como teoremas de la lógica".1 Los intentos por dar buen fin a dicho programa han resultado 1 Kleene [8] p. 49. 15 fallidos: tales han sido los casos de Grundgesetze yPrincipia Mathematica (y, en cierto sentido, New Foundations de Quine). Ahora bien, si distinguimos entre 1) la idea de que la matemática, de alguna manera, es lógica y 2) la realización del programa en cuanto a la consecución de a) y b), entonces los fracasos afectan sobre todo a 2), mientras que 1) es más bien una actitud filosófica, compartida en principio por lógicos de diversas tendencias. El problema surgirá al tratar de aclarar el sentido de 1); por ejemplo, si se rechaza la lógica de orden superior al primero, difícilmente se admitirá a) y, en consecuencia, es imposible conseguir 2). Un intento de revitalizar ellogicismo consistirá en mantener 1) estableciendo un concepto de lógica a partir del cual actualizar 2). Otra manera es tratar de recuperar el planteamiento primitivo despojándolo de las nociones que provocaron su fracaso. En la segunda línea podemos situar la reconstrucción del logicismo fregeano propuesta por N.B. Cocchiarella. 2 Una reconstrucción tal puede verse como un instrumento más adecuado para la tarea 2), la cual, por otra parte, ha de contar con los resultados limitativos aparecidos en el desarrollo de la lógica a partir de los años treinta. Pero si se presenta --como hace N.B. Cocchiarellaun cálculo modal de segundo orden que incorpora lo fundamental de la teoría de los tipos, el tratamiento intensional y extensional del concepto, cierta 2 Cocchiarella [1] y [2]. No entramos en sus planteamientos filosóficos en aras de obtener una lógica como teoría de la predicación que dé perfecta cuenta del papel del predicado en la lengua común. A este respecto, las ideas que desarrrolla tanto en [1] como [2] son coincidentes; el carácter logicista de los cálculos es más explícito en [2], de ahí que interese este trabajo particularmente. En cualquier caso, desde un punto de vista meramente formal, tanto en [1] como en [2] presenta cálculos similares cuya consideración es útil para nuestro propósito en estas páginas: cuestionar la validez de la afirmación según la cual la filosofía logicista no tiene vigencia alguna. 16 doctrina de las clases, etc., éste sería una útil herramienta para abordar cuestiones de fundamentos que no pueden ser tachadas de "trasnochadas". En cuanto a su posible aplicación en computación e inteligencia artificial, se trata de una moderna utilidad adicional. 2. Sistemas de cálculo de segundo orden Cualquiera que sea el modo de ejecutar la tarea 2), la reactualización de la doctrina logicista requiere una teoría general de la cuantificación, dado que la matemática clásica se concibe como reductible a lógica en el sentido a) y b), es decir, reductible a lógica de predicados. No se identifican plenamente lógica de predicados y teoría de conjuntos -como teoría general de la pertenenciay ciertas porciones de la matemática no admiten la restricción de la cuantificación a términos individuales; así pues, ningún sistema de cálculo de predicados de primer orden representaría adecuadamente allogicismo. Se definen unos sistemas de cálculo de segundo orden con identidad, lo que requiere una serie de definiciones. Lenguaje formal. El lenguaje formal ~ consta de signos para variables (y constantes) individuales y predicativas de cualquier aridad,3 la constante diádica "=", los signos 1, icos " " "V" "I:" "~,, " " "V" "1\" "\ " Ogl -, , , ,~, -, , Y /\ Y signos auxiliares. El conjunto :Y de las fórmulas de ~ viene definido por: 1) Si R es un signo predicativo (variable o constante) nádico, para n 2:: 1, ybl, b2, ... ,b n son n ocurrencias (no necesariamente distintas) de constantes o variables, entonces Rb 1 b2 ... b n E :Y. 3 Cuando dos variables (o constantes) sean individuales o se trate de variables (o constantes) predicativas de la misma aridad, diremos que son del mismo tipo. 17 2) Si r y s son variables (o constantes) del mismo tipo, entonces r = s E 3=. 3) Si cP E 3=y xl. X2, ... ,Xn, para n ~ 1, son variables individuales distintas entre sí, entonces ('xXlX2' .. xnep) es un signo de predicado llamado 'x-abstracto. 4) Si sp E 3=, -'CP E 3=. 5) Si ep, 'l/J E 3=,entonces ep --+ 'l/J E 3=. 6) Si cP E 3=y s es una variable de cualquier tipo V sep E 3= y /\scp E 3=. Estratificación homogénea. Una fórmula cp está homogéneamente estratificada si y sólo si: 1) Todas las subfórmulas de sp son de la forma r = s. 2) Si alguna subfórmula de cp tiene la forma ('xXlX2 ... xn'l/J)ala2 ... an, entonces al, a2,' .. ,an son n ocurrencias de constantes (o variables) individuales, no necesariamente distintas entre sí, para n ~ 1. 3) Si alguna subfórmula de cp tiene la forma Rb, b 2... b n, para n ~ 1, entonces bib2, ... ,bn son n ocurrencias de constantes (o variables) individuales, no necesariamente distintas entre sí, para n ~ 1. Un 'x-abstracto ('xXlX2'" xn'l/J), para cada n ~ 1, está homogéneamente estratificado si y sólo si la fórmula 'l/J está homogéneamente estratificada. Sistema de cálculo. Llamamos el al cálculo que describimos a continuación. Son axiomas todas las fórmulas cuyos 'x-abstractos -si los tuviere-- están homogéneamente estratificados y sean tautologías o una de las siguientes formas: 1) /\s(cp --+ 'l/J) --+ (/\scp --+ /\s'l/J) , donde ip y 'l/J son fórmulas y s una variable de cualquier tipo. 18 2) cp --+ f\scp, donde cp es una fórmula y s es una variable de cualquier tipo que no ocurre libre en cp. 3) Vs(r = s), donde s es una variable del mismo tipo que r. 4) a = b--+ (cp +-+ 1/;), donde a yb son del mismo tipo y 1/; se obtiene desde cp por reemplazo de una o más ocurrencias libres de b por ocurrencias libres de a. 5) (AXIX2'" xncp)ala2'" an +-+ cp(ala2'" an/xlx2 ... xn),4 donde XI, X2, ... ,Xn son variables individuales distintas entre sí, n ~ 1, cp es una fórmula y, para cada i :5 n, ai es una constante individual (o una variable individual para la que Xi está libre en cp) y el A-abstracto está homogéneamente estratificado. 6) (AXIX2 ... XnRXIX2 ... xn) = R, donde R es una variable (o constante) predicativa n-ádica, para n ~ 1, y XI, X2, ... ,Xn son variables individuales distintas entre sí. 7) V F(( AXIX2· .. xncp) = F), donde F es una variable predicativa n-ádica, para n ~ 1, la cual no ocurre libre en cp y Xl, x2, ... ,xn son variables individuales distintas entre sí y el A-abstracto está homogéneamente estratificado. Las reglas del cálculo son: modus ponens ygeneralización, que podemos expresar, respectivamente, como Rl: de a --+ {3 y a se infiere {3 y R2: de a se infiere f\sa. Mediante e. 2 designamos el siguiente cálculo de segundo orden, tomado en parte del de A. Church/' con el mismo lenguaje formal ~. e. 2 consta de los axiomas: 1) a --+ ({3 --+ a). 2) (a --+ ({3 --+ ,)) --+ ((a --+ {3) --+ (a --+ ,)). 3) (-,{3 --+ -,a) --+ (a --+ {3). 4 ( / ) brevi d SXIX2 ••. X n cp ala2· •• a n XIX2· •• X n es a reviatura e ala2 ••• a n cp -noción de sustitución de A. Church [4] §§ 31 Y51. 5 tiu.. p. 297. 19 4) I\s(a -+ {3) -+ (a -+ I\s{3) , siendo s una variable de cualquier tipo que no ocurre libre en a. 5) i) I\xa -+ a(alx), donde x es una variable de cualquier tipo ya una variable (o constante) del mismo tipo que x; ii) /vJa -+ a({3 II PXlX2 ... x n), donde P es una variable predicativa n-ádica, para n ~ 1. Las reglas de inferencia son las siguientes: RI) Modus ponens. R2) Generalización. R3) Cambio de variable individual ligada. De a, si x es una variable individual que no ocurre libre en TI y z es una variable individual que no ocurre en TI, si a' resulta de a al sustituir una ocurrencia particular de TI en a por TI' -resultante de sustituir en TI la ocurrencia ligada de x por Z-, entonces se infiere a'. R4) Sustitución de variables individuales. De a, si x es una variable individual, si y es una variable individual, y ninguna ocurrencia libre de x en a ocurre en subfórmulas de la forma V y {3,se infiere a(y Ix). Tiene además las siguientes definiciones: DI) a = b =def I\p(Pa -+ Pb), siendo a y b variables o constantes individuales. D2) R = S =def a -+ a', siendo R y S variables (o constantes) predicativas de la misma aridad, a una fórmula cualquiera en la cual R ocurre libre y a' es la fórmula a(SIR). Tanto para el como para e 2, podemos establecer definiciones sobre los signos de cuantificación: .I\sa =def V s.a, etc., que no especificamos por simplificar. La adopción de estos sistemas en lugar de los origina. 20 les, propuestos por Cocchiarella y Church, respectivamente, requiere una mínima aclaración. El cálculo estudiado por Church posee importantes propiedades metateóricas (corrección y completitud restringida, por ejemplo) que lo hacen sumamente interesante; el lenguaje formal del e 2 (el mismo que de e¡), sin embargo, a diferencia del de Church, contiene A-abstractos, pero es menos expresivo que el lenguaje formal usado por Cocchiarella, el cual admite que el signo A pueda llevar variables predicativas como sufijos y signos predicativos como argumentos (se trata del lenguaje 2' que se menciona más abajo). Así pues, el uso de 2 para ambos cálculos permite la comparación del sistema (ligeramente modificado) de Church con el, punto de partida este último para obtener, tras algunas modificaciones, sistemas de cálculo logicistas. 3. Proposición el y e2 son equipotentes. Para establecer la prueba asumimos el teorema de la deducción, según el cual si de I', a se infiere (3, entonces de r se infiere a ---+ (3 -f representa un conjunto de fórmulas-, siempre que (3 no se obtenga por aplicación de las reglas R2 o R4 a a o a otra fórmula 'Y de r obtenida a su vez por aplicación de dichas reglas. Este teorema, también con restricciones, queda establecido para su mencionado cálculo por Church, cuyas reglas son las mismas que las de e 2, en el que se demuestran las mismas tautologías que en el -axiomas de éste por definición-; asimismo, R1 y R2 son comunes a ambos cálculos. Por ello es fácilmente asumible el teorema en cuestión. También asumiremos el teorema de intercambio: si a es una fórmula que contiene a' como subfórmula; si (3 es lafórmula resultante de reemplazar alguna ocurrencia de a' en a por otra fórmula ;3'; entonces, si a' +-+ (3' es demostrable, también lo es a +-+ (3. 21 La prueba (para ambos cálculos) se haría considerando los casos en que a es cada uno de los axiomas y a' una de las subfórmulas que aparece en la expresión de éstos. 1) =} ) Dado el cálculo el, los axiomas 1), 2) Y 3) de e2 son tautologías. Por lo que respecta al axioma 4) de e 2, sea a una fórmula en la cual s no ocurre libre; por axioma 1) de el 1\s(a -+ (3) -+ (1\ so -+ 1\s(3). Pero I\sa es a, por lo que 6 I\s(a -+ (3) -+ (a -+ I\s(3). Teniendo en cuenta que, en general, si a +-+ {3 entonces a -+ (3, a partir del axioma 4) de el tendremos que a = X -+ (a +-+ a(a / x» y por tanto a = x -+ (a -+ a(a / x»; por axioma 3) de el y regla de modus ponens, a -+ a(a / x) y, por esta regla ygeneralización, I\x(a -+ a(a/x»; por axioma 1) de el y aplicación de modus ponens, I\xa -+ I\xa(a/x); pero I\xa(a/x) es a(a/x), por lo que I\xa -+ aia] x), expresión que corresponde al axioma 5) i) de e 2. Por otra parte, de acuerdo con axioma 4) de el. (-\XlX2' .. xm(3) = P -+ (a +-+ a«-\xlx2 ... xm(3)/ P), para m ~ 1, por lo que siendo (3 una fórmula cualquiera en la que P no ocurre libre; teniendo en cuenta el axioma 7) de el y la regla de modus ponens, a -+ a«Axlx2 ... x m (3)/ P); 6 Basta aplicar el teorema de intercambio. 22 por generalización, /\p(a -+ a«Axlx2'" xm(3)1 P); por axioma 1) dé el y aplicación de modus ponens, /\pa -+ /\pa«Axlx2 ... xm(3)I P), pero /\pa«Axlx2 ... xm(3)1 P) es a«Axlx2" . xm(3)1 P), por lo que /\pa -+ a«Axlx2 . xm(3)IP); según el axioma 5) de e b (AXIX2 .. · xm(3)ala2 . am +-+ (3(alla2,'" ,amlxl,x2"" ,xm); por teorema de intercambio, a « AXIX2 ... xm(3) I P) +-+ a ({3 (al, a2, ... , amlxl' X2,' .. , xm) I (AXIX2' .. xm(3) al, a2, ... ,am ),7 pero a ({3 (al, a2, ... , amI xl, x2, , Xm) I (AXIX2 ... xm(3) al, a2, ... , am) es a( (3 II PXIX2 xm), por lo que /\pa -+ a({3 II PXIX2 ... xm), que expresa el axioma 5) ii) de e 2. Las reglas R1 y R2 de e2 son las mismas que en el' En cuanto a R3 y R4, se pueden obtener a partir de asumir el intercambio. 2) => ) A partir de los axiomas 1), 2) Y3) de e 2,se pueden obtener todas las tautolo§ías expresables en el lenguaje 2 común a ambos cálculos. Sea la hipótesis siguiente: /\s(r.p -+ 'lj;), donde s es una variable de cualquier tipo. Por axioma 5) i) (r.p -+ 'lj;). De acuerdo con el mismo axioma 5) i), /\sr.p -+ sp, A partir de /\sr.p -+ r.p y r.p -+ 'lj;, suponiendo /\sr.p, por R1 se obtiene r.p y, nuevamente por esta regla, 'lj;; por el teorema de la deducción, se obtiene finalmente /\sr.p -+ 'lj;. Por el teorema de la deducción, /\s(r.p -+ 'lj;) -+ (/\sr.p -+ 'lj;); de aquí, por axioma 4), /\s(r.p -+ 'lj;) -+ (/\sr.p -+ /\s'lj;) , expresión del axioma 1) de el. 7Esta última fórmula obtenida de a((Axlx2 ... xm /3)/ P) reemplazando cada ocurrencia del A-abstracto por la fórmula /3, sustituyendo en ésta la m.pla de variables individuales por los argumentos de P. 8 Church en [4J § 18, p. 109 y ss, establece la completitud de su cálculo proposicional. 23 orden que tiene 2' como lenguaje. Mediante ei designamos el cálculo que contiene los mismos axiomas y reglas que el, si bien haciendo uso del lenguaje 2', tomando la noción modificada de estratificación homogénea y exigiendo que las fórmulas mencionadas en los axiomas sean homogéneamente estratificadas. Análogamente, e 4 denotará el cálculo obtenido por la misma modificación relativa a e 4• De la misma manera, podemos exigir que las fórmulas que aparecen en la expresión de (Ext) -siendo fórmulas de 2'- estén homogéneamente estratificadas, en cuyo caso se designará mediante (Ext"). De una modificación de el + (Ext) resulta ei+ (Ext*), por lo que se le puede denominar eg. El cálculo e 3 es de mayor potencia deductiva que e¡, siendo, por tanto, de mayor potencia deductiva que e 2• Como hemos visto, e 4 tiene al menos la misma potencia que el por lo que e 4 tendrá al menos la misma potencia deductiva que er. pero no es así con respecto a eg. Si consideramos el cálculo e 4 + (Ext"] -al que nos referiremos mediante es-' podemos afirmar que es tendrá al menos la misma potencia deductiva que eg. Como es evidente, eg y es son de mayor potencia deductiva que e 2• Cocchiarella ll establece la equiconsistencia de e; con la versión de NF de Quine modificada por Jensen [7]; asimismo, que si e g es consistente, entonces es es también consistente, es decir, que si NF modificado es consistente, entonces es es consistente; estos resultados los extiende a los sistemas que presentamos en el siguiente apartado. Una tarea de interés -que no abordamos dado el objeto del presente trabajo--- es investigar la corrección de estos cálculos. La definibilidad del número natural se facilita con estos sistemas --como algo que corresponde a un concepto, en términos de nominalización y expresión y obtención de A11 [1] pp. 230 Y242. 30 abstractos. Por otra parte, no se presupone una colección infinita de objetos concretos, no aparece un axioma de infinitud y, sin embargo, sus axiomas --en particular los de es (como,los de e 4)- garantizan infinitos, en el sentido de que sea infinito el número total de objetos, es decir, el total de objetos concretos y de A-abstractos. Estas razones, además de las mencionadas más arriba, se pueden aducir a favor de los intentos de una reconstrucción logicista. 5. Sistemas intensionales A partir de ei y e¡ --o e; y es, respectivamente, pues se alcanzan lo que podemos denominar versiones intensionales de éstosvamos a obtener sendos cálculos intensionales, procediendo como se explica a continuación. 2' se modifica en el sentido de contener entre sus signos lógicos el operador ''O''. No hacemos uso de "O" dado que Ocp, para cualquier fórmula ip, se puede definir como ...,D rvp, En la definición de las fórmulas de 2' hay que añadir la siguiente cláusula: si cp es una fórmula, D sp es una fórmula. De; es el cálculo que consta de todos los axiomasy reglas de ei, además de los esquemas axiomáticos del cálculo modal 55, la regla de la generalización modal -según la cual, para cada fórmula cp, si cp es demostrable en el cálculo, entonces D cp también es demostrable--, y el principio de intensionalidad, que se puede expresar como y al que nos referiremos mediante (DExt*)por su semejanza formal con (Ext"), Añadiendo a e¡ los esquemas axiomáticos de 55, la regla de generalización modal y (DExt*), se obtiene otro cálculo que designaremos mediante Des. 31 Estos cálculos podrían definirse incorporando los esquemas axiomáticos del cálculo modal 54 en lugar de los de 55, pero ello no modifica en lo esencial el sentido de este párrafo: la circunstancia de que se pueda presentar una forma intensional de cálculo logicista. En cualquier caso, 54 tiene más aplicación en programación que 55.12 Oe; y Oe s son sistemas de cálculo que pueden calificarse de logicistas a tenor de que han sido elaborados teniendo en cuenta concepciones logicistas. En concreto el sistema de Grundgesetze está integrado nor una serie de axiomas demostrables en estos cálculos, a excepción del conocido como Ley V, a partir del cual surge la paradoja de Russell. En efecto, las leyes de Grundgesetze, expresadas mediante 2' ysin tener en cuenta la noción de estratificación, son las siguientes: 1) cP -+ ('l/J -+ cp), donde cp y 'l/J son fórmulas cualesquiera. JI) a) !\xa -+ aia] x), donde a es una fórmula, x una variable individual y a una variable (o constante) individual. b) !\pa -+ a((3//Px1X2 ... xn), donde a y (3 son fórmulas yPes una variable predicativa n-ádica, para n ~ 1. IJI) a = b -+ (</> -+ 'l/J), donde a y b son del mismo tipo y 'l/J es la fórmula resultante de </> por reemplazo de alguna ocurrencia libre de a por b, IV) -,( </> +--+ -,'l/J) -+ (</> +--+ 'l/J), donde </> y'l/J son fórmulas cualesquiera. V) (AX1X2 ... xncp) = (AX1X2 ... xn'l/J) +--+ !\X1X2 ... xn(cp +--+ 'l/J), donde, para n ~ 1, para todo i :::; n, Xi es una variable individual y cp y 'l/J son fórmulas. VI) F = (AX1X2 ... XnFX1X2 ... xn), donde F es un signo predicativo n.ádico, para n ~ l. 12 Vid. J. Cuena [3] p. 277. 32 Las reglas son las de modus ponens y generalización. 1)y 111)son expresiones tautológicas por lo que forman parte de De;. 11)a) y 11)b) se pueden demostrar en De..;, como se ha visto más arriba al comparar el con e 2 y el con e 4. 111)resulta inmediatamente del axioma 4) de el y VI) es exactamente el axioma 6) de el. V), en un único sentido de la coimplicación, corresponde a (Ext). Como es obvio, no podemos decir que De; -y tampoco Dessea de al menos la misma potencia deductiva que el cálculo de Grundgesetze, puesto que este último es inconsistente. No obstante, si se modifica Grundgesetze, cambiando su ley V) por (Ext) y adoptando la noción de estratificación, entonces los teoremas de este Grundgesetze modificado serán teoremas de De; y, en consecuencia, de Des. En este sentido, pues, tanto De; comoDes son cálculos logicistas. Pero estos cálculos -si son consistentesno arrastran, por así decirlo, el lastre del planteamiento de Frege, que llevaba implícita la paradoja de Russell. Las restricciones impuestas, como la estratificación homogénea y la limitación de la ley V a (DExt*),impiden derivar dicha paradoja. Una ventaja añadida es que se trate de cálculos intensionales, cuyo estudio y desarrollo está cada vezmás en boga; por ello, una revisión semejante a la propuesta por Cocchiarella podría revitalizar el logicismo. Otro aspecto de este tipo de reconstrucciones es la mejora del aparato conceptual con el que se estudia la corriente de la filosofía de la lógica que nos ocupa. El mayor o menor grado de interés para la historia de la lógica no dice nada acerca de la vigencia o no de aquella doctrina. A este respecto, y teniendo en cuenta De; y Des, los problemas que atañen a la ejecución de la tarea 2), mencionada más arriba, no desaparecen, pero el sentido de 1) queda más explícito. 33 BIBLIOGRAFÍA [1] Cocchiarella, N.B., "Two A-extensions of the Theory of Homogeneous Simple Types as a Second-Order Logic", Notre Dame [ournal of Formal Logic, vol. 26, no. 4, 1985, pp. 377407. [2]--, "Frege, Russell and Logicism", en L. Haaparanta y J. Hintikka (comps.), Frege Synthesized, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1986, vol. 181, pp. 197-252. [3] Cuena, J., Lógica informática, Alianza, Madrid, 1985. [4] Church, A., Introduction to Mathematical Logic, 6a. impresión, Princeton University Press, Princeton, 1970. [5] Frege, G., Conceptografía. Los fundamentos de la aritmética. Otros estudios filosóficos, trad. H. Padilla, Instituto de Investigaciones Filosóficas-UNAM, México, 1972. [6] Henkin, L., "Baníshing the Rule of Substitution for Functional Variables", The [ournal of Symbolic Logic, vol. 18, no. 3, 1953, pp. 201-208. [7] Jensen, R.B., "On the Co';'sistency oí a Slight (?) Modifications of Quine's, New Foundations", en D. Davidson y H. Hintikka (comps.), Words and objections. Essays on the Work of W.V. Quine, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1975, vol. 21, pp. 278-291. [8] Kleene, S.C., Introducción a la metamatemática, trad. M. Garrido, Tecnos, Madrid, 1974. Recibido: 27 de octubre de 1992 34 SUMMARY The logicism may be regarded like a fossil stone that has not utility nowadays. In this sense, logicism took care of the research about the foundations of mathematics but apparently its task arrived at its end many years ago because of sorne results that were eetablished during the century. However it is not wholly right. Understanding logicism as an attempt to reduce classical mathematics to logic means we can distinguish: 1) the idea according to which mathematic is logic in sorne way, and 2) a metaphysical program of research to: a) define mathematical notions as logical notions, and b) show that the mathematical theorems are logical theorems. The failure (if so) concerned to 2), since 1) was assumed by many logicians. Recovering logicism is not easy and there may be several ways. One of them is the one followed by N.B. Cocchiarella whose systems (there are more than one) represent a form of logicism (Frege's or Russell's form). From those systems -though a bit changed from my own point of viewwe can define a modal calcule that may have application in computer science, what would not be a stale work. From a common language we take in account \.wo systems in order to show that Cocchiarella's modified system is as powerful deductively as that of Church modified functional second order calcule. We can obtain new systems that represent form of logicism and are more powerful than that of Church enlarging Cochiarella's modified system. These new systems, that becomes modal systems provided that one adds appropiate modal tools (then they may be used in computer science), may be useful to study logicism itself (as historical philosophy of logic and mathematics). 35