Simetrías potenciales de un modelo matemático que describe las vibraciones de una viga

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Simetr´ıas potenciales de un modelo matem´atico que describe las vibraciones de una viga M.S. Bruz´ on1, M.L. Gandarias1, J.C. Camacho1 1Dpto. Matem´aticas, Universidad de C´adiz, Aptdo. 40, 11510 Puerto Real (C´adiz). E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]. Palabras clave: Ecuaciones en derivadas parciales, simetr´ıas, ecuaci´on de viga Resumen En este trabajo presentamos un estudio, desde el punto de vista de la teor´ıa de las simetr´ıas potenciales cl´asicas y no cl´asicas para ecuaciones en derivadas parciales, del modelo que describe las vibraciones de una viga. 1. Introducci´on En [9] McKenna y otros colaboradores, en el estudio de la din´amica no lineal de las ondas solitarias, utilizaron m´etodos num´ericos para buscar soluciones aproximadas de la ecuaci´on en derivadas parciales utt +uxxxx +f(u) = 0.(1) La Ec. (1) describe la propagaci´on de las ondas de flexi´on que produce una viga, en forma de barra rectangular, cuando existen peque˜nas vibraciones transversales. u(x, t) mide el desplazamiento transversal, xes la coordenada espacial, tla coordenada temporal y el t´ermino f(u) representa el efecto que debe realizar el cable que sostiene la viga para contrarrestar la fuerza de la gravedad. Sophus Lie (1849-1899) inici´o el estudio de los grupos de transformaciones de Lie al descubrir que muchos de los m´etodos conocidos de resoluci´on de ecuaciones diferenciales eran casos espec´ıficos de un procedimiento general de integraci´on basado en la invarianza de los sistemas de ecuaciones diferenciales bajo un grupo continuo de simetr´ıas. Cada grupo de simetr´ıa hallado permite reducir el n´umero de variables que intervienen en la ecuaci´on en derivadas parciales (EDPs), o bien reducir el orden de la ecuaci´on diferencial ordinaria (EDOs) seg´un el caso. En [4] Bruz´on, Ram´ırez y Camacho estudiaron las simetr´ıas cl´asicas de la ecuaci´on (1). 1 M.S. Bruz´on, M.L. Gandarias, J.C. Camacho En 1969, Bluman y Cole [1], en el estudio de la ecuaci´on del calor, desarrollaron el m´etodo no cl´asico al comprobar que exist´ıan transformaciones por simetr´ıas que no eran invariantes bajo el grupo uniparam´etrico de transformaciones. En [5] Camacho y Bruz´on obtuvieron las simetr´ıas no cl´asicas de la ecuaci´on (1). Para f(u) = 0, Gandarias y Bruz´on [7] estudiaron las simetr´ıas cl´asicas y no cl´asicas de esta ecuaci´on. En [2, 3] Bluman y Kumei introdujeron un m´etodo para encontrar una nueva clase de simetr´ıas para EDPs. Una EDP de segundo orden F(x, t, u, ux, ut, uxx, uxt, utt) = 0, puede ser escrita como una ley conservativa D Dtf(x, t, u, ux, ut)−D Dxg(x, t, u, ux, ut) = 0,(2) para alguna funci´on fyg, donde D Dx yD Dt son los operadores de la derivada total definidos por D Dx =∂ ∂x +ux ∂ ∂u +uxx ∂ ∂ux +uxt ∂ ∂ut +··· , D Dt =∂ ∂t +ut ∂ ∂u +uxt ∂ ∂ux +utt ∂ ∂ut +··· . Mediante la ley conservativa (2), se puede introducir una variable potencial auxiliar vy construir un sistema potencial auxiliar S(x, t, u, v) = 0, dado por vx=f(x, t, u, ux, ut), vt=g(x, t, u, ux, ut).(3) Para algunos modelos, se puede eliminar udel sistema potencial y construir una ecuaci´on integrada auxiliar o potencial G(x, t, v, vx, vt, vxx, vxt, vtt) = 0, para alguna funci´on G. Cualquier grupo de Lie de trasformaciones puntuales admitido por S(x, t, u, v) = 0 induce una simetr´ıa en la EDP cuando al menos uno de los generadores del grupo depende expl´ıcitamente del potencial. Entonces la simetr´ıa correspondiente no es una simetr´ıa puntual. Estas simetr´ıas de la EDP son llamadas simetr´ıas potenciales. En [6] Gandarias obtuvo para la ecuaci´on de Burgers una nueva clase de simetr´ıas para EDPs. Estas simetr´ıas son denominadas simetr´ıas potenciales no cl´asicas y se hallan a partir de las simetr´ıas no cl´asicas del sistema asociado. La estructura del trabajo es la siguiente: en las secciones 2 y 3 presentamos, de forma esquem´atica, las simetr´ıas cl´asicas y no cl´asicas de la ecuaci´on (1); en la secci´on 4 realizamos un estudio de las simetr´ıas potenciales cl´asicas; en la secci´on 5 analizamos las simetr´ıas potenciales no cl´asicas y, finalmente, en las conclusiones, hacemos un an´alisis comparativo de las simetr´ıas obtenidas por los diferentes m´etodos. 2 Simetr´ıas de un modelo de vibraciones de viga 2. Simetr´ıas cl´asicas El criterio de invarianza ([10], Teor. 2.31) permite determinar, en funci´on de f(u),los infinitesimales ξ, τ yηde un campo vectorial V=ξ(x, t, u)∂x+τ(x, t, u)∂t+η(x, t, u)∂u,(4) para que la ecuaci´on (1) sea invariante bajo el grupo de transformaciones locales con generador infinitesimal V. Representamos un conjunto de generadores del ´algebra de simetr´ıa de Lie asociada a la ecuaci´on por {Vj i}. Si la ecuaci´on (1) es invariante bajo un grupo de Lie de transformaciones locales con generador infinitesimal (7), obtenemos un sistema de 11 ecuaciones determinantes para los infinitesimales ξ, τ yη, que depende de f(u). Para f(u) arbitraria las ´unicas simetr´ıas son los grupos de las traslaciones con respecto al espacio y con respecto al tiempo, con generadores infinitesimales V1=∂xyV2=∂t, respectivamente. Se obtiene la reducci´on “onda viajera” z=x−λt, u =h(z),donde h(z) verifica la EDO h0000 +λ2h00 +f(h) = 0.(5) Si f(u) es una funci´on del tipo indicado en la tabla 1 obtenemos nuevas simetr´ıas: i f(u)Vi 3 1 (au +b)nx∂x+ 2t∂t+4(au +b) a(1 −n)∂u 2beau x∂x+ 2t∂t−4 a∂u Tabla 1: Nuevas simetr´ıas para n6= 1 y a6= 0. 3. Simetr´ıas no cl´asicas La base fundamental del m´etodo, desarrollado por Bluman y Cole [1], es requerir que la ecuaci´on en derivadas parciales (1) junto con la ecuaci´on Φ≡ξ(x, t, u)ux+τ(x, t, u)ut−η(x, t, u) = 0,(6) sean invariantes bajo la acci´on de un grupo de transformaciones locales con generador infinitesimal V, dado en (7). Para su estudio, distinguimos si τ6=0oτ= 0. Si τ6= 0 podemos suponer τ= 1, sin p´erdida de generalidad. En este caso obtenemos un sistema sobredeterminado de 6 ecuaciones no lineales para los infinitesimales ξyη. La dificultad del sistema no permite dar una soluci´on en general. Del sistema se deduce que, adem´as de los generadores V1=∂xyV2=∂tque se obtienen para farbitraria, se obtienen los generadores dados en la tabla 2 para i= 1,2,3. En el caso en que τ= 0 obtenemos la simetr´ıa dada en la tabla 2 para i= 4 Comparando los resultados obtenidos en las tablas 1 y 2, podemos observar que para i= 1 ei= 2 las simetr´ıas coinciden. Los casos i= 3 e i= 4 corresponden a simetr´ıas nuevas. 3 M.S. Bruz´on, M.L. Gandarias, J.C. Camacho i f(u)Vi 3 1 (au +b)nx 2(t+t0)∂x+∂t+2(au +b) a(n−1)(t+t0)∂u 2ke−2u a x 2(t+t0)∂x+∂t+a t+t0 ∂u 3kx 2(t+t0)∂x+∂t+2u+ (k1t+k2)x t+t0 ∂u 4ku ∂x+u x∂u Tabla 2: Simetr´ıas no cl´asicas. 4. Simetr´ıas potenciales cl´asicas Debido a que la expresi´on de la forma conservada no es ´unica y que el an´alisis de las simetr´ıas potenciales depende de la forma conservada, hemos construido tres sistemas auxiliares de la ecuaci´on (1) y hemos estudiado las simetr´ıas potenciales de los tres. Supongamos que el sistema auxiliar S(x, t, u, v) = 0 admite un grupo local de transformaciones x∗=x+εξ(x, t, u, v) + O(ε2), t∗=t+ετ(x, t, u, v) + O(ε2), u∗=u+εη(x, t, u, v) + O(ε2), v∗=v+εφ(x, t, u, v) + O(ε2), (7) con generador infinitesimal. VS=ξ(x, t, u, v)∂ ∂x +τ(x, t, u, v)∂ ∂t +η(x, t, u, v)∂ ∂u +φ(x, t, u, v)∂ ∂v .(8) Este grupo proyecta cualquier soluci´on de S(x, t, u, v) = 0 en otra soluci´on de S(x, t, u, v) = 0 y por consiguiente induce una aplicaci´on de cualquier soluci´on de la EDP en otra soluci´on de la EDP; por tanto (8) define un grupo de simetr´ıas de la EDP. Si (ξv)2+ (τv)2+ (φv)26= 0 (9) entonces (8) produce una simetr´ıa no local de la EDP, tal simetr´ıa no local es llamada una simetr´ıa potencial de la EDP, de lo contrario VSse proyecta en una simetr´ıa puntual de la EDP. Forma 1: Consideramos la funci´on F(u) donde f(u) = F0(u), multiplicamos la ecuaci´on (1) por ux, y obtenemos uxutt +uxuxxxx +uxF0(u) = 0.(10) La ecuaci´on (10) se puede expresar como Dt[uxut]−Dx1 2u2 t−uxuxxx +1 2u2 xx −F(u)= 0. Por tanto, una forma conservada de (1) es 4 Simetr´ıas de un modelo de vibraciones de viga vt=1 2u2 t−uxuxxx +1 2u2 xx −f(u), vx=uxut.(11) Si este sistema es invariante bajo la acci´on del grupo de transformaciones con generador infinitesimal (8) obtenemos un sistema de ecuaciones en los infinitesimales ξ, τ, η yφ. La aplicaci´on del m´etodo al sistema (11) conduce a las ecuaciones determinantes: ξv= 0, τx= 0, ξu= 0, ξt= 0, τv= 0, ηx= 0, φx= 0, ηv= 0, ηuu = 0, ξxx = 0, τu= 0, φu−ηt= 0, τt−2ξx= 0, φv−2ηu+τt= 0, φv−2ηu−τt+ 4 ξx= 0, φt−2f ηu+fuη+ 4 ξxf= 0.(12) Del sistema (12) se deduce que (ξv)2+ (τv)2+ (ηv)2= 0, por lo que VSse proyecta en una simetr´ıa de Lie de la ecuaci´on original. Forma 2: Multiplicando por xy operando algebraicamente, la ecuaci´on (1) se puede expresar de la siguiente forma xutt +xuxxxx +uxxx −uxxx +xf(u) + x2 2f0(u)−x2 2f0(u)−x3 6f00(u) + x3 6f00(u) −x4 24 f000(u) + x4 24 f000(u) = 0.(13) Esta ecuaci´on se puede expresar como Dt[xut] = −Dx[xuxxx −uxx +x2 2f(u)−x3 6f0(u) + x4 24f00 (u)] −x4 24f000 (u). Imponiendo que f000(u) = 0, la ecuaci´on (1) se puede expresar mediante el sistema auxiliar vx=xut, vt=−xuxxx +uxx −x2 2f(u) + x3 6f0(u)−x4 24 f00(u).(14) Requiriendo que el sistema (14) sea invariante bajo la acci´on del grupo de transformaciones con generador infinitesimal (8) obtenemos un sistema de dieciocho ecuaciones determinantes en los infinitesimales ξ,τ,ηyφ. Simplificando el sistema deducimos que ξ=ξ(x, t), τ=τ(x, t), η=α(x, t, v)u+β(x, t, v) y φ=φ(x, t, u, v), donde ξ,τ,α,β yφsatisfacen el sistema de ecuaciones αv= 0, αvv u+βvv = 0, ξtx+φu= 0,−α x −τtx+ 3 ξxx−ξ+xφv= 0, −α x +τtx−ξxx−ξ+xφv= 0,3αxx x−ξxxx x−2αx+ξxx = 0, −αtu x −βtx+φx= 0, αvu x +βvx−3τx= 0, αvu x +βvx+τx= 0,3αxx2−3ξxx x2−ξxx+ξ= 0, 3αvx u x2+ 3 βvx x2+αvu x +βvx−3τxx x+ 2 τx= 0, −3αvxx u x2−3βvxx x2−αvx u x −βvx x+τxxx x−ξtx+αvu+βv−τxx +φu= 0, −fuuu α u x4−fuuu β x4+fuu α x4−3ξxfuu x4+ 4 fuu α u x3+ 4 fuu p2 x3−4fuα x3 −3ξ fuu x3+ 12 ξxfux3−12 fuα u x2−12 fuβ x2+ 12 f α x2+ 8 ξ fux2 −36 ξxf x2−24 αxxx u x −24 βxxx x−12 ξ f x + 24 αxx u+ 24φt+ 24 βxx = 0. (15) 5 M.S. Bruz´on, M.L. Gandarias, J.C. Camacho Simplificando el sistema (15) se deduce que ηno depende de v. Por consiguiente, VSse proyecta en una simetr´ıa de Lie de la ecuaci´on original. Forma 3: Consideramos la funci´on F(u) donde f(u) = F0(u), multiplicamos la ecuaci´on (1) por ut, y obtenemos ututt +utuxxxx +utF0(u) = 0.(16) La ecuaci´on (16) se puede expresar como Dtu2 t 2+u2 xx 2+F(u)−Dx[utxuxx −utuxxx] = 0. Por tanto, otra forma conservada de (1) es vt=utxuxx −utuxxx, vx=u2 t 2+u2 xx 2+F(u).(17) Si este sistema es invariante bajo la acci´on del grupo de transformaciones con generador infinitesimal (8) obtenemos un sistema de dieciocho ecuaciones determinantes en los infinitesimales ξ, τ, η yφ. La aplicaci´on del m´etodo al sistema (17) conduce al sistema de dieciocho ecuaciones determinantes ξv= 0, τv= 0, ηv= 0, φu= 0, ξu= 0, ξt= 0, ηt= 0, τx= 0, ηxx = 0, ηuu = 0, φu= 0, φt= 0, ξxxx = 0,2ηux −ξxx = 0,2ηux −3ξxx = 0, φv−2ηu+ 3 ξx= 0, φv−2ηu+ 2 τt−ξx= 0, φx+f φv−fuη−f ξx= 0.(18) Del sistema (18) se deduce que (ξv)2+ (τv)2+ (ηv)2= 0, por lo que VSse proyecta en una simetr´ıa de Lie de la ecuaci´on original. 5. Simetr´ıas potenciales no cl´asicas Imponemos que el sistema (17) junto con la condici´on de superficie (6) sean invariantes bajo la acci´on del grupo de transformaciones con generador infinitesimal (8) obtenemos un sistema no lineal de ecuaciones determinantes en los infinitesimales ξ,τ,ηyφ. Para su resoluci´on, distinguimos dos casos: τ6= 0 and τ= 0. Caso τ6= 0: Hacemos τ= 1, sin p´erdida de generalidad, y deducimos que ξ=α(t, u)x+ β(t, u), η=η(t, u, v) y φ=φ(t, u, v) donde α,β,ηyφsatisfacen un sistema no lineal de veintiuna ecuaciones determinantes. La resoluci´on del sistema conduce a que (ξv)2+ (τv)2+ (ηv)2= 0, por lo que VSse proyecta en una simetr´ıa de Lie de la ecuaci´on original. Caso τ= 0: Obtenemos las siguientes soluciones del sistema de ecuaciones determinantes Si F=k, con kconstante, φ= 0 y η=α(t, v)xdonde 2αt= 2kαv−α2αv. 6 Simetr´ıas de un modelo de vibraciones de viga Si F=k, con kconstante, φ= 0 y η=β(t, v)u1 2donde 8βt= 8kβv−β4βv. Si F=u2,φ= 0 y η=α(t, v)udonde 2ααxx −α2 x+ 4α2αx+α4+ 2k= 0.(19) Haciendo el cambio α=v0(x) v(x), la ecuaci´on (19) se transforma en la ecuaci´on 2v0v000 −(v00)2+ 2v2= 0, la cu´al, una vez derivada, se transforma en la ecuaci´on v0000 + 2v= 0, cuya soluci´on es v=c1cosh(kx) + c2cosh(kx) sen(kx) + c3senh(kx) cos(kx) + c4senh(kx) sen(kx), con 2k4−1>0. Observamos que en todos estos casos se verifica que (ξv)2+ (τv)2+ (ηv)26= 0, por lo que son simetr´ıas potenciales no cl´asicas. 6. Conclusiones En este trabajo se ha presentado una clasificaci´on completa de las simetr´ıas, dependiendo de las formas funcionales de f, de un modelo matem´atico que describe las vibraciones de una viga (1). Hemos construido tres sistemas potenciales de la ecuaci´on (1) y hemos comprobado que en todos los casos las simetr´ıas potenciales cl´asicas corresponden a simetr´ıas puntuales. Tambi´en hemos obtenido las simetr´ıas potenciales no cl´asicas de un sistema potencial. En este caso, obtenemos simetr´ıas potenciales de la EDP (1), para flineal. En comparaci´on con [4, 5], encontramos, mediante el m´etodo de las simetr´ıas potenciales no cl´asicas, nuevas simetr´ıas. Agradecimientos Este art´ıculo est´a subvencionado por el Proyecto MTM2006-05031 del Ministerio de Ministerio de Ciencia y Tecnolog´ıa, por el proyecto P06-FQM-01448 de la Junta de Andaluc´ıa y por el Grupo PAI FQM-201 de la Junta de Andaluc´ıa. 7 M.S. Bruz´on, M.L. Gandarias, J.C. Camacho Referencias [1] G.W. Bluman, J.D. Cole, The general similarity solution of the heat equation, J. Math. Mech., 18 (1969), 1025–1042. [2] G.W. Bluman, S. Kumei, On the remarkable sonlinear diffusion equation, J. Math. Phys., 21 (1980), 1019-1023. [3] G.W. Bluman, S. Kumei, Symmetries and Differential Equations, Berlin: Springer, 1989. [4] M.S. Bruz´on, J. Ram´ırez, J.C. Camacho, Modelo de vibraciones de una viga. Reducciones por simetr´ıas, 3ra. 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