Sobre las propuestas de Hashin de fallo de la matriz en compresión

MATERIALES COMPUESTOS 01 SOBRE LAS PROPUESTAS DE HASHIN DE FALLO DE LA MATRIZ EN COMPRESION F. París, J.C. Marín, J. Cañas, Escuela Supe ri or de Ingenieros. Univ. de Sevi ll a, Camino de lo s Descubritnientos. s/n, 41092, Se vi JI a, Spain. e-ma il: [email protected] Palabras Clave: Materiales Compuestos. Criterios de Fallo, Fallo de la mmri::: en compresión. Criterio de Has//Ín. 345 R esumen: Diferentes criterios han sido propuestos para predecir el jallo de los mm eriales compuestos. Ha sllin turo el indudable mérito de introducir la idea de que los criterios de fallo para materiales compuestos deberían estar asociados a los mecanismos de fallo obsermdos. aunque ello no quedara completamente recogido en sus propuestas. En este trabajo, las dos propuestas de Ha sllin sobre fallo de la ma!ri ;;: en compresión son estudiadas en el contexto de laminados unidireccionales. El é'!fa. is se pone en dilucidar la razonabilidad de la presencia de una resistencia júera del plano. la resistencia transversal a cortadura. en la predicción d el fallo de la lámina bajo cwgas cont en idas en el plano. como sucede en la seg un da propuesta de Hashin. Se concluye que in cluso reconociendo que el fallo involucra me canismos fuera del plano. es te efecto puede ser pelfectamente recogido por variah/es asociadas al plano. Se mu es tra finalmente una incoherencia adicional de la dependencia del criterio co n la resistencia a cortadura transversa l. Abstmct.· D{/ferent criterio llave been proposed to predict th e.failure o.fjibrous composite mat erials. I-/ ashin liad the indubiwble merit of introducing the idea that th efailure criterio associated to .fibrous composite 1-naterials ought to be associated 10 tlle observed mechanisms o.f fa ilur e, although it was not e.xactly co 1· ered by his proposals .. In this paper th e two I-lashin proposals onfailure ofthe matrix in compression are swdied in the context of unidirectional composites. The emphasis is put in elucidating the reasonahility o.f the appearance of cm olll o.f p/ane alloll'able. the transversal shear streng tll . in the prediction ofjailure of tll e lwnina und er in plane load s, as happens in tlle second Ha sllin propasa/. lt is concluded that even recogni:::ing that the jailure may in vol ve ol/1 of plane mechanisms. this eflect can he pe¡fectly rejlected by in plan e variables. An additional incoherence of the dependence oftlle criterion 1vith tll e trc msversal shear strength is final/y sfw¡vn. 1.- INT RODUCCIÓN Un g ran número de criterios han sido históricamente propuesto para predecir el fa ll o de materiales compuestos fibrosos, Na has 1• La s primeras propu es ta s a rr ancan de la ap li cación de los crite rio s ap li ca bles a materiales fr ág il es (máxima tensión o má x ima deformación), o de la adopción del cr it erio de plastificación para materiales metálicos anisótropos, Azzi y 346 MATERIALES COMPUESTOS O 1 Tsai2 Hashin y Rotcm3, en el contexto de un estudio a fatiga, propusieron para una lám ina un conjunto de criterios de fallo basados en la evidencia experimental. Hashin 4 propuso algunos años más tarde un conjunto de criterios de fallo tridimensionales que particularizó a un caso bidimensional, apareciendo algunas diferencias con respecto a la anterior propuesta. Ambas propuestas son, para el caso bidimensional, sumarizadas en la sección 2. Aunque el uso de los criterios de tipo envolvente de tensiones que tienen su base en las propuestas con base energética han sido ampliamente recomendada en textos de mater ia les compuest os (Tsai-Hill y Tsai-Wu fundamentalmente), no es menos cierto que también se ha producido una fu erte oposición a su uso. Encabezada fundamentalmente por 1-:iartSmith5, argumentando la fa l ta de conexión de estos c ri terios con los mecanismos reales de fallo de los materiales compuestos. El criterio de Ha sh in de fal lo de la matriz a compresión (expresión (8)), ha recibido en particul ar amplio reconocimiento y es en la actualid ad recomendado en textos de amplia aplicación (por ejemplo Mii-Hdbk6) o códigos (por ejem pl o MSC-DYTRAN\ Adiciona lm ente, se ha vue lto recientemente sobre la idea original de Hashin de que el vector tensión asociado a un plano es el responsable del fallo de la matri z en ese plano, proponiendo modificaciones so bre la propuesta original (por ejemplo Sun et al 8 o Kroll y Hufenbach9 ). Una comparación entre la s predicciones de la s dos propuest as de Hashin para fa ll o de la matriz en compresión ya fue abordada en el cont exto de un estudio más amp li o sobre criterios de fa ll o de materiales compuestos en París 10 así como en Pa rí s et al 1 1• El objetivo de este trabajo es, en el contexto de compuestos unidireccio nal es di scut ir la razonabi li dad de la aparic ión de la resistencia a cortadura transversal, un a resistencia asociada a un a tensión fuera del plano de la lámina, en un criterio que predice el fallo de la lámina ante cargas de compres ión en el plano de la lámina. 2.- CRITERIOS DE HASHIN Existen dos c ri terios en la li teratura asociados al nombre de Hashin que se recogen a continuaci ón. Criterio de f-/ashin-Rotem (1973) Fa ll o de la fibra a tracción ( 0 11 , XT 2 O) o 11 = X ,. (1) Fallo de la fibra a compresión ( 0 11 :S O, Xc 2 O) - oll = Xc (2) Fallo de la matriz a tracción ( o 22 , Y.r , S 2 O) MATERIALES COMPUESTOS O 1 347 (3) Fall o de la matriz a compresión ( o 22 :S O, Y e, S 2 O) (4) Cri terio de f-la shin 2D (1980) Fallo de la fibra a tracción. ( 0 11 , XT, S 2 O) (5) F all o de la fi bra a compresión ( o 11 :S O, Xc 2 O) -o , = Xc (6) Fallo de la matriz a tracción ( o 22 , Y,., S 2 O) (7) Fallo de la matriz a co mp res ión ( cr 22 :S O, Y e, S, S,. 2 O) (8) Donde la dirección 1 está asociada a la dirección de re fu erzo de la fi bra. Adicionalmente a la s resistenci as habituales asociadas a l as tensiones en el plano, en la expresión (8) aparece la re sistencia a cortadura transversal Sr que estaría asociada a la te nsión o 23 . El mecanismo de rotura asociado a esta tensión no in volucra a las fibras por lo que es razonable esperar qu e S,. sea inferior al valor de S, la resistencia a cortadura en el pl ano de la lámin a. 3.- DISCUSION La aparic ión de Sr en el criterio de fallo de la matriz en compresión, puede generar alguna controversia dado que incluso ante cargas coplanarias con l as cargas, la lámina puede sufrir un fa llo que invo lu cra meca ni smos fuera del plano. Para clarificar este punto se puede pen sa r sobre un caso partic ul ar pero muy representa ti vo: una lámina bajo compresión pura 348 MATERIALES COMPUESTOS 01 Fig. 1. Fallo de un l am inado unidireccion al bajo co mp rcsión pura perpendi cu lar a l as fibras. perpendicular a la s fibras, cr 22 <0 y cr 12= 0. Podría argumentarse que bajo est~s condiciones el f al lo de la lámina no aparece en el plano, involucrando entonces un mecamsmo fu era del MATERIALES COMPUESTOS O 1 349 plano donde ST jugar ía un cierto pa pel , quedando así su presencia en la ex presión del criterio justificada. En orden a clarificar esta cues ti ón se h an ll evado a cabo varios en ayo para un co mpuesto un idireccional bajo cargas de compresión pura. Los resultados (l os cspcc ím e ne s rotos) de cuatro ensayos, que se han realizado de acuerdo a ASTM D 34 1 O, son prese nt ados en la fi gura l. D os hech os pueden ser inmediatame nt e observad os de la figura 1: a) el fal lo es bastante repetitivo b) el fal lo claramente in vo lucra un me ca ni smo de rotura fu era del plano. La observación de los especímenes rotos co ndu ci r ía a pe nsar que ha y un plano de una orientación bast an te bien defi ni da do nde el fallo se produce. E. te pla no. de ac uerdo a la figura 2. tendría ten ·ione. nominales no1males (cr) y tangenciales (r) de va lor: r = -cr 22 s ma cosa (9) Fig . 2. Estado ten ion al en el plano de fa tl o supuesto definido por un ángulo a. Este sería un caso donde la interacción cu ad rática, originalme nt e propu es ta por Hashin, entre las ten iones asociadas al plano de t~1 ll o podría se r fúcilme nt e ap li cad a. En o rd en a deter min ar el va lor de a asocia do al c uál el fa ll o aparece, la id ea ser ía entonces m ax imizar la expr es ión ( 1 0). La in c lu s ión de las resistenci as que aparecen en la expresión ( 1 O) requiere alg una ex plicación co mpleme nt a ri a. Con referenc ia al primer término, un a nu eva resistenc ia Y e *, asociada al fallo originado por a. ha s id o en principio incluida. Su con ex ión con Y e será más tarde di sc ut ida. Co n re fere nci a al seg un do térmi no, parece obvio que el va lor admisible de r es el va lor de la re sistenc ia a cortadura transversa 1 S 1. ( 1 O) Deri va nd o la expresión ( 1 O) en o rd en a obtener l os va lores ex tremos de a, se ob ti en e: . {-4 cr ;, , ? a ;, ( , . , ] 0 smacos - . cos· a+ -- cos-a - sma) = Y" S' e r ( ll) 35 0 MATERIAL ES CO MP UEST OS 01 Expresión que es sa ti sfecha cua nd o: a = O ( 1 2a) ( 1 2b) El primer valor obviamente correspo nd e al plano perpendic ul ar a la car ga y el s eg undo al pl ano cu ya 01ien ta ción depende de los va lores de S Te Y e*. Para tener una idea del va lor de a asociado a este segundo caso, apliquemos la expre sió n ( 12b) al material sobre el que se han hecho los ensayos, AS /350 1, en el que Y c= 2S. D ado el momento prese nt e del desarro ll o que se está rea li za ndo tomamos Y c* =Y e pa ra obtener id eas cualitativas. Pu esto que el va lor de Sr es desconocido, realizamos el cál cu lo para difere nt es valores de k (S1=kS), obte ni é nd ose los resultados que aparecen en la tabla l. k 1 0.9 0 .8 0 .7 0.6 0 .5 a 35° 37.64° 39.SO 40.98° 42.16° 43" Tabla J. Valor es de a que producen valores ex tremos del cri te ri o de fa ll o. Es inmediatame nt e destacable el bu en acue rd o entre la te nd enc ia en los va lores de a encontrados y la orientación de los planos de fa ll o que se pu ede observar en los especímen es rotos que aparecen en la figura 1. En cualquier caso, es ne cesa ri o calcular los va lores del criterio para el par de po i bl es v al o re s de a. En el caso o. ig ua l a O el criterio a ap li car se rí a la ec ua ción ( 13a) y en el caso de a distinto de cero el cr it er io sería el reflejado en la ecuación (l 3b). a = O => f(cr )= ( cr " )~ l1 y· e (1 3a) ( 13b) L os valor es del coe fi cie nt e C para di fe ren tc s va lor es de k aparecen en la tabla 2. k 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 MATERIALES COMPUESTOS 01 35 ! 1. 55 1.86 2.32 3.05 4.26 [ 1.33 ~____, _ _¡_______L_____L_______L__Tabla 2. Va lores del coefici en te C. Si endo el va lor de C mayor que la uni d ad para c ua lquier tipo de mate ri al, e ll o significa, de ac uerdo a las expres iOne s ( 13) que el plano o ri e nt ado a , función de ST , co nt rola el fa ll o del mat erial y no el plano a= O, lo c uá l está de acuer do con la ev id encia experimenta l. Sin e mba rgo es ta mbi én cier to que para el caso de co mpr es ión pura ( cr 12 =0), el fallo aparece cuando crn alcanza el va lor Y e-De h ec ho, Y e es definida de esta manera: el valor de cr 22 pa ra el cuál el material falla. Ll egados a es te punto ha y dos crite ri os que p od r ían predecir apropiadamente el fa ll o del caso bajo consideración. cr 12=0. El primero, no asociado al meca ni smo de fa ll o, predeciría el fallo cuando: (14a) El segundo, asociado al mecanis mo de fallo que ocurre en el pl ano in clinado un ánoulo a , predeciría el fa ll o cuando: "' ( 14b) estando el va lor de a defi ni do por la ecuación (12b). Todo es to conduce a co nc lui r que el valor de la re sistencia asociado a cr 22 que aparece en la expresión ( 14a) , comúnme nt e usado en di se ño, no es el va lor r ea l ad rni ible del mater ial en compres ión pe rp endic ul ar a la fibra si: a) se acep ta que la interacción cuadrática entre la s compone nt es d el vector tensión produce el fa llo , y b) si se de sea que la ec uación del criterio que predice el fa ll o esté as oc iada al ve rd adero mecanismo de fa ll o. H ay que remarcar que de acuerdo a la terminolog ía generada, el s ím bolo Y e* in cluido en la expre s ió n 14b represe nt aría el ve rdadero valor de la resistencia de l material aso ci ado a la compresión paralela a las fi bras. El símbolo Y e que aparece en la expresión ( 14a) repre se nt a e nt onces un va lor nominaUaparente de la resistencia asociada a cr 22. Ent onces, aceptando la interacción cu ad rát ic a entre las co mp onentes del vector tensión para pr edec ir el fa ll o, ambas ex presiones ( 14a y b) podrían se r usadas para predecir el fallo si el ap ropiado va lor de las r es istencias tal y como apa recen en la s ex presiones ( 14) son usadas. La ex presión ( 14a) ha s ido típi camente u sa da con un va lor de Y c. que de hecho, te ni e nd o en mente el meca ni smo de fa ll o real, es una función de S T· Es to significa que si en un cierto maten al compues to y debi do a cualquier ra zón ba sa da en su fabricación o en el ca mbi o de 352 MATERlALES COMPUESTOS 01 sus componentes o in terfase, el val or de ST es mejorado, ello implica en paralelo que el valor de Y e resulta tamb ié n mejorado. Lo que se dete rm ina en un ensayo normal de compresión es lo que aquí ha sido denominado Y eLa determinación del verdadero valor de la resistencia asociada a una tensión normal de compresión, Y e*, podría ser realizada por medio de las ecuaciones {14), aceptando una vez más la interacción cuadrática de la s componentes del vector tensión para predecir el fallo. Ll egando a este pun to es claramente incoherente in cluir en un criterio el val or de Y e, el cuál, como se ha mostrado, es una resistencia nominal (función de S T) , y la aparición explici ta de ST, invocando que el fallo puede involucrar a un mecanismo fuera del plano. Este hecho ha quedado probado que se incorpora a la predicción por medio del uso de una resistencia nominal Y eHay que mencionar que todo esto no es particular de los materiales compuestos. En metales, el fallo bajo tracción o compresión s im ple está también asociado a mecanis mo s fu era de l plano, no implicando este hecho la aparición expl íci ta de una resistencia asociada al plano de fa ll o. Hay finalmente una última cuestión que añade má s dudas sobre la propuesta de Hashin de fa ll o de la matriz a compresión y en particular de la aparición explicita de S T· En un criterio de fallo del tipo: f(a, ,, s ;;' ) = 1 donde S; /' 1 representa la resistencia asociada a a;j, la fu nción f sa ti sface que: of - < 0 o s ~ ' 'J (15) ( 1 6) E ll o indica que cuando se incrementa el valor de la resistencia, el valor de f di sm inuye y el estado tensional bajo consideración está más le jo s del fallo. En relación a la ecuación (8), la condición anterior es claramente sa ti sfecha por S. Con referencia a Y e: Cf ii SO a , ' --= ____d. +a , y:- < O ay 2S -- e e T donde f180 representa la parte izquierda de la ecuación (8) y donde a 22 <0 y ST > O. Sin embargo, con relación a Sr: a , (a 21 _ +YJ>O 2S ~ ( 17) ( 18 ) MATERfALES COMPUESTOS 01 353 El resultado de la ecuación ( 18) prueba que incrementando la resistencia a cortadura tr ansversal (un hecho que de acuerdo con la evidencia experimental, figura 1, debería retrasar el fallo), conduce a predecir que el material está más cerca del fallo. 4.- CONCLUSIONES Sobr e la presencia explícita de la resistencia a cortadu ra transversal en el criterio de Hashin de fallo de la matriz en compresión, podría haberse argumentado que ello es razonable debi do al hecho de que en presencia de cargas coplanarias el t~tllo pu ede involucrar meca nismos fuera del plano (ello efectivamente ha sido mostrado sobre el particular e ilustrativo caso de compresión simple). En el razonamiento seguido en el presente estudio ha sido mostrado cómo este mecanismo de fallo fuera del plano puede ser perfectamente tomado en consideración por medio de resi stencias coplanarias. las cuales de hecho son funciones de las resistencias asociadas a ten siones fuera del plano. Esto para el caso bajo consideración indicaría que un incremento en la re sistencia a cortadura transversal de materiales compuestos fibrosos debería implicar, debido al mecanismo de fa ll o fuera del plano, un incremento en la resistencia aparente a compresión. La presencia el e un mecanismo de fallo fuera del plano no requiere pues la pre sencia de resistencia asociada a una tensión fuera del plano. Finalmente, ha sido, en cualquier caso, demostrado que hay una clara incoherencia en la expresión de la propuesta de Hashin que incluye la resistencia a cortadura transversal para pr edecir el fa ll o de la matriz a compresión. In crementar el valor de la resistencia tran sversa l, un hecho que de acuerdo a la evidencia experimental aponada por lo s ensayos mo strados en este estudio debería producir un retraso en la aparición del fallo. conduce a predecir una más pronta aparición del mismo. 5.- AGRA DECIMiENTOS El primer autor agradece la in vitación de K. Jackson y S. Kellas para una estancia en NASA-LARC durante la cuál se generaron las ideas presentadas en este estudio. Lo s tres autores agradecen a Carlos Dávila (NASA -LARC) s us comentarios sobre los re sultados obten idos. 6.- REFERENCIAS l. Nahas, M. N., (1994), "S urvey of failure and post-failure theories of laminated fiberre inforced composites ", J. ofComp. Tech. and Res., 8, 138-153. 2. Azzi, V. D. and Tsai, S. W. , ( 1965). "Anisotropic Strength of Compos it es", Experimen tal Mechanics, S, 283-288. 3. 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