La labor docente del profesor de matemáticas

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no26(2003), 141–145 La labor docente del profesor de matem´aticas A. Aranda Departamento de ´ Algebra. Universidad de Sevilla [email protected] Entre las misiones que la sociedad encomienda a la Universidad ocupa un lugar destacado, junto con la investigaci´on, la formaci´on de los estudiantes, la preparaci´on de los j´ovenes que asumir´an en un futuro inmediato complejas responsabilidades profesionales. Es indudable que una formaci´on de calidad necesita un planteamiento global de la educaci´on, desde las primeras etapas hasta la Universidad. Por lo que respecta a los primeros cursos de la Licenciatura en Matem´aticas, tenemos que prestar atenci´on a la etapa que va desde el Bachillerato a los estudios universitarios y, muy especialmente, a la transici´on entre ambos niveles. En el proceso de ense˜nanza-aprendizaje intervienen una serie de factores que vamos a tratar de ir exponiendo a lo largo de estas notas. A modo de resumen podr´ıamos citar: las ventajas e inconvenientes del modelo axiom´atico-deductivo en la ense˜nanza, la intuici´on y el rigor, el papel de la Historia en el proceso educativo, objetivos, metodolog´ıa, motivaci´on, evaluaci´on, etc. En definitiva, se trata de analizar qu´e se ense˜na, para qu´e se ense˜na y c´omo se ense˜na. El m´etodo axiom´atico-deductivo Como sabemos, el modelo axiom´atico-deductivo consiste en construir una teor´ıa estableciendo un sistema de postulados o axiomas y deduciendo o demostrando a partir de ellos las propiedades o teoremas que constituyen la propia teor´ıa. Las matem´aticas se han venido exponiendo bajo este modelo desde la antig¨uedad griega, siendo los Elementos de Euclides el ejemplo paradigm´atico, aunque su uso en la ense˜nanza ha sido m´as reciente. De hecho, la culminaci´on del proceso se produce a mediados del siglo XX con Bourbaki. Entre las ventajas de la utilizaci´on de este modelo en la ense˜nanza podr´ıamos destacar las siguientes: 141 142 A. Aranda 1. Al presentar la teor´ıa como un edificio perfectamente construido se consigue una mejor visi´on estructural de la misma. 2. Con la presentaci´on estructurada de la teor´ıa se consigue una notable simplificaci´on y econom´ıa de notaciones y s´ımbolos. 3. Optimizaci´on de la relaci´on ¸contenidos expuestos-tiempo empleado”, hecho que se hace casi imprescindible en la explicaci´on de algunos programas. 4. Posibilidad de transmitir la teor´ıa a un mayor n´umero de alumnos, incidiendo as´ı en la problem´atica de la relaci´on num´erica profesor-alumno. Entre los inconvenientes cabe se˜nalar: 1. La diferencia entre la forma en que se genera una teor´ıa, a partir de un problema concreto al que hay que dar soluci´on, y la forma de presentarla, desapareciendo incluso, a veces, el problema que la gener´o, lo que puede provocar falta de motivaci´on en el alumno. 2. La t´ıpica secuencia axioma-definici´on-lema-teorema-corolario puede crear dificultad para distinguir los aspectos esenciales de los accesorios; por ejemplo, poner excesivo ´enfasis en las demostraciones puede hacer creer que la demostraci´on es m´as importante que el propio teorema. 3. Efectos negativos sobre la creatividad del alumno que, al ver la teor´ıa completamente elaborada, puede minusvalorar el papel de la intuici´on en el quehacer matem´atico. Por supuesto, todas estas ventajas e inconvenientes son absolutamente discutibles y s´olo la reflexi´on y la pr´actica, unidas a las circunstancias de cada situaci´on, nos permitir´an elegir el camino adecuado. El rigor y la intuici´on Es bien sabido que el rigor es una herramienta necesaria para el matem´atico, pero es importante no sobrevalorar su importancia y saber en qu´e momento debe hacerse presente. Los procesos matem´aticos, como los procesos cient´ıficos en general, atraviesan dos etapas: en primer lugar hay una fase ”intuitiva”en la que se busca, se imagina, se conjetura sobre cu´al puede ser la soluci´on del problema. En esta etapa se puede actuar sin rigor, es m´as, a veces el rigor puede ser contraproducente. En segundo lugar est´a la fase ”demostrativa”en la que, por m´etodos rigurosos, hay que probar que la soluci´on encontrada es verdaderamente la soluci´on del problema. Aqu´ı es donde el rigor se hace imprescindible. As´ı pues, el rigor hace su aparici´on al final del camino y esta circunstancia debemos tenerla en cuenta en el proceso de ense˜nanza-aprendizaje para no La labor docente del profesor de matem´aticas 143 cargar al alumno con un excesivo rigor desde el principio, sino que, por el contrario, debemos fomentar su creatividad, desarrollando la intuici´on y haci´endole perder el miedo a hacer propuestas que despu´es puedan resultar falsas. La Historia de las Matem´aticas en el proceso educativo Aclaremos, ante todo, que no se trata aqu´ı de establecer una asignatura sobre Historia de las Matem´aticas, que, por otra parte y desde nuestro punto de vista, creemos necesaria en el Plan de Estudios de cualquier Facultad de Matem´aticas, sino m´as bien una propuesta de integrar la historia dentro del sistema l´ogicodeductivo que se usa en la ense˜nanza de las Matem´aticas. Las razones por las que creemos que esta integraci´on puede ser positiva se resumen f´acilmente: 1. Recuperaci´on de los or´ıgenes de las teor´ıas, generando inter´es en conocer los problemas que fueron el motor de las mismas. 2. Intercalando apuntes hist´oricos, an´ecdotas y comentarios de la biograf´ıa de los matem´aticos que desarrollaron la teor´ıa se puede hacer m´as humana y menos ´arida la fr´ıa cadena deductiva. 3. La Historia siempre nos dar´a una visi´on m´as cercana de cu´ales han sido los aspectos m´as importantes de una teor´ıa, y cu´ales son aquellos otros que han resultado despu´es interesantes para la propia Matem´atica y para otras disciplinas. 4. La necesidad de adoptar notaciones y lenguajes matem´aticos precisos encuentra en la Historia cantidad de ejemplos que la justifican y ponen de manifiesto cu´ando ha hecho falta el rigor para resolver problemas fundamentales. Estas razones constituyen tambi´en una gu´ıa para poner en pr´actica un uso de la Historia como herramienta pedag´ogica, pero ha de ser el profesor quien busque en cada momento el hecho hist´orico apropiado para conseguir en sus clases el efecto deseado. Las clases y las tutor´ıas El marco fundamental en el que se desarrolla la labor docente es la clase y la tutor´ıa. Ya hemos hablado de la importancia que tiene un adecuado equilibrio entre rigor e intuici´on y es en la clase donde hay que conseguirlo. En las asignaturas del perfil que estamos tratando se pone especial ´enfasis en la resoluci´on de problemas, y es en las clases pr´acticas donde mejor se puede conducir al alumno por el camino de la intuici´on y de la creaci´on. Para lograrlo creemos que no se debe explicar un problema como si se tratara de la 144 A. Aranda demostraci´on de un teorema, sino que se debe transmitir el proceso que se ha seguido para encontrar la soluci´on: comprensi´on clara del enunciado, problemas an´alogos, c´alculos previos, dibujos, caminos err´oneos, etc. Se deber´an proponer ejercicios ordenados por dificultad y dejar que los alumnos traten de resolverlos. Es conveniente dedicar un tiempo a esta tarea con la presencia del profesor en clase, animando a la consulta en voz alta y a posibles propuestas de soluci´on por parte de compa˜neros. Aunque centremos nuestra atenci´on en la resoluci´on de problemas debemos hacer ver a los alumnos que los problemas no se resuelven si no se conocen los resultados te´oricos que se han obtenido en las clases de teor´ıa. En ´estas es importante comenzar siempre con una introducci´on al tema que se va a explicar, alg´un apunte hist´orico, conocimientos previos, relaci´on con lo visto anteriormente, etc. En el orden pr´actico, y dado que nuestra herramienta de trabajo es la pizarra, es conveniente dividirla de modo que pueda escribirse, por un lado, las definiciones, teoremas y dem´as proposiciones que constituyen la teor´ıa, aspecto formal de la explicaci´on, y, por otro, las pruebas, los intentos de demostraci´on, dibujos, b´usqueda de soluciones, etc. De esta manera se transmite al alumno la dualidad intuici´on-rigor de la que hemos hablado ampliamente. Si bien la pizarra es nuestra herramienta de trabajo habitual, los medios audiovisuales e inform´aticos pueden jugar un importante papel en la clase. El uso de programas como Derive o Maple pueden facilitar el trabajo en ´ Algebra, y programas de Geometr´ıa din´amica, como Cabri, entre otros, permiten apuntar soluciones a problemas geom´etricos, que luego pueden ser objeto de an´alisis m´as profundo. Por supuesto, estos programas se hacen necesarios en la formaci´on de los futuros profesores de Ense˜nanza Secundaria. Por lo que respecta a las tutor´ıas, creemos que deben ser contempladas bajo dos puntos de vista. De un lado, puede entenderse como la acci´on orientadora de un profesor sobre un reducido n´umero de alumnos, para hacer un seguimiento de su rendimiento a lo largo del curso, recoger sugerencias, detectar problemas, etc. En este sentido ha habido en los cursos 2001-02 y 2002-03 una experiencia con alumnos de Primer Curso de la Facultad, en la que ha participado el autor, y que ha sido valorada positivamente, si bien se considera insuficiente con vistas al futuro. Por otro lado, entendemos la tutor´ıa como lugar de encuentro del alumno con el profesor para resolver dudas de teor´ıa, orientar en la resoluci´on de problemas, seleccionar bibliograf´ıa, iniciar y dirigir trabajos, etc. Siendo esta la forma de tutor´ıa que habitualmente se ofrece a los alumnos, debemos potenciarla y fomentar en ellos la costumbre de consultar desde el principio de curso y no s´olo cuando la cercan´ıa de los ex´amenes se lo exige. La labor docente del profesor de matem´aticas 145 La evaluaci´on La evaluaci´on es la continuaci´on natural del proceso de ense˜nanza-aprendizaje y no debemos entenderla como un tr´amite acad´emico o administrativo, sino como una componente m´as unida a la programaci´on y a la metodolog´ıa. En efecto, podemos distinguir dos aspectos de la evaluaci´on que, aunque diferentes, se complementan perfectamente. Por un lado, la evaluaci´on de los conocimientos adquiridos por los alumnos nos permite hacer una valoraci´on y emitir una calificaci´on. Este objetivo se consigue tradicionalmente con pruebas y ex´amenes, pero creemos que, de alguna manera, hay que tender a que el peso de la nota final de un alumno no recaiga exclusivamente en el examen. Este factor negativo se agrava a´un m´as cuando las asignaturas son cuatrimestrales y, sobre todo, en los primeros cursos de la Licenciatura. Por eso, se estudian f´ormulas que nos permitan diversificar la informaci´on sobre cada alumno, como pruebas intermedias, exposici´on de problemas en clase, presentaci´on de trabajos, labor tutorial, etc. El segundo aspecto de la evaluaci´on nos afecta a nosotros como docentes, ya que la informaci´on que se obtiene de ella nos puede ayudar a valorar nuestro trabajo y a realizar las oportunas modificaciones y correcciones metodol´ogicas. Conclusi´on Creemos que en estas notas se apuntan, quiz´as demasiado esquem´aticamente, algunas pautas a seguir para realizar una labor docente de calidad, acerc´andonos al alumno, haci´endole part´ıcipe de la belleza que encierran las Matem´aticas, ayud´andole en sus primeros pasos universitarios, preparar´andolo para afrontar estudios superiores, etc., etc.