Multiplicidad de soluciones estacionarias para un modelo climático con una condición de contorno difusiva no lineal

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Multiplicidad de soluciones estacionarias para un modelo clim´atico con una condici´on de contorno difusiva no lineal. J.I D´ ıaz1, L. Tello2 1Dpto. de Matem´atica Aplicada, F. Matem´aticas, Universidad Complutense de Madrid, Plaza de las Ciencias 3, 28040 Madrid. E-mail: [email protected]. 2Dpto. de Matem´atica Aplicada, ETS Arquitectura, Universidad Polit´ecnica de Madrid, Av. Juan de Herrera 4, 28040 Madrid. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Modelos atm´osfera - o´eano, condiciones de contorno difusivas, p-Laplaciano, sub y supersoluciones, principio de comparaci´on. Resumen En este trabajo se estudian las soluciones estacionarias de un modelo clim´atico bidimensional (latitud - profundidad), del tipo del propuesto por R.G. Watts y R. Morantine en 1990 que corresponde al acoplamiento entre la temperatura superficial promediada y la temperatura interior de un oc´eano profundo. 1. Introducci´on En este trabajo estudiamos la multiplicidad o unicidad de estados estacionarios para un modelo clim´atico de tipo de balance de energ´ıa que incorpora expl´ıcitamente el acoplamiento entre un oc´eano profundo y la superficie atmosf´erica promediada (en espesor) propuesto inicialmente en Watts y Morantine [20]. El modelo considerado describe la evoluci´on de la temperatura en el interior de un oc´eano “global” de profundidad Has´ı como en su superficie que se supone coincidente con la superficie resultante al promediar en altura la capa atmosf´erica colindante.Motivados por el trabajo de Stone [19], nuestro modelo incorpora un operador de difusi´on superficial de tipo p-Laplaciano. Suponiendo temperatura constante sobre cada paralelo, se toman como variables espaciales (x, z),siendo xel seno de la latitud y −zla profundidad. As´ı, el dominio espacial se denota por Ω = (−1,1) ×(−H, 0) y su contorno, ΓH∪Γ0∪Γ1,siendo ΓH={(x, z)∈Ω : z=−H}, Γ0={(x, z)∈Ω : z= 0}, Γ1={(x, z)∈Ω : x= 1 ´o x= −1}.Urepresenta la temperatura en el interior del oc´eano y viene dada por la ecuaci´on: Ut−(KH R2(1 −x2)Ux)x−KVUzz +wUz= 0 (0, T)×Ω, 1 J.I. D´ıaz, L. Tello donde KVyKHson los coeficientes de difusi´on vertical y horizontal, respectivamente. wes la velocidad vertical y R, el radio de la Tierra. La condici´on de contorno en z= 0 proviene del balance de energ´ıa: DUt−DKH0 R2((1 −x2)p 2|Ux|p−2Ux)x+G(U) + KV ∂U ∂n +wxUx∈QS(x)β(U) +f donde G(U)−fes la energ´ıa emitida por enfriamiento de la superficie, Des el espesor de la capa mixta y KH0la difusividad horizontal en la capa mixta. Las constantes ρyc representan la densidad y el calor espec´ıfico del agua, respectivamente. El efecto feedback del coalbedo (β) aparece en la condici´on de contorno; βdepende de la temperatura. S(x) es la funci´on de insolaci´on y Qla constante solar (un par´ametro significativo en este modelo). Resultados sobre las soluciones de evoluci´on se encuentran en [9] y [11]. En este trabajo completamos nuestros resultados previos sobre tal problema mostrando que el modelo es muy sensible frente a peque˜nas variaciones del par´ametro solar, Q, que aparece involucrado en la condici´on de contorno difusiva modelizando la amplitud de un t´ermino fuente que tiene cuenta del coalbedo. Mostramos que puede aparecer multiplicidad de soluciones estacionarias y analizamos la variaci´on del n´umero de soluciones ante variaciones de Q. 2. Soluciones estacionarias En este trabajo estudiamos el n´umero de soluciones del siguiente problema: (PQ)                                            −KH R2 ∂ ∂x((1 −x2)∂U ∂x )−KV ∂2U ∂z2+w∂U ∂z = 0 Ω, wx∂U ∂x +KV ∂U ∂z = 0 ΓH −DKH0 R2 ∂ ∂x µ(1 −x2)p 2|∂U ∂x |p−2∂U ∂x ¶+G(U) + KV ∂U ∂n +wx∂U ∂x ∈1 ρcQS(x)β(x, U) + f(x) Γ0 (1 −x2)p 2|∂U ∂x |p−2∂U ∂x = 0 Γ1, bajo las siguientes hip´otesis estructurales: (HS)S: Ω →IR,S∈L∞(−1,1), S1≥S(x)≥S0>0,para ciertas constantes S1> S0. (HG)G:IR →IR es continua, estrictamente creciente tal que G(0) = 0 y l´ım|s|→∞ |G(s)|= +∞. (Hf)f∈L∞(Ω) y existe Cf>0 tal que −kfk∞≤f(x)≤ −Cfc.p.t. x∈Ω. 2 Multiplicidad de soluciones estacionarias (Hβ)βes un grafo maximal mon´otono de IR2tal que existen dos n´umeros reales 0 < m < My² > 0 verificando β(r) = {m}para todo r∈(−∞,−10 −²) y β(r) = {M} para todo r∈(−10 + ², +∞). (HCf)G(−10 −²) + Cf>0 y G(−10 + ²) + kfk∞ G(−10 −²) + Cf ≤S0M S1m. (Hw)w∈C1(Ω). (HK)p≥2 y las constantes KH,KV,KH,KH0,D,R,ρ,cyQson positivas. Definimos, en primer lugar, los espacios funcionales: V(Ω) = {U∈L2(Ω) : (1 −x2)1 2∂U ∂x ∈L2(Ω),∂U ∂z ∈L2(Ω)}, Vp(Γ0) = {u∈L2(Γ0) : (1 −x2)1 2∂u ∂x ∈Lp(Γ0)}. Definici´on 1 Diremos que un par (U, u)∈(V(Ω) ×Vp(Γ0)) ∩(L∞(Ω) ×L∞(Γ0)) es una soluci´on d´ebil acotada del problema estacionario si U|Γ0=uy se verifica: ZΩ KH R2(1 −x2)∂U ∂x ∂ψ ∂x dA +ZΩ Kv ∂U ∂z ∂ψ ∂z dA +ZΩ w∂U ∂z ψdAdt −Z1 −1 wx∂U ∂x (x, −H)ψ(x, −H)dx −Z1 −1 Kv ∂U ∂z (x, 0)ψ(x, 0)dx = 0, Z1 −1 DKH0 R2(1 −x2)p 2¯¯¯¯ ∂u ∂x¯¯¯¯ p 2∂u ∂x ∂ζ ∂x+ +Z1 −1 Kv ∂u ∂z (x, 0)ζdx +Z1 −1 wx∂u ∂xζdx +Z1 −1 G(u)ζdx =Z1 −1 1 ρcQS(x)hζdx para alg´un h∈L∞(Γ0),h∈β(·, u)y∀(ψ, ζ)funciones test. El resultado principal de este trabajo se recoge en el siguiente: Teorema 1 Bajo las hip´otesis (HS),(HG),(Hf),(Hw),(HK)y(Hβ)se tiene, i) para todo Q > 0existe una soluci´on minimal (U, u)(resp. soluci´on maximal (U, u)) del problema (PQ). Adem´as, si se tiene (HCf) entonces existen Q1< Q2< Q3< Q4tales que ii) si 0< Q < Q1entonces (PQ) tiene soluci´on ´unica, iii) si Q2< Q < Q3entonces (PQ) tiene al menos tres soluciones, 3 J.I. D´ıaz, L. Tello iv) si Q4< Q entonces (PQ) tiene soluci´on ´unica, siendo Q1=(G(−10 −²) + Cf)ρc S1M, Q2=(G(−10 + ²) + kfk∞)ρc S0M, Q3=(G(−10 −²) + Cf)ρc S1m, Q4=(G(−10 + ²) + kfk∞)ρc S0m. Definici´on 2 Se define el operador A:D(A)→L2(Ω) ×L2(Γ0),A(U, u) := (AU, Bu) sobre el dominio, D(A) = {(U, u)∈L2(Ω) ×L2(Γ0) : AU ∈L2(Ω), Bu ∈L2(Γ0), U|Γ0=u}, siendo AU =−KH R2 ∂ ∂x((1 −x2)∂U ∂x )−KV ∂2U ∂z2+w∂U ∂z y Bu =−DKH0 R2 ∂ ∂x µ(1 −x2)p 2|∂U ∂x |p−2∂U ∂x ¶+KV ∂U ∂n +wx∂U ∂x +G(U). Obs´ervese que podemos reescribir el problema como el sistema de ecuaciones en derivadas parciales:            AU = 0 Ω Bu ∈1 ρc QS(x)β(u) + fΓ0 U|Γ0=u wxUx+KVUz= 0 ΓH (1 −x2)p 2|Ux|p−2Ux= 0 Γ1. (1) Los siguientes lemas son fundamentales en la demostraci´on del Teorema 1: Lema 1 ([9]) A+ωI es T-acretivo en L2(Ω) ×L2(Γ0),donde ω > 1 2.¤ En consecuencia, tenemos un principio de comparaci´on para el sistema: (PF,f )            ωU +AU =Fen L2(Ω) ωu +Bu =fen L2(Γ0) U|Γ0=u wx∂U ∂x +KV∂U ∂z = 0 ΓH (1 −x2)p 2|∂U ∂x |p−2∂U ∂x = 0 Γ1. Si F1≤F2yf1≤f2entonces las soluciones de (PF1,f1)y(PF2,f2) satisfacen U1≤U2, u1≤u2. Adem´as, tenemos Lema 2 ([9]) R(A+λI) = L2(Ω) ×L2(Γ0)para λ > 1 2.¤ 4 Multiplicidad de soluciones estacionarias Demostraci´on del Teorema 1. (i) La existencia de soluci´on maximal y soluci´on minimal es consecuencia del principio de comparaci´on para el sistema auxiliar: ½ωU +AU =H, ωu +Bu =h. (2) Adem´as, si H1≤H2yh1≤h2entonces U1≤U2yu1≤u2. Es f´acil ver que existen funciones constantes (V , v)y(U, u) que verifican ½ωV +AV =ωV Ω ωv +Bv =ωv +1 ρc QS0m− kfk∞≤ωv +1 ρc QS(x)β(v) + f, ½ωU +AU =ωU Ω ωu +Bu =ωu +1 ρc QS1M−Cf≥ωu +1 ρc QS(x)β(u) + f. Definimos la sucesi´on {(Vn, vn)}como (Pn)              ωV n+AV n=ωV n−1 ωvn+Bvn=ωvn−1+QS(x)β(vn−1) + f Vn|Γ0=vn wx∂V n ∂x +KV∂V n ∂z = 0 ΓH (1 −x2)p 2|∂V n ∂x |p−2∂V n ∂x = 0 Γ1, y (V0, v0) := (V , v). Por el principio de comparaci´on aplicado al problema auxiliar (2), las sucesiones {Vn}y{vn}son mon´otonas. Estimaciones a priori uniformes de {(Vn, vn)}, nos permiten pasar al l´ımite en la formulaci´on d´ebil y obtenemos (Vn, vn)→(V∗, v∗), donde el l´ımite (V∗, v∗) es una soluci´on de (PQ) y cualquier soluci´on (W, w) verifica V∗≤W yv∗≤w, es decir, (V∗, v∗) es una soluci´on minimal. An´alogamente, obtenemos la soluci´on maximal (U∗, u∗). (ii) Si Q < Q1entonces V≤U≤ −10 −². As´ı, cada soluci´on (U, u) de (PQ) verifica u < −10 −²y es soluci´on del problema (Pm Q)              AU = 0 Ω Bu =1 ρc QS(x)m+fΓ0 U|Γ0=u wx∂U ∂x +KV∂U ∂z = 0 ΓH (1 −x2)p 2|∂U ∂x |p−2∂U ∂x = 0 Γ1, que tiene soluci´on ´unica. Para probarlo, suponemos que existen dos soluciones, (U1, u1) y (U2, u2) y tomamos la diferencia U1−U2com funci´on test en la formulaci´on d´ebil. El Lema de Gronwall nos permite concluir la unicidad. (iii) Si Q4< Q entonces −10+²≤V≤U. As´ı, cada soluci´on (U, u) verifica −10+²≤u yβ(u) = M. 5 J.I. D´ıaz, L. Tello (PM Q)              AU = 0 Ω Bu =1 ρc QS(x)M+fΓ0 U|Γ0=u wx∂U ∂x +KV∂U ∂z = 0 ΓH (1 −x2)p 2|∂U ∂x |p−2∂U ∂x = 0 Γ1. como en (ii), este problema tiene soluci´on ´unica. (iv) La demostraci´on de la multiplicidad de soluciones para 0 < Q2< Q < Q3 est´a basada en D´ıaz - Hern´andez - Tello [8], donde se prob´o la existencia de al menos tres soluciones para el problema −∆pu+G(u)∈QS(x)β(u) + fen M, siendo Mel caso general de una variedad Riemanniana bidimensional compacta sin borde. Hemos dividido la demostraci´on en tres etapas. Etapa 1.Construcci´on de sub y supersoluciones. Si Q2< Q < Q3entonces, U1:= G−1(1 ρc QS1M−Cf) es una supersoluci´on de (PM Q) V1:= G−1(1 ρc QS0M− kfk∞) es una subsoluci´on de (PM Q) U2:= G−1(1 ρc QS1m−Cf) es una supersoluci´on de (Pm Q) V2:= G−1(1 ρc QS0m− kfk∞) es una subsoluci´on de (Pm Q). Adem´as, V2< U2<−10 −² < −10 + ² < V 1< U1. Entonces, existen dos soluciones (U1, u1) y (U2, u2) de (PQ) tales que u1yu2no cruzan el nivel -10. Para encontrar la tercera soluci´on usamos un resultado de Amann [1]. Este resultado se aplica al caso en el que βes una funci´on Lipschitz. En la siguiente etapa, aproximaremos el grafo βpor funciones Lipschitz. Etapa 2.El problema aproximado. Definimos una nueva familia de problemas (PQ,λ)   AU = 0 Ω Bu =QS(x)βλ(u) + f(x) Γ0 B.C. ΓH∪Γ1 donde βλes una funci´on Lipschitz βλ=1 λ(I−(I−λβ)−1), λ > 0 (la aproximaci´on Yosida de β). Como βverifica (Hβ),tenemos que βλes acotada y no decreciente ∀λ > 0, βλ(s) = β(s) para todo s6∈ [−10 −², −10 + ²+λM],∀λ > 0, βλ(s)→β(s) en el sentido de los grafos maximales mon´otonos cuando λ→0 (v´ease Brezis [4]). En el caso en el que βes una funci´on Lipschitz, tomamos βλ=β. Ahora, aplicando el argumento utilizado en la etapa 1 al problema (PQ,λ), tenemos que existe λ0tal que V2< U2<−10 −² < −10 + ²+λ0M < V 1< U1. Obtenemos dos familias de soluciones de {(PQ,λ)}tales que uλ 1yuλ 2no cruzan el nivel -10. la tercera familia de soluciones se obtiene como consecuencia del siguiente resultado. 6 Multiplicidad de soluciones estacionarias Lema 3 (Amann [1]) Sea Xun retracto de u espacio de Banach Ey sea F:X→Xuna aplicaci´on compacta. Supongamos que X1yX2son retractos disjuntos de X, y sean Yk, k= 1,2abiertos de Xtales que Yk⊂Xk. Supongamos adem´as que F(Xk)⊂Xky que F no tiene puntos fijos en Xk−Yk,k= 1,2. Entonces Ftiene al menos tres puntos fijos distintos x,x1,x2con xk∈Xkyx∈X−(X1∪X2). Toda soluci´on udel problema (Pλ Q) es un punto fijo de F:L∞(Γ0)→L∞(Γ0) definida por F(u) = P2(A−1(0,1 ρcQS(·)βλ(u) + f∞(·))). Aes el operador definido en 2 y P2la proyecci´on sobre la segunda componente. Sea E=L∞(Γ0), espacio de Banach ordenado con respecto al orden natural dado por el cono positivo, L∞ +(Γ0) = {v∈L∞(Γ0) : v(x)≥0 a.e. x∈Γ0}, y que tiene interior no vac´ıo. Sean X= [V2−δ , U1+δ], X1= [V1−δ , U1+δ] and X2= [V2−δ , U2+δ] where δ > λ0Mis taken such that V1>−10 + ²+δ, U2>−10 −²−δ. As´ı, existe un abierto Ykde L∞(Γ0) conteniendo uλ kpara k= 1,2 tal que Yk⊂Xk. Los conjuntos X,X1yX2son retractos de L∞(Γ0) (resp. X), por ser subconjuntos no vacios cerrados y convexos de L∞(Γ0) (resp. X). Moreover, F(X)⊂XyF(Xk)⊂Xk. Finalmente, por las propiedades de βλy la inclusi´on compacta Vp(Γ0)⊂L∞(Γ0) para p≥2, se llega a que F:X→Xes una aplicaci´on compacta. As´ı, por el Lema 3 concluimos que Ftiene al menos tres puntos fijos, o equivalentemente, (PQ,λ) tiene al menos tres soluciones: uλ 1∈X1,uλ 2∈X2yuλ 3∈X−(X1∪X2). Etapa 3. La demostraci´on termina probando la convergencia de una subsucesi´on de {uλ 3}au3tal que (U3, u3) es soluci´on de (PQ). Para obtener este l´ımite utilizamos un resultado relativo a grafos maximales mon´otonos ([5]) que garantiza que el l´ımite de βλ(uλ 3) est´a en el grafo β(u3). Finalmente, la convergencia en L∞(Γ0) nos permite mostrar que u3es distinta de u1yu2. En particular, u3atraviesa el nivel −10. Observaci´on 1 En el trabajo [10] se prueba que en ciertos modelos atmosf´ericos de una capa existe un rango de Qpara el que existen infinitos estados estacionarios. En dicho problema aparece tambi´en el operador p-Laplaciano y un grafo βde tipo Heaviside. Este resultado nos sugiere que el problema estudiado podr´ıa poseer m´as de tres soluciones para ciertos valores de la constante solar Q. Agradecimientos Este trabajo ha sido parcialmente financiado por los proyectos MTM2005-03463 y CCG06-UCM/ESP-1110 de la DGUIC de la CAM y la UCM. 7 J.I. D´ıaz, L. Tello Referencias [1] H. Amann, Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces, SIAM Review, 18, No. 4 (1976) 620-709. [2] D. Arcoya, J.I. D´ıaz, L. Tello, S-shaped bifurcation branch in a quasilinear multivalued model arising in Climatology, Journal of Differential Equations, 150 (1998) 215-225. [3] W.H. Berger, S. Burker, E. Vincent, Glacial-Holocene transition: Climate Pulsations and Sporadic Shutdown of NADW production, in “Abrupt Climatic Change - Evidence and Implications”, (eds. W.H. Berger, L.D. Labeyrie), Reidel Publishing Co. Dordrecht Holland (1987). [4] H. Brezis, Operateurs maximaux monotones et semigroupes de contractions dans les espaces de Hilbert. North Holland, Amsterdam (1973). [5] H. Brezis, Monotonicity methods in Hilbert spaces and some applications to nonlinear partial differential equations, in “Contributions to Nonlinear Functional Analysis”, (Zarantonello, E. Ed.), Acaddemic Press New York (1971) 101-156. [6] M.I. Budyko, The effects of solar radiation variations on the climate of the Earth, Tellus 21 (1969) 611-619. [7] J.I. D´ıaz, Mathematical analysis of some diffusive energy balance climate models, in the book “Mathematics, Climate and Environment”, (J.I. D´ıaz and J.L. Lions, eds.) Masson, Paris, (1993) 28-56. [8] J.I. D´ıaz, J. Hern´andez, L. Tello, On the multiplicity of equilibrium solutions to a nonlinear diffusion equation on a manifold arising in Climatology, J. Math. An. Appl. 216 (1997) 593-613. [9] J.I. D´ıaz, L. Tello, Sobre un modelo climatico de balance de energia superficial acoplado con un oceano profundo, Actas del XVII CEDYA/ VI CMA, (2001). [10] J.I. D´ıaz, L. Tello, Infinitely many stationary solutions for a simple climate model via a shooting method, Math. Meth. Appl. Sci. 25 (2002) 327-334. [11] J.I. D´ıaz, L.Tello, On a parabolic problem with diffusion on the boundary arising in Climatology, Internacional Conference on Differential Equations. Ed. World Scientific, New Jersey (2005) 10561058. [12] P.G. Drazin, D.H. Griffel, On the branching structure of diffusive climatological models, J. Atmos. Sci. 34 (1977) 1969-1706. [13] M. Ghil, S. Childress, Topics in Geophysical Fluid Dynamics: Atmospheric Dynamics Dynamo Theory and Climate Dynamics. Springer Verlag. Applied Mathematical Sciences. 1987. [14] G. Hetzer, The structure of the principal component for semilinear diffusion equations from energy balance climate models, Houston Journal of Math. 16 (1990) 203-216. [15] G. Hetzer, The number of stationary solutions for a one-dimensional Budyko-type climate model, Nonlinear Analysis 2 (2001) 259-272. [16] A. Kufner Weighted Sobolev Spaces, J. Wiley & sons, (1985). [17] G.R. North, Multiple solutions in energy balance climate models, Paleogeography, Paleoclimatology, Paleoecology 82, Elsevier Science Publishers B.V. Amsterdam, 225-235 (1990). [18] W.D. Sellers, A global climatic model based on the energy balance of the earth-atmosphere system, J. Appl. Meteorol. 8 (1969) 392-400. [19] P.H. Stone, A simplified radiative-dynamical model for the static stability of rotating atmospheres, J. Atmos. Sci. (3) 29 (1972) 405–418. [20] R.G. Watts, M. Morantine, Rapid climatic change and the deep ocean, Climatic Change 16 (1990), 83–97. 8