Soluciones aproximadas al problema de distribución a dos niveles

Q lea iló- V. 1 O, n.o 3 (se emb e 1 986) pp. 181-1 91 SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN A DOS NIVELES LUIS ONIEVA, JUAN LARRAÑETA UNIVERSIDAD DE SEVILLA La de e minación de los lo es de ap o isionamien o de un sis ema de dis ibución de dos ni- eles o mado po una ins alación p incipal que su e a un conjun o de de allis as suje os a demanda ex e na es un p oblema complejo aún en el supues o de demanda cons an e y de e - minis a. El empleo de poli icas de ciclo simple en que cada ez que o dena el almacén p in cipal lo hacen odos los de allis as, eno ándose el es ado del sis ema, eune cie as p o~ piedades que la hacen adecuada pa a muchos sis emas mul ini el. En es e abajo se p opone un mé odo i e a i~o de ob ención de noli icas de ciclo simnle oue sa is acen o iedades si mul áneas de o im~lidad. asi como una eala heu is ica de un solo aso a a ob ene buenas soluciones. Keywo ds: INVENTORY, DETERMINISTIC MODELS MULTI-ECHELON, ORDERING POLICES. l. INTRODUCCION. El supues o de in en a ios de dis ibución a dos ni eles que se analiza es el análogo al del lo e económico con demanda de e minis a, incluyendo las ligadu as en e un almacén -- p incipal y n-1 de allis as como se mues a en la igu a l. La es uc u a de los cos es ele an es iene dada po un cos e de lanzamien o si en el que se incu e cada ez que se solici a un lo e po la unidad i (de allis a o almacén p inci- pal) y un cos e de man enimien o de sis ema (Cla k y Sca /1/) hi impu ado al ni el me- dio de s ock de sis ema. Los de allis as es- án suje os a una demanda ex e na Almacén P incipal R n n-1 E i=l R. l Ri' i=1,2, ... ,n-1 de e minis a y cons an e en el iempo. El almacén p incipal n ha de ali- men a las necesidades de los de allis as, - espondiendo a una demanda inducida Figu a 1: Sis ema de In en a ios de Dis i- bución de Dos Ni eles. El p oblema que se plan ea es el de de e mi- na el lo e económico Qi (1=1,2, ... ,n) a em- plea po cada una de las ins alaciones bajo una polí ica de ciclo simple, es deci , cada ez que el almacén p incipal solici a un lo e, ambién lo solici an odos y cada uno de los de allis as. Así, se ha de sa is ace la e- Luis Onie a - Escuela Supe io de Ingenie os Indus iales - Dep o. O ganización de la P oducción - A . Reina Me cedes, s/n. 41012 Se illa A icle ebu el maig de 1986. 181 Qi en ló- V. 1 O, n.o 3 (se emb e 1 986) laci6n: i=l,2, ••• ,n-l pa a cie os alo es en e os de ki. El modelo a esol e es: min. n (siRi/Qi + hiQi/2) i=l i=l,2, ... ,n-l en e o i=l, .•• ,n-1 (1) Llamando T = Qn/Rn y Ti = Qi/Ri' obsé ese que cada in e alo T se ei e a pe iodica- men e el es ado del sis ema. T es la du a- ci6n del lo e Qn que emplea el almacén p i~ cipal suje o a la demanda inducida Rn. En- es e in e alo el de allis a i ecibe ki 1~ es de amaño Qi con un in e alo Ti en e lo es. Así, T es el in e alo base y Ti los de los de allis as, que han de se di iso-- es del base, como apa ece en el ejemplo de la igu a 2. T 15 I------IT 2 1.875, k2 = 8 3 Figu a 2: Ejemplo de un sis ema o mado po cinco ins alaciones. Una soluci6n al p oblema (1) iene de e mi- nada po (k 1 ,k 2, ... ,kn_ 1, kn,Qn) donde Qn es el lo e empleado po el almacén p incipal y ki la mul iplicidad asociada al de allis a i, indicando el núme o de eces que solici a en e dos ap o isionamien os sucesi os del almacén p incipal. N6 ese que kn = 1 po de- inici6n. Es e p oblema ue inicialmen e a ado po Schwa z /6/, en su esis doc o al, esol ié~ dolo pa a el caso de un solo de allis a. La ob enci6n de la soluci6n 6p ima al modelo, - median e explo aci6n di igida, se con iene - en G a es y Schwa z /2/. Recien emen e Roun- dy /5/ ha p esen ado esul ados muy po en es, ex endiendo el conjun o de polí icas consid~ adas más allá de las de ciclo simple. Pa a sis emas complejos de p oducci6n-in en a io, Maxwell y Mucks ad /3/ han esuel o el mo- delo análogo al aquí es udiado median e el empleo de g a os y educiendo la explo aci6n de las mul iplicidades que in e ienen a las po encias de 2. 2. ANALISIS DEL MODELO. Llamando al núme o medio de eces en que el sis ema comple o se enue a en el ho izon e al que las demandas es án e e idas: el modelo (1) puede eesc ibi se como: min. s.a. en e o i=l,2, ••. ,n-l k 1 n ( 2) Denominando cos es o ales ele an es, CTR ( , k i , s ) : i ¿ i a los cos es globales medios del sis ema em pleando una ecuencia y unas mul iplici- dades ki pa a cada de allis a, que e leja la ecuencia i = ki de cada uno de ellos, se ob iene una unci6n con exa en y uní- modal pa a cada ki. Man eniendo cons an e, se ob ienen las -- condiciones locales de op imalidad, exponie~ do: > CTR( ,ki's'kj+l) 182 Q lea ió- V. 1 O, n.o 3 (se emb e 1986) pa a cada j=l,2, ... ,n-1, que exp esan como los cos es o ales ele an es se deg adan - al a ia los alo es óp imos de las mul i- plicidades ki. Es as elaciones son equi a- len es pa a cada j, a: k.(k.-1) < J J - h. R. J J 2 sj ( 3) Pa a alo es pa icula es de ki, la ecue~ cia F(ki 1 s) que da luga al cos e mínimo es: F (k. 1 ) = ( (E h. R. /k. ) /2 E s. k. ] ~ l S . l l l . l l (4) l l con un cos e o al ele an e: CTR ( F (k i 1 s) , k i 1 s) = ( 2 ( E h iR i /k i) • E ( 5) que sólo depende de los alo es de las mul- iplicidades ki. Dado el ca ác e unimodal de la exp esión del adicando de (5) pa a cada ki, que sie~ p e es posi i o, las condiciones simul áneas de op imalidad se pueden ob ene imponiendo pa a cada j=1,2, ... ,n-1 y análogamen e inc emen ando kj a kj+l. Es as elaciones conducen a: I: hiRi/ki k~ - k. i;ij J J E hiRi/ki i h. R. E s.k. i l l .5. J J .5. s. E hiRi/ki J i E hiRi/ki .5. k~ + k . i;ij J J E hiRi/ki i Si se ep esen a po FE. a la ecuencia J ( 6) ( 7) económica de la ins alación i, si ac ua a independien emen e FE. = (h.R./2 sJ.)~ J J J y FA. al del conjun o del sis ema en el su- J pues o de que el cos e de man enimien o de la demanda anual del a ículo ue a nulo FA. J ( ( E dj h.R./k. )/ 2 E s.k. ]~ l l l . l 1 l la elación (7) es equi alen e a FE. FA. .5_(-+) .5. kj + kj(-+) (8) Además, es inmedia o de (3) que las mul ipl~ cidades de las ins alaciones ienen que es a lexicog á icamen e o denadas con las ecuen- cias económicas de las mismas: implica en el óp imo. 3. ALGORITMO DE RESOLUCION. El algo i mo de ob ención de óp imos locales que sa is acen las condiciones simul áneas - de op imalidad, sob e el alo de la ecue~ cia y el de las mul iplicidades, se ecoge en el diag ama de lujo de la igu a 3. 4, DERIVACION DE LA REGLA HEURISTICA. Conside ando la elajación con ínua de las - es icciones de in eg idad del modelo (2) esul a: min. s.a. k n 1 n E hiRi/ki i=l i=2, .•. ,n-l ( 9) Las condiciones necesa ias de op imalidad en (9) implican la exis encia de mul iplicado-- es i i=1,2, ... ,n con i i=1,2, ... ,n-1 ales que 1 h.R. -l l s. ---u- - A. l k. l 1 n n O pa a o i=l,2, ..• ,n (lO) l E k.s. E hiRi/ki i=l l 1 -u- i=l ( 11) m .¡,. 2 = i 2 No 1 Si No Tes de inc emen ó de Tes de disminución las k(j) pos e io es de las k(j) an e io es a "i". a 11 i". '--------o· 1 No Si 2 ___ __ ~ Figu a 3. Diag ama de Flujo del Algo i mo de Res,,lución. i . o. :< ~ p ? w -¡¡;- CD ¡;) 3 c ca c.o 00 Ol QU.ea lió- V. 1 O, n.o 3 (se emb e 1986) Ai(l-ki) o i:l,2, .•• ,n-l ( 12) Ai ~ o i:l,2, •.. ,n-l ( 13) k 1 ( 14) n De es as condiciones se de i an los siguien- es esul ados: a) Cuando ki > 1, Ai que O según (12) con lo b) Cuando ki : 1, las condiciones (10) equi alen a: G á icamen e: Cos e FE. 1 F ecuencia Figu a 4: In e p e ación de Ai. Al se los mul iplicado es i no nega i os, 1 cuando FE. se sa is ace si 2 h.R .. J. J. l Se iene que pa a k. = 1, > FE .. l J. A pa i de es os elemen os esul a que sólo aquellas ins alaciones en las que ~ FEi, in e ienen en la ijación de con ki : l. Cuando < FEi, el alo de la co espondie~ e mul iplicidad se á supe io a la unidad (ki > 1). Pa a la de e minación de se o denan los de allis as según o den c ecien e de sus e- cuencias na u ales: pa a i,j-1, ... ,n-1 i < j si y sólo si Supues a es a o denación se conside a sucesi amen e la combinación de los cos es y deman da del almacén p incipal con los de allis as, has a que el siguien e a combina enga una ecuencia na u al supe io a la ob enida -- con los an e io es ( igu a 5). FE, FE 2 1 1 FH FE n l Figu a 5: O denación de las FEi. Fo malmen e, la ecuencia FH que co espo~ de a la solución de (9) iene dada po : m h R + E hiRi n n i:l F2 H m 2(sn + E si) i:l donde m es la úl ima ins alación pa a la que se cumple: m h R + E h.R. h R n n i:l l l m m ~ S m m S + E s. n i:l l En é minos de las ecuencias na u ales, se calcula i e a i amen e: j h R + E hiRi n n i:l F2 [ 1, j l H -j S + E si n i:l compa ándose F~[l,j] con FEj pa a j=0,1,2, .•. has a la p ime a ez en que F~[1,jJ<FE~. Cuando éso suceda m:j-1. Nó ese que en el s~ ma o io pa a el cálculo de FH[1,j] se consi- de a j=O, que co esponde al caso en que FEn< FE1. En es a si uación se iene FH = FEn, po se el almacén p incipal que iene meno ecuencia na u al. que el Obsé ese que el mul iplicado An asociado al almacén p incipal es lib e en el signo. De las elaciones (10), sumándolas sob e o- dos los de allis as, se ob iene: n E i:l k.s. + l l 1 -u- que al compa a la con (11) da luga a: o Pa a i > m, i ~ n, ki > 1 po lo que los 185 Q iea iió- V. 1 O, n.o 3 (se emb e 1 986) mul iplicado es Ai son nulos. Po ello es a elación es: m An + E Ai O; o lo que es lo mismo: i=l m E Ai < 0. i=l Es e esul ado co obo a la in e p e ación a que da luga la ijación de FH. Pues si FEn no es la meno de odas las ecuencias na u ales FEn < FH, po lo que si bien kn=l, su mul iplicado es nega i o como se obse - a en la igu a 6. Cos e S n F ecuencia Figu a 6: In e p e ación de la ijación de FH" 5. REGLA HEURISTICA. La heu ís ica de un solo paso que se p opone es la heu ís ica miope de G a es y Schwa z /2/, pa iendo de la ecuencia FH, según se ha de inido en la sección an e io . l. Calcula FH. 2. Pa a i=l,2, ... ,m; k. l 1 3. Pa a i=m+l, ••. ,n-1; ki es el mayo en e o al que FE~ l p2 H La heu ís ica con la que compa amos los e-- sul ados ob enidos po és a es la p opues a po G a es y Schwa z /2/ que se puede in- e p e a como la análoga de la aouí p opue~ a haciendo FH FEn en el p ime paso. En la igu a 7, se ecoge el diag ama de lujo de es a heu ís ica. 6. EXPERIENCIAS COMPUTACIONALES. Pa a comp oba la e iciencia del mé odo p o- pues o se ha empleado, en p ime luga , el conjun o de p oblemas es u ilizados po G a es y Schwa z /2/ pa a mos a la bondad de los esul ados de su heu ís ica miope -- espec o a la solución óp ima. Pa a ello se han gene ado y esuel o 500 -- p oblemas es pa a cua o sis emas dis in- os (un o al de 2000 p oblemas) o mados - po un almacén p incipal y 2,3,5 y 10 de a- llis as con idén icos cos es, es deci : s y hj = h pa a j=l, ... ,n-1, con S. J sn hn = l. El alo de s se ija según una dis ibución uni o me en e los alo es 0.01, 0.1, 0.5, 1, 2, 10 y 100. De igual-- o ma, el alo de h se ob iene de acue do con una dis ibución uni o me en e los a- lo es: 0.5, 1 y 2. La demanda de los n-1 de allis as se gene a como: Rj d.Rj-l pa- a j=2, ... , n-1; siendo R1 = 1 y ijando el coe icien e d de o ma simila a s y a h en e los alo es: 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y l. Los esul ados de la egla diseñada son co~ pa ados con los de la heu ís ica miope de G a es y Schwa z /2/, analizando el e o me dio, su des iación es ánda y el e o máxi- mo que p oducen ambas soluciones ap oximadas con espec o a la solución óp ima. Asimismo, pa a cada sis ema se calcula el núme o de e ces que la solución de cada heu ís ica queda más p óxima al alo inal y el núme o de e ces que acie a con dicho alo óp imo. Es e análisis se ealiza en é minos del cos e g~ ne ado po la solución de cada heu ís ica espec o al cos e gene ado po la solución óp ima ( abla 1.1) y en é minos de la e- cuencia que p opone cada mé odo espec o de la ecuencia óp ima ( abla 1.2). Así po ejemplo, pa a los 500 p oblemas gen~ adas pa a el sis ema o mado po un almacén p incipal y es de allis as ( abla 1.1), el e o medio en el cos e ob enido po la heu- ís ica de G a es y Schwa z (G/S) es del 0.069%, en e al 0.0005% ob enido po el mé odo p opues o, con una des iación ipo del 0.383%, en e al 0.0063%, y con un e o má ximo de ap oximadamen e el 4%, en e al 0.0854%. También se obse a en la abla 1.1 como de los 500 p oblemas es esuel os pa- a es e sis ema de es de allis as (n=4), 186 ~ OJ -J ...,.}-- O dena los a icules según su i=1,n-1 Si h n F2 = R h R Fz=~ 2 S n j + ¡; h. n i=1 l. j 2(s + ¡:: S.) n l. --- Si No R. l. Figu a 7. Diag ama de Flujo de la Regla Heu ís ica. F /F2 H Hace : k.= 1 l. pa a i = 1,m Si Calcula 1 en e o al que: 1 * (1-1) FE2 < i ~ H <1*(1+1) Si ol e i ~ o. < p ~ "o w éñ (!) .... (!) 3 e- co (O 00 ~ Q les ió- V. 1 O, n.o 3 (se emb e 1 986) el cos e p opo cionado po la egla de G/S ha quedado en 478 ocasiones más p óximo al cos e óp imo, en e a las 500 (o sea odas) de la heu ís ica p opues a (que po an o ha quedado más p óxima al cos e óp imo en 22 ocasiones más que la de G/S). De las 478 e- ces, la egla de G/S ha ace ado 473 eces con el cos e óp imo, en e a las 495 de la egla p opues a pa a es e ipo de p oblemas. Los esul ados acumulados e e idos a la p ~ ximidad del cos e de cada egla espec o al cos e óp imo pa a los 2000 p oblemas esuel- os son los siguien es: el cos e p opo cion~ do po la heu ís ica de G/S ha sido mínimo - el 77.85% de las eces, en e al 98.6% de- la heu ís ica p opues a, habiéndose alcanza- do el cos e óp imo el 77.15% de las eces, - en e al 96.45% de la egla que se p opone. Realizando el mismo análisis, pe o en é mi- nos de ecuencia inicial ijada po cada -- heu ís ica, espec o a la ecuencia óp ima o inal, se ob ienen los esul ados que apa- ecen en la abla 1.2. Pa a el caso de es de allis as, en los 500 p oblemas esuel os, se obse a en la abla 1.2 como el e o medio ob enido, en la de- e minación de la ecuencia inicial, po la egla de G/S es del 145.87%, en e al 2.21% ob enido po la heu ís ica p opues a. La de~ iación es ánda es del 283.43%, en e al 3.22%; siendo el e o máximo del 1316% pa a G/S, en e al 14.84%. El núme o de eces -- que la ecuencia inicial ha es ado más ce - cana a la inal ha sido, pa a G/S, 113 en- e a las 484; habiendo coincidido ambas -la inicial y la óp ima- 191 eces de las 500 en la heu ís ica p opues a y ninguna ez en el caso de G/S. Pa a analiza la bondad de la egla p opues- a en e a la de G/S en sis emas con de a-- llis as cuyos cos es, an o de lanzamien o como de man enimien o, sean dis in os en e sí se han esuel o los p oblemas cuyos da os base apa ecen en la abla 2.1. Como se obse a, se han gene ado 250 p oblemas pa a sis e mas con 2, 3, 4, 5, 10, 20 y 100 de allis as. La demanda de cada de allis a se asigna se-- gún una dis ibución uni o me en e 15o y 2000. El cos e de lanzamien o y de man eni- mien o co espondien e a cada de allis a se gene a de la misma o ma que la demanda en-- e los alo es 3 y 20; y 5 y 20 espec i a- men e (Chak a a y /7/) . Los esul ados se o ecen en las ablas 2.2 en é minos de cos es, y 2.3 en é minos de ecuencias. Como se deduce de es as ablas, la solución que se p opone es mejo que la de G/S ambién pa a sis emas con de allis as de dis in os cos es, an o en los esul ados exp esados en é minos de cos es ( abla 2.2) como en los esul ados exp esados en é mi-- nos de ecuencias ( abla 2.3). Así po eje~ plo, G/S ob ienen el cos e inicial mínimo el 53.1%, en e al 98.15%, de los 2000 p oble- mas esuel os y una ecuencia inicial más p óxima a la óp ima en el 2.75% de las eces, en e al 97.9% que ob iene el mé odo p o-- pues o. 7 1 CONCLUSIONES 1 De la inspección de las ablas se pueden ob- ene las siguien es conclusiones: El o den de magni ud de los e o es y des i~ ción ipo es mucho mayo en el caso de comp~ a las ecuencias que en el caso de compa- a los cos es. Como ya se ha comen ado, es- e hecho se debe a la es uc u a de la un-- ción de cos es pa a es e ipo de p oblemas. Si se obse a el núme o de eces que cada -- heu ís ica p opo ciona el cos e mínimo pa a cada g upo de p oblemas ( ablas 1.1 y 2.2, en e al núme o de eces que cada una p o- po ciona una ecuencia más p óxima a la óp- ima ( ablas 1.2 y 2.3, se deduce que pa a el caso de G/S el segundo índice disminuye bas an e espec o al p ime 9 con o me aumen- a el núme o de de allis as; lo cual es debi do, además de a la es uc u a de la unción de cos es, a que G/S ienen en cuen a pa a de e mina la ecuencia un solo de allis a (el de meno ecuencia económica) , mien as que en el caso de la heu ís ica p opues a no ocu e así. En cualquie caso, los esul ados que o ece el mé odo p opues o son mejo es que los que o ece la heu ís ica miope de G a es y Schwa z /2/; aplicando es e esul ado an o a los p oblemas es p opues os po ellos mis mos, o sea a sis emas con de allis as de idén icos cos es, como a o os sis emas en que la 188 Q lea ió- V. 1 O, n.o 3 (se emb e 1986) Nume o TABLA 1.1. Resul ados de las heu ís icas, en é minos de COSTES, espec o a la solución óp ima. Cos e Final de Heu . E o Des iación E o Núm. de eces De allis as Medio Tipo Máximo Mas p ox. Alcanz. --------- -------- ¡---------- ------------- --------- --------·- ------- 2 L/0 .0074% .0821% .9217% 500 496 G/ S .0220% .1725% 1.9049% 494 490 3 L/0 .0005% .0063% .0854% 500 495 G/ S .0690% .3830% 4.0043% 478 473 5 L/0 .0082% .0538% .7184% 486 479 G/S .2728% .8614% 6.5995% 406 401 lO L/O .0091% .0415% .4245% 486 459 G/ S l. 8333% 2.6066% l3. 3464% 179 179 Núme o de p oblemas gene ados: 500 po sis ema. TABLA 1.2. Resul ados de las heu ís icas, en é minos de FRECUENCIA, espec o a la solución óp ima. Nume o F ecuenc1a F1nal de Heu . E o Des iación E o Núm. de eces De allis as Medio Tipo Máximo Mas p ox. Alcanz. ---------- ------- ---------- ------------ --------- -------- --------- 2 L/0 l. 7499% 3.5166% 22.4745% 456 258 G/S 144.1610% 277.8695% 1057.5830% 188 54 3 L/0 2.2190% 3.2248% 14.8408% 484 191 G/S 145.8739% 283.4331% 1316.5680% 113 o 5 L/0 2.7897% 3.0070% 15.0120% 478 98 G/S 226.7976% 407.6952% 1823.4930% 70 5 lO L/0 2.8930% 2.4270% 13.3542% 489 ll G/S 376.2868% 616.6898% 2803.9970% 16 o Núme o de p oblemas gene ados: 500 po sis ema. TABLA 2 .l. Da os del conjun o de p oblemas esuel o Núme o de de allis as: Demanda Cos e lanzamien o Cos e man enimien o 2 3 4 5 lO 20 Valo inicial 150.000 3.000 5.000 50 lOO Valo inal 2.000.000 20.000 ' 20.000 Peso alea o io alea o io alea o io Núme o de p oblemas gene ados: 250 po sis ema (2000 en o al). 189