Algunos modelos estacionarios de dinámica de poblaciones estructurados en edad con difusión

Algunos modelos estacionarios de din´amica de poblaciones estructurados en edad con difusi´on M. Delgado1,M. Molina-Becerra1yA. Su´ arez1 Resumen En este trabajo, daremos algunos resultados de existencia y unicidad de soluci´on para un problema de din´amica de poblaciones estructurado en edad con difusi´on. Primero describiremos un m´etodo de sub-supersoluci´on para este tipo de problemas. A continuaci´on, utilizaremos dicho m´etodo para dar resultados de existencia y no existencia en el caso particular de la ecuaci´on log´ıstica, usando principalmente propiedades del problema de autovalores asociado a dicha ecuaci´on. 1. Introducci´on En [8] nos planteamos el estudio de un problema de evoluci´on de din´amica de poblaciones estructurado en edad con difusi´on y un t´ermino de reacci´on. En dicho trabajo, consideramos u(x, a, t) la densidad de la poblaci´on de edad a > 0, en el instante de tiempo t > 0 y en la posici´on x∈Ω, donde Ω es un dominio acotado de RN, con frontera, ∂Ω, regular. Siguiendo el trabajo de Gurtin [11], supusimos que la evoluci´on de la poblaci´on est´a gobernada por la ley ut+ua=−div q +s, donde utyuason las derivadas con respecto al tiempo y a la edad, respectivamente, qes el flujo de la poblaci´on debido a la dispersi´on y srepresenta la entrada-salida de individuos. Consideramos que la difusi´on, es decir el movimiento de especies de zonas de alta densidad de poblaci´on a baja, es lineal. Por tanto, asumimos que el flujo de la poblaci´on viene dado por la forma ∇u, donde ∇denota el gradiente con respecto a la variable espacial. Adem´as, se supuso que la entrada-salida de individuos viene dada por un t´ermino de mortalidad y un t´ermino de reacci´on, i.e. s:= −q(x, a, t)u+f(x, a, t, u), donde qrepresenta la tasa de la mortalidad natural de la especie y fdescribe el efecto del h´abitat en la poblaci´on, por consiguiente fser´a positiva cuando el entorno es favorable y negativa cuando es hostil. Tambi´en, se consider´o que los individuos de la poblaci´on desaparecen al llegar a una edad m´axima, A†. Asumimos que el proceso de nacimiento viene dado por la ecuaci´on, u(x, 0, t) = ZA† 0 β(x, a, t)u(x, a, t) da, donde βrepresenta la tasa de fertilidad. Finalmente, supusimos que la frontera, ∂Ω, del dominio, Ω, es inhabitable, es decir la densidad de poblaci´on verifica una condici´on de tipo Dirichlet en la frontera, luego u(x, a, t) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†). Entonces, el sistema de ecuaciones que describe la din´amica de la especie que estudiamos en [8] viene dada por el sistema de ecuaciones siguiente                  ut+ua−∆u+q(x, a, t)u=f(x, a, t, u) en Ω ×(0, A†)×(0, T), u(x, a, t) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†)×(0, T), u(x, a, 0) = u0(x, a) en Ω ×(0, A†), u(x, 0, t) = ZA† 0 β(x, a, t)u(x, a, t)daen Ω ×(0, T), (1) donde T > 0. En dicho trabajo, describimos un m´etodo de sub-supersoluciones y aplicamos dicho m´etodo en el caso concreto del problema log´ıstico, es decir del problema                  ut+ua−∆u+q(x, a)u=λu −u2en Ω ×(0, A†)×(0, T), u(x, a, t) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†)×(0, T), u(x, a, 0) = u0(x, a) en Ω ×(0, A†), u(x, 0, t) = ZA† 0 β(a)u(x, a, t) daen Ω ×(0, T). (2) Gracias a dicho m´etodo se estudi´o, para algunos valores de λ, el comportamiento asint´otico. Para continuar con el comportamiento asint´otico del problema (1) queremos analizar el problema estacionario asociado al problema (1), y principalmente el asociado al problema log´ıstico (2). Es por ello que el objetivo de este trabajo es el estudio del problema estacionario asociado al problema (1). As´ı, que vamos a suponer que la tasa de mortalidad, q, es independiente del tiempo. Luego, estudiamos el problema no lineal siguiente            ua−∆u+q(x, a)u=f(x, a, u) en Ω ×(0, A†), u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω, (3) Primero, veremos que funciona un m´etodo de sub-supersoluciones que nos dar´a la existencia de soluci´on del problema. Asumiremos que qexplota en edad finita, y esto es una de la principales dificultades de este problema, adem´as de la no localidad de la condici´on inicial. Es por ello que no podemos aplicar el m´etodo cl´asico de sub-supersoluciones para problemas parab´olicos (v´ease por ejemplo [9] y [13]). Demostraremos que bajo la hip´otesis de la existencia de un par ordenado de subsupersoluciones de (3), existe una soluci´on entre la sub y la supersoluci´on, suponiendo, b´asicamente, la lipschtzianidad de fen la variable u. Luego, este resultado generaliza el resultado cl´asico para los problemas parab´olicos en las dos v´ıas mencionadas anteriormente. Este resultado ser´a usado, principalmente, para el estudio, seg´un los valores de λ, de la existencia y unicidad o la no existencia de soluci´on del problema log´ıstico siguiente,            ua−∆u+q(x, a)u=λu −u2en Ω ×(0, A†), u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω, (4) con λ∈R, es decir es el problema estacionario asociado al problema (2). En general el estudio de existencia de soluciones positivas de un problema similar a (4) no es trivial. De hecho, en nuestro conocimiento, solamente problemas lineales en uhan sido analizados en [12], aunque en este caso la ecuaci´on tambi´en depende de la poblaci´on total, es decir de P(x) = ZA† 0 u(x, a) da. Concretamente en [12], no se supone la existencia de un t´ermino de reacci´on y las funciones qyβverifican q(x, a) = q1(a) + q2(P), β(x, a) = β1(a), y adem´as Pes la soluci´on positiva del cl´asico problema el´ıptico log´ıstico, la cual es conocida (v´ease Teorema 3.5 en [12]). Bajo estas hip´otesis, el autor prueba que solamente pueden existir soluciones separables y entonces busca la soluci´on expl´ıcitamente. Para los resultados de existencia y no existencia de soluci´on del problema (4) nosotros estudiaremos el problema de autovalores asociado a (4). Es decir, analizaremos el siguiente problema            ua−∆u+q(x, a)u=λu en Ω ×(0, A†), u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)u(x, a)daen Ω. (5) Para esto, seguiremos una idea de [10]. Demostraremos que existe un ´unico autovalor principal (en el sentido que es el ´unico con autofunci´on asociada estrictamente positiva) denotado por λ0(q). Obs´ervese la gran diferencia que existe entre el problema (5) y el problema parab´olico cl´asico (5) con u(x, 0) = u0(x)>0 en vez de la condici´on no local, el cual tiene existencia de soluci´on positiva para todo λ∈R. Aplicando los resultados obtenidos en todo el trabajo al problema (4), veremos que posee una soluci´on positiva si y s´olo si λ > λ0(q). Adem´as, si λ≤λ0(q) la ´unica soluci´on positiva de (4) es la trivial y si λ > λ0(q), tendremos unicidad de soluci´on positiva. De nuevo, un destacable cambio ocurre con respecto al problema cl´asico (4) con u(x, 0) = u0(x), el cual posee una ´unica soluci´on positiva para todo valor λ∈R. 2. Hip´otesis Vamos a considerar las siguientes condiciones, (Hq)qes una funci´on tal que q∈L∞(Ω ×(0, r)) para r < A†y Zr 0 qM(a) da < ∞,ZA† 0 qL(a) da= +∞,(6) donde qL(a) := inf x∈Ω q(x, a) y qM(a) := sup x∈Ω q(x, a). (Hβ)β∈L∞(Q), β≥0, no trivial y mes{a∈[0, A†] : βL(a) := inf x∈Ω β(x, a)>0}>0. Observaci´on 1. La condici´on (6) es necesaria para tener l´ım a↑A† u(x, a)≡0 con usoluci´on de (3). 3. El m´etodo de sub-supersoluciones En esta secci´on vamos a describir un m´etodo de sub-supersoluciones para el problema (3). Suponemos que βyqverifican las condiciones (Hβ)y(Hq) respectivamente, y f: Ω ×(0, A†)×R7→ Res una funci´on medible. Primero daremos las definiciones de soluci´on y de sub-supersoluci´on para el problema (3). Definici´on 1. 1. Diremos que una funci´on u∈L2(0, A†;H1 0(Ω)) es una soluci´on de (3) si ua+qu ∈L2(0, A†;H−1(Ω)), f(·,·, u)∈L2(Ω ×(0, A†)) y adem´as verifica que para todo v∈L2(0, A†;H1 0(Ω)) ZA† 0hua+qu, vida+ZZΩ×(0,A†)∇u·∇vdxda=ZZΩ×(0,A†) f(x, a, u)vdxda, u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω, donde h·,·i denota la dualidad entre H−1(Ω) yH1 0(Ω). 2. Diremos que una funci´on u∈L2(0, A†;H1(Ω)) es una supersoluci´on de (3) si ua+qu ∈L2(0, A†; (H1(Ω))0), f(·,·, u)∈L2(Ω ×(0, A†)) y adem´as se cumple que para toda v∈L2(0, A†;H1 0(Ω)) positiva ZA† 0hua+qu, vida+ZZΩ×(0,A†)∇u·∇vdxda≥ZZΩ×(0,A†) f(x, a, u)vdxda, u(x, a)≥0sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) ≥ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω. An´alogamente se define una subsoluci´on, u, intercambiando las desigualdades anteriores. Teorema 1. Supongamos que se verifican las condiciones (Hβ),(Hq)yfverifica |f(x, a, s1)−f(x, a, s2)| ≤ L|s1−s2|,e.c.t. (x, a)∈Ω×(0, A†)ys1, s2∈R.(7) Entonces, si existe un par de sub-supersoluciones de (3) tal que u≤uexiste una soluci´on minimal u∗y una maximal u∗de (3), en el sentido siguiente: para cualquier otra soluci´on u∈[u, u] := {u∈L2(Ω ×(0, A†)) : u≤u≤u}, se verifica que u≤u∗≤u≤u∗≤u. Prueba: Primero consideramos el problema lineal      ua−∆u+q(x, a)u=f(x, a) en Ω ×(0, A†), u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = φ(x) en Ω. (8) Es f´acil comprobar que dicho problema tiene unicidad de soluci´on en el sentido de la Definici´on 1 y adem´as verifica un principio del m´aximo. Sea Muna constante positiva que ser´a elegida a posteriori. Vamos a construir dos sucesiones, definimos la sucesi´on {un}ncomo u0=uy para n≥1, unla soluci´on del problema          (un)a−∆un+ (qn(x, a) + M)un=f(x, a, un−1)+Mun−1en Ω ×(0, A†), un= 0 sobre ∂Ω×(0, A†), un(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)un−1(x, a) daen Ω, (9) donde qnes la funci´on truncada de qdefinida por qn(x, a, t) := ½q(x, a, t) para q(x, a, t)≤n, npara q(x, a, t)> n. (10) Y la sucesi´on {un}nse define como u0=uy para n≥1, undefinidas como la soluci´on del problema          (un)a−∆un+ (qn(x, a) + M)un=f(x, a, un−1)+Mun−1en Ω ×(0, A†), un= 0 sobre ∂Ω×(0, A†), un(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)un−1(x, a) daen Ω. (11) Gracias a las propiedades del problema lineal (8), es f´acil comprobar que las sucesiones unyunest´an bien definidas. Demostremos, ahora, que la sucesi´on {un}n(resp. {un}n) es creciente (resp. decreciente) y que para cada n≥1 se verifica la siguiente desigualdad u≤. . . ≤un≤un+1 ≤un+1 ≤un≤. . . ≤u. (12) En efecto, tomando w:= u1−u0,wverifica el problema      wa−∆w+qn(x, a)w+Mw ≥0 en Ω ×(0, A†), w(x, a)≥0 sobre ∂Ω×(0, A†), w(x, 0) ≥0 en Ω. (13) Y usando el principio del m´aximo para el problema lineal, podemos concluir que w≥0, i.e., u=u0≤u1. Razonando de manera an´aloga para n≥1, tomando M > L, se llega a que un≤un+1. An´alogamente podemos demostrar el resto de desigualdades de (12). Para estudiar la convergencia de la sucesi´on {un}nhacia una soluci´on minimal, u∗, multiplicamos, la primera ecuaci´on de (9) por une integramos por partes. Gracias a (7) y las desigualdades (12) se llega a que 1 2 d daZZΩ×(0,A†)|un|2dxda+ZZΩ×(0,A†)|∇un|2dxda+ZZΩ×(0,A†) (qn+M)u2 ndxda≤C, con Cindependiente de n. As´ı, no es dif´ıcil ver que podemos extraer una subsucesi´on {uk}ktal que haciendo k→+∞se verifica uk* u∗en L2(0, A†;H1 0(Ω)), √qkuk* w en L2(Ω ×(0, A†)), (uk)a+qkuk* z en L2(0, A†;H−1(Ω)). Por la monoton´ıa de la sucesi´on uky usando el teorema de la convergencia mon´otona, podemos concluir que un→u∗en L2(Ω ×(0, A†)).(14) La hip´otesis (7) y la continuidad de la aplicaci´on traza nos permiten concluir que u∗es una soluci´on de (3). As´ı, podemos comprobar que u∗es la soluci´on minimal de (3). En efecto, si ues una soluci´on de (3) tal que u∈[u, u], entonces la sucesi´on unconstruida en (9) verifica que u≤un≤u. Adem´as, un↑u∗≤u. Razonando de una manera similar con la sucesi´on un, nos permite concluir la existencia de una soluci´on maximal u∗de (3). Con lo que concluimos la prueba. 4. Aplicaci´on a la ecuaci´on log´ıstica El siguiente objetivo es aplicar el m´etodo de sub-supersoluciones para estudiar la existencia y unicidad, o la no existencia, de soluci´on del problema log´ıstico (4). Para ello primero vamos a estudiar el problema de autovalores (5). 4.1. El problema de autovalores Primero daremos la definici´on de autovalor del problema (5) y de autovalor principal. Definici´on 2. λes un autovalor de (5) si existe una funci´on utal que u∈L2(0, A†;H1 0(Ω)), ua+qu ∈L2(0, A†;H−1(Ω)) con u6= 0 soluci´on de (5) en el sentido siguiente, para toda v∈L2(0, A†;H1 0(Ω)) se verifica ZA† 0hua+qu, vida+ZZΩ×(0,A†)∇u·∇vdxda=λZZΩ×(0,A†) uv dxda, u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω, Diremos que λes un autovalor principal si u > 0en Ω×(0, A†). Antes de estudiar el problema (5), necesitamos analizar el caso aut´onomo, i.e.,          ua−∆u+m(a)u=λu en Ω ×(0, A†), u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 γ(a)u(x, a) daen Ω, (15) donde myγverifican (Hm)m∈L∞(0, r) para r < A†y ZA† 0 m(a) da= +∞.(16) N´otese que en realidad la condici´on (Hm) es equivalente a (Hq) cuando qno depende de la variable espacial x. (Hγ)γ∈L∞(0, A†), γ≥0 y no trivial. Teorema 2. Supongamos que se verifican (Hm)y(Hγ). Entonces, (15) tiene una soluci´on positiva, si y s´olo si, λ=λ1−rm, donde rmes la ´unica soluci´on real de la ecuaci´on 1 = ZA† 0 γ(a)e−rma−Ra 0m(s) dsda, (17) yλ1denota el primer autovalor del problema de Dirichlet homog´eneo para −∆. Adem´as, en este caso la soluci´on tiene la forma u(x, a) = e−rma−Ra 0m(s) dsϕ1(x), siendo ϕ1una autofunci´on positiva asociada a λ1. Prueba: Gracias al teorema 3.5 de [12], cualquier soluci´on de (15) es separable. Obs´ervese que en el resultado citado, A†=∞, pero se puede adaptar la misma prueba para el caso A†<∞. As´ı u(x, a) = p(a)ϕ(x). Luego, sustituyendo esta funci´on en el problema (15) se llega al resultado. El principal resultado de esta secci´on es el siguiente: Teorema 3. Supongamos que se verifican (Hq)y(Hβ). Entonces, existe un ´unico autovalor principal de (5), que ser´a denotado por λ0(q). Adem´as, es simple y el ´unico que tiene una autofunci´on positiva. Las autofunciones positivas pueden tomarse acotadas. Y, para cualquier otro autovalor λde (5), se tiene que Re(λ)> λ0(q).(18) Finalmente, la aplicaci´on q7→ λ0(q) es creciente. Antes de la demostraci´on de este resultado necesitamos algunos resultados preliminares. Para cada φ∈L2(Ω), definimos zφcomo la ´unica soluci´on del siguiente problema      za−∆z+q(x, a)z= 0 en Ω ×(0, A†), z(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), z(x, 0) = φ(x) en Ω, (19) y definimos el operador Bλ:L2(Ω) 7→ L2(Ω) por Bλ(φ) = ZA† 0 β(x, a)eλazφ(x, a) da. El siguiente resultado juega un papel muy importante en este trabajo. Lema 1. 1. El operador Bλest´a bien definido, es compacto y positivo. 2. Se verifica que Aλ(φ)≤ Bλ(φ)≤ Cλ(φ)∀φ≥0,(20) donde Aλ(φ) := ZA† 0 βL(a)eλawφ(x, a) da, Cλ(φ) := ZA† 0 βM(a)eλayφ(x, a) da siendo wφeyφlas soluciones de (19) con q(x, a) = qM(a)yq(x, a) = qL(a), respectivamente (i.e., wφeyφson soluciones de los problemas aut´onomos). 3. Bλes un operador irreducible. 4. Si φes un punto fijo de Bλ, entonces λes un autovalor de (5). 5. Inversamente, si (λ, u)es un par de autovalor-autofunci´on de (5), entonces φ(x) := u(x, 0) es un punto fijo de Bλ.