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Un cálculo abduc i o na u al
Ángel Nepomuceno Fe nández
(Uni e sidad de Se illa)
1. In oducción
En cada ipo de in e encia hallamos una elación en e las p emisas y la
conclusión, que podemos exp esa simbólicamen e como P |=X C, donde P
ep esen a el conjun o de las p emisas y C la conclusión, mien as que el
subíndice X se e ie e a la elación de consecuencia de que se a e, ya sea
clásica, in uicionis a, e c. (cuando sea en sen ido clásico no apa ece á índice
alguno). El pa <P, C> cons i uye el a gumen o del azonamien o o in e encia
en cues ión. En el es udio lógico de a gumen os han des acado los cálculos
que pe mi en de e mina esquemas de a gumen os co ec os, qué conclusión
se puede ob ene de cie as p emisas pa a da luga a un a gumen o álido,
e c. En es e abajo se p opone un cálculo de hipó esis basado en los cálculos
deduc i o-na u ales ipo Gen zen.
2. In e encia abduc i a
Dada una eo ía base y un hecho, un p oblema abduc i o consis e en halla
una hipó esis o consecuencia abduc i a, ales que és a jun o con la eo ía
expliquen el hecho, en el sen ido de que la eo ía base y la hipó esis, omadas
conjun amen e, impliquen o en añen el hecho. Si el sis ema de azonamien o
adop ado es clásico, en onces la elación de en añamien o es la de
consecuencia lógica (o implicación lógica) es udiada po la lógica clásica.
Simbólicamen e, dadas la eo ía base Θ y el hecho ϕ, (Θ, ϕ) ep esen a un
p oblema abduc i o; se oma á α como una solución si se e i ica que
Θ∪{α}|=ϕ. Es e es el equisi o básico, pe o se pueden es ablece o os pa a
e i a soluciones i iales, como que α≠ϕ, que Θ∪{α} sea consis en e, e c., po
lo que se pueden es udia dis in os ipos de abducciones. En cualquie caso,
es a noción debe ía se en endida como p oceso in e encial, dis in o de la
inducción y de la deducción, que en la in es igación cien í ica iene como
inalidad la gene ación de hipó esis pa a su pos e io examen o comp obación,
poniendo en juego odas las ope aciones po las que se haya engend ado la
eo ía de que se a e (Hin ikka, 1999). Así pues, plan eado un p oblema
abduc i o (Θ, ϕ), de inimos la in e encia abduc i a de la siguien e mane a:
(Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α |= ϕ y no es el caso que Θ |= ϕ ni Θ |= ¬ϕ.
3. Un cálculo abduc i o
Es conocido el cálculo deduc i o na u al ipo Gen zen pa a los sis emas
o males clásicos. Dado un lenguaje o mal de p edicados de p ime o den L, el
cálculo deduc i o-na u al | pe mi e ob ene las consecuencias lógicas de un
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conjun o de ó mulas de L. Más conc e amen e, es e cálculo es co ec o y
comple o, es deci , pa a cada clase de ó mulas Γ y la ó mula β, Γ|=β syss
Γ|β. Los pos ulados de es e cálculo cons i uyen un conjun o de eglas o
pa ones de in e encia, una de in oducción y o a de eliminación po cada
cons an e lógica de L.
Plan eado un p oblema abduc i o (Θ, ϕ) y eniendo en cuen a las
ca ac e ís icas del cálculo deduc i o na u al, la de inición an e io esul a
equi alen e a
(Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α | ϕ y no es el caso que Θ | ϕ ni Θ | ¬ϕ
¿Es de inible un cálculo de las hipó esis que solucionan p oblemas
abduc i os?
El cálculo |CNAB hace uso de las eglas p opias del cálculo deduc i o-
na u al y iene la siguien e egla especial de a i mación de hipó esis abduc i a
(AHA), pa a halla hipó esis a pa i de un p oblema abduc i o (Θ, ϕ):
Si Θ, ¬ϕ→¬α, no (Θ | α), no (Θ∪{α}| ⊥), y α≠ϕ; en onces α.
En algunas condiciones an eceden es pueden su gi p oblemas (en p ime
o den su ge la indecidibilidad, po ejemplo). En gene al, ∆|CNAB β syss exis e
una sucesión de ó mulas δ1, ..., δn al que, pa a cada i≤n-1, δi∈Θ o δi es
consecuencia (po aplicación de las eglas del cálculo deduc i o) de ó mulas
p eceden es y δn es β, la cual se ha ob enido po aplicación de AHA. Veamos
algún ejemplo. Sea el p oblema abduc i o (Θ, ϕ), donde Θ = {p→q, q→ } y ϕ = ;
ob enemos la siguien e secuencia que culmina con una hipó esis:
1. p→qP emisa
2. q→ P emisa
3. ¬ Hipó esis auxilia
4. p Hipó esis auxilia
5. q M. P.
6. M. P.
7. ∧¬ In oducción ∧ 3, 6
8. ¬p In oducción ¬ 4
9. ¬ →¬p I. I. 3-8.
10. p AHA 1, 2, 9
Pa e de las condiciones an eceden es de la egla AHA apa ecen en las
líneas 1 y 2 ( eo ía base) y en la línea 9, jus i icada po la deducción subsidia ia
de 3 a 8. Fácilmen e se ob iene una deducción de a pa i de las ó mulas 1, 2
y 10. También se puede ob ene o a hipó esis abduc i a dis in a, a sabe , q
¿Cuál es p e e ible? A es e espec o, se puede op a po una u o a en unción
de de e minados c i e ios.
Como segundo ejemplo, eamos un caso de ó mulas p edica i as;
Θ={∀x(Px→Qx)} y ϕ=∀xQx:
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1. ∀x(Px→Qx) P emisa
2. ¬∀xQx Hipó esis auxilia
3. ¬Qx E. ∀ 2
4. Px→Qx E. ∀ 1
5. ¬Px M. T. 3, 4
6. ¬∀xPx I. ∀ 5
7. ¬∀xQx→¬∀xPx I. I. 2-6
8. ¬∀xPx AHA 1, 7.
Tan o la egla de in oducción como de eliminación de ∀ aplicadas a 5 y 2,
espec i amen e, se ob ienen como eglas de i adas (con las es icciones
pe inen es, si p ocede) en el cálculo. Nó ese que, en gene al, |CNAB no es
monó ono. En e ec o, e omando el ejemplo de las ó mulas p oposicionales,
hemos ob enido ({p→q, q→ }, ) |CNABp, pe o no se e i ica que
({p→q, q→ , ¬p}, ) |CNAB p,
pues {p→q, q→ , ¬p}∪{p} |⊥. Se puede de ini el cálculo |CNAB de
mane a que se inco po en de e minados equisi os abduc i os; el de
consis encia, po ejemplo, es á con emplado en la de inición dada, a sabe po
la condición an eceden e “no (Θ∪{α}|⊥)”. El equisi o explica i o se ía
exp esable median e la siguien e condición an eceden e: “no ({α, ¬ϕ}| ⊥)”.
Una ez ijados los equisi os abduc i os co espondien es, an o en la
de inición de la elación de consecuencia abduc i a como en el cálculo (en la
egla AHA), es demos able la co ección del mismo. Así, de iniendo
1) (Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α |= ϕ y no es el caso que (Θ |= ϕ), ni (α |= ϕ), ni
(Θ∪{α}|=⊥),
2) AHA: Si Θ, ¬ϕ→¬α, no (Θ | ϕ), no (α | ϕ) y no (Θ∪{α}|⊥); en onces α,
se puede p oba la co ección, eniendo en cuen a los p oblemas indicados.
Pa a la abducción básica (plana), (Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α |= ϕ, y AHA: Si Θ,
¬ϕ→¬α, en onces α, e i icando co ección: Si (Θ, ϕ)|CNABα, en onces (Θ, ϕ)
|=AB α.
Bibliog a ía
ALISEDA, A. 1997: Seeking Explana ion: Abduc ion in Logic, Philosophy o
Science and A i icial In elligence, ILLC, Ams e dam.
HINTIKKA, J. 1999: “Wha is abduc ion? The undamen al p oblem o
con empo a y epis emology”, en Inqui y as Inqui y: A Logic o Scien i ic
Disco e y, Kluwe , Do d ech , pp. 91-113.