Ecuaciones de Stokes y Navier-Stokes

Ecuaciones de Stokes y Navier-Stokes Trabajo de Fin de Grado Doble Grado en Física y Matemáticas Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Universidad de Sevilla Autor: Luis García Rodríguez Tutor: Dr. Manuel González Burgos 9 de julio de 2025 Resumen Resumen Este trabajo tiene como objetivo estudiar las ecuaciones de Stokes (problema lineal) y las de Navier-Stokes (problema no lineal) en el contexto de fluidos incompresibles. Para ello, se deducirán ambos sistemas a partir de principios físicos fundamentales, y se ofrecerá una breve introducción a las herramientas matemáticas necesarias para su análisis. Una vez establecidas las bases teóricas, se abordarán diferentes casos de interés, enfocándonos en la formulación variacional de los modelos, lo que nos permitirá estudiar la existencia y unicidad de solución. En el estudio de las ecuaciones de Stokes, se considerará tanto el caso estacionario —donde se empleará el Teorema de De Rham para manejar la presión 𝑝— como el caso evolutivo, en el que se aplicará el método de Galerkin. En cuanto a las ecuaciones de Navier-Stokes, la presencia del término no lineal introduce una mayor complejidad. Por ello, en el caso evolutivo nos centraremos en analizar las similitudes y diferencias con respecto al modelo lineal. El caso estacionario será tratado en el capítulo final, a partir de diversos ejemplos ilustrativos. 2 Abstract Abstract This work aims to study the Stokes equations (a linear problem) and the Navier-Stokes equations (a nonlinear problem) in the context of incompressible fluid models. To this end, both systems will be derived from fundamental physical principles, and a brief introduction to the mathematical tools required for their analysis will be provided. Once the theoretical foundations are established, we will explore several cases of interest, focusing on the variational formulation of the models, which will allow us to study the existence and uniqueness of solutions. In the study of the Stokes equations, we will consider both the stationary case —where De Rham’s theorem will be used to handle the pressure 𝑝— and the evolutionary case, in which the Galerkin method will be applied. Regarding the Navier-Stokes equations, the presence of the nonlinear term introduces additional complexity. Therefore, in the evolutionary case, we will focus on analyzing the similarities and differences with respect to the linear model. The stationary case will be addressed in the final chapter, through various illustrative examples. 3 Índice general Resumen 2 Abstract 3 1. Introducción y deducción de los modelos 7 1.1. Definicionesprevias.................................... 7 1.2. Ecuacionesdeevolución ................................. 8 1.2.1. Fluidosnewtonianos............................... 9 1.2.2. Modelos incompresibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Herramientas matemáticas 15 2.1. Conceptosgenerales.................................... 15 2.2. DominiosLipschitz .................................... 19 2.3. Funciones y distribuciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1. Integrabilidad................................... 21 2.3.2. Diferenciabilidad ................................. 24 3. El problema de Stokes estacionario y evolutivo 27 3.1. Problemaestacionario................................... 27 3.1.1. ElTeoremadeDeRham ............................. 27 3.1.2. Existencia y unicidad de solución del problema (3.2) . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.3. EloperadordeStokes .............................. 36 3.2. Problemaevolutivo .................................... 40 3.2.1. La descomposición de Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2. Existencia y unicidad de solución del problema (3.10) . . . . . . . . . . . . . 41 4. El problema de Navier-Stokes de evolución 49 4.1. Propiedades del término de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2. Formulaciónvariacional ................................. 51 4.2.1. Existencia de solución del problema (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.2. Unicidad de solución del problema (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5. Algunas soluciones exactas 55 5.1. FlujodePoiseuille..................................... 55 5.2. Flujodecizalladuraplano................................. 57 5.3. Flujo de Couette entre dos cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Bibliografía 63 Capítulo 1 Introducción y deducción de los modelos 1.1. Definiciones previas El estudio de la física de fluidos es, y ha sido, de suma importancia para comprender situaciones y fenómenos tanto naturales como industriales, ya que estamos rodeados de ellos en nuestro día a día. Por esto, resulta de interés conocer el comportamiento de los diferentes fluidos con los que tratamos, como pueden ser gases o líquidos. Un fluido, al contrario que los sólidos, consiste en un gran número de moléculas en movimiento que no se distribuyen de forma precisa al encontrarse en reposo. Pese a que estaríamos ante un sistema discreto de partículas, generalmente los fluidos son tratados como medios continuos en los que se definen cantidades macroscópicas. Una de estas cantidades es la densidad en un punto 𝑃en un tiempo 𝑡: 𝜌≈𝛿𝑚 𝛿𝑉 , donde 𝛿𝑉 es un volumen elemental alrededor de 𝑃, suficientemente pequeño para el sistema completo pero suficientemente grande para las partículas, y 𝛿𝑚 la masa contenida en dicho volumen. Definición 1.1. Diremos que el medio es continuo si existe 𝜌∶ (𝑡, 𝑋)→ [0,∞), función no negativa, tal que 𝑀𝜔=∫𝜔 𝜌(𝑡, 𝑋)𝑑𝑋, siendo 𝑀𝜔la masa contenida en el volumen 𝜔en un tiempo 𝑡. La función 𝜌la llamaremos densidad del fluido. Al asumir que tratamos con un medio continuo, podemos hablar del movimiento de todas las moléculas del fluido como un todo y no individualmente. Una forma de describir el flujo de dichas moléculas es mediante una familia de mapas biyectivos (𝜑𝑡)𝑡, definida en el volumen 𝜔que es ocupado inicialmente por el fluido, tal que para un Ω0contenido en 𝜔, el conjunto Ω𝑡=𝜑𝑡(Ω0)contiene las mismas moléculas que se encontraban inicialmente en Ω0, pero ahora en un tiempo 𝑡. Definición 1.2. La familia de conjuntos (Ω𝑡)𝑡, con Ω𝑡=𝜑𝑡(Ω0), es denominada elemento de fluido. Al caso Ω0= {𝑥0}se le conoce como partícula de fluido. La evolución del sistema puede quedar determinada conociendo (𝜑𝑡)𝑡, sin embargo, podemos definir 𝑋(𝑡, 𝑡0, 𝑥0) = 𝜑𝑡(𝜑−1 𝑡0(𝑥0)) como la trayectoria de una partícula de fluido. Esta consiste en la posición en el tiempo 𝑡de la partícula de fluido cuya posición era 𝑥0en el tiempo 𝑡0. De esta forma, trabajaremos con la velocidad de una partícula de fluido pasando por 𝑥en un tiempo 𝑡como sigue: 7 1.3. Condiciones iniciales y de contorno En los capítulos que siguen, se va a trabajar en Ω⊂ℝ𝑑(𝑑= 2,3) dominio acotado no vacío con 𝜕Ω ∈ 0,1, y con 𝑇 > 0. Trataremos con el problema de Dirichlet ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en Ω, div(𝑣)=0 en Ω, 𝑣= 0 sobre 𝜕Ω, para las ecuaciones de Stokes en el caso estacionario, y el problema de Cauchy-Dirichlet ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜕𝑣 𝜕𝑡 − Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en 𝑄= (0, 𝑇 )×Ω, div(𝑣)=0 en 𝑄, 𝑣= 0 sobre Σ = (0, 𝑇 ) × 𝜕Ω, 𝑣(0,⋅) = 𝑣0en Ω, para las ecuaciones de Stokes en el caso evolutivo. Las ecuaciones de Navier-Stokes, por su parte, también serán comentadas, destacando principalmente las complicaciones que presentan frente a las de Stokes en el caso de evolución, y proporcionando ejemplos con soluciones exactas en el estacionario. 14 Capítulo 2 Herramientas matemáticas 2.1. Conceptos generales Se dan por conocidas definiciones básicas del Análisis Funcional, como las de espacios de Banach y de Hilbert, y sus propiedades fundamentales. Nos centraremos en recordar conceptos de Teoría de Distribuciones y Espacios de Sobolev. Salvo que se comente lo contrario, la imagen de las funciones están contenidas en ℝ. Si no se dice nada, en este capítulo, Ω⊂ℝ𝑁es un dominio (abierto conexo) acotado no vacío. Definición 2.1. Sea Ω⊂ℝ𝑁abierto y 𝑢∈0(Ω). Se define el soporte de 𝑢por sop(𝑢) = {𝑥∈Ω∶𝑢(𝑥)≠0} ⊂Ω. Así mismo, definimos (Ω) (o ∞ 𝑐(Ω)) como el espacio de funciones 𝜑∈∞(Ω) tales que sop(𝜑)es un compacto contenido en Ω. A(Ω) se le dota de la siguiente convergencia: Definición 2.2. Dadas {𝜑𝑛}𝑛≥1⊂(Ω) y𝜑∈(Ω), diremos que 𝜑𝑛←→ 𝜑en (Ω) si existe un compacto 𝐾 ⊂ Ωtal que sop(𝜑𝑛)⊂ 𝐾, para cualquier 𝑛≥1y𝜕𝛼𝜑𝑛←→ 𝜕𝛼𝜑uniformemente en Ω, para cualquier multiíndice 𝛼∈ (ℕ∪ {0})𝑁. Definición 2.3. Se define ′(Ω), el espacio de distribuciones en Ω, como el espacio de aplicaciones lineales 𝑇∶(Ω) ←→ ℝtales que si 𝜑𝑛←→ 𝜑en (Ω) entonces 𝑇(𝜑𝑛)←→ 𝑇(𝜑). Observación 2.4. Se suele usar la notación ⟨𝑇 , 𝜑⟩′(Ω),(Ω) para 𝑇(𝜑), al igual que los elementos de un espacio dual. Si el contexto lo permite, escribiremos simplemente ⟨𝑇 , 𝜑⟩. Definición 2.5. Se define 𝐿𝑝 𝑙𝑜𝑐(Ω), con 𝑝≥1, como el espacio de funciones 𝑢∶ Ω ←→ ℝmedibles tales que existe ∫𝐾|𝑢|𝑝𝑑𝑥, ∀𝐾 ⊂ Ω𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜. Cabe destacar que 𝐿𝑝(Ω) ⊂ 𝐿1 𝑙𝑜𝑐(Ω), para cualquier 𝑝∈ [1,∞]. De hecho, este último espacio definido estará incluido en el espacio de distribuciones debido al siguiente resultado: Proposición 2.1. Dada una función 𝑓∈𝐿1 𝑙𝑜𝑐(Ω), entonces, 𝑓se identifica con la distribución 𝑇𝑓 ⟨𝑇𝑓, 𝜑⟩=∫Ω 𝑓𝜑 𝑑𝑥, ∀𝜑∈(Ω). 15 2.1. Conceptos generales Una prueba simple de esta proposición puede encontrarse en [3]. A partir de ahora escribiremos 𝑓en lugar de 𝑇𝑓. Si 𝑓es un elemento de 𝐿2(Ω), por el Teorema de Riesz, 𝑓se identifica con el elemento del dual de 𝐿2(Ω),𝑅𝑓, definido por ⟨𝑅𝑓, 𝑔⟩=∫Ω𝑓𝑔 𝑑𝑥, para todo 𝑔de 𝐿2(Ω). De hecho, se tiene: Proposición 2.2. Sea 𝑇∈′(Ω), tal que existe 𝐶positiva verificando |⟨𝑇 , 𝜑⟩|≤𝐶‖𝜑‖𝐿2(Ω),∀𝜑∈(Ω). Entonces, existe una única 𝑓∈𝐿2(Ω) cumpliendo 𝑇=𝑓. Demostración. Se tiene que (Ω) es denso en 𝐿2(Ω) y, además, 𝐿∶𝜑∈(Ω) → 𝐿(𝜑) = ⟨𝑇 , 𝜑⟩∈ℝ, es lineal y satisface |𝐿(𝜑)|≤𝐶‖𝜑‖𝐿2(Ω),∀𝜑∈(Ω). Entonces, sabemos que existe un único 𝐿∈(𝐿2(Ω); ℝ)≡𝐿2(Ω)′tal que 𝐿(𝜑) = 𝐿(𝜑) = ⟨𝑇 , 𝜑⟩,∀𝜑∈(Ω). Por último, usando el Teorema de Riesz, se tiene que existe una única función 𝑓∈𝐿2(Ω) con ‖𝑓‖𝐿2(Ω) ≡‖𝐿‖𝐿2(Ω)′tal que 𝐿(𝜑)=(𝑓, 𝜑) = ⟨𝑇 , 𝜑⟩,∀𝜑∈(Ω), y de aquí se tiene el resultado. □ Observación 2.6. No todas las distribuciones son funciones. Tenemos el ejemplo de la delta de Dirac, 𝛿, que está definida de la forma ⟨𝛿, 𝜑⟩=𝜑(0), para todo 𝜑perteneciente a (Ω). Nos podemos preguntar si el concepto de derivada aparece en este contexto. La respuesta, además de afirmativa, es que para ciertas funciones la derivada usual y la distribucional, definida en breve, coinciden. Definición 2.7. Sea 𝑇∈′(Ω). Para 1≤𝑖≤𝑁, se define la parcial i-ésima de 𝑇y se denota 𝜕𝑖𝑇a la distribución definida por ⟨𝜕𝑖𝑇 , 𝜑⟩= −⟨𝑇 , 𝜕𝑖𝜑⟩,∀𝜑∈(Ω). Podemos ahora definir derivadas de orden superior. Observar que, para distribuciones, las derivadas cruzadas siempre coinciden. Esto se ve para todo 𝜑que pertenezca a (Ω): ⟨𝜕𝑖(𝜕𝑗𝑇), 𝜑⟩= −⟨𝜕𝑗𝑇 , 𝜕𝑖𝜑⟩=⟨𝑇 , 𝜕𝑗(𝜕𝑖𝜑)⟩=⟨𝑇 , 𝜕𝑖(𝜕𝑗𝜑)⟩= −⟨𝜕𝑖𝑇 , 𝜕𝑗𝜑⟩=⟨𝜕𝑗(𝜕𝑖𝑇), 𝜑⟩. En general, las derivadas distribucionales diferirán de las usuales, pero como se comentó previamente, hay funciones en las que siempre se tiene la equivalencia. Proposición 2.3. Si 𝑢∈0(Ω) es tal que 𝜕𝑖𝑢∈0(Ω) para 𝑖∶ 1 ≤𝑖≤𝑁, entonces la derivada usual de 𝑢y la derivada distribucional coinciden. Ya introducida la noción de derivada para las distribuciones, vamos a hablar sobre los espacios de Sobolev, con los que trabajaremos continuamente. 16 2. Herramientas matemáticas Definición 2.8. Se define el siguiente espacio de Hilbert: 𝐻1(Ω) = {𝑢∈𝐿2(Ω) ∶ 𝜕𝑖𝑢∈𝐿2(Ω),1≤𝑖≤𝑁}, donde 𝜕𝑖𝑢la entendemos como la derivada en el sentido de las distribuciones. A 𝐻1(Ω) se le dota del producto escalar: (𝑢, 𝑣)𝐻1(Ω) =∫Ω (𝑢𝑣 + ∇𝑢⋅∇𝑣)𝑑𝑥, ∀𝑢, 𝑣 ∈𝐻1(Ω). Antes de seguir analizando estos espacios, cabe destacar el Teorema de Lax-Milgran, ya que es de especial utilidad cuando tratamos problemas en derivadas parciales como los que nos incumben. Teorema 2.4. Sean 𝐻espacio de Hilbert, 𝑎∶𝐻×𝐻←→ ℝuna forma bilineal continua, tal que existe 𝛼 > 0verificando 𝑎(𝑥, 𝑥)≥𝛼‖𝑥‖2para todo 𝑥perteneciente a 𝐻, y 𝑓∈𝐻′. Entonces, existe un único 𝑢∈𝐻solución de 𝑎(𝑢, 𝑥) = ⟨𝑓, 𝑥⟩,∀𝑥∈𝐻. (2.1) Si 𝑎(⋅,⋅)es simétrica, la única solución en 𝐻de (2.1) está caracterizada por ser la única solución del problema m ın 𝑥∈𝐻{1 2𝑎(𝑥, 𝑥) − ⟨𝑓, 𝑥⟩}. Observación 2.9. Si 𝑎cumple la condición de la existencia de 𝛼, se dice que es coercitiva. La demostración del Teorema de Lax-Milgram está presente en numerosas fuentes, por ejemplo, en [3]. Dicho esto, retomamos los espacios de Sobolev añadiendo una nueva definición a nuestro repertorio: Definición 2.10. Se define 𝐻1 0(Ω) como el cierre/clausura de (Ω) en 𝐻1(Ω). Se sabe que 𝐻1(Ω) = 𝐻1 0(Ω) si Ω = ℝ𝑁, pero en general son distintos. Claramente 𝐻1 0(Ω) es un subespacio cerrado de 𝐻1(Ω) y, por tanto, es un espacio de Hilbert para el mismo producto escalar. Desde el punto de vista formal podemos entenderlo como el espacio de funciones de 𝐻1(Ω) que se anulan en 𝜕Ω. Además, se verifica la desigualdad de Poincaré: Teorema 2.5. Sea Ω⊂ℝ𝑁un abierto tal que existen dos hiperplanos paralelos de forma que Ωestá contenido entre ambos. Sea 𝑑la distancia entre ambos, entonces se verifica ‖𝑢‖𝐿2(Ω) ≤𝐶‖∇𝑢‖𝐿2(Ω)𝑁,∀𝑢∈𝐻1 0(Ω), donde 𝐶=𝑑∕√2. Demostración. Supongamos 𝑢∈(Ω). Por un cambio de variables, giro más traslación, podemos suponer que los hiperplanos son 𝑥1= 0 y𝑥1=𝑑≥0. Como 𝑢∈(Ω), extendiendo por cero, podemos suponer que 𝑢está definida en todo ℝ𝑁. Llamando 𝑥′= (𝑥2...𝑥𝑁), se tiene: 𝑢(𝑥1, 𝑥2...𝑥𝑁) = 𝑢(0, 𝑥′) + ∫𝑥1 0 𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)𝑑𝑡, ∀𝑥1∈ (0, 𝑑), 𝑥′∈ℝ𝑁−1. Tomando valor absoluto y sabiendo que 𝑢(0, 𝑥′) = 0, se tienen las siguientes desigualdades, usando Cauchy-Schwarz en la segunda: |𝑢(𝑥1, 𝑥′)|2≤(∫𝑥1 0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|𝑑𝑡)2≤𝑥1∫𝑥1 0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡 ≤𝑥1∫𝑑 0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡, 17 2.1. Conceptos generales para cualesquiera 𝑥1∈ (0, 𝑑)y𝑥′∈ℝ𝑁−1. Integrando entre 0 y 𝑑en la variable 𝑥1: ∫𝑑 0|𝑢(𝑥1, 𝑥′)|2𝑑𝑥1≤∫𝑑 0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡 ∫𝑑 0 𝑥1𝑑𝑥1=𝑑2 2∫𝑑 0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡. Haciendo lo mismo pero con el resto de variables en todo ℝ𝑁−1: ∫ℝ𝑁−1 ∫𝑑 0|𝑢(𝑥1, 𝑥′)|2𝑑𝑥1𝑑𝑥′≤𝑑2 2∫ℝ𝑁−1 ∫𝑑 0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡𝑑𝑥′. Como Ω⊂(0, 𝑑) × ℝ𝑁−1 y sabiendo que 𝑢= 0 fuera de Ω, ya tenemos una desigualdad útil: ∫Ω|𝑢|2𝑑𝑥 ≤𝑑2 2∫Ω|𝜕1𝑢|2𝑑𝑥, ∀𝑢∈(Ω). Si ahora tomamos 𝑢perteneciente a 𝐻1 0(Ω), entonces existirá una sucesión de 𝑢𝑛pertenecientes a(Ω) tales que tienden a 𝑢en 𝐻1(Ω). Esto implica que también tiendan a 𝑢en 𝐿2(Ω) y∇𝑢𝑛a∇𝑢 en 𝐿2(Ω)𝑁. Esto se traduce en: ‖𝑢𝑛‖2 𝐿2(Ω) =∫Ω|𝑢𝑛|2𝑑𝑥 ←→ ∫Ω|𝑢|2𝑑𝑥 =‖𝑢‖2 𝐿2(Ω) y ‖𝜕1𝑢𝑛‖2 𝐿2(Ω) =∫Ω|𝜕1𝑢𝑛|2𝑑𝑥 ←→ ∫Ω|𝜕1𝑢|2𝑑𝑥 =‖𝜕1𝑢‖2 𝐿2(Ω). Usando entonces la desigualdad obtenida previamente para cada 𝑛natural y pasando al límite se concluye la prueba: ‖𝑢‖2 𝐿2(Ω) ≤𝑑2 2‖𝜕1𝑢‖2 𝐿2(Ω) ≤𝑑2 2‖∇𝑢‖2 𝐿2(Ω)𝑁,∀𝑢∈𝐻1 0(Ω). □ Observación 2.11. La demostración dada prueba que si 𝑛es un vector unitario ortogonal a los hiperplanos, entonces se tiene ‖𝑢‖𝐿2(Ω) ≤𝑑 √2‖∇𝑢⋅𝑛‖𝐿2(Ω),∀𝑢∈𝐻1 0(Ω). Como consecuencia del Teorema 2.5, obtenemos: Corolario 2.6. En las condiciones anteriores tomando como norma en 𝐻1 0(Ω),‖𝑢‖𝐻1 0(Ω) =‖∇𝑢‖𝐿2(Ω)𝑁, se tiene que esta norma es equivalente a la usual. Demostración. Claramente ‖𝑢‖𝐻1 0(Ω) ≤‖𝑢‖𝐻1(Ω), sea cual sea 𝑢de 𝐻1 0(Ω). Por otra parte, usando Poincaré, ‖𝑢‖𝐻1(Ω) =√‖𝑢‖2 𝐿2(Ω) +‖∇𝑢‖2 𝐿2(Ω)𝑁≤√𝑑2 2‖∇𝑢‖2 𝐿2(Ω)𝑁+‖∇𝑢‖2 𝐿2(Ω)𝑁=√𝑑2 2+ 1‖∇𝑢‖𝐿2(Ω)𝑁, por lo que se ha llegado a la otra desigualdad que finaliza la demostración: ‖𝑢‖𝐻1(Ω) ≤√1 + 𝑑2 2‖𝑢‖𝐻1 0(Ω),∀𝑢∈𝐻1 0(Ω). Esto finaliza la prueba. □ 18 2. Herramientas matemáticas Como ocurre con un espacio normado cualquiera, tenemos el espacio de aplicaciones lineales y continuas de 𝐻1 0(Ω) aℝ: Definición 2.12. Se define 𝐻−1(Ω) como el espacio dual de 𝐻1 0(Ω). Se tiene que 𝐻−1(Ω) es un subespacio de ′(Ω). Además, si 𝑇es un elemento de ′(Ω) entonces: 𝑇∈𝐻−1(Ω) ⇐⇒ ∃𝐶≥0 ∶ |⟨𝑇 , 𝜑⟩|≤𝐶‖𝜑‖𝐻1(Ω),∀𝜑∈(Ω). Como casos particulares de interés, tenemos 𝐿2(Ω) ⊂ 𝐻−1(Ω) y, cuando 𝑔pertenezca a 𝐿2(Ω), las diferentes derivadas 𝜕𝑖𝑔serán elementos de 𝐻−1(Ω). Recíprocamente, se tiene: Proposición 2.7. Si 𝑓∈𝐻−1(Ω), entonces existen 𝑓∈𝐿2(Ω),𝑔∈𝐿2(Ω)𝑁tales que: 𝐹=𝑓+div(𝑔) = 𝑓+𝜕1𝑔1+𝜕2𝑔2+... +𝜕𝑁𝑔𝑁. Demostración. Dada 𝐹de 𝐻−1(Ω), por el Teorema de Riesz, existe una única 𝑢perteneciente a 𝐻1 0(Ω) tal que: ⟨𝐹 , 𝑣⟩= (𝑢, 𝑣)𝐻1(Ω) =∫Ω (𝑢𝑣 + ∇𝑢⋅∇𝑣)𝑑𝑥, ∀𝑣∈𝐻1 0(Ω), donde si desarrollamos para cualquier 𝑣de (Ω), se llega a ∫Ω (𝑢𝑣 + ∇𝑢⋅∇𝑣)𝑑𝑥 =∫Ω (𝑢𝑣 + 𝑁 ∑ 𝑖=1 𝜕𝑖𝑢𝜕𝑖𝑣)𝑑𝑥 =⟨𝑢, 𝑣⟩′,+ 𝑁 ∑ 𝑖=1 ⟨𝜕𝑖𝑢, 𝜕𝑖𝑣⟩′, =⟨𝑢, 𝑣⟩′,− 𝑁 ∑ 𝑖=1 ⟨𝜕2 𝑖𝑖𝑢, 𝑣⟩′, =⟨𝑢− Δ𝑢, 𝑣⟩′,. Por densidad 𝑢− Δ𝑢=𝐹, tomando para acabar 𝑓=𝑢y𝑔= −∇𝑢.□ Observación 2.13. En el resultado anterior, si además se verifica la desigualdad de Poincaré, se puede tomar 𝑓= 0. Esto debido a que el producto escalar (𝑢, 𝑣)𝐻1 0(Ω) = (∇𝑢, ∇𝑣)𝐿2(Ω) es equivalente al usual. 2.2. Dominios Lipschitz Trabajar en abiertos sin ninguna condición especial puede provocarnos problemas, la mayor parte de las veces en la frontera de estos. Por ello, vamos a centrarnos específicamente en los dominios lipschitzianos que nos permitirán aplicar la fórmula de Stokes del teorema de la divergencia. Recordamos, para entender la notación, que una función, 𝑓, de clase 𝑘,𝛼(Ω) es aquella cuyas derivadas parciales hasta orden 𝑘existen y son continuas, y las de orden 𝑘son continuas en el sentido de Hölder, es decir, para cada 𝑥0∈ Ω, existen 𝐶𝑥0positiva y un entorno abierto 𝑈𝑥0⊂Ωde 𝑥0tal que |𝜕𝑘𝑓(𝑥) − 𝜕𝑘𝑓(𝑦)|≤𝐶𝑥0|𝑥−𝑦|𝛼,∀𝑥, 𝑦 ∈𝑈𝑥0. Definición 2.14. Dada una función 𝑎∶ℝ𝑑−1 ←→ ℝ, de clase 𝑘,𝛼 y con soporte compacto, definimos el siguiente conjunto abierto 𝑎={(𝑥, 𝑥𝑑) ∈ ℝ𝑑∶𝑥𝑑> 𝑎(𝑥)}, que será llamado semiespacio 𝑘,𝛼 en ℝ𝑑. 19 2.3. Funciones y distribuciones vectoriales Aunque hemos hecho la definición anterior para cualquier 𝑘entero no negativo y 𝛼real entre 0 y 1, luego nos quedaremos en uno de los casos más significantes. Trataremos con 𝑑= 2 o𝑑= 3, pero no habría complicaciones en otros casos de mayor dimensión. Definición 2.15. Un dominio no vacío Ωde ℝ𝑑es llamado dominio de clase 𝑘,𝛼 (con notación 𝜕Ω ∈ 𝑘,𝛼 oΩ ∈ 𝑘,𝛼) si para cualquier punto 𝜎de su frontera existe un entorno abierto 𝑈𝜎de 𝜎en ℝ𝑑, una rotación 𝑅𝜎y un semiespacio 𝑘,𝛼,𝑎𝜎, cumpliendo: Ω ∩ 𝑈𝜎= (𝑅𝜎𝑎𝜎) ∩ 𝑈𝜎, 𝜕Ω ∩ 𝑈𝜎= (𝑅𝜎𝜕𝑎𝜎) ∩ 𝑈𝜎, Ω𝑐∩𝑈𝜎= (𝑅𝜎𝑐 𝑎𝜎) ∩ 𝑈𝜎. Concretamente, si 𝑘= 0 y𝛼= 1,Ωserá un dominio Lipschitz, Ω ∈ 0,1. El resultado fundamental que nos concierne para los dominios Lipschitz y la razón de hacer los estudios en estos es el mencionado al comienzo de la sección: el teorema de la divergencia. Aunque no se probará, ya que habría que hacer un análisis más profundo de los dominios Lipschitz, se puede consultar [2] si se desea. Teorema 2.8. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio con 𝜕Ω ∈ 0,1y frontera compacta. Para cualquier campo Φ que pertenezca a 1 𝑐(ℝ𝑑)𝑑, se tiene ∫Ω div(Φ) 𝑑𝑥 =∫𝜕Ω (Φ ⋅𝜈)𝑑𝜎, donde 𝜈es el vector unitario normal exterior a la superficie. En el caso particular de aplicar dicho teorema al campo 𝜓Φ, con Φun campo como antes y 𝜓 simplemente en 1 𝑐(ℝ𝑑), llegamos a la expresión ∫Ω 𝜓div(Φ) 𝑑𝑥 +∫Ω Φ⋅∇𝜓 𝑑𝑥 =∫𝜕Ω 𝜓(Φ ⋅𝜈)𝑑𝜎. 2.3. Funciones y distribuciones vectoriales En lo que llevamos de capítulo, nos hemos interesado en funciones que toman valores en los números reales. En cambio, a continuación se comentarán algunos resultados sobre integración y diferenciación para funciones de una variable que llegan a un espacio de Banach 𝑋. Viendo su analogía con las funciones 𝐿𝑝(Ω), se podrá hablar de distribuciones vectoriales y espacios de Sobolev con valores en un Banach. La motivación de ello se verá reflejada en el tercer y cuarto capítulo cuando hablemos sobre las ecuaciones de Stokes y Navier-Stokes de evolución. Supongamos que 𝑋es un espacio de Banach sobre ℝcon norma ‖⋅‖y espacio dual 𝑋′. Definición 2.16. Sea 𝑇 > 0. Una función vectorial de una variable será aquella de la forma 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋. La función característica de un conjunto medible Lebesgue 𝐸contenido en el intervalo (0, 𝑇 )se denota por 𝜒𝐸(𝑡) = {1si 𝑡∈𝐸, 0si 𝑡∉𝐸. 20 2. Herramientas matemáticas Definición 2.17. Una función simple 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋es una función que presenta la forma 𝑓= 𝑁 ∑ 𝑗=1 𝑐𝑗𝜒𝐸𝑗(2.2) donde 𝐸𝑗son subconjuntos medibles Lebesgue en (0, 𝑇 )con intersección vacía dos a dos y los 𝑐𝑗 son elementos de 𝑋. Esta noción de función simple nos va a ser útil para introducir las llamadas integrales de Bochner. Antes definiremos al resto de funciones con las que se harán los estudios: Definición 2.18. Una función 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋se dice que es fuertemente medible si existe una sucesión {𝑓𝑛}𝑛≥1de funciones simples tal que 𝑓𝑛(𝑡)←→ 𝑓(𝑡),p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ). 2.3.1. Integrabilidad Al usar las propiedades de orden en ℝ, la definición de la integral de Lebesgue como el supremo de las integrales de funciones simples no se extiende de forma directa a las funciones vectoriales. Definición 2.19. Sea 𝑓una función simple dada por (2.2). La integral de 𝑓, conocida comúnmente como integral de Bochner, se define de la forma ∫𝑇 0 𝑓 𝑑𝑡 = 𝑁 ∑ 𝑗=1 𝑐𝑗|𝐸𝑗|∈𝑋 donde |𝐸𝑗|denota la medida de Lebesgue de 𝐸𝑗. La última definición, como cabría esperarse, se puede extender a las funciones fuertemente medibles. De ahí la definición que sigue: Definición 2.20. Una función fuertemente medible 𝑓es integrable Bochner si existe una sucesión de funciones simples {𝑓𝑛}𝑛≥1tal que 𝑓𝑛(𝑡)converge puntualmente a 𝑓(𝑡)para casi todo 𝑡en (0, 𝑇 )y l ım 𝑛←→∞∫𝑇 0‖𝑓−𝑓𝑛‖𝑑𝑡 = 0. La integral, de Bochner, de 𝑓se definirá por tanto como ∫𝑇 0 𝑓 𝑑𝑡 = l ım 𝑛←→∞∫𝑇 0 𝑓𝑛𝑑𝑡. Observación 2.21. Este último límite existe fuertemente en 𝑋y su valor es independiente de la sucesión elegida. Efectivamente, haciendo uso de (2.3), se puede comprobar. Una propiedad que podemos preguntarnos si se cumple es la desigualdad clásica del valor absoluto de la integral pero en nuestro caso para la norma de 𝑋. Proposición 2.9. Sea 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋una función integrable Bochner. Entonces, se tiene la siguiente desigualdad: ‖‖‖‖‖∫𝑇 0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡‖‖‖‖‖≤∫𝑇 0‖𝑓(𝑡)‖𝑑𝑡. 21 2.3. Funciones y distribuciones vectoriales Demostración. Demostremos la desigualdad para funciones simples. Sea 𝑓tal que 𝑓(𝑡) = 𝑁 ∑ 𝑗=1 𝑐𝑗𝜒𝐸𝑗, con los 𝑐𝑗∈𝑋y𝐸𝑗⊂(0, 𝑇 )medibles Lebesgue en (0, 𝑇 )y disjuntos, para cualquier 𝑗. Se da, gracias a la desigualdad triangular: ‖‖‖‖‖∫𝑇 0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡‖‖‖‖‖=‖‖‖‖‖‖ 𝑁 ∑ 𝑗=1 𝑐𝑗|𝐸𝑗|‖‖‖‖‖‖ ≤𝑁 ∑ 𝑗=1 |𝐸𝑗|‖𝑐𝑗‖=∫𝑇 0‖𝑓(𝑡)‖𝑑𝑡. (2.3) Esto prueba el caso de las funciones simples. Ahora, dada 𝑓fuertemente medible e integrable Bochner cualquiera se tiene que existe una sucesión {𝑓𝑛}𝑛≥1de funciones simples que converge puntualmente a 𝑓(𝑡)para casi todo 𝑡en (0, 𝑇 ). Para cada 𝑛se tiene: ‖‖‖‖‖∫𝑇 0 𝑓𝑛(𝑡)𝑑𝑡‖‖‖‖‖≤∫𝑇 0‖𝑓𝑛(𝑡)‖𝑑𝑡. Pasando al límite, por continuidad de la norma y de la integral, se llega a la desigualdad de la proposición. □ Veamos ahora una igualdad que aparece al aplicar un elemento del dual a una integral. De una forma poco formal, las integrales y las aplicaciones lineales son intercambiables. Proposición 2.10. Sea 𝐿∈𝑋′. Entonces, se cumple la siguiente igualdad para cualquier función 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋integrable Bochner: ⟨𝐿, ∫𝑇 0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡⟩=∫𝑇 0⟨𝐿, 𝑓(𝑡)⟩𝑑𝑡. Demostración. La prueba sigue la misma línea que la de proposición previa. Por ello, vemos primero el caso de las funciones simples: ∫𝑇 0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑁 ∑ 𝑗=1 𝑐𝑗|𝐸𝑗|⇒⟨𝐿, ∫𝑇 0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡⟩= 𝑁 ∑ 𝑗=1 |𝐸𝑗|⟨𝐿, 𝑐𝑗⟩. Por otro lado, se tiene la siguiente cadena de igualdades que demuestra el caso de las funciones simples: ∫𝑇 0⟨𝐿, 𝑓(𝑡)⟩𝑑𝑡 =∫𝑇 0 𝑁 ∑ 𝑗=1 ⟨𝐿, 𝑐𝑗⟩𝜒𝐸𝑗= 𝑁 ∑ 𝑗=1 |𝐸𝑗|⟨𝐿, 𝑐𝑗⟩. Para el resto de las funciones fuertemente medibles e integrables Bochner se hace el mismo razonamiento visto, en este caso continuidad de 𝐿, que para la desigualdad vista en la anterior proposición. □ Presentamos un resultado debido al propio Bochner en 1933, el cual caracteriza las funciones integrables con aquellas que tienen norma integrable. Teorema 2.11. Una función 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋es integrable Bochner si y solo si es fuertemente medible y ∫𝑇 0‖𝑓‖𝑑𝑡 < ∞. 22 2. Herramientas matemáticas Es decir, para saber si es posible integrar una función vectorial tan solo hace falta comprobar que 𝑔∶𝑡∈ (0, 𝑇 )←→ ‖𝑓(𝑡)‖∈ℝes integrable. La prueba del Teorema 2.11 puede consultarse en [6]. El próximo concepto que podemos tratar para las funciones vectoriales es el de los espacios 𝐿𝑝, cuya definición y propiedades son totalmente análogas al caso de funciones que toman valores reales. Definición 2.22. Para 1≤𝑝 < ∞, el espacio 𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋)se compone de todas las funciones fuertemente medibles 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋, cumpliendo ∫𝑇 0‖𝑓‖𝑝𝑑𝑡 < ∞. Dotamos a este espacio de la norma ‖𝑓‖𝐿𝑝(0,𝑇 ;𝑋)=(∫𝑇 0‖𝑓‖𝑝𝑑𝑡)1∕𝑝 . El espacio 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝑋)está compuesto por las funciones fuertemente medibles que cumplen ‖𝑓‖𝐿∞(0,𝑇 ;𝑋)= sup 𝑡∈(0,𝑇 )‖𝑓(𝑡)‖<∞, donde aquí sup denota el supremo esencial, el menor número real 𝑀tal que |{𝑡∈ (0, 𝑇 ) ∶ ‖𝑓(𝑡)‖> 𝑀}|= 0, con |⋅|denotando la medida de Lebesgue. Observación 2.23. Como en el caso real, trabajamos con clases de funciones. Por tanto, todas aquellas que sean iguales punto a punto para casi todo 𝑡en (0, 𝑇 )son técnicamente la misma. Se tiene el siguiente resultado, cuya prueba viene referenciada en [2], de gran utilidad: Teorema 2.12. Si 𝑋es un espacio de Banach y 1≤𝑝≤∞, entonces 𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋)es un espacio de Banach. Además, para 𝑝finito, el conjunto de las funciones 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋continuas es denso en 𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋). Es lógico pensar que la Definición 2.3 se puede extender, visto todo esto, de la siguiente forma: Definición 2.24. Se define ′(0, 𝑇 ;𝑋), el espacio de distribuciones vectoriales en (0, 𝑇 ), como el espacio de aplicaciones lineales 𝑇∶(0, 𝑇 )←→ 𝑋tales que si 𝜑𝑛←→ 𝜑en (0, 𝑇 )entonces 𝑇(𝜑𝑛)←→ 𝑇(𝜑)en 𝑋. Al igual que con las distribuciones clásicas, las funciones vectoriales, 𝑓, de 𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋)se identifican con distribuciones en ′(0, 𝑇 ;𝑋)a través de la identificación: ⟨𝑇𝑓, 𝜑⟩=∫𝑇 0 𝜑𝑓 𝑑𝑡, ∀𝜑∈(0, 𝑇 ), donde se usa la notación ⟨⋅,⋅⟩de igual manera. Abusando de notación nuevamente 𝑇𝑓=𝑓. El resultado que permite esta identificación es la extensión de la Proposición 2.1 a las distribuciones vectoriales. 23 3.1. Problema estacionario Teorema 3.4. Sea Ωun abierto acotado de ℝ𝑑, con 𝜕Ω ∈ 0,1. Entonces, se tiene que la imagen del operador gradiente ∇(𝐿2(Ω)) = {𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑∶ ∃𝑝∈𝐿2(Ω), 𝑓 = ∇𝑝} es un cerrado de 𝐻−1(Ω)𝑑. Demostración. Supondremos que Ωes un abierto conexo. Si no lo es, basta con aplicar el teorema a cada componente conexa del mismo. Consideremos {∇𝑝𝑛}𝑛≥1, con 𝑝𝑛∈𝐿2(Ω), una sucesión que converge en 𝐻−1(Ω)𝑑. Podemos suponer que 𝑚(𝑝𝑛)=0, ya que Ωestá acotado y no habría cambio en ∇𝑝𝑛debido a que la media, si la restamos a 𝑝𝑛, es una constante. Aplicando la desigualdad de Nečas y la de la Proposición 3.2 se llega a: ‖𝑝𝑛−𝑝𝑛+𝑘‖𝐿2(Ω) ≤𝐶‖∇(𝑝𝑛−𝑝𝑛+𝑘)‖𝐻−1(Ω)𝑑,∀𝑛, 𝑘 ≥1. De aquí se deduce, como {∇𝑝𝑛}𝑛≥1es una sucesión de Cauchy en 𝐻−1(Ω)𝑑, que {𝑝𝑛}𝑛≥1es una sucesión de Cauchy en 𝐿2(Ω). Esto conlleva a que existe 𝑝de 𝐿2(Ω) tal que 𝑝𝑛←→ 𝑝. Ya es directo el final de la prueba con ∇𝑝𝑛←→ ∇𝑝en 𝐻−1(Ω)𝑑.□ Observación 3.3. Existe la versión de este teorema para dominios no acotados. En este caso, es el conjunto ∇(𝐿2 𝑙𝑜𝑐(Ω)) ∩ 𝐻−1(Ω)𝑑= {𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑∶ ∃𝑝∈𝐿2 𝑙𝑜𝑐(Ω), 𝑓 = ∇𝑝} el que es cerrado en 𝐻−1(Ω)𝑑. Ya estamos casi en condiciones para llegar al teorema que da nombre a esta subsección. Antes introduzcamos, como recordatorio, una definición básica para así entender la notación. Definición 3.4. Sea 𝐸un espacio de Banach con espacio dual 𝐸′. Dado un subconjunto 𝐴de 𝐸, se define como el ortogonal de 𝐴al subespacio de 𝐸′que viene dado por 𝐴⟂= {𝜑∈𝐸′∶⟨𝜑, 𝑥⟩= 0,∀𝑥∈𝐴}. Esta definición, más general, recoge el caso de los espacios de Hilbert, en los que el ortogonal nos lo da el producto escalar. Es consecuencia de Riesz. Proposición 3.5. Sea 𝐸un espacio de Banach y 𝐴un subcojunto del mismo. Se tienen las siguientes propiedades: 1. Si 𝐵 ⊂ 𝐴, entonces 𝐴⟂⊂ 𝐵⟂. 2. 𝐴⟂=Span(𝐴)⟂=Span(𝐴) ⟂ ,donde Span(𝐴)es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de elementos pertenecientes a 𝐴. 3. 𝐴⟂es un subespacio vectorial cerrado de 𝐸. Demostración. La primera propiedad es consecuencia directa de la definición de ser ortonormal. La segunda se puede ver por doble inclusión. Se tiene 𝐴 ⊂ Span(𝐴)⊂Span(𝐴), por lo que, usando la primera propiedad, Span(𝐴) ⟂ ⊂Span(𝐴)⟂⊂ 𝐴⟂. Sean ahora 𝜑∈𝐴⟂e𝑦∈Span(𝐴). Entonces: ∃𝑦1, ..., 𝑦𝑘∈𝐴, ∃𝛼1, ..., 𝛼𝑘∈ℝ|𝑦=𝛼1𝑦1+... +𝛼𝑘𝑦𝑘. Aplicando 𝜑a𝑦: ⟨𝜑, 𝑦⟩=⟨𝜑, 𝛼1𝑦1+... +𝛼𝑘𝑦𝑘⟩=𝛼1⟨𝜑, 𝑦1⟩+... +𝛼𝑘⟨𝜑, 𝑦𝑘⟩= 0. Esto prueba que 𝐴⟂⊂Span(𝐴)⟂. 30 3. El problema de Stokes estacionario y evolutivo Sea ahora 𝜑∈Span(𝐴)⟂y tomemos 𝑦∈Span(𝐴). Se tiene que existe una sucesión {𝑦𝑛}𝑛≥1en Span(𝐴)tal que 𝑦𝑛←→ 𝑦. Por la continuidad de 𝜑: ⟨𝜑, 𝑦⟩= l ım 𝑛←→∞⟨𝜑, 𝑦𝑛⟩= 0, quedando probada la inclusión Span(𝐴)⟂⊂Span(𝐴) ⟂ .Se ha demostrado la segunda propiedad. Para la tercera, consideremos 𝜑1y𝜑2de 𝐴⟂, así como 𝛼y𝛽reales. Sea cual sea 𝑦de 𝐴se da ⟨𝛼𝜑1+𝛽𝜑2, 𝑦⟩=𝛼⟨𝜑1, 𝑦⟩+𝛽⟨𝜑2, 𝑦⟩= 0, o lo que es lo mismo, 𝛼𝜑1+𝛽𝜑2es elemento de 𝐴⟂. Habiendo visto que es un subespacio vectorial, procedemos a ver si es cerrado. Para ello, tomamos 𝜑de 𝐴⟂, con {𝜑𝑛}𝑛≥1la sucesión en 𝐴⟂que cumple 𝜑𝑛←→ 𝜑. Nuevamente, por la continuidad de los 𝜑𝑛: ⟨𝜑, 𝑦⟩= l ım 𝑛←→∞⟨𝜑𝑛, 𝑦⟩= 0,∀𝑦∈𝐴. Ya se tiene que 𝐴⟂es cerrado debido a la igualdad con su clausura. Esto finaliza la prueba. □ Observación 3.5. Gracias a la segunda y tercera propiedad de esta proposición, si 𝐸es reflexivo, como los espacios de Hilbert, podemos asociar el ortogonal del ortogonal de 𝐴con la clausura de Span(𝐴). Esto es, de forma matemática, (𝐴⟂)⟂=Span(𝐴). Para los espacios de Hilbert, usando proyecciones ortogonales, consultar [3], se puede llegar al siguiente resultado: Proposición 3.6. Sean 𝐻un espacio de Hilbert y 𝑀 ⊂ 𝐻 un subespacio vectorial. Entonces, se tiene (𝑀⟂)⟂=𝑀. Corolario 3.7. Sean 𝐻un espacio de Hilbert y 𝑀 ⊂ 𝐻 un subespacio vectorial. Entonces, 1. 𝑀es cerrado en 𝐻si y solo si (𝑀⟂)⟂=𝑀. 2. 𝑀es denso en 𝐻si y solo si 𝑀⟂= {0}. Demostración. Lo primero está claro haciendo uso de la proposición previa, sabiendo que 𝑀=𝑀 implica ser cerrado y viceversa. Para el segundo punto, se tiene en cuenta que ser denso es un si y solo si con la condición 𝑀=𝐻. La proposición previa convierte esta equivalencia en ser denso si y solo si (𝑀⟂)⟂=𝐻. Recordamos que con los espacios de Hilbert los ortogonales vienen determinados por el producto escalar, como se comentó tras su definición. Por lo tanto: 𝑀es denso ⇐⇒ (𝑥, 𝑦)=0,∀𝑦∈𝐻, ∀𝑥∈𝑀⟂. Si 𝑀⟂= {0}, entonces se da la implicación de derecha a izquierda. Si 𝑀es denso, se toma 𝑦=𝑥 para obtener ‖𝑥‖2= (𝑥, 𝑥)=0,∀𝑥∈𝑀⟂. El único 𝑥con norma nula es 𝑥= 0, conluyendo la prueba. □ Disponemos de todas las herramientas necesarias para abarcar la demostración de la versión débil del Teorema de De Rham. 31 3.1. Problema estacionario Teorema 3.8. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no vacío con 𝜕Ω ∈ 0,1y frontera compacta. Sea 𝑓un elemento de 𝐻−1(Ω)𝑑cumpliendo ⟨𝑓, 𝜑⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑= 0,∀𝜑∈𝐻1 0(Ω)𝑑,tal que div(𝜑)=0. Se tiene entonces que existe un elemento 𝑝en 𝐿2 𝑙𝑜𝑐(Ω), único salvo una constante, tal que 𝑓= ∇𝑝. Si además Ωestá acotado, 𝑝pertenece a 𝐿2(Ω). Demostración. Vamos a denotar como 𝑌a alguno de los dos siguientes subespacios de 𝐻−1(Ω)𝑑, según proceda, definidos por 𝑌= {∇𝑝∶𝑝∈𝐿2(Ω)}, si Ωestá acotado, y por 𝑌= {𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑∶ ∃𝑝∈𝐿2 𝑙𝑜𝑐, 𝑓 = ∇𝑝}, si Ωno está acotado. Por otro lado, sea 𝑍el subespacio de 𝐻1 0(Ω)𝑑definido por 𝑍= {𝜑∈𝐻1 0(Ω)𝑑∶div(𝜑) = 0}. Con esta notación, reformulemos el enunciado del teorema teniendo en cuenta la definición del ortogonal. Con las mismas condiciones sobre Ω, si 𝑓∈𝑍⟂, entonces 𝑓∈𝑌. Cabe destacar que 𝐻−1(Ω)𝑑es un espacio de Hilbert. Además, usando el Teorema 3.4 y la Observación 3.3, 𝑌es un cerrado independientemente de Ωacotado o no. El Corolario 3.7 nos indica, como consecuencia, que (𝑌⟂)⟂=𝑌. Agrupando todo, solamente debemos probar 𝑌⟂⊂ 𝑍, ya que esto implica, por las propiedades de los ortogonales, 𝑍⟂⊂(𝑌⟂)⟂=𝑌, es decir, la reformulación del teorema. Sea 𝑢, elemento de 𝑌⟂. Por definición: ⟨∇𝑝, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑= 0,∀𝑝∈𝐿2(Ω). Así mismo, al ser 𝑝elementos de 𝐿2(Ω), se tiene ⟨∇𝑝, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑= − ∫Ω 𝑝div(𝑢)𝑑𝑥. Llegamos a que, para cualquier 𝑢de 𝑌⟂, se cumple: ∫Ω 𝑝div(𝑢)𝑑𝑥 = 0,∀𝑝∈𝐿2(Ω). Se puede elegir en esta igualdad 𝑝=div(𝑢), quedando, consecuentemente, div(𝑢)=0. Esto implica que 𝑢pertenezca a 𝑍. Esto termina la prueba. □ Se comentó previamente que esta es la versión débil del Teorema de De Rham. Nos será suficiente con ella para concluir la prueba de existencia y unicidad del problema estacionario de Stokes (3.2). Aun así, enunciamos la versión fuerte del Teorema de De Rham: Teorema 3.9. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no vacío y acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Sea 𝑓un elemento de 𝐻−1(Ω)𝑑, tal que para cualquier 𝜑∈(Ω)𝑑con divergencia nula se da ⟨𝑓, 𝜑⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑= 0. Entonces, existe una única 𝑝perteneciente a 𝐿2 0(Ω) cumpliendo 𝑓= ∇𝑝. La demostración puede encontrarse en [9] o en los trabajos del propio De Rham, [4]. Otro resultado similar que podemos encontrarnos es el siguiente teorema: Teorema 3.10. Sea Ω⊂ℝ𝑑un abierto no vacío. Sea 𝑓∈′(Ω)𝑑, tal que ⟨𝑓, 𝜑⟩′(Ω)𝑑,(Ω)𝑑= 0,∀𝜑∈(Ω)𝑑. Entonces, existe 𝑝∈′(Ω) tal que 𝑓= ∇𝑝. 32 3. El problema de Stokes estacionario y evolutivo 3.1.2. Existencia y unicidad de solución del problema (3.2) Volviendo al problema estacionario (3.2), ya podemos estudiar la existencia y unicidad de solución de dicho sistema. La presión 𝑝se buscará en 𝐿2 0(Ω), mientras que 𝑣la buscaremos, por la condición de Dirichlet y la divergencia nula, en el espacio de Hilbert 𝑉= {𝑣∈𝐻1 0(Ω)𝑑∶div(𝑣) = 0}. Teorema 3.11. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no vacío y acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Dada 𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑, existe un único par (𝑣, 𝑝) ∈ 𝑉×𝐿2 0(Ω), solución débil del problema (3.2). Además, existe una constante 𝐶 > 0, sólo dependiente de Ω, tal que ‖𝑣‖𝐻1(Ω)𝑑+‖𝑝‖𝐿2 0(Ω) ≤𝐶‖𝑓‖𝐻−1(Ω)𝑑. Demostración. Consideramos el espacio 𝑉descrito anteriormente. Se tiene que 𝑉es Hilbert porque es un subespacio cerrado de 𝐻1 0(Ω)𝑑. Antes que nada, veamos que la ecuación −Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓 tiene todos los términos en 𝐻−1(Ω)𝑑. Es evidente para 𝑓. El representante de 𝑝en 𝐿2 0(Ω) pertenece a𝐿2(Ω), por lo que sus derivadas en el sentido de distribuciones, visto en el segundo capítulo, pertenecen a 𝐻−1(Ω). Entonces, ∇𝑝es elemento de 𝐻−1(Ω)𝑑. El mismo razonamiento nos explica que cada componente de Δ𝑣se encuentra en 𝐻−1(Ω), ya que al poseer segundas derivadas parciales de cada componente de 𝑣, elemento de 𝐻1 0(Ω)𝑑, forman parte tanto los 𝑣𝑖como sus derivadas en 𝐿2(Ω). La igualdad se verifica en 𝐻−1(Ω)𝑑y, como consecuencia directa, en ′(Ω)𝑑. Vamos a obtener la formulación variacional del problema. Consideramos 𝑢∈𝑉, lo que nos lleva a que nuestro problema ahora sea encontrar (𝑣, 𝑝) ∈ 𝑉×𝐿2 0(Ω) cumpliendo: −⟨Δ𝑣, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑+⟨∇𝑝, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑=⟨𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑,∀𝑢∈𝑉 . Esto es equivalente, gracias a las derivadas distribucionales que encontramos en ⟨⋅,⋅⟩y por densidad, a∫Ω ∇𝑣∶ ∇𝑢 𝑑𝑥 −∫Ω 𝑝∇⋅𝑢 𝑑𝑥 =⟨𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑,∀𝑢∈𝑉 . La segunda integral se anula, ya que div(𝑢)=0para los elementos de 𝑉, llegando a la formulación variacional: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Hallar 𝑣∈𝑉 , ∫Ω ∇𝑣∶ ∇𝑢 𝑑𝑥 =⟨𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑,∀𝑢∈𝑉 . (3.3) La pregunta ahora es si de este nuevo problema se puede llegar al original. Mediante razonamientos parecidos, obtenemos: ⟨−Δ𝑣−𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑= 0,∀𝑢∈𝑉 . (3.4) Retomaremos este punto en un rato para poder concluir la prueba de forma satisfactoria. Estudiemos la formulación variacional. Para ello, definimos la siguiente forma bilineal en 𝑉: 𝑎(𝑣, 𝑤) = ∫Ω ∇𝑣∶ ∇𝑤 𝑑𝑥. (3.5) 33 3.1. Problema estacionario Es continua debido a que es el producto escalar en 𝐻1 0(Ω)𝑑, consecuencia del Corolario 2.6, por lo que se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |𝑎(𝑣, 𝑤)|=|(𝑣, 𝑤)𝐻1 0(Ω)𝑑|≤‖𝑣‖𝐻1 0(Ω)𝑑‖𝑤‖𝐻1 0(Ω)𝑑,∀𝑣, 𝑤 ∈𝐻1 0(Ω)𝑑. La coercitividad es el caso particular de tomar 𝑤=𝑣, quedando la igualdad 𝑎(𝑣, 𝑣) = ‖𝑣‖2 𝐻1 0(Ω)𝑑,∀𝑣∈𝐻1 0(Ω)𝑑. Como 𝑉 ⊂ 𝐻1 0(Ω)𝑑, entonces 𝑎es una forma bilineal continua y coercitiva en 𝑉. Por otro lado, definimos la forma lineal 𝐹(𝑤) = ⟨𝑓, 𝑤⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1 0(Ω)𝑑,∀𝑤∈𝑉 . Al ser 𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑, esta forma lineal es continua en 𝑉, contenida en 𝐻1 0(Ω)𝑑. Se dan todas las condiciones para aplicar el Teorema de Lax-Milgram, por lo que concluimos que existe un único elemento 𝑣de 𝑉solución de 𝑎(𝑣, 𝑢) = 𝐹(𝑢),∀𝑢∈𝑉 . Es decir, existe solución 𝑣∈𝑉y es única de (3.4). Si nos fijamos, estamos ante las condiciones del Teorema de De Rham, en su versión débil para Ωacotados. Aplicándolo, existe 𝑝∈𝐿2(Ω), única salvo constante, tal que −Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓. Tomando 𝑝cuya media es nula, llegamos a que es única en 𝐿2 0(Ω). La desigualdad del enunciado es directa tomando 𝑢=𝑣en (3.3). Esto termina la prueba. □ Habiendo visto la existencia y unicidad de solución de las ecuaciones de Stokes estacionarias con condición Dirichlet homogénea, se puede hacer un estudio de un problema más complejo pero, en el fondo, similar. Introduzcamos previamente al espacio 𝐻1∕2(𝜕Ω), a través del llamado teorema de trazas. Teorema 3.12. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no vacío y acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Entonces, existe una aplicación lineal y continua, 𝛾0∶𝐻1(Ω) ←→ 𝐿2(𝜕Ω), tal que 𝛾0𝑢=𝑢|𝜕Ω,∀𝑢∈0(Ω) ∩ 𝐻1(Ω). Además, se tiene 𝐻1 0(Ω) = {𝑢∈𝐻1(Ω) ∶ 𝛾0𝑢= 0}. Observación 3.6. Entendemos 𝛾0𝑢como el valor de 𝑢sobre 𝜕Ω.𝛾0no es sobreyectivo sobre 𝐿2(𝜕Ω). La imagen de 𝛾0se conoce como 𝐻1∕2(𝜕Ω), que se puede dotar con estructura de espacio de Hilbert. Una norma es ‖𝑣‖𝐻1∕2(𝜕Ω) = ınf 𝛾0𝑢=𝑣‖𝑢‖𝐻1(Ω). El dual de 𝐻1∕2(𝜕Ω) se denota por 𝐻−1∕2(𝜕Ω). Para este espacio, se tiene un teorema de gran utilidad si introducimos 𝐻(div,Ω) = {𝑢∈𝐿2(Ω)𝑑∶ ∇ ⋅𝑢∈𝐿2(Ω)}, que es un espacio de Hilbert para el producto (𝑢, 𝑣)𝐻(div,Ω) = (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω)𝑑+ (∇ ⋅𝑢, ∇⋅𝑣)𝐿2(Ω),∀𝑢, 𝑣 ∈𝐻(div,Ω). 34 3. El problema de Stokes estacionario y evolutivo Teorema 3.13. Sea Ω⊂ℝ𝑑un abierto conexo y acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Entonces, existe 𝛾𝑛∈ (𝐻(div,Ω), 𝐻−1∕2(𝜕Ω)) (traza normal) tal que 𝛾𝑛𝑢=𝑢⋅𝜈sobre 𝜕Ω,∀𝑢∈1(Ω)𝑑,(3.6) (𝜈es el vector normal unitario sobre 𝜕Ωexterior a Ω) y ∫Ω (∇ ⋅𝑢)𝑣 𝑑𝑥 =⟨𝛾𝑛𝑢, 𝑣⟩𝐻−1∕2(𝜕Ω),𝐻1∕2(𝜕Ω) −∫Ω 𝑢⋅∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝑣∈𝐻1(Ω). Demostración. Dada 𝑢∈𝐻(div,Ω), definimos 𝛾𝑛𝑢por ⟨𝛾𝑛𝑢, 𝜓⟩𝐻−1∕2,𝐻1∕2 =∫Ω div(𝑢)𝑣 𝑑𝑥 +∫Ω 𝑢⋅∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝜓∈𝐻1∕2(𝜕Ω), con 𝑣∈𝐻1(Ω) tal que la traza de 𝑣sea 𝜓sobre 𝜕Ω. Se abusa de notación en el enunciado, usando 𝑣en vez de 𝜓. Veamos que el miembro derecho no depende de 𝑣. Para ello, sean 𝑣1y𝑣2de 𝐻1(Ω) tales que sus trazas sean 𝜓sobre 𝜕Ω. Es decir, 𝛾0(𝑣2−𝑣1)=0, lo que implica que 𝑣2−𝑣1∈𝐻1 0(Ω). Así, ∫div(𝑢)(𝑣1−𝑣2)𝑑𝑥 =⟨div(𝑢), 𝑣1−𝑣2⟩𝐻−1,𝐻1 0= −⟨𝑢, ∇(𝑣1−𝑣2)⟩= − ∫Ω 𝑢⋅∇(𝑣1−𝑣2)𝑑𝑥. Reordenando la última igualdad se llega a lo que buscábamos: ∫Ω (div(𝑢)𝑣1+𝑢⋅∇𝑣1)𝑑𝑥 =∫Ω (div(𝑢)𝑣2+𝑢⋅∇𝑣2)𝑑𝑥. Es fácil ver que 𝛾𝑛∶𝐻(div,Ω) ←→ 𝐻−1∕2(𝜕Ω) está bien definida y es lineal. Veamos la continuidad. Tengamos en cuenta la desigualdad de Cauchy-Schwarz para ello. Elegimos 𝑣tal que 𝛾0𝑣=𝜓. Entonces, |⟨𝛾𝑛𝑢, 𝜓⟩|≤∫Ω (|div(𝑢)||𝑣|+|𝑢||∇𝑣|)𝑑𝑥 ≤(∫Ω (|div(𝑢)|2+|𝑢|2)𝑑𝑥)1∕2 (∫Ω (|𝑣|2+|∇𝑣|2)𝑑𝑥)1∕2 =‖𝑢‖𝐻(div,Ω)‖𝑣‖𝐻1(Ω). Tomando ínfimo en 𝑣en esta desigualdad se llega a: |⟨𝛾𝑛𝑢, 𝜓⟩|≤‖𝑢‖𝐻(div,Ω)‖𝜓‖𝐻1∕2(𝜕Ω),∀𝜓∈𝐻1∕2(𝜕Ω). Esto demuestra la continuidad de 𝛾𝑛y la fórmula de integración por partes del enunciado. Veamos (3.6). Para ello, sea 𝑢∈1(Ω)𝑑. Entonces, ∫Ω div(𝑢)𝑣 𝑑𝑥 =∫𝜕Ω (𝑢⋅𝜈)𝑣 𝑑𝜎 −∫Ω 𝑢⋅∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝑣∈𝐻1(Ω). Esto concluye la prueba por cumplirse 𝛾𝑛𝑢=𝑢⋅𝜈sobre 𝜕Ω, al igualar la última expresión con la definición de 𝛾𝑛. Esto concluye la prueba. □ Observación 3.7. En realidad (3.6) es válida para 𝑢∈𝐻1(Ω)𝑑. Añadimos un resultado que usaremos en la demostración del próximo teorema. 35 3.1. Problema estacionario Lema 3.14. Sea Ω⊂ℝ𝑑un abierto conexo y acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Entonces, existe 𝐿∈(𝐿2 0(Ω), 𝐻1 0(Ω)𝑑) satisfaciendo la propiedad: si 𝑔∈𝐿2 0(Ω) y𝐺=𝐿(𝑔) ∈ 𝐻1 0(Ω)𝑑, entonces ∇⋅𝐺=𝑔en Ω. No daremos la prueba de este resultado aunque esta se encuentra en [1]. Presentamos un teorema de existencia y unicidad más general para el problema de Stokes estacionario, no homogéneo: Teorema 3.15. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no vacío y acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Sean 𝑓,𝑣𝑏y𝑔, elementos de 𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1∕2(𝜕Ω)𝑑y𝐿2(Ω), respectivamente. Si se cumple la condición ∫𝜕Ω 𝑣𝑏⋅𝜈 𝑑𝜎 =∫Ω 𝑔 𝑑𝑥, entonces, existe un único par (𝑣, 𝑝) ∈ 𝐻1(Ω)𝑑×𝐿2 0(Ω), solución débil del problema ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en Ω, div(𝑣) = 𝑔en Ω, 𝑣=𝑣𝑏sobre 𝜕Ω. Además, existe una constante 𝐶 > 0, sólo dependiente de Ω, tal que ‖𝑣‖𝐻1(Ω)𝑑+‖𝑝‖𝐿2 0(Ω) ≤𝐶(‖𝑓‖𝐻−1(Ω)𝑑+‖𝑔‖𝐿2(Ω) +‖𝑣𝑏‖𝐻1∕2(𝜕Ω)𝑑). Demostración. Como 𝑣𝑏es un elemento de 𝐻1∕2(𝜕Ω)𝑑, existirá 𝐺perteneciente a 𝐻1(Ω)𝑑tal que 𝛾0(𝐺) = 𝑣𝑏(Teorema 3.12 en su versión 𝑑-dimensional). Aplicando el Teorema 3.13 a dicha 𝐺y𝑣= 1 se llega a: ∫Ω div(𝐺)𝑑𝑥 =∫Ω 𝑣𝑏⋅𝜈 𝑑𝜎 =∫Ω 𝑔 𝑑𝑥. Es decir, 𝑔−div(𝐺)es un elemento de 𝐿2(Ω) con media nula sobre Ω. Del Lema 3.14 deducimos la existencia de 𝐻∈𝐻1 0(Ω)𝑑cumpliendo div(𝐻) = 𝑔−div(𝐺). Con toda esta información: div(𝐺+𝐻) = 𝑔, en Ω; (𝐺+𝐻) = 𝑣𝑏sobre 𝜕Ω. Hacemos el cambio de variables 𝑣=𝐺+𝐻+𝑤, quedando el sistema del teorema de la siguiente forma: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −Δ𝑤+ ∇𝑝=𝑓+ Δ(𝐺+𝐻)en Ω, div(𝑤)=0 en Ω, 𝑤= 0 sobre 𝜕Ω. Ya teníamos que 𝑓pertenecía a 𝐻−1(Ω)𝑑, pero Δ(𝐺+𝐻)también es un elemento de ese espacio, por lo que tenemos un sistema del tipo (3.2) con las condiciones del Teorema 3.11. Por ello, existe un único par (𝑤, 𝑝) ∈ 𝐻1 0(Ω)𝑑×𝐿2 0(Ω) solución del último sistema. Esto finaliza la prueba. □ 3.1.3. El operador de Stokes El espacio de Hilbert 𝑉, definido en la anterior sección, presenta su propio dual como es habitual. Debido a la contención 𝑉 ⊂ 𝐻1 0(Ω)𝑑, se tiene que 𝐻−1(Ω)𝑑⊂ 𝑉 ′. Sin embargo, podríamos pensar que el Teorema 3.11 puede extenderse para cualquier 𝑓∈𝑉′, pero no es así, ya que no podremos demostrar la existencia de una presión asociada. Sin embargo, la forma bilineal 𝑎que fue definida en la prueba de dicho teorema sirve para inducir un operador 𝐴de 𝑉a𝑉′. 36 3. El problema de Stokes estacionario y evolutivo Definición 3.8. Se denomina operador de Stokes, 𝐴, al operador dado por ⟨𝐴𝑣, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 =∫Ω ∇𝑢∶ ∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝑢, 𝑣 ∈𝑉 . (3.7) Observación 3.9. Este operador, debido al teorema de Lax-Milgram, es un isomorfismo entre 𝑉y 𝑉′. Antes de dar el dominio del operador de Stokes, 𝐷(𝐴), con el que trabajaremos, definimos el espacio 𝐻= {𝑣∈𝐿2(Ω)𝑑∶div(𝑣)=0, 𝛾𝑛𝑣= 0}.(3.8) Cabe destacar que 𝑉y𝐻están muy relacionados ya que ambos son la clausura de = {𝜑∈(Ω)𝑑∶div(𝑣) = 0},(3.9) en 𝐻1 0(Ω)𝑑y𝐿2(Ω)𝑑, respectivamente. Por ende, como pasaba con 𝑉,𝐻es un espacio de Hilbert para el producto de 𝐿2(Ω)𝑑. Además, se tiene la tripleta de Hilbert 𝑉 ⊂ 𝐻 ⊂ 𝑉 ′. Definición 3.10. Usando la notación (𝐴, 𝐷(𝐴)) para referirse al operador de Stokes, tomamos como su dominio a 𝐷(𝐴)={𝑢∈𝑉∶𝐴𝑢 ∈𝐻}. Demos dos propiedades fundamentales del operador de Stokes que nos permitirán, a partir de teoría de operadores, construir una descomposición espectral del mismo. Lema 3.16. El operador (𝐴, 𝐷(𝐴)) tiene grafo cerrado en 𝐻×𝐻. Demostración. Sea {𝑢𝑛}𝑛≥1una sucesión de elementos de 𝐷(𝐴)convergente en 𝐻a𝑢∈𝐻y tal que {𝐴𝑢𝑛}𝑛≥1converge también en 𝐻a𝑓. Cabe mencionar que 𝑉 ⊂ 𝐻. Como 𝑓es un elemento de 𝐻, entonces existe una única 𝑣en 𝐷(𝐴)cumpliendo 𝐴𝑣 =𝑓. Demostremos 𝑣=𝑢para verificar el lema. La convergencia en 𝐻implica convergencia en 𝑉′. Por tanto, {𝐴𝑢𝑛}𝑛≥1converge a 𝐴𝑣 en 𝑉′. Al ser 𝐴un isomorfismo entre 𝑉y𝑉′,{𝑢𝑛}𝑛≥1converge a 𝑣en 𝑉. Como la convergencia en 𝑉implica convergencia en 𝐻, se concluye la prueba. □ La otra propiedad es la de ser autoadjunto, por lo que primero definamos qué significa este concepto en el contexto de los operadores. Definición 3.11. Sea un operador 𝐵∶𝐷(𝐵)⊂ 𝑋 ←→ 𝑋. Se define el operador adjunto 𝐵∗como aquel cuyo dominio es 𝐷(𝐵∗)={𝑢∈𝑋∶𝑣∈𝐷(𝐵)←→ (𝐵𝑣, 𝑢)𝑋es continua} y cumple la condición (𝐵𝑣, 𝑢)𝑋= (𝑣, 𝐵∗𝑢)𝑋,∀𝑢∈𝐷(𝐵∗),∀𝑣∈𝐷(𝐵). Se dirá que 𝐵es autoadjunto si 𝐷(𝐵∗) = 𝐷(𝐵)y𝐵𝑢 =𝐵∗𝑢para cualquier elemento de 𝐷(𝐵). Lema 3.17. El operador (𝐴, 𝐷(𝐴)) es autoadjunto en 𝐻. Demostración. Por la definición, dados 𝑢y𝑣de 𝐷(𝐴), se tiene (𝐴𝑢, 𝑣)𝐻=⟨𝐴𝑢, 𝑣⟩𝑉′,𝑉 =∫Ω ∇𝑢∶ ∇𝑣 𝑑𝑥, 37 3.1. Problema estacionario por lo que se puede ver de forma clara que (𝐴𝑢, 𝑣)𝐻= (𝑢, 𝐴𝑣)𝐻,∀𝑢, 𝑣 ∈𝐷(𝐴). Particularmente, 𝐷(𝐴)⊂ 𝐷(𝐴∗)y𝐴∗𝑢=𝐴𝑢 para los elementos de 𝐷(𝐴). Basta con ver la otra contención para tener el resultado. Sea 𝑢∈𝐷(𝐴∗). Por definición, existe 𝑓=𝐴∗𝑢cumpliendo para todo 𝑣de 𝐷(𝐴)lo siguiente: (𝐴𝑣, 𝑢)𝐻= (𝑣, 𝑓)𝐻. Una consecuencia del Lema 3.16 es que 𝐴es un isomorfismo entre 𝐷(𝐴)y𝐻, entonces existe 𝑢de 𝐷(𝐴)tal que 𝑓=𝐴𝑢. Veamos que 𝑢=𝑢, sabiendo que para cada 𝑤de 𝐻se tiene un 𝑤de 𝐷(𝐴) cumpliendo 𝐴𝑤 =𝑤. Conociendo la propiedad (𝐴𝑤, 𝑢)𝐻= (𝑤, 𝐴𝑢)𝐻y, por la definición de adjunto, (𝐴𝑤, 𝑢)𝐻= (𝑤, 𝐴∗𝑢)𝐻, se tiene: (𝑤, 𝑢 −𝑢)𝐻= (𝐴𝑤, 𝑢)𝐻− (𝐴𝑤, 𝑢)𝐻= (𝑤, 𝐴∗𝑢)𝐻− (𝑤, 𝐴𝑢)𝐻. Como se tiene que 𝐴𝑢 =𝐴∗𝑢, entonces (𝑤, 𝑢 −𝑢)𝐻= 0,∀𝑤∈𝐻. Esto prueba que 𝑢=𝑢y, por lo tanto, la otra contención. □ Los lemas anteriores muestran, a través de resultados elementales de descomposición espectral de operadores, que podemos encontrar en [2], la existencia de una base ortonormal {𝑤𝑘}𝑘≥1de 𝐻 formada por autovectores de 𝐴. En concreto, existe una sucesión {𝜆𝑘}𝑘≥1⊂(0,∞), autovalores de 𝐴, tales que 0< 𝜆1< 𝜆2≤... ≤𝜆𝑘≤𝜆𝑘+1 ≤..., l ım 𝜆𝑘= ∞, y existe una sucesión de autofunciones asociadas {𝑤𝑘}𝑘≥1⊂ 𝐷(𝐴)tales que 𝑤𝑘∈𝐷(𝐴), 𝐴𝑤𝑘=𝜆𝑘𝑤𝑘,‖𝑤𝑘‖𝐿2(Ω)𝑑= 1,∀𝑘≥1, y{𝑤𝑘}𝑘≥1forma una base ortonormal en 𝐻y ortogonal en 𝐷(𝐴). De hecho, se tiene el siguiente teorema: Teorema 3.18. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no vacío y acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Se tiene que existe una sucesión creciente de números reales no negativos {𝜆𝑘}𝑘≥1, tendiendo a infinito, y una sucesión {𝑤𝑘}𝑘≥1, ortonormal en 𝐻y ortogonal en 𝑉y𝐷(𝐴), formando una familia completa en los tres espacios. Además, existe una sucesión {𝑝𝑘}𝑘≥1en 𝐿2 0(Ω) cumpliendo el sistema ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −Δ𝑤𝑘+ ∇𝑝𝑘=𝜆𝑘𝑤𝑘en Ω, div(𝑤𝑘)=0 en Ω, 𝑤𝑘= 0 sobre 𝜕Ω. Demostración. La mayor parte del teorema ha sido comentada justo antes de enunciarlo. Se tiene la existencia de las sucesiones {𝑤𝑘}𝑘≥1y{𝜆𝑘}𝑘≥1, así como ser, la primera de ellas, una familia completa ortogonal en 𝐷(𝐴). Debido al Teorema 3.8, existe, para cada 𝑘,𝑝𝑘∈𝐿2 0(Ω) que satisface el sistema anterior. La ecuación de la divergencia y la condición de contorno se deben a que 𝑤𝑘∈𝑉, para cualquier 𝑘≥1. Para ver que los 𝜆𝑘no son negativos, se usa la definición del operador de Stokes, quedando 𝜆𝑘‖𝑤𝑘‖2 𝐻= (𝐴𝑤𝑘, 𝑤𝑘)𝐻=∫Ω|∇𝑤𝑘|2𝑑𝑥 > 0,∀𝑘≥1. 38 3. El problema de Stokes estacionario y evolutivo Por otro lado, tenemos las siguientes igualdades: (𝑤𝑘, 𝑤𝑙)𝑉=∫Ω ∇𝑤𝑘∶ ∇𝑤𝑙𝑑𝑥 =⟨𝐴𝑤𝑘, 𝑤𝑙⟩𝑉′,𝑉 = (𝐴𝑤𝑘, 𝑤𝑙)𝐻=𝜆𝑘(𝑤𝑘, 𝑤𝑙)𝐻=𝜆𝑘𝛿𝑘𝑙. La familia {𝑤𝑘}𝑘es ortogonal en 𝑉por lo anterior. Es completa en 𝑉debido a la propiedad de ser denso 𝐷(𝐴)en 𝑉.□ Observación 3.12. Las familias de funciones del teorema previo son usadas para construir soluciones aproximadas a problemas evolutivos. Son conocidas como la base especial asociada al operador de Stokes 𝐴con dominio 𝐷(𝐴). Concluimos la sección con dos características más del operador de Stokes y su dominio, las cuales pueden ser interesantes pero no se retomarán en este escrito. Proposición 3.19. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio, acotado y de clase 1,1. Entonces, se tiene que el dominio del operador de Stokes es 𝐷(𝐴) = 𝑉∩𝐻2(Ω)𝑑. La prueba puede encontrarse en [2]. Proposición 3.20. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio acotado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Entonces, se tienen las desigualdades ‖𝑣‖2 𝐻≤1 𝜆1‖∇𝑣‖2 𝐿2,∀𝑣∈𝑉 , ‖∇𝑣‖2 𝐿2≤1 𝜆1‖𝐴𝑣‖2 𝐿2,∀𝑣∈𝐷(𝐴), donde 𝜆1es el menor autovalor positivo del operador de Stokes. La constante 1∕𝜆1es óptima para ambas desigualdades. Demostración. La prueba es sencilla tomando la base especial de autofunciones del operador de Stokes {𝑤𝑘}𝑘≥1. Sea 𝑣=∑𝑘𝑣𝑘𝑤𝑘∈𝑉, cumpliendo 𝐴𝑣 =∑𝑘𝜆𝑘𝑣𝑘𝑤𝑘. Se dan las igualdades ∫Ω|∇𝑣|2𝑑𝑥 =⟨𝐴𝑣, 𝑣⟩𝑉′,𝑉 =∑ 𝑘 𝜆𝑘|𝑣𝑘|2, por lo que, cogiendo el menor autovalor, se da ∫Ω|∇𝑣|2𝑑𝑥 ≥𝜆1∑ 𝑘|𝑣𝑘|2=𝜆1‖𝑣‖2 𝐻. La constante es óptima porque, tomando 𝑣=𝑤1, se tiene la igualdad. Para la otra desigualdad, tomamos 𝑣perteneciente a 𝐷(𝐴). Nuevamente, 𝑣=∑𝑘𝑣𝑘𝑤𝑘, dándose ahora ‖𝐴𝑣‖2 𝐿2=∑ 𝑘 𝜆2 𝑘𝑣2 𝑘≥𝜆1∑ 𝑘 𝜆𝑘𝑣2 𝑘=𝜆1⟨𝐴𝑣.𝑣⟩𝑉′,𝑉 =𝜆1‖∇𝑣‖2 𝐿2. Al igual que antes, tomamos 𝑣=𝑤1para la igualdad. Esto finaliza la prueba. □ 39 3.2. Problema evolutivo ya que, 𝐿∞(𝐻)es el dual de 𝐿1(𝐻). A su vez, de (3.18) deducimos que la sucesión {𝑣𝑚}𝑚≥1está acotada en el espacio de Hilbert 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉). Por tanto, existe una nueva subsucesión, que seguiremos denotando {𝑣𝑚}𝑚≥1, y 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)tal que 𝑣𝑚←→ 𝑣débil en 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉), es decir, ∫𝑇 0⟨𝑢(𝑡), 𝑣𝑚′(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 𝑑𝑡 ←→ ∫𝑇 0⟨𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 𝑑𝑡, ∀𝑢∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′).(3.20) Las dos convergencias anteriores implican, tomando 𝑢en 𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻), la igualdad que sigue. ∫𝑇 0 (𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡), 𝑢(𝑡))𝐻𝑑𝑡 = 0. Llegamos a la conclusión que 𝑣=𝑣en 𝐿2(𝑉) ∩ 𝐿∞(𝐻). Consideremos, a continuación, funciones 𝜓∈1([0, 𝑇 ]) tales que 𝜓(𝑇) = 0. Si multiplicamos dichas funciones en (3.15), fijando 𝑗≥1, arbitrario, y considerando 𝑚≥𝑗, también arbitrario, e integramos por partes, tenemos ∫𝑇 0 (𝑣′ 𝑚(𝑡), 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = − ∫𝑇 0 (𝑣𝑚(𝑡)𝜓′(𝑡), 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝑑𝑡 − (𝑣𝑚(0), 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0). Añadiendo el resto de términos de (3.14) se llega a −∫𝑇 0 (𝑣𝑚(𝑡), 𝜓′(𝑡)𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝑑𝑡 +∫𝑇 0 𝑎(𝑣𝑚(𝑡), 𝜓(𝑡)𝑤𝑗)𝑑𝑡 = (𝑣0𝑚, 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇 0⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡, ∀𝑚≥𝑗. Usando (3.19) y (3.20) y teniendo en cuenta que 𝑣0𝑚converge a 𝑣0en 𝐻podemos pasar al límite en la expresión anterior y obtener la siguiente igualdad para cada 𝑗≥1: −∫𝑇 0 (𝑣(𝑡), 𝜓′(𝑡)𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝑑𝑡 +∫𝑇 0 𝑎(𝑣(𝑡), 𝜓(𝑡)𝑤𝑗)𝑑𝑡 = (𝑣0, 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇 0⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡. Como = {𝑤𝑗}𝑗≥1es una base ortogonal de 𝑉y como la aplicación: 𝐿∶𝑢∈𝑉→ −∫𝑇 0 (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +∫𝑇 0 𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢)𝜓(𝑡)𝑑𝑡 − (𝑣0, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) − ∫𝑇 0⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∈ℝ es lineal y continua y 𝐿(𝜓𝑗)=0, para cualquier 𝑗≥1, entonces, 𝐿(𝑢)=0, para todo 𝑢∈𝑉, es decir −∫𝑇 0 (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +∫𝑇 0 𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢)𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = (𝑣0, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇 0⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡, (3.21) para cualesquiera 𝜓∈1([0, 𝑇 ]), con 𝜓(𝑇) = 0, y 𝑢∈𝑉. En particular, tomando 𝜓∈(0, 𝑇 ), deducimos 𝑑 𝑑𝑡(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢) = ⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 , (3.22) 46 3. El problema de Stokes estacionario y evolutivo en el sentido de distribuciones. Comprobemos que 𝑣(0) = 𝑣0. En particular, (3.22) implica que 𝑔= (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑∈𝐿2(0, 𝑇 )(pues 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻)) y 𝑔′(𝑡)=−𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢) + ⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ∈𝐿2(0, 𝑇 ). Esto permite, con cualquier 𝜓∈1([0, 𝑇 ]) tal que 𝜓(𝑇)=0, hacer la siguiente integración por partes: ∫𝑇 0 𝑑 𝑑𝑡(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(𝑡)𝑑𝑡 =∫𝑇 0 𝑔′(𝑡)𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = − ∫𝑇 0 𝑔(𝑡)𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +𝑔(0)𝜓(0) = − ∫𝑇 0 (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 + (𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0). Multiplicando por 𝜓en (3.22) e integrando, si tenemos en cuenta la igualdad superior, se llega a −∫𝑇 0 (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +∫𝑇 0 𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢)𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = (𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇 0⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡, para todo 𝑢de 𝑉. Comparando esta igualdad con (3.21), es fácil ver que se cumple (𝑣0−𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) = 0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝜓∈1([0, 𝑇 ]) con 𝜓(𝑇)=0. Eligiendo 𝜓que no se anule en 0, se tiene específicamente (𝑣0−𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑= 0,∀𝑢∈𝑉 , lo que implica que 𝑣(0) = 𝑣0. Esto prueba que 𝑣satisface (3.12) y es, por tanto, solución débil del problema (3.14). Esto finaliza la prueba de la existencia. Además, tomando límite en (3.16), se llega a la desigualdad del enunciado. Etapa 4: Unicidad. Para probar la unicidad, haremos uso del Teorema 2.15, pues 𝑣∈𝐸2,2. Esto se debe a que la fórmula (3.22) junto al Lema 3.24 implican que 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)y𝑣′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). Trabajaremos con el representante continuo de 𝑣, i.e., supondremos que 𝑣∈0([0, 𝑇 ]; 𝐻). Además, 𝑑 𝑑𝑡‖𝑣(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)𝑑= 2⟨𝑣′(𝑡), 𝑣(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 ,p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ).(3.23) Asumamos que 𝑣y𝑢son soluciones del problema (3.14) y denotamos como 𝑤a la diferencia entre ellas, 𝑤=𝑣−𝑢. Se tiene que 𝑤∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) ∩ 0([0, 𝑇 ]; 𝐻),𝑤′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′)y se cumple, de hecho, al ser soluciones, que {𝑤′+𝐴𝑤 = 0 en 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′), 𝑤(0) = 0. De aquí, si aplicamos los términos de la igualdad a 𝑤, sigue ⟨𝑤′(𝑡), 𝑤(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 +‖𝑤(𝑡)‖2 𝑉= 0,p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ). Teniendo en cuenta (3.23), se cumple 𝑑 𝑑𝑡‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)𝑑+ 2‖𝑤(𝑡)‖2 𝑉= 0,p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ), 47 3.2. Problema evolutivo Integrando esta expresión en el intervalo (0, 𝑡)con 𝑡∈ [0, 𝑇 ], deducimos ‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)𝑑+ 2 ∫𝑡 0‖𝑤(𝑠)‖2 𝑉𝑑𝑠 = 0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. En particular, ‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)𝑑≤0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Deducimos que 𝑤= 0, quedando probada también la unicidad. Esto finaliza la prueba. □ Observación 3.15. El Teorema 3.25 tiene una versión más general si suponemos que 𝑓=𝑓1+𝑓2con 𝑓1∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′)y𝑓2∈𝐿1(0, 𝑇 ;𝐻). En este caso se puede probar un resultado análogo, excepto donde se encuentra 𝑣′. En este caso 𝑣′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′) + 𝐿1(0, 𝑇 ;𝐻). Uno debe preguntarse si la solución del problema (3.14) también lo es de (3.10). Para ello, se presenta el siguiente resultado: Proposición 3.26. Bajo las hipótesis del Teorema 3.25, existe una distribución 𝑝en 𝑄= (0, 𝑇 )×Ω, tal que la función 𝑣dada por el Teorema 3.25 y 𝑝satisfacen (3.10) en el sentido de las distribuciones. La última ecuación de (3.10) se cumple en el sentido 𝑣(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑡←→0𝑣0en 𝐿2(Ω)𝑑. Demostración. Las ecuaciones sobre la frontera de Ωy la divergencia nula vienen de que 𝑣es elemento de 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉). La condición inicial, en el sentido enunciado, es consecuencia del Teorema 3.25. Nos falta ver la primera ecuación de (3.10). Para introducir la presión, definimos 𝑉(𝑡) = ∫𝑡 0 𝑣(𝑠)𝑑𝑠, 𝐹 (𝑡) = ∫𝑡 0 𝑓(𝑠)𝑑𝑠, ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Está claro que 𝑉(𝑡)y𝐹(𝑡)son elementos de, respectivamente, 0([0, 𝑇 ]; 𝑉)y0([0, 𝑇 ]; 𝑉′). Integrando en (3.12), se llega a (𝑣(𝑡) − 𝑣0, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑉(𝑡), 𝑢) = ⟨𝐹(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ],∀𝑢∈𝑉 . Esta igualdad es equivalente a ⟨𝑣(𝑡) − 𝑣0− Δ𝑉(𝑡) − 𝐹(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 = 0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ],∀𝑢∈𝑉 . Fijándonos detenidamente, podemos aplicar el Teorema 3.8, por lo que para cada 𝑡en [0, 𝑇 ]existe una función 𝑃(𝑡)de 𝐿2(Ω), única en 𝐿2 0(Ω), cumpliendo 𝑣(𝑡) − 𝑣0− Δ𝑉(𝑡)+∇𝑃(𝑡) = 𝐹(𝑡),∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Derivando respecto al tiempo, en el sentido de las distribuciones, se llega a la ecuación que esperábamos en 𝑄tomando 𝑝=𝜕𝑃 𝜕𝑡 . Esto finaliza la prueba. □ Observación 3.16. Lo máximo que podemos averiguar sobre 𝑝con esto es la propiedad de que 𝑃 pertenezca a 0([0, 𝑇 ]; 𝐿2(Ω)). Si deseamos saber más sobre la regularidad de 𝑝, hemos de tratar la siguiente proposición, cuya prueba puede encontrarse en [10]. Proposición 3.27. Sea Ωde clase 2,𝑓un elemento de 𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻)y𝑣0perteneciente a 𝑉. Entonces 𝑣pertenecerá a 𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻2(Ω)𝑑),𝑣′a𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻)y𝑝a𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻1(Ω)). 48 Capítulo 4 El problema de Navier-Stokes de evolución Luego de haber abarcado el estudio de las ecuaciones de Stokes, las cuales describen la dinámica de fluidos laminares, nuestro siguiente objetivo será indagar un poco sobre el problema más completo al que llegamos en el primer capítulo para fluidos newtonianos, homogéneos e incompresibles: aquellos en los que el flujo presenta régimen turbulento y no podemos despreciar ningún término del sistema ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + (𝑣⋅∇)𝑣−1 𝑒Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓, div(𝑣)=0. (4.1) 4.1. Propiedades del término de inercia La principal diferencia entre el problema de Stokes y el de Navier-Stokes recae sobre el término no lineal que aparece en el último, (𝑣⋅∇)𝑣, al que denominaremos término de inercia. La gran dificultad para tratar el problema que da nombre al capítulo es debida a dicho término. Sea Ωun dominio Lipschitz, no vacío y acotado. Definición 4.1. Para todo 𝑢,𝑣y𝑤pertenecientes a 𝐻1 0(Ω)𝑑, definimos la forma trilineal 𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤) = ∫Ω ((𝑢⋅∇)𝑣)⋅𝑤 𝑑𝑥 = 𝑑 ∑ 𝑖,𝑗=1 ∫Ω 𝑢𝑖 𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝑤𝑗𝑑𝑥. Vamos a enunciar varias propiedades relacionadas con dicha forma trilineal y, por tanto, con el término de inercia. Lema 4.1. Sea 𝑑≤4. La forma trilineal 𝑏es continua en 𝐻1 0(Ω)𝑑×𝐻1 0(Ω)𝑑×𝐻1 0(Ω)𝑑y satisface 𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤) + 𝑏(𝑢, 𝑤, 𝑣)=0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑣, 𝑤 ∈𝐻1 0(Ω)𝑑, 𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑣)=0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑣∈𝐻1 0(Ω)𝑑. Es más, para todo 𝑢∈𝑉y todo 𝑣, 𝑤 ∈𝐻1 0(Ω)𝑑, tenemos |𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤)|≤𝐶‖𝑢‖1−𝑑∕4 𝐿2(Ω)𝑑‖𝑢‖𝑑∕4 𝐻1(Ω)𝑑‖𝑣‖1−𝑑∕4 𝐿2(Ω)𝑑‖𝑣‖𝑑∕4 𝐻1(Ω)𝑑‖𝑤‖𝐻1(Ω)𝑑. 49 4.1. Propiedades del término de inercia Demostración. Demos una idea de la demostración. La continuidad es consecuencia de los llamados Teoremas de inyección de Sobolev. La propiedad de antisimetría puede ser probada para funciones regulares usando la fórmula de Stokes y concluyendo por densidad. 𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤) = 𝑑 ∑ 𝑖,𝑗=1 ∫Ω 𝑢𝑖 𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝑤𝑗𝑑𝑥 = − 𝑑 ∑ 𝑖,𝑗=1 ∫Ω 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝑣𝑗𝑤𝑗𝑑𝑥 − 𝑑 ∑ 𝑖,𝑗=1 ∫Ω 𝑢𝑖𝑣𝑗 𝜕𝑤𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝑑𝑥 = − ∫Ω (div(𝑢))(𝑣⋅𝑤)𝑑𝑥 −𝑏(𝑢, 𝑤, 𝑣)=−𝑏(𝑢, 𝑤, 𝑣), donde se ha usado que 𝑢se anula en la frontera de Ωy su divergencia en Ω. La desigualdad se prueba a partir de resultados que uno puede encontrar en [2]. □ Observación 4.2. Los Teoremas de inyección de Sobolev nos son útiles para 𝑑≤4ya que 𝐻1(Ω) → 𝐿𝑞(Ω), para todo 𝑞 < ∞(caso 𝑑= 2), 𝐻1(Ω) → 𝐿6(Ω) (caso 𝑑= 3) y 𝐻1(Ω) → 𝐿4(Ω) (caso 𝑑= 4). Recordamos que el valor de 𝑑con el que tratamos es 2o3. En lo que sigue, para todo 𝑢y𝑣de 𝑉 vamos a denotar como 𝐵(𝑢, 𝑣)a la forma lineal continua dada por ⟨𝐵(𝑢, 𝑣), 𝑤⟩𝑉′,𝑉 =𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤). La desigualdad del lema previo muestra que 𝐵es continuo de 𝑉×𝑉a𝑉′, además de cumplirse ‖𝐵(𝑣, 𝑣)‖𝑉′≤𝐶‖𝑣‖2−𝑑∕2 𝐿2(Ω)𝑑‖𝑣‖𝑑∕2 𝐻1(Ω)𝑑,∀𝑣∈𝑉 . Observación 4.3. Por comodidad, se suele denotar por 𝐵(𝑢)a𝐵(𝑢, 𝑢), sea cual sea 𝑢∈𝑉. El siguiente lema, útil para llegar a una de las formulaciones variacionales, también se tiene. Lema 4.2. Suponiendo que 𝑣es un elemento de 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉), se cumple que 𝐵𝑣, dada por ⟨𝐵𝑣(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 =𝑏(𝑣(𝑡), 𝑣(𝑡), 𝑢),∀𝑢∈𝑉 , p.c.t. 𝑡∈ [0, 𝑇 ], pertenece a 𝐿1(0, 𝑇 ;𝑉′). Demostración. Para casi todo 𝑡,𝐵𝑣(𝑡)es un elemento de 𝑉′, por lo que veamos la integrabilidad en [0, 𝑇 ]de la función que nos proporciona 𝐵𝑣(𝑡)en 𝑉′. Debido a la continuidad de 𝑏, se da ‖𝐵𝑤‖𝑉′≤𝐶‖𝑤‖2 𝐻1 0(Ω)𝑑,∀𝑤∈𝑉 . Integrando lo anterior con los 𝑣, se tiene ∫𝑇 0‖𝐵𝑣(𝑡)‖𝑉′𝑑𝑡 ≤𝐶∫𝑇 0‖𝑣(𝑡)‖2 𝐻1 0(Ω)𝑑𝑑𝑡 < +∞. □ Observación 4.4. Se tiene una posible mejora del Lema 4.2 si 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) ∩ 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻). En el caso 𝑑= 2,𝐵𝑣 ∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). En el caso 𝑑= 3,𝐵𝑣 ∈𝐿4∕3(0, 𝑇 ;𝑉′). 50 4. El problema de Navier-Stokes de evolución 4.2. Formulación variacional El problema matemático que comentaremos en este capítulo será el de encontrar 𝑣y𝑝cumpliendo el sistema ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + (𝑣⋅∇)𝑣− Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en 𝑄, div(𝑣)=0 en 𝑄, 𝑣= 0 sobre Σ, 𝑣(0,⋅) = 𝑣0en Ω, (4.2) donde 𝑄yΣdenotan lo mismo que los del problema (3.10). Además, se ha supuesto que el número de Reynolds sea 1por simplicidad. Reformulemos el problema de una forma similar al de Stokes evolutivo. Supongamos que el problema tiene solución clásica, 𝑣en 2(𝑄)𝑑y𝑝en 1(𝑄). Tenemos que 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)de forma obvia, por lo que, para 𝑢∈, se llega a 𝑑 𝑑𝑡(𝑣, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑣, 𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑣, 𝑢) = ⟨𝑓, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 , que también se cumplirá para todo elemento 𝑢∈𝑉. Esto llevó a Leray a dar la siguiente formulación débil del problema evolutivo de Navier-Stokes: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ Dadas 𝑓∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′), 𝑣0∈𝐻, buscamos 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)tal que 𝑑 𝑑𝑡(𝑣, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑣, 𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑣, 𝑢) = ⟨𝑓, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 , 𝑣(0) = 𝑣0. (4.3) Al igual que pasaba con el problema evolutivo de Stokes, 𝑣perteneciendo a 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)no implica directamente que satisfaga la condición inicial en 𝐻. Al darse los mismos requisitos que en el caso lineal, además de darse el Lema 4.2, se tiene 𝑑 𝑑𝑡⟨𝑣, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 =⟨𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 . Recordando que 𝐴𝑣 ∈𝐿2(𝑉′), se llega a que 𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣 ∈𝐿1(𝑉′). El Lema 3.24 implica que 𝑣′∈𝐿1(𝑉′)y 𝑣′=𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣, con 𝑣igual, para casi todo 𝑡, a una función continua de [0, 𝑇 ]en 𝑉′. Con esto el problema no presenta incongruencias. De hecho, dados 𝑓∈𝐿2(𝑉′)y𝑣0∈𝐻, se ha llegado a una nueva formulación del problema: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Buscar 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉), 𝑣′∈𝐿1(0, 𝑇 ;𝑉′)tal que 𝑣′+𝐴𝑣 +𝐵𝑣 =𝑓en (0, 𝑇 ), 𝑣(0) = 𝑣0. (4.4) 4.2.1. Existencia de solución del problema (4.2) Los problemas dados por (4.3) y (4.4) son equivalentes, dándose la existencia de solución por el siguiente teorema: 51 4.2. Formulación variacional Teorema 4.3. Sean 𝑓∈𝐿2(𝑉′)y𝑣0∈𝐻. Se tiene la existencia de al menos una solución 𝑣cumpliendo el problema (4.4). Es más, 𝑣∈𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻) y 𝑡∈ [0, 𝑇 ]→ (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑 es una función continua para cualquier 𝑢∈𝐻. La prueba rigurosa del teorema puede encontrarse en [10]. Esta es muy similar hasta cierto punto a la del Teorema 3.25. Veamos el desarrollo del proceso de Galerkin para visualizar las similitudes y diferencias. Trabajando con la base de 𝑉compuesta por las autofunciones del operador de Stokes, = {𝑤𝑖}𝑖≥1, se buscan soluciones del tipo 𝑣𝑚= 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑔𝑖𝑚(𝑡)𝑤𝑖, correspondientes, para cada 𝑚natural, al problema aproximado {⟨𝑣′ 𝑚(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 +𝑎(𝑣𝑚(𝑡), 𝑤𝑗) + 𝑏(𝑣𝑚(𝑡), 𝑣𝑚(𝑡), 𝑤𝑗) = ⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 ,p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ),∀𝑗= 1, ..., 𝑚, 𝑣𝑚(0) = ∑𝑚 𝑖=1 𝑣0𝑖𝑤𝑖≡𝑣0𝑚, Siguiendo los mismos pasos que en el caso lineal, si denotamos por 𝑣𝑚(𝑡)=(𝑔1𝑚(𝑡), ..., 𝑔𝑚𝑚(𝑡))𝑡, 𝐹𝑚(𝑡)=(⟨𝑓(𝑡), 𝑤1⟩𝑉′,𝑉 , ..., ⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑚⟩𝑉′,𝑉 )𝑡, 𝐴𝑚= (𝑎𝑖𝑗)1≤𝑖,𝑗≤𝑚, con 𝑎𝑖𝑗 =𝑎(𝑤𝑖, 𝑤𝑗), y 𝐵𝑚(𝑡)=(𝑏1𝑚(𝑡), ..., 𝑏𝑚𝑚(𝑡))𝑡, con 𝑏𝑖𝑚(𝑡) = 𝑚 ∑ 𝑗,𝑘=1 𝑏(𝑤𝑗, 𝑤𝑘, 𝑤𝑖)𝑔𝑗𝑚(𝑡)𝑔𝑘𝑚(𝑡), se tiene el sistema diferencial no lineal {𝑣′ 𝑚(𝑡) + 𝐴𝑚𝑣𝑚(𝑡) + 𝐵𝑚(𝑡) = 𝐹𝑚(𝑡)en (0, 𝑇 ), 𝑣𝑚(0) = 𝑣0𝑚. Este sistema tiene existencia única de solución maximal definida en [0, 𝑇𝑚], con 𝑇𝑚≤𝑇. Observación 4.5. Si 𝑇𝑚< 𝑇 ,|𝑣𝑚(𝑡)|debe tender a ∞cuando 𝑡←→ 𝑇𝑚, donde |⋅|denota el módulo de 𝑣𝑚(𝑡)en su forma vectorial. Tras la obtención de las soluciones aproximadas, podemos hacer el mismo proceso de hacer estimaciones a priori para las funciones 𝑣𝑚que en el caso lineal. Se obtienen las mismas debido a la segunda propiedad del Lema 4.1, la cual anula el término 𝑏(𝑣𝑚, 𝑣𝑚, 𝑣𝑚)que aparece en el desarrollo análogo. Se obtienen, por tanto, las desigualdades sup 𝑠∈[0,𝑇 ]‖𝑣𝑚(𝑠)‖2 𝐿2(Ω)𝑑≤‖𝑣0‖2 𝐿2(Ω)𝑑+‖𝑓‖2 𝐿2(𝑉′) y ∫𝑇 0‖𝑣𝑚(𝑡)‖2 𝐻1 0(Ω)𝑑𝑑𝑡 ≤‖𝑣0‖2 𝐿2(Ω)𝑑+‖𝑓‖2 𝐿2(𝑉′). Se llegan a dos conclusiones importantes. La primera es que no hay explosión de 𝑣𝑚en tiempo finito y esto conlleva a 𝑇𝑚=𝑇. La otra es la acotación de {𝑣𝑚}𝑚≥1tanto en 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻)como 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉). 52 4. El problema de Navier-Stokes de evolución El lector puede pensar que la demostración seguirá siendo igual a la del problema de Stokes evolutivo, sin embargo, el paso al límite no es tan sencillo en este caso por las complicaciones que introduce el término no lineal. Para poder hacerlo, habría que introducir las llamadas estimaciones a posteriori. Estas son mejores, es decir, se realizan en un espacio mejor donde la sucesión {𝑣𝑚}𝑚≥1 es compacta y permiten tomar límite, concluyendo la prueba de la existencia de forma parecida al Teorema 3.25. Observación 4.6. El Teorema 4.3 también se cumple asumiendo 𝑓=𝑓1+𝑓2, donde 𝑓1∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′) y𝑓2∈𝐿1(0, 𝑇 ;𝐻). 4.2.2. Unicidad de solución del problema (4.2) Otra gran diferencia entre el problema de Stokes y el de Navier-Stokes recae en si la solución es única. Para el caso lineal, se pudo demostrar de forma satisfactoria sin importar la dimensión 𝑑en la que trabajemos. Sin embargo, al añadir el término no lineal, hay que hacer la distinción para el caso bidimensional y el tridimensional. Teorema 4.4. Sea 𝑑= 2. La solución 𝑣de los problemas dados por (4.3) y (4.4) que da el Teorema 4.3 es única. Es más, 𝑣es igual, para casi todo 𝑡, a una función continua de [0, 𝑇 ]en 𝐻y 𝑣(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑡←→0𝑣0,en 𝐻. Demostración. Probemos el resultado que trata sobre la regularidad de 𝑣. El problema dado por (4.4) nos proporciona 𝑣′=𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣, donde los términos del lado derecho de la igualdad pertenecen a 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). Específicamente, el término 𝐵𝑣, con la extensión del Lema 4.2 comentada en la Observación 4.4, también se encuentra en dicho espacio. Entonces, se tiene 𝑣′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). Este es el punto importante del teorema. Usando el Teorema 2.15, como en el caso lineal, 𝑣es igual para casi todo 𝑡a una función continua que va de [0, 𝑇 ]en 𝐻, lo que prueba el límite del enunciado fácilmente. Además, para probar la unicidad, tenemos la igualdad 𝑑 𝑑𝑡‖𝑣(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)2= 2⟨𝑣′(𝑡), 𝑣(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 ,p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ). Asumamos que 𝑣1y𝑣2son soluciones. Llamando 𝑤=𝑣1−𝑣2, se tiene que 𝑣′ 1,𝑣′ 2y𝑤′pertenecen a 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). La diferencia 𝑤, además, satisface 𝑤′+𝐴𝑤 = −𝐵𝑣1+𝐵𝑣2, cumpliendo 𝑤(0) = 0. Se llega, tomando el representante continuo, a 𝑑 𝑑𝑡‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)2+ 2‖𝑤(𝑡)‖2 𝑉= 2𝑏(𝑣2(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑤(𝑡)) − 2𝑏(𝑣1(𝑡), 𝑣1(𝑡), 𝑤(𝑡)),p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ). Sabiendo que 𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑣)se anula para cualquier 𝑢∈𝑉y𝑣∈𝐻1 0(Ω)2, se tiene que el término derecho de la última igualdad es −2𝑏(𝑤(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑤(𝑡)). La desigualdad del Lema 4.1 se cumple en el caso bidimensional. Es más, Temam [10] proporciona una constante útil, llegando a −2𝑏(𝑤(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑤(𝑡)≤23∕2‖𝑤(𝑡)‖𝐿2(Ω)2‖𝑤(𝑡)‖𝑉‖𝑣2(𝑡)‖𝑉≤2‖𝑤(𝑡)‖2 𝑉+‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)2‖𝑣2(𝑡)‖2 𝑉, 53 4.2. Formulación variacional teniendo, finalmente, la desigualdad 𝑑 𝑑𝑡‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)2≤‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)2‖𝑣2(𝑡)‖2 𝑉,p.c.t. 𝑡∈ (0, 𝑇 ). Al tratar con buena integrabilidad, la desigualdad anterior es equivalente a 𝑑 𝑑𝑡 (exp (−∫𝑡 0‖𝑣2(𝑠)‖2 𝑉𝑑𝑠)⋅‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)2)≤0, lo que conlleva a ‖𝑤(𝑡)‖2 𝐿2(Ω)2≤0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Esto concluye la prueba. □ Observación 4.7. La única solución 𝑣del problema de Navier-Stokes para 𝑑= 2 cumple que pertenece a 𝐿4(𝑄)𝑑. Tal y como comentamos anteriormente, el término no lineal afecta en la prueba del teorema precedente. Esto se debe al uso de la desigualdad del Lema 4.1. Por lo tanto, no podemos calcar la demostración del Teorema 4.4 para 𝑑= 3. Teorema 4.5. Sea 𝑑= 3. Existe, a lo sumo, una solución al problema (4.4) cumpliendo 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) ∩ 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻) ∩ 𝐿8(0, 𝑇 ;𝐿4(Ω)3). Tal solución, en caso de existir, sería continua de [0, 𝑇 ]en 𝐻. La prueba se encuentra en [10]. La unicidad en el caso tridimensional es un problema abierto, a diferencia del caso bidimensional. Luego de haber comentado la existencia y unicidad de los problemas que tratan la formulación variacional de (4.2), uno ha de preguntarse en qué sentido se cumplen estas ecuaciones con las soluciones de (4.3) y (4.4). Definamos 𝑉(𝑡) = ∫𝑡 0 𝑣(𝑠)𝑑𝑠, 𝛽(𝑡) = ∫𝑡 0 𝐵𝑣(𝑠)𝑑𝑠, 𝐹 (𝑡) = ∫𝑡 0 𝑓(𝑠)𝑑𝑠, ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Si 𝑣es solución de (4.4), se cumple 𝑈, 𝛽, 𝐹 ∈0([0, 𝑇 ], 𝑉 ′). Integrando la ecuación del problema (4.4), se tiene 𝑎(𝑉(𝑡), 𝑢) = ⟨𝑔(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ], con 𝑔(𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝛽(𝑡) − 𝑣(𝑡) − 𝑣0∈0([0, 𝑇 ], 𝑉 ′).Es más, sabiendo la definición de 𝑎(véase (3.5)), se cumple ⟨−Δ𝑉(𝑡) − 𝑔(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 = 0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Aplicando el Teorema de De Rham (Teorema 3.8) como ya se ha visto en varias ocasiones, se tiene la existencia de 𝑃(𝑡) ∈ 𝐿2(Ω) para cada 𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Además, se satisface 𝑣(𝑡) − 𝑣0− Δ𝑉(𝑡) + 𝛽(𝑡)+∇𝑃(𝑡) = 𝐹(𝑡),∀𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Derivando en el sentido de distribuciones, donde vemos que todo el proceso es análogo al caso lineal, se llega al problema original de evolución de Navier-Stokes tomando 𝑝=𝜕𝑃 𝜕𝑡 . Observación 4.8. Bajo ciertas hipótesis, 𝑝∈𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻1(Ω)). Consultar [10], donde las condiciones para 𝑑= 2 son distintas que para 𝑑= 3. 54 Capítulo 5 Algunas soluciones exactas Estudiar la existencia y unicidad de un problema dado suele ser, a veces, más sencillo que encontrar la solución de forma explícita. Lo mismo ocurre con las ecuaciones que hemos visto a lo largo del documento. Pese a ello, hay ocasiones en las que sí podemos dar la solución exacta. Presentamos en este capítulo algunos ejemplos prácticos del caso estacionario y homogéneo de Navier-Stokes en fluidos incompresibles en geometrías muy específicas para llegar a dichas soluciones. Consideraremos el sistema ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −1 𝑒Δ𝑣+ (𝑣⋅∇)𝑣+ ∇𝑝=𝑔en Ω, div(𝑣)=0 en Ω, 𝑣=𝑣𝑏sobre 𝜕Ω, (5.1) donde 𝑔representa la fuerza debida a la gravedad que experimenta el fluido. La fuerza gravitacional es una fuerza que proviene de un potencial, existiendo 𝜋0tal que ∇𝜋0=𝑔. Para el caso de encontrarse en la superficie terrestre, 𝑔es constante a lo largo del tercer eje, por lo que se puede tomar 𝜋0=𝑔𝑥3. Podemos pasar al caso cuyo término debido a las fuerzas externas es 0con el cambio 𝜋=𝑝−𝜋0, quedando el sistema (5.1) como ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −1 𝑒Δ𝑣+ (𝑣⋅∇)𝑣+ ∇𝜋= 0 en Ω, div(𝑣)=0 en Ω, 𝑣=𝑣𝑏sobre 𝜕Ω, (5.2) 5.1. Flujo de Poiseuille El primer ejemplo que estudiamos es el de una tubería infinita y centrada en el tercer eje. La sección transversal de la tubería será elipsoidal y viene dada por (𝑥1 𝑎)2 +(𝑥2 𝑏)2≤1, 55 Bibliografía [1] M.E. Bogovskii, Solutions of some problems of vector analysis, associated with the operators div and grad. In Theory of Cubature Formulas and the Application of Functional Analysis to Problems of Mathematical Physics, volume 1980 of Trudy Sem. S. L. Soboleva, No. 1, pages 5-40, 149. Akad. Nauk SSSR Sibirsk. Otdel. Inst. Mat., Novosibirsk, 1980. [2] F. Boyer, P. Fabrie, Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models, Springer, New York, 2013. [3] J. Casado Díaz, Apuntes de Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales, 2017, Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla. 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