Ecuaciones de Stokes y Navier-Stokes

Ecuaciones de S okes y Na ie -S okes
T abajo de Fin de G ado
Doble G ado en Física y Ma emá icas
Dp o. Ecuaciones Di e enciales y Análisis Numé ico
Uni e sidad de Se illa
Au o : Luis Ga cía Rod íguez
Tu o : D . Manuel González Bu gos
9 de julio de 2025
Resumen
Resumen
Es e abajo iene como obje i o es udia las ecuaciones de S okes (p oblema lineal) y las de
Na ie -S okes (p oblema no lineal) en el con ex o de luidos incomp esibles. Pa a ello, se deduci án
ambos sis emas a pa i de p incipios ísicos undamen ales, y se o ece á una b e e in oducción a
las he amien as ma emá icas necesa ias pa a su análisis.
Una ez es ablecidas las bases eó icas, se abo da án di e en es casos de in e és, en ocándonos
en la o mulación a iacional de los modelos, lo que nos pe mi i á es udia la exis encia y unicidad
de solución.
En el es udio de las ecuaciones de S okes, se conside a á an o el caso es aciona io —donde se
emplea á el Teo ema de De Rham pa a maneja la p esión 𝑝— como el caso e olu i o, en el que se
aplica á el mé odo de Gale kin.
En cuan o a las ecuaciones de Na ie -S okes, la p esencia del é mino no lineal in oduce una
mayo complejidad. Po ello, en el caso e olu i o nos cen a emos en analiza las simili udes y di e-
encias con espec o al modelo lineal. El caso es aciona io se á a ado en el capí ulo inal, a pa i
de di e sos ejemplos ilus a i os.
2
Abs ac
Abs ac
This wo k aims o s udy he S okes equa ions (a linea p oblem) and he Na ie -S okes equa ions
(a nonlinea p oblem) in he con ex o incomp essible luid models. To his end, bo h sys ems will
be de i ed om undamen al physical p inciples, and a b ie in oduc ion o he ma hema ical ools
equi ed o hei analysis will be p o ided.
Once he heo e ical ounda ions a e es ablished, we will explo e se e al cases o in e es , ocu-
sing on he a ia ional o mula ion o he models, which will allow us o s udy he exis ence and
uniqueness o solu ions.
In he s udy o he S okes equa ions, we will conside bo h he s a iona y case —whe e De Rham’s
heo em will be used o handle he p essu e 𝑝— and he e olu iona y case, in which he Gale kin
me hod will be applied.
Rega ding he Na ie -S okes equa ions, he p esence o he nonlinea e m in oduces addi ional
complexi y. The e o e, in he e olu iona y case, we will ocus on analyzing he simila i ies and
di e ences wi h espec o he linea model. The s a iona y case will be add essed in he inal chap e ,
h ough a ious illus a i e examples.
3

Índice gene al
Resumen 2
Abs ac 3
1. In oducción y deducción de los modelos 7
1.1. De inicionesp e ias.................................... 7
1.2. Ecuacionesdee olución ................................. 8
1.2.1. Fluidosnew onianos............................... 9
1.2.2. Modelos incomp esibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Condiciones iniciales y de con o no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. He amien as ma emá icas 15
2.1. Concep osgene ales.................................... 15
2.2. DominiosLipschi z .................................... 19
2.3. Funciones y dis ibuciones ec o iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1. In eg abilidad................................... 21
2.3.2. Di e enciabilidad ................................. 24
3. El p oblema de S okes es aciona io y e olu i o 27
3.1. P oblemaes aciona io................................... 27
3.1.1. ElTeo emadeDeRham ............................. 27
3.1.2. Exis encia y unicidad de solución del p oblema (3.2) . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3. Elope ado deS okes .............................. 36
3.2. P oblemae olu i o .................................... 40
3.2.1. La descomposición de Le ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2. Exis encia y unicidad de solución del p oblema (3.10) . . . . . . . . . . . . . 41
4. El p oblema de Na ie -S okes de e olución 49
4.1. P opiedades del é mino de ine cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Fo mulación a iacional ................................. 51
4.2.1. Exis encia de solución del p oblema (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2. Unicidad de solución del p oblema (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Algunas soluciones exac as 55
5.1. FlujodePoiseuille..................................... 55
5.2. Flujodecizalladu aplano................................. 57
5.3. Flujo de Coue e en e dos cilind os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliog a ía 63
Capí ulo 1
In oducción y deducción de los modelos
1.1. De iniciones p e ias
El es udio de la ísica de luidos es, y ha sido, de suma impo ancia pa a comp ende si uaciones
y enómenos an o na u ales como indus iales, ya que es amos odeados de ellos en nues o día
a día. Po es o, esul a de in e és conoce el compo amien o de los di e en es luidos con los que
a amos, como pueden se gases o líquidos.
Un luido, al con a io que los sólidos, consis e en un g an núme o de moléculas en mo imien o
que no se dis ibuyen de o ma p ecisa al encon a se en eposo. Pese a que es a íamos an e un
sis ema disc e o de pa ículas, gene almen e los luidos son a ados como medios con inuos en los
que se de inen can idades mac oscópicas. Una de es as can idades es la densidad en un pun o 𝑃en
un iempo 𝑡:
𝜌≈𝛿𝑚
𝛿𝑉 ,
donde 𝛿𝑉 es un olumen elemen al al ededo de 𝑃, su icien emen e pequeño pa a el sis ema com-
ple o pe o su icien emen e g ande pa a las pa ículas, y 𝛿𝑚 la masa con enida en dicho olumen.
De inición 1.1. Di emos que el medio es con inuo si exis e
𝜌∶ (𝑡, 𝑋)→ [0,∞),
unción no nega i a, al que
𝑀𝜔=∫𝜔
𝜌(𝑡, 𝑋)𝑑𝑋,
siendo 𝑀𝜔la masa con enida en el olumen 𝜔en un iempo 𝑡. La unción 𝜌la llama emos densidad
del luido.
Al asumi que a amos con un medio con inuo, podemos habla del mo imien o de odas las
moléculas del luido como un odo y no indi idualmen e. Una o ma de desc ibi el lujo de dichas
moléculas es median e una amilia de mapas biyec i os (𝜑𝑡)𝑡, de inida en el olumen 𝜔que es ocu-
pado inicialmen e po el luido, al que pa a un Ω0con enido en 𝜔, el conjun o Ω𝑡=𝜑𝑡(Ω0)con iene
las mismas moléculas que se encon aban inicialmen e en Ω0, pe o aho a en un iempo 𝑡.
De inición 1.2. La amilia de conjun os (Ω𝑡)𝑡, con Ω𝑡=𝜑𝑡(Ω0), es denominada elemen o de luido.
Al caso Ω0= {𝑥0}se le conoce como pa ícula de luido.
La e olución del sis ema puede queda de e minada conociendo (𝜑𝑡)𝑡, sin emba go, podemos
de ini 𝑋(𝑡, 𝑡0, 𝑥0) = 𝜑𝑡(𝜑−1
𝑡0(𝑥0)) como la ayec o ia de una pa ícula de luido. Es a consis e en la
posición en el iempo 𝑡de la pa ícula de luido cuya posición e a 𝑥0en el iempo 𝑡0. De es a o ma,
abaja emos con la elocidad de una pa ícula de luido pasando po 𝑥en un iempo 𝑡como sigue:
7
1.3. Condiciones iniciales y de con o no
En los capí ulos que siguen, se a a abaja en Ω⊂ℝ𝑑(𝑑= 2,3) dominio aco ado no acío con
𝜕Ω ∈ 0,1, y con 𝑇 > 0. T a a emos con el p oblema de Di ichle
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en Ω,
di (𝑣)=0 en Ω,
𝑣= 0 sob e 𝜕Ω,
pa a las ecuaciones de S okes en el caso es aciona io, y el p oblema de Cauchy-Di ichle
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
𝜕𝑣
𝜕𝑡 − Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en 𝑄= (0, 𝑇 )×Ω,
di (𝑣)=0 en 𝑄,
𝑣= 0 sob e Σ = (0, 𝑇 ) × 𝜕Ω,
𝑣(0,⋅) = 𝑣0en Ω,
pa a las ecuaciones de S okes en el caso e olu i o. Las ecuaciones de Na ie -S okes, po su pa -
e, ambién se án comen adas, des acando p incipalmen e las complicaciones que p esen an en e
a las de S okes en el caso de e olución, y p opo cionando ejemplos con soluciones exac as en el
es aciona io.
14

Capí ulo 2
He amien as ma emá icas
2.1. Concep os gene ales
Se dan po conocidas de iniciones básicas del Análisis Funcional, como las de espacios de Banach
y de Hilbe , y sus p opiedades undamen ales. Nos cen a emos en eco da concep os de Teo ía de
Dis ibuciones y Espacios de Sobole . Sal o que se comen e lo con a io, la imagen de las unciones
es án con enidas en ℝ. Si no se dice nada, en es e capí ulo, Ω⊂ℝ𝑁es un dominio (abie o conexo)
aco ado no acío.
De inición 2.1. Sea Ω⊂ℝ𝑁abie o y 𝑢∈0(Ω). Se de ine el sopo e de 𝑢po
sop(𝑢) = {𝑥∈Ω∶𝑢(𝑥)≠0} ⊂Ω.
Así mismo, de inimos (Ω) (o ∞
𝑐(Ω)) como el espacio de unciones 𝜑∈∞(Ω) ales que sop(𝜑)es
un compac o con enido en Ω.
A(Ω) se le do a de la siguien e con e gencia:
De inición 2.2. Dadas {𝜑𝑛}𝑛≥1⊂(Ω) y𝜑∈(Ω), di emos que 𝜑𝑛←→ 𝜑en (Ω) si exis e un
compac o 𝐾 ⊂ Ω al que sop(𝜑𝑛)⊂ 𝐾, pa a cualquie 𝑛≥1y𝜕𝛼𝜑𝑛←→ 𝜕𝛼𝜑uni o memen e en Ω,
pa a cualquie mul iíndice 𝛼∈ (ℕ∪ {0})𝑁.
De inición 2.3. Se de ine ′(Ω), el espacio de dis ibuciones en Ω, como el espacio de aplicaciones
lineales 𝑇∶(Ω) ←→ ℝ ales que si 𝜑𝑛←→ 𝜑en (Ω) en onces 𝑇(𝜑𝑛)←→ 𝑇(𝜑).
Obse ación 2.4. Se suele usa la no ación ⟨𝑇 , 𝜑⟩′(Ω),(Ω) pa a 𝑇(𝜑), al igual que los elemen os de
un espacio dual. Si el con ex o lo pe mi e, esc ibi emos simplemen e ⟨𝑇 , 𝜑⟩.
De inición 2.5. Se de ine 𝐿𝑝
𝑙𝑜𝑐(Ω), con 𝑝≥1, como el espacio de unciones 𝑢∶ Ω ←→ ℝmedibles
ales que exis e
∫𝐾|𝑢|𝑝𝑑𝑥, ∀𝐾 ⊂ Ω𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜.
Cabe des aca que 𝐿𝑝(Ω) ⊂ 𝐿1
𝑙𝑜𝑐(Ω), pa a cualquie 𝑝∈ [1,∞]. De hecho, es e úl imo espacio
de inido es a á incluido en el espacio de dis ibuciones debido al siguien e esul ado:
P oposición 2.1. Dada una unción 𝑓∈𝐿1
𝑙𝑜𝑐(Ω), en onces, 𝑓se iden i ica con la dis ibución 𝑇𝑓
⟨𝑇𝑓, 𝜑⟩=∫Ω
𝑓𝜑 𝑑𝑥, ∀𝜑∈(Ω).
15
2.1. Concep os gene ales
Una p ueba simple de es a p oposición puede encon a se en [3]. A pa i de aho a esc ibi emos
𝑓en luga de 𝑇𝑓.
Si 𝑓es un elemen o de 𝐿2(Ω), po el Teo ema de Riesz, 𝑓se iden i ica con el elemen o del dual
de 𝐿2(Ω),𝑅𝑓, de inido po ⟨𝑅𝑓, 𝑔⟩=∫Ω𝑓𝑔 𝑑𝑥, pa a odo 𝑔de 𝐿2(Ω). De hecho, se iene:
P oposición 2.2. Sea 𝑇∈′(Ω), al que exis e 𝐶posi i a e i icando
|⟨𝑇 , 𝜑⟩|≤𝐶‖𝜑‖𝐿2(Ω),∀𝜑∈(Ω).
En onces, exis e una única 𝑓∈𝐿2(Ω) cumpliendo 𝑇=𝑓.
Demos ación. Se iene que (Ω) es denso en 𝐿2(Ω) y, además,
𝐿∶𝜑∈(Ω) → 𝐿(𝜑) = ⟨𝑇 , 𝜑⟩∈ℝ,
es lineal y sa is ace
|𝐿(𝜑)|≤𝐶‖𝜑‖𝐿2(Ω),∀𝜑∈(Ω).
En onces, sabemos que exis e un único 𝐿∈(𝐿2(Ω); ℝ)≡𝐿2(Ω)′ al que
𝐿(𝜑) = 𝐿(𝜑) = ⟨𝑇 , 𝜑⟩,∀𝜑∈(Ω).
Po úl imo, usando el Teo ema de Riesz, se iene que exis e una única unción 𝑓∈𝐿2(Ω) con
‖𝑓‖𝐿2(Ω) ≡‖𝐿‖𝐿2(Ω)′ al que
𝐿(𝜑)=(𝑓, 𝜑) = ⟨𝑇 , 𝜑⟩,∀𝜑∈(Ω),
y de aquí se iene el esul ado. □
Obse ación 2.6. No odas las dis ibuciones son unciones. Tenemos el ejemplo de la del a de
Di ac, 𝛿, que es á de inida de la o ma ⟨𝛿, 𝜑⟩=𝜑(0), pa a odo 𝜑pe enecien e a (Ω).
Nos podemos p egun a si el concep o de de i ada apa ece en es e con ex o. La espues a, además
de a i ma i a, es que pa a cie as unciones la de i ada usual y la dis ibucional, de inida en b e e,
coinciden.
De inición 2.7. Sea 𝑇∈′(Ω). Pa a 1≤𝑖≤𝑁, se de ine la pa cial i-ésima de 𝑇y se deno a 𝜕𝑖𝑇a
la dis ibución de inida po
⟨𝜕𝑖𝑇 , 𝜑⟩= −⟨𝑇 , 𝜕𝑖𝜑⟩,∀𝜑∈(Ω).
Podemos aho a de ini de i adas de o den supe io . Obse a que, pa a dis ibuciones, las de i-
adas c uzadas siemp e coinciden. Es o se e pa a odo 𝜑que pe enezca a (Ω):
⟨𝜕𝑖(𝜕𝑗𝑇), 𝜑⟩= −⟨𝜕𝑗𝑇 , 𝜕𝑖𝜑⟩=⟨𝑇 , 𝜕𝑗(𝜕𝑖𝜑)⟩=⟨𝑇 , 𝜕𝑖(𝜕𝑗𝜑)⟩= −⟨𝜕𝑖𝑇 , 𝜕𝑗𝜑⟩=⟨𝜕𝑗(𝜕𝑖𝑇), 𝜑⟩.
En gene al, las de i adas dis ibucionales di e i án de las usuales, pe o como se comen ó p e ia-
men e, hay unciones en las que siemp e se iene la equi alencia.
P oposición 2.3. Si 𝑢∈0(Ω) es al que 𝜕𝑖𝑢∈0(Ω) pa a 𝑖∶ 1 ≤𝑖≤𝑁, en onces la de i ada usual
de 𝑢y la de i ada dis ibucional coinciden.
Ya in oducida la noción de de i ada pa a las dis ibuciones, amos a habla sob e los espacios
de Sobole , con los que abaja emos con inuamen e.
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2. He amien as ma emá icas
De inición 2.8. Se de ine el siguien e espacio de Hilbe :
𝐻1(Ω) = {𝑢∈𝐿2(Ω) ∶ 𝜕𝑖𝑢∈𝐿2(Ω),1≤𝑖≤𝑁},
donde 𝜕𝑖𝑢la en endemos como la de i ada en el sen ido de las dis ibuciones. A 𝐻1(Ω) se le do a
del p oduc o escala :
(𝑢, 𝑣)𝐻1(Ω) =∫Ω
(𝑢𝑣 + ∇𝑢⋅∇𝑣)𝑑𝑥, ∀𝑢, 𝑣 ∈𝐻1(Ω).
An es de segui analizando es os espacios, cabe des aca el Teo ema de Lax-Milg an, ya que es
de especial u ilidad cuando a amos p oblemas en de i adas pa ciales como los que nos incumben.
Teo ema 2.4. Sean 𝐻espacio de Hilbe , 𝑎∶𝐻×𝐻←→ ℝuna o ma bilineal con inua, al que exis e
𝛼 > 0 e i icando 𝑎(𝑥, 𝑥)≥𝛼‖𝑥‖2pa a odo 𝑥pe enecien e a 𝐻, y 𝑓∈𝐻′. En onces, exis e un único
𝑢∈𝐻solución de
𝑎(𝑢, 𝑥) = ⟨𝑓, 𝑥⟩,∀𝑥∈𝐻. (2.1)
Si 𝑎(⋅,⋅)es simé ica, la única solución en 𝐻de (2.1) es á ca ac e izada po se la única solución del
p oblema
m
ın
𝑥∈𝐻{1
2𝑎(𝑥, 𝑥) − ⟨𝑓, 𝑥⟩}.
Obse ación 2.9. Si 𝑎cumple la condición de la exis encia de 𝛼, se dice que es coe ci i a.
La demos ación del Teo ema de Lax-Milg am es á p esen e en nume osas uen es, po ejemplo,
en [3]. Dicho es o, e omamos los espacios de Sobole añadiendo una nue a de inición a nues o
epe o io:
De inición 2.10. Se de ine 𝐻1
0(Ω) como el cie e/clausu a de (Ω) en 𝐻1(Ω).
Se sabe que 𝐻1(Ω) = 𝐻1
0(Ω) si Ω = ℝ𝑁, pe o en gene al son dis in os. Cla amen e 𝐻1
0(Ω) es un
subespacio ce ado de 𝐻1(Ω) y, po an o, es un espacio de Hilbe pa a el mismo p oduc o escala .
Desde el pun o de is a o mal podemos en ende lo como el espacio de unciones de 𝐻1(Ω) que se
anulan en 𝜕Ω. Además, se e i ica la desigualdad de Poinca é:
Teo ema 2.5. Sea Ω⊂ℝ𝑁un abie o al que exis en dos hipe planos pa alelos de o ma que Ωes á
con enido en e ambos. Sea 𝑑la dis ancia en e ambos, en onces se e i ica
‖𝑢‖𝐿2(Ω) ≤𝐶‖∇𝑢‖𝐿2(Ω)𝑁,∀𝑢∈𝐻1
0(Ω),
donde 𝐶=𝑑∕√2.
Demos ación. Supongamos 𝑢∈(Ω). Po un cambio de a iables, gi o más aslación, podemos
supone que los hipe planos son 𝑥1= 0 y𝑥1=𝑑≥0. Como 𝑢∈(Ω), ex endiendo po ce o,
podemos supone que 𝑢es á de inida en odo ℝ𝑁. Llamando 𝑥′= (𝑥2...𝑥𝑁), se iene:
𝑢(𝑥1, 𝑥2...𝑥𝑁) = 𝑢(0, 𝑥′) + ∫𝑥1
0
𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)𝑑𝑡, ∀𝑥1∈ (0, 𝑑), 𝑥′∈ℝ𝑁−1.
Tomando alo absolu o y sabiendo que 𝑢(0, 𝑥′) = 0, se ienen las siguien es desigualdades, usando
Cauchy-Schwa z en la segunda:
|𝑢(𝑥1, 𝑥′)|2≤(∫𝑥1
0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|𝑑𝑡)2≤𝑥1∫𝑥1
0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡 ≤𝑥1∫𝑑
0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡,
17
2.1. Concep os gene ales
pa a cualesquie a 𝑥1∈ (0, 𝑑)y𝑥′∈ℝ𝑁−1. In eg ando en e 0 y 𝑑en la a iable 𝑥1:
∫𝑑
0|𝑢(𝑥1, 𝑥′)|2𝑑𝑥1≤∫𝑑
0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡 ∫𝑑
0
𝑥1𝑑𝑥1=𝑑2
2∫𝑑
0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡.
Haciendo lo mismo pe o con el es o de a iables en odo ℝ𝑁−1:
∫ℝ𝑁−1 ∫𝑑
0|𝑢(𝑥1, 𝑥′)|2𝑑𝑥1𝑑𝑥′≤𝑑2
2∫ℝ𝑁−1 ∫𝑑
0|𝜕1𝑢(𝑡, 𝑥′)|2𝑑𝑡𝑑𝑥′.
Como Ω⊂(0, 𝑑) × ℝ𝑁−1 y sabiendo que 𝑢= 0 ue a de Ω, ya enemos una desigualdad ú il:
∫Ω|𝑢|2𝑑𝑥 ≤𝑑2
2∫Ω|𝜕1𝑢|2𝑑𝑥, ∀𝑢∈(Ω).
Si aho a omamos 𝑢pe enecien e a 𝐻1
0(Ω), en onces exis i á una sucesión de 𝑢𝑛pe enecien es
a(Ω) ales que ienden a 𝑢en 𝐻1(Ω). Es o implica que ambién iendan a 𝑢en 𝐿2(Ω) y∇𝑢𝑛a∇𝑢
en 𝐿2(Ω)𝑁. Es o se aduce en:
‖𝑢𝑛‖2
𝐿2(Ω) =∫Ω|𝑢𝑛|2𝑑𝑥 ←→ ∫Ω|𝑢|2𝑑𝑥 =‖𝑢‖2
𝐿2(Ω)
y
‖𝜕1𝑢𝑛‖2
𝐿2(Ω) =∫Ω|𝜕1𝑢𝑛|2𝑑𝑥 ←→ ∫Ω|𝜕1𝑢|2𝑑𝑥 =‖𝜕1𝑢‖2
𝐿2(Ω).
Usando en onces la desigualdad ob enida p e iamen e pa a cada 𝑛na u al y pasando al lími e se
concluye la p ueba:
‖𝑢‖2
𝐿2(Ω) ≤𝑑2
2‖𝜕1𝑢‖2
𝐿2(Ω) ≤𝑑2
2‖∇𝑢‖2
𝐿2(Ω)𝑁,∀𝑢∈𝐻1
0(Ω).
□
Obse ación 2.11. La demos ación dada p ueba que si 𝑛es un ec o uni a io o ogonal a los
hipe planos, en onces se iene
‖𝑢‖𝐿2(Ω) ≤𝑑
√2‖∇𝑢⋅𝑛‖𝐿2(Ω),∀𝑢∈𝐻1
0(Ω).
Como consecuencia del Teo ema 2.5, ob enemos:
Co ola io 2.6. En las condiciones an e io es omando como no ma en 𝐻1
0(Ω),‖𝑢‖𝐻1
0(Ω) =‖∇𝑢‖𝐿2(Ω)𝑁,
se iene que es a no ma es equi alen e a la usual.
Demos ación. Cla amen e ‖𝑢‖𝐻1
0(Ω) ≤‖𝑢‖𝐻1(Ω), sea cual sea 𝑢de 𝐻1
0(Ω). Po o a pa e, usando
Poinca é,
‖𝑢‖𝐻1(Ω) =√‖𝑢‖2
𝐿2(Ω) +‖∇𝑢‖2
𝐿2(Ω)𝑁≤√𝑑2
2‖∇𝑢‖2
𝐿2(Ω)𝑁+‖∇𝑢‖2
𝐿2(Ω)𝑁=√𝑑2
2+ 1‖∇𝑢‖𝐿2(Ω)𝑁,
po lo que se ha llegado a la o a desigualdad que inaliza la demos ación:
‖𝑢‖𝐻1(Ω) ≤√1 + 𝑑2
2‖𝑢‖𝐻1
0(Ω),∀𝑢∈𝐻1
0(Ω).
Es o inaliza la p ueba. □
18
2. He amien as ma emá icas
Como ocu e con un espacio no mado cualquie a, enemos el espacio de aplicaciones lineales y
con inuas de 𝐻1
0(Ω) aℝ:
De inición 2.12. Se de ine 𝐻−1(Ω) como el espacio dual de 𝐻1
0(Ω).
Se iene que 𝐻−1(Ω) es un subespacio de ′(Ω). Además, si 𝑇es un elemen o de ′(Ω) en onces:
𝑇∈𝐻−1(Ω) ⇐⇒ ∃𝐶≥0 ∶ |⟨𝑇 , 𝜑⟩|≤𝐶‖𝜑‖𝐻1(Ω),∀𝜑∈(Ω).
Como casos pa icula es de in e és, enemos 𝐿2(Ω) ⊂ 𝐻−1(Ω) y, cuando 𝑔pe enezca a 𝐿2(Ω), las
di e en es de i adas 𝜕𝑖𝑔se án elemen os de 𝐻−1(Ω). Recíp ocamen e, se iene:
P oposición 2.7. Si 𝑓∈𝐻−1(Ω), en onces exis en 𝑓∈𝐿2(Ω),𝑔∈𝐿2(Ω)𝑁 ales que:
𝐹=𝑓+di (𝑔) = 𝑓+𝜕1𝑔1+𝜕2𝑔2+... +𝜕𝑁𝑔𝑁.
Demos ación. Dada 𝐹de 𝐻−1(Ω), po el Teo ema de Riesz, exis e una única 𝑢pe enecien e a
𝐻1
0(Ω) al que:
⟨𝐹 , 𝑣⟩= (𝑢, 𝑣)𝐻1(Ω) =∫Ω
(𝑢𝑣 + ∇𝑢⋅∇𝑣)𝑑𝑥, ∀𝑣∈𝐻1
0(Ω),
donde si desa ollamos pa a cualquie 𝑣de (Ω), se llega a
∫Ω
(𝑢𝑣 + ∇𝑢⋅∇𝑣)𝑑𝑥 =∫Ω
(𝑢𝑣 +
𝑁
∑
𝑖=1
𝜕𝑖𝑢𝜕𝑖𝑣)𝑑𝑥
=⟨𝑢, 𝑣⟩′,+
𝑁
∑
𝑖=1 ⟨𝜕𝑖𝑢, 𝜕𝑖𝑣⟩′,
=⟨𝑢, 𝑣⟩′,−
𝑁
∑
𝑖=1 ⟨𝜕2
𝑖𝑖𝑢, 𝑣⟩′,
=⟨𝑢− Δ𝑢, 𝑣⟩′,.
Po densidad 𝑢− Δ𝑢=𝐹, omando pa a acaba 𝑓=𝑢y𝑔= −∇𝑢.□
Obse ación 2.13. En el esul ado an e io , si además se e i ica la desigualdad de Poinca é, se
puede oma 𝑓= 0. Es o debido a que el p oduc o escala (𝑢, 𝑣)𝐻1
0(Ω) = (∇𝑢, ∇𝑣)𝐿2(Ω) es equi alen e
al usual.
2.2. Dominios Lipschi z
T abaja en abie os sin ninguna condición especial puede p o oca nos p oblemas, la mayo pa -
e de las eces en la on e a de es os. Po ello, amos a cen a nos especí icamen e en los dominios
lipschi zianos que nos pe mi i án aplica la ó mula de S okes del eo ema de la di e gencia. Reco -
damos, pa a en ende la no ación, que una unción, 𝑓, de clase 𝑘,𝛼(Ω) es aquella cuyas de i adas
pa ciales has a o den 𝑘exis en y son con inuas, y las de o den 𝑘son con inuas en el sen ido de
Hölde , es deci , pa a cada 𝑥0∈ Ω, exis en 𝐶𝑥0posi i a y un en o no abie o 𝑈𝑥0⊂Ωde 𝑥0 al que
|𝜕𝑘𝑓(𝑥) − 𝜕𝑘𝑓(𝑦)|≤𝐶𝑥0|𝑥−𝑦|𝛼,∀𝑥, 𝑦 ∈𝑈𝑥0.
De inición 2.14. Dada una unción 𝑎∶ℝ𝑑−1 ←→ ℝ, de clase 𝑘,𝛼 y con sopo e compac o, de inimos
el siguien e conjun o abie o 𝑎={(𝑥, 𝑥𝑑) ∈ ℝ𝑑∶𝑥𝑑> 𝑎(𝑥)},
que se á llamado semiespacio 𝑘,𝛼 en ℝ𝑑.
19

2.3. Funciones y dis ibuciones ec o iales
Aunque hemos hecho la de inición an e io pa a cualquie 𝑘en e o no nega i o y 𝛼 eal en e
0 y 1, luego nos queda emos en uno de los casos más signi ican es. T a a emos con 𝑑= 2 o𝑑= 3,
pe o no hab ía complicaciones en o os casos de mayo dimensión.
De inición 2.15. Un dominio no acío Ωde ℝ𝑑es llamado dominio de clase 𝑘,𝛼 (con no ación
𝜕Ω ∈ 𝑘,𝛼 oΩ ∈ 𝑘,𝛼) si pa a cualquie pun o 𝜎de su on e a exis e un en o no abie o 𝑈𝜎de 𝜎en
ℝ𝑑, una o ación 𝑅𝜎y un semiespacio 𝑘,𝛼,𝑎𝜎, cumpliendo:
Ω ∩ 𝑈𝜎= (𝑅𝜎𝑎𝜎) ∩ 𝑈𝜎,
𝜕Ω ∩ 𝑈𝜎= (𝑅𝜎𝜕𝑎𝜎) ∩ 𝑈𝜎,
Ω𝑐∩𝑈𝜎= (𝑅𝜎𝑐
𝑎𝜎) ∩ 𝑈𝜎.
Conc e amen e, si 𝑘= 0 y𝛼= 1,Ωse á un dominio Lipschi z, Ω ∈ 0,1.
El esul ado undamen al que nos concie ne pa a los dominios Lipschi z y la azón de hace los
es udios en es os es el mencionado al comienzo de la sección: el eo ema de la di e gencia. Aunque
no se p oba á, ya que hab ía que hace un análisis más p o undo de los dominios Lipschi z, se puede
consul a [2] si se desea.
Teo ema 2.8. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio con 𝜕Ω ∈ 0,1y on e a compac a. Pa a cualquie campo Φ
que pe enezca a 1
𝑐(ℝ𝑑)𝑑, se iene
∫Ω
di (Φ) 𝑑𝑥 =∫𝜕Ω
(Φ ⋅𝜈)𝑑𝜎,
donde 𝜈es el ec o uni a io no mal ex e io a la supe icie.
En el caso pa icula de aplica dicho eo ema al campo 𝜓Φ, con Φun campo como an es y 𝜓
simplemen e en 1
𝑐(ℝ𝑑), llegamos a la exp esión
∫Ω
𝜓di (Φ) 𝑑𝑥 +∫Ω
Φ⋅∇𝜓 𝑑𝑥 =∫𝜕Ω
𝜓(Φ ⋅𝜈)𝑑𝜎.
2.3. Funciones y dis ibuciones ec o iales
En lo que lle amos de capí ulo, nos hemos in e esado en unciones que oman alo es en los
núme os eales. En cambio, a con inuación se comen a án algunos esul ados sob e in eg ación y
di e enciación pa a unciones de una a iable que llegan a un espacio de Banach 𝑋. Viendo su analo-
gía con las unciones 𝐿𝑝(Ω), se pod á habla de dis ibuciones ec o iales y espacios de Sobole con
alo es en un Banach. La mo i ación de ello se e á e lejada en el e ce y cua o capí ulo cuando
hablemos sob e las ecuaciones de S okes y Na ie -S okes de e olución.
Supongamos que 𝑋es un espacio de Banach sob e ℝcon no ma ‖⋅‖y espacio dual 𝑋′.
De inición 2.16. Sea 𝑇 > 0. Una unción ec o ial de una a iable se á aquella de la o ma
𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋.
La unción ca ac e ís ica de un conjun o medible Lebesgue 𝐸con enido en el in e alo (0, 𝑇 )se
deno a po
𝜒𝐸(𝑡) = {1si 𝑡∈𝐸,
0si 𝑡∉𝐸.
20
2. He amien as ma emá icas
De inición 2.17. Una unción simple 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋es una unción que p esen a la o ma
𝑓=
𝑁
∑
𝑗=1
𝑐𝑗𝜒𝐸𝑗(2.2)
donde 𝐸𝑗son subconjun os medibles Lebesgue en (0, 𝑇 )con in e sección acía dos a dos y los 𝑐𝑗
son elemen os de 𝑋.
Es a noción de unción simple nos a a se ú il pa a in oduci las llamadas in eg ales de Bochne .
An es de ini emos al es o de unciones con las que se ha án los es udios:
De inición 2.18. Una unción 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋se dice que es ue emen e medible si exis e una
sucesión {𝑓𝑛}𝑛≥1de unciones simples al que
𝑓𝑛(𝑡)←→ 𝑓(𝑡),p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ).
2.3.1. In eg abilidad
Al usa las p opiedades de o den en ℝ, la de inición de la in eg al de Lebesgue como el sup emo
de las in eg ales de unciones simples no se ex iende de o ma di ec a a las unciones ec o iales.
De inición 2.19. Sea 𝑓una unción simple dada po (2.2). La in eg al de 𝑓, conocida comúnmen e
como in eg al de Bochne , se de ine de la o ma
∫𝑇
0
𝑓 𝑑𝑡 =
𝑁
∑
𝑗=1
𝑐𝑗|𝐸𝑗|∈𝑋
donde |𝐸𝑗|deno a la medida de Lebesgue de 𝐸𝑗.
La úl ima de inición, como cab ía espe a se, se puede ex ende a las unciones ue emen e me-
dibles. De ahí la de inición que sigue:
De inición 2.20. Una unción ue emen e medible 𝑓es in eg able Bochne si exis e una sucesión
de unciones simples {𝑓𝑛}𝑛≥1 al que 𝑓𝑛(𝑡)con e ge pun ualmen e a 𝑓(𝑡)pa a casi odo 𝑡en (0, 𝑇 )y
l
ım
𝑛←→∞∫𝑇
0‖𝑓−𝑓𝑛‖𝑑𝑡 = 0.
La in eg al, de Bochne , de 𝑓se de ini á po an o como
∫𝑇
0
𝑓 𝑑𝑡 = l
ım
𝑛←→∞∫𝑇
0
𝑓𝑛𝑑𝑡.
Obse ación 2.21. Es e úl imo lími e exis e ue emen e en 𝑋y su alo es independien e de la
sucesión elegida. E ec i amen e, haciendo uso de (2.3), se puede comp oba .
Una p opiedad que podemos p egun a nos si se cumple es la desigualdad clásica del alo abso-
lu o de la in eg al pe o en nues o caso pa a la no ma de 𝑋.
P oposición 2.9. Sea 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋una unción in eg able Bochne . En onces, se iene la siguien e
desigualdad: ‖‖‖‖‖∫𝑇
0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡‖‖‖‖‖≤∫𝑇
0‖𝑓(𝑡)‖𝑑𝑡.
21
2.3. Funciones y dis ibuciones ec o iales
Demos ación. Demos emos la desigualdad pa a unciones simples. Sea 𝑓 al que
𝑓(𝑡) =
𝑁
∑
𝑗=1
𝑐𝑗𝜒𝐸𝑗,
con los 𝑐𝑗∈𝑋y𝐸𝑗⊂(0, 𝑇 )medibles Lebesgue en (0, 𝑇 )y disjun os, pa a cualquie 𝑗. Se da, g acias
a la desigualdad iangula :
‖‖‖‖‖∫𝑇
0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡‖‖‖‖‖=‖‖‖‖‖‖
𝑁
∑
𝑗=1
𝑐𝑗|𝐸𝑗|‖‖‖‖‖‖
≤𝑁
∑
𝑗=1 |𝐸𝑗|‖𝑐𝑗‖=∫𝑇
0‖𝑓(𝑡)‖𝑑𝑡. (2.3)
Es o p ueba el caso de las unciones simples. Aho a, dada 𝑓 ue emen e medible e in eg able Boch-
ne cualquie a se iene que exis e una sucesión {𝑓𝑛}𝑛≥1de unciones simples que con e ge pun ual-
men e a 𝑓(𝑡)pa a casi odo 𝑡en (0, 𝑇 ). Pa a cada 𝑛se iene:
‖‖‖‖‖∫𝑇
0
𝑓𝑛(𝑡)𝑑𝑡‖‖‖‖‖≤∫𝑇
0‖𝑓𝑛(𝑡)‖𝑑𝑡.
Pasando al lími e, po con inuidad de la no ma y de la in eg al, se llega a la desigualdad de la p o-
posición. □
Veamos aho a una igualdad que apa ece al aplica un elemen o del dual a una in eg al. De una
o ma poco o mal, las in eg ales y las aplicaciones lineales son in e cambiables.
P oposición 2.10. Sea 𝐿∈𝑋′. En onces, se cumple la siguien e igualdad pa a cualquie unción
𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋in eg able Bochne :
⟨𝐿, ∫𝑇
0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡⟩=∫𝑇
0⟨𝐿, 𝑓(𝑡)⟩𝑑𝑡.
Demos ación. La p ueba sigue la misma línea que la de p oposición p e ia. Po ello, emos p ime o
el caso de las unciones simples:
∫𝑇
0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑁
∑
𝑗=1
𝑐𝑗|𝐸𝑗|⇒⟨𝐿, ∫𝑇
0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡⟩=
𝑁
∑
𝑗=1 |𝐸𝑗|⟨𝐿, 𝑐𝑗⟩.
Po o o lado, se iene la siguien e cadena de igualdades que demues a el caso de las unciones
simples:
∫𝑇
0⟨𝐿, 𝑓(𝑡)⟩𝑑𝑡 =∫𝑇
0
𝑁
∑
𝑗=1 ⟨𝐿, 𝑐𝑗⟩𝜒𝐸𝑗=
𝑁
∑
𝑗=1 |𝐸𝑗|⟨𝐿, 𝑐𝑗⟩.
Pa a el es o de las unciones ue emen e medibles e in eg ables Bochne se hace el mismo azo-
namien o is o, en es e caso con inuidad de 𝐿, que pa a la desigualdad is a en la an e io p oposi-
ción. □
P esen amos un esul ado debido al p opio Bochne en 1933, el cual ca ac e iza las unciones
in eg ables con aquellas que ienen no ma in eg able.
Teo ema 2.11. Una unción 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋es in eg able Bochne si y solo si es ue emen e medible
y
∫𝑇
0‖𝑓‖𝑑𝑡 < ∞.
22
2. He amien as ma emá icas
Es deci , pa a sabe si es posible in eg a una unción ec o ial an solo hace al a comp oba que
𝑔∶𝑡∈ (0, 𝑇 )←→ ‖𝑓(𝑡)‖∈ℝes in eg able. La p ueba del Teo ema 2.11 puede consul a se en [6].
El p óximo concep o que podemos a a pa a las unciones ec o iales es el de los espacios 𝐿𝑝,
cuya de inición y p opiedades son o almen e análogas al caso de unciones que oman alo es eales.
De inición 2.22. Pa a 1≤𝑝 < ∞, el espacio 𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋)se compone de odas las unciones ue e-
men e medibles 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋, cumpliendo
∫𝑇
0‖𝑓‖𝑝𝑑𝑡 < ∞.
Do amos a es e espacio de la no ma
‖𝑓‖𝐿𝑝(0,𝑇 ;𝑋)=(∫𝑇
0‖𝑓‖𝑝𝑑𝑡)1∕𝑝
.
El espacio 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝑋)es á compues o po las unciones ue emen e medibles que cumplen
‖𝑓‖𝐿∞(0,𝑇 ;𝑋)= sup
𝑡∈(0,𝑇 )‖𝑓(𝑡)‖<∞,
donde aquí sup deno a el sup emo esencial, el meno núme o eal 𝑀 al que
|{𝑡∈ (0, 𝑇 ) ∶ ‖𝑓(𝑡)‖> 𝑀}|= 0,
con |⋅|deno ando la medida de Lebesgue.
Obse ación 2.23. Como en el caso eal, abajamos con clases de unciones. Po an o, odas aque-
llas que sean iguales pun o a pun o pa a casi odo 𝑡en (0, 𝑇 )son écnicamen e la misma.
Se iene el siguien e esul ado, cuya p ueba iene e e enciada en [2], de g an u ilidad:
Teo ema 2.12. Si 𝑋es un espacio de Banach y 1≤𝑝≤∞, en onces 𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋)es un espacio de
Banach. Además, pa a 𝑝 ini o, el conjun o de las unciones 𝑓∶ (0, 𝑇 )←→ 𝑋con inuas es denso en
𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋).
Es lógico pensa que la De inición 2.3 se puede ex ende , is o odo es o, de la siguien e o ma:
De inición 2.24. Se de ine ′(0, 𝑇 ;𝑋), el espacio de dis ibuciones ec o iales en (0, 𝑇 ), como el
espacio de aplicaciones lineales 𝑇∶(0, 𝑇 )←→ 𝑋 ales que si 𝜑𝑛←→ 𝜑en (0, 𝑇 )en onces 𝑇(𝜑𝑛)←→
𝑇(𝜑)en 𝑋.
Al igual que con las dis ibuciones clásicas, las unciones ec o iales, 𝑓, de 𝐿𝑝(0, 𝑇 ;𝑋)se iden-
i ican con dis ibuciones en ′(0, 𝑇 ;𝑋)a a és de la iden i icación:
⟨𝑇𝑓, 𝜑⟩=∫𝑇
0
𝜑𝑓 𝑑𝑡, ∀𝜑∈(0, 𝑇 ),
donde se usa la no ación ⟨⋅,⋅⟩de igual mane a. Abusando de no ación nue amen e 𝑇𝑓=𝑓. El
esul ado que pe mi e es a iden i icación es la ex ensión de la P oposición 2.1 a las dis ibuciones
ec o iales.
23
3.1. P oblema es aciona io
Teo ema 3.4. Sea Ωun abie o aco ado de ℝ𝑑, con 𝜕Ω ∈ 0,1. En onces, se iene que la imagen del
ope ado g adien e
∇(𝐿2(Ω)) = {𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑∶ ∃𝑝∈𝐿2(Ω), 𝑓 = ∇𝑝}
es un ce ado de 𝐻−1(Ω)𝑑.
Demos ación. Supond emos que Ωes un abie o conexo. Si no lo es, bas a con aplica el eo ema
a cada componen e conexa del mismo. Conside emos {∇𝑝𝑛}𝑛≥1, con 𝑝𝑛∈𝐿2(Ω), una sucesión que
con e ge en 𝐻−1(Ω)𝑑. Podemos supone que 𝑚(𝑝𝑛)=0, ya que Ωes á aco ado y no hab ía cambio
en ∇𝑝𝑛debido a que la media, si la es amos a 𝑝𝑛, es una cons an e. Aplicando la desigualdad de
Nečas y la de la P oposición 3.2 se llega a:
‖𝑝𝑛−𝑝𝑛+𝑘‖𝐿2(Ω) ≤𝐶‖∇(𝑝𝑛−𝑝𝑛+𝑘)‖𝐻−1(Ω)𝑑,∀𝑛, 𝑘 ≥1.
De aquí se deduce, como {∇𝑝𝑛}𝑛≥1es una sucesión de Cauchy en 𝐻−1(Ω)𝑑, que {𝑝𝑛}𝑛≥1es una
sucesión de Cauchy en 𝐿2(Ω). Es o conlle a a que exis e 𝑝de 𝐿2(Ω) al que 𝑝𝑛←→ 𝑝. Ya es di ec o el
inal de la p ueba con ∇𝑝𝑛←→ ∇𝑝en 𝐻−1(Ω)𝑑.□
Obse ación 3.3. Exis e la e sión de es e eo ema pa a dominios no aco ados. En es e caso, es el
conjun o
∇(𝐿2
𝑙𝑜𝑐(Ω)) ∩ 𝐻−1(Ω)𝑑= {𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑∶ ∃𝑝∈𝐿2
𝑙𝑜𝑐(Ω), 𝑓 = ∇𝑝}
el que es ce ado en 𝐻−1(Ω)𝑑.
Ya es amos casi en condiciones pa a llega al eo ema que da nomb e a es a subsección. An es
in oduzcamos, como eco da o io, una de inición básica pa a así en ende la no ación.
De inición 3.4. Sea 𝐸un espacio de Banach con espacio dual 𝐸′. Dado un subconjun o 𝐴de 𝐸, se
de ine como el o ogonal de 𝐴al subespacio de 𝐸′que iene dado po
𝐴⟂= {𝜑∈𝐸′∶⟨𝜑, 𝑥⟩= 0,∀𝑥∈𝐴}.
Es a de inición, más gene al, ecoge el caso de los espacios de Hilbe , en los que el o ogonal
nos lo da el p oduc o escala . Es consecuencia de Riesz.
P oposición 3.5. Sea 𝐸un espacio de Banach y 𝐴un subcojun o del mismo. Se ienen las siguien es
p opiedades:
1. Si 𝐵 ⊂ 𝐴, en onces 𝐴⟂⊂ 𝐵⟂.
2. 𝐴⟂=Span(𝐴)⟂=Span(𝐴)
⟂
,donde Span(𝐴)es el conjun o de odas las combinaciones lineales
posibles de elemen os pe enecien es a 𝐴.
3. 𝐴⟂es un subespacio ec o ial ce ado de 𝐸.
Demos ación. La p ime a p opiedad es consecuencia di ec a de la de inición de se o ono mal.
La segunda se puede e po doble inclusión. Se iene 𝐴 ⊂ Span(𝐴)⊂Span(𝐴), po lo que,
usando la p ime a p opiedad, Span(𝐴)
⟂
⊂Span(𝐴)⟂⊂ 𝐴⟂. Sean aho a 𝜑∈𝐴⟂e𝑦∈Span(𝐴).
En onces:
∃𝑦1, ..., 𝑦𝑘∈𝐴, ∃𝛼1, ..., 𝛼𝑘∈ℝ|𝑦=𝛼1𝑦1+... +𝛼𝑘𝑦𝑘.
Aplicando 𝜑a𝑦:
⟨𝜑, 𝑦⟩=⟨𝜑, 𝛼1𝑦1+... +𝛼𝑘𝑦𝑘⟩=𝛼1⟨𝜑, 𝑦1⟩+... +𝛼𝑘⟨𝜑, 𝑦𝑘⟩= 0.
Es o p ueba que 𝐴⟂⊂Span(𝐴)⟂.
30

3. El p oblema de S okes es aciona io y e olu i o
Sea aho a 𝜑∈Span(𝐴)⟂y omemos 𝑦∈Span(𝐴). Se iene que exis e una sucesión {𝑦𝑛}𝑛≥1en
Span(𝐴) al que 𝑦𝑛←→ 𝑦. Po la con inuidad de 𝜑:
⟨𝜑, 𝑦⟩= l
ım
𝑛←→∞⟨𝜑, 𝑦𝑛⟩= 0,
quedando p obada la inclusión Span(𝐴)⟂⊂Span(𝐴)
⟂
.Se ha demos ado la segunda p opiedad.
Pa a la e ce a, conside emos 𝜑1y𝜑2de 𝐴⟂, así como 𝛼y𝛽 eales. Sea cual sea 𝑦de 𝐴se da
⟨𝛼𝜑1+𝛽𝜑2, 𝑦⟩=𝛼⟨𝜑1, 𝑦⟩+𝛽⟨𝜑2, 𝑦⟩= 0,
o lo que es lo mismo, 𝛼𝜑1+𝛽𝜑2es elemen o de 𝐴⟂. Habiendo is o que es un subespacio ec o ial,
p ocedemos a e si es ce ado. Pa a ello, omamos 𝜑de 𝐴⟂, con {𝜑𝑛}𝑛≥1la sucesión en 𝐴⟂que
cumple 𝜑𝑛←→ 𝜑. Nue amen e, po la con inuidad de los 𝜑𝑛:
⟨𝜑, 𝑦⟩= l
ım
𝑛←→∞⟨𝜑𝑛, 𝑦⟩= 0,∀𝑦∈𝐴.
Ya se iene que 𝐴⟂es ce ado debido a la igualdad con su clausu a. Es o inaliza la p ueba. □
Obse ación 3.5. G acias a la segunda y e ce a p opiedad de es a p oposición, si 𝐸es e lexi o,
como los espacios de Hilbe , podemos asocia el o ogonal del o ogonal de 𝐴con la clausu a de
Span(𝐴). Es o es, de o ma ma emá ica,
(𝐴⟂)⟂=Span(𝐴).
Pa a los espacios de Hilbe , usando p oyecciones o ogonales, consul a [3], se puede llega al
siguien e esul ado:
P oposición 3.6. Sean 𝐻un espacio de Hilbe y 𝑀 ⊂ 𝐻 un subespacio ec o ial. En onces, se iene
(𝑀⟂)⟂=𝑀.
Co ola io 3.7. Sean 𝐻un espacio de Hilbe y 𝑀 ⊂ 𝐻 un subespacio ec o ial. En onces,
1. 𝑀es ce ado en 𝐻si y solo si (𝑀⟂)⟂=𝑀.
2. 𝑀es denso en 𝐻si y solo si 𝑀⟂= {0}.
Demos ación. Lo p ime o es á cla o haciendo uso de la p oposición p e ia, sabiendo que 𝑀=𝑀
implica se ce ado y ice e sa.
Pa a el segundo pun o, se iene en cuen a que se denso es un si y solo si con la condición 𝑀=𝐻.
La p oposición p e ia con ie e es a equi alencia en se denso si y solo si (𝑀⟂)⟂=𝐻. Reco damos
que con los espacios de Hilbe los o ogonales ienen de e minados po el p oduc o escala , como
se comen ó as su de inición. Po lo an o:
𝑀es denso ⇐⇒ (𝑥, 𝑦)=0,∀𝑦∈𝐻, ∀𝑥∈𝑀⟂.
Si 𝑀⟂= {0}, en onces se da la implicación de de echa a izquie da. Si 𝑀es denso, se oma 𝑦=𝑥
pa a ob ene
‖𝑥‖2= (𝑥, 𝑥)=0,∀𝑥∈𝑀⟂.
El único 𝑥con no ma nula es 𝑥= 0, conluyendo la p ueba. □
Disponemos de odas las he amien as necesa ias pa a aba ca la demos ación de la e sión
débil del Teo ema de De Rham.
31
3.1. P oblema es aciona io
Teo ema 3.8. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no acío con 𝜕Ω ∈ 0,1y on e a compac a. Sea 𝑓un elemen o
de 𝐻−1(Ω)𝑑cumpliendo
⟨𝑓, 𝜑⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑= 0,∀𝜑∈𝐻1
0(Ω)𝑑, al que di (𝜑)=0.
Se iene en onces que exis e un elemen o 𝑝en 𝐿2
𝑙𝑜𝑐(Ω), único sal o una cons an e, al que 𝑓= ∇𝑝. Si
además Ωes á aco ado, 𝑝pe enece a 𝐿2(Ω).
Demos ación. Vamos a deno a como 𝑌a alguno de los dos siguien es subespacios de 𝐻−1(Ω)𝑑,
según p oceda, de inidos po
𝑌= {∇𝑝∶𝑝∈𝐿2(Ω)},
si Ωes á aco ado, y po
𝑌= {𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑∶ ∃𝑝∈𝐿2
𝑙𝑜𝑐, 𝑓 = ∇𝑝},
si Ωno es á aco ado. Po o o lado, sea 𝑍el subespacio de 𝐻1
0(Ω)𝑑de inido po
𝑍= {𝜑∈𝐻1
0(Ω)𝑑∶di (𝜑) = 0}.
Con es a no ación, e o mulemos el enunciado del eo ema eniendo en cuen a la de inición del
o ogonal. Con las mismas condiciones sob e Ω, si 𝑓∈𝑍⟂, en onces 𝑓∈𝑌.
Cabe des aca que 𝐻−1(Ω)𝑑es un espacio de Hilbe . Además, usando el Teo ema 3.4 y la Ob-
se ación 3.3, 𝑌es un ce ado independien emen e de Ωaco ado o no. El Co ola io 3.7 nos indica,
como consecuencia, que (𝑌⟂)⟂=𝑌. Ag upando odo, solamen e debemos p oba 𝑌⟂⊂ 𝑍, ya que
es o implica, po las p opiedades de los o ogonales, 𝑍⟂⊂(𝑌⟂)⟂=𝑌, es deci , la e o mulación del
eo ema.
Sea 𝑢, elemen o de 𝑌⟂. Po de inición:
⟨∇𝑝, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑= 0,∀𝑝∈𝐿2(Ω).
Así mismo, al se 𝑝elemen os de 𝐿2(Ω), se iene
⟨∇𝑝, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑= − ∫Ω
𝑝di (𝑢)𝑑𝑥.
Llegamos a que, pa a cualquie 𝑢de 𝑌⟂, se cumple:
∫Ω
𝑝di (𝑢)𝑑𝑥 = 0,∀𝑝∈𝐿2(Ω).
Se puede elegi en es a igualdad 𝑝=di (𝑢), quedando, consecuen emen e, di (𝑢)=0. Es o implica
que 𝑢pe enezca a 𝑍. Es o e mina la p ueba. □
Se comen ó p e iamen e que es a es la e sión débil del Teo ema de De Rham. Nos se á su icien e
con ella pa a conclui la p ueba de exis encia y unicidad del p oblema es aciona io de S okes (3.2).
Aun así, enunciamos la e sión ue e del Teo ema de De Rham:
Teo ema 3.9. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no acío y aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Sea 𝑓un elemen o de
𝐻−1(Ω)𝑑, al que pa a cualquie 𝜑∈(Ω)𝑑con di e gencia nula se da
⟨𝑓, 𝜑⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑= 0.
En onces, exis e una única 𝑝pe enecien e a 𝐿2
0(Ω) cumpliendo 𝑓= ∇𝑝.
La demos ación puede encon a se en [9] o en los abajos del p opio De Rham, [4]. O o esul-
ado simila que podemos encon a nos es el siguien e eo ema:
Teo ema 3.10. Sea Ω⊂ℝ𝑑un abie o no acío. Sea 𝑓∈′(Ω)𝑑, al que
⟨𝑓, 𝜑⟩′(Ω)𝑑,(Ω)𝑑= 0,∀𝜑∈(Ω)𝑑.
En onces, exis e 𝑝∈′(Ω) al que 𝑓= ∇𝑝.
32
3. El p oblema de S okes es aciona io y e olu i o
3.1.2. Exis encia y unicidad de solución del p oblema (3.2)
Vol iendo al p oblema es aciona io (3.2), ya podemos es udia la exis encia y unicidad de so-
lución de dicho sis ema. La p esión 𝑝se busca á en 𝐿2
0(Ω), mien as que 𝑣la busca emos, po la
condición de Di ichle y la di e gencia nula, en el espacio de Hilbe
𝑉= {𝑣∈𝐻1
0(Ω)𝑑∶di (𝑣) = 0}.
Teo ema 3.11. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no acío y aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Dada 𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑, exis e
un único pa (𝑣, 𝑝) ∈ 𝑉×𝐿2
0(Ω), solución débil del p oblema (3.2). Además, exis e una cons an e 𝐶 > 0,
sólo dependien e de Ω, al que
‖𝑣‖𝐻1(Ω)𝑑+‖𝑝‖𝐿2
0(Ω) ≤𝐶‖𝑓‖𝐻−1(Ω)𝑑.
Demos ación. Conside amos el espacio 𝑉desc i o an e io men e. Se iene que 𝑉es Hilbe po que
es un subespacio ce ado de 𝐻1
0(Ω)𝑑. An es que nada, eamos que la ecuación
−Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓
iene odos los é minos en 𝐻−1(Ω)𝑑. Es e iden e pa a 𝑓. El ep esen an e de 𝑝en 𝐿2
0(Ω) pe enece
a𝐿2(Ω), po lo que sus de i adas en el sen ido de dis ibuciones, is o en el segundo capí ulo, pe -
enecen a 𝐻−1(Ω). En onces, ∇𝑝es elemen o de 𝐻−1(Ω)𝑑. El mismo azonamien o nos explica que
cada componen e de Δ𝑣se encuen a en 𝐻−1(Ω), ya que al posee segundas de i adas pa ciales de
cada componen e de 𝑣, elemen o de 𝐻1
0(Ω)𝑑, o man pa e an o los 𝑣𝑖como sus de i adas en 𝐿2(Ω).
La igualdad se e i ica en 𝐻−1(Ω)𝑑y, como consecuencia di ec a, en ′(Ω)𝑑.
Vamos a ob ene la o mulación a iacional del p oblema. Conside amos 𝑢∈𝑉, lo que nos lle a
a que nues o p oblema aho a sea encon a (𝑣, 𝑝) ∈ 𝑉×𝐿2
0(Ω) cumpliendo:
−⟨Δ𝑣, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑+⟨∇𝑝, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑=⟨𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑,∀𝑢∈𝑉 .
Es o es equi alen e, g acias a las de i adas dis ibucionales que encon amos en ⟨⋅,⋅⟩y po densidad,
a∫Ω
∇𝑣∶ ∇𝑢 𝑑𝑥 −∫Ω
𝑝∇⋅𝑢 𝑑𝑥 =⟨𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑,∀𝑢∈𝑉 .
La segunda in eg al se anula, ya que di (𝑢)=0pa a los elemen os de 𝑉, llegando a la o mulación
a iacional:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Halla 𝑣∈𝑉 ,
∫Ω
∇𝑣∶ ∇𝑢 𝑑𝑥 =⟨𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑,∀𝑢∈𝑉 . (3.3)
La p egun a aho a es si de es e nue o p oblema se puede llega al o iginal. Median e azonamien os
pa ecidos, ob enemos:
⟨−Δ𝑣−𝑓, 𝑢⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑= 0,∀𝑢∈𝑉 . (3.4)
Re oma emos es e pun o en un a o pa a pode conclui la p ueba de o ma sa is ac o ia.
Es udiemos la o mulación a iacional. Pa a ello, de inimos la siguien e o ma bilineal en 𝑉:
𝑎(𝑣, 𝑤) = ∫Ω
∇𝑣∶ ∇𝑤 𝑑𝑥. (3.5)
33
3.1. P oblema es aciona io
Es con inua debido a que es el p oduc o escala en 𝐻1
0(Ω)𝑑, consecuencia del Co ola io 2.6, po lo
que se puede aplica la desigualdad de Cauchy-Schwa z:
|𝑎(𝑣, 𝑤)|=|(𝑣, 𝑤)𝐻1
0(Ω)𝑑|≤‖𝑣‖𝐻1
0(Ω)𝑑‖𝑤‖𝐻1
0(Ω)𝑑,∀𝑣, 𝑤 ∈𝐻1
0(Ω)𝑑.
La coe ci i idad es el caso pa icula de oma 𝑤=𝑣, quedando la igualdad
𝑎(𝑣, 𝑣) = ‖𝑣‖2
𝐻1
0(Ω)𝑑,∀𝑣∈𝐻1
0(Ω)𝑑.
Como 𝑉 ⊂ 𝐻1
0(Ω)𝑑, en onces 𝑎es una o ma bilineal con inua y coe ci i a en 𝑉.
Po o o lado, de inimos la o ma lineal
𝐹(𝑤) = ⟨𝑓, 𝑤⟩𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1
0(Ω)𝑑,∀𝑤∈𝑉 .
Al se 𝑓∈𝐻−1(Ω)𝑑, es a o ma lineal es con inua en 𝑉, con enida en 𝐻1
0(Ω)𝑑. Se dan odas las
condiciones pa a aplica el Teo ema de Lax-Milg am, po lo que concluimos que exis e un único
elemen o 𝑣de 𝑉solución de
𝑎(𝑣, 𝑢) = 𝐹(𝑢),∀𝑢∈𝑉 .
Es deci , exis e solución 𝑣∈𝑉y es única de (3.4). Si nos ijamos, es amos an e las condiciones del
Teo ema de De Rham, en su e sión débil pa a Ωaco ados. Aplicándolo, exis e 𝑝∈𝐿2(Ω), única
sal o cons an e, al que
−Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓.
Tomando 𝑝cuya media es nula, llegamos a que es única en 𝐿2
0(Ω). La desigualdad del enunciado es
di ec a omando 𝑢=𝑣en (3.3). Es o e mina la p ueba. □
Habiendo is o la exis encia y unicidad de solución de las ecuaciones de S okes es aciona ias con
condición Di ichle homogénea, se puede hace un es udio de un p oblema más complejo pe o, en
el ondo, simila . In oduzcamos p e iamen e al espacio 𝐻1∕2(𝜕Ω), a a és del llamado eo ema de
azas.
Teo ema 3.12. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no acío y aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. En onces, exis e una
aplicación lineal y con inua, 𝛾0∶𝐻1(Ω) ←→ 𝐿2(𝜕Ω), al que
𝛾0𝑢=𝑢|𝜕Ω,∀𝑢∈0(Ω) ∩ 𝐻1(Ω).
Además, se iene 𝐻1
0(Ω) = {𝑢∈𝐻1(Ω) ∶ 𝛾0𝑢= 0}.
Obse ación 3.6. En endemos 𝛾0𝑢como el alo de 𝑢sob e 𝜕Ω.𝛾0no es sob eyec i o sob e 𝐿2(𝜕Ω).
La imagen de 𝛾0se conoce como 𝐻1∕2(𝜕Ω), que se puede do a con es uc u a de espacio de Hilbe .
Una no ma es
‖𝑣‖𝐻1∕2(𝜕Ω) =
ın
𝛾0𝑢=𝑣‖𝑢‖𝐻1(Ω).
El dual de 𝐻1∕2(𝜕Ω) se deno a po 𝐻−1∕2(𝜕Ω). Pa a es e espacio, se iene un eo ema de g an
u ilidad si in oducimos
𝐻(di ,Ω) = {𝑢∈𝐿2(Ω)𝑑∶ ∇ ⋅𝑢∈𝐿2(Ω)},
que es un espacio de Hilbe pa a el p oduc o
(𝑢, 𝑣)𝐻(di ,Ω) = (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω)𝑑+ (∇ ⋅𝑢, ∇⋅𝑣)𝐿2(Ω),∀𝑢, 𝑣 ∈𝐻(di ,Ω).
34
3. El p oblema de S okes es aciona io y e olu i o
Teo ema 3.13. Sea Ω⊂ℝ𝑑un abie o conexo y aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. En onces, exis e 𝛾𝑛∈
(𝐻(di ,Ω), 𝐻−1∕2(𝜕Ω)) ( aza no mal) al que
𝛾𝑛𝑢=𝑢⋅𝜈sob e 𝜕Ω,∀𝑢∈1(Ω)𝑑,(3.6)
(𝜈es el ec o no mal uni a io sob e 𝜕Ωex e io a Ω) y
∫Ω
(∇ ⋅𝑢)𝑣 𝑑𝑥 =⟨𝛾𝑛𝑢, 𝑣⟩𝐻−1∕2(𝜕Ω),𝐻1∕2(𝜕Ω) −∫Ω
𝑢⋅∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝑣∈𝐻1(Ω).
Demos ación. Dada 𝑢∈𝐻(di ,Ω), de inimos 𝛾𝑛𝑢po
⟨𝛾𝑛𝑢, 𝜓⟩𝐻−1∕2,𝐻1∕2 =∫Ω
di (𝑢)𝑣 𝑑𝑥 +∫Ω
𝑢⋅∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝜓∈𝐻1∕2(𝜕Ω),
con 𝑣∈𝐻1(Ω) al que la aza de 𝑣sea 𝜓sob e 𝜕Ω. Se abusa de no ación en el enunciado, usando
𝑣en ez de 𝜓. Veamos que el miemb o de echo no depende de 𝑣. Pa a ello, sean 𝑣1y𝑣2de 𝐻1(Ω)
ales que sus azas sean 𝜓sob e 𝜕Ω. Es deci , 𝛾0(𝑣2−𝑣1)=0, lo que implica que 𝑣2−𝑣1∈𝐻1
0(Ω).
Así,
∫di (𝑢)(𝑣1−𝑣2)𝑑𝑥 =⟨di (𝑢), 𝑣1−𝑣2⟩𝐻−1,𝐻1
0= −⟨𝑢, ∇(𝑣1−𝑣2)⟩= − ∫Ω
𝑢⋅∇(𝑣1−𝑣2)𝑑𝑥.
Reo denando la úl ima igualdad se llega a lo que buscábamos:
∫Ω
(di (𝑢)𝑣1+𝑢⋅∇𝑣1)𝑑𝑥 =∫Ω
(di (𝑢)𝑣2+𝑢⋅∇𝑣2)𝑑𝑥.
Es ácil e que 𝛾𝑛∶𝐻(di ,Ω) ←→ 𝐻−1∕2(𝜕Ω) es á bien de inida y es lineal. Veamos la con inuidad.
Tengamos en cuen a la desigualdad de Cauchy-Schwa z pa a ello. Elegimos 𝑣 al que 𝛾0𝑣=𝜓.
En onces,
|⟨𝛾𝑛𝑢, 𝜓⟩|≤∫Ω
(|di (𝑢)||𝑣|+|𝑢||∇𝑣|)𝑑𝑥
≤(∫Ω
(|di (𝑢)|2+|𝑢|2)𝑑𝑥)1∕2 (∫Ω
(|𝑣|2+|∇𝑣|2)𝑑𝑥)1∕2
=‖𝑢‖𝐻(di ,Ω)‖𝑣‖𝐻1(Ω).
Tomando ín imo en 𝑣en es a desigualdad se llega a:
|⟨𝛾𝑛𝑢, 𝜓⟩|≤‖𝑢‖𝐻(di ,Ω)‖𝜓‖𝐻1∕2(𝜕Ω),∀𝜓∈𝐻1∕2(𝜕Ω).
Es o demues a la con inuidad de 𝛾𝑛y la ó mula de in eg ación po pa es del enunciado.
Veamos (3.6). Pa a ello, sea 𝑢∈1(Ω)𝑑. En onces,
∫Ω
di (𝑢)𝑣 𝑑𝑥 =∫𝜕Ω
(𝑢⋅𝜈)𝑣 𝑑𝜎 −∫Ω
𝑢⋅∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝑣∈𝐻1(Ω).
Es o concluye la p ueba po cumpli se 𝛾𝑛𝑢=𝑢⋅𝜈sob e 𝜕Ω, al iguala la úl ima exp esión con la
de inición de 𝛾𝑛. Es o concluye la p ueba. □
Obse ación 3.7. En ealidad (3.6) es álida pa a 𝑢∈𝐻1(Ω)𝑑.
Añadimos un esul ado que usa emos en la demos ación del p óximo eo ema.
35

3.1. P oblema es aciona io
Lema 3.14. Sea Ω⊂ℝ𝑑un abie o conexo y aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. En onces, exis e 𝐿∈(𝐿2
0(Ω), 𝐻1
0(Ω)𝑑)
sa is aciendo la p opiedad: si 𝑔∈𝐿2
0(Ω) y𝐺=𝐿(𝑔) ∈ 𝐻1
0(Ω)𝑑, en onces ∇⋅𝐺=𝑔en Ω.
No da emos la p ueba de es e esul ado aunque es a se encuen a en [1]. P esen amos un eo ema
de exis encia y unicidad más gene al pa a el p oblema de S okes es aciona io, no homogéneo:
Teo ema 3.15. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no acío y aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Sean 𝑓,𝑣𝑏y𝑔, elemen os
de 𝐻−1(Ω)𝑑,𝐻1∕2(𝜕Ω)𝑑y𝐿2(Ω), espec i amen e. Si se cumple la condición
∫𝜕Ω
𝑣𝑏⋅𝜈 𝑑𝜎 =∫Ω
𝑔 𝑑𝑥,
en onces, exis e un único pa (𝑣, 𝑝) ∈ 𝐻1(Ω)𝑑×𝐿2
0(Ω), solución débil del p oblema
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en Ω,
di (𝑣) = 𝑔en Ω,
𝑣=𝑣𝑏sob e 𝜕Ω.
Además, exis e una cons an e 𝐶 > 0, sólo dependien e de Ω, al que
‖𝑣‖𝐻1(Ω)𝑑+‖𝑝‖𝐿2
0(Ω) ≤𝐶(‖𝑓‖𝐻−1(Ω)𝑑+‖𝑔‖𝐿2(Ω) +‖𝑣𝑏‖𝐻1∕2(𝜕Ω)𝑑).
Demos ación. Como 𝑣𝑏es un elemen o de 𝐻1∕2(𝜕Ω)𝑑, exis i á 𝐺pe enecien e a 𝐻1(Ω)𝑑 al que
𝛾0(𝐺) = 𝑣𝑏(Teo ema 3.12 en su e sión 𝑑-dimensional). Aplicando el Teo ema 3.13 a dicha 𝐺y𝑣= 1
se llega a:
∫Ω
di (𝐺)𝑑𝑥 =∫Ω
𝑣𝑏⋅𝜈 𝑑𝜎 =∫Ω
𝑔 𝑑𝑥.
Es deci , 𝑔−di (𝐺)es un elemen o de 𝐿2(Ω) con media nula sob e Ω. Del Lema 3.14 deducimos la
exis encia de 𝐻∈𝐻1
0(Ω)𝑑cumpliendo di (𝐻) = 𝑔−di (𝐺). Con oda es a in o mación:
di (𝐺+𝐻) = 𝑔, en Ω; (𝐺+𝐻) = 𝑣𝑏sob e 𝜕Ω.
Hacemos el cambio de a iables 𝑣=𝐺+𝐻+𝑤, quedando el sis ema del eo ema de la siguien e
o ma:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−Δ𝑤+ ∇𝑝=𝑓+ Δ(𝐺+𝐻)en Ω,
di (𝑤)=0 en Ω,
𝑤= 0 sob e 𝜕Ω.
Ya eníamos que 𝑓pe enecía a 𝐻−1(Ω)𝑑, pe o Δ(𝐺+𝐻) ambién es un elemen o de ese espacio,
po lo que enemos un sis ema del ipo (3.2) con las condiciones del Teo ema 3.11. Po ello, exis e un
único pa (𝑤, 𝑝) ∈ 𝐻1
0(Ω)𝑑×𝐿2
0(Ω) solución del úl imo sis ema. Es o inaliza la p ueba. □
3.1.3. El ope ado de S okes
El espacio de Hilbe 𝑉, de inido en la an e io sección, p esen a su p opio dual como es habi ual.
Debido a la con ención 𝑉 ⊂ 𝐻1
0(Ω)𝑑, se iene que 𝐻−1(Ω)𝑑⊂ 𝑉 ′. Sin emba go, pod íamos pensa
que el Teo ema 3.11 puede ex ende se pa a cualquie 𝑓∈𝑉′, pe o no es así, ya que no pod emos
demos a la exis encia de una p esión asociada.
Sin emba go, la o ma bilineal 𝑎que ue de inida en la p ueba de dicho eo ema si e pa a induci
un ope ado 𝐴de 𝑉a𝑉′.
36
3. El p oblema de S okes es aciona io y e olu i o
De inición 3.8. Se denomina ope ado de S okes, 𝐴, al ope ado dado po
⟨𝐴𝑣, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 =∫Ω
∇𝑢∶ ∇𝑣 𝑑𝑥, ∀𝑢, 𝑣 ∈𝑉 . (3.7)
Obse ación 3.9. Es e ope ado , debido al eo ema de Lax-Milg am, es un isomo ismo en e 𝑉y
𝑉′.
An es de da el dominio del ope ado de S okes, 𝐷(𝐴), con el que abaja emos, de inimos el
espacio
𝐻= {𝑣∈𝐿2(Ω)𝑑∶di (𝑣)=0, 𝛾𝑛𝑣= 0}.(3.8)
Cabe des aca que 𝑉y𝐻es án muy elacionados ya que ambos son la clausu a de
= {𝜑∈(Ω)𝑑∶di (𝑣) = 0},(3.9)
en 𝐻1
0(Ω)𝑑y𝐿2(Ω)𝑑, espec i amen e. Po ende, como pasaba con 𝑉,𝐻es un espacio de Hilbe
pa a el p oduc o de 𝐿2(Ω)𝑑. Además, se iene la iple a de Hilbe 𝑉 ⊂ 𝐻 ⊂ 𝑉 ′.
De inición 3.10. Usando la no ación (𝐴, 𝐷(𝐴)) pa a e e i se al ope ado de S okes, omamos como
su dominio a
𝐷(𝐴)={𝑢∈𝑉∶𝐴𝑢 ∈𝐻}.
Demos dos p opiedades undamen ales del ope ado de S okes que nos pe mi i án, a pa i de
eo ía de ope ado es, cons ui una descomposición espec al del mismo.
Lema 3.16. El ope ado (𝐴, 𝐷(𝐴)) iene g a o ce ado en 𝐻×𝐻.
Demos ación. Sea {𝑢𝑛}𝑛≥1una sucesión de elemen os de 𝐷(𝐴)con e gen e en 𝐻a𝑢∈𝐻y al
que {𝐴𝑢𝑛}𝑛≥1con e ge ambién en 𝐻a𝑓. Cabe menciona que 𝑉 ⊂ 𝐻. Como 𝑓es un elemen o de
𝐻, en onces exis e una única 𝑣en 𝐷(𝐴)cumpliendo 𝐴𝑣 =𝑓. Demos emos 𝑣=𝑢pa a e i ica el
lema.
La con e gencia en 𝐻implica con e gencia en 𝑉′. Po an o, {𝐴𝑢𝑛}𝑛≥1con e ge a 𝐴𝑣 en 𝑉′. Al
se 𝐴un isomo ismo en e 𝑉y𝑉′,{𝑢𝑛}𝑛≥1con e ge a 𝑣en 𝑉. Como la con e gencia en 𝑉implica
con e gencia en 𝐻, se concluye la p ueba. □
La o a p opiedad es la de se au oadjun o, po lo que p ime o de inamos qué signi ica es e
concep o en el con ex o de los ope ado es.
De inición 3.11. Sea un ope ado 𝐵∶𝐷(𝐵)⊂ 𝑋 ←→ 𝑋. Se de ine el ope ado adjun o 𝐵∗como
aquel cuyo dominio es
𝐷(𝐵∗)={𝑢∈𝑋∶𝑣∈𝐷(𝐵)←→ (𝐵𝑣, 𝑢)𝑋es con inua}
y cumple la condición
(𝐵𝑣, 𝑢)𝑋= (𝑣, 𝐵∗𝑢)𝑋,∀𝑢∈𝐷(𝐵∗),∀𝑣∈𝐷(𝐵).
Se di á que 𝐵es au oadjun o si 𝐷(𝐵∗) = 𝐷(𝐵)y𝐵𝑢 =𝐵∗𝑢pa a cualquie elemen o de 𝐷(𝐵).
Lema 3.17. El ope ado (𝐴, 𝐷(𝐴)) es au oadjun o en 𝐻.
Demos ación. Po la de inición, dados 𝑢y𝑣de 𝐷(𝐴), se iene
(𝐴𝑢, 𝑣)𝐻=⟨𝐴𝑢, 𝑣⟩𝑉′,𝑉 =∫Ω
∇𝑢∶ ∇𝑣 𝑑𝑥,
37
3.1. P oblema es aciona io
po lo que se puede e de o ma cla a que
(𝐴𝑢, 𝑣)𝐻= (𝑢, 𝐴𝑣)𝐻,∀𝑢, 𝑣 ∈𝐷(𝐴).
Pa icula men e, 𝐷(𝐴)⊂ 𝐷(𝐴∗)y𝐴∗𝑢=𝐴𝑢 pa a los elemen os de 𝐷(𝐴). Bas a con e la o a
con ención pa a ene el esul ado. Sea 𝑢∈𝐷(𝐴∗). Po de inición, exis e 𝑓=𝐴∗𝑢cumpliendo pa a
odo 𝑣de 𝐷(𝐴)lo siguien e:
(𝐴𝑣, 𝑢)𝐻= (𝑣, 𝑓)𝐻.
Una consecuencia del Lema 3.16 es que 𝐴es un isomo ismo en e 𝐷(𝐴)y𝐻, en onces exis e 𝑢de
𝐷(𝐴) al que 𝑓=𝐴𝑢. Veamos que 𝑢=𝑢, sabiendo que pa a cada 𝑤de 𝐻se iene un 𝑤de 𝐷(𝐴)
cumpliendo 𝐴𝑤 =𝑤. Conociendo la p opiedad (𝐴𝑤, 𝑢)𝐻= (𝑤, 𝐴𝑢)𝐻y, po la de inición de adjun o,
(𝐴𝑤, 𝑢)𝐻= (𝑤, 𝐴∗𝑢)𝐻, se iene:
(𝑤, 𝑢 −𝑢)𝐻= (𝐴𝑤, 𝑢)𝐻− (𝐴𝑤, 𝑢)𝐻= (𝑤, 𝐴∗𝑢)𝐻− (𝑤, 𝐴𝑢)𝐻.
Como se iene que 𝐴𝑢 =𝐴∗𝑢, en onces
(𝑤, 𝑢 −𝑢)𝐻= 0,∀𝑤∈𝐻.
Es o p ueba que 𝑢=𝑢y, po lo an o, la o a con ención. □
Los lemas an e io es mues an, a a és de esul ados elemen ales de descomposición espec al
de ope ado es, que podemos encon a en [2], la exis encia de una base o ono mal {𝑤𝑘}𝑘≥1de 𝐻
o mada po au o ec o es de 𝐴. En conc e o, exis e una sucesión {𝜆𝑘}𝑘≥1⊂(0,∞), au o alo es de
𝐴, ales que
0< 𝜆1< 𝜆2≤... ≤𝜆𝑘≤𝜆𝑘+1 ≤..., l
ım 𝜆𝑘= ∞,
y exis e una sucesión de au o unciones asociadas {𝑤𝑘}𝑘≥1⊂ 𝐷(𝐴) ales que
𝑤𝑘∈𝐷(𝐴), 𝐴𝑤𝑘=𝜆𝑘𝑤𝑘,‖𝑤𝑘‖𝐿2(Ω)𝑑= 1,∀𝑘≥1,
y{𝑤𝑘}𝑘≥1 o ma una base o ono mal en 𝐻y o ogonal en 𝐷(𝐴). De hecho, se iene el siguien e
eo ema:
Teo ema 3.18. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio no acío y aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. Se iene que exis e una
sucesión c ecien e de núme os eales no nega i os {𝜆𝑘}𝑘≥1, endiendo a in ini o, y una sucesión {𝑤𝑘}𝑘≥1,
o ono mal en 𝐻y o ogonal en 𝑉y𝐷(𝐴), o mando una amilia comple a en los es espacios. Además,
exis e una sucesión {𝑝𝑘}𝑘≥1en 𝐿2
0(Ω) cumpliendo el sis ema
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−Δ𝑤𝑘+ ∇𝑝𝑘=𝜆𝑘𝑤𝑘en Ω,
di (𝑤𝑘)=0 en Ω,
𝑤𝑘= 0 sob e 𝜕Ω.
Demos ación. La mayo pa e del eo ema ha sido comen ada jus o an es de enuncia lo. Se iene la
exis encia de las sucesiones {𝑤𝑘}𝑘≥1y{𝜆𝑘}𝑘≥1, así como se , la p ime a de ellas, una amilia comple a
o ogonal en 𝐷(𝐴).
Debido al Teo ema 3.8, exis e, pa a cada 𝑘,𝑝𝑘∈𝐿2
0(Ω) que sa is ace el sis ema an e io . La
ecuación de la di e gencia y la condición de con o no se deben a que 𝑤𝑘∈𝑉, pa a cualquie 𝑘≥1.
Pa a e que los 𝜆𝑘no son nega i os, se usa la de inición del ope ado de S okes, quedando
𝜆𝑘‖𝑤𝑘‖2
𝐻= (𝐴𝑤𝑘, 𝑤𝑘)𝐻=∫Ω|∇𝑤𝑘|2𝑑𝑥 > 0,∀𝑘≥1.
38
3. El p oblema de S okes es aciona io y e olu i o
Po o o lado, enemos las siguien es igualdades:
(𝑤𝑘, 𝑤𝑙)𝑉=∫Ω
∇𝑤𝑘∶ ∇𝑤𝑙𝑑𝑥 =⟨𝐴𝑤𝑘, 𝑤𝑙⟩𝑉′,𝑉 = (𝐴𝑤𝑘, 𝑤𝑙)𝐻=𝜆𝑘(𝑤𝑘, 𝑤𝑙)𝐻=𝜆𝑘𝛿𝑘𝑙.
La amilia {𝑤𝑘}𝑘es o ogonal en 𝑉po lo an e io . Es comple a en 𝑉debido a la p opiedad de se
denso 𝐷(𝐴)en 𝑉.□
Obse ación 3.12. Las amilias de unciones del eo ema p e io son usadas pa a cons ui solucio-
nes ap oximadas a p oblemas e olu i os. Son conocidas como la base especial asociada al ope ado
de S okes 𝐴con dominio 𝐷(𝐴).
Concluimos la sección con dos ca ac e ís icas más del ope ado de S okes y su dominio, las cuales
pueden se in e esan es pe o no se e oma án en es e esc i o.
P oposición 3.19. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio, aco ado y de clase 1,1. En onces, se iene que el dominio
del ope ado de S okes es
𝐷(𝐴) = 𝑉∩𝐻2(Ω)𝑑.
La p ueba puede encon a se en [2].
P oposición 3.20. Sea Ω⊂ℝ𝑑un dominio aco ado con 𝜕Ω ∈ 0,1. En onces, se ienen las desigual-
dades
‖𝑣‖2
𝐻≤1
𝜆1‖∇𝑣‖2
𝐿2,∀𝑣∈𝑉 ,
‖∇𝑣‖2
𝐿2≤1
𝜆1‖𝐴𝑣‖2
𝐿2,∀𝑣∈𝐷(𝐴),
donde 𝜆1es el meno au o alo posi i o del ope ado de S okes. La cons an e 1∕𝜆1es óp ima pa a ambas
desigualdades.
Demos ación. La p ueba es sencilla omando la base especial de au o unciones del ope ado de
S okes {𝑤𝑘}𝑘≥1. Sea 𝑣=∑𝑘𝑣𝑘𝑤𝑘∈𝑉, cumpliendo 𝐴𝑣 =∑𝑘𝜆𝑘𝑣𝑘𝑤𝑘. Se dan las igualdades
∫Ω|∇𝑣|2𝑑𝑥 =⟨𝐴𝑣, 𝑣⟩𝑉′,𝑉 =∑
𝑘
𝜆𝑘|𝑣𝑘|2,
po lo que, cogiendo el meno au o alo , se da
∫Ω|∇𝑣|2𝑑𝑥 ≥𝜆1∑
𝑘|𝑣𝑘|2=𝜆1‖𝑣‖2
𝐻.
La cons an e es óp ima po que, omando 𝑣=𝑤1, se iene la igualdad.
Pa a la o a desigualdad, omamos 𝑣pe enecien e a 𝐷(𝐴). Nue amen e, 𝑣=∑𝑘𝑣𝑘𝑤𝑘, dándose
aho a
‖𝐴𝑣‖2
𝐿2=∑
𝑘
𝜆2
𝑘𝑣2
𝑘≥𝜆1∑
𝑘
𝜆𝑘𝑣2
𝑘=𝜆1⟨𝐴𝑣.𝑣⟩𝑉′,𝑉 =𝜆1‖∇𝑣‖2
𝐿2.
Al igual que an es, omamos 𝑣=𝑤1pa a la igualdad. Es o inaliza la p ueba. □
39
3.2. P oblema e olu i o
ya que, 𝐿∞(𝐻)es el dual de 𝐿1(𝐻). A su ez, de (3.18) deducimos que la sucesión {𝑣𝑚}𝑚≥1es á
aco ada en el espacio de Hilbe 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉). Po an o, exis e una nue a subsucesión, que segui emos
deno ando {𝑣𝑚}𝑚≥1, y 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) al que 𝑣𝑚←→ 𝑣débil en 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉), es deci ,
∫𝑇
0⟨𝑢(𝑡), 𝑣𝑚′(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 𝑑𝑡 ←→ ∫𝑇
0⟨𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 𝑑𝑡, ∀𝑢∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′).(3.20)
Las dos con e gencias an e io es implican, omando 𝑢en 𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻), la igualdad que sigue.
∫𝑇
0
(𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡), 𝑢(𝑡))𝐻𝑑𝑡 = 0.
Llegamos a la conclusión que 𝑣=𝑣en 𝐿2(𝑉) ∩ 𝐿∞(𝐻).
Conside emos, a con inuación, unciones 𝜓∈1([0, 𝑇 ]) ales que 𝜓(𝑇) = 0. Si mul iplicamos
dichas unciones en (3.15), ijando 𝑗≥1, a bi a io, y conside ando 𝑚≥𝑗, ambién a bi a io, e
in eg amos po pa es, enemos
∫𝑇
0
(𝑣′
𝑚(𝑡), 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = − ∫𝑇
0
(𝑣𝑚(𝑡)𝜓′(𝑡), 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝑑𝑡 − (𝑣𝑚(0), 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0).
Añadiendo el es o de é minos de (3.14) se llega a
−∫𝑇
0
(𝑣𝑚(𝑡), 𝜓′(𝑡)𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝑑𝑡 +∫𝑇
0
𝑎(𝑣𝑚(𝑡), 𝜓(𝑡)𝑤𝑗)𝑑𝑡
= (𝑣0𝑚, 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇
0⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡, ∀𝑚≥𝑗.
Usando (3.19) y (3.20) y eniendo en cuen a que 𝑣0𝑚con e ge a 𝑣0en 𝐻podemos pasa al lími e en
la exp esión an e io y ob ene la siguien e igualdad pa a cada 𝑗≥1:
−∫𝑇
0
(𝑣(𝑡), 𝜓′(𝑡)𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝑑𝑡 +∫𝑇
0
𝑎(𝑣(𝑡), 𝜓(𝑡)𝑤𝑗)𝑑𝑡
= (𝑣0, 𝑤𝑗)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇
0⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡.
Como = {𝑤𝑗}𝑗≥1es una base o ogonal de 𝑉y como la aplicación:
𝐿∶𝑢∈𝑉→ −∫𝑇
0
(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +∫𝑇
0
𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢)𝜓(𝑡)𝑑𝑡
− (𝑣0, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) − ∫𝑇
0⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∈ℝ
es lineal y con inua y 𝐿(𝜓𝑗)=0, pa a cualquie 𝑗≥1, en onces, 𝐿(𝑢)=0, pa a odo 𝑢∈𝑉, es deci
−∫𝑇
0
(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +∫𝑇
0
𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢)𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = (𝑣0, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇
0⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡,
(3.21)
pa a cualesquie a 𝜓∈1([0, 𝑇 ]), con 𝜓(𝑇) = 0, y 𝑢∈𝑉. En pa icula , omando 𝜓∈(0, 𝑇 ),
deducimos 𝑑
𝑑𝑡(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢) = ⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 , (3.22)
46

3. El p oblema de S okes es aciona io y e olu i o
en el sen ido de dis ibuciones.
Comp obemos que 𝑣(0) = 𝑣0. En pa icula , (3.22) implica que 𝑔= (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑∈𝐿2(0, 𝑇 )(pues
𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻)) y
𝑔′(𝑡)=−𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢) + ⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ∈𝐿2(0, 𝑇 ).
Es o pe mi e, con cualquie 𝜓∈1([0, 𝑇 ]) al que 𝜓(𝑇)=0, hace la siguien e in eg ación po
pa es:
∫𝑇
0
𝑑
𝑑𝑡(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(𝑡)𝑑𝑡 =∫𝑇
0
𝑔′(𝑡)𝜓(𝑡)𝑑𝑡
= − ∫𝑇
0
𝑔(𝑡)𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +𝑔(0)𝜓(0)
= − ∫𝑇
0
(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 + (𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0).
Mul iplicando po 𝜓en (3.22) e in eg ando, si enemos en cuen a la igualdad supe io , se llega a
−∫𝑇
0
(𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓′(𝑡)𝑑𝑡 +∫𝑇
0
𝑎(𝑣(𝑡), 𝑢)𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = (𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) + ∫𝑇
0⟨𝑓(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 𝜓(𝑡)𝑑𝑡,
pa a odo 𝑢de 𝑉. Compa ando es a igualdad con (3.21), es ácil e que se cumple
(𝑣0−𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑𝜓(0) = 0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝜓∈1([0, 𝑇 ]) con 𝜓(𝑇)=0.
Eligiendo 𝜓que no se anule en 0, se iene especí icamen e
(𝑣0−𝑣(0), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑= 0,∀𝑢∈𝑉 ,
lo que implica que 𝑣(0) = 𝑣0. Es o p ueba que 𝑣sa is ace (3.12) y es, po an o, solución débil del
p oblema (3.14). Es o inaliza la p ueba de la exis encia. Además, omando lími e en (3.16), se llega a
la desigualdad del enunciado.
E apa 4: Unicidad. Pa a p oba la unicidad, ha emos uso del Teo ema 2.15, pues 𝑣∈𝐸2,2. Es o se
debe a que la ó mula (3.22) jun o al Lema 3.24 implican que 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)y𝑣′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′).
T abaja emos con el ep esen an e con inuo de 𝑣, i.e., supond emos que 𝑣∈0([0, 𝑇 ]; 𝐻). Además,
𝑑
𝑑𝑡‖𝑣(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)𝑑= 2⟨𝑣′(𝑡), 𝑣(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 ,p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ).(3.23)
Asumamos que 𝑣y𝑢son soluciones del p oblema (3.14) y deno amos como 𝑤a la di e encia
en e ellas, 𝑤=𝑣−𝑢. Se iene que 𝑤∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) ∩ 0([0, 𝑇 ]; 𝐻),𝑤′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′)y se cumple,
de hecho, al se soluciones, que
{𝑤′+𝐴𝑤 = 0 en 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′),
𝑤(0) = 0.
De aquí, si aplicamos los é minos de la igualdad a 𝑤, sigue
⟨𝑤′(𝑡), 𝑤(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 +‖𝑤(𝑡)‖2
𝑉= 0,p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ).
Teniendo en cuen a (3.23), se cumple
𝑑
𝑑𝑡‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)𝑑+ 2‖𝑤(𝑡)‖2
𝑉= 0,p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ),
47
3.2. P oblema e olu i o
In eg ando es a exp esión en el in e alo (0, 𝑡)con 𝑡∈ [0, 𝑇 ], deducimos
‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)𝑑+ 2 ∫𝑡
0‖𝑤(𝑠)‖2
𝑉𝑑𝑠 = 0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
En pa icula ,
‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)𝑑≤0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
Deducimos que 𝑤= 0, quedando p obada ambién la unicidad. Es o inaliza la p ueba. □
Obse ación 3.15. El Teo ema 3.25 iene una e sión más gene al si suponemos que 𝑓=𝑓1+𝑓2con
𝑓1∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′)y𝑓2∈𝐿1(0, 𝑇 ;𝐻). En es e caso se puede p oba un esul ado análogo, excep o
donde se encuen a 𝑣′. En es e caso 𝑣′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′) + 𝐿1(0, 𝑇 ;𝐻).
Uno debe p egun a se si la solución del p oblema (3.14) ambién lo es de (3.10). Pa a ello, se
p esen a el siguien e esul ado:
P oposición 3.26. Bajo las hipó esis del Teo ema 3.25, exis e una dis ibución 𝑝en 𝑄= (0, 𝑇 )×Ω,
al que la unción 𝑣dada po el Teo ema 3.25 y 𝑝sa is acen (3.10) en el sen ido de las dis ibuciones. La
úl ima ecuación de (3.10) se cumple en el sen ido
𝑣(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑡←→0𝑣0en 𝐿2(Ω)𝑑.
Demos ación. Las ecuaciones sob e la on e a de Ωy la di e gencia nula ienen de que 𝑣es
elemen o de 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉). La condición inicial, en el sen ido enunciado, es consecuencia del Teo ema
3.25. Nos al a e la p ime a ecuación de (3.10). Pa a in oduci la p esión, de inimos
𝑉(𝑡) = ∫𝑡
0
𝑣(𝑠)𝑑𝑠, 𝐹 (𝑡) = ∫𝑡
0
𝑓(𝑠)𝑑𝑠, ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
Es á cla o que 𝑉(𝑡)y𝐹(𝑡)son elemen os de, espec i amen e, 0([0, 𝑇 ]; 𝑉)y0([0, 𝑇 ]; 𝑉′). In-
eg ando en (3.12), se llega a
(𝑣(𝑡) − 𝑣0, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑉(𝑡), 𝑢) = ⟨𝐹(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ],∀𝑢∈𝑉 .
Es a igualdad es equi alen e a
⟨𝑣(𝑡) − 𝑣0− Δ𝑉(𝑡) − 𝐹(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 = 0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ],∀𝑢∈𝑉 .
Fijándonos de enidamen e, podemos aplica el Teo ema 3.8, po lo que pa a cada 𝑡en [0, 𝑇 ]exis e
una unción 𝑃(𝑡)de 𝐿2(Ω), única en 𝐿2
0(Ω), cumpliendo
𝑣(𝑡) − 𝑣0− Δ𝑉(𝑡)+∇𝑃(𝑡) = 𝐹(𝑡),∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
De i ando espec o al iempo, en el sen ido de las dis ibuciones, se llega a la ecuación que espe á-
bamos en 𝑄 omando
𝑝=𝜕𝑃
𝜕𝑡 .
Es o inaliza la p ueba. □
Obse ación 3.16. Lo máximo que podemos a e igua sob e 𝑝con es o es la p opiedad de que 𝑃
pe enezca a 0([0, 𝑇 ]; 𝐿2(Ω)).
Si deseamos sabe más sob e la egula idad de 𝑝, hemos de a a la siguien e p oposición, cuya
p ueba puede encon a se en [10].
P oposición 3.27. Sea Ωde clase 2,𝑓un elemen o de 𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻)y𝑣0pe enecien e a 𝑉. En onces
𝑣pe enece á a 𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻2(Ω)𝑑),𝑣′a𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻)y𝑝a𝐿2(0, 𝑇 ;𝐻1(Ω)).
48
Capí ulo 4
El p oblema de Na ie -S okes de e olución
Luego de habe aba cado el es udio de las ecuaciones de S okes, las cuales desc iben la dinámica
de luidos lamina es, nues o siguien e obje i o se á indaga un poco sob e el p oblema más com-
ple o al que llegamos en el p ime capí ulo pa a luidos new onianos, homogéneos e incomp esibles:
aquellos en los que el lujo p esen a égimen u bulen o y no podemos desp ecia ningún é mino
del sis ema
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝜕𝑣
𝜕𝑡 + (𝑣⋅∇)𝑣−1
𝑒Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓,
di (𝑣)=0.
(4.1)
4.1. P opiedades del é mino de ine cia
La p incipal di e encia en e el p oblema de S okes y el de Na ie -S okes ecae sob e el é mino
no lineal que apa ece en el úl imo, (𝑣⋅∇)𝑣, al que denomina emos é mino de ine cia. La g an
di icul ad pa a a a el p oblema que da nomb e al capí ulo es debida a dicho é mino. Sea Ωun
dominio Lipschi z, no acío y aco ado.
De inición 4.1. Pa a odo 𝑢,𝑣y𝑤pe enecien es a 𝐻1
0(Ω)𝑑, de inimos la o ma ilineal
𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤) = ∫Ω
((𝑢⋅∇)𝑣)⋅𝑤 𝑑𝑥 =
𝑑
∑
𝑖,𝑗=1 ∫Ω
𝑢𝑖
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝑤𝑗𝑑𝑥.
Vamos a enuncia a ias p opiedades elacionadas con dicha o ma ilineal y, po an o, con el
é mino de ine cia.
Lema 4.1. Sea 𝑑≤4. La o ma ilineal 𝑏es con inua en 𝐻1
0(Ω)𝑑×𝐻1
0(Ω)𝑑×𝐻1
0(Ω)𝑑y sa is ace
𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤) + 𝑏(𝑢, 𝑤, 𝑣)=0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑣, 𝑤 ∈𝐻1
0(Ω)𝑑,
𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑣)=0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑣∈𝐻1
0(Ω)𝑑.
Es más, pa a odo 𝑢∈𝑉y odo 𝑣, 𝑤 ∈𝐻1
0(Ω)𝑑, enemos
|𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤)|≤𝐶‖𝑢‖1−𝑑∕4
𝐿2(Ω)𝑑‖𝑢‖𝑑∕4
𝐻1(Ω)𝑑‖𝑣‖1−𝑑∕4
𝐿2(Ω)𝑑‖𝑣‖𝑑∕4
𝐻1(Ω)𝑑‖𝑤‖𝐻1(Ω)𝑑.
49
4.1. P opiedades del é mino de ine cia
Demos ación. Demos una idea de la demos ación. La con inuidad es consecuencia de los llamados
Teo emas de inyección de Sobole . La p opiedad de an isime ía puede se p obada pa a unciones
egula es usando la ó mula de S okes y concluyendo po densidad.
𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤) =
𝑑
∑
𝑖,𝑗=1 ∫Ω
𝑢𝑖
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝑤𝑗𝑑𝑥 = −
𝑑
∑
𝑖,𝑗=1 ∫Ω
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝑣𝑗𝑤𝑗𝑑𝑥 −
𝑑
∑
𝑖,𝑗=1 ∫Ω
𝑢𝑖𝑣𝑗
𝜕𝑤𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝑑𝑥
= − ∫Ω
(di (𝑢))(𝑣⋅𝑤)𝑑𝑥 −𝑏(𝑢, 𝑤, 𝑣)=−𝑏(𝑢, 𝑤, 𝑣),
donde se ha usado que 𝑢se anula en la on e a de Ωy su di e gencia en Ω.
La desigualdad se p ueba a pa i de esul ados que uno puede encon a en [2]. □
Obse ación 4.2. Los Teo emas de inyección de Sobole nos son ú iles pa a 𝑑≤4ya que 𝐻1(Ω) →
𝐿𝑞(Ω), pa a odo 𝑞 < ∞(caso 𝑑= 2), 𝐻1(Ω) → 𝐿6(Ω) (caso 𝑑= 3) y 𝐻1(Ω) → 𝐿4(Ω) (caso 𝑑= 4).
Reco damos que el alo de 𝑑con el que a amos es 2o3. En lo que sigue, pa a odo 𝑢y𝑣de 𝑉
amos a deno a como 𝐵(𝑢, 𝑣)a la o ma lineal con inua dada po
⟨𝐵(𝑢, 𝑣), 𝑤⟩𝑉′,𝑉 =𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑤).
La desigualdad del lema p e io mues a que 𝐵es con inuo de 𝑉×𝑉a𝑉′, además de cumpli se
‖𝐵(𝑣, 𝑣)‖𝑉′≤𝐶‖𝑣‖2−𝑑∕2
𝐿2(Ω)𝑑‖𝑣‖𝑑∕2
𝐻1(Ω)𝑑,∀𝑣∈𝑉 .
Obse ación 4.3. Po comodidad, se suele deno a po 𝐵(𝑢)a𝐵(𝑢, 𝑢), sea cual sea 𝑢∈𝑉.
El siguien e lema, ú il pa a llega a una de las o mulaciones a iacionales, ambién se iene.
Lema 4.2. Suponiendo que 𝑣es un elemen o de 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉), se cumple que 𝐵𝑣, dada po
⟨𝐵𝑣(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 =𝑏(𝑣(𝑡), 𝑣(𝑡), 𝑢),∀𝑢∈𝑉 , p.c. . 𝑡∈ [0, 𝑇 ],
pe enece a 𝐿1(0, 𝑇 ;𝑉′).
Demos ación. Pa a casi odo 𝑡,𝐵𝑣(𝑡)es un elemen o de 𝑉′, po lo que eamos la in eg abilidad en
[0, 𝑇 ]de la unción que nos p opo ciona 𝐵𝑣(𝑡)en 𝑉′. Debido a la con inuidad de 𝑏, se da
‖𝐵𝑤‖𝑉′≤𝐶‖𝑤‖2
𝐻1
0(Ω)𝑑,∀𝑤∈𝑉 .
In eg ando lo an e io con los 𝑣, se iene
∫𝑇
0‖𝐵𝑣(𝑡)‖𝑉′𝑑𝑡 ≤𝐶∫𝑇
0‖𝑣(𝑡)‖2
𝐻1
0(Ω)𝑑𝑑𝑡 < +∞.
□
Obse ación 4.4. Se iene una posible mejo a del Lema 4.2 si 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) ∩ 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻). En el
caso 𝑑= 2,𝐵𝑣 ∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). En el caso 𝑑= 3,𝐵𝑣 ∈𝐿4∕3(0, 𝑇 ;𝑉′).
50
4. El p oblema de Na ie -S okes de e olución
4.2. Fo mulación a iacional
El p oblema ma emá ico que comen a emos en es e capí ulo se á el de encon a 𝑣y𝑝cumplien-
do el sis ema
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
𝜕𝑣
𝜕𝑡 + (𝑣⋅∇)𝑣− Δ𝑣+ ∇𝑝=𝑓en 𝑄,
di (𝑣)=0 en 𝑄,
𝑣= 0 sob e Σ,
𝑣(0,⋅) = 𝑣0en Ω,
(4.2)
donde 𝑄yΣdeno an lo mismo que los del p oblema (3.10). Además, se ha supues o que el núme o
de Reynolds sea 1po simplicidad.
Re o mulemos el p oblema de una o ma simila al de S okes e olu i o. Supongamos que el
p oblema iene solución clásica, 𝑣en 2(𝑄)𝑑y𝑝en 1(𝑄). Tenemos que 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)de o ma
ob ia, po lo que, pa a 𝑢∈, se llega a
𝑑
𝑑𝑡(𝑣, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑣, 𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑣, 𝑢) = ⟨𝑓, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,
que ambién se cumpli á pa a odo elemen o 𝑢∈𝑉. Es o lle ó a Le ay a da la siguien e o mulación
débil del p oblema e olu i o de Na ie -S okes:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Dadas 𝑓∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′), 𝑣0∈𝐻, buscamos 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) al que
𝑑
𝑑𝑡(𝑣, 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑+𝑎(𝑣, 𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑣, 𝑢) = ⟨𝑓, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 ,
𝑣(0) = 𝑣0.
(4.3)
Al igual que pasaba con el p oblema e olu i o de S okes, 𝑣pe eneciendo a 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉)no implica
di ec amen e que sa is aga la condición inicial en 𝐻. Al da se los mismos equisi os que en el caso
lineal, además de da se el Lema 4.2, se iene
𝑑
𝑑𝑡⟨𝑣, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 =⟨𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣, 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 .
Reco dando que 𝐴𝑣 ∈𝐿2(𝑉′), se llega a que 𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣 ∈𝐿1(𝑉′). El Lema 3.24 implica que
𝑣′∈𝐿1(𝑉′)y
𝑣′=𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣,
con 𝑣igual, pa a casi odo 𝑡, a una unción con inua de [0, 𝑇 ]en 𝑉′. Con es o el p oblema no p esen a
incong uencias. De hecho, dados 𝑓∈𝐿2(𝑉′)y𝑣0∈𝐻, se ha llegado a una nue a o mulación del
p oblema:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Busca 𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉), 𝑣′∈𝐿1(0, 𝑇 ;𝑉′) al que
𝑣′+𝐴𝑣 +𝐵𝑣 =𝑓en (0, 𝑇 ),
𝑣(0) = 𝑣0.
(4.4)
4.2.1. Exis encia de solución del p oblema (4.2)
Los p oblemas dados po (4.3) y (4.4) son equi alen es, dándose la exis encia de solución po el
siguien e eo ema:
51

4.2. Fo mulación a iacional
Teo ema 4.3. Sean 𝑓∈𝐿2(𝑉′)y𝑣0∈𝐻. Se iene la exis encia de al menos una solución 𝑣cumpliendo
el p oblema (4.4). Es más,
𝑣∈𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻)
y
𝑡∈ [0, 𝑇 ]→ (𝑣(𝑡), 𝑢)𝐿2(Ω)𝑑
es una unción con inua pa a cualquie 𝑢∈𝐻.
La p ueba igu osa del eo ema puede encon a se en [10]. Es a es muy simila has a cie o pun o
a la del Teo ema 3.25. Veamos el desa ollo del p oceso de Gale kin pa a isualiza las simili udes y
di e encias. T abajando con la base de 𝑉compues a po las au o unciones del ope ado de S okes,
= {𝑤𝑖}𝑖≥1, se buscan soluciones del ipo
𝑣𝑚=
𝑚
∑
𝑖=1
𝑔𝑖𝑚(𝑡)𝑤𝑖,
co espondien es, pa a cada 𝑚na u al, al p oblema ap oximado
{⟨𝑣′
𝑚(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 +𝑎(𝑣𝑚(𝑡), 𝑤𝑗) + 𝑏(𝑣𝑚(𝑡), 𝑣𝑚(𝑡), 𝑤𝑗) = ⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑗⟩𝑉′,𝑉 ,p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ),∀𝑗= 1, ..., 𝑚,
𝑣𝑚(0) = ∑𝑚
𝑖=1 𝑣0𝑖𝑤𝑖≡𝑣0𝑚,
Siguiendo los mismos pasos que en el caso lineal, si deno amos po
𝑣𝑚(𝑡)=(𝑔1𝑚(𝑡), ..., 𝑔𝑚𝑚(𝑡))𝑡, 𝐹𝑚(𝑡)=(⟨𝑓(𝑡), 𝑤1⟩𝑉′,𝑉 , ..., ⟨𝑓(𝑡), 𝑤𝑚⟩𝑉′,𝑉 )𝑡, 𝐴𝑚= (𝑎𝑖𝑗)1≤𝑖,𝑗≤𝑚,
con 𝑎𝑖𝑗 =𝑎(𝑤𝑖, 𝑤𝑗), y
𝐵𝑚(𝑡)=(𝑏1𝑚(𝑡), ..., 𝑏𝑚𝑚(𝑡))𝑡,
con
𝑏𝑖𝑚(𝑡) =
𝑚
∑
𝑗,𝑘=1
𝑏(𝑤𝑗, 𝑤𝑘, 𝑤𝑖)𝑔𝑗𝑚(𝑡)𝑔𝑘𝑚(𝑡),
se iene el sis ema di e encial no lineal
{𝑣′
𝑚(𝑡) + 𝐴𝑚𝑣𝑚(𝑡) + 𝐵𝑚(𝑡) = 𝐹𝑚(𝑡)en (0, 𝑇 ),
𝑣𝑚(0) = 𝑣0𝑚.
Es e sis ema iene exis encia única de solución maximal de inida en [0, 𝑇𝑚], con 𝑇𝑚≤𝑇.
Obse ación 4.5. Si 𝑇𝑚< 𝑇 ,|𝑣𝑚(𝑡)|debe ende a ∞cuando 𝑡←→ 𝑇𝑚, donde |⋅|deno a el módulo
de 𝑣𝑚(𝑡)en su o ma ec o ial.
T as la ob ención de las soluciones ap oximadas, podemos hace el mismo p oceso de hace
es imaciones a p io i pa a las unciones 𝑣𝑚que en el caso lineal. Se ob ienen las mismas debido a la
segunda p opiedad del Lema 4.1, la cual anula el é mino 𝑏(𝑣𝑚, 𝑣𝑚, 𝑣𝑚)que apa ece en el desa ollo
análogo. Se ob ienen, po an o, las desigualdades
sup
𝑠∈[0,𝑇 ]‖𝑣𝑚(𝑠)‖2
𝐿2(Ω)𝑑≤‖𝑣0‖2
𝐿2(Ω)𝑑+‖𝑓‖2
𝐿2(𝑉′)
y
∫𝑇
0‖𝑣𝑚(𝑡)‖2
𝐻1
0(Ω)𝑑𝑑𝑡 ≤‖𝑣0‖2
𝐿2(Ω)𝑑+‖𝑓‖2
𝐿2(𝑉′).
Se llegan a dos conclusiones impo an es. La p ime a es que no hay explosión de 𝑣𝑚en iempo ini o
y es o conlle a a 𝑇𝑚=𝑇. La o a es la aco ación de {𝑣𝑚}𝑚≥1 an o en 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻)como 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉).
52
4. El p oblema de Na ie -S okes de e olución
El lec o puede pensa que la demos ación segui á siendo igual a la del p oblema de S okes
e olu i o, sin emba go, el paso al lími e no es an sencillo en es e caso po las complicaciones que
in oduce el é mino no lineal. Pa a pode hace lo, hab ía que in oduci las llamadas es imaciones
a pos e io i. Es as son mejo es, es deci , se ealizan en un espacio mejo donde la sucesión {𝑣𝑚}𝑚≥1
es compac a y pe mi en oma lími e, concluyendo la p ueba de la exis encia de o ma pa ecida al
Teo ema 3.25.
Obse ación 4.6. El Teo ema 4.3 ambién se cumple asumiendo 𝑓=𝑓1+𝑓2, donde 𝑓1∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′)
y𝑓2∈𝐿1(0, 𝑇 ;𝐻).
4.2.2. Unicidad de solución del p oblema (4.2)
O a g an di e encia en e el p oblema de S okes y el de Na ie -S okes ecae en si la solución es
única. Pa a el caso lineal, se pudo demos a de o ma sa is ac o ia sin impo a la dimensión 𝑑en
la que abajemos. Sin emba go, al añadi el é mino no lineal, hay que hace la dis inción pa a el
caso bidimensional y el idimensional.
Teo ema 4.4. Sea 𝑑= 2. La solución 𝑣de los p oblemas dados po (4.3) y (4.4) que da el Teo ema 4.3
es única. Es más, 𝑣es igual, pa a casi odo 𝑡, a una unción con inua de [0, 𝑇 ]en 𝐻y
𝑣(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑡←→0𝑣0,en 𝐻.
Demos ación. P obemos el esul ado que a a sob e la egula idad de 𝑣. El p oblema dado po (4.4)
nos p opo ciona
𝑣′=𝑓−𝐴𝑣 −𝐵𝑣,
donde los é minos del lado de echo de la igualdad pe enecen a 𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). Especí icamen e, el
é mino 𝐵𝑣, con la ex ensión del Lema 4.2 comen ada en la Obse ación 4.4, ambién se encuen a
en dicho espacio. En onces, se iene
𝑣′∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′).
Es e es el pun o impo an e del eo ema. Usando el Teo ema 2.15, como en el caso lineal, 𝑣es igual
pa a casi odo 𝑡a una unción con inua que a de [0, 𝑇 ]en 𝐻, lo que p ueba el lími e del enunciado
ácilmen e. Además, pa a p oba la unicidad, enemos la igualdad
𝑑
𝑑𝑡‖𝑣(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)2= 2⟨𝑣′(𝑡), 𝑣(𝑡)⟩𝑉′,𝑉 ,p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ).
Asumamos que 𝑣1y𝑣2son soluciones. Llamando 𝑤=𝑣1−𝑣2, se iene que 𝑣′
1,𝑣′
2y𝑤′pe enecen a
𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉′). La di e encia 𝑤, además, sa is ace
𝑤′+𝐴𝑤 = −𝐵𝑣1+𝐵𝑣2,
cumpliendo 𝑤(0) = 0. Se llega, omando el ep esen an e con inuo, a
𝑑
𝑑𝑡‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)2+ 2‖𝑤(𝑡)‖2
𝑉= 2𝑏(𝑣2(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑤(𝑡)) − 2𝑏(𝑣1(𝑡), 𝑣1(𝑡), 𝑤(𝑡)),p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ).
Sabiendo que 𝑏(𝑢, 𝑣, 𝑣)se anula pa a cualquie 𝑢∈𝑉y𝑣∈𝐻1
0(Ω)2, se iene que el é mino de echo
de la úl ima igualdad es
−2𝑏(𝑤(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑤(𝑡)).
La desigualdad del Lema 4.1 se cumple en el caso bidimensional. Es más, Temam [10] p opo ciona
una cons an e ú il, llegando a
−2𝑏(𝑤(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑤(𝑡)≤23∕2‖𝑤(𝑡)‖𝐿2(Ω)2‖𝑤(𝑡)‖𝑉‖𝑣2(𝑡)‖𝑉≤2‖𝑤(𝑡)‖2
𝑉+‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)2‖𝑣2(𝑡)‖2
𝑉,
53
4.2. Fo mulación a iacional
eniendo, inalmen e, la desigualdad
𝑑
𝑑𝑡‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)2≤‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)2‖𝑣2(𝑡)‖2
𝑉,p.c. . 𝑡∈ (0, 𝑇 ).
Al a a con buena in eg abilidad, la desigualdad an e io es equi alen e a
𝑑
𝑑𝑡 (exp (−∫𝑡
0‖𝑣2(𝑠)‖2
𝑉𝑑𝑠)⋅‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)2)≤0,
lo que conlle a a
‖𝑤(𝑡)‖2
𝐿2(Ω)2≤0,∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
Es o concluye la p ueba. □
Obse ación 4.7. La única solución 𝑣del p oblema de Na ie -S okes pa a 𝑑= 2 cumple que pe -
enece a 𝐿4(𝑄)𝑑.
Tal y como comen amos an e io men e, el é mino no lineal a ec a en la p ueba del eo ema
p eceden e. Es o se debe al uso de la desigualdad del Lema 4.1. Po lo an o, no podemos calca la
demos ación del Teo ema 4.4 pa a 𝑑= 3.
Teo ema 4.5. Sea 𝑑= 3. Exis e, a lo sumo, una solución al p oblema (4.4) cumpliendo
𝑣∈𝐿2(0, 𝑇 ;𝑉) ∩ 𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻) ∩ 𝐿8(0, 𝑇 ;𝐿4(Ω)3).
Tal solución, en caso de exis i , se ía con inua de [0, 𝑇 ]en 𝐻.
La p ueba se encuen a en [10]. La unicidad en el caso idimensional es un p oblema abie o, a
di e encia del caso bidimensional.
Luego de habe comen ado la exis encia y unicidad de los p oblemas que a an la o mulación
a iacional de (4.2), uno ha de p egun a se en qué sen ido se cumplen es as ecuaciones con las
soluciones de (4.3) y (4.4). De inamos
𝑉(𝑡) = ∫𝑡
0
𝑣(𝑠)𝑑𝑠, 𝛽(𝑡) = ∫𝑡
0
𝐵𝑣(𝑠)𝑑𝑠, 𝐹 (𝑡) = ∫𝑡
0
𝑓(𝑠)𝑑𝑠, ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
Si 𝑣es solución de (4.4), se cumple 𝑈, 𝛽, 𝐹 ∈0([0, 𝑇 ], 𝑉 ′). In eg ando la ecuación del p oblema
(4.4), se iene
𝑎(𝑉(𝑡), 𝑢) = ⟨𝑔(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 ,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ],
con 𝑔(𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝛽(𝑡) − 𝑣(𝑡) − 𝑣0∈0([0, 𝑇 ], 𝑉 ′).Es más, sabiendo la de inición de 𝑎( éase (3.5)),
se cumple
⟨−Δ𝑉(𝑡) − 𝑔(𝑡), 𝑢⟩𝑉′,𝑉 = 0,∀𝑢∈𝑉 , ∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
Aplicando el Teo ema de De Rham (Teo ema 3.8) como ya se ha is o en a ias ocasiones, se iene
la exis encia de 𝑃(𝑡) ∈ 𝐿2(Ω) pa a cada 𝑡∈ [0, 𝑇 ]. Además, se sa is ace
𝑣(𝑡) − 𝑣0− Δ𝑉(𝑡) + 𝛽(𝑡)+∇𝑃(𝑡) = 𝐹(𝑡),∀𝑡∈ [0, 𝑇 ].
De i ando en el sen ido de dis ibuciones, donde emos que odo el p oceso es análogo al caso lineal,
se llega al p oblema o iginal de e olución de Na ie -S okes omando
𝑝=𝜕𝑃
𝜕𝑡 .
Obse ación 4.8. Bajo cie as hipó esis, 𝑝∈𝐿∞(0, 𝑇 ;𝐻1(Ω)). Consul a [10], donde las condicio-
nes pa a 𝑑= 2 son dis in as que pa a 𝑑= 3.
54
Capí ulo 5
Algunas soluciones exac as
Es udia la exis encia y unicidad de un p oblema dado suele se , a eces, más sencillo que encon-
a la solución de o ma explíci a. Lo mismo ocu e con las ecuaciones que hemos is o a lo la go
del documen o. Pese a ello, hay ocasiones en las que sí podemos da la solución exac a. P esen amos
en es e capí ulo algunos ejemplos p ác icos del caso es aciona io y homogéneo de Na ie -S okes en
luidos incomp esibles en geome ías muy especí icas pa a llega a dichas soluciones.
Conside a emos el sis ema
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
−1
𝑒Δ𝑣+ (𝑣⋅∇)𝑣+ ∇𝑝=𝑔en Ω,
di (𝑣)=0 en Ω,
𝑣=𝑣𝑏sob e 𝜕Ω,
(5.1)
donde 𝑔 ep esen a la ue za debida a la g a edad que expe imen a el luido. La ue za g a i acional
es una ue za que p o iene de un po encial, exis iendo 𝜋0 al que
∇𝜋0=𝑔.
Pa a el caso de encon a se en la supe icie e es e, 𝑔es cons an e a lo la go del e ce eje, po lo
que se puede oma 𝜋0=𝑔𝑥3. Podemos pasa al caso cuyo é mino debido a las ue zas ex e nas es
0con el cambio
𝜋=𝑝−𝜋0,
quedando el sis ema (5.1) como
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
−1
𝑒Δ𝑣+ (𝑣⋅∇)𝑣+ ∇𝜋= 0 en Ω,
di (𝑣)=0 en Ω,
𝑣=𝑣𝑏sob e 𝜕Ω,
(5.2)
5.1. Flujo de Poiseuille
El p ime ejemplo que es udiamos es el de una ube ía in ini a y cen ada en el e ce eje. La
sección ans e sal de la ube ía se á elipsoidal y iene dada po
(𝑥1
𝑎)2
+(𝑥2
𝑏)2≤1,
55

Bibliog a ía
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