Equilibrio de Nash para un problema de control multiobjetivo relacionado con la depuraci´on de aguas residuales

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Equilibrio de Nash para un problema de control multiobjetivo relacionado con la depuraci´on de aguas residuales N. Garc´ ıa-Chan 1, R. Mu˜ noz-Sola 1, M. E. V´ azquez-M´ endez, 2 1Dpto. Matem´atica Aplicada, Facultad de Matem´aticas, Universidad de Santiago de Compostela, 15782 Santiago de Compostela. E-mails: netog−[email protected], [email protected]. 2Dpto. Matem´atica Aplicada, E.P.S., Universidad de Santiago de Compostela, 27002 Lugo. E-mail: [email protected]. Palabras clave: control ´optimo, equilibrio de Nash, gesti´on de aguas residuales Resumen En este trabajo, formulamos, estudiamos y resolvemos num´ericamente un problema de control multiobjetivo relacionado con la gesti´on de la depuraci´on de un sistema de aguas residuales. Planteamos el problema de la gesti´on ´optima como la b´usqueda de un equilibrio de Nash. Analizamos este problema, probamos un resultado de existencia de un equilibrio de Nash y establecemos un sistema de optimalidad de primer orden que caracteriza los equilibrios de Nash, para lo cual introducimos el estado adjunto. Finalmente, presentamos los resultados num´ericos obtenidos en una situaci´on realista planteada en la r´ıa de Vigo. 1. Introducci´on El tratamiento, gesti´on y eliminaci´on de aguas residuales es uno de los problemas medioambientales m´as importantes. La soluci´on m´as com´un es tratar las aguas residuales en plantas de depuraci´on y posteriormente descargarlas en r´ıos o directamente en el mar. Estos tratamientos pueden ser necesario pero tambi´en muy costosos, y su gesti´on involucra aspectos medioambientales y econ´omicos. El problema de la gesti´on se complica a´un m´as cuando varias plantas depuradoras vierten en el mismo dominio. En los ´ultimos a˜nos, se han usado modelos matem´aticos y t´ecnicas de control ´optimo para resolver este tipo de problemas (ver, p. e. [2], [9], [11]). En el caso en que todas las plantas depuradoras est´an gestionadas por un ´unico organismo, el problema de la gesti´on fue tratado en [9] como un 1 N. Garc´ıa-Chan, R. Mu˜noz-Sola , M. E. V´azquez-M´endez problema de control ´optimo con restricciones puntuales sobre el estado y sobre el control. El objetivo de este trabajo es el dise˜no de la estrategia adecuada cuando cada planta est´a gestionada por un organismo diferente. En este caso, el problema ha de ser formulado como un problema de control multiobjetivo. 2. Formulaci´on del problema Consideramos un dominio acotado Ω ⊂R2ocupado por aguas poco profundas, en el que se vierten, a trav´es de emisarios submarinos (ubicados en los puntos Pj∈Ω, j= 1, ..., NE), aguas residuales procedentes de un n´umero NEde plantas depuradoras. En el dominio Ω, existen adem´as unas determinadas zonas sensibles (Al⊂Ω, l= 1,...,NZ), de manera que, para un determinado indicador, se busca que la concentraci´on en la j-´esima zona sea inferior a un valor prefijado σj. Para ello, a la i-´esima planta depuradora se le asignan nizonas (de modo que PnNE i=1 ni=NZ) y se le impone una multa cada vez que la concentraci´on del indicador en una zona a su cargo supera el valor m´aximo fijado para esa zona (siendo la cuant´ıa de la multa funci´on creciente del exceso del indicador en esa zona). Suponemos que cada una de las NEplantas est´a gestionada por un organismo diferente, que buscar´a la estrategia de depuraci´on que minimice la suma de las multas y del gasto de depuraci´on (que est´a en funci´on de la depuraci´on realizada). Dentro de este problema, claramente no cooperativo, nuestro objetivo ser´a encontrar un equilibrio de Nash que, en cierta medida, suponga una estrategia aceptada por los gestores de todas las plantas. Suponemos que los vertidos realizados son de tipo dom´estico y escogemos como indicador de la calidad del agua los coliformes fecales (CF), ya que son una de las bacterias con mayor presencia en ese tipo de vertidos. El siguiente modelo proporciona la concentraci´on de CF en un dominio ocupado por aguas poco profundas, en funci´on de los vertidos realizados (ver, p.e. [2]) ∂ρ ∂t +~u · ∇ρ−β∆ρ+κρ =1 hhNE X j=1 mj(t)δ(x−Pj)ien Ω ×(0, T) (1) ρ(x, 0) = ρ0(x) en Ω (2) ∂ρ ∂n = 0 en ∂Ω×(0, T) (3) donde ρes la concentraci´on de CF promediada en altura, h∈C(¯ Ω×[0, T]) es la altura del agua, que se supone minorada por una constante estrictamente positiva, ~u ∈ [L∞(0, T;W1,∞(Ω))]2es la velocidad horizontal del agua promediada en altura, β > 0 es un coeficiente de viscosidad horizontal, que tiene en cuenta efectos turbulentos y dispersi´on vertical, κ∈Res un coeficiente experimental relacionado con la mortalidad de CF, mj∈L∞(0, T) es el flujo m´asico de CF vertido en el punto Pj,δ(x−Pj) representa la medida de Dirac en el punto Pjyρ0∈C(¯ Ω) es la concentraci´on inicial de CF. En este modelo (sistema (1)-(3)), a la planta depuradora j-´esima se le asocia un control: la funci´on mj(t) que describe el flujo m´asico de CF vertido por esa planta. Gestionar la depuraci´on en la planta j-´esima equivale a determinar la funci´on mj(t). El funcional que debe minimizar el gestor de la planta j-´esima es la suma de: 2 Equilibrio de Nash para un problema de gesti´on de aguas residuales el coste propio de la depuraci´on, que es funci´on del flujo m´asico de CF que finalmente se vierte. Denotamos por ¯mjel flujo m´asico de CF con el que llegan las aguas residuales a la planta j-´esima. La funci´on fj:]0,∞ 7→ Rque describe el coste de la depuraci´on en la planta j-´esima tiene estas propiedades: fjes estrictamente decreciente y estrictamente convexa en ]0,¯mj[, l´ıms→0+ fj(s) = +∞,fj(s) = fj( ¯mj) para todo s≥¯mj, y f′ j( ¯mj) = 0. Denotamos por mjel m´ınimo flujo m´asico de CF que se puede verter en el punto Pj(que se corresponde con la m´axima depuraci´on en esa planta). En lo sucesivo suponemos que fj∈C2[mj,¯mj] y que es estrictamente convexa en ese intervalo. Coste debido a una depuraci´on insuficiente. Consideramos en cada planta los gastos provocados por las penalizaciones (pago de multas). Si definimos n0= 0 y numeramos las zonas a proteger de manera que, para j= 1,2,...,NE, la planta j-´esima tenga a su cargo ∪nj i=n(j−1)+1Ai, la funci´on objetivo a minimizar correspondiente a la planta j-´esima vendr´a dada por Jj(m1, m2,...,mNE) = ZT 0 fj(mj(t))dt + nj X i=n(j−1) +1 1 ǫiZAi×(0,T ) ψ(ρ(x, t)−σi)dxdt (4) donde ǫl>0, l= 1,2,...,NZ, es un par´ametro de penalizaci´on y, para δ > 0 predefinido, ψ(y) viene dada por ψ(y) =      0si y ≤0 y3 6δsi 0≤y≤δ 1 2(y2−δy +δ2 3)si δ ≤y (5) La funci´on ψes creciente, convexa y de clase C2(R); adem´as ψ(y)>0 si, y solo si y > 0, es decir, cuando hay un exceso de concentraci´on del indicador. Si para j= 1,2,...,NEdenotamos por Mj={m∈L∞(0, T ); 0 < mj≤m(t)≤ ¯mj,c.p.d. en (0, T)}, el problema de la gesti´on ´optima del sistema de depuraci´on de aguas residuales se formula como el siguiente problema de control multiobjetivo: Problema (P): Para j= 1,...,NE, encontrar la funci´on mj(t)∈Mjque minimice el funcional Jj(m1, m2,...,mNE) dado por (4), siendo ρ(x, t) la soluci´on del sistema (1)-(3). Buscamos una estrategia de depuraci´on para cada planta tal que ning´un gestor pueda variarla unilateralmente sin que ello le implique un mayor gasto. Por tanto, buscamos un equilibrio de Nash del problema (P), esto es, un conjunto de controles (m∗ 1, ..., m∗ NE)∈ QNE j=1 Mjtal que, para i= 1,2,...,NE, Jj(m∗ 1, ..., m∗ j−1, m∗ j, m∗ j+1, ..., m∗ NE) = m´ın mj∈Mj Jj(m∗ 1, ..., m∗ j−1, mj, m∗ j+1, ..., m∗ NE) (6) 3. An´alisis matem´atico del problema La soluci´on del sistema (1)-(3) puede definirse mediante t´ecnicas de transposici´on (ver [4], [7], [9]) en el siguiente sentido: 3 N. Garc´ıa-Chan, R. Mu˜noz-Sola , M. E. V´azquez-M´endez Definici´on 1 Dados r, s ∈[1,2),2 r+2 s>3se dice que ρ∈Lr(0, T ;W1,s(Ω)) es una soluci´on del problema (1)-(3) si para cada Φ∈C1(¯ Ω×[0, T]) tal que Φ(., T ) = 0 se verifica: ZT 0ZΩ−∂Φ ∂t ρ+β∇Φ· ∇ρ+ Φ~u · ∇ρ+κΦρdx dt = NE X j=1 ZT 0 1 h(Pj, t)Φ(Pj, t)mj(t)dt +ZΩ Φ(x, 0)ρ0(x)dx (7) Denotamos por A∗el operador diferencial definido por A∗Φ = −β∆Φ −div(Φ ~u) + κΦ,(8) y por ∂Φ ∂nA∗ el operador derivada conormal asociado a A∗. Suponemos en lo sucesivo que el dominio acotado Ω tiene frontera suficientemente regular y que existen constantes α∗∈(0,1) y r0>0 tales que para todo x0∈∂Ω y para todo r∈(0, r0] se cumple que med(B(x0, r)∩Ω) ≤(1 −α∗)πr2. Se tiene entonces el siguiente resultado (ver [9]) : Teorema 1 Existe un ´unico ρ∈Lr(0, T;W1,s(Ω)) ∩L2(0, T ;L2(Ω)) con ∂ρ ∂t ∈Lr(0, T ; (W1,s′(Ω))′)que es soluci´on de (1)-(3) y satisface ZT 0 <−∂Φ ∂t +A∗Φ, ρ > dt = NE X j=1 ZT 0 1 h(Pj, t)Φ(Pj, t)mj(t)dt+ZΩ Φ(x, 0)ρ0(x)dx ∀Φ∈ B, con B={Φ∈L2(0, T ;H2(Ω)) ∩H1(0, T;L2(Ω)); ∂Φ ∂nA∗ = 0 en ∂Ω×(0, T ),Φ(., T ) = 0}. Definimos el operador lineal K: [L∞(0, T )]NE×C(¯ Ω) 7→ Lr(0, T;W1,s(Ω))∩L2(0, T ;L2(Ω)) mediante K(m, ρ0) = ρ, donde m= (m1,...,mNE) y ρes la soluci´on del problema (1)-(3). Teorema 2 Para cualesquiera r, s ∈[1,2) con 2 r+2 s>3, el operador K ∈ L([L∞(0, T )]NE×C(¯ Ω), Lr(0, T;W1,s(Ω) ∩L2(0, T ;L2(Ω)) .Adem´as, fijado cualquier ρ0∈C(¯ Ω), el operador K(·, ρ0)es continuo de [L∞(0, T)]NEd´ebil-* en L2(0, T;L2(Ω)) d´ebil y en Lr(0, T;W1,s(Ω)) d´ebil. Adem´as, si existe E⊂Ωconjunto cerrado tal que Ω\Ees un dominio suficientemente regular, {P1, P2,...,PNE} ⊂ Ey∪NZ i=1 ¯ Ai⊂(Ω\E), entonces: 1. fijado cualquier ρ0∈C(¯ Ω), la aplicaci´on F:m∈[L∞(0, T)]NE−→ F(m) = ρ|∪NZ i=1 ¯ Ai×[0,T ]∈C(∪NZ i=1 ¯ Ai×[0, T]), est´a bien definida y es af´ın, continua y Gateaux diferenciable. 4 Equilibrio de Nash para un problema de gesti´on de aguas residuales 2. si la condici´on inicial ρ0= 0 entonces ρ∈Cα(∪NZ i=1 ¯ Ai×[0, T]) para un exponente α∈(0,1), y F∈ L([L∞(0, T)]NE, Cα(∪NZ i=1 ¯ Ai×[0, T])). 3. fijado cualquier ρ0∈C(¯ Ω), la aplicaci´on Fes continua de [L∞(0, T)]NEd´ebil-* en C(∪NZ i=1 ¯ Ai×[0, T]) fuerte. La demostraci´on de que K ∈ L([L∞(0, T )]NE×C(¯ Ω), Lr(0, T;W1,s(Ω)∩L2(0, T ;L2(Ω)) y del apartado 1 puede verse en [9]. El apartado 2 resulta de aplicar el teorema 10.1 del cap´ıtulo III de [8]. El resto del enunciado se demuestra f´acilmente. Teorema 3 El problema (P)tiene un equilibrio de Nash. Demostraci´on: gracias a los teoremas 1 y 2, el funcional de coste introducido formalmente en (4) est´a bien definido sobre QNE j=1 Mj. Se demuestra f´acilmente que el funcional mj∈Mj−→ Jj(m1, ..., mj−1, mj, mj+1, ..., mNE)∈R,(9) es continuo, Gateux diferenciable y estrictamente convexo. Como Mjes convexo, cerrado en L2(0, T) y no vac´ıo, fijado cualquier (m1,...,mj−1, mj+1,...,mNE)∈QNE i=1 i6=j Miexiste un ´unico m∗ j∈Mjque minimiza el funcional (9) en Mj. Sea Sjla aplicaci´on de QNE i=1 i6=j Mien Mjdefinida por Sj(m1,...,mj−1, mj+1,...,mNE) = m∗ jy sea S:QNE j=1 Mj−→ QNE j=1 Mj dada por S(m1, m2,...,mNE) = (S1(m2, m3,...,mNE),,...,SNE(m1, m2,...,mNE−1)). Gracias al teorema 2, la aplicaci´on Sj( y por tanto S) es continua para la topolog´ıa d´ebil-*. Como adem´as el conjunto QNE j=1 Mjes convexo y es compacto para esta topolog´ıa, el teorema del punto fijo de Kakutani ([1]) garantiza la existencia de un punto fijo de S, que es un equilibrio de Nash. 4. Condiciones de optimalidad Condici´on necesaria y suficiente para que se satisfaga (6) es que ∂Ji ∂mi (m∗ 1, ..., m∗ i−1, m∗ i, m∗ i+1, ..., m∗ NE)(mi−m∗ i)≥0,∀mi∈Mi.(10) Por tanto, un punto m∗= (m∗ 1, ..., m∗ NE)∈QNE j=1 Mjes un equilibrio de Nash del problema (P) si, y solo si, m∗cumple (10) para todo i= 1,...,NE. Efectuando unos c´alculos similares a los realizados en [12], obtenemos que ∂Jj ∂mj (m) = f′ j(mj) + 1 h(Pj, t)pj(Pj, t) (11) donde, para j= 1,2, pjes la soluci´on d´ebil del problema adjunto −∂pj ∂t −β∆pj−div(pj~u) + κpj= nj X i=n(j−1)+1 1 ǫi χAiψ′(ρ−σi) en Ω ×(0, T ) (12) β∂pj ∂n +pj(~u ·~n) = 0 en ∂Ω×(0, T) (13) pj(x, T) = 0 en Ω,(14) 5 N. Garc´ıa-Chan, R. Mu˜noz-Sola , M. E. V´azquez-M´endez donde χAidenota la funci´on caracter´ıstica del conjunto Ai. El problema (12)-(14) tiene una ´unica soluci´on d´ebil pj. Adem´as pj∈L2(0, T ;H2(Ω) TH1(0, T ;L2(Ω)) (ver, p.e. [5] para la existencia y unicidad, y el teorema 9.1 del cap´ıtulo IV de [8] para la regularidad.) Teorema 4 (Condiciones de optimalidad) (m∗ 1, m∗ 2,...,m∗ NE)∈QNE j=1 Mjes un equilibrio de Nash para el problema (P) si, y solo si, existe una funci´on ρ∈Lr(0, T;W1,s(Ω))∩ L2(0, T;L2(Ω)) para todo r, s ∈[1,2) con 2 r+2 s>3yNEfunciones p1, p2,...,pNE∈ C([0, T]; L2(Ω)) TL2([0, T]; H1(Ω)) , tales que: ρes la soluci´on del sistema de estado (1)- (3) con mj=m∗ jpara todo j= 1,...,NE,pjes la soluci´on d´ebil del problema adjunto (12)-(14) para todo j= 1,...,NE, y ZT 0 [f′ j(m∗ j) + 1 h(Pj, t)pj(Pj, t)](mj−m∗ j)dt ≥0∀mj∈Mjj= 1,2,...,NE(15) 5. Discretizaci´on del problema. En lo sucesivo suponemos NE= 2, NZ= 2, n1= 1 y n2= 2. Suponemos adem´as que el m´ınimo en (6) se alcanza en el interior de Mipara i= 1,2, con lo que la condici´on de optimalidad (15) se convierte en f′ j(m∗ j) + 1 h(Pj, t)pj(Pj, t) = 0, j = 1,2.(16) Para discretizar el sistema de estado (1)-(3) y el problema adjunto (12)-(14) combinamos una discretizaci´on en tiempo mediante caracter´ısticas con una discretizaci´on en espacio mediante elementos finitos de Lagrange P1. Este m´etodo es convergente para el sistema adjunto (v´ease [10]) y tambi´en para el sistema de estado (v´ease [2]). Sea τ→X(x, t;τ) la soluci´on del problema de valor inicial dX dt =~uX(x, t;τ), τ(17) X(x, t;t) = x(18) Tomamos N∈N, ∆t=T Ny definimos tn=n∆t. Denotamos Xn(x) = X(x, tn+1;tn) e Yn+1(x) = X(x, tn;tn+1). Efectuamos las aproximaciones: ∂ρ ∂t +~u · ∇ρ≃ρn+1(x)−ρn(Xn(x)) ∆t,(19) −∂pk ∂t −~u · ∇pk≃pn k(x)−pn+1 k(Yn+1(x)) ∆t, k = 1,2.(20) Consideramos una aproximaci´on poligonal Ωhde Ω y elegimos una triangulaci´on admisible τhde Ωh, con tri´angulos de di´ametro menor o igual que hy v´ertices {xj, j = 1, ..., Nv} de modo que los v´ertices de la frontera de Ωhpertenezcan tambi´en a la frontera de Ω. Sea Vh={vh∈C(¯ Ωh), vh|T∈P1, T ∈τh}y sea ρ0 h∈Vhuna aproximaci´on de ρ0. La discretizaci´on completa del sistema de estado (1)-(3) y el problema adjunto (12)-(14) son est´andar. Denotamos por ρn+1 h∈Vhypn kh ∈Vhlas aproximaciones respectivas de 6 Equilibrio de Nash para un problema de gesti´on de aguas residuales ρypken el instante tn. Introduciendo la base nodal de Vh, la discretizaci´on completa del problema constituido por el sistema de estado, el problema adjunto y la condici´on de optimalidad se escribe en la forma siguiente: dados ˆρ0 h= (ρh0(x1), ρh0(x2),...,ρh0(xNv))t y ˆpN 1h= ˆpN 2h= (0,0,...,0)t, para k= 1,2 y n= 0,1,...,N −1, encontrar mn+1 k∈R, ˆρn+1 h∈RNv, ˆpn kh ∈RNvque satisfagan: A1hˆρn+1 h−Bn 1hˆρn h=mn+1 1 hn+1(P1)b1h+mn+1 2 hn+1(P2)b2h,(21) An 2hˆpn kh −Bn+1 2hˆpn+1 kh =βn kh,(22) f′ k(mn+1 k) = −1 hn+1(Pk)Ckh ˆpn+1 kh ,(23) donde ˆρn+1 h= (ρn+1 h(x1), ..., ρn+1 h(xNv))t, ˆpn+1 kh = (pn+1 kh (x1), ..., pn+1 kh (xNv))t,A1h,Bn 1hy An 2h,Bn+1 2hson las matrices propias de la discretizaci´on de elementos finitos, (bkh)i= ˜vi(Pk), siendo ˜vila funci´on de base asociada al v´ertice xi, (βn kh)i=1 ǫkZΩ χAkψ′ Nv X l=1 (ˆρn h)l˜vl−σk!˜vidx , yCkh es la matriz de orden 1 ×Nvque cumple pn+1 kh (Pk) = Ckh ˆpn+1 kh . El sistema discreto (21)-(23) es no lineal y, a primera vista, su dimensi´on es 3NNv+ 2N. Para resolverlo, lo hemos reescrito en la forma F( ˜m) = 0, donde ˜m= ( ˜m1,˜m2)t∈R2N, siendo ˜mk= (m1 k, ..., mN k)t, k = 1,2 los valores de los controles en los puntos de la malla temporal, y hemos aplicado un m´etodo de tipo Newton. Una descripci´on detallada puede verse en [6]. 6. Resultados num´ericos A continuaci´on presentamos algunos resultados obtenidos al resolver el problema anterior en una situaci´on realista planteada en la r´ıa de Vigo. La malla usada consta de 1241 tri´angulos y 738 v´ertices. Tomamos como intervalo de simulaci´on un ciclo completo de marea que, en esta latitud, equivale a elegir T= 12,4 horas. La altura de agua y el campo de velocidades han sido obtenidos resolviendo las ecuaciones de las aguas someras sobre la malla elegida (ver [3] para una descripci´on detallada de esas ecuaciones y del m´etodo num´erico empleado para resolverlas). Suponemos que inicialmente no hay CF en ning´un punto de la r´ıa (ρ0= 0) y consideramos diferentes cotas para los CF en cada una de las zonas, σ1= 0,0003484, σ2= 0,0005. Tomamos el mismo coste de depuraci´on para las dos plantas: f1(x) = f2(x) =      100(150)3 x3−3(150)x2+3(150)2x, x ≤150 100, x > 150 Hemos realizado distintos experimentos para diferentes valores de ǫ1yǫ2, tanto con ǫ1= ǫ2(penalizaciones iguales) como con ǫ2< ǫ1(penalizaci´on m´as fuerte en la planta 2). Los resultados obtenidos para los vertidos ´optimos y el cumplimiento de las restricciones impuestas son acordes con los esperados. Para ǫ1=ǫ2= 10−5, la estrategia de vertidos obtenida y las concentraciones de CF en el ´ultimo instante de tiempo en la vecindad de las zonas a proteger se muestran en la figura 1. 7 N. Garc´ıa-Chan, R. Mu˜noz-Sola , M. E. V´azquez-M´endez Figura 1: Izquierda: vertidos ´optimos m∗ 1(t) (∗∗) y m∗ 2(t) (oo) (ordenadas) frente al tiempo (abscisas); derecha: concentraciones de CF en el ´ultimo instante de la simulaci´on para ǫ1=ǫ2= 10−5 Agradecimientos Esta investigaci´on ha sido financiada por el Proyecto MTM2006-01177 del Ministerio de Educaci´on y Ciencia. N. Garc´ıa Chan ha sido financiado por el Programa Alban (c´odigo E04D045803MX) y CONACyT de M´ejico (c´odigo 165721) Referencias [1] J. P. Aubin, Mathematical methods of game and economic theory, North-Holland. 1979. [2] L.J. ´ Alvarez-V´azquez, A. Mart´ınez, C. Rodr´ıguez, M.E. V´azquez-M´endez. Numerical convergence for a sewage disposal problem. Applied Mathematical Modelling, 25 (2001), 1015-1024. [3] A. Berm´udez, C. Rodr´ıguez, M.A. Vilar. Solving shallow water equations by a mixed implicit finite element method. IMA J. Num. Anal., 11 (1991), 79-97. [4] E. Casas. 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