Convergencia al equilibrio en un modelo simplificado de angiogénesis

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–4) Convergencia al equilibrio en un modelo simplificado de angiogenesis G. Lit¸canu 1, C. Morales-Rodrigo2 1Institute of Mathematics, University of Witten/Herdecke, Stockumerstr. 10-12, 58453 Witten, Germany. Institute of Mathematics ”O. Mayer”, 700505 Ia¸si, Romania. E-mail: [email protected]. 2Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Faculty of Informatics, Mathematics and Mechanics, Warsaw University, ul. Banacha 2, 02-097 Warsaw, Poland. E-mail: [email protected]. Palabras clave: reacci´on-difusi´on, existencia global, comportamiento asint´otico Resumen En esta comunicaci´on abordamos una clase general de modelos con origen en biolog´ıa. En particular los modelos describen el movimiento de bacterias [7], procesos invasivos tumorales [1], [12] y el proceso de angiogenesis asociado a los tumores [2]. 1. Introducci´on Durante los ´ultimos a˜nos hay un n´umero significativo de art´ıculos cient´ıficos publicados describiendo fen´omenos biol´ogicos a traves de un sistema de reacci´on-difusi´on. Uno de los mas conocidos modelos matem´aticos es el sistema de ecuaciones diferenciales parab´olicas de Keller-Segel [9] (para m´as informaci´on sobre este modelo consultar, por ejemplo, [5], [6]). Dicho sistema se formul´o para estudiar los procesos de quimiotaxis en sistemas biol´ogicos. La quimiotaxis es la habilidad que tienen las c´elulas que forman un sistema biol´ogico para moverse en la direcci´on del gradiente de alguna sustancia qu´ımica. El objetivo de esta comunicaci´on es describir algunos resultados sobre la existencia de soluciones globales y comportamiento asint´otico para el sistema de ecuaciones en derivadas parciales dado por:        ut=∇ · (∇u−uχ(w)∇w) + δu(1 −u) en Ω ×(0, T), wt=−uwβen Ω ×(0, T), uν−uχ(w)wν= 0 sobre ∂Ω×(0, T), u(x, 0) = u0(x), w(x, 0) = w0(x) en Ω. (1) 1 G. Lit¸canu, C. Morales-Rodrigo donde Ω ⊂RN, N ⩾1 es un dominio acotado de frontera regular, δ⩾0, β ⩾1 son par´ametros, χ∈C1(R+) y el sub´ındice νse usa para denotar la derivada normal exterior a∂Ω. En la primera ecuaci´on aparece el t´ermino de crecimiento log´ıstico, aunque los resultados que vamos a presentar se pueden extender a otras funciones m´as generales. El sistema (1) se usa como modelo matem´atico para describir diversos fen´omenos biol´ogicos. Por ejemplo, en el caso en el que δ= 0, Ω = R, el modelo (1) fue utilizado para describir el movimiento de bacterias [7], [8]. En este caso, u(x, t) representa la concentration de las bacterias y w(x, t) representa la concentration de un sustancia qu´ımica. Las bacterias se agregan siguiendo el gradiente de la sustancia qu´ımica. En este caso se supone que la sustancia qu´ımica carece de difusi´on, al ser la motilidad de la bacteria mucho mas grande que la de la sustancia qu´ımica. En realidad, en el modelo propuesto en [7] se considera el termino de la difusi´on de forma m´as general, ∂ ∂x £µ(w)∂u ∂x ¤, y se investigan las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de ondas viajeras. Otro ejemplo es cuando el sistema (1) se usa para describir los procesos invasivos de c´elulas tumorales y la degradaci´on de la matriz extracelular. La matriz extracelular constituye un conjunto de macromol´eculas distintos interconectados que en conjunto forman el medio donde las c´elulas desempe˜nan sus funciones. Las c´elulas tumorales, desarollando una insensibilidad a las se˜nales de parada de la proliferaci´on, empiezan a invadir los tejidos cercanos y degradar los distintos componentes de la matriz mediante la acci´on de las metaloproteinasas. Esta acci´on degradativa es capaz de alterar las uniones c´elula-matriz y c´elula-c´elula. En [12] se estudia la existencia de soluciones de tipo ondas viajeras en el caso cuando la variable u(x, t) carece de difusi´on y δ= 1, β = 2, donde u(x, t) representa la concentration de las c´elulas tumorales y w(x, t) representa la concentration de la extracelular matriz. Tambi´en hay algunos resultados num´ericos en esta direcci´on [1] en el caso β= 1. Finalmente, tambi´en el sistema (1) se usa como modelo matem´atico para el proceso de angiog´enesis. Angiog´enesis es la formaci´on de nuevos vasos sanguineos a partir de los ya existentes. Las c´elulas cancer´ıgenas, ante la falta de nutrientes, segregan TAFs (tumour angiogenic factors) que inducen a las c´elulas endoteliales que forman los vasos sanguineos a ir en la direcci´on del gradiente generado por el TAF [11]. En [2] se estudia el sistema (1) cuando δ= 0, β = 1, donde u(x, t) representa la concentration de las c´elulas endoteliales yw(x, t) representa la concentration del TAF. Diversos autores han estudiado algunos casos del sistema (1). En [13] se prueba la existencia de soluci´on global regular en una dimensi´on cuando χ(w) = 1/w,δ= 0 y β= 1. En [14] se prueba el mismo resultado pero con χ(w) = w−α,β > 1, 0 ≤α < β,α6= 1, (β+α)/26= 1 y en lugar del crecimiento log´ıstico un t´ermino general de crecimiento satisfaciendo alguna condicion de crecimiento sublineal en la variable u(x, t). Recientemente, en [3] y [4], los autores prueban, para δ= 0 y χ∈C1(R+) satisfaciendo 1 2´ınf w⩾0½wχ0(w) χ(w)+β¾>0 (2) la existencia de soluci´on global d´ebil en RNcon N⩾1. Cuando N⩾3, requieren de una condici´on de peque˜nez en el dato inicial u0(x). En la presente comunicaci´on nos centraremos en los resultados obtenidos para el sistema (1) en el caso de la dimension N= 2. En este caso se puede probar la existencia 2 Modelo de angiogenesis de soluci´on global regular, sin condiciones de peque˜nez en los datos iniciales y la convergencia al equilibrio de las soluciones del parab´olico. El estudio detallado del problema se presentar´a en [10]. A partir de ahora y con objeto de simplificar la exposici´on supondremos χ≡1, aunque lo expuesto aqu´ı se puede extender a funciones χgenerales. Por ejemplo, bastar´ıa con la condici´on (2), χ∈C1(R+), χand χ0funciones lipchitzianas. 2. Existencia y unicidad Teorema 2.1 Sea u0, w0∈Cl+2(Ω),u0(x)⩾0, w0(x)>0, entonces el problema (1) tiene una ´unica soluci´on global positiva (u, v)∈³Cl+2,l/2+1(Ω ×[0,+∞))´2(3) Idea de la prueba: La existencia local y la unicidad de la soluci´on del sistema (1) se prueba utilizandose un argumento de punto fijo y el principio del m´aximo. La existencia global se prueba gracias al principio de prolongaci´on, si kukCl+2,l/2+1(Ω×[0,T ]) ⩽C(T),kwkCl+2,l/2+1(Ω×[0,T]) ⩽C(T) (4) para todo T < Tmax (Tmax tiempo m´aximo de existencia ), entonces Tmax = +∞. Primero, empleamos argumentos matem´aticos rigurosos para obtener cotas globales de u(x, t) en L∞(0, T;Lp(Ω)) y en L∞(Ω ×(0, T)) y despu´es obtenemos tambi´en cotas de los gradientes ZT 0ZΩ |∇u|5⩽C(T),sup t∈[0,T]ZΩ |∇w|5(t)⩽C(T) (5) La prueba de estas cotas es tediosa, pero gracias a ellas y a unos argumentos de inyecci´on continua de los espacios utilizados podemos concluir con la existencia global de la soluci´on. 3. Convergencia al equilibrio Teorema 3.1 Las soluciones positivas del problema estacionario asociado a (1) vienen dadas por: 1. (u∗, w∗) = (0,ew), donde ew⩾0es una funci´on cualquiera. 2. (u∗, w∗) = (k, 0), donde k⩾0es una constante cualquiera si δ= 0 yk= 1 si δ > 0. Teorema 3.2 Supongamos β= 1 yu0(x)⩾k > 0con p < ∞, entonces se tiene lo siguiente: 1. Si δ= 0, entonces ° ° ° °u(·, t)−1 |Ω|ZΩ u0(x)dx° ° ° °Lp(Ω) ⩽Ce−α1t,kwkL∞(Ω) ⩽Ce−α2t.(6) 3 G. Lit¸canu, C. Morales-Rodrigo 2. Si δ > 0, entonces ku(·, t)−1kLp(Ω) ⩽Ce−α3t,kwkL∞(Ω) ⩽Ce−α4t,(7) donde las constantes αj,j= 1, ..., 4pueden calcularse explicitamente. Idea de la prueba: Para probar estos resultados se utilizan las cotas obtenidas previamente para la variable u(x, t) y la propriedad que u(x, t)⩾k > 0 para todo t > 0. Para acabar observese que puesto u(x, t)⩾k, entonces la segunda ecuaci´on de sistema (1) nos da el decaimiento exponencial en L∞(Ω) para w. Agradecimientos Los resultados presentados en esta comunicaci´on son producto de una colaboraci´on cient´ıfica dentro del proyecto europeo MRTN-CT-2004-503661, ”Modeling, Mathematical Methods and Computer Simulation of Tumour Growth and Therapy” los autores agradecen el apoyo recibido por dicho proyecto. Referencias [1] M. Chaplain, Mathematical modelling of tissue invasion, Cancer Modelling and Simulation, Chapter 10, ed. L. 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[14] M. Rascle, On a system of non-linear strongly coupled partial differential equations arising in biology, Lecture Notes in Math., Vol. 846, Springer-Verlag, New York, (1980), 290–298. 4