Álgebras admisibles e isoálgebras de Lie-Santilli (aplicación en mecánica clásica y cuántica)

´ Algebras admisibles e iso´algebras de Lie-Santilli (Aplicaci´on en Mec´anica Cl´asica y Cu´antica). Ra´ul Manuel Falc´on Ganfornina Dpto. de Geometr´ıa y Topolog´ıa Facultad de Matem´aticas Universidad de Sevilla [email protected] Resumen La teor´ıa de admisibilidad en ´algebras, introducida por Albert en 1948, ha resultado tener aplicaci´on en diversos campos de la Mec´anica Cu´antica. En concreto, en relatividad especial, la cual resulta obsoleta en el instante en que se trabaja con part´ıculas no puntuales que se mueven en un medio f´ısico: sistemas din´amicos exteriores cerrados (interiores abiertos) no Hamiltonianos. En este sentido, en 1967, el f´ısico matem´atico R. M. Santilli, analizando la generalizaci´on de Birkhoff de la Mec´anica Hamiltoniana, fue el primero en captar la relaci´on existente de ´esta con la teor´ıa admisible de Lie. En la presente comunicaci´on, se mostrar´an los conceptos y resultados b´asicos de la teor´ıa de admisibilidad, analizando posteriormente algunos de los estudios realizados al respecto por Santilli desde 1967 hasta la fecha. En particular, se desarrolla el concepto de isotop´ıa que propuso en 1978, el cual act´ua como paso intermedio hacia la aplicaci´on en Mec´anica Cu´antica de estructuras algebr´aicas admisibles de Lie. 1. Introducci´on 1.1. Limitaciones de la teor´ıa de Lie en MC Marius Sophus Lie (1842-1899). La teor´ıa convencional de Lie posee claras limitaciones en sus aplicaciones en F´ısica, al ser: 1. Lineal (variables, cantidades y derivadas). 2. Local - diferencial (sin representaci´on integral de superficie o volumen). 3. Can´onica-Hamiltoniana (H=H(t, r, p)←- L =L(t, r, ˙r)) (derivable de un potencial). 4. Basada en cuerpos de caracter´ıstica 0. 5. Dotados de unidad trivial I= +1 y de un producto asociativo a×b. Con ello ´unicamente pueden representarse un n´umero finito y aislado de part´ıculas puntuales que interact´uan entre s´ı en el vac´ıo homog´eneo e isotr´opico, mediante fuerzas a distancia derivadas de un potencial (variacionalmente autoadjuntas): SISTEMAS DIN ´ AMICOS EXTERIORES (SDE). Ejemplo: Satelite en ´orbita terrestre; relatividad especial: x2=xtηx =xµηµνxν=x1x1+x2x2+x3x3−x4c2 0x4. En cambio, la gran mayor´ıa de sistemas en la realidad f´ısica que nos envuelve son no lineales, no locales-diferenciales y no representables enteramente a trav´es de un Hamiltoniano en las coordenadas del observador: SISTEMAS DIN ´ AMICOS INTERIORES (SDI). Interacciones no locales entre part´ıculas a distancia m´ınima. Ejemplo: Entrada de sat´elite en atm´osfera terrestre, estructura de los planetas, part´ıculas de interacci´on fuerte (protones y neutrones), n´ucleos, mol´eculas o estrellas; relatividad especial generalizada: x2=xtgx =xµgµνxν=x1b2 1x1+x2b2 2x2+x3b2 3x3−x4c2x4. (c=c(t, r, ˙r, ...)). Permite considerar car´acter no puntual de las part´ıculas, con la consecuente posibilidad de una distribuci´on no esf´erica de carga, haciendo uso de una asimetr´ıa rotacional. E(r, δ =diag(1,1,1),R)T∗E(r, δ, R) a= (˙aµ) = ˙ria ˙pia = (Γµ(t, a, ˙a, ...)) = Γ = =pia/ma FSA ia (r) + FNSA ia (t, r, p, ˙p, ...) + RσdσFNSA ia (t, r, p, ˙p, ...), i= 1,2,3(= x, y, z), a = 1,2, ..., N, µ = 1,2, ..., 6N. r≡Coordenadas del observador. p≡Momento lineal. m≡Masa de las Npart´ıculas. (N)SA ≡Variacional (no) autoadjunto. σ≡Superficie o volumen. Para abordar los SDI hace falta: a) Generalizar Hamiltoniano (Birkhoff -1947). b) Incorporar t´erminos externos en las ecuaciones de Din´amica: Teor´ıa de Lie →Teor´ıa admisible de Lie (Albert - 1948) 1.2. ´ Algebras admisibles de Jordan (Lie) Abraham Adrian Albert (1905-1972). 1948: Albert [1] introduce el concepto de ´algebra admisible a) De Jordan: k-´algebra U(c(k)6= 2), dotado de producto ab, generalmente no asociativo, tal que el ´algebra asociado U+(conmutativo), dotado del producto {a, b}U=ab +ba es de Jordan: xy =yx x((xx)y) = (xx)(xy)≡(xy)x2=x(yx2) (1955: Schafer [12]: ´algebras de Jordan no conmutativas: Flexible + (x2y)x=x2(yx)). b) De Lie: An´alogo para el ´algebra asociado U−(anticonmutativo) dotado del producto [a, b]U= ab −ba. x◦x= 0,((x◦y)◦z) + ((y◦z)◦x) + ((z◦x)◦y) = 0 Lie ⇒Admisible de Lie. Asociativa ⇒Admisible de Lie. Ejemplo: (Albert) U, ´algebra de matrices con producto asociativo A×B;ppar´ametro. El producto: (A, B) = p×A×B+ (1 −p)×B×A, es admisible de Jordan y de Lie: {A, B}U=A×B+B×A, [A, B]U= (2p−1) ·(A×B−B×A), Observaci´on: 1. p= 0 →´ Algebra de Jordan conmutativa. 2. No existe valor de ptal que se obtenga un ´algebra de Lie. En general, dada Acon producto xy: xy =1 2[x, y] + x◦y. ([x, y] = xy −yx, x ◦y=1 2(xy +yx)). De esta forma, determinar A−equivale a determinar el producto de Jordan conmutativo x◦y. De hecho, dado ◦: x∗y=1 2[x, y] + x◦y. [x, y] = x∗y−y∗x. (A, ∗)−=A−. Ejemplo: x◦y=τ(x)y+τ(y)x. (τforma lineal en A). x∗y=1 2[x, y] + τ(x)y+τ(y)x. 3. Aplicaci´on a MC 3.1. Deformaciones iniciales de la MC Numerosos estudios han buscado la generalizaci´on de la estructura de la Mec´anica Cu´antica (MC), via la relajaci´on de uno o varios de los axiomas en los que se basa ´esta: a) Estructura lineal, local y potencial. b) ´ Algebra envolvente universal asociativa, con unidad fundamental I=diag (1,1,1). c) Operadores Hermiticos sobre un C-espacio de Hilbert, dotado de un producto asociativo. d) Invariancia de las unidades b´asicas de tiempo, longitud, energ´ıa, etc. e) Conservaci´on de la Hermiticidad bajo la evoluci´on del tiempo de la teor´ıa. f) Verificaci´on de la causalidad y de las leyes probabil´ısticas. g) La evoluci´on del tiempo finito e infinitesimal de Heisenberg para Hamiltonianos Herm´ıticos: A(t) = U×A(0) ×U†=eiHt ×Q(0) ×e−itH ≈ −i(A×H−H×A) = −i[A, H]. h) La ecuaci´on fundamental de Schr¨odinger: H(t, r, p)×φ(t, r) = E×φ(t, r). De hecho, Lagrange y Hamilton presentaron sus conocidas ecuaciones en mec´anica anal´ıtica, en t´erminos de factores externos. Cualquier generalizaci´on de este tipo (→Deformaci´on) sufrir´a serias limitaciones f´ısicas, si es formulada desde el punto de vista matem´atico convencional de la MC: a) Teor´ıa no lineal: Las ecuaciones del tipo: H(t, r, p, φ)×φ(t, r) = E×φ(t, r), no cumplen el principio de superposici´on, en caso de trabajar sobre cuerpos y espacios convencionales. Aparece adem´as limitaci´on en la topolog´ıa utilizada y se produce violaci´on de las relatividades establecidas. b) Teor´ıa no local: Requiere la adici´on en el Hamiltoniano de potenciales caraterizados por integrales de superficie o volumen, lo que matem´aticamente implica la violaci´on de las topolog´ıas relativistas y no relativistas (que son estrictamente locales-diferenciales), con la consecuente invalidaci´on del fundamento matem´atico de la teor´ıa. c) Teor´ıa no potencial: A partir de los conocidos modelos nucleares disipativos (los cuales representan los efectos no potenciales a trav´es de potenciales imaginarios iV (t, r)), con Hamiltoniano no Herm´ıtico H=H0+iV 6=H†y evoluci´on del tiempo finito e infinitesimal: A(t) = U×A(0) ×U†=eiHt ×A(0) ×e−itH ≈ −i(A×H†−H×A) = −i(A, H, H†), origina la p´erdida del producto bilineal de Lie [A, H] en relaci´on al producto triple (A, H, H†) y la consecuente p´erdida de significado en simetr´ıas como la SU(2)-spin. d) Relajaci´on en el ´algebra envolvente universal asociativo:, (como ocurre en mec´anica estad´ıstica o en la representaci´on de colisiones): idρ dt = (ρ, H) = ρ×H−H×ρ+C= [ρ, H] + C, origina nuevamente la p´erdida de los corchetes de Lie (ρ, H) en la evoluci´on del tiempo. 3.2. Deformaciones Lie-admisibles y Lie isot´opicas de la MC SISTEMAS ABIERTOS NO CONSERVATIVOS IRREVERSIBLES. (Ley de conservaci´on de la energ´ıa: idH dt 6= 0). 1967: Santilli introduce la deformaci´on param´etrica del producto de Lie: (A, B) = pAB −qBA =m(AB −BA) + n(AB +BA). p=n+m, q =n−m, p ±qpar´ametros (funciones) no nulos en RoC. Evoluci´on del tiempo de Heisenberg: idA dt =pAH −qHA. (No unitaria en espacios de Hilbert reales o complejos). 1978: Santilli introduce la deformaci´on mediante operadores: (A, B) = APB −BQA = (AMB −BMA)+(ANB +BNA). P=N+M, Q =N−M, P ±Qoperadores no singulares y no herm´ıticos. Evoluci´on del tiempo de Heisenberg: idA dt =APH −HQA. A(t) = eiHQt A(0) e−itP H (No unitaria). UU†6=Id, P =p(UU†), Q =q(UU†). SISTEMAS CERRADOS AISLADOS IRREVERSIBLES. (idH dt = 0). La deformaci´on es admisible de Lie: [Ab,B] = (A, B)−(B, A) = ATB −BTA. idA dt =ATH −HTA. A(t) = eiHT t A(0) e−itT H (No unitaria). (T=P−Q). Engloba las deformaciones anteriormente indicadas: a) Teor´ıa no lineal: H(t, r, p, φ)×φ(t, r) = H0(t, r, p)×T(φ)×φ(t, r) = E×φ(t, r). c) Teor´ıa no potencial: (A, H, H†) = A×H†−H×A=A×P×H0−H0×Q×A, H=H0×Q, H0=H† 0, P =Q†. d) Relajaci´on en el ´algebra envolvente universal asociativo:, ρ×H−H×ρ+C=ρ×P×H−H×Q×ρ, P= 1, Q = 1 + H−1×C×ρ−1. Sin embargo, al ser deformaciones no unitarias: i) No conservan la unidad convencional en la evoluci´on del tiempo: idI dt = (I, H) = IPH −HQI 6= 0, idI dt = [Ib,H] = ITH −HTI 6= 0. ii) No posee ´unicas e invariantes prediciones num´ericas, leyes f´ısicas o probabilidades. iii) Violan la causalidad y los axiomas de Galileo y Einstein en relatividad especial. Para evitar la invariancia, Santilli propone englobar todos los t´erminos no Hamiltonianos en una unidad generalizada del sistema en cuesti´on: I=diag(1, ..., 1) →b I= (b Ij i) = b I(t, r, v, p, φ, ...) = T−I. Para que sea unidad del sistema, generaliza el producto inicial: × → b × ≡ ×T×, Ab ×b I=b Ib ×A=A. b Ub ×b Ub †=b Ub †b ×b U=b I.  Isotop´ıas de Santilli 1996: C´alculo isodiferencial: b dt =b Itdt, b drk=b Ik idri, b ∂ b ∂t =Tt ∂ ∂t,b ∂ b ∂rk=Ti k ∂ ∂ri. 3.3. Otras deformaciones 1978: Modelo star (Bayer, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz, Sternheimer [asociativo]; Weinberg (1989) [no asociativo]): A∗B=ATB. 1983: Super´algebras de Kac-Moody (Kac). 1989: Deformaciones q-param´etricas (Biedenharn, Macfarlane): (A, B) = AB −qBA. 1989: Teor´ıas de estado de presi´on (Janussis). 1991: Grupos cu´anticos (Curtis, Gairlie, Zachos): XiXj−XjXi=Ck ij(q)Xk. 1992: k-deformaciones (Lukierski, Viowiski, Ruegg). 1992: Teor´ıas de supersimetr´ıa (Mahopatra). 3.4. Realizaciones en MC i) Jordan conmutativa: En MC cl´asica no es conocida ninguna realizaci´on. ii) Lie: Corchetes de Poisson: [A, B]P oisson =∂A ∂aµωµν ∂B ∂aν=∂A ∂rk ∂B ∂pk −∂B ∂rk ∂A ∂pk . (ωµν) = 0n×nIn×n −In×n0n×n≡Tensor contravariante can´onico de Lie. iii) Admisible de Lie: (Santilli, 1978) U´algebra asociativa (xy), r, s ∈Uno nulos. (x, y)U=xry −xsy. [x, y]U= (x, y)U−(y, x)U. MC (A, B)U=∂A ∂rk ∂B ∂pk . [A, B]U= [A, B]P oisson. iv) Flexible admisible de Lie (Santilli, 1978) (x, y)U=λab −µba. No es conocida ninguna realizaci´on en MC cl´asica. La MB generaliza (conservando axiomas) la Mec´anica Hamiltoniana, enfatizando las simetr´ıas espacio-temporales y las integrales de primer orden, que representan el conjunto de leyes conservativas, pero no caracteriza ning´un tipo de ´algebra: SDI CERRADOS AISLADOS. Mec´anica Hamiltoniana como caso particular: r= (ri)≡Coordenadas cartesianas p=dr/dt = (pi), a = (aµ) = (ri, pi), µ = 1, ..., 2n, i = 1, ..., n. R=R◦= (R◦ µ) = (p, 0) = (pi,0i), B=B(t, a) = B(t, r, p) = H(t, r, p) = H(t, a). δA =δZt2 t1 [pi·ri−H(t, r, p)]|e Edt = 0. ωij =0n×n−In×n In×n0n×n. ∂b A ∂t +B(t, x) = 0, ∂b A ∂xi=Ri.  Mec´anica admisible de Birkhoff (Santilli, 1981). SDI ABIERTOS NO CONSERVATIVOS. Esta ´ultima permite representar cualquier sistema no lineal y no Hamiltoniano, si bien desde una aproximaci´on local-diferencial, pues atiende a la geometr´ıa simpl´ectica. (Santilli, 1988) Geometr´ıa isosimpl´ectica. Mec´anica de Birkhoff-Santilli. b R◦= ( b R◦ µ(a)) = (Pi(r, p),0i) = (pT1,0i) = (pkTk 1i,0i), T1= (T1ij)n×n= (T1ji) = (Ti 1j) = (T1ji), diag(1 m2 1 , ..., 1 m2 n )×Γ(t, r, v, ...) diag(1 m2 1 , ..., 1 m2 n)≡Deformaci´on no esf´erica de part´ıculas no puntuales. Γ(t, r, v, ...)≡Fuerzas no lineales, no locales y no potenciales.  Acci´on Pfaff - Birkhoff - Santilli: δb A◦=δZt2 t1 [piTij 1˙rj−H(t, r, p)]|e Edt = 0. Ω◦ ij =0n×n(T2)n×n −(T2)n×n0n×n=ω×diag(T2, T2), T2ij =T1ij +pk ∂T k 1i ∂pj. [Ab,B] = ∂A ∂aiωij I2k α∂B ∂ak. ∂b A◦ ∂t +H(t, r, p) = 0,∂b A◦ ∂ri =pjTj 1i,∂b A◦ ∂pi = 0. 4. Isoteor´ıa de Lie-Santilli Ruggero Maria Santilli (1935). 1967: R. M. Santilli aplica las teor´ıas de Birkhoff y Albert en MC. Generaliza la admisibilidad de Albert, haciendo uso de la deformaci´on del producto de Lie: [A, B] = A×B−B×A→(A, B) = p×A×B−q×B×A (p, q, p ±qpar´ametros no nulos; A,B operadores herm´ıticos.) Este producto es admisible de Jordan y de Lie, admitiendo producto de Jordan y de Lie como casos particulares. 1969: (A, B) = A×P×B−B×Q×A (P, Q, P ±Qoperadores no singurales, no herm´ıticos) 1978: Producto isot´opico de Lie: [A, B]U=A×T×B−B×T×A (T=P+Q=T†) b × ≡ ×T× R. M. Santilli [7] propone tratar la representaci´on invariante de sistemas no lineales, no locales y no Hamiltonianos, de tal forma que posteriormente se pueda reconstruir la linealidad, locacidad y canonicidad en ciertos espacios generalizados, dentro de las coordenadas fijadas por un observador inercial. Esta propuesta se basa esencialmente en la construcci´on de isotop´ıas (aplicaciones entre estructuras que conservan los axiomas b´asicos de ´estas) de todas las ramas matem´aticas que, basadas en una unidad trivial I= +1, son necesarias a la hora de trabajar con sistemas din´amicos interiores. Ejemplo: Estructura inicial: (E, ×). Isotop´ıa fundamental de Santilli: I= +1 →b I=b I(x, dx, d2x, t, v, µ, τ, ...) = T−I a→ba=a×b I × → b × ≡ ×T× a×b→bab ×b b=[ a×b Interpretaci´on f´ısica (Algoritmo): i) Se considera un sistema de part´ıculas inicial E, sometido a mgrados de libertad (τ1, ..., τm). ii) Se somete Eam+ngrados de libertad o par´ametros (τ1, ..., τm, τm+1, ..., τm+n) y obtenemos su espacio de fase. iii) Se proyecta el espacio de fase al correspondiente a los nprimeros grados de libertad. La construcci´on isot´opica de Santilli permite estudiar el sistema inicial Emediante dos tipos de observadores: 1) Un observador externo a Eque dispone de una unidad de medida Iy que distingue los m+n grados de libertad existentes. 2) Un observador interno a Eque dispone de una unidad de medida b I, que engloba los n´ultimos grados de libertad, distinguiendo ´unicamente los mprimeros par´ametros existentes. Aplicaci´on a SDI: Es necesario el uso de dos cantidades: 1. El Hamiltoniano Hpara la representaci´on de las fuerzas convencionales lineales, locales y potenciales: FSA. 2. La isounidad b Ipara la representaci´on de todos los efectos no lineales, no locales y no Hamiltonianos: FNSA. Aplicaci´on a corchetes de Poisson: [A, B]P oisson =∂A ∂aµωµν ∂B ∂aν=∂A ∂rk ∂B ∂pk −∂B ∂rk ∂A ∂pk . I= (Iσ ρ) = I2n×2n=diag2n(1, ..., 1). [A, B]P oisson =∂A ∂aµωµρIν ρ ∂B ∂aν.  [Ab,B] = ∂A ∂aµωµρ b Iν ρ(t, a, ˙a, ...)∂B ∂aν(Corchetes de Hamilton-Santilli (1988)). (Admisible de Lie, no asociativa) Ωµν =ωµρ b Iν ρ(t, a, ˙a, ...). b I=diag(b δn×n,b δn×n),b δ=b δ†, det b δ6= 0. [Ab,B] = ∂A ∂rib δij(t, r, p, ...)∂B ∂pj −∂B ∂rib δij(t, r, p, ...)∂A ∂pj . 4.1. Isoestructuras matem´aticas Isoespacios vectoriales: b Ves un b K-isoespacio vectorial si existe una aplicaci´on sobreyectiva (biyectiva para Moleai [5]) hV≡d π◦I:V→b V:v→bv, tal que el siguiente diagrama conmuta: K×V• −−−−−−−−−−−−−−−−−−→V (i×b I)×hV↓]↓hV b K×b Vb • −−−−−−−−−−−−−−−−−−→b V siendo: (i×b I)×hV(a) = a∗b I En definitiva: bab •b X=\ a•X 4.2. ´ Algebras de Lie-Santilli Definici´on Sea (b U,b ◦,b •,b·) una b K(ba, b +,b ×)-iso´algebra isoasociativa. Se denomina producto corchete de Lie-Santilli respecto a b·,y se representa por [., .]S,a la operaci´on producto conmutador en b Uasociado ab·, es decir, a la operaci´on definida seg´un: [ b X, b Y]S= ( b Xb·b Y)−(b Yb·b X),para todos b X, b Y∈b U. A la iso´algebra (b U,b ◦,b •,[., .]S) se le denomina entonces ´algebra de Lie-Santilli. Aplicaci´on: Fundamentos de la Mec´anica Hadr´onica (MH). ´ Algebra envolvente universal Ab A a·b, 1·a=a·1 = ab· ≡ ·T·ab·b I=b Ib·a=a PBW \ PBW A=<1, Xi, Xi·Xj, Xi·Xj·Xk, ... > b A=<b I, Xi, Xib·Xj, Xib·Xjb·Xk, ... > L≃A−: [a, b]A=a·b−b·ab L≃b A−: [a, b]b A=ab·b−bb·a [Xi, Xj] = Ck ijXk[Xi, Xj]b A=b Ck ijXk G:g(w) = expiwX A=b G:bg(w) = expiwX b A= = 1 + (iwX)/1! + (iwX)2/2!+... b I+ (iwX)/1! + (iwX)b 2/2!+... =\ expiwT X A Evoluci´on del tiempo de Heisenberg Q(t) = eiHt ×Q(0) ×e−itH ≈b Q(t) = eiHT t ×Q(0) ×e−itT H ≈ ≈ −i(Q×H−H×Q) = −i[Q, H]≈ −i(Q×T×H−H×T×Q) = −i[Q, H]b A Representaci´on de Schr¨odinger H×φ=E×φ(E∈R, H =H†)Hb ×φ=b Eb ×φ H=T(˙x) + V(t, x, ˙x) FSA =d dt ∂V ∂˙x −∂V ∂x . Ejemplo: Interacci´on entre dos part´ıculas con ecuaciones de ondas solapadas ψ(t, r), φ(t, r)(Animalu, 1991) b I=e−itK Rdvψ(t,r)φ(t,r) A(K∈R).