POR LA ARITMÉTICA
EN EOS PROBLEMAS
DE ESTERES COMPUESTO, ANUALIDADES, AMORTIZACION, ácc.;
e minado po una aplicación especial
del mismo mé odo ála ex inción de la
Deuda pública
,
po J.-B.Ju igny,
de la Sociedad Real Académica de Ciencias de Pa ís:
TRADUCIDO AL CASTELLANO
po D. José Be ez I e ás.
MADRID YMAYO, 18S3.
IMPRENTA ycalle del Amo de Dios, n.° 1-K
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ADVERTENCIA DEL TRADUCTOR.
MO O—
La aducción que ha hecho don Vic o iano de
Encima yPied a de la ob a de M . Henne sob e la
eo ía del C édi o Público, me sugi ió la idea de em-
p ende la del p esen e a ado, c eyendo que no de-
ja á de se ú il álas pe sonas que po su empleo ,ó
po el uso que hacen de sus capi ales ,se en en la
p ecisión de hace cálculos undados en la eo ía del
in e és compues o ,yque pod ia al ez es e opúscu-
lo se i de complemen o p ác ico ála ci ada ob a,
comp obando con los núme os, ínico lenguage de la
hacienda, los p incipios que se desen uel en en ella.
Ningún mé i o hay en es a aducción. Mi obje o
no ha sido o o que el de se ú il ámis compañe os y
ámis compa io as. Si consigo es e obje o he hecho
un bien. En el caso con a io no he pe dido sino el
abajo de algunas ho as.
Mad id 1.® de Feb e o de 1829.
(i )
PRÓLOGO.
El í ulo de es e opúsculo puede que pa ezca de-
masiado ambicioso; pe o con ieso ancamen e que
no le be escogido, sino po que me ha pa ecido se el
que p esen aba una idea mas exac a de su obje o. La
mayo pa e de los p oblemas sob e que e sa ,con-
side ados como de me a especula i a ,se hallan úni-
camen e en los a ados de Algeb a, como pe enecien-
es álas ma emá icas sublimes ,de modo que su solu-
ción no es á al alcance sino de un co o núme o de
geóme as
.
En el dia que se discu en en odas pa es cues-
iones de economía polí ica de la mayo impo ancia,
yque exigen conocimien os muy p o undos en eh a-
no de la amo ización :que se en mul iplica en Eu-
opa las on inas ,las cajas de aho os ,de supe i-
encia ,hipo eca ias ,las compañías de segu os so-
b e la ida de los homb es ,yen in an os es able-
cimien os de p e isión, cuyo obje o es admi i impo-
siciones de capi ales, óhace ope aciones, en las que
es indispensable el cálculo de los in e eses compues-
os yde las anualidades :es a clase de p oblemas es
de una u ilidad p ac ica.
Con es e obje o o ezco al público cua o ablas,
po cuyo medio la solución de es os p oblemas de-
pende de una mul iplicación, óde una di isión.....
La cons ucción de es as ablas es pu amen e mecam-
ea :su único mé i o consis e en el pa ido mas ome-
nos en ajoso que se puede saca de ellas ’?en aC*
idad yel mé odo con que es án edac adas
.
"aplicación especial que be becbo de cada una
de es as ablas en pa icula ,encie a en su conjun o
cuan as cues iones pueden p opone se sob e los
e eses compues os suponiendo odas las combina
^
dones posibles en las imposiciones: es o conduce a
las anualidades p opia éimp opiamen e llamadas asi,
yála amo ización de la deuda publica. El uso de
es as ablas suple álos conocimien os algeb aicos en
la solución de es os di e en es p oblemas, po compli-
cados que sean, yp opo ciona los mismos esul ados
po medio de unas sencillísimas eglas de p opo ción.
He ese ado pa a el in ,ácausa de su ex ema
di icul ad, la aplicación especial del mismo mé odo a
la ex inción de la deuda pública. Tal ez me culpa an
los ma emá icos de demasiado p olijo en es a pa e,
la mas escab osa de la ob a. ¿Pe o cómo e i a es e
de ec o cuando se a a de pone al alcance de pe so
ñas que apenas conocen los p ime os elemen os del
cálculo, las cues iones mas á duas del Algeb a, yso
b e odo cuando se a a de bace palpable su solu-
ción? La cua a abla debie a igualmen e p ecede a
la e ce a, pues o que debe áes a úl ima su cons uc-
ción 5pe o ácausa del mismo emba azo de posición
me be is o p ecisado áin e i su o den na u al.
( i)
Todos los cálculos comp endidos en el p esen e
a ado es án e ec uados sin el auxilio del Algeb a; así
los lec o es de odas clases pod án po es e medio,
comp oba su exac i ud.
ADVERTENCIA.
Los núme os colocados en e dos pa én esis indican los
a ículos en que se undan aquellos en que se ci an. Se á ne-
cesa io ol e los á e sino se iene p esen e la elación que
el p ime a ículo iene con el segundo.
EL ALGEBRA
*o& ml iwáma.
NOCIONES PRELIMINARES
ela i as al in e és compues o de los capi ales.
l.° Llámase in e és sencillo ósimple el in e és que no se
acumula con el capi al que le ha p oducido. Pe o cuando el
capi alis a en luga de e i a al in de cada año el in e és de
su capi al le une áés e con el obje o de hace le p oduci á
su ez o o in e és en el año siguien e, es o es, acumula el in-
e és con el capi al que le ha p oducido; en es e caso el capi-
alis a, po medio de es a acumulación de in e eses, pe cibe el
in e és del in e és, es deci , el in e és compues o (*}.
La solución de los p oblemas ela i os al in e és compues-
o yálas anualidades es á undada sob e la eo ía de las p o-
g esiones geomé icas yde los loga i mos, yexige conocimien-
os p o undos en el Algeb a ;conocimien os que pocas pe so-
nas poseen. No obs an e, es as cues iones si en de base, no
solo al ingeniosísimo sis ema de la amo ización , an poco co-
nocido en e noso os, sino ambién álas ope aciones de las
cajas de acumulación, yde o os a ios es ablecimien os de p e-
(*) Puede deci se en luga de es o ,que el capi alis a con ie e el
p oduc o de su capi al en el año an e io , en capi al pa a el año sig ien-
e; yen es e caso lo que ecibe es el in e és de su capi al p imi i o mas
el ín e es del capi al que ba ido acumulando po medio de sus abo os.
Aes e sis ema de economías, que no nos es del caso ,debe ia especie
bumana el aumen o de iqueza en odos los amos de la p oducción.
iNo a del T aduc o .)
(2). .
isión que se han o mado ymul iplicado en Eu opa de algún
iempo áes a pa e de un modo p odigioso. Es pues del ma-
yo in e és que el come cio en gene al, ylos empleados en la
adminis ación, an o supe io es como subal e nos, poco e -
sados en las ma emá icas, puedan adqui i los medios de e-
sol e p on a y ácilmen e unos p oblemas que in e esan en la
ac ualidad á odos los gobie nos yála inayc- pa e de sus
súbdi os.
Pa a consegui es e obje o hemos o mado unas ablas que
pueden supli bajo es e aspec o los conocimien os en el Alge-
b a, ycon el auxilio de las cuales se ob ienen los mismos e-
sul ados po medio de una simple egla de es.
Es as ablas son cua o: amos áindica sucesi amen e su
uso. La aplicación especial que hemos hecho de cada una en
pa icula ab aza en su conjun o el cí culo de odas las cues io-
nes ela i as álas ansacciones o dina ias en e los pa icula-
es, yála adminis ación económica del gobie no (*).
(*) Pa a la acilidad de los cálculos hemos conse ado áes as ablas
su o ma decimal, así no se e en ellas sino eales ellón ,y acciones
decimales del eal de eiion ;pe o como en la p ác ica se desea á sabe
ios ma a edís que pueden ep esen a es as acciones decimales, a-
mos áexplica el modo de e alua las.
La e aluación de las acciones decimales , undada en el mismo
p incipio que Ja de las acciones o dina ias, es an o mas ácil cuan-
o que su di isión po el denominado , es po deci lo así, iluso ia, pues-
o que no consis e smo en la colocación de la í gula.
Así si se nos p egun a cuán os ma a edís alen o, 78 del eal de e-
dou, como el eal de ellón ale 34 ma a edís, mul iplico 0,78 po
84 ydi ido su p oduc o 2662 po 100, lo que se educe ásepa a
po medio de la í gula los dos gua ismos de la de echa ,yde es e
modo conozco que 0,78 de eal ellón alen 26 ma a edís^ 0,52- de
ma a edí.
£1 mismo p incipio si e de base pa a educi los ma a edís á ae-
c on decimal del eal de ellón. Si aho a quisié amos ep esen a en
acción decimal del eal de ellón 26,52 ma a edís, mul iplica íamos
es a can idad po 100, lo que se educe áho a la í gula, ysu p o-
duc o 2602 di idido po 34 nos da ía áconoce que 0^78 de eal de
ellón equi alen á26,52 ma a edís. (No a del T aduc o .)
(3)
Uso de la p ime a abla, ela i a áuna sola imposición e ec-
uada una sola ez.
*2. Es a abla mani ies a el ac ecen amien o p og esi o, des-
de 1has a 50 años, de un capi al de 1,000 eales, cuyos in-
e eses, á2,3,4, 5y6po 100 al año se hubiesen ido acu-
mulando.
En odos los p oblemas de in e és compues o hay necesa-
iamen e cua o elemen os cons i u i os :el capi al p imi i o,
la asa del in e és, el iempo que du a la imposición, yel ca-
pi al ob enido en úl imo esul ado. Siemp e que se conozcan
es de es os cua o elemen os, se á muy ácil de e mina el
cua o po medio de la abla p ime a; con al que la asa del
in e és es é comp endida en dicha abla. Es o da luga ácua-
o cues iones dis in as que se esuel en en los ejemplos siguien-
es: i.°, 3.°, 5.° y7.°; po que los ejemplos 2.°, 4.°, 6.° y8.° no
son sino una epe ición de aquellos.
EJEMPLO l.°
¿A cuán o ascende á al cabo de 14 años un capi al de
25,000 eales impues o al in e és compues o de 5po 100
al año?
Empiezo po busca en la abla p ime a yen la columna
del 5po 100 la can idad co espondien e á14 años, yhallo
que es a can idad es 1,979 s. 93 cen ., en seguida digo: si un
capi al p imi i o de 1,000 s., del cual se han acumulado los
in e eses á azón de 100 aí año, asciende al cabo de 14 años á
1,979 s. 93 cen .; ¿á cuán o ascende á al cabo del mismo
iempo un capi al- p imi i o de 25,000 s.? Es e aciocinio con-
duce ála p opo ción siguien e:
1,000 s. :1,979 s. 93 cen . ::25,000 s. :x,
cuyo cua o é mino ,49,498 s. 25 cen ., sa is ace ála cues-
ión.
(10 )
po ción su in e és sencillo du an e la acción de año;po
lo demas la ope ación es absolu amen e la misma. (Véase el
ejemplo 4.°).
5.
°Dados el capi al p imi i o ,el capi al ob enido óque
se desea ob ene ,yla asa del in e és ,pa a sabe el núme-
o de años que el capi al p imi i o ha es ado ódebe es a
impues o,es ablézcase una p opo ción cuyos é minos sean:
el p ime o el capi al p imi i o ;el segundo el capi al ob e-
nido;el e ce o la can idad 1,000; el cua o é mino se á
una can idad que es necesa io busca en la columna del in-
e és dado;yel núme o de años áque co esponda se i á
de espues a ála cues ión. (Véase el 5.° ejemplo).
Cuando la can idad que o ece es e cua o é mino no se
halla en la columna del in e és, es p ueba que la imposición
ha du ado un núme o acciona io de años;en es e caso se
ope a á como en el ejemplo 6.°
6.
°Dados el capi al p imi i o, el capi al ob enido óque
se desea ob ene ,yel iempo que ha du ado ódebe du a la
imposición pa a conoce la asa del in e és, es ablézcase una
p opo ción cuyos é minos sean: p ime o el capi al p imi i-
o; segundo el capi al ob enido ; e ce o la can idad 1,000;
después de ob enido el cua o é mino búsquese en la abla y
en la linea de los años dados una can idad que sea igual: la
columna del in e és en donde se halle indica á cual es el
in e és pedido. (Véase el ejemplo 7.°).
Cuando el núme o de años que ha du ado la imposición
es un núme o acciona io ,el cua o é mino de la p opo -
ción no puede halla se en la abla; en es e caso la ope ación
se con inúa como en el ejemplo 8.°
7.
°Guando la elación del ac ecen amien o del capi al se
de e mina de un modo abs ac o, la ope ación se ejecu a á co-
mo en los dos ejemplos siguien es.
EJEMPLO 9.°
¿En cuán o iempo se duplica á un capi al impues o al in-
e és compues o de 5po 100 al año?
Pa a que un capi al se duplique es necesa io que 1,000
s. p oduzcan 2,000 s. Po consiguien e busco (T. 1.a
)en la
columna del 5po 100 es a úl ima can idad que no se en-
cuen a ;pe o como es in e media en e 1,979 s. 93 cen , y
2,078 s. 93 cen . que espec i amen e co esponden á14 y
á15 años, es p ueba que solos 14 años es un e mino muy
co o pa a que un capi al se duplique al cabo de es e iempo,
yque se necesi a ademas una po ción opa e de año; po es-
a azón, con inuando la ope ación absolu amen e como en el
ejemplo 6.°, omo:
i/ La di e encia 99 s. en e 1,979 s. 93 cen , y2,0/ 8 s.
93 cen .
2.° La di e encia 20 s. 07 cen , en e 1,979 s. 93 cen ,
y2,000 s., yes ablezco en seguida la p opo ción siguien e:
99 s. :20 s. 07 cen . ::365 dias :x,
cuyo cua o é mino 74 dias ó2meses y14 dias comple a la
solución del p oblema. En e ec o, añadiéndoles áles 14 anos,
el o al 14 años, 2meses y14 dias es el iempo necesa io pa-
a que se duplique un capi al impues o al in e és compues-
o de 5po 100 al año.
EJEMPLO 10.
¿Cuán o iempo se necesi a á pa a que un capi al sea aos
eces ymedia mayo que la imposición capi alizando los
in e eses al 5po 100 al año?
Pa a que una can idad sea des eces ymedia mayo es ne-
cesa io que 1,000 s. p oduzcan 2,500 s. ,es o es, 1,000 s.
mul iplicados po 21/2. Po consiguien e busco es a can idad
(T. 1.a
)en la columna del 5po 100 ;pe o como no se halla,
yque al mismo iempo es in e media en e 2,406 s. 62 cen ,
y2,526 s. 95 cen , co espondien es espec i emen e á18 y
á19 años, ope ando absolu amen e como en el ejemplo p e-
ceden e, halla é la po ción de año que se ha de añadi álos
18 años en el cua o é mino de la p opo ción siguien e:
120 s. 33 cen . :93 s. 38 cen . ::365 dias :x,
que es 283 dias, ósea 9meses, 13 dias: luego se necesi an 18
años, 9meses y13 dias pa a que un capi al impues o al m-
(12) _
e es co no ies o de 5po 100 al ano sea dos eces ymedia
mayo .
•8° En esúmen, conociendo la asa del in e és de la im-
posición pa a sabe el iempo necesa io pa a que un capi al
aumen e en una elación dada,mul ipliqúese po es a ela-
ción 1,000 s. ;búsquese el p oduc o de es a mul iplicación
en la columna de la asa indicada,yel núme o de años dque
co esponda se i á d.e espues a ála cues ión. Cuando el
p oduc o no se halle exac amen e en la abla, se ope a á co-
mo en los dos ejemplos p eceden es.
q.°Ad ié ase que aunque la Tabla p ime a no es a calculada sino
pa a 5o años, los elemen os de s i o mación la hacen suscep ible de e-
cibi una ex ensión inde inida po medio del p incipio siguien e :
io. Pa a sabe el ac ecen amien o de i,ooo s. al cabo de un nu-
me o de años supe io á5o,mul ipliqúense uno po o o dos é mi-
nos de la Tabla p ime a en la columna del in e és dado, cuya suma
de años sea igual al núme o de años pedido ,ydi ídase es e p oduc-
o po 1000.
Así pa a conoce el ac ecen amien o de ,ooo s. al cabo de 70 anos
a'¡ in e és compues o de 3po soo, puedo indis in amen e oma las
can idades co espondien es á3oy4°años, á20 yá5oanos ,á25
y45 años ^c.; mul iplicándolas en e sí ydi idiendo su p oduc o po
1,000, halla é siemp e po esul ado los mismos 7,9*7 s -^1ccn -
Es e mé odo es á undado sob e cie as p opiedades de las p og e-
siones geomé icas que si en de p incipio undamen al al cálculo oe
los loga i mos.
EJEMPLO 11.
¿Acuán o ascende án al cabo de 70 años 4i°°° s impues os al in
e és compues o de 3po 100 al año ?
Tomo en la columna del 3po 100 las can idades 1,806 s. 1
1
cen .,
4,383 s. yi cen ., co espondien es espec i amen e á20 yá5o
años; las mul iplico una po o a, ydi idiendo su p oduc o po s,ooo
esul a po cuocien e 7,9 17 s. 81 cen ,, los que hubie a hallado en la
abla si su cálculo se hubiese con inuada has a 70 anos. P osiguiendo la
ope ación según es á p esc i o (3)hallo 31,671 s. 24 cen , po espues-
a ála cues ión. EJEMPLO 12.
jíl cabo de cie o iempo se han ecibido 31.671 s. 2.4 cen , po
una can idad de 4,000 s impues a al in e és compues o de 3po
íooal año,, ¿cuán o iempo ha du ado la imposición ?
En p ime ¡luga busco como en el 5.° ejemplo el alo p opo cio-
(13)
nal de iooo s. al cabo del mismo iempo que el que cons i uye el
obje o dé la cues ión po medio de la p ooo con siguien e:
4,000 s. :31,671 s. 2^cen . ::1,000 s. :5.
,
•sí
C s OI cen , co espondien e á5oanos ,es p ue-
i™ i«50 7*. .,«¡ «1 ~
d° u'uMp' acipio es ablecido (,.) ,«« s! di idios ,.9.7 s.
Resu. a del P'“ Vjcabo de los años igno ados), po
i3^( S°¿s: dé :'o
c
oo «. aicabo de 5§
o.=0.), yque
íé Suida
9mul ipliquemos es e cuocien e po 1,000 ,debe emos ha-
lla Ta
8can i^d que ha se ido de mul iplicado ,yque po consúmen-
e co esponde a
9núme o de años que es necesano añadi a5o pa a
sabe el n íme o de años desconocido al que co esponden los 7,9.7 s.
81 E ec uándola di isión de 7,917 s- 8. cen . I** 4,383^91ce“l-
ymul iplicando su cuocien e po ., 000 ,olo q m es lo msmo yms
Loc l/,
,
P
-° »483
i
3¿!m pó 'i'íio! baEbpo^ aSn» liáis
po 100. Luego es necesa io añadi 20 anos a 5o anos, yel o 7.
«noc «¡p á el dlime o de inos pedido.
Es os dos ejemplos úl imos se si en ecíp ocamen e de p ueba.
11 Los in e eses de in e eses ,óde o o modo ,los in e-
eses compues os nos lle an na u almen e áhabla de las anua-
lidades. Pe o an es de en a en es as nue as cues iones no
podemos menos de hace ad e i la inmensa in luencia de in-
e és compues o. En e ec o ,un capi al impues o bajo es a base
al 5po 100 al año duplica en 14 anos y/4 días; cua nph-
ca al o mas al cabo de 29 anos; al cabo de 100 anos es
131 1/2 eces mayo , y2millones de eces mas conside able
en menos de es siglos. Un ac ecen amien o an p odigioso ha
dado la idea de se i se de él pa a la amo ización de la deu-
da pública. .„
Aho a, si en luga de capi aliza los in e eses odos los anos,
se capi alizasen cada seis meses como lo e ec úan algunos es a-
blecimien os de p e isión, ócada es meses como lo hacen los
bancos; considé ese cuál se ía en onces la apidez del ac ecen-
amien o de los capi ales.
(14)
DE LAS ANUALIDADES PROPIAMENTE LLAMADAS ASÍ.
12. Las cues iones ela i as álas anualidades son el in e -
so de los p oblemas áque dan luga los in e eses compues os.
En las anualidades, es el deudo que se desempeña de una deu-
da yde sus in e eses en pagos iguales, hechos en épocas igual-
men e dis an es, yque oman el nomb e de anualidad po que
el in e alo en e cada pago es un año.
Uso de la abla, segunda.
13. Es a abla indica la anualidad á ecibi óápaga al in
de cada año du an e un cie o núme o de años consecu i os,
desde 1año has a 50 ,pa a ex ingui un p és amo óun em-
p és i o de 1,000 s. con los in e eses compues os á2, 3, 4, 5
y6po 100 al año.
En odos los p oblemas de es a especie, como en los p e-
ceden es, en an necesa iamen e cua o elemen os cons i u i os,
ásabe : el capi al p es ado, la asa del in e és, la cuo a yel
núme o de anualidades. Siemp e que se conozcan es de es os
cua o elemen os, se á muy ácil de e mina el cua o po me-
dio de la Tabla segunda ,no solo espec o álas asas de in e-
és que en ella se mencionan, sino ambién espec o álas asas
in e medias. Los ejemplos siguien es an ácomp oba es e
ase o. EJEMPLO 13.
Halla que can idad es menes e paga anualmen e pa a
ex ingui en 12 años una deuda de 48,000 s. con sus in-
e eses du an e es e iempo d azón de 5po 100 al año.
Empiezo po busca (T. 2.a
)en la columna de los años el
núme o 12; sigo la línea ho izon al has a la columna del 5po
100 ,en donde hallo 112 s. 83 cen ., después digo :si pa a ex-
ingui una deuda de 1,000 s. con a ada á5po 100, es
necesa io paga du an e 12 años consecu i os una anualidad
de 112 s. 83 cen ., ¿qué anualidad se á menes e paga du-
an e el mismo iempo pa a ex ingui una deuda de 48,000 s. ?
Raciocinio que conduce ála p opo ción siguien e
:
(15)
1.000 s. :112 s. 83 cen . : : 48,000 s. :x,
cuyo cua o é mino, 5,415 s. 84 cen ., sa is ace ála cues-
ión. EJEMPLO 14.
Es ando el in e és á5po 100, ¿qué deuda se pod á ex-
ingui con sus in e eses en 12 años ,pagando anualmen e
una can idad de 5,415 s. 84 cen .?
Busco en p ime luga con qué anualidad se ex ingue en
12 años una deuda de 1,000 s.
á
es e e ec o busco (T. 2.a)
en la columna del 5po 100 la can idad co espondien e a12
años, yhallo que es 112 s. 83 cen ., en seguida digo: si pa-
gando una anualidad de 112 s. 83 cen , du an e 12 años con-
secu i os, se ex ingue una deuda de 1,000 s. á5po 100,
¿qué deuda se ex ingui á ádicho in e és pagando du an e el
mismo iempo una anualidad de 5,415 s. 84 cen .? Es ablez-
co pues la p opo ción siguien e:
112 s. 83 cen . :1,000 s. ::5,415 s. 84 cen . :x,
cuyo cua o é mino, 48,000 s., sa is ace ála cues ión.
EJEMPLO 15.
Se ha ex inguido una deuda de 48,000 s. con sus in e eses
á5po 100, con anualidades de 5,415 s. 84 cen ., ¿cuán-
os años se ha es ado pagando dicha anualidad ?
Busco en p ime luga con qué anualidad se ex ingui ía
una deuda de 1,000 s. con sus in e eses, pagando es a anua-
lidad du an e el mismo iempo que el que cons i uye el obje-
o de la cues ión, yáes e e ec o digo: si se ex ingue una deu-
da de 48,000 s. con a ada á5po 100 pagando du an e
cie o iempo una anualidad de 5,415 s. 84 cen ., ¿qué anua-
lidad es menes e paga pa a ex ingui en el mismo iempo
una deuda de 1,000 s.? Po consiguien e es ablezco la p o-
po ción que sigue
:
48.000 s. :5,415 s. 84 cen . ::1,000 s. :x,
cuyo cua o é mino es 112 s. 83 cen . En seguida busco
(í6)
(T. 2.a
)en la columna del 5po 100 es a can idad ,ycomo
se halla que co esponde á12 años, concluyo que la anuali-
dad p opues a ha sido pagada du an e 12 años.
EJEMPLO 16.
Se ha ex inguido una deuda de 43.000 s. con sus in e eses
con 12 anualidades de 5,415 s. 84 cen , cada una, ¿cuál
e a la asa de la amo ización?
La ope ación a i mé ica es absolu amen e la misma que en
el ejemplo p eceden e, con la di e encia que después de habe
hallado po cua o é mino de la p opo ción indicada 112 s.
83 cen .-, busco en la (T. 2.a)línea de los 12 años es a can idad,
ycomo la hallo en la columna del 5po 100, concluyo que
la asa p egun ada es 5po 100 al año.
Cuando se a a de anualidades no en an nunca accio-
nes de año en la p ác ica o dina ia.
Reasumiendo los cua o ejemplos p eceden es que se si en
ecíp ocamen e de p ueba, se deducen las eglas gene ales si-
guien es ela i as al uso de la Tabla segunda.
14. Pa a sabe qué anualidad se debe paga pa a ex in-
gui una deuda con sus in e eses en un iempo de e minado,
es ablézcase una egla de es que enga: po p ime é mi-
no 1,000 ;po segundo é mino la can idad co espondien e
álos años dados en la columna de la asa del in e és enun-
ciado ;ypo e ce é mino el ca.pi al p opues o;el cua o
é mino se á la anualidad p egun ada. (Véase el ejem-
plo 13).
15. Conociendo la asa del in e és, la anualidad yel iem-
po que es a se ha pagado, pa a conoce la deuda que se ha
ex inguido, es menes e es ablece una p opo ción cuyos é -
minos sean: el p ime o la can idad co espondien e en la co-
lumna del in e és indicado al núme o de años dado; el se-
gundo 1,000; yel e ce o la anualidad pagada-, el cua o
é mino se i á de espues a ála cues ión. (Véase el ejem-
plo 14).
16. Conociendo la deuda ex inguida, la asa del in e és y
la anualidad pagada ,pa a de e mina el iempo que se ha
es ado pagando, es menes e o ma una p opo ción que en•
«»>
PC po p ime é mino la deuda ex inguida ;po
Júna la anualidad pagada ;ypo e ce e mino 1,000.
Se busca á en seguida la can idad que o ezca el cua o e -
mino en la columna del in e és enunciado ,y el nume o de
anos áquei co esponda se i á de espues a ala cues ión.
Conociendo la deuda ex inguida ,la anualidad yel
núme o de años que se ha es ado pagando, pa a de e™-
na la osa de la amo ización ,esmenes e «sía& ece ¿'anas-,
na p opo ción que la que se p esc ibe en la ^«"¿e w
después de ob enido el cua o é mmo se busca a en la linea
de los años dados, yla asa de la columna en que se halle
se á el in e és p egun ado. (Véase el ejemplo loj- ,
18 La cons ucción de es a Tabla segunda, es an o masco-
moda pa a la p ác ica ,cuan o que si e en cie os casos a e-
sol e di ec amen e p oblemas ,en los cuales el ana isu
exac o no p oduci ía sino esul ados: ap oximamos En e ec o
el Maeb a no ha suminis ado has a aho a un mé odo exac o
ydi ec o pa a la solución del ejemplo 16. Pudie a saca se de
¿s a abla, po medio de algún a i icio, el mas ex enso pa ido
pe o limi a emos la nue a aplicación que amos ahace
dos p oblemas siguien es que son de una u ilidad p ac ica.
EJEMPLO 17.
Una pe sona quie e desempeña se de una deuda de 24,000
s.con sus"in e eses á3po 100 con anualidades de
3,100 s. cada una, óálo menos de la can idad mas
ap oximada, ¿cuán os años necesi a á?
Tomando siemp e 1,000 po é mino de compa ación,
busco en p ime luga la anualidad p opo cional que sena ne-
cesa io paga pa a ex ingui es a can idad en el mismo iem-
po que el que cons i uye el obje o de la cues ión, yaes e e ec-
o digo :si se ex ingue una deuda de 24,000 s. a3po 100
al año con una anualidad de 3,100 s., pagada du an e cie -
o iempo, ¿con qué anualidad se ex ingui á una deuda ele
1,000 s.? Es ablezco pues la p opo ción siguien e:
24,000 s. :3,100 s. :•. 1,000 s? :x, .
3
(ÍS)
cuyo cua o é mino es 129 eales 16 cen . En seguida busco
(T. 2.a
)en la columna del 3po 100 es a can idad; pe o co-
mo no se halla en ella , esul a que no se puede ex ingui una
deuda de 1,000 s. con sus in e eses, con anualidades de 129 s.
16 cen ., ni po consiguien e una deuda de 24,000 s. con anua-
lidades de 3,100 s. al jus o. (*). '
Po es a azón, en luga de 129 s. 16 cen ., busco en la
misma columna del 3po 100 la can idad mas ap oximada;
es a es 128 s. 43 cen ., anualidad mas pequeña yque co es-
ponde á9años. Es pues necesa io disminui la anualidad in-
dicada 3,100 s. ,p ecisamen e en la misma p opo ción, yes-
o se e i ica po medio de la siguien e egla de es
:
129 s. 16 cen . :128 s. 43 cen . ::3,100 s. :x,
cuyo cua o é mino 3,082 s. 48 cen , comple a la solución
de la cues ión, éindica que es la anualidad mas ap oximada
posible de 3,100 s. (la que es imp ac icable), yque es ne-
cesa io paga la du an e 9años.
EJEMPLO 18.
Una pe sona quie e desempeña se de una deuda de 18,000
s. con sus in e eses á4po 100 ,pagando anualmen e 7
po 100 del capi al, ódio menos la can idad mas ap oxi-
mada posible des a cuo a, ¿cuán os años necesi a á?
Como 7po 100 son 70 s. sob e un capi al de 1,000 s.,
que es siemp e nues o é mino in a iable de compa ación,
busco 70 s. (T. 2.a
)en la columna del 4po 100, ycomo es-
a can idad no se halla en ella ,es p ueba que no se puede ex-
ingui una deuda de 1,000 s. con sus in e eses á4po 100,
ni po consiguien e de ninguna o a can idad ,pagando anual-
men e 7po 100 jus o del capi al ,sin descende álo menos
á acciones de año en e amen e inusi adas en la p ác ica o -
dina ia.
Po es a azón, en luga de 70 s., busco en la misma co-
lumna del 4po 100 la anualidad que mas se le ap oxima; es-
(*) Es necesa io en ende aquí la palab a anualidad en su mas igo-
osa acepción, yexclui oda especie de acción de año.
(19 )
a es 69 s. 20 cen , co espondien e á22 años. Se ex ingui á
pues una deuda de 1,000 s. con sus in e eses á4,po 100, ó
de cualquie a o a can idad pagando anualmen e 69 s. 20 cen ,
po 1,000, ó 6 s. 92 cen , po 100 del capi al du an e 22
años; siendo es a anualidad la que mas se ap oxima de la p o-
pues a 7po 100, la que es imp ac icable. Po consiguien e la
anualidad que en es e caso se paga ía es 1,245 s. 60 cen . ,en
luga de 1,260 s. EJEMPLO 19.
Una compañía ha ob enido la concesión de un canal ,cuya
cons ucción debe cos a 56 millones ;debiendo pe cibi
el usu uc o du an e 60 años, quisie a es a compañía con-
sag a un ondo anual de 51/2 po 100 del capi al pa-
a su amo ización ;se p egun a, ¿cuán os años necesi a á
suponiendo el in e és á5po 100 al año?
Como 51/2 po 100 es lo mismo que 55 s. sob e un ca-
pi al de 1,000 s. , é mino in a iable de compa ación ,busco
es a can idad (T. 2.a)en la columna del 5po 100, ycomo
no se halla en ella ,es p ueba que no es ac ible ex ingui una
deuda de 1,000 s., ni po consiguien e de ninguna o a can-
idad con anualidades de 5po 100 al jus o del capi al. Po
es a azón, en luga de 55 s., omo la can idad de 55 s. 04
cen , co espondien es á49 años.
Se ex ingui á pues una deuda de 1,000 s. ,ypo consi-
guien e una deuda de 56 millones pagando anualmen e 5 s.
504 milésimos po 100 del capi al du an e 49 años consecu-
i os, iempo pedido en la cues ión ac ual; lo que dá pa a la
anualidad ela i a álos 56 millones 3.082,240 s. que se á
necesa io paga du an e dicho iempo. Es a anualidad, la mas
ap oximada posible de la pedida ,51/2 po 100, que es im-
p ac icable, no di ie e de la p opues a sino de 1/1375 po 100.
19. Aunque la Tabla segunda no indica como la p ime a, sino las
(asas de 2á6po 100 sin acciones ,puede no obs an e se i , po
medio de algún a i icio ,a' p ocu a esul ados bas an e ap oximados en
la p ác ica o dina ia ,pa a odas las asas in e medias en e 2j6po
ioo jde lo que se puede juzga po los dos ejemplos siguien es.
(26)
EJEMPLO 27.
Se quie e ob ene una can idad de 19,200 s. ,pagando
anualmen e 41/2 po 100 de dicho capi al, ódlo menos
la cuo a mas ap oximada posible á41/2, ¿cuán os años
se necesi a án, suponiendo el in e és á4po 100 al año?
Siendo la ope ación a i mé ica absolu amen e la misma que
la del ejemplo 18, nos limi a emos áindica la.
41/2 po 100 hacen 45 s. sob e 1,000 s. No hallándo-?
se lacan idad de 45 s. en la (T. 3.a
)columna del 4po 100,
omo Ja mas ap oximada ,44 s. 06 cen ., co espondien e á16
años ; iempo du an e el que se á necesa io paga 4 s. 406 mi-
lésimos po 100 en luga de 4 s. 50 cen .; es o es, que se de-
be á paga du an e 16 años una can idad anual de 845 s.
95 cen , en luga de 864 s., median e áque es á úl ima cuo a
es imposible.
26. Es a abla puede se i áindica de un modo gene al
el an o po 100 de un capi al cualquie a, que se debe á pa-
ga el p ime día de cada año ,áin e és compues o de 2,3,
4,5 y6po 100 al año, pa a ene de echo áes e mismo
capi al al cabo de un iempo dado.
Así si se a a de un p oblema de es a clase, aplicado al in-
e és de 5po 100 yáun in e alo de 20 años; busco en la co-
lumna del 5po 100 (T. 3.a)la can idad co espondien e á
20 años, yhabiendo hallado 28 s. 80 cen ., omo el 1/10,
yel esul ado 2 s. 88 cen , sa is ace ála cues ión.
La azón de es e modo de ope a se explica en cie o mo-
do po ella misma. En e ec o, la Tabla e ce a indica la cuo-
a po 1,000 de un capi al cualquie a que se ha de paga el
p ime dia de cada año ,pa a ob ene es e mismo capi al al
cabo de un iempo dado; en la cues ión p esen e solo se pide
la cuo a po 100 de es e capi al; es o es, una cuo a 10 eces
mas pequeña. El p ime esul ado es pues 10 eces mayo ;
azón po la que es menes e ,como lo hemos hecho ,di idi -
le po 10.
27. La obse ación que hemos hecho al in del ejemplo
19, ela i a ála Tabla segunda, es ex ensi a ála e ce a. Así,
aunque es a no indique, como las dos p eceden es, sino las
(27) .
asa* de 2á6po 100 sin acciones, puede no obs an e
se i , po medio de algún a i icio, áp opo ciona esul ados
su icien emen e ap oximados en la p ác ica o dina ia, pa a Jas
asas in e medias en e 2y6, como se pod á juzga po los
dos ejemplos siguien es.
EJEMPLO 28.
;Qué cuo a se á necesa io paga en el p ime dia de cada año ,pa a
pe cibi al cabo de io años 34,ooo w. al in e es compues o de 4
i/i po icio al añal
La asa dada, siendo in e media en e 475,busco áes e e ec o
(T. 3."), cuál se ía la cuo a que se paga ía anualmen e du an e io anos
consecu i os, pa a ob ene i,ooo s. áes as dos asas ,ybailo 8o s.
09 cen , y s. 72 cen ., co espondien es espec i amen e a4y5
po 100. En seguida omo:
1.° La di e encia 4 s. 37 cen , en e es as dos cuo as anuales :
2.0La di e encia 1/2 en e 41/2, asa pedida y4 asa de compa-
ación la mas baja ;en seguida bago es a egla de es :_
Si po iunidad de di e encia en e las asas 4y5po 100 al ano
se ienen 4 s. 37cen , de di e encia en e las cuo as ápaga anual-
men e ela i as áes as dos asas ,
.Oué di e encia se end á en e las mismas cuo as anuales po 1/2,
di e encia en e la asa pedida y4po 100? Busco pues el cua o e -
mino de una p opo ción cuyos es p ime os uesen
:
1:4 s*37 cen . ::1/2 :
es e cua o é mino es 2 s. 18 cen . Pe o en luga de aSadi es os 2 s.
18 cen , (di e encia ela i a á1/2 po 100) á80 s. 09 cen ., (cuo a
anual ela i a á4po 100) los sus aigo al con a io, pues o que Ja
cuo a que se ha de paga debe se an o meno cuan o que el ín e es
ela i o es mayo : es a sus acción hecha deja po es o 77 s. 91 cen .,
que no excede sino de 4cen , el esul ado igo oso que se hubie a ob-
enido si la Tabla se hubiese calculado pa a la asa de 41/2 po 10a. (*).
En es e caso la cues ión queda ya educida áuna o almen e igual
ála del ejemplo 22 ,yope ando del mismo modo ycon o me al p in-
cipio es ablecido (21), hallo 2,648 s. 92 cen , po espues a á la
cues ión. ...
Es e iden e que es e esal ado no puede se de una exac i ud igo-
osa ,pues o que la hemos deducido de un da o que no lo e a. Pe o
no di ie e del esul ado igo oso 2,647 s. 56 cen . ,sino de 1 eal 36
(*) Ope ando como acabamos de hace ,se ob end á un esul ado
ap oxima i o que no di e i á del esul ado exac o sino de 1a10 cen .,
aun e 5o anos, cuan as eces sea cues ión délas asas 21/2 ,
3
1/2,
41/2 y51/2 po 100.
(28)
cen . ,di e encia de poca impo ancia con espec o ála can idad de que
se a a.
EJEMPLO 29.
Al cabo de cie o iempo se ha pe cibido un capi al de 34,00 0
s., p o enien es de una imposición anual de 2,647 s.
56 cen ., ¿cuál e a la lasa del in e és?
En p ime luga digo: si se ob iene un capi al de 34,000
s., pagando el p ime dia de cada año ydu an e 10 años con-
secu i os 2,647 s. 56 cen ., ¿qué can idad hab á de paga se
pa a ob ene 1,000 s. al cabo del mismo iempo? Es ablezco
po consiguien e es a p opo ción:
34,000 s. :2,647 s. 56 cen . ::1,000 s. :x,
cuyo cua o é mino es 77 s. 87 cen . En seguida eco ien-
do (T. 3.a
)la línea de los 10 años, hallo que es a can idad es
in e media en e 80 s. 09 cen , y75 s. 72 cen . ,co espon-
dien es espec i amen e á4yá5po 100, p ueba de que la
asa pedida es á en e es as dos. Po es a azón omo
:
1.
°La di e encia 4 s. 37 cen , en e 80 s. 09 cen , y75
s. 72 cen .:
2.
°La di e encia 2 s. 22 cen , en e 80 s. 09 cen , y77
s. 87 cen .
En seguida hago es a egla de es :si 4 s. 37 cen , (di e-
encia en e 80 s. 09 cene, y75 s. 72 cen ., cuo as anuales
espec i as á4y5po 100),
Co esponden á1unidad de di e encia en e es as dos a-
sas de in e és,
¿Aqué di e encia de asa de in e és deben co esponde
2 s. 22 cen , (di e encia en e 80 s. 09 cen , y77 s. 87 cen .,
cuo as anuales espec i as á4po 100 yal in e és p egun a-
do)? Es ablezco pues la p opo ción siguien e:
4 s. 37 cen . :1 eal ::2 s. 22 cen . :x,
cuyo cua o é mino, 50 cen ., añadido á4 s.,dá po o al y
espues a ála cues ión, 41/2 po 100.
Vamos áexplica ac ualmen e el uso de la cua a Tabla,
que hemos ese ado pa a la úl ima, ápesa de no se , bajo
cie o aspec o, sino un suplemen o de la p ime a, yademas de
(»)
habe se ido ála o mación de la e ce a; pe o hemos consi-
de ado ú il gua da es e o den en nues o abajo, po que los
p oblemas que nos quedan que esol e son mucho mas di í-
ciles ycomplicados que los p eceden es.
Uso de la Tabla cua a , ela i a dimposiciones anuales su-
cesi as de una misma can idad óde can idades di e en es.
28. Es a abla si e pa a esol e uno de los p oblemas mas
complicados que se puedan p opone sob e los in e eses com-
pues os; es e es aquel en que se supone que el p es amis a p es-
a cada año una can idad di e en e de la del p ime año, can-
idad que añade consecu i amen e al capi al du an e un nú-
me o de años cualquie a, siemp e que no exceda á50 años,
yque se desea sabe ácuan o ascienden, olo que es lo mismo,
qué capi al componen al cabo del úl imo año odas es as can-
idades con la acumulación de sus in e eses.
He omado la idea de es a Tabla de Pa isso ,sabio geó-
me a ,a eba ado p ema u amen e álas ciencias que ado na-
ba con su ele ado genio. He hecho en ella algunas modi ica-
ciones: he sup imido en p ime luga los dos é minos de la
suya, co espondien es áce o años, po que me pa eció ex a-
ño e en el segundo año un ac ecen amien o de es mil y
an os eales; en el e ce año un ac ecen amien o o al de cua-
o mil y an os eales, yasí sucesi amen e; singula idad que
p o enia de que Pa isso suponía que la imposición del capi-
al adicional se e ec uaba el 31 de diciemb e de cada año al
mismo iempo que el descuen o de los in e eses; no solo es o
no es igo osamen e exac o ,sino que lle a el incon enien e de
p esen a al in de cada año un ac ecen amien o óp oduc o
o al, aumen ado de la úl ima imposición que no es sino ac-
icia. Po el con a io, yo supongo, según el uso es ablecido,
que las imposiciones se e ec úan siemp e en l.° de ene o de ca-
da año ,después del descuen o de los in e eses.
La Tabla de Pa isso es á calculada pa a 100,000 s., yno
se ex iende sino has a 10 años. He ala gado la mia has a 50 años,
adecuándola áuna can idad de 1,000 s. ,á in de es ablece
cie a uni o midad en las de es e a ado. Pa isso no ha hecho
blica ;es o me ha obligado áañadi una columna mas con el
í ulo de ac ecen amien o o al de los capi ales.
Veamos p ime amen e la explicación que dá Pa isso de
es a Tabla.
«Se en, dice, dos líneas de núme os que co esponden á
»cada núme o de años. La p ime a línea se e ie e al capi al
»p imi i o éindica su ac ecen amien o ;la segunda se e ie e
ȇlos capi ales adicionales ydemues an su aumen o. Es a Ta-
»> bla no exige mucho cálculo pa a su cons ucción ,po que no
»es, po deci lo así, sino una copia de la Tabla p ime a. En
»e ec o ,las can idades co espondien es al capi al p imi i o
»son absolu amen e las mismas que en la Tabla p ime a. En
»cuan o álas can idades que co esponden álos capi ales adi-
»dónales, ambién es án sacadas de aquella abla, yob enidos
»po medio de simples adiciones; es o es, sumando an os é -
»minos de la Tabla p ime a desde el p ime o ,cuan os sean
»los años co espondien es ála can idad que se desee ob ene .
»Pa a pene a se de la azón de es e mé odo, conside e-
»mos en una yen o a Tabla la columna del 5po 100. Es
y
)e iden e que el capi al adicional se á:
»E1úl imo dia del -2.° año igual, ai,o5o s.
»El p ime dia del e ce año se
»añadi án i,ooo s. ,que el úl imo
»dia de dicho año son
«Pe o i,o5o s. del año an e io
«son
«El p ime dia del cua o año se
«añadi án aun i,ooo s., que el úl-
« imo dia de dicho año son
«Pe o i,o5o s. del año an e io
1,102 s. 5ocen . son. ...
»E1p ime dia del 5.° año se aña-
«di a'n aun i,ooo s., que el úl imo
«dia de dicho año son i,o5o s.
1,102 »5oc.
i, i5^ »68
i,2i 5»5i
«Pe o i,o5o s. del año an e io
»i,io2 s. 5ocen , son ..
>i,i s. 68 cen , son ..
4,525 s. 64 e.
(Si)
„de aquí esul a, como lle o dicho, que pa a ene el l.°, el
,>2.° el 3.°, el 4.°, &c. é mino co espondien e ai capi al
»adicional ,es necesa io suma en la Tabla p ime a espec i-
amen e 1, 2, 3,4, 8cc. é minos consecu i os, empezan-
> do siemp e po el p ime o.
EJEMPLO 30.
29. »Quie o impone 3,000 s. d5po 100 al ano,ymi p o-
»yec o es,no solo deja que se ac ecen e es e capi alpo la
»acumulación de los in e eses compues os,smo añadi o-
»dos los años una can idad de 6,000 s., p oduc o de mis
»aho os. Bajo es as hipó esis ¿á qué capi al end é obcion
»al cabo de 10 años ?
»La solución de es e p oblema ,po medio de es a abla,
»consis e en las dos p opo ciones siguien es :
1000 s. :1,628 s. 89 cen .: :3,000 s. :,x=4,886 s. 67 cen .
l’000 s. :11,577 s. 91 cen . ::600 s. =6,946 s. 74 cen .
Suma ysolución 11,833 s. 41 cen .
»En p ime luga : si un capi al p imi i o de 1,000 s.
»se con ie e al cabo de 10 años en 1,628 s. 89 cen ., ¿á cuán-
» o ascende á en el mismo iempo un capi al p imi i o de
»3,000 s.? El cua o é mino se á 4,886 s. 67 cen .
»En segundo luga :si un capi al adicional de 1,000 s.
»p oduce al cabo de 10 años un capi al de 11,577 s. 91 cen .,
»¿qué p oduci á al cabo del mismo iempo un capi al adicio-
nal de 600 s.? El cua o é mino se á 6,946 s. 74 cen .
„Adiciónense es os solos esul ados: el o al 11,833 s. 4l
»cen , se á la espues a del p oblema.
He aquí cuan o dice Pa isso espec o áes a abla yásu
aplicación. No obs an e que he enido que modi ica su de-
mos ación, subo dinando es a modi icación ála a iación que
he hecho en la abla. Lo que sigue ac ualmen e es únicamen-
e mió.
30. Cuando el capi al p imi i o yel capi al adicional im-
pues os cada año ,son iguales en e sí, aunque di e en es de
,. . (32 >
1,000
s., capi al que si e de base undamen al ála Ta-
bla cua a ,yque el iempo yel in e és son los mismos po
una yo a pa e,los capi ales ac ecen en es e caso p opo -
cionalmen e,óen o os é minos es án en azón di ec a de
sus ac ecen amien os espec i os. De aquí esul a, que se pue-
de, en odos los casos semejan es, con undi en una sola las
dos p opo ciones indicadas.
Así, si bajo los mismos da os que en la cues ión p eceden-
e, se me p egun ase, po ejemplo, qué capi al se ob end ía al
cabo de 12 años con el ac ecen amien o o al de 4,000 s. im-
pues os el p ime año yde igual can idad impues a los años
siguien es, en luga de hace como an es las dos p opo ciones
siguien es
:
1,000
s. :1,795 s. 86 cen . ::4,000 s. :xzzz 7,183 s. 44 cen .
1,000
s. :14,917 s. 14 c. :: 4,000 s. :x—59,668 s. 56 cen .
cuyos dos cua os é minos suman 66,85'2 s.
las euni ía en una sola de es e modo:
1,000
s. :16,713 s. ::4,000 s. x,
Aes e e ec o di ía: si un capi al de 1,000 s. impues o al p in-
cipio de cada año, dá al cabo de 12 años un ac ecen amien o
o al de 16,713 s., ¿qué ac ecen amien o end á al cabo del
mismo iempo un capi al de 4,000 s. impues o del mismo
modo? Halla é po cua o é mino los mismos 66,852 s.
Aplicación especial de la Tabla cua a ála amo ización de
la deuda pública.
31. Los gobie nos ilus ados no ex inguen sus deudas, co-
mo los pa icula es, eembolsando odos los años una pa e de
ellas con sus in e eses, como ya hemos demos ado en los ejem-
plos 12 al 18; lo e ec úan po medio de una combinación mas
ingeniosa oda ía, en la que en a el iempo como el agen e
mas pode oso. Es ablecen pues cajas llamadas de Amo ización,
éimponen en ellas el p ime dia del año que se e ec úa un
(33 )
emp és i o, ylos años sucesi os una cie a can idad que se lla-
ma do ación,yque po lo comunes de 1po i00 del capi al
del emp és i o. Es as imposiciones anuales aumen ándose odcs
los años con sus in e eses compues os, esul a que la Caja ae
Amo ización acaba ,al cabo de cie o iempo mo al ,po po-
see una can idad igual al emp és i o con aido, yque po es-
e medio el gobie no se halla en es ado de eembolsa ásus
ac eedo es.
He aquí álo que se educen, en el ondo, las ope aciones
de las Cajas de Amo ización,que se modi ican no obs an e en
azón de la na u aleza pa icula del con a o del emp és i o.
La mayo pa e de los gobie nos han adop ado en es e caso el
mé odo siguien e. C ean po lo gene al e ec os públicos ,que
consis en en en as pe pe uas cons i uidas al 3, al 4, al 5po
100; en in, según es á el in e és de los capi ales en la época del
emp és i o; yhacen insc ibi nominalmen e es as en as en el
G an Lib o de la deuda pública. Así, po 100 millones de ca-
pi al, po ejemplo, que un gobie no oma p es ados al in e es
de 5po 100 emi e 5millones de en as pe pe uas del capi al
nominal de 100 s.; las que en ega álos p es amis as en cam-
bio de su p és amo. Pe o en luga de ecibi de es os 100 s.
que se obliga á eembolsa les mas adelan e po cada 5 s. de
en a, no ecibe eal men e sino 55 s., 64 s. ,66 s., 50 cen .,
67 s., 75 s., 85 s., 55 cen ., 89 s., 65 cen . 100 s. 50 cen .
mas ómenos en in, una can idad meno de 100 s., can idad
que es el e móme o de su c édi o, es o es, de la con ianza
que inspi a ásus ac eedo es. (*)
Es as insc ipciones de en as sob e el G an Lib o, que de-
ben conside a se como p omesas de pago, siendo negociables y
(*) He escogido áp opósi o las di e en es asas, a' las que el gobie no
ancés ha hecho sucesi amen e sus a ios emp és i os desde la es au-
ación, a in de que se pueda juzga del aumen o a'pido de su c édi o en
el espacio de algunos anos. Va ias son las causas que han con ibuido á
una ele ación an conside able¡pe o la mas e icaz de odas es, sin duda
alguna, la exac i ud esc upulosa con que el Es ado ha llenado sus obliga-
dones ;Pagad ues as deudas hoyymañana se eis icos exclamó un
sabio minis o, en unos momen os de escasez ;yen es as pocas palab as
se encie a lodo el sec e o de la alquimia de la adminis ación económi-
ca de los gobie nos.
5
(34)
ealizables á olun ad, al cu so dia io de la Bolsa, los p es a-
mis as po es e medio ienen la elección de cub i se ácada
momen o de sus desembolsos ,cediendo su de echo áuna e -
ce a pe sona, óbien co e la sue e de la ope ación, ese an-
do en su pode una pa e de sus insc ipciones. Pe o en odos
casos, el Es ado queda siemp e g a ado con una en a de 5mi-
llones que debe á paga álos po ado es, cualesquie a que
sean, de es as insc ipciones, has a an o que Ies eembolse el
capi al nominal de 100 millones que ep esen an.
Pa a consegui es e obje o, la Caja de Amo ización que es-
á do ada en nume a io, coloca incesan emen e sus ondos de
do ación con sus in e eses en los e ec os públicos; ycomo se
ap o echa pa icula men e de los momen os de baja ,es ácil
comp ende que es as ope aciones, que sos ienen ademas el ci e-
di o ylos e ec os públicos, deben con el iempo abso e la
deuda de un modo óde o o; po que si, po ejemplo, la Caja
de Amo ización no pudie a adqui i la o alidad de las insci ip-
ciones emi idas, ácausa de la con eniencia que end ían a-
ios po ado es en gua da las, adqui i la de odos modos su
equi alen e en nume a io, yel Es ado no deja ia po es o de
queda comple amen e desempeñado. En e ec o, uespues de ha-
be cancelado odas las insc ipciones ecogidas, end ia ademas
en la Caja de Amo ización un capi al e ec i o igual al capi al
nominal de las insc ipciones en ci culación; yel in e es esul-
an e de es e capi al, que ha ia uc i ica de cualquie o o
modo ,bas a ia pa a sub eni al pago de dichas insc ipciones.
El gobie no pod ía desde es e momen o sup imi el impues o
de 6millones, des inado áhace en e alos omillones de
en as yáalimen a los ondos de amo ización. Asi, bien sea
que obligase á sus ac eedo es á ecibi el eembolso óno, la
deuda pública, lo epi o, queda ía ex inguida o almen e.
EJEMPLO 31.
Un gobie no hace un emp és i o de 100 millones de capi al
en e ec i o al in e és de 5po 100 ,ypa a hace en e
áél c ea 5millones de en as pe pe uas. C ea al mismo
iempo una Caja de Amo ización,que do a el p ime ano
de un ondo p imi i o de 1millón, yde un ondo acucio-
(35)
nal de igual can idad los años siguien es ;se p egun a
¿cuán os años se necesi a án pa a ex ingui es e emp és-
i o, suponiendo pa a mas acilidad los e ec os públicos á
la pa ,yque no se capi alicen los in e eses sino á in
de año?
Pa a que el emp és i o quede ex inguido, es menes e que
la Caja de Amo ización haya adqui ido los 100 millones de
e ec os públicos, óbien su equi alen e. Es e iden e que aplican-
do el p ime año una do ación p imi i a de 1millón, yaña-
diendo en los años siguien es una do ación de igual can idad,
se ex ingui ia una deuda de 100 millones, p ecisamen e en el
mismo iempo que se ex ingui ia una deuda de 100,000 s.
po medio de una do ación p imi i a de 1,000 s., yuna do a-
ción anual de igual can idad. En e ec o, 1,000 s. siendo 1po
100 sob e 100,000 s., la p opo ción pe manece la misma, y
en es e caso los capi ales ac ecen p opo cionalmen e (30).
El núme o de años pedido se á pues el que co esponda á
100.000 s. en la columna del 5po 100 in i ulada: Ac ecen-
amien o o al de los capi ales. Po es a azón busco es a can i-
dad en dicha columna; pe o como no se halla, yque ademases in-
e media en e es as dos 94,336 s. 34 cen , y100,628 s. 16
cen ., co espondien es espec i amen e á35 y36 años, es p ue-
ba de que se necesi an mas de 35 años, ymenos de 36 años pa-
a ex ingui la deuda pública ;es o es, 3o años, mas la acción
de año necesa ia pa a que 94,836 s. 34 cen , aumen ados de
1.000 s. impues os el p ime día del 36 año, como el dia p i-
me o de los demas años, p oduzcan 100,000 s. (*)
(*) La do ación de la Cajú de Amo ización, en luga de paga se el
p ime dia de cada año, como lo supone la cons ucción de nues a Ta-
bla ,se paga egula men e po docenos. Pe o acausa de la na u aleza
de las ope aciones de la Caja de Amo ización es a ci cuns ancia no pue-
de in lui ninguna a iación en la exac i ud de la compa ación.
En e ec o, los seis p ime os doccnos, empleados en la comp a de
en as, dan al cabo de los seis p ime os meses, el in e és del p ime se-
mes e sob e la mi ad de los ondos de la amo ización; los seis úl imos
docenos ,empleados del mismo modo ,dan al cabo de los seis úl imos
meses, el in e és del segundo semes e sob e la o a mi ad de los on-
dos de amo ización. Al in del p ime añe, la Caja de Amo izaciones.
pe cibido el in e és de la do ación o al, ygozado ademas del in e és
compues o de los seis p ime os meses.
(42)
espondien e al núme o de años dado en la columna del ac e-
cen amien o o al ela i a al in e és indicado.
Así, pa a e i ica la ope ación del ejemplo 37 po medio
de la Tabla cua a, siendo el ac ecen amien o o al de 1.000 s.
al 5po 100 al cabo de 30 años 69,760 s. 80 cen ., di idido
po dicha can idad 100,000, yhallando po cuocien e los mis-
mos 1,434 ya ob enidos, concluyo que mi p ime esul ado e a
exac o.
Di ido igualmen e 100,000 po 58,328 s. 32 cen ., ac e-
cen amien o o al de 1,000 s. al cabo de 30 años al 4po 100,
yel cuocien e 1,714, siendo con o me al esul ado hallado en
el ejemplo 38, concluyo que ambién es exac o.
He aquí ac ualmen e la demos ación del p incipio que
acabamos de es ablece ,ybajo el cual es á cons uida la Ta-
bla e ce a.
El ac ecen amien o o al co espondien e ácada año de la
Tabla cua a es el p oduc o de 1,000 s. al cabo de dicho iem-
po, es o es, de 1po 100 sob e 100,000 s. Pe o po la na u-
aleza de los p oblemas áque se aplica es e p incipio, se quie-
e subs i ui ácada uno de es os ac ecen amien os una can idad
de 100,000 s. jus os. La cuo a po 100 necesa ia pa a p odu-
ci es os 100,000 s. debe se an o mayo que 1po 100,
cuan o que el ac ecen amien o o al ela i o áes e 1po 10Q
es mas pequeño que 100,000 s. De aquí esul a que las cuo as
po 10Ó es án en e sí en azón in e sa de su ac ecen amien o
o al ela i o.
Según es o la cuo a po 100 p egun ada en el ejemplo 37
se a el cua o é mino de una p opo ción que empiece po
es os es
:
69,760 s. 89 cen . :100,000 s. ::1po 100 :x,
ycomo según la p opiedad undamen al de las p opo ciones
geomé icas el p oduc o de los ex emos es igual al de los me-
dios, se end á
190,000 s. x1
69,760 s, 80 e.
Pa a halla el alo de xque exp esa la cuo a po 100 pe-
dida, se á necesa io po consiguien e mul iplica 100,000 s.
(43 )
po í,ydi idi el p oduc o po 69,760 s. 80 cen , ac ecen-
amien o o al de ípo Í00 al cabo de 30 años. Pe o como la
mul iplicación de una can idad cualquie a po la unidad no
puede añadi nada ádicha can idad ,bas a á el di idi 100,000
s, po 69,760 s. 80 cen .
Pudiendo aplica se el mismo p incipio ácualquie a o o
ejemplo, el p incipio es á demos ado.
Reasumiendo lo que p ecede se deducen las eglas gene a-
les siguien es:
33. Pa a conoce el iempo necesa io pa a la ex inción
de la deuda pública cons i uida al in e és de 4y5po 100
al año ,a ec ando pa a la amo ización una cuo a po 100
cualquie a sob e el capi al del emp és i o ,di ídase p ime a-
men e la can idad 100,000 s. po es a cuo a. Búsquese en
seguida en la columna ela i a del ac ecen amien o o al la
can idad mas ap oximada del cuocien e hallado que llama-
é aos A,pe o que sea meno que A', yel núme o de años
co espondien e ,en la cua a Tabla d es a can idad exp e-
sa á el iempo p egun ado en años en e os.
Pa a de e mina en seguida la acción de año ,aumén-
ese la can idad ci ada en odos los casos posibles de 1,000
s. jus os, yse end á un o al que llama émos B. Es abléz-
case en seguida una egla de es ,que enga po p ime é -
mino el in e és de un año del o al B; po segundo é mino
365 dias ;ypo e ce é mino la di e encia en e el o al
®yel cuocien e A-, el cua o é mino indica á el núme o de
dias quees menes e añadi álos añosp eceden es pa a comple-
a la solución de la cues ión. (Véanse los ejemplos 31 al 36.)
Si el ondo de amo ización, en luga de es a ep esen-
ado po una cuo a po 100, lo es u iese po una can idad
cualquie a, di ídase po es a el núme o 100,000 pa a halla
el cuocien e A.
34. Pa a conoce la cuo a po 100 del capi al del em-
p és i o, que es necesa io a ec a ála amo ización pa a ex-
ingui la deuda pública en un iempo dado, es menes e
cuando se emplea la Tabla e ce a di idi po 10 la can i-
dad co espondien e en la columna de la asa del in e és da-
do, al núme o de años de que se a a; el cuocien e se i á
de espues a ála cues ión. (Véanse los ejemplos 37 y38).
(44)
Si se quisiese emplea la Tabla cua a en la solución del
mismo p oblema, es necesa io di idi la can idad 100,000
po la que co esponda al nume o de anos dado en la colum-
na del in e és p opues o ;el cuocien e se i á de espues a á
la cues ión. (Véanse los ejemplos 37 y38).
Ven ajas esul an es de las Cajas de Amo ización.
35. An es de en a en ma e ia es p eciso pa i de es e
p incipio, que an o los gobie nos como los pa icula es deben
p ocu a desempeña se de sus ca gas lo mas p on o posible, y
po consiguien e paga sus deudas de un modo óde o o; po -
que la palab a pe pe uas no se emplea en las en as sino po
oposición ála de i alicios ;es o es, que una en a pe pe ua en
luga de ex ingui se con su capi al, como una en a i alicia,
ála mue e de la pe sona sob e cúya ida es á cons i uida, no
puede po el con a io ex ingui se sino po el eembolso del
capi al que ep esen a. Así pues ,una en a pe pé ua es yde-
be se edimible ála olun ad del deudo , no an solo po que
es a disposición se encuen a en los eglamen os sob e es e ob-
je o, sino po que pe enece al código de la azón ydel sen ido
común p eexis en e á odos los eglamen os, ypo que es o p o-
cede de la na u aleza misma de las cosas. En e ec o, no se po-
d ían es ablece en as pe pé uas en un sen ido absolu o sin
cae en lo absu do yen lo injus o; en lo absu do, po que se
segui ía de es o que la en a se ía pagade a has a el in del
mundo ,ópo mejo deci ,que se ía una en a e e na :en lo
injus o, po que si el deudo podia impone se asi mismo la ne-
cesidad de no eembolsa es a en a du an e su ida ,no ha-
b ia azón pa a jus i ica el de echo que se a oga ía de some-
e ála misma condición las gene aciones sucesi as de sus he-
ede os, ligándolos de es e modo, yademas en pe juicio suyo;
ijando de un modo in a iable el in e és de los capi ales, cu-
ya asa es esencialmen e a iable según las ci cuns ancias. Es e
aciocinio se aplica na u almen e al gobie no, po que enca -
gado de los in e eses gene ales de la sociedad, es a, con mucha
mas azón, en el de echo común.
(45)
Es o supues o, no les queda o o pa ido álos gobie nos
que el de escoge el modo mas económico de desempeña se ,y
pa a con ence ála mul i ud de inc édulos de las en ajas que
ae consigo el sis ema de amo ización ,bas a compa a sus
esul ados con les de los demas sis emas. Dejemos pues habla
álos núme os, e dade a lengua de la hacienda.
Hemos is o en el ejemplo 31 ,que un gobie no que oma
un emp és i o á5po 100 al año, yque a ec a pa a su amo -
ización un ondo anual de 1po 100^ sob e el capi al del em-
p és i o, ex ingue su deuda en 53 años, 10 meses y17 días,
sean 36 años pa a ene una cuen a edonda, pues o que la
di e encia es an pequeña. Resul a pues, que pa a ex ingui al
cabo de es e iempo un emp és i o de 100 millones, po ejem-
plo, con a ado á5po 100 al año, el es ado no iene mas
que hace que aumen a sus impues os du an e 36 anos, de 6
millones, de los cuales, 5pa a el pago de in e eses y1pa a e
ondo de amo ización.
Po o o lado ,si el gobie no desecha el sis ema de amo -
ización, no le queda sino dos o os medios de paga su em-
p és i o, ásabe : las en as i alicias ylas anualidades; pe o
como las en as i alicias no sean o a cosa que anualidades,
cuyo núme o es incie o ácausa de la du ación p eca ia de la
ida, no pueden suminis a nos ningún esul ado posi i o, ni
pueden se p e e ibles bajo ningún aspec o álas anualidades
p opiamen e llamadas así, mas equi a i as po sí mismas, y
que conciban mucho mejo los in e eses del deudo ydel ac ee-
do . Nos de end emos pues en es as úl imas.
Pa a supli el sis ema de amo ización ,ypaga su deuoa
en 36 años ,debe á pues el gobie no paga ásus ac eedo es 36
anualidades. Calculemos aho a su cuo a po medio de la Tabla
segunda, que nos demues a que pa a ex ingui en 36 años
una deuda de 1,000 s. con a ada á5po 100, es menes e
paga una can idad anual de 60 s. 43 cen . Pa a ex ingui un .
emp és i o de 100 millones, can idad 100,000 eces mayo ,
se á necesa io paga du an e 36 años una anualidad 100,000
eces mayo , es o es, una anualidad de 6.043,000 s. Po con-
siguien e el Es ado end á que sob eca ga las con ibuciones
en 6.043,000 s., du an e 36 años, empleando es e modo de
ex inción ,mien as que po el de la amo ización e a su iciea-
.(46)
e una con ibución de 6millones. P e i iendo la ins i ución de
la Caja de Amo ización,el Es ado economiza 43,000 s. al año
du an e 36 años, y oda ía pa iendo de una can idad edon-
da; po que nues as Tablas, es ando únicamen e calculadas pa-
a las necesidades o dina ias, al adap a las al caso p esen e he-
mos desp eciado los es úl imos gua ismos signi ica i os en los
en e os (*).
Ademas de es a negligencia en el cálculo ,la economía de-
be aumen a se, aun po las dos azones siguien es, que con-
cu en áab e ia los 36 años de la du ación o dina ia de la
deuda, ásabe : l.° la capi alización de los in e eses po se-
mes e :2.° la comp a de los e ec os públicos po debajo de la
pa . Se ía pues necesa io añadi al o al de la p ime a econo-
mía de 36 eces 43,000 s., ósea 1.548,000 s. ,la can idad
ela i a al iempo que se gana, es o es, quese ía menes e au-
men a á1.548,000 s. 6millones si la deuda se ex inguía en
35 años; 12 millones si se ex inguia en 34 años, yasí suce-
si amen e.
Pe o odo es o no cons i uye nunca sino una economía pe-
cunia ia ,que no es sino una pequeñísima en aja de las que
p oduce el sis ema de amo ización. Las mas impo an es son
sin eplica los ecu sos inhe en es áes a combinación inge-
niosísima, la consolidación del c édi o público ylas consecuen-
cias a o ables que esul an. En e ec o, la Caja de Amo ización
es un ico capi alis a siemp e p on o á eni al soco o del go-
bie no en momen os de c isis ,siendo al mismo iempo el con-
apeso de la deuda pública. Si una gue a imp e is a óalgu-
na o a u gencia le obligan á ecu i ánue os emp és i os,
halla a dine o aun p ecio menos one oso, si posée ya, ósi ins-
i uye al mismo iempo un es ablecimien o an ú il. Ysi ápe-
sa de odo es o, los p es ado es quisiesen abusa de sues ema
(Si se suponía el emp és i o con a ado á4po ioo en luga de
5, yla do ación de la Caja siemp e la misma, es deci , ipo ioo, se
necesi a ían 4oanos (desp eciando 16 dias) pa a ex ingui la deuda
pública: el gobie no adop ando el sis ema de anualidades debe ía pa-
ga 5.o52,ooo^ s. cada ano du an e 4o anos consecu i os. Po consi-
guien e, p e i iendo áes e úl imo modo el sis ema de amo ización, eco-
nomiza ía 4® eces 52,ooo s., ósea 2.080,000 s., desp eciando siem-
p e los es gua ismos úl imos signi ica i os en los en e os.
(4?)
necesidad, pod á bu la su a a icia, ecu iendo álos ondos
de la amo ización. Po es e medio se pond á ep es ado de sa-
li de sus apu os ,yde espe a ci cuns ancias mas p óspe as.
En in ,pa a nega la supe io idad e dade amen e incon-
es able délas Cajas de Amo ización sob e los demas modos de
desempeña se de la deuda pública ,es necesa io no en ende
el mecanismo de sus ope aciones ,no pene a sus elices con-
secuencias, óque e nega has a la e idencia.
OO'
Doble aplicación de los p oblemas p eceden es.
36. Los úl imos ejemplos, aunque exclusi amen e des ina-
dos al pa ece ála solución de los p oblemas de amo ización,
son suscep ibles de aplicación ácie as ansacciones en e los
pa icula es, cuyo e ec o es en e amen e opues o.
Así la cues ión 31 puede p esen a se bajo es e aspec o:
Imponiendo 1po 100 de un capi al cualquie a alp in-
cipio de cada año ,pa a que se aumen e al in e és compues-
o de 5po 100 al año,¿en cuán o iempo se ob end á es e
mismo capi al?
Hespues a: 35 años, 10 meses, 17 dias.
La cues ión 33 puede del mismo modo con e i se en es a:
Imponiendo 2po 100 de un capi al cualquie a al p in-
cipio de cada año,pa a que se aumen e al in e és compues-
o de 5po 100 al año ,¿en cuán o iempo se ob end á es e
mismo capi al
?
Respues a: 24 años, 11 meses, 18 dias.
Igualmen e la cues ión 35 se con ie e en la que sigue:
Imponiendo 4/5 po 100 de un capi al cualquie a al
p incipio de cada año, pa a que se aumen e al in e és com-
(48)
pues o de 5po 100 al año,¿en cuán o iempo se ob end á
es e mismo capi al?
Respues a: 39 años, 8meses, 14 días.
Siendo en cada uno de es os es ejemplos la ope ación a i -
mé ica, yel aciocinio que conduce aella, absolu amen e los
mismos que los que hemos is o ámedida de la solución de los
p oblemas co espondien es, nos abs enemos de hace la mas
pequeña epe ición sob e es e asun o.
TABLA PRIMERA,
que indica el ac ecen amien o ,desde iano has a 5o anos ,ya io po ano de un capi-
al de iooo s. impues o al in e és compues o de 2,3,4, 5y6po loo al ano.
—.. .
j
Años. 2po 100. 3po IOO. 4po 100.
J0po 100
J6po 100.
s. n. cen . s. n. cen . s. n. cen . s. n cen . I s. n cen .
111020 »io3o»1040 i»io5o»11060
2io4o 40 1060 90 io8. 60 1102 5o1123 60
31061 21 1092 ?3 1124 86 1157 63 1191 02
41082 43 1125 5i1169 86 I2l55i1262 48
51104 08 1159 27 1216 65 1276 28 i338 23
61126 16 1194 o51265 32 i34o 10 ,4,8 52 B
7n48 69 1229 87 ,3i593 1407 10 i5o363 1
8II7I 66 1266 77 ,36S 57 •477 46 1090 85 1
91s95 09 i3o477 ,423 3i i 55 i33 1689 48 1
ÍO 12¡8 99 1343 92 l4§0 24 1628 89 1790 85 I
II 1243 37 ,384 23 1539 45 I7IO 34 1898 3o 1
12 1268 =4 1425 76 l60I o31795 86 2012 20 i
i31293 6l 1468 53 1665 07 ,885 65 2 l32 933
>4 i3iq 48 ,5,2 09 173l68 1979 93 2260 9°1
i51345 87 i55797 l80O94 2078 932396 56 1
l3j27?1604 7«1872 98 2182 «7 2540 35 I
•7 1400 24 ,652 85 1947 90 2292 02 2692 77
18 1428 25 ,702 43 2025 82 2406 62 2854 34
>9 i45b8l 1753 5i2106 85 2826 95 3o25 60
20 1485 95 l8o6 11 2191 12 2653 3o3207 14
21 i5,5 67 l860 29 2278 77 2785 96 333g56
22 i545 98 1916 10 2369 92 2925 26 36o354
23 1076 90 1973 59 2464 72 3071 52 3819 75
24 1608 44 2032 79 2563 3o3225 10 4o48 93
25 1640 6l 2093 7»2665 84 3386 35 429, 87
26 1673 42 2,56 592772 4?3555 67 4549 38
27 1706 89 2221 29 ,2883 373?33 46 4822 35
28 i?4«02 2287 93 2998 70 3920 i35,i 169
29 1775 2356 57 3i18 65 4116 *4 54,8 39
3ol8ll 36 2427 26 3243 4°4321 94 5743 4q
3i1847 59 2500 08 3373,3 4538 °4 6c88
32 1884 54 2575 08 35o806 4764 94 6453 39
33 1922 23 2652 34 3648 38 5oo319684o
34 ,96o 68 27 31?* 3794 32 5253 35 725, o3
35 1999 89 2813 86
28 3g46 09 55,6 02 7686
36 2039 89 2898 4io393 5791 82 25 1
72080 69 2985 23 4.268 09 6o8l 4i8636
38 2122 DO 8074 78 4438 81 6385 48 9,54 25 i
3g2164 74 3167 o346l6 37 6704 75 9703
40 2208 °4 3262 °4 4801 02 99 10285
41 2252 20 33^9 90 4993 06 7391 99 ,0902 86 1
42 2297 243460 70 5,92 78 7761 5q11557 o3I
43 2343 93564 52 5400 5o8149 67 ,225o
44 23qo c536ji 45 56,6 52 8557 ,5 12985 48 1
45
46 2437
2486 85
61 3781
3895 60
°4 584,
6074
,8
82 8985
9434
OI
26
l3764
,459o
61 I
4oI
47 2536 35 4on 90 63i782 99»5 97 ,5465 Q2 1
48 ,2087 97 4,32 25 16570 53 Jo4oi 27 ¡l6393 87 I
í912688 81 4206 22 I6833 35 10921 33 ¡17377 5o
15o1
'12bg, [09 4383 91 i7106 68 *1467 4o|l8420 10 1
7
TABLA SEGUNDA,
TABLA TERCERA,
(58 )
capi al p imi i o de 3,000 s. ,se le ag ega odos los
años o o capi al de 600 s.? 31
Medio de ab e ia la ope ación cuando el capi al p imi i-
o yel capi al adicional son iguales en e sí. ........ .id.
Aplicación especial de la Tabla cua a ála amo ización
de la deuda pública.
De la Caja de Amo ización, del mecanismo de sus ope a-
ciones, ydel sis ema de emp és i os ajo la o ma de
en as pe pé uas. *32
¿En cuán o iempo se ex ingui á la deuda pública ála a-
sa del 5po 100, a ec ando pa a su amo ización 1po
100 del capi al p es ado.? 34
La misma cues ión pa a el in e és de 4po 100 36
Idemá 5po 100, a ec ando 2po iOOpa a la amo ización. 37
La misma cues ión pa a el in e és de 4po 100 •-39
Idem á5po 100, a ec ando 4/5 po 100 pa a ¡a amo i-
zación id-
la misma cues ión pa a el in e és de 4po 100 id.
¿De qué cuo a po 100 del capi al se á necesa io do a la
Caja de Amo ización pa a ex ingui la deuda pública en
30 años, suponiendo el in e és al 5po 100? 41
La misma cues ión al 4po 100¿ id.
Regla gene al pa a conoce el iempo necesa io pa a la ex-
inción de la deuda pública álas asas de 4y5po
100, a ec ando al ondo dé amo ización una cuo a cual-
quie a po 100 del capi al del emp és i o. .43
Regla gene al pa a conoce la cuo a po 100 del capi al del
emp és i o, que es necesa io aplica ála amo ización,
pa a ex ingui la deuda pública en un iempo dado. ..id,
Ven ajas esul an es de las Cajas de Amo ización. 44
Tablas ela i as ála solución de a ios p oblemas sob e
el in e és compues o, 49
