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MODELIZACIÓN ESTOCÁSTICA EN LOS MERCADOS FINANCIEROS:
UN PUENTE ENTRE LO SIMPLE Y LO COMPLEJO
Juan Manuel Valde as Ja amillo
José Ma ía Alba Riesco
Elena Olmedo Fe nández
P o eso es del Dp o. de Economía Aplicada I
Uni e sidad de Se illa
INTRODUCCIÓN.
Un nues o a án de una mayo comp ensión del mundo en que i imos, el papel jugado po
las écnicas ma emá icas y es adís icas no es absolu o desp eciable. Con el de eni de los iempos,
dichas he amien as han mos ado se de suma de u ilidad pa a al p opósi o.
La modelización de la ealidad económica no ha sido ajena a esa incu sión de écnicas
ma emá icas y es adís icas, pudiéndonos emon a a las lejanas echas de mediados del siglo XVII,
en donde los abajos de Si William Pe y, en especial su A i mé ica Polí ica, ue on pione os en
in oduci de o ma es uc u ada los mé odos cuan i a i os en gene al, y la es adís ica en pa icula ,
en el es udio de la economía. Desde en onces es a endencia, lejos de se ocasional, ha a aigado en
el núcleo de la eo ía económica, dando luga a oda una ama de la economía conocida como
economía ma emá ica.
Es a ma ema ización, omnip esen e en la eo ía económica ac ual, es mucho más pa en e en el
campo de la economía inancie a. Aunque la es adís ica y los me cados inancie os, si enemos en
cuen a las mani es aciones de And ew W. Lo1, han es ado unidos de mane a indisoluble desde la
publicación en 1565 de Libe de Ludo Aleae po Ca dano, noso os p e e imos emon a nos a una
echa mucho más ecien e como la de 1900.
En dicho año, Louis Bachelie in oduce la gene alización en iempo con inuo del paseo
alea o io, lo que hoy día se conoce con el nomb e de mo imien o b owniano. Es e hecho ha
demos ado ene una g andísima in luencia en la modelización de las se ies inancie as. No
obs an e, dicha in luencia no se mani ies a sino has a casi un siglo después debido a cues iones
his ó icas que se expond án más adelan e. Bachelie en su esis doc o al en 1900 es ablece que las
a iaciones de los p ecios especula i os se dis ibuyen de mane a gaussiana. Es e descub imien o de
Bachelie de aplica el mo imien o b owniano a la a iación de los p ecios especula i os, es hecho
décadas an es de que se desa olla a una eo ía ma emá ica del mismo, e incluso an es de que los
ísicos descub ie an su impo ancia en el mo imien o de las pequeñas pa ículas en suspensión.
El mo imien o b owniano y sus ans o maciones y gene alizaciones, pa a lo cual es
necesa ia la he amien a ma emá ica del cálculo es ocás ico, es la pied a angula de la modelización
es ocás ica de los me cados inancie os hoy día. Nues o obje i o en es e abajo es expone las
ca ac e ís icas básicas del mo imien o b owniano y esal a el ca ác e complejo del mismo, ya que
a pa i de gene alizaciones en iempo con inuo de modelos lineales ob enemos como esul ado una
se ie de p ocesos es ocás icos cuyas p opiedades son ap as pa a la modelización del me cado
inancie o, pe o lo des acable de es e hecho, es que a pa i de modelos lineales en iempo con inuo
ob enemos p ocesos con un complejidad geomé ica, como se demues a con el hecho de que
poseen una dimensión ac al, y dichos p ocesos son ap os pa a explica el uncionamien o de los
me cados inancie os.
1 Lo, A.W. (2000) Finance: A selec i e su ey. JASA, ol 95, No. 450, p. 629.
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MODELIZACIÓN DE LOS MERCADOS FINANCIEROS: UNA BREVE INTRODUCCIÓN
HISTÓRICA.
Como nos ecue da M. Da is2 en un ecien e abajo di ulga i o, hace 102 años, el 29 de
ma zo del 1900, nace la Ma emá ica Financie a. La p ecisión de es a echa se jus i ica po se la que
co esponde a la exposición de la Tesis Doc o al de Louis Bachelie Théo ie de la specula ion. En
cinco años p ecede a los a amados abajos de Albe Eins ein3 de 1905, su annus mi abilis, cuando
en es abajos coe áneos explica el mo imien o b owniano (es ableciendo, de mane a de ini i a, la
na u aleza a ómica y molecula de la ma e ia), el e ec o o oeléc ico y la na u aleza de la luz
(haciendo innecesa ia la exis encia del é e ) y, el que ha alcanzado mayo popula idad y di usión, la
eo ía especial de la ela i idad.
Igual que ha ocu ido en o os campos del conocimien o cien í ico, un abajo pione o ha
adelan ado mé odos y modelos que han p ecisado un iempo de madu ación y de consolidación
( ecué dese la eo ía de luxiones de New on o la unción del a de Di ac que ue on pos e io men e
o malizadas, muchos años después, po o os abajos undamen ales). La esis de Bachelie puede
conside a se como isiona ia en su época. En dicha ob a se encuen a la génesis del análisis
mode no de los me cados inancie os. Dicho au o ue el p ime o en plan ea la hipó esis
denominada en la li e a u a como del paseo alea o io, plan ea que las a iaciones de los p ecios
inancie os son independien es y se dis ibuyen de mane a Gaussiana, lo que es equi alen e, en
nues a e minología, a deci que los p ecios inancie os en un ins an e es án gobe nados po un
p oceso es ocás ico de inc emen os independien es y que se dis ibuyen de acue do a un modelo
Gaussiano o no mal.
A pesa de la excelen e eo ía sob e el mo imien o b owniano desa ollada po Bachelie ,
(donde se exponen concep os sob e p ocesos es ocás icos que hoy día se econocen bajo
denominaciones de ma ingala, ecuación de Chapman-Kolmogo o , o ecuación del calo ) las ideas
y mé odos que con enía su esis pe manecie on en un segundo plano, debido quizás a la eno me
in luencia que las ideas de Albe Eins ein han enido du an e odo el siglo pasado en los campos
del conocimien o.
Pe o es e ol ido ambién cayó sob e los aspec os económicos desa ollados en la esis de
Bachelie . Es o se puede explica po un cúmulo de azones. Po un lado, la hipó esis de paseo
alea o io en aba en con adicción con las ideas p e alecien es en la época, en pa e po la escasa
o mación ma emá ica y es adís ica de los economis as de la época que suponían que la a iación de
los p ecios inancie os e a un e lejo de las a iaciones de la economía eal y, po an o, debían
p esen a endencias y ciclos de mayo y meno ecuencia solapados, po lo que la es imación de
es as componen es indi idualmen e posibili a ía la p edicción de dichas a iaciones. Po o o lado,
la ine cia del mundo inancie o, ence ado en las p ác icas de las llamadas ma emá icas me can iles,
y ajeno, po an o, al desa ollo de nue os y complejos mé odos que además, y po las
ci cuns ancias de la época, no e an áciles de lle a a la p ác ica co idiana de los me cados
inancie os. El esul ado de odas es as p ác icas queda e lejado en que, como Cowles mues a en
sus a ículos publicados4 en Econome ica en 1933 y 1944, los esul ados globales conseguidos po
los más epu ados p o esionales dedicados al análisis de los me cados inancie os no son mejo es
que los que se hubiesen ob enido po una in e sión al aza .
2 Da is, M. (2001) Ma hema ics o Finan ial Ma ke s en Ma hema ics Unlimi ed 2001 and Beyond (Engquis , B. y
Schmid, W. Ed.), Sp inge -Ve lag.
3 S a he n, P. (1999) Eins ein y la Rela i idad. Siglo XXI de España.
4 Cowles, A. (1933) Can S ock Ma ke o ecas e s o ecas ? Econome ica, ol. 1, p. 309-324 y Cowles, A. (1944)
S ock Ma ke Fo ecas ing. Econome ica, ol. 11 p. 206-214.
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También, desde una pe spec i a his ó ica, la p ime a mi ad del siglo an e io es á dominada
po las ue es con ulsiones sociales que desembocan en dos gue as mundiales y po una c isis
económica cuyas consecuencias pe du a án en la memo ia colec i a du an e muchos años.
Pos e io men e, los acue dos de B e on Woods in en a án, has a su colapso en 1973, man ene un
co sé pa a la es abilidad de la economía mundial, quedando muy poco ma gen pa a el desa ollo de
los me cados inancie os. Es a conjunción de ac o es puede explica el des ase empo al exis en e
en e el abajo pione o de Bachelie y la si uación ac ual de un g an dinamismo en las ma emá icas
de los me cados inancie os. No es has a mediada la década de los sesen a, con la in oducción po
Paul Samuelson5 del mo imien o b owniano geomé ico, cuando comienza el pe iodo he oico de la
Ma emá ica Financie a. Has a ese momen o no se p oduce el econocimien o, en su in eg idad, del
abajo pione o de Bachelie .
El es udio de unos me cados inancie os, cada ez más desa ollados y con p oduc os cada
ez más complejos, exige el desa ollo de una me odología pa a la de e minación de los p ecios de
los ac i os co espondien es y pa a el análisis de los me cados. El modelo de Bachelie , como las
p ime as incu siones en un e i o io inhóspi o, dis a mucho de se de ini i o. El abajo de
Bachelie con enía ideas cuya madu ación y consolidación eó ica u o que espe a a los abajos
undamen ales de ma emá icos como No be Wiene , Paul Le ý, And ey Nikolae ich
Kolmogo o , Joseph Leo Doob, Kiyosi I ô y Paul-And é Meye , en un pe iodo que a desde los
años ein e has a los años sesen a del pasado siglo, abajos de una ele ada di icul ad ma emá ica lo
que ambién ha con ibuido a su di usión e a dada en e los economis as.
Es a di usión podemos conside a que iene su o igen a pa i de la década de los 50, sob e
odo a aíz de la publicación de unas con e encias impa idas en 1953 po M. Kendall en la Royal
S a is ical Socie y con nomb e The Analysis o Economic Time-Se ies, en donde dicho au o al
analiza las se ies inancie as concluye que los da os inancie os pa ecían elabo ados como si “el
demonio del aza eligie a un núme o alea o iamen e... y lo añadie a al p ecio ac ual pa a
de e mina el siguien e... p ecio”6. El in e és po un mayo es udio de la dinámica de las se ies
inancie as y po la elabo ación de di e sos modelos p obabilís icos pa a la explicación de las
a iaciones de los mismos ha c ecido signi ican emen e desde la publicación del a ículo de
Kendall. Un hi o en es a co ien e son los abajos ealizados po Black, Scholes y Me on, en e
o os.
Black y Scholes, con la ayuda de Me on, haciendo uso de es a nue a me odología y con las
nue as écnicas de análisis del cálculo es ocás ico, ob u ie on a p incipios de los años 70 una
ó mula pa a la de e minación de los p ecios de las opciones. Median e un p ocedimien o se
cons uye una hipo é ica ca e a de alo es en la que los iesgos de los ac i os que o man dicha
ca e a, acciones y opciones en es e caso, se neu alizan. El endimien o de dicha ca e a exen a de
iesgo se puede iguala a la de un ac i o lib e de iesgo como puede se una le a del eso o. A pa i
de dicho p ocedimien o se de i a dicha ó mula, undamen al hoy día pa a la alo ación de algunos
ipos de opciones.
La iloso ía con enida en es os abajos y los concep os ma emá icos usados po es os au o es,
y en oda la li e a u a mode na pos e io sob e ma emá icas inancie as, ienen su o igen en el
abajo de Bachelie en el ocaso del siglo XIX y su pos e io desa ollo, como hemos mencionado, a
lo la go del siglo XX. En palab as de S ix7 “Las ma emá icas implíci as en la ecuación de Black-
Scholes consis en en cálculos es ocás icos descendien es de la ob a de Bachelie y Eins ein. Es as
ecuaciones no cons i uían en absolu o el p ocede habi ual de los p og amas de adminis ación de
5 Samuelson, P. (1965) P oo ha p ope ly an icipa ed p ices luc ua e andomly. Indus ial Managemen Re iew 6,
pág. 41-50.
6 En Shi yae , A.N. (1999) Essen ials o S ochas ic Finance: Fac s, heo y, models. pág. 38.
7 S ix, G. (1998) Un cálculo del iesgo, pág. 27.
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emp esas. Físicos, in o má icos y economis as desempeñan aho a un impo an e papel en los
colosos inancie os de Wall S ee ”
Supe ado es e obs áculo, el g an a ance en la ma ema ización de la eo ía económica, ha
posibili ado que, hoy día, el es udio de los me cados inancie os se haya consolidado con el
ins umen al de i ado del cálculo es ocás ico, como mues a la g an can idad de bibliog a ía
ecien e que exis e sob e es e ema, así como el econocimien o mundial y social del mismo po la
p es igiosa Fundación Nobel.
En es e escena io de ac ualidad se enma ca es e abajo, se ealiza una b e e desc ipción de
los aspec os eó icos undamen ales de los ins umen o que equie e es e ipo de modelización, el
mo imien o b owniano, el cálculo es ocás ico y las ecuaciones di e enciales es ocás icas necesa ios
pa a la comp ensión de los modelos que desc iben el compo amien o de los me cados inancie os,
esal ando los aspec os de la eo ía de la complejidad que de él se de i an, obse ando an o sus
p opiedades básicas como la elacionadas con la eo ía de la complejidad.
EL MOVIMIENTO BROWNIANO.
En 1827 R. B own obse ó que el mo imien o de una pa ícula coloidal sume gida en el agua,
consecuencia de la di usión e mal de las moléculas de agua que se mue en incesan emen e y
bomba dean la pa ícula, sea en un zig-zag alea o io. El que las g andes pa ículas sume gidas en
agua no se mo ie an, ue explicado en 1904 po H. Poinca é como consecuencia de la ley de los
g andes núme os, ya que las moléculas del medio que le odean ac úan con a ella golpeándola en
odas di ecciones anulándose las unas con las o as.
La explicación de es e mo imien o ue dada po Eins ein en 1905, y cons i uyó la p ueba
i e u able de la eo ía molecula además de es ablece el ca ác e gaussiano de las a iables
implicadas, y Smoluchowski en 1916 de mane a independien e. Sin emba go una o mulación
ma emá ica igu osa del mismo no ue dada has a una década más a de po N. Wiene .
En consecuencia es e p oceso es ocás ico es conocido po el nomb e de p oceso de Wiene o
Mo imien o B owniano en la li e a u a mode na.
Bachelie en 1900 in odujo dicho mo imien o, al que deno a emos como B ( ), como la
con apa ida en iempo con inuo del paseo alea o io. Pa a jus i ica es e hecho es necesa io no a
que aunque las ayec o ias mues ales del mo imien o b owniano son con inuas, no son
di e enciables en ningún pun o; no obs an e, bajo un ma co concep ual dis in o8 se puede demos a
que se puede cons ui la de i ada de un mo imien o b owniano como un p oceso es ocás ico
gene alizado, dicho p oceso se ía un p oceso gaussiano con espe anza nula y a ianza in ini a e
independien e con espec o a si mismo en di e en es ins an es del iempo, lo que se conoce con el
nomb e de “ uido blanco”. Un paseo alea o io es un p oceso es ocás ico del ipo de un uido blanco
pe o con a ianza cons an e y ini a, que es el p oceso habi ual pa a ep esen a las pe u baciones
alea o ias u ilizadas en la modelización en iempo disc e o.
Las p opiedades de los mo imien os b ownianos son bas an e su iles. La no di e enciabilidad
en ningún pun o a pesa de se con inua mues a el ca ác e sumamen e i egula que p esen a una
ayec o ia ípicamen e b owniana. No obs an e, es as p opiedades básicas del mo imien o
b owniano, no son su icien es pa a de ini los de mane a p ecisa, es necesa io añadi la
independencia de sus inc emen os, es deci , la a iación de un mo imien o b owniano es
independien e de las a iaciones del mo imien o en ins an es pasados, además dichos inc emen os
se dis ibuyen de mane a Gaussiana. O as p opiedades in e esan es del mo imien o b owniano, que
8 Véase A nold, L. (1974): S ochas ic Di e en ial Equa ions: Theo y and applica ions, p. 50-56.
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más a de se o na án ele an es, son la ausencia de ag upamien os en el iempo de los pe iodos de
g andes a iaciones en el mo imien o b owniano, y la ausencia de compo amien o cíclico apa en e,
aunque una ayec o ia in ini a de un mo imien o b owniano pasa á in ini as eces po odos los
alo es del eje de o denadas.
Más ele an es son pa a nues os p opósi os las p opiedades de in a ianza del mismo. La
in a ianza es un concep o mucho mejo de inido en é minos de e minís icos. T abajando con un
p oceso es ocás ico la in a ianza debemos busca la en las p opiedades de su dis ibución
p obabilís ica. Así un mo imien o b owniano es es aciona io es adís icamen e, es deci la
dis ibución no se e a ec ado po aslaciones empo ales. La dis ibución del mo imien o
b owniano en in e alos de igual longi ud es idén ica, la dis ibución sólo depende del lapso de
iempo. La dis ibución del mo imien o b owniano ambién es in a ian e, sal o cons an es de
p opo cionalidad, an e cambios de escala en el iempo, es deci si en lapso en e dos ins an es de
iempo exis e una azón de p opo cionalidad, la dis ibución del in e alo mayo se puede ob ene
como la dis ibución del in e alo meno mul iplicándola po la azón de p opo cionalidad. Son
es as p opiedades de in a ianza la que le p opo cionan el ca ác e ac al al mo imien o b owniano.
De hecho, puede conside a se que una ayec o ia b owniana en un in e alo es la éplica, en
é minos p obabilís icos, de la ayec o ia en un in e alo más pequeño. Es lo que Mandelb o 9
econoce como un p oceso au o-a ín.
No es complicado demos a que las ayec o ias de un mo imien o b owniano en cualquie
in e alo ini o son no ec i icables y de a iación no aco ada, po an o la longi ud de cualquie
a co ini o de un mo imien o b owniano es in ini a. De hecho, el mo imien o b owniano
unidimensional iene dimensión10 de ecuen o de cajas, así como de Haussdo -Besico i ch, igual a
1’5. Po an o las ayec o ias mues ales que desc ibe un mo imien o b owniano son ac ales. Es a
ca ac e ís ica del mo imien o b owniano y de sus modi icaciones, di e en es modi icaciones o
e siones del mo imien o b owniano o p ocesos de inidos a pa i de dicho mo imien o poseen
ambién es a dimensión ac al11. Es e hecho, que en p incipio no pasa ía de se anecdó ico oma
oda su ele ancia si enemos en cuen a que el mo imien o b owniano es el p oceso cla e pa a el
desa ollo del cálculo es ocás ico y en consecuencia de la modelización es ocás ica en iempo
con inuo de los me cados inancie os.
EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO.
El cálculo es ocás ico se basa en el concep o de in eg al es ocás ica, es deci , la cons ucción
de una in eg al en la que el é mino con espec o al que in eg amos es un p oceso es ocás ico. En lo
que se e ie e a nues os p opósi os el papel de in eg ado es jugado po un mo imien o b owniano
es ánda 12. Dicho concep o se desa olla dado que la esolución de de e minados p oblemas, en los
que apa ecen implicados cie os p ocesos es ocás icos como el mo imien o b owniano, su
esolución pasa po esol e in eg ales de es e ipo.
El campo inancie o es un campo en que es os modelos ienen muchísimas y muy a iadas
aplicaciones. En la modelización de las magni udes inancie as13, se suelen es ablece como
9 Mandelb o , B. (1997) A mul i ac al model o asse e u ns, p. 7
10 Mandelb o , B. (2001) Gaussian Sel -A ini y and F ac als, p. 124
11 Op. Ci . Capí ulo 3.
12 El hecho de que sea habi ualmen e el mo imien o b owniano el in eg ado en las in eg ales es ocás icas eside en
aspec os muy écnicos. En pa icula se debe a las p opiedades del mismo, pa icula men e al hecho de que sea una
ma ingala de cuad ado in eg able. El cálculo es ocás ico se ha enido desa ollando con inuamen e a lo la go de es e
siglo, sus i uyendo el mo imien o b owniano po o os p ocesos es ocás icos más gene ales. No obs an e, no
conocemos aplicaciones inancie as de dicho ipo de in eg ales más gene ales.
13 Ac ualmen e exis e una as ísima li e a u a sob e el ema, a modo de ejemplo se pueden consul a los lib os de
Shi iaye , A.N. (1999) Essen ials o S ochas ic Finance: Fac s, Models, Theo y. Wo ld Scien i ic, Me on, R.C.

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hipó esis que las magni udes se compo an como de e minados p ocesos es ocás icos y, pa a la
ob ención de las dis ibuciones de magni udes elacionadas con es e p oceso, es necesa io plan ea y
esol e in eg ales es ocás icas. Es necesa io po an o de ini en cie o sen ido in eg ales del ipo
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de mane a que dicha in eg al exis a y sea cohe en e. El hecho de que el mo imien o b owniano es
de a iación no aco ada, nos lle a a que no podamos in e p e a dicha in eg al en el sen ido usual de
una in eg al de Riemann-S iel jes.
His ó icamen e, el concep o de in eg al pa a el caso en que el in eg ado es un mo imien o
b owniano cuando el in eg ando es un conjun o de unciones alea o ias con de e minadas
p opiedades, ue desa ollado po K. I ô en 1944 en un a ículo i ulado S ochas ic In eg al
publicado en los P oceedings de la Academia Impe ial de Tokio, aunque como Shi yae 14 cons a a
y el p opio I ô econoce15, el p ime o en de ini la in eg al es ocás ica ue N. Wiene en 1934 pa a
in eg andos no alea o ios sua es y de cuad ado in eg able. La mane a de de ini la in eg al
es ocás ica, en palab as de Mandelb o 16“...si [el in eg ado ] es u ie a educido a un núme o de
sal os, al in eg al se ía simplemen e una suma de a iables alea o ias. De o a mane a, [la
in eg al es ocás ica] se cons uye con la ayuda de sumas alea o ias auxilia es de la misma mane a
que una in eg al o dina ia se cons uye con la ayuda de sumas auxilia es”. Po an o una in eg al
es ocás ica se de ine como el lími e, en cie o sen ido, de una suma de a iables alea o ias. La
in eg al es ocás ica una ez de inida, es una in eg al que básicamen e conse a las p opiedades de
una in eg al o dina ia. De hecho es un ope ado lineal, es deci la in eg al es ocás ica de una
combinación lineal de unciones es la combinación lineal de las in eg ales de es ocás ica de las
unciones. Que emos, po úl imo, esal a en es e ema an á ido que los esul ados de una in eg al
es ocás ica son p ocesos es ocás icos.
Ín imamen e elacionado con es e concep o es á el concep o de ecuación di e encial
es ocás ica17. Básicamen e una ecuación di e encial es ocás ica es una gene alización del concep o
de ecuación di e encial o dina ia, es un modelo en el que la a iación en iempo con inuo, o
di e encial, del p oceso solución o a iable dependien e de la ecuación di e encial es ocás ica, se
descompone en la pa e de a iación debida a la a iación del iempo, lo que co esponde ía a una
ecuación di e encial o dina ia, y po o o lado a la pa e debida a la a iación en iempo con inuo de
un mo imien o b owniano, lo que le con ie e el cali ica i o de es ocás ico a la ecuación di e encial.
Es o se exp esa compac amen e como
(
)
(
)
dX ,X d ,X dB=α +δ
La solución a dicha ecuación di e encial es un p oceso es ocás ico,
X
, pa a lo cual se deben
hace uso de odas las he amien as de cálculo es ocás ico desa olladas a lo la go del siglo XX.
Es e ipo de modelos plan eado como ecuación di e encial es ocás ica, no son más que la
gene alización en iempo con inuo de un modelo lineal ípico en el que iempo es la a iable
(1992) Con inuous-Time Finance. Blackwell, o Bisiè e, C. (1997) La s uc u e pa e me des aux d’in e ê . P esses
Uni e si ai e de F ance.
14 Shi yae , A.N. (1999) Essen ials o S ochas ic Finance: Fac s, Models, Theo y, p.251
15 I ô, K. (1951) On S ochas ic Di e en ial Equa ions, p.2
16 Mandelb o , B.B. (1997) F ac als and Scaling in Finance: Discon inui y, Concen a ion, Risk, p.317
17 Pa a un es udio más de allado de es e ema exis en abundan es lib os en la li e a u a. Es un ema muy écnico y
o malizado desde el pun o de is a ma emá ico. Pa a un lec o que sólo quie a in oduci se a un ni el in oduc o io
an o Du e , R. (1996): S ochas ic Calculus: A p ac ical in oduc ion como Shi yae , A.N. (1999): Essen ials o
S ochas ic Finance: Fac s, models, heo y son monog a ías dedicadas al ema.
44
explica i a más una pe u bación alea o ia gaussiana; el papel que es jugado en iempo disc e o po
el paseo alea o io, en iempo con inuo es jugado po la di e encial del mo imien o b owniano.
Es o, sumamen e esumido, es el ipo básico de modelos con los que se ha enido
modelizando en los úl imos 20 ó 30 años el me cado inancie o. Pues bien, es e es el camino po el
cual la complejidad inhe en e al mo imien o b owniano, se aslada a los p ocesos que modelizan el
me cado inancie o. Los p ocesos esul ados de las ecuaciones di e enciales es ocás icas de es e
ipo, suelen exp esa se como una ans o mación uncional del mo imien o b owniano y po an o
las ca ac e ís icas del mismo, sob e odo su ca ác e ac al, se ansmi en en mayo o meno medida
a los p ocesos esul an es.
Podemos ci a , a modo enume a i o como ejemplos, el p oceso conocido como puen e
b owniano, que se ob iene ápidamen e median e la esolución de una ecuación di e encial
es ocás ica18 y que se puede exp esa como una ans o mación lineal del mo imien o b owniano
unidimensional; dicho p oceso es u ilizado po Ball y To ous19 pa a la ob ención de una ó mula de
alo ación de opciones eu opeas sob e un ipo especial de bonos que no de engan in e eses du an e
la ida de los mismos. El p oceso de O ns ein-Uhlenbeck, es udiado po dichos au o es en 193020, y
es, quizás, el ejemplo más an iguo en la li e a u a de las ecuaciones di e enciales es ocás icas.
Dicho p oceso, que es la suma de un mo imien o b owniano es ánda más la in eg al es ocás ica de
una unción exponencial, es u ilizado po Vasicek21 como una ca ac e ización de la es uc u a
empo al de los ipos de in e és ins an áneos pa a la ob ención de la es uc u a empo al de los
p ecios de los bonos cupón ce o en equilib io. Po úl imo, ambién el mo imien o b owniano
geomé ico, la exponencial de un mo imien o b owniano modi icado, que es básico en la ob ención
de la ó mula de alo ación de opciones eu opeas de comp a ob enida po Black y Scholes22.
LIMITACIONES DEL MOVIMIENTO BROWNIANO. ALTERNATIVAS Y NUEVAS
CORRIENTES EN LA MODELIZACIÓN DE LOS MERCADOS FINANCIEROS.
Desg aciadamen e y a pesa de la ácil manejabilidad que ha demos ado ene el mo imien o
b owniano, lo que ha p opiciado el desa ollo de odos es os ins umen os y eo ías que son de suma
u ilidad y aplicados hoy día po doquie en los me cados inancie os, dicho p oceso es ocás ico
ep esen a una aga desc ipción de las ca ac e ís icas de la ealidad inancie a. Básicamen e se
pueden señala cinco ca ac e ís icas de los da os inancie os que no es án de acue do con las
ca ac e ís icas del mo imien o b owniano:
• No-es aciona iedad apa en e de los da os inancie os. Las a iaciones de los p ecios de los
p oduc os inancie os pa ecen ene una dis ibución no es aciona ia, es deci , se en
pe iodos de mucha a iación seguido de pe iodos muchos más anquilos. El mo imien o
b owniano no p esen a es a p opiedad, ya que la a iación de los p ecios en in e alos de
du ación cons an e es á equidis ibuida.
• Concen ación de la a iabilidad. La a iabilidad no sólo no es cons an e, sino que además
se concen an los pe iodos de al a a iabilidad, es deci los pe iodos en los que la
a iación de los p ecios es ele ada no se encuen an aislados, sino concen ados
empo almen e.
18 Véase Shi yae , A.N. (1999): Essen ials o S ochas ic Finance: Fac s, models, heo y, p. 238
19 Véase Sandmann, K. & Sonde mann, D. (1993) A e m s uc u e model and he p icing o in e es a e de i a i e.
The Re iew o Fu u e Ma ke s, ol. 12/2 p. 391
20 Véase Todo o ic, P. (1992) An in oduc ion o s ochas ic p ocesses and hei applica ions, p. 81
21 Vasicek, O. (1977): An Equilib ium Cha ac e iza ion o he e m s uc u e. Jou nal o Financial Economics, 5, p.177-
188.
22 Shi yae , A.N (1999): Essen ials o S ochas ic Finance: Fac s, models, heo y, p.739-742.
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• Dependencia a la go plazo. La an e io ca ac e ís ica de los p ecios inancie os es á muy
elacionada con es a o a de que pa ece que las a iaciones de los p ecios inancie os
p esen an cie a dependencia que no desapa ece sino muy len amen e. Sin emba go el
mo imien o b owniano iene inc emen os independien es y po an o la a iación de un
pe iodo no es á elacionada con la a iación del pe iodo an e io .
• Colas pesadas. Las dis ibuciones de la a iación de los p ecios inancie os suelen se
lep ocú icas, es deci , se ap ecia empí icamen e que a iaciones g andes de los p ecios
apa ecen con más ecuencia de lo que no malmen e se ía de espe a . Po an o es o
conduce a que es necesa io u iliza modelos con mayo a iabilidad de los p ecios que la
que p opo ciona la dis ibución gaussiana que de ine el mo imien o b owniano.
• Discon inuidad en los compo amien os. Las ayec o ias del mo imien o b owniano son
con inuas, es o no pe mi e in oduci discon inuidades de sal o en los modelos en que
apa ece el mo imien o b owniano. Sin emba go, es a discon inuidad en el compo amien o
es algo que es jus i icable en la ealidad, la sensibilidad de los me cados inancie os a odo
ipo de in o mación, los hace sumamen e olá iles y po ejemplo cualquie a iación en la
polí ica económica, in o mación ace ca de la e olución de las magni udes
mac oeconómicas o nue os da os ace ca de la e olución de cualquie emp esa hace que se
p oduzca un cambio b usco en la si uación del me cado que ealmen e se puede in e p e a
como una discon inuidad de cambio.
Es as ca ac e ís icas de los da os inancie os han hecho que hayan su gido nue as co ien es
pa a la modelización de los me cados inancie os.
Una endencia muy impo an e en es e aspec o es la de modelización de los p ecios
inancie os ía los modelos ARCH/GARCH, in oducidos po Engle en 1982 y Bolle sle en 1986,
y sus pos e io es ex ensiones. Básicamen e son modelos no lineales gaussianos que su gen pa a da
cabida al enómeno de las colas pesadas y de la concen ación de la a iabilidad, es o lo hacen
admi iendo cambios en la a iabilidad en las pe u baciones, ya que es as a ían
(he e ocedas icidad) en el iempo. Nelson en 1991 in oduce una a iación de es os modelos una
ca ac e ís ica de los da os inancie os conocida como e ec o “apalancamien o”, que se aduce que
aunque los da os inancie os son muy olá iles an e cualquie ipo de in o mación nue a que
apa ece en el me cado, sin emba go, so p esas nega i as a ec an mucho más a la a iabilidad que
so p esas posi i as. Es a asime ía en la espues a a la in o mación se ecoge en el modelo de
Nelson.
En de ini i a, es os modelos se han ido ac ualizando pa a adecua se cada ez de mejo mane a
a las ca ac e ís icas de las se ies inancie as así enemos oda una amilia de modelos denominados
ARCH, GARCH, EGARCH, FGARCH, FIGARCH, FIEGARCH, FIFGARCH. En Mandelb o 23, y
más ecien emen e en Ruiz y Pé ez24, se puede encon a una buena lis a de e e encias pa a es os
modelos. Básicamen e odos es os modelos son no lineales po lo an o no hace sino ahonda en la
pene ación en la u ilización de los modelos complejos en los me cados inancie os. El es udio de
es o modelos a la luz de su elación con la eo ía de la complejidad es una senda u u a de
in es igación que puede se in e esan e y p oduc i a.
No obs an e es e ipo de modelos no es án exen os de p oblemas. De acue do con las palab as
de Mandelb o 25 la amilia de modelos GARCH quieb a en la consis encia de los esul ados
o ecidos po lo mismo con o me cambiamos la escala empo al en que los medimos, es o añade
una es icción más al in es igado que debe decidi cual es la escala empo al adecuada pa a el
23 Mandelb o , B. (1997) A mul i ac al model o asse e u ns.
24 Ruiz, E. & Pé ez, A. (2001) Assyme ic long memo y GARCH: A eply o Hwang’s model.
25 Mandelb o , B. (1997) A mul i ac al model o asse e u ns, p. 1-5
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modelo en cues ión. Además es os modelos no ep esen an bien el p oceso de dependencia a la go
plazo de los mismos, algo que Mandelb o denomina como memo ia a la go plazo. Pa a ello
Mandelb o in oduce un modelo que el denomina mul i ac al basado en el mo imien o b owniano
accional y los p ocesos es ocás icos mul i ac ales. El mo imien o b owniano acciona io es
p oceso gaussiano ob enido median e una ans o mación a a és de una in eg al es ocás ica del
mo imien o b owniano unidimensional. Fue conside ado26 po p ime a ez po Kolmogo o en
1940 y po Mandelb o en 1965 y analizado en p o undidad po Mandelb o y Van Ness en 196827.
Las p incipales ca ac e ís icas de es e mo imien o es que posee una a iabilidad cíclica no
pe iódica en odas las escalas empo ales y p esen a dependencia es adís ica a la go plazo de mane a
que los inc emen os del mismo en dos in e alos empo ales no solapados es án siemp e
co elacionados, sal o en el caso que el mo imien o b owniano accional se con ie a en un
mo imien o b owniano es ánda (que puede in e p e a se como un caso pa icula del an e io ). Es
un p oceso que p esen a múl iples coexis en es dimensiones ac ales28. Los p ocesos mul i ac ales
son una gene alización de los p ocesos au o-a ines, lo que con ie e al modelo una mayo
a iabilidad de compo amien os. Es e nue o modelo en palab as de Mandelb o 29 inco po a las
egula idades obse adas en las se ies inancie as que no ecogían los modelos GARCH.
Es a p ome edo a nue a endencia in oducida po Mandelb o p o undiza, en la ya de po sí
ex ensa pléyade, de mé odos complejos pa a el es udio de la e olución de los me cados inancie os
que su gió en 1900 con la in oducción del mo imien o b owniano en la explicación de la a iación
de los p ecios especula i os.
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applica ions. SIAM Re iew 10, n. 4, p. 422-437
28 Mandelb o , B.B. (1997) F ac als and Scaling in Finance: Discon inui y, Concen a ion, Risk, p. 161
29 Mandelb o , B. (1997) A mul i ac al model o asse e u ns, p. 24