Análisis de algunos modelos de dinámica de poblaciones no lineales estructurados en edad y espacio

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no31(2005), 53–72 An´alisis de algunos modelos de din´amica de poblaciones no lineales estructurados en edad y espacio∗ M. Delgado, M. Molina-Becerra y A. Su´ arez Departamento de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico, Universidad de Sevilla [email protected], [email protected] y [email protected] Resumen En este trabajo estudiamos modelos de la din´amica de poblaciones estructurados en edad con difusi´on. Construiremos un m´etodo de subsupersoluci´on y veremos que, efectivamente, bajo la hip´otesis de la existencia de un par de sub-supersoluciones, encontramos existencia de soluci´on entre dicho par. Despu´es, aplicaremos este m´etodo a un problema log´ıstico generalizado y a un modelo de tipo Holling-Tanner. Palabras clave: modelos estructurados en edad, m´etodo de sub-supersoluci´on, condici´on inicial no local Clasificaci´on por materias AMS: 95B25, 35K57, 35B05, 35Q80 1 Introducci´on 1.1 Una breve introducci´on a los modelos estructurados en edad sin difusi´on En los ´ultimos doscientos a˜nos se han usado diversas teor´ıas matem´aticas para modelar y comprender el comportamiento de poblaciones humanas, animales, c´elulas, epidemias... La primera contribuci´on significativa a la teor´ıa de la din´amica de poblaciones fue la de T. Malthus, quien en 1798 public´o su c´elebre Ensayo sobre el principio de la poblaci´on. Su modelo lineal era satisfactorio siempre que la poblaci´on no fuese demasiado grande. Es importante se˜nalar que cuando la ∗Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnolog´ıa bajo el proyecto BFM2003-06446-C02-01 Fecha de recepci´on: 25/01/05 53 54 M. Delgado, M. Molina-Becerra, A. Su´ arez poblaci´on es “grande”, los modelos lineales no pueden ser exactos ya que no contemplan el hecho de que los individuos compiten entre s´ı por los recursos (como puede ser comida, espacio...). Posteriormente, en 1837, P. F. Verhulst a˜nadi´o un t´ermino no lineal a la ley de Malthus que ten´ıa en cuenta esta limitaci´on de crecimiento, formulando un modelo conocido como la ley log´ıstica. M´as adelante se introduce la consideraci´on de la edad de la poblaci´on, que es un dato decisivo por ejemplo para las tasas de natalidad y mortalidad de las especies. F. R. Sharpe, A. Lotka (1911) y A. G. McKendrick (1926) (v´eanse [33, 29]) fueron los primeros en introducir la edad en los modelos de din´amica de poblaciones. El modelo de Sharpe-Lotka-McKendrick, tambi´en llamado modelo de von Foerster-McKendrick o simplemente ecuaci´on de McKendrick, supone que una poblaci´on asexual puede ser descrita por una funci´on de dos variables: edad y tiempo. En ´el se denota ρ(a, t) la densidad de poblaci´on de edad aen el instante de tiempo t. Entonces se tiene que Dρ := l´ım h→0 ρ(a+h, t +h)−ρ(a, t) h es la raz´on con la que la poblaci´on de edad acambia en tiempo. Cuando ρes diferenciable, claramente, se tiene que Dρ =ρt+ρa. Se denota d(a, t) el n´umero de individuos de edad aque mueren en el tiempo t. Se supone que d(a, t) = µ(a)ρ(a, t), donde µ(a) es la tasa de mortalidad para los individuos de edad a. A su vez, se supone que el proceso de nacimiento es descrito por la ecuaci´on de renovaci´on ρ(0, t) = Z∞ 0 β(a)ρ(a, t) da, donde β(a) es la tasa de descendencia que tiene un individuo de edad a. Por ´ultimo, se a˜nade una condici´on inicial ρ(a, 0) = ρ0(a). El modelo resultante es        Dρ(a, t) + µ(a)ρ(a, t) = 0, ρ(a, 0) = ρ0(a), ρ(0, t) = Z∞ 0 β(a)ρ(a, t) da. Este modelo es lineal y, como hemos comentado, no es aplicable a muchas situaciones reales. As´ı, como sucede habitualmente, el modelo ha ido mejorando desde su introducci´on, quedando incorporados nuevos aspectos y quedando Din´amica de poblaciones estructurada en edad y espacio 55 planteadas nuevas dificultades matem´aticas. As´ı, un modelo m´as de acuerdo con la realidad hace pensar en variar las tasas de mortalidad y fertilidad por ejemplo con la poblaci´on total, P(parece l´ogico suponer que a mayor poblaci´on mayor ser´a su tasa de mortalidad). En 1974, Gurtin y MacCamy, [18], introducen una formulaci´on m´as realista de un modelo de din´amica de poblaciones no lineal, determinista y estructurado en edad. Consideran que tanto la tasa de natalidad como la tasa de mortalidad son funciones no lineales de P. El resultado es entonces el siguiente:          ∂ρ ∂t (a, t) + ∂ρ ∂a(a, t) + µ(a, P(t))ρ(a, t) = 0, ρ(a, 0) = ρ0(a), ρ(0, t) = Z∞ 0 β(a, P(t)) ρ(a, t) da (1) donde la poblaci´on total Pest´a dada por P(t) := Z∞ 0 ρ(a, t) da. En los ´ultimos a˜nos se ha avanzado en el estudio de estos modelos. Se tienen resultados de existencia y unicidad de soluci´on para distintas expresiones de las tasas de nacimiento y mortalidad, en particular modelos log´ısticos [7], modelos con tasas de natalidad y mortalidad no acotada en tiempo [9], etc. Tambi´en se han estudiado otras cuestiones, como la existencia de estados de equilibrios, su estabilidad, el comportamiento asint´otico global de las soluciones, etc. Las t´ecnicas b´asicas para el estudio de este tipo de modelos son las siguientes:  Para el estudio de la existencia y unicidad de soluci´on, principalmente, se utiliza un m´etodo de integraci´on a lo largo de las l´ıneas caracter´ısticas a+t=cte. que nos permite reducir el problema a un sistema de ecuaciones integrales para otras variables, cuya existencia y unicidad de soluci´on se sigue de un teorema de punto fijo.  Para el comportamiento asint´otico, en el caso de procesos lineales, se suele buscar la existencia de soluciones persistentes, que tienen la forma ρ(a, t) = T(t)A(a) (cf. [5]). Para modelos no lineales que no son de ecuaciones separables, los mejores resultados se siguen de la teor´ıa de semigrupos de operadores no lineales (v´ease por ejemplo [32, 35]). Ya que muchos problemas de poblaci´on implican interacciones entre subclases de poblaciones, tambi´en se han estudiados modelos de sistemas con estructura de edad [35]. Esta formulaci´on de sistemas se ha utilizado, entre otras muchas, para modelar epidemias. En estos modelos, se divide habitualmente la poblaci´on pen tres subpoblaciones s,iyr, individuos susceptibles de contraer la enfermedad, individuos infectados por la misma 56 M. Delgado, M. Molina-Becerra, A. Su´ arez e individuos inmunes (tras haber contra´ıdo la enfermedad y haber sanado), respectivamente. Evidentemente, se tiene que p=s+i+r. Se han considerado modelos denotados en la literatura por SIS (susceptibles-infectados-susceptibles) donde pasar la enfermedad no implica inmunidad y por SIR (susceptiblesinfectados-inmunes) donde ocurre lo contrario. Modelos como ´estos han sido estudiados por ejemplo en [6] y [20]. Tambi´en, se han incorporado modelos de din´amicas de poblaciones en el que interact´uan dos especies diferentes con estructura de edad, como por ejemplo modelos de presa-depredador (cf. [17, 34]). En otros modelos introducidos se mezclan sistemas de presa-depredador con sistemas de epidemias (v´ease por ejemplo [8] sin estructura en edad y [4, 11] con estructura en edad en la presa). Pero, en general, la abundante literatura resulta poco sistem´atica (v´ease [31]), puesto que es bastante complicado desarrollar argumentos que sirvan para cualquier tipo de problemas con estructura en edad. 1.2 Introducci´on a los modelos estructurados en edad con difusi´on En [16], Gurtin introduce la edad en los modelos de din´amica de poblaciones con difusi´on. As´ı, supuso que la evoluci´on de la poblaci´on estaba gobernada por la ley ρt+ρa=−div q +s, donde ρ(x, a, t) denota la funci´on distribuci´on de la poblaci´on, x∈Ω (Ω un abierto acotado y regular de RN), qel flujo de la poblaci´on debido a la dispersi´on ysrepresenta la variaci´on neta de los individuos, debida generalmente a la mortalidad de la especie. En 1977, Gurtin y MacCamy [19] diferenciaron entre dos clases de difusi´on: la difusi´on debida a una dispersi´on aleatoria (lineal) y la difusi´on para evitar el hacinamiento, es decir aqu´ella en la que las especies migran de zonas de alta a baja densidad de poblaci´on (difusi´on no lineal). Los autores aplicaron los resultados que se conoc´ıan para el caso sin estructura en edad, a una extensi´on no lineal de un modelo con estructura en edad aparecido en [16]. Supusieron que la tasa de variaci´on de individuos era debida exclusivamente a la muerte en la poblaci´on y tomaba la forma: s(x, a, t) := −µ(a, P)ρ, donde µrepresenta la tasa de mortalidad de la especie y Pdenota la poblaci´on total, es decir P(x, t) = Z∞ 0 ρ(x, a, t) da. El proceso de nacimiento ven´ıa modelado por la siguiente ecuaci´on: ρ(x, 0, t) = Z∞ 0 β(a, P)ρ(x, a, t) da. Adem´as, el flujo de la poblaci´on debido a la dispersi´on segu´ıa la ley usual q=ρv, Din´amica de poblaciones estructurada en edad y espacio 57 siendo vla velocidad de difusi´on. Puesto que estaban interesados en situaciones en las que la difusi´on evitaba la concentraci´on, asumieron que: v=−k(a, ρ, P)∇P. As´ı, suponiendo que tanto µcomo βykson independientes de ay adem´as kes independiente de ρ, obtuvieron el sistema de ecuaciones: (ρt+ρa+µ(P)ρ=div [ρk(P)∇P], ρ(x, 0, t) = β(P)P(x, t). Integrando en la variable edad, se tiene una ecuaci´on sin estructura en edad. A partir de la d´ecada de los a˜nos 80, estos modelos empiezan a desarrollarse y as´ı muchos trabajos aparecen en la literatura [14, 15, 23, 26, 28]. Estudian modelos lineales y no lineales, a causa de la dependencia de la poblaci´on total en las tasas de mortalidad y fertilidad y tambi´en consideran distintos tipos de difusi´on. M´as recientemente, Kubo y Langlais [21, 22] introducen en el t´ermino de variaci´on neta una funci´on lineal positiva, es decir, suponen que la densidad de poblaci´on puede aumentar por agentes externos. Adem´as, bajo ciertas hip´otesis de periocidad en los datos, dan resultados de existencia y no existencia de soluci´on peri´odica, aplicando los resultados obtenidos a un sistema de epidemias con difusi´on. Pero, que nosotros sepamos, en ninguno de estos modelos se estudia el caso en el que la tasa de variaci´on neta de la especie puede deberse tanto a entrada como a salida de individuos (no s´olo natalidad y mortalidad, sino tambi´en inmigraci´on y emigraci´on) y adem´as es un t´ermino no lineal dependiente de la densidad de poblaci´on. ´ Ultimamente, se ha comenzado con el estudio de los problemas de control y controlabilidad aplicados a problemas lineales y no lineales con difusi´on (v´eanse por ejemplo los trabajos de Ainseba, Langlais y Anit¸a [1, 2, 3] entre otros). En este trabajo analizaremos modelos evolutivos no lineales con dependencia en edad y espacio [12]. En la secci´on siguiente veremos que un m´etodo de subsupersoluci´on para este tipo de problemas funciona y despu´es se lo aplicaremos a un par de problemas ecol´ogicos: a un modelo log´ıstico generalizado y a un modelo de tipo Holling-Tanner. En la ´ultima secci´on, analizaremos los problemas estacionarios en tiempo asociados [10]. 2 Modelos evolutivos dependientes en edad con difusi´on En esta secci´on vamos a considerar un modelo semilineal que describe la din´amica de una especie con dependencia en edad y estructura espacial. El modelo que estudiamos es una generalizaci´on de modelos estudiados anteriormente (v´eanse por ejemplo los modelos aparecidos en los trabajos de Langlais [25, 27, 28]). En ´estos se supone que la variaci´on neta de individuos viene ´unicamente dada por la mortalidad de la especie, es decir es un t´ermino de 58 M. Delgado, M. Molina-Becerra, A. Su´ arez salida de individuos, mientras que en el modelo que detallaremos a continuaci´on aparece adem´as un t´ermino de reacci´on con el medio donde habita la especie no lineal. Sea u(x, a, t) la densidad de la poblaci´on de edad a > 0, en el instante de tiempo t > 0 y en la posici´on x∈Ω, donde Ω es un dominio acotado de RN, con frontera, ∂Ω, regular. Supondremos que la difusi´on es lineal, i.e. el flujo de poblaci´on viene dado por ∇u, donde ∇es el gradiente con respecto a la variable espacial. Adem´as, asumiremos que la entrada-salida de individuos viene dada por un t´ermino de mortalidad y un t´ermino de reacci´on, i.e. s:= −µ(x, a, t)u+f(x, a, t, u), donde µ(x, a, t) es la tasa de la mortalidad natural de la especie y fdescribe el efecto del entorno en la poblaci´on, es decir migraci´on e inmigraci´on de la especie. Tendremos que fes positiva cuando el entorno es favorable y negativa cuando es hostil. Adem´as, supondremos que los individuos de la poblaci´on no alcanzan la edad m´axima, A†; es decir, mueren antes de alcanzar dicha edad. Asumiremos que el proceso de nacimiento viene dado por la ecuaci´on u(x, 0, t) = ZA† 0 β(x, a, t)u(x, a, t) da, donde β(x, a, t) representa la tasa de fertilidad. Finalmente, supondremos que la frontera ∂Ω del dominio Ω es inhabitable, lo que implica una condici´on frontera de tipo Dirichlet homog´enea. Sea Tun n´umero real positivo y denotemos Oel abierto (0, A†)×(0, T ). Entonces, el modelo que consideramos es el siguiente:                  ∂u ∂t +∂u ∂a −∆u+µ(x, a, t)u=f(x, a, t, u) en Ω × O, u(x, a, t) = 0 sobre ∂Ω× O, u(x, a, 0) = u0(x, a) en Ω ×(0, A†), u(x, 0, t) = ZA† 0 β(x, a, t)u(x, a, t)daen Ω ×(0, T). (2) En primer lugar vamos a dar el concepto de soluci´on que emplearemos a lo largo de la secci´on: Definici´on 1 Una funci´on u: Ω × O → Res una soluci´on del problema (2) si u∈L2(O;H1 0(Ω)) y adem´as verifica (∂t+∂a)u+µu ∈L2(O;H−1(Ω)), f(·,·,·, u)∈L2(O;H−1(Ω)) Din´amica de poblaciones estructurada en edad y espacio 59 y, para cualquier w∈L2(O;H1 0(Ω)), se tiene que ZZO h(∂t+∂a)u+µu, widadt+ZZZΩ×O ∇u· ∇wdxdadt =ZZO hf(·, a, t, u), widadt, (3) donde h· ,·i denota el producto de dualidad entre H−1(Ω) yH1 0(Ω). Gracias a la regularidad pedida a una soluci´on u, las condiciones iniciales tienen sentido en L2(Ω×(0, A†)) y L2(Ω×(0, T)), respectivamente y, por tanto, utiene que verificar: u(x, a, 0) = u0(x, a),en L2(Ω ×(0, A†)) u(x, 0, t) = ZA† 0 β(x, a, t)u(x, a, t)da, en L2(Ω ×(0, T)). Vamos a suponer que (Hµ) La tasa de mortalidad verifica µ∈ C0(Ω×[0, A†)×[0, T ]), µ(x, a, t)≥0 en Ω × O (4) y su comportamiento en a=A†viene dado por la “condici´on de divergencia”(v´ease por ejemplo [24]):        0< t < A†, x ∈Ω,l´ım a→A†Zt 0 µ(x, a −t+τ, τ)dτ= +∞, A†< t < T, x ∈Ω,l´ım a→A†Za 0 µ(x, α, t −a+α)dα= +∞. (5) (Hβ) La tasa de natalidad β, definida en Ω × O, verifica β∈L∞(Ω × O), β(x, a, t)≥0 e.c.t Ω × O.(6) Pondremos ¯ β:= sup{β(x, a, t) : (x, a, t)∈Ω× O} (7) (H0) Asumiremos que la condici´on inicial, u0, verifica u0∈L2(Ω ×(0, A†)).(8) Nota 1 La condici´on (5) nos garantiza que, bajo ciertas hip´otesis sobre f, la soluci´on del problema (2) se anula en a=A†. Es decir, la poblaci´on muere al alcanzar la edad a=A†(v´ease por ejemplo [15, teorema 3]). El siguiente resultado nos da la existencia y unicidad de soluci´on de (2) bajo la hip´otesis de lipschitzianidad global de f. La demostraci´on est´a basada en la definici´on de una aplicaci´on y la b´usqueda de su ´unico punto fijo (basada en el teorema del punto fijo de Banach), que ser´a justamente la soluci´on del problema. 60 M. Delgado, M. Molina-Becerra, A. Su´ arez Teorema 1 Supongamos (Hµ),(Hβ),(H0)y adem´as (Hf)fes lipschitziana con respecto a la cuarta variable, i.e. existe una constante Lpositiva tal que e.c.t. (x, a, t)∈Ω× O |f(x, a, t, s1)−f(x, a, t, s2)| ≤ L|s1−s2|e.c.t s1, s2∈R. Adem´as suponemos que f(·,·,·,0) ∈L2(Ω × O).(9) Entonces existe una ´unica soluci´on, u, del problema (2). 2.1 El m´etodo de sub-supersoluci´on En una segunda etapa hemos establecido un m´etodo de sub-supersoluci´on para problemas del tipo (2). Dicho m´etodo nos permitir´a debilitar la hip´otesis de lipschitzianidad global de fa car´acter Lipschitz en la zona comprendida entre la sub y la supersoluci´on. Tambi´en nos ayudar´a en el estudio del comportamiento asint´otico de la soluci´on. Definici´on 2 Se dice que una funci´on u∈L2(O;H1(Ω)) es una subsoluci´on del problema (2) si (∂t+∂a)u+µu ∈L2(O; (H1(Ω))0), f(·,·,·, u)∈L2(Ω × O) y adem´as verifica a) Para toda v∈L2(O;H1 0(Ω)) positiva ZZO h(∂t+∂a)u+µu, vidadt+ZZZΩ×O ∇u· ∇vdxdadt ≤ZZO f(x, a, t, u)vdadt, (10) b) u(x, a, t)≤0sobre ∂Ω× O, en el sentido d´ebil, c) u(x, 0, t)≤ZA† 0 β(x, a, t)u(x, a, t) daen Ω×(0, T), d) u(x, a, 0) ≤u0(x, a)en Ω×(0, A†). An´alogamente, se define una supersoluci´on, u, invirtiendo las desigualdades anteriores. El siguiente resultado proporciona la existencia y unicidad de soluci´on de (2) entre la sub y la supersoluci´on: Din´amica de poblaciones estructurada en edad y espacio 61 Teorema 2 Supongamos que existe un par de sub-supersoluciones de (2),u,u, y que fverifica |f(x, a, t, s1)−f(x, a, t, s2)| ≤ L|s1−s2|p.c.t. s1, s2∈[u∗, u∗],(11) con u∗= inf (x,a,t)∈Ω×O{u(x, a, t), u(x, a, t)}, u∗= sup (x,a,t)∈Ω×O {u(x, a, t), u(x, a, t)}.(12) Entonces u≤u. Adem´as, (2) posee una ´unica soluci´on, u, tal que u≤u≤u. (13) La prueba de este resultado est´a basada en un principio del m´aximo y en la aplicaci´on de un m´etodo de punto fijo; para una demostraci´on detallada, ver [12, teoremas 3.2 y 3.4]. 2.2 Aplicaci´on a algunos modelos ecol´ogicos Vamos a aplicar el m´etodo de sub-supersoluci´on descrito anteriormente a algunos modelos ecol´ogicos. En concreto, consideraremos el modelo                ∂tu+∂au−∆u+µ(a)u=λu +F(u) en Ω × O, u(x, a, t) = 0 sobre ∂Ω× O, u(x, a, 0) = u0(x, a) en Ω ×(0, A†), u(x, 0, t) = ZA† 0 β(a)u(x, a, t) daen Ω ×(0, T), (14) con las particularizaciones siguientes:  Un modelo log´ıstico generalizado, es decir F(s)≡ −g(s), donde gsatisface la siguiente condici´on (Hg)ges localmente lipschitziana, g(0) = 0, g(s)≥0 para todo s∈R+, l´ım s→0 g(s) s= 0,(15) l´ım s→+∞ g(s) s= +∞.(16) 68 M. Delgado, M. Molina-Becerra, A. Su´ arez para toda v∈L2(0, A†;H1 0(Ω)) positiva se tiene que ZA† 0 h∂au+µu, vida+ZZΩ×(0,A†) ∇u· ∇vdxda ≥ZZΩ×(0,A†) f(x, a, u)vdxda, u(x, a)≥0sobre ∂Ω×(0, A†) y u(x, 0) ≥ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω. An´alogamente se define el concepto de subsoluci´on (cambiando las desigualdades anteriores por sus contrarias). Recordaremos ahora un resultado de existencia de soluci´on bajo la hip´otesis de existencia de un par de sub-supersoluciones. Dicho resultado est´a basado en la construcci´on de un par de sucesiones que arrancan respectivamente en la subsoluci´on y supersoluci´on. Teorema 6 Supongamos que se verifican las condiciones (f Hµ)y(f Hβ)y que adem´as fverifica |f(x, a, s1)−f(x, a, s2)| ≤ L|s1−s2|,e.c.t. (x, a)∈Ω×(0, A†), s1, s2∈R.(25) Si existe un par de sub-supersoluciones de (23) tales que u≤u, entonces existe una soluci´on minimal u∗y una soluci´on maximal u∗de (23) en el sentido siguiente: para cualquier otra soluci´on u∈[u, u] := {u∈L2(Ω ×(0, A†)) : u≤u≤u}, se verifica que u≤u∗≤u≤u∗≤u. 3.2 El problema de autovalores An´alogamente a como hemos hecho en la secci´on anterior, queremos aplicar el teorema 6 a un problema log´ıstico generalizado. Como hicimos en el caso evolutivo, la primera etapa consistir´a en estudiar el problema lineal asociado, es decir,          ∂au−∆u+µ(x, a)u=λu en Ω ×(0, A†), u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω. (26) La situaci´on no es la misma que la que corresponde al caso parab´olico cl´asico, donde la condici´on inicial tiene car´acter local (u(x, 0) = u0(x)>0). Din´amica de poblaciones estructurada en edad y espacio 69 Para el parab´olico cl´asico sabemos que el problema (26) posee soluci´on positiva para todo λ∈R. Por el contrario, nos encontramos aqu´ı ante un problema de autovalores. Definici´on 5 Diremos que λes un autovalor de (26) si existe una soluci´on u de (26). Diremos que λes un autovalor principal si existe una soluci´on uque verifica u > 0en Ω×(0, A†). En el siguiente resultado, que reposa sobre el teorema de Krein-Rutman, queda asegurada la existencia de un ´unico autovalor principal: Teorema 7 Supongamos que se verifican las hip´otesis (f Hµ)y(f Hβ). Entonces existe un ´unico autovalor principal de (26), que ser´a denotado por λ0(µ), que es simple y es el ´unico que tiene asociada una autofunci´on positiva. Adem´as, las autofunciones positivas pueden elegirse acotadas. Finalmente, la aplicaci´on µ7→ λ0(µ)es creciente. 3.3 Aplicaci´on a un problema log´ıstico generalizado Ahora vamos a aplicar los teoremas 6 y 7 al problema log´ıstico generalizado siguiente:          ∂au−∆u+µ(x, a)u=λu −g(u) en Ω ×(0, A†), u(x, a) = 0 sobre ∂Ω×(0, A†), u(x, 0) = ZA† 0 β(x, a)u(x, a) daen Ω, (27) con λ∈Rygverificando las hip´otesis (Hg), (15) y (16). Supondremos adem´as, para obtener unicidad, que g(s)/s es una funci´on estrictamente creciente. El siguiente teorema es un resultado de existencia de soluci´on para ciertos valores de λdonde, de nuevo, observamos un destacable cambio con respecto al problema parab´olico cl´asico. Teorema 8 El problema (27) tiene una soluci´on positiva si y s´olo si λ > λ0(µ). Adem´as, caso de que exista la soluci´on, ´esta es ´unica. Demostraci´on. De nuevo nos limitaremos a dar una idea de la demostraci´on.  Supongamos en primer lugar que existe u > 0 soluci´on de (27). Entonces es f´acil comprobar que λ=λ0(µ+g(u)/u)> λ0(µ).(28)  Supongamos ahora que λ > λ0(µ). Veamos entonces la existencia de soluci´on de (27). Para ello, tomamos como subsoluci´on la funci´on u:= εϕ(x, a) 70 M. Delgado, M. Molina-Becerra, A. Su´ arez con ε > 0 suficientemente peque˜no y ϕuna autofunci´on positiva asociada aλ0(µ). Y como supersoluci´on la funci´on u:= Keϕ(x, a), donde K > 0 suficientemente grande y eϕ(x, a) es la autofunci´on positiva asociada a f λ0(µ), el autovalor principal del problema (26) correspondiente a un abierto e Ω tal que Ω ⊂⊂ e Ω. Para demostrar la unicidad, supongamos que existen dos soluciones distintas u1, u2de (26). Entonces se comprueba que en este caso λ > λ0(µ+g(u1)/u1), lo cual est´a en contradicci´on con que u1sea soluci´on de (26) por (28). ¤ Referencias [1] B. Ainseba, Exact and approximate controllability of the age and space population dynamics structured model. J. Math. Anal. Appl., 275:562–574, 2002. [2] B. Ainseba, M. 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