V Cong eso de Ingenie ía de O ganización
Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003
ƒ Índice
Aplicación de la eo ía de Opciones Reales al Análisis de In e siones en
Nue as Tecnologías*.
José Miguel León Blanco1, José Manuel F amiñán To es2, Ra ael Ruiz Usano3, Ped o Luis González
Rod íguez4
1 Ingenie o Indus ial, Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa, Cº de los Descub imien os s/n Se illa 41092
Se illa, [email p o ec ed]
2 Doc o Ingenie o Indus ial, Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa, Cº de los Descub imien os s/n Se illa
41092 Se illa, [email p o ec ed]
3 Doc o Ingenie o Indus ial, Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa, Cº de los Descub imien os s/n Se illa
41092 Se illa, [email p o ec ed]
4 Ingenie o en O ganización Indus ial, Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa, Cº de los Descub imien os s/n
41092 Se illa, [email p o ec ed]
RESUMEN
En los úl imos años ha c ecido la inquie ud en la emp esa po o mas iables de e alua las
in e siones en nue as ecnologías. Uno de los mé odos que más popula idad es á alcanzando en e
los consul o es es el análisis de opciones eales. Muchos de los p oblemas de in e sión en nue as
ecnologías son simila es a p oblemas de in e sión en opciones inancie as. La necesidad de
cuan i ica la ola ilidad inhe en e a p oyec os que implican opciones es cla e en el éxi o de es a
me odología.
Palab as cla e: Análisis de In e siones, Opciones Reales, Black-Scholes.
1. In oducción.
La ince idumb e que odea a las a iables que in e ienen en la oma de decisiones sob e una
in e sión en ecnologías de come cio elec ónico es an al a que lle a a muchos de los
esponsables a oma las sin un es udio de allado de los más que posibles cambios que
in oduci án el me cado, las nue as ecnologías y los nue os compe ido es. Po o o lado, es
ecuen e que no se ealice un análisis pos e io del esul ado de las p e isiones. En muchos
casos se p e ie e e asa la in e sión, pe o sin una cuan i icación de si la in e sión se á más
en able o no en un u u o. La eo ía de opciones eales es adecuada pa a el análisis de la
in e sión p ecisamen e po que ayuda a alo a de o ma cuan i a i a esa ince idumb e.
2. Mé odos de alo ación de opciones inancie as.
En la alo ación de p oyec os de in e sión en los que se en implicadas dis in as opciones se
pueden emplea di e en es mé odos. Los más adicionales como el cálculo del alo ac ual
ne o, el e o no de in e sión y simila es equie en el p onós ico a-p io i de los lujos de caja,
omando además como conocida y cons an e la asa de descuen o equi alen e. En el me cado
de las ecnologías de la in o mación, como sucede en los sec o es económicos más dinámicos,
no dejan de se unas suposiciones algo a iesgadas. Los cambios cons an es hacen di ícil el
* Es e abajo se de i a de la pa icipación de sus au o es en un p oyec o de in es igación inanciado po CICYT
con e e encia DPI-2001-3110 i ulado “Sis emas Híb idos pa a un con ol In eg ado de la P oducción”
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supone que la asa de descuen o pueda conside a se cons an e.
Los p oyec os de in e sión que implican alguna ince idumb e po a iaciones que pueden
p oduci se a lo la go de su desa ollo, o po la p esencia de ac o es que implican dis in as
opciones una ez emp endidos, se asemejan en g an medida a las in e siones en ac i os
inancie os, al menos en cuan o a los lujos económicos se e ie e.
Un ejemplo son los p oyec os cuya in e sión puede e asa se. En ese caso, el lujo de caja
inicial no a a p oduci se has a más a de, momen o en el que se dispond á de mayo es
elemen os de juicio. Po o o lado ampoco se p oduci án los lujos de caja ela i os a la
en ada económica que supone el uncionamien o no mal del p oyec o.
Las opciones inancie as se pueden sepa a en dos ipos: call y pu . Con una opción ipo call
se adquie e el de echo de comp a al inal de un plazo T un bien po un p ecio V es ablecido
en la opción. Si el alo de me cado X del bien al inal del plazo es mayo que el pac ado, se
puede eje ce la opción de comp a, que supond á un gas o meno que el de me cado si la
di e encia en e el p ecio pac ado y el alo de me cado es mayo que el p ecio de la opción
O. Una opción pu se e ie e a la en a po un p ecio pac ado. En es e caso, si el alo X al
inal del plazo más el p ecio de la opción O es meno que el p ecio de en a aco dado V, se
eje ce á la opción. Se dis inguen además dos ipos adicionales; el eu opeo es el comen ado, y
el ame icano pe mi e eje ce el de echo de comp a o en a an es de que inalice el plazo.
La simili ud en e una opción eal, de pospone una in e sión, po ejemplo, y una opción
inancie a se basa en los lujos de caja. Si se paga po comp a un bien de alo V a un p ecio
pac ado X al cabo de un iempo T de madu ación es pa ecido a la posibilidad de in e i X
den o de un iempo T, siendo V el alo ac ual espe ado de los ing esos. La ola ilidad σ de
los ing esos espe ados se asemeja a la ola ilidad del p ecio del ac i o po cuya comp a se
puja.
Si se oma X como el p ecio de eje cicio de la opción, el alo de una opción call eu opea es
y si se a a de una opción pu el alo es ),0max( XVC −= ),0max( VXP
−
=
En la ac ualidad, se emplean dos mé odos p incipales pa a la alo ación de opciones
inancie as que se pueden aplica al análisis de in e siones que implican opciones.
El más conocido es el modelo de Black y Scholes, del que exis en e siones co egidas, que
ienen en cuen a el caso en el que el esponsable de la decisión se encuen e con opciones que
cla amen e no p esen an el mismo iesgo o el caso de que se en eguen di idendos.
Po o o lado, el mé odo binomial se basa en una ep esen ación de la e olución del alo del
ac i o [1]. El alo V del ac i o luc úa siguiendo una dis ibución binomial. A pa i de un
ins an e 0, el ac i o puede oma dos alo es al inal de cada pe iodo ∆ ; u·V con p obabilidad
q y d·V con p obabilidad 1-q, siendo q,d < 1, u > 1 y = 1 + al que d < < u. es la asa de
in e és lib e de iesgo, la que se emplea ía en el caso de conside a que las dos opciones
p esen an un iesgo simila . Una e sión co egida del mé odo binomial es el mé odo
inomial, que apo a mayo lexibilidad al conside a que un ac i o puede cambia su alo a
es es ados (mayo , igual o meno ).
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u·V
V
d·V d < 1
u > 1
d < < 1
;
= 1 +
1 - q
q
0
0 + ∆
Figu a 1: E olución del alo de un ac i o según el mé odo binomial.
Median e el mé odo binomial, el alo de una opción call eu opea es
)1)·(,0max(,)·,0max( qXuVCqXuVC du
−
−
=
−
= (1)
T as n pe iodos de igual du ación ∆ , T en o al o iempo de madu ación, el alo de la opción
call eu opea es
(2) ),;()',;(· pnaBX pnaBVC n−
−=
que con e ge, cuando n se hace muy g ande, a la exp esión de Black y Scholes:
(3)
)()( 21 dINedVNC T
−
−=
donde
Tdd
T
T
d
X
V
σ
σ
σ
−=







++
=12
2
1,
2
ln
(4)
En el caso de Black-Scholes, la e sión co egida, en que se iene en cuen a que una de las
opciones puede se cla amen e más a iesgada que la o a, oma la o ma:
(5)
)()( 21 dNXedNVeC T
T ′′
=−
−
δ
donde
Tdd
T
T
d
X
V
σ
σ
σ
δ
−
′
=
′







+−+
=
′12
2
1,
2
ln
(6)
siendo δ el coe icien e que co ige la asa de in e és indi e en e an e el iesgo.
3. Tipos de opciones eales.
En gene al las opciones sob e decisiones de in e sión son de unos pocos ipos [2]: Aumen a
la in e sión, Re asa la in e sión, has a ene más in o mación o has a que la ecnología sea
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menos cos osa, desca a la in e sión, pa a ap o echa los ecu sos en o os usos y a enda o
subcon a a el p oyec o, con lo que ambién se elude pa e del iesgo del mismo.
O a clasi icación de los ipos de opciones es sepa a las en opciones de explo ación, mien as
se u iliza el ac i o, de in e sión y desin e sión pa a modi ica sus ancialmen e el ac i o y
opciones con ac uales [1]. El caso de es udio que se p opone en a en es e úl imo g upo.
4. Aplicación al caso de in e siones en equipamien o pa a come cio elec ónico.
El come cio elec ónico p esen a una p oblemá ica en cuan o a la ápida e olución de la
ecnología que lo hace especialmen e sensible al análisis median e opciones eales. En es e
abajo se analiza un con a o po el que se p e ende alquila un se icio de hos ing pa a pone
en ma cha un negocio de come cio elec ónico con un p o eedo de acceso. Las opciones que
se analizan, pe mi i án encon a una egla de decisión median e el mé odo Black y Scholes
sob e la con inuidad o no del con a o de hos ing con el mismo p o eedo según ayan
cambiando los p ecios del me cado. Es e ipo de con a os se espe a que comience a cambia
en un u u o hacia con a os en los que la única al e na i a pa a mejo a las condiciones
económicas del mismo, desde el pun o de is a del clien e, sea cambia de p o eedo de
acceso [3].
La egla de decisión ob enida se á pos e io men e con as ada median e un análisis de
sensibilidad que ponga de mani ies o si el esul ado ob enido es obus o en e a a iaciones
en las suposiciones ealizadas, sob e odo en cuan o a la ola ilidad de la in e sión.
5. Desc ipción del caso de es udio.
Nues a emp esa necesi a pa a su p esencia en In e ne el hos ing de sus aplicaciones en un
p o eedo de acceso. El p ecio semes al del alquile de los equipos es de 50 u.m., y debe
hace se e ec i o al comienzo de cada semes e. El con a o de hos ing con el p o eedo o ece
la posibilidad de anula lo al comienzo de cada semes e de o ma inmedia a. En es e caso, se
ha es ablecido una ianza de 7.5 u.m. po cada semes e es an e has a la echa de encimien o
que se pac ó en un p incipio. No debe desca a se el hecho de que al escindi el con a o, se
debe á pasa a o o p o eedo a su p ecio de me cado. Po simplicidad, se ha supues o que el
cos e asociado a la ansición de uno a o o p o eedo es nulo.
O a posibilidad que o ece es e con a o de hos ing es la de p o oga lo du an e un año al
mismo p ecio an e io .
El p oblema consis e en calcula las opciones que p esen a el con a o an o de o ma sepa-
ada como conjun a. Pos e io men e se diseña á una egla de decisión que enga en cuen a la
lexibilidad de es e con a o, que se á ú il en la compa ación de con a os simila es.
Una opción que puede ene se en cuen a es la posibilidad de con a a el hos ing semes al-
men e en un p o eedo di e en e cada ez, en una es a egia conocida como Roll-O e . En la
ac ualidad, el p ecio medio del me cado es de 48 u.m. semes ales. Las es imaciones
e ec uadas sob e la a iabilidad anual de es os p ecios lle a a ob ene un alo de σ = 0.22
anual.
La aplicabilidad de la eo ía de opciones eales a es e ipo de si uaciones se basa en la
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asime ía de la es uc u a de los e o nos del con a o. En conc e o, se a a de una opción
ame icana de cobe u a en e a la ince idumb e y una opción eu opea Call pa a cuando la
ince idumb e se haya esuel o. Los alo es de las opciones no son adi i os, ya que cuando se
eje ce la opción de escisión es imposible eje ce la opción de p ó oga. Al inal de la
exposición numé ica se de alla á es e ex emo.
6. Regla de decisión.
La egla de decisión que plan ea emos pa a el caso conc e o que nos ocupa es man ene el
ac ual con a o de hos ing has a el ins an e *, en e 0 y T, en el cual el alo de la opción C *
es posi i o y oma el alo máximo:
(7)
)'()'(max 21* dNXedNeVCC
−
−−==
δ
Los alo es de d’ son los mos ados en la exp esión (6)
7.1. Cálculo de opciones. P ó oga del con a o.
Pa a el cálculo del alo de es a opción, se emplea á la exp esión de Black y Scholes. En el
caso de la opción de p ó oga del con a o al inal del pe iodo, nos encon amos con una
opción eu opea ipo call. Los da os de en ada son el p ecio semes al del con a o, 50
u.m./semes e, y la ola ilidad anual del p ecio de me cado, σ = 22 %. El p ecio ac ual es 48
u.m./semes e. El úl imo da o es el plazo de madu ación, T = 6 semes es. La asa de in e és
lib e de iesgo semes al es = 4 % (que se co esponde con una asa anual del 8,16 %).
La opción esul a á in e esan e siemp e que los p ecios de me cado es én po encima de las 50
u.m./semes e. El cos e o al del con a o, omando los lujos de caja descon ados es:
..59.272
)1(
50
5
0
mu
C
=
+
=∑
=
(8)
Median e la exp esión de Black y Scholes (3), esul a d1 = 1,177, d2 = 0,876, CT = 6,69 u.m.
Es e es el alo hoy de eje ce la posibilidad de p o oga el con a o. Se obse a que, pa a el
caso de una opción eu opea, el cálculo es mucho más inmedia o que el necesa io si se hubie a
empleado el mé odo binomial. No sucede así cuando se a a de e alua una opción
ame icana, como se e á a con inuación.
7.2. Cálculo de opciones. Rescisión del con a o.
Pa a analiza la lexibilidad del con a o, consis en e en la posibilidad de escindi lo en alguno
de los ins an es in e medios, se emplea á la ap oximación de Black, pa a conside a que se
a a aho a de una opción ame icana, con lujos de caja adicionales. La e sión co egida, se
calcula suponiendo una opción eu opea que madu a en T, C, y o a que madu a en el
ins an e an e io (0 < < T), C,. Deben conside a se el aho o de los alquile es has a el inal
de los es años, la penalización de 7,5 u.m. po cada semes e has a comple a los es años y
E
T
E

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el pago a un nue o p o eedo a los p ecios de me cado del momen o de la escisión (su alo
espe ado es 48 u.m./semes e).
En la abla 1, se p esen a el esul ado de escindi el con a o al comienzo de cada uno de los
semes es, ac ualizando los lujos al ins an e p esen e. El aho o en alquile es, ac ualizado es:
∑
=+
=
T
i
i
AA
0)1(
50
)( (9)
El pago de la penalización ac ualizado al ins an e p esen e es:
T
PP
)1(
)(5,7
)( +
−
= (10)
El pago espe ado a p ecios de me cado ac ualizado es:
∑
=+
=
T
i
i
M
0)1(
48
)( (11)
En cada comienzo de semes e se puede escindi el con a o, con lo que se p ecisa una
in e sión mínima del pago de la penalización más el pago al nue o p o eedo , pa a ob ene
un aho o del pago de alquile es desde ese semes e has a el inal consis en e en la di e encia
en e el p ecio de con a o y el p ecio de me cado. A eniéndonos al alo ac ual ne o del
con a o en las condiciones ac uales, no in e esa la escisión del con a o, dado que en
ninguno de los ins an es in e medios son meno es los lujos de caja descon ados.
∑
=+
−
+
+
−
=
T
i
i
T
VAN
0)1(
)(5,7
)1(
4850
)( (12)
El in e és es á en sabe si la ola ilidad del p ecio de me cado o o ga mayo alo a la opción
de escisión. En la abla 1 se mues a el lujo de caja descon ado al ins an e p esen e al
escindi el con a o en cualquie a de los comienzos de semes e:
= 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5
VAN( ) 319,246 313,012 307,042 301,331 295,872 290,654
V( )=AA( ..T) 272,59 222,59 174,51 128,29 83,84 41,10
X( )=AA(0.. )+PP( )+M( ..T) 306,69 299,75 293,35 287,46 282,06 277,11
d’1( ) 0,59 -0,08 -0,90 -1,97 -3,48 -6,06
d’2( ) 0,32 -0,38 -0,90 -1,97 -3,48 -6,06
E
C 5,07 2,95 -17,67 -3,10 -0,04 0,00
E
T
C 0
A
T
C 5,07
Tabla 1: Valo es de la opción de escisión
El máximo alo posi i o de la opción eu opea es el co espondien e a la escisión del
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con a o en el ins an e inicial: la ola ilidad de los p ecios de me cado hace más in e esan e la
opción de escisión an es incluso del p ime pago. En ins an es pos e io es, la ola ilidad deja
de ene in luencia, aunque en los úl imos pe iodos se obse an alo es muy p óximos a ce o,
que indican que en las condiciones ac uales, es indi e en e el cambio de p o eedo de acceso.
7.2. Cálculo de opciones. Rescisión o p ó oga del con a o.
Se pueden conside a simul áneamen e las opciones de escisión y de p ó oga. La opción de
escisión anula la de p ó oga, con lo que al alo de la opción de escisión se le es a á el
alo de la opción de p ó oga pa a ob ene la alo ación conjun a una ez ac ualizados al
momen o p esen e:
= 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6
VAN( ) 319,25 313,01 307,04 301,33 295,87 290,65 330,96
V( )=AA( ..T) 312,11 262,11 214,03 167,80 123,35 80,61 39,52
X( )=AA(0.. )+PP( )+M( ..T) 344,62 337,68 331,28 325,40 319,99 315,05 310,53
d’1( ) 0,66 0,09 -0,60 -1,43 -2,51 -4,03 -6,63
d’2( ) 0,39 -0,22 -0,60 -1,43 -2,51 -4,03 -6,63
E
C 8,03 5,48 -25,30 -9,18 -0,90 0,00 0,00
E
T
C 0
A
T
C 8,03
Tabla 2: Valo es pa a la opción de escisión jun o con p ó oga.
En es e caso la opción de escisión ha disminuido más de la mi ad el alo de la opción de
p ó oga del con a o, y sigue apa eciendo como más in e esan e la opción de escindi lo
inmedia amen e.
En esumen, el cos e del con a o son 272.59 u.m., pe o si se conside an las opciones
p esen es, es de 251,00. Ya se han comen ado los casos en los que se escindi ía o p o oga ía
el con a o (se eje ce ían las opciones p esen es en el mismo). Se debe no a ambién que la
mayo apo ación a es a en aja es á en la opción de p ó oga, y que la opción de escisión no
iene la su icien e en idad como pa a conside a la, pe o el caso es que, apa e de la
conside ación con able inicial, consigue e i a subidas y bajadas en los p ecios y pe mi e
hace p e isiones de gas os con mayo e iciencia.
8. Análisis de sensibilidad.
Pa a con i ma o eba i la obus ez de los esul ados ob enidos, se ealiza á un análisis de
sensibilidad an e la a iación de los pa áme os que se eligie on con un mayo g ado de
a bi a iedad, como son la ola ilidad y la asa de in e és neu a an e el iesgo.
8.1. Sensibilidad en e a la ola ilidad.
La ola ilidad del p ecio de me cado de los alquile es de los equipos es lo que da sen ido al análisis
median e opciones eales del p oblema plan eado. Se supond án dos alo es a iba, 30 %, y abajo, 15
%, del supues o 22 %. Es os alo es in lui án en d1 y d2, además de en el alo de cada opción.
Pa a σ = 0,30 la opción de p ó oga oma el alo CT = 35,91
La opción de escisión cambia a:
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= 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5
V
(
)
=AA
(
..T
)
272,59 222,59 174,51 128,29 83,84 41,10
X(
)
=AA
(
0..
)
+PP
(
)
+M
(
..T
)
306,69 299,75 293,35 287,46 282,06 277,11
d
’
1
(
)
0,52 0,03 -0,58 -1,36 -2,47 -4,36
d
’
2
(
)
0,15 -0,38 -0,58 -1,36 -2,47 -4,36
E
C
18,56 12,73 -27,16 -11,03 -1,07 0,00
E
T
C
0
A
T
C
18,56
Tabla 3: Valo es de la opción de escisión con σ = 0,30
Y la opción conjun a oma el alo :
= 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5
V
(
)
=AA
(
..T
)
312,11 262,11 214,03 167,80 123,35 80,61
X(
)
=AA
(
0..
)
+PP
(
)
+M
(
..T
)
344,62 337,68 331,28 325,40 319,99 315,05
d
’
1
(
)
0,57 0,15 -0,35 -0,97 -1,76 -2,87
d
’
2
(
)
0,20 -0,26 -0,35 -0,97 -1,76 -2,87
E
C
23,47 17,89 -33,26 -20,19 -5,89 -0,36
E
T
C
0
A
T
C
23,47
Tabla 4: Valo es de la opción de conjun a pa a σ = 0,30
Se obse a un mayo alo de las opciones pa a una mayo a iabilidad, ya que es a p emia los
e o nos mayo es. En caso de una a iabilidad meno , σ = 15 % anual, enemos los alo es siguien es:
Pa a la opción de p ó oga: 8,66
Pa a la opción de escisión: 0
Pa a la conjun a: 0
Nue amen e, la opción de p ó oga es la más alo ada, y las o as dos son indi e en es en los úl imos
pe iodos.
8.1. Sensibilidad en e a la asa de in e és indi e en e an e el iesgo.
También es necesa io un análisis de sensibilidad espec o al segundo de los pa áme os es imados de
an emano: la asa de in e és indi e en e an e el iesgo. La suposición ealizada es el 4% semes al, que
se co esponde con un 8,16 % anual. Es a es una media de los cos es inancie os en los que incu e la
emp esa, que depende indi ec amen e de los ipos ijados po el Banco Cen al Eu opeo. Si los ipos
a ían, cambian los alo es ac ualizados de la in e sión, lo que puede hace más o menos in e esan e
alguna de las opciones. Se an a con empla dos en o nos; uno al alza, con 1 = 0,045 semes al
(co espondien e a un 9,2% anual) y o o a la baja, con 2 = 0,035 semes al (7,12% anual) que
ambién pod ía co esponde a un in e so no indi e en e an e el iesgo.
P ó oga Rescisión Conjun a
0,045 19,07 2,01 ( =0) 4,62 ( =0)
0,035 24,12 7,97 ( =0) 11,31 ( =0)
Tabla 5: Valo es de las opciones con a iable
Se obse a que no han cambiado las eglas de decisión con espec o al caso o iginal.
V Cong eso de Ingenie ía de O ganización
Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003
9. Conclusiones
Las decisiones que oman los esponsables de las in e siones es a égicas de las emp esas suelen
oma se de o ma más o menos in ui i a, basándose en su p opia expe iencia. La eo ía de opciones
o ece un alo numé ico a es as in uiciones llegando a conclusiones muy simila es a las de analis as
expe os. En es e abajo se han plasmado de o ma conc e a las decisiones descomponiéndolas en
a ios ipos según ca ego ías económicas. De es a o ma se deja en manos del esponsable de la oma
de decisiones el ealiza un modelo lo más ce cano posible al caso conc e o.
O as cues iones que ayuda a cuan i ica la eo ía de opciones son las en ajes de la compe i i idad, la
capacidad de oma de decisiones con o me a anza el desa ollo del p oyec o.
Las opciones eales ambién deben se omadas con cuidado, ya que una alo ación excesi amen e
op imis a de la ola ilidad sólo debe se enida en cuen a en los casos en que la ges ión aya a saca
pa ido de esa ince idumb e, y es o sólo se ealiza g acias a la expe iencia del ges o .
El mé odo empleado se ha e elado como bas an e menos in ui i o que el mé odo binomial pa a es e
ipo de opciones con ac uales, ya que no o ece una isión an cla a como aquel de los dis in os
alo es que puede oma el ac i o y cómo in luyen es os en las dis in as opciones.
Re e encias
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