ANALES DE INGENIERIA MECANICA -A : O 4 - NUM. 1 -1986
UTILIZACION DE LA TECNICA DE LOS ELEMENTOS DISCRETOS EN TOMOGRAFIA SISMICA.
Al onso Co z (*)
En ique Ala cón (**)
José Domínguez (***)
(•) E.U.I.T.I. Algeci as. (Uni e sidad de Cádiz)
(**) E.T.S.I.I. Mad id. (Uni e sidad Poli écnica de Mad id)
(•••) E.T.S.I.I. Se illa. (Uni e sidad de Se illa).
Resumen.- La omog a ía es un sis ema de ob ención de imágenes in e nas de sóli-
dos a los que no se iene acceso di ec o. Es a écnica ha sido ya de eno me ecun-
didad en el campo del diagnos ico médico. Hoy día el sis ema sigue pe eccionan-
dese y el p esen e abajo se enma ca den o de es a línea, con aplicaciones en
el campo de la Ingenie ía Ci il, u ilizando écnicas de disc e ización del medio
in es igado, así como la eo ía de ayos. Los esul ados ob enidos son espe anza-
do es, y es posible que en un co o espacio de iempo es a écnica goce de la ia-
bilidad necesa ia en el campo de la Ingenie ía.
1.- INTRODUCCION.
La aplicación de la omog a ía al p oble-
ma geo ísico, es ela i amen e ecien e, y
aunque apa en emen e el mé odo esul e idó-
neo pa a la de e minación de es uc u as del
subsuelo, opieza con muchas di ic l ades
a la ho a de su aplicación a es e· ipo de
p oblemas.
En p ime luga , hay que des aca que
mien as en los equipos de diagnosis médica
la geome ía del sis ema de medida es ija,
en las aplicaciones geo ísicas la geome ía
a ía de una explo ación a la siguien e, ya
que es unción del p oblema a esol e .
La segunda, y g an des en aja, es que
si u ilizamos en la explo ación del medio
ondas sísmicas, es as han de se de baja e-
cuend a, o sea g an longi ud de onda, pa a
de es e modo e i a la ápida a enuación con
la dis ancia, ya que el e eno se compo a
como un il o pa a las al as ecuencias.
Como consecuencia la esolución baja, ya que
los obje os de ec ados se án mayo es que la
longi ud de onda empleada.
El e ce p oblema a esol
e es que
mien as que en los "scane " de diagnosis
médica las ayec o ias de los ayos son ec-
as, en la aplicación geo ísica, aplicando
ondas sísmicas, es o no ocu e con lo cual
a
p oblema se hace de di ícil solución.
Pa iendo de an e io es in es igaciones,
se ha desa ollado un sis ema de cálculo me-
63
dian e la écnica de elemen os disc e os, que
in en a simpli ica los an e io es mé odos
u ilizados has a la echa.
2.- DISCRETIZACION,
Supongamos un dominio íl , con una on e-
a , de al o ma que sob e una pa e de
la misma Y
o
, se aplican una se ie de exci a-
ciones que son de ec adas sob e Y
1
, despues
de habe anscu ido un iempo Ti en el eco-
ido i, ealizado en el in e io del dominio,
igu a 2.1.
Fig. 2.1
El p oblema que se plan ea, es pa a una
on e a conocida
,
y con unas zonas Y, y
y
1
, asimismo conocidas, de e mina el campo
de elocidades V en el in e io de íl, a pa -
i de una unción de da os ele iempos de e-
co ido T • D<;? es e modo el p oblema en un
p incipio se pod ía plan ea como:
V = A •
(2 .1)
donde V es la unción de elocidades ex endi-
da al dominio íl A un ope ado y una
unción de los iempos de eco ido.
Es p ác icamen e imposible ob ene un
mé odo gene al que nos de una unción con i-
nua
V,
con lo cual hemos de i inde ec ible-
men e a busca un mé odo median e el cual
ob engamos una ap oximación su icien e de
.
Fig, 2.2
La disc e ización del dominio, se eali-
za con elemen os iangula es, sob e los cua-
les
se
de ine una unción
V
0 ,
como ap oxima-
ción de
V.
Las unciones u ilizadas son li-
neales, lo cual p esen a una
se ie de
en a-
jas en cuan o a la ipología
de
ayec o ias
así como en el cálculo de los iempos de e-
co ido elemen ales, al como puede obse a -
se en la abla 2.1,
k¡!O 6,¡!0
Tabla 2,1
COS• o
X= --+
kp -
V
l
(cos h-, = k
x
= (Z-N)/M
X
= (.Z-N) /11
1 (
V
º z)z
klpl
-
k+
1 h-1_1_)
pV• -cos p
V
z
= Ln(V
1
/V
1
)/K
= As/
V
3.- INVERSION CINEMATICA
El obje i o p opues o, e a la ob ención
de la dis ibución de elocidades en el me-
dio some ido a examen, de modo que ob enga-
mos un modelo isualizado, de o ma g á ica,
del mismo denominado imagen.
Si aplicamos la ecuación que nos da el
iempo consumido po un ayo al iaja de
un pun o a o o de un medio no homogéneo,
end emos:
1 ds (3.1)
V
(x,y)
En la an e io o mulación, K nos indica
el núme o de ayo en cues ión, y se á uno
de los que nos una una uen e con un de ec-
o , y siguiendo a JEFREY-DINES /
1
/ ealiza-
mos el siguien e cambio de a iable:
(3.2)
En es e cambio de a iable, c ep esen a
la elocidad de las ondas en el medio ci cun-
dan e.
La ó mula (3 .1), queda á po lo an o
ans o mada en la siguien e, (3.3), en donde
n(x,y) = c/ (x,y), se en iende como un índice
de e acción ela i o.
64
LK = J n(x,y) ds
RK
(3.3)
El obje i o se á, po lo an o, lineali-
za la o mulación (3,3), de o ma que ob en-
gamos un sis ema de ecuaciones ácilmen e so-
lucionable median e algún mé <>do clásico.
Dado que el camino del -ayo depende del
modelo de elocidades, o sea del modelo de
indices de e acción, la solución no es inme-
dia a, y únicamen e se á posible localiza la
median e ap oximaciones sucesi as, esquema
es e ípico en la solución de p oblemas no
lineales.
No malmen e se 1n1c1an las p uebas con
modelos de elocidad cons an e ( n=c e) , pa a
i en cada ciclo de cálculo modi icando es e
modelo has a consegui una espues a igual
a la ob enida en el caso eal.
El sis ema de ecuaciones se deduci á de
disc e iza la o mulación (3.3), la cual pue-
de se esc i a en o ma inc emen al como:
MR
LK = m l ñ (sm)A sm (3.4)
Nues -o obje i o se á exp esa LK , como
una ecuación del ipo (3.5), donde los coe i-
cien es a
k • , -ep esen an la globalización
de los e ec os de la linealización de (3.4),
y n• los pa áme os del modelo.
IJ
LK = m l ªk
1
n• (3.5)
Si aplicamos el mé odo de los elemen os
disc e os en el azado del camino del ayo,
end emos que pa a un elemen o gené ico I ,J,
K, al como el de la igu a (
3
.1), con una
ayec o ia gené ica, pe o que den o de esa
gene alidad es á o zada po la p opia sis e-
má ica del mé odo a se un a co de cí culo
ouna ec a, la elación:
I
J
Fig. 3.1
ñ = Al
n1 + A2 nJ + A3 nK (3.6)
donde los coe icien es Al, A2 y A3 ienen los
siguien es alo -es:
Al a (1 _ IP
1 )
IK
A2 b (l -
.ñ>i
JK
A3 = IP1
a-+ b JPi
IK
K
donde los coe icien es a y b son:
np -
a= _.;;.z __ _
np
2
-np,
b
Pa a el ozo de ayo conside ado, supon-
gamos iden i icado con el elemen o i-ésimo,
end emos una exp esión
pa a
Li al como:
Li = (Al n + A2 n + A3 n) *si
(3.7)
donde s¡, ep esen a el camino eco ido
den o del elemen o, que es conocido del a-
zado
del
ayo,
En de ini i a nos queda pa a un elemen o
gené ico:
(3,8)
Dado que el L
K se á la suma de odos
los L ¡ de ese ayo, ob enemos ácilmen e
la elación de LK con odos los nm.
De acue do con el p ocedimien o seguido
has a es e pun o, conocemos los coe icien es
de los n
• , conocemos los n• , po se los
p opues os, 1 uego enemos los L
K , La ecua-
ción exp esada en no ación ma icial
se á:
(3.9)
Con es a ma iz A, así ob enida, ealiza-
emos la es imación del nue o modelo, en ba-
se a las di e encias obse adas en e el ec-
o ¡. ob enido y el h. de da os, pa a lo
cual pa a un paso gené ico en la i e ación
end emos:
A ,
An =
.L
- - -
(3.10)
Una ez ob enido el ec o n, end emos
la es imación pa a el p óximo modelo a ensa-
ya :
Se de ine de es a o ma un p oceso i e a-
i o que nos debe conduci a la ob ención
del e dade o ec o
imagen
n, aunque ya e-
65
emos en un apa ado pos e io que el p oceso
no es an sencillo y que enemos que ope a
con una écnica muy cuidadosa pa a pode lle-
ga a un esul ado su icien emen e ap oximado.
4.- BUSQUEDA DE UN MODELO POR APROXIMACION
DE MINIMOS CUADRADOS,
La ecuación
plan eada,
que elaciona el
ec o e o de da os y An, es del ipo:
(4,1)
Dado que el obje i o p opues o es a e i-
gua A
X, la solución pa ece simple, ya que
in i iendo la ma iz A, end íamos el ec o
inc emen o es imado,
(4.2)
El p oblema comienza cuando obse amos
que la ma iz A no
es,
no malmen e, cuad ada.
La in e sión no
puede ealiza se
pues de un
modo simple, en el sen ido ex ic o de lapa-
lab a, y hemos de ecu i al empleo de la
écnica de m!nimos cuad ados
pa a
consegui
un ope ado que nos pe mi a ob ene un :1.
es imado con su icien es ga an ías.
Sea 4..X el ec o inc emen o a ob ene ,
con lo cual se pueden plan ea las siguien es
ans o maciones:
A AX • AY
A AX = A
T
AY
- -
De ini emos un ec o es imado de A_X,
como:
(4.3)
Con el obje o de halla un in e so ap o-
piado, aplicamos la descomposición singula
pa a la ma iz A p opues a po MENKE /
2
/
(4,4)
Si de inimos como pseudoin e so pa a la
ecuación (4.15), la ma iz H, de inida como:
(4.5)
y ope ando adecuadamen e podemos deduci pa a
H, una es uc u a de descomposición simila
; la ob enida pa a A, con lo cual ob enemos:
(4.6)
De es a o ma ob enemos lo que se suele
denomina un in e so gene alizado pa a la ecua
ción p opues a.
Veamos algunas ca ac e ís icas a ene
en cuen a en es a in e sión.
En p ime luga si en la ecuación (4.2),
p emul
iplicamos po H ·
ambos é minos y a
con inuación compa amos- con
la
ecuación (14),
podemos qeduci la siguien e elación en e
6X y AX
AX H A AX (4,7)
Po lo an o la ma iz H, se á un in e -
so gene alizado más ap opiido en la medida
que H.A se ap oxime más a la ma iz unidad.
Es e
-p oduc o se suele denomina como ma iz
B. de esolución o de los Ke nels de esolu-
ción:
R
q¿
�l) "'
_. _
T
(4.8)
Vemos que R ep esen a en ealidad el
g ado de unicidad de
la solución en el espa-
cio pa ame izado, mien as que el p oduc o
de A.H, ep esen a la ap oximación consegui-
da en- cuan o a los da os del modelo, y se
exp esa median e una ma iz N al como se
mues a a con inuación: -
N ., A H
(4.9)
Es e p oceso de in e sión que hemos des-
c i o, puede ene al¡unos p oblemas de ines-
abilidad,
a
causa de
la
mayo o meno singu-
la idad del p oduc o AT • A, de donde se ex-
aen loa au o alo es
-cuya"; aices apa ecen
en II Un au o alo excesi amen e peque 'lo,
puede da luga a una a iación excesi a del
ec o es imación .
Ya hemos is o, en la o mulación an e-
io , que el p incipal p oblema con el que
nos
en en amos pa a
ealiza una es imación
adecuada
del ec o A
A
X, es la ince idumb e
que se p oduce pa a ei caso de encon a au-
o alo es p óximos a ce o.
Los alo es p óximos
a
ce o
de
los au o-
alo es,
se
pueden p oduci po de ec os en
los c,lculos o bien po una in o mación esca-
sa
sob e elguno de los pa ame os del modelo.
Hay dos o mas básicas de e i a los p o-
blemas de ines abilidad, de i ados de la u i-
lización
de
es os au o alo es, como
es
ácil
deduci de la obse ación de la o mulación
(4.6).
Supongamos un espec o de au o alo es
al Co lo el ep esen ado en la igu a (4.1):
•
'
'o
'
----
..
_
-.
Figu a 4.1
>-"" n.
N
66
El p ocedimien o más di ec o pa a e i a
el p oblema, se á elimina aquellos au o alo-
es
que sean meno es que un alo p e ijado,
con lo cual a la
ez
que eliminamos el p oble-
ma eliminamos ambien pa e de la in o mación,
que si bien con meno impo ancia que la es-
an e, pod ía ene cie o alo que acili a-
se el hallazgo de
la
solución e dade a.
El segundo p ocedimien o que se ha escogi-
do
es el
segundo de los an e io men e enuncia-
dos, y ealiza eos a con inuación una b e e
sín esis del mismo.
El p oblema se plan ea en o ma de minimi-
zación
de
un uncional de e o al que:
F = (A, AX
(4.10)
En la o mulación an e io , 8
es
un coe i-
cien e ponde ado que en es e caso se puede
asocia a la in e sa de la a ianza de las
obse aciones,
La condición
de
mínimo pa a el uncional
F, se á:
(4.11)
De donde podemos deduci una nue a pseu-
doin e aa
gene alizada
H, que end ía aho a
la siguien e
exp esión:
H
(4,12)
Si aplicamos la descomposición singulu
de A en la ecuación (4.11), ob enemos:
(V 11
1
V + e' ) AX = V II U
T
AY (4.13)
De donde podemos ob ene ya la exp esión
del es imado :
(4.14)
Si denominamos como ma iz 8-
1
la pa e
de la exp esión (4.14), in e io los co che-
es, pod emos
exp esa la
ecuación en o ma
más compac a:
AY (4.15)
Vemos, po lo an o, que la ma iz H oma
aho a
la
siguien e exp esión' en la cual la
ma iz 11
-i ,
ha sido sus i
uída po la ma iz
e-1 ,..,
,.,
(4.16)
Hay que hace esal a que dada la es uc-
u a de los é minos de la ma iz
!
1 ,
se con-
sigue plenamen e
el
e ec o deseado, ya que pa-
a pequeños au o alo es, los 8¡ no se hacen
ex emadamen e g andes, y pa a au o alo es
g andes los é minos 8¡ ienden a se los de
la ma iz i que eníamos inicialmen e.
El e ec o de es e p ocedimien o, puede
obse a se compa a i amen e con el de simple
anulación en la igu a
(4),
iendose que su
esul ado es mucho más adecuado,
i
ó
?
Fig. 4.2
5. -ESTUDIO DEL CAMPO DE VELOCIDADES DE UNA
ZONA DE UN ESTRATO.
Se p esen a la esolución del p oblema de
a e iguación de un campo de elocidades
co espondien e a una mayo compac ación del
medio o bien a una mezcla ¡ adual de dis in-
os ma e iales.
Se omó como modelo de simulación un cam-
po de elocidades al como el mos ado en
la
igu a 5, l, con elocidades ex emas de 2 y
2.4 Km/seg. Una ez ealizada la simulación y
ob enidos los egis os de iempos, damos
comienzo al p oceso e in e sión.
Se han u ilizado 6 uen es de emisión y 6
ecep o es, lo que hacen un o al de 36
ayos.
La disc e ización
la igu a 5.2, con 18
en ella se ap ecia
emiso es y ecep o es.
p opues a se mues a en
elemen os y 16 nodos, y
la si uación de los
La imagen ob enida, igu a 5.3, es ap o-
ximada espec o de la eal, aunque es de e-
sal a el buen g ado
de
ap oximación conse-
guido, ya que en el 85% de los pun os el e-
o es á po debajo del 6% y únicamen e en
el 15% de los pun os supe a es e alo , es-
ando de odas o mas aco ado po debajo del
10%, igu a 5.4.
6.- CONCLUSIONES.
El uso de la écnica de elemen os disc e-
os acili a la esolución de p oblemas omo-
g á icos y ab e un campo de abajo del que
se pueden espe a muy buenos esul ados. La
simpli icación conseguida pa a las ·ayec o-
ias, que son con e idas en segmen os de
cu as y pues a en unción de los alo es no-
dales, consigue la linealización y a amien-
o globalizado del sis ema de ecuaciones
•
67
o.oo
.36
.72
1.08
1.44
1.80
Fig, 5,1.- DISTRIBUCION DE VELOCIDADES.
Gl
G2
G3
G4
G5
desde 2.00 a 3.00 con inc emen os
de ,1000
EilSCI3ES
S1
S2
S3
S4
S5
S6
Fig. 5.2.- DISCRE
T
IZ
ACION DEL MEDIO .
1
.,, .... -
0.00
.36
.72
1.08
l.44
l.80
Fig, 5.3.- DISTRIBUCION DE VELOCIDADES
º·ºº
,36
,72
1.08
1.44
l.60
desde 2.00 a 3.00 con inc emen os
de ,1000
Fig. -DISTRIBUCION DE ERRORES
desde 1.00 a 15.00 con inc emen os
de l. '-000
68
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1 '
ANALES DE INGENIERIA MECANICA -ARO 4 -NUM. 1 -1986
a:MPORl'l MIJ:NI'O A FATIGA DE UN ACERO AL CARBCNO TRABAJAOO EN FRIO
C espo Figue oa, G.; Pilo González, D.
Depa amen o de Mecánica y Labo a o io "E".
Uni e sidad S.in Sn Bol! a ,
Apdo
80659, ca acas 1080, Venezuela.
Resuoon.-·En el p esen e abajo se es udi6 el ca p0 amien o a a iga de p ooe as
de
ace o de bajo ca lx:mo p e iamen e abajadas en do. las p d:>e as ue on saoo i-
das a a ias anpli udes de de onnaci6n plás ica a ensi6n y luego sc e idas a a iga
( ensi6n-c:a p esi6n) has a la ac u a. Se dem::>s 6 que la aI!l?li ud de de omaci6n
plás ica c!clica p esen a cani:>ios en sus ca ac e !s icas en unci6n del abajo en
!o p e io. A bajas p ede ODnaCiones (mano es del 6%), las p ooe as ellhibie on, al
p incipio, un ablandamien o seguick> de endu ecimien o has a la sa u aci6n. Pa a al-
as p ede oxmaciones (supe io es al 6%} p esen a on un ablandamien o con inuo has a
la ac u a. Al mism:> .ia p:>, ue medido el aco amien o de las p ooe as. Todas las
p cbe as abajadas en !o p esen a on w,a educx::i6n de su longi u::l (aco amien o)
que a i6 cx: o unci6n de la p ede o naci6n Ull'ues a y la aI!l?li ud de la ca ga de a
iga; es os aco amien os alcanza on alo es de has a un 7%, ca o en el caso de p C:,::
be as con 15% de abajo en !o sane idas a un es ue zo al e na i o de 270 MPa. Fi-
nall en e, la ida a a iga se edujo en p d:le as con p ede o.onac:iones meno es del 3%
y ue en auoon o pa a llas p ede o madas del 3 al 15%.
En los dl. .:ú os años, el mec:anis o de la a i
ga en los ma e iales ha sido bien es n:Uado
aen=-
o de los es aspec os siguien es: a) de onna-
ci6n c!clica, b) inici.aci6n de la g ie a y c)p o
pagaci6n de la g ie a has a la ac u a. El p i=-
me o, de onnaci6n c!clica, ha sido an >liamen e
es udiado en me ales ecocick>s o no malizados /1
-3/ y, con menos ex ensi6n, en p ooe as abaja-
das en !o /4-9/.
En esos abajos, se ha es ablecido que, de-
pendiendo de la condici6n inicial del ma e ial
( ecocido, abajado en !o, a plack>) y de las
condiciones del ensayo, un me al puede, c!clica-
en e, e xlu ece se, abla iia se o p esen a un
ca po amien o mix o. Ta bi se ha acep ado que
los e ales pu os en es ado ecocido se e xlu e-
cen y los abajados en o se ablandan, pe o
alcanzando sia p e un ni el más o manos es able
de sa u aci6n y se puede de ini w,a cu a es-
ue zo-de o maci6n c!c:lica con esos ni eles es a
bles de sa u aci6n del es ue zo y la de o maci6n
/10/.
Ta bi se han epo ado c:a bios mac osc6pi-
cos de longi ud en p d:le as de omadas sa e idas
a ca gas c!clic:as /11/. En es e abajo, se de-
I OS 6 ca o w,a p ooe a de ace o de un con enido
medio de ca bono, p ede omadas· un 1,7%, eduje-
on su longi ud cuando ue on scxoo idas a ca gas
c!c:licas.
2. PRCCEDIMIEm'O EXPERJMENI'AL
69
Los expe i nen Ds se ealiza on a pleando p o
be as de seooi6n ci cula con un diá e o de 8 -
mn en la zona de p ueba, hechas con un ace o AIS
I 1020 (0.2 %C, 0.5 %Mn, 0.2 %Si, 0.02 %S y 0.03
%P). las p d:le as ue on ecocidas w,a ho a a
850 ºC y en iadas en el ho no con a m5s e a con
olada. las p opiedades eCIDic:as a la ensi6n-
ue on: Rel
=
250 MPa., Reh
=
265 MPa., Rm
=
420
Mpa., A n
=
25% y Z
=
69%.
!.os expe i nen os se ealiza on en una náqui-
na se ohid áulica de ensayos y el p ocedimien o
ue el siguien e: p :ii e o, las p ooe as ue on
de o madas a ensi6n bajo elongación con olada
y con una a a de de onnaci6n de 0.004 (1/seg)
has a alcanza la de o maci6n plás ica deseada.
In oodia amen e después, y sin des on a la p d:le
a, la náquina e a c:a biada a ca ga con olada y
se aplicaba una ca ga sinusoidal de ensi6n-can-
p esi6n con una ecuencia de 5 Hz has a que se
p esen a a la ac u a.
La
ca ga media ue man e
nida sienp e en ce o (R=-1). La ampli u::1 de de--
onnaci6n plás ica y la de omaci6n media, es a
il. ima de inida ca o el pun o medio del ciclo de
his é esis, ue on medidas oa o una unci6n del
nGme o de ciclos.
3. RESULTM:a3
En la igu a N
º
l,
se mues a la ampli ud de
la de o mación plás ica en unci6n del nGme o de
ciclos pa a p d:le as ecocidas. ca o se d:>se a,
las p obe as sa e idas a ca gas c!clicas con una
ampli ud del es ue zo neno que el lími e de
luencia in e io , p esen an w,a ase inicial en
la cual la de o mación cíclica es ap oximadalnen-
-..