El conocimiento acerca de las matemáticas y las prácticas de enseñanza

INVESTIGACION EXPERIENCIAS DIDACTICAS EL CONOCIMIENTO ACERCA DE LAS MATEMÁTICAS Y LAS PRÁCTICAS DE ENSENANZA SÁNCHEZ GARCIA, M". y LLINARES CISCAR, S. Depa amen o de Didác ica de las Ciencias (Ma emá icas). Uni e sidad de Se illa. SUMMARY The indi idual and con ex ual in luences ha wo pe iods o school expe ience ha e o e he way in which wo p ospec i e eache s build hei pe sonal iew o Ma hema ics and i s eaching a e s udied. In pa icula , he impo an ole played by he pe cei ed knowledge o he subjec ma e knowledge is shown. Also, he s a egies used in ying o gi e cohe ence and meaning o he expe imen ed changes a e discussed. Du an e 10s úl imos años hemos desempeñado nues o la supe isión y e aluación de las p ác icas de enseñan- abajo como p o eso es de Didác ica de las Ma emi i- za del g upo de alumnos que se les asigna. cas en la E.U. de Magis e io de la Uni e sidad de Se illa. En nues a Escuela, las p ác icas de enseñanza El hecho de se p o eso es de una asigna u a de Didác- se desa ollan en los cu sos Segundo y Te ce o, y 10s ica y u o es de p ác icas nos ha pues o de mani ies o, p o eso es de los ci ados cu sos, además de impa i de una mane a más in ensa, si cabe, la necesidad de sus asigna u as co espondien es, es án enca gados de incula la eo ía y la p ác ica en la o mación de los ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (2), 97-104 97 u u os maes os. Además, la cons a ación de la com- plejidad de las si uaciones de enseñanza y de los cono- cimien os desa ollados po los p o eso es en es as si uaciones nos ha lle ado a in e esa nos po el papel que juegan las p ác icas de enseñanza en la ans o ma- ción de los conocimien os eó icos en p ác icos, de nues os alumnos, u u os maes os (Llina es y Sán- chez 1986). La in es igación que a con inuación desa ollamos no ha nacido po an o de la eo ía, sino que iene sus o ígenes en nues a a ea dia ia. MARCO TEÓRICO El con ex o eó ico en el que desa ollamos es e abajo se encuad a den o del pa adigma del pensamien o del p o eso (Cla k y Pe e son 1986, Shulman 1986a, Ma - celo 1987), y den o de es e pa adigma, nos cen amos en cuálea son "las o mas en que los p o eso es adquie- en ac i amen e y u ilizan el conocimien o, y las ci - cuns ancias que a ec an su adquisición y empleo" (Calde head 1987, p. S). Uno de los p incipales esul ados de las in es igacio- nes sob e el pensamien o de los p o eso es ha sido p ecisamen e el p o undiza sob e es e conocimien o, y sob e el impo an e papel que juega en los p ocesos de enseñanza. Shulman (1987a) a i ma que el mo i o pa a esal a el papel undamen al del conocimien o, más que el compo amien o de los p o eso es, es p ecisa- men e el ca ác e esencial de la adap abilidad de los maes os al con ex o. En elación al con enido de es e conocimien o, el mis- mo au o (Shulman 1987b, Wilson e al. 1987) ha señalado dis in as ca ego ías, en e las que se encuen- a el conocimien o de la ma e ia especí ica, en nues o caso las Ma emá icas. Cen ándonos en el conocimien o de con enido de las Ma emá icas, podemos es ablece una subca ego iza- ción (Shulman 1986b) en la que se pod ía conside a el conocimien o de la ma e ia especí ica "pe se", el conocimien o de con enido pedagógico especí ico de la misma y un conocimien o cu icula , que aba ca no sólo el especí ico de la ma e ia, sino ambién el de o as ma e ias en el mismo cu so y en cu sos an e io es y pos e io es. Muy ecien emen e, Ball (1989) ha dis inguido es compon.en es del conocimien o de la ma e ia especí ica (Ma emá icas). En p ime luga , iden i ica aquellos aspec os asociados con lo que con encionalmen e se en iende po conocimien o de las Ma emá icas (cono- cimien o sus an i o). En un segundo g upo incluye lo que signi ica sabe y hace Ma emá icas, qué es una demos ación, quién iene el pode de alidación, de dónde p o ienen, e c. (conocimien o ace ca de las Ma emá icas). Finalmen e, la e ce a componen e se e ie e a la dispo- sición hacia las Ma emá icas, que engloba ía los sen i- mien os emocionales hacia las mismas. Pa a es a au o- a, el conocimien o de las Ma emá icas es una in e e- lación de los es aspec os ci ados. La desc ipción de las di e en es ca ego ías del conocimien o p o esional del p o eso de Ma emá icas (Llina es y Sánchez 1990) apo a da os de in e és pa a el diseño de p og amas de o mación de p o eso es. Dada la complejidad del conocimien o, y e omando nues o plan eamien o inicial, la cues ión an e la que nos encon amos es cuáles se án los ac o es impo an- es en el desa ollo del conocimien o de los u u os maes os du an e su pe íodo de o mación. Siguiendo una p opues a de Elbaz (Elbaz e al. 1986) podemos conside a en e ellos: a) La clase de conocimien os que adquie en. Po ejem- plo, espec o del conocimien o de con enido de las Ma emá icas ienen que se capaces de ealiza una ans o mación del mismo y de su modo de u iliza lo, pasando de la eo ía a la p ác ica, lo que supone un cambio en el modo de u iliza el conocimien o. b) Los luga es donde iene luga la ins ucción y la p ác ica, ya que adquie en conocimien o en una ins i u- ción (Uni e sidad) pa a u iliza lo en o a (escuela). c) Los papeles ( oles) asumidos en el p oceso de o ma- ción. En pa icula , puede e se de un modo muy dis- in o las Ma emá icas como alumno y como maes o. Po o o lado, según el pun o de is a que se adop e, pueden dis ingui se dis in as ap oximaciones en el es u- dio de los complejos p ocesos que in e ienen en la o - mación y desa ollo de los p o eso es (Veenman 1984, Feiman-Nemse y Floden 1986). Noso os nos hemos cen ado en los cambios de la pe sona social en su in e- elación con el medio, in e esándonos po lo an o en los p ocesos de socialización de los u u os p o eso es, en endida la socialización en un sen ido amplio (Zeich- ne y Go e 1989), y en las es a egias que adop an en el con ex o de si uaciones especí icas (Lacey 1977). Es e úl imo au o in odujo el concep o de es a egia social pa a e e i se a un sis ema de ideas y acciones que un indi iduo desa olla in encionadamen e en de e minadas si uaciones. El ipo de es a egia que desa olla cada indi iduo depende de cómo in e p e e su si uación y de su capacidad pa a lle a la a cabo. Lacey dis inguió es ipos de es a egias: -ajus e in e no, en que el indi iduo acep a como p opios los alo es y me as de la ins i ución, así como las es icciones que le son impues as, es ando además con encido de que son buenas. -sumisión es a égica, en que se acep a la de inición de la si uación que hace la au o idad, y ambién las condiciones, pe o se man ienen ese as p i adas hacia ellas. - ede inición es a égica, que co esponde al caso en ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (2) que el indi iduo a a de p oduci cambios, aun sin e- ne pode o mal pa a ello. O a p opues a dis in a en es e mismo con ex o ha sido ealizada po Goodman (1985), quien enunció cua o ipos de eacciones de los p o eso es y los p o eso es en o mación a las no mas ins i ucionales: acep ación pasi a, acep acibn ac i a, esis encia la en e y esis- encia abie a. Las denominaciones son su icien emen e cla as, y c eemos que no necesi an acla ación. Es en es a in e sección de conocimien o y socialización en la que hemos si uado nues o abajo, que a con i- nuación amos a desa olla . El p opósi o gene al de nues a in es igación ha sido es udia las concepciones que ace ca de las Ma emá i- cas y su enseñanza ienen los maes os en o mación, así como la in luencia que sob e los mismos eje cen los pe íodos de p ác icas docen es. La impo ancia de es as concepciones ha sido señalada po Cooney (1980) y Thompson (1984). Es a úl ima a i ma que "exis en ue es azones pa a c ee que en las Ma emá icas las concepciones del p o eso y su enseñanza juegan un papel impo an e, a ec ando su impo ancia como media- do p ima io en e la ma e ia y los que ap enden" (Thompson 1984, p. 105). Si conside amos que las concepciones de los u u os maes os ace ca de las Ma emá icas y su enseñanza in luencian su labo como p o eso es, es á cla o que la mane a en que es as concepciones se desa ollan, en qué medida son ulne ables al cambio, y la in e acción en e ellas y las p ác icas docen es (Llina es 1989, Sánchez y Llina es 1988) ienen implicaciones pa a los p og amas de o mación de p o eso es (Ha ey 1986). En es e pun o, es impo an e señala el hecho de que las expe iencias y es udios ealizados en o os países ace - ca de los pe íodos de p ác icas son di ícilmen e asla- dables, dadas las peculia idades, incluso locales, de nues o sis ema de o mación de p o eso es. Como Zeichne y Go e (1989) han señalado, se debe se muy p uden e en aslada las in es igaciones de un país a o o de o ma lineal. Como hipó esis básica de nues o abajo, adop amos el pun o de is a de que la o ma de en ende la ealidad y las acciones p esen es o u u as de los maes os en o mación es án guiadas po una in e p e ación pe so- nal de su en o no. Además, admi imos que es a in e - p e ación es á es uc u ada po el conjun o de cons uc- os de los indi iduos, de acue do con la Teo ía de los Cons uc os Pe sonales (T.C.P.) de Kelly (1955). Es a eo ía, basada en la posición ilosó ica del al e na- i ismo cons uc i is a, conside a que odas nues as in e p e aciones ac uales del en o no que nos odea es án suje as a cambio. Cada pe sona posee un modelo de la ealidad que u iliza pa a p edeci hipó esis, que son después e i icadas. Es e p oceso puede lle a , en su caso, a una al e ación del modelo pa a adecua 10 a los esul ados. La T.C.P. p opo ciona un modo sis emá ico de descu- b i la ealidad, lo que se hace en é minos de imágenes dico ómicas, denominadas cons uc os. Los cons uc- os de una pe sona cons i uyen una ed ca ac e ís ica de la misma, que es á en con inua e olución. Es a ed es la que de e mina en qué o ma pe cibe la pe sona la ealidad, y an icipa hechos u u os. En conco dancia con lo an e io men e expues o, hemos admi ido en nues o abajo que los u u os maes os no son me os ecipien es pasi os de conocimien o ma e- má ico, y que ienen la posibilidad, al menos en cie o g ado, de acceso a su pensamien o p o esional y que és e puede e baliza se. Los pa icipan es ue on dos alumnos de la E.U. de Ma- gis e io de la Uni e sidad de Se illa, de la especialidad de Ciencias, pe enecien es a un g upo de ocho que colabo a on en nues a in es igación. El ins umen o undamen al u ilizado en nues a in es- igación ue la écnica de ejillas, asumiendo explíci a- men e los p incipios básicos de la T.C.P. en que se basa. Exis en o as impo an es azones me odológicas pa a escoge dicha écnica ( an Hunen 1986). Po un lado, el mé odo pe mi e ob ene in o mación ace ca de los esquemas cogni i os de o as pe sonas, desde los p opios sis emas de e e encia de és as. Po o o, pe - mi e g an a iedad de écnicas de análisis pa a ob ene in o mación. Además de las ejillas se emplea on o os dos ins u- men os en la ecogida de da os: el dia io y la en e is a. Los mo i os pa a u iliza es as es écnicas combina- das son múl iples. En p ime luga , an o la en e is a como los dia ios si ie on de ins umen os pa a es i- mula con más ue za la e lexión de los u u os maes- os ace ca de su expe iencia. Pe mi ían además ob e- ne in o mación de si e an conscien es de los cambios que expe imen aban, de los con lic os que se les p e- sen aban, de su o ma de soluciona los y de las expli- caciones que daban de odo ello. En segundo luga , si ie on pa a p ecisa los signi ica- dos que los pa icipan es adhe ían a las e ique as e ba- les de los cons uc os, y delimi a si las in e p e acio- nes que ealizábamos e an co ec as. Po úl imo, la dis in a na u aleza de los es ins umen- os u ilizados nos p opo cionaba un mé odo de iangu- lación me odológica (Cohen y Manion 1980) que nos pe mi ía comp oba y aumen a la alidez de los esul- ados (Mo ine-De shime 1983). El p oceso de ecogida de da os se desa olló a lo la go de dos años ( igu a 1). En una p ime a en e is a, ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990.8 (2) igu a 1 P oceso de ecogida de da os en la in es igación PAPEL CONTEXTO RECOGIDA DE DATOS - - - - - - - - - - 1 I Escuela Uni e a. ; , Magis e io maes o (29 cu so) :--- Rejilla8 '--- - ------ -4 ---- -- ---- Es udian e :¡~cuela Uni e a. ' Magis e io :- Ilejillsa maes o (29 cu ao) , '-- - -- - - - ---- 1 Magis e io ;d m maes o (39 cu so) , L- - - - - - - - ---o Maes o ----------- Colegio público :E&~G Üx&.-'! -nejillas Magis e io maes o ( (39 cu so) y En e ia a ?- -. - - - - _. - - .. inel además de in i a les a pa icipa y explica les los pun os undamen ales al ededo de los que gi aba la in es igación, se les animó a e lexiona sob e la mis- ma (E ickson 1986). A lo la go de las semanas siguien- es se lle a on a cabo una se ie de en e is as, en las que se discu ie on los elemen os ep esen a i os que debe ían igu a en cada una de las ejillas, e e en es a los dis in os emas obje o del es udio. En elación a los cons uc os. se decidió u iliza una écnica mix a, inco po ando aÍgunos, p oceden es de la bibliog a ía sob e el ema (McQual e 1986), que ue- on asumidos po el g upo, y ; os elici adosjo los p opios alumnos. Se p esen aban íadas de elemen os y se p egun aba al g upo en qué se pa ecían dos de ellos, que les hiciesen di e en es del e ce o. Po ejem- plo, en el caso del p o eso de Ma emá icas, se les p esen aba, en e o as, la íada o mada po el mejo p o eso de Ma emá icas que hubiesen enido, el mejo p o eso de o a asigna u a y el peo p o eso de Ma e- má icas. Los pa icipan es desc ibie on a los dos p i- me os como mo i ado es, asignándole el polo con a- io al e ce o. A pa i de los elemen os y cons uc os se elabo a on cinco ejillas, e e en es a la ac uaciÓnJges ión de la clase, a la enseñanza de la ma e ia especí ica Ma emá- icas, el p o eso en la enseñanza de las Ma emá icas, las Ma emá icas como asigna u a y como pa e del cu ículo. Las ejillas oma on o ma de ma iz, si uán- dose los elemen os en las columnas y los cons uc os en las ilas. Cada una de es as ejillas en blanco ue comple ada po cada uno de los pa icipan es en cua o ocasiones, al y como indicamos en la igu a 1, siguien- do un p ocedimien o elegido po ellos de si ua una V cuando el elemen o e a alo ado con el polo del cons- uc o de la izquie da, una X si lo e a el de la de echa y VX si la alo ación e a in e media. ANÁLISIS DE LOS DATOS Una ez comple adas las ejillas se p ocedió a su análisis (F ansella y Bannis e 1977, Pope y Keen 1981). El análisis di ec o de los da os pe mi ió obse - a si algún elemen o se había si uado ue a del ango de con eniencia, si se habían alo ado odos los ele- men os de la misma o ma con espec o a un de e mi- nado cons uc o y, lo que es muy impo an e, pe mi ió es ablece una compa ación del elemen o pe sonal con el ideal. Pos e io men e se p ocedió a pasa los símbolos adop- ados a alo es numé icos, lo que pe mi ió un análisis ac o ial con o denado , u ilizando el p og ama PM4 del paque e es adís ico BMDP (Dixon 198 1). Así ob u- imos las ma ices de co elación, los cons uc os doblemen e implicados y los ac o es p incipales. Pa a el es udio de la e olución se cons uye on ejillas de cambio, que ue on u ilizadas en la en e is a inal. En el análisis de los dia ios, desde la pe spec i a del pa icipan e, suminis ada po la écnica de ejillas, se iden i ica on unidades semán icas, que se sis ema iza- on en dimensiones, usando las ob enidas de las ejillas y ecu encias emá icas señaladas en la bibliog a ía po dis in os au o es (Zabalza 1986, Mon e o 1986), que se e elan como impo an es cuando se analizan los dia ios. Po úl imo, la ansc ipción de la en e is a inal se o - ganizó po ca ego ías, sacadas de las ejillas y dia ios, y a iables (cons uc os), pe mi iendo una búsqueda de elaciones con las implicaciones ob enidas de los o os ins umen os de in es igación, lo que pe mi ió una e i icación y en iquecimien o de la imagen ob enida median e la écnica de ejillas. RESULTADOS Los esul ados ob enidos mues an las imágenes de dos es udian es pa a maes os cuyas concepciones pe so- nales y p o esionales son muy dis in as en las á eas de conocimien o conside adas. Es as di e encias les ha- 100 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (2) igu a 2 Impo ancia de la al a de conocimien o de la ma e ia especí ica pe cibida po el alumno A. Sabe muclio ea buon p o eso La aegu ldad del de la clame conoclmlen os de sw an i os de las las M eiiá lcaa no son un me o dwinio u ina ios de u inas Incapacidad lechazo de la pa a hace lo o nación ecibida igu a 3 El papel del conocimien o en las p ác icas del alumno B. Conocimien os p opios Acomodmci6n a los m68 conocimien os. pa o son su icien es Fo mación de icien e Realidad de de la E.U. la escuela .) '~1 mejo ap endizaje 'C M lo p opo ciona la expe iencia cu icula es - V Re o zamicn o T de la segu idad I I cen pe cibi de un modo comple amen e dis in o su Ausencia de expe iencia en las p ác icas y, consecuen emen e, di- cha expe iencia p oduce e ec os muy dispa es en ellos. Su in e p e ación pe sonal de la ealidad i ida du an e las p ác icas es á muy in luenciada po la pe cepción que ienen sob e sus conocimien os de Ma emá icas (de la ma e ia especí ica, de con enido pedagógico y cu i- cula ), que conside an muy limi ados. En pa icula , la pe cepción de la al a de conocimien- os iene e ec os muy dis in os en los dos pa icipan es. Pa a el alumno A la ampli ud y p o undidad de conoci- mien os es algo indispensable pa a se un buen p o e- so . Su isión de símismo como ca en e de ellas le lle a a asigna se ambién una al a de c ea i idad y, global- men e, una al a de segu idad. Y, pa a él, la segu idad del p o eso es o o equisi o indispensable pa a el desa ollo de la clase ( igu a 2). És e es el es ado en el que acude al segundo pe íodo de p ác icas. Su in e p e ación de las expe iencias allí i idas no le hace pe cibi una insu iciencia de conoci- mien os sus an i os de las Ma emá icas, pe o sí de conocimien o de con enido pedagógico. El asocia es a insu iciencia con el hecho de que los niños no son capaces de en ende lo que él les explica, lo que le lle a a la ealización de eje cicios u ina ios y al desa ollo po los niños, y le o igina un ue e con lic o, ya que, además, se e incapaz de hace lo mejo en el u u o. Cola e almen e, mani ies a un ue e echazo a la o - mación ecibida en la Escuela Uni e si a ia, ya que, bajo su pe spec i a, no le ha suminis ado los medios pa a desa olla de un modo ap opiado su a ea. El p oceso es muy di e en e pa a el alumno B ( igu a 3). Pa e de la limi ación de sus conocimien os y la necesidad de adecua a ellos su p ác ica. Pa a ello ecu e a su p opia expe iencia. La p ác ica le mues a que el ipo de enseñanza " adicional" que han u iliza- do con él como alumno le unciona ambién como p o eso .' Su isión en onces es que se ía mejo , desde luego, posee más conocimien os, pe o que puede desa olla su labo co ec amen e sin ellos. Además, una se ie de ac o es ex e nos le hacen sen i - se no esponsable de la si uación. Po un lado, es á la ealidad de la escuela en que desa olla sus p ác icas, con el bajo ni el e in e és de los alumnos, y la insu i- cien e a ención que pe cibe que se da a las Ma e- má icas. de clases monó onas. Po o o lado, es á la o mación de icien e que piensa Es a ealidad es á en con adicción con su concepción que ha ecibido en la Escuela Uni e si a ia. Además, la de las Ma emá icas como algo que debe se asimilado complejidad que pe cibe en el aula implica pa a él que ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990.8 (2) 101 la expe iencia es el me~o camino, y casi el único, pa a adqui i los conocimien os que necesi a. Es o iene dos consecuencias. Le e i a sen i una us ación excesi a po lo que c ee mala o mación ecibida, y le e ue za su segu idad como u u o maes o. Lo que no sabe, ya lo ap ende á. De es e modo, e i a e icazmen e la apa- ición de un con lic o, como el que imos en el caso an e io . Aunque, po b e edad, los esul ados que aquí hemos p esen ado son sólo una pa e del abajo o al, si en pa a mos a las imágenes de dos es udian es pa a maes os cuyas concepciones pe sonales y p o esiona- les son muy dis in as en las á eas de conocimien o conside adas. Y no nos e e imos sólo a las concepcio- nes conside adas aisladamen e, sino, y es o es lo más impo an e, al modo en que es án inse as en los sis e- mas de cons uc os de cada uno de los pa icipan es. An es de las p ác icas de enseñanza, los dos pa icipan- es se an icipan a sí mismos como p o eso es en una o ma al amen e posi i a, si uándose muy p óximos a su ideal. Hay que señala que ienen una isión muy idealizada de la enseñanza. Sin emba go, la al a de conocimien os pe cibida, juega un papel p imo dial en las p ác icas, aunque sus e ec os son muy dis in os en cada uno de ellos. un con lic o. A di e encia del alumno B, no c ee en la expe iencia como un agen e su icien e y casi único pa a la adquisición de conocimien os, lo que le lle a a man ene una pos u a mucho más c í ica espec o de la o mación ecibida. Cen ándonos en las p ác icas, mien as que pa a el alumno B esul an comple amen e i ele an es, pa a el A ep esen an la mani es ación de un con lic o. Ambos esul ados son pe ec amen e isibles en los dis in os ins umen os de in es igación u ilizados, y ue on además econocidos explíci amen e po cada uno de los pa icipan es. En es e sen ido, que emos insis i en la impo ancia de los dia ios y en e is as como medio pa a con as a y alida los esul ados ob enidos del análisis de las ejillas. Pa a e mina , nues o es udio pone de mani ies o la impo ancia que iene el conocimien o, en sen ido amplio, de las Ma emá icas y su enseñanza en la o ma de desa olla su labo los maes os y los es udian es pa a maes os. Más aún, hemos podido cons a a el papel esencial que juega el conocimien o p opio, al y como es pe cibido po ellos, y la o ma en que dicha pe cepción es in e p e ada e inco po ada a su o ma de es uc u a la ealidad. El alumno B conside a que es a al a de conocimien os C eemos que es a au ope cepción de conocimien os es una ealidad que simplemen e debe asumi , ya que el su icien es es una condición indispensable pa a que un único medio pa a 'lega a se un buen p o eso de Ma e- se sien a, en alguna medida, iden i icado con má icas es la expe iencia, pe cepción co obo ada po un cu ículo y esponsable de su desa ollo. los acon ecimien os i idos du an e sus p ác icas. Con ello, no sólo e i a la apa ición de un con lic o, sino que Con ,spec o a la asigna u a de Ma emá icas, lape cep- e ue za su segu idad. De hecho, su sis ema de cons- ción que ienen los es udian es pa a maes os de la ela- uc os es es uc u ado y ees uc u ado de mane a que i a ine icacia de 10s cu sos de Ma emá icas Supe io es e i e la apa ición de con lic os. de la Escuela Uni e si a ia es aleo aue me ece e le- xión. El cu ículo de la E.U. ignd& a aumen a los Desde un pun o de is a es a égico, y u ilizando 10s conocimien os de Ma emá icas median e la in oduc- é minos de Lacey (19'77), combina en g an ~edida o- ción de nue os campos e ideas, y no desa ollando sus lun a iamen e el ajus e in e io izado y la sumisión es- concepc~ones de las ~~~~~á~i~~~ de p ima ia y secun- a égica. da ia (Owens 1987). El P oceso seguido Po el alumno A es o almen e dis- Es os nue os conocimien os no son is os como ele- in o. Pa a él, la alidación de SU ac uación es á en sí an es po 10s u u os maes os, y és e es el pun o esen- mismo. La limi ación de SUS ~0n0~imien 0~ es Una es- cial. ¿Se ediseñan 10s p og amas de o ma que se ~onsabilidad pe sonal. Si no Se conside a capaci ado engan en cuen a es as concepciones o se p o undiza en pa a se Un buen maes o, ningún agen e ex e no se á 1, adquisición de nue os conocimien os? C eemos que capaz de ansmi i le con ianza. és e debe se un mo i o de e lexión. Po o o lado, no es á dispues o a modi ica su ideal de Po úl imo, que emos exp esa nues o ag adecimien o enseñanza. La consecuencia es un alejamien o de su a los pa icipan es en es e abajo. Su ocación, es ímu- an icipación como p o eso del ideal, lo que le lle a a lo e ilusión ue on un ejemplo pa a noso os. RECONOCIMIENTOS Ag adecemos a los p o eso es Luis Miguel Villa Angulo y Ca los Ma celo Ga cía las suge encias y comen a ios ealizados du an e el desa ollo de es e abajo. 102 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990.8 (2) BALL, D. L., 1989. Resea ch on Teaching Ma hema ics: Making Subjec Ma e Knowledge Pa o he Equa ion, en B ophy, J. (ed.), Ad ances in Resea ch on Teaching, Vol. 2, G eenwich, (CT: JAI P ess). CALDERHEAD, J., 1987. Explo ing Teache s' Thinking (In oduc ion). (Cassell Educa ion: London). CLARK, C. y PETERSON, P.L., 1986. Teache s' Though P ocesses, en Wi ock, M.C. (ed.), Handbook o Resea ch on Teaching. (Macmillan: New Yo k). COHEN, L. y MANION, L., 1980. Resea ch Me hods in Edu- ca ion. (C oom Helm: London). COONEY, T.J., 1980. Resea ch on eaching and eache educa ion, en Shumway, R. J. (ed.), Resea ch in Ma he- ma ics Educa ion, Res on, VA, NCTM. DIXON, W., 198 1. BMDP. Biomedical Compu e P og ams. Uni e sidad de Cali o nia. 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