Existencia de puntos fijos positivos de operadores crecientes. Aplicaciones a problemas de frontera periódicos

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–5) Existencia de puntos fijos positivos de operadores crecientes. Aplicaciones a problemas de frontera peri´odicos Alberto Cabada1, Jos´ e´ Angel Cid2 1Dpto. de An´alise Matem´atica, Universidad de Santiago, Campus Sur, Santiago. E-mail: [email protected]. 2Dpto. de Matem´aticas, Universidad de Ja´en, Campus Las Lagunillas, Ed. B-3, 23071, Ja´en. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Teorema de Krasnoselskii,punto fijo positivo, problema de frontera peri´odico Resumen En este trabajo presentamos un teorema de punto fijo que generaliza a espacios de dimensi´on infinita el resultado principal de [2]. Como consecuencia probamos la existencia de al menos una soluci´on peri´odica y positiva de una ecuaci´on diferencial ordinaria. 1. Existencia de puntos fijos positivos Dado un espacio de Banach real Ndecimos que K⊂Nes un cono si Kes cerrado, K+K⊂K,λK ⊂Kpara todo λ≥0 y K∩(−K) = {θ}. Por ejemplo en Rmpodemos considerar el cono Rm +:= {(x1, x2, . . . , xm)∈Rm:xi≥0 para i= 1,2, . . . , m}. Un cono Kinduce en Nel orden parcial x≤ysi y s´olo si y−x∈K. Diremos que Kes normal si existe una constante c > 0 tal que kxk ≤ ckykpara todo x, y ∈Ncon x≤y. Si int(K)6=∅el s´ımbolo xÀysignifica que x−y∈int(K). Por ejemplo si K=Rm +es f´acil comprobar que xÀθquiere decir xi>0 para i= 1,2, . . . , m. El operador T:D⊂N→Nes completamente continuo si es continuo y aplica conjuntos acotados en conjuntos relativamente compactos. Si T x ≤T y siempre que x≤y diremos que Tes un operador creciente. 1 A. Cabada, J. ´ A. Cid A continuaci´on enunciamos el conocido teorema de punto fijo de Krasnoselskii de expansi´on en conos (v´ease [4, Teorema 13.D]). Teorema 1 Sea Nun espacio de Banach real con un cono K. Supongamos que el operador T:K→Kes completamente continuo y adem´as es una expansi´on del cono, es decir, existen 0< r < R tales que T x xpara todo x∈Kcon kxk=r y T x xpara todo x∈Kcon kxk=R. Entonces existe al menos un punto fijo del operador T,x∈Kcon r < kxk< R. Recientemente en [2], H. Persson, usando la teor´ıa del grado topol´ogico, ha probado el siguiente teorema de punto fijo para funciones crecientes. Teorema 2 Supongamos que f:Rm +→Rm +es continua y creciente. Sea S={x≥θ: f(x)≤x}. Si Ses acotado y existe ¯x∈Stal que ¯xÀθentonces existe x≥θ,x6=θ, tal que x=f(x). En [1], usando el Teorema 1, obtenemos la siguiente generalizaci´on del resultado anterior a espacios de dimensi´on infinita. Teorema 3 Sean Nun espacio de Banach real, Kun cono normal con interior no vac´ıo yT:K→Kun operador completamente continuo y creciente. Definamos S={x∈K:T x ≤x}y supongamos que (i) Existe ¯x∈Stal que ¯xÀθ. (ii) Ses acotado. Entonces existe x∈K,x6=θ, tal que x=T x. 2. Aplicaci´on a un problema de frontera peri´odico Como consecuencia del Teorema 3 probaremos en esta secci´on la existencia de al menos una soluci´on positiva del problema de frontera peri´odico x00(t) + a(t)x(t) = f(t, x(t)) , t∈I= [0, T ], x(0) = x(T), x0(0) = x0(T),(1) donde a(t)∈Lp(0, T ), 1 ≤p≤ ∞ yf: [0, T ]×Res una funci´on L1-Carath´eodory, es decir, (i) para c.t.p. x∈R,f(·, x) es medible; (ii) para todo t∈I,f(t, ·) es continua; (iii) para cada r > 0 existe hr(t)∈L1(0, T ) tal que |f(t, x)| ≤ hr(t) para c.t.p. t∈[0, T ] y para todo x∈[−r, r]. Asumiremos la siguiente lista de hip´otesis: (a0) La ecuaci´on de Hill x00(t)+a(t)x(t) = 0 tiene una ´unica soluci´on peri´odica (la trivial) y adem´as su correspondiente funci´on de Green G(t, s) es estrictamente positiva para todo (t, s)∈[0, T ]×[0, T ]. 2 Existencia de puntos fijos positivos (f0) f(t, x)≥0 para c.t.p. t∈Iy todo x≥0. (f1) f(t, ·) es creciente para c.t.p. t∈I. (f2) l´ım x→+∞ f(t, x) x= +∞uniformemente en t. (f3) Existe un r > 0 tal que 0< Mkhrk1≤r, siendo hrla aplicaci´on que aparece en el apartado (iii) de la definici´on de funci´on L1-Carath´eodory y M= m´ax t,s∈[0,T ]G(t, s)>0. Denotaremos por m= m´ın t,s∈[0,T ]G(t, s)>0 y γ=m M+ 1. (En [3] puede verse una f´ormula expl´ıcita para computar los valores de myM). De la hip´otesis (a0) se sigue que una soluci´on del problema (1) es equivalente a un punto fijo del operador T:C(I)→C(I) definido como T x(t) = ZT 0 G(t, s)f(s, x(s))ds para todo t∈I. Cuando la funci´on a(t) no es constante no se conoce expl´ıcitamente la expresi´on de G(t, s), si bien existe un criterio, basado en la acotaci´on en la norma Lpde la funci´on a(t), que nos permite garantizar que G(t, s) es no negativa (v´ease [3, Corolario 2.3]). Consideremos en C(I) el cono K={x∈C(I) : x(t)≥γkxk∞para todo t∈I}. No es dif´ıcil verificar que Kes un cono normal con interior no vac´ıo. Teorema 4 Supongamos que las hip´otesis (a0), (f0), (f1), (f2) y (f3) se satisfacen. Entonces el problema (1) tiene al menos una soluci´on positiva no trivial. Proof. Afirmaci´on 1. T(K)⊂K. Por la condici´on (f0) calculamos m´ın t∈IT x(t) = m´ın t∈IZT 0 G(t, s)f(s, x(s))ds ≥ZT 0 m´ın t∈IG(t, s)f(s, x(s))ds ≥ZT 0 γm´ax t∈IG(t, s)f(s, x(s))ds ≥γm´ax t∈IZT 0 G(t, s)f(s, x(s))ds ≥γkT xk∞ y por tanto T x ∈Kpara todo x∈K. 3 A. Cabada, J. ´ A. Cid Afirmaci´on 2. T:K→Kes creciente. Puesto que G(t, s)>0, usando la hip´otesis (f1) y realizando c´alculos similares a los de la Afirmaci´on 1 podemos deducir que Tes un operador creciente con respecto al orden parcial inducido por el cono K. Afirmaci´on 3. T:K→Kes completamente continuo. La afirmaci´on se sigue de argumentos est´andar. Afirmaci´on 4. Existe ¯x∈S={x∈K:T x ≤x}tal que ¯xÀθ. Sea r > 0 dado en las hip´otesis (f3) y definamos ¯xcomo la ´unica soluci´on del problema x00(t) + a(t)x(t) = hr(t) en c. t. p. t∈I, x(0) = x(T), x0(0) = x0(T), es decir ¯x(t) = ZT 0 G(t, s)hr(s)ds para todo t∈I. Por consiguiente mkhrk1≤¯x(t)≤Mkhrk1para todo t∈I. Dado que G(t, s)>0, de la hip´otesis (f3) y realizando c´alculos similares a los hechos en la Afirmaci´on 1 se sigue que m´ın t∈I(¯x(t)−T¯x(t)) ≥γk¯x(t)−T¯x(t)k∞ y por tanto ¯x≤T¯x, es decir ¯x∈S. Finalmente, de la definici´on de funci´on de Carath´eodory y la condici´on (f3) deducimos que m´ın t∈I¯x(t) = m´ın t∈IZT 0 G(t, s)hr(s)ds ≥ZT 0 m´ın t∈IG(t, s)hr(s)ds >ZT 0 γm´ax t∈IG(t, s)hr(s)ds ≥γm´ax t∈IZT 0 G(t, s)hr(s)ds ≥γk¯xk∞ y en consecuencia ¯x∈int(K). Afirmaci´on 5. El conjunto Ses acotado. Por (f2) existe α > 0 tal que f(t, x)>x γMT para todo x > α. Sea x∈Ktal que m´ın t∈Ix(t)> α. Entonces f(t, x(t)) >x(t) γ m T para todo t∈I. 4 Existencia de puntos fijos positivos Por consiguiente obtenemos para todo t∈I T x(t) = ZT 0 G(t, s)f(s, x(s))ds >ZT 0 G(t, s)1 γ m T x(s)ds ≥ZT 0 G(t, s)1 γ m T γkxk∞ds ≥ZT 0 m1 γ m T γkxk∞ds =kxk∞ ≥x(t). Luego S⊂ {x∈K: m´ın t∈Ix(t)≤α}. Por otro lado, si x∈Ky m´ın t∈Ix(t)≤αse tiene que α≥m´ın t∈Ix(t)≥γkxk∞, y por tanto kxk∞≤α γ. Por consiguiente S⊂B(θ, α γ) y Ses acotado. Finalmente, de las afirmaciones anteriores y del Teorema 3 se sigue la existencia de al menos un punto fijo positivo (distinto de cero) para el operador T, que ser´a una soluci´on positiva no trivial del problema 1. Agradecimientos Ambos autores est´an parcialmente financiados por el proyecto MTM2004-06652-C0301 del Ministerio de Educaci´on y Ciencia y por el proyecto PGIDIT05PXIC20702PN de la Xunta de Galicia. Referencias [1] A. Cabada y J. A. Cid. Existence of a non-zero fixed point for nondecreasing operators via Krasnoselskii’s fixed point theorem. Sometido para publicaci´on. [2] H. Persson. A fixed point theorem for monotone functions. Appl. Math. Lett., 19 (2006), 1207-1209. [3] P. J. Torres, Existence of one-signed periodic solutions of some second-order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem. J. Differential Equations, 190 no. 2 (2003), 643-662. [4] E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications. I. Fixed-point theorems, SpringerVerlag, 1986. 5