Generación de las matrices de transferencia en el formalismo de Stroh para materiales degenerados en esquinas multimateriales anisótropas.

MATERIALES COMPUESTOS 01 307 GENERACIÓN DE LAS MATRICES DE TRANSFERENCIA EN EL FORMALISMO DE STROH PARA MA TERJALES DEGENERADOS EN ESQUINAS MULTIMATERIALES ANISÓTROPAS. A. Barroso, V. Mantic y F. París Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Camino de los Descubr imient os s/ n, 41092 Sevilla e-ma il: abc@es i.us.es Palabras Clave: Esquinas multimateriales, Ten sio11es singulares, U11io11es adhesivas, Materia/es anisótropos, Formalismo de Stroh. Materia/es Compuestos. Resumen: Las uniones adhesivas entre adherentes metálicos y composites (fi'ecuentes en la i11dustria aeronáutica), presentan habitualmente esquinas mu/timateriales con materia/es isótropos (adhesivo y adherentes metálicos) y transve1:rn/mente isótropos, que según la orientación re/ali va o valor de sus constantes, pueden ser degenerados, desde un punto de vista matemático. El uso de la matriz de tra11sferencia facilita lll caracterización del estado tensionlll si11gular en el enlomo de esquinas multimateriales. Para esquinas multimateriales anisótropas. se ha ge11erado con base en el formalismo de Stroh, las matrices de transferencia para rnateriales matemáticamente degenerados, generalizando la ya existente matriz 4e tran.tferencia para materiales anisótropos no degenerados desarrollada por Tinl . Los materiales isótropos se pueden considerar, en el marco del formalismo, como materiales anisótropos 111a1emática111ente degenerados. Se completa de esw 111C1nera el abanico de materiales a incluir en este tipo de análisis. Afo,tract: Metal to composite adhesive joi11ts. give rise ve1y often to comers involving isotropic materials (metal adherends ami the adhesive) and transversely isotropic 111aterials, 1t'/1ich depending 011 t/Je relative orienta/ion and the value of t/Je elastic constants. can be considered as degenerated materials, jiwn a mathematica/ point of view. The use of the transjá matrix facilitares the singular stress characterization in the neighbourhood of multimmerial corners. For anisotropic mu/tima/erial comer.\', and in 1he /reune of Stroh jor111alis111, the transfer matrix have been derived.for degenera red malerials, generalizing the existing cme for 11011 degenerated anisotropic materials, de1·eloped by Ting8. lsotropic materials can be considered i11 the frame of the for111a/is111 as mathematica/ly degenerated a11isotropic 111aterials. The range of ma1erial.1 · col'ered by this type ofanalysis is in this 1rny completed. 308 MATERIALES COMPUESTOS 01 1.- INTRODUCCIÓN El formalismo de Stroh 1•2 es una herramienta poderosa y eficiente en la resolución de problemas de elasticidad anisótropa bajo deformación plana generaliza da. En particular, la caracterización de lo s estados singulares que se inducen en esquinas con presencia de uno o var io s materiales anisótropos, ha sido resuelta con éxito en numerosos trabajos basados en este formalismo (Ting and Chou3; Delale4, Chen5, Poonsawat et al.6, Mantic et al.\ El uso de la matriz de transferencia, que relaciona los valores del vector de desplazamientos y del vector de la función de tensiones entre la s caras extremas de cada sector angular (cada material) que fom1a la esquina. simplifica notablemente el procedimiento de cálculo (Ting8) . Para materiales anisótropos matemáticamente degenerados, aquellos en los que al aplicar el formalismo los autovalores no son todos diferentes y sus autovectores asociados no son todos linealmente independientes, el formalismo sufre ciertas modificaciones (Ting and Chyabyn 9 y Wang and Ting 1 °). Es el objetivo de este trabajo obtener las expresiones de las matrices de transferencia para estos materiales, entre los cuales y por su importancia destacan los materiales isótropos, que dentro del formalismo se pueden considerar como materiales anisótropos degenerados. En la industria aeronáutica es frecuente la presencia de esquinas multimateriales en las uniones adhesivas composite-composite y composite-mctal. En estas esquinas, algunos de los materiales (los adhesivos y lo s adherentes metálicos) tienen comportamiento isótropo, y otros (p.e. láminas de fibra unidireccional) pueden tener comportamiento transversalmente isótropo, que pueden además presentar degeneración dependiendo exclusivamente de la orientación relativa del material al plano donde se produce la deformación plana generalizada, independientemente del valor de sus constantes elásticas 11 • Con la obtención de la s matrices de transferencia para los materiales degenerados, se amplía el procedimiento de cálculo8 a este tipo de uniones, con la posibilidad de caracterizar esquinas multimatcriales con presencia de cualquier material degenerado. 2.- ECUACIONES BÁSICAS En problemas de elasticidad ani sótropa en los que el campo de desplazamientos sólo depende de la s coordenadas de un plano [ u; =u ;( x1 ,.x 2) (i = 1,2,3)] es aplicable el formalismo de Stroh (para un a información completa del fom1alismo ver Ting 12 ) que básicamente, resuelve el sistema: Ns a = PaSa (a = 1, ... ,6) ( 1) donde N es una matriz real 6x6 que sólo depende de las constantes elásticas del material, p y sT = (a·r, b T) son los autovalorcs y autovectores asociados del sistema. xª tiene un significado físico importante, siendo s us tres primeras componentes a el vector de despla za mientos y la s tres últimas b el vector tensión. Es habitual ordenar pa y qª de la siguiente manera: MATERJALES COMPUESTOS 01 309 - lmp ª > O, Pa +J = Pa, S«+3 = s ,., (a = 1,2,3) (2) donde la barra superior denota el valor complejo conjugado. En el caso de que todos los autova lo res sean distintos (caso simple) o en el caso de que aun siendo iguales, tengan autovectores asociados linealmente independientes (caso scmisimple), la solución en desp la zamientos y el vector de la función de tensiones se pueden expresar como: (3) a l a 1 donde f, (:-ª ) es una función arbitrar ia y zª = x1 + p ªx 2. Para el caso de esquinas y en general, para el análisis de estados singulares de tensión se toma: fa (zª) = Cf a=! y -- ()° J;,+ 3 (z ª ) = cf,z ª, donde q ,, y ci , (ª = 1,2,3) son constantes arbitrarias y d-J es el orden de la singularidad de tens io nes. Definiendo A=[a1 ,a 2,a3] y B=[b1,b2,b3] , (3) toma, en coordenadas polares, la forma: donde (s:'(B))=diag(,;;;'(B),sf (B),(/(B)] y sa(fJ) =c osO+p ªsinO de forma que za = x1 + PaX2 = r(ª (B). Teniendo en cuenta que ail = -<f) ,_ 2 y a ,2 = <fJ ,.1, se observa de (4) que las te nsiones tienen carácter singular cuando d<t. Adicionalmente, y debido a que la energía de deformación debe permanecer acotada, también se debe cumplir que d>O . 3.- MA TRJZ DE TRANSFERENCIA Reproduciendo a Ting8. las expresiones en (4) se compactan en: w(r,B) = r" XZ" (fJ) t lu (r,O)J lA Aj lqJ . l( s :' (O)) O j donde: w(r,B) = , X= · - , t = _ y Zº (B) = (- " \ q>(r,8) B B q O ( , (B)¡ (5) Si a y b están normalizados según 2a·b= 1, entonces se sabe que X 1 = l :-:· i: J. Para cualquiera de los materiales presentes en la esquina multimaterial ocupando un sector 81 s0s6 2, se puede establecer, para 0=() 1 y B=fh: w(O,) = r'' XZ '' (O, )t => w(02 )=r" XZ"(O,) t Eliminando t entre ambas => w(()2) = E w( fJ 1) 310 MATERIALES COMPUESTOS 01 Quedando así definida la matriz de transferencia E (6X6), que relaciona los valores de w entre Bi y 02• Ting8 desarrolla con detalle la estructura de Z6 (0 2 )[Z " (0 1) j' para materiales anisótropos no degenerados, siendo el objeto de lo s apartados siguientes el desarrollo de dicha expresión para materiales anisótropos matemáticamente de generados. 4.- MATERIALES DEGENERADOS El formalismo de Stroh sufre ciertas modificaciones cuando existen autovalores p0 iguales y autovectores Xa linealmente dependientes. Concretamente el número de autovectores linealmente independientes, es el que fíj a la fon11a de la solución, siendo válida la expresión general ( 1) ¡ara el caso de tres autovectores linealmente independientes, y ex presiones modificadas · 10 que analizaremos en los apartados siguientes para dos y un sólo autovector linealmente independiente. Ting13 muestra con detalle todos lo s casos posibles de degeneración en función del número de autovalores iguales y el número de autovectores linealmente independientes. Un cuadro resumen con las diferentes posibilidades se presenta en la Tabla 1. Pi 7= Pz7= P.17= Pi /J1=J)_ z ?= PJ P1=p z =p J 3 autovectores Simple (SP) Semisimple (SS) Ex. se mi simp le (ES) independientes No Ex iste 2 autovectores Degenerado de De generado de independientes 1 ª esJJ_ecie _{D 1) 2ª especie (D2) 1 autovector Ex traord in a ri amente ind ependiente degenerado (E D) Tabla 1. Clasificación de la matriz N. Ting'4 demostró la existenc ia de matrices N del grupo ED, así como la imposibilidad de encontrar materiales con una matriz N pertenecientes al grupo ES a menos que la función de energía de deformación fuese semidefinida positiva 9. Los materiales isótropos pe rt enecen al grupo D2 , con los tres autovalores iguales p1=p 2=p 3 =i, siendo i = Fi la unidad imaginaria. Según Tanuma 11, los materiales transversalmente 1so tropos, dependiendo del va lor de las 5 constantes elásticas que lo definen y de la orien ta ción rela ti va del mi s mo respecto de los ejes coordenados, pueden pertenecer a todos los grupos mostrados en la Tabla 1, sa lvo al grupo ED. 4.1.- Dos autovectore.1· linealmente indepen dientes. Casos DI y D2 Si en ambos casos supone mo s, s in ninguna pérdida de generalidad, que asociados a p1 =p 2 tenemos un só lo autovector x1 linealmente independiente, la s expresiones modificadas del sistema del formalismo ( 1) para p1 =p 2 y p3 son 12 : (7) MATERIALES COMPUESTOS 01 311 donde x" es el autovector ge neralizado. Las relaciones de ortogonalidad, propias del formalismo, también se ven modificadas 12 y quedan: (8) Las expresion es ( 4) pueden escribirse también como: u = 2 Re{AF( z.) q }, (Jl = 2Re{ BF (z . )q} (9) En lo que respecta a la forma de la solución, la diferencia entre los materiales anisótropos no degenerados y los degenerados es q ue , mientras que en los pr imeros F (z.) = (f(z, )) = dia g(z~, z;·, zf ), en los degenerados con dos autovectores linealmente independientes (grupos DI y 02), la mat ri z F( z,) ya no es diagonal. La estructura de F(z,) para estos materiales es la sigu ien te: [ f(z 1) F( z.) = : siendo: x2I'C 2 1) /(z2) o (JO) x~ = r sin O . Es i nm ediato demostrar: x2 J' (z 1) = l O sin(J . jf (z 1 ), que sustitu íd o en co sB + p1 slllO (10) da: (¡"(O) l SsinB Js "(B) cosB+ p1 si11B 1 o F(z,) = r" o sf (B) o =r "F (B) ( 11) o o ,t (()) Usando todo lo anterior y sabiendo que r = r , la matriz de transferencia E (6) toma la forma: _ l F( Bi) F I (BI )f O j -1 _ lFI EX - - -1 X -X O F(02 )F (0 1 )f O (12) 312 MATERIALES COMPUESTOS 01 ,1-6 (()1) -l o sin{) J,-º({)) cos{)+ p1 si11{) 1 1 o donde: F-1(01)= o (;" (81) o ( 13) o o <;;º (()1) - - - 1 Vamos a eva lu ar F1 = F({)i)F 1 ({} 1 )f y F2 = F(B2 )F (()1 )f, que conforman los tér mi nos no nulos de F (l2). Haciendo uso de la relación l n(({})= ln i((B)l +iarg((B) y o= oR + i o1 do nd e i((B)i es el mó dulo de ((8), arg ((B) es el arg um ento de (({)), y ~ y bj , l as pa rtes Real e Imaginaria de o respectivamente. Es importante remarcar que arg ((8) debe ser una función continua en el in terva lo ( 81 ,B.z). Según lo anterior, (s ({}) y (-"({})se pued en expresar como: ,: ( {) /J) = 1," ( {} /J (" . e -,;, arg: ,, !O¡¡) .[ cos(h1I( a ( {} /J )1 º 1 + o R arg ( , ( {} /J)) + i sin(ln lc ( {)/J )15 1 + 5R arg( a ( {) /J )) ] (/ ({} p) = l(a (O ¡; )l "R . /1 arg- .,W¡¡) ·[cos(- tnlc ({} /1 )15 , - cil{ arg( a ({} ¡J )) + i sin(- 11 ,1,a ({) p )15 1 - 0 1{ arg( a ({} /J )) ] con a = l. 2,3 y /3 = 1, 2 . Operando, obtenemos: Usando (14) y (15) y sabiendo que PJ=p 2 implica que (1 ({}p)=( 2 (6 p ), 1(1 ( {} /i )1 = Is 2 ( O 11 )1 y argl(J {) p) J = argl( 2 ( O 11 ) j , de donde operando obtenemos: --1 De manera análoga, para el producto F(62)F ({} 1 )f tenemos: ( 14) ( 15) ( 16) entonces MATER IA LES COMPUESTOS 01 313 (18) donde: siendo (1(B/J)=cos{}1 ,+ p1 si11B/J. Con r (8), F1 (16) y F2 (18) se completa F (12), quedando sólo conocer las matrices A y B para completar la matriz de transfere nc ia E (12). 4.2.- Un autovector linealmente independient e. Caso ED. El fonnalismo, en el caso de que exista un sólo autovector linealmente independiente asociado al au to valor tri pi e p, se ve modificado 10 y el sistema de autovalores, en vez de ( l) toma la forma: (20) donde X 2 y X3 son autovectores genera li zados. Las relaciones de ortogonalidad, también se ven modificadas 10 . La ex presión de la matriz F(z.) ( 1 O), tampoco es diagonal para Extraordinariamente Degenerados tomando en este caso la forma siguiente w. lf(z) xJ'(z) L ·' /'(s) j ~ .\ 2 . - F(z,) = ~ f(z) x J' (z) o f( z) ( 21 ) materiales (22) En la que f( z)=r ' '(eosB+ psin{)r>" =r ''(J ({)), /(z)= º/~(z) y f"(z)= 82 /"~z) . Ya Oz Oz - sabemos que:x 2 /'(:)=[ 5sin{}. J .r(z)= L(8) f(z) y operando convenientemente, cose+ p s1110 b 314 MATERLALES COMPUESTOS 01 obtenemos: fx;¡' 1 (z)=(s-_ 1 )( Ssin(J. ) 2 f(z)=PL2((J)f(::.) que sustituídas en - 2b cosO+psmB (22) dan: ll l(B) P L\B)j F( z.)= r8('5(B) O l L(B) =r' 5F(B) o o l (23) Para obtener la expresión de la matriz de transferencia. necesitamos la inversa de F( 6) (en (23)), que toma la forma. -L ( B) ( 1 - P) L2 ( B)j l - l (B) o l (24) Análogamente con el caso anterior, debemos evaluar los productos F1 = F(B 2 )F-1 (B 1 )f y - - - 1 ' F2 = F(BJF (B 1 )í para obtener F ( 12). Operando adecuadamente, obtenemos: (25) donde: - _ Z1 sine¡ sinBC z, - --- - ---- - 2 2((B 1) 2((B 2) donde ((B) =cosO+ psinO. Con F1 (25)1 y F2 (25)2 se completa F (en 12) y sólo queda conocer las matrices A y B para completar la matriz de transferencia E ( 12). MATERIALES COMPUESTOS 01 315 5.- APLICACIÓN A MATERIALES ISÓTROPOS Para los materiales isótropos ( caso D2) todas las expresiones anteriores se simplifican significativamente debido a que el autovalor triple p=i, lleva a: (27) de (27) tenemos que ( 17) y ( 19) quedan rcspectiva rne nte: (28) (29) Las matrices A y B ya normalizadas para materiales isótropos 12 se muestran en (30), donde /.1 y v son respectivamente el módulo de cortadura y el coeficiente de Poisson del material. º] l 2. O, B =pr¡t -~ -, F, o o - iy - y o ~j ' I F, r¡t = [8p(l - v>JYi r =+(3-4v) --- F, = (l - i)J2c1v) (30) Sustituyendo (28) y (29) en F1 ( 16) y F2 ( 18) respectivamente, y éstas junto con las expresiones de A y B (30) en E ( 12) obtenemos la expresión de la matriz de transferencia para ma teriales isótropos. 6.- CONCLUSIONES En el presente trabajo se han obtenido l as expresiones de la matriz de transferencia para los denominados, según el Formalismo de Stroh, materiales matemáticamente degenerados. Ello permite ap li car el enfoque introducido por Ting8 para caracterizar de una manera eficiente el estado tensional en esquinas multimateriales compuestas por cualquier material elástico, sea cual sea su grado de anisotropía y degeneración. Los materiales isótropos, no dejan de ser unos materiales anisótropos muy par ti culares. Para ellos, por lo tanto, son también aplicables los resultados obtenidos. L os mismos autores que suscriben este trabajo, han implementado numéricamente 15 el procedimiento de cálculo en el que se hace uso de los resultados aquí descritos, para caracterizar el estado tension al y de desplazamientos en esquinas con presencia conjunta de materiales anisótropos no degenerados y degenerados (incluyendo isótropos y transversalmente isótropos), que aparecen con frecuencia en las uniones adhesivas metal - composite y composíte-composi te en la indust ri a aeronaútica. 316 MATERIALES COMPUESTOS O 1 7.- AGRADECIMIENTOS Este trabajo se ha realizado con la financiación PROFIT 20 01 del Ministerio de Ciencia y Tecnología (proyecto EUREKA S! 1882) y del Ministerio de Educación y Cultura (proyecto PB 98-I 11 8). 8.- REFERENCIAS l. A. N. Stroh (1958). "Dislocations and cracks in anisotropic elasticity", Phi!. Mag. 3, 625-646. 2. A. N. Stroh (1962), "Steady state problems in anisotropic elasticity ", J. Math. Ph ys. 41, 77-103. 3. T. C. T. Ting an d S. C. 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