REFLEXIONES SOBRE LA ADECUACIÓN DE LOS
CONOCIMIENTOS PREVIOS DE LOS ALUMNOS AL TEMARIO
DE MATEMÁTICAS DE LA ESCUELA DE EMPRESARIALES
Fe nández Geniz, Pa ocinio
Gómez Domínguez, Dolo es
Mase o Mo eno, Inmaculada
Zapa a Reina, Asunción
Depa amen o de Economía Aplicada III
Uni e sidad de Se illa
Resumen:
El obje i o de es e abajo es obse a si exis en lagunas de conocimien os,
des ezas y/o p ocedimien os ma emá icos en los alumnos de p ime cu so
de la Diploma u a de Ciencias Emp esa iales. Si es así, es e
desconocimien o puede a ec a , al menos en pa e, su andadu a en es a
ma e ia. Pa a e i a , en alguna medida, es e handicap que ienen algunos
alumnos, el p ime paso se á conoce a ondo la si uación, es deci ,
analiza cuáles son las de iciencias ma emá icas que pueden ene ,
a endiendo a los es udios que hayan cu sado p e iamen e; ya sea
Bachille a o, es udios de BUP y COU, o bien módulos p o esionales. De
es e modo, se á posible o ien a los pa a que el es udio de las Ma emá icas
no esul e una ca e a de obs áculos.
Palab as cla e: alumnos, Emp esa iales, Ma emá icas, docencia.
Fe nández, Gómez, Mase o y Zapa a Adecuación de los conocimien os p e ios...
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1 INTRODUCCIÓN
Cuando un alumno es udia Ma emá icas en la Uni e sidad po p ime a ez, de ec a
un b usco cambio, no sólo en la mecánica de las clases, sino ambién en la can idad de
in o mación ecibida, que, al se an ele ada, en la mayo ía de los casos, no sabe cómo
es uc u a . Al ma gen de la nue a dinámica en las clases, y los nue os hábi os de
es udio, que los p opios alumnos deben adap a a su caso pa icula , hay una e e encia
o excusa, ecuen emen e usada po és os, pa a explica po qué las Ma emá icas les
suponen una asigna u a mucho más di ícil que las es an es: a gumen an que ca ecen de
cie os conocimien os ma emá icos p e ios.
Hemos ob enido oda la in o mación e e en e a los dis in os caminos que se pueden
segui pa a accede a la Diploma u a de Emp esa iales, con el obje o de conoce los
con enidos ma emá icos de odos los alumnos que pueden es udia es a Diploma u a.
Pa a ello, hemos acudido a los co espondien es Dec e os que egulan o es ablecen
dichos con enidos. A es o dedicamos los apa ados dos y es. De es e modo, pod emos
alo a si ealmen e exis e la posibilidad de que algún alumno p esen e ca encias de
conocimien os ma emá icos, que le hagan sen i se en des en aja en elación a sus
compañe os p oceden es de o as opciones, y que puedan conduci le a un abandono de
la asigna u a. En el cua o apa ado, exponemos nues a expe iencia, y inalizamos con
algunas e lexiones en el apa ado cinco.
2 ¿QUÉ ESTUDIOS PERMITEN EL ACCESO A UNA ESCUELA
UNIVERSITARIA DE EMPRESARIALES?
Los alumnos que deciden es udia la Diploma u a de Emp esa iales pueden p ocede
de dis in os es udios. Has a hace unos años, es os alumnos p ocedían de BUP, COU, y
Fo mación P o esional. En el cu so 98-99 se ealizó la o al implan ación de la LOGSE.
En la ac ualidad, queda po accede a la Uni e sidad una p omoción de alumnos que
es á cu sando COU. Pos e io men e, odos hab án cu sado algún Bachille a o y la
p ocedencia de los alumnos se á muy he e ogénea (BUP y COU, FP, Bachille a o
LOGSE o Fo mación P o esional Especí ica).
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Según la o den de 25 de no iemb e de 1999, que de e mina los es udios que
conducen a la ob ención de í ulos uni e si a ios o iciales elacionados con cada una de
las ías de acceso a dichos es udios, pueden accede desde la opción A, B o C de COU.
Exis en cua o modalidades de Bachille a o y cada una o ece dis in os i ine a ios.
És os acili an la o ien ación de los alumnos de Bachille a o hacia las di e en es salidas
p o esionales o uni e si a ias de cada modalidad. Además, suponen una especialización
p og esi a, ya que, en el p ime año de Bachille a o, la modalidad elegida con iene
asigna u as especí icas que no cie an la pue a a ninguna especialización pos e io . En
segundo cu so, apa ecen dis in as posibilidades elacionadas con las di e sas opciones
o ma i as que ealiza á pos e io men e. Las modalidades y los i ine a ios espec i os
son:
A es A es plás icas, A es aplicadas y Diseño
C.C. de la Na u aleza y de la
Salud
Ciencias e Ingenie ía, y Ciencias de la Salud
Humanidades y C.C. Sociales
Humanidades, Geog a ía e His o ia y
Adminis ación y Ges ión
Tecnología Ciencias e Ingenie ía, y Tecnología Indus ial
Los alumnos que acceden a la Diploma u a de Emp esa iales desde las p uebas
de acceso a la Uni e sidad lo hacen median e es opciones: Cien í ico-Técnica
( inculada a los Bachille a os de Tecnología y de la Na u aleza y CC. de la Salud),
Ciencias de la Salud (Bachille a o de CC. de la Na u aleza y de la Salud) y la opción de
CC. Sociales (Bachille a o de Humanidades y CC. Sociales). La inculación con los
es udios uni e si a ios no se ealiza en unción de la modalidad de Bachille a o cu sado
y del i ine a io elegido, sino basada en la opción de Selec i idad que el alumno ealice.
No obs an e, o os alumnos acceden a es a Diploma u a después de habe ob enido el
Tí ulo de Técnico en Fo mación P o esional.
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3 ¿QUÉ MATEMÁTICAS HAN ESTUDIADO?
Las Ma emá icas en Bachille a o no pe enecen a las ma e ias comunes, sino que se
encuen an den o de las ma e ias p opias y op a i as. Así, en los Bachille a os CC. de
la Na u aleza y de la Salud, de Humanidades y Ciencias Sociales, y de Tecnología es
una ma e ia p opia.
En p ime o de Bachille a o los alumnos ienen que cu sa cua o ma e ias comunes,
es p opias y dos op a i as. Si el alumno elige cu sa el Bachille a o de Na u aleza y
Ciencias de la Salud o el de Tecnología (median e los cuales accede a la Diploma u a),
en e sus es asigna u as p opias se encuen a Ma emá icas I, que ha de escoge
obliga o iamen e. Si el alumno elige el Bachille a o de Humanidades y Ciencias
Sociales iene cinco ma e ias p opias en e las que elegi es, luego, en es e caso,
pueden no cu sa las Ma emá icas Aplicadas a las Ciencias Sociales I.
En segundo de Bachille a o deben cu sa es ma e ias comunes, es p opias y es
op a i as. En los es Bachille a os de los que suelen p o eni los alumnos de la
Diploma u a, hay seis ma e ias en e las que end án que elegi las es p opias. Es o
quie e deci que no ienen que cu sa Ma emá icas II o Ma emá icas Aplicadas a las
Ciencias Sociales II obliga o iamen e. Sin emba go, el hecho de llega a la Diploma u a
median e la opción elegida en las p uebas de acceso les obliga a examina se de las
asigna u as ci adas en algunas de las opciones, po lo que se ía con enien e habe la
elegido en segundo cu so de Bachille a o. Los que eligen la opción Cien í ico-Técnica
han de examina se de Ma emá icas II y los de la opción de Ciencias Sociales, de
Ma emá icas aplicadas las CC. Sociales II. Sin emba go, pueden elegi la opción de CC.
de la Salud y no examina se de Ma emá icas II, po lo que no ienen po qué habe la
cu sado en segundo de Bachille a o.
Las ma emá icas son asigna u as obliga o ias en COU A y C. Los alumnos que hayan
cu sado COU B pueden es udia Ma emá icas como op a i a.
Pa a los alumnos que p oceden de los es udios de Fo mación P o esional, los
con enidos ma emá icos p e ios no son an p o undos como los de los alumnos que se
es udian en cualquie a de las opciones an e io es.
Debido a lo que acabamos de expone , nos amos a cen a en los úl imos
conocimien os adqui idos po los alumnos en ma emá icas, es deci , a los impa idos en
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segundo de Bachille a o y sólo en los que son necesa ios pa a la asigna u a de
Ma emá icas de p ime cu so que impa imos en la Escuela Uni e si a ia de Es udios
Emp esa iales, po lo que no especi ica emos los con enidos en los emas de es adís ica
o geome ía. Pa a ello, hemos omado los con enidos mínimos a ni el nacional pa a los
Bachille a os, aplicables a ni el andaluz, y los con enidos mínimos es ablecidos a ni el
andaluz pa a COU.
Ma emá icas II: Bach. de CC. de la Na u aleza y de la Salud, Bach. Tecnológico
P ime a pa e: ÁLGEBRA LINEAL.
1. Las ma ices como he amien a pa a maneja da os en ablas y g a os.
2. Ope aciones con ma ices: suma, p oduc o, in e sa.
3.De e minan e: concep o, cálculo y p opiedades, esolución de sis emas.
Segunda pa e: ANÁLISIS.
4. In oducción a los concep os de lími e y de i ada de una unción en un pun o.
5. Cálculo de lími es y de i adas de las unciones conocidas. De i ada de la suma, el
p oduc o y el cocien e de unciones y de la unción compues a. Aplicación al es udio de
p opiedades locales de las unciones.
6. In oducción al concep o de in eg al de inida a pa i del cálculo de á eas de inidas bajo una
cu a.
Te ce a pa e: GEOMETRÍA.
Ma emá icas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: Bach. de Humanidades y CC.
Sociales
P ime a pa e: ÁLGEBRA
1. Ma ices. Suma y p oduc o. Resolución de sis emas de ecuaciones.
2. Iniciación a la P og amación Lineal.
Segunda pa e: ANÁLISIS
1. De i ada de una unción en un pun o. Ap oximación al concep o e in e p e ación
geomé ica como pendien e de una cu a y como a iación de una unción.
2. Aplicación del lími e y la de i ada a la de e minación e in e p e ación de las
p opiedades locales de unciones habi uales basadas en si uaciones
con ex ualizadas.

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3. Aplicación del cálculo de de i adas elemen ales (polinómicas, exponenciales y
loga í micas, p oduc os y cocien es) a p oblemas de op imización.
Te ce a Pa e: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.
Los alumnos que p oceden de COU A han es udiado los siguien es con enidos:
Ma emá icas I
P ime a pa e: ANÁLISIS
1. Funciones eales de a iable eal. Ope aciones. Funciones in e sas. Funciones
monó onas y aco adas. Ex emos ela i os y absolu os.
2. Lími es y con inuidad. P opiedades. Asín o as de una cu a. Cálculo de lími es.
Función con inua. Discon inuidades. Teo ema del alo in e medio de Bolzano y
Teo ema de exis encia de ex emos absolu os de Weie s ass.
3. De i adas. Función de i able. De i adas la e ales. In e p e ación geomé ica.
Ecuaciones de las ec as angen e y no mal a una unción en un pun o. Función
de i ada. De i ada segunda. P opiedades locales de una unción de i able: con inuidad
, c ecimien o y dec ecimien o. Teo ema de Rolle. Teo ema del alo medio de
Lag ange. Regla de L´Hôpi al. Pun os c í icos de una unción. Rep esen ación g á ica.
4. P imi i a. In eg al Inde inida. P opiedades. In eg ación de unciones acionales.
In eg ación po pa es y po cambio de a iables. Ap oximación in ui i a al concep o de
in eg al de inida. Teo ema undamen al del cálculo in eg al y egla de Ba ow. Cálculo
de á eas y olúmenes.
Segunda pa e: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA
5. Álgeb a Lineal. Vec o es en R
3. Ope aciones y p opiedades. Dependencia e
independencia lineal. Base canónica. De inición de ma iz. Ope aciones con ma ices.
Ma iz in e sa. De e minan e. P opiedades. Rango de una ma iz. Sis emas de
ecuaciones lineales. Teo ema de Rouché-F obenius. Mé odo de eliminación de Gauss:
Cálculo de la in e sa de una ma iz po el mé odo de Gauss-Jo dan.
6. Geome ía del espacio idimensional.
En la asigna u a de Ma emá icas II (COU opción C), los con enidos son:
Ma emá icas II
P ime a Pa e: ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL.
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1. Sis emas de ecuaciones lineales. Plan eamien o y soluciones de un sis ema de
ecuaciones lineales. Sis emas lineales equi alen es. Mé odo de educción de Gauss.
In e p e ación geomé ica.
2. Ma ices y de e minan es. Ope aciones con ma ices: suma y p oduc o. P oduc o de
una ma iz po un escala . Ma iz in e sa. Exp esión ma icial de un sis ema de
ecuaciones lineales. De e minan e. Desa ollo po los elemen os de una línea. Cálculo
de la ma iz in e sa.
3. P og amación Lineal.
Segunda pa e: ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS
4. Funciones y g á icas. Es udio cuali a i o de unciones dadas po sus g á icas. Idea
in ui i a de con inuidad de una unción. Funciones de inidas a ozos.
5. De i adas. Rec a angen e a una cu a en un pun o. Idea in ui i a del concep o de
de i ada de una unción en un pun o. Función de i ada. De i adas sucesi as. Reglas de
de i ación. Aplicación de la de i ada al es udio cuali a i o de una unción (c ecimien o,
dec ecimien o, ex emos locales, pun os de in lexión, con exidad). Rep esen ación
g á ica.
6. In eg ales. Concep o de in eg al inde inida. P opiedades. In eg ales inmedia as.
In eg al de inida. Regla de Ba ow: signi icado geomé ico y aplicación al cálculo de
á eas.
Te ce a Pa e: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y CÁLCULO DE
PROBABILIDADES.
A con inuación, amos a expone el p og ama que se impa e en la ac ualidad en
la Escuela de Es udios Emp esa iales en p ime cu so, con el obje o de comp oba si los
alumnos ienen unos conocimien os adecuados pa a es e ema io, o si lo emos desde
o o pun o de is a, si el ema io de es a asigna u a es asequible al alumnado que llega a
la Uni e sidad ac ualmen e.
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS. CURSO 1º.
TEMA 1: ESPACIOS VECTORIALES. El espacio ec o ial Rn; p oduc o escala ;
módulo. Ma ices de o den mxn. Ope aciones y p opiedades. De e minan es. Rango de
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una ma iz. Ma iz in e sa. Combinación lineal. Dependencia e independencia lineal.
Subespacios ec o iales. Concep o de base y dimensión. Cambio de base.
TEMA 2: APLICACIONES LINEALES.
TEMA 3: FORMAS CUADRÁTICAS.
TEMA 4: FUNCIONES DE Rn EN Rm: CONTINUIDAD. Funciones eales de una
a iable, unciones eales de n a iables y unciones ec o iales. Lími es. Es udio
especí ico de lími es dobles. Con inuidad.
TEMA 5: FUNCIONES DE Rn EN Rm: DIFERENCIABILIDAD. De i ada de una
unción eal de a iable eal. Ma ginalidad y elas icidad. De i adas di eccionales y
de i adas pa ciales de una unción eal de n a iables. Vec o g adien e. De i adas de
o den supe io . Ma iz hessiana. Di e enciabilidad de unciones eales de n a iables.
Di e enciabilidad de unciones ec o iales. Ma iz jacobiana. Regla de la cadena.
TEMA 6: FUNCIONES IMPLÍCITAS Y HOMOGÉNEAS. Exis encia y de i ación de
unciones de inidas implíci amen e. Funciones homogéneas. Teo ema de Eule .
TEMA 7: APROXIMACIÓN DE FUNCIONES..
TEMA 8: OPTIMIZACIÓN.
TEMA 9: INTEGRACIÓN. La in eg al inde inida. La in eg al de inida. In eg ales
múl iples.
TEMA 10: INTRODUCCIÓN A LAS LEYES FINANCIERAS DE
CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO.
TEMA 11: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS FINANCIERAS.
4 NUESTRA EXPERIENCIA
P eocupados po la docencia, y con el obje o de obse a la p ocedencia de
nues os alumnos, hemos ealizado du an e dos años consecu i os una encues a en
a ios g upos de p ime cu so pa a comp oba sus es udios p e ios, es deci , el ipo de
Bachille a o, COU o es udio de Fo mación P o esional que habían cu sado y cuándo ue
la úl ima ez que cu sa on una asigna u a de ma emá icas, siendo es a p egun a muy
indica i a pa a los alumnos p oceden es de Fo mación P o esional, ya que pa ece se
que, en es e sen ido, pueden se los más des a o ecidos.
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En el cu so 1999-2000, ealiza on el cues iona io un o al de 214 alumnos, que
se epa en como sigue:
Alumnos p esen ados al p ime pa cial
COU A-B COU
C
B. de CC. de
la Na u aleza
y de la Salud
B. Humanidades y
CC. Sociales
Tecnologí
a
F.P.
86 49 5 15 3 20
Alumnos no p esen ados al p ime pa cial
COU BACHILLERATO F.P.
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Todos los alumnos que habían cu sado alguno de los Bachille a os an e io es, habían
es udiado ma emá icas en los dos años de Bachille a o, sal o dos alumnos
pe enecien es al Bachille a o de CC. de la Na u aleza y de la Salud que sólo lo hicie on
en p ime o, lo cual es debido a lo comen ado sob e las p uebas de acceso, es deci , que
no ienen la obligación de examina se de ma emá icas. Reco damos que, en es e caso,
no ienen conocimien os de ma ices e in eg ales, aunque sí han de sabe de i adas.
Los alumnos que p oceden de COU A ienen que cu sa Ma emá icas I
obliga o iamen e, y los de COU C, Ma emá icas II. Sin emba go, los que cu sa on COU
B, puede que no hayan es udiado ma emá icas en ese cu so (aunque la mayo ía de ellos
la eligen como op a i a), con lo cual es os alumnos no end ían conocimien os de eo ía
de ma ices y cálculo in eg al. En nues o caso, hemos de señala que los alumnos de
es a opción han cu sado Ma emá icas I.
En el cu so 2000-2001, ellena on el cues iona io un o al de 263 alumnos. El
núme o es supe io al de año pasado debido a que el cues iona io se ellenó el p ime
día de clase, mien as que el an e io se hizo en echas pos e io es, ce canas a la
ealización del p ime pa cial. El epa o es el siguien e: