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ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 (1997)
ANÁLISIS MEDIANTE ELEMENTOS DE CONTORNO DE PROBLEMAS DE
PROPAGACIÓN CUASI-ESTÁTICA DE FISURAS
J. Bel án*, J. Domínguez*, R. Gallego**
*Escuela Supe io de Ingenie os,Uni e sidad de Se illa
A da. Reina Me cedes s/n, 41012 Se illa
**E. T. S. Ingenie os de Caminos, C. y P.,Uni e sidad de G anada
Campus de Ca uja, 18071 G anada
Resumen. En es a comunicación se p esen a la o mulación mix a del Mé odo de los Elemen os de
Con o no pa a la esolución de p oblemas bidimensionales de p opagación cuasi-es á ica de g ie as
den o del égimen elás ico-lineal. Median e la o mulación mix a del Mé odo de los Elemen os
de Con o no pueden analiza se p oblemas de ac u a disc e izando únicamen e el con o no del
dominio bajo conside ación y ambas ca as de la g ie a, lo cual educe eno memen e el abajo de
modelado y emallado. Los ac o es de in ensidad de ensiones en el é ice de la g ie a, en modo I,
II o mix o, se calculan de mane a di ec a a pa i de los desplazamien os de ape u a y cizalladu a
del elemen o adyacen e al é ice. A pa i de los ac o es de in ensidad de ensión se ha calculado
la di ección de p opagación median e el c i e io de la mínima ene gía de de o mación. En es a
di ección se inc emen a la longi ud de la g ie a simplemen e añadiendo un nue o elemen o, sin
necesidad de un cos oso emallado del dominio, al y como ocu e en o os mé odos. Se mues a
inalmen e una se ie de p oblemas de c ecimien o cuasi-es á ico de isu as.
Abs ac . In his pape he mixed o mula ion o he Bounda y Elemen Me hod is p esen ed.
This o mula ion is used o sol ing quasi-s a ic c ack p opaga ion p oblems wi hin he Linea Elas
ic F ac u e Mechanics amewo k. The meshing e o is g ea ly educed in he Mixed Bounda y
Elemen Me hod since only he ex e io bounda y and bo h aces o he c ack ha e o be meshed.
The S ess In ensi y Fac o s, in mode I, II o mixed, a e ob ained o m he c ack opening and
shea ing displacemen compu ed in a special elemen adjacen o c ack ip. F om he S ess In
ensi y Fac o s he c ack p opaga ion pa h can be p edic ed. The mínimum s ain ene gy densi y
c i e ion has been used in his communica ion o p edic . In he p edic ed di ec ion he c ack is
ex ended simply appending a new bounda y elemen , so he e is no need o a complex emeshing
e o as i happens in so ne o he me hods, Finally se e a! p oblems o quasi-s a ic c ack-g ow h
a e shown.
l. INTRODUCCIÓN
La exis encia de g ie as en elemen os mecánicos y
es uc u ales es ine i able, bien po de ec os de a
b icación o po daños localizados en se icio. Pa a
e alua la ole ancia al daño de un elemen o es ne
cesa io dispone de dos pa áme os básicos: amaño
máximo pe misible de una isu a bajo las condicio
nes de ca ga en se icio y es imación de la ida ú il
del elemen o an es de que se alcance dicho amaño.
Pa a calcula es os pa áme os puede u iliza se la
Mecánica de la F ac u a Elás ica Lineal en la que
el campo de ensiones en las inmediaciones del é 
ice de una isu a se ca ac e iza po los Fac o es de
In ensidad de Tensiones (FITs). A su ez el p oce
so de c ecimien o de la isu a puede simula se me-
dian e un p ocedimien o inc emen al de a ance de
la g ie a. Pa a ambos obje i os el Mé odo de los
Elemen os de Con o no (MEC) es una he amien a
po en e y e icaz de cálculo, dada la simplicidad de
modelado que implica y la p ecisión de los esul a
dos ob enidos en p oblemas con ue es g adien es
de ensiones ( e [l]).
Los p oblemas de g ie as implican una di icul ad
adicional en el MEC débida a la coincidencia ma
emá ica de ambas ca as de la misma, lo cual da
luga a un sis ema de ecuaciones singula . Pa a
supe a es a di icul ad se han desa ollado di e sas
écnicas: unción de G een con isu a [2], el mé o
do de la discon inuidades [3], sub egiones [4] y más
ecien emen e el MEC mix o [5,6].
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ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 (1997)
Es e úl imo mé odo se es á imponiendo al se más
e sá il que los demás y pe mi i el análisis de p o
blemas con un núme o cualquie a de g ie as, de o 
ma cualquie a, u ilizando disc e izaciones simplísi
mas. G acias a es o el análisis del c ecimien o de
una isu a puede ealiza se educiendo al mínimo
el p oceso de emallado. La o mulación mix a del
MEC se basa en es ablece la ecuación in eg al de
los desplazamien os (d-EIC) en una de las ca as de
la isu a y la ecuación in eg al de la acciones ( 
EIC) en la o a. Haciendo es o se ob ienen dos
ecuaciones di e en es pa a cada pa de pun os de
iguales coo denadas, lo cual da luga a un sis ema
de ecuaciones no-degene ado. Po ela e al. [5] han
u ilizado es a écnica pa a analiza di e sos casos
de c ecimien o es able de g ie as. Pa a el cálculo
de los FITs u ilizan una écnica basada en la in e
g al J jun o con un p oceso de subs acción de la
singula idad en el é ice de la isu a.
En es a comunicación se p esen a b e emen e la o 
mulación del MEC mix o pa a la esolución de p o
blemas de g ie as. El cálculo de los FITs se hace
de mane a di ec a u ilizando elemen os singula es
adyacen es al é ice de la g ie a, al y como han
mos ado Sáez e al. [6), lo cual e i a ecu i a un
complejo pos p oceso.
El p oceso de c ecimien o de la g ie a se lle a a cabo
median e un análisis inc emen al. Pa a cada inc e
men o se p edice la di ección de p opagación de la
isu a median e el c i e io de la mínima densidad
de ene gía de de o mación y es a di ección se co
ige median e el algo i mo p opues o po Po ela
e al. [5] pa a minimiza el e ec o del amaño ini
o del inc emen o. Se p esen an inalmen e di e sas
aplicaciones.
2. ECUACIONES BÁSICAS
La o mulación mix a del MEC se basa en la d-EIC
y en la -EIC. En el caso de ue zas másicas nulas
la p ime a iene dada po la exp esión [l J
c,kuk(y) + ik(x,y)uk(x)d = [ uik(x,y)pk(x)d
(1)
donde indica el alo p incipal de Cauchy de la
in eg al, l y k indican las coo denadas ca esianas,
c1k = ó1k si y es un pun o del in e io del domi
no n, c1k = O si y es ex e io y c1k = !ó1k pa a
un pun o del con o no donde és e sea sua e (no 
mal con inua); Pk(x) y uk(x) son las componen es
de las acciones y desplazamien os en el con o 
no; Pik(x,y) y u¡k(x,y) ep esen an las acciones
y desplazamien os, espec i amen e, de la solución
undamen al, en un pun o x en di ección k, debidos
a una ca ga unidad aplicada en y en di ección l.
La ecuación in eg al de las acciones puede ob e
ne se a pa i de la ecuación an e io aplicando las
elaciones cinemá icas, cons i u i as y de equilib io
en el con o no ( e [6]) de modo que se ob iene,
C1kPk(Y) +
dik(x,y)pk(x) d = :ik(x,y)uk(x) d
(2)
donde ': o indica la pa e ini a de Hadama d de la
in eg al, y c1k iene el mismo alo que en la ecua
ción (l); los núcleos dik y s¡k son combinaciones li
neales de las de i adas de u;k y PÍk, espec i amen e
y su exp esión puede encon a se en [6].
La ecuación an e io se ob iene de (1) median e de
i ación y as un cuidadoso p oceso de lími e ( e
[7]), que mues a, en e o as cosas, lo siguien e:
•El campo de desplazamien os debe se di e en
ciable en el pun o y (uk E C1 en y). Igualmen
e las acciones han de se con inuas (Pk E Cº
en y). Es as p opiedades ienen que ene las
las unciones escogidas pa a ap oxima ambas
a iables y po lo an o condiciona el ipo de
elemen os y la posición de los pun os de coloca
ción que pueden usa se pa a esol e la -EIC.
•El uso de los concep os de Valo P incipal de
Cauchy y Pa e Fini a de Hadama d no son ab
solu amen e necesa ios pa a ob ene la -EIC,
ambién llamada ecuación hipe singula . Sin
emba go de es a mane a la ecuación esul an e
es más compac a.
3. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIO
NES
Pa a la o mulación mix a del MEC plan eamos la 
EIC en una ca a de la g ie a y la d-EIC en la o a así
como en el es o del con o no. La ecuación d-EIC
puede disc e iza se median e elemen os cuad á icos
es ánda . Po o a pa e, en los pun os de coloca
ción u ilizados pa a la -EIC la disc e ización debe
cumpli la es ición Uk E C1. Pa a ello se adop an
elemen os cuad á icos discon inuos en los cuales los
nodos ex emos es án colocados una cie a can idad
hacia aden o en el elemen o ( e Fig. 1). Exis e
o a al e na i a sencilla cual es la de plan ea la
-EIC en nodos in e nos del elemen o, pe o man e
niendo los nodos de in e polación en las posiciones
es ánda , al y como hacen Gallego y Dominguez
pa a el caso elas odinámico [8]. O as al e na i as
más complicadas se basan en de ini ap oximaciones
de i ables median e polinomios de He mi e o spli
nes de O e hause ( e [5] y las e e encias ci adas
en és a).
En los elemen os cuad á icos discon inuos la geome
ía de los elemen os se ep esen a igual que en los