Desarrollo de una máquina de tracción de bajo coste mediante impresión 3D y tecnología DIC para la individualización de las prácticas de laboratorio en Ingeniería

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Máster Ingeniería de Caminos Canales y Puertos Desarrollo de una máquina de tracción de bajo coste mediante impresión 3D y tecnología DIC para la individualización de las prácticas de laboratorio en ingeniería. Autor: Carlo André Crisanto Miranda Tutores: Israel García Teresa Aranda Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2025 Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Desarrollo de una máquina de tracción de bajo coste mediante impresión 3D y tecnología DIC para la individualización de las prácticas de laboratorio en ingeniería. Autor: Carlo André Crisanto Miranda Tutores: Israel García García María Teresa Aranda Romero Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2025 - ii - - iii - Trabajo Fin de Máster Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Desarrollo de una máquina de tracción de bajo coste mediante impresión 3D y tecnología DIC para la individualización de las prácticas de laboratorio en ingeniería. Autor: Carlo André Crisanto Miranda Tutores: Israel García García María Teresa Aranda Romero Dpto. Mecánica de los medios continuos y teoría de estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2025 - iv - - v - Trabajo Fin de Máster: Desarrollo de una máquina de tracción de bajo coste mediante impresión 3D y tecnología DIC para la individualización de las prácticas de laboratorio en ingeniería. Autor: Carlo André Crisanto Miranda Tutores: Israel García, Teresa Aranda El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: - vi - - vii - Dedicado a: Dios, Mis Padres, Mis hermanos, Sandra y a mi hija Sandrita todo mi amor para ustedes. - viii - - ix - Agradecimientos Definitivamente la finalización de esta etapa no hubiera podido ser posible sin la ayuda directa e indirecta de todas las personas que he conocido en este camino. Emprender el sueño de hacer un máster a más de 9000 kilómetros de distancia ha sido y continúa siendo una experiencia enriquecedora. En primer lugar, quiero agradecer a mi madre Ledy Donata y a mi hermana Ledy Natalie por estar siempre presentes en todo momento dándome su apoyo incondicional. Gracias por escucharme y entenderme tanto desde siempre, gracias por enseñarme a ser positivo y que rendirse nunca ha sido ni será una opción. Me gustaría agradecer también a Sandra mi novia y a Sandrita nuestra amada hija con las que he descubierto que todo lo que me proponga lo puedo hacer realidad, ustedes son mi motor y motivo. A todos los amigos que he conocido y que hoy puedo llamar familia. Finalmente, me gustaría agradecer a los maestros de esta escuela. En especial a Israel García y Teresa Aranda por su apoyo en el desarrollo de este trabajo. También extiendo mi gratitud a Luis Távara, cuya participación fue igualmente fundamental y de gran aporte para este trabajo. - xvi - Figura 4-10 Longitud total y radio de los orificios en milímetros. 47 Figura 4-11 Dimensiones de la tuerca a usar en la pieza “Parte Superior” en milímetros. 47 Figura 4-12 Vista General “Pieza de Globo”. 48 Figura 4-13 Vista frontal “Pieza de Globo”. 49 Figura 4-14 Diámetro superior e inferior total en milímetros. 50 Figura 4-15 Diámetro interior en milímetros. 50 Figura 4-16 Vista general del “Plato Inferior”. 51 Figura 4-17 Ancho propuesto en milímetros. 52 Figura 4-18 Dimensiones del radio y de la distancia entre los centros en milímetros. 52 Figura 4-19 Vista General “Sujetador”. 53 Figura 4-20 Vista Frontal de la pieza “Sujetador”. 54 Figura 4-21 Dimensiones del radio de los orificios y longitud entre caras de la tuerca hexagonal en milímetros. 54 Figura 4-22 Vista de perfil y dimensiones en milímetros de la pieza “Sujetador”. 55 Figura 4-23 Dimensiones de la tuerca y tornillos a usar en la pieza “Sujetador” en milímetros. 56 Figura 4-24 Distancia entre los centros de las Varillas y longitud aproximada en milímetros. 57 Figura 4-25 Ruta a seguir para cambiar la extensión de los archivos a “.stl”. 58 Figura 4-26 Ubicación de la selección “Importar” en el software SketchUp. 60 Figura 4-27 Vista general de la pieza “Parte Superior” en SketchUp. 61 Figura 4-28 Vista general de la pieza “Parte Inferior” en SketchUp. 61 Figura 4-29 Vista general de la pieza “Sujetador” en SketchUp. 62 Figura 4-30 Pasos a seguir – Import Mesh. 63 Figura 4-31 Vista “Parte Superior” desde el programa MeshLab. 64 Figura 4-32 Vista “Parte Inferior” desde el programa MeshLab. 64 Figura 4-33 Vista “Sujetador” desde el programa MeshLab. 65 Figura 4-34 Pasos a seguir -Export Mesh As. 66 Figura 4-35 Vista general del software “Eiger” de la impresora “Markforged”. 67 Figura 4-36 Vista de la selección de “Infill” con las opciones “Fill Pattern” y “Fill Density”. 68 Figura 4-37 Vista general en el software “Eiger” de “Pieza de Globo”. 69 Figura 4-38 Vista general en el software “Eiger” de “Sujetador”. 70 Figura 4-39 Vista general en el software “Eiger” de la “Parte Inferior”. 71 Figura 4-40 Vista posterior de la ubicación de los soportes para la pieza “Parte Inferior”. 72 Figura 4-41 Vista frontal de la ubicación de los soportes para la pieza “Parte Inferior”. 73 Figura 4-42 Vista desde la base de la impresora de la ubicación de los soportes para la pieza “Parte Inferior”. 73 Figura 4-43 Vista general en el software “Eiger” de la “Parte Superior”. 74 Figura 4-44 “Parte Superior” en modelo completo. 75 Figura 4-45 Vista general de la ubicación de los soportes para la pieza “Parte Superior”. 76 Figura 4-46 Vista general + Relleno solido blanco de la pieza “Parte Superior”. 76 Figura 4-47 Vista frontal + Relleno solido blanco de la pieza “Parte Superior”. 77 - xvii - Figura 4-48 Resumen de los datos ofrecidos por el software “Eiger” de todas las piezas. 78 Figura 4-49 Vista General de la impresora “Markforged”. 78 Figura 4-50 Dimensiones de la impresora Markforged. [28] 79 Figura 4-51 Vista frontal de impresión de purga. 80 Figura 4-52 Resultado final de la purga. 80 Figura 4-53 Vista Frontal de la impresión de “Pieza de Globo”. 81 Figura 4-54 Vista de Planta de la impresión “Pieza de Globo”. 81 Figura 4-55 Vista de la “Pieza de Globo” introducida en el Globo. 82 Figura 4-56 Vista de las 3 piezas en conjunto. “Pieza de Globo”, “Globo” y “Parte Inferior”. 82 Figura 4-57 Vista general de la impresión “Sujetador”. 83 Figura 4-58 Vista alternativa de la impresión “Sujetador”. 83 Figura 4-59 Vista frontal de la “Parte Inferior”. 84 Figura 4-60 Vista en planta de la “Parte Inferior”. 84 Figura 4-61 Vista desde la base de la “Parte Inferior”. 85 Figura 4-62 Vista frontal de la pieza “Parte Superior”. 85 Figura 4-63 Vista desde debajo de la pieza “Parte Superior”. 86 Figura 4-64 Varilla Roscada de 30 centímetros de longitud. 87 Figura 4-65 Varilla Roscada de 14 milímetros de diámetro. 87 Figura 4-66 Base de PMMA usada para el modelo con dos orificios de 14 milímetros de diámetro. 88 Figura 4-67 Témperas de color blanco y negro. 89 Figura 4-68 Bolitas de acero de 7 gramos. 90 Figura 4-69 Trípode para sostener móviles. 92 Figura 4-70 Modelo completo ensamblado. 93 Figura 4-71 Paso nº1 Colocar las Varillas roscadas en la base. 93 Figura 4-72 Paso nº2 Insertar la “Parte Inferior”. 93 Figura 4-73 Paso nº3 Colocar la “Parte Superior”. 94 Figura 4-74 Paso nº4 Colocar la “Pieza de Globo”. 94 Figura 4-75 Paso nº5 Colocar el “Globo” introduciendo previamente la “Pieza de Globo” dentro del “Globo”. 94 Figura 4-76 Paso nº6 colocar la cinta y las piezas “Sujetadores”. 95 Figura 4-77 Paso nº7 Fijar la cámara al trípode y buscar el encuadre necesario. 95 Figura 5-1 Largo de la cinta (5.8 cm) antes de colocar peso al globo. 97 Figura 5-2 Ancho de cinta (1.2 cm). 97 Figura 5-3 Fotografías antes y después de ser procesadas. 98 Figura 5-4 Menú inicial del software Ncorr. 99 Figura 5-5 Pasos para cargar la imagen de referencia. 99 Figura 5-6 Imagen de referencia para el software Ncorr. 100 Figura 5-7 Pasos para cargar el resto de las imágenes. 100 Figura 5-8 Imágenes cargadas, se observa la primera y última foto tomada. 101 - xviii - Figura 5-9 Pasos para seleccionar “ROI”. 101 Figura 5-10 Zona elegida para el estudio de las imágenes. 102 Figura 5-11 Pasos para acceder a los parámetros para el análisis DIC. 102 Figura 5-12 Parámetros a elegir para el análisis DIC. 103 Figura 5-13 Pasos para acceder al análisis DIC. 103 Figura 5-14 Selección de zona de análisis. 104 Figura 5-15 Pasos para acceder al menú “Format Displacements”. 104 Figura 5-16 Relación de milímetros por píxel. 105 Figura 5-17 Muestra de resultados de desplazamientos con la relación de unidades (milímetros) por píxel. 106 Figura 5-18 Pasos para acceder al menú “Calculate Strains”. 106 Figura 5-19 Vista previa en base a los parámetros establecidos para “Strain”. 107 Figura 5-20 Menú principal con todos los parámetros correctos (verde). 107 Figura 5-21 Pasos para acceder a los resultados obtenidos. 108 Figura 5-22 Desplazamiento en X Imagen de referencia N.º 1. 108 Figura 5-23 Desplazamiento en X Foto N.º 2. 109 Figura 5-24 Desplazamiento en X Imagen N.º 15. 110 Figura 5-25 Desplazamiento en X Imagen N.º 29. 110 Figura 5-26 Desplazamiento en X Imagen N.º 43. 111 Figura 5-27 Desplazamiento en Y imagen Nº2. 113 Figura 5-28 Desplazamiento en Y imagen Nº15. 113 Figura 5-29 Desplazamiento en Y imagen Nº29. 114 Figura 5-30 Desplazamiento en Y imagen Nº43. 114 Figura 5-31 Deformación en Exx imagen Nº2. 116 Figura 5-32 Deformación en Exx imagen Nº15. 117 Figura 5-33 Deformación en Exx imagen Nº29. 117 Figura 5-34 Deformación en Exx imagen Nº43. 118 Figura 5-35 Deformación en Exy imagen Nº2. 120 Figura 5-36 Deformación en Exy imagen Nº15. 120 Figura 5-37 Deformación en Exy imagen Nº29. 121 Figura 5-38 Deformación en Exy imagen Nº43. 121 Figura 5-39 Deformación en Eyy imagen Nº2. 123 Figura 5-40 Deformación en Eyy imagen Nº15. 124 Figura 5-41 Deformación en Eyy imagen Nº29. 124 Figura 5-42 Deformación en Eyy imagen Nº43. 125 Figura 5-43 Factor de Alargamiento vs Tensión en Mpa. 131 Figura 5-44 Factor de Alargamiento vs Tensión en Mpa, última medición. 132 Figura 5-45 Iteraciones vs Numero de Residuales. 133 Figura 5-46 Alargamiento vs Tensión de Cauchy en Mpa. 134 - xix - Figura 5-47 Alargamiento vs Tensión Nominal en Mpa. 135 21 1. INTRODUCCIÓN l avance progresivo de la ingeniería naturalmente ha permitido desarrollar técnicas y metodologías nuevas y originales con el fin de poder enseñar de forma clara los conceptos fundamentales en materiales, mecánica de estructuras, etc. Por este motivo, el desarrollo de herramientas de prueba de tracción accesibles y de bajo costo se vuelve un factor importante en cuanto a la mejora de la formación práctica de los estudiantes de ingeniería. Se conoce que los ensayos mecánicos necesitan equipos muy grandes y de un costo elevado, eliminando automáticamente este recurso en instituciones que no poseen los medios necesarios para acceder a estos equipos. Así también, existe la dificultad del campo de visión cuando el entorno educativo posee muchos alumnos y de una cantidad muy limitada de estos equipos perdiéndose información clave y disminuyendo notablemente el interés en el desarrollo de estas pruebas. Este TFM muestra todo el desarrollo de una máquina de tracción de bajo coste con ayuda de la impresión en 3D y la técnica de correlación digital de imágenes DIC por sus siglas en inglés: “Digital Image Correlation”, con una muy clara orientación a la individualización de las prácticas de laboratorio en ingeniería. El método DIC es un método óptico sin contacto de campo completo que puede capturar la forma, el movimiento y la deformación de objetos sólidos. La base del método es la comparación de los valores de puntos de una imagen de la superficie de un objeto antes y después de la deformación. Los valores de los puntos de las imágenes de un objeto se adquieren, almacenan, digitalizan y correlacionan (emparejan) para calcular la forma y los desplazamientos de la superficie. Se realiza un proceso de comparación basado en niveles de intensidad de grises, de ahí el nombre del método de correlación digital de imágenes. Las técnicas DIC se pueden aplicar a pruebas mecánicas a macro, micro y nano escala bajo carga estática y dinámica. El desarrollo de DIC se debe a los avances en la tecnología informática y las cámaras digitales. [1] Los métodos DIC utilizan luz incoherente para la iluminación y no hay necesidad de mesas aisladas contra vibraciones ni componentes ópticos, como prismas, filtros, divisores de haz, como en otros métodos ópticos para medir el desplazamiento, como la holografía, la interferometría y los métodos de moteado. Para la aplicación de métodos DIC para mediciones de deformación superficial, se requiere principalmente una cámara digital de alta resolución y un software específico. Hoy en día, los métodos DIC son los métodos experimentales más utilizados en mecánica de sólidos para mediciones de deformación. [1] El desarrollo de este TFM se convierte en un paso muy importante por sentar las bases y precedentes para el desarrollo futuro de esta técnica. Siendo el objetivo principal ofrecer una herramienta que sea accesible y efectiva para mejorar y optimizar el aprendizaje a través de la experimentación directa. Un factor para tener en consideración ha sido la insistencia por encontrar materiales asequibles en cualquier tienda de Sevilla para que luego al integrar al montaje de estos con técnicas digitales avanzadas (ej.: procesamiento para el análisis de deformaciones) hace que esta máquina se convierta en una alternativa que sustituya en el ámbito docente a los sistemas comerciales de alto costo. Su diseño por piezas pequeñas hace que se pueda replicar fácilmente mediante una impresora 3D en cualquier entorno educativo, promoviendo e innovando el aprendizaje práctico en diversas disciplinas como mecánica de materiales, biomecánica, ingeniería estructural, etc. Este trabajo posee distintos capítulos con el propósito de mostrar el desarrollo completo de la máquina a tracción abordando en el capítulo siguiente los Antecedentes que se vuelven un factor fundamental debido a que forman parte importante en el desarrollo de este TFM. Luego se abordará en el capítulo Diseño todos los pasos que se han seguido y los resultados obtenidos al explorar herramientas como AutoCAD, SketchUp y MeshLab para el desarrollo digital de las piezas. Los diseños de las piezas se llevarán a la impresora 3D “Markforged” donde se podrán aplicar unos últimos ajustes y de esta manera se podrán materializar los modelos, y armar la maquina propuesta. Otro software de gran importancia en este TFM es Matlab y en combinación con Ncorr permiten el análisis y E Introducción 22 22 procesamiento de todas las imágenes obtenidas mediante la técnica DIC. Finalmente, se presentarán todos los resultados obtenidos y se discutirá el impacto positivo que pueden tener estos en la enseñanza en ingeniería. Breve historia de la correlación digital de imágenes Diversos estudios indican que el método de correlación digital de imágenes (DIC) establece un cambio progresivo desde sus inicios a principios de 1980 donde se realizaron experimentos básicos en el plano. [2] A mediados de la siguiente década la técnica DIC mejoró y se modificó de tal manera que fue capaz de capturar mediciones tridimensionales completas de desplazamientos y movimientos de superficies. Este logro significó un paso importante en la mejora y desarrollo de esta técnica que pasaba de las aplicaciones en dos dimensiones para asentarse en las tridimensionales. La creación el StereoDIC o DIC tridimensional (3D-DIC) permitió aplicaciones mucho más complejas, como el estudio de estructuras de muros en ingeniería civil y la DIC volumétrica o también llamada correlación volumétrica digital (DVC) ha ayudado notablemente a cuantificar las respuestas internas en materiales compuestos. [3] En avances recientes se ha podido ver la aplicación de DIC en el espectro de rayos X, que incluye el uso de patrones de moteado de rayos X con el fin de obtener mediciones mucho más precisas. Este método ofrece una mayor precisión en las mediciones de desplazamiento y deformación en comparación con los sistemas ópticos tradicionales. Este método reduce errores de medición de 5 a 20 veces menos respecto al DIC óptico. [4] La historia de esta técnica no ha llegado a su fin, convirtiéndose desde sus inicios en una herramienta imprescindible para la ingeniería mejorando continuamente y ofreciendo capacidades de medición precisas y no invasivas. Algunas aplicaciones de la Correlación Digital de Imágenes en Ingeniería son las siguientes: • Ingeniería Civil: Este método permite estudiar las estructuras de los muros, mide también la diferencia de longitudes en vigas de hormigón pretensado, y hace un seguimiento a la deformación de los objetos. En resumen, otorga un proceso más sencillo y con mayor precisión haciendo esta técnica cada vez más común en este campo [5]. • Pruebas estructurales a gran escala: El método DIC es una gran herramienta para probar grandes estructuras de materiales compuestos, como la de los sectores de energía eólica y aeroespacial, debido a su capacidad para proporcionar mediciones de campo completo sin contacto. Resulta especialmente útil para medir el desplazamiento y la deformación en condiciones estáticas y dinámicas [6].Por ejemplo es usado para obtener datos de la integridad estructural en placas metálicas en forma de arco. [7]. • Pruebas de materiales compuestos: En estos materiales, la correlación digital de imágenes se utiliza para pruebas y análisis, proporcionando mediciones tridimensionales de formas, deformaciones y tensiones superficiales. También se está recopilando información y haciendo estudios relacionados con la posibilidad de automatizar la fabricación y la inspección de materiales compuestos [8]. • Estudios de localización de deformaciones: El método DIC se utiliza también en el campo de la ciencia de los materiales con el objetivo de investigar la localización de la deformación, especialmente en aceros de alta resistencia, por medio de técnicas de alta resolución combinadas con el escaneo microscópico de electrones [9]. • Propagación de grietas y deformación de materiales: El equilibrio que muestra este método entre precisión, sencillez y rentabilidad lo vuelve ideal para estudiar la propagación de grietas y la deformación de materiales en aplicaciones reales [10]. Gracias a estos ejemplos queda demostrado que la correlación digital de imágenes es una herramienta robusta en el campo de la ingeniería ya que otorga mediciones precisas y sin contacto en múltiples aplicaciones. La capacidad de adaptación y precisión hacen que esta técnica se convierta en una herramienta esencial en las prácticas modernas de ingeniería. - 23 - 2. ANTECEDENTES n este capítulo se presentan los antecedentes más relevantes que permiten entender el origen y la evolución de esta metodología, así como sus múltiples aplicaciones en distintos campos de la ingeniería y la investigación experimental. También, se analizan algunos estudios previos que demuestran la viabilidad y potencial de integrar tecnologías accesibles, como la impresión 3D y el software libre en entornos educativos y científicos. 2.1 Antecedentes históricos de la medición mediante imágenes Los antecedentes de las mediciones de imágenes se remontan al campo de la fotogrametría, para lo cual existe mucha literatura. Según Doyle [11], las discusiones relacionadas con la perspectiva de las imágenes datan aproximadamente a los escritos de Leonardo Da Vinci en 1480 y sus estudios relacionados en 1492. Se podría decir que este ha sido el desarrollo clave por los siguientes tres siglos, incluyendo el trabajo de Heinrich Lambert que desarrolló las bases matemáticas relacionadas a la perspectiva de las imágenes (The Free Perspective, 1759), que ha tenido un gran impacto después de que la fotografía sea inventada. Finalmente, las primeras prácticas de fotografía fueron realizadas por Daguerre en 1837. Con la invención y el refinamiento de los métodos fotográficos, los desarrollos en el campo de la fotogrametría casi siempre han sido separados en fases claramente marcadas. Estas fases son: Fotogrametría plana (18501900), Fotogrametría análoga (1900-1950), Fotogrametría analítica (1950-1985) y Fotogrametría digital (1985presente). Se aprecia que en todas estas fases las contribuciones que más resaltaron estuvieron relacionadas al desarrollo matemático. Específicamente, la relación entre la geometría proyectiva y la imagen en perspectiva por Sturms y Haick (1883), la geometría fundamental de la fotogrametría descrita por Sebastian Finsterwald (1899), las ecuaciones proyectadas y sus diferenciales para estéreo-imágenes que son fundamentales para la fotogrametría analítica desarrollada por Otto von Gruber (1924), las soluciones analíticas para las ecuaciones de fotogrametría en términos de dirección de cosenos fue proporcionada por Earl Church (1945) y el desarrollo de los principios de la fotogrametría analítica multiestación moderna utilizando la notación matricial por el Dr. Hellmut Schmid (1953). 2.2 Origen y desarrollo de la Correlación Digital de Imágenes Entrando al campo de la correlación digital de imágenes, algunos de los primeros trabajos en esta área fueron realizados en los primeros años de la década de 1950 por Gilbert Hobrough (1919-2002), quien comparó varias vistas de las representaciones análogas del registro de fotografías. [12]. En 1961, Hobrough diseñó y construyó un instrumento para “Correlacionar la fotografía de reconocimiento de alta resolución con la fotografía topográfica de alta precisión para permitir una medición de condiciones cambiantes del terreno.” [12]. Como las imágenes digitales comenzaron a estar disponibles a lo largo de los años 1960 y 1970, los investigadores en los campos de inteligencia artificial y robótica dieron inicio al desarrollo de algoritmos y todas las metodologías relacionadas con estereovisión, y de forma paralela a las aplicaciones vinculadas con la fotogrametría para fotografías aéreas. Como se observa por Rosenfeld [13], las áreas en las que la comunidad investigadora estaba envuelta durante los primeros años del desarrollo digital de imágenes fueron: 1. Reconocimiento de caracteres, 2. Microscopia, 3. Medicina y Radiología y 4. Fotogrametría/ fotografía aérea. A medida que los métodos de análisis digital de imágenes crecían de forma superlativa, una parte considerable del campo de mecánica experimental concentraba su aplicación en: holografía, laser moteado, fotografía de moteado laser, interferometría de moteado laser, interferometría holográfica, interferometría de moiré y la interferometría de moiré de alta densidad son los ejemplos clásicos del tipo de técnicas de medición desarrollados para el uso con fuentes de luz coherente. Un ejemplo a resaltar usando laser moteado, ha sido el creado por Yamaguchi en 1986. [14], este usaba un sensor lineal para poder determinar el plano. Casi en el 100% de los casos, todos los datos de medición sean pendientes de superficie, desplazamientos o combinaciones de gradientes de desplazamiento se encuentran adheridos en el medio fotográfico de forma general en patrón de E Antecedentes 24 24 franjas. Como el proceso de grabación es usualmente no lineal hace complicada la extracción de las posiciones parciales de las franjas con gran precisión, el proceso ampliamente usado por los mecánicos ha sido una ardua y complicada determinación de las estimaciones de las ubicaciones de los centros de las franjas en algunos puntos. [1] En base a las dificultades halladas por los mecánicos experimentales durante el post proceso del registro fotográfico relacionado con la medición de la información , y con el crecimiento agigantado de los métodos de tratamiento de imágenes en el ámbito de la visión, resultó totalmente natural que los investigadores lo relacionen y utilicen los recientes avances en la tecnología de la imagen digital y por lo tanto resulte como consecuencia de esto el desarrollo de: 1. Métodos con el objetivo de registrar digitalmente imágenes que contengan datos de medición, 2. Algoritmos que puedan analizar las imágenes digitales y con ello extraer los datos de medición, y 3. Métodos para lograr automatizar todo el proceso. En la mayoría de los casos, mediante la iluminación de luz coherente o mediante un patrón de alto contraste ha servido para comparar subconjuntos y sacar información del campo completo, resultando un patrón aleatorio de campo completo o un patrón de moteado de luz blanca. [1] 2.3 Avances de la técnica 2D-DIC (1982-1999) Avanzando en la línea del tiempo, los siguientes párrafos estarán centrados en los desarrollos de las medidas en dos dimensiones entre los años 1982 al 1999. En estos años la técnica de correlación digital de imágenes (DIC) tuvo un avance progresivo muy importante en cuanto a la medición de deformaciones en materiales usando el análisis de imágenes digitales. Peters y Ranson (1982) plantearon inicialmente un método que tenía como base el uso de ondas ultrasónicas con el objetivo de poder registrar patrones de deformación. [15] Más adelante, en 1983, Sutton et al. lograron desarrollar algoritmos numéricos con el fin de implementar esta técnica con imágenes ópticas, logrando estimaciones precisas de movimiento y deformación de sólidos, esta técnica en la actualidad es conocida como 2D Digital Image Correlation (2D-DIC) . [16]. En el transcurso de la década de los años 1980 y 1990, se desarrollaron avances importantes, entre los cuales destacaron: La mejora de la precisión mediante algoritmos de búsqueda en subpíxeles, la validación del método en diferentes materiales (metales, plásticos, cerámicas, madera, papel, etc.) y, la aplicación para medir factores de intensidad de esfuerzo y desplazamientos en grietas. Además, se llevaron a cabo diversos estudios con el objetivo de poder aplicar la técnica 2D-DIC en condiciones extremas, como a altas temperaturas y a una escala micro, usando microscopios de campo lejano y de barrido. [1] En la década de 1990, se realizó un avance considerable en la exploración de métodos alternativos para el análisis de imágenes, que incluyeron gracias al desarrollo de Chenge et al. en 1993 [17] al uso de Transformadas Rápidas de Fourier (FFT) con el fin de poder estimar desplazamientos en pequeñas deformaciones y rotaciones. También, en esta década la aplicación de esta técnica llegó hasta la mecánica de fluidos, mejorando en técnicas como la Velocimetría de Imágenes de Partículas (PIV). [18] 2.4 Evolución desde el año 2000 hasta la actualidad Se observa que la técnica de correlación digital en imágenes 2D (2D-DIC) ha establecido un crecimiento exponencial a nivel mundial, y esto lo demuestra que desde el año 2000 se han publicado más de 400 artículos. Scherier et al. pudieron demostrar la relevancia de la reconstrucción de imágenes mejorando la precisión de todo el proceso de correlación, usando diversas funciones de interpolación de orden superior con lo que lograron alcanzar una precisión de posición de hasta 0.01 pixeles en las direcciones x e y. También se llegó a la conclusión que las funciones de forma cuadrática mejoran notablemente el proceso de correlación en campos de deformación no uniformes sin aumentar de forma excesiva el tiempo de cómputo. [19] Se aplicaron varias modificaciones a los métodos de búsqueda, correlación y registro en 2D-DIC. Cheng et al. idearon basados en B-splines un planteamiento para mapear la deformación a nivel de píxel, mientras que por otro lado Réthoré et al. hicieron un método basado en elementos finitos para el análisis de fracturas. [20] También, se han realizado estudios de métodos inversos para la estimación de propiedades mecánicas en materiales heterogéneos, propiedades hiperelásticas y micromecánicas. [1] - 25 - La aplicación del 2D-DIC en diversas áreas científicas es notable y se observa en diversos ejemplos como en la integración en microscopios de fuerza atómica (AFM) con el objetivo de medir las deformaciones con resolución espacial de hasta 50nm, se observa también la aplicación de 2D-DIC en microscopios electrónicos de barrido (SEM) con el propósito de analizar deformaciones bajo carga mecánica o térmica. Sutton et al. demostraron que con el uso de SEM y patrones aleatorios de alto contraste se puede obtener mediciones de deformación con precisión de 0.0005. [21] En ese mismo periodo de tiempo, Berfield et al. usaron 2D-DIC en experimentos de fluidos gracias a las deformaciones en planos internos con patrones de alto contraste. [22] En el área de la mecánica de fractura, el método 2D-DIC se ha utilizado en diversos materiales entre los cuales destacan: hormigón, asfaltos, metales, rocas, maderas y polímeros. En cuanto a la caracterización de materiales se ha usado este método en estudios de películas delgadas, polímeros, metales, materiales heterogéneos, biomateriales, cerámicas, espumas, arcillas, suelos, vidrios y pinturas. En un estudio de Luis et al. usaron radiografía de rayos X combinada con 2D-DIC con el objetivo de estimar deformaciones promedio en arenisca, continuando con el enfoque al aplicado en compuestos. [23] Este capítulo también muestra de forma breve diversos estudios relacionados a este TFM. Estos cuatro proyectos tienen en común el uso de la técnica de Correlación Digital de Imágenes. 2.5 Estudios relacionados con el TFM 2.5.1 Implementación de la Técnica de Correlación Digital de Imágenes con Software Libre El punto fundamental de este estudio se basa en la implementación de la técnica de correlación digital de imágenes (DIC) con el uso de un software libre con el objetivo principal de conseguir que el análisis de deformaciones en materiales en el ámbito educativo y de investigación sea accesible, es decir que permita ayudar a instituciones con recursos limitados. Se muestra un punto de vista práctico relacionado con el procesamiento de imágenes usando las herramientas Ncorr y OpenDIC logrando de esta manera obtener resultados de mediciones en deformaciones en tiempo real. Finalmente, se logra realizar una muy buena comparación entre los resultados obtenidos con software libre a comparación de las herramientas comerciales de precio elevado, llegando a la conclusión que, aunque las diferencias son evidentes no cabe duda de que el uso de código abierto sigue siendo una muy buena opción ya que resulta viable y efectiva en la mayoría de los casos. [24] 2.5.2 Aplicación de Correlación Digital de Imágenes para el Análisis de Problemas de Contacto Se muestra en este trabajo la aplicación de la técnica de correlación digital de imágenes (DIC) en el análisis de problemas de contacto en materiales. Es un estudio muy interesante debido a que explora las zonas de contacto entre superficies sometidas a cargas y cómo la técnica de correlación digital de imágenes logra de forma sobresaliente medir completamente las deformaciones locales en dichas regiones. Este estudio muestra la utilidad de esta técnica en escenarios donde los métodos comunes como extensómetros o galgas extensométricas poseen diversas limitaciones principalmente por la complejidad de las geometrías o por la imposibilidad de tener contacto directo con la muestra a analizar. Por ello, se muestran varios experimentos en los que la técnica DIC es utilizada para el análisis de: fricción, desgaste y concentraciones de tensión en puntos de contacto. El resultado final muestra que la técnica ofrece mediciones detalladas con alta precisión espacial. [25] 2.5.3 La Técnica de Correlación Digital de Imágenes Aplicada a Ensayos de Materiales En esta tesis se investiga la aplicación de la técnica de correlación digital de imágenes (DIC) en la caracterización mecánica de materiales por medio de ensayos experimentales. Este estudio también describe de forma clara todos los procedimientos seguidos como la captura de imágenes, la calibración del sistema y el proceso de datos con el objetivo de obtener mapas de deformación. Es interesante el análisis propuesto donde compara las Estado del arte 32 32 Reorganizamos: 𝐺(𝑥,𝑡+∆𝑡)−𝐺(𝑥,𝑡) ∆𝑡 =−𝑢󰇗 𝜕𝐺 𝜕𝑥 Llevamos la ecuación al límite cuando ∆𝑡→0: 𝜕𝐺 𝜕𝑡=−𝑢󰇗𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝜕𝐺 𝜕𝑡+𝑢󰇗𝜕𝐺 𝜕𝑥= 0 (6) Si se desea hallar la velocidad “v” pero en dos dimensiones, se puede utilizar la misma ecuación usando la expansión de Taylor: 𝐺(𝑥+∆𝑥)=𝐺(𝑥)+∆𝑥.∇𝐺, cabe resaltar que ∇𝐺 es el gradiente de intensidad cuyo valor es igual a (𝜕𝐺 𝜕𝑥,𝜕𝐺 𝜕𝑦) ,el resultado es la siguiente ecuación: 𝜕𝐺 𝜕𝑡+𝑣.∇𝐺=0 (7) Es preciso resaltar que la ecuación (7) fue el centro de atención de múltiples investigaciones correspondientes a las últimas décadas. La discusión correcta de este tema escapa de los fines de este estudio. Por lo tanto, será evidente la presentación de una solución simple del método para determinar los desplazamientos teniendo como punto de partida la ecuación (7). Se procederá a tomar de base esta ecuación multiplicándola por el paso de tiempo entre imágenes y se obtienen los siguientes pasos: Se sabe que: ∆𝐺=𝐺(𝑥,𝑦,𝑡+∆𝑡)−𝐺(𝑥,𝑦,𝑡) y ∆𝑥=[∆𝑥 ∆𝑦] Entonces al igual que en la ecuación (3): ∆𝐺=−∇𝐺∆𝑥 Reorganizando: ∆𝑥.∇𝐺=−∆𝐺 (8) Esta es la versión 2D de las ecuaciones (3), (4), (5) y (6). Una vez determinada la ecuación (8) se puede decir que de forma general no será posible determinar el movimiento en dos dimensiones sin la obtención de información más profunda, es decir, que estas ecuaciones no son del todo suficientes al necesitarse más información. Como es lógico, si los gradientes correspondientes a la intensidad son cero, el movimiento no podrá ser determinado del todo. Pero esto no solo aplica en este caso - 33 - particular en el que el gradiente de la intensidad sea cero sino también muchas veces no se puede determinar en algunos casos donde el gradiente es distinto de cero y esto debido a que la ecuación (8) solamente ofrece una ecuación para dos incógnitas. Como se observa en el producto punto ∆𝑥.∇𝐺 tiene la capacidad de ser escrito como la magnitud del gradiente multiplicado por el componente de ∆𝑥 que se encuentra orientado en la dirección del gradiente local de los valores de gris, es decir, hace referencia al componente ∆⊥ perpendicular al borde local, con esta información ya es posible resolver el movimiento perpendicular al borde local de los valores de gris. Se sabe que: ∆⊥= 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝛥𝑥 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝛻𝐺 Entonces: ∆⊥=𝛥𝑥𝛻𝐺 |𝛻𝐺| ∆⊥= −𝛥𝐺/|𝛻𝐺| (9) Donde: ∆⊥= Cuánto se movió el objeto en dirección perpendicular al borde o línea de cambio de intensidad. Se puede observar que esta limitación es una expresión matemática del problema de la apertura anteriormente mencionado y la forma de resolverlo es usando lo que se conoce como “pequeño vecindario” que no es otra cosa que un subconjunto cuadrado de la imagen, en lugar de un único punto. Para llegar a esta conclusión se debe forzar que el movimiento sea constante en un vecindario pequeño. Se procede a adaptar la ecuación (8) para un conjunto de N puntos en el vecindario del punto de interés, obteniéndose: Se sabe que para cada píxel i se tiene: ∆𝐺𝑖=𝛻𝐺𝑖∆𝑥=−[𝛿𝐺𝑖 𝜕𝑥𝛿𝐺𝑖 𝜕𝑦][∆𝑥 ∆𝑦] Entonces: ( 𝜕𝐺1 𝜕𝑥 𝜕𝐺1 𝜕𝑦 𝜕𝐺2 𝜕𝑥 𝜕𝐺2 𝜕𝑦 ⋮ ⋮ 𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑦 ) [∆𝑥 ∆𝑦]=−[∆𝐺1 ∆𝐺2 ⋮ ∆𝐺𝑛] (10) Si se tienen más de dos puntos este sistema presenta una ecuación sobre determinada, es decir, poseen más ecuaciones que incógnitas, lo que genera restricciones excesivas, 𝐺∆𝑥= −𝑔 (11) Estado del arte 34 34 Donde: 𝐺: Matriz de gradientes en cada punto del vecindario. 𝐺∈ ℝ𝑁𝑥2 ∆𝑥: Estimación del movimiento promedio de conjunto de píxeles. ∆𝑥 ∈ ℝ2𝑥1 g: Vector con los cambios de intensidad. 𝑔∈ ℝ𝑁𝑥1 Este puede ser resuelto por el promedio del movimiento ∆𝑥 usando mínimos cuadrados por medio de los siguientes pasos: Sea: 𝐸(∆𝑥)=‖𝐺∆𝑥+𝑔‖2=(𝐺∆𝑥+𝑔)𝑇(𝐺∆𝑥+𝑔) Derivamos E con respecto a ∆𝑥: 𝑑𝐸 𝑑∆𝑥=2𝐺𝑇(𝐺∆𝑥+𝑔) Queremos minimizar, así que igualamos a cero: 𝐺𝑇(𝐺∆𝑥+𝑔)=0→ 𝐺𝑇𝐺∆𝑥=−𝐺𝑇𝑔 Despejamos ∆𝑥: ∆𝑥= −(𝐺𝑇𝐺)−1𝐺𝑇𝑔 (12) Donde: 𝐸(∆𝑥): Error total cuadrático. ‖𝐺∆𝑥+𝑔‖2: Medida de cuánto se equivoca el modelo con esa ∆𝑥. 𝐺𝑇: Transpuesta de la matriz G. 𝐺𝑇𝐺: Matriz normal del sistema de mínimos cuadrados (𝐺𝑇𝐺)−1: Inversa de esa multiplicación. 𝐺𝑇𝑔: Correlación entre gradiente y error. Esta última ecuación (12) también puede ser representada mediante sumatorias, como se muestra a continuación: Donde: - 35 - 𝐺𝑇𝐺= [ 𝜕𝐺1 𝜕𝑥 𝜕𝐺1 𝜕𝑦𝜕𝐺2 𝜕𝑥 𝜕𝐺2 𝜕𝑦… …𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑦 ] . ( 𝜕𝐺1 𝜕𝑥 𝜕𝐺1 𝜕𝑦 𝜕𝐺2 𝜕𝑥 𝜕𝐺2 𝜕𝑦 ⋮ ⋮ 𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑦 ) Entonces el producto resulta: [ Σ𝜕𝐺2 𝜕𝑥2Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥𝜕𝐺 𝜕𝑦 Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥𝜕𝐺 𝜕𝑦 Σ𝜕𝐺2 𝜕𝑦2 ] 1 Se sabe también que: 𝐺𝑇= [ 𝜕𝐺1 𝜕𝑥 𝜕𝐺1 𝜕𝑦𝜕𝐺2 𝜕𝑥 𝜕𝐺2 𝜕𝑦… …𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝐺𝑁 𝜕𝑦 ] ,𝑔= [∆𝐺1 ∆𝐺2 ⋮ ∆𝐺𝑛] Multiplicando ambos valores: 𝐺𝑇𝑔= [ Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥∆𝑔 Σ𝜕𝐺 𝜕𝑦∆𝑔 ] Finalmente reemplazando en la ecuación (12): [∆𝑥 ∆𝑦]=−[Σ𝜕𝐺2 𝜕𝑥2Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥𝜕𝐺 𝜕𝑦 Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥𝜕𝐺 𝜕𝑦 Σ𝜕𝐺2 𝜕𝑦2]−1[Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥∆𝑔 Σ𝜕𝐺 𝜕𝑦∆𝑔] (13) Estas dos últimas ecuaciones, tanto la (12) como la (13) especifican que el movimiento puede hallarse siempre y cuando la matriz 𝐺𝑇𝐺 sea no singular, para ser más específicos se muestra la siguiente ecuación donde detalla lo dicho anteriormente. Estado del arte 36 36 det(𝐺𝑇𝐺)=∑𝜕𝐺2 𝜕𝑥2∑𝜕𝐺2 𝜕𝑦2−(Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥𝜕𝐺 𝜕𝑦)2≠0 (14) Donde: 𝐺𝑇𝐺: Matriz normal del sistema de mínimos cuadrados. det(𝐺𝑇𝐺): Determina si hay una única solución. Condición ≠ 0: Asegura que 𝐺𝑇𝐺 es invertible. Esta última ecuación da a entender que la obtención del movimiento no es posible en zonas de valores de gris constantes, es decir, que no todas las derivadas de escalas de valores de gris deben ser cero. Como es lógico el determinante se hará cero si el 100% de los gradientes del valor de escalas de gris se encuentran alineados en la misma dirección. En este caso particular, las derivadas parciales (en las dos direcciones) de coordenadas se encontrarán relacionadas por un factor constante. 3.2.2 Comparación de “plantillas” Se propone realizar una estimación basada en la minimización de los valores de gris entre un pequeño subconjunto de una imagen y una copia de la misma imagen, pero desplazada. Evidentemente para el desarrollo de esta comparación es necesario que no existan cambios de luz de ningún tipo. Entonces, la plantilla y su copia desplazada solamente se diferenciarán por el ruido aleatorio Gaussiano. Para explicarlo mejor se colocará F como la imagen original de la plantilla y la imagen después del desplazamiento será llamada G. En la siguiente ecuación se intenta minimizar la diferencia de cuadrados de los valores de gris sobre una zona determinada. 𝑑𝑜𝑝𝑡=𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛Σ|𝐺(𝑥+𝑑)−𝐹(𝑥)|2 (15) Donde: 𝐹(𝑥): Imagen de referencia (template) tomada antes de la deformación. 𝑑= [𝑑𝑥 𝑑𝑦]: Desplazamiento estimado del subconjunto entre la imagen de referencia y la imagen deformada. 𝐺(𝑥+𝑑): Intensidad de la imagen deformada evaluada en el punto desplazado 𝑥+𝑑 𝑑𝑜𝑝𝑡: Desplazamiento óptimo que minimiza la diferencia de intensidad entre F y G. argmin: Significa “el valor de 𝑑 que minimiza…” Σ|𝐺(𝑥+𝑑)−𝐹(𝑥)|2: Criterio de sumas de diferencias cuadráticas (SSD). Es necesario que para la obtención de un vector de desplazamiento optimo 𝑑𝑜𝑝𝑡 se pueda usar un algoritmo iterativo expandiendo la función de costo en una serie de Taylor de primer orden para convertir un problema no lineal en un problema lineal resoluble por mínimos cuadrados. 𝑋2(𝑑𝑥+∆𝑥,𝑑𝑦+∆𝑦)=∑|𝐺(𝑥+𝑑)−𝜕𝐺 𝜕𝑥∆𝑥−𝜕𝐺 𝜕𝑦∆𝑦−𝐹(𝑥)|2 (16) Cabe destacar que 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 el valor calculado del promedio del movimiento del subconjunto, y los valores asociados a ∆𝑥 𝑦 ∆𝑦 son los movimientos incrementales buscados en la iteración actual. Tomando los resultados - 37 - de los parciales de la ecuación (16) con respecto a ∆𝑥 𝑦 ∆𝑦 y haciéndolos cero se logra obtener el siguiente sistema de ecuaciones lineales para las correspondientes actualizaciones incrementales en cada iteración. [∆𝑥 ∆𝑦]=−[Σ𝜕𝐺2 𝜕𝑥2Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥𝜕𝐺 𝜕𝑦 Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥𝜕𝐺 𝜕𝑦 Σ𝜕𝐺2 𝜕𝑦2]−1[Σ𝜕𝐺 𝜕𝑥(𝐹−𝐺) Σ𝜕𝐺 𝜕𝑦(𝐹−𝐺)] (17) Esta última ecuación se puede usar para iterar las veces que sean necesarias obteniendo así el promedio del movimiento donde en la 𝑝𝑡ℎ iteración usando 𝑑𝑝+1=𝑑𝑝+∆ hasta alcanzar la convergencia optima del vector de movimiento 𝑑𝑜𝑝𝑡. Esta técnica es conocida como el algoritmo de seguimiento de Lucas-Kanade que realmente es una extensión del movimiento diferencial explicado en párrafos anteriores. Al comparar la ecuación (13) y (17) la perspectiva es totalmente equivalente al desarrollo de una sola iteración del método de LucasKanade efectuada para la correlación de imágenes inicial respecto a las mediciones de forma, movimiento y deformación. Este algoritmo no se restringe solamente a vectores de movimiento pequeños, por el contrario, se encuentran movimientos grandes siempre y cuando el vector de movimiento inicial sea igual a cero. 3.3 Subconjunto de Funciones de Forma Resulta curioso que los algoritmos de correspondencia respecto a las imágenes analizadas simplemente se encuentren limitados a la determinación del desplazamiento medio en el plano de un subconjunto “cuadrado” entre dos o más imágenes. Pero, se conoce que en muchas aplicaciones relacionadas con la ingeniería no solo se miden desplazamientos sino también deformaciones (como alargamiento, acortamiento), deformación tangencial, etc. Es decir, que al tener un subconjunto de referencia “cuadrado” existe la posibilidad que adopte una forma distorsionada respecto a la imagen anterior a su deformación. Para tener una visión más clara de lo expuesto anteriormente se pondrá de ejemplo una imagen que gira lentamente en torno a su centro. Se observa que a medida que se incrementa el ángulo de rotación, evidentemente, la similitud entre el subconjunto original y el subconjunto rotado disminuye notablemente. A esto se le conoce como descorrelacion y se muestra en la Figura 3-5. Figura 3-5 Descorrelación provocada por la rotación. [1] Se observa en la Figura 3-5 Descorrelación provocada por la rotación. el eje de las abscisas hace referencia al ángulo de rotación y el eje de las ordenadas por su parte hace referencia a la suma de los cuadrados. Por tanto, Estado del arte 38 38 se puede observar el comportamiento de la descorrelación entre la suma de los cuadrados en función del ángulo de rotación. En esta figura, la descorrelación se produce incluso para ángulos pequeños y cuando llega a los 10 grados de rotación el patrón rotado se encuentra casi descorrelacionado en su totalidad. La ventaja principal del algoritmo de iteración de correspondencia es que no solamente puede determinar las traslaciones sino también puede servir para hallar las deformaciones. Una manera de conseguirlo es introduciendo una función de forma de subconjunto 𝜀(𝑥.𝑝) cuyo objetivo principal se centra en transformar las coordenadas de píxel en el subconjunto de referencia en coordenadas de la imagen tras la deformación. Finalmente, la función se escribe como: 𝑋2(𝑝)= ∑(𝐺(𝜀(𝑥,𝑝))−𝐹(𝑥))2 (18) Donde: 𝑋2(𝑝): Función de error cuadrático en función de los parámetros p. 𝐺(𝜀(𝑥,𝑝)): El valor de la intensidad en la imagen deformada, pero evaluado en una nueva posición calculada con la función 𝜀. 𝜀(𝑥,𝑝): Función de forma que transforma el punto x en su ubicación deformada. 𝐹(𝑥): El valor de la intensidad en la imagen original en la posición x. 𝑝 ∈ ℝ𝑛: Vector de parámetros de transformación (traslación, rotación, cortante, etc.) Esta ecuación se puede optimizar respecto al parámetro p de la función de forma. Para el caso simplificado de la traslación pura, la función de forma se puede escribir mediante: 𝜀(𝑥,𝑝)=𝑥+[𝑝0 𝑝1] (19) Donde: 𝑥: Representa la posición espacial de un píxel en 2D, es decir, 𝑥=[𝑥𝑦]. 𝑝: Vector de desplazamiento. En este caso 𝑝0 representa la media del desplazamiento en la dirección “x” y 𝑝1 es la media de los desplazamientos en la dirección “y”. También, se puede escribir esta última ecuación que representa la función de forma del subconjunto de esta manera: 𝜀(𝑥,𝑝)=[𝑝0 𝑝1]+[1+𝑝2𝑝3 𝑝41+𝑝5]𝑥 (20) Donde: 𝑥: Representa la posición espacial de un píxel en 2D, es decir, 𝑥=[𝑥𝑦]. [𝑝0 𝑝1]: Movimiento base (traslación), como en la fórmula anterior. 𝑝2: Alargamiento o acortamiento en la dirección horizontal x. 𝑝3: Cortante xy. 𝑝4: Cortante yx. - 39 - 𝑝5: Alargamiento o acortamiento en la dirección vertical y. Por lo tanto, la realización de la minimización de la ecuación (18) necesita el cálculo de las derivadas de la función respecto a los parámetros p. En el caso de las funciones de forma, las derivadas se calculan como los productos de las derivadas del valor de gris con sus coordenadas de los subconjuntos y el parámetro puede calcularse mediante: ∆𝑝=𝐻−1𝑞 (21) Donde “H” representa la matriz simétrica Hessiana 𝐻= [ Σ𝐺𝑥2Σ𝐺𝑥𝐺𝑦Σ𝐺𝑥2𝑥 Σ𝐺𝑥2𝑦 Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑥 Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑦 Σ𝐺𝑦2Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑥 Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑦 Σ𝐺𝑥2𝑥 Σ𝐺𝑥2𝑦 Σ𝐺𝑥2𝑥2 Σ𝐺𝑥2𝑥𝑦 Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑥2Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑥𝑦 Σ𝐺𝑥2𝑦2Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑥𝑦 Σ𝐺𝑥𝐺𝑦𝑦2 Σ𝐺𝑦2𝑥2Σ𝐺𝑦2𝑥𝑦 Σ𝐺𝑦2𝑦2 ] (22) Y el valor de “q” se encuentra representado por la siguiente matriz: 𝑞= [ Σ𝐺𝑥(𝐹−𝐺) Σ𝐺𝑦(𝐹−𝐺) Σ𝐺𝑥𝑥(𝐹−𝐺) Σ𝐺𝑥𝑦(𝐹−𝐺) Σ𝐺𝑦𝑥(𝐹−𝐺) Σ𝐺𝑦𝑦(𝐹−𝐺) ] (23) Donde se aprecia que las derivadas parciales se describen mediante subíndices: 𝐺𝑥=𝜕𝐺/𝜕𝑥 . Se observa también que al introducir funciones de forma de orden superior complica mucho más el problema de la correspondencia. Por citar un pequeño ejemplo, al estudiar el componente de rotación en el plano se observa que no puede hallarse para un patrón de círculos concéntricos, donde el uso de funciones de forma de orden superior resulta imposible para este caso. Cuando un patrón en la escala de grises es adecuado para una función de forma específica, se podrá determinar matemáticamente siempre que se conozca si la matriz Hessiana puede invertirse o no. Diseño 40 40 4 DISEÑO n este capítulo se podrá apreciar el desarrollo completo del diseño de la máquina de tracción desde la idea inicial con la ayuda de AutoCAD hasta el modelo ensamblado final. Se mostrarán todas las vistas y sus medidas, se especificará cada parte que conforma el resultado final. Las partes del modelo se dividen en Parte superior, Pieza de Globo, Plato Inferior, Sujetador, Parte Inferior y Varilla. Todas estas piezas unidas y ensambladas por tornillos y tuercas conforman la máquina de tracción. El modelo completo se diseña en AutoCAD y también se usan dos softwares de apoyo: SketchUp y MeshLab. Estos últimos con el objetivo específico de visualización en formato .stl. Esto se detallará en la siguiente fase: La exportación al software Markforged vista en el capítulo 4.3 Uso del software “Eiger” de la impresora “Markforged” con la ayuda de la Impresora 3D. 4.1 Diseño en AutoCAD Esta poderosa herramienta ha permitido el desarrollo del diseño a precisión. De forma intencional se han agregado una tolerancia de 0,1 milímetro a 0,5 milímetros adicionales a todos los diseños en los que se encontraban involucrados tornillos y tuercas con el objetivo de evitar errores futuros en la etapa final de impresión 3D. La base para el desarrollo de estos diseños ha sido la norma internacional DIN 934 la cual establece todos los requisitos para las tuercas hexagonales de rosca métrica estándar. Según sea el caso se detallará la forma, y dimensiones de las tuercas teniendo en cuenta la profundidad y longitud de la tuerca como se observa en la Figura 4-1. Figura 4-1 Profundidad “m” y Longitud entre lados “s” de la tuerca DIN 934. A fin de que este diseño sea reproducible se han establecido medidas “comunes”, fáciles de encontrar en cualquier ferretería en España. Se muestra en la Figura 4-2 el modelo completo y posteriormente se analizará en detalle cada parte que lo conforma. E - 41 - Figura 4-2 Modelo Completo diseñado en AutoCAD. Es necesario resaltar que todas las partes del diseño son especialmente importantes debido a que si falta una de estas piezas no será posible desarrollar correctamente el modelo. A continuación, se detallarán los diseños realizados en AutoCAD en base al siguiente orden: • Parte Inferior • Parte Superior • Pieza de Globo • Plato Inferior • Sujetador • Varilla 4.1.1 Parte inferior Si es posible nombrar una pieza a destacar sobre las demás sería esta debido a que su diseño se encuentra en contacto con: Un sujetador, La pieza de Globo y Las dos varillas. Diseño 48 48 En la Figura 4-11 el diámetro del tornillo se ve reflejado en la primera columna “M7” que hace referencia a un tornillo de 7 milímetros de diámetro, la siguiente columna hace referencia a la profundidad de la tuerca que en este caso es de 6,5 milímetros y finalmente la última columna indica la distancia entre dos lados opuestos del hexágono, siendo esta de 11 milímetros. 4.1.3 Pieza de Globo La pieza de Globo se ubicará en la “Parte Inferior” exactamente al medio de esta pieza. Esta pieza tiene doble propósito. El primero es que esta pieza se pueda introducir en la boquilla del globo para que esta permanezca abierta, con el fin de que se puedan introducir objetos en el globo sin ningún problema. El segundo radica en que el globo pueda estar fijo y bien posicionado en la mitad de la “Parte Inferior”. Figura 4-12 Vista General “Pieza de Globo”. - 49 - Figura 4-13 Vista frontal “Pieza de Globo”. En la Figura 4-12 se observa claramente que la parte superior tiene mayor diámetro que la inferior y esto se debe a que se busca que esta pieza encaje en la “Parte Inferior” y al mismo tiempo sujete correctamente al globo. Para el desarrollo de esta pieza se creó una figura en 2D visto en color rojo oscuro en la Figura 4-13 y se realizó una figura de revolución con un radio determinado. Las dimensiones de esta pieza se observan en la Figura 4-14 y en la Figura 4-15. Diseño 50 50 Figura 4-14 Diámetro superior e inferior total en milímetros. Figura 4-15 Diámetro interior en milímetros. Estas medidas a diferencia de los tornillos y tuercas están diseñadas con el propósito de que la pieza se quede anclada en la parte media de la “Pieza inferior”. - 51 - 4.1.4 Plato Inferior El Plato Inferior será la pieza que recibirá todo el apoyo de las “Varillas” y le dará la estabilidad necesaria a todo el modelo. Figura 4-16 Vista general del “Plato Inferior”. Se observa en la Figura 4-16 a un plato rectangular con dos orificios para que pueda encajar en estos las “Varillas”, las medidas se observan en la Figura 4-17 y en la Figura 4-18. Diseño 52 52 Figura 4-17 Ancho propuesto en milímetros. Figura 4-18 Dimensiones del radio y de la distancia entre los centros en milímetros. Se observa en la Figura 4-18 que el orificio posee 7,1 milímetros de radio (14,2 milímetros de diámetro), respetando como en las piezas anteriores los milímetros extras para disminuir los errores de medición. - 53 - 4.1.5 Sujetador Es preciso señalar que a pesar de que se diseña una vez esta pieza se necesitará imprimir dos veces porque se necesitará tanto para la “Parte Superior” como para la “Parte Inferior”. El Sujetador fija la cinta a estudiar tanto a la “Parte Superior” como a la “Parte Inferior” logrando de esta manera que puedan trabajar juntas, siendo la “Parte Superior” fija y la “Parte Inferior” móvil. Las vistas general y frontal de esta pieza se observan en las Figuras 4-19 y 4-20 respectivamente. Figura 4-19 Vista General “Sujetador”. Diseño 54 54 Figura 4-20 Vista Frontal de la pieza “Sujetador”. Figura 4-21 Dimensiones del radio de los orificios y longitud entre caras de la tuerca hexagonal en milímetros. - 55 - Figura 4-22 Vista de perfil y dimensiones en milímetros de la pieza “Sujetador”. Se observa en la Figura 4-21 que evidentemente para que pueda lograrse un acople entre piezas ha sido necesario que el radio de los tornillos sea el mismo que los diseñados para estos orificios en la “Parte Superior” y “Parte Inferior”. El diámetro escogido es de 4 milímetros al cual le corresponde una tuerca de 7 milímetros de lado a lado y una profundidad de la tuerca de 3,2 milímetros como se observa en la Figura 4-22, estas medidas fueron obtenidas de la norma DIM 934 y se les agregó un margen de 0,1 a 0,2 milímetros extras para evitar errores al realizar la impresión 3D. Diseño 56 56 Figura 4-23 Dimensiones de la tuerca y tornillos a usar en la pieza “Sujetador” en milímetros. Se justifican las medidas escogidas en la Figura 4-23 donde la primera columna que hace referencia al diámetro del tornillo se usara un diámetro de 4 milímetros, la segunda columna establece la profundidad del tornillo, siendo esta de 3,2 milímetros y finalmente la distancia entre los lados opuestos de la tuerca hexagonal establecida en la última columna siendo esta de 7 milímetros. 4.1.6 Varillas La varilla une la “Parte Superior” y la “Parte Inferior”, y se anclaran en su base al “Plato Inferior”. Se diseñó para un diámetro de 14 milímetros, uno de los máximos encontrados en las ferreterías locales. También, se puede apreciar el espaciamiento entre estas varillas, así como la longitud del diseño en la Figura 4-24. - 57 - Figura 4-24 Distancia entre los centros de las Varillas y longitud aproximada en milímetros. Una vez diseñadas todas las piezas el siguiente paso consiste en guardar estas piezas en un formato que permita visualizar y modificarlas para la impresión 3D. Si bien, se conoce que solo se van a llevar a imprimir algunas piezas (las otras no serán necesarias porque es mucho más fácil y demora mucho menos tiempo conseguirlas en una ferretería que tratar de imprimirlas), ha sido necesario realizar el diseño de todas las piezas en AutoCAD con el fin de observar en esta etapa de diseño que todas las medidas son correctas y encajan perfectamente con la idea original propuesta. Las piezas que se cambiarán de extensión para poder llevarlas a la impresora 3D son: • Parte Inferior • Parte Superior • Pieza de Globo • Sujetador Por otro lado, tanto la “Varilla”, “Plato Inferior” y todos los tornillos y tuercas se obtendrán de una ferretería. El procedimiento para convertir las piezas seleccionadas es sencillo y se detalla a continuación: Diseño 64 64 Figura 4-31 Vista “Parte Superior” desde el programa MeshLab. Figura 4-32 Vista “Parte Inferior” desde el programa MeshLab. - 65 - Figura 4-33 Vista “Sujetador” desde el programa MeshLab. Luego de revisar todas las piezas a detalle y darle el visto bueno se procede a exportar el modelo y poner la extensión “. stl” a cada uno de ellos. Diseño 66 66 Figura 4-34 Pasos a seguir -Export Mesh As. Como se observa en la Figura 4-34 luego de la última revisión de cada pieza se debe ir a File → Export Mesh As y finalmente verificar que lo estamos guardando con la extensión “. stl”, si por error se coloca otro tipo de extensión no se podrá pasar al paso siguiente. 4.3 Uso del software “Eiger” de la impresora “Markforged” La impresión de las piezas se desarrollará en una máquina de impresión 3D “Markforged”. Esta impresora se destaca por combinar materiales avanzados y poseer una tecnología de precisión de impresión acorde a nuestros requerimientos de diseño impuestos para nuestro propósito. Esta impresora tiene múltiples usos siendo los más frecuentes y de mayor valor los encontrados en: • Industria Aeroespacial • Automotriz • Ingeniería y manufactura • Medicina Y la razón fundamental es debido a que permite la creación de piezas de alto rendimiento (piezas de aeronaves, - 67 - piezas de automóviles, prototipos y herramientas funcionales, partes de maquinaría, etc.) con la ventaja de poder reducir costos y tiempos de fabricación. Previamente al encontrarse las piezas en su etapa final de desarrollo se va a usar el software de la impresora Markforged llamado “Eiger” el cual ofrece las herramientas necesarias para conocer el estado de nuestras piezas antes de su impresión final. El objetivo de llevar a todas las piezas modeladas a tener un formato con extensión “. stl” fue para que se puedan visualizar en este software. Este programa permite verificar las dimensiones de la pieza a imprimir, muestra un aproximado del tiempo que se demoraría en imprimir, la masa, el volumen ocupado y el costo que cada pieza demanda. Permite también elegir el material más adecuado y si es que necesita material de refuerzo, entre otras características importantes y de gran aporte. El primer paso es crear una carpeta donde se puedan guardar y hacer las modificaciones necesarias de todas las piezas, tal y como se aprecia en la Figura 4-35. Figura 4-35 Vista general del software “Eiger” de la impresora “Markforged”. Una vez creada esta carpeta se procede a introducir características generales y particulares de las 4 piezas. En la sección 4.3.1 Material Escogido / Fill Pattern / Fill Density se ampliará sobre la elección de las piezas en cuanto al Material escogido, Fill Pattern (Patrones de Relleno) y Fill Density (Densidad de llenado). 4.3.1 Material Escogido / Fill Pattern / Fill Density Onyx (Nylon reforzado con microfibras de carbono) será el material escogido para la impresión de todas las piezas debido a que es un material resistente y rígido en el rango de temperaturas esperado en servicio y posee alta estabilidad dimensional y visualmente aporta un acabado profesional negro mate. También al usar este material existe la posibilidad de reforzar la pieza con fibra de carbono, fibra de vidrio y Kevlar. Aunque para el diseño establecido y el propósito principal de este no será necesario utilizar este tipo de refuerzo a nuestras piezas. En cuanto al “Fill Pattern” o en español Patrones de relleno, el software Eiger ofrece varias opciones: Triangular Fill (Relleno Triangular), Hexagonal Fill (Relleno Hexagonal), Rectangular Fill (Relleno Rectangular), Gyroid Fill (Relleno Giroide) y Solid Fill (Relleno Sólido). De todas estas opciones se escogió el “Triangular Fill” y esto debido a que es el tipo más fuerte y el que posee menor probabilidad de deformación. El Relleno Triangular proporciona también la mejor estructura de soporte dentro de las paredes de la pieza. Otra característica importante de este relleno es que permite imprimir con relativa rapidez debido a que el cabezal de impresión se desplaza principalmente en líneas rectas a través de la pieza. Para la impresión de estas piezas, este relleno es el ideal debido a que combina resistencia y velocidad. Debido a que no usaremos los otros rellenos para ninguna otra pieza se procederá a comentar a continuación cada uno de estos de forma resumida. El “Hexagonal Fill” posee la mayor proporción en cuanto a resistencia/peso, pero por su forma hexagonal es el Diseño 68 68 relleno que más demora en ejecutarse y esto debido a que el cabezal de impresión debe cambiar constantemente de dirección. El “Rectangular Fill” ofrece mejores opciones en relación con la densidad. Este relleno también imprime rápidamente. El “Gyroid Fill” se basa en una forma ondulada infinitamente conectada que otorga una elevada relación resistencia/peso, especialmente si se va a someter a actuaciones relacionadas a la resistencia al cizallamiento. Definitivamente es una muy buena opción en productos en los que se requiera resistencia isotrópica, es decir, que posea la misma resistencia a flexión en cada dirección. El “Solid Fill” que es el relleno rectangular, pero con una densidad del 100% produce claramente una pieza totalmente densa que resulta ideal para obtener una elevada carga a la compresión. En cuanto a “Fill Density” (Densidad de relleno) modifica la estructura interna de las piezas con el objetivo de controlar su densidad. En el software Eiger este valor se puede colocar en porcentajes, siendo 37% el valor de la densidad de relleno por defecto. La vista general de la selección de “Infill” con las opciones “Fill Pattern” y “Fill Density” se muestra en la Figura 4-36. Figura 4-36 Vista de la selección de “Infill” con las opciones “Fill Pattern” y “Fill Density”. Si bien todas las piezas tienen el “Triangular Fill” como Patrón de Relleno esto no sucede para la Densidad de Relleno por la jerarquía de las piezas en cuanto a su participación en el desarrollo del modelo. Teniendo como Densidad de Relleno: • Pieza de globo: 37% Por ser una pieza ligera que se encuentra conectada a la boquilla del globo y por permitir simplemente la apertura de esta boquilla y la sujeción del globo en la Pieza Inferior. • Sujetador: 37% Posee el mismo porcentaje que la pieza anterior por ser la segunda pieza más ligera cuya función se basa en sujetar una cinta a la Parte Superior y a la Parte Inferior. - 69 - • Parte Inferior: 55% Se decide aumentar el porcentaje de Densidad de Relleno respecto a las anteriores piezas por la variedad de funciones que representa en el modelo general ya que por esta pieza pasarán las dos varillas, soportará la “Pieza de Globo”, “El Globo” y “Bolitas de Acero” y al mismo tiempo estará adherida a esta pieza el “Sujetador” y la “Cinta” (Se detallará en capítulos posteriores cada uno de estos elementos). • Parte Superior: 55% De la misma manera que con la “Parte Inferior” se ha establecido este porcentaje por la jerarquía de la pieza en el modelo. Si bien se apoya en las dos varillas también soporta el peso completo de la “Parte Inferior” y de todas las piezas adheridas a esta descritas en el párrafo anterior además de un sujetador ubicado en la parte superior. Una vez señaladas las características principales a añadir en el software Eiger de todas las piezas se procede a realizar una descripción de cada una siguiendo el siguiente orden: “Pieza de Globo”, “Sujetador”, “Parte Inferior” y “Parte Superior” 4.3.2 Pieza de Globo En esta pieza se introducirá en un globo permitiendo que la boquilla de este se encuentre siempre abierta para poder introducir pequeños pesos (bolitas de acero). Al mismo tiempo esta pieza ayuda a sujetar el globo a la “Parte Inferior”. Figura 4-37 Vista general en el software “Eiger” de “Pieza de Globo”. Como se aprecia en la Figura 4-37 al introducir el archivo “Pieza de globo” se observa la figura que se desea imprimir junto con una lista que describe a la pieza. Para esta pieza el software ha determinado: • Dimensiones: 19.1 mm x 19.2 mm x 7.3 mm • Tiempo de impresión: 17 minutos Diseño 70 70 • Masa final de la pieza: 0.78 gramos • Volumen plástico: 0.66 centímetros cúbicos • Costo del material: 0.16 euros Esta información es importante debido a que permite organizar la impresión de las piezas siendo esta de muy corta duración (17 minutos) lo cual permite ponerla en primer lugar al momento de imprimir para tener una muestra de cómo se ve esta pieza y si cumple perfectamente con el diseño propuesto. En caso ocurra algún error se podrá corregir fácilmente esta pieza y las restantes disminuyendo el tiempo de la impresión global. 4.3.3 Sujetador Esta pieza se imprimirá 2 veces debido a que se acoplará tanto a la “Parte Superior” como a la “Parte Inferior”. Se sujetará a estas piezas con 4 tornillos (dos por cada pieza) de 4 milímetros de diámetro tal y como se señaló en el capítulo 4.1 Diseño en AutoCAD. Su importancia radica a que gracias a este “Sujetador” se podrá fijar la cinta tanto a la “Parte Superior” como a la “Parte Inferior”. Tener asegurada la cinta a todos estos elementos proporciona una parte fundamental del objetivo final de este modelo. Figura 4-38 Vista general en el software “Eiger” de “Sujetador”. Como se aprecia en la Figura 4-38 al introducir el archivo “Sujetador” se observa la figura que se desea imprimir junto con una lista que describe a la pieza. Para esta pieza el software ha determinado: • Dimensiones: 82.4mm x 8.5 mm x 5 mm • Tiempo de impresión: 41 minutos • Masa final de la pieza: 2.62 gramos • Volumen plástico: 2.22 centímetros cúbicos - 71 - • Costo del material: 0.53 euros Esta pieza se convierte en la segunda más rápida de imprimir de todas las diseñadas añadiendo el detalle que se tendrá que imprimir dos veces. Por lo tanto, no representa problema alguno esta doble impresión respecto al tiempo que tomara ejecutarla. Se observa también que el costo de este material es especialmente bajo teniendo un coste total de 1.06 euros por ser dos piezas. 4.3.4 Parte Inferior Dada la complejidad de esta pieza el software Eiger ofrece una opción que permite la visualización de los soportes que tendrá la pieza al finalizar la impresión 3D, las dos piezas anteriores no necesitan estos soportes debido a que no tienen un diseño complejo. La impresora al encontrar orificios en el modelo crea soportes de fácil extracción post impresión. Estos soportes facilitan a la impresora al momento de la ejecución de esta pieza. Como se mencionó en líneas anteriores estos soportes se podrán extraer fácilmente al finalizar la impresión sin dañar el modelo original cumpliendo exactamente con el diseño previo a la impresión de la pieza. Figura 4-39 Vista general en el software “Eiger” de la “Parte Inferior”. Como se aprecia en la Figura 4-39 al introducir el archivo “Parte Inferior” se observa la figura que se desea imprimir junto con una lista que describe a la pieza. Para esta pieza el software ha determinado: • Dimensiones: 145.7 mm x 23.5 mm x 33.5 mm • Tiempo de impresión: 5 horas 32 minutos • Masa final de la pieza: 28.3 gramos • Volumen plástico: 27.15 centímetros cúbicos Diseño 72 72 • Costo del material: 6.45 euros Esta pieza es la tercera más rápida de imprimir, pero se encuentra muy lejos de la anterior, esta demora aproximadamente 6 horas (5 horas 32 minutos), siendo una pieza compleja que no permite errores de diseño debido a que un error cualquiera perjudicaría el tiempo destinado a esta impresión duplicando recursos. Es preciso señalar que la posición de esta pieza de cara a la impresión no ha sido puesta de forma aleatoria sino de forma intencionada dado que era la posición en la cual a la impresora le demoraría menos en imprimir por completo la pieza, cualquier otra variante aumenta el tiempo notablemente por lo cual se eligió la posición de la Figura 4-39. Se muestra en las Figuras 4-40, 4-41 y 4-42 la ubicación donde la impresora colocará los soportes de esta pieza: Figura 4-40 Vista posterior de la ubicación de los soportes para la pieza “Parte Inferior”. - 73 - Figura 4-41 Vista frontal de la ubicación de los soportes para la pieza “Parte Inferior”. Figura 4-42 Vista desde la base de la impresora de la ubicación de los soportes para la pieza “Parte Inferior”. Diseño 80 80 Figura 4-51 Vista frontal de impresión de purga. Figura 4-52 Resultado final de la purga. Una vez realizada esta purga se procede a seleccionar las piezas deseadas para la impresión. Los resultados obtenidos son los siguientes. 4.5.1 Pieza de Globo En la Figura 4-53 se puede apreciar la diferencia de diámetros entre la parte superior (mayor diámetro) y la base de la pieza (menor diámetro) representando fielmente el diseño propuesto. - 81 - Figura 4-53 Vista Frontal de la impresión de “Pieza de Globo”. En la Figura 4-54 también se observa las diferencias de diámetros de forma clara. El objetivo de esto es que al momento de colocarse en la “Parte Inferior” esta pieza no deslice y quede sujeta. Esta superposición de piezas se mostrará con más claridad en páginas posteriores en el capítulo 4.8 Modelo completo donde también se podrá apreciar la importancia del globo y las bolitas de acero. A continuación, se muestran un adelanto de lo mencionado en el párrafo anterior. Figura 4-54 Vista de Planta de la impresión “Pieza de Globo”. Se muestra en la Figura 4-55 a esta pieza introducida en la boquilla del globo. Diseño 82 82 Figura 4-55 Vista de la “Pieza de Globo” introducida en el Globo. Finalmente se muestra el resultado final de la unión de la “Pieza de Globo”, “Globo” y la “Parte Inferior” en la Figura 4-56. Figura 4-56 Vista de las 3 piezas en conjunto. “Pieza de Globo”, “Globo” y “Parte Inferior”. 4.5.2 Sujetador El resultado de la pieza tenía cubierto los orificios debido a su diseño. La impresora Markforged para poder desarrollar esta pieza tal y como se había propuesto cubre los orificios para continuar imprimiendo sin problemas. Los orificios cubiertos pueden extraerse con facilidad. Para este proyecto solo hacen falta los orificios centrales, los de los extremos se usan en el caso se requiera una mayor sujeción. Se muestra en la Figura 4-57, 3 de 4 orificios descubiertos. La impresión representa fielmente el diseño con los detalles y profundidades establecidos para las tuercas y tornillos tal y como se aprecia en la Figura 4-57, se añade también una vista alternativa de esta pieza en la Figura 4-58. - 83 - Figura 4-57 Vista general de la impresión “Sujetador”. Es preciso recordar que esta pieza se imprimirá dos veces ya que una parte se unirá mediante tornillos a la “Parte Superior” y la segunda ira a la “Parte Inferior”. Figura 4-58 Vista alternativa de la impresión “Sujetador”. 4.5.3 Parte Inferior La impresión de esta pieza ha presentado diversos soportes para su correcta realización, estos soportes son de fácil extracción y están ubicados en el orificio central donde ira ubicada la “Pieza de Globo” y en el espacio ubicado debajo del arco central. Sin duda lo que mayor llamó la atención fueron los soportes ubicados dentro de los cuatro orificios superiores. Estos orificios presentan un soporte que atraviesa la longitud de estos. La existencia de estos radica como se mencionó líneas arriba en la correcta culminación de la impresión. Una vista general de esta pieza se expone en la Figura 4-59. Diseño 84 84 Figura 4-59 Vista frontal de la “Parte Inferior”. Se muestra en Figura 4-60 la vista en planta de esta pieza viéndose claramente tres orificios. Por los orificios extremos pasaran las varillas y en el centro se ubicará la “Pieza de Globo”. Figura 4-60 Vista en planta de la “Parte Inferior”. Se muestra la “Parte Inferior” tomada desde la base en la Figura 4-61, la particularidad de esta toma es que se puede apreciar que el orificio central posee un diámetro mucho menor dado que la “Pieza de Globo” no puede deslizar y diseñándolo de esta manera quedaría sujeta evitando el deslizamiento total de la pieza. - 85 - Figura 4-61 Vista desde la base de la “Parte Inferior”. 4.5.4 Parte Superior Los detalles de esta pieza son fundamentales en el desarrollo del proyecto. Los cuatro orificios de 4 milímetros de diámetro cada uno están diseñados para unirse mediante tornillos a la pieza “Sujetador”. A diferencia de la “Parte inferior” esta pieza presenta dos orificios para dos tuercas y por consiguiente dos tornillos, como se muestra en la Figura 4-62. Figura 4-62 Vista frontal de la pieza “Parte Superior”. El objetivo principal del orificio diseñado para las dos tuercas se fundamenta en que dado que esta pieza se encuentra apoyada en la parte superior de las dos varillas en el caso de necesitar un ajuste adicional podrá solventarse de la mejor manera logrando así una mejor sujeción a estas varillas. Diseño 86 86 Figura 4-63 Vista desde debajo de la pieza “Parte Superior”. En la Figura 4-63 se muestra en los extremos los 2 orificios creados para la introducción de las dos varillas. También se observa un espacio entre estas por si se desea realizar un ajuste adicional. Esta pieza claramente más robusta es parte fundamental del proyecto por su múltiple conexión con otras piezas. 4.6 Materiales que no se incluyen en impresión 3D 4.6.1 Globo Este material se puede comprar en cualquier tienda de Sevilla. Se escogió el clásico para eventos y fiestas que son el modelo estándar de aproximadamente 20-25 milímetros de diámetro de apertura. 4.6.2 Tornillos y Tuercas La base para el desarrollo de estos diseños ha sido la norma internacional DIN 934 la cual establece todos los requisitos para las tuercas hexagonales de rosca métrica estándar. Según sea el caso se detallará la forma, y dimensiones de las tuercas. 4.6.3 Varillas Roscadas Se usaron 2 varillas de 30 centímetros cada una. En la ferretería suelen vender estas varillas con la medida estándar de un metro. Por ello, se pidió que se dividiera esta varilla con el objetivo de obtener dos de 30 centímetros. También, se puede usar una varilla lisa, pero con la base roscada o de materiales circulares de 14 milímetros de diámetro. El propósito de usar una varilla roscada fue principalmente para poder acoplarla a una base y que pueda mantenerse firme y por cuestiones de simplicidad se buscó lo que resulta común encontrar en cualquier ferretería. El resultado de la varilla roscada de un metro de longitud y de 14 milímetros de diámetro (como se muestra en la Figura 4-65) dividida en 2 partes iguales de 30 centímetros cada una, tal y como se muestra en la Figura 4-64. - 87 - Figura 4-64 Varilla Roscada de 30 centímetros de longitud. Figura 4-65 Varilla Roscada de 14 milímetros de diámetro. 4.6.4 Base de apoyo del modelo La base escogida vista en la Figura 4-66 ha sido parte de una placa de acrílico “PMMA” (Polimetilmetacrilato), Diseño 88 88 es un material plástico translúcido cuyo uso es muy versátil entre los cuales se destacan las señalizaciones, los paneles decorativos y las protecciones. Este material es muy resistente y al mismo tiempo es muy fácil trabajar con él, cortarlo o moldearlo. Por ello, es perfecto para alcanzar el objetivo deseado: Soportar perfectamente todas las piezas asegurando estabilidad completa de la máquina de tracción. Es preciso entonces realizar 2 orificios roscados con el propósito de que puedan encajar perfectamente las varillas roscadas que servirán de apoyo a todas las otras piezas. El desarrollo de estos orificios es fundamental para el correcto funcionamiento de la maquina ya que si se hacen de forma incorrecta se corre el riesgo que las otras piezas no encajen y se tenga que conseguir otra base y retrabajar haciendo los orificios nuevamente. Figura 4-66 Base de PMMA usada para el modelo con dos orificios de 14 milímetros de diámetro. 4.6.5 Pintura Al igual que los otros materiales la pintura no será la excepción y ha sido escogida en base al precio más accesible en las librerías. Se escogieron dos colores tal y como se muestra en la Figura 4-67 para que al momento de aplicarlas en la cinta el contraste sea el máximo posible. Y como se realizará el análisis teniendo como base los tonos grises se han empleado los colores blanco y negro para mejorar la calidad de los resultados. - 89 - Figura 4-67 Témperas de color blanco y negro. 4.6.6 Bolitas de Acero Estas bolitas se introducirán en el globo con el objetivo de generar peso y que la cinta se vaya estirando progresivamente. La importancia de estas bolitas radica en que al conocer su peso y la cantidad usada se podrán obtener resultados precisos. Se sabe que cada bolita pesa 7 gramos y la densidad del acero es aproximadamente 7850 kg/m3. Estas bolitas de acero se muestran en la Figura 4-68. Software 96 96 5 SOFTWARE ste capitulo muestra el desarrollo completo del método DIC, como se ha podido apreciar en el capítulo anterior el desarrollo del modelo físico ya se encuentra listo y preparado para su ejecución. Resulta importante al momento de tomar las fotografías el buscar una zona en la que no exista variación de luz que pueda afectar los resultados del modelo, también tener en cuenta ubicar el trípode sin ningún ángulo de rotación, es decir, que la cámara del móvil se encuentre lo más paralela posible a la cinta, finalmente que la superficie donde se realice la toma de fotos no vibre ni sufra modificaciones. Todas estas indicaciones se realizan con el fin de obtener los mejores resultados posibles y evitar problemas en el procesamiento de imágenes por mal enfoque, alineación o rotación de la cinta a estudiar. Un punto a favor es que no se tiene que comprar ninguna cámara para realizar este método DIC, es más que suficiente el uso de la cámara del móvil para obtener buenos resultados. 5.1 Consideraciones iniciales El procedimiento es relativamente sencillo, simplemente al momento de efectuar las fotos se tiene que evitar que se mueva el trípode porque de ser así se tendrá que volver a realizar desde el principio la toma de fotos porque será imposible determinar conocer cuánto ha girado el trípode y cuál era su ubicación inicial exacta antes de la pequeña rotación de la cámara. La cámara debe ubicarse lo suficientemente cerca para obtener un cuadro completo de la cinta y se debe enfocar un poco más a lo largo dado que con el peso que se le colocará esta cinta va a ir aumentando su longitud. En las Figuras 5-1 y 5-2 se muestran las dimensiones de la cinta antes de colocarle los pesos que provocarán que aumente su longitud al ser estos progresivamente mayores. E - 97 - Figura 5-1 Largo de la cinta (5.8 cm) antes de colocar peso al globo. Figura 5-2 Ancho de cinta (1.2 cm). Se procederá a continuación a la toma de fotografías aumentando el peso del contenido del globo de tal manera que se podrá observar el estiramiento longitudinal de la cinta al tener en cada toma un peso mayor al anterior. Es importante resaltar que se puede utilizar cualquier peso de cualquier material con tal de que todos los que se Software 98 98 quieran utilizar sean de peso constante y que al usarlos no dañe la estructura del modelo físico. Para este estudio se han utilizado bolitas de acero de 12 milímetros de diámetro y de 7 gramos de peso por cada bolita respectivamente. Se efectuaron 43 fotografías en las cuales se ha ido aumentando progresivamente el peso desde la primera bolita de 7 gramos hasta la última cuya suma de gramos acumulada es igual a 301 gramos. Se observa claramente a medida que se van agregado bolitas como poco a poco la cinta se va estirando. Todas las fotos en progresión se pueden observar en el Anejo 7.1. Estas imágenes deben recortarse adecuadamente disminuyendo la foto al espacio a analizar, esto se aprecia correctamente en la Figura 5-3. → Se busca el recorte de la imagen para sectorizar la zona a estudiar, es importante que el recorte sea el mismo para todas las fotos, es decir, que se encuentre centrada de la misma manera y que posea también el mismo ancho y altura. Se recomienda ampliamente el uso del software libre ShareX el cual posee una herramienta que ayuda a obtener la precisión deseada ya que permite realizar el mismo recorte para múltiples fotos. Este software de recortes avanzado ofrece el resultado final en formato .png y para poder realizar el siguiente paso correctamente es preciso convertir las fotos a formato .jpeg 5.2 Uso de Ncorr Para el desarrollo de este trabajo se ha usado Matlab y para la implementación del método DIC ha sido necesario el uso de Ncorr el cual permite analizar de forma sencilla y práctica los desplazamientos y deformaciones. Este software libre de interfaz amigable fue desarrollado en la Universidad de Illinois y es usado con mucha frecuencia en análisis de mecánica experimental por su excelente precisión. Figura 5-3 Fotografías antes y después de ser procesadas. - 99 - En la Figura 5-4 se observa lo que aparece al correr el programa por medio de Matlab. Figura 5-4 Menú inicial del software Ncorr. En este menú inicial nos encontramos con diversas opciones, las cuales se encontrarán desactivadas debido a que no se ha subido ninguna imagen para analizar. A continuación, se detallarán todos los pasos a seguir en el orden adecuado para el correcto análisis de las imágenes. 5.2.1 Ingresar imágenes Primero se debe acceder al menú principal como se señala en la Figura 5-5 y seleccionar la opción File y luego Load Reference Image Figura 5-5 Pasos para cargar la imagen de referencia. Accediendo a lo indicado por la Figura 5-5 se debe cargar la primera imagen tomada que servirá como imagen de referencia. Debe verse un recuadro parecido al expuesto en la Figura 5-6. Software 100 100 Figura 5-6 Imagen de referencia para el software Ncorr. Luego se procede a descargar el resto de las imágenes como se observa en la Figura 5-7 incluida la imagen de referencia, accediendo al menú File → Load Current Image(s) → Load All (memory heavy). Una vez terminado este paso se debe observar un recuadro parecido al expuesto en la Figura 5-8. Figura 5-7 Pasos para cargar el resto de las imágenes. - 101 - Figura 5-8 Imágenes cargadas, se observa la primera y última foto tomada. Una vez realizado este paso se procede a seguir la siguiente ruta: Region of Interest → Set Reference ROI → Seleccionar “Draw ROI” → Dibujar zona de estudio (Figura 5-9). Figura 5-9 Pasos para seleccionar “ROI”. Aparecerá un cuadro como el que aparece en la Figura 5-10 que permitirá seleccionar diversas opciones de dibujo entre las cuales se encuentra: Rectángulo, Elipse y Polilínea. Para una mejor precisión se escogerá el rectángulo en una zona donde los patrones de moteado sean caramente diferenciables y para este estudio se ubicó este rectángulo en la zona central de la cinta. Una vez conformes con la zona a estudiar se seleccionará “Finish.” Software 102 102 Figura 5-10 Zona elegida para el estudio de las imágenes. Se realizará a continuación el análisis correspondiente siguiendo la siguiente ruta: Analysis → Set DIC Parameters como se muestra en la Figura 5-11. Figura 5-11 Pasos para acceder a los parámetros para el análisis DIC. Al acceder a los “Set DIC Parameters” se escogerá un radio para el análisis de 18 y un espacio de 5, los otros valores se dejarán por los que aparezcan preestablecidos y se dará a “Finish” como se muestra en la Figura 5-12. Estos datos ofrecen una mejor aproximación al subgrupo. - 103 - Figura 5-12 Parámetros a elegir para el análisis DIC. Con la información colocada en el paso anterior se procederá a seguir realizando el análisis, se observa en la Figura 5-13 que en el menú “Analysis” ya se puede acceder a la siguiente opción que previamente se encontraba bloqueada. Figura 5-13 Pasos para acceder al análisis DIC. A continuación, se solicita que se establezca una región a analizar como se observa en la Figura 5-14 y luego puntos clave que serán los puntos en los que se determinará todo el análisis DIC. Como se observa en esta serie de pasos para lograr el análisis DIC es necesario que la zona a estudiar sea lo más específica y resumida posible con el objetivo de mejorar la carga computacional que conllevan estos cálculos. Software 104 104 Figura 5-14 Selección de zona de análisis. Por conveniencia los puntos solicitados se colocan próximos al medio de la imagen. Terminado este paso se procede a realizar el análisis relacionado a los desplazamientos y para ello es necesario realizar un paso fundamental para obtener datos precisos. Se introducirá la longitud real de la cinta para que el software Ncorr pueda realizar los cálculos correctos. La ruta para acceder a este análisis es Analysis → Format Displacements Esta ruta se aprecia en la Figura 5-15. Figura 5-15 Pasos para acceder al menú “Format Displacements”. - 105 - Aparece automáticamente una ventana como la de la Figura 5-16 la cual esta creada para encontrar una relación entre los pixeles y el ancho de la cinta estudiada. Para realizar esta calibración la forma más sencilla se establece cuando se selecciona la opción “Load Calibration Image” que es la imagen de referencia previamente utilizada para este estudio. Una vez subida esta imagen se debe indicar en milímetros el ancho de la cinta el cual aparece en este capítulo específicamente en la Figura 5-2. Al poner el ancho en la casilla # of Units, se dibujará la línea pulsando la opción “Set Line”. De esta manera se determina la relación entre milímetros por píxel, siendo esta 0.25316. Finalmente, el software ofrece una vista previa de cómo se vería la muestra con la relación obtenida, tal y como se observa en la Figura 5-17. Figura 5-16 Relación de milímetros por píxel. Software 112 112 20 -0.087 -0.1376 -0.1981 21 -0.1211 -0.167 -0.2159 22 -0.0456 -0.0985 -0.1722 23 -0.0786 -0.1325 -0.2014 24 -0.1323 -0.1872 -0.2567 25 -0.1579 -0.2043 -0.2679 26 -0.0886 -0.1593 -0.245 27 0.0358 -0.0549 -0.1645 28 -0.1066 -0.1705 -0.257 29 -0.1177 -0.1849 -0.2506 30 -0.227 -0.2678 -0.3127 31 -0.0914 -0.1915 -0.2835 32 -0.2332 -0.3003 -0.3781 33 -0.1078 -0.1993 -0.2911 34 -0.0078 -0.1213 -0.2444 35 -0.1098 -0.2063 -0.3017 36 -0.1568 -0.2297 -0.3115 37 -0.0886 -0.1894 -0.283 38 -0.1653 -0.2419 -0.3271 39 -0.061 -0.1672 -0.2693 40 -0.0882 -0.1884 -0.287 41 0.0706 -0.0604 -0.2017 42 0.2157 0.0444 -0.1209 43 -0.0438 -0.1534 -0.2607 Tabla 1 Desplazamientos totales en milímetros del eje X. Comentario global sobre desplazamientos en X: Se puede observar en esta tabla resumen que la cinta ha sufrido cambios acortándose a medida que se iban aumentando las cargas. Al experimentar en la foto 2 solo 14 gramos de carga realmente no sufren cambio considerable por no cambiar su estructura drásticamente por solo tener 2 bolitas de peso, a medida que se ha ido incrementando el peso los valores mínimos y máximos han variado negativamente lo que significa que la cinta se ha ido acortando en el eje analizado. Cabe resaltar que la media no es la semisuma de valor máximo y mínimo en cada carga sino el promedio total establecido en toda su longitud. 5.3.2 Desplazamientos en Y Se espera que los resultados encontrados en los desplazamientos en Y sean mucho más representativos que los desplazamientos en X debido a que se han colocado cargas progresivas de forma vertical. Los resultados encontrados para las Fotos 2 (Figura 5-27), 15 (Figura 5-28), 29 (Figura 5-29) y 43 (Figura 5-30) son respectivamente. - 113 - Figura 5-27 Desplazamiento en Y imagen Nº2. Figura 5-28 Desplazamiento en Y imagen Nº15. Software 114 114 Figura 5-29 Desplazamiento en Y imagen Nº29. Figura 5-30 Desplazamiento en Y imagen Nº43. - 115 - Se muestra en la Tabla 2 el resultado total de las 43 bolitas de acero usadas y resaltado en verde los resultados vistos en las Figuras 5-27, 5-28, 5-29 y 5-30. N.º Foto-Y Max-Y Media-Y Min-Y 1 0 0 0 2 0.0063 -0.0039 -0.0153 3 0.0433 0.0249 0.0031 4 0.0667 0.0327 0.0246 5 0.101 0.0632 0.048 6 0.1571 0.1022 0.0798 7 0.2445 0.1625 0.128 8 0.3628 0.252 0.1935 9 0.5391 0.3758 0.2931 10 0.6972 0.4945 0.3762 11 0.8771 0.6334 0.4834 12 1.0702 0.7789 0.588 13 1.2565 0.9112 0.6815 14 1.4772 1.0612 0.7853 15 1.8152 1.3083 0.9722 16 2.1082 1.523 1.1241 17 2.3905 1.7428 1.2837 18 2.6609 1.9262 1.4133 19 2.9045 2.1226 1.5505 20 3.1702 2.3367 1.709 21 3.4857 2.5559 1.8614 22 3.7368 2.7662 2.0241 23 4.0273 3.0027 2.1785 24 4.3343 3.2377 2.3527 25 4.6367 3.4712 2.519 26 4.9585 3.7112 2.6682 27 5.1898 3.9006 2.8146 28 5.5881 4.1906 3.0202 29 5.8873 4.4285 3.1759 30 6.278 4.7305 3.396 31 6.6444 5.0002 3.5869 32 6.9985 5.2761 3.7728 33 7.2893 5.5175 3.9327 34 7.5657 5.7217 4.094 35 7.9675 6.0199 4.2967 36 8.3986 6.3636 4.5328 37 8.7471 6.6131 4.7074 38 9.1192 6.9256 4.928 39 9.5417 7.2271 5.1367 40 9.9124 7.5374 5.3342 41 10.2492 7.7735 5.5183 42 10.4793 7.976 5.6196 43 11.1297 8.4932 6.0191 Tabla 2 Desplazamientos totales en milímetros del eje Y. Software 116 116 Comentario global sobre desplazamientos en Y: Estos desplazamientos crecen progresivamente a medida que van aumentando la cantidad de bolitas respecto al peso asignado. Los pesos acumulados correspondientes a la toma de las bolitas 2, 15, 29 y 43 son: • Bolita Nº2. → 14 gramos. • Bolita Nº15 → 105 gramos. • Bolita Nº29 → 203 gramos. • Bolita Nº43 → 301 gramos. Esta cinta aumenta hasta 11 milímetros respecto a su longitud original, demostrando así que el método funciona correctamente. 5.3.3 Deformaciones Exx Para resumir los resultados de las deformaciones en esta dirección se tomarán las fotografías 2 (Figura 5-31), 15 (Figura 5-32),29 (Figura 5-33) y 43 (Figura 5-34) como en los desplazamientos para continuar bajo la misma línea de análisis. Es preciso señalar que los resultados completos se encuentran en los Anejos 7.2 y 7.3 Figura 5-31 Deformación en Exx imagen Nº2. - 117 - Figura 5-32 Deformación en Exx imagen Nº15. Figura 5-33 Deformación en Exx imagen Nº29. Software 118 118 Figura 5-34 Deformación en Exx imagen Nº43. A continuación, se mostrarán en la Tabla 3 el resultado total de las 43 bolitas de acero usadas y resaltado en verde los resultados vistos en las Figuras 5-31, 5-32, 5-33 y 5-34 para la deformación en el eje Exx. N.º Foto-Exx Max-Exx Media-Exx Min-Exx 1 0 0 0 2 0.0007 0.0003 -0.0005 3 0.0011 0.0009 0.0006 4 -0.0008 -0.0012 -0.0014 5 -0.0014 -0.0016 -0.002 6 -0.0008 -0.001 -0.0016 7 -0.0015 -0.0018 -0.0022 8 -0.0014 -0.0016 -0.0019 9 -0.0013 -0.0023 -0.0033 10 -0.002 -0.0022 -0.0027 11 -0.0011 -0.0015 -0.0018 12 -0.0011 -0.0019 -0.0028 13 -0.0004 -0.0009 -0.0015 14 0.0007 -0.0001 -0.0012 15 -0.0003 -0.0006 -0.0016 16 -0.0009 -0.0013 -0.0017 17 -0.0012 -0.0014 -0.0016 18 -0.0011 -0.0012 -0.0017 19 0.0003 -0.0006 -0.0016 20 0.0005 -0.0001 -0.0008 - 119 - 21 0.0009 0.0001 -0.0009 22 0.0011 0.0002 -0.0011 23 0.0008 0.0001 -0.0009 24 0.0006 -0.0002 -0.0011 25 0.001 0 -0.001 26 0.0012 0.0002 -0.0009 27 0.0005 -0.0002 -0.0009 28 0.0017 0.0005 -0.0006 29 0.0014 0.0005 -0.0005 30 0.0003 0 -0.0002 31 0.0016 0.0006 -0.0007 32 0.0009 0.0001 -0.0008 33 0.0015 0.0009 0.0001 34 0.0012 0.0005 -0.0002 35 0.0019 0.0007 -0.0007 36 0.0019 0.0008 -0.0002 37 0.0021 0.0011 0 38 0.002 0.0013 0.0006 39 0.0023 0.0012 -0.0003 40 0.0026 0.0015 0.0002 41 0.0027 0.0016 0.0008 42 0.0032 0.0019 0.0006 43 0.0026 0.0017 0.0007 Tabla 3 Deformaciones totales en Exx. Comentario global sobre deformaciones en Exx: En este estudio de deformaciones en Exx se observa que existe, aunque de forma muy pequeña un crecimiento en los valores respecto al peso introducido, mientras se experimentaba más peso las deformaciones en dirección X aumentaban, al principio en las primeras 10 imágenes la media posee valores negativos indicando una tendencia a la compresión, luego estos valores van incrementando en la dirección X. Debido a que este material solo se está sometiendo a peso vertical, las variaciones en estos resultados son mínimas. 5.3.4 Deformaciones Exy Para resumir los resultados de las deformaciones en esta dirección se tomarán las fotografías 2 (Figura 5-35), 15 (Figura 5-36),29 (Figura 5-37) y 43 (Figura 5-38) como en los desplazamientos para continuar bajo la misma línea de análisis. Es preciso señalar que los resultados completos se encuentran en los Anejos 7.2 y 7.3 Software 120 120 Figura 5-35 Deformación en Exy imagen Nº2. Figura 5-36 Deformación en Exy imagen Nº15. - 121 - Figura 5-37 Deformación en Exy imagen Nº29. Figura 5-38 Deformación en Exy imagen Nº43. Se muestra en la Tabla 4 el resultado total de las 43 bolitas de acero usadas y resaltado en verde los resultados vistos en las Figuras 5-35, 5-36, 5-37 y 5-38 para la deformación en el eje Exy. Software 128 128 Con esta información es posible ahora calcular la tensión de Cauchy ya que simplemente multiplicar el ultimo resultado por el factor de alargamiento λ. Calcular la Tensión de Cauchy, es decir, multiplicarla por Stretch cauchy_stress = nom_stress. *stretch 5.4.4 Definición de Modelos Constitutivos Debido a que para la realización de este trabajo se utilizó una cinta que tiene la propiedad de estirarse y volver a su posición, es decir, se han podido usar materiales compuestos de elastómeros como la Lycra o mezclas de poliéster y caucho. Estos materiales tienen la particularidad de poseer un comportamiento hiperelástico y normalmente suelen modelarse por medio de funciones de energía de deformación la cual permiten calcular la no linealidad que las caracteriza. Por lo tanto, se establecen cuatro posibles modelos constitutivos y se debe escoger el que mejor se aproxime al material usado. A continuación, se procede a describir cada uno de estos. • Modelo Neo-Hookeano: A este modelo se le considera como el más simple en cuanto a su hiperelasticidad. Es usado para bajas deformaciones. Su función de energía de deformación es: 𝑊=𝐶1 2(𝐼1−3) Donde: W: Hace referencia a la energía de deformación por unidad de volumen. 𝐶1: Es un parámetro que tiene relación con el módulo de elasticidad. 𝐼1=𝜆12+𝜆22+𝜆32 hace referencia al primer invariante de los estiramientos principales 𝜆𝑖 Este modelo se puede asociar a un pequeño parche de elastómero en una prenda deportiva cuyo estiramiento es moderado. • Modelo Mooney-Rivlin: Este modelo es una continuación o mejor dicho una extensión del modelo anterior, este modelo posee dos términos, logrando una mejora considerable de precisión en deformaciones moderadas. Su función de energía de deformación es: 𝑊=𝐶10(𝐼1−3)+𝐶01(𝐼2−3) Donde: W: Hace referencia a la energía de deformación por unidad de volumen. 𝐶10 y 𝐶01: Son ambos parámetros materiales. 𝐼2=𝜆12𝜆22+𝜆22𝜆32+𝜆32𝜆12 hace referencia al segundo invariante. Este modelo se puede asociar a una banda elástica en la cintura de un pantalón deportivo. Este material es el que se utiliza para el desarrollo de la parte experimental de este trabajo. Por ello al momento de ejecutar el código de Matlab se procede a usar el Modelo Mooney-Ryvlin. • Modelo Yeoh A medida que aumentan los parámetros materiales la función de energía se vuelve más compleja logrando en este caso ser polinómica. Debido a que esta ecuación toma en consideración a términos de - 129 - orden superior del invariante permite al aumentar su grado de complejidad mejorar los resultados presentados. Esta ecuación es: 𝑊=𝐶1(𝐼1−3)+𝐶2(𝐼1−3)2+𝐶3(𝐼1−3)3 Donde: W: Hace referencia a la energía de deformación por unidad de volumen. 𝐶1,𝐶2 𝑦 𝐶3: Son los tres parámetros materiales. Un ejemplo claro que muestra el material usado para este modelo es una banda elástica de un sujetador deportivo que debe estirarse considerablemente sin perder elasticidad durante el uso. Se estima que las deformaciones para el uso de este modelo deben ser muy grandes superando el 100%. • Modelo Ogden Para representar este modelo es necesario usar una formulación cuya base se fundamenta en potencias de estiramientos principales. Su función de energía de deformación es: 𝑊=∑𝜇𝑃 𝛼𝑃( 𝑁 𝑃=1 𝜆1𝛼𝑝+𝜆2𝛼𝑝+𝜆3𝛼𝑝−3) Donde: W: Hace referencia a la energía de deformación por unidad de volumen. 𝜇𝑃 y 𝛼𝑃 hacen referencia a los parámetros materiales. Un ejemplo representativo se encuentra relacionado con una cinta elástica en pantalones de compresión que se encuentra diseñada para soportar altas deformaciones sin perder capacidad de recuperación. Por lo tanto, el código de Matlab donde se especifican los modelos hiperelásticos a utilizar en la optimización es: %% Modelos constitutivos a escoger (materiales son tratados como incompresibles) % 1 Parameter model {1} = 'NeoHooke'; % 2 Parameter model {2} = 'MooneyRivlin'; % 3 Parameter model {3} = 'Yeoh'; % 4 Parameter model {4} = 'Ogden'; Software 130 130 5.4.5 Valores Iniciales y Límites para los Parámetros de los modelos Los valores iniciales y los limites se encuentran en el código de Matlab de la siguiente manera: %% Suposiciones iniciales para cada modelo x0{1,:} = {1}; xl{1,:} = {0}; xu{1,:} = {1e6}; x0{2,:} = {1,1}; xl{2,:} = {0.01,0}; xu{2,:} = {1e6,1e6}; x0{3,:} = {1,1,1}; xl{3,:} = {0,0,0}; xu{3,:} = {1e6,1e6,1e6}; x0{4,:} = {10,10,10,10}; xl{4,:} = {0,0,0,0}; xu{4,:} = {1e6,1e6,1e6,1e6}; Donde finalmente se escogerá el modelo MooneyRivlin por el material usado. % Escoger modelo n = 2; %n=1 NeoHooke, n=2 MooneyRivlin, n=3 Yeoh, n=4 Ogden 5.5 Gráfica de datos experimentales, Optimización de Parámetros y Visualización de Resultados 5.5.1 Gráfica de datos experimentales Se presenta en la Figura 5-43 el resultado de los datos recopilados experimentalmente. Se puede observar en la siguiente figura el Alargamiento (eje x) respecto a la Tensión experimentada. - 131 - Figura 5-43 Factor de Alargamiento vs Tensión en Mpa. En la Figura 5-43 se observa claramente como la cinta escogida para este trabajo al principio experimenta una baja tensión modificando muy poco el factor de alargamiento. A medida que se van aumentando los pesos la tensión y el factor de alargamiento logran ser más constantes y en la parte final se observa un alargamiento más notorio mostrando los círculos más separados. La última medición se observa en la Figura 5-44. Software 132 132 Figura 5-44 Factor de Alargamiento vs Tensión en Mpa, última medición. 5.5.2 Optimización de Parámetros Este paso es de suma importancia porque por primera vez se cruzará información respecto a los datos experimentales y al modelo teórico. Para ello se procede a usar la función Isqnonlin la cual minimiza la diferencia entre los datos experimentales y el modelo teórico. También se define la función objetivo fhandle, la cual evalúa el error entre el modelo y los datos. El código usado para este fin es el siguiente. %% Identificación de Parámetros % Set Algorithm Parameters options = optimoptions(@lsqnonlin,'PlotFcn',@optimplotresnorm,'Display','iterdetailed','OptimalityTolerance',1e-10,'FunctionTolerance',1e10,'MaxIterations',2000,'MaxFunctionEvaluations',2000,'OptimalityTolerance',1e-8); % Definición de la Función Objetivo fhandle = @(x)objective(x, model{n},stretch,cauchy_stress); % Llamado a la Función Objetivo [x, resnom(n)] = lsqnonlin(fhandle,cell2mat(x0{n,1}),cell2mat(xl{n,1}),cell2mat(xu{n,1}),options); - 133 - Una vez ejecutado este código logramos que aparezca en la Figura 5-45. La información recogida en la “Command Window” se observa en la Tabla 6. Figura 5-45 Iteraciones vs Numero de Residuales. Tabla 6 Resultados de la ejecución de la Optimización de Parámetros. Software 134 134 En este punto es preciso señalar el significado de cada columna con el fin de realizar un análisis más completo. • Iteration: Es el número de iteraciones durante toda la optimización. • Funccount: Es la cantidad de evaluaciones de la función objetivo hasta ese punto. • f(x): Este es el valor de la función objetivo (residuo) en cada iteración. • Norm of Step: Hace referencia al tamaño del paso en cada iteración. • Firstorder optimality: Indica que tan cerca o lejos se puede estar de una solución óptima. Lo ideal es que se acerque a cero. 5.5.3 Visualización de los resultados En las Figuras 5-46 y 5-47 se mostrarán dos gráficas relacionadas al ajuste de los datos experimentales en relación con el alargamiento. Se optó por utilizar el modelo Mooney-Rivlin por la afinidad que posee respecto al material utilizado para la recopilación de datos experimentales. Este modelo es usado mayormente para describir el comportamiento de materiales hiperelásticos, como caucho, tejidos biológicos, etc. Figura 5-46 Alargamiento vs Tensión de Cauchy en Mpa. En la Figura 5-46 se observa una serie de círculos y una línea roja, donde los círculos representa a las 43 fotografías tomadas de las 43 bolitas de acero cuya ejecución ayudaron a la obtención de los datos experimentales. La línea roja hace referencia a la curva ajustada utilizando el modelo Mooney-Rivlin. El eje “X” - 135 - llamado “Alargamiento” representa este factor de estiramiento que representa la división entre la longitud final y la inicial sufriendo el material a estudiar un aumento del 30% respecto a la cinta original sin experimentar ningún tipo de peso. El eje “Y” por su parte representa la Tensión de Cauchy que muestra la tensión verdadera aplicada al material. Esta tensión representa la fuerza por unidad de área actual del material deformado. Esto quiere decir que muestra la tensión real en cada instante de la deformación siendo resultados más reales, pero más complejos dado que el área camba con la deformación experimentada. Figura 5-47 Alargamiento vs Tensión Nominal en Mpa. En la Figura 5-47 se observa una serie de círculos y una línea roja, donde los círculos representa a las 43 fotografías tomadas de las 43 bolitas de acero cuya ejecución ayudaron a la obtención de los datos experimentales. La línea roja hace referencia a la curva ajustada utilizando el modelo Mooney-Rivlin. El eje “X” llamado “Alargamiento” representa lo mismo que en la Figura 5-46. El eje “Y” por su parte representa la Tensión Nominal representa la fuerza por unidad de área original antes de la deformación. Esta tensión resulta más sencilla de calcular debido a que no considera los cambios en el área y describe el comportamiento del material antes de fallar. Software 136 136 5.5.4 Comentarios sobre los resultados obtenidos Se observa en la Figura 5-44 que la cinta elástica experimentó una tensión de 0.657205 Mpa y un alargamiento de 1.3 que equivale el 130% de la forma inicial del material. Se observa en la Figura 5-45 que han ocurrido 9 iteraciones del modelo para poder llegar a un resultado de 0.0453448 Mpa2 donde a partir de la tercera iteración el valor es cercano a cero. Esta figura cobra mayor sentido una vez que se analice los mismos resultados, pero expuestos en la ventana de comando de Matlab. Se observa en la Tabla 6 que el valor de f(x) disminuye progresivamente, donde inicialmente es 81.6954 Mpa2 y culmina en 0.0453448 Mpa2 quiere decir que el modelo se ajusta notablemente a los datos. También, se observa en la misma tabla que el tamaño del paso Norm of step se reduce dado que va desde 0.627784 terminando en 0.00111857 indicando que la optimización converge de manera estable. Finalmente, dado que el ultimo valor en la columna First-order optimality de la Tabla 6 es 1.096350e-09 que resulta menor del rango de tolerancia 1e-08 significa que el algoritmo ha encontrado una solución óptima dentro de la tolerancia establecida. Se observa en la Figura 5-46 que el modelo Mooney-Rivlin ha logrado un muy buen ajuste a los datos experimentales, y esto debido a que la línea roja sigue muy bien a los círculos negros. Se observa en la Figura 5-47 que la tendencia del ajuste basada en términos de la tensión nominal sigue siendo muy buena logrando una buena concordancia con los datos experimentales. Pero en este caso la diferencia entre los puntos y la curva es un poco más visible si la comparamos con la Tensión de Cauchy para grandes deformaciones porque esta última considera la reducción del material. - 137 - 6 CONCLUSIONES Los resultados obtenidos verifican que el diseño de la máquina ha sido capaz de realizar ensayos de tracción con mucha precisión, logrando así medir no solo desplazamientos sino también deformaciones de manera efectiva. Gracias a la inclusión de la impresión 3D y los materiales de bajo coste ha permitido disminuir con mucha notoriedad los costos sin bajar la calidad y efectividad de la máquina. Esta máquina puede desarrollarse en laboratorios con pocos recursos, mejorando la accesibilidad a la experimentación en ingeniería. El software libre Ncorr cobró mucha notoriedad ya que permitió obtener valores de desplazamiento y deformación con muy alta precisión, claramente se observan estos resultados por la progresión uniforme de los datos en las figuras mostradas de alargamiento y tensión. Se verificó que los patrones de moteado bien manipulados se convierten en parte fundamental para la mejora de la calidad de las mediciones y permite también minimizar errores en la correlación de imágenes. Los datos experimentales revelaron un comportamiento no lineal en la curva esfuerzo deformación del material analizado, el cual se reflejó en la tensión de Cauchy lograda. Se pudo ver que a medida que la carga aumentaba, el alargamiento del material resultaba más pronunciado, evidenciando un comportamiento hiperelástico. El modelo Mooney-Rivlin claramente es el adecuado debido a que los parámetros obtenidos con MATLAB evidenciaron un excelente ajuste a este. Reafirmando que el modelo Mooney-Ravlin es el adecuado para describir el comportamiento del material. Otro factor que indica la coherencia de este modelo con los datos experimentales es la poca cantidad de iteraciones (9) que ha necesitado para poder realizar la convergencia. Se pudo comprobar que la tensión nominal no resulta tan fina respecto a los valores reales cuando la deformación es grande. Por el contrario, la tensión de Cauchy, que considera el área deformada en cada instante, brinda una evaluación mucho más certera del esfuerzo interno en el material. Por ello, se debe utilizar medidas correctas al analizar el comportamiento mecánico de estructuras deformables. El uso del algoritmo de optimización Isqnonlin dio como resultado parámetros con errores mínimos, permitiendo disminuir el residuo de la función objetivo desde 81.69 Mpa2 hasta 0.045 Mpa2. La baja tolerancia acompañada de la estabilidad de la convergencia ha reafirmado la efectividad del procedimiento en la identificación de parámetros óptimos para la modelización del material escogido. Finalmente, esta máquina tiene la completa capacidad para implementarse en laboratorios de enseñanza ofreciendo a los estudiantes la oportunidad de realizar ensayos de tracción con herramientas modernas y de fácil aplicación. También, es importante resaltar el bajo costo de la elaboración de la maquinita lo que la convierte en una herramienta ideal en centros educativos con recursos limitados, siendo una idea promotora en la equidad en la educación en ingeniería. ANEJOS 144 144 7.3 Resultados Completos Ncorr-Deformaciones Deformaciones Exx Deformaciones Exy Deformaciones Eyy N.º Foto-Exx Max-Exx Media-Exx Min-Exx N.º Foto-Exy Max-Exy Media-Exy Min-Exy N.º Foto-Eyy Max-Eyy Media-Eyy Min-Eyy 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0.0007 0.0003 -0.0005 2 0.0014 0.0012 0.001 2 0.0003 0 -0.0006 3 0.0011 0.0009 0.0006 3 0.0019 0.0014 0.001 3 0.0022 0.0014 0.0007 4 -0.0008 -0.0012 -0.0014 4 0.0005 0 -0.0004 4 0.0035 0.0018 0.0002 5 -0.0014 -0.0016 -0.002 5 0.0005 -0.0001 -0.0006 5 0.0044 0.0026 0.0008 6 -0.0008 -0.001 -0.0016 6 0.0007 0.0003 -0.0001 6 0.0057 0.0038 0.0017 7 -0.0015 -0.0018 -0.0022 7 0.0007 0.0004 0 7 0.0097 0.0062 0.0027 8 -0.0014 -0.0016 -0.0019 8 0.0008 0.0004 0 8 0.0131 0.0092 0.0051 9 -0.0013 -0.0023 -0.0033 9 0.0007 0.0002 -0.0003 9 0.0192 0.0138 0.0093 10 -0.002 -0.0022 -0.0027 10 0.0013 0.001 0.0006 10 0.0226 0.0177 0.0129 11 -0.0011 -0.0015 -0.0018 11 0.0008 0.0004 -0.0001 11 0.0289 0.0232 0.0181 12 -0.0011 -0.0019 -0.0028 12 0.0015 0.001 0.0005 12 0.0351 0.029 0.0235 13 -0.0004 -0.0009 -0.0015 13 0.0019 0.0013 0.0004 13 0.0414 0.0343 0.0284 14 0.0007 -0.0001 -0.0012 14 0.003 0.002 0.0012 14 0.0499 0.0409 0.0334 15 -0.0003 -0.0006 -0.0016 15 0.0023 0.0011 -0.0002 15 0.0605 0.05 0.0411 16 -0.0009 -0.0013 -0.0017 16 0.0015 0.0003 -0.001 16 0.0703 0.0592 0.0504 17 -0.0012 -0.0014 -0.0016 17 0.001 0 -0.0011 17 0.0797 0.0675 0.0577 18 -0.0011 -0.0012 -0.0017 18 0.0024 0.001 -0.0001 18 0.0898 0.0759 0.0649 19 0.0003 -0.0006 -0.0016 19 0.0027 0.0014 0.0001 19 0.0973 0.0834 0.072 20 0.0005 -0.0001 -0.0008 20 0.0027 0.0015 0.0005 20 0.1048 0.0915 0.0804 21 0.0009 0.0001 -0.0009 21 0.0029 0.0018 0.0006 21 0.1157 0.1016 0.0895 22 0.0011 0.0002 -0.0011 22 0.0039 0.0029 0.0016 22 0.1232 0.1087 0.0951 23 0.0008 0.0001 -0.0009 23 0.0031 0.0022 0.0012 23 0.1327 0.1194 0.1074 24 0.0006 -0.0002 -0.0011 24 0.0032 0.0021 0.001 24 0.1428 0.1288 0.116 25 0.001 0 -0.001 25 0.0033 0.0023 0.0011 25 0.1535 0.1388 0.1253 - 145 - 26 0.0012 0.0002 -0.0009 26 0.0048 0.0034 0.0019 26 0.1639 0.1496 0.1366 27 0.0005 -0.0002 -0.0009 27 0.0049 0.0039 0.0027 27 0.1715 0.1569 0.1433 28 0.0017 0.0005 -0.0006 28 0.0045 0.0033 0.0022 28 0.1854 0.17 0.1557 29 0.0014 0.0005 -0.0005 29 0.0039 0.0028 0.0016 29 0.1961 0.1807 0.1665 30 0.0003 0 -0.0002 30 0.0037 0.0023 0.0008 30 0.2086 0.1937 0.1794 31 0.0016 0.0006 -0.0007 31 0.0054 0.0041 0.0026 31 0.2207 0.2056 0.1906 32 0.0009 0.0001 -0.0008 32 0.0051 0.0036 0.002 32 0.233 0.218 0.2038 33 0.0015 0.0009 0.0001 33 0.0056 0.0039 0.0022 33 0.2427 0.2285 0.2147 34 0.0012 0.0005 -0.0002 34 0.0071 0.0058 0.0042 34 0.2523 0.2375 0.2222 35 0.0019 0.0007 -0.0007 35 0.0065 0.005 0.0033 35 0.267 0.252 0.237 36 0.0019 0.0008 -0.0002 36 0.0059 0.0049 0.0038 36 0.281 0.2677 0.2536 37 0.0021 0.0011 0 37 0.0071 0.0056 0.0039 37 0.2931 0.2792 0.2646 38 0.002 0.0013 0.0006 38 0.0068 0.0056 0.0039 38 0.3063 0.2934 0.2789 39 0.0023 0.0012 -0.0003 39 0.0084 0.0067 0.0045 39 0.3208 0.3073 0.2927 40 0.0026 0.0015 0.0002 40 0.0072 0.0055 0.0031 40 0.3341 0.322 0.308 41 0.0027 0.0016 0.0008 41 0.0093 0.008 0.0063 41 0.348 0.3339 0.3185 42 0.0032 0.0019 0.0006 42 0.0103 0.008 0.0052 42 0.3567 0.3436 0.3292 43 0.0026 0.0017 0.0007 43 0.0095 0.0082 0.0061 43 0.3767 0.3656 0.3518 146 7.4 Código Completo de la Optimización con Matlab % TFM-CARLO CRISANTO clear all; close all; clc %% Dimensiones de referencia de la cinta ref_width = 12; % mm ref_thickness = 0.5; % mm %% Carga de datos experimentales force = [0:1:42]*7; %Convierte las bolas de acero en gramos strain=[0.0000, 0.0000, 0.0014, 0.0018,... 0.0026, 0.0038, 0.0062, 0.0092,... 0.0138, 0.0177, 0.0232, 0.0290,... 0.0343, 0.0409, 0.0500, 0.0592,... 0.0675, 0.0759, 0.0834, 0.0915,... 0.1016, 0.1087, 0.1194, 0.1288,... 0.1388, 0.1496, 0.1569, 0.1700,... 0.1807, 0.1937, 0.2056, 0.2180,... 0.2285, 0.2375, 0.2520, 0.2677,... 0.2792, 0.2934, 0.3073, 0.3220,... 0.3339, 0.3436, 0.3656]; stretch = sqrt(2.*strain+1); %Usando la definición de Tensión de Green Lagrange %% Conversión de la Fuerza en la Tensión de Cauchy % Primero: Convierte Gramos en Newtons force = force/98.1; % Segundo: Calculo de la Tensión Nominal, es decir dividirlo entre el área de % referencia. nom_stress = force/(ref_thickness*ref_width); % Tercero: Calcular la Tensión de Cauchy, es decir, multiplicarla por Stretch cauchy_stress = nom_stress.*stretch; %% Modelos constitutivos a escoger (materiales son tratados como incompresibles) % 1 Parameter model{1} = 'NeoHooke'; % 2 Parameter model{2} = 'MooneyRivlin'; % 3 Parameter model{3} = 'Yeoh'; % 4 Parameter model{4} = 'Ogden'; %% Suposiciones iniciales para cada modelo x0{1,:} = {1}; xl{1,:} = {0}; - 147 - xu{1,:} = {1e6}; x0{2,:} = {1,1}; xl{2,:} = {0.01,0}; xu{2,:} = {1e6,1e6}; x0{3,:} = {1,1,1}; xl{3,:} = {0,0,0}; xu{3,:} = {1e6,1e6,1e6}; x0{4,:} = {10,10,10,10}; xl{4,:} = {0,0,0,0}; xu{4,:} = {1e6,1e6,1e6,1e6}; %% Ploteo de Datos % Escoger modelo n = 2 ; %n=1 NeoHooke, n=2 MooneyRivlin, n=3 Yeoh, n=4 Ogden % Ploteo de datos sin procesar figure plot(stretch,cauchy_stress,'ko','MarkerSize',10); xlabel('Estiramiento (-)') ylabel('Tensión (MPa)') set(gca,'fontsize', 18) waitforbuttonpress close all %% Identificación de Parámetros % Set Algorithm Parameters options = optimoptions(@lsqnonlin,'PlotFcn',@optimplotresnorm,'Display','iterdetailed','OptimalityTolerance',1e-10,'FunctionTolerance',1e10,'MaxIterations',2000,'MaxFunctionEvaluations',2000,'OptimalityTolerance',1e-8); % Definición de la Función Objetivo fhandle = @(x)objective(x,model{n},stretch,cauchy_stress); % Llamado a la función Objetivo [x,resnom(n)] = lsqnonlin(fhandle,cell2mat(x0{n,1}),cell2mat(xl{n,1}),cell2mat(xu{n,1}),options); waitforbuttonpress close all %Resultados figure plot(stretch,cauchy_stress,'ko','MarkerSize',10); hold on; stretch_fit = linspace(1,max(stretch),100); stress_fit = evaluation(x,model{n},stretch_fit); plot(stretch_fit,stress_fit,'r-','LineWidth',3) title([model{n},', Norm:',num2str(resnom(n))]) xlabel('Alargamiento (-)') ylabel('Tensión de Cauchy (MPa)') set(gca,'fontsize', 18) print -depsc Figure1_CauchyStress.eps waitforbuttonpress ANEJOS 148 148 close all figure plot(stretch,nom_stress,'ko','MarkerSize',10); hold on; stretch_fit = linspace(1,max(stretch),100); stress_fit = evaluation(x,model{n},stretch_fit); plot(stretch_fit,stress_fit./stretch_fit,'r-','LineWidth',3) title([model{n},', Norm:',num2str(resnom(n))]) xlabel('Alargamiento (-)') ylabel('Tensión Nominal (MPa)') set(gca,'fontsize', 18) print -depsc Figure2_NominalStress.eps - 149 - 7.5 Costos totales