Nudos, número de cruce y suma conexa

NUDOS, NÚMERO DE CRUCE Y SUMA CONEXA Cristina Gómez Cirera NUDOS, NÚMERO DE CRUCE Y SUMA CONEXA Cristina Gómez Cirera Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Doble Grado en Física y Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Prof. Marithania Silvero Casanova Índice general Abstract 1 Resumen 2 1. Introducción 3 2. Teoría de nudos 6 2.1. Conceptosbásicos............................. 6 2.1.1. Tipos de diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2. Equivalencia de diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Superficie de Seifert y género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Sumaconexa................................ 21 2.4. ElpolinomiodeJones........................... 28 3. La Conjetura 36 4. Enlaces alternantes 39 4.1. Primera Conjetura de Tait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Prueba de la Conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5. Nudos tóricos 48 5.1. El grupo de trenzas Bn.......................... 48 5.2. Nudostóricos ............................... 55 5.3. Prueba de la Conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Bibliografía 61 Abstract Knot theory is the branch of Topology studying mathematical knots, which can be intuitively described as a piece of rope that we tie and afterwards we glue its endpoints together. Within this framework, this project focuses on a long-standing classical Conjecture stating that the crossing number is additive for the connected sum of knots. We introduce the concepts and ideas needed to understand the Conjecture, and present some specific related results. In particular, we prove the Conjecture for two families of knots: alternating knots and torus knots. In the process, concepts such as the Jones polynomial, Seifert surfaces, and braid groups are explored in depth. Resumen La Teoría de nudos es la rama de la Topología que aborda el estudio de los nudos matemáticos, que podemos pensar como una cuerda que atamos y cuyos extremos, posteriormente, pegamos entre sí. En este contexto, el presente trabajo se centra en una Conjetura clásica que sostiene que el número de cruce es aditivo para la suma conexa de nudos. Después de introducir los conceptos e ideas necesarios para comprender la Conjetura, presentaremos algunos resultados relacionados con ella. En particular, probaremos la Conjetura para dos familias de nudos: los nudos alternantes y los nudos tóricos. En el proceso profundizaremos en conceptos interesantes por sí mismos, como el polinomio de Jones, las superficies de Seifert y los grupos de trenzas. 1 Introducción No se puede desatar un nudo sin saber cómo está hecho. Aristóteles Los nudos han acompañado al ser humano a lo largo de la historia, ya sea como símbolos que guardan un mensaje, como figuras artísticas o como una forma de atar objetos. Sin embargo, el interés matemático por estudiar y clasificar los nudos se podría remontar al siglo XIX, cuando el físico matemático británico Lord Kelvin planteó un modelo atómico en el que los átomos eran entendidos como remolinos o vórtices en el éter, una sustancia que rellenaba el espacio. Según este modelo, estos vórtices seguían trayectorias anudadas, cuyas características explicarían las propiedades de los distintos elementos químicos. Pese a que esta teoría no fue acertada, impulsó a matemáticos como Peter G. Tait a la elaboración de las primeras tablas de clasificación de nudos, entendidos como cuerdas atadas cuyos extremos se unen posteriormente. El estudio matemático de los nudos adquirió carácter propio y dio lugar a una nueva rama de la Topología: la Teoría de nudos. Partiendo del modelo físico que visualiza un nudo como una cuerda atada cuyos extremos sueltos pegamos posteriormente, queremos que todas aquellas deformaciones de la cuerda que no supongan romperla o separar los extemos pegados sigan correspondiendo al mismo nudo matemático. Por tanto, dados dos nudos, diremos que son equivalentes cuando podamos transformar uno en el otro mediante estas transformaciones. Sin embargo, determinar cuándo dos nudos son equivalentes encontrando la forma de deformar un nudo en el otro no es, en general, tarea fácil. Existen, no obstante, ciertas aplicaciones que asignan a nudos equivalentes el mismo valor, de forma que, si asignan resultados distintos para dos nudos dados, concluiremos que no son nudos equivalentes. Estas aplicaciones reciben el nombre de invariantes (Definición 2.13), y aparecerán con frecuencia en este trabajo. 10 nudos, número de cruce y suma conexa Los diagramas reducibles no son minimales para el número de cruces del enlace que representan. Basta rotar la parte del nudo cuya proyección queda en el interior de la curva cerrada de la Definición 2.6, de forma que quede fija la parte correspondiente a la región exterior de la curva. Proyectando de nuevo en el plano, obtenemos un diagrama que representa al mismo nudo, pero con un cruce menos. A los cruces que podemos evitar de esta forma los denominaremos cruces reducibles. Figura 2.5: Diagrama reducible. Será de especial interés otro tipo de diagrama que tendrán algunos enlaces, como el de la Figura 2.6. Definición 2.7. Un diagrama de enlace se dice alternante si es posible encontrar un punto y una orientación en cada componente de manera que, al recorrerla a partir de ese punto y en dicha dirección, se intercale el paso por arcos inferiores y superiores en los cruces, hasta llegar al punto inicial. Figura 2.6: Diagrama alternante del nudo 935. Cabe destacar que no todos los nudos tendrán un diagrama alternante. Tal es el caso del nudo 819, que se observa en la Figura 2.7. Para este nudo, no existen diagramas alternantes que lo representen. Por tanto, tiene sentido la siguiente definición: Definición 2.8. Un nudo se dice alternante si existe un diagrama alternante que lo represente. Figura 2.7: Ejemplo de nudo no alternante: 819. 2. teoría de nudos 11 También es posbile definir nuevos diagramas a partir de otros dados, modificando alguna de sus características, como sucede en el siguiente concepto: Definición 2.9. Sea Dun diagrama representando el enlace L. Se define D∗como el diagrama resultante de cambiar, en todos los cruces, el orden de proximidad al foco de la proyección (es decir, intercambiar el arco superior y el arco inferior en cada cruce). Al enlace representado por D∗lo llamaremos imagen especular de L, y se denotará por L∗. En ocasiones, L∗será equivalente a Ly, por tanto, DyD∗serán dos diagramas del mismo enlace. En este caso, se dirá que Les un enlace aquiral. Un ejemplo de nudo aquiral es el nudo ocho, como veremos en el Ejemplo 2.10. De lo contrario, se dirá que es un enlace quiral. El nudo trébol es un enlace quiral, como demostraremos en el Ejemplo 2.35, cuando introduzcamos el polinomio de Jones. Ejemplo 2.10.El nudo 41, conocido como nudo ocho, es un nudo aquiral. Viene representado por el diagrama Den la Figura 2.8. Veamos que el diagrama D∗representa al mismo nudo. Figura 2.8: Ejemplo de nudo aquiral: 41. Para ello, elegimos el arco señalado en rojo en la Figura 2.9. Lo deformamos y variamos su posición, mediante transformaciones continuas compatibles con una isotopía ambiente en R3. Al rotar el diagrama y modificar los arcos, obtenemos el diagrama D∗. Por tanto, los diagramas DyD∗representan nudos equivalentes. Figura 2.9: Sucesión de transformaciones que prueba que el nudo 41es aquiral. Si disponemos de un enlace orientado, otra característica de sus diagramas que podemos modificar es la orientación: 12 nudos, número de cruce y suma conexa Definición 2.11. Dado un diagrama Dde un enlace orientado L, se define −Dcomo el diagrama obtenido al cambiar el sentido de las orientaciones de todas las componentes de D. Se denotará por −Lal enlace representado por −D. Por tanto, estos casos particulares muestran que es posible encontrar diagramas con propiedades distintas que, sin embargo, representen al mismo enlace. Profundizaremos en esta idea en el siguiente apartado. 2.1.2 Equivalencia de diagramas Si transformamos en R3un nudo mediante isotopía ambiente, elegimos un foco y tomamos proyecciones regulares, obtendremos distintos diagramas que representan al mismo nudo. Esto nos permite obtener infinitos diagramas asociados a un nudo, todos ellos equivalentes. Pero, dados dos diagramas, ¿cómo podemos saber si representan al mismo nudo y qué transformaciones llevan uno en el otro? En 1927, Kurt Reidemeister dio respuesta a esta pregunta introduciendo una serie de transformaciones en los diagramas, hoy conocidas como movimientos de Reidemeister. Debemos pensar en estas transformaciones como modificaciones que se aplican a un entorno seleccionado en un diagrama, de la forma en la que se muestra en la Figura 2.10, junto con la isotopía en el plano, dejando el resto del diagrama inalterado. El movimiento R1tiene dos posibilidades, según el tipo de lazo. Figura 2.10: Movimientos de Reidemeister. Teorema 2.12 (Teorema de Reidemeister, [14]).Dos diagramas son equivalentes si y solo si están relacionados por una sucesión finita de movimientos de Reidemeister. 2. teoría de nudos 13 En principio, esto resolvería el problema de determinar si dos enlaces son equivalentes, pues bastaría tomar un diagrama de cada uno de ellos y determinar si existe una sucesión finita de movimientos de Reidemeister que los relacione. Sin embargo, en la práctica no es sencillo asegurar la no existencia de esta sucesión pues, de existir, podría ser necesario un número elevado de estos movimientos para transformar un diagrama en otro. De hecho, en ocasiones, para ser capaces de pasar de un diagrama dado a otro con menor número de cruces mediante transformaciones de Reidemeister, es necesario primero incrementar el número de cruces y, posteriormente, reducirlo. Es en este contexto en el que aparecen los invariantes de enlaces, que son herramientas que nos permiten determinar que ciertos diagramas no son equivalentes. Definición 2.13. Un invariante de enlace es una aplicación del conjunto de enlaces a otro conjunto, cuyo valor depende de la clase de equivalencia del enlace. El conjunto imagen de la aplicación puede ser de diversa naturaleza, pues puede estar formado por números, polinomios, grupos... La utilidad de este concepto radica en que, dados dos enlaces L1, L2y un invariante f, si f(L1)=f(L2), entonces podemos concluir que L1no es equivalente a L2. No obstante, el recíproco no es cierto en general. Si se cumple que f(L1) = f(L2), no podemos determinar si L1yL2son equivalentes. En ese caso, podríamos probar a aplicar a L1yL2otros invariantes, con la intención de obtener valores diferentes para cada enlace, y poder concluir que no son equivalentes. La multiplicidad de un enlace, introducida en la Definición 2.2, es un invariante de enlace. Para probarlo, basta observar que la isotopía ambiente no altera el número de componentes de un enlace, por lo que si dos enlaces son equivalentes, necesariamente tendrán la misma multiplicidad. A la hora de definir un invariante, es frecuente tomar, para un enlace L, el menor valor que devuelve una determinada aplicación sobre el conjunto de todos los enlaces equivalentes a L. Además, puesto que trabajamos con diagramas, será útil definir invariantes de enlaces a partir de ellos, como es el caso de la siguiente definición: Definición 2.14. Dado un diagrama D, se define u(D)como el menor número de cambios en el orden de superposición de los arcos en los cruces que permiten obtener un diagrama equivalente al nudo trivial. El número de desanudamiento de un nudo K, denotado u(K), se define como: u(K) = min{u(D) : D diagrama de L}. Se trata de un invariante difícil de calcular pues, aunque fuésemos capaces de determinar su valor para un determinado diagrama, para poder afirmar que este es el 14 nudos, número de cruce y suma conexa número de desanudamiento, debemos demostrar que no existen diagramas que puedan transformarse en el nudo trivial utilizando un número menor de cambios. Algo similar sucede con el siguiente invariante, fundamental en este trabajo: el número de cruce. Definición 2.15. El número de cruce de un enlace L, denotado c(L), es el menor número de cruces tomado entre todos los diagramas que lo representan. Si denotamos c(D)al número de cruces de un diagrama D, tenemos: c(L) = min{c(D) : D diagrama de L}. Puesto que minimiza una cantidad es, por definición, un invariante de enlace. Sin embargo, pese a la sencillez de la definición, tampoco será fácil determinarlo, pues existen nudos para los cuales se desconoce si es posible una representación con menos cruces que los dados por un determinado diagrama. De ahí la dificultad de la Conjetura en la que se centra este trabajo, y que enunciaremos en el Capítulo 3. Nos detendremos, a continuación, en un nuevo invariante, cuyas propiedades nos permitirán demostrar resultados en capítulos posteriores: el género de un enlace. 2.2 Superficie de Seifert y género Para el desarrollo del invariante que aborda esta sección, tomaremos como principal referencia el Capítulo 5 de [5]. Comencemos definiendo el concepto de género de un enlace: Definición 2.16. El género de un enlace (orientado) L, denotado g(L), es el menor de los géneros de las superficies orientables y conexas cuyo borde es equivalente a L. A estas superficies se las conoce como superficies de Seifert. Para que este invariante esté bien definido, hay que probar que siempre es posible encontrar una superficie orientable y conexa cuyo borde sea equivalente a un enlace dado. Efectivamente, el siguiente teorema garantiza que la definición es correcta. Además, su demostración es constructiva, pues proporciona un método para obtener superficies que cumplan lo requerido. Teorema 2.17 (Teorema de Seifert, [18]).Todo enlace es el borde de una superficie conexa orientable. 2. teoría de nudos 15 Demostración. Sea un enlace L, y sea Dun diagrama que lo representa. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que el diagrama está en el plano XY de R3. Si el enlace no está orientado, se elige una orientación. Vamos a construir una superficie a partir de D, que tenga por borde L. Al método descrito a continuación se le conoce como algoritmo de Seifert. En un pequeño entorno de cada cruce, realizaremos los siguientes cambios: eliminamos el cruce y reconectamos los cuatro extremos sueltos de la única forma compatible con la orientación, como muestra la Figura 2.11. A esta modificación la denominamos suavizado de Seifert. Figura 2.11: Suavizado de Seifert de un cruce. De esta forma, se obtiene un diagrama sin cruces, formado por un conjunto de curvas cerradas simples, denominadas círculos de Seifert, que pueden estar anidadas. Asignaremos a cada círculo de Seifert, λ, un índice, h(λ), que indique el número de círculos en los que está contenido. Para construir la superficie, tomamos, para cada λ, un disco a la altura z=h(λ)cuya frontera tenga como proyección a λ. Estos discos heredan la orientación de cada curva λ. Finalmente, para completar la superficie, debemos insertar una banda por cada cruce de D, que una los bordes de los discos en los arcos cuyas proyecciones corresponden al suavizado del cruce. La banda está girada 180º, de forma que la proyección de su borde coincida con el entorno del cruce asociado en D. Por construcción, el borde de la superficie cerrada resultante es equivalente a L. Falta demostrar que la superficie obtenida es orientable. Para cada disco, podemos colorear una de sus caras de color negro y la otra de color rojo, de manera que la cara vista desde arriba sea de color negro si está orientada en el sentido de las agujas del reloj, siendo de color rojo en caso contrario. Notemos que, si dos discos que se encuentran a la misma altura están conectados por una banda, han de tener necesariamente orientaciones contrarias, pues no están anidados y corresponden a arcos distintos del suavizado de un cruce. Por tanto, tendrán distinto color en las caras superiores, y es posible colorear las caras de la banda que los une de distinto color, de forma que sean compatibles con la coloración de los discos que conecta. En cualquier otro caso, los discos que se unen tendrán alturas que se diferencian en una unidad, pues proceden de círculos anidados que estaban conectados por un cruce. 16 nudos, número de cruce y suma conexa Por tanto, han de tener la misma orientación en la cara superior y, en consecuencia, el mismo color. La cara de la banda que conecta con la cara superior del disco de menor altura es la misma que la que conecta con la cara superior del disco de mayor altura y, por tanto, se le puede dar el mismo color que a las caras superiores de los discos. Lo mismo ocurrirá con la otra cara de la banda, que tendrá el mismo color que las caras inferiores de los discos. Estos dos casos posibles se ejemplifican en la Figura 2.12. Figura 2.12: Unión de un disco de altura icon otro de altura ioi+ 1. En definitiva, toda la superficie tiene dos caras y, por tanto, es orientable. Si el diagrama no fuese conexo, la superficie obtenida tampoco sería conexa. Sean S1yS2 dos componentes conexas de la superficie. Podemos eliminar un pequeño disco en el interior de S1y de S2, y añadir un cilindro S1×[0,1], de forma que identificamos su borde con el borde de los discos que hemos eliminado. Es decir, identificamos la componente S1× {0}del borde del cilindro con el borde correspondiente al disco eliminado en S1, y la componente S1× {1}con el borde del disco eliminado en S2. Con ello, no se añaden componentes al borde y se reduce en uno el número de componentes conexas de la superficie. Repitiendo este proceso si hace falta, obtenemos una superficie conexa con las propiedades requeridas. Veamos la aplicación del algoritmo de Seifert en un ejemplo. Ejemplo 2.18.Partimos del diagrama Ddel nudo 41orientado que se muestra en la Figura 2.13. Figura 2.13: Diagrama del nudo 41orientado. Comenzamos realizando suavizados de Seifert en los cuatro cruces, de forma que se obtendrán tres círculos de Seifert. Asignamos a cada círculo el índice correspondiente 2. teoría de nudos 17 al número de círculos en los que está contenido. En este caso, solo uno de los círculos está contenido en otro. Representamos cada círculo como un disco a la altura indicada por el índice del círculo, respecto del plano del diagrama, que supondremos que es el plano XY en R3. Este proceso es el que se muestra en la Figura 2.14. La proyección en el plano XY del borde de estos discos coincide con los círculos de Seifert de D. Figura 2.14: Círculos de Seifert de Dy representación en R3. Finalmente, insertamos cuatro bandas, de manera que la proyección de su borde en el plano XY se corresponda con los cuatro cruces de D. Para visualizar la superficie de forma más clara, le daremos una coloración en rojo y negro. Las caras de los discos, vistas desde arriba, se colorearán de negro si su orientación es la de las agujas del reloj; en caso contrario, se colorearán de rojo. En este ejemplo, desde arriba se visualizan dos círculos de color negro y uno de color rojo. A las caras inferiores de cada disco se les asignará el color contrario al de sus caras superiores. Por último, las dos caras de las bandas se colorearán de rojo y negro, de forma que hereden el color de las caras de los discos que conectan. El resultado es el de la Figura 2.15. Figura 2.15: Superficie resultante de aplicar el algoritmo de Seifert al diagrama de la Figura 2.13. En definitiva, si obtenemos por este procedimiento una superficie a partir de un diagrama Dde un enlace L, el género de Lserá, como mucho, el de esta superficie. 18 nudos, número de cruce y suma conexa Además, si disponemos de un diagrama D, podemos calcular el género de la superficie que se obtiene al aplicar el algoritmo de Seifert a Dsin necesidad de construir dicha superficie al completo. Veremos, gracias al Corolario 2.20, que basta con realizar suavizados de Seifert en todos los cruces para obtener el número de círculos de Seifert de D, y conocer el número de cruces y de componentes del diagrama. Para llegar a una expresión en la que intervenga el género de estas superficies, necesitamos un resultado previo, en el que entra en juego la característica de Euler de una superficie conexa F, denotada por χ(F). Esta se define, dada una triangulación de F, como χ(F) = V−A+C, donde Ves el número de vértices, Ael número de aristas, yCel número de caras de la triangulación. El resultado es el que sigue: Teorema 2.19. La característica de Euler de una superficie Fconstruida mediante el algoritmo de Seifert a partir de un diagrama D, con c(D)cruces y que da lugar a s(D) círculos de Seifert, es: χ(F) = s(D)−c(D). Demostración. Por construcción, Festá formada por discos y bandas que los unen. Como la característica de Euler es independiente de la triangulación tomada, consideramos la siguiente triangulación: si de un disco salen nbandas, lo dividimos en 2n triángulos, de forma que compartan un vértice en el centro del disco y el resto de vértices se encuentren en el borde del disco. Por su parte, dividimos cada banda en dos triángulos por la diagonal. Un ejemplo de estas triangulaciones se muestra en la Figura 2.16. Figura 2.16: Triangulación de un disco conectado a 3 bandas y de una banda. Comencemos contando el número total de caras de la triangulación. En cada disco, encontramos dos caras por cada banda conectada a él. Dado que hay tantas bandas como cruces en Dy cada banda une dos discos, tendremos 2c(D)uniones de discos con bandas y, por tanto, 4c(D)triángulos entre todos los discos. Puesto que cada banda se divide en dos triángulos, tendremos 2c(D)caras entre todas las bandas. Finalmente, C= 4c(D)+2c(D) = 6c(D). Por otra parte, en el borde de cada disco tenemos dos aristas por cada unión con una banda, luego habrá 4c(D)aristas entre todos los bordes de los discos. En el interior de un disco, hay tantas aristas como triángulos, y al sumar para todos los discos 2. teoría de nudos 19 obtenemos 4c(D)aristas en sus interiores. Además, cada banda añade tres nuevas aristas, ya que las dos que corresponden a las uniones con los discos ya han sido contadas. Es decir, entre todas las bandas añadimos 3c(D)aristas, y por todo ello A= 4c(D)+4c(D)+3c(D) = 11c(D). Por último, contamos tantos vértices en el borde de los discos como uniones con bandas, lo que significa que, en el conjunto de los bordes de los discos, habrá 4c(D) vértices. Además, por cada disco tenemos un vértice central; en total, aportan s(D) nuevos vértices. Las bandas no añaden vértices que no estén en los discos. Entonces, V= 4c(D) + s(D). En resumen, V= 4c(D) + s(D); A= 11c(D); C= 6c(D). Finalmente, la característica de Euler de Fserá: χ(F) = [4c(D) + s(D)] −11c(D)+6c(D) = s(D)−c(D). Estamos en condiciones de obtener una expresión para calcular el género de una superficie construida mediante el algoritmo de Seifert: Corolario 2.20. El género de una superficie Fobtenida de aplicar el algoritmo de Seifert a un diagrama conexo Dsatisface: 2g(F) = [1 −s(D) + c(D)] + [1 −µ(D)]. Para la demostración, tendremos en cuenta el siguiente lema: Lema 2.21. Para una superficie orientable, compacta y sin borde ˜ F, la característica de Euler se relaciona con el género como: 2g(˜ F)=2−χ(˜ F) Demostración del Corolario. Sea Funa superficie obtenida a partir de un diagrama conexo Dmediante el algoritmo de Seifert. Sea ˜ Fla superficie cerrada asociada a F, que construimos uniendo el borde de Fcon el de otra copia suya, de forma que los discos pasan a ser esferas y las bandas pasan a ser superficies tubulares, como se muestra en la Figura 2.17. Para un desarrollo más extenso de esta superficie, véase [22, Sección III]. 26 nudos, número de cruce y suma conexa factores, como indica la Figura 2.24. De esta forma, concluimos que nuestro diagrama representa el nudo 41#31. Ambos tienen género 1, luego cumplen con lo esperado. Figura 2.24: Transformación de Den diagramas equivalentes. Para probar la unicidad de factorización, son necesarios algunos resultados, análogos al caso de la factorización de números naturales. Sabemos que, dados a, b ∈N, si existe pprimo tal que pdivide a ab pero no divide a a, entonces pdivide a b. Esta propiedad puede ser reescrita: Proposición 2.26. Sean a, b, p ∈N, con pprimo. Si existe q∈Ntal que pq =ab, entonces se tiene una de las siguientes afirmaciones: 1. Existe c∈Ntal que a=pc yq=cb. 2. Existe c∈Ntal que b=pc yq=ca. Enunciamos ahora la propiedad análoga para nudos. Omitimos la prueba por extensión, que puede consultarse en [5, Teorema 4.5.2]. Proposición 2.27. Sea un nudo Kcon las factorizaciones K=KA#KB=KP#KQ, con KPprimo. Entonces se tiene una de las siguientes afirmaciones: 1. Existe un nudo KCtal que KA=KP#KCyKQ=KC#KB. 2. Existe un nudo KCtal que KB=KP#KCyKQ=KC#KA. La siguiente proposición nos da una propiedad de cancelación que también tiene su equivalente en el caso de números naturales: dados b, p, q ∈N, con pprimo, sabemos que, si pq =pb, entonces q=b. Proposición 2.28. Sea KPun nudo primo tal que KP#KQ=KA#KB. Si KP=KA, entonces KQ=KB. Demostración. Analicemos los dos posibles casos de la Proposición 2.27, teniendo en cuenta que, por hipótesis, KP=KA. Si se da el primer caso, existe un nudo KCcon KA=KP#KC=KA#KCyKQ=KC#KB. Puesto que g(KA) = g(KA#KC), la 2. teoría de nudos 27 tercera propiedad del género de un nudo implica que necesariamente KCha de ser el nudo trivial. Por tanto, KQ=#KB=KB. Análogamente, si se cumple el segundo caso, existe un nudo KCcon KB=KP#KC=KA#KCyKQ=KC#KA. Luego, por ser la suma concexa conmutativa, KQ=KB. Con estas dos propiedades estamos en condiciones de probar el teorema de unicidad de factorización. Es análogo al resultado de factorización de números naturales como producto de números primos, y nos permite caracterizar un nudo por sus factores primos. Teorema 2.29. La factorización de un nudo no trivial como suma conexa de nudos primos es única salvo orden. Demostración. Sea Kun nudo no trivial. Supongamos que se puede descomponer como la suma conexa de nudos primos Ai, Bjcon i= 1, . . . , m y con j= 1, . . . , n, de dos formas distintas: K=A1#A2#· · · #Am=B1#B2#· · · #Bn. Probemos que m=ny que existe una permutación πde {1, .., n}tal que Ai=Bπ(i). Veámoslo por inducción en m(el número de factores de la primera descomposición de K). Si m= 1, entonces K=A1=B1#B2#· · · #Bn. Por la Proposición 2.27, dado que A1es primo, ha de ser un factor de B1o de B2#· · · #Bn. En el segundo caso, existe un nudo primo KCtal que A1#KC=B2#· · · #Bn, donde el número de factores del segundo miembro se ha visto reducido en uno. De esta forma, aplicaríamos recursivamente el mismo argumento hasta encontrar un Bjcon j∈ {1, . . . , n}que tenga a A1como factor. Puesto que A1yBjson primos, necesariamente A1=Bj. Reordenando los factores si hiciese falta, podemos suponer que j= 1 y, por tanto, A1=B1. En consecuencia, A1aparece en ambas descomposiciones y, por la Proposición 2.28, =B2#· · · #Bn. El nudo trivial no tiene factores no triviales, lo cual contradice que los Bi, con i∈ {2, . . . , n}, sean primos. Por tanto, m=n= 1 yA1=B1. Supongamos cierto el enunciado para un número de factores Aimenor que m, y tomemos: K=A1#· · · #Am=B1#· · · #Bn. Denotemos KC=A2#· · · #Am, de modo que A1#KC=B1#· · · #Bn.De nuevo, por la Proposición 2.27, A1ha de ser un factor de B1o de B2#· · · #Bn. Usando el razonamiento anterior, y reordenando si hiciese falta, podemos suponer que A1=B1. Por la Proposición 2.28 nos queda A2#· · · #Am=B2#· · · #Bn.Tenemos m−1 28 nudos, número de cruce y suma conexa factores en el primer término, por lo que podemos aplicar la hipótesis de inducción, con lo cual m−1 = n−1y existe una permutación πde {2, . . . , n}tal que Ai=Bπ(i). Por tanto, m=nyAi=Bπ′(i)para una cierta permutación π′de {1, . . . , n}, que tiene en cuenta la posible reordenación inicial y la permutación π. Esto prueba el resultado. En ocasiones, puede ser más sencillo trabajar con los factores primos de un nudo que con el propio nudo. De esta forma, sería deseable que el valor de un invariante en un nudo compuesto pudiera calcularse a partir del valor del invariante en sus factores primos. En particular, existen invariantes numéricos para los que el valor asociado al nudo compuesto es la suma de los valores correspondientes a los factores primos. Hemos visto que tal es el caso del género de un nudo (Teorema 2.24). Sin embargo, para otros invariantes, como el número de cruce o el número de desanudamiento, demostrar esta propiedad es una cuestión abierta. Discutiremos este problema en más detalle en el tercer capítulo. Para finalizar el estudio de los conceptos de la Teoría de nudos necesarios para nuestro trabajo, introducimos el polinomio de Jones, un invariante de enlaces orientados que usaremos para probar la Primera Conjetura de Tait sobre el número de cruce de los enlaces alternantes en el Capítulo 4. 2.4 El polinomio de Jones El polinomio de Jones fue descubierto por Vaughan F. R. Jones en 1984 [8], por lo cual recibió la Medalla Fields en 1990. En esta sección lo presentaremos siguiendo la aproximación hecha por Louis H. Kauffman en [9], que introdujo en 1987 un polinomio para diagramas no orientados, el corchete de Kauffman, que permite calcular de forma combinatoria el polinomio de Jones trabajando con diagramas. Nuestro objetivo consiste, por tanto, en asignar un polinomio a todo diagrama de un enlace orientado, de manera que sea invariante bajo los movimientos de Reidemeister y, en consecuencia, un invariante de enlaces orientados. Comencemos por una definición recursiva que permita calcular un polinomio a partir de un diagrama, simplificando uno a uno sus cruces. Definición 2.30. El corchete de Kauffman de un diagrama Dno orientado, ⟨D⟩, es un polinomio de Laurent en la variable Acon coeficientes enteros, definido por los siguientes axiomas: 1. ⟨⟩ = 1; 2. ⟨D⟩=A⟨DA⟩+A−1⟨DB⟩; 2. teoría de nudos 29 3. ⟨D⊔ ⟩ = (−A−2−A2)⟨D⟩; donde representa el diagrama trivial del nudo trivial, y D, DA, DBson tres diagramas idénticos salvo en un entorno en el que difieren como muestra la Figura 2.25. Figura 2.25: Diagramas que aparecen en la definición del corchete de Kauffman. Decimos que DA(respectivamente DB) se obtiene a partir de Dal suavizar un cruce según un suavizado de tipo A (respectivamente de tipo B). Nos preguntamos si el corchete de Kauffman es invariante ante las tres transformaciones de Reidemeister. En este sentido, se tiene el siguiente resultado: Proposición 2.31. El corchete de Kauffman, ⟨·⟩, es invariante bajo los movimientos de Reidemeister R2yR3. Demostración. Veamos primero la invariancia del corchete de Kauffman ante R2, ilustrado en la Figura 2.10. Representamos con un diagrama en el que encontramos un entorno como el indicado por el símbolo. De la misma forma se interpretarán los demás símbolos que aparezcan en los corchetes. Si elegimos uno de los cruces de dicho entorno y le aplicamos el segundo axioma de la Definición 2.30, obtenemos: ⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩.(2.1) Si aplicamos el segundo y tercer axioma de la Definición 2.30 al cruce restante del entorno inicial en estos diagramas, se obtiene: ⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1(−A−2−A2)⟨ ⟩ =−A−3⟨ ⟩; ⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩. Sustituyendo estas expresiones en 2.1, resulta: ⟨ ⟩ =⟨ ⟩, lo que demuestra la invariancia del corchete de Kauffman bajo el movimiento R2. 30 nudos, número de cruce y suma conexa Para comprobar la invariancia bajo R3, suavizamos un cruce en los dos diagramas que intervienen en la transformación, que representamos como y , siguiendo de nuevo el segundo axioma de la Definición 2.30: ⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩; ⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩. Hemos utilizado el resultado de que el corchete de Kauffman es invariante bajo R2 para llegar a las últimas igualdades de cada corchete. Puesto que hemos llegado a idénticas expresiones de ⟨ ⟩ y⟨ ⟩, queda demostrada la invariancia bajo R3. Ya hemos probado que el corchete de Kauffman es invariante bajo los movimientos de Reidemeister R2yR3. Para que fuera un invariante, el corchete de Kauffman debería ser también invariante bajo R1. Veamos qué sucede en este caso. Denotemos por ,y diagramas que difieren en un entorno como indica el dibujo correspondiente, debido a una transformación R1. Siguiendo el segundo y tercer axioma de la Definición 2.30, expresamos: ⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A(−A−2−A2)⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =−A3⟨ ⟩;(2.2) ⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1(−A−2−A2)⟨ ⟩ =−A−3⟨ ⟩.(2.3) Si el corchete de Kauffman fuese invariante bajo R1, debería cumplir ⟨ ⟩ =⟨ ⟩ = ⟨ ⟩. Sin embargo, estas igualdades no se satisfacen, pues las expresiones obtenidas en (2.2) y (2.3) son distintas, y tampoco coinciden con ⟨ ⟩, ya que Aes una variable. Para resolver este problema, debemos darnos cuenta de que contiene un cruce positivo (independientemente de la orientación tomada), y aporta un factor −A3, mientras que contiene un cruce negativo y añade un factor −A−3. Por tanto, nos ayudaremos del signo de los lazos para anular el efecto que introducen al tomar corchetes de Kauffman: Definición 2.32. Dado un diagrama orientado D, se define el polinomio de Jones asociado, J(D), como: J(D) = (−A−3)w(D)⟨D⟩(A). 2. teoría de nudos 31 Con esta definición, obtenemos finalmente la invariancia buscada. Teorema 2.33. El polinomio de Jones es un invariante de enlaces orientados. Demostración. Dado un diagrama D, hemos probado que ⟨D⟩es invariante bajo R2 yR3. Además, R2añade o elimina dos cruces, uno positivo y otro negativo necesariamente, por lo que preserva la contorsión del diagrama. Por otra parte, R3cambia la disposición de los cruces, pero el número de cruces de cada signo es el mismo, por lo que la contorsión se preserva. Un ejemplo de estas modificaciones se muestra en la Figura 2.26. Figura 2.26: Ejemplo del cambio de signo de los cruces bajo R2yR3. Falta estudiar cómo cambia J(D)al aplicar un movimiento R1. Si añadimos en un entorno de Dun lazo positivo, dando lugar a , tenemos que w( ) = w(D)+1y, como ya vimos, ⟨ ⟩ =−A3⟨D⟩. En definitiva, J( ) = (−A−3)w(D)+1(−A3)⟨D⟩= (−A−3)w(D)⟨D⟩=J(D). Análogamente, si añadimos a Dun lazo negativo, dando lugar a , resulta w( ) = w(D)−1y⟨ ⟩ =−A−3⟨D⟩. Por tanto, J( ) = (−A−3)w(D)−1(−A−3)⟨D⟩= (−A−3)w(D)⟨D⟩=J(D). Por todo ello, J(D)es invariante bajo los tres movimientos de Reidemeister, por lo que es un invariante de enlaces orientados. Como consecuencia, podemos definir el polinomio de Jones del enlace orientado L, J(L), como el polinomio de Jones de cualquier diagrama orientado que lo represente. Para facilitar el cálculo del corchete de Kauffman de un diagrama, nos ayudaremos de un árbol binario, denominado árbol de resolución. La raíz del árbol representa al diagrama D, cuyo corchete de Kauffman se desea calcular. De él salen dos hijos, el de la izquierda corresponde al diagrama obtenido de realizar un suavizado de tipo A sobre un cruce de D, y el de la derecha corresponderá a aplicar al mismo cruce un suavizado de tipo B. Si los diagramas hijos siguen teniendo algún cruce, cada una de las ramas que representan se volverá a dividir en dos, de la misma forma. El proceso de ramificación se repite hasta haber suavizado todos los cruces. Cada rama que corresponda a realizar un suavizado de tipo A(respectivamente, de tipo B), irá acompañada de una etiqueta A(respectivamente, A−1), con la idea de codificar la relación 32 nudos, número de cruce y suma conexa de madeja del corchete (es decir, la relación 2 en la Definición 2.30). Las hojas del árbol serán los diagramas resultantes de suavizar todos los cruces de D, que denominaremos estados de Kauffman: Definición 2.34. Sea Dun diagrama y Cel conjunto de sus cruces. Se denomina estado de Kauffman de Da toda aplicación s:C−→ {A, B}. Recibirán también el nombre de estados de Kauffman, y se denotarán sD, los diagramas resultantes de aplicar a cada cruce el suavizado del tipo correspondiente a la etiqueta asignada por s. En particular, sA (respectivamente sB) denotará el estado que asigna la etiqueta A(respectivamente B) a todos los cruces de D, y sAD(respectivamente sBD) denotará el diagrama obtenido de aplicar suavizados de tipo A(respectivamente de tipo B) a todos los cruces de D. Figura 2.27: Ejemplo de estado de Kauffman de un diagrama. Puesto que podemos asignar a cada cruce dos posibles etiquetas, si el diagrama D tenía ccruces, tendremos un total de 2cestados posibles, correspondiendo cada uno de ellos a una hoja en el árbol de resolución de D. Estos vendrán dados por una serie de círculos (topológicos), cuyo número para el estado sdenotaremos |s|. Observemos que, si para calcular ⟨D⟩aplicáramos el segundo axioma de la Definición 2.30 recursivamente, obtendríamos finalmente un sumando por cada uno de estos estados. El corchete de un estado sD contribuirá a la suma con un factor dado por el producto de las etiquetas que acompañan al único camino que lo conecta con la raíz. Si llamamos nA(respectivamente nB) al número de etiquetas A(respectivamente, B) asignadas por sa los cruces de D, tendremos que dicho factor será AnA−nB. Con estas consideraciones, podemos expresar: ⟨D⟩=X sestado de D AnA−nB⟨sD⟩=X sestado de D ÄAnA−nB−A2−A−2|s|−1ä.(2.4) Ejemplo 2.35.Veamos cómo calcular el polinomio de Jones del nudo trébol, a partir del diagrama que se muestra en la raíz del árbol de resolución de la Figura 2.28. 2. teoría de nudos 33 Figura 2.28: Árbol de resolución del nudo trébol. De esta forma, obtenemos: ⟨ ⟩ =A3(−A2−A−2)2+A2A−1(−A2−A−2) + A2A−1(−A2−A−2) + AA−2+ A2A−1(−A2−A−2) + AA−2+AA−2+A−3(−A2−A−2) = A7−A3−A−5. Los tres cruces del diagrama son negativos, como se muestra en la Figura 2.29 y, por tanto, w( ) = −3. Así, para calcular su polinomio de Jones, tenemos: J( ) = −A9(A7−A3−A−5) = −A16 +A12 +A4. Figura 2.29: Signo de los cruces del diagrama del nudo trébol. Usando un procedimiento análogo, podemos calcular el polinomio de Jones de la imagen especular del nudo trébol: J() = A−4+A−12 −A−16. El polinomio de Jones es un invariante de nudos, pues para cualquier diagrama D de un nudo, w(D) = w(−D). Puesto que los polinomios de Jones del nudo trébol y de su imagen especular no coinciden, concluimos que el trébol es quiral, como ya adelantamos en la sección 2.1.1. 34 nudos, número de cruce y suma conexa Una vez que hemos visto cómo calcular el polinomio de Jones, estudiemos con más detalle cómo se comporta este invariante ante ciertas operaciones de enlaces. Teorema 2.36. Sean L, L1yL2enlaces orientados. El polinomio de Jones cumple las siguientes propiedades: 1. J(−L) = J(L). 2. J(L∗)(A) = J(L)(A−1). 3. Si L1⊔L2es un enlace separable (Definición 2.2), entonces J(L1⊔L2)=(−A2−A−2)J(L1)J(L2). 4. J(L1#L2) = J(L1)J(L2). Demostración. 1. Por ser el polinomio de Jones un invariante de enlaces orientados, basta tomar un diagrama orientado Dque represente a L. Entonces, el diagrama −Dque cambia todas las orientaciones de Drepresentará a −L. Por tanto, debemos probar que J(D) = (−A−3)w(D)⟨D⟩(A) = (−A−3)w(−D)⟨−D⟩(A) = J(−D). Por una parte, invertir la orientación de todas las componentes preserva el signo de los cruces, como muestra la Figura 2.30 y, por tanto, tampoco variará w(D), es decir, w(D) = w(−D). Figura 2.30: Cambio en la orientación de los cruces según el signo. Por otra parte, también se cumple que ⟨D⟩=⟨−D⟩, pues el corchete de Kauffman es independiente de la orientación. De esta forma, J(D) = J(−D). 2. De nuevo, sea un diagrama Dde L. En D∗, que representa al enlace especular L∗, los cruces cambian de signo, como se muestra en la Figura 2.31. Por tanto, w(−D) = −w(D). Figura 2.31: Cambio en el signo de un cruce al tomar imagen especular. 2. teoría de nudos 35 Ahora veamos que ⟨D∗⟩(A) = ⟨D⟩(A−1) : Si cambiamos el cruce de Dpor el cruce especular , dando lugar a D′, el segundo axioma de la Definición 2.30 será análogo, cambiando Apor A−1: ⟨D′⟩=A−1⟨DA⟩+A⟨DB⟩ Por tanto, si cambiamos todos los cruces y calculamos ⟨D∗⟩, los diagramas resultantes tras suavizar todos ellos serán los mismos, pero habrán cambiado la variable Apor A−1. Dado que el factor (−A2−A−2)asociado a |s| − 1círculos de cada estado sno se modifica al cambiar la variable Apor A−1, podemos expresar: ⟨D∗⟩(A) = ⟨D⟩(A−1). 3. Sean D1yD2diagramas de L1yL2, respectivamente, y consideremos el diagrama separado D1⊔D2de L1⊔L2. La suma de los signos de los cruces totales será la suma de w(D1)yw(D2). Por tanto, w(D1⊔D2) = w(D1)+w(D2). Además, podemos suavizar recursivamente los cruces de D1en D1⊔D2hasta obtener diagramas de la unión disjunta de D2con una serie de curvas cerradas simples. Si multiplicamos sus respectivos corchetes por los factores (−A2−A−2)que correspondan para que quede una única curva cerrada simple donde estaba D1, llegaremos a un polinomio con el factor ⟨ ⊔ D2⟩en todos los sumandos. Si sacamos factor común, puesto que el proceso recursivo ha sido independiente de D2, obtendremos: ⟨D1⊔D2⟩=⟨D1⟩⟨ ⊔ D2⟩= (−A2−A−2)⟨D1⟩⟨D2⟩. 4. Sean D1yD2diagramas de L1yL2de manera que al considerar D1#D2, representando a L1#L2, no se añada ningún cruce al conjunto de cruces de D1 yD2. Por tanto, como en el caso anterior, w(D1#D2) = w(D1) + w(D2). Por otra parte, procedemos de forma análoga suavizando los cruces correspondientes a D1y multiplicando por el factor (−A2−A−2)si fuese necesario. Identificando #D2con D2, tendremos esta vez el factor ⟨D2⟩en cada sumando. Ya que el proceso de simplificación es independiente de D2, se concluye que ⟨D1#D2⟩=⟨D1⟩⟨D2⟩. Observemos que, como explicamos en la sección 2.3, el enlace L1#L2no está definido en general, puesto que no se indica sobre qué componentes se efectúa la suma conexa. Sin embargo, la propiedad 4 del Teorema 2.36 se tiene para cualquiera de las posibles elecciones de L1#L2. 42 nudos, número de cruce y suma conexa Con estas consideraciones, estamos en disposición de encontrar unas cotas en el grado de ⟨D⟩: Teorema 4.4. Sea Dun diagrama, entonces: grmaxA⟨D⟩⩽c(D)+2|sA(D)| − 2 grminA⟨D⟩⩾−c(D)−2|sB(D)|+ 2 Si Des adecuado, entonces se tienen ambas igualdades. Demostración. Por el razonamiento con el que analizamos los posibles grados máximo y mínimo de la expresión (4.1), sabemos que el grado de ⟨D⟩será, a lo sumo, el máximo exponente que proporciona sA. De esta expresión se obtiene el resultado sobre grmaxA⟨D⟩, teniendo en cuenta que en sA,nA=c(D)ynB= 0. Análogamente, el mínimo exponente no puede ser inferior al proporcionado por sB, donde nA= 0 y nB=c(D). En el caso de que Dsea adecuado, como observamos anteriormente, el único estado que contribuye al monomio con exponente máximo (respectivamente, mínimo) del corchete de Kauffman de Des sA(respectivamente, sB), luego se cumple la igualdad. Como corolario, combinando ambas desigualdades tenemos una cota para el ancho de ⟨D⟩: Corolario 4.5. Para todo diagrama de enlace D, se tiene grmaxA⟨D⟩ − grminA⟨D⟩⩽2c(D) + 2 (|sAD|+|sBD|)−4.(4.2) Si Des adecuado, se da la igualdad. Nos interesará trabajar con diagramas adecuados para obtener la igualdad. A continuación, probamos que la familia de enlaces adecuados contiene a la clase de enlaces alternantes: Proposición 4.6. Un diagrama alternante reducido es adecuado. Demostración. Comencemos probando la siguiente propiedad: Si Des un diagrama alternante, entonces es posible dar una coloración a Dusando solo dos colores (blanco y negro), de forma que regiones adyacentes no tengan el mismo color (coloreado de tablero de ajedrez) y los círculos del estado sADencierren regiones del mismo color, que supondremos blancas, y los círculos de sBDencierren regiones del color opuesto, que supondremos negras. 4. enlaces alternantes 43 Sea Dun diagrama alternante. Consideramos una región Ren D. Existen exactamente dos disposiciones de arcos posibles para R. Diremos que Res de tipo I si, al recorrer su frontera en el sentido de las agujas del reloj, al llegar a un cruce, el arco que recorremos está más alejado del foco de la proyección que el otro arco del cruce, como se muestra en la parte izquierda de la Figura 4.3. Por el contrario, diremos que la región Res de tipo II si el arco que se recorre siguiendo el sentido de las agujas del reloj es el más próximo al foco de la proyección en el siguiente cruce, como se muestra en la parte derecha de la Figura 4.3. Figura 4.3: Regiones de tipo I y II en un diagrama alternante. Observemos que, dado un cruce cualquiera, siempre inciden dos regiones enfrentadas de tipo I y dos regiones enfrentadas de tipo II. Si coloreamos las regiones de tipo I de blanco y las de tipo II en negro, como muestra la Figura 4.4, dado que las regiones adyacentes son de distinto tipo, serán también de distinto color. El resultado es un coloreado de tablero de ajedrez de D. Figura 4.4: Regiones que intervienen en un cruce. A continuación, aplicamos suavizados de tipo Aa todos los cruces. De esta forma, las regiones blancas quedan encerradas en círculos, tanto para las regiones de tipo I como las de tipo II, tal y como muestra la Figura 4.5. Figura 4.5: sAD(en rojo) según el tipo de región. 44 nudos, número de cruce y suma conexa Cabe mencionar que podría darse el caso de que un círculo en sADanidara a los demás; en ese caso, es posible que la región blanca fuera la región no acotada. Si visualizamos el diagrama en la 2-esfera S2, el círculo exterior se puede entender como la frontera de dicha región blanca, ahora acotada, y la afirmación sigue siendo válida. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en el diagrama del conocido como nudo trébol de mano derecha que se muestra en la Figura 4.6. Figura 4.6: Ejemplo de círculos anidados en sAD. Procediendo de manera análoga realizando suavizados de tipo B, probamos que en sBDlos círculos encierran regiones de color negro. Por último, debemos probar el siguiente hecho: si, además, Des reducido, la propiedad anterior implica que Des adecuado. Pensemos en un cruce ccon suavizado de tipo A. Para que los arcos que sustituyen al cruce formen parte de un mismo círculo, debe ocurrir que las cuatro regiones adyacentes en cno sean todas ellas distintas, sino que las dos regiones de tipo I (blancas), sean en realidad la misma región. Esto implica que ces un cruce reducible, como se muestra en la Figura 4.7. Pero habíamos supuesto que Des reducido, por lo que esto no puede suceder, y Des A-adecuado. Siguiendo un razonamiento análogo para sBD, llegamos a que Des B-adecuado, con lo cual Des un diagrama adecuado. Figura 4.7: Caso en el que las regiones de tipo I de un cruce son la misma. Todavía no hemos conseguido nuestro objetivo, pues la cota obtenida en el Corolario 4.5 depende de |sAD|y|sBD|, que no son invariantes. El siguiente resultado, cuya prueba puede consultarse en [5, Lema. 9.4.3.], nos permite solucionar este problema. 4. enlaces alternantes 45 Lema 4.7. Sea Dun diagrama conexo. Entonces, |sA|+|sB| ≤ 2 + c(D).(4.3) Si Des alternante, entonces tenemos la igualdad. Combinando los resultados anteriores, encontramos una desigualdad para el número de cruces de un diagrama: Teorema 4.8. Sea Dun diagrama conexo. Entonces, ancho(J(D)) = ancho(⟨D⟩)≤4c(D). Además, si Des alternante e irreducible, se tiene la igualdad. Demostración. Sea Dun diagrama conexo. Del Lema 4.7, tenemos que |sA|+|sB| ≤ 2 + c(D). Si sustituimos esta expresión en la desigualdad (4.2), obtenemos: grmaxA⟨D⟩ − grminA⟨D⟩⩽2c(D) + 2 (|sAD|+|sBD|)−4≤4c(D). Por el Teorema 4.6, si Des alternante y reducido, entonces es adecuado y, por el Corolario 4.5, la primera desigualdad es una igualdad. Además, por ser alternante, el Lema 4.7 implica que se tiene también la segunda igualdad, con lo que concluimos que ancho(J(D)) = 4c(D). 4.2 Prueba de la Conjetura El Teorema 4.8 implica que, si Des un diagrama alternante e irreducible, será minimal para el número de cruces. Como consecuencia, se demuestra la Conjetura 3.1 para el caso de diagramas alternantes y reducidos. Teorema 4.9. Si K1, K2son nudos alternantes, entonces c(K1#K2) = c(K1) + c(K2). Demostración. Dados dos nudos alternantes K1, K2, basta tomar diagramas alternantes y reducidos D1, D2, de forma que el diagrama D1#D2no añada cruces adicionales 46 nudos, número de cruce y suma conexa al conjunto de los cruces de D1yD2. Además, siempre es posible elegir D1#D2alternante, escogiendo adecuadamente los puntos cuyos entornos eliminamos para que, al unir los extremos, el orden de alternancia de los diagramas sea compatible. Aplicando la Primera Conjetura de Tait (Teorema 4.1), tenemos que c(K1#K2) = c(D1#D2) = c(D1) + c(D2) = c(K1) + c(K2). Ejemplo 4.10.Veamos con un ejemplo cómo es posible encontrar siempre un diagrama alternante de la suma conexa de dos nudos alternantes. Supongamos que queremos calcular la suma conexa de los nudos alternantes 52y62con las orientaciones mostradas en la Figura 4.8. Figura 4.8: Diagramas alternantes y reducidos de los nudos 52y62. La suma conexa 62#52se representa en el diagrama de la izquierda en la Figura 4.9. Este diagrama, sin embargo, no es alternante. Para obtener un diagrama equivalente que sea alternante, basta elegir otro punto del nudo 62para realizar la suma conexa. Esto se consigue en el diagrama de 62#52que se muestra en la parte derecha de la Figura 4.9. De esta forma, hemos logrado encontrar un diagrama alternante y reducido de la suma conexa 62#52. Figura 4.9: Diagramas de la suma conexa 62#52. Podemos ir más allá y dar una relación entre c(K1#K2)yc(K1)cuando K1es alternante: 4. enlaces alternantes 47 Proposición 4.11. Sean dos nudos K1yK2, con K1alternante. Entonces, se verifica la desigualdad: c(K1#K2)≥c(K1). Demostración. Sean D1yD2diagramas de K1yK2, respectivamente, con D1alternante e irreducible. Sea Dun diagrama de la suma conexa K1#K2. Por ser D1 alternante, del Teorema 4.8, se tiene que 1 4ancho(J(D1)) = c(D1). Teniendo esto en cuenta, y por la aditividad del ancho del polinomio de Jones bajo suma conexa, que deducimos de la cuarta propiedad del Teorema 2.36, se obtiene: c(D)≥1 4ancho(J(D)) = 1 4ancho(J(D1#D2)) = 1 4(ancho(J(D1))+ancho(J(D2))) = c(D1) + 1 4ancho(J(D2))) ≥c(D1). Por ser D1alternante e irreducible, es minimal para el número de cruce, luego c(D1) = c(K1).Además, la desigualdad c(D)≥c(K1)es independiente del diagrama de la suma conexa elegido, por lo que se concluye el resultado: c(K1#K2)≥c(K1). Los nudos alternantes forman una familia de nudos de gran interés para el cálculo del número de cruce. En particular, todos los nudos de hasta siete cruces son alternantes, por lo que podemos calcular el número de cruce de cualquier suma conexa que tenga a estos como factores. 5 Nudos tóricos En este capítulo probaremos la Conjetura 3.1 para una nueva clase de nudos, los nudos de deficiencia cero (Definición 5.12). Esta nueva familia tiene intersección no vacía con la familia de nudos alternantes tratada en el Capítulo 4. Además, existen nudos alternantes que no tienen deficiencia cero, y a la inversa, existen nudos de deficiencia cero que no son alternantes. La clase de nudos con deficiencia cero contiene a los denominados nudos tóricos. Para representar estos nudos en el plano y probar algunas de sus propiedades, será útil introducir algunos conceptos sobre un grupo que, como veremos, está íntimamente relacionado con los enlaces: el grupo de trenzas de ncuerdas, Bn. En este capítulo, la principal referencia será [1]. 5.1 El grupo de trenzas Bn Podemos pensar en una trenza matemática como una colección de ncuerdas, todas ellas fijadas a dos barras horizontales por sus dos extremos, de forma que la coordenada en el eje vertical para cada cuerda varíe monótonamente al recorrerla. Es decir, cada cuerda interseca todo plano horizontal entre las dos barras una única vez. En la Figura 5.1 se muestra un ejemplo de trenza. Figura 5.1: Ejemplo de trenza de cuatro cuerdas. Para cualquier número de cuerdas, n, la trenza más sencilla es aquella en la que las ncuerdas no cambian su posición horizontal en ningún momento. A esta trenza se la denomina trenza trivial, y la denotamos por ε. Otro ejemplo de trenza que será de utilidad es aquel que se diferencia de la trenza trivial en que la cuerda (i+ 1)-ésima pasa por delante de la cuerda i-ésima una vez, de forma que los extremos inferiores de estas dos cuerdas han intercambiado posiciones respecto a los extremos superiores. 5. nudos tóricos 49 Denotaremos a esta trenza por σi. En caso de que sea la cuerda i-ésima la que cruza por delante a la cuerda (i+1)-ésima, la denotaremos σ−1 i. Estos ejemplos se muestran en la Figura 5.2. Figura 5.2: Ejemplos de trenzas de ncuerdas. Nota 5.1.De manera análoga al caso de los enlaces, representamos las trenzas en el plano mediante proyecciones en las que el número de puntos que sean imagen de dos puntos de la trenza sea finito. A estos puntos de la proyección se les denomina cruces. No admitiremos la existencia de puntos con más de dos preimágenes, ni de tangencias. Estas proyecciones, que denominaremos diagramas, incluirán información sobre el orden de superposición de las cuerdas visto desde el foco de la proyección. Esto se realizará de la misma manera que para diagramas de nudos, eliminando segmentos a cada lado del cruce sobre la cuerda inferior. Al igual que para los enlaces, queremos que las trenzas no sean objetos rígidos. Por ello, permitiremos deformar las cuerdas de la trenza sin romperlas ni separar los extremos fijados a las barras horizontales, de manera que cada cuerda descienda en su recorrido desde la barra superior hasta la inferior. Las trenzas que estén relacionadas mediante estos movimientos se dirán equivalentes y, a partir de ahora, consideraremos que son la misma trenza. Con esta consideración, denominamos Bnal conjunto de trenzas de ncuerdas que, como veremos, puede dotarse de estructura de grupo. Para ello, definimos una operación en este conjunto: Definición 5.2. Dadas dos trenzas de ncuerdas, β1yβ2, definimos la composición de β1con β2, que denotamos β1β2, como la trenza de ncuerdas que resulta de identificar los nextremos inferiores de las cuerdas de β1con los nextremos superiores de las cuerdas de β2. La Figura 5.3 ilustra esta definición. 50 nudos, número de cruce y suma conexa Figura 5.3: Ejemplo de composición de dos trenzas. Por tanto, la composición de trenzas es una operación que actúa sobre el conjunto de trenzas de ncuerdas. Está bien definida, ya que la composición de trenzas equivalentes dará lugar a composiciones equivalentes, pues podemos transformar una en la otra usando las mismas deformaciones que en las trenzas individuales. Observemos que, dada una trenza cualquiera, podemos expresarla como composición de trenzas de tipo σiyσ−1 i, con i∈ { 1, . . . , n −1}. Para ello, basta realizar pequeñas modificaciones en las cuerdas para que no coincidan cruces a la misma altura. De esta forma, componiendo los σio los σ−1 icorrespondientes a cada cruce, en orden decreciente de la coordenada vertical comenzando por el cruce a mayor altura, obtenemos la trenza dada. Proposición 5.3. La composición de trenzas describe una operación que dota de estructura de grupo al conjunto de trenzas de ncuerdas. Demostración. En primer lugar, existe un elemento neutro, dado por la trenza trivial, ε, pues el resultado de componer cualquier trenza con la trivial es la propia trenza. En segundo lugar, la composición es asociativa, ya que el resultado de componer trenzas en distintos extremos de las cuerdas es independientemente del orden en el que se añadan. Por último, es posible comprobar, a partir del diagrama de la Figura 5.4, que se cumplen las igualdades σiσ−1 i=σ−1 iσi=ε. En este sentido, decimos que las trenzas σ−1 ison las inversas para la composición de las σi. Figura 5.4: Letras inversas. 5. nudos tóricos 51 Dado que podemos expresar cualquier trenza βcomo composición de σiyσ−1 icon i∈ { 1, . . . , n −1}, su elemento inverso vendrá dado por la composición de los inversos de los σioσ−1 ide cada cruce de β, en el orden inverso, es decir, comenzando por el cruce inferior de βy terminando por el de mayor altura. Efectivamente, si β=σj1 i1σj2 i2· · · σjm im, donde jk∈ {−1,1}, con k= 1, . . . , m, entonces (σj1 i1σj2 i2· · · σjm im)(σ−jm im· · · σ−i2 i2σ−j1 i1) = σj1 i1σj2 i2· · · (σjm imσ−jm im)· · · σ−j1 i1= σj1 i1σj2 i2· · · (σjm−1 im−1εσ−jm−1 im−1)· · · σ−j1 i1=σj1 i1σj2 i2· · · σjm−1 im−1σ−jm−1 im−1· · · σ−j1 i1=· · · =ε. De la misma forma, se prueba: (σ−jm im· · · σ−j2 i2σ−j1 i1)(σj1 i1σj2 i2· · · σjm im) = ε. Puesto que toda trenza de ncuerdas se puede expresar en función de las trenzas σiy sus inversas, con i∈ {1, . . . , n −1}, decimos que {σ1, . . . , σn−1}es un conjunto de generadores del grupo Bn. Además, estos generadores cumplen una serie de relaciones: Proposición 5.4. Los generadores del grupo Bnsatisfacen las siguientes propiedades: 1. σiσj=σjσi, si |i−j|>1; 2. σiσi+1σi=σi+1σiσi+1. Demostración. 1. Para la primera propiedad, la hipótesis implica que i≥j+ 2 o j≥i+2, con lo cual las cuerdas en las posiciones i, i+1, j, j +1 serán distintas entre sí. Dado que σiafecta a las cuerdas en las posiciones iei+ 1, mientras que σjactúa sobre las que estén en las posiciones jyj+ 1, permutar el orden de σiyσjno altera el resultado. 2. La Figura 5.5 representa diagramas respectivos de σiσi+1σiy de σi+1σiσi+1. Se comprueba que podemos pasar de una trenza a otra desplazando la cuerda que parte de i+ 2 (en gris), de forma que cambie su posición respecto al cruce que existe entre las otras dos cuerdas, señaladas en rojo. 58 nudos, número de cruce y suma conexa Sabemos que b′(L)yg(L)son aditivos para la suma conexa (Teoremas 5.8 y 2.24). Además, µ(L1#L2) = µ(L1) + µ(L2)−1y, expresándolo en el número de componentes reducido, µ′(L1#L2) = µ′(L1) + µ′(L2). En base a estas consideraciones, llegamos al siguiente corolario: Corolario 5.15. Dados dos enlaces L1yL2, se tiene c(L1#L2)≥c(L1)−d(L1) + c(L2)−d(L2). Demostración. Aplicando el Teorema 5.14 a la suma conexa L1#L2, y por la aditividad de b′(L1#L2), g(L1#L2)yµ′(L1#L2), podemos expresar: c(L1#L2)≥b′(L1#L2)+2g(L1#L2) + µ′(L1#L2) = b′(L1) + b′(L2)+2g(L1)+2g(L2) + µ′(L1) + µ′(L2). Por la definición de deficiencia de un enlace (Definición 5.12), concluimos que: c(L1#L2)≥c(L1)−d(L1) + c(L2)−d(L2). Puesto que la desigualdad c(L1#L2)≤c(L1) + c(L2)es siempre cierta, el Corolario 5.15 nos sugiere una condición suficiente para que la desigualdad contraria se verifique y, de esta forma, obtengamos la igualdad: Teorema 5.16. Sean L1yL2dos enlaces tales que d(L1) = d(L2) = 0. Entonces c(L1#L2) = c(L1) + c(L2)yd(L1#L2)=0. Demostración. Si las deficiencias de L1yL2son nulas, del Corolario 5.15, deducimos que c(L1#L1)≥c(L1) + c(L2). La otra desigualdad es siempre cierta (lo probamos en la Proposición 3.2), luego se verifica la igualdad. Además, de las propiedades de aditividad del género (Teorema 2.24), el índice de trenza reducido (Teorema 5.8) y el número de componentes reducido bajo la suma conexa, se deduce: d(L1#L2) = c(L1#L2)−2g(L1#L2)−b′(L1#L2)−µ′(L1#L2) = c(L1)+c(L2)−2g(L1)−2g(L2)−b′(L1)−b′(L2)−µ′(L1)−µ′(L2) = d(L1)+d(L2)=0. 5. nudos tóricos 59 Esto demuestra que la clase de los nudos de deficiencia cero es cerrada para la suma conexa, y la Conjetura 3.1 queda demostrada para esta clase. Más aún, podemos dar una cota en el caso de que solo uno de los factores tenga deficiencia cero: Teorema 5.17. Sean L1yL2dos enlaces con d(L1)=0. Entonces c(L1#L2)≥c(L1). En particular, si K2es un nudo no trivial, se cumple c(L1#K2)≥c(L1)+3. Demostración. Si sustituimos d(L1)=0en el Corolario 5.15, obtenemos la desigualdad: c(L1#L2)≥c(L1) + c(L2)−d(L2).(5.2) Por otra parte, de la definición de deficiencia (Definición 5.12), podemos expresar: c(L2)−d(L2) = b′(L2)+2g(L2) + µ′(L2). Teniendo en cuenta que b(L2)≥1,g(L2)≥0yµ(L2)≥1, sabemos que los parámetros en la parte derecha de la igualdad anterior son no negativos, con lo que deducimos que c(L2)−d(L2)≥0. Finalmente, concluimos de la desigualdad (5.2): c(L1#L2)≥c(L1). En el caso de que K2sea un nudo no trivial, µ′(K2)=0, g(K2)≥1yb′(K2)≥1, pues el único nudo con género cero o con número de trenza uno es el trivial. Sustituyendo en la desigualdad (5.2): c(L1#K2)≥c(L1) + b′(K2)+2g(K2) + µ′(K2)≥c(L1)+3, lo que completa la prueba. Hemos demostrado la aditividad del número de cruce para la familia de enlaces de deficiencia cero. Podemos plantearnos qué familias de enlaces ya conocidas tienen deficiencia cero. Dentro de los enlaces alternantes, existen ejemplos, como el 31, que tienen deficiencia cero, pues g(31) = 1, b′(31) = 1 y tiene solo una componente. Sin embargo, no todos los enlaces alternantes cumplen esta propiedad. Tal es el caso del nudo 74, que es alternante, pero c(74) = 7, g(74) = 1,b′(74) = 3 y, por ser un nudo, solo tiene una componente, luego d(74)=7−3−2·1−0=2. Veremos que, además, todos los nudos tóricos tienen deficiencia cero. Para calcular la deficiencia de los nudos tóricos, necesitamos una expresión para los distintos invariantes que intervienen en la definición de deficiencia. 60 nudos, número de cruce y suma conexa Teorema 5.18. Sea T(p, q)un nudo tórico. Entonces: 1. [13] Su número de cruce viene dado por c(T(p, q)) = (p−1)q. 2. [18] Su género viene dado por g(T(p, q)) = 1 2(p−1)(q−1). 3. [17] Su índice de trenza viene dado por b(T(p, q)) = p. Finalmente, dado que los nudos tienen una única componente, µ(T(p, q)) = 1, luego µ′(T(p, q)) = 0. Estamos en condiciones de evaluar la deficiencia de los nudos tóricos: Por definición: d(T(p, q)) = c(T(p, q)) −b′(T(p, q)) −2g(T(p, q)) −µ′(T(p, q)).(5.3) Como consecuencia del punto 3 del Teorema 5.18, tenemos b′(T(p, q)) = b(T(p, q)) −1 = p−1. Sustituyendo los distintos invariantes en la expresión (5.3): d(T(p, q)) = (p−1)q−(p−1) −21 2(p−1)(q−1) + 0 = 0. Así, a partir del Teorema 5.16, se deduce que la Conjetura 3.1 es cierta para los nudos tóricos, con lo que, al haber probado el siguiente resultado, hemos alcanzado nuestro objetivo. Proposición 5.19. Dados dos nudos tóricos T1yT2, se tiene: c(T1#T2) = c(T1) + c(T2). En este trabajo hemos abordado la prueba de la aditividad del número de cruce de los nudos alternantes y de los nudos de deficiencia cero. ¿Existen nudos que no pertenezcan a estos conjuntos? La respuesta es afirmativa. Existen nudos, como el 821, que no son alternantes ni de deficiencia cero. Este nudo pertenece a la familia de los nudos hiperbólicos, que contiene a la gran mayoría de nudos primos conocidos [7], y para la que, en general, no está probada la Conjetura. Por tanto, en el trayecto hacia la resolución de la Conjetura 3.1, queda todavía un extenso camino por recorrer. Bibliografía [1] C. Adams. The Knot Book. American Mathematical Society, 2004. [2] J. W. Alexander. “A Lemma on Systems of Knotted Curves”. Proceedings of the National Academy of Science 9.3 (1923), 93-95. [3] E. Artin. “Theory of Braids”. Annals of Mathematics 48.1 (1947), 101-126. [4] J. Birman y W. Menasco. “Studying Links via Closed Braids IV: Composite Links and Split Links”. Inventiones mathematicae 160 (1990), 115-139. [5] P. R. Cromwell. Knots and Links. Cambridge University Press, 2004. [6] Y. Diao. “The additivity of crossing numbers”. Journal of Knot Theory and Its Ramifications 13.07 (2004), 857-866. [7] M. Thistlethwaite J. Hoste y J. Weeks. “The first 1,701,936 knots”. 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