Nudos, número de cruce y suma conexa

NUDOS, NÚMERO DE CRUCE Y
SUMA CONEXA
C is ina Gómez Ci e a
NUDOS, NÚMERO DE CRUCE Y SUMA CONEXA
C is ina Gómez Ci e a
Memo ia p esen ada como pa e de los equisi os pa a
la ob ención del í ulo de Doble G ado en Física y
Ma emá icas po la Uni e sidad de Se illa.
Tu o izada po
P o . Ma i hania Sil e o Casano a
Índice gene al
Abs ac 1
Resumen 2
1. In oducción 3
2. Teo ía de nudos 6
2.1. Concep osbásicos............................. 6
2.1.1. Tipos de diag amas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Equi alencia de diag amas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Supe icie de Sei e y géne o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Sumaconexa................................ 21
2.4. ElpolinomiodeJones........................... 28
3. La Conje u a 36
4. Enlaces al e nan es 39
4.1. P ime a Conje u a de Tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. P ueba de la Conje u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Nudos ó icos 48
5.1. El g upo de enzas Bn.......................... 48
5.2. Nudos ó icos ............................... 55
5.3. P ueba de la Conje u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bibliog a ía 61

Abs ac
Kno heo y is he b anch o Topology s udying ma hema ical kno s, which can be
in ui i ely desc ibed as a piece o ope ha we ie and a e wa ds we glue i s endpoin s
oge he . Wi hin his amewo k, his p ojec ocuses on a long-s anding classical
Conjec u e s a ing ha he c ossing numbe is addi i e o he connec ed sum o
kno s. We in oduce he concep s and ideas needed o unde s and he Conjec u e,
and p esen some speci ic ela ed esul s. In pa icula , we p o e he Conjec u e o
wo amilies o kno s: al e na ing kno s and o us kno s. In he p ocess, concep s such
as he Jones polynomial, Sei e su aces, and b aid g oups a e explo ed in dep h.
Resumen
La Teo ía de nudos es la ama de la Topología que abo da el es udio de los nudos
ma emá icos, que podemos pensa como una cue da que a amos y cuyos ex emos,
pos e io men e, pegamos en e sí. En es e con ex o, el p esen e abajo se cen a en
una Conje u a clásica que sos iene que el núme o de c uce es adi i o pa a la suma
conexa de nudos. Después de in oduci los concep os e ideas necesa ios pa a com-
p ende la Conje u a, p esen a emos algunos esul ados elacionados con ella. En pa -
icula , p oba emos la Conje u a pa a dos amilias de nudos: los nudos al e nan es
y los nudos ó icos. En el p oceso p o undiza emos en concep os in e esan es po sí
mismos, como el polinomio de Jones, las supe icies de Sei e y los g upos de enzas.
1 In oducción
No se puede desa a un nudo sin sabe
cómo es á hecho.
A is ó eles
Los nudos han acompañado al se humano a lo la go de la his o ia, ya sea como símbo-
los que gua dan un mensaje, como igu as a ís icas o como una o ma de a a obje os.
Sin emba go, el in e és ma emá ico po es udia y clasi ica los nudos se pod ía e-
mon a al siglo XIX, cuando el ísico ma emá ico b i ánico Lo d Kel in plan eó un
modelo a ómico en el que los á omos e an en endidos como emolinos o ó ices en
el é e , una sus ancia que ellenaba el espacio. Según es e modelo, es os ó ices se-
guían ayec o ias anudadas, cuyas ca ac e ís icas explica ían las p opiedades de los
dis in os elemen os químicos. Pese a que es a eo ía no ue ace ada, impulsó a ma-
emá icos como Pe e G. Tai a la elabo ación de las p ime as ablas de clasi icación
de nudos, en endidos como cue das a adas cuyos ex emos se unen pos e io men e.
El es udio ma emá ico de los nudos adqui ió ca ác e p opio y dio luga a una nue a
ama de la Topología: la Teo ía de nudos.
Pa iendo del modelo ísico que isualiza un nudo como una cue da a ada cuyos ex-
emos suel os pegamos pos e io men e, que emos que odas aquellas de o maciones
de la cue da que no supongan ompe la o sepa a los ex emos pegados sigan co es-
pondiendo al mismo nudo ma emá ico. Po an o, dados dos nudos, di emos que son
equi alen es cuando podamos ans o ma uno en el o o median e es as ans o ma-
ciones. Sin emba go, de e mina cuándo dos nudos son equi alen es encon ando la
o ma de de o ma un nudo en el o o no es, en gene al, a ea ácil. Exis en, no obs an-
e, cie as aplicaciones que asignan a nudos equi alen es el mismo alo , de o ma que,
si asignan esul ados dis in os pa a dos nudos dados, conclui emos que no son nudos
equi alen es. Es as aplicaciones eciben el nomb e de in a ian es (De inición 2.13),
y apa ece án con ecuencia en es e abajo.
10 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Los diag amas educibles no son minimales pa a el núme o de c uces del enlace que
ep esen an. Bas a o a la pa e del nudo cuya p oyección queda en el in e io de la
cu a ce ada de la De inición 2.6, de o ma que quede ija la pa e co espondien e
a la egión ex e io de la cu a. P oyec ando de nue o en el plano, ob enemos un
diag ama que ep esen a al mismo nudo, pe o con un c uce menos. A los c uces que
podemos e i a de es a o ma los denomina emos c uces educibles.
Figu a 2.5: Diag ama educible.
Se á de especial in e és o o ipo de diag ama que end án algunos enlaces, como el
de la Figu a 2.6.
De inición 2.7. Un diag ama de enlace se dice al e nan e si es posible encon a un
pun o y una o ien ación en cada componen e de mane a que, al eco e la a pa i de ese
pun o y en dicha di ección, se in e cale el paso po a cos in e io es y supe io es en los
c uces, has a llega al pun o inicial.
Figu a 2.6: Diag ama al e nan e del nudo 935.
Cabe des aca que no odos los nudos end án un diag ama al e nan e. Tal es el caso
del nudo 819, que se obse a en la Figu a 2.7. Pa a es e nudo, no exis en diag amas
al e nan es que lo ep esen en. Po an o, iene sen ido la siguien e de inición:
De inición 2.8. Un nudo se dice al e nan e si exis e un diag ama al e nan e que lo
ep esen e.
Figu a 2.7: Ejemplo de nudo no al e nan e: 819.

2. eo ía de nudos 11
También es posbile de ini nue os diag amas a pa i de o os dados, modi icando al-
guna de sus ca ac e ís icas, como sucede en el siguien e concep o:
De inición 2.9. Sea Dun diag ama ep esen ando el enlace L. Se de ine D∗como el
diag ama esul an e de cambia , en odos los c uces, el o den de p oximidad al oco de
la p oyección (es deci , in e cambia el a co supe io y el a co in e io en cada c uce). Al
enlace ep esen ado po D∗lo llama emos imagen especula de L, y se deno a á po
L∗.
En ocasiones, L∗se á equi alen e a Ly, po an o, DyD∗se án dos diag amas del
mismo enlace. En es e caso, se di á que Les un enlace aqui al. Un ejemplo de nudo
aqui al es el nudo ocho, como e emos en el Ejemplo 2.10. De lo con a io, se di á que
es un enlace qui al. El nudo ébol es un enlace qui al, como demos a emos en el
Ejemplo 2.35, cuando in oduzcamos el polinomio de Jones.
Ejemplo 2.10.El nudo 41, conocido como nudo ocho, es un nudo aqui al. Viene ep e-
sen ado po el diag ama Den la Figu a 2.8. Veamos que el diag ama D∗ ep esen a al
mismo nudo.
Figu a 2.8: Ejemplo de nudo aqui al: 41.
Pa a ello, elegimos el a co señalado en ojo en la Figu a 2.9. Lo de o mamos y a ia-
mos su posición, median e ans o maciones con inuas compa ibles con una iso opía
ambien e en R3. Al o a el diag ama y modi ica los a cos, ob enemos el diag ama
D∗. Po an o, los diag amas DyD∗ ep esen an nudos equi alen es.
Figu a 2.9: Sucesión de ans o maciones que p ueba que el nudo 41es aqui al.
Si disponemos de un enlace o ien ado, o a ca ac e ís ica de sus diag amas que pode-
mos modi ica es la o ien ación:
12 nudos, núme o de c uce y suma conexa
De inición 2.11. Dado un diag ama Dde un enlace o ien ado L, se de ine −Dcomo
el diag ama ob enido al cambia el sen ido de las o ien aciones de odas las componen es
de D. Se deno a á po −Lal enlace ep esen ado po −D.
Po an o, es os casos pa icula es mues an que es posible encon a diag amas con
p opiedades dis in as que, sin emba go, ep esen en al mismo enlace. P o undiza e-
mos en es a idea en el siguien e apa ado.
2.1.2 Equi alencia de diag amas
Si ans o mamos en R3un nudo median e iso opía ambien e, elegimos un oco y o-
mamos p oyecciones egula es, ob end emos dis in os diag amas que ep esen an al
mismo nudo. Es o nos pe mi e ob ene in ini os diag amas asociados a un nudo, odos
ellos equi alen es. Pe o, dados dos diag amas, ¿cómo podemos sabe si ep esen an
al mismo nudo y qué ans o maciones lle an uno en el o o?
En 1927, Ku Reidemeis e dio espues a a es a p egun a in oduciendo una se ie de
ans o maciones en los diag amas, hoy conocidas como mo imien os de Reide-
meis e . Debemos pensa en es as ans o maciones como modi icaciones que se
aplican a un en o no seleccionado en un diag ama, de la o ma en la que se mues-
a en la Figu a 2.10, jun o con la iso opía en el plano, dejando el es o del diag ama
inal e ado. El mo imien o R1 iene dos posibilidades, según el ipo de lazo.
Figu a 2.10: Mo imien os de Reidemeis e .
Teo ema 2.12 (Teo ema de Reidemeis e , [14]).Dos diag amas son equi alen es si y
solo si es án elacionados po una sucesión ini a de mo imien os de Reidemeis e .
2. eo ía de nudos 13
En p incipio, es o esol e ía el p oblema de de e mina si dos enlaces son equi alen-
es, pues bas a ía oma un diag ama de cada uno de ellos y de e mina si exis e una
sucesión ini a de mo imien os de Reidemeis e que los elacione. Sin emba go, en
la p ác ica no es sencillo asegu a la no exis encia de es a sucesión pues, de exis i ,
pod ía se necesa io un núme o ele ado de es os mo imien os pa a ans o ma un
diag ama en o o. De hecho, en ocasiones, pa a se capaces de pasa de un diag ama
dado a o o con meno núme o de c uces median e ans o maciones de Reidemeis e ,
es necesa io p ime o inc emen a el núme o de c uces y, pos e io men e, educi lo.
Es en es e con ex o en el que apa ecen los in a ian es de enlaces, que son he amien-
as que nos pe mi en de e mina que cie os diag amas no son equi alen es.
De inición 2.13. Un in a ian e de enlace es una aplicación del conjun o de enlaces a
o o conjun o, cuyo alo depende de la clase de equi alencia del enlace.
El conjun o imagen de la aplicación puede se de di e sa na u aleza, pues puede es a
o mado po núme os, polinomios, g upos... La u ilidad de es e concep o adica en que,
dados dos enlaces L1, L2y un in a ian e , si (L1)= (L2), en onces podemos
conclui que L1no es equi alen e a L2. No obs an e, el ecíp oco no es cie o en
gene al. Si se cumple que (L1) = (L2), no podemos de e mina si L1yL2son
equi alen es. En ese caso, pod íamos p oba a aplica a L1yL2o os in a ian es, con
la in ención de ob ene alo es di e en es pa a cada enlace, y pode conclui que no
son equi alen es.
La mul iplicidad de un enlace, in oducida en la De inición 2.2, es un in a ian e de
enlace. Pa a p oba lo, bas a obse a que la iso opía ambien e no al e a el núme o de
componen es de un enlace, po lo que si dos enlaces son equi alen es, necesa iamen e
end án la misma mul iplicidad.
A la ho a de de ini un in a ian e, es ecuen e oma , pa a un enlace L, el meno
alo que de uel e una de e minada aplicación sob e el conjun o de odos los enla-
ces equi alen es a L. Además, pues o que abajamos con diag amas, se á ú il de ini
in a ian es de enlaces a pa i de ellos, como es el caso de la siguien e de inición:
De inición 2.14. Dado un diag ama D, se de ine u(D)como el meno núme o de cam-
bios en el o den de supe posición de los a cos en los c uces que pe mi en ob ene un
diag ama equi alen e al nudo i ial. El núme o de desanudamien o de un nudo K,
deno ado u(K), se de ine como:
u(K) = min{u(D) : D diag ama de L}.
Se a a de un in a ian e di ícil de calcula pues, aunque uésemos capaces de de-
e mina su alo pa a un de e minado diag ama, pa a pode a i ma que es e es el
14 nudos, núme o de c uce y suma conexa
núme o de desanudamien o, debemos demos a que no exis en diag amas que pue-
dan ans o ma se en el nudo i ial u ilizando un núme o meno de cambios. Algo
simila sucede con el siguien e in a ian e, undamen al en es e abajo: el núme o de
c uce.
De inición 2.15. El núme o de c uce de un enlace L, deno ado c(L), es el meno
núme o de c uces omado en e odos los diag amas que lo ep esen an. Si deno amos
c(D)al núme o de c uces de un diag ama D, enemos:
c(L) = min{c(D) : D diag ama de L}.
Pues o que minimiza una can idad es, po de inición, un in a ian e de enlace. Sin
emba go, pese a la sencillez de la de inición, ampoco se á ácil de e mina lo, pues
exis en nudos pa a los cuales se desconoce si es posible una ep esen ación con menos
c uces que los dados po un de e minado diag ama. De ahí la di icul ad de la Conje u a
en la que se cen a es e abajo, y que enuncia emos en el Capí ulo 3.
Nos de end emos, a con inuación, en un nue o in a ian e, cuyas p opiedades nos
pe mi i án demos a esul ados en capí ulos pos e io es: el géne o de un enlace.
2.2 Supe icie de Sei e y géne o
Pa a el desa ollo del in a ian e que abo da es a sección, oma emos como p incipal
e e encia el Capí ulo 5 de [5]. Comencemos de iniendo el concep o de géne o de un
enlace:
De inición 2.16. El géne o de un enlace (o ien ado) L, deno ado g(L), es el meno de
los géne os de las supe icies o ien ables y conexas cuyo bo de es equi alen e a L. A es as
supe icies se las conoce como supe icies de Sei e .
Pa a que es e in a ian e es é bien de inido, hay que p oba que siemp e es posible
encon a una supe icie o ien able y conexa cuyo bo de sea equi alen e a un enla-
ce dado. E ec i amen e, el siguien e eo ema ga an iza que la de inición es co ec a.
Además, su demos ación es cons uc i a, pues p opo ciona un mé odo pa a ob ene
supe icies que cumplan lo eque ido.
Teo ema 2.17 (Teo ema de Sei e , [18]).Todo enlace es el bo de de una supe icie
conexa o ien able.
2. eo ía de nudos 15
Demos ación. Sea un enlace L, y sea Dun diag ama que lo ep esen a. Podemos
asumi sin pé dida de gene alidad que el diag ama es á en el plano XY de R3. Si el
enlace no es á o ien ado, se elige una o ien ación. Vamos a cons ui una supe icie a
pa i de D, que enga po bo de L. Al mé odo desc i o a con inuación se le conoce
como algo i mo de Sei e . En un pequeño en o no de cada c uce, ealiza emos los
siguien es cambios: eliminamos el c uce y econec amos los cua o ex emos suel os
de la única o ma compa ible con la o ien ación, como mues a la Figu a 2.11. A es a
modi icación la denominamos sua izado de Sei e .
Figu a 2.11: Sua izado de Sei e de un c uce.
De es a o ma, se ob iene un diag ama sin c uces, o mado po un conjun o de cu -
as ce adas simples, denominadas cí culos de Sei e , que pueden es a anidadas.
Asigna emos a cada cí culo de Sei e , λ, un índice, h(λ), que indique el núme o de
cí culos en los que es á con enido. Pa a cons ui la supe icie, omamos, pa a cada λ,
un disco a la al u a z=h(λ)cuya on e a enga como p oyección a λ. Es os discos
he edan la o ien ación de cada cu a λ.
Finalmen e, pa a comple a la supe icie, debemos inse a una banda po cada c uce
de D, que una los bo des de los discos en los a cos cuyas p oyecciones co esponden
al sua izado del c uce. La banda es á gi ada 180º, de o ma que la p oyección de su
bo de coincida con el en o no del c uce asociado en D. Po cons ucción, el bo de de
la supe icie ce ada esul an e es equi alen e a L.
Fal a demos a que la supe icie ob enida es o ien able. Pa a cada disco, podemos
colo ea una de sus ca as de colo neg o y la o a de colo ojo, de mane a que la ca a
is a desde a iba sea de colo neg o si es á o ien ada en el sen ido de las agujas del
eloj, siendo de colo ojo en caso con a io.
No emos que, si dos discos que se encuen an a la misma al u a es án conec ados po
una banda, han de ene necesa iamen e o ien aciones con a ias, pues no es án ani-
dados y co esponden a a cos dis in os del sua izado de un c uce. Po an o, end án
dis in o colo en las ca as supe io es, y es posible colo ea las ca as de la banda que los
une de dis in o colo , de o ma que sean compa ibles con la colo ación de los discos
que conec a.
En cualquie o o caso, los discos que se unen end án al u as que se di e encian en
una unidad, pues p oceden de cí culos anidados que es aban conec ados po un c uce.

16 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Po an o, han de ene la misma o ien ación en la ca a supe io y, en consecuencia, el
mismo colo . La ca a de la banda que conec a con la ca a supe io del disco de meno
al u a es la misma que la que conec a con la ca a supe io del disco de mayo al u a
y, po an o, se le puede da el mismo colo que a las ca as supe io es de los discos. Lo
mismo ocu i á con la o a ca a de la banda, que end á el mismo colo que las ca as
in e io es de los discos. Es os dos casos posibles se ejempli ican en la Figu a 2.12.
Figu a 2.12: Unión de un disco de al u a icon o o de al u a ioi+ 1.
En de ini i a, oda la supe icie iene dos ca as y, po an o, es o ien able. Si el dia-
g ama no uese conexo, la supe icie ob enida ampoco se ía conexa. Sean S1yS2
dos componen es conexas de la supe icie. Podemos elimina un pequeño disco en el
in e io de S1y de S2, y añadi un cilind o S1×[0,1], de o ma que iden i icamos
su bo de con el bo de de los discos que hemos eliminado. Es deci , iden i icamos la
componen e S1× {0}del bo de del cilind o con el bo de co espondien e al disco
eliminado en S1, y la componen e S1× {1}con el bo de del disco eliminado en S2.
Con ello, no se añaden componen es al bo de y se educe en uno el núme o de com-
ponen es conexas de la supe icie. Repi iendo es e p oceso si hace al a, ob enemos
una supe icie conexa con las p opiedades eque idas.
Veamos la aplicación del algo i mo de Sei e en un ejemplo.
Ejemplo 2.18.Pa imos del diag ama Ddel nudo 41o ien ado que se mues a en la
Figu a 2.13.
Figu a 2.13: Diag ama del nudo 41o ien ado.
Comenzamos ealizando sua izados de Sei e en los cua o c uces, de o ma que se
ob end án es cí culos de Sei e . Asignamos a cada cí culo el índice co espondien e
2. eo ía de nudos 17
al núme o de cí culos en los que es á con enido. En es e caso, solo uno de los cí culos
es á con enido en o o. Rep esen amos cada cí culo como un disco a la al u a indicada
po el índice del cí culo, espec o del plano del diag ama, que supond emos que es el
plano XY en R3. Es e p oceso es el que se mues a en la Figu a 2.14. La p oyección
en el plano XY del bo de de es os discos coincide con los cí culos de Sei e de D.
Figu a 2.14: Cí culos de Sei e de Dy ep esen ación en R3.
Finalmen e, inse amos cua o bandas, de mane a que la p oyección de su bo de en el
plano XY se co esponda con los cua o c uces de D. Pa a isualiza la supe icie de
o ma más cla a, le da emos una colo ación en ojo y neg o. Las ca as de los discos,
is as desde a iba, se colo ea án de neg o si su o ien ación es la de las agujas del eloj;
en caso con a io, se colo ea án de ojo. En es e ejemplo, desde a iba se isualizan
dos cí culos de colo neg o y uno de colo ojo. A las ca as in e io es de cada disco se
les asigna á el colo con a io al de sus ca as supe io es. Po úl imo, las dos ca as de
las bandas se colo ea án de ojo y neg o, de o ma que he eden el colo de las ca as
de los discos que conec an. El esul ado es el de la Figu a 2.15.
Figu a 2.15: Supe icie esul an e de aplica el algo i mo de Sei e al diag ama de la
Figu a 2.13.
En de ini i a, si ob enemos po es e p ocedimien o una supe icie a pa i de un dia-
g ama Dde un enlace L, el géne o de Lse á, como mucho, el de es a supe icie.
18 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Además, si disponemos de un diag ama D, podemos calcula el géne o de la supe -
icie que se ob iene al aplica el algo i mo de Sei e a Dsin necesidad de cons ui
dicha supe icie al comple o. Ve emos, g acias al Co ola io 2.20, que bas a con ealiza
sua izados de Sei e en odos los c uces pa a ob ene el núme o de cí culos de Sei e
de D, y conoce el núme o de c uces y de componen es del diag ama.
Pa a llega a una exp esión en la que in e enga el géne o de es as supe icies, nece-
si amos un esul ado p e io, en el que en a en juego la ca ac e ís ica de Eule de una
supe icie conexa F, deno ada po χ(F). Es a se de ine, dada una iangulación de F,
como χ(F) = V−A+C, donde Ves el núme o de é ices, Ael núme o de a is as,
yCel núme o de ca as de la iangulación. El esul ado es el que sigue:
Teo ema 2.19. La ca ac e ís ica de Eule de una supe icie Fcons uida median e el
algo i mo de Sei e a pa i de un diag ama D, con c(D)c uces y que da luga a s(D)
cí culos de Sei e , es:
χ(F) = s(D)−c(D).
Demos ación. Po cons ucción, Fes á o mada po discos y bandas que los unen.
Como la ca ac e ís ica de Eule es independien e de la iangulación omada, consi-
de amos la siguien e iangulación: si de un disco salen nbandas, lo di idimos en 2n
iángulos, de o ma que compa an un é ice en el cen o del disco y el es o de
é ices se encuen en en el bo de del disco. Po su pa e, di idimos cada banda en
dos iángulos po la diagonal. Un ejemplo de es as iangulaciones se mues a en la
Figu a 2.16.
Figu a 2.16: T iangulación de un disco conec ado a 3 bandas y de una banda.
Comencemos con ando el núme o o al de ca as de la iangulación. En cada disco,
encon amos dos ca as po cada banda conec ada a él. Dado que hay an as bandas
como c uces en Dy cada banda une dos discos, end emos 2c(D)uniones de discos
con bandas y, po an o, 4c(D) iángulos en e odos los discos. Pues o que cada
banda se di ide en dos iángulos, end emos 2c(D)ca as en e odas las bandas.
Finalmen e, C= 4c(D)+2c(D) = 6c(D).
Po o a pa e, en el bo de de cada disco enemos dos a is as po cada unión con
una banda, luego hab á 4c(D)a is as en e odos los bo des de los discos. En el in e-
io de un disco, hay an as a is as como iángulos, y al suma pa a odos los discos
2. eo ía de nudos 19
ob enemos 4c(D)a is as en sus in e io es. Además, cada banda añade es nue as
a is as, ya que las dos que co esponden a las uniones con los discos ya han sido
con adas. Es deci , en e odas las bandas añadimos 3c(D)a is as, y po odo ello
A= 4c(D)+4c(D)+3c(D) = 11c(D).
Po úl imo, con amos an os é ices en el bo de de los discos como uniones con
bandas, lo que signi ica que, en el conjun o de los bo des de los discos, hab á 4c(D)
é ices. Además, po cada disco enemos un é ice cen al; en o al, apo an s(D)
nue os é ices. Las bandas no añaden é ices que no es én en los discos. En onces,
V= 4c(D) + s(D).
En esumen,
V= 4c(D) + s(D); A= 11c(D); C= 6c(D).
Finalmen e, la ca ac e ís ica de Eule de Fse á:
χ(F) = [4c(D) + s(D)] −11c(D)+6c(D) = s(D)−c(D).
Es amos en condiciones de ob ene una exp esión pa a calcula el géne o de una su-
pe icie cons uida median e el algo i mo de Sei e :
Co ola io 2.20. El géne o de una supe icie Fob enida de aplica el algo i mo de Sei e
a un diag ama conexo Dsa is ace:
2g(F) = [1 −s(D) + c(D)] + [1 −µ(D)].
Pa a la demos ación, end emos en cuen a el siguien e lema:
Lema 2.21. Pa a una supe icie o ien able, compac a y sin bo de ˜
F, la ca ac e ís ica de
Eule se elaciona con el géne o como:
2g(˜
F)=2−χ(˜
F)
Demos ación del Co ola io. Sea Funa supe icie ob enida a pa i de un diag ama
conexo Dmedian e el algo i mo de Sei e . Sea ˜
Fla supe icie ce ada asociada a
F, que cons uimos uniendo el bo de de Fcon el de o a copia suya, de o ma que
los discos pasan a se es e as y las bandas pasan a se supe icies ubula es, como se
mues a en la Figu a 2.17. Pa a un desa ollo más ex enso de es a supe icie, éase
[22, Sección III].
26 nudos, núme o de c uce y suma conexa
ac o es, como indica la Figu a 2.24. De es a o ma, concluimos que nues o diag ama
ep esen a el nudo 41#31. Ambos ienen géne o 1, luego cumplen con lo espe ado.
Figu a 2.24: T ans o mación de Den diag amas equi alen es.
Pa a p oba la unicidad de ac o ización, son necesa ios algunos esul ados, análogos
al caso de la ac o ización de núme os na u ales. Sabemos que, dados a, b ∈N, si
exis e pp imo al que pdi ide a ab pe o no di ide a a, en onces pdi ide a b. Es a
p opiedad puede se eesc i a:
P oposición 2.26. Sean a, b, p ∈N, con pp imo. Si exis e q∈N al que pq =ab,
en onces se iene una de las siguien es a i maciones:
1. Exis e c∈N al que a=pc yq=cb.
2. Exis e c∈N al que b=pc yq=ca.
Enunciamos aho a la p opiedad análoga pa a nudos. Omi imos la p ueba po ex en-
sión, que puede consul a se en [5, Teo ema 4.5.2].
P oposición 2.27. Sea un nudo Kcon las ac o izaciones K=KA#KB=KP#KQ,
con KPp imo. En onces se iene una de las siguien es a i maciones:
1. Exis e un nudo KC al que KA=KP#KCyKQ=KC#KB.
2. Exis e un nudo KC al que KB=KP#KCyKQ=KC#KA.
La siguien e p oposición nos da una p opiedad de cancelación que ambién iene su
equi alen e en el caso de núme os na u ales: dados b, p, q ∈N, con pp imo, sabemos
que, si pq =pb, en onces q=b.
P oposición 2.28. Sea KPun nudo p imo al que KP#KQ=KA#KB. Si KP=KA,
en onces KQ=KB.
Demos ación. Analicemos los dos posibles casos de la P oposición 2.27, eniendo en
cuen a que, po hipó esis, KP=KA. Si se da el p ime caso, exis e un nudo KCcon
KA=KP#KC=KA#KCyKQ=KC#KB. Pues o que g(KA) = g(KA#KC), la

2. eo ía de nudos 27
e ce a p opiedad del géne o de un nudo implica que necesa iamen e KCha de se el
nudo i ial. Po an o, KQ=#KB=KB. Análogamen e, si se cumple el segundo
caso, exis e un nudo KCcon KB=KP#KC=KA#KCyKQ=KC#KA. Luego,
po se la suma concexa conmu a i a, KQ=KB.
Con es as dos p opiedades es amos en condiciones de p oba el eo ema de unicidad
de ac o ización. Es análogo al esul ado de ac o ización de núme os na u ales como
p oduc o de núme os p imos, y nos pe mi e ca ac e iza un nudo po sus ac o es
p imos.
Teo ema 2.29. La ac o ización de un nudo no i ial como suma conexa de nudos p i-
mos es única sal o o den.
Demos ación. Sea Kun nudo no i ial. Supongamos que se puede descompone
como la suma conexa de nudos p imos Ai, Bjcon i= 1, . . . , m y con j= 1, . . . , n,
de dos o mas dis in as:
K=A1#A2#· · · #Am=B1#B2#· · · #Bn.
P obemos que m=ny que exis e una pe mu ación πde {1, .., n} al que Ai=Bπ(i).
Veámoslo po inducción en m(el núme o de ac o es de la p ime a descomposición
de K).
Si m= 1, en onces K=A1=B1#B2#· · · #Bn. Po la P oposición 2.27, dado que
A1es p imo, ha de se un ac o de B1o de B2#· · · #Bn. En el segundo caso, exis e
un nudo p imo KC al que A1#KC=B2#· · · #Bn, donde el núme o de ac o es del
segundo miemb o se ha is o educido en uno. De es a o ma, aplica íamos ecu si-
amen e el mismo a gumen o has a encon a un Bjcon j∈ {1, . . . , n}que enga a
A1como ac o . Pues o que A1yBjson p imos, necesa iamen e A1=Bj. Reo de-
nando los ac o es si hiciese al a, podemos supone que j= 1 y, po an o, A1=B1.
En consecuencia, A1apa ece en ambas descomposiciones y, po la P oposición 2.28,
=B2#· · · #Bn. El nudo i ial no iene ac o es no i iales, lo cual con adice
que los Bi, con i∈ {2, . . . , n}, sean p imos. Po an o, m=n= 1 yA1=B1.
Supongamos cie o el enunciado pa a un núme o de ac o es Aimeno que m, y o-
memos:
K=A1#· · · #Am=B1#· · · #Bn.
Deno emos KC=A2#· · · #Am, de modo que A1#KC=B1#· · · #Bn.De nue o,
po la P oposición 2.27, A1ha de se un ac o de B1o de B2#· · · #Bn. Usando el
azonamien o an e io , y eo denando si hiciese al a, podemos supone que A1=B1.
Po la P oposición 2.28 nos queda A2#· · · #Am=B2#· · · #Bn.Tenemos m−1
28 nudos, núme o de c uce y suma conexa
ac o es en el p ime é mino, po lo que podemos aplica la hipó esis de inducción,
con lo cual m−1 = n−1y exis e una pe mu ación πde {2, . . . , n} al que Ai=Bπ(i).
Po an o, m=nyAi=Bπ′(i)pa a una cie a pe mu ación π′de {1, . . . , n}, que
iene en cuen a la posible eo denación inicial y la pe mu ación π. Es o p ueba el
esul ado.
En ocasiones, puede se más sencillo abaja con los ac o es p imos de un nudo que
con el p opio nudo. De es a o ma, se ía deseable que el alo de un in a ian e en un
nudo compues o pudie a calcula se a pa i del alo del in a ian e en sus ac o es
p imos. En pa icula , exis en in a ian es numé icos pa a los que el alo asociado
al nudo compues o es la suma de los alo es co espondien es a los ac o es p imos.
Hemos is o que al es el caso del géne o de un nudo (Teo ema 2.24). Sin emba go,
pa a o os in a ian es, como el núme o de c uce o el núme o de desanudamien o,
demos a es a p opiedad es una cues ión abie a. Discu i emos es e p oblema en más
de alle en el e ce capí ulo.
Pa a inaliza el es udio de los concep os de la Teo ía de nudos necesa ios pa a nues o
abajo, in oducimos el polinomio de Jones, un in a ian e de enlaces o ien ados que
usa emos pa a p oba la P ime a Conje u a de Tai sob e el núme o de c uce de los
enlaces al e nan es en el Capí ulo 4.
2.4 El polinomio de Jones
El polinomio de Jones ue descubie o po Vaughan F. R. Jones en 1984 [8], po lo cual
ecibió la Medalla Fields en 1990. En es a sección lo p esen a emos siguiendo la ap o-
ximación hecha po Louis H. Kau man en [9], que in odujo en 1987 un polinomio
pa a diag amas no o ien ados, el co che e de Kau man, que pe mi e calcula de o ma
combina o ia el polinomio de Jones abajando con diag amas.
Nues o obje i o consis e, po an o, en asigna un polinomio a odo diag ama de un
enlace o ien ado, de mane a que sea in a ian e bajo los mo imien os de Reidemeis-
e y, en consecuencia, un in a ian e de enlaces o ien ados. Comencemos po una
de inición ecu si a que pe mi a calcula un polinomio a pa i de un diag ama, sim-
pli icando uno a uno sus c uces.
De inición 2.30. El co che e de Kau man de un diag ama Dno o ien ado, ⟨D⟩,
es un polinomio de Lau en en la a iable Acon coe icien es en e os, de inido po los
siguien es axiomas:
1. ⟨⟩ = 1;
2. ⟨D⟩=A⟨DA⟩+A−1⟨DB⟩;
2. eo ía de nudos 29
3. ⟨D⊔ ⟩ = (−A−2−A2)⟨D⟩;
donde  ep esen a el diag ama i ial del nudo i ial, y D, DA, DBson es diag a-
mas idén icos sal o en un en o no en el que di ie en como mues a la Figu a 2.25.
Figu a 2.25: Diag amas que apa ecen en la de inición del co che e de Kau man.
Decimos que DA( espec i amen e DB) se ob iene a pa i de Dal sua iza un c uce
según un sua izado de ipo A ( espec i amen e de ipo B).
Nos p egun amos si el co che e de Kau man es in a ian e an e las es ans o ma-
ciones de Reidemeis e . En es e sen ido, se iene el siguien e esul ado:
P oposición 2.31. El co che e de Kau man, ⟨·⟩, es in a ian e bajo los mo imien os de
Reidemeis e R2yR3.
Demos ación. Veamos p ime o la in a iancia del co che e de Kau man an e R2, ilus-
ado en la Figu a 2.10. Rep esen amos con un diag ama en el que encon amos un
en o no como el indicado po el símbolo. De la misma o ma se in e p e a án los de-
más símbolos que apa ezcan en los co che es. Si elegimos uno de los c uces de dicho
en o no y le aplicamos el segundo axioma de la De inición 2.30, ob enemos:
⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩.(2.1)
Si aplicamos el segundo y e ce axioma de la De inición 2.30 al c uce es an e del
en o no inicial en es os diag amas, se ob iene:
⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1(−A−2−A2)⟨ ⟩ =−A−3⟨ ⟩;
⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩.
Sus i uyendo es as exp esiones en 2.1, esul a:
⟨ ⟩ =⟨ ⟩,
lo que demues a la in a iancia del co che e de Kau man bajo el mo imien o R2.
30 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Pa a comp oba la in a iancia bajo R3, sua izamos un c uce en los dos diag amas
que in e ienen en la ans o mación, que ep esen amos como y , siguiendo
de nue o el segundo axioma de la De inición 2.30:
⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩;
⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩.
Hemos u ilizado el esul ado de que el co che e de Kau man es in a ian e bajo R2
pa a llega a las úl imas igualdades de cada co che e. Pues o que hemos llegado a
idén icas exp esiones de ⟨ ⟩ y⟨ ⟩, queda demos ada la in a iancia bajo R3.
Ya hemos p obado que el co che e de Kau man es in a ian e bajo los mo imien os de
Reidemeis e R2yR3. Pa a que ue a un in a ian e, el co che e de Kau man debe-
ía se ambién in a ian e bajo R1. Veamos qué sucede en es e caso. Deno emos po
,y diag amas que di ie en en un en o no como indica el dibujo co espon-
dien e, debido a una ans o mación R1. Siguiendo el segundo y e ce axioma de la
De inición 2.30, exp esamos:
⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A(−A−2−A2)⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =−A3⟨ ⟩;(2.2)
⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1⟨ ⟩ =A⟨ ⟩ +A−1(−A−2−A2)⟨ ⟩ =−A−3⟨ ⟩.(2.3)
Si el co che e de Kau man uese in a ian e bajo R1, debe ía cumpli ⟨ ⟩ =⟨ ⟩ =
⟨ ⟩. Sin emba go, es as igualdades no se sa is acen, pues las exp esiones ob enidas
en (2.2) y (2.3) son dis in as, y ampoco coinciden con ⟨ ⟩, ya que Aes una a iable.
Pa a esol e es e p oblema, debemos da nos cuen a de que con iene un c uce posi-
i o (independien emen e de la o ien ación omada), y apo a un ac o −A3, mien as
que con iene un c uce nega i o y añade un ac o −A−3. Po an o, nos ayuda e-
mos del signo de los lazos pa a anula el e ec o que in oducen al oma co che es de
Kau man:
De inición 2.32. Dado un diag ama o ien ado D, se de ine el polinomio de Jones aso-
ciado, J(D), como:
J(D) = (−A−3)w(D)⟨D⟩(A).
2. eo ía de nudos 31
Con es a de inición, ob enemos inalmen e la in a iancia buscada.
Teo ema 2.33. El polinomio de Jones es un in a ian e de enlaces o ien ados.
Demos ación. Dado un diag ama D, hemos p obado que ⟨D⟩es in a ian e bajo R2
yR3. Además, R2añade o elimina dos c uces, uno posi i o y o o nega i o necesa-
iamen e, po lo que p ese a la con o sión del diag ama. Po o a pa e, R3cambia
la disposición de los c uces, pe o el núme o de c uces de cada signo es el mismo, po
lo que la con o sión se p ese a. Un ejemplo de es as modi icaciones se mues a en la
Figu a 2.26.
Figu a 2.26: Ejemplo del cambio de signo de los c uces bajo R2yR3.
Fal a es udia cómo cambia J(D)al aplica un mo imien o R1. Si añadimos en un
en o no de Dun lazo posi i o, dando luga a , enemos que w( ) = w(D)+1y,
como ya imos, ⟨ ⟩ =−A3⟨D⟩. En de ini i a, J( ) = (−A−3)w(D)+1(−A3)⟨D⟩=
(−A−3)w(D)⟨D⟩=J(D).
Análogamen e, si añadimos a Dun lazo nega i o, dando luga a , esul a w( ) =
w(D)−1y⟨ ⟩ =−A−3⟨D⟩. Po an o, J( ) = (−A−3)w(D)−1(−A−3)⟨D⟩=
(−A−3)w(D)⟨D⟩=J(D).
Po odo ello, J(D)es in a ian e bajo los es mo imien os de Reidemeis e , po lo
que es un in a ian e de enlaces o ien ados.
Como consecuencia, podemos de ini el polinomio de Jones del enlace o ien ado L,
J(L), como el polinomio de Jones de cualquie diag ama o ien ado que lo ep esen e.
Pa a acili a el cálculo del co che e de Kau man de un diag ama, nos ayuda emos
de un á bol bina io, denominado á bol de esolución. La aíz del á bol ep esen a
al diag ama D, cuyo co che e de Kau man se desea calcula . De él salen dos hijos, el
de la izquie da co esponde al diag ama ob enido de ealiza un sua izado de ipo A
sob e un c uce de D, y el de la de echa co esponde á a aplica al mismo c uce un
sua izado de ipo B. Si los diag amas hijos siguen eniendo algún c uce, cada una de
las amas que ep esen an se ol e á a di idi en dos, de la misma o ma. El p oce-
so de ami icación se epi e has a habe sua izado odos los c uces. Cada ama que
co esponda a ealiza un sua izado de ipo A( espec i amen e, de ipo B), i á acom-
pañada de una e ique a A( espec i amen e, A−1), con la idea de codi ica la elación

32 nudos, núme o de c uce y suma conexa
de madeja del co che e (es deci , la elación 2 en la De inición 2.30). Las hojas del á bol
se án los diag amas esul an es de sua iza odos los c uces de D, que denomina e-
mos es ados de Kau man:
De inición 2.34. Sea Dun diag ama y Cel conjun o de sus c uces. Se denomina es ado
de Kau man de Da oda aplicación s:C−→ {A, B}. Recibi án ambién el nomb e
de es ados de Kau man, y se deno a án sD, los diag amas esul an es de aplica a cada
c uce el sua izado del ipo co espondien e a la e ique a asignada po s. En pa icula , sA
( espec i amen e sB) deno a á el es ado que asigna la e ique a A( espec i amen e B) a
odos los c uces de D, y sAD( espec i amen e sBD) deno a á el diag ama ob enido de
aplica sua izados de ipo A( espec i amen e de ipo B) a odos los c uces de D.
Figu a 2.27: Ejemplo de es ado de Kau man de un diag ama.
Pues o que podemos asigna a cada c uce dos posibles e ique as, si el diag ama D
enía cc uces, end emos un o al de 2ces ados posibles, co espondiendo cada uno
de ellos a una hoja en el á bol de esolución de D. Es os end án dados po una se ie
de cí culos ( opológicos), cuyo núme o pa a el es ado sdeno a emos |s|. Obse emos
que, si pa a calcula ⟨D⟩aplicá amos el segundo axioma de la De inición 2.30 ecu -
si amen e, ob end íamos inalmen e un sumando po cada uno de es os es ados. El
co che e de un es ado sD con ibui á a la suma con un ac o dado po el p oduc o de
las e ique as que acompañan al único camino que lo conec a con la aíz. Si llamamos
nA( espec i amen e nB) al núme o de e ique as A( espec i amen e, B) asignadas
po sa los c uces de D, end emos que dicho ac o se á AnA−nB. Con es as conside-
aciones, podemos exp esa :
⟨D⟩=X
ses ado de
D
AnA−nB⟨sD⟩=X
ses ado de
D
ÄAnA−nB−A2−A−2|s|−1ä.(2.4)
Ejemplo 2.35.Veamos cómo calcula el polinomio de Jones del nudo ébol, a pa i
del diag ama que se mues a en la aíz del á bol de esolución de la Figu a 2.28.
2. eo ía de nudos 33
Figu a 2.28: Á bol de esolución del nudo ébol.
De es a o ma, ob enemos:
⟨ ⟩ =A3(−A2−A−2)2+A2A−1(−A2−A−2) + A2A−1(−A2−A−2) + AA−2+
A2A−1(−A2−A−2) + AA−2+AA−2+A−3(−A2−A−2) = A7−A3−A−5.
Los es c uces del diag ama son nega i os, como se mues a en la Figu a 2.29 y,
po an o, w( ) = −3. Así, pa a calcula su polinomio de Jones, enemos:
J( ) = −A9(A7−A3−A−5) = −A16 +A12 +A4.
Figu a 2.29: Signo de los c uces del diag ama del nudo ébol.
Usando un p ocedimien o análogo, podemos calcula el polinomio de Jones de la ima-
gen especula del nudo ébol:
J() = A−4+A−12 −A−16.
El polinomio de Jones es un in a ian e de nudos, pues pa a cualquie diag ama D
de un nudo, w(D) = w(−D). Pues o que los polinomios de Jones del nudo ébol
y de su imagen especula no coinciden, concluimos que el ébol es qui al, como ya
adelan amos en la sección 2.1.1.
34 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Una ez que hemos is o cómo calcula el polinomio de Jones, es udiemos con más
de alle cómo se compo a es e in a ian e an e cie as ope aciones de enlaces.
Teo ema 2.36. Sean L, L1yL2enlaces o ien ados. El polinomio de Jones cumple las
siguien es p opiedades:
1. J(−L) = J(L).
2. J(L∗)(A) = J(L)(A−1).
3. Si L1⊔L2es un enlace sepa able (De inición 2.2), en onces
J(L1⊔L2)=(−A2−A−2)J(L1)J(L2).
4. J(L1#L2) = J(L1)J(L2).
Demos ación. 1. Po se el polinomio de Jones un in a ian e de enlaces o ien-
ados, bas a oma un diag ama o ien ado Dque ep esen e a L. En onces, el
diag ama −Dque cambia odas las o ien aciones de D ep esen a á a −L. Po
an o, debemos p oba que
J(D) = (−A−3)w(D)⟨D⟩(A) = (−A−3)w(−D)⟨−D⟩(A) = J(−D).
Po una pa e, in e i la o ien ación de odas las componen es p ese a el signo
de los c uces, como mues a la Figu a 2.30 y, po an o, ampoco a ia á w(D),
es deci , w(D) = w(−D).
Figu a 2.30: Cambio en la o ien ación de los c uces según el signo.
Po o a pa e, ambién se cumple que ⟨D⟩=⟨−D⟩, pues el co che e de Kau man
es independien e de la o ien ación. De es a o ma, J(D) = J(−D).
2. De nue o, sea un diag ama Dde L. En D∗, que ep esen a al enlace especula
L∗, los c uces cambian de signo, como se mues a en la Figu a 2.31. Po an o,
w(−D) = −w(D).
Figu a 2.31: Cambio en el signo de un c uce al oma imagen especula .
2. eo ía de nudos 35
Aho a eamos que ⟨D∗⟩(A) = ⟨D⟩(A−1) :
Si cambiamos el c uce de Dpo el c uce especula , dando luga a D′, el
segundo axioma de la De inición 2.30 se á análogo, cambiando Apo A−1:
⟨D′⟩=A−1⟨DA⟩+A⟨DB⟩
Po an o, si cambiamos odos los c uces y calculamos ⟨D∗⟩, los diag amas e-
sul an es as sua iza odos ellos se án los mismos, pe o hab án cambiado la
a iable Apo A−1. Dado que el ac o (−A2−A−2)asociado a |s| − 1cí cu-
los de cada es ado sno se modi ica al cambia la a iable Apo A−1, podemos
exp esa : ⟨D∗⟩(A) = ⟨D⟩(A−1).
3. Sean D1yD2diag amas de L1yL2, espec i amen e, y conside emos el diag a-
ma sepa ado D1⊔D2de L1⊔L2. La suma de los signos de los c uces o ales se á
la suma de w(D1)yw(D2). Po an o, w(D1⊔D2) = w(D1)+w(D2). Además,
podemos sua iza ecu si amen e los c uces de D1en D1⊔D2has a ob ene
diag amas de la unión disjun a de D2con una se ie de cu as ce adas simples.
Si mul iplicamos sus espec i os co che es po los ac o es (−A2−A−2)que
co espondan pa a que quede una única cu a ce ada simple donde es aba D1,
llega emos a un polinomio con el ac o ⟨ ⊔ D2⟩en odos los sumandos. Si
sacamos ac o común, pues o que el p oceso ecu si o ha sido independien e
de D2, ob end emos: ⟨D1⊔D2⟩=⟨D1⟩⟨ ⊔ D2⟩= (−A2−A−2)⟨D1⟩⟨D2⟩.
4. Sean D1yD2diag amas de L1yL2de mane a que al conside a D1#D2, e-
p esen ando a L1#L2, no se añada ningún c uce al conjun o de c uces de D1
yD2. Po an o, como en el caso an e io , w(D1#D2) = w(D1) + w(D2). Po
o a pa e, p ocedemos de o ma análoga sua izando los c uces co espondien-
es a D1y mul iplicando po el ac o (−A2−A−2)si uese necesa io. Iden-
i icando #D2con D2, end emos es a ez el ac o ⟨D2⟩en cada sumando.
Ya que el p oceso de simpli icación es independien e de D2, se concluye que
⟨D1#D2⟩=⟨D1⟩⟨D2⟩.
Obse emos que, como explicamos en la sección 2.3, el enlace L1#L2no es á
de inido en gene al, pues o que no se indica sob e qué componen es se e ec úa
la suma conexa. Sin emba go, la p opiedad 4 del Teo ema 2.36 se iene pa a
cualquie a de las posibles elecciones de L1#L2.
42 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Con es as conside aciones, es amos en disposición de encon a unas co as en el g a-
do de ⟨D⟩:
Teo ema 4.4. Sea Dun diag ama, en onces:
g maxA⟨D⟩⩽c(D)+2|sA(D)| − 2
g minA⟨D⟩⩾−c(D)−2|sB(D)|+ 2
Si Des adecuado, en onces se ienen ambas igualdades.
Demos ación. Po el azonamien o con el que analizamos los posibles g ados máximo
y mínimo de la exp esión (4.1), sabemos que el g ado de ⟨D⟩se á, a lo sumo, el
máximo exponen e que p opo ciona sA. De es a exp esión se ob iene el esul ado so-
b e g maxA⟨D⟩, eniendo en cuen a que en sA,nA=c(D)ynB= 0. Análogamen e,
el mínimo exponen e no puede se in e io al p opo cionado po sB, donde nA= 0 y
nB=c(D). En el caso de que Dsea adecuado, como obse amos an e io men e, el
único es ado que con ibuye al monomio con exponen e máximo ( espec i amen e,
mínimo) del co che e de Kau man de Des sA( espec i amen e, sB), luego se cumple
la igualdad.
Como co ola io, combinando ambas desigualdades enemos una co a pa a el ancho
de ⟨D⟩:
Co ola io 4.5. Pa a odo diag ama de enlace D, se iene
g maxA⟨D⟩ − g minA⟨D⟩⩽2c(D) + 2 (|sAD|+|sBD|)−4.(4.2)
Si Des adecuado, se da la igualdad.
Nos in e esa á abaja con diag amas adecuados pa a ob ene la igualdad. A con i-
nuación, p obamos que la amilia de enlaces adecuados con iene a la clase de enlaces
al e nan es:
P oposición 4.6. Un diag ama al e nan e educido es adecuado.
Demos ación. Comencemos p obando la siguien e p opiedad:
Si Des un diag ama al e nan e, en onces es posible da una colo ación a Dusando solo
dos colo es (blanco y neg o), de o ma que egiones adyacen es no engan el mismo colo
(colo eado de able o de ajed ez) y los cí culos del es ado sADencie en egiones del
mismo colo , que supond emos blancas, y los cí culos de sBDencie en egiones del colo
opues o, que supond emos neg as.

4. enlaces al e nan es 43
Sea Dun diag ama al e nan e. Conside amos una egión Ren D. Exis en exac amen e
dos disposiciones de a cos posibles pa a R. Di emos que Res de ipo I si, al eco e su
on e a en el sen ido de las agujas del eloj, al llega a un c uce, el a co que eco emos
es á más alejado del oco de la p oyección que el o o a co del c uce, como se mues a
en la pa e izquie da de la Figu a 4.3. Po el con a io, di emos que la egión Res de
ipo II si el a co que se eco e siguiendo el sen ido de las agujas del eloj es el más
p óximo al oco de la p oyección en el siguien e c uce, como se mues a en la pa e
de echa de la Figu a 4.3.
Figu a 4.3: Regiones de ipo I y II en un diag ama al e nan e.
Obse emos que, dado un c uce cualquie a, siemp e inciden dos egiones en en adas
de ipo I y dos egiones en en adas de ipo II. Si colo eamos las egiones de ipo I de
blanco y las de ipo II en neg o, como mues a la Figu a 4.4, dado que las egiones
adyacen es son de dis in o ipo, se án ambién de dis in o colo . El esul ado es un
colo eado de able o de ajed ez de D.
Figu a 4.4: Regiones que in e ienen en un c uce.
A con inuación, aplicamos sua izados de ipo Aa odos los c uces. De es a o ma,
las egiones blancas quedan ence adas en cí culos, an o pa a las egiones de ipo I
como las de ipo II, al y como mues a la Figu a 4.5.
Figu a 4.5: sAD(en ojo) según el ipo de egión.
44 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Cabe menciona que pod ía da se el caso de que un cí culo en sADanida a a los
demás; en ese caso, es posible que la egión blanca ue a la egión no aco ada. Si
isualizamos el diag ama en la 2-es e a S2, el cí culo ex e io se puede en ende como
la on e a de dicha egión blanca, aho a aco ada, y la a i mación sigue siendo álida.
Es o es lo que ocu e, po ejemplo, en el diag ama del conocido como nudo ébol de
mano de echa que se mues a en la Figu a 4.6.
Figu a 4.6: Ejemplo de cí culos anidados en sAD.
P ocediendo de mane a análoga ealizando sua izados de ipo B, p obamos que en
sBDlos cí culos encie an egiones de colo neg o.
Po úl imo, debemos p oba el siguien e hecho: si, además, Des educido, la p opiedad
an e io implica que Des adecuado.
Pensemos en un c uce ccon sua izado de ipo A. Pa a que los a cos que sus i uyen al
c uce o men pa e de un mismo cí culo, debe ocu i que las cua o egiones adya-
cen es en cno sean odas ellas dis in as, sino que las dos egiones de ipo I (blancas),
sean en ealidad la misma egión. Es o implica que ces un c uce educible, como se
mues a en la Figu a 4.7. Pe o habíamos supues o que Des educido, po lo que es o
no puede sucede , y Des A-adecuado. Siguiendo un azonamien o análogo pa a sBD,
llegamos a que Des B-adecuado, con lo cual Des un diag ama adecuado.
Figu a 4.7: Caso en el que las egiones de ipo I de un c uce son la misma.
Toda ía no hemos conseguido nues o obje i o, pues la co a ob enida en el Co ola-
io 4.5 depende de |sAD|y|sBD|, que no son in a ian es. El siguien e esul ado, cuya
p ueba puede consul a se en [5, Lema. 9.4.3.], nos pe mi e soluciona es e p oblema.
4. enlaces al e nan es 45
Lema 4.7. Sea Dun diag ama conexo. En onces,
|sA|+|sB| ≤ 2 + c(D).(4.3)
Si Des al e nan e, en onces enemos la igualdad.
Combinando los esul ados an e io es, encon amos una desigualdad pa a el núme o
de c uces de un diag ama:
Teo ema 4.8. Sea Dun diag ama conexo. En onces,
ancho(J(D)) = ancho(⟨D⟩)≤4c(D).
Además, si Des al e nan e e i educible, se iene la igualdad.
Demos ación. Sea Dun diag ama conexo. Del Lema 4.7, enemos que |sA|+|sB| ≤
2 + c(D). Si sus i uimos es a exp esión en la desigualdad (4.2), ob enemos:
g maxA⟨D⟩ − g minA⟨D⟩⩽2c(D) + 2 (|sAD|+|sBD|)−4≤4c(D).
Po el Teo ema 4.6, si Des al e nan e y educido, en onces es adecuado y, po el
Co ola io 4.5, la p ime a desigualdad es una igualdad. Además, po se al e nan e, el
Lema 4.7 implica que se iene ambién la segunda igualdad, con lo que concluimos
que
ancho(J(D)) = 4c(D).
4.2 P ueba de la Conje u a
El Teo ema 4.8 implica que, si Des un diag ama al e nan e e i educible, se á minimal
pa a el núme o de c uces. Como consecuencia, se demues a la Conje u a 3.1 pa a el
caso de diag amas al e nan es y educidos.
Teo ema 4.9. Si K1, K2son nudos al e nan es, en onces
c(K1#K2) = c(K1) + c(K2).
Demos ación. Dados dos nudos al e nan es K1, K2, bas a oma diag amas al e nan-
es y educidos D1, D2, de o ma que el diag ama D1#D2no añada c uces adicionales
46 nudos, núme o de c uce y suma conexa
al conjun o de los c uces de D1yD2. Además, siemp e es posible elegi D1#D2al e -
nan e, escogiendo adecuadamen e los pun os cuyos en o nos eliminamos pa a que, al
uni los ex emos, el o den de al e nancia de los diag amas sea compa ible. Aplicando
la P ime a Conje u a de Tai (Teo ema 4.1), enemos que
c(K1#K2) = c(D1#D2) = c(D1) + c(D2) = c(K1) + c(K2).
Ejemplo 4.10.Veamos con un ejemplo cómo es posible encon a siemp e un diag ama
al e nan e de la suma conexa de dos nudos al e nan es. Supongamos que que emos
calcula la suma conexa de los nudos al e nan es 52y62con las o ien aciones mos-
adas en la Figu a 4.8.
Figu a 4.8: Diag amas al e nan es y educidos de los nudos 52y62.
La suma conexa 62#52se ep esen a en el diag ama de la izquie da en la Figu a 4.9.
Es e diag ama, sin emba go, no es al e nan e. Pa a ob ene un diag ama equi alen e
que sea al e nan e, bas a elegi o o pun o del nudo 62pa a ealiza la suma conexa.
Es o se consigue en el diag ama de 62#52que se mues a en la pa e de echa de la
Figu a 4.9. De es a o ma, hemos log ado encon a un diag ama al e nan e y educido
de la suma conexa 62#52.
Figu a 4.9: Diag amas de la suma conexa 62#52.
Podemos i más allá y da una elación en e c(K1#K2)yc(K1)cuando K1es al e -
nan e:
4. enlaces al e nan es 47
P oposición 4.11. Sean dos nudos K1yK2, con K1al e nan e. En onces, se e i ica la
desigualdad:
c(K1#K2)≥c(K1).
Demos ación. Sean D1yD2diag amas de K1yK2, espec i amen e, con D1al-
e nan e e i educible. Sea Dun diag ama de la suma conexa K1#K2. Po se D1
al e nan e, del Teo ema 4.8, se iene que 1
4ancho(J(D1)) = c(D1). Teniendo es o en
cuen a, y po la adi i idad del ancho del polinomio de Jones bajo suma conexa, que
deducimos de la cua a p opiedad del Teo ema 2.36, se ob iene:
c(D)≥1
4ancho(J(D)) = 1
4ancho(J(D1#D2)) = 1
4(ancho(J(D1))+ancho(J(D2))) =
c(D1) + 1
4ancho(J(D2))) ≥c(D1).
Po se D1al e nan e e i educible, es minimal pa a el núme o de c uce, luego c(D1) =
c(K1).Además, la desigualdad c(D)≥c(K1)es independien e del diag ama de la
suma conexa elegido, po lo que se concluye el esul ado:
c(K1#K2)≥c(K1).
Los nudos al e nan es o man una amilia de nudos de g an in e és pa a el cálculo del
núme o de c uce. En pa icula , odos los nudos de has a sie e c uces son al e nan es,
po lo que podemos calcula el núme o de c uce de cualquie suma conexa que enga
a es os como ac o es.

5 Nudos ó icos
En es e capí ulo p oba emos la Conje u a 3.1 pa a una nue a clase de nudos, los nu-
dos de de iciencia ce o (De inición 5.12). Es a nue a amilia iene in e sección no acía
con la amilia de nudos al e nan es a ada en el Capí ulo 4. Además, exis en nudos
al e nan es que no ienen de iciencia ce o, y a la in e sa, exis en nudos de de icien-
cia ce o que no son al e nan es. La clase de nudos con de iciencia ce o con iene a los
denominados nudos ó icos. Pa a ep esen a es os nudos en el plano y p oba algu-
nas de sus p opiedades, se á ú il in oduci algunos concep os sob e un g upo que,
como e emos, es á ín imamen e elacionado con los enlaces: el g upo de enzas de
ncue das, Bn. En es e capí ulo, la p incipal e e encia se á [1].
5.1 El g upo de enzas Bn
Podemos pensa en una enza ma emá ica como una colección de ncue das, odas
ellas ijadas a dos ba as ho izon ales po sus dos ex emos, de o ma que la coo de-
nada en el eje e ical pa a cada cue da a íe monó onamen e al eco e la. Es deci ,
cada cue da in e seca odo plano ho izon al en e las dos ba as una única ez. En la
Figu a 5.1 se mues a un ejemplo de enza.
Figu a 5.1: Ejemplo de enza de cua o cue das.
Pa a cualquie núme o de cue das, n, la enza más sencilla es aquella en la que las
ncue das no cambian su posición ho izon al en ningún momen o. A es a enza se
la denomina enza i ial, y la deno amos po ε. O o ejemplo de enza que se á de
u ilidad es aquel que se di e encia de la enza i ial en que la cue da (i+ 1)-ésima
pasa po delan e de la cue da i-ésima una ez, de o ma que los ex emos in e io es de
es as dos cue das han in e cambiado posiciones espec o a los ex emos supe io es.
5. nudos ó icos 49
Deno a emos a es a enza po σi. En caso de que sea la cue da i-ésima la que c uza
po delan e a la cue da (i+1)-ésima, la deno a emos σ−1
i. Es os ejemplos se mues an
en la Figu a 5.2.
Figu a 5.2: Ejemplos de enzas de ncue das.
No a 5.1.De mane a análoga al caso de los enlaces, ep esen amos las enzas en el
plano median e p oyecciones en las que el núme o de pun os que sean imagen de dos
pun os de la enza sea ini o. A es os pun os de la p oyección se les denomina c uces.
No admi i emos la exis encia de pun os con más de dos p eimágenes, ni de angencias.
Es as p oyecciones, que denomina emos diag amas, inclui án in o mación sob e el
o den de supe posición de las cue das is o desde el oco de la p oyección. Es o se
ealiza á de la misma mane a que pa a diag amas de nudos, eliminando segmen os a
cada lado del c uce sob e la cue da in e io .
Al igual que pa a los enlaces, que emos que las enzas no sean obje os ígidos. Po
ello, pe mi i emos de o ma las cue das de la enza sin ompe las ni sepa a los ex-
emos ijados a las ba as ho izon ales, de mane a que cada cue da descienda en su
eco ido desde la ba a supe io has a la in e io . Las enzas que es én elacionadas
median e es os mo imien os se di án equi alen es y, a pa i de aho a, conside a e-
mos que son la misma enza.
Con es a conside ación, denominamos Bnal conjun o de enzas de ncue das que,
como e emos, puede do a se de es uc u a de g upo. Pa a ello, de inimos una ope a-
ción en es e conjun o:
De inición 5.2. Dadas dos enzas de ncue das, β1yβ2, de inimos la composición de
β1con β2, que deno amos β1β2, como la enza de ncue das que esul a de iden i ica
los nex emos in e io es de las cue das de β1con los nex emos supe io es de las cue das
de β2.
La Figu a 5.3 ilus a es a de inición.
50 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Figu a 5.3: Ejemplo de composición de dos enzas.
Po an o, la composición de enzas es una ope ación que ac úa sob e el conjun o de
enzas de ncue das. Es á bien de inida, ya que la composición de enzas equi alen es
da á luga a composiciones equi alen es, pues podemos ans o ma una en la o a
usando las mismas de o maciones que en las enzas indi iduales.
Obse emos que, dada una enza cualquie a, podemos exp esa la como composición
de enzas de ipo σiyσ−1
i, con i∈ { 1, . . . , n −1}. Pa a ello, bas a ealiza pequeñas
modi icaciones en las cue das pa a que no coincidan c uces a la misma al u a. De es a
o ma, componiendo los σio los σ−1
ico espondien es a cada c uce, en o den dec e-
cien e de la coo denada e ical comenzando po el c uce a mayo al u a, ob enemos
la enza dada.
P oposición 5.3. La composición de enzas desc ibe una ope ación que do a de es uc-
u a de g upo al conjun o de enzas de ncue das.
Demos ación. En p ime luga , exis e un elemen o neu o, dado po la enza i ial,
ε, pues el esul ado de compone cualquie enza con la i ial es la p opia enza.
En segundo luga , la composición es asocia i a, ya que el esul ado de compone en-
zas en dis in os ex emos de las cue das es independien emen e del o den en el que
se añadan.
Po úl imo, es posible comp oba , a pa i del diag ama de la Figu a 5.4, que se cumplen
las igualdades σiσ−1
i=σ−1
iσi=ε. En es e sen ido, decimos que las enzas σ−1
ison
las in e sas pa a la composición de las σi.
Figu a 5.4: Le as in e sas.
5. nudos ó icos 51
Dado que podemos exp esa cualquie enza βcomo composición de σiyσ−1
icon
i∈ { 1, . . . , n −1}, su elemen o in e so end á dado po la composición de los
in e sos de los σioσ−1
ide cada c uce de β, en el o den in e so, es deci , comenzando
po el c uce in e io de βy e minando po el de mayo al u a. E ec i amen e, si
β=σj1
i1σj2
i2· · · σjm
im, donde jk∈ {−1,1}, con k= 1, . . . , m, en onces
(σj1
i1σj2
i2· · · σjm
im)(σ−jm
im· · · σ−i2
i2σ−j1
i1) = σj1
i1σj2
i2· · · (σjm
imσ−jm
im)· · · σ−j1
i1=
σj1
i1σj2
i2· · · (σjm−1
im−1εσ−jm−1
im−1)· · · σ−j1
i1=σj1
i1σj2
i2· · · σjm−1
im−1σ−jm−1
im−1· · · σ−j1
i1=· · · =ε.
De la misma o ma, se p ueba:
(σ−jm
im· · · σ−j2
i2σ−j1
i1)(σj1
i1σj2
i2· · · σjm
im) = ε.
Pues o que oda enza de ncue das se puede exp esa en unción de las enzas σiy
sus in e sas, con i∈ {1, . . . , n −1}, decimos que {σ1, . . . , σn−1}es un conjun o de
gene ado es del g upo Bn. Además, es os gene ado es cumplen una se ie de elacio-
nes:
P oposición 5.4. Los gene ado es del g upo Bnsa is acen las siguien es p opiedades:
1. σiσj=σjσi, si |i−j|>1;
2. σiσi+1σi=σi+1σiσi+1.
Demos ación. 1. Pa a la p ime a p opiedad, la hipó esis implica que i≥j+ 2 o
j≥i+2, con lo cual las cue das en las posiciones i, i+1, j, j +1 se án dis in as
en e sí. Dado que σia ec a a las cue das en las posiciones iei+ 1, mien as
que σjac úa sob e las que es én en las posiciones jyj+ 1, pe mu a el o den
de σiyσjno al e a el esul ado.
2. La Figu a 5.5 ep esen a diag amas espec i os de σiσi+1σiy de σi+1σiσi+1. Se
comp ueba que podemos pasa de una enza a o a desplazando la cue da que
pa e de i+ 2 (en g is), de o ma que cambie su posición espec o al c uce que
exis e en e las o as dos cue das, señaladas en ojo.
58 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Sabemos que b′(L)yg(L)son adi i os pa a la suma conexa (Teo emas 5.8 y 2.24).
Además, µ(L1#L2) = µ(L1) + µ(L2)−1y, exp esándolo en el núme o de com-
ponen es educido, µ′(L1#L2) = µ′(L1) + µ′(L2). En base a es as conside aciones,
llegamos al siguien e co ola io:
Co ola io 5.15. Dados dos enlaces L1yL2, se iene
c(L1#L2)≥c(L1)−d(L1) + c(L2)−d(L2).
Demos ación. Aplicando el Teo ema 5.14 a la suma conexa L1#L2, y po la adi i idad
de b′(L1#L2), g(L1#L2)yµ′(L1#L2), podemos exp esa :
c(L1#L2)≥b′(L1#L2)+2g(L1#L2) + µ′(L1#L2) =
b′(L1) + b′(L2)+2g(L1)+2g(L2) + µ′(L1) + µ′(L2).
Po la de inición de de iciencia de un enlace (De inición 5.12), concluimos que:
c(L1#L2)≥c(L1)−d(L1) + c(L2)−d(L2).
Pues o que la desigualdad c(L1#L2)≤c(L1) + c(L2)es siemp e cie a, el Co o-
la io 5.15 nos sugie e una condición su icien e pa a que la desigualdad con a ia se
e i ique y, de es a o ma, ob engamos la igualdad:
Teo ema 5.16. Sean L1yL2dos enlaces ales que d(L1) = d(L2) = 0. En onces
c(L1#L2) = c(L1) + c(L2)yd(L1#L2)=0.
Demos ación. Si las de iciencias de L1yL2son nulas, del Co ola io 5.15, deducimos
que
c(L1#L1)≥c(L1) + c(L2).
La o a desigualdad es siemp e cie a (lo p obamos en la P oposición 3.2), luego se e-
i ica la igualdad. Además, de las p opiedades de adi i idad del géne o (Teo ema 2.24),
el índice de enza educido (Teo ema 5.8) y el núme o de componen es educido bajo
la suma conexa, se deduce:
d(L1#L2) = c(L1#L2)−2g(L1#L2)−b′(L1#L2)−µ′(L1#L2) =
c(L1)+c(L2)−2g(L1)−2g(L2)−b′(L1)−b′(L2)−µ′(L1)−µ′(L2) = d(L1)+d(L2)=0.

5. nudos ó icos 59
Es o demues a que la clase de los nudos de de iciencia ce o es ce ada pa a la suma
conexa, y la Conje u a 3.1 queda demos ada pa a es a clase. Más aún, podemos da
una co a en el caso de que solo uno de los ac o es enga de iciencia ce o:
Teo ema 5.17. Sean L1yL2dos enlaces con d(L1)=0. En onces c(L1#L2)≥c(L1).
En pa icula , si K2es un nudo no i ial, se cumple c(L1#K2)≥c(L1)+3.
Demos ación. Si sus i uimos d(L1)=0en el Co ola io 5.15, ob enemos la desigual-
dad:
c(L1#L2)≥c(L1) + c(L2)−d(L2).(5.2)
Po o a pa e, de la de inición de de iciencia (De inición 5.12), podemos exp esa :
c(L2)−d(L2) = b′(L2)+2g(L2) + µ′(L2).
Teniendo en cuen a que b(L2)≥1,g(L2)≥0yµ(L2)≥1, sabemos que los pa áme-
os en la pa e de echa de la igualdad an e io son no nega i os, con lo que deducimos
que c(L2)−d(L2)≥0. Finalmen e, concluimos de la desigualdad (5.2):
c(L1#L2)≥c(L1).
En el caso de que K2sea un nudo no i ial, µ′(K2)=0, g(K2)≥1yb′(K2)≥1, pues
el único nudo con géne o ce o o con núme o de enza uno es el i ial. Sus i uyendo
en la desigualdad (5.2):
c(L1#K2)≥c(L1) + b′(K2)+2g(K2) + µ′(K2)≥c(L1)+3,
lo que comple a la p ueba.
Hemos demos ado la adi i idad del núme o de c uce pa a la amilia de enlaces de
de iciencia ce o. Podemos plan ea nos qué amilias de enlaces ya conocidas ienen
de iciencia ce o. Den o de los enlaces al e nan es, exis en ejemplos, como el 31, que
ienen de iciencia ce o, pues g(31) = 1, b′(31) = 1 y iene solo una componen e. Sin
emba go, no odos los enlaces al e nan es cumplen es a p opiedad. Tal es el caso del
nudo 74, que es al e nan e, pe o c(74) = 7, g(74) = 1,b′(74) = 3 y, po se un nudo,
solo iene una componen e, luego d(74)=7−3−2·1−0=2. Ve emos que, además,
odos los nudos ó icos ienen de iciencia ce o.
Pa a calcula la de iciencia de los nudos ó icos, necesi amos una exp esión pa a los
dis in os in a ian es que in e ienen en la de inición de de iciencia.
60 nudos, núme o de c uce y suma conexa
Teo ema 5.18. Sea T(p, q)un nudo ó ico. En onces:
1. [13] Su núme o de c uce iene dado po c(T(p, q)) = (p−1)q.
2. [18] Su géne o iene dado po g(T(p, q)) = 1
2(p−1)(q−1).
3. [17] Su índice de enza iene dado po b(T(p, q)) = p.
Finalmen e, dado que los nudos ienen una única componen e, µ(T(p, q)) = 1, luego
µ′(T(p, q)) = 0. Es amos en condiciones de e alua la de iciencia de los nudos ó icos:
Po de inición:
d(T(p, q)) = c(T(p, q)) −b′(T(p, q)) −2g(T(p, q)) −µ′(T(p, q)).(5.3)
Como consecuencia del pun o 3 del Teo ema 5.18, enemos
b′(T(p, q)) = b(T(p, q)) −1 = p−1.
Sus i uyendo los dis in os in a ian es en la exp esión (5.3):
d(T(p, q)) = (p−1)q−(p−1) −21
2(p−1)(q−1) + 0 = 0.
Así, a pa i del Teo ema 5.16, se deduce que la Conje u a 3.1 es cie a pa a los nudos
ó icos, con lo que, al habe p obado el siguien e esul ado, hemos alcanzado nues o
obje i o.
P oposición 5.19. Dados dos nudos ó icos T1yT2, se iene:
c(T1#T2) = c(T1) + c(T2).
En es e abajo hemos abo dado la p ueba de la adi i idad del núme o de c uce de
los nudos al e nan es y de los nudos de de iciencia ce o. ¿Exis en nudos que no pe -
enezcan a es os conjun os? La espues a es a i ma i a. Exis en nudos, como el 821,
que no son al e nan es ni de de iciencia ce o. Es e nudo pe enece a la amilia de los
nudos hipe bólicos, que con iene a la g an mayo ía de nudos p imos conocidos [7], y
pa a la que, en gene al, no es á p obada la Conje u a. Po an o, en el ayec o hacia
la esolución de la Conje u a 3.1, queda oda ía un ex enso camino po eco e .
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