Prospective teachers' difficulties in integrating technology into problem solving and teaching on rational numbers

ISSN: 2178-7727 DOI: 10.17648/acta.scientiae.6237 __________________ Autor correspondiente: Alberto Arnal-Bailera. Email: [email protected] Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 Dificultades de maestros en formación integrando tecnología en la resolución y enseñanza de problemas sobre el número racional Antonio González a Alberto Arnal-Bailera b a Universidad de Sevilla, Departamento de Didáctica de las Matemáticas, Sevilla, España b Universidad de Zaragoza, Departamento de Matemáticas, Zaragoza, España Recebido para publicação 18 nov. 2020. Aceito, após revisão, 25 mar. 2021 Editor designado: Claudia Lisete Oliveira Groenwald RESUMEN Antecedentes: El uso de tecnología en la enseñanza de las matemáticas tiene una especial importancia debido a la capacidad de esta para promover que los estudiantes activen procesos matemáticos básicos. Esto hace necesario la realización de estudios que permitan identificar los conocimientos que tienen los futuros docentes para poder integrar la tecnología en su enseñanza. Modelos como el TPACK han sido desarrollados precisamente con el propósito de analizar los resultados de este tipo de estudios. Objetivos: Describir las dificultades de los futuros maestros a la hora de integrar la tecnología en sus explicaciones. Diseño: El estudio realizado es exploratorio, con una finalidad de tipo descriptiva. Contexto y participantes: La investigación se realiza con una muestra de 47 parejas de maestros en formación de la Universidad de Zaragoza. Recogida de datos y análisis: Utilizamos un instrumento de recogida de datos consistente en una tarea que supone la resolución, y diseño de la correspondiente explicación para unos hipotéticos alumnos de Primaria, de un problema de productos de fracciones con y sin tecnología. Dichos datos son analizados bajo la óptica del marco TPACK. Resultados: Identificamos y analizamos las dificultades que nuestros estudiantes para maestro presentan ante ciertas relaciones entre tecnología y contenido y otras de carácter pedagógico-matemático para relacionar adecuadamente distintas interpretaciones del número racional, así como una tendencia a no incluir herramientas tecnológicas en el diseño de sus explicaciones. Conclusiones: Nuestro análisis nos permite plantear acciones para mejorar la formación de nuestros maestros en la inclusión de la tecnología en sus clases. Palabras clave: Números racionales; formación de profesorado; TIC; educación matemática; explicaciones; investigación educativa. Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 163 Dificuldades dos professores em formação para integrar a tecnologia na resolução e no ensino de problemas sobre o número racional RESUMO Contexto: O uso da tecnologia no ensino da matemática tem uma importância especial devido à sua capacidade de promover os alunos a ativar processos matemáticos básicos. Isso torna necessária a realização de estudos que identifiquem os conhecimentos que os futuros professores possuem para integrar a tecnologia ao seu ensino. Modelos como o TPACK foram desenvolvidos justamente com o propósito de analisar os resultados desse tipo de estudo. Objetivos: Descrever as dificuldades dos futuros professores ao integrar a tecnologia em suas explicações. Design: O estudo realizado é exploratório, com finalidade descritiva. Ambiente e participantes: A pesquisa é realizada com uma amostra de 47 pares de professores em formação da Universidade de Zaragoza. Coleta e análise de dados: Usamos um instrumento de coleta de dados que consiste em uma tarefa que envolve a resolução, e desenho da explicação correspondente para alguns alunos hipotéticos do primário, de um problema de produtos de fração com e sem tecnologia. Os referidos dados são analisados sob as lentes da estrutura TPACK. Resultados: Identificamos e analisamos as dificuldades que os nossos professores em formação apresentam perante certas relações entre tecnologia e conteúdo e outras de natureza pedagógico-matemática para relacionar adequadamente diferentes interpretações do número racional, bem como uma tendência de não incluir ferramentas tecnológicas na concepção das suas explicações. Conclusões: Nossa análise nos permite propor ações para melhorar a formação de nossos professores na inclusão da tecnologia em suas aulas. Palavras-chave: Números racionais; formação de professores; TIC; educação matemática; explicações; pesquisa educacional. INTRODUCCIÓN Las tecnologías de la información y la comunicación han producido numerosos cambios en el ámbito del aprendizaje y la enseñanza, no sólo por ofrecer nuevas oportunidades a los estudiantes, sino porque estos han afectado a los métodos de enseñanza y a las creencias de los profesores (Erdogan y Sahin, 2010). Específicamente, en el caso de la clase de matemáticas, el uso de la tecnología es un tema de investigación de especial relevancia dada la necesidad de proveer a los estudiantes de experiencias que activen procesos fundamentales, como la conjetura y la argumentación (Ljajko, 2016; Morales- López, 2019). Sin embargo, existen numerosos estudios que muestran que los docentes, no sólo de matemáticas sino de otras disciplinas, no suelen 164 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 aprovechar todas las ventajas que podría aportar la tecnología a su docencia (Bate et al., 2013). En la misma línea, otros trabajos de investigación concluyen que los profesores en formación y los profesores nóveles generalmente usan la tecnología de forma muy limitada y poseen un conocimiento reducido sobre su integración y uso en el aula (Durdu y Dag, 2017), en consonancia con la idea de que la inclusión de la tecnología en la formación de maestros es un reto todavía pendiente de superar (Cabero, 2014). Esta realidad hace necesaria la creación de marcos teóricos que faciliten el análisis de las distintas situaciones y contextos de enseñanza, para así poder encontrar vías que faciliten la inclusión de la tecnología en los mismos. El modelo TPACK (Mishra y Koehler, 2006) fue diseñado precisamente con el propósito de poder identificar los tipos de conocimiento que el docente debe dominar para poder integrar la tecnología en su enseñanza. En los últimos años, numerosos investigadores han adoptado la óptica de este marco para analizar los resultados de sus estudios (Bate, 2010; Beltrán-Sánchez et al., 2019; Castellanos et al., 2017; Cózar et al., 2015; Kushner y Ward, 2013; Mouza et al., 2014; Tsai y Chai, 2012) específicamente sobre la enseñanza de las matemáticas, que es el área en la que se enmarca nuestro trabajo (Arnal- Bailera y Oller-Marcén, 2017; Dockendorff y Solar, 2018; Durdu y Dag, 2017; Morales-López, 2019; Özgün-Koca et al., 2010). De hecho, la componente tecnológica se concreta en estos últimos trabajos en el uso del software de geometría dinámica Geogebra, que es igualmente el que hemos escogido en nuestra investigación por sus potencialidades didácticas (fomento de la comprensión del contenido matemático, desarrollo de habilidades de resolución de problemas, etc.), como afirman los autores de dichos trabajos. Sin embargo, el contenido que subyace en nuestro estudio, en lugar de ser de tipo geométrico, es de carácter aritmético, concretamente sobre el número racional. La elección de este objeto matemático es debida, además de a la importancia que tiene en el currículo (Real Decreto 126/2014), a la necesidad de comprobar si nuestros maestros en formación han recibido una enseñanza del mismo en primaria y secundaria que pueda limitarles a la hora de realizar explicaciones desde las distintas interpretaciones del mismo, como ya se ha detectado en estudios previos (Clarke et al., 2008; Escolano y Gairín, 2005; Freudenthal, 1983; Gairín, 2001; Martínez-Juste et al., 2017; Olive y Vomvoridi, 2006; Simon et al., 2018; Shield y Dole, 2013). Los trabajos que hemos citado no abordan de manera conjunta el uso de tecnología en procesos de enseñanza-aprendizaje y el contenido sobre el número racional, lo que nos ha llevado a plantear la siguiente pregunta de investigación: ¿Pueden nuestros maestros en formación abordar la explicación Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 165 con apoyo tecnológico de problemas de multiplicación de fracciones en los que se conectan varias interpretaciones del número racional? Para responder a esta pregunta, nos proponemos abordar los siguientes objetivos de investigación: 1. Describir las dificultades mostradas en la resolución de tareas relacionadas con la multiplicación de fracciones con tecnología. 2. Estudiar si están preparados para conectar diferentes interpretaciones del número racional necesarias en su práctica docente. 3. Indagar en la inclinación de los estudiantes para maestro a incluir tecnología en sus futuras actividades de enseñanza. MARCO TEÓRICO En esta sección, introducimos primeramente los conceptos básicos del modelo TPACK (Technological Pedagogical Content Knowledge), que va a ser nuestro marco de referencia para estudiar el conocimiento que nuestros estudiantes pueden necesitar a la hora de integrar la tecnología en sus futuras secuencias de enseñanza. Seguidamente, presentamos las concreciones específicas de este modelo en nuestro trabajo. Modelo TPACK Este modelo teórico, propuesto por Mishra y Koehler (2006), fue diseñado a partir de la inclusión de la tecnología en el constructo de Shulman (1986) sobre conocimiento del contenido pedagógico (PCK), el cual emerge de la interacción entre los dominios de conocimiento sobre contenido (CK) y de conocimiento sobre pedagogía (PK). La aparición de este tercer dominio (TK) genera nuevos subdominios (ver Figura 1) sobre conocimientos del profesor, de manera que las componentes del modelo TPACK se configuran como sigue:  CK (Content Knowledge). Dominio acerca del conocimiento del contenido, es decir, del tema que se va a aprender o enseñar, el cual irá en función del contexto y nivel académico en que nos situemos. Este es el tipo de conocimiento que los profesores deben conocer y comprender a cerca de las materias que enseñan, incluido el conocimiento de hechos, conceptos e ideas y las conexiones que existen entre los mismos, así como de teorías y procedimientos que se utilicen según el campo que corresponda.  PK (Pedagogical Knowledge). Dominio sobre el conocimiento pedagógico, que abarca a los procesos de enseñanza y aprendizaje, así como a valores y objetivos educativos generales. Este tipo de 166 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 conocimiento se refiere a cuestiones tales como la gestión del aula, el desarrollo e implementación de planes de lecciones acorde con el currículo, la elección de métodos de evaluación apropiados, etc. El conocimiento pedagógico es el que habilita a los profesores para comprender cómo sus estudiantes van desarrollando sus habilidades y actitudes hacia el aprendizaje, lo cual requiere un cierto manejo de teoría cognitivas, sociales y del desarrollo del aprendizaje.  TK (Technological Knowledge). Dominio del conocimiento tecnológico para aplicarlo a la realización de diferentes tareas, abarcando desde las tecnologías más primitivas, como los libros y las pizarras, hasta las más avanzadas, como son las tecnologías digitales. Respecto a estas últimas, mencionar que incluyen tanto el manejo e instalación del hardware (dispositivos periféricos, por ejemplo) como del software (procesadores de texto, hojas de cálculo, etc.).  PCK (Pedagogical Content Knowledge). El subdominio del conocimiento del contenido pedagógico, que surge de la combinación de los dominios CK y PK, se refiere a aquel conocimiento de la pedagogía aplicable a la enseñanza de contenidos específicos, incluyendo el manejo de los enfoques apropiados para un determinado contenido y la capacidad para organizar los elementos de ese contenido durante el proceso de enseñanza. En este subdominio tiene especial relevancia la habilidad del docente de escoger representaciones y formulaciones apropiadas de conceptos, según estas faciliten o no su comprensión.  TCK (Technological Content Knowledge). Subdominio que surge de la interacción entre los dominios TK y CK, el cual comprende las interacciones y limitaciones mutuas entre tecnología y contenido, esto es, cómo el contenido puede ser cambiado debido a la utilización de la tecnología. En efecto, aunque la tecnología puede llegar a restringir los tipos de representación de un determinado concepto, en numerosos casos ocurre que las nuevas tecnologías aportan una mayor flexibilidad a la hora de manejar estas representaciones. Un ejemplo de esto es el programa GeoGebra mencionado anteriormente, que permite al usuario manipular objetos geométricos de forma más rápida que si lo hiciera dibujándolos de forma estática, contribuyendo así en procesos de aprendizaje de habilidades como son por ejemplo la conjetura y la demostración. Por tanto, este es un caso en el que la materia a impartir puede cambiarse según la aplicación que se efectúe de la tecnología, Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 167 pues esta aporta formas de representación que previo a su aparición no se tenían disponibles.  TPK (Technological Pedagogical Knowledge). Subdominio que relaciona los dominios TK y PK, considerando los cambios que la tecnología produce en la enseñanza-aprendizaje y, recíprocamente, cómo la enseñanza podría cambiar como resultado del uso de tecnologías particulares. La primera vía incluye el conocimiento de diversas tecnologías tal como se utilizan en entornos educativos; la segunda abarca al conocimiento de las estrategias pedagógicas necesarias para poder usar distintas tecnologías.  TPCK (Technological Pedagogical Content Knowledge). Este es el subdominio que representa la combinación de tecnología (TK), pedagogía (PK) y contenido (CK), el cual se ocupa de sustentar una enseñanza eficiente con tecnología que requiere del manejo de las distintas representaciones de conceptos dentro de contenidos específicos. Así mismo, esta forma de conocimiento atañe, entre otros aspectos, a los métodos de enseñanza que emplean tecnología para enseñar contenidos concretos, así como a los factores que facilitan o dificultan la comprensión de conceptos y cómo la tecnología puede intervenir. El modelo TPACK pone su énfasis en trabajar todos estos dominios y subdominios a la hora de abordar la formación del profesorado (Mouza et al., 2014). Existen numerosos estudios que proponen diversos enfoques sobre qué dominios y subdominios son más importantes a la hora de conseguir integrar la tecnología en su práctica educativa (Kaplon-Schilis y Lyublinskaya, 2019), como por ejemplo el de Mishra y Koehler (2006), que proponen un equilibrio entre estos dominios y subdominios, en contraste con el de Kushner y Ward (2013), que dan más un especial protagonismo al desarrollo del subdominio TPK. 168 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 Figura 1 Dominios y subdominios del modelo TPACK (Mishra y Koehler, 2006) Además de analizar el conocimiento del profesor en un momento determinado sobre los distintos dominios y subdominios del modelo TPACK, es necesario también el estudio del proceso de adquisición de esos conocimientos y de las barreras a superar. Por ejemplo, la integración de la tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es descrita por Niess et al. (2009), que desarrollan un esquema (ver Figura 2) con descriptores cualitativos detallados para cinco niveles de desarrollo del TPACK: Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 169 Figura 2 Descripción visual de los 5 niveles de integración de una tecnología concreta en los procesos de enseñanza y aprendizaje de matemáticas (Niess et al. 2009) 1. Reconocimiento, cuando los profesores son capaces de usar la tecnología y reconocer el alineamiento de la tecnología con el contenido matemático, aunque sin integrar la tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. 2. Aceptación, cuando los profesores forman una actitud favorable o desfavorable hacia la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas con una tecnología apropiada. 3. Adaptación, cuando los profesores se embarcan en actividades que llevan a una elección de adoptar o rechazar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas con una tecnología apropiada. 4. Exploración, cuando los profesores integran de forma activa la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas con una tecnología apropiada. 5. Avance, cuando los profesores evalúan los resultados de la decisión de integrar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas con una tecnología apropiada. Respecto al avance de un profesor de un nivel al siguiente, Ertmer (1999) sugirió la existencia de dos barreras a la hora de integrar la tecnología en la práctica educativa. La primera, de carácter externo, referida a la falta de medios o formación para su uso; la segunda, de carácter personal, referida a las 170 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 creencias de los profesores sobre las interacciones entre tecnología y enseñanza. Tsai y Chai (2012) introducen una tercera barrera, también de carácter personal, que denominan design thinking. Esta barrera hace referencia a la (falta de) capacidad del profesorado para crear y adaptar su práctica docente a los cambios tecnológicos. Algunas concreciones del modelo TPACK en nuestro trabajo Respecto del subdominio PCK, en nuestro trabajo analizamos la comprensión de nuestros estudiantes del número racional respecto de las diferentes formas de interpretarlo que dan lugar a diferentes modelos de enseñanza del mismo. Behr et al. (1993) y Kieren (1980) proponen cinco constructos o interpretaciones que, siguiendo a Clarke et al. (2008), podemos describirlas de forma resumida, en la representación del número racional en forma de fracción, como:  Parte-todo, consistente en la división de una cantidad continua en partes iguales (habitualmente área o longitud) o la construcción de subconjuntos de igual tamaño dado un conjunto discreto de objetos. Así, el denominador de la fracción representa las partes en las que la cantidad continua o el conjunto discreto están divididos y el numerador el número de partes que se consideran.  Medida, en la cual el número racional compara una cantidad de magnitud con una unidad de esa magnitud. Así, el denominador de la fracción serán las partes iguales en las que la unidad se ha dividido para medir la cantidad de magnitud y el numerador el número de esas partes que se han necesitado para realizar la medida.  División o cociente, en la que el número racional representa el resultado de repartir de forma igualitaria un cierto número de objetos (numerador) entre un cierto número de personas (denominador).  Operador, que es aquella en la que el número racional modifica una cantidad de magnitud multiplicándola y obteniendo otra cantidad de magnitud, mayor o menor, expresada en la misma unidad que la inicial.  Razón, que utiliza el número racional para comparar los tamaños de dos conjuntos o de dos medidas, expresando la medida de una de las cantidades de magnitud respecto a la unidad de medida de la otra magnitud. De todas las interpretaciones anteriores, la más frecuente en los libros de texto españoles es la interpretación parte-todo (Gairín y Muñoz, 2005; Olive y Vomvoridi, 2006; Simon et al., 2018), a pesar de los inconvenientes que esto Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 177 Tabla 1 Relación entre la corrección de la tarea y la presencia de interpretaciones de la fracción Presencia de interpretaciones de la fracción Sin interpretaciones de la fracción Resolución correcta 18 (38%) 8 (17%) Resolución incorrecta 11 (24%) 10 (21%) Figura 4 Ejemplo de adaptación del applet a la interpretación como cociente Queremos notar que cuatro parejas hicieron un uso del applet diferente del propuesto, aunque solo una resolvió correctamente la tarea. Estas parejas representaron el reparto como se muestra en la Figura 4 (extraído de la pareja 9), dibujando las tres unidades a repartir y marcando con colores diferentes lo que correspondía a cada participante en el reparto. Apartado b La condición que deben cumplir los gráficos de las capturas de pantalla realizadas es que las unidades, en este caso representadas por cuadrados, tengan el mismo tamaño para que al comparar visualmente sus zonas sombreadas se determine correctamente cuál de las dos representa más cantidad de tortilla. Sin embargo, no es necesario que el tamaño de las subunidades sea el mismo en ambas capturas, pues esto no influye en la cantidad de área coloreada. Por tanto, una respuesta correcta a esta tarea considera relevante la igualdad del tamaño de las unidades y no considera relevante la igualdad del tamaño de las subunidades. 178 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 Solo un 23% de los alumnos (ver Tabla 2) resolvieron correctamente la tarea. Por un lado, el 51% de las parejas no mencionaron que el tamaño de las unidades fuera relevante para realizar la comparación; por otra parte, el 47% de las parejas dieron importancia al tamaño de las subunidades, cometiendo un 21% del total de parejas ambos errores. Tabla 2 Relación entre la percepción de la relevancia del tamaño de unidades y subunidades Tamaño subunidades relevante Tamaño subunidades irrelevante Tamaño unidades relevante 12 (26%) 11 (23%) Tamaño unidades irrelevante 10 (21%) 14 (30%) Apartado c En esta tarea, la resolución es correcta cuando se aplican adecuadamente los operadores apropiados a las cantidades de magnitud asociadas a cada día, obteniendo las fracciones correspondientes, y se efectúa una comparación entre ellas. Tuvieron una resolución correcta 31 de las 47 parejas participantes (66%). Los errores más frecuentes fueron denominados “aplicación incorrecta del operador” (5 parejas) y “confusión de la parte con el total” (9 parejas). Entendemos como aplicación incorrecta del operador no interpretar la función del operador como un producto. En la Figura 5 la pareja 18 plantea un cociente de fracciones (lunes) y una diferencia (jueves) en lugar de dos productos. Asimismo, en la línea del apartado a, entendemos confusión de la parte con el total el considerar que el total de cantidad disponible es la unidad. En el mismo ejemplo la pareja realiza el complementario respecto de una unidad (tortilla), en lugar de hacerlo respecto de la cantidad disponible. Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 179 Figura 5 Ejemplo de aplicación incorrecta del operador en la pareja 18 Relacionando ahora la corrección en las resoluciones de los apartados c y a, aportamos la Tabla 3, a partir de cuyos datos se obtiene una relación estadísticamente significativa al 95%. Tabla 3 Relación entre la corrección de las tareas a y c Apartado c correcto Apartado c incorrecto Apartado a correcto 25 (53%) 1 (2%) Apartado a incorrecto 5 (11%) 16 (34%) Notar finalmente que 14 parejas (30%) han obtenido diferentes resultados en ambos apartados sin haber comentado este hecho (8 resolvieron incorrectamente los dos apartados y 6 alguno de ellos). Apartado d Este apartado, que fue respondido por 42 de las 47 parejas, es de corte más didáctico que los anteriores, por lo que no podemos hablar de respuestas correctas o incorrectas en términos absolutos. Para abordar su estudio atendemos primero a dos variables: qué contenidos matemáticos aparecen cuando diseñan explicaciones nuestros alumnos y qué interpretaciones de la fracción son más frecuentes en sus explicaciones. En primer lugar, respecto de los contenidos matemáticos explicitados, hemos estudiado la presencia de referencias al operador y a la comparación de cantidades, que son los contenidos que aparecen en el problema propuesto. Estos contenidos están relacionados con las dificultades matemáticas esperables en alumnos de Primaria y, por tanto, deberían ser la base de una 180 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 explicación de calidad (Charalambous et al., 2011). Destacamos el equilibrio que existe entre el número de parejas (20) que han considerado la necesidad de incluir en sus explicaciones referencias a los dos aspectos matemáticos destacados (operador y comparación) y las que no. De las 22 parejas que no han considerado esta necesidad, 15 no hablan de la comparación y 10 no hablan del operador. Consideramos de interés relacionar la selección de contenidos matemáticos que requiere este apartado con los apartados a y c. Observamos que las parejas que realizan explicaciones parciales, sin hacer alusión a los dos contenidos matemáticos destacados (operador y comparación), tuvieron mejores resoluciones matemáticas de partida; concretamente, un 68% de estas parejas resolvió correctamente la tarea en los apartados anteriores. Recíprocamente, entre las 20 parejas que consideran necesario hacer referencia a las ideas de operador y comparación, solo un 45% resolvió correctamente la tarea en los apartados anteriores. Respecto de las interpretaciones de la fracción que aparecen propuestas, destacamos que en 10 casos, ninguna de las fracciones se apoyaba en ningún significado, siendo consideradas de manera meramente formal. Entre los que utilizan alguna interpretación para dar significado al número racional, destacan 23 parejas que utilizan en (toda o parte de) su explicación la de medida; igualmente ocurre con 15 parejas que utilizan en este sentido la de cociente. Asimismo, podemos observar características generales relativas a la resolución de problemas y a las herramientas a las que se recurre para las explicaciones: solo dos parejas de las 42 que resolvieron la tarea plantean que el problema se puede resolver de más de una manera con el fin de relacionar varias formas de resolución o comprobar que el resultado deber ser el mismo. Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 181 Figura 6 Ejemplo de explicación que incluye el uso del applet propuesto por la pareja 31 Revisando globalmente las explicaciones propuestas por todas las parejas resulta notable que, a pesar de que los primeros apartados de la tarea involucran un uso intensivo de tecnología, solo 3 parejas usaron el applet en sus indicaciones (ver Figura 6). En ellas, el uso que se propone de la tecnología, en este caso del applet de GeoGebra utilizado en el apartado a, se limita exclusivamente a su función de calculadora gráfica que resuelve la necesidad de representar la fracción resultante de aplicar un operador a una cantidad de magnitud. Tampoco se reflexiona sobre cuestiones matemáticas ligadas a su uso, como podrían ser el tamaño de la unidad o la subunidad. Particularizando en las parejas que antes realizaban una adaptación del applet para utilizarlo con una interpretación de cociente, podemos decir que dos de ellas son coherentes y mantienen dicha adaptación cuando diseñan sus explicaciones, no así las otras dos. Es de reseñar que ninguna de las cuatro utiliza la tecnología en sus explicaciones a pesar de haber mostrado una buena comprensión de la misma anteriormente. 182 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 DISCUSIÓN E IMPLICACIONES A continuación, discutimos los resultados obtenidos en la sección anterior desde la mirada del modelo TPACK, analizándolos desde cada uno de los dominios y subdominios presentes en nuestras tareas. TK El desarrollo del dominio TK, que comprende las habilidades de nuestros estudiantes en el uso general de tecnologías, no supuso un impedimento para la resolución del apartado a. En efecto, apenas unos pocos casos mostraron dificultades para utilizar el applet o para situar los datos en el mismo. Más aún, prácticamente todos los alumnos dieron una respuesta al problema, correcta o no, lo que va en la línea de que al plantear una tarea tecnológica los alumnos tienden a dar una respuesta independientemente de su comprensión del contenido matemático que se les plantea (Ljajko, 2016). Estos hechos podrían ser indicios de un desarrollo aceptable del dominio TK, aunque para valorarlo con más precisión necesitaríamos tener información sobre el conocimiento de nuestros alumnos respecto de otras herramientas tecnológicas (Kushner y Ward, 2013). CK El desarrollo del dominio CK de nuestros maestros en formación está relacionado con los errores matemáticos que mostraron en la resolución de los distintos apartados. El error más común es el que denominamos “confusión parte con el total” (apartados a y c), posiblemente originado por uno de los inconvenientes de la enseñanza tradicional, generalmente limitada a la interpretación parte-todo, en la cual el alumno no necesita reconocer la unidad porque esta coincide con la cantidad total de magnitud (Gairín, 2001; Gairín y Muñoz, 2005). También Simon et al. (2018) remarcan esta y otras dificultades en ciertos conceptos avanzados sobre fracciones cuando la enseñanza se limita exclusivamente a la interpretación parte-todo y cómo estas pueden ser paliadas vía secuencias de tareas en la interpretación como medida, como también aseguran Olive y Vomvoridi (2006). Por otra parte, el error “aplicación incorrecta del operador” (apartado c) podría estar influenciado por la falsa concepción de que la multiplicación incrementa la cantidad, como afirman Clarke et al. (2008). Son notables las incoherencias observadas entre las respuestas a los apartados a y c, pues muchas parejas obtuvieron resultados numéricos diferentes sin hacerlo notar. Esto refleja una dificultad en la ejecución de la fase de verificación de la solución de un problema (Piñeiro et al., 2019), lo cual es Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 183 llamativo dado que el currículum español aborda explícitamente el tratamiento de la coherencia de las soluciones de un problema (Real Decreto 126/2014). Una posible explicación a esto, en el caso particular del número racional, es el predominio de la interpretación parte-todo que acabamos de comentar, lo cual dificulta la búsqueda de soluciones vía dos interpretaciones distintas. El error que cometieron las parejas que dieron importancia al tamaño de las subunidades (apartado b) puede ser debido a que estuvieran pensando en las condiciones necesarias para realizar comparaciones de tipo formal entre números racionales. En efecto, para comparar fracciones formalmente suelen igualar sus denominadores, por lo que tenderían a pensar que siempre es necesario hacer coincidir el tamaño de las subunidades. Este error puede estar relacionado con el uso anterior de libros de texto que acostumbran a dar mucha importancia a los ejercicios formales y en los que se ejercitan sobre todo las técnicas aritméticas (Gairín y Muñoz, 2005; Martínez-Juste et al., 2017; Shield y Dole, 2013). Los errores y dificultades discutidos en este apartado son claros indicadores de debilidades en el desarrollo del dominio CK de nuestros maestros en formación (Alguacil et al., 2016), las cuales podrán condicionar el desarrollo de los subdominios derivados de este. TCK Las destrezas que mostraron nuestros alumnos en el subdominio TCK quedaron reflejadas en su realización de los apartados a y b. En el primero, casi la mitad de las parejas no supo aprovechar las funcionalidades del applet que facilitaban la comprensión del contenido matemático subyacente. Además, solo detectamos un escaso grupo de parejas que utilizaron el applet para adaptarlo a la interpretación como cociente, entre las cuales solo una de ellas resolvió correctamente la tarea. En el apartado b, respecto del error relativo a no dar importancia al tamaño de las unidades, cabe destacar que el enunciado ya explicitaba que ambas eran iguales. Lo que debían considerar los alumnos es que las representaciones de las mismas debían tener igual tamaño para poder realizar una comparación visual. Este error es posiblemente ocasionado porque al capturar pantallas dos veces del mismo applet no era necesario modificar el tamaño de las mismas. Todas estas interacciones entre tecnología y contenido reflejan unas limitaciones de nuestros estudiantes en su desarrollo del subdominio TCK, lo cual refuerza la validez de la propuesta de Durdu y Dag (2017) acerca de centrar la instrucción de futuros docentes especialmente en este subdominio. 184 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 PCK Los aspectos tratados en nuestro estudio que condicionan el subdominio PCK (apartados a y d) de nuestros estudiantes son: la capacidad para argumentar, la completitud de las explicaciones y el uso de las distintas interpretaciones del número racional. Respecto a la primera, incluso algunos de los que resuelven incorrectamente, hacen el esfuerzo de argumentar dentro de una sola interpretación, lo cual les supondría una ventaja a la hora de elaborar futuras explicaciones. En contraste, otros alumnos que resuelven correctamente razonan, o bien mezclando ideas de varias interpretaciones del número racional, o bien sin utilizar interpretación alguna, por lo que los números pierden su significado y esto podría derivar en una dificultad didáctica a la hora de explicar a sus futuros alumnos (Gairín, 2001). Estas consideraciones irían en la línea expresada por algunos autores (Ruíz de Gauna et al., 2013) que muestran la existencia de un perfil de alumno de magisterio de corte mayormente matemático y otro perfil de tipo fundamentalmente pedagógico-didáctico. Estos resultados indican un escaso desarrollo en el subdominio PCK (Mishra y Koehler, 2006), que se acentúa cuando hay un desequilibrio entre las destrezas correspondientes a los dominios CK y PK, sobre todo cuando el primero está mucho más desarrollado que el segundo (Kushner y Ward, 2013). En referencia a la completitud de las explicaciones, en la tarea d nuestros estudiantes abordan la comparación menos frecuentemente que el operador. Para construir una buena explicación hay que atender a todas las características de la tarea que pueden suponer una dificultad o un error de concepto de los alumnos (Charalambous et al., 2011). Un alto porcentaje de nuestros alumnos no atendió a ambas dificultades en sus explicaciones, pudiendo esto afectar a su capacidad para construir explicaciones de calidad, y por tanto al desarrollo del subdominio PCK. Notamos la existencia de un cierto grupo que aporta explicaciones incompletas junto con un buen desempeño matemático, lo que puede ser otra muestra más de desequilibrio entre los dominios PK y CK, empobreciendo el desarrollo del subdominio PCK ya indicado anteriormente por Kushner y Ward (2013). Finalmente, en lo relativo al uso de las distintas interpretaciones del número racional, observamos debilidades pedagógico-matemáticas en algunas parejas que se restringen en sus explicaciones a operaciones formales entre fracciones, desaprovechando el contexto que ofrecía el problema. Gairín (2001) destaca que los estudiantes para maestro que muestran una menor comprensión de las distintas interpretaciones del número racional diseñan unas explicaciones meramente formales, lo cual puede estar relacionado con la instrucción recibida Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 185 durante su educación matemática preuniversitaria, guiada por libros de texto en los que predominan la resolución de ejercicios fundamentalmente procedimentales (Gairín y Muñoz, 2005; Martínez-Juste et al., 2017; Shield y Dole, 2013). En particular, todo lo anterior muestra un bajo desarrollo del dominio PCK de nuestros estudiantes. TPCK El apartado d permite evaluar el subdominio TPCK de nuestros estudiantes, que comprende las interacciones entre las tres componentes fundamentales del modelo TPACK. En la realización del último apartado, fueron pocas las parejas que integraron el uso de la tecnología en sus indicaciones. Este hecho podría indicar un cierto escepticismo entre nuestros maestros en formación sobre la capacidad de la tecnología para transformar la enseñanza, incluso teniendo preparación tecnológica suficiente, como muestra el estudio de Özgün-Koca et al. (2010). En la línea de estos autores, esto podría estar relacionado con el hecho de que nuestros alumnos aún se sienten más identificados con el rol de estudiantes de matemáticas que con el de docente de matemáticas. Desde otro punto de vista (Ertmer, 1999; Tsai y Chai, 2012), lo dicho anteriormente podría interpretarse también como que nuestros futuros maestros no han superado todavía las barreras de segundo orden (escepticismo) o de tercer orden (adaptación de las tareas para la inclusión de la tecnología). En términos de Niess et al. (2009), nuestros alumnos no habrían llegado al nivel 3 (adaptación) de los cinco niveles propuestos para la integración de las TIC en la enseñanza. Estas reflexiones nos permiten concluir este apartado haciendo notar un bajo desarrollo del subdominio TPCK de nuestros alumnos, lo cual es coherente con las habilidades mostradas por los mismos en otros subdominios. CONCLUSIONES E IMPLICACIONES PARA LA FORMACIÓN DE MAESTROS Respecto del primer objetivo, describir las dificultades mostradas por nuestros alumnos en la resolución de tareas relacionadas con la multiplicación de fracciones con tecnología, hemos observado que estos no han aprovechado las funcionalidades que el applet ofrecía para resolver la tarea matemática, así como tampoco han sabido explicitar las condiciones matemáticas necesarias para resolver el problema en un entorno tecnológico. Aunque en nuestra enseñanza usamos la tecnología en diferentes momentos del curso como instrumento para abordar el contenido matemático, vemos necesario propiciar un uso más reflexionado de la misma en la formación de maestros. Para ello, 186 Acta Sci. (Canoas), 23(2), 162-192, Mar./Apr. 2021 proponemos focalizar la atención en las relaciones entre las acciones tecnológicas y su significado matemático, esperando así superar las limitaciones que hemos señalado en el desarrollo del subdominio TCK de los futuros maestros. Respecto del segundo objetivo, estudiar si nuestros estudiantes están preparados para conectar diferentes interpretaciones del número racional necesarias en su práctica docente, los resultados de este trabajo muestran ciertas dificultades. Específicamente encontramos que, o bien no son capaces de mantener sus explicaciones dentro de una misma interpretación del número racional, o bien prescinden de cualquier interpretación. Aunque en nuestra enseñanza abordamos de forma sucesiva todas las interpretaciones del número racional mencionadas en este trabajo, los resultados nos advierten de la importancia de poner especial énfasis en las conexiones que existen entre estas. Esta idea, que fomentaría el desarrollo del subdominio PCK, podría llevarse a cabo de distintas maneras: estudio de libros de texto de otros países que muestren una mayor riqueza de interpretaciones del número racional, o realización de actividades que implicaran replantear un problema en términos de una interpretación del número racional distinta a la dada. Respecto del tercer objetivo, indagar en la inclinación de los estudiantes para maestro a incluir tecnología en sus futuras actividades de enseñanza, hemos observado un bajo nivel de desarrollo que podría estar condicionado por la existencia de barreras de carácter personal. Nuestra asignatura requiere, a nivel tecnológico, del uso de applets de GeoGebra que permiten realizar gráficos con una comodidad y precisión que no pueden conseguirse a mano. Para ampliar este uso, que no abarca aspectos pedagógicos, los formadores debemos promover situaciones en las que los maestros en formación se vean obligados a integrar la tecnología en sus explicaciones, analizando las posibles dificultades (tanto matemáticas como tecnológicas) que podrían encontrar sus futuros alumnos. Tanto esta propuesta como las que hemos realizado respecto de los dos objetivos anteriores, creemos que contribuirán a desarrollar el subdominio TPCK de los estudiantes para maestro. AGRADECIMIENTOS Queremos agradecer especialmente al profesor Dr. Rafael Escolano Vizcarra por todo lo que nos ha transmitido sobre la enseñanza y el aprendizaje del número racional, así como por sus aportaciones y comentarios a las primeras versiones de este trabajo.